Градуированные структуры Пуассона-Ли и их приложения к исследованию биковариантного дифференциального исчисления на квантовых группах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ' им. В. А. СТЕКЛОБА РАН 1 V ¡УМ

ОТДЕЛ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

На правах рукописи УДК 512.667.7, 514.8

АРУТЮНОВ ГЛЕБ ЭДУАРДОВИЧ

ГРАДУИРОВАННЫЕ СТРУКТУРЫ ПУАССОНА-ЛИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ БИКОВАРИАНТНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ НА КВАНТОВЫХ ГРУППАХ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в отделе квантовой теории поля Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Научные руководители: доктор физ.-мат. наук,

И.Я. Арефьева

Официальнные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, П.П.Кулиш (ПОМИ)

кандидат физ.-мат. наук; A.A. Владимиров (ОИЯИ)

Ведущая организация: Институт Теоретической и Экспериментальной Физики Министерства Атомной Энергетики (г. Москва).

Защита состоится " // » 0КГяГ/°й 1996 г.

се '

в час, на заседании Специализированного Совета при МИР АН

по адресу: 117966, ГСП-1, Москва, ул. Вавилова 42, Математический

Институт им. В.А.Стеклова РАН, аудитория .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического Института им. В.А.Стеклова,

Автореферат разослан ".

Ученый секретарь Специализированного Совета

доктор физ.-мат. наук Ю.Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Диссертация относится к одному из современных, активно развивающихся направлений теоретической физики - теории квантовых групп, оформившейся в основном в трудах Л.Д.Фаддеева, Л.А.Тахтаджяна, Е.К.Склянина, П.П.Кулиша, Н.Ю.Решетихина, В.Г.Дринфельда, М.Джимбо.

Диссертация посвящена изучению градуированных структур Пуассо-на-Ли, заданных на внешней алгебре кокасательного расслоения группы Ли, а также их приложениям к исследованию биковариантно-го дифференциального исчисления на квантовых группах.

Результаты работы могут быть использованы для актуальных в настоящее время исследований, связанных с поиском квантово-групповых симметрий в квантовой теории поля, а также с попытками построения новых физических теорий, имеющих квантовую группу в качестве группы симметрии.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ диссертации связана прежде всего с тем, что несмотря на замечательные успехи, достигнутые в описании физики реальных частиц, в теориях, основанных на калибровочных полях Янга-Миллса, имеется ряд нерешенных вопросов принципиального характера, как то проблема конфайнмента в квантовой хромодинамике, отсутствие последовательного способа введения скалярных полей Хиггса, трудности с Великим Объединением и т.д. Современный интерес к изучаемым в диссертации математическим структурам связан с попытками положить их в основу построения но-

вых физических теорий, выходящих за рамки стандартного описания, но сохраняющих его лучшие достижения.

Замена в той или иной теории группы Ли квантовой группой естественным образом приводит к задаче об обобщении на случай квантовых групп таких фундаментальных дифференциально-геометрических понятий как тензорные расслоения над группами Ли, внешняя алгебра дифференциальных форм и комплекс де Рама. Эту задачу последовательно рассматривает аксиоматическая теория дифференциального исчисления на квантовых группах, предложенная С.Вороновичем. Несмотря на значительный интерес и обширную литературу, посвященную теории Вороновича, в ней имеется ряд открытых вопросов. К ним, например, относятся классификация и явное описание квантовых внешних алгебр для конкретной квантовой группы, вопрос о выполнении для этих алгебр важного свойства Пуанкаре-Бнркгофа-Витта и о совпадении их рядов Пуанкаре с соответствующими классическими рядами. Более того, остается открытым вопрос о существовании других схем некоммутативной дифференциальной геометрии на квантовых группах, отличных от схемы Вороновича.

Развиваемый в диссертации метод градуированных структур Пуассона-Ли представляется актуальным по нескольким причинам. Во-первых, градуированные структуры Пуассона-Ли являются тем квазиклассическим объектом, который позволит включить дифференциальное исчисление на квантовых группах в общую теорию деформаций. Во-вторых, они не только дают ответы на некоторые из

вопросов теории Вороновича, но также позволяют выяснить статус этой теории среди других возможных схем дифференциального исчисления на квантовых группах.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является

1. Исследование градуированных структур Пуассона-Ли, связанных с классическими комплексными группами Ли, а также группой <?£(ЛГ, С).

2. Построение нового биковариантного дифференциального исчисления на квантовой группе 5Х,(2) как квантования градуированных структур Пуассона-Ли на соответствующей классической группе.

3. Исследование структуры алгебр, описывающих биковариантное дифференциальное исчисление на квантовых простых группах. ■

НАУЧНАЯ НОВИЗНА диссертационной работы заключается в следующем:

1. Ведено новое понятие градуированной структуры Пуассона-Ли. Эта структура определена как ^-градуированная скобка Пуассона, заданная на внешней алгебре кокасательного расслоения группы Ли и ковариантная относительно левых и правых групповых сдвигов.

2. Изучены градуированные структуры Пуассона-Ли на С). Показано, что среди всех структур имеются две выделенные, которые являются супералгебрами Пуассона-Хопфа. Высказана и доказана гипотеза о том, что биковариантное дифференциальное исчисление на квантовой группе СЬЧ(М) представляет собой деформацию (квантование) указанных супералгебр Пуаесона-Хопфа в категории

¿^-градуированных алгебр Хопфа.

3. Получена универсальная формула, описывающая биковариант-ную скобку на внешней алгебре кокасательного расслоения комплексной матричной группы Ли.

4. Основываясь на наблюдении, что любое биковариантное дифференциальное исчисление на квантовой группе, обладающее свойством Пуанкаре-Биркгофа-Витта п стандартным классическим пределом по параметру деформации, определяет в квазшшассическом пределе некоторую градуированную структуру Пуассона-Ли, найдены новые би-ковариантные дифференциальные исчисления на квантовой группе

2), а также доказано, что известные биковариантные дифференциальные исчисления на простых квантовых группах 50?(ЛГ) и Брч(М) являются неплоскими деформациями комплекса де Рама, связанного с соответствующими классическими группами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И НАУЧНАЯ ЦЕННОСТЬ диссертации заключается в том, что:

1. Предложенный в диссертации метод градуированных структур Пуассона-Ли существенно облегчает задачу построения, классификации и анализа биковариантных дифференциальных исчислений на квантовых группах, сводя ее на первом этапе к классической задаче о классификации векторных инвариантов группы Ли.

2. Построенное в диссертации новое биковариантное дифференциальное исчисление на квантовой группе 51/,, (2), а также его обобщения на могут быть использованы в модельных построениях

— о —

наряду с исчислением Вороновпча.

3. Полученные в диссертации результаты показывают невозможность построения в рамках теории Вороновпча биковариантного дифференциального исчисления на квантовых группах 50д(А'') и 5р9(Дг), являющегося естественным аналогом стандартного дифференциального исчисления на соответствующей классической группе Ли. Этот факт может служить правилом отбора физической модели, имеющей квантовую группу в качестве группы симметрии. С другой стороны он указывает на необходимость поиска новой теории биковариантного дифференциального исчисления, в которой бы все простые квантовые группы выступали равноправно.

4. Найденная в диссертации общая формула для биковариантной ¿^-градуированной скобки может быть применены для построения и анализа биковариантных дифференциальных исчислений на важных для физических приложений квантовых группах Лоренца и Пуанкаре.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах отдела квантовой теории поля Математического Института им.В.А.Стеклова РАН, на семинарах ЛТФ ОИЯИ. на 2-м Пражском Коллоквиуме по квантовым группам (Прага. 1993 г.). на ХХХ-й Карпачской Зимней Школе Теоретической Физики (Польша. 1994 г.). на международной конференции "Суперсимметрии и квантовые симметрии" (Дубна, 1995 г.), на семестре "Квантовые группы и квантовые пространства" в Международном Математическом Центре им. С.Банаха (Польша, 1995 г.).

По материалам, вошедшим в диссертацию, сделаны доклады на семинарах Института Теоретической Физики и Института Математики г.Вроцлава (Польша, 1994-1995 гг.)

По материалам диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, четырех приложений и списка цитированной литературы, содержащего 119 наименований. Общий объем 119 страниц.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзор литературы, дается характеристика современного состояния исследований по биковариантному дифференциальному исчислению нах-сван-товых группах, формулируются задачи и общий план диссертации.

Первая глава носит подготовительный характер и содержит необходимые для дальнейшего изложения ранее известные в литературе результаты. В ней фиксированы используемые в диссертации обозначения, приведены необходимые сведения из теории групп Пуассона-Ли (§ 1.1) и квантовых групп (§ 1.2), а также кратко изложена принадлежащая С.Вороновичу аксиоматическая теория биковариантного дифференциального исчисления на квантовых группах (§ 1.3).

Во второй главе вводится понятие супералгебры Пуассона-Хопфа, перечисляются все структуры супералгебры Пуассона-Хопфа,

связанные с группой ¿¡^(А^, С), а также выясняется их связь с бикова-риантным дифференциальным исчислением Вороновича на квантовой группе СЬЧ{/V).

Пусть й - группа Пуассона-Ли, АТ*б - внешняя алгебра кока-сательного расслоения Т*<? группы С?, а Л - координатное кольцо функций на (?. Обозначим Мв = Л © ЛТ*С. Известно, что на М.с можно каноническим образом ввести структуру ¿^-градуированной алгебры Хопфа.

Определение 1 Пусть М. - Z2■гpaдyupoвaннaя алгебра Хопфа с ко-■умножением А, коединицей е и антиподом Б. Алгебра ЛЛ, снабженная билинейной операцией { ,}м: М- @ Л4 —> М., удовлетворяющей на однородных элементах

1. градуированному правилу Лейбница,

2. свойству симметрии,

3. градуированному тождеству Якоби ,

4- условию

А{а,6}л1 = {&{а),А{Ь)}м&м, а,Ь Е М (1)

называется супералгеброй Пуассона-Хопфа.

Для = СХ(ЛГ, С) алгебра М.^ порождается матричными элементами матрицы Т = (£,•■') фундаментального представления С, матричными элементами правоинвариантной формы Маурера-Картана

в — а также элементом £, обратным к с^ Т. имеет есте

ственную ^-градуировку: deg — 0 и с^' (в{3) — 1.

Основным результатом § 2.1 является утверждение о том, что вс< структуры супералгебры Пуассона-Хопфа на для С = С\£(ЛГ, С) описываются следующими двумя (т = ±2) двухпараметрическими [а,/3] семействами скобок Пуассона:

{тьг2} = [г+.вд, (2;

{0ь - г1%т2-в1Г^т2 (з;

+ ав2Т2 + а21г 0 Т2 + а3в Р12Т2 + /З^Гг,

{01, - + М2) + + в1е2г\2 (4)

1г1% + 62г1%.

где г± - стандартные классические г-матрицы и 2

а сит т

а'2 =--;-«з =--;-(хф-~ т = ±2. (5

т + аД| т + а-Л Лг

Формула (2) есть скобка Склянина, определяющая на С структуру группы Пуассона-Ли.

В § 2.1 также показано, что невырожденная замена образующих

Т-+Т = Т{(1егТУ

= (6)

не меняет форму копроизведения в Л^р и приводит скобки (3), (4) к каноническому виду с а = 0 = /3.

Параграф 2.2 посвящен интерпретации полученных формул в дифференциально-геометрических терминах. Здесь доказана следующая

Теорема 1 Для заданных значений а = (3 существует, единственная 1-форма Г2 = в , такая, что оператор й внешней производной имеет вид

= (7)

для любой ю € АЛ.о-

В § 2.3 также показано, что скобки с а = 0 = (3 возникают в квазиклассическом пределе стандартного биковариантного дифференциального исчисления на квантовой группе Здесь лее установлен квантовый аналог преобразований (6):

Т = Т{Ш,ТУ, в = в+Нтяв-1 (8)

где с^, Т и Ьтя9 есть ^-детерминант и (¡-спел матриц Т и в, и показано как формулы (8) позволяют получить классификацию всех бико-вариантных дифференциальных исчислений Вороновича, связанных с группой СЬ^И).

В третьей главе, в § 3.1, введено основное понятие градуированной структуры Пуассона-Ли, обобщающее построения предыдущей главы.

Пусть б - группа Пуассона-Ли с алгеброй Ли С/, а Т и в имеют тот же смысл образующих Мд- Алгебра М(_; снабжается двумя различными структурами коалгебры. Соответствующие гомоморфизмы

А/,г М-в —> М-в ® М-в задаются на образующих формулами

= 9/ ® I (9)

Д= ик5Щ)®6кр, (10)

= А^ = А^ = О (11)

где Д и 5 есть стандартные копроизведение и антипод на Л.

Определение 2 Алгебра Л4с, снабженная Z<l-гpaдyupoвaннoй скобкой Пуассона { ,}; Л4в <8> М-с, —> М-в (пункты 1-3 определения 1), удовлетворяющей равенствам

АГ11{а,Ь}Мс = {Дг,/(а), Аг>1{Ъ)}Мо®Мс, а,Ь £ МС- (12)

называетел супералгеброй Пуассона-Ли.

Условие (12) "ковариантности" скобки на М-а относительно левых и правых сдвигов Аг и Д/ называется биковариантностью.

Пусть г € О АО- классическая г-матрнца, т.е. решение уравнения

[г 12, Г1з + г23] + [пз, г23] = -а[А'13, Л"23], (13)

где Л' = д*1"^ 0 е„ и есть обратный к тензору Киплинга и а £ С/{0). В § 3.2 для скобки (12) между нечетными образующими М.О получена следующая общая формула, выражающая ее через классическую г-матрицу и А<1-инварнантные тензоры группы Ли:

{01, М - + Щвъ г]} + тми'2ш< ад (14)

где все ТУ2* являются Ас1-инвариантньши тензорами, лежащими в Б20 ® Л2к0 обозначает симметричную часть £ ® 0).

В § 3.3 в качестве специального примера рассматриваются градуированные структуры Пуассона-Ли на группах СЬ(N. С) и С). Показано при каких ограничениях б^-структуры воспроизводят супералгебры Пуассона-Хопфа из второй главы.

Четвертая глава посвящена классификации однородных градуированных структур Пуассона-Ли, соответствующих классическим сериям простых комплексных групп Ли.

Пусть {е^}^1™^ - базис в 0 со структурными константами е^ -соответствующий базис правоинвариантных форм в Т*(3. Обозначим, через ЪРа матричные элементы присоединненного представления б.

В § 4.1 получена следующая теорема, описывающая биковариант-ную скобку на Л4с для простой комплексной С.

Теорема 2 Для любой простой связной группы Ли биковариантная скобка на имеет вид

(15)

Л}} = + £ С-^ ^ А ... Л (16)

мечетн к

чети к

где г^ = есть г-матрица в присоединенном, представле-

нии алгебры Ли, а соответствующие контравариантные тензоры С, г;] являются инвариантами присоединенного действия. Кроме того, „4 симметричен по верхним и полностью антисимметричен

по нижним индексам, в то время как $ полностью антисимметричен по ...,

Если все тензоры С и г/ равны нулю за исключением и г)^, то соответствующая биковариантная скобка называется однородной. Любая однородная биковариантная скобка характеризуется тройкой (г, С, ?/), где г - каноническая г-матрина, а С и г/ удовлетворяют условиям теоремы 2.

В § 4.2 проанализированы условия при которых скобка (15)-(17) удовлетворяет тождеству Якоби.

Теорема 3 Пусты обозначает решение уравнения (13). Биковариантная однородная скобка (г,£,т)] определяет на М-о градуированную структуру Пуассона-Ли, если выполнены следующие условия:

г)

[С13,С23] = а{Тм3,Л'23]. (18)

и)

а[А-13,А'23Г;л-2 Е « = 0. (19)

(ИМ) К/аА)

Отметим, что в уравнении (19) суммирование осуществляется по всем циклическим перестановкам индексов (/3,5, и) и (а,/1, Л).

Наконец, в § 4.3 теоремы 2 и 3 применены для доказательства основнох! классификационной теоремы

Теорема 4 %) если 6" имеет тип Ан-1, п > 2, тогда Л4д допускает четыре различных структуры Пуассона-Ли, определяемые однородными скобками;

Н) если (3 есть Л\, то Л4с допускает две и только две различные структуры Пуассопа-Ли, определяемые однородными скобками;

пг) если С? является группой типа Вп (п > 2), Сп (п > 3) или £)„ (п > 4), тогда структ,ур Пуассона-Ли, определяемых однородными скобками, не существует.

Подчеркнем, что теорема не утверждает отсутствие биковариантных скобок для В„ (п > 2), С„ (п > 3) и Юп (п > 4) серий, она лишь говорит, что среди этих скобок нет пуассоновых.

В пятой главе на частном примере группы БЬ{2, С) изучаются квантования соответствующих градуированных структур Пуассона-Ли. Основными принципами квантования являются сохранение би-ковариантности и выполнение свойства Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Основываясь на этих принципах, в § 5.1 построена некоммутативная алгебра, описывающая новое биковариантное дифференциальное исчисление на 5^(2).

Теорема 5 Некоммутативная алгебра, порожденная символами в\ I = 0,1,2 и генераторами а,Ь,с,с1 квантовой группы БЬЯ(2) по модулю соотношений 1-го типа:

<9°а = а<9° + <{*цсВ\ в1 а = ±а(?\ 92а = дав'2 - ц\с8°, в°Ь = Ь9а -Ь д2[к1вК вЧ> = 9% = с01 - ц\ёв°, 0°с=с0°, в\- = \св\ 9\-=\с9\ (20)

вЧ=й9\ ' 91с1 = цдв\ вЧ = \<Ю2

или П-го типа

9°а = ав°, 91а = дав1.. 92а = ¿а02,

в°Ь = Ь9°, 9хЪ = ЧЪв\ 9%=±Ъ9\

в°с = св° + цав\ 91с=\св1 - в2с = дс02,

94 = ¿9й + 1иЪ9\ 94= 49х - 94 = ддв1.

и соотношениями

(00)2 = ^6/2, (01)2 = (02)2 = 0, б^2^-^1 Л

в=--= _д20О025

(22)

где ц = д—1 /д, Л = д + 1/^, представляет квантование градуированных структур Пуассона-Ли на ЭЬ(2, С). Квантовый детерминант является центральным элементом для обоих типов алгебр.

Главной особенностью построенного исчисления является совпадение его размерности (числа образующих внешней алгебры) с размерностью классического аналога. Для алгебр (20), (22) и (21), (22) также проверено выполнение свойства Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Отметим, что конструкция бнковарпантного дифференциального исчисления, число образующих которого совпадает с числом образующих классической внешней алгебры, была предложена в нашей работе [2]

на примере 5Ь3(2) и независимо П.Н.Пятовым и Л.Д.Фаддеевым для

*

общего случая 6,Х?(ЛГ).

Во пятой главе также вводится понятие дифференциальной градуированной структуры Пуассона-Ли.

Определение 3 Градуированная структура Пуассона-Ли на М называется дифференциальной, если оператор с1 удовлетворяет следующему правилу Лейбница:

<!{/, Д} = {<1/, /г} + (-1)^ '{/, с1/г} (23)

Там же доказывается, что бХ-структуры в отличие от бгЬ-структур не являются дифференциальными.

В пятой главе также изучается вопрос о выполнении свойства Пуанкаре-Биркгофа-Внтта для внешней алгебры, связанной с квантовыми группами 50,(7\г) и В § 5.2 в предположении о существовании стандартного классического предела по параметру деформации, доказывается, что биковариантное дифференциальное исчисление С.Вороновича на квантовых группах 509(Л/') и 5рд(Лг) представляет собой неплоскую деформацию комплекса де Рама на 50(]У, С) и С). Отметим, что этот факт является прямым следствием отсутствия градуированной структуры Пуассона-Ли на внешней алгебре кокасательного расслоения к группе С), би-ковариантной по отношению к действию 30(Л?", С) или В этом параграфе также показано, что некоторые известные модификации определения "квантовой" внешней алгебры не обладают свойством Пуанкаре-Биркгофн-Витта.

В заключении подведены итоги проведенного исследования и сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложения А,В ,С и Б вынесены некоторые громоздкие вычисления и формулы из глав 2 и 5.

Основные результаты диссертации

Перечислим основные результаты, выносимые на защиту:

1. Введено понятие структуры Пуассона-Ли на внешней алгебре кокасательного расслоения AT*G группы Пуассона-Ли G (определение 2). Изучены градуированные структуры Пуассона-Ли на AT*GL(N,C). Доказано, что на AT*GL(N,C) среди всех структур Пуассона-Ли только две являются супералгебрами Пуассона-Хопфа. Показано, что именно эти супералгебры возникают в квазиклассическом пределе биковариантного дифференциального исчисления на квантовой линейной группе GLg(N). Введено понятие дифференциальной структуры Пуассона-Ли (определение 3). Показано, что супералгебры Пуассона-Хопфа на AT*GL{N, С) являются дифференциальными. Для оператора внешнего дифференцирования получено описание в виде градуированной скобки Пуассона с двусторонне инвариантной 1-формой, играющей роль BRST заряда (теорема 1).

2. Получена общая формула (теорема 2) для биковариантной скобки между образующими алгебры AT*G. Эта формула применена для классификации однородных градуированных структур Пуассона-Ли на AT*G классической комплексной группы G. Доказана основная классификационная теорема 4.

3. Решена известная в литературе задача о построении 3D-биковариантного дифференциального исчисления на квантовой группе SLq{2) (теорема 5). Это исчисление не удовлетворяет известной аксиоматике С.Вороновича. Его характерными особенностями явля-

ются совпадение числа образующих (три) "квантовой" с числом образующих классической внешней алгебры, а также отсутствие оператора дифференцирования, удовлетворяющего стандартному правилу Лейбница.

4. В предположении о существовании стандартного классического предела по параметру деформации, доказано, что биковариантное дифференциальное исчисление Вороновича на квантовых группах 50, (Л'') и 5р,(Л?") представляет собой неплоскую деформацию комплекса де Рама на С) и 5р(А^, С) соответственно. Используя факт отсутствия биковариантных пуассоновых скобок на внешних алгебрах этих групп, также показано, что факторизация алгебры, описывающей биковариантное дифференциальное исчисление на БОд^) и Spq(N), по каких бы то ни было дополнительным квадратичным соотношениям, приводящим в квазиклассике к. биковариантной скобке, всегда определяет фактор-алгебру, не обладающую свойством Пуанкаре-Биркгофа-Внтта.