Метод стохастической асимптотики в квантовой динамике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

На правах рукописи

Печень Александр Николаевич

Метод стохастической асимптотики в квантовой динамике

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2004

Работа выполнена в отделе Математической физики Математического института имени В. А. Стеклова РАН.

Научный руководитель — член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук И. В. Волович.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук О. Г. Смолянов;

доктор физико-математических наук А. М. Чеботарев. Ведущая организация — Физический институт имени П. Н. Лебедева РАН.

Защита состоится: "¿^¡^ЗЦ^^^Р_2004 года час. на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан:

" ио&т мм г

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из наиболее интенсивно развивающихся в последнее время областей математической физики является неравновесная квантовая теория. В частности, в связи с различными приложениями приобретает интерес изучение временной динамики квантовых открытых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром. Типичными примерами квантовых открытых систем являются атом, взаимодействующий с излучением, или частица, взаимодействующая с квантовым газом. Изучение динамики таких систем имеет важное значение для проблемы декогерен-ции, стремления к равновесию, проблемы измерения, задачи управления состоянием атома.

Одной из задач в теории квантовых открытых систем является вывод диссипативных мастер-уравнений для редуцированной матрицы плотности, описывающих усредненную по состоянию резервуара динамику системы, из уравнений Шре-дингера и Гейзенберга для полной системы. Точные мастер-уравнения являются сложными для практического исследования, так как включают эффекты памяти. Однако в некоторых физически интересных режимах точные решения таких уравнений аппроксимируются решениями уравнений, которые значительно легче поддаются изучению. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности.

В режиме слабой связи взаимодействие между системой и резервуаром является малым. В режиме малой плотности плотность числа частиц резервуара мала, в то время как взаимодействие является сильным. Изучение динамики систем на больших временах в этих режимах проводилось в многочисленных работах, начиная с работ Н.Н. Боголюбова, Л. ван Хова, И. Пригожина. Редуцированная динамика изучалась в работах Е. Дэвиса (Е. Davies), Р. Думке Diimcke), Д. Ле-

.•иС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 16Н6ЛПОТЕКА

бовица Lebowitz), Г. Шпона (Н. Sponh) и других авторов, где было показано, что в этих режимах точная редуцированная динамика аппроксимируется квантовой динамической полугруппой.

Более сложной задачей является вывод уравнений, описывающих в этих режимах эволюцию полной системы. В работах Л. Аккарди (Ь. Accardi), Ю. Лу Ьи) и А. Фри-жерио (А Frigerio) было доказано с помощью теории возмущений, что матричные элементы оператора эволюции полной системы, взятые по так называемым "коллективным векторам", в пределе слабой связи или малой плотности сходятся к матричным элементам адаптивных процессов, удовлетворяющих квантовым стохастическим дифференциальным уравнениям Хадсона-Партасарати. В пределе слабой связи квантовое стохастическое уравнение описывается квантовым броуновским движением, а в пределе малой плотности - квантовым процессом Пуассона.

В работах Л. Аккарди, И.В. Воловича, Ю. Лу был разработан метод стохастического предела, позволяющий выводить квантовые стохастические уравнения в пределе слабой связи из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга. Метод использует технику квантового белого шума и основан на аппроксимации некоторых операторов, относящихся к резервуару, операторами квантового белого шума. Одним из основных достоинств метода является то, что выведенные с его помощью уравнения, в отличие от точных исходных уравнений, легко решаются. Метод стохастического предела применялся в работах Л. Аккарди, И В. Воловича, СВ. Козырева, Ф. Багарелло Bagarello), Г. Кимура Юшига), К. Имафуку (К. 1таШкц), К. Юаса (К. Yuasa) и других авторов к изучению динамики квантовых открытых систем в режиме слабой связи.

Цель работы: разработка и применение метода стохастической асимптотики к изучению динамики квантовых открытых систем в пределе малой плотности, в частности, к выводу квантовых стохастических дифференциальных уравнений для оператора эволюции и уравнения для редуцированной матрицы плотности; разработка метода, позволяющего выводить уравнения, описывающие поправки к стохастическому пределу в режиме слабой связи.

Основные результаты:

1. Для оператора эволюции, описывающего динамику частицы, взаимодействующей с Бозе-газом малой плотности, выведено уравнение Шредингера с квантовым белым шумом, нормальная форма этого уравнения и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение; выведены квантовое уравнение Ланжевена и мастер-уравнение для редуцированной динамики.

2. Доказана теорема о сходимости корреляционных функций бозонных операторов рождения и уничтожения в пределе малой плотности к корреляционным функциям операторов квантового белого шума.

3. Построено представление алгебры квантового мульти-польного шума в псевдогильбертовом пространстве.

4. Выведены уравнения, описывающие поправки по константе связи к стохастическому пределу и построено решение этих уравнений.

Методы исследования. В диссертации используются метод стохастического предела, методы функционального анализа, теория обобщенных функций, теория операторов, теория квантовых случайных процессов.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты: разработан подход к выводу квантовых стохастических уравнений в пределе малой плот-

ности с использованием техники квантового белого шума, разработан подход к выводу квантовых стохастических уравнений непосредственно в терминах корреляционных функций, построена операторная реализация алгебры квантового муль-типольного шума, выведены обобщенные квантовые стохастические уравнения, описывающие поправки к стохастическому пределу и построены решения этих уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая

диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные квантовые стохастические дифференциальные уравнения могут быть использованы для вывода транспортных уравнений, исследования проблемы декогеренции, изучения стремления к равновесному состоянию систем, взаимодействующих с термостатом, в теории измерений. Разработанный подход может быть обобщен для изучения динамики Бозе или Ферми-газа на кинетическом этапе эволюции.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела математической физики Математического института им. В. А. Стек-лова РАН, отделения теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (семинар под руководством О.Г. Смолянова), the Centra Vito Volterra (Университет г. Рима "Тог Vergata"), факультета математики Университета г. Вари (Италия), факультета математики Университета г. Палермо (Италия), отделения теоретической физики на физическом факультете Университета г. Милан (Италия), а также на следующих конференциях: Международная конференция "Бесконечномерный анализ и квантовая вероятность"(Левико Терме, Италия, 10-15 июня 2002); Международная конференция "Классические и квантовые процессы Леви: теория и приложения "(Левико Терме, Италия, 27 сент.-З окт. 2003).

Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Объем диссертации составляет 106 страниц. Библиография включает 61 наименования.

Содержание работы

Во введении формулируются цели исследования, а также описывается структура диссертационной работы.

В диссертации разработан метод, позволяющий изучать динамику квантовых открытых систем на кинетическом этапе эволюции. Квантовая открытая система состоит из подсистемы (которую также называют "атом", "пробная частица", "система"), взаимодействующей с резервуаром (излучение, квантовый газ, измерительный прибор) и описывается гильбертовым пространством вида % = 'Hs® fi&, где Tis и "Hr - гильбертовы пространства системы и резервуара, и гамильтонианом - свободный гамильтониан, #д и #R - свободные гамильтонианы системы и резервуара, - гамильтониан взаимодействия и малый параметр (константа связи или плотность частиц резервуара). Конкретный вид гамильтониана взаимодействия зависит от того, какой из режимов, малой плотности или слабой связи, рассматривается. Динамика полной системы определяется оператором эволюции, который в представлении взаимодействия имеет вид

В диссертации изучается разложение

иеЦ/£)^и0(1) + уДиг(г) + О(£) (1)

Разработан метод, позволяющий выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения для Щ^) в режиме малой плотности и уравнения для 11$), и старших членов разложения в режиме слабой связи.

Операторы, стоящие в левой и правой частях в (1), действуют в разных пространствах. Операторы в правой части действуют в пространстве вида где %' - некоторое

(псевдо)гильбертово пространство. Символ "означает, что существует плотное в множество векторов V, Уе > 0 плотное множество векторов 2?е С "Нл и взаимнооднозначное соответствие такие, что справедливо равенство матричных элементов

<Фе, ЕГе(«/е)Фе) = (Ф, [£/„(*) + уДих{1) + 0(е)]Ф)

где

Оператор эволюции удовлетворяет уравнению

где - оператор взаимодействия в пред-

ставлении взаимодействия.

В обоих режимах, малой плотности и слабой связи, гильбертово пространство одной частицы резервуара имеет вид

Свободный одночастичный гамильтониан является генератором унитарной группы действующей на / € как (5{/)(р) — е'й*'^/(р), где и - неотрицательная функция (типичные примеры для нереляти-

вистсвой частицы м а т и ш(р) = |р|: я фотонов):

В главе 1 изложен подход к изучению предела малой плотности для частицы, взаимодействующей с Бозе-газом, с использованием Фок-антиФок представления для алгебры канонических коммутационных соотношений (ККС), то есть представления ККС в форме Гейзенберга, ассоциированного с

квази-свободным состоянием <р№ с двухточечной корреляционной функцией

где о(р),а+(/) - операторы уничтожения и рождения. Это состояние является равновесным гиббсовским состоянием с обратной температурой /? и фугативностью е = е^, где ц -химический потенциал. Малые е соответствуют малой плотности частиц газа.

Параграф 1 посвящен определению гамильтонианов, описывающих взаимодействие частицы с квантовым газом.

В параграфе 2 строится Фок-антиФок представление. Оно реализовано следующим образом. Зададим в Их операторы:

Пусть I : - антилинейное отображение: 4/ = /*.

Определим в Пк := ЦП1 Ф Щ й ЦНг) ® Г^), где Г(-)

обозначает симметризованное пространство Фока, операторы:

АеИ) = а((?+/)®1 + 1®а+(1(3_/) (2)

= а+(С?+/)®1 + 1®а(^-Я (3)

Пусть - вакуумный вектор

Лемма 1 Операторы (2) и (3) удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям

Справедливоравенство корреляционныхфункций

^(«'(Л) • • • о'(/п)) = 4Ш ■ ■ ■ 4(№п)

где |( обозначает либо "+ "либо пустое место.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве Us ® Ил гамильтониан взаимодействия вида

К = №® Л+Ы4Ы -D+® 50,91 G m

где D - ограниченный оператор в fis, D G B(Hs). Предположим, что Vf : (go,Stgi) = 0. С учетом (2) и (3) имеем

V' = iD ® \a+(Q+ga)a{Q+gi) ® 1 + a+(Q+g0) ® a+{iQ^gi) +a(Qi gi) ® a(iQ^go) +1 ® (tQ-ffi)] + h.c.

Этот оператор взаимодействия зависит от состояния газа, в частности, он зависит от параметра е (через зависимость операторов Q± от этого параметра). В пределе малой плотности можно пренебречь некоторыми членами в этом гамильтониане. Именно, можно пренебречь слагаемыми вида D ® 1 ® a(tQ_go)fl+(ti?-3i) и также вместо операторов использовать первые члены их разложений в ряд по е, то есть заменить Q+ на 1 и на у/ее'^111^. В результате приходим к гамильтониану взаимодействия

К = iD®[a+{g0)a(g1)®l + ^{a+(g0)®a+{ie-l3Hl'2g1)

В оператор входит величина параграфе 3 изучается предел малой плотности в приближении врагцаюгцихся волн, то есть при условии D(t) = e~,Uj°D для некоторого Ц) G К. В параграфе 4 рассмотрен общий случай: D(t) = £ e'^Du, где В = Spec(i[Hs, •]). иеВ

Оператор эволюции удовлетворяет уравнению dUe(t/s) ^ г

dt

-a+(St/£go)a(St/£gi) ® 1

р-Иы/е +—а+(^/ед0) ®

® а^е^'Щ - Л.с.}ВДе) (4)

Это уравнение является исходным пунктом при изучении предела малой плотности.

Определим для п,т = 0,1 я из & В следующие операторы в "Ни:

е-»«ы/е

Мп.тЛи,*) ~ -а+(5</е5„)о(54/^т) 01 (5)

Д.,тЛ">*) ■= <8 (б)

и оператор Д^тДу,^) как сопряженный к Урав-

нение (4) в терминах этих операторов принимает вид

В пунктах 3.1 и 4.1 вводится энергетическое представление: МЕ^-Ег-шУе

Яг, «,*) =---а+(РЕ1дп)а{РЕ,дт) ® 1 (7)

, -ы)/е

Вп^{Еь Ег, и, <) =-а(РЕ1дп) ® а^е™2^)

(8)

где Ре = ¿(#1 — .Б). Операторы (5) и (6) выражаются через операторы в энергетическом представлении (7) и (8) как

М = i ¿Е^Е2Мп^{ЕиЕ2,ш,1) Вп,тАы,*) = У ¿Е^В^ЕиЕг,^)

В пунктах 3.3 и 4.3 строится некоторое гильбертово пространство К ив симметричном (бозонном) пространстве Фока Г(£2(К+1/С)) с вакуумным вектором П определяются операторы Хп<т{Е1, Е2, ш, £), X = В, В+, N с коммутационными соотношениями

[Вп,т{Еъ Ег, и, £), В%>т,(Е3, £4, с/, <')] ~ х8{Е1-Е3)5{Ег-Е4)5(Е1-Е2-и)(дп, РЕ1дп)(дт, Р^^Ят)

[Вп,т{Еи Е2, и>, *), ЛГП>.(Я3, £4,«У, *')] = М*' - 1)8{Е1 - Е3) -Е?-и){дп,РЕ1дп)Вт>,т{ЕьЕ2,и-сУ,Ц) (10) Е2,и, <), ЛГ„.,т.(Ез, Е^и',«')] = 2тг6{И - *) х {6т,п,6(Е2-Ег)6{Е1-Е1+и) (дт, РЕгдтЖ1т,(Еи Я4, и V, <')

-б^б^-Е^ЩЕз-Ег-и/Кд», Е2> ы4*Л0}

Операторы В*т(Е\, Е2,Ш,?) являются операторами квантового белого шума [их коммутатор пропорционален ¿(4 — £')].

Одним из основных результатов диссертации является следующая теорема (пункты 3.2 и 4.2). Теорема 1 Для любого I £ N умеем

Нт (Пк.Х^Д,, .. .Л^де,

= {Еь К шик)... Х11т(Е,, Е'„ Ш1, Ф)

где предельные операторыудовлетворяют коммутационным соотношениям (9)-(11).

Определим

I) = I ¿Е^ЕъХп^Еи Еьш,1), X = В,В+,ЛГ 10

Следствием теоремы 1 является уравнение с квантовым белым шумом для ио(^:

Теорема 2 Нормально упорядоченная форма уравнения (12) есть

<Й

\Е)(дп,РЕе-^дт)и0Ц)

+

](Е)^ЩВ1п,(Е,Ш>Щ(1)Вт^(Е,и',1)\ (13) где - некоторые операторы <

вП$и

»п(Е) = 11(дп,РЕе-^9п).

Теорема 3 Уравнение (13) эквивалентно следующему квантовому стохастическому дифференциальномууравнению:

&Е№((\дп)(РЕдт\и

п,т

и/*/

+Щ$(Е)(дп,РЕе-Мдт)&]и$) (14)

где (|/){д|)ы и - некоторые вектор и оператор в К.

В параграфе 5 выведено квантовое уравнение Ланжевена для наблюдаемых Х( = [/^(^(Х ® 1)&о(£)> относящихся к пробной частице:

+ £ (15)

Здесь : - линейные отображения.

В параграфе 6 выведены мастер-уравнение и линейное уравнение Больцмана для редуцированной динамики пробной частицы.

В главе 2 излагается подход к изучению предела малой плотности непосредственно в терминах корреляционных функций.

В качестве исходного состояния Бозе-газа рассматривается произвольное, не обязательно равновесное, квази-свободное состояние ц>1 с двухточечной корреляционной функцией Ух(о+(/)а(<7)) = где Ь - ограниченный положитель-

ный оператор в

Рассматривается гамильтониан взаимодействия в 'Н^Т^И.у) вида

V = ¿[0 ® а+(5о)а(51) - п+ ® а+{д1)а(до)]

В этом случае не используется Фок-антиФок представление и зависимость от е содержится в состоянии Бозе-газа, а не в гамильтониане взаимодействия. Также не предполагается ортогональность форм-факторов

Уравнение для оператора эволюции в приближении вращающихся волн В(1) = В имеет вид

—^=(о® м^) 12

где

^WO - -/(St/ef)a(Stlcg)

В параграфе 1 определяется мастер-поле, то есть операторы рождения и уничтожения t) в симметризованном про-

странстве Фока (операторы квантового белого шума), которые удовлетворяют коммутационным соотношениям

[BS(E, t), Bj(E',t)] = 2*6(t' - ЩЕ - Е)(д, PEf)

Затем с их помощью определяются операторы Njtg(t) :— f dEB^(E, t)Bg(E, t) и вводится понятие причинного состояния (pi на алгебре этих операторов (верхний индекс с от causal - причинный).

Теорема 4 Для любого п € N в смысле обобщенныхфункций на симплексе t\ > ti > • ■ * > tn > 0 справедливоравенство

limm(nfl>gm... nu,9m) = <рш,91 (h)... NUn(tn))

Эта теорема выражает корреляционные функции операторов в пРеДеле малой плотности через корреляционные функции операторов и позволяет вывести уравнение

для U{t):

dUpjt) dt

= {D® Nf,g{t) NgJ{t))UQ{t)

Далее доказывается основной результат этой главы.

Теорема 5 Нормально упорядоченная форма уравнения для оператора эволюции есть

dUpjt) dt

n,m=0,l J

dE^^BUE^Uom^t) (16)

где R^E) - некоторые операторы в fis-

Это уравнение эквивалентно квантовому стохастическому дифференциальному уравнению в смысле Хадсона-Партасарати:

d¿70(í) = áNt(S - l)U0{t)

где N - процесс числа частиц и S - матрица рассеяния для взаимодействия одной частицы газа с пробной частицей.

Отметим, что несмотря на то, что уравнения (13) и (16) различны и их решения определены в разных гильбертовых пространствах, полученные с их помощью средние совпадают. Это связано с тем, что и состояния, по которым производится усреднение, тоже различны. В первом случае состоянием является вакуумный вектор во втором - состояние

В главе 3 разработан подход к изучению поправок к стохастическому пределу в режиме слабой связи, то есть подход, позволяющий выводить уравнения для U1(t), U2(t) и старших членов в этом режиме.

Гамильтониан взаимодействия для режима слабой связи имеет вид

Ve = iV^[D^a+{jg) + D+®a{g)}, geUi

Это типичный гамильтониан квантовой оптики, описывающий взаимодействие атома с излучением. Матрица D описывает переходы между уровнями атома, операторы а+(<7), - рождение и уничтожение фотона, у/Е - константа связи.

В приближении вращающихся волн и урав-

нение для оператора эволюции принимает вид

= [D a a+(t) аМЧФ)

Впараграфе 1 строитсянекоторое псевдогильбертово пространство И', вектор Фо € И' и операторы квантового муль-типольного шума действующие в этом пространстве и удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[С1.(0.^)] = ^7»«(в)(г-«) (17)

где 7„ - некоторые числа, вещественные для четных п и чисто мнимые для нечетных, - п-ая производная ¿-функции. Одним из основных результатов является следующая теорема.

Теорема 6 Пусть д £ С™^), Обвиррд. Тогда для произвольных натуральных п и N имеет место равенство следующих корреляторов (как обобщенных функций из 5"(1КП) по переменным ^

= {Фоф ^ (*,)... £ (¿П)Ф0> + 0(е«/2)

где\ = ±, в правой части (•,•) обозначает индефинитное скалярное произведение в 'И! и квантовые операторы мулъти-польного шума удовлетворяют коммутационным соотношениям (17) с

Замечание 1 Утверждение теоремы можно интерпретировать как следующее асимптотическое операторное разложение:

00

£->0- (18)

п=0

Уравнение для ио(0 в режиме слабой связи было получено в работах Л. Аккарди, Ю. Лу и И.В. Воловича. Оно имеет вид

Нормальная форма этого уравнения есть

^ = - Д+£М*)со(<) -DU.it)

В параграфе 2 выводятся уравнения с квантовым мультиполь-ным шумом, описывающие поправки к стохастическому пределу. Так, уравнение для Ш($ имеет вид

^=- дчжм+(ад*) - в+сшт

Далее это уравнение приводится к нормальной форме ^ = - -

Уравнение (19) для первой поправки к стохастическому пределу является одним из основных результатов этой главы. Решением этого уравнения является

Ш = ВД I & -

где

В заключении перечисляются основные результаты диссертации. В приложении приведены сведения из теории квантовых стохастических дифференциальных уравнений и теории обобщенных функций на симплексах.

Публикации автора по теме диссертации

[1] А. Н. Печень, Об одном асимптотическом разложении в квантовой теории, Матем. Заметки 75 Вып. 3 (2004) 459462;

[2] L. Accardi, A. N. Pechen, I. V. Volovich, Quantum stochastic equation for the low density limit, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 4889-4902;

[3] A. N. Pechen, I. V. Volovich, Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 5 (2002) 441-464;

[4] L. Accardi, A. N. Pechen, I. V. Volovich, A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 6 (2003) 431-453;

[5] A. N. Pechen, Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas, J. Math. Phys. 45 (2004) 400-417.

Отпечатано в 000 «Компания Спугник+» ПД № 1-00007 от25.09.2000 г. Подписано в печать 23.06.04 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,06 Печать авторефератов (095)730-47-74, 778-45-60(сотовый)

» 2 fi 2 3 3

Введение

Глава 1 Предел малой плотности с использованием ФокантиФок представления

§1 Частица, взаимодействующая с Бозе-газом.

§2 Фок-антиФок представление

§3 Предел малой плотности: приближение вращающихся волн

3.1 Энергетическое представление для свободных полей

3.2 Алгебра мастер-поля в пределе малой плотности

3.3 Операторная реализация алгебры мастер-поля в пространстве Фока.

3.4 Уравнение Шредингера с квантовым белым шумом

3.5 Квантовое стохастическое дифференциальное уравнение для оператора эволюции

§4 Предел малой плотности: общий случай.

4.1 Энергетическое представление.

4.2 Алгебра мастер-поля в пределе малой плотности

4.3 Представление алгебры мастер-поля в пространстве Фока.

4.4 Уравнение Шредингера с квантовым белым шумом

4.5 Нормально упорядоченное уравнение Шредингера с квантовым белым шумом и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение.

4.6 Т-оператор для процесса рассеяния одной частицы газа на пробной частице.

§5 Квантовое уравнение Ланжевена.

§6 Уравнения для редуцированной динамики пробной частицы: мастер-уравнение и линейное уравнение Больцмана.

Глава 2 Предел малой плотности в терминах корреляционных функций

§1 Квантовый белый шум, причинные состояния и мастер-поле в пределе малой плотности.

§2 Уравнение Шредингера с квантовым белым шумом.

§3 Приведение уравнения Шредингера с квантовым белым шумом к нормальной форме.

§4 Одночастичный Т оператор и S матрица.

§5 Квантовое стохастическое уравнение для оператора эволюции

§6 Квантовое уравнение Ланжевена и мастер-уравнение

Глава 3 Квантовый мультипольный шум и поправки к стохастическому пределу

§1 Квантовый мультипольный шум.

1.1 Представление алгебры квантового мультипольного шума в пссвдогильбертовом пространстве.

1.2 Связь операторов, описывающих резервуар, с квантовым мультипольным шумом.

1.3 Квантовый дипольный шум на симплексе.

§2 Уравнения для операторов, описывающих поправки к стохастическому пределу

§3 Спин-бозонная модель.

Одной из интенсивно развивающихся в последнее время областей математической физики является неравновесная квантовая теория. В частности, в связи с различными приложениями приобретает интерес изучение временной динамики квантовых открытых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром. В роли квантовых систем может выступать атом или пробная частица, в роли резервуара - электромагнитное излучение, квантовый газ, измерительная аппаратура.

Примерами квантовых открытых систем являются атом, взаимодействующий с излучением, или частица, взаимодействующая с квантовым газом. Изучение динамики таких систем имеет большое значение для вывода транспортных уравнений и нахождения входящих в них транспортных коэффициентов, исследования проблемы декогеренции и измерения в квантовой теории, стремления к равновесию, при изучении динамики атомов в лазерном поле, динамики частицы в квантовом газе.

Важной задачей в теории квантовых открытых систем является изучение редуцированной, то есть усредненной по состоянию резервуара, динамики системы. При этом обычно предполагается, что резервуар находится в равновесном состоянии. Редуцированная динамика описывается мастер-уравнениями для редуцированной матрицы плотности системы или для усредненной по состоянию резервуара временной эволюции наблюдаемых, относящихся к системе. Точные мастер-уравнения включают эффекты памяти и являются сложными для практического изучения. Однако в некоторых физически интересных режимах точные решения таких уравнений аппроксимируются решениями уравнений, которые значительно легче поддаются исследованию. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности, когда либо взаимодействие между системой и резервуаром мало, либо мала плотность числа частиц резервуара.

Изучение динамики на больших временах в этих режимах проводилось в многочисленных работах, начиная с работ Н.Н. Боголюбова [1, 2], Л. ван Хова (L. van Hove) [3], И. Пригожина [4]. Редуцированная динамика квантовых открытых систем в случае равновесного резервуара изучалась в работах Е. Дэвиса (Е. Davies) [5, 6, 7], Р. Думке (R. Dtimcke) [8], Г. Шпона (Н. Sponh), Д. Лебовица (J. Lebowitz) [9] и других авторов, где было показано, что в этих режимах точная редуцированная динамика аппроксимируется решением марковского мастер-уравнения (о квантовых марковских мастер-уравнениях и связи с краевой задачей для уравнения Шредингера см. монографию А. М. Чеботарева [10]), генератор которого имеет вид генератора квантовой динамической полугруппы, общий вид которого был получен В. Горини (V. Gorini), А. Коссаковским (A. Kossakowski), Е. Су-даршаном (E.C.G. Sudarshan) [11] и Г. Линдбладом (G. Lindblad) [12].

Более сложной задачей, чем изучение редуцированной динамики, является изучение динамики полной системы. В работах Л. Аккарди (L. Accardi), Ю. Лу (Y.G. Lu), И.В. Воловича был развит метод стохастического предела, позволяющий эффективно, с минимумом вычислений, выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения, описывающие динамику на больших временах систем, слабо взаимодействующих с резервуаром. Изложение метода стохастического предела содержится в [13]. Одним из основных достоинств метода стохастического предела является то, что выведенные с его помощью уравнения легко решаются. Динамика квантовых систем с полиномиальными гамильтонианами на больших временах изучалась в [14], где была получена так называемая ЛВС-формула для некоторых матричных элементов оператора эволюции.

Метод стохастического предела применялся в работах Л. Аккарди, И.В. Воловича, С.В. Козырева, Ф. Багарелло (F. Bagarello), Дж. Гафа (J. Gough), Г. Кимура (G. Kimura), К. Имафуку (К. Imafuku), К. Юаса (К. Yuasa) и других авторов к изучению динамики квантовых открытых систем, слабо взаимодействующих с равновесным резервуаром. Были изучены спин-бозонная модель [15], модель полярона и нерелятивистская квантовая электродинамика [16, 17], квантовый эффект Холла [18], связь между моделями лазера Хеппа-Либа (Hepp-Lieb) и Алли-Севелла (Alli-Sewell) [19], бифуркации в спиновой релаксации [20].

Изучению вопросов, связанных с проблемой декогеренции и измерения в квантовой теории, стремлением к равновесному состоянию, вопросам взаимодействия атомов с излучением, посвящено большое количество работ (см. например [21-30].

Квантовые открытые системы на алгебраическом языке описываются парой (А, <р), где А - некоторая С*-алгебра и <р - состояние на ней (см. [31]). С*-алгебра А имеет вид А = где As = В (Иs) - С*-алгебра ограниченных операторов в гильбертовом пространстве системы и - алгебра канонических коммутационных соотношений (ККС) или канонических антикоммутационных соотношений (КАС) (в зависимости от статистики резервуара) над гильбертовым пространством одной частицы резервуара Пу = L2(M3). Индексы S и R относятся к системе (system) и резервуару (reservoir) соответственно. Начальное состояние полной системы обычно выбирается факторизованым: ip = tpzгде ujp(-) = Тгр- есть состояние пробной частицы, определяемое матрицей плотности р £ T("Hs), Р > 0, Tr р = 1 [T('Hs) есть банахово пространство операторов в 71$ с ограниченным следом и с нормой Цр^ := Тг(р*р)1^2] и <pZjp есть равновесное состояние резервуара с фугативностью (fugacity) г = и обратной температурой где р, - химический потенциал. Динамика квантовой открытой системы определяется семейством автоморфизмов на алгебре А

Частичным усреднением по состоянию резервуара называется проекция Ро : А —> Ля, такая, что \/А G А, V/? € Т(Н§) выполнено равенство ЪрР0(А) = <р(А).

В операторной формулировке квантовые открытые системы описываются гильбертовым пространством К = Hs <8> Hr, где Hr - гильбертово пространство, в котором реализовано представление алгебры ассоциированное с состоянием сpz$. Это означает,, что существуют морфизм С*алгебр 7г : Ar —> B(1-Lr) и (циклический) вектор Qr 6 Hr такие, что VA е Лк : 4>z,p(A) = {QR,7r(A)ftR) и ?r(.4R)nR плотно в Ur (см. [32]). Динамика полной системы определяется гамильтонианом вида Н£ = Hq + V£, где No = Яз <8> 1 4- 1 <8> - свободный гамильтониан, в том числе Us и Hr - свободные гамильтонианы системы и резервуара, и V£ - гамильтониан взаимодействия. Здесь е > 0 является малым параметром - константой связи или плотностью, в зависимости от того, какой из режимов рассматривается. Явный вид гамильтониана взаимодействия VE и зависимость от е также определяются тем, какой из режимов рассматривается.

Гамильтониан взаимодействия для режима слабой связи имеет вид iy/e[D <g> а+(д) - D+ <g> а~(#)], д £ Чх где D £ В{%s), а±(^) - операторы рождения и уничтожения в пространстве Фока T(%i) (см. [33, 34]). Гамильтониан Ve является типичным гамильтонианом квантовой оптики, описывающим взаимодействие атома с излучением. Для Af-уровневого атома Hs = , матрица D описывает переходы между уровнями атома, операторы а+(д) и а~(д) - рождение и уничтожение фотонов, у/ё - константа связи. Большое количество работ посвящено уже случаю N = 2 (см. например [36]). В дальнейшем будем писать а(д) вместо а~(д). Для простоты обозначений мы не указываем индексы поляризации для операторов рождения и уничтожения фотонов [35]. В режиме слабой связи состояние резервуара не зависит от малого параметра £ и является равновесным состоянием с фиксированными обратной температурой (3 и химическим потенциалом ц.

Типичный гамильтониан взаимодействия для режима малой плотности имеет вид

V = i(D® a+{g0)a{gi) - D+ <g> а+(д1)а(д0)), g0,gг € Ux где D 6 B{Hs). Такие гамильтонианы описывают рассеяние частиц газа на пробной частице. В режиме малой плотности, в отличие от режима слабой связи, состояние резервуара зависит от параметра е и имеет вид ipe,0- Параметр е является не константой связи, а фугативностью, которая при малых е пропорциональна плотности числа частиц газа. Чтобы перенести зависимость от е из состояния в гамильтониан, можно воспользоваться представлением ККС в форме Гейзенберга, ассоциированным с состоянием <p£)Jg. Если Af(g) - операторы, реализующие такое представление, то гамильтониан взаимодействия V£ получается заменой операторов а±(р) на

АПяУ к = i[D ® At(ц,,) АЛ/ц) - D+ ® A+(9i)A(so)]

Детальное описание этой конструкции содержится в главе 1, параграф 2.

Гамильтониан Н£ определяет оператор эволюции, который в представлении взаимодействия имеет вид

U£(t) = eltHoe~itH"

Пусть А £ As - произвольная наблюдаемая, относящаяся к системе. Редуцированная динамика в пределе слабой связи или малой плотности определяется как предел

At := limPq[U^(t/s)(A <8> 1 )U£{t/e)}

E-* 0 где Po обозначает частичное усреднение по состоянию резервуара Редуцированная матрица плотности в пределе слабой связи или малой плотности pt Е T(7^s)) t > 0 определяется условием У A G As- TiptА = Тт pAt.

Мастер-уравнения для редуцированной матрицы плотности системы, взаимодействующей с равновесным резервуаром, были выведены в пределе слабой связи в работах [5, 6, 7, 9]. Там же было изучено стремление к редуцированной матрицы плотности системы к равновесному состоянию.

Редуцированная динамика пробной частицы, взаимодействующей с равновесным Ферми-газом, исследовалась в пределе малой плотности в работе [8], где была доказана сходимость редуцированной матрицы плотности к решению квантового линейного уравнения Больцмана и показано, что редуцированная динамика в режиме малой плотности аппроксимируется квантовой динамической полугруппой. Были исследованы стационарные состояния этой полугруппы и показано, что при некоторых предположениях на гамильтониан взаимодействия, в частности, при выполнении условия микроскопической обратимости, стационарное состояние пробной частицы будет гиббсовским относительно ее свободного гамильтониана с температурой, равной температуре газа.

Изучение эволюции полной системы в этих режимах было предпринято в работах JI. Аккарди, Ю. Jly и А. Фрижерио (A. Frigerio) [37, 38, 39] где авторы доказали, используя ряд теории возмущений, что матричные элементы оператора эволюции полной системы, взятые по так называемым "коллективным векторам", в пределе слабой связи или малой плотности сходятся к матричным элементам адаптивных процессов, удовлетворяющих квантовым стохастическим дифференциальным уравнениям в смысле Хадсона и Партасарати. Сходимость в пределе малой плотности также исследовалась в работе [40]. В этих работах было показано, что в пределе слабой связи квантовое стохастическое дифференциальное уравнение описывается квантовым броуновским движением, а в пределе малой плотности - квантовым процессом Пуассона [41]. Таким образом, было установлено, в каких случаях решения квантовых стохастических дифференциальных уравнений, введенных в [42], аппроксимируют точную квантовую динамику (о квантовых стохастических уравнениях см. также [43, 44]). Исследование связи квантовых стохастических уравнений с краевой задачей для уравнения Шредингера содержится в [10].

Метод стохастического предела позволяет эффективно выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения в пределе слабой связи из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга. Этот метод использует технику квантового белого шума и основан на аппроксимации некоторых операторов, относящихся к резервуару, операторами квантового белого шума, что позволяет вывести в пределе слабой связи уравнение с квантовым белым шумом для оператора эволюции. Используя некоторые свойства операторов квантового белого шума, можно привести это уравнение к нормальной форме, в которой операторы уничтожения стоят справа от оператора эволюции, а операторы рождения - слева. Такая нормальная форма эквивалентна некоторому квантовому стохастическому уравнению.

В работе [45] метод стохастического предела был применен к исследованию редуцированной динамики JV-уровневого атома, взаимодействующего с когерентным излучением, что соответствует атому в поле лазера. Были выведены мастер-уравнения, описывающие динамику атома в лазерном поле и построены стационарные решения этих уравнений для двухуровневого атома и трехуровневого атома в Л-конфигурации. когда переход между двумя нижними уровнями запрещен. Была изучена возможность управления состоянием атома с помощью лазерного поля. В случае когерентного резервуара его состояние не является гиббсовским п вместо явления декогеренцип происходит возникновение квантовой когеренции. то есть редуцированная матрица плотности атома с течением времени принимает недиагональный вид. Показано, что стационарным состоянием для трехуровневого Л-атома является суперпозиция двух нижних энергетических уровней с коэффициентами, которые являются частотами Раби.

Структура диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка метода стохастической асимптотики для исследования динамики квантовых открытых систем в режимах слабой связи и низкой плотности. Это включает разработку метода стохастического предела для изучения динамики квантовых открытых систем в пределе малой плотности и разработку метода, позволяющего изучать поправки по константе связи к стохастическому пределу в режиме слабой связи.

Таким образом, в диссертации изучается асимптотическое разложение

U£(t/e) ~ U0(t) + y/eUi(t) + 0{е) (0.1)

Разработан метод, позволяющий выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения для Uo(t) в режиме малой плотности и уравнения для Ui(t), U2(t) и старших членов разложения в режиме слабой связи.

Название метода отражает тот факт, что он позволяет изучать асимптотику оператора эволюции полной системы в некоторых режимах и то, что уравнения для операторов Uo(t), U\{t), £/2^) содержат квантовый белый шум и, более обще, квантовый мультипольный шум, то есть описываются квантовыми случайными процессами. Отметим, что асимптотические методы [46] широко применяются в квантовой теории.

Смысл символа (0.1) нуждается в некотором пояснении. Дело в том, что операторы, стоящие в левой и правой частях в (0.1), действуют в разных пространствах. Оператор в левой части действует в гильбертовом пространстве Us <8> Mr, в то время как операторы в правой части действуют в пространстве вида V,s <8> И', где Т-С - некоторое (псевдо)гильбертово пространство, отличное от Символ означает, что существуют некоторое множество векторов V G Ve > 0 множество векторов Т>£ £ "Hr и взаимооднозначное отображение тс : Т>£ —у V такие, что УФе,Ф£ Е Т>£ Vu, v G Us справедливо равенство матричных элементов и <Э Ф£, U£(t/e)v <g> Фе) = {и <g> Ф, [U0(t) + y/eUi(t) + 0(e)]v <g> Ф) (0.2) где Ф£ Ф и Ф.

Если ограничиться только первым членом разложения Uo(t), то в качестве нужно взять симметризованное пространство Фока T(L2(R+, /С)), где К+ = [0, со), К - некоторое гильбертово пространство и L2(M+,/C) -гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций / : —>■ /С. Изучение старших членов разложения требует более сложной структуры пространства 1-L'. В частности, оно уже должно быть псевдогильбертовым, то есть пространством с индефинитной метрикой.

В диссертации разработан подход к изучению предела малой плотности с использованием техники квантового белого шума, что включает вывод квантовых стохастических уравнений, квантового уравнения Ланжевена и квантового линейного уравнения Больцмана для редуцированной матрицы плотности. Этот подход основан на аппроксимации разновременных корреляционных функций некоторых операторов, описывающих Бозе-газ, корреляционными функциями квантового белого шума. При этом используется как аппарат обобщенных функций [47], так и аппарат обобщенных функций на симплексе [13] (см. также Приложение). Далее выводится уравнение Шредингера с квантовым белым шумом для оператора эволюции, описывающего динамику в пределе малой плотности. Коммутационные соотношения для операторов белого шума позволяют привести это уравнение к нормально упорядоченной форме, которая эквивалентна некоторому квантовому стохастическому дифференциальному уравнению. Полученное уравнение применяется к выводу квантового уравнения Ланжевена для временной эволюции наблюдаемых, относящихся к пробной частице. Частичное усреднение уравнения Ланжевена по состоянию резервуара приводит к мастер-уравнению и квантовому линейному уравнению Больцмана.

Разработаный в диссертационной работе подход к изучению поправок но малому параметру (константе связи) в режиме слабой связи основан на использовании нового объекта квантового мультипольного шума. Квантовый мультипольный шум, то есть операторнозначная обобщенная функция с коммутационными соотношениями, пропорциональными производным 5-функции, был введен в работе И.В. Воловича [48]. Он является нетривиальным обобщением квантового белого шума, изучавшегося, например, в [49, 50, 51]. В диссертации впервые построена операторная реализация алгебры квантового мультипольного шума в псевдогильбертовом пространстве, то есть пространстве с индефинитной метрикой [33, 52] и выведены обобщенные квантовые стохастические уравнения для U\{t) и ^(t).

Отправной точкой при выводе уравнений для Uo(t), Ui(t) и старших членов разложения является уравнение dUAt/e) —iTr/ / / - х ,

У J = —Ve(t/e)U£(t/e) (0.3) где V£(t) = ег1Ноу£е~ггН° - гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Заключение

В заключение еще раз перечислим основные результаты, выдвигаемые на защиту.

1. Разработан метод стохастической асимптотики для изучения динамики квантовой частицы, взаимодействующей с газом малой плотности, как с использованием Фок-антиФок представления, так и непосредственно в терминах корреляционных функций. В последнем случае предельные уравнения, алгебра мастер-поля и квантовая таблица Ито не зависят от начального состояния газа. В рамках этого метода:

1) найдена алгебра операторов мастер-поля, описывающая динамику в пределе малой плотности;

2) построено представление этой алгебры операторами в симметризо-ванном пространстве Фока;

3) доказана теорема о сходимости корреляционных функций бозонных операторов рождения и уничтожения в пределе малой плотности к корреляционным функциям операторов квантового белого шума;

4) выведены уравнение Шредингера с квантовым белым шумом (2.24), нормальная форма этого уравнения (2.38) и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение (2.48) в случае произвольных, не обязательно ортогональных, форм-факторов.

2. Разработан метод стохастической асимптотики для изучения динамики квантовых систем, слабо взаимодействующих с резервуаром, основанный на использовании квантового мультипольного шума. В рамках этого метода:

1) построено представление алгебры квантового мультипольного шума операторами в псевдогильбертовом пространстве;

2) выведены уравнения, описывающие поправки по константе связи к стохастическому пределу в режиме слабой связи;

3) получена нормальная форма этих уравнений и построено решение уравнения для первой поправки;

4) вычислен вакуумный матричный элемент оператора эволюции для спин-бозонного гамильтониана с учетом второй поправки к стохастическому пределу.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [53, 54, 55, 56, 57].

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, отделения теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (семинар под руководством О.Г. Смолянова), the Centro Vito Volterra (Университет г. Рима "Tor Vergata"), факультета математики Университета г. Бари (Италия), факультета математики Университета г. Палермо (Италия), отделения теоретической физики на физическом факультете Университета г. Милан (Италия), а также на следующих конференциях: Международная конференция "Бесконечномерный анализ и квантовая вероятность"(Левико Терме, Италия, 10-15 июня 2002); Международная конференция "Классические и квантовые процессы Леви: теория и приложения "(Левико Терме, Италия, 27 сент.-З окт. 2003).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю И. В. Воловичу и Л. Аккарди за постоянное внимание и помощь во время работы над диссертацией, Ю. Лу и С. В. Козыреву за плодотворные обсуждения и ценные комментарии, и всему коллективу отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН за помощь и поддержку в написании данной работы.

1. Боголюбов Н.Н., Элементарный пример установления статистического равновесия в системе, связанной с термостатом, О некоторых статистических методах в математической физике, Киев: Изд-во АН УССР, 1946, стр. 115-137.

2. Боголюбов Н.Н., Гуров К., Кинетические уравнения в квантовой механике, ЖЭТФ 17 (1947) 614-628.3. van Hove L., Quantum mechanical perturbations giving rise to a transport equation, Physica 21 (1955) 517-540.

3. Пригожин И., Неравновесная статистическая механика, Меркурий-ПРЕСС, Череповец, 2000.

4. Davies Е. В., Markovian master equations, Commun. Math. Phys. 39 (1974) 91-110.

5. Davies E. В., Markovian master equations II, Math. Ann. 219 (1976) 147158.

6. Davies E. В., Markovian master equations III, Ann. Institute H. Poincare 11 (1975) 265-274.

7. Dtimcke R., The low density limit for an N-level system interacting with a free Bose or Fermi gas, Commun. Math. Phys. 97 (1985) 331-359.

8. Spohn H., Lebowitz J. L., Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs, Adv. Chem. Phys. 38 (1978) 109-142.

9. Chebotarev A. M., Lectures on quantum probability, Sociedad Matematica Mexicana, Aportaciones Matematicas, Vol 14, Mexico, 2000.

10. Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G., Completely positive dynamical semigroups of n-level systems, J. Math. Phys. 17 (1976) 821— 825.

11. Lindblad G., On the generators of quantum dynamical semigroups, Commun. Math. Phys. 48 (1976) 119-130.

12. Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit, Berlin, Springer, 2002.

13. Aref'eva I. Ya., Volovich I. V., On the large time behaviour of quantum systems, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 3 (2000) 453-482.

14. Accardi L., Kozyrev S. V., Volovich I. V., Dynamics of dissipative two-level systems in the stochastic approximation, Phys. Rev. A 56 (1997) 2557-2562.

15. Accardi L., Kozyrev S. V., Volovich I. V., Non-exponential decay for polaron model, Phys. Lett. A 260 (1999) 31 38.

16. Accardi L., Kozyrev S. V., Volovich I. V., Dynamical q-deformation in quantum theory and the stochastic limit, J. Phys. A: Math. Gen. 32 (1999) 1-11.

17. Accardi L., Bagarello F., The stochastic limit of the Frohlich hamiltonian: relations with the quantum Hall effect, Int. J. Theor. Phys. 42 (2003) 2515-2530.

18. Bagarello F., Relations between the Hepp-Lieb and Alli-Sewell laser models, Ann. Institute H. Poincare 13 (2002) 983-1002.

19. Kimura G., Yuasa K., Imafuku K., Bifurcation phenomenon in a spin relaxation, Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 140403.

20. Менский М. Б., Квантовые измерения и декогеренция, М.: Физматлит, 2001.

21. Zurek W. Н., Decoherence and the transition from quantum to classical, Physics Today 44 (1991) 36-44.

22. Gizin N., Quantum measurement and stochastic processes, Phys. Rev. Lett. 52 (1998) 1657-1660.

23. Купш И., Смолянов О. Г., Асимптотическая декогерентность в бесконечномерных квантовых системах с квадратичными гамильтонианами, Матем. Заметки 73 (2003) 143-148.

24. Albeverio S., Kolokol'tsov V. N., Smolyanov О. G., Continuous quantum measurement: local and global approaches, Reviews in Math. Phys. 9 (1997) 907-920.

25. Dodonov V. V., Man'ko О. V., Man'ko V. I., Reduced density matrices of oscillator systems, Journal of Russian Laser Research 16 (1995) 1-56.

26. Холево А. С., О принципе квантовых неразрушающих измерений, ТМФ 65 (1985) 415-422.

27. Belavkin V. P., A new wave equation for a continuous nondemolition measurement, Phys. Lett. A 140 (1989) 119-130.

28. Walls D. F., Milburn G. J., Quantum optics, Springer, Berlin, 1994.

29. Cohen-Tannoudji C., Dupont-Roc J., Grynberg G., Photons and atoms: introduction to quantum electrodynamics, John Wiley, New York, 1997.

30. Davies E. В., Quantum theory of open systems, Academic Press, London and New York, 1976.

31. Эмх Ж., Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля, М.: Мир, 1976.

32. Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, М.: Наука, 1987.

33. Рид М., Саймон Б., Методы современной математической физики, М.: Мир, 1977.

34. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Квантовая электродинамика, Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. (авт. сер.), М.: Наука. Физматлит, 1989.

35. Legett A. J., Chakravarty S., Dorsey А. Т., Fisher M. P. A., Garg A., Zwerger W., Dynamics of the dissipative two-state system, Rev. Mod. Phys. 59 (1987) 1-85.

36. Accardi L., Frigerio A., Lu Y. G., The weak coupling limit as a quantum functional central limit theorem, Commun. Math. Phys. 131 (1990) 537570.

37. Accardi L., Lu Y. G., The low-density limit of quantum systems, J. Phys. A: Math. Gen. 24 (1991) 3483-3512.

38. Lu Y. G., Passage from quantum systems with continuous spectrum to quantum Poisson processes on Hilbert modules, J. Math. Phys. 36 (1995) 142-176.

39. Rudnicki S., Alicki R., Sadowski S., The low-density limit in terms of collective squezeed vectors, J. Math. Phys. 33 (1992) 2607-2617.

40. Frigerio A., Maassen H., Quantum Poisson processes and dilations of dynamical semigroups, Prob. Th. Rel. Fields 83 (1989) 489-508.

41. Hudson R., Parthasarathy K. R., Quantum Ito's formula and stochastic evolutions, Commun. Math. Phys. 93 (1984) 301-323.

42. Parthasarathy K. R., An introduction to quantum stochastic calculus, Basel etc., Birkhauser Verl., 1992.

43. Attal S., Classical and quantum stochastic calculus, in: Quantum Probability Communications X, World scientific (1998) 1-52.

44. Accardi L., Kozyrev S. V., Pechen A. N., Coherent quantum control of A-atoms through the stochastic limit, http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0403100.

45. Маслов В. П., Асимптотические методы и теория возмущений, М.: Наука, 1988.

46. Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука. Физматлит, 1979.

47. Волович И. В., Квантовая динамика и черный шум, доклад на международной конференции по квантовой информации, Университет Мейо, Япония, 1998.

48. Hida Т., Kuo Н. Н., Potthoff J., Streit L. White noise. An infinite dimensional calculus, Kluwer Acad. Publ., 1993.

49. Huang Z. Y., Luo S. L., Quantum white noises and free fields, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 1 (1998) 69-82.

50. Obata N., White noise calculus and fock space, Lecture Notes in Mathematics 1577, Springer, New York, 1994.

51. Азизов Т. Я., Йохвидов И. С., Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой, М.: Наука, 1986.

52. Accardi L., Pechen A. N., Volovich I. V., Quantum stochastic equation for the low density limit, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002) 4889-4902.

53. Accardi L., Pechen A. N., Volovich I. V., A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low density limit, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 6 (2003) 431-453.

54. Pechen A. N., Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas, J. Math. Phys. 45 (2004) 400-417.

55. Pechen A. N., Volovich I. V., Quantum multipole noise and generalized quantum stochastic equations, Infinite Dimen. Anal., Quantum Probab., Relat. Top. 5 (2002) 441-464.

56. Печень A. H., Об одном асимптотическом разложении в квантовой теории, Матем. Заметки 75 (2004) 459-462.58. von Neumann J., Infinite tensor product, Composito Math. 6 (1938) 1-77.

57. Колмогоров A. H., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976.

58. Федорюк М. В., Метод перевала, М.: Наука, 1977.

59. Аккарди Л., Арефьева И. Я., Волович И. В., Неравновесная квантовая теория поля и взаимодействующие коммутационные соотношения, Труды МИАН 228 (2000) 106-125.