Многопетлевые расчеты в задачах нелинейной стохастической динамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

иаа4В8173

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЬИгию 1 ы

На правах рукописи

СЛАДКОФФ Левка

МНОГОПЕТЛЕВЫЕ РАСЧЕТЫ В ЗАДАЧАХ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2009 г.

003468173

Работа выполнена на кафедре статистической физики физического факультет Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Аджемян Лоран Цолакович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор Антонов Николай Викторович кандидат физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник Деркачев Сергей Эдуардович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ

зо

Защита состоится «23» апреля 2009 г. в lfr часов на заседании совет Д.212.232.24 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербур Университетская наб., 7-9, кекжр)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургског государственного университета

Автореферат разослан «АО.» марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

ктуальность темы исследования

шормгрупповой (РГ) подход является в настоящее время основным инструмен-iM исследования фазовых переходов II рода и критических явлений, а также за-L4 неравновесной нелинейной стохастической динамики. Он позволяет обосновать штический скейлинг и рассчитать параметры этого скейлинга — критические ин-ксы и универсальные отношения амплитуд — в виде е-разложеиий. Эти разло-ения являются асимптотическими, поэтому расчет начального отрезка ряда до-лняется информацией о поведении старших членов разложения с последующим ммированием по Борелю. Развитые аналитические методы расчета позволили ссчитать 5 членов е-разложений в задачах критической статики, проведенное тем борелевское суммирование привело к хорошему согласию с эксперименталь-ши данными. Расчеты в задачах критической динамики существенно сложнее, этому здесь в наиболее простой А-модели достигнута лишь точность 0(е3), в льшинстве задач неравновесной динамики обычно сосчитан лишь первый член зложения.

Результаты в статике и динамике не удавалось улучшить с 1991 и 1984 гг. со-ветственно. Это связано с тем, что аналитические методы расчета констант ре-рмировок сталкиваются в высших порядках теории возмущений с трудностями инципиального характера. Весьма актуальной задачей является поэтому разра-тка методов численного расчета констант ренормировок. Задача нетривиальна, скольку требует вычисления многократных интегралов, содержащих сингуляр-сти по параметру е все возрастающей степени с увеличением порядка теории змущений. Таким многопетлевым расчетам и посвящена настоящая диссертаци-шая работа.

ели работы

елью работы является разработка алгоритма численного расчета констант ренор-ировок в старших порядках теории возмущений и использование такого подхода в вух задачах стохастической динамики: ренормгрупповом описании процесса тур-улентного перемешивания пассивной примеси и модели А критической динамики.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты показали, что задачи нелинейной стохаст! ческой динамики могут эффективно решаться на основе сочетания теоретикопол( вых методов и численного расчета констант ренормировок. Такой подход позволн существенно продвинуться в решении двух рассмотренных задач стохастическо динамики и достичь результатов, которые не удавалось получить чисто аналит! ческими методами.

Практическая и теоретическая ценность

Предложенный в работе метод численного расчета констант ренормировок продс монстрировал свою эффективность на примере впервые выполненного четыре петлевого расчета в задаче критической динамики. Этот метод может составит основу полностью автоматизированного расчета констант ренормировок, дополни уже имеющиеся компьютерные программы построения фейнмановских диаграм, и расчета комбинаторных коэффициентов, что даст возможность продвижения старшие порядки теории возмущений в широком классе задач критической статик и динамики, а также задачах нелинейной неравновесной стохастической динамик!

Апробация работы

Результаты работы докладывались на международных конференциях "Renormal zation Group 2005" (Helsinki, 2005 г.), "Renormalization Group and Related Topics (Дубна, 2008 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы, список публикаци приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, выносимых на защиту основных р зультатов диссертации, Заключения, 3-х приложений и списка цитируемой лит ратуры из 59 наименований. Работа изложена на 119 стр., содержит 11 таблиц 20 рисунков.

СНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

о введении сформулированы актуальность, цель и задачи работы, а также при-ден обзор результатов в области применения методов ренормгруплы в теории штических явлений и стохастической динамике.

первой главе излагается процедура сведения двух рассмотренных задач сто-.стической динамики к теоретико-полевой формулировке и ренормировка полу-енных моделей. В общем виде задача нелинейной стохастической динамики опи-шается уравнением

dt<p(x,t) = U(x,t-,ip) + ri{x,t) , (1)

,е ip — поле, характеризующее состояние системы, U — функционал от ip и его роизводных в один и тот же момент времени, г) — случайная сила с гауссовым аспределением, заданная коррелятором (т;(х, £)r)(x', t')) = D(x — х', t — t') и ну-евым средним (r](x,t)) = 0. Частным случаем уравнения (1) является уравнение анжевена, для которого функционал U представим в виде вариационной произ-одной от статического функционала действия Sst, а коррелятор пропорционален инейному оператору а по х:

U(<p) = Jf1^) , D(x-x',t-t') = 2q5(x - x')S(t -1') . (2)

6ifi(x)

1я наиболее простой модели, так называемой модели А по [1], рассматривается татическое действие модели

— ~(dip)2/2 — TQip2¡2 — до<р4/2& , а = До , (3)

де Ао вещественная постоянная. Тем самым уравнение (1) принимает вид

dt<p = Ао (d2ip - T0ip - gov3/б) + ч ■ (4)

адачу (4) можно свести к квантовополевой модели с действием

S{v>, Ч>') = Ao¥>V + Ч> [-dt<p + Ао(d2ip - т0<р - 5о^3/6)] , (5)

де — вспомогательное поле. Диаграммы теории возмущений модели (5) со-ержат ультрафиолетовые (УФ) расходимости, проявляющиеся в виде полюсов по

£ = 4—й, где (I — размерность пространства. Эти расходимости могут быть устране ны мультипликативной ренормировкой полей ¡р = (pRZv,, (/>' = и параметр01

Ао = А2а, то = тИт, до = дцс2д. В результате получаем ренормированное действш (индекс "Я" у полей опускается)

5д(<^, </) = ^А^У + уз' + А(г3д2<р - - г5дцг(р3/6)] , (6

Задача состоит в вычислении констант ренормировок Zl-Zs, знание которых поз воляет с помощью метода ренормгруппы рассчитать критические индексы систе мы. Показано [2], что константы ренормировки £3,^4, совпадают с соответству ющими константами статической модели (3), известными с пятипетлевой точно стью. С учетом равенства Z\ = остается лишь одна независимая динамическа} константа.

Следующая рассматриваемая задача - изучение турбулентного переметиванш пассивной примеси в несжимаемой жидкости. Движение жидкости описываете} стохастическим уравнением Навье-Стокса

Эта задача имеет стандартный вид (1), но не является уравнением Ланжевена (2) т.к. соответствующий ей функционал и(<р) нельзя представить в виде вариацион ной производной. Предполагается, что случайная сила г) имеет гауссово распреде ление с коррелятором

где Ру(к) = — к{к]/к2 — поперечный проектор и И{к) = кА~л~2е — спект накачки. Перемешивание пассивной примеси описывается уравнением диффузии учетом конвективного переноса

+ {фкдк)<Рг = "од2<Рг - дгР + Т/г .

(7

Я(х - х',«- I') = 8{1 - 0Р^(к)дои30Щк)е^х-^

(8

дьф + (<ркдк)ф = код2ф ,

(9)

где ф - концентрация примесных частиц, а к0 - коэффициент диффузии. Эта за

ача также сводится к квантовополевой с действием

S(y>, <р', ф, ф') = goul<p'Ntp'/2 + [~dttp + и0д2<р - {у>д)ч>\ +

+ Ф' [—дьф + и0и0д2ф - [ч>д)ф] , (10)

ио = kq/uq. Ренормировка осуществляется соотношениями ио = vZv, щ = uZu, к = ZUZV} go = дц2еZg с условием связи ZgZf, = 1, что приводит к ренормиро-шному действию

SR(<p, ч>', ф, ф') = </1/УУ AV'/2 + Ч> V + vzud2<p - (<pd)<p] +

+ ф' [-0tV> + иигкд2ф - (<рд)ф] . (11)

о второй главе излагается техника вычисления многопетлевых диаграмм на римере расчета константы ренормировки Z2 динамической А-модели.

Возможность мультипликативной ренормировки теории, т.е. устранения в тео-ии возмущений полюсов по е за счет подходящего выбора констант ренормиров-и, обусловлена тем, что вычеты при полюсах функций Грина носят локальный арактер, т.е. являются в Фурье-представлении полиномами по импульсам и ча-тотам. В частности, константу Z? можно определить, потребовав УФ-конечности -неприводимой функции Г = дш (ф'ф) 1н|р-ош-о' ® терминах ренормированных временных ряд теории возмущений для этой величины имеет вид

оо

rH = Z2[l + £(№%)4">(m#/a)] , т ЕЕ Т1'2 . (12)

П=1

(")

ассчитываемые по диаграммам величины 7,3 содержат полюса по е, которые олжны быть устранены в каждом порядке теории возмущений по ренормирован-ому заряду g за счет выбора констант Zi. Этот выбор неоднозначен и зависит т используемой схемы вычитаний, в схеме минимальных вычитаний MS (от англ. inimal Subtraction) константы ренормировки имеют вид

оо п

2a = l + 5>"ECW~fc, (13)

n=l к=1

.е. вычитаются только полюса по е. При известных статических константах Zg, т коэффициенты Спк этого разложения определяются из требования сокращения

полюсов в (12). В теории ренормировки доказывается, что учет 2Т в (12) можнс заменить действием определенной Ы'-операции

оо

Гд = £2 + £(ДОТ11'7£п)(т)- (14

П = 1

По соображениям размерности уд1^ (тп) ~ тп~пе, так что переходом к безразмерны N переменным интегрирования можно ввести функцию

■ум(5) = цП€^\т), з = т/ц (15

и переписать (14) в виде

оо

= + (16 П=1

В теории ренормировки доказывается, что в схеме МБ величина П^"1^) не зави сит от в, поэтому в (16) можно положить 3 = 1.

Расходимость (полюса по е) величин обусловлена вкладами в соответ

ствующие диаграммы от областей малых расстояний и времен. Различают поверх постную расходимость, когда вся диаграмма "стягивается в точку" и расходимост! в подграфе, когда стягивается в точку некоторый фрагмент диаграммы. Расходя щиеся подграфы образуют в общем случае сложную перекрывающуюся систем что сильно осложняет нахождение вычетов в полюсах. Действие И'-операции сво дится к вычитанию расходимостей в подграфах, так что в величине остаето

лишь вклад поверхностной расходимости, чем в конечном счете и обусловлена ре нормируемость теории.

Мы хотим использовать И'-операцию для выделения вычетов при полюсах. Ос новой для этого будет утверждение о том, что если некоторая диаграмма 7 не имее поверхностной расходимости, то величина 11'7 УФ-конечна, т.е. не содержит полю сов по е. Если данную величину удается представить в виде единого интеграла не содержащего особенностей, то его зависимость от е можно искать разложени ем в ряд подынтегрального выражения с последующим численным нахождение коэффициентов. При использовании схемы МЗ этого, однако, не удается сделать т.к. процедура отбора полюсов в этой схеме не дает возможности записать УФ конечную величину И.'7 в виде единого интеграла. Поэтому в вычислительны

елях использовалась другая известная схема ренормировки (назовем ее Я'), ос-ованная на вычитании го расходящейся величины соответствующего начального грезка ряда по частоте и импульсу. Бели в величине И'7 полагается затем 5=1, акая схема носит название схемы примитивных вычитаний [2]. В нашем случае перация вычитания осуществлялась с помощью операторов Ко и Кг, определен-ых равенствами

Ко/(р2,и) = /|р2=0,ш=0 , К2/(р2,и;) = ар2/|р2=0 ы=0-р2 +Мр2=0^=0-ы • (17) п-том порядке теории возмущений разность

5Н'7(п)=К'7(п)-К77(п) (18)

пределяется произведением диаграмм младших порядков, что позволяет строить терационную процедуру для нахождения Я'7 по известной К'7.

Диаграммы 7^ (й) имеют поверхностную расходимость, поэтому к ним описаний способ расчета непосредственно не применим. Чтобы ее устранить, достаточ-о продифференцировать 7'"'(5) по г. Поскольку ~ з_ПЕ, нетрудно затем

о производной восстановить саму функцию: 7'п'(з) = Учитывая,

то в конечном ответе будет положено в = 1, и вводя оператор д3 равенством а/(«) = — да/(з)\3=1, запишем

еличина К'дзУ1-"^^) УФ-конечна, однако непосредственно достичь поставленной ели дифференцированием (5) по в не удается, т.к. операции И' и д., не ком-

утируют — операция д3, действуя на подграфы, может сделать их не существен-шми (не дающими расходимостей), что отражается на содержании И' -операции, о определению действующей на существенные подграфы. Дело облегчается тем, то коммутатор ^"' = (9,11' — К'д3)гу^(з) определяется произведением диаграмм ладшего порядка, что делает возможным построение итерационной процедуры.

Таким образом, основой дальнейших расчетов является соотношение

К'7(») = ± (4») + уМ) + Ш'7(») ( (20)

которое позволяет итерациями находить вычисляя величины ■У!"' г

И'дзу^(в), разложимые в ряд Тэйлора по е. Коэффициенты этого ряда определи ются многократными конечными интегралами, не содержащими параметров, и и: можно рассчитывать с помощью стандартных компьютерных программ.

Операция И.' является естественной в описанном способе вычислений и ее мож но было положить в основу процедуры ренормировки. Мы все же остановились н; схеме минимальных вычитаний по двум причинам. Во-первых, статические кон станты ренормировки и, следовательно, положение неподвижной точки известнь именно в МЭ схеме. Во-вторых, эта схема позволяет произвольно изменять спосо инфракрасной регуляризации диаграмм, выбирая наиболее технически удобный.

Вычислить по изложенной схеме двухпетлевые и трехпетлевые вклады I 71-3' особенно просто, т.к. для них оказывается ¿К'у^ = 0. Такой расчет дает следующие значения коэффициентов для константы ренормировки 2г из (13):

С31= 0.0118412, С21 = С32 = ~1п(4/3) , Си=Саз = Сзз = 0. (21

Впервые зтот результат был получен в работе [3], где все расчеты проводилиа аналитически.

Новый результат в работе получен в четвертом порядке теории возмущений, 1 котором необходимо было рассчитать 25 четырехпетлевых диаграмм. Им соответ ствуют 4 группы А, В, С, Б топологически эквивалентных диаграмм, в которы не различаются поля и <р'

С:

В группе А имеется 4 диаграммы, их легче остальных вычислять, т.к. и в это случае <511'= 0. УФ-конечная величина представлялась в виде единог формально 20-ти кратного интеграла, который после упрощений сводился к 9-Т1 кратному и вычислялся численно методом Монте-Карло. Вклад в свою очеред выражался через уже вычисленные трехпетлевые диаграммы

иаграммы группы С и Б естественно объединить, т.к. они вычисляются схожим разом, это дает 17 различных диаграмм. Величины также сводятся к 9-

: кратным интегралам. Вклады ./^¿ь и выражаются через диаграммы

[зших порядков

4оь = -7(2)КоШааг13' - бШ7(3) , Ш'7^=7(2)(1-К)К0г13), (23) е Г43' — сумма трехпетлевых диаграмм 1-неприводимой функции

(Ф'Ф3) I

Г4 = - 0 . (24)

А д^

руппа В включает 4 диаграммы, их сложнее всего вычислять, т.к. здесь впер-ые появляются квадратично расходящиеся подграфы. Величины , как и для стальных диаграмм, сводятся к 9-ти кратным интегралам, а и выра-

жаются через произведения двухпетлевых диаграмм.

Суммируя вклады диаграмм всех четырех групп, находим величину 7^4' (чет-ертый порядок теории возмущений), что определяет соответствующие коэффици-нты для константы ренормировки ¿г-'

Си = -0.02491 , С42 = 0.039440 , С43 = Г91"(4/3) ^ с44 = 0 ■ (25)

64

третьей главе приводятся детали двухпетлевого расчета констант ренормиро-ок для модели турбулентного перемешивания пассивной примеси. Запишем урав-¡ения Дайсона для функций отклика Г^.у, Г.ф,у и собственно энергетических опе-аторов Е^/^,, £ф/ф в ренормированных переменных при нулевой внешней частоте

Я Л^9) = ~ = -

Г^ф^к, и)

1>к2 Г фф'(к,и) иик2

Яу'^к, и)

и=о "к2

ш=о * иик2

(26)

десь введены безразмерные функции Н^,, Нф от безразмерных аргументов д и где ^ = к/II. Интересующие нас константы ренормировки и имеют вид

= 1 + ——д + ( —--Ь -Щ— I д2 + 0(дл). (27)

В однопетлевом приближении для нахождения величин а^ и а^'(и) потребу ем УФ-конечность линейного коэффициента разложения соответственно функцш = 1, д) и = 1, д, и) по д. Вычислив полюсную часть собственно энерге тических операторов и Е-фу в (26), приходим к результату, полученному \

[4]

(„> _ (Л -1)5,1 и)( , _ (<* -,„_

РГ-функции рд,и определяются соотношениями Рд(д) = цдц\ад и @и(д,и) ь и, где ¿¿<9,,|0 — оператор цд^ при фиксированных затравочных параметрах до ио, ио- Положение неподвижной точки (<?», и.) определяется условиями Рд(д.) = и 0и(д,,и,) = 0. Используя однопетлевые выражения для констант ренормировк1 2К (27, 28), находим

д, = ^+0(е2), и, ^ и<°> + и[»е + 0(е2) = \ - 1) + 0(е). (29

Определим теперь однопетлевые вклады а^, аф функций отклика Г^ ка линейные коэффициенты разложения по д при <1 = Ъ соответственно функци Я<Д£ = 1, д) = 1 + а^д 4- 0(д2) 1,гг, д) + + 0(д2). Ответ можн

выразить через два интеграла, численный расчет дает

= -0.04771853 , ау,(и10)|й=3) = -0.0413953 • (30

Двухпетлевые вклады в константу ренормировки 2К легче найти из условия УФ

конечности Нф(£,д,и) при £ —> 0. Впервые выполненный в данной работе числен

ный расчет 8 двухпетлевых диаграмм для £ф'ф позволил найти коэффициента

2(к) 22

»Л.<°>1. -Л -

и а'з' ИЗ (27):

С(и) = = -37Ц20+(19Ц++ц)1з6 ■ (31

Двухпетлевой расчет константы ренормировки был выполнен в работе [5]:

(„) _ 3((1 - 1)2~§1\ . .

°21 _ 128(й + 2)2 ' 1 '

где А ~ —1.101 при в, = 3. Соотношения (31), (32) позволяют найти двухпелевы

выражения для координат неподвижной точки (и^ определен в (29)):

3 (1)_ 2(<*+2) Г 128(<й-2)2 (0) 3(^-1)5,(1 + Л£) + 0(£)' ~ ¿(1+2«<°>) 3(^-1)» В{и' \

четвертой главе проводятся необходимые выкладки для нахождения физиче-сих величин из констант ренормировок.

Начнем с динамической А модели. До этого все вычисления проводились в слу-1е, когда поле параметра порядка 1р — скаляр. Обобщение на га-компонентное >ле при использовании Л'-операции не вызывает трудностей , нужно только до-ножать двухпетлевой, трехпетлевой и четырехпетлевые вклады А, В и СБ на ютветствующие "индексные" структуры, которые легко находятся. РГ-функция > определяется соотношением 72 = /Зиди 1пгде /Зи(и) = 0и и — опе-

тгор цду. при фиксированных затравочных параметрах до, то, Ло. Таким образом аходим

п+2 21п(4/3)

72 = ——и

1 - 0.49393

+ (.0.2511 - 0.1700 + 1.806 .2 + 0(В»)

(34)

оордината неподвижной точки и» определяется условием ри(и,) = 0, коэффиди-[ты ее разложения по е в схеме МБ известны (из статики) с точностью до 5-го орядка [6], нам потребуются только первые три коэффициенты. Динамический критической индекс г принято записывать в виде

2 = 2 + Ятг, Д = 72(и„)Д?- 1 , (35)

де 7] — известный статический индекс Фишера. Величина Я удобна для использо-ания, т.к. ее зависимость от п проще, чем у 72(и.) и г/:

R = (61п(4/3) - 1) (l -0.18848e + [-0.1000 + 47.8п^„Н е2 + 0(е3) 1 .

I (га + 8) J )

(36)

о настоящего момента величина R была известна с точностью до е и оба члена азложения не зависели от п. Полученный в рамках данной работы следующий шен разложения показал, что гипотеза о полной независимости R от п не верна. Вернемся к динамическому критическому индексу, при п = 1 получаем

2 = 2 + 61n(4/3) ~ V + 0.0110363е3 - 0.00558е4 + 0(е5). (37)

54

отя мы имеем дело с асимптотическим рядом, в данном случае последняя по-равка оказывается в два раза меньше предыдущей. При d = 3 (е = 1) индекс г ринимает значение 2.01890, что находится в согласии с экспериментом.

Таким образом, в динамической задаче критического поведения впервые в рам ках е-разложения получен четвертый порядок теории возмущений. На основе эти результатов были осуществлены различные варианты борелевского суммировани с использованием асимптотики высоких порядков. В целом погрешность ответо оставалась большой, что, по-видимому, объясняется существенным отклонение! рассчитанных членов ряда по s от соответствующих найденных к настоящему мо менту вкладов в асимптотику высоких порядков. Поэтому для повышения точно сти, кроме расчета следующего порядка е-разложения, полезным может оказать« уточнение самой асимптотики.

Во второй задаче — турбулентного перемешивания пассивной примеси — рас считывается турбулентное (эффективное) число Прандтля имеющее смыс; отношения эффективных коэффициентов диффузии и вязкости. Переход к РГ представлению для функций отклика (26) в инерционном интервале позволяв обосновать следующее определение этой величины:

=1,0.) " (38 Примечательно, что величина ие// в такой записи не зависит от выбора схемь ренормировки. Подставляя однопетлевые вклады а-ф функций отклика в раз ложение uej/ по g, а потом по е при (g,и) = (g,, и*), получаем:

lie// = u. {1 + [ау, - сц,(и,)] g, + O(gï)} =

= и<°> [l + e (иУ/и™ + [av - а^п<0))] g<°>) + 0(e2)} . (39

Таким образом, для нахождения двухпетлевого значения турбулентного числ Прандтля необходимо рассчитать положение неподвижной точки (g»,и,) с двух петлевой точностью а функции отклика с однопетлевой точностью. Проведенньи при d = 3 расчет дал для ие// следующее разложение по е

Ueff = 1 (1 - 0.0358 е) + 0(е2). (40)

При физическом е = 2 это дает для турбулентного числа Прандтля значение 0.769 (без учета двухпетлевой поправки было 0.7179). Как видно, величина поправки со ставляет всего лишь 7 % по сравнению с главным членом. Такая ситуация не харак

рна для рассчитанных ранее в рамках ^-разложения характеристик турбулент-IX течений, таких, как константа Колмогорова и фактор асимметрии. Большая личина поправок для этих величин обусловлена вкладом диаграмм, имеющим ¡гулярность при (I —> 2, которые и при <1 = 3 вносят доминирующий вклад . Рассмотрение зависимости от размерности пространства показало, что и в на-:й задаче в поправках к эффективным коэффициентам диффузии и вязкости исутствуют сингулярные при —> 2 слагаемые, которые при й = 3 дают боль->й вклад. Однако в отношении этих величин сингулярные вклады сокращаются результирующая поправка для числа Прандтля оказывается небольшой. Этим, -видимому, объясняется хорошее согласие с экспериментальным значением тур-лентного числа Прандтля 0.81 ± 0.05.

заключении приведены выносимые на защиту основные результаты :ссертации:

Разработан метод численного расчета констант ренормировок, основанный на пользовании Ы-операции теории ренормировок. Он позволяет свести задачу на-ждения вычетов в полюсах фейнмановских диаграмм к вычислению многократ-IX интегралов, не содержащих особенностей.

. На основе предложенного метода проведен четырехпетлевой расчет констант нормировки и ренормгрупповых функций модели А критической динамики. Ди-мический критический индекс рассчитан в порядке е4.

. Проведено борелевское суммирование полученного е-разложения с учетом имптотического поведения старших членов ряда. Полученный результат нахо-ится в согласии с экспериментальными данными.

. Методом ренормгруппы во втором порядке теории возмущений рассмотрена за-ача турбулентного перемешивания пассивной примеси. Проведен двухпетлевой асчет констант ренормировки и ренормгрупповых функций. С точностью до £2 пределено положение неподвижной точки ренормгрупповых преобразований. . Рассчитаны функции отклика в задаче турбулентного перемешивания пассивной римеси. Во втором порядке теории возмущений найдено значение турбулентного исла Прандтля. Учет впервые рассчитанного вклада порядка с2 заметно улучшил огласке с экспериментом.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kim Т. L., Sladkoff L. Two-loop calculation of th turbulent Prandtl number // Phys. Rev. E. — 2005. - Vol. 71. - Pp. 056311-1-056311 9. (личный вклад 25 %)

2. Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kim T. L., Kompaniets M. V., Sladkoff L Vasil'ev A. N. Some specific features of the e expansion in the theory of turbulenc and the possibility of its improvement //J. Phys. A: Math. Gen. — 2006. — Vol. 39. Pp. 7789-7799. (личный вклад 17%)

3. Аджемян JI. Ц., Новиков С. В., Сладкофф JI. Расчет динамического индекс модели А критической динамики в порядке е4 // Вестник СПбГУ. — 2008. — Т. № 4, — С. 110-114. (личный вклад 33%)

Список цитируемой литературы:

[1] Hohenberg Р. С., Halperin В. I. Theory of dynamical critical phenomena //Re Mod. Phys. - 1977. - Vol. 49. - Pp. 435-479.

[2] Васильев A. H. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического повед ния и стохастической динамике. — СПб.: ПИЯФ, 1998.

[3] Антонов Н. В., Васильев А. Н. Критическая динамика как теория поля / ТМФ. - 1984. - Т. 60, JV® 1. - С. 59-71.

[4] Аджемян Л. Ц., Васильев А. Н., Гнатич М. Ренормгрупповой подход к теори турбулентности: включение пассивной примеси // ТМФ. — 1984. — Т. 58, № 1. С. 72-78.

[5] Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Kompaniets M. V., Vasil'ev A. Renormalization-group approach to the stochastic Navier-Stokes equation: two-loo approximation // Int. J. Mod. Phys. B. — 2003. - Vol. 17. - Pp. 2137-2170.

[6] Kleinert H., Neu J., Schulte-Prohlinde V., Chetyrkin K. G., Larin S. A. Five-loo renormalization group functions of 0(n)-symmetric ^-theory and e-expansions о critical exponents up to e5 // Phys. Lett. B. — 1991. - Vol. 272, no. 1-2. — Pp. 39 44. — Erratum: Phys. Lett. B. — 1993. — Vol. 319, no. 4. — P. 545.

Подписано к печати 12.03.09. Формат 60 х 84 Vj6 . Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 1,0. _Тираж 100 экз. Заказ 4408._

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043, 428-6919

Введение

1 Ренормгрунпа в стохастической динамике

1.1 Квантовополевая модель задачи стохастической динамики

1.2 Ренормировка модели А.

1.3 Ренормировка модели турбулентного перемешивания примеси

2 Модель А: ^-разложение константы ренормировки

2.1 Двухпетлевой расчет.

2.2 Трехпетлевой расчет.

2.3 Четырехпетлевой расчет.

2.3.1 Диаграммы группы А.

2.3.2 Диаграммы групп С и D.

2.3.3 Диаграммы группы В

3 Модель турбулентного перемешивания примеси: е-разложение константы ренормировки ZK

3.1 Однопетлевой расчет.

3.2 Двухпетлевой расчет.

4 Выражение физических величин через вычисленные константы ренормировок

4,1 Динамический критический индекс z модели А.

4.2 Турбулентное число Прандтля.

Фазовые переходы второго рода носят универсальный характер. Описывающие их критические индексы не зависят от деталей рассматриваемой модели, а лишь от таких общих характеристик, как симметрия системы, размерность пространства, число компонент параметра порядка. Единая теория критических явлений, объясняющая универсальность фазовых переходов второго рода, была предложена Ландау в 1937 г. [52, 53], однако предсказанные им значения критических индексов оказались приближенными, т.к теория среднего поля никак не учитывает флуктуаций параметра порядка, неограниченно возрастающих при подходе к критической точке. Предложенная позже идея критического скейлинга (гипотеза подобия) была сформулирована Домбом и Хантером [15] для модели Изинга, Вайдомом [36, 35] для перехода жидкость-газ, Паташинским и Покровским [56] для ферромагнетиков и Када-новым [26] для корреляционных функций. Ее суть заключается в том, что при подходе к критической точке сингулярная часть свободной энергии является обобщенно однородной функцией физических переменных модели, которым приписывают некоторые критические размерности, Все критические индексы выражаются через эти размерности, поскольку индексов больше, чем размерностей, между последними существуют определенные связи, Однако феноменология критического скейлинга не дает рецепта нахождения значений размерностей; лишь в начале семидесятых годов Вильсон предложил способ вычисления критических индексов на основе метода ренормгруппы (РГ) [37, 38]. Этот метод был первоначально разработан в середине пятидесятых годов в релятивистской квантовой теории поля. Первые шаги были сделаны независимо Штюкельбергом и Петерманом в работе [34], в которой было отмечено существование группы ренормировочных преобразований в квантовой теории поля, и Гелл-Манном и Лоу в работе [19], предложивших способ получения ультрафиолетовой (УФ) асимптотики в квантовой электродинамике. Год спустя Боголюбов и Ширков установили тесную связь между этими двумя подходами [49, 48, 59] и вскоре построили общую квантовополевую теорию ренормгруппы [50].

В настоящее время ренормгруповой подход является основным методом исследования фазовых переходов второго рода и критических явлений, а также задач неравновесной нелинейной стохастической динамики [8, 7, 43, 51]. Исходная задача сводится к квантовополевой модели, к которой затем применяется техника ренормгруппы. Для этого модель расширяется в нефизическую область значения некоторого параметра в так, чтобы при в —» 0 теория среднего поля становилась все более точной. Введение формального малого параметра в было впервые сделано Вильсоном в работах [40, 39]. Для физической модели этот параметр имеет некоторое значение £физ- Обычный смысл такого параметра в теории фазовых переходов второго рода — отклонение реальной размерности пространства d = 3 от критической размерности с£крит. Во многих случаях с?крит = 4 (в частности, в рассмотренной далее А модели), на бывают модели с другими dKрит, например, с с/крит = 6. В моделях неравновесной динамики параметр в чаще всего не связан с размерностью пространства.

Метод ренормгруппы позволяет обосновать критический скейлинг и вычислять параметры этого скейлинга — критические показатели и универсальные отношения амплитуд — в виде разложения по формально малому параметру в. Получающиеся ряды носят асимптотический характер, а параметр разложения — обычно величина порядка единицы. Для асимптотических разложений известно, что с определенного члена разложения вклады резко возрастают. Однако первые члены разложения могут вполне адекватно описывать экспериментальные данные. Опыт показывает, что для различных величин ситуации могут быть совершенно разными. В общем случае расчет определенного отрезка ряда по е необходимо дополнить процедурой суммирования по Борелю, в котором учитывается также асимптотическое поведение членов разложения с очень большими номерами, полученное Липатовым [54, 9].

Для фазовых переходов второго рода можно различать статический случай — исследование термодинамических свойств системы и задачу исследования динамики равновесных флуктуаций. В первом случае в настоящий момент рассчитано 5 членов разложения критических индексов по £ и проведена процедура борелевского суммирования [27]. Полученные результаты находятся в хорошем согласии с экспериментом. В задачах критической динамики расчеты намного сложнее. Здесь в наиболее простой модели (модель А согласно классификации [23]) получено 3 члена разложения [47]. В неравновесных задачах в большинстве случаев рассмотрен лишь первый порядок теории возмущений. Как в статическом, так и в динамическом случае расчеты проводились аналитическими методами, это потребовало создания весьма изощренной техники. Оказалось, что эта техника сталкивается в старших порядках теории возмущений со сложностями принципиального характера. Поэтому рекордные достигнутые результаты (5-ый порядок в статике и 3-ий в динамике) держатся соответственно с 1991 и 1984 гг. Как нам известно, в динамике предпринимались попытки расчета 4-го порядка теории возмущений, но они оказались неудачными. Поэтому естественно возникло желание произвести соответственные численные расчеты. Такие расчеты и являются содержанием настоящей диссертации. Задача и в этом случае весьма нетривиальна, т.к. речь идет о расчете многократных интегралов, содержащих сингулярности по е высокого порядка.

Первая из рассмотренных задач относится к классу неравновесных, а именно, к расчету стохастической модели турбулентности. Метод ренорм-группы в этой задаче является в настоящее время наиболее развитым техническим приемом, позволяющим пересуммировать прямолинейную теорию возмущений, параметр разложения которой настолько велик при больших числах Рейнольдса, что она становится совершенно непригодной. Долгое время ренормгрупповой расчет в этой модели ограничивался первым порядком теории возмущений. Описание основано на стохастическом уравнении Навье-Стокса для несжимаемой жидкости [31, 33] dtipi + (<Pkdh)<Pi = Щ&фг ~ 9iP + Tji , (1) где <р — поле турбулентных пульсаций скорости, v — коэффициент кинематической вязкости, Р — давление, rj — случайная сила. В силу условия несжимаемости ditpi — 0. Для случайной силы принимается гауссова статистика с заданным парным коррелятором, в который входит параметр е с физическим значением £фИЗ = 2. В данном случае он не связан с размерностью пространства. Доказано, что в этой модели существует устойчивая неподвижная точка, что позволяет рассчитывать параметры критического скейлинга в виде рядов оо ^(ЭДе». (2)

7i=0

Для некоторых физических величин, таких, как критический индекс, описывающий спектр энергии турбулентных пульсаций, использование галлилеевой инвариантности показывает, что ряд (2) обрывается на линейном члене [2]. Здесь ренормгрупповой подход дает точный ответ, что приводит при е = £физ к известному спектру 11/3 Колмогорова [13]. В то же время для многих других важных физических величин, например, для константы Колмогорова — амплитуды в степенном спектре энергии, этот ряд не обрывается. Встает воripoc, насколько е-разложение способно описывать такие величины. Проведенный в работе [1] расчет во втором порядке теории возмущений показал, что в данном случае ряд начинает плохо вести себя с самого начала, так что "поправочный член" практически равен главному. При этом выяснилось интересное обстоятельство, что большая величина поправки почти полностью обусловлена вкладом единственной диаграммы, определяющей более 90 % результата. Анализ зависимости коэффициентов разложения от d показал, что это единственная диаграмма, имеющая сингулярность —ПРИ d 2. Таким образом, ее вклад неограниченно растет при d —> 2, что, по-видимому, проявляется в большом значении диаграммы и при d = 3. В старших порядках разложения (2) степенные сингулярности усиливаются. Возможности ренормгруппы позволили построить процедуру улучшенного ^-разложения. В первом порядке такого разложения коэффициент C\{d) рассчитывается точно, а во всех остальных учитываются главные по вклады. На следукь щем шаге точно вычисляются первые два коэффициента, а во всех остальных учитываются по два члена ряда Лорана по d — 2 и т.д. Произведенный расчет [5, 6] показал значительное улучшение теории возмущений и привел к неплохому согласию с экспериментом.

Интересно было проверить, насколько хорошо работает такая улучшенная теория возмущений для других объектов, поэтому была поставлена задача рассчитать хорошо измеримую характеристику турбулентности — так называемое турбулентное число Прандтля. Речь идет об изучении процесса турбулентного перемешивания пассивной примеси, описываемого уравнением кф + (<Ркдк)Ф — KoA^ • (з)

Здесь поле ф может иметь смысл концентрации примесных частиц, в этом случае Ко — коэффициент диффузии-, а может иметь смысл неоднородного поля температуры, тогда k,q — коэффициент температуропроводности. Фактически это уравнение диффузии с учетом конвективного переноса. В отличие от популярной сейчас упрощенной модели Крейчнана [29], в которой поле пульсаций ip моделируется гауссовой случайной величиной, в данной работе рассматривается случай, когда (/? удовлетворяет уравнению Навье-Стокса (1). Примесное поле не входит в это уравнение, отсюда название — пассивная примесь. Безразмерное отношение щ к «о называют числом Прандтля для поля температуры и числом Шмидта для поля концентрации. Для систем с сильно развитой турбулентностью процесс рассасывания неоднородностей температуры или примеси сильно ускоряется, что приводит к формированию эффективных коэффициентов вязкости и диффузии г/эфф и «эфф, которые в число Рейнольдса раз превышают соответствующие молекулярные величины ио и kq. Отношение ^эфф/^эфф = Pft называется турбулентным числом Прандтля (Шмидта). В отличие от своего молекулярного аналога, оно является универсальным и не зависит от свойств конкретной жидкости или газа. Впервые турбулентное число Прандтля было рассчитано (в однопетле-вом приближении) в рамках ренормгруппы и ^-разложения в работах [18, 44] (уточним, что в работе [18] речь шла о магнитном числе Прандтля), что привело к весьма неплохому согласию с экспериментом [55, 11, 10]. Насколько этот факт является случайным, должен показать расчет поправочного слагаемого: в настоящей работе проведены двухпетлевые расчеты констант ренормировок и функций отклика, которые определяют эффективные значения турбулентной вязкости и диффузии. Результат для d — 3 довольно неожиданный — поправка оказывается небольшой и приводит к еще лучшему согласию с экспериментом, хотя порознь поправки к г^эфф и /%фф большие, Оказывается, что как и для константы Колмогорова, основной вклад в эти величины дают диаграммы, сингулярные при d —» 2, но в отношении этих величин сингулярные вклады нацело сокращаются, так что поправка к величине Prt конечна при d = 2 и процедура улучшения е-разложения в данном случае не требуется, хотя она может стать необходимой в старших порядках теории возмущений. Экспериментальное значение эффективного числа Прандтля, приводимое в литературе, равно 0.81 ± 0.05 согласно [11], первый порядок ренормгруппы дает 0,7179, а второй — 0.7693. Таким образом, поправка относительно невелика и приводит к заметному улучшению согласия с экспериментом. Соответствующие результаты опубликованы в работах [4, 3].

Следующая задача, которая решается в диссертации — ренормгруппо-вое исследование модели А критической динамики. Согласно гипотезе динамического скейлинга, кроме статических критических размерностей, в системе появляется дополнительная критическая размерность [16, 17, 20, 21]. Модель А самая простая из динамических моделей без сохранения параметра порядка и описывается уравнением Ланжевена со статическим действием модели Гинзбурга-Ландау: к с at Ао— + 77, - -(ад2/2 - w/2 - W/24 . (4)

Здесь v? — поле параметра порядка, Ао — коэффициент Онзагера, го — отклонение от критической температуры а <70 — константа взаимодействия. Случайная сила г} моделирует тепловые флуктуации, ее парный коррелятор непосредственно зависит от коэффициента Онзагера.

Эта модель, в частности, описывает поведение магнетиков. Поле параметра порядка (намагниченность) может быть скаляром, и тогда мы имеем дело с одноосным ферромагнетиком или моделью Изинга: в узлах кристаллической решетки располагаются спины, которые выравниваются по определенному направлению, Если параметр порядка — n-компонентный вектор, то говорят об О^-симметричном ферромагнетике Гайзенберга, при этом спины в узлах решетки могут вращаться с равной вероятностью во всех направлениях. Динамика поведения магнетиков, стремящихся в равновесное состояние, выглядит как релаксация за время тг. По истечении этого времени система достигает состояния равновесия, которому соответствует минимум энергии. Случайная сила г) моделирует тепловые флуктуации. При подходе к критической температуре среднее время релаксации и характерный масштаб флук-туаций £ расходятся степенным образом: тг ~ £z и £ ~ \Т — Тс\~и. Индекс и (показатель корреляционной длины) относится к статической модели, в рамках ^-разложения для Оп-<£>4-модели он известен с пятипетлевой точностью. Индекс z (динамический критический показатель) отражает динамические свойства системы, для его нахождения требуются более трудоемкие вычисления и в настоящий момент в рамках е-разложения он известен с трехпетлевой точностью. Как уже отмечалось, трехпетлевой результат был получен еще в 1984 г., в настоящей работе ставится цель осуществить четырехпет-левой расчет, используя метод численного расчета констант ренормировок, разработанный на кафедре и впервые примененный в этой задаче.

Изложим вкратце сущность метода. Рассмотрим для примера модельную четырехпетлевую диаграмму на Рис, 1,

В силу трансляционной-инвариантности модели левую точку диаграммы Го можно фиксировать, по координатам Г| остальных точек подразумевается интегрирование по двумерному пространству. Таким образом, имеем 8-кратный интеграл

Каждой линии в диаграмме сопоставляется множитель - функция от модуля

Рис. 1: модельная четырехпетлевая диаграмма

5) разности координат концов линии/(] rj—rj |), т.е. подынтегральная функция является в данном случае произведением восьми сомножителей /. Функция /(г) хорошо убывает на больших расстояниях, а на малых имеет степенную асимптотику до ~ ^к т где е - малый положительный параметр. Сингулярное поведение функции /(г) в нуле является причиной появления полюсов по е в интеграле /(е), Сама по себе эта функция интегрируема, но когда в диаграмме встречается ее квадрат, как в случае сближении точки Гх к г3 или г2 к Г4, то возникает двумерный интеграл по относительной координате вида

J Го По 1 ад расходящийся в нуле при е —0, что и приводит к появлению полюса по е, Эти полюса нетрудно было бы выделить подходящим разделением области интегрирования на части, однако в диаграмме имеются причины и для появления других полюсов. Рассмотрим в двухпетлевом подграфе, обведенном левым пунктиром, область интегрирования по гх и гз, которая "сжимается" в точку (т.е. близка к началу координат - левой точке диаграммы го). Если рассматривать такой интеграл в четырехмерной сферической системе координат с модулем радиуса-вектора Л, то радиальная часть интеграла имеет в области малых R вид rRо R3 -L

I № т.е. опять появляется полюс по £. Аналогичная картина имеет место в трех-петлевом подграфе, обведенном правым пунктиром. Наконец, вклад в полюсную структуру дает область интегрирования, когда вся диаграмма стягивается в точку (так называемая поверхностная расходимость). Таким образом, мы имеем дело с перекрывающимися областями интегрирования, дающими вклад в исследуемые сингулярности. Их выделение путем разбиения на подобласти - непростая задача. Анализ показывает, что общая структура функции 1(e) такова ^ + ^ + % + + (10)

4 Е6 £1 £

Задача численного нахождения коэффициентов Cj этого ряда Лорана состоит в построении алгоритма, позволяющего представлять эти коэффициенты в виде сходящихся интегралов. Такой алгоритм строится на основе известной в теории ренормировок так называемой R'-операции. В теории ренормировок утверждается, что при построении теории возмущений в квантово-полевой модели в данном порядке теории возмущений (в рассматриваемом примере -четвертом), помимо рассмотренного существенно четырехпетлевого вклада, всегда появляются соответствующие данному порядку произведения вкладов низших приближений, которые в совокупности можно представить как действие определенной R'-операции на исходную диаграмму. Эта операция убирает все расходимости в подграфах и оставляет лишь вклад поверхностной расходимости. Это упрощает ситуацию, однако структура ответа при этом не меняется в том смысле, что все старшие полюса сохраняются, Факт сведения расходимости к поверхностной является фундаментальным, приводящим к самой возможности ренормировки теории, Вторым важным положением теории ренормировок является утверждение о том, что после применения R'-операции все старшие полюса в ряде Лорана известным образом выражаются через произведения диаграмм низших порядков. Таким образом, из исходной диаграммы можно построить объект, содержащий лишь первый полюс, а его выделить уже существенно проще. Проблема в том, что указанные сокращения расходимостей в подграфах и сокращение старших полюсов теорией ренормировок гарантируются, но лишь в сосчитанных порознь объектах (в которых помимо интегрирования входят и другие операции), а желаемая простота была бы достигнута, если бы результат был представлен в виде единого интеграла, содержащего лишь первый полюс. Первая часть задачи (сведение к единому интегралу результата действия R'-операции) решается просто, путем подходящего выбора построения R'-операции. Предложенный в работе подход позволяет решить и вторую часть задачи, при этом удается не только предъявить интеграл, содержащий лишь первый полюс, но и выделить его в явном виде, так чтобы в дальнейшем уже иметь дело со сходящимися интегралами, зависимость которых от е можно находить разложением в ряд подынтегральных выражений. Добавим, что реально в А модели встречается диаграмма рассмотренного вида, но каждой точке соответствует интегрирование по координате в четырехмерном пространстве, а также интеграл по времени.

Изложенная техника вычисления была применена для расчета констант ренормировок А модели в четырехпетлевом приближении. Всего было рассчитано 25 диаграмм, Полученные результаты позволили найти динамический критический индекс 2: в четвертом порядке е-разложения. Приведем полученный результат (принято давать ответ для отношения R = {z — 2)/Г) где 77 статический индекс Фишера):

R = (61n(4/3)-l) /1—0.18848 [-0.1000+-Ь^±^1 £2+0(е3)1 ,

I L (та+ 8) J J

И)

-разложение критического индекса г) начинается с члена ~ е2 и известно с точностью до члена ~ е5. Таким образом, в индексе z последний учтенный член ™ £4. Удобство записи z через R связано с тем, что первые два слагаемых е-разложения величины R не зависят от числа компонент параметра порядка та (в то время как зависимость 7] от п нетривиальна). Заметим, что вычисленный в работе [47] член порядка е3 в z являлся до последнего времени единственным примером трехпетлевого расчета в критической динамике. Полученный авторами ответ в этой работе был выражен аналитически через спецфункции, что потребовало весьма большого объема работы. Мы воспроизвели этот ответ численно с относительной погрешностью 103 %, причем объем работы при нашем способе расчета оказался несравненно меньшим, Оригинальным результатом настоящей работы является получение следующего члена е-разложения, вклад этого слагаемого в R зависит от п, таким образом гипотеза о полной независимости R от п оказывается неверной.

Из результатов работ предшественников интересно отметить работу [22] в которой был найден предел величины R при п —> оо вне рамок е-разложения. Переходя к пределу п —оо в (11), можно сравнить полученный результат с соответствующим отрезком разложения по е ответа работы, [22] при этом оказывается, что первые два члена этого разложения в точности совпадают с (11) (поскольку те не зависят от п), а последнее совпадает с относительной точностью 0.05 %, что явилось хорошей проверкой точности расчета многократных интегралов (максимальная кратность достигала 9).

Таким образом, впервые в динамической задаче было получено 4 члена е-разложения динамического критического индекса z (результат опубликован в работе [46]). Это дало основание поставить задачу суммирования по Борелю полученного разложения. Полученные результаты, показали, что в данном случае такое суммирование не является еще актуальным ввиду малой величины поправочного члена.

При п = 1, £физ = 1 найденное численное значение индекса z равно 2.0189. Это находится в согласии с экспериментальными данными, однако более детальное сравнение не имеет смысла проводить из за недостаточной точности эксперимента.

Ренормгруппа в стохастической динамике

В задачах настоящей диссертации — что характерно для теории возмущений в квантовополевых моделях — мы оперируем с асимптотическими (полусхо дящимися) рядами с типичным факториальным ростом числа диаграмм с порядком теории возмущений (ожидаемый рост числа диаграмм был деталь но рассмотрен для простой модели пассивной примеси с заданным случайным гауссовым полем скорости в [32]). Полусходящиеся ряды могут быть исполь зованы для численной оценки, пока абсолютная величина очередной учтен ной поправки меньше, чем вклад предыдущего порядка, При этом известно априори, что это свойство для рассматриваемых асимптотических рядов в каком-то порядке обязательно будет нарушено, Самый известный физиче ский пример успешного использования полусходящихся рядов — квантовая электродинамика.В рамках ренормгруппового исследования динамической модели А был разработан численный метод расчета констант ренормировок, Основанный на известной R'-операции, этот метод позволяет выделить расходящуюся часть диаграмм в виде единых УФ-конечных интегральных выражений, которые соответствуют вычетам полюсов по е. В широко используемой схеме MS опе рация вычитания К сводится к отбору полюсной части ряда Лорана* поэто му константы ренормировки содержат лишь отрицательные степены по е.Сама R'-операция построена на основе операции вычитания К и порождает контрчлены, которые сокращают в исходной диаграмме расходимости под графов^ Однако полученные контрчлены нельзя объединить с диаграммой в виде единого интегрального выражения, поэтому приходится использовать другую операцию вычитания К и построенную на ее основе R' -операцию. В такой новой схеме действительно удается представить вычеты как интеграль ное выражение, которое находится затем численно методом Монте-Карло.Казалось бы задача может считаться решенной, но на самом деле нежела тельно отказываться от схемы MS, поскольку, во-первых, используется ответ для уже вычисленных именно в схеме MS статических констант ренорми ровок, а во-вторых, минимальные вычитания позволяют заменить исходную ИК-регуляризацию на более удобную. Поэтому приходится учитывать так же различие этих двух схем — оказывается, впрочем, что соответствующая добавка выражается рекуррентным образом через младшие диаграммы, что существенно облегчает счет.На основе этого метода был проведен четырехпетлевой счет констант реномировок для динамической модели А, что позволило рассчитать дина мический критический индексz с е 4 точностью: z = 2+Q.0134 e2 + Q.QUO £3 —

0.0056 £4-fO(e5). Как видно, последняя поправка оказалась по величине в два раза меньше предыдущей (при е = 1 или d = 3), тем самым мы еще нахо димся на сходящемся участке асимптотического ряда. Заранее предсказать, начиная с какого члена разложения вклады резко возрастут, невозможно. По мимо критического индекса z интерес представляет величина Л = (z — 2)/77, где г] - индекс Фишера. Добавив зависимость от числа компонент параметра порядка п, можно увидеть, что все члены разложения R по е кроме последне го не зависят от п, т.е. только найденная в данной работе последняя поправка зависит от п. Этот факт решает вопрос о полной независимости R от числа компонент. Следует вспомнить работу [22], в которой величина R была со считана вне рамок ^-разложения в пределе п —»• од. Сравнивая разложение этого результата по в = 4 — d с полученным в данной работе выражением для R в пределе п —» оо, оказывается возможным проверить правильность вычислений для части четырехпетлевых диаграмм, а именно диаграмм группы А: точность составляет примерно 0.05 %.Таким образом, в динамической задаче критического поведения впер вые в рамках е-разложения получен четвертый порядок теории возмущений.На основе этих результатов были осуществлены различные варианты боре левского суммирования с использованием асимптотики высоких порядков.В целом погрешность ответов оставалась большой, что, по-видимому, объ ясняется существенным отклонением рассчитанных членов ряда по е от со ответствующих найденных к настоящему моменту вкладов в асимптотику высоких порядков. Поэтому для повышения точности, кроме расчета следу ющего порядка е-разложения, полезным может оказаться уточнение самой асимптотики.Основной вывод, который можно сделать в задаче турбулентного пе ремешивания пассивной примеси из полученного двухпетлевого выражения (4.30) для числа Прандтля - малость поправочного слагаемого. Даже при реальном е = 2 оно составляет лишь 7 % от ведущего вклада. По-видимому, именно этим объясняется успешное сравнение однопетлевого значения турбу лентного числа Прандтля 0.72 [18, 44] с экспериментом - оно попадает в диа пазон 0.7^-0.9 экспериментальных значений, указанных в [55]. Согласно более свежим экспериментальным результатам [11], [10], наиболее вероятное значе ние турбулентного числа Прандтля лежит в середине указанного интервала: Prt = 0.81 ± 0.05. Принимая во внимание эти результаты, можно заключить, что двухпетлевая поправка, приводящая к значению 0.77 для турбулентного числа Прандтля, еще более улучшает согласие теории с экспериментом.В то же время такой результат в значительной степени неожиданен -

аналогичные поправки к константе Колмогорова и скьюнес фактору вели ки [1]. Когда поправки не малы, для построения схемы пересуммирования требуется знание асимптотики высоких порядков теории возмущений. В теории статических критических явлений с этой целью широко использует ся инстантонный анализ вместе с борелевским суммированием [43]. Однако для динамических моделей в этом направлении сделаны лишь первые шаги Суммирование, использованное при расчете константы Колмогорова в [6, 4], отличается от традиционного борелевского суммирования тем, что оно основано на приближенном учете всех высших порядков е-разложения (в до полнение к точно вычисленным первым двум) с учетом главных слагаемых ряда Лорана по d — 2. Успех такого суммирования обусловлен специфиче ским свойством е-разложения в теории турбулентности: наличием полюсов по d — 2 в некотором классе диаграмм, дающих значительный вклад и при d = 3. Проведенный нами двухпетлевой расчет числа Прандтля показал, что такие диаграммы существуют и в этой задаче, но соответствующие полюса по d — 2 взаимно сокращаются в конечном ответе, что может объяснить малость первой поправки в е-разложении числа Прандтля.Таким образом, наши результаты дополняют сделанные в [1, 6, 4] вы воды. В двухпетлевом приближении основной вклад дают диаграммы, имею щие сингулярность при d = 2 и такие диаграммы необходимо суммировать.Для величин, в которых указанная сингулярность отсутствует, двухпетлевой вклад имеет относительно малую величину и достаточно хорошими оказыва ются результаты обычного е-разложения.

1. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Kompaniets M. V., VasiVev A. N. Renormalization-group approach to the stochastic Navier-Stokes equation: two-loop approximation // 1.t. J. Mod. Phys. В.— 2003.— Vol. 17,— Pp. 2137-2170.

2. Adzhemyan L. Ts., Antonov N. V., Vasiliev A. N. The field theoretic renor-malization group in fully developed turbulence. — London: Gordon and Breach, 1999.

3. Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kim T. L., Kompaniets M. V., Sladkoff L., VasiVev A. N. Some specific features of the e expansion in the theory of turbulence and the possibility of its improvement //J. Phys. A: Math. Gen.— 2006. Vol. 39. - Pp. 7789-7799.

4. Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kim T. L., Sladkoff L. Two-loop calculation of the turbulent Prandtl number // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 71. — Pp. 056311-1-056311-9.

5. Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kompaniets M. V., Vasil'ev A. N. Improved e expansion for three-dimensional turbulence: summation of nearest dimensional singularities // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 68. P. 055302,

6. Adzhemyan L. Ts., Honkonen J., Kompaniets M. V., VasiVev A. N. Improved e expansion for three-dimensional turbulence: two-loop renormaliza-tion near two dimensions // Phys. Rev. К — 2005, — Vol. 71. P. 036305.

7. Amit D. J. Field theory, the renormalization group, and critical phenomena. N. Y.: McGraw-Hill, 1978.

8. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Field theoretical approach to critical phenomena. In: phase transision and critical phenomena. — London: C. Domb and M. S, Green eds., Academic Press, 1976. — Vol. 6.

9. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. Perturbation theory at large order. I. The <p2N interaction // Phys. Rev. D. 1977. - Vol. 15. - Pp. 15441557.

10. Chang K.-A., Cowen E. A. Turbulent Prandtl number in a neutrally bouyant turbulent round jet 11 J. Eng. Mech. — 2002. — Vol. 128. — Pp. 1082-1087.

11. Chua L. P., Antonia R. A. Turbulent Prandtl number in a circular jet // Int. J. Heat Mass Transfer. — 1990. Vol. 33. - Pp. 331-339.

12. De Dominicis C., Brezin E., Zinn-Justin J. Field-theoretic techniques and critical dynamics. I. Ginzburg-Landau stochastic models without energy conservation // Phys. Rev. B. 1975. - Vol. 12. - Pp. 4945-4953.

13. De Dominicis C., Martin P. C. Energy spectra of certain randomly-stirred fluids // Phys. Rev. A. 1979. - Vol. 19. — Pp. 419-422.

14. De Dominicis C., Peliti L. Field-theory renormalization and critical dynamics above Tc: Helium, antiferromagnets, and liquid-gas systems // Phys. Rev. B. 1978. - Vol. 18. - Pp. 353-376.

15. Domb C., Hunter D. L. On critical behaviour of ferromagnets // Proc. Phys. Soc. 1965. - Vol. 86. - P. 1147.

16. Ferrell R. A., Menyhard N., Schmidt H., Schwabl F., Szepfalusy P. Dispersion in second sound and anomalous heat conduction at the lambda point of liquid helium // Phys. Rev. Lett. 1967. - Vol. 18. - Pp. 891-894.

17. Ferrell R. A., Menyhard N., Schmidt H., Schwabl F., Szepfalusy P. Fluctuations and lambda phase transition in liquid helium // Ann. Phys. (N. Y.). — 1968. Vol. 47. - Pp. 565-613.

18. Fournier J.-D., Sulem P.-L., Pouquet A. Infrared properties of forced magne-tohydrodynamic turbulence //J. Phys. A: Math. Gen. — 1982.— Vol. 15.— Pp. 1393-1420.

19. Gell-Mann M., Low F. E. Quantum electrodynamics at small distances // Phys. Rev. 1954. - Vol. 95. - Pp. 1300-1312.

20. Halperin В. I., Hohenberg P. C. Generalization of scaling laws to dynamical properties of a system near its critical point // Phys. Rev. Lett. — 1967. — Vol. 19. Pp. 700-703.

21. Halperin В. I., Hohenberg P. C, Scaling laws for dynamic critical phenomena 11 Phys. Rev.- 1969.- Vol. 177.- Pp. 952-971.

22. Halperin В. I., Hohenberg P. C., Ma S. Calculation of dynamic critical properties using Wilson's expansion methods // Phys. Rev. Lett. — 1972.— Vol. 29.- Pp. 1548-1551.

23. Hohenberg P. СHalperin В. I. Theory of dynamical critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 1977. - Vol. 49. - Pp. 435-479.

24. Honkonen J., Komarova M. V., Nalimov M. Yu. Instantons for dynamic models from В to H // Nucl. Phys. B: Field Theory Stat. System. — 2005. — Vol. 714 FS].- Pp. 292-306.

25. Honkonen J., Komarova M. V., Nalimov M. Yu. Large-order asymptotes for dynamic models near equilibrium // Nucl. Phys. B: Field Theory Stat. System. 2005. - Vol. 707 FS]. - Pp. 493-508.

26. Kadanoff L. P. Scaling laws for Ising models near Tc // Physics. — 1966. — Vol. 2. P. 263.

27. Kleinert H., Schulte-Frohlinde V. Critical properties of ^-theories. — World Scientific, 2001.

28. Kraichnan R. H. Small-scale structure of a scalar field convected by turbulence // Phys. Fluids. — 1968. Vol. 11.- Pp. 945-953.

29. Martin P. C., Siggia E. D., Rose H. A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. A. 1973. - Vol. 8. - Pp. 423-437.

30. Navier C. L. M. H. Memoire sur les lois du mouvement des fluides // Mem. Acad. Sci. Inst. France. — 1822. Vol. 6. - Pp. 389-440.

31. Orszag S. A., Yakhot V. Analysis of the er-expansion in turbulence theory: approximate renormalization group for diffusion of a passive scalar in a random velocity field // J. Sci. Comput.- 1999. — Vol 14. Pp. 147-178.

32. Stokes G. G. On the steady motion of incompressible fluids // Trans. Cambridge Phil. Soc. 1842. - Vol. 7. - Pp. 439-454, 465.

33. Stuechelberg E. C. G., Petermann A. Normalization of constants in the quantum theory 11 Helv. Phys. Acta. 1953. - Vol. 26. - Pp. 499-520.

34. Widom B. Equation of state in the neighborhood of the critical point //J. Chem. Phys. 1965. - Vol. 43. - P. 3898.

35. Widom В. Surface tension and molecular correlations near the critical point // J. Chem. Phys.- 1965.- Vol. 43.- P. 3892.

36. Wilson K. G. Renormalization group and critical phenomena. L Renormal-ization group and the Kadanoff scaling picture // Phys. Rev. В. — 1971.— Vol. 4.-Pp. 3174-3183.

37. Wilson K. G. Renormalization group and critical phenomena. II. Phase-space cell analysis of critical behavior // Phys. Rev. В. — 1971.— Vol. 4.— Pp. 3184-3205.

38. Wilson K. G. Feynman-graph expansion for critical exponents // Phys. Rev. Lett 1972. - Vol. 28. — Pp. 548-551.

39. Wilson K. G., Fisher M. E. Critical exponents in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. 1972. - Vol. 28. - Pp. 240-243.

40. Wyld H. W. Formulation of the theory of turbulence in an incompressible fluid // Ann. Phys.- 1961.- Vol. 14.- Pp. 143-165.

41. Yakhot V., Orszag S. A. Renormalization group analysis of turbulence I. Basic theory // J. Sci. Comput.- 1986. —Vol. 1. — Pp. 3-51.

42. Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. — Oxford: Clarendon Press, 1989, 1993, 1996, 2002.

43. Аджемлн Л. Ц., Васильев А. Н., Гнатич М. Ренормгрупповой подход к теории турбулентности: включение пассивной примеси // ТМФ. — 1984.- Т. 58, № 1. С. 72-78.

44. Аджемян JI. Ц., Васильев А. Н., Письмак Ю. М. Ренормгрупповой подход в теории турбулентности: размерности составных операторов // ТМФ. 1983. - Т. 57, № 2. - С. 268-281.

45. Адоюемян Л. Ц., Новиков С. В., Сладкофф Л. Расчет динамического индекса модели А критической динамики в порядке е4 // Вестник СПб-ГУ: 2008. - Т. 4, № 4. - С. 110-114.

46. Антонов Н. В., Васильев А. Н. Критическая динамика как теория поля // ТМФ. 1984. - Т. 60, № 1. - С. 59-71.

47. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Группа перенормировок заряда в квантовой теории поля // ДАН СССР. 1955. - Т. 103. - С. 391-394.

48. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. О ренормализационной группе в квантовой электродинамике // ДАН СССР. — 1955. Т. 103. - С. 203-206.

49. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1957, 1973, 1976, 1984.

50. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — СПб.: ПИЯФ, 1998.

51. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. — 1937. — Т. 7. — С. 19, 627.

52. Ландау Л. Д. Рассеяние рентгеновых лучей кристаллами вблизи точки Кюри // ЖЭТФ. 1937. - Т. 7. - С. 1232.

53. Липатов Л. Н. // ЖЭТФ. 1977. - Т. 72. - С. 411.

54. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика ч.2.— М.: Наука, 1967, 1996.

55. Наташинский А. 3., Покровский В. Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ.— 1966.— Т. 50, № 2. С. 439-447.

56. Прудников В. В., Иванов А. В., Федореноко А. А. Критическая динамика спиновых систем в четырехпетлевом приближении // Письма в ЖЭТФ. 1997. - Т. 66, № 12. - С. 793-798.

57. Теодорович Э. В. Явления турбулентного переноса и метод ренормализа-ционной группы // Прикл. мат. мех.~ 1988. — Т. 52, № 2. — С. 218-224.

58. Ширков Д. В. Двухзарядная ренормализационная группа в псевдоскалярной мезонной теории // ДАН СССР. 1955. — Т. 105. — С. 972-975.