Модель φ4 теории критических явлений: асимптотики высоких порядков в схеме минимальных вычитаний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

САНКТ - ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОДЕЛЬ ф4 ТЕОРИИ КРИТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ: АСИМПТОТИКИ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В СХЕМЕ МИНИМАЛЬНЫХ ВЫЧИТАНИЙ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

КОМАРОВА Марина Владимировна

Санкт - Петербург 2004 г.

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультета Санкт - Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник НАЛИМОВ Михаил Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник АНТОНОВ Николай Викторович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ШАЛАЕВ Борис Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

_200 ^ года,

на заседании Диссертационного совета

Защита состоится •30

в__час ов,

Д. 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт - Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт - Петербург, Университетская наб., 7/9, ауд. ИГ.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт - Петербургского государственного университета

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета

ЩЕКИН А. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования.

В настоящее время теория критического поведения является хорошо развитой и формализованной ветвью теоретической физики. Существенный прогресс в этой области был достигнут в результате внедрения идей универсальности и критического скейлинга, а также применения технического аппарата ренормализационной группы (РГ). В рамках этого подхода были разработаны регулярные методы расчета основных характеристик критического поведения - критических индексов (аномальных размерностей) и скейлинговых функций.

Использование размерной регуляризации (4-е разложений) является важным методом при расчете аномальных размерностей. Усилиями различных авторов для основных моделей вычислено довольно много членов 4 — с разложений. Максимальным на данный момент достижением является расчет ¡3 - функции ф* модели в шестипетлевом приближении (до порядка е5 в критических размерностях, [1]). Столь значительные успехи в расчетах оказались возможными благодаря удобной вычислительной схеме, а именно:

I) РГ - функции вычисляются через константы ренормировки

П) Для вычисления констант ренормировки используется размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний (MS схема), в которой константы ренормировки зависят только от констант связи и параметра регуляризации.

Ш) Независимость констант ренормировки от массивных параметров (г для модели) позволяет вычислять их непосредственно в безмассовой теории (при т = 0), что существенно упрощает расчет диаграмм.

Получаемые методом РГ ряды для критических индексов оказываются расходящимися. В связи с этим оказывается необходимым некоторым образом переразложить (пересуммировать) полученный по теории возмущений отрезок ряда. Для получения численных значений индексов в реальных размерностях пространства используются разнообразные схемы пересуммирования, такие как методы Бореля-Лероя, Паде-аппроксимант и конформных отображений [2].

Процедура пересуммирования существенно зависит не только от значений

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА ]

начальных коэффициентов ряда, вычисленных по теории возмущений, но и от асимптотики высоких порядков исследуемых рядов. Таким образом, исследование высоких порядков теории возмущений является важной задачей при рассмотрении полевых моделей.

В основе такого исследования лежит подход, разработанный в классической работе [3] и называемый инстантонным, состоящий в обобщении для функционального интеграла метода перевала. Результаты [3] были применены в [4] для исследования разложений критических индексов, получаемых методом РГ.

Как иногда утверждается, известная асимптотика высоких порядков дает информацию, позволяющую выбирать параметры, фиксирующие произвол схемы пересуммирования. Поэтому важен вопрос о том, насколько вычисленные к настоящему моменту коэффициенты разложений близки к асимптотическим значениям. Однако амплитуда упомянутой асимптотики для 4 — 6 (MS) разложений не была вычислена до сих пор. Такая ситуация объясняется спецификой MS ренормировки, для которой формальная схема анализа ультрафиолетовых расходимостей (полюсов по с) в высоких порядках теории возмущений не была развита.

В [5] был предложен модифицированный метод исследования ф* модели, приводящий к принципиально сходящимся рядам теории возмущений (с конечным радиусом сходимости). Разработанный затем в [6], этот метод был приспособлен к 4 - е (MS) схеме. Однако в отличие от традиционного подхода к вычислению критических индексов, где поведение рядов в высоких порядках теории возмущений учитывается посредством различных методов пересуммирования, соответствующие асимптотики для сходящихся рядов были не известны, и способ их учета для улучшения сходимости не предлагался.

Кроме критических индексов в теории критического поведения рассматриваются универсальные отношения и скейлинговые (универсальные) функции [1, 2], высокие порядки разложений которых не были изучены. Несмотря на это, попытка пересуммирования соответствующих рядов предпринималась. Поэтому проведенное в диссертации вычисление асимптотик старших порядков - разложения скейлинговой функции парного коррелятора

модели также следует признать актуальным. Цель работы;

Построение самосогласованного формализма вычисления высоких порядков теории возмущений (липатовских асимптотик) для констант ренормировки, критических индексов и скейлинговых функций О(п) - симметричной модели ф4 в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний, а также исследование точности, с которой полученные асимптотики описывают вычисленные к настоящему моменту петлевые разложения.

Разработка способа построения регулярных поправок к полученным асимптотикам.

Исследование асимптотики высоких порядков сходящихся рядов теории возмущений для модели ф4. Определение радиуса сходимости и типа особенности на границе круга сходимости. Разработка способа учета полученной информации при получении численных значений критических индексов. Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Предложен способ вычисления асимптотик разложения констант ренормировки в высоких порядках теории возмущений для О(п) - симметричной ф* модели в 4 - е (MS) схеме на основе инстантонного анализа ультрафиолетовых расходимостей. Возникающие в данной схеме особенности приводят к отличиям от канонической техники [2] при вычислении амплитуды асимптотики высоких порядков для критических индексов. Обнаружены значительные отклонения точно известных к настоящему моменту членов разложения от главного порядка исследованных асимптотик как для констант ренормировки, так и для критических индексов.

2. Показана применимость инстантонного анализа в модели, представляющей собой модифицированный метод исследования теории и приводящей к сходящимся рядам. Определен радиус сходимости и тип особенности рядов в этой модели, а также продемонстрировно, как поправки к липатовским асимптотикам могут быть использованы при пересуммировании рядов модели

3. Вычислена асимптотика высоких порядков е - разложения скейлинговой

функции парного коррелятора О(п) - симметричной модели ф4 (в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний). Результат демонстрирует существенную неравномерность скейлинговой функции по ее аргументам.

4. Вычислена поправка к асимптотике высоких порядков для константы ренормировки Zg и критического индекса т] в 4 — е (MS) схеме. Полученные поправки существенно улучшают асимптотическое описание результатов петлевых расчетов.

Теоретическое и практическое значение.

1. Разработанные в диссертации методы и вычисленные с их помощью асимптотики привели к новой точке зрения на проблему применимости методов борелевского пересуммирования при исследовании критического поведения в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний.

2. В диссертации получил дальнейшее развитие инстантонный анализ. Показана важность исследования липатовских асимптотик такого объекта, как частично ренормированная функция Грина, уделено особое внимание проблемам выделения поверхностных ультрафиолетовых расходимостей в высоких порядках теории возмущений.

3. Вычисленная в диссертации первая поправка по 1/N липатовской асимптотики (N - порядок теории возмущений) позволяет адекватно описывать высокие порядки теории возмущений в (MS) схеме и может использоваться при вычислении численных значений критических индексов как в формализме расходящихся, так и сходящихся рядов.

4. Разработанный ряд технических приемов может быть без существенных изменений использован при исследовании динамических стохастических проблем, решаемых в рамках квантово - полевого подхода.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: 5th International Conference Renormalization Group 2002, (10-16 March 2002 High Tatra Mountains, Slovakia); 29th Conference of the Middle European Cooperation in Statistical Physics (29March - 1 April 2004, Bratislava, Slovakia); 18th European Conference for PhD Students in Physics "Physique en Herbe 2001"(June 18th - 22nd 2001, Strasbourg, France); Summer School and Work-

shop Complex Motion in Fluids, (8 - 14 August 2004 Krogerup, Denmark). Публикации.

По теме диссертации опубликовано три работы в реферируемых журналах, список публикаций приведен в конце автореферата. Структура и объем.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка цитируемой литературы, включающего 70 наименований. Объем работы 118 страниц. Работа содержит 2 графика и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении коротко описаны задачи, решаемые в диссертации, используемые методы и основные результаты. Особое внимание уделяется обсуждению ультрафиолетовых (УФ) расходимостей частично - ренормированных функций Грина в асимптотике высоких порядков, а также корректному использованию метода стационарной фазы при рассмотрении однопетлевых контрчленов в теории

В первой главе диссертации в главном по 1/JV порядке (N - порядок теории возмущений) вычислена асимптотика высоких порядков теории возмущений (ТВ) для констант ренормировки и критических индексов в 4 — е (MS) схеме.

В первом разделе данной главы коротко излагаются основные моменты использования метода перевала в функциональных интегралах и особенности, связанные с рассмотрением - мерного пространства.

Рассматривается О(п) - симметричная ф4 модель с ренормированным действием

SR($,9) = \zldi~tad$a + \г2фгттф2 + (1)

в пространстве размерности компонентное поле, соответ-

ствующее параметру порядка, - константа связи, - массивный параметр, определяющий отклонение температуры от критической, - константы ренормировки, Рассматривается интегральное представление (вклю-

чающее функциональный интеграл) для N - того порядка ТВ по константе связи, которое исследуется методом стационарной фазы при больших N. Обсуждается условие существования ипстантона - решения уравнений стационарности. Приводится соответствующее [3] выражение для асимптотики больших N коэффициента разложения по д неренормированой функции Грина; обсуждается интегрирование по гауссовским флуктуациям вокруг точки стационарности и переход от единичной схемы ренормировки к схеме МБ, заключающийся в учете конечного вклада однопетлевых диаграмм.

Второй раздел первой главы содержит наиболее существенную часть -описание модификации традиционной схемы, позволяющей вычислять асимптотики констант ренормировки в ф4 теории. Необходимость разработки модифицированной схемы объясняется следующим образом. Константы ренормировки в 4 — £ (МБ) схеме имеют вид

III I лг •

(2)

N=1

причем вся необходимая информация о критических индексах содержится в вычете относительно точки функций

Напомним известный способ вычисления констант ренормировки [1]: для определения вклада в константы ренормировки совокупности диаграмм некоторого порядка следует рассмотреть частично ренормированную теорию, в которой все константы ренормировки учтены с точностью на один порядок меньше. Согласно традиционному подходу, липатовская асимптотика, например, вершинной функции модели имеет вид

здесь у масштабный параметр теории, амплитуда С содержит зависимость от ЛГ, - функция Макдональда. По сути в (3) приведена частично ренор-мированая функция, так как в ней осуществлены вычитания расходимостей однопетлевых подграфов (следующие порядки разложения констант ренормировки признаны несущественными вследствие малости по 1/Я). В теориях для асимптотики вершинной функции выражение аналогичное

(3) не содержит члена ехр' (а 1пу). УФ расходимости в этих теориях проявляются в интегралах по у при у —» 0. Несложно убедиться, однако, что в (3) УФ расходимости вообще отсутствуют: множитель exp(ainy) регуляризует интеграл в области малых у. Более того, аналогичным свойством обладает и вычисленный в [7] поправочный по 1/N член рассматриваемой асимптотики: в нем УФ расходимости пропадают при учете двухпетлевых вкладов в константы ренормировки.

Тем не менее задачу определения липатовских асимптотик для констант ренормировки в 4 — е (MS) схеме удается решить если:

а) ограничиться вычислением определенных с УФ точки зрения объектов -таких, например, как вычеты по е частично ренормированнных функций Грина (напомним, эти объекты полностью определяют константы ренормировки и, следовательно, критические индексы),

б) уточнить форму записи предэкспоненциального фактора в исходном выражении для частично ренормированной функции Грина.

Специфика инстантонного анализа в модели ф* (в теориях при т> 2 сложностей не возникает) в рамках (MS) схемы связана с тем, что метод вычисления асимптотики больших N не вполне согласуется с теорией ренормировки. Действительно, константы ренормировки естественно вычисляются в форме разложения по числу петель (имеется в виду структура R - операции) и вклад в функциональный интеграл однопетлевых диаграмм, обуславливающий множитель должен рассматриваться как поправка и быть разложен в ряд в рамках теории возмущений. С другой стороны, вычисление асимптотики больших N методом стационарной фазы хотя и определяется петлевым разложением [1], но первый порядок разложения по петлям (одно-петлевые диаграммы) не содержит малости по и оказывается порядка единицы. Поэтому при вычислении липатовских асимптотик методом [3, 4] появившийся в результате вычитания расходимостей однопетлевых вершинных подграфов множитель оставлен в виде экспоненты, и устраняет поверхностную УФ расходимость в произвольном порядке 1/N асимптотики, что не позволяет вычислять константы ренормировки.

Наше предложение состоит в том, чтобы вернуться к исходной, естествен-

ной для метода ренормировки, форме разложения для учета вкладов рас-ходимостей однопетлевых подграфов. Технически это заключается в использовании вместо ехр(а1п^) асимптотически эквивалентного при больших N выражения, дающего, впрочем, принципиально иное УФ поведение. Вклад N-10 порядка ТВ по д, автоматически выделяется применением операции , здесь - замкнутый контур в комплексной плоскости, охватывающий ноль. Под знаком этой операции точным является равенство

для вклада, который в точке стационарности превращается в множитель При фиксированном равенство (4) справедливо и в асимптотике больших N, однако части этого равенства существенно различаются в УФ области интегрирования по у. Напомним, что константы ренормировки имеют смысл лишь в рамках определенной ТВ и не могут рассматриваться вне ее. Следовательно, представление однопетлевых вкладов в форме правой части (4) является более естественным. Здесь становится важна погрешность стацфазного вычисления: в оценку предэкспоненты с помощью левой части выражения (4) дают ненулевой вклад все члены разложения по д., в частности пропорциональные в то время как использование правой части (4) исключает их из рассмотрения.

Заканчивается данный раздел вычислением простого полюса по е для парной и четыреххвостой корреляционных функций, что иллюстрирует применение модифицированной схемы исследования липатовских асимптотик.

В третьем разделе вычислены асимптотики коэффициентов разложения вычета в нуле по констант ренормировки. При вычислении констант ренормировки поля и массы произведена проверка того, что логарифмы внешних импульсов в старшем по порядке сокращаются. На основе полученных выражений показано, что асимптотики далеки от вычисленных к настоящему моменту коэффициентов ТВ. Таблица 1 демонстрирует это утверждение для случая п = 1. Аналогичная ситуация имеет место и для п = 2,3,.... Константы ренормировки ренормализационно неинвариантны, поэтому проведено аналогичное сравнение известных порядков 4 — 6 разложения и соот-

ветствующих асимптотических значений для критических индексов, которое также демонстрирует значительные отклонения точных значений при N = 5 от асимптотики N-+00. Сделана попытка аппроксимировать высокие порядки ТВ с помощью поправочного по 1/ЛТ члена к асимптотике, амплитуда при котором определяется по отклонению точно известного пятого порядка ТВ от асимптотического значения при N = 5. Для константы ренормировки Яд погрешность аппроксимации оценивается 20%. Аналогичное исследование проделано для критических индексов. Все результаты демонстрируют, что главного по порядка липатовских асимптотик недостаточно в 4 — е (МБ) схеме для адекватного описания высоких порядков ТВ.

Таблица 1: точные члены разложения констант ренормировки {гт}„аа и соответствующие асимптотические значения

п = 1 N = 2 N = 3 N = 4 N = 5

f 7{Nh /exact -2.833 10.850 -67.901 569.713

Г7(ЛГ)1 \-°д ja»ymp -0.0049 0.062 -0.68 7.51

{¿ф ¡exact -0.0417 0.0208 -0.0846 0.3851

fyWh ¡авутр -0.00003 0.0001 -0.0009 0.0063

Х&т Jexact -0.417 1.167 -4.989 30.151

Г7(ЛГЬ 1 fx ¡aeymp 0 0 0 0

В заключение первой главы, в четвертом разделе, обсужден вопрос о влиянии полученных результатов на выбор параметров схем пересуммирования рядов для критических индексов. Отмечается, что обнаруженное в модели расхождение вычисленных членов разложения критических индексов и их липатовских асимптотик может быть присуще только этой теории или данной конкретной схеме разложения.

Во второй главе рассмотрен формализм, естественным образом приводящий к сходящимся рядам для ф4 модели (напомним, что стандартный формализм приводит к асимптотическим рядам с нулевым радиусом сходимости). В первом разделе мы описываем метод построения сходящегося ряда для критических индексов модели который основывается на модифицированном разложении [5]. В упомянутом методе стандартное действие ф* модели

было представлено в виде

й = йо + 5/, где 5о = Яг + ай?, й/ = С($г - оЯ?). Здесь а - произвольная константа, С - новый параметр разложения. Эта модель совпадает с традиционной ф4 моделью в 'физической' точке СрН — 1 и приводит к сходящимся рядам при а > д/(64-гг3). В формализме С - разложений ренормированная 2к - точечная функция Грина может быть переписана в форме интеграла по вспомогательной переменной [б]. РГ функции выражаются через константы ренормировки стандартного 4-е (МБ) подхода. Это дает возможность использовать полученную в первой главе информацию об асимптотике высоких порядков модели ф4 для улучшения результата суммирования сходящегося ряда теории возмущений работы [6].

Во втором разделе инстантонный анализ использован для нахождения липатовской асимптотики сходящихся разложений. Решение уравнения стационарности приводит к асимптотическому поведению ¡У-того порядка £ разложений 2к - точечной функции Грина вида:

Заметим, что формула (5) содержит информацию о типе сходимости ряда (радиус сходимости определяется параметром характер существенной особенности - остальными параметрами) для функции Сгк-

Характер особенности в сходящемся разложении для критических индексов а также их численные значения получены в третьем разделе второй главы. Как и в первой главе, результаты показывают, что главного по 1/Я порядка липатовских асимптотик недостаточно в 4 — е (МБ) схеме для адекватного описания высоких порядков ТВ. Обсужден возможный способ учета поправок к липатовским асимптотикам для улучшения сходимости рядов ТВ.

В третьей главе на основе инстантонного подхода вычислена асимптотика высоких порядков (МБ) разложения скейлинговой функции парного

коррелятора - симметричной теории

В первом разделе третьей главы коротко описываются основные моменты использования метода перевала в функциональных интегралах, связанные с рассмотрением массивной модели получено выражение для частично

ренормированной функции Грина.

Во втором разделе обсуждается разложение инстантона в ряд по нелиней-ностям вариационного уравнения и находятся первые члены этого разложения. Разложение строится при помощи ТВ для вспомогательного функционального интеграла. Аналогично методам решения стохастических уравнений [1], инстантон представлен в виде

Л = У ^хф'(х)ФМх)), (6)

функционал задает инстантон (фактически, в качестве выбирается уравнение стационарности на полевую переменную). Сдвиг на величину безмассового инстантона при найденного в первой главе, приводят к

действию вспомогательной теории, позволяющему построить нетривиальное решение уравнения стационарности в виде диаграмного разложения (6) в ряд по нелинейностям.

В третьем разделе описывается схема вычисления асимптотик скейлинго-вых функций в высокий порядках теории возмущений. Как и в первой главе основной ее чертой является отбор определенных с УФ точки зрения объектов, в данном случае конечных при вкладов.

В четвертом и пятом разделах найдены липатовские асимптотики для скейлинговой функции парного коррелятора в асимптотиках

Результаты демонстрируют существенную неравномерность скейлинговой функции по ее аргументам, так например при п — 1 для упомянутых асимптотик соответственно получим

здесь инвариантные переменные метода РГ, соответствующие параметру импульса и массы; в формулах для кратко -сти опущены независящие от множители.

В шестом разделе осуществлена каноническая нормировка - разложения скейлинговой функции в высоких порядках ТВ, проведено сравнение результатов с данными точного петлевого расчета. Результаты демонстрируют существенные отклонения последнего точно вычисленного порядка ТВ (при N = 3) от асимптотики больших N.

Четвертая глава посвящена вычислению поправки по к асимптотической формуле, описывающей поведение коэффициентов разложения кон-

станты ренормировки и критического индекса в высоких порядках ТВ.

В первом разделе коротко изложено, какие поправочные по члены

следует учитывать при вычислении первой поправки к липатовской асимптотике частично ренормированной корреляционной функции. Специфика (МБ) формализма обсуждается во втором разделе. Инстантон строится в форме рядов по е, вычислен необходимый для дальнейших расчетов отрезок этого ряда. В третьем разделе обсуждается выражение для интеграла по флуктуа-циям в 4 — е (МБ) схеме, полученное на основе методов предложенных в [3,4]. В четвертом разделе, вычисляется поправка по с к этому интегралу (в гаус-совском приближении по флуктуациям). Для этого рассмотрены собственные числа оператора, соответствующего гауссовому приближению, которые найдены в виде разложений по параметру В пятом разделе обсуждается техника расчета вычета в нуле по для частично ренормированной четы-реххвостой корреляционной функции (в асимптотике больших N, в главном и поправочном по 1порядках). В шестом разделе вычислена поправка к липатовской асимптотике для константы ренормировки и критического индекса Таблица 2 показывает, что учет вычисленной в четвертой главе поправки к липатовской асимптотической формуле дает существенное улучшение результатов - последний точно вычисленный вклад отличается от соответствующего асимптотического значения теперь уже не в 75, а примерно в два раза, наблюдается монотонность в приближении к '}азутр*

Таблица 2.

В заключении к данной главе полученные результаты анализируются. Как отмечается, они демонстрируют, что дальнейшее улучшение точности вычисления критических индексов может осуществляться не только при помощи вычисления последующих порядков теории возмущений, но и путем расчета последующих поправок по к липатовской асимптотике, причем в рамках

4 — e (MS) схемы последняя деятельность особенно существенна. Действительно, наш анализ в первой главе дает основания предполагать, что ряды (4 — е) разложений выйдут на главный член липатовской асимптотики лишь в 10-11 порядке ТВ. Поскольку количество диаграмм и, следовательно, объем вычислений лавинообразно растут с ростом порядка ТВ, не исключено, что поиск дальнейших поправок к липатовской асимптотике является перспективной задачей на данном этапе исследований.

В Заключении перечислены основные полученные результаты. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. М. В. Комарова, М. Ю. Налимов, Асимптотика старших порядков теории возмущений: константы ренормировки О(п) - симметричной теории ф* в 4-е разложении.// Теор. и Мат. Физ. т. 126, № 3, с. 409 - 426 (2001).

2. М. В. Комарова, М. Ю. Налимов, Асимптотика старших порядков теории возмущений: скейлинговие функции О(п) - симметричной теории ф4 в 4-е разложении.// Теор. и Мат. Физ. т. 129,№ 3, с. 387- 402 (2001).

3. J. Honkonen, M. Komarova, M. Nalimov, Large order asymptotes and convergent perturbation theory for critical indices ofthe ф4 modelin4—eexpansion.// Acta Physica Slovaca vol. 52, № 4, p. 303 - 310 (2002).

Список литературы

[1] Васильев А. Н., Квантовополеваяренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике (ПИЯФ, С-Пб., 1998).

[2] Zinn-Justin J., Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford Univ. Press, Oxford, 1989).

[3] Липатов Л. Н., Журн. экспер. и теор. физ. 72, 411 (1977).

[4] Brezin E., Le Guillou J. С, Zinn-Justin J., Phys. Rev. D 15,1544 (1977).

[5] Ушверидзе А. Г., Ядерная физика 38, 798 (1983).

[6] Honkonen J., Nalimov M., Phys. Let. В 459, 582 (1999).

[7] Кубышин Ю. А., Теор. и мат. физ. 57, 363 (1983).

24483

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 27.10.04 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз., Заказ № 161/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

ВВЕДЕНИЕ

1 АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ: КОНСТАНТЫ РЕНОРМИРОВКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ О(п) - СИММЕТРИЧНОЙ МОДЕЛИ В 4 - € РАЗЛОЖЕНИИ.

1.1 Основные положения липатовского подхода.

1.2 Схема вычисления асимптотик разложений констант ренормировки.

1.3 Асимптотики констант ренормировки.

1.4 Обсуждение полученных в данной главе результатов

2 АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ В СХОДЯЩИХСЯ РЯДАХ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ КРИТИЧЕСКИХ ИНДЕКСОВ МОДЕЛИ фА В 4 - е РАЗЛОЖЕНИИ

2.1 Метод построения сходящегося ряда для критических индексов.

2.2 Асимптотика высоких порядков сходящихся разложений

2.3 Характер особенности в сходящемся разложении для критических индексов.

3 АСИМПТОТИКА ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ: СКЕЙЛИНГОВЫЕ ФУНКЦИИ 0(п)

- СИММЕТРИЧНОЙ ф4 МОДЕЛИ В 4 - € РАЗЛОЖЕНИИ.

3.1 Основные положения липатовского подхода при т ф

3.2 Инстантон в массивной модели ф4.

3.3 Скейлинговая функция парного коррелятора.

3.4 Асимптотика р2 << т; скейлинговая функция

3.5 Асимптотика г << р2; скейлинговая функция

3.6 Каноническая нормировка результатов

4 ПЕРВАЯ ПОПРАВКА К АСИМПТОТИКЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ ДЛЯ КОНСТАНТ РЕНОРМИРОВКИ 0(п) - СИММЕТРИЧНОЙ МОДЕЛИ фА В (4 - с)

- РАЗЛОЖЕНИИ

4.1 Поправки по 1 /N и б в липатовском подходе.

4.2 Особенности формализма в е - разложении.

4.3 Об интеграле по флуктуациям в пространстве размерности 4 — е.

4.4 Вычисление поправки по е к флуктуационному интегралу в гауссовском приближении.

4.5 Асимптотика при больших N.

§4.5.1 Вклад гауссовской части интеграла по флуктуациям

§4.5.2 Поправка к гауссовскому приближению в интеграле по флуктуациям.

4.6 Константы ренормировки и критические индексы

4.7 Обсуждение полученных в данной главе результатов

Диссертация просвещена разработке инстантонного формализма при исследовании высоких порядков полевых разложений констант ренормировки, критических индексов (аномальных размерностей) и скейлинговых функций на примере Оп- симметричной модели ф4 в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний. Опишем коротко историю задачи и ситуацию, сложившуюся сейчас в данной области.

К настоящему времени теория критического поведения является хорошо развитой и формализованной ветвью теоретической физики. Существенный прогресс в этой области был достигнут в результате внедрения идей универсальности и критического скейлинга, а также применения технического аппарата ренормализационной группы.

Универсальность критических явлений заключается в том, что поведение системы оказывается не зависящим от деталей взаимодействия и определяется лишь общими свойствами рассматриваемой модели - типом полей, числом их компонент, симметрией взаимодействия, размерностью пространства и.т.п. Например, для изотропного ферромагнетика Гайзенберга критическое поведение зависит только от числа компонент вектора спина и размерности пространства, но не зависит от типа решетки и деталей обменного взаимодействия спинов.

Вторая идей - гипотеза подобия (критического скейлинга) Вай-дома - Каданова - Паташинского - Покровского [65]. Согласно этой гипотезе в окрестности критической точки всем физическим величинам (точнее, их отклонениям от критических значений) можно сопоставить определенные "критические размерности". Математически это выражается в свойстве обобщенной однородности: если величина F с размерностью d зависит от набора переменных с размерностями di соответственно и некоторого масштабного параметра Л, то

F( Л^ь А*>х2) . Л^Хп) = AdF(xu х2 .хп). (1)

Строго говоря, этим свойством обладают не сами термодинамические функции, а ведущие члены асимптотик при Л —У 0 их "сингулярных частей", получаемых отбрасыванием регулярных членов тейлоровского разложения в критической точке (при = 0).

Гипотеза подобия позволила согласовать множество различных данных по критическому поведению. Из экспериментов и численных расчетов известно, что при подходе к критической точке различные термодинамические величины ведут себя как степенные функции параметра отклонения; показатели степеней получили название "критических индексов". Таких индексов очень много, так как есть много различных термодинамических величин (восприимчивость, намагниченность, теплоемкость и. т. д.) и различные способы подхода к критической точке (например, температура Т стремится к своему критическому значению Тс при нулевом внешнем поле h или, наоборот, Л —f 0 при Т = Тс). Согласно гипотезе подобия, все эти индексы должны выражаться через размерности тех параметров, от которых зависит термодинамический потенциал. Для магнетика таких параметров всего два - h и т = (Т — Тс)/Тс. Размерность самого термодинамического потенциала не является независимым параметром - ее можно считать фиксированной. Действительно, потенциал (точнее, его удельное значение на единицу объема для пространственно - однородной системы) выражается через удельное значение логарифма статсуммы. Статсумма и ее логарифм безразмерны (имеется ввиду не тривиальная безразмерность в обычном смысле, а равенство нулю критической размерности d в выражении (1)), поэтому потенциал имеет размерность обратного объема. Замена Л —f Ла в (1) приводит к умножению всех размерностей на а, что позволяет фиксировать одну из размерностей произвольно. Обычно за единицу принимают размерность импульса, этот выбор будет принят и в данной работе.

Таким образом, согласно гипотезе подобия все критические индексы выражаются через размерности независимых переменных термодинамического потенциала. Вытекающие отсюда связи между критическими индексами подтверждаются экспериментально и в настоящее время справедливость гипотезы подобия считается твердо установленной. Однако сама по себе эта гипотеза не содержит рецептов вычисления размерностей независимых переменных.

Такой рецепт был дан в 1971 году Вильсоном [40] (и разработан им позже в [44]), который предложил использовать для расчета размерностей технику ренормализационной группы (РГ). В квантовой теории поля эта техника давно известна: впервые существование группы ренормировок в квантовой теории поля было отмечено в работе Штюкельберга и Петермана [35], через год Гелл-Манн и Jloy [15] использовали функциональные уравнения типа РГ для анализа ультрафиолетовой асимптотики в квантовой электродинамике, еще через год в работал Боголюбова и Ширкова [54, 55, 56, 5] была установлена связь между результатами [35] и [15], впервые получены полные дифференциальные уравнения РГ и указан рецепт их практического использования в комбинации с расчетом РГ - функций по теории возмущений. Впоследствии Овсянников [64], а затем, независимо, Каллан и Симанзик [11, 36] предложили еще один вариант уравнений РГ, сформулировав их в виде одного уравнения в частных производных для функции многих переменных. Дифференциальные уравнения [54] играют роль характеристической системы для уравнения в частных производных [64, 11, 36]. Дифференциальные уравнения в форме [54] или [64, 11, 36] являются основой стандартной квантово-полевой техники РГ.

Предложенная Вильсоном в [40] процедура "рекурсионных соотношений" основана на идее РГ, но технически отличается от квантово-полевой формулировки. В более поздних работах (например, [7, 8]) используется уже стандартная квантово-полевая техника РГ совместно с идеей размерной регуляризации, также заимствованной из квантовой теории поля [37, 38]. В настоящее время в большинстве работ, относящихся к критической теории, используется стандартная полевая техника РГ. Отметим также, что упомянутая техника также используется для описания моделей развитой турбулентности [45, 46, 47, 48, 29, 33, 34].

Метод РГ естественно объясняет критический скейлинг и универсальность: в инфракрасно - устойчивой фиксированной точке РГ уравнение Каллана - Симанзика принимает вид дифференциального уравнения обобщенного подобия, общим решением которого являются функции со свойством (1), а универсальность объясняется эквивалентностью критического поведения всех систем, гамильтонианы которых различаются лишь инфракрасно - несущественными операторами. В соответствии со своей канонической размерностью все составные операторы делятся на инфракрасно (ИК) - существенные, ИК - несущественные и логарифмические: у первых каноническая размерность меньше размерности пространства D, в котором рассматривается модель, у вторых - больше, а у последних равна D. Несущественные операторы не влияют на критическое поведение, определяя лишь поправки к скейлингу [7, 8, 39]. Поэтому, если действия двух моделей различаются лишь несущественными членами, эти модели оказываются эквивалентными в асимптотической области, что и объясняет гипотезу универсальности.

Критическая размерность d произвольной величины (поля, параметра, составного оператора) есть сумма канонической и аномальной размерностей, последняя появляется в результате ренормировки. Как уже упоминалось, для фиксированной модели и данной физической величины ее размерность d зависит лишь от глобальных характеристик типа размерности пространства D и не зависит от значений конкретных параметров модели - масс, констант связи и.т.п. Например в 0{п) - симметричной модели ф* с п - компонентным полем ф критические размерности зависят лишь от D и п. Методов вычисления точных размерностей не существует, практически их находят лишь в форме различных асимптотических рядов. Исторически первым, наиболее универсальным, является предложенное Вильсоном [41, 42, 43] 4 — е - разложение по параметру е = 4 — D -отклонению размерности пространства от критической размерности которая в случае ф4 модели равна четырем). В задачах статистической физики D = 3, т. е. параметр е = 1 реально не является малым. Тем не менее результаты, получаемые в виде начальных отрезков асимптотических рядов 4 — е - разложения используют дня вычисления критических индексов различными методами пересуммирования [59, 3, 23], чтобы сравнить их затем с результатами, полученными из высокотемпературных разложений (см. обзоры [62, 65, 8]).

Существует по крайней мере два подхода к РГ - вычислению критических индексов: 4 — е - разложение и РГ непосредственно в реальной размерности пространства (см. [50, 57]). Технически они существенно различаются, мы ограничимся рассмотрением первого из них.

В настоящее время 4 — 6 разложение является важным методом расчета аномальных размерностей, причем не только в статике, но и в критической динамике [57, 18]. Усилиями различных авторов для основных моделей вычислено довольно много первых членов 4 — 6 разложений. Максимальным на данный момент достижением является расчет (3 - функции статической ф4 модели в шестипетлевом приближении (до порядка с5 в критических размерностях), выполненный в работе [21, 22].

Столь значительные успехи в конкретных расчетах по 4 — е разложению оказались возможными благодаря разработке удобной вычислительной схемы, а именно:

I) РГ - функции вычисляются через константы ренормировки Z

II) Для вычисления констант ренормировки используется размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний [37, 38] (MS -схема; от англ. "minimal subtraction11), в которой константы ренормировки зависят только от констант связи и параметра регуляризации.

III) Независимость констант ренормировки от массивных параметров (г для ф4 модели) позволяет вычислять их непосредственно в безмассовой теории (при г = 0), что существенно упрощает расчет диаграмм.

Возможность перехода к безмассовой теории является решающей для упрощения вычислений. Аномальные размерности параметров типа масс вычисляются в безмассовой теории через константы ренормировки подходящих составных операторов. Отметим, что е -разложения в MS схеме оказываются удобными и при описании моделей развитой турбулентности [51, 52, 59, 63].

Как мы уже упоминали, получаемые методом РГ ряды для критических размерностей (индексов) оказываются расходящимися. В связи с этим оказывается необходимым некоторым образом переразложить (пересуммировать) полученный по теории возмущений отрезок ряда. Для получения численных значений индексов в реальных размерностях пространства используются разнообразные схемы пересуммирования, такие как методы Бореля-Лероя, Паде - аппрокси-мант и конформных отображений [50]. Данная тематика вызывала значительный интерес и в последнее время [2, 49, 32, 20].

Процедура пересуммирования существенно зависит не только от значений начальных коэффициентов ряда, вычисленных по теории возмущений, но и от асимптотики высоких порядков исследуемых рядов. Таким образом, исследование высоких порядков теории возмущений является важной задачей при рассмотрении полевых моделей.

В основе такого исследования лежит подход, разработанный в классической работе [61] и называемый инстангпонным, состоящий в обобщении для функционального интеграла метода перевала. Результаты [61] были применены в [9] для исследования разложений критических индексов, получаемых методом ренормализационной группы.

Как утверждается в [24], известная асимптотика высоких порядков дает информацию, позволяющую выбирать параметры, фиксирующие произвол схемы пересуммирования. Поэтому важен вопрос о том, насколько вычисленные к настоящему моменту коэффициенты разложений близки к асимптотическим значениям.

Согласно [61] N-Pi коэффициент стандартного теоретико-полевого разложения по константе взаимодействия д произвольной величины F (выражаемой через функции Грина) при больших N имеет вид

F(N) и e^N-NaNNbFcp (2)

Здесь и далее хм обозначает коэффициент при gN разложения величины X в ряд по д. Константы а и bp вычислялись для произвольных функций Грина [50]; в [61, 9] приведены также амплитуды ср для /^-функций теорий ф2т (т = 2, 3,.) в логарифмических размерностях пространства. Соответствующие результаты для теории фА в D = 2, 3 - мерных пространствах основываются на численных решениях уравнений стационарности массивной модели [10]. В работе [24], посвященной обсуждению различных схем пересуммирования рядов для критических индексов, (как и в [50]) амплитуда асимптотики ср для 4 — б разложений не приведена вовсе, в [25] утверждается, что она вычислена в [31], а в следующей работе тех же авторов [27] объявлено (со ссылкой на [50]), что не только ср но и bp для 4 — е разложения неизвестна.

Попробуем прояснить эту необычную ситуацию. В [61, 9] для старших порядков разложения, например, вершинной функции ф*(Оп) теории в четырехмерном пространстве получено rf > я Const f к=1[Ыу*1(Ыу)]), (3) где вычисленная Const содержит зависимость от N, К\ - функция Макдональда. Здесь приведена частично ренормированая функция, в которой осуществлены вычитания расходимостей однопетлевых подграфов (следующие порядки разложения констант ренормировки признаны несущественными вследствие малости по 1/N). В теориях ф2т (т > 2) для асимптотики вершинной функции написано выражение, аналогичное (3), но без члена exp{(n -f 8) In у/3}. Ультрафиолетовые (УФ) расходимости в этих формулах проявляются в интегралах по у при у -4 0 (у - масштабный параметр). Несложно убедиться, что в (3) отсутствуют УФ расходимости: множитель ехр{(п + 8)1пу/3} регуляризует интеграл в области малых у. Более того, аналогичным свойством обладают и, вычисленный в [60], поправочный по 1JN член рассматриваемой асимптотики: в нем УФ расходимости пропадают при учете двухпетлевых вкладов в константы ренормировки.

Напомним известный способ вычисления констант ренормировки [57]: вклад в Z данной диаграммы определяется расходимостью, оставшейся после применения к ней Я! операции, вычитающей все расходимости подграфов. Иначе говоря, для определения вклада в константы ренормировки совокупности диаграмм некоторого порядка следует рассмотреть частично ренормированную теорию, в которой все константы ренормировки учтены с точностью на один порядок меньше. Результаты [61, 9, 60] дают лишь конечные вклады в константы ренормировки (нулевые в схеме минимальных вычитаний (MS)). Вследствие общего утверждения о ренормализационной инвариантности теории, тем самым показано, что они вовсе не дают вклада в критические индексы.

Для исправления этой ситуации (отсутствия полюсов по е) в работе [31] была предложена принципиально новая непертурбативная ренормировочная схема, в которой обнаружена непертурбативная фиксированная точка уравнения РГ, координаты которой не являются аналитической функцией е. К сожалению непертурбативный характер схемы не позволяет сравнивать ее результаты с таковыми обычного 4 — € - разложения. Кроме того, сами авторы признают, что не могут оправдать свои построения. Видимо этим объясняется, что в работе [27] результаты [31] были признаны несостоятельными.

В свою очередь мы утверждаем, что отсутствие вкладов в асимптотику старших порядков разложения констант ренормировки в цитированных выше работах является следствием некорректного использования метода стационарной фазы при рассмотрении однопет-левых контрчленов в теории фА (в теориях ф2т (т > 2) сложностей не возникает). Проблема связана с тем, что метод вычисления асимптотики больших N не вполне согласуется с теорией ренормировки. Действительно, константы ренормировки естественно вычисляются в форме разложения по числу петель (имеется в виду структура R - операции). Статфазное вычисление асимтотики больших N тоже определяется петлевым разложением [57], но, строго говоря, 1/jV не является параметром этого разложения. Нулевой порядок разложения по петлям (т.н. "древесные" диаграммы) пропорциональны не нулевой степени 1/N, а большому параметру N, поэтому первый порядок (однопетлевые диаграммы) - порядка единицы и не содержит малости по 1 /N. При вычислении методом [61, 9, 60] асимптотики старших порядков теории ф4 в результате вычитания расходимостей однопетлевых вершинных подграфов в выражении (3) появляется множитель ехр((п + 8) In у/3). Он есть сумма логарифмических по у вкладов порядка единицы по 1 /JV, поэтому он оставлен в виде экспоненты, и устраняет поверхностную УФ расходимость в произвольном порядке 1JN асимптотики.

В рамках 4 — е разложения наибольшее количество порядков для критических индексов было получено с использованием размерной регуляризации и MS схемы в безмассовой теории [21, 22]. В этой схеме РГ - функции (коэффициенты уравнения РГ) связаны известным образом [58, 50, 57] с вычетами первого порядка по е констант ренормировки теории:

7<Ы = -gd,{Zi}> = ~9(t + 7*), (4) здесь и далее {X} - вычет в полюсе первого порядка по б величины X, г = г, ф, д, в безмассовой теории критическая размерность т определяется ренормировкой составного оператора ф2.

Константы ренормировки в 4 — е (MS) схеме имеют вид

00 JN)uN 1 а = i+E-^ + oy, (Ч причем вследствие соотношения (4) вся необходимая информация о критических индексах содержится в вычете первого порядка в нуле функций Z(e).

Константы ренормировки имеют смысл лишь в рамках определенной теории возмущений и не могут рассматриваться вне ее. Наше предложение состоит в том, чтобы вернуться к исходной форме разложения для учета вкладов расходимостей однопетлевых подграфов. Технически это заключается в использовании вместо (3) асимптотически эквивалентного при больших N выражения, дающего, впрочем, принципиально иное УФ поведение. А именно, вклад N-ro порядка теории возмущений по д теперь содержит необходимые полюса по е, коэффициенты при которых вычисляются в форме 1/7V- разложения. В MS схеме оказалось несложным проконтролировать то, что поправочные члены стацфазного вычисления функциональных интегралов дают поправочные же по 1/N вклады в РГ - функции. Изменение результата при использовании асимптотически эквивалентного выражения не означает возможность получить произвольный ответ, существенно здесь лишь то, конечное или бесконечное количество членов разложения множителя типа ехр((п + 8) In у/3) в виде и

J Jn + 8) In у 3 принимается в (3) во внимание.

Развитие метода перевала [68, 69] позволило аналитически вычислять липатовские асимптотики разложения различных величин не только в четырехмерном пространстве, как в [61, 9], но и в размерности 4 — 6. Впрочем в [68, 69] используется та же форма (3), поэтому касающиеся РГ результаты этих работ нельзя признать безупречными.

В данной диссертации мы вычисляем асимптотики членов разложения констант ренормировки и критических индексов теории ф4 в размерной регуляризации и MS схеме, а затем проводим их сравнение с современными результатами непосредственного расчета. Отклонения оказываются существенными, что ослабляет теоретическую обоснованность детерминированности коэффициентов схемы Бореля - Лероя пересуммирования рядов е - разложения критических индексов [24].

Столкнувшись этой проблемой, мы попытались экстраполировать значения неизвестных членов разложения констант ренормировки (шестой порядок и далее) с помощью поправочного по 1/N члена в правой части формулы (2), множитель при котором определялся по разнице точно вычисленного пятого порядка и соответствующего асимптотического значения (2) при N = 5. Упомянутый способ вычисления асимптотик констант ренормироввки и анализ результатов, к которым он приводит, представлен в главе 1 настоящей диссертации.

Кроме уже упомянутого использования наших результатов в различных процедурах пересуммирования, следует указать еще одну область их применения. В [70] был предложен модифицированный метод исследования фА модели, приводящий к принципиально сходящимся рядам теории возмущений (с конечным радиусом сходимости). Разработанный затем в [19], этот метод был приспособлен к 4 — £ (MS) схеме. Мы развили инстантонный анализ для указанной ситуации и исследовали асимптотическое поведение этих сходящихся рядов. Затем мы использовали полученную информацию о поведении модели в высоких порядках теории возмущений, чтобы выделить явно главный вклад сингулярностей, определяющих радиус сходимости и тип особенности рядов модели [70, 19]. Вычисления проведены как для РГ - функций, так и для критических индексов. Данная процедура представлена в главе 2.

Кроме критических индексов в теории критического поведения рассматриваются универсальные отношения и скейлинговые (универсальные) функции [50, 57], высокие порядки разложений которых не были изучены. Несмотря на это, попытка пересуммирования соответствующих рядов была предпринята в [12]. Развитие метода перевала [68, 69] позволило аналитически исследовать асимптотики разложения различных величин в массивной теории ф* в е - разложении. Поэтому следующим логическим шагом данной диссертации было вычисление асимптотик старших порядков е - разложения скейлинговой функции парного коррелятора ф*(Оп) модели в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний, представленное в главе 3.

Для обсуждения принципиального вопроса о точности результатов, получаемых методами пересуммирования [9] существенна скорость, с которой петлевые разложения теории возмущений приближаются к асимптотической формуле. Наш анализ этого вопроса для 4 — е (MS) схемы показал, что константы ренормировки монотонно приближаются к своей асимптотике, но достаточно далеки от нее (так, например, для константы ренормировки Zg при N = 5 наблюдается отличие примерно в 75 раз). Как уже упоминалось, этот факт ставит под сомнение точность результатов борелевского пересуммирования в данной схеме и вынуждает нас либо продолжать вычисление петлевых разложений, пока они не приблизятся в должной степени к асимптотике, либо интересоваться поправкой по 1 [N к асимптотической формуле.

В работе [60] была рассмотрена поправка к липатовской асимптотической формуле [61], улучшающая выход на асимптотику петлевых разложений в единичной схеме ренормировки. Однако данная работа имеет уже описанный дефект - некорректное рассмотрение порядка предельных переходов 1 /N, бЧОи, как следствие, приведенная там схема вычисления амплитуды поправки к исследуемой асимптотике не годна для 4 — 6 (MS) схемы; чтобы получить такую поправку для констант ренормировки в (4 — е) схеме, необходимо провести дополнительные вычисления, связанные с выделением УФ расходимостей в JV-том порядке теории возмущений. Эти вычисления также представлены в данной диссертации: в четвертой главе мы получаем поправку к асимптотике высоких порядков для константы ренормировки Zg и критического индекса rj в 4—е (MS) схеме. Конкуренция параметров 1/iV и е приведет к тому, что в отличие от [60] вклад в асимптотику высоких порядков дадут поправки по е к инстантону ("точке" стационарности метода перевала в функциональном пространстве).

Константа ренормировки Zg (и связанная с ней ренормгрупповая функция /3(g)) является главной характеристикой при определении асимптотического поведения критических индексов. Именно она демонстрирует скорость выхода на асимптотику петлевых результат тов, поэтому при вычислении поправки к асимптотической формуле мы ограничились лишь исследованием асимптотики высоких порядков константы ренормировки Zg.

Суммируя все вышесказанное, перечислим проблемы, решаемые в данной работе.

1. Предложен способ вычисления асимптотик разложения констант ренормировки в высоких порядках теории возмущений для 0(п) - симметричной фА модели в 4 — е (MS) схеме на основе ин-стантонного анализа ультрафиолетовых расходимостей. Возникаюстантонного анализа ультрафиолетовых расходимостей. Возникающие в данной схеме особенности приводят к отличиям от канонической техники [50] при вычислении амплитуды асимптотики высоких порядков для критических индексов. Обнаружены значительные отклонения точно известных к настоящему моменту членов разложения от главного порядка исследованных асимптотик как для констант ренормировки так и для критических индексов.

2. Показана применимость инстантонного анализа в модели [70, 19], представляющей собой модифицированный метод исследования теории фА и приводящий к сходящимся рядам. Определен радиус сходимости и тип особенности рядов в этой модели, а также про-демонстрировно, как поправки к липатовским асимптотикам могут быть явно использованы при пересуммировании рядов модели фА.

3. Вычислена асимптотика высоких порядков е - разложения скей-линговой функции парного коррелятора 0{п) - симметричной модели ф4 (в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний). Результат демонстрирует существенную неравномерность скей-линговой функции по ее аргументам.

4. Вычислена поправка к асимптотике высоких порядков для константы ренормировки Zg и критического индекса ц в 4 — е (MS) схеме. Полученные поправки существенно улучшают асимптотическое описание результатов петлевых расчетов.

Основные результаты опубликованы в статьях:

1. М. В. Комарова, М. Ю. Налимов, Теор. и Мат. Физ. 126, 409 (2001).

2. М. В. Комарова, М. Ю. Налимов, Теор. и Мат. Физ. 129, 387 (2001).

3. J. Honkonen, M. Komarova, M. Nalimov, Acta Physica Slovaca 52, 303 (2002).

Суммируя все вышесказанное, перечислим проблемы, решаемые в данной работе.Во - первых, на основе инстантонного анализа ультрафиолето вых расходимостей нами предложен способ вычисления асимптотик разложения констант ренормировки в высоких порядках теории воз мущений для 0{п) - симметричной ф^ модели. При этом использова лась схема минимальных вычитаний (MS) в (4 — €) разложении, как наиболее продвинутая в техническом отношении (вычислено пять порядков теории возмущений). В отличие от предыдущих работ в нашем методе ультрафиолетовые расходимости N - того порядка теории возмущений естественным образом проявляются в виде по люсов по е. Было показано, что для корректного использования ин стантонного подхода в теории ^* в 4 — 6 (MS) схеме необходимо ак куратное рассмотрение порядка предельных переходов 1/iV, е —> 0.Возникающие в данной схеме особенности приводят к отличиям от канонической техники [50] при вычислении амплитуды асимптотики высоких порядков для констант ренормировки и критических ин дексов. Нами обнаружены значительные отклонения точно извест ных к настоящему моменту членов разложения от асимптотических значений как для констант ренормировки и критических индексов.Упомянутый способ вычисления представлен в главе 1 настоящей диссертации.Во-вторых, мы применили инстантонный анализ в модели [70, 19], представляющей собой модифицированный метод исследования те ории ф^ и приводящий к сходящимся рядам. Мы определили ради ус сходимости и характер особенности рядов модели [19], а также, используя полученные в главе 1 результаты выделили явно глав ный вклад сингулярностей сходящихся рядов для РГ - функций и критических индексов. Наш результат также демонстрирует, каким образом поправки по 1/N к главному порядку липатовской асим птотики может быть принят во внимание при обработке рядов для критических индексов. Данная процедура представлена в главе 2.Затем, в главе 3, развитая идеология используется для вычис ления асимптотики высоких порядков е разложения скейлинговой функции парного коррелятора 0(п) - симметричной модели ф'^ (в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний). Наш результат демонстрирует существенную неравномерность скейлин говой функции по ее аргументам.Так как в ходе исследования нами были обнаружены значитель ные отклонения точно известных к настоящему моменту членов раз ложения от асимптотических значений, в главе 4 мы вычисляем по правку к асимптотике высоких порядков для константы ренорми ровки Zg и критического индекса т/ (в 4 —б (MS) схеме). Полученные поправки существенно улучшают асимптотическое описание резуль татов петлевых расчетов - последний точно вычисленный вклад кон станты ренормировки Zg отличается от соответствующего асимпто 106 тического значения теперь уже не в 75 раз (как это было в главном по 1/N порядке), а примерно в два раза; наблюдается монотонность в приближении упомянутых вкладов к асимптотике.Прилолсение 1 Здесь приведены некоторые факты, следующие из ренормируе мости теории, полезные для контроля вычислений и оценки резуль татов, а также обсужден вопрос о влиянии IjN поправок метода стационарной фазы на асимптотики констант ренормировки и кри тических индексов.Следствием определения QQ = gii^Zg является известное выраже ние Конечность ^ - функции при б —)> О требует сокращения старших полюсов по 6 в (5.1). Разлагая обе части этого равенства в ряды по д и учитывая факториальный рост коэффициентов, в асимптотике больших N для, например, для коэффициента при втором полюсе по б получаем {Zg = 1 + {Zg}j€ + Z{-2)g/t^ + .••). Имвнно такой результат для Z\2) получается при вычислении G4 предложенным нами методом.Рассматривая (5.1) как дифференциальное уравнение на Zg^ в MS схеме получаем „ ( гд du гд du\ Ограничившись однопетлевым приближением ^{д) = д{—е -\- ад), имеем Zg « - ^ - + 0(^-1 (5.2) е — ад е что есть результат суммирования в разложении Zg "главных"вкладов по д/е. Заметим, что это выражение конечно при б —> О, ^ =Const.Аналогичное суммирование имело место в [61, 9], что и объясняет полученную конечность частично ренормированных функций Грина теории ф^ в этих работах.Обсудим вклады в {Zg} поправок порядка 1/7V перевального вы числения §<1д^Пф. Они получаются в результате учета поправоч ных членов при интегрировании по отклонениям 8ф^ 6д от положе ния точки стационарности фс, Qo и могут быть представлены диа граммами, линии которых определяются оператором 6^3{фс,дс)/5ф^.Очевидно несингулярные при б —> О (и у —>• 0) вклады в эти диаграм мы дают лишь 0{l/N) поправки к {Zg}. Итак внимательно следует рассмотреть лишь полюсные по е члены.Интересуясь расходящимися диаграммами, следует выделить 1 -

неприводимые (проблема с 1 - приводимыми диаграммами решается

тривиально):

здесь хвостиками обозначены решения уравнения стацфазы фс, вы деление расходим остей по е, в частности, приводит к разложению линий в ряд по дсф1.Ренормировочные контрчлены теории - часть предэкспоненты вы числяемого методом перевЕша интеграла. Учтенный в главном по N те вышеупомянутых сокращений мы получаем вклады в S dyy^^ ^: при получении (1.32).Г[рилож:ение 2 Чтобы получить в (3.15) коэффициенты Ri, R2, Я3, диаграммы (3.8) раскладывались в ряд по параметру р^/т. Возникающие при этом логарифмические особенности приходилось выделять явно, по лучавшиеся интегралы упрощались с помощью пакета "Maple". Чис ленные значения кратных интегралов в выражениях для Ri, R2, R3, содержащих функции Бесселя, вычислялись методом Монте-Карло.Приведем результат:

27Г2 Jo X тг^ h h ^^ Jo \ Qqk^ k^Q2

1)/ 2 Л «2 Уо ^ ^

тгЗ Уо Уо ^^ Уо A;2g2(p_j_ 1)(д2_}_ 1)3 З'У 45 3

4- — + -/п(7г) + 1.015651206 =^ 6.84, здесь Q = у'Агг + д2 + 2(kq).Прилолсение 3 OZ OZ Ь4 2 4 о здесь и далее 7 - постоянная Эйлера, 7 = Ф(1) 0.5772.79 560417г2 71п7г 6757г^ ISTT^ ^ 16 3072 2 4096 32 157г^ 1п7г 797Г7 797г1п7г 157г^7 1 7^ •I _ 1- 1п7Г + 7 + i 64 32 32 64 ' 4 35557г^ In^ TT ^ _ ^ ^ . - 9 9 ' 36 ^ ' В1 = / ,о^^(ЗМ^, в% = - ^ V (5.6)

3! ' ''" >/=Ж ^/^я.111 о ж11К 12 / 6 , 24 12 Е ( а Л , ^ Л ) = у + е[^--1п7г-—-—q^ + +J*(l)) + 0(.^), (5.7) ^ , - .III „ .||K 12 / 6 , 12 „ 4n' + | ф ( 1 ) ) + 0(е^), (5.8) Е(5А,^.Ф4) = 4. (5.9) Н = ^Ш±^-'-±1-Ц+1)ЧЦ + 2) (5.10) ^3ln(x2)x2 + 3 x 2 - 9 + 7r2-7rV 121пх2 cp. правую часть с выражением для /i в [60].^^'-h-'-l' (^ ^^ ) здесь и далее т 0.749 [60]./•оо гоо гоо 1 Т = / dti dt2 / i t s In ^37 ^ X X exp TT- TT7 : j — W 1 ' о (5.16) ^ 360(п + 8)2 ^ (-15601пЗ + 12 + 357г2 - 120In2 - 600т + 32407)п2 360(п + 8)2 (22272 + 208807 + ббОтг^ - 9840 In 3 - 1200 In 2 - 7440т) n 360(n + 8)2 (86880 + 22407г2 + 518407 - 1920Ь2 - 21120т - 249601пЗ) *" 360(п + 8)2 (3) - (ЗЗп^ + 922п + 2960 + 96С(3)(5п + 22)) д ал<^ ' (5.18) (3) _ (п + 2)(п + 8) ^Ф' = 1296 (5.19)

1. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V.,Barinov V. A.,Kabrits Yu. S.,Vasil'ev A. N., Phys. Rev. E 64, 056306 (2001).

2. Antonenko S. A., Sokolov A. I., Phys. Rev. E 51, 1894 (1995).

3. Baker Jr. G. A., Nickel B. G., Meiron D. I., Phys. Rev. В 17, 1365 (1978).

4. Balkovsky E., Lebedev V., Phys. Rev. В 58, 5776 (1998).

5. Bogoljubov N. N., Sirkov D. V., Nuovo Cim., 3, 845 (1956).

6. Bray A. J., Phys. Rev. В 14, 1248 (1976).

7. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Phys. Rev. D 8 2418 (1973).

8. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Phase Transitions and Critical Phenomena (New York), 6, 114 (1976).

9. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Phys. Rev. D 15, 1544 (1977).

10. Brezin E., Parisi G., J. Stat. Phys. 19, 269 (1978).

11. Callan C. G., Phys. Rev. D, 2, 1541 (1970).

12. Campostrini M., Pelissetto A., Rossi P., Vicari E., Phys. Rev. E 57, 184 (1998).

13. Chertkov M., Phys. Rev. E 55, 2722 (1997)

14. Chetyrkin K. G., Kataev A. L., Tkachov F. V., Phys. Lett. В 99, 147 (1981)

15. Gell Mann M., Low F. E., Phys. Rev. 95, 1300 (1954).

16. Gorishny S. G., Larin S. A., Tkachev F. V., Phys. Lett. A 101, 1201984).

17. Guida R., Zinn-Justin J., J. Phys. A 31, 8103 (1998).

18. Hohenberg P. C., Halperin В. I., Rev. Mod. Phys. 49, 455 (1977).

19. Honkonen J., Nalimov M., Phys. Let. В 459, 582 (1999).

20. Kleinert H., Phys. Rev. D 60, 085001 (1999).

21. Kleinert H., Neu J., Schulte-Frohlinde V., Chetyrkin K. G. and Larin S. A., Phys. Lett. В 272, 39 (1991)

22. Kleinert H., Neu J., Schulte-Frohlinde V., Chetyrkin K. G. and Larin S. A., Phys. Lett. В 319, 545 (1993).

23. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J., Phys. Rev. Lett. 39, 95 (1977).

24. Le Guillou J. C. and Zinn-Justin J., Phys. Rev. В 21, 3976 (1980).

25. Le Guillou J. C. and Zinn-Justin J., J. Physique Lett. 46, L1371985).

26. Le Guillou J. C. and Zinn-Justin J., J. Physique 48, 19 (1987).

27. Le Guillou J. C. and Zinn-Justin J., J. Physique 50, 1365 (1989).

28. Makhankov V. G., Phys. Lett. A 61, 431 (1977).

29. Martin P.O., Siggia E.D., Rose H.A., Phys. Rev. A 8, 423 (1973).

30. McKane A. J., Wallace D. J., J. Phys. A: Math. Gen. 11, 2285 (1978).

31. McKane A. J., Wallace D. J., de AlcantaraBonfim O.F., J. Phys.A: Math. Gen. 17, 1861 (1984).

32. Mudrov A. I., Varnashev К. В., Phys. Rev. E 58, 5371 (1998).

33. Olla P., Phys. Rev. Lett. 67, 2465 (1991);

34. Olla P., Int. J. Mod. Phys. В 8, 581 (1994).

35. Stueckelberg E. C. G., Petermann A., Helvetica Physica Acta 26, fasc. 5, 499 (1953).

36. Symanzik K., Commun. Math. Phys. 18, 227 (1970).37. t'Hooft G., Nucl. Phys. В 61, 455 (1973).38. t'Hooft G., Veltman M. Nucl. Phys. В 44, 189, (1972).

37. Wegner F.J., Phys. Rev. В 6 1891 (1972).

38. Wilson K. G., Phys. Rev. В 4, 3174 (1971).

39. Wilson K. G., Phys. Rev. Lett. 28, 548 (1972).

40. Wilson K. G., Phys. Rev. D 7, 2911 (1973).

41. Wilson K. G., Fisher M. E., Phys. Rev. Lett. 28, 240 (1972).

42. Wilson K. G., Kogut J., Phys. Rep. 12, 75 (1974).

43. Yakhot V., Phys. Rev. A 23, 1486 (1981).

44. Yachot Y., Orszag S.A., Phys. Rev. Lett. 57, 1722 (1986);

45. Yachot V., Orszag S.A., J. Sci. Сотр. 1, 3 (1986).

46. Yakhot V., Smith L.M., J. Sci. Сотр. 7, 35 (1992).

47. Yukalov V. I., Gluzman S., Phys. Rev. E 58, 1359 (1998).

48. Zinn-Justin J., Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford Univ. Press, Oxford, 1989).

49. Аджемян Jl. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н., Журн. экспер. и теор. физ. 95, 1272 ( 1989).

50. Аджемян Л. Ц., Антонов Н. В., Васильев А. Н., Успехи физ. наук 95, 1257 (1996).

51. Антонов Н. В., Налимов М. Ю., Удалов А. А., Теор. и мат. физ. 110, 385 (1997).

52. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Докл. АН СССР 29, 203 (1955).

53. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Докл. АН СССР 29, 391 (1955).

54. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Журн. экспер. и теор. физ. 30, 77 (1956).

55. Васильев А. Н., Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике (ПИЯФ, С-Пб., 1998).

56. Владимиров А. А. Теор. и мат. физ. 36, 271, (1978).

57. Казаков ДИ., Тарасов О.В., Ширков Д.В., Теор. и мат. физ. 38, 15 (1979).

58. Кубышин Ю. А., Теор. и мат. физ. 57, 363 (1983).

59. Липатов JI. Н., Журн. экспер. и теор. физ. 72, 411 (1977).

60. Ма Ш. Современная теория критических явлений (М.: Мир, 1980).

61. Налимов М. Ю., Удалов А. А. Вестник СПбГУ 4, 33 (1996).

62. Овсянников Л. В. Докл. АН СССР 109, 1112 (1956).

63. Паташинский А. 3., Покровский В. Л., Флуктуационная теория фазовых переходов. (М.: Наука, 1982.) стр. 381.

64. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (М.: ГИТТЛ, 1951.) стр. 353.

65. Суслов И. М., Журн. экспер. и теор. физ. 106, 560 (1994).

66. Суслов И. М., Журн. экспер. и теор. физ. 111, 220 (1997).

67. Суслов И. М., Журн. экспер. и теор. физ. 111, 1896 (1997).

68. Ушверидзе А. Г., Ядерная физика 38, 798 (1983).