Стохастическое операционное исчисление и его применения в квантовой теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Математический институт км. В.А.Стеюова

' ' ■ I ;

Российской Академии Наук

■ ;.На правах рукописи

Кириллов Андрей Игоревич

Стохастическое опереженное исчисление а ого прпыэнешя в квентсвой теории

01.01.03 - Натематкческвя ({ызкки

. Автореферат дассертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском энергетическом институте

Официальные оппоненты:

доктор {из.-мат. наук Верэтенников A.D.

доктор физ.-мат. наук, профессор Завьялов О.И.

доктор физ.-мат. наук, профессор Смолянов О.Г.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет

Защита состоится.. Л i,.....-г.Л.............на заседании

специализированного совета Д.002.38.01 при Математически институте им. В.Л.Стэгиюва РАН по адресу Москва, Вавилова 4;

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИИ РАН Афтороферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

Гущин А.К

ОЗДАЯ ХАРАКТЕРА ста; СА РАБОТЫ

Актуальность това. Теория мори лежит в основании многая

разделов математики и теоретической физики. Поэтому развитии теории мери снособсгвуетирогрвссу в эгид областях. Тек, построение. дифЕерэнцнальиого исчисления ¿юр С1-41 позволило, в частности, доказать весьма обцуо формулу интегрирования по честда . ГV.вI, которая для функций, задании -ив локально выпуклом топологическом векторной пространстве X, имеет вид

, «(*> „ й«(х)

-Г -ЩГ~ 5(*)ф(*) - - / * (*) -¡Щ— йц(х) -X X

(1)

- / 1(х)в(1)р„ (ЗС)^(Г) , X

где - производная в сиис;ш Гато по направлению 11еХ и ) - т.н. логарифмическая производная лоря р по направления Ь. В свою очередь, формула (I) была использована для обобщения но бескошчиомэрниК случай теории опвраторов Дирихле [71 и ассоциированных с ними даффузиошшх процессов 18,9), для доказательства форцули Гаусса-Остроградского I-"2 ] и Стокса [III. В терминах логарифмической производной сформулировано определение т.н. расширенного стохастического интеграла [ Ц/1, 6), с ломощыэ которого било построено стохастической исчисление дчп более широкого класс» Функционалов от случайных процоссоп, чем в подхода, основанном на стохостичоском интеграле йто Г1-!!.

В квантовой теории поля фигурируют шри трех видов -вакуумные, моры ФоЯнмапа- Каца и мори Нэльсоня. Вакуумнш

мары заданы на подмножестве* конфигурационного пространства. Они определят представления канонических перестановочшх соотношений [151. Кроме того, при естественных физических предположениях вакуумные мери определяют также -.. и гашыьтоннаш полей 1161. В атом сшсле каждая вакууюая мера фиксирует ту или иную каноническую модель -квантового шля. В качестве кош$игурацйонного пространства используется пространство обобценши функций умеренного роста S' (К4"1), где d - размерность пространства-времени. Естественно полагать, что (1=4, хотя рассматриваются и модели с <1=2, <1=3 и й>4.

Мере ФеЙшгена- Кацэ (171 определяет ядро операторе аволщим. Она должна Оыть задана на множествах траекторий, соединяющих всевозможные пары точек пространства S'(Hf*"?)xR. Иными словами, мера Фейамаяа-Каца определена на некоторых подмяожэствах аз пространства S' (R4"*)" всех отображение R»S* (#*"*).

Мера Нельсоне должна быть задана на пространстве S'(В4). Ее момент» являюгся эвклидовыми функциями Грива, т,е., иначе говоря, функциями Швингера, и поэтому однозначно определяют эвклидовУ модель квантового поля. Меру. Нельсона часто называют такжэ мерой Фейнмана- Каца- Нольсона, подчеркивая тем сажм преемствешюсть в развитии функциональшх методов квантовой теории шля [17, 181.

Применение теории меры в квантовой физике дало много результатов, которые • составили научное направление, называемое подходом с использованием функциональных интегралов 117 J. В частности, было установлено, что вакуумные мери и меры Нельсона дифференцируемы CI9, 51, 171

s" !

i

• и справедлива формула интегрирования по частям (I). С ее помощь!) в эвклидовом подходе 1 получаются ряди теории возмущений, а такта высокотемпературные (кластерные) я t низкотемпературные разложения, позволяющие исследовать локалыше (улирафюлатошэ) особенности модели и характер убивания на босконэчпости (щ»1ракраспоо . поведение) С171. Диффузионные процессы, ассоцвмроввшшз через посредство операторов Дирихле с вакуумными мерами или мэрами^Нельсона, являются продмагом исследования, соответственно, в стохастической маганике С20) н стохастическом квантовании £21» 221.

В стохастичэской механике процесс ассоциированный с вакуумной мерой, принимает значения в конЯмгурационном пространство X. Он является решенном системы стохастических уравнений

•ikM^t» » ph<^(t))dt + гг df»h(t) (hex) , (2)

где 1 ), he*) - семейство вшюровских процессов на вещественной оси, для которых М r»h (tt)wh (tjbnln

i 2 '

x (l^.h^), причем, Ошшнейнвя <5юрма (•, •) такова, что вложение пополнения пространства * по нормо f.fl = ✓(•,•) в пространство X является оператором Гильберт а-№идта. Процесс« наянважея броуновскиш двихенияли со сносаа.

Параметр t трактуется как реальное время. Кое№щн«.чтм (lh в снстомч (Я) являются шгйр»$мичаскикя производными вякууютоЯ кори.

В стохастическом квантовании процесс С» ониоиваомнй системой (2), пришмаат значения в пространство 5' (li1). Парямвтр t трактуется как вспомогательное (т.н.

е

компьютерное ) время н физический смысл ююпт лишь пределы при tía. Коэффициента рь в системе (2) являются логари1мнческимл производными мери Нельсона ц.. Эти коэффициенты вырахатся через Функционал классического эвклидова действия, а мера |i подлежит определени» как стационарное распределение.

По. существу, стохастическое квантование имеет целью восстановить мору Нельсона по ее логарифмическим производным рь, т.е. решить задачу, обратную дифференцированию. Такая задача была впервые поставлена в основололагавдей работе В.И.Авербуха, О.Г.Смолянова и С.В.Фомина Ш, в которой отмечалось, что "интересно было бы указать (необходимые или достаточные) условия того, что данная вещественная функция на X есть плотность производной какой-нибудь мери при каком-нибудь ненулевом приращении". Постановка этой проблема приглашала к создании нового раздела бесконечномерного анализа, дополняющего дифференциальное исчисление мер подобно тому, как в классическом анализе теория первообразных дополняет дифференциальное исчисление функций и форм.

За двадцать лет, прошедших со времени появления статьи £1), ни одного метода решения задачи о восстановлении мэры по ее логарифмическим производным предложено не было. В гот же период эта задача в явной или неявной форме на раз ставилась в целом ряде работ, среди которых статья 191 является одной из последних. Следовательно, построение теории первообразных для логарьфл ческих производных мер должно оказаться прямо или косвенно полезным для развития многих разделов математики и теоретической физики (конкретные примеры приведены нижа в разделе "Приложения").

? 1

I

Цель работа. Диссертация посещена разработке методов вое становления мери по ее логарифмическим производным и вычисления интегралов по этой мере. Цель» диссертации является тага® построение на основе этх методов нового математического аппарата, названного стохастическим "операционным исчислением, и его прима ценив в квантовой теории.

Научная новизна. Весь круг проблем, зятронутых в

диссертации, обсуждается по состоянию на конец 1992 года. В диссертации изложены основные результат« работ автора [49-501, в которых

1. (¡формулировано понятно обобщенной плотности меры на функциональном пространстве. Доказано существование обобщенной плотности у гладкой мврц.

2. Вводено понятие обобщенного градиенте и доказано, что при определенных условиях логарв£ пческий градиент мори является обобщенным градиентом.

3. Вггервыо указа)ш условия, при которгх ¡заданное отображение является логарифмическим градиентом некоторой- мори.

4. Найдены новые доствточиие условия суцествовпия т.н. континуальных интегралов как интегралов бесконечной кратности.

5. Впервыо указаны условия па логарифмический грздшшт мары, при которых она имеет гильбертов носитель и момента всех порядков.

6. Доказаны ноше теоремы суп'.остшаяшм и единственности ровониЯ сисгнмы стохастических уравнений тапо (2) в гильбертовом пространство, я таюго теоремы о

существования инвариантной мери и о явном вида ее .ногаршЛлмческого градиента.

7. Впервые указаны условия, при которых существует единственная вероятностная мере, логар^мический. градиент которое равен дашюму отображению.

8. Выведены формулы, составляющие основу нового математического аппарата, названного автором стохастическим операционным исчислением.

9. Доказано, что в фор«5 стохастического опврацаошюго исчисления может бить представлена каноническая квантовая теория и эвклидова теория шля.

10.Впервые доказано существование меры Нельсона для нелинейного поля в пространстве-времени произвольной размерности.

Эти результата получены автором самостоятельно. Уважение к приоритету других ученых выражено в диссертации указанием источников всех заимствованна.

Метода исследования. В основе диссертации лежит математическая теория устанавливающая взаимосвязь операторов Дирихле, субмарковских полугрупп и диффузионных процессов. Эта теория построена в ра<5отах £7-9, 19, 23-251. В диссертации она получает дальнейшее развитие посредством выяснения условий, при которых полугруппа, ассоциированная с системой (2), имеет единственнуп инвариантную вероятностнуп меру IX. В таком случав аргодические теорем* позволяют заменять интегралы вида /Г (г)ф(г) на пределы средних

т

Т"*/ Ш(1))<1* при Т.со- Поэтому отображение Г(-) .

о

)=*(£,,(•)), оказывается изометрическим изоморфизмом

на пространство ; сдучаЯннх процессов 2»{tj(-):т}(- )«*(£ (•))» ГеЬ*(Х||1>) оо скаляриям произведенном

,

(Ч.т^Ь !- lia-у-I И ^(tj^itjdt .

" т-«® о

Действия со случайными процессами из 3, соответствую^ при ояоСражении \ операщми анализа в пространстве L1 (Х,ц), налпвахпся сяатстмеааи отзрагуюнтхи ' исчислениел. Оно позволяет, в частности, пря решении задача о восстйношюний ко pi по eu логар?ф.цтоскш прэизгюдннм ограничиться отаскагеюм какого-нибудь ревогая ^ системы (2). ,

Для исследования стохастических уравнений тала (2) л диссертации кспользуогся шгод функций Ляпунова Г26). Все тоороги существования !.»р доказаш с помощьп критерия Прохорова слабой компактности со.чойстц вороятностннх распределения t271. Необходимо для ото го оценки, но зависязро от размерности, шведвни (»'годами теории стохастяческиз уравноний из условии коэрдшпшюсти (3, 2-61. Носителя мэр опроделенн по споДству непрерывности их ковариационных квадратичных форм ГЗ, 281. Теорема единственности вероятностной мори, хого1гл1»нчоски1 градпэнт которой рати данкдау отображении, шводопа из свойства осиштотичоской устойчивости решения сисгимы стохастических ypainrerort (2) и , теорем о диффузиошш процессах, ассоциированных с формаки Дирлхдо C7-0.I. ^сшсттотичоскап устойчивость доказана с помощью неравенства мэнотонностл.

Судостповапио «бойкотах плотностой гладких сир усттювлода с помощью icptyjjj Кпкароиа-!Да'тта- Скорохода 12,7). Tooj.ora о тон, что логарифмический градюнт кора являзтся обобщении:.* грчдиэнтш, доказана методом . теории

мартингалов 12). ДтИереицируемость вакуумной меры установлена по свойствам ее характеристического функционала, которые, в своп очередь, выведены из аксиом канонической квантовой теории. Связь вакуумных мер с мерами Нельсона описана с помощью теорем об абсолютной непрерывности мер, отвечающих диффузионным процессам с разными коэффициентами сноса [29, 301.

Формулы стохастического операционного исчисления выведены из формулы Кто, тоэдэств для операторов Дирихле и теорем о свойствах мартингалов и свмимартингалов 129-311.

Приложения. Работа имеет теоретический и прикладной характер. Метода, развитые в диссертации, применяется для представления канонической квантовой теории и эвклидовой теории поля в форме стохастического операционного исчисления. Доказано существовав меры Нельсона для поля типа вШ-Согйоп в пространстве-времени произвольной размерности. Выведены уравнения стохастической механики основного состояния, заменявшие уравнения Шредангера.

Полученные в диссертации результаты могут применяться также для решения следующих задач:

1. Описание мер с помощью обобщенных плотностей.

2. Интегрирование функционалов.

3. Вычисление интегралов бесконечной кратности.

4. Отыскание пространств Ь2(Х||л), в которых дифференциальное

л

выражение <7+В(х),А(х)7 > имеет самосопряженное расширение.

5. Построение мер, однозначно определяемых своими множителями квазтшвармштности.

а

• 6. Описание квазиинвариактннх аргодических мер.

I

7. Определение мер на заданном пространство X, пригодных для

построения пространств 1/(Х,ц) с Э-преобразованием Хиды. 8..Решение стохастических уравнения методом форм Дирихле.

9. Решение эвклидовых уравнений движения.

10.Построение перенормированннх операторов тока.

, Стохастическое операционное исчисление позволяет сформулировать новые алгоритмы численного решения задач с операторами в частных прожнюдных. На ото основе могут бить разработаны вычислительные устройства аналогового типа, предназначенные для моделирования систем с распределенными параметр«?.« или для управления такими системами.

Стохастическое операционное исчисление позволяет также поставить задачу об описании геометрических и топологических свойств пространства X в терминах стохастического базиса для процессов из образа 3 пространства Ь2(Х,р) при отображении Если предположить, что в форма стохастического операционного исчисления удастся построить теорию, удовлетворительно олисиваидую явления ядерной физики и физики элементарных частиц, то, в частности, станет известно пространство 3, по которому можно будет судить о геометрии и топологии X, т.о. о геометрии и топологии микромира.

Апробация диссертации. Основные результата диссертации на'^^ебймрал отдела квантовой теории шла, лаборатории статистики случайных процоссов и отдела математической ¡¡изики МИ РАЛ им. В.А.Стеклова, на семинарах ка^одрн теории функций и функционального анализа механике»-математического

и

факультета МГУ, Математического института Рурского университета (г. Бохум, Германия), исследовательского центра BIBoS университета г. Биелафельда (Германия), Чалмерсовского университета (г.Гетеборг, Швеция) и не маадународной конференции "Ренормгруше 91" (ОИЯИ, Дубна)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 149-581. Работ, написашшх в соавторстве, нэт.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из

введения, трех глав, разделенных не 14 параграфов,

заключения, приложения и списка литературы, содержащего

302 наименования. Общий объем диссертации - 298 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе указаны условия, при которых заданное отображение А локально выпуклого пространства X в пространство сопряженное к плотно вложенному в X

подпространству является логарифмическим градиентом

некоторой вероятностной мер« ji на s (X), т.е. Vite* <à(- ),h>«=ph(- ) (мой р). Доказательство теоремы существования такой меры конструктивное. Поэтому оно является в то же время и обоснованием метода восстановления моры по ее логарифмическому градиенту.

В первом параграфе приведены достаточные условия существования логарифмического градиента даффв{>енцируемой

Во втором параграфе обсуждихггся различные способы

обобщения формулы

l|i'(-)=grad p(Ó, (3)

выряжающей логарифмический градиент 1ц' меры ц. на R" через ее плотность р относктельно мэры Лебега. В диссертации рассмотрены два варианта. В первом, рводится понятие обобщенной ПЛОТНОСТИ р.

Определение Г.2.1. Пера ц tía а-иолъце ¿(2) Яорелевских подмножеств топологического векторного .пространства X нааыбаеася гладкой, если ц илеет слабый , ловарифяинесшй градиент р вдоль подпространства х, ваийу плаяюеа в X, и съобрагьниэ piX-,9:* кацкры^ю.

Icopeaa 1.2.1. Пусгъ'ц - главкам мера на я(Х) со слабил логарифмический грайиентол р бЛиь ж^Х. ТогОл

Т> Соо элелети из я ¿Шясися дстусяямши направлошиши Оли ц;

2) лно'пстидь. квазишвариаяйЮ! it li(n,x) непрерывен >ia и выралаеяса чериз р но формуле

h(ta,x) в охр £ J PQ(r+m)du J ; (4)

3) для всех tid-r

Pía) = grad In p(a), (S)

еде

1

p(ft) = Ji(a,0) =. orp Г J pjta)dt 1 . (6)

0

L':j видик, что для гладких нор равенство (3) ими от место на псгду плотном подмножестве пространство X.

йушягиа р, Оли ксгюрой справедливо равенство (5), »¡аенбаеясл обсб^шюй ruvaioaauo. деры.

Два обоЗцеиия формул» (3) в случае мор, ü» являмот;^

гладкими, используются следуидиа обозначения.

Пусть и - пространство с мерой ц, V - банахово пространство. Обозначим Ь^Чи^У) пространство измеримых отображений с нормой

и^« = {; |г(«)1: <*(«> },/<1 (ч>о> •

Если V - локально выпуклое пространство и В* плотно в V, то обозначим Сг,(и,ц;Т) пространство обобщенных градиентов, т.е. ваилхжш в кспологии Ьч(и,р;¥) линейной оволочки отображений £гп<1 I, где ГеС(и,й). Следующая теорема показывает, что при определениих условиях логарифмический градиент меры является обобщенный градиентом.

Теорема 1.2.2. Пусть (Н+,Но,К_) - оснащенное гильбертово пространство, р - лера на л (Но) с иогарифм/нескил граЗиенпал Р вдоль Н+. Предположил, что

/ 1Р<*Я: <И*> < ш • СГ)

"о "

Тогда {кС* Шо,ц;«_) .

Понятие обобщенной плотности введено для приложений в квартовой теории поля. Так, в 55 третьей главы с помощью обобщенной шиятюг-ти построена мора Нельсона эвклидовой модели типа е1п-Согс1огь Тот факт, что при определенных условиях логарифмический 1рйдионт мэры является обобщенным градиентом, использован в 54 в-гс^юй главы при доказательстве теоремы о единственности меры с заданным логарифмическим градиентом.

В тротьом параграфа приведены условия, при которых зядянное отображение р:1Г..1Г является логарифмическим градшнтом некоторой меры на К". Очевидно, что условия

is I

теоремы Пуанкаре [32, с.2221, при которых р(- )«=grad In р(•),

пдось иедостаточни, т.к. из ник нв'слвдует, что р(- kl,' (Нп).

i

Теорем/ I.3.1-1.3.3, доказанные в монографии I2G), приведена для полнота изложения. Из них выведена теорема ! 1.3.4, согласно которой, если ß(-)=grad In р(•), р удовлет-■ воряет локальному .условию Липшица и вне некоторого шара (ß(l),S)Rn +ц<а<0 , то р(- )еЬ* (R"), причем логарифмический градиент меры ц с плотностью р равен р.' Теорема Г.3.5 дает аффективный способ оценки моментов мэра по ее логарифмическому градиенту. Эта теорема используется дм доказательства слабой компактности семейства мер в параграф« <Vnn третьей главе для доказательства суццствования Функций ¡Ивиигера »моделей типа otn-Cordon.

Параграф 4 содержит один из основных результатов диссертации - условия, при kotojuik заданное отображении ¡1 шшштся логарифмическим градиентом .некото/юй мерк.

Teopoua 1.4.1. ПреОполохил, шло дм <жо(1рахетьи ¿;Х*,Х лохно указать обретите наллутр^кцив штрернбные onepmupi

Л А Л.

К, В , Пг : Х>Х, тише, что выюмшпея cjttJi/xvfue условии:

1) сужения К и R на И суть саеосопраженние оператора, причал, если icX*, по ПКг1еХ* и К1,5Г'К1, Я,Ы(:Г)еН;

2) сушение ПК' на Я есть ядерный оператор, орптарлированние собственнее беторн Г( ,Гг,... которого щчиюЛлепип X*;

3) vticK 6t>mo}j>iae лом» & {at,...,an) : =

ri n

£ <A ( £ n, tv) ,f >Г ¡/t7(ie.uwßnjw,tfi «шиы/олу

j-t hl J i

условию Ятчмца и печкчщгииыю;

4) при г,а)

is

вир «AW.RJÜO : fcX*. |И|>г ) -a> ! (в)

5> существуют константы o>0 и эе>0, тате, чпо vfeX*

BR2KA(i)f < c(1+»Kff) t (9)

Тогда справедливы следукщш утверждения:

1. Для любого натурального п и при лх>бом случайном векторе го с распределением v стохастическое уравнение в линейной сОолочке \ векторов lf.....ln

I(t) - Го4 J* Е<А(1(В)),Г>1.<18 + /Т W(t) (10)

I

имеет сильное решение х (t,v,u). Эпо решение единственно, n.M. непрерывно и uteera n.M. бесконечное бродя жизни. Процесс xn(t,v,ü)) - однородный и марковский. Его переходная вероятность при добыт t>0, хоеКг> и определяется по формуле

Pn(t,xo,&) = xjt.ö,, ,ш)еС> .

о

Функция Р„П,хо ,G) стохастически uenpepißm по t, удовлетворяет условию Феллера и измерима по (t,ro) .

2. Уравнение (10) имеет единственное стационарное решение, начальное распределение п^ которого определяется по формуле

1 Т

Jy(x)dn (х):« lim -T-J0liy(xn(t,v,u))dt , X т-®

где измеримая огрсвасчанная функция у:Х^-.Н и вероятностная

мера V на * (Хг) щхмзволыш. Kep i шп сшцианарна в пол

смысле, что VCс~в(Хо), Vt>0

J Pr (t,X,C)rlltln(r) = IDn(C) . X

il

3. На гильбертовом пространству Но, которое получимся пополнеююл X* по корде Н1„:=!1К'1Ь определена радонлва верошюстюя * ера га, проекция которой на каждое Х^ является

, слабой предельной точкой селейсшва лер на л (Xf) вида -■"тк^л'-) к=0,1,... , где VydC £ <у,Г >Г .

Пера m имеет сильные лохенти всех' пщМкоЪ.

4. Ifepa ш дифференцируема по мСыу направлению из пространства H+CH0, получающегося пополшшел просщюжжва X* по норю || ■ У+ * • 10 ■ '

5.. Логарш'личпская производная pf дерм' гп. по направление

fGH+ удовлетворен перавегюпву

У pf(h)zto(h) < -е|*В»-J (Upof)Ati(li) (11)

II Н

о о

Зямвтим, что все условия тооремц Г касаются только своИст» сужения отображения А ля пространство Х*сХ. В своч очеродь, ато сужение однозначно определяется обобщенной. . шотностьв

t

3feX* р(х)exp f <&(tx),x>dt , (12)

о

о которой шла речь в 51.2. Следовательно, творима Т.4Л указывает способ восстановления мори по ее обобщенной штотноста. В явной <5ормо этот способ определяет

Теорема 1,4.2. Пусть диффереиищщежая <$уш<ция р:Х*.Р+ гаонова, что отображение A:=grad р удовлетворяет уело вили г.еоргхн 1.4,1.

Тогда!

I) Иа л(!10) су\фспвуеп ргдонова Cepoivr,'H(,c.miu:&i .¡■■¡¡а о, дч^еренцнруелам по всел наирпвлегими и.ч eiuiitfeji юба пространства Н+.

iS

Z) Логарифмическая производная леры m удовлетворит

неравенству (II). '

3) Для любого ПсМ существует последовательность нжуралышх

чисел по=п<п1<п2<.., такая, мяо проекция юп дёры m на

¡юнеч1ю.юрное проапранство *Х виршаемсм через р по формуле

\ 1 ' ' mn(&) = lin — Jp(x)dK , (13)

к-»¡О к g

еде G - произвольное иялерилюе лножество из гсХ,

Ск = txtrc X : те ïcG } и ск = J p(x)dbt .

1С X А .

Замечание I. Формулу (13) можно сравнить с правилом Фейнмана, согласпо которому для вычисления интеграла от функционала F:CtO,1]-.R надлежит найти

lim / ?(<р(У,,...,yn))Hy,...dy„ ,

»«If

где <р - ломаная, соединящая точки (0;yt), (1/(п-1 );уг),

• ■•I (1 . В формуле (13) вместо ломаной используется

частичная сумма ряда по ортогональной системе i,»!,.....

т.е. Ф(У.,....Уп»У,Х,+...+УлГи -

Слвдущая теорема устанавливает условие, достаточное для того, чтоб« имело место ровэнство р=А (mod га).

Теорема 1.4.3. Пусть выполнятся условия теоремы 1.4Л и для JMÄtr qçX* и г>0 справедливо равенство

lim вир I ( A^xj-Ain r),q)o| = О , (14)

гОе Vy,zX %j = i<y,tk>tt .

k = я

ТоеОа бля m-почт/ ßce.r hctJiÈ ß(h)= 1 Jjb A(x)i) .

" >aо

■адшп'он б пункте 7.2.Б

Замечание 2. Условие (14) обе монографии [31, а такав в рнбо+'е [331, в которой оно называется условиям "слабой зависимости от далеких НОрОМеШШХ.". 1 , '.

Во второй главе Д№1фервШ(Ируемие - мары трактуются как шроятаостнш распределения значений стацйояарша процессов. Ш правилу Нельсона и Фукуммы 120, ¡231 логарифмическому градиенту мори ц ставим в соответствие стохастическое уравнение, рошепиэ которохи -с начальным' распределением ц стационарно. При этом разным морам с .'одним и тем жо логарифмическим■ градиентом отвечает одно и 1м же» уравнение. Следовательно, вопрос о единственности меры.'с заданным логарифмическим • градиентам сводится к иощосу о единственности стационарного решения соотввтствущого стохастического уравнения. Щюблома сущосгвопнния тоже получает нароатностну» интерпретацию.

Обозначим £(•) какое-нибудь решение стохастической) уравнения в пространства X, ооотввтствущв1"о мере ц на л(Х). Тогда при определенных условиях УФ.ФсЬ2 (Х,ц)

1

<Т(х)Ф(х)й11(2) = ил — м / ПН£(Ш®(£(1>)<и • СЮ)

X Т-.00 5 о

Следовательно, интегрирование но мэро р т:гот бить выполнено методом статистических испытаний. Кроме того, отображение ®(-Ь'Ш(-)) устанавливает изомо[х[жзм - мо^'ду Т/ (Х.ц) и гильбертовым »¡хютрчлогвом В. случайных процессов. При лм» изоморфизма линейным операторам, определенным в Т/(Х,||), соответствум- линейный нриоСрнноннния случайных щя^цессон из

Различные действия со случайными процессами, заданными, на некотором вероятностном пространств» о фильтрацией, составляет т.н. стохастическое Исчисление [341. Его часть, соответствушум в указанном выше смысла . операторам в Ь*(Х,р.), мы называем по аналогии с методами Хависайда стохастически* операухонныл исчисление*. В нем используются идеи и метода исчисления Мялдявэна (см., напр., [341) и ТО-анализэ Хвды С351. Поскольку пространство случайных процессов 3 и действия с его элементами определяются непосрздственно по логарифмическому градиенту р, в ряде задач можно миновать а та и восстановления меры но р и использовать вместо 1*(Х,ц) сразу пространство 3. Именно твким образом в главе III стохастическое операционное исчисление применяется в квантовой теории.

В параграфах 1Г.1-П.З описан путь от дифференцируемой мари ц на (X) к энергетической форме

(и'(х),К^'(х))йр(х) . (16)

X

А А

от нее ---к оператору Ь, для которого (Ьи,у)=к(и,у), и

" Л

оубмнрконской полугруппе С и =ехр(И.) в Ь (Х,ц), далее - к диффузионному процессу { в X с; переходной вероятностью Р(1,}1,С)=Рго"Ь{ Ш)ьС|?(0>=й >, тиной, что УГсС(Х)

Т^Дх) = Г КЮГ(г,х,(Ц1) (17)

X

и, наконец, к стохастическому уравнении

£(*> = .г ' К?Р(Нв»йв + 1> -ГГ , (18)

■ I?

решение котчцк/го при условии, что вероятности->е распределение равно (д., стшиокчрно.

В случае, когда X - . конэчноморпое пространство, отюа1шая вние схема обоснована результатами работ [36- 391. На бесконечномерный случай эти результат» обобщен» п работах [40, 41, 19, 25, 42, 7. й, 9, 431, которым мы следуем в

т~з. ■'.•'. .

Параграф 4 содержит ряд результатов, которне относятся к числу основных в данной диссертации. Здесь доказана .тооремч 11.4.2 [571 о существовании и единственности сильных решений стохастического уравнения (18) в гильбертовом пространство на всем интервале [0,® [ значений времени, При этом накладывается стандартное ограничение не более чем линейного роста коэффициента снося К*р(-), что важно для приложений в квантовой теории.

В 'теореме II.4.3 1571 указаны условия, при которых уравнение (18) имеет стационарное решение. В теореме П)4.4 157, 58) сформулированы условия едияствешмртй стационарного решения и справедливости формулы (Т5). Теоремы II.4.5-11.4.8 [571 описывают свойства инвариантных мер. На основании этих результатов доказана следующая теорему о единственности вероятностной меры с заданным логарифмическим градиентом.

Теорема 11.4.9. Допустил, что верожясхялнш лерн ц и цу на .«(Н) дифргрвнцируелн вдоль некапорого бгжйу платного_ в II 'подпространства X, причел у&еХ и 1=1,2

Ва8*!= .рц^т)1^(К) < о» .

Н

Обозначил Я пополнение X по норле

Я-Вг. ^ 1-ИГ+И-Н»

гг

и пусть Н+ образует Слеш? с К освещение Н : ■-•./' Н^сНсН,- . н=кн, к,=кн.

...*■". т, • • - ■ т

Ирэдпалоша, что логари^мнеешэ градшит мер совпадает той ц. с :шле[чии* апобрах&ше^ - А пространства Н в щющшетво Н_, обраиуюфе влости с Н+ оснащении Н:

К+сКсН_, Н+=Л!> Н=ЛС_ .

Цопустм, гютипц, что отображение А локально удовлетворяет условию Липшцр и щи тноторол С>0 и (ц^у-тмш всех и,Ус11 отображение А удовлетворяет условию

Тогда .Н,^- . • • \

Таким образом, в параграфе -I предложен хнесколько иной, чем в' первой главе метод рошоняя задачи о "восстановлении мори по он логарифмическому гредкшггу. Эта мора строится как инвариантной начальное распределение р для уравнения (18). Следовательно, вместо интегрирования но маре р. ми можем пользоваться правой частью формулы (15) и анализ в Г1 (Х,р) замоидтъ исследованием случайных процессов,вида ®С4 )) при всевозможных (Х,ц). Так и §5 од приходом к

шоп юятчес колу опероционналу исчислению, суть которого (»стоит в следущам.

Пусть 1 ♦ С (1) - случайный процосс в X. ООозаачим 7.(Х,р,С) пространство кошишкешзпачшх случнШшх щмдэссов вида X

С^О)"««;^)) , гди исЬг (Х,|0- Предположим, что процосо С выбран таким образом, что в гцметранотио Х(л,|1,Г) можно определить скаляриоо 'нроизшдннии

2.3

- Um -7- MJ ü(C(D)»(C(t))<it , (19)

TiCO "

НрИЧОМ

= f ü(r)v(s)«Jtita> - Oi,v)L' . (20) X

Например, С может бить стационарным процессом,' дли которого при всех t и лшбом Аел(Х)

Prob { C(t)cA > « р(А) . (21)

Равенство (20) покязивает, что отображеиио г нр к';тр;шотв;-Г Ь (Х,ц) в Z(X,n,C), заданное равенством ^и(-) = =u(C(t)), есть изомор^лзм. Следовательно, г - , взаимно однозначное отображение. Кроме того,

1 г u-v = Си • Ь . . (22) ■ -

Существует много щюцессов, для которых справедливо равенство (19). Следовательно, выбор г должен бнть уточнен. Для этого заметим, что обычно оцнрициошюе исчисление строится для того, чтобы упростить Формулу, опре делящую действие того или иного конк[ютного отерчторн. В качестве ' такого оператора мы выберем генератор мштчтьжпу» замкнутого расширения * энергетической J'>j>mh 1

*(u,v) =» J №и'(1>.т'(х)),Д1(х) , (23)

X

где X=H=X*, ц - полная вероятностная мера, дтМррянцируомяя вдоль коду плотного в П iwibflepToBa щюстрянеша Hf, Q -положительный ядерный оператор.

Про дно лежим, что мера (.1 имоэт слнбыо моменты второго порядка. Тогда кчжднй процесс, нос< >ции£тнн«инй <• ~ ,

24 ' ;. ; является. слабым решением уравнения

£(0^Х53:Асе))<1в V/;Э », (24)

гдь 3»/о~ и р - логерифмческий градиент меры- р. • ОэьокутЪсть ретанкй этого уравнения обозначим 7,{*). ■ Если С<:7,(*) г стационарный прс{десс, ТО >Ф,веЬг (Н,р)

,' 1 ^ , (25)

и уц,усС'(Н,П) '

*(и,7) - М / [ С^С. + С.<1С0 ] , (26)

ЗД' С,.^(^^(Ш)) ..;'•' Здесь в правой части фигурируют стохаотичосяио интегралы по сомимкртши'алшм ^; ,иТеория таких интегралов изложена в монографии ГЗИ. ;''..'." V ■."'; :

Обозначим лшюВныЯ опоратор, который каздому

непрерывному семаыарткнгалу ставит в соответствие его часть с локально ограниченной ■вариадаейд.^Обозначш £ генератор фюрмьг *, положим • Сг(*){»?(?(*)). '>:''.и, ''пусть.' *' - оператор» • такой, что Тогда ■ ' " '

Йд)») " П ' (27)

Обозначим опаратор, такой, что •

(20) следует, что

. (29)

где 1,:=(С.З"г1)„ и .... ь'г'к-й^с'.- . - случаШшй процесс, •

соогшгстнулдай логарифмической производной рг Мари ц вдоль

2 6'

1. Оператор э* , сопряженный к а! , определяется формулой

*х = - - (30)

Обозначим Г ^Х^,... - базис в Н, ортонормированинй относительно скалярного произведения Тогда

А 1 03 А .

*СГ - т Е л* ат Чт . (31)

п= * п п

По формуле Комерона-Мартина-Скорохода ми можем определить совокупность случайных процессов

:= вч> [/ рг(С(гНвГ)йв ] . ' ■ (32)

Тогда т.н. Б - преобразование Хидн

(ЭТИЛ := / ?(Ы-1)йц(11) (33)

Н

принимает вид

С, - (БС,.)«*)^^^ • (34)

Таким образом, вместо пространства Ь2(Н,ц) можно использовать совокупность стацнонэрпнх случайных процессов (С,! РсХ'(Н,ц)), на которой определено действие операторов (27), (29), (30), форма Дирихле (25) и й- преобразование (34).....

Если процесс £ не яаляотся стационарным, то формулы (2в) н (34) нужно зиме пить следупцими •

*(и,т) - - 11ю И / Г С^ + 1

Т-,С0 о ••

(35)

1 г

. бср = ню -ту- и / н (\) сг (г) (11 . (36)

Т-.С0 о

В терминах "шродней" производной

а , хП+ЛП-гП) , , — х(1) := 11т И -кг~,--г (37)

(11+ д..,»* I- м 1 Л

ге

(¡о[>мулы (27 )~(30) принимают вид

■■л«'. (1 л

£Ь ('Р. (38)

• -' ' /

л , . а а ..

л, , а а а

, <?Х - ^ • — -Сг - С- —- 7- £ -Сг ' <41> 1 ' т+ г: * ан <и+ г

В заюшчеюю второй гляш в §11.5 описана связь стохастического ; опорпционного исчисления с исчислением Мнллявана и Ш-аналнзом »да. \

Н третьей главе уточнено СООТ1ЮШОШЮ моаду 1>акуумкиш. морями, трамп <1ейнмша- Каца и дарами Нельсона. Показано, что каноническое описание квантовой. систем« штат Сыть реализовано в вида стохастического операционного исчисления на броуновском дашопип со сносом. Дня мори на траекториях 'г 11 ко. з процесса цолучоно представление в виде-интеграла по море Вшюра, аналогичное тому, которое используется в теори» ноля для построения мэрп Иольсона методом мультипликативных функционалов. Поквзано, что в случае свободного скалярного ноля мора па траекторинх соотватствуицрго броуновского движения со сносом доощюдолнвтсн до - мери Иольсона. На основе втих результато»' сформулирована динамическая гипотеза, согласно которой обобщенная ■плотность »юры Нельсона ровна схр .'/(•), гди -'(■) - функционал классическою !)икладо«а дейегтш. Докнзино.что для кэдилой тш!а п1ц-Саг<1оп

zr

мера с такой обобщенной плотностью сущвстнуат при произвольной размерности прострапства-вромснм.

Примечательно, что с этой мерой, в свою очередь, ассоциирован стационврний диффузионный процесс. Поэтому формализм мер Нельсона так же, кяк и канонический может быть представлен в виде стохастического операционного исчисления.

В }§ III.I и III.2 этой главы описана матоматичоская структура канонической квантовой теории, (формулированные в $111.2 аксиомы позволяют вютчить в теорию результата Араки (161 и Гельфаяда 1151, согласно которым состояния канонической квантовой системы являится элементами пространства Ь*(Х,ц) с вероятностной квазиинвариантной мерой ц. Эта мора называется вакуумной. Ее свойства описаны в III.3. В частности, ми доказываем, что мера ц даНюрешсируема и ее логор»1мнческие производные принадлежат bz(X»VL) - Ранее в то свойство, фактически, постулировалось (ср. 119) и 1441). В

А

III.3 показано таю®, что оператор эволюции Н канонической квантовой системы порождается замыканием энергетической форм«, отвачвпцей мере р, и, следовательно, является опораторсм Дирихле. Близкие утверэдения (без доказательства Зашшвемости энергетической форш) содержатся в работах 145, 461 (см. также (47, о.554, 55G1).

Результата III.3 позволяют прикопить в канонической квантовой теории стохастическое операционное исчисление на диффузионном процессе, ассоцнир-жатюм с Fi. Однако, мера ц, н следовательно, л П[юстранство l/(X,|i), обычно неизвестны. Волее того, в отличие от стохастического квантования, в задачах канонической квантовой теорш . обичю неизвестен и

лосарИ'Цмичжжий градиент миры р. Точнее, он подлежит определению по решению уравнения Шредингера для основного состоянияТаким' образом, в каноническом квантовании воаникам Два проблемы [5Т, 52, 561 : ■

1) гш ¡юданнолу вирахению дли классической анергии системы шаТти логарифличесрий г;хх)ие>т ванууяшй лери*

2) па логарифмическому ерадиету восстановить баккумщро меру.

Стохастическое операционное исчисление позволяет свести ати проблемы к одной [551 :

по -заданному выражению для классической энергии система набгш диффузионный процесс* асссщиировашсый с II. В § III.4 ш даом решение этой проблемы в случае конечномерного конфигурационного пространства X. Получается теории, во многом сходная со стохастической механикой Нельсона . Основное различие заюшчаетса в интерпретации переыошюП, используемой для параметрического задания траекторий случайных процессов. В механике . Нельсона предполагается, что она гфедставляет реальное время. В нашем подхода эта переменная - некоторый вспомогательный■параметр типа компьютерного времени в схеме стохастического квантования. Реальное и[юми появляется у нас в виде второй переменной при рассмотрении нестационарных состояний. Поатому трактовка да стационарных. состояний в стохастической механики и и предлагавши какя подходе существенно раалпчли.

В 5111.4 показано, что , вакуумная мэра шшштся распределенном значоюлХ процесса х(I), определяемого из системы стохастических уравцинла

SL9

dX, - (h/Zl^) Pk(x)dt + (Ь/^)1'2^ №=1.....П) (42)

(43)

* .-».. • c?U(x(u))

?k(x(e)) - pk(x(0)) + (2/fi) / ——- du +

вр,(5(и»,' " + J E (f/«4>"4 -Ts;--dw (u),

О j»* к

где U - потенциал взаимодействия частиц системы, t *

n (t) » J Е («ч /и.) О. Ь. (ß)th».(e) V (44)

О i-i 1 ■ '

bk (В) - ßk (i(8)) ,

ОД - (h/2)bbk +(JB/f,2) [ ílьк - I/v] (45)

и í оператор, заданный формулой (27) или, что эквивалентно, формулой (38).

Для решений системы (42), (43) справедливо равенство

Prob { x(t( if^Mlj } * '

Т-е ^ ^ (46)

-lira J" eipí-d/h) / U(T)(e))do ldP.(T)(.)) . I*" a L -7

где Q = ÍTJ.-IS .....ift^cQ,) .

Такие формулы при различных j,it.....г (Q(I...,Q задают

вероятностную меру |i па C(R,En), порожденную стационарным • ^ -»

процессом !(•). Эта мера определяет х(-). Ее вид во всех отношениях сходен с мерой Нельсона эвклидовой квантовой теории поля. Построение меры Нельсона как моры на траекториях стационарного диффузного процесса было сделано ранее только в случае системы линейны*, стохастических; уравнений 1481.

Волновая Фуню ум основного состояния рассматриваемой системы представлена и 12(Вп,ц) элементом Другим

волновым функциям: соответствуют кривые в Lz(Rn,(i). При преобразовании a:<p(x,t) <p(x(i),t) они переходят в кривые в пространстве случайных процессов Sfa(L (R ,ц)). Уравнение, Шредингера в пространство S имеет вид

^ í(t,a) + (1/1)^ %(Л.г) = 0. (47)

Опо одинаково для .любой квантовой системы. Состояния

конкретной системы определяются теми решениями уравнения

(47), которые в каздий момент времени t являются функциями

данного процесса х(а). '

■f

Зависимость от x(i) в (47) явно видна в случав, когда \

Kt.t) = e-,*"h ít;(a) .

Тогда из (47) следует, что

íc(t) = íK(0)-(E/h) S%Q ljB)ÜB +

(48)

1 n „ '

+ J E ckíE(B)d np . 0 k-i

где кр xk(-) обозначает мартингальную часть процесса xk(-)>

Заметим, что (48) - ато обыкновенное стохастическое уравнение. Следовательно, оно предпочтительней для приложения числсшшх мотодов, нежели стандартное уравненно Шредингера в частних производных. Kjxjmo того, описанная bunio техника с незначительней изменениями могот бить приспособлена и к случаю, когда конфигурационное пространство систем!! на IT, а никого роо многообразие. Слодоиатольно, ураткжкн типа (4fi) праишиаа! ддн описания

зг

состояний квантовых систем со связями.

Подход, основанный на' системе стохастических уравнений (42), (43), применим в канонической квантовой теории ноля. R ней аналоги систем (42), (43) предназначаются для построения вакуумных мер, определявших представление канонических перестановочных соотношений н вид гамильтониана (521.

Подход, основанный на формулах тала (4G), 'Применим в эвклвдовой теории поля [551. В ней аналога формул (46) можно использовать для построения меры Нельсона, моментами которой являются евклидовы функции Грина (функции Швингера).

Параграф III.5 содержит один из основных результатов диссертации - доказательство существования мори ó обобщенной плотностью модели типа eln-Cortlon [55). Это доказательство реализовало как восстановление мэры по ее логарифмическому градиенту, основанное на теореме I.4.I.

Предполагается, что обобщенная плотность меры Нельсона имеет вид

р(1) - exp M(f) , (49)

где

1 Н . Г { ät{Z,t) ,

rf(X) = - -5- (aec/fi) f [ [ —^—- J +(fi^a?c) jvf(x,t)| +

» _ , , (50)

+ I(i,t) + V(x,t) Jdxdt ,

и

V(z) = otx2 4 g(x) . (51)

Предполагается, что функция g(x) обладает непрерывной по Липшицу ограниченной производной и 0<£(х)<Сх'. Например, можно положить

, ' • V(x|,= oaf + X (1 - сов(ех) 1 , (52)

; V(x) = caf + Я t сов(ех) - 1 + -g—--le"4 , (53)

V(x> . M2"** /(1 + t^"*1) , (54)

V(x) = ax* + X. t 1 - expi-ix2) I . (55)

Обозначим ^, i. i • -. какой шб^дь Оазис в t?°(Rd)n bz(I{d), ортонормирований относительно некоторого скалярного произведения (•.•)0в Ь2(1^). Пусть ~ линейная оболочка иок-шров и лц-и Для любого положим

XntPis-T-.X «4»[i'E VP'Vo] А Е К-Ч,- (56)

где •''■',•'.'■*'• ' ;, •' \ ■

Ptll = exp ^(i) \ (57)

и .•,''.','•.

V J »[£ V* К—«Ч. ■ , (58)

Доказано, что найдется возрастающая последовательность натуралышх чисел , такая, что vpe~0 сущоствует

11я Л, (р) й х(р> ' • • (сз)

Ь^о к

причем Х(') - ачо характеристический функционал вероятностной мзри ¡1 на' пополиония А'0 по норма |] • ¡]0«Л •. • )a Точное, справедлива слодупцио утворадогеш

Тоореиа 1.5Л. Пушь a>-1, ti>d/4, О (d-2)/А u VlcT/O?) ,>г1

Ш Ж (1«1)г--- - (h/sc^if (£0)

А f сСС —Ь А

(Bi) (г) « р + t* + (— гГ j (К~0Г)(г). (61)

Обозначил ж пополнение S(Rd) по норле

Й Иж - P ij-z^, • («).

Тогда

1. Существует вероятностная мера ц «а яг, харантршжинеский функционал которой определится формулой (53).

2. Мера (А дифферещируела по всех направления* из хо и имеет моменты всех порядков. При этом Vie*,

J" ß,(H)*(lll(h) < CSQ-'fl^ (63)

ж

ж

Следствие I. Для любого конечного набора ^.....

¡¡ущщия

(65)

■Jexp [ E ^kib.fik)*

нбдяелсй целой.

Следствие 3. Для любого Х^х функция lueipfii.i)^ принадлежит Lp(*,|i) .

Следствие 3. Отображение X * (• - является

обоварнньи случайным полем над а*.

Теорема III.5.1 показывает, что носитель мера р лежит в т.е. в пространстве B'L'iR*1). Используя определение (61), получаем, что

вцрр Ц с [l ^ а - — ~ (fi/aee )ZA J* £ 1+ t2 +

(66)

■f (xcr/bf ] l*(Rd)

'

11{юстрш1ство, сопряженное к ж относительно билинейной форма

<•,•> двойственности в' (й.'1) и 8(1^), есть, очевидно,

д* —а

В*!^^) » [ 1 + а - — - (ь/эес)гЛ | ^ 1+ ^ +

- , 1-Ь , (6Т)

+ (жсг/м)2 ] Ь'ОГ1) _

В формуле! (ОС) и (67) Ь><1/4, в>((1-2)/4 . Поэтому элемента

пространства В*Ьг(Ег1) при (1=4 - дифференцируемые фуякцшс.

Иными словами, с вероятностью едшшца случайное поле <р

принимает значения В пространстве обобщенных функций первого

порядка сингулярности. Ранее такое свойство било установлено

только в случав свободного поля 1281.

Из неравенства (63) • слодуот, что мера р модели (50)

имеет сильный логарифмический градиент. По теореме 11.3.7

мира ' р является вероятностным распределением значений

стационарного решения уравнения типа (18). Следовательно,

модель (50) моют бить реализована как стохастическое

операционное исчисление на таком решении.

ЛИТЕРАТУРА

11) Авербух В. И. , Смоляное О. Г., Фомин О. В. //Тр. Моск. матем. о-ве. - 1971. - Т.24. - C.T&3-I74.

12) Скороход A.B. Интегрирование в гильбертовом пространстве. М,: Неука, 1975. -231с.

Е31 Далепкий В.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Москва: Наука,1983.- 384с. 141 Богачев В.И., Сшшиов О.Г. //УМН. -1990. -Т.45, внп.з,-С.3-83.

CGI Далвцкий С.Л. .Белополъсквя Я.И. Стмастичоскиэ уравнения и дифференциальная геометрия. К.: Выщя школа. 1989-295с. CT I Albeverlo S., Rocknor И, // Journ. Punet. Anal.

-1990.-7.88,H2.-P.395-437. .

tai AJbeverlo S., Hoctaier II. // Prob. Th. Eel. Fields. -

1989. - V.83. - P.405-434. C91 AJbeverLo S., Rockner U. //Srob. ID. Bel. Fields.

-1991.- V.89, H 3. -P.347-386. Ill) Смолянов О.Г. //Докл. All СССР. -1986. -T.286, Я 3.

fi M f к«**, тыщ*tw-7. '¡л-jjí. -ель-iff.

C151 Гельфввд И.M., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. Внп.4.

Некоторые применения гармонического анализа. . Осна'.г.ошше

гильбертовы пространства. Н.: Физматгиз, 1961. -472с.

1161 Arakl H.//J.Hath.Phye.- 1960,- V.I,N6. -P. 492-504.

1171 Г.яимм Д*., Джаффе А. Математические методы квантовой

физики. Подход с использованием функциональных

интегралов. Пер. с англ. М. : Мир, 1984.- 448 с.

С181 Саймон Б. Модель Р(ф)г эвклидовой квантовой теории поля.

- М.: Мир, 197в:- 358с.

зе

[19J Albeverio S., Hoegh-Krohn В. // Z, Wahr. Verw. Gebiete.-

1977.- V.40.N1.-P.1-57. (20) Blanchard Fh., Combe Ph., Zheng Я., Mathematical and Physical Aspects ol Stochastic, Mechanics - New York: Springer,1987. Г21 ] Мшдал А.Б.У/УФН -1986.- T.I49.- вып.I. -C.3-44. 1221 NtunlKl H. Stochastic Quantization. Springer. 1992. [231 rukuehlina M. Dlrlchlet Porno and Markov processes -

Kodaosha and Worth Kolland, Amsterdam ,1980. C241 ИЬетеПо S., Hoegh-Krohn R. // Ann. Inst. Henri

' Poincare Sect. - 1977.- V.B 13. - P. 269-291. C251 Kusuoka S.// J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. IA.- 1982.-

V. 29.- P.79-95. • [261 Хасьминский P. 3. Устойчшзость систем даМереи- циалышх уравнений при случайна возмущениях hi ч, параметров. Москва: Наука, 1969, 368с. [271 Вахвния H.H., Тариеладзе ' В.И., Чобанян С.А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. N. : Наука, 1985.-385с. [281 Конструктивная квантовая теория поля. Сб. статей: Пер. с англ./Под ред. В.Н.Сушко. Серия Математика. Новое в зарубежной науке. Вып.6. -М.: Мир, 1977. -2G8c. 1291 ГихманМ.Й., Ско{юход A.B. Теория случайных процессов.

ТЛИ. -М. : Наука, 1975.- 496с. [301 Лшщор Р.DJ., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.

-И.: Наука,1979. -G96c. [31J Линдер Р.Ш., Ширяев А.Н. Тоорин мартингалов. - М.:Науко, • 1986. -512с.

С321 Кяртан А. Дийоренцйвльшю исчисление. Дифферецци&иышо

зт '

формы: Пер. с фр./Под ред. Б.А. Фукса.-. Москва: Мир, 1971. - 392с.

С331 Вишик М.И. // УМН -1971. -Т.26, N2. -C.I55-I74. 134) Анулова C.B., Веретенников A.D., Крылов Н.В., Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Стохастическое исчисление // Итоги науки и тега. Совр! пройл. матем. Фундам. направления.-ВИЙТИ, 1969.- Т.4$.- С.5-260. 1351 Хида Т. Броуновское движение. - М.: Наука, 1987.- 304с. 1361 BeurllngA., Deny J.// Ас ta Math. -1958.- V.99, H 3-4. -P.203-224. .

C371 Дингаш E. Б. Марковские процессы. : -Москва: Физматгиз, 1963, 860с .

1381 FukusMna II. // Тгапв. Аюег. Math. Soc. -197t. -7.162. -P.185-224.

(391. Silversteln H. t. // lect. Notes Math. -1974.- V.426.

-p«гет , ■ . ■ ••/•'-. -.•■'■,

(40 J Ют H. /7 Araj. Inet. H. Polncar». Sect.B.-< 1974,- V.10,

' H 1. -P.55-88. 14Ц Groee L. // Amer. J, Kath. -1976. -V.97, M 4. -P.1061-1083.

(421 Bouleau H., Hlrech !*. //J. Punct. Anal. 1986. 7.69, N2. -P .229-259.

1431 AltoeTerlo S., Kuauoka S. Hailioality о 1 Infinité dlaensional Dlrichlet for*» and Koegh-Krohn'a model оt quantun Ilelda // Mémorial volume Jtor R.Hoegh-Krohn. Albeverlo S..Holden H. (edfl). -Caœbrldge: Cambridge Univ. Preee, 1991. [441 Богачев В. И. // ДАН СССР. - 1988. т.299 #1. - С.18-22. 1451 Hertet I. //J. Math. Шуе. -1976. V17, M 7. -P. 1210-1221.

[461 Potthoil J., Streit L. Invariant States on Random and Quantum Pields: y-Eourvda end WKA.// Preprint BIBoS 422/1990, 1990.

1471 Березанский D.M., Кондратьев Ю,Г. Спектральные методы в

бесконечномерном анализе. -Киев: Наук, думка, 1988. С481 Hlda Т., Streit t. /Kagoya Math. J.- 1977.- V.68, N12. ■ -Р.21-34.

(491 Кириллов А..И. // Сдектр. теория в задачах математической физики: Сб. научн. трудов ff 141. - Ы.: МЭИ, 1987. -С.49-51. .

(501 Кириллов А,И. О двух простейших задачах квантовой механики спловшых - М.: ВИНИТИ Дэн, К4Ш7-В90.

-1990. 80с.

(511 Кириллов А.И. // ТШ>.- 1991.- т.87, К Т.- а.22-33. (521 Киршшов А.И. // ТМФ, - 1991. - Т.87, Н 2. - с. 163-172. (531 Кириллов А.И. // Изв. вузов. Математика. - 1991.,- Н 7. -с.77.

[541 Кириллов А И. //Т1М.- 1992.- т.91, W 3.-С.377-395. (551 "ириллов А. И./ЛШ>.-1932. -Т.93, К 2.-С. 249-263. 1561 Kirlllov A.I. У/ Renorroallzation Croup'91. II Int. Corif. JINR Dubna, Rueeia, 3-6 Sept.4 1991. D.V. SUixkov and V.B. Prlezzhev (edß).- World Sc., 1992. -P.66-79. (571 Кириллов А.И. //Теория верятн. и ее иримон. -I993.-T.38,

вып.З.- С. G28-G3». [581 Кириллов А.И. // Матом, замотай. - 1993. -Т.52, К 5. • С.Т52-155.

Jk/uJ-

Подиидмо к псчши ['Sic jtjr

л. ¿Jr___ii'wa fco__