Ренормгрупповой анализ моделей турбулентного переноса и магнитной гидродинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет»

Ренормгрупповой анализ моделей турбулентного переноса и магнитной гидродинамики

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Гулицкий Николай Михайлович

2 0 НО Я 2014

005555558

Санкт-Петербург - 2014

005555558

Работа выполнена is ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный

университет»

Научный руководитель: Антонов Николай Викторович,

д. ф.-м. п., профессор

Официальные оппоненты: Деркачев Сергей Эдуардович, д. ф.-м. и.,

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им. В. А. Стеклова РАН, вед. науч. сотр.

Чхетиани Отто Гурамович, д. ф.-м. н., ст. науч. сотр., Институт физики атмосферы РАН им. А. М. Обухова, зав. лаб. геофизической гидродинамики

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных Исследо-

ваний

Защита состоится «18 » декабря 2014 г. в 12:30 на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., В.О., д. 41/43, ауд. 304

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького

СПбГУ и на сайте

http://spbu.ru / science/disser

Автореферат разослан «. 20_% й%Я 2014 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по адресу 198504, Санкт-Петербург, Ульяновская ул., д.1 корпус И, каб. 421.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н. Аксёнова Елена Валентиновна

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. На данный момент теоретическое описание развитой турбулентности и, в частности, аномального скейлин-га в ней, в значительной степени остается нерешенной задачей. Эксперименты и численное моделирование показывают, что отклонения от предсказаний классической теории Колмогорова — Обухова для переноса, пассивного скаляра проявляются сильнее, чем дтя самого переносящего его поля скорости. Кроме того, оказывается, что проблема переноса достаточно просто поддается теоретическому описанию: даже упрощенные модели, описывающие перенос каким-либо «синтетическим» ансамблем скорости с заданной гауссовой статистикой, воспроизводят многие из аномальных свойств реального турбулентного переноса тепла или массы, наблюдаемые в эксперименте. Поэтому проблема турбулентного переноса, сама по себе имеющая важное практическое значение, может рассматриваться как исходная точка при изучении развитой гидродинамической турбулентности в целом.

Наиболее значительные успехи на этом пути были достигнуты для модели Крейчнана с нулевым временем корреляции, в которой корреляционная функция поля скорости выбрана в виде (ии) ос <5(£ — • где к являет-

ся волновым числом, й — размерностью пространства, а £ — произвольным показателем, являющимся характеристикой вещества. Впервые бесконечный набор аномальных показателей был вычислен на основе микроскопической модели в рамках регулярной теории возмущений.

Степень разработанности темы исследования. Наибольшие успехи при изучении аномального скейлинга в статистических моделях турбулентного переноса были достигнуты с помощью применения методов ренормали-зационной группы (РГ) и операторного разложения (ОР). При таком подходе аномальный скейлииг является следствием существования составных полей («составных операторов» в терминологии квантовой теории поля) с отрицательными критическими размерностями. В течение последних лет методы РГ + ОР были применены к различным задачам турбулентного переноса пассивных векторных полей — как непосредственно к модели Крейчнана, так и к различным ее обобщениям — конечному времени корреляции, анизотропии, сжимаемости, нелинейности наиболее общего вида и т. д. Были получены аналитические выражения для членов первого и второго порядков ^-разложения. В рамках метода нулевых мод были получены точные ответы для парной корреляционной функции магнитных полей.

Целью диссертационной работы является изучение аномального скейлинга в моделях магнитогидродинамической (МГД) турбулентности метода-

ми теоретико-полевой ренормгруппы и операторного разложения. Рассматривается приближение, в котором влиянием магнитного поля на динамику жидкости можно пренебречь («кинематическая модель динамо»), тогда проблему можно рассматривать как описание турбулентного переноса пассивного векторного (магнитного) поля в заданном турбулентном течении. Для описания движения проводящей среды привлекаются статистический ансамбль Казанцева-Крейчнана (поле скорости гауссово и имеет нулевое время корреляции), его обобщение на случай сильной анизотропии с одним выделенным направлением (ансамбль Авельянеды-Майда) и стохастическое уравнение Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. Также рассматривается обобщенная модель для динамики пассивного векторного поля, в которой нелинейность имеет наиболее общий вид, совместимый с галилеевой симметрией (т. н. Л-модель). В качестве частных случаев она содержит кинематическую модель динамо и линеаризованное уравнение Навье-Стокса, а также позволяет рассматривать влияние нелокальных вкладов давления. Для общности две модели из трех рассматриваются в произвольной размерности пространства й. Необходимо установить наличие либо отсутствие аномального скейлинга в асимптотике инерционного интервала корреляционных функций, а также вычислить соответствующие аномальные показатели.

В соответствии с целью исследования для каждой из трех моделей были поставлены следующие основные задачи:

(1) Построить квантовонолевую формулировку данной модели и установить ее ренормируемость.

(2) Установить наличие ИК-притягивающей неподвижной точки, определяющей асимптотику инерционного интервала.

(3) Используя технику РГ и ОР, вычислить аномальные размерности составных операторов, определяющих асимптотическое поведение корреляционных функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных журналах, и включают следующее:

(1) Для А-модели в случае, когда поле скорости обладает анизотропией и описывается статистическим ансамблем Авельянеды-Майда (модель №1), обнаружено нарушение аномального скейлинга. Вместо степенной асимптотики инерционного интервала корреляционные функции обладают логарифмической зависимостью. Показано, что в силу тождественного равенства нулю старших членов асимптотика корреляционных функций полностью определяется первым членом ^-разложения.

(2) Для модели МГД в случае, когда ноле скорости описывается статистическим ансамблем Казанцева-Крейчнана (модель №2), установлен аномальный скейлинг корреляционных функций в инерционном интервале, проверено сохранение иерархии анизотропных вкладов при включении в рассмотрение второго члена ^-разложения; вычислены аномальные показатели во втором порядке разложения по константе связи д.

(3) Для ^-модели с полем среды, описываемым с помощью уравнения Навье-Стокса (модель №3), аномальные показатели вычислены в первом порядке разложения по константе связи д\ установлено наличие аномального скейлинга корреляционных функций и иерархия анизотропных вкладов.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при описании различных процессов в солнечной короне, ионосфере и межзвездном газе. Результаты работы должны стимулировать экспериментальные исследования по аккуратному измерению аномальных показателей в МГД турбулентности. Развитые методы могут быть применены к другим подобным стохастическим задачам, таким как турбулентный перенос тензорных полей, описание турбулентного переноса с помощью стохастического уравнения Навье-Стокса при наличии анизотропии и сжимаемости и т. п.

Методология и методы исследования. В работе активно используются метод ренормализационной группы, в частности для вычисления координат ИК-притягивающих неподвижных точек и асимптотического поведения корреляционных функций, и операторного разложения, позволяющий связать асимптотическое поведение парной корреляционной функции составных операторов с асимптотическим поведением самих составных операторов.

Достоверность результатов обеспечивается использованием мощного и хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля и сравнением с результатами, известными ранее для различных частных слу-I чаев.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) Для модели турбулентного переноса пассивного векторного ноля при наличии крупномасштабной анизотропии в случае, когда поле скоростей обладает конечным временем корреляции и описывается стохастическим уравнением Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости (модель №3), установлено существование аномального скейлинга в инерционном интервале масштабов, а соответствующие показатели вычислены явно в главном (одно-петлевом) приближении ренормгруппы, включая показатели анизотропных вкладов. Как и для случая скалярного поля, они демонстрируют иерархию, связанную со степенью анизотропности вклада: чем она выше, тем больше

показатель и тем быстрее вклад убывает в глубине инерционного интервала. Ведущий член асимптотики в инерционном интервале определяется изотропным вкладом, что согласуется с гипотезой Колмогорова о локально изотропной турбулентности.

(2) В кинематической модели турбулентного динамо при наличии крупномасштабной анизотропии для случая, когда поле скоростей описывается статистическим ансамблем Казанцева-Крейчнана (модель №2), аномальные показатели явно вычислены в двухпетлевом приближении ренормгруппы (второй порядок ^-разложения). Показано, что в отличие от скалярного случая, учет двухиетлевого вклада приводит к усилению аномального скейлинга и иерархии анизотропных вкладов по сравнению с ведущим (однопетлевым) приближением.

(3) Для модели турбулентного переноса пассивного векторного поля в случае, когда поле скоростей описывается сильно анизотропным статистическим ансамблем Авельянеды-Майда с одним выделенным направлением (модель №1), показано, что соответствующие уравнения ренормализационной группы имеют инфракрасно-притягивающую неподвижную точку в широком интервале параметров, в том числе для частных случаев кинематической модели динамо, линеаризованного уравнения Навье-Стокса и т. и. линейной модели с давлением, то есть в модели реализуется скейлинговое поведение. Найдены точные значения соответствующих критических размерностей полей и основных параметров модели.

(4) Установлено, что в модели турбулентного переноса пассивного векторного поля в случае, когда поле скоростей описывается статистическим ансамблем Авельянеды-Майда (модель №1), аномальный скейлинг проявляется в логарифмической зависимости корреляционных функций от внешнего (интегрального) масштаба, в отличие от степенной зависимости для ансамбля Казанцева-Крейчнана и большинства его модификаций. Это является результатом особого случая смешивания в семействах составных операторов, при котором матрица смешивания оказывается нильпотеитной.

Апробация результатов и публикации. Результаты и положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и школах:

1. Международная студенческая конференция «Физика и Прогресс — 2010»

(Санкт-Петербург, Россия, 2010 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

2. Международная конференция «Математическое моделирование и вычислительная физика» ММСР — 2011 (Кошице, Словакия, 2011 г.).

http://www.informatik.uni-trier.de/~ley/db/conf/mmcp/mmcp2011 .html

3. Международная студенческая конференция «Физика, и Прогресс — 2013»

(Санкт-Петербург, Россия, 2013 г.).

http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html

4. XLVIII Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

http://dbserv.pnpi.spb.ru/UinterSchool/school_program.html

5. 52я Международная школа по субатомной физике (Эричи, Италия, 2014 г.).

http://wuw.ccsem.infii.it/issp2014/iiidex.htnil

6. XI Международная конференция «Кварки, конфайнмент и спектр ад-

ронов» (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

http://onlinereg.ru/confXI/list.pdf

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus [1-4], а также тезисы докладов 2 международных конференций [5, 6].

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично либо при его прямом участии в неразделимом соавторстве. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавтором, причем вклад диссертанта был определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, 3 приложений и библиографии. Общий объем диссертации 198 страниц, из них 180 страниц текста, включая 24 рисунка. Библиография включает 80 наименований на 11 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, описаны методология и методы исследования, степень разработанности темы исследования, а также показана практическая значимость полученных результатов и представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава представляет собой краткий обзор литературы, связанный с темой диссертационного исследования, а также содержит введение в проблематику задач данного типа: описание ансамблей скорости и постановку задачи с помощью стохастических дифференциальных уравнений.

Вторая глава посвящена переформулировке данных задач в виде некоторых квантовополевых моделей с заданными функционалами действия; для каждой из трех моделей устанавливается ренормируемость и вычисляется оператор собственной энергии, входящий в уравнение Дайсона.

Известно [7], что любая стохастическая задача вида

8te = U(x,e) + f(x), (1а)

(fi(x)fk(x')} = De(x,x'), (lb)

эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей Ф = {в, в'} и функционалом действия

5(Ф) = д'М/2 + e'i 1-дА + U(x, в)}. (2)

Здесь U(x,9) — заданный i-локальный функционал, не содержащий производных в по времени, f (х) — случайная внешняя сила, обладающая гауссовым распределением с нулевым средним и коррелятором (lb).

Это означает, что модели №1 — №3, заданные изначально с помощью некоторых стохастических дифференциальных уравнений, описываются функционалами действия, имеющими вид (2) и отличающимися конкретной формой U(х, в), а также видом усреднения по полю скорости — для моделей №1 и №2, в которых поле скорости обладает гауссовой статистикой с заданным парным коррелятором, функционал (2) содержит член ViD~lvk/2 (где Д, — заданный парный коррелятор поля скорости), для модели №3, в которой поле среды подчиняется стохастическому уравнению Навье-Стокса, действие имеет вид

5(Ф) = Sv(v', v) + в'{Овв'к/2 + 0[ [-8А + 17(0)], (3)

где

SvW, V) = v\Dvv'kl2 + v'k [~dtvk + £/»] . (4)

Здесь Dv и De — заданные парные корреляторы вида (lb).

На основе канонических размерностей 1-неприводимых функций Грина показано, что модели №1 и №2 имеют единственную расходящуюся функцию — коррелятор полей в и в'. Уравнение Дайсона для такой функции имеет вид (явное выражение приведено для модели №1)

(0«fy)l-Henp = rf = -ibJ ■ 6„ß + l/0p^ ■ 6aß + V0f0 • (pn)2 ■ Snß - T,„ß, (5)

где Eaß является оператором собственной энергии. Показано, что все многопетлевые диаграммы тождественно равны нулю из-за замкнутого цикла запаздывающих пропагаторов.

Модель №3 имеет расходящиеся функции трех типов — парный коррелятор полей в и в', парный коррелятор полей v и v', а также корреляционную функцию полей в, в' и v. В силу тождественного равенства нулю всех многопетлевых диаграмм для операторов собственной энергии T,nß и Е"в,

расходящиеся части данных операторов вычислены точно. Расходящиеся части диаграмм, входящих в петлевое разложение корреляционной функции (О'аОуУр)^ , вычислены в первом порядке по константе связи д.

В третьей главе вычисляются РГ-функции — аномальные размерности 7 и /3-функции полей и параметров; показано, что в некоторых интервалах значений параметров данные модели обладают ИК-притягивающей неподвижной точкой, определяющей ИК-асимптотику корреляционных функций.

На основании анализа уравнения Дайсона находятся константы ренормировки 2 полей и параметров модели. Поскольку базовое уравнение РГ является следствием действия оператора V,, на правую и левую части уравнения ^ = Zp-.Fr, где /г — ренормировочная масса, а Т>ц обозначает оператор /хЭ,, при фиксированных затравочных параметрах е0, уравнение РГ имеет вид

[2>ЛС + 7*-]*Л = 0. (6)

Здесь является аномальной размерностью ^Р, а

£>ЖЗ = + М - (7)

е

где Т>х = хдх для любой переменной х. РГ-функции, в конечном итоге определяющие искомую асимптотику, определяются как

= = (8а)

7.Р = Т>(11п гР = Рддд 1п для всех (8Ь)

Для второго заряда и (присутствует в моделях №1 и №3)

ри = Т>,,и = -и-уи{д, и). (9)

Данные РГ-функции вычислены в первом порядке по константе связи д.

Главный член ИК-аеимптотики функций Грина дается подстановкой д = д*: и = и*, где д* и и* определяются из условий на /3-функцию:

= о, №,0 = 0, (10)

■

при этом тип неподвижной точки определяется матрицей П;к = д/3{/ддк\д=д.'. для ИК-притягива.ющих неподвижных точек данная матрица, положительно определена.

Из анализа уравнений (10), следует, что в некотором интервале парамет-I ров Л, <1, £ все три модели имеют неподвижную ИК-притягивающую точку. Установлено, что для модели №1 критические размерности полей Ф = {в, О', V} совпадают с их каноническими размерностями, в то время как для моделей №2 и №3 критические размерности полей содержат поправки по

Для модели №3 (поле скорости подчиняется стохастическому уравнению Навье-Стокса) оказывается, что все нетривиальные диаграммы, входящие в петлевое разложение корреляционной функции (^а^дК-непр' взаимто сокращаются. Данный факт выглядит случайным и может быть всего лишь следствием простой структуры однопетлевых диаграмм. Поэтому константа ренормировки 2а и аномальная размерность 7^4 параметра А, описывающего нелинейность наиболее общего вида, могут содержать члены порядка д2 или выше.

Четвертая глава посвящена ренормировке составных операторов в модели №1 (ансамбль скорости Авельянеды-Майда). Показано, что матрица ренормировки дается своим одиопетлевым приближением точно; приведены выражение для матрицы аномальных размерностей и матрицы критических размерностей. В частности доказано, что матрица аномальных размерностей является нилытотентной, следствием чего является невозможность диагона-лизации матрицы критических размерностей. В результате вместо степенной зависимости от внешнего масштаба асимптотика парной корреляционной функции является логарифмической.

При вычислении аномальных показателей ключевую роль играют критические размерности Ар составных операторов, построенных целиком из самих полей в. В работе рассматриваются скалярные операторы

= (0Д)Р М)2т, N = 2(р + т), (11)

где п — единичный вектор, задающий направление анизотропии мируются мультипликативно, а константы ренормировки Z^•tP!m -■ находятся из условия конечности 1-неприводимых функций

(Р^т(х)е(х1)...в(хп))интр =

= • ■ ■ 0(*»)>1.иепр = Хп). (12) ,

Оказывается, что вследствие сильно анизотропного ансамбля скорости Аве- | льяиеды-Майда, расходящиеся части всех многопетлевых диаграмм тождественно равны нулю. Таким образом, однопетлевое приближение дает точный ответ.

Показано, что в данной модели операторы смешиваются при ренормировке:

Гм,Р,т ос 2т(2т - 1) • + (2р + 8рт - 2т{2тп - 1)) • +

+ (4р (р - 1) - 2р - 8рт) • ^,„-1,™+! - 4р (р - 1) • (13)

. Они ренор-= ^,р,т(д, С

Таким образом, УФ-конечный оператор имеет вид = F+ контрчлены, где контрчлены являются линейной комбинацией самого оператора F и прочих операторов с тем же полным числом полей Аг, примешивающихся к Р при ренормировке. Значения матричных элементов матрицы аномальных размерностей в неподвижной точке равны

7лг,Р+1 = ' 7*к,Р =

7ЛГ,р-2 =

Л2-/

2(({ - 2 + Л)

Л2 • / 2(с1 - 2 + Л)

2(^-2 + Л) Л2 ■ /

•2т(2т-1)Ч; (14а)

• (2р + 8рт - 2т(2тп - 1)) (14Ъ)

• (4р {р - 1) - 2р - 8рт) ■ (14с) ■(-4р(р-!))•€. (14с1)

2{(1-2 + Л)

Таким образом, матрица критических размерностей оператора имеет

вид

Алгр.лгр' = -2(р + го) + 7д'Р,,Уг/. где —2(р + т) является его канонической размерностью, 6РР> — дельта-символ Кронеккера, а 7л'Р,лгР' является матрицей аномальных размерностей в

критической точке.

Для решения уравнений РГ необходимо диагонализовать матрицу АлгР,Яр', т. о. критическими размерностями операторов Р = {Р^ являются собственные числа данной матрицы.

Оказывается, что для любого N матрица аномальных размерностей (14) является нильпотентной, а матрица критических размерностей (15) является вырожденной, причем все ее собственные значения равны —Ы:

(16)

А1= ... = Алг/а+1 = -2(р + т) = -ДГ.

Таким образом, матрица критических размерностей (15) не является диаго-нализуемой, а приводится к жордановой форме:

А^ =

/—2(р + тп) 1 О

О -2 (р + тп) 1

; о

о

0

1

\

V

о

(17)

О —2(р + 7п)/

Диагонализующая матрица и г при этом является верхнетреугольной,

иР =

«а «21 «31

«12 «22

«13

• • • «1п

О

ч

«тг-1 1 «га-1 2 \ Пп 1 0 ........

причем все элементы щк ф 0 для любых г, к.

Решение уравнения РГ для парной корреляционной функции двух составных операторов

Ф* = (*} (19)

имеет вид

СД ос ■ рт +щ/2 [1п рГ] ■ Ф (Л/г, тг, /г*) V», А, (20)

где Рх является полиномом степени х, ренормировочная масса, М ит — обратные величины к двум большим масштабам, характеризующим случайную силу (1Ь) и поле скорости, Ф — неизвестная функция трех безразмерных аргументов.

Представление (20), содержащее произвольную скейлинговую функцию Ф (Мг, тг, /т-£), описывает поведение корреляционных функций при цг > 1 и любом фиксированном значении Мг. Инерционный интервал I < г < Ь, где Ь — масштаб накачки энергии, а I — малый масштаб, на котором существенную роль начинает играть вязкость, соответствует дополнительному условию Мг <С 1. По аналогии с теорией критического поведения, вид функции Ф (Мг) при Мг 0 изучается с помощью операторного разложения Вильсона.

В соответствии с ОР, одновременное произведение Р1(х')Г2(х") двух ре-нормированных операторов при х = (х' + х")/2 = const и г = х' - х" -> 0 представимо в виде

яоадос") = £Сг(г)Щх), (21)

где коэффициентные функции Ср регулярны по М2, а^ - всевозможные реиормированные локальные операторы, разрешенные симметрией задачи. Применяя ОР к выражению (20), получаем, что

С = (-^А'ьР1 Рл2,р2) 0е ос ■ М-*-* ■ Р(Дг1+Дга)/2 [1пИ • Р(дг1+д,а)/2 [1п Мг] ■ Ф (М) . (22)

При этом главный член в выражении (22) равен

О ос ^ • ■ [1пИ№+Л'2)/2' Рп Мг]№+ЛУ/2 • Ф (/г«), (23)

где Ф (/г€) — неизвестная безразмерная скейлинговая функция, ограниченная в интервале I -С г Ь. _

В заключительном разделе данной главы доказано, что матрица Ар имеет вид (17) для любой размерности семейства операторов N. Приведено явное выражение для диагонализующей матрицы I/ (см. (18)): оказывается, что элементы иа = 1 для всех г; все остальные элементы являются некоторой дробью, знаменатель которой связан простыми соотношениями со значениями аномальных размерностей -у* (см. (14)), а в числителе стоят элементы

треугольника Паскаля.

В пятой главе методы реиормгруппы и операторного разложения применяются к изучению асимптотики корреляционных функций в моделях №2 (ансамбль скорости Казанцева-Крейчнана) и №3 (скорость среды описывается с помощью стохастического уравнения Навье-Стокса). Установлено наличие аномального скейлинга и вычислены соответствующие аномальные показатели в двухпетлевом (для модели №2) и однопетлевом (для модели №3) приближениях.

Для моделей №2 и №3 тензорные составные операторы, построенные целиком из полей в, имеют вид

и = 9г1(х)---ви(х) (в^х)в{(х))", (24)

где I < N является числом свободных векторных индексов, а N = I + 2р — полным числом полей, входящих в данный оператор.

Объектами изучения являются одновременные парные корреляционные функции операторов (24). Решение уравнения РГ вместе с операторным разложением дают искомую асимптотику инерционного интервала в виде

сх ■ (Мг)д»-*-, (25)

где Дд'+к,х — критическая размерность оператора обладающего ми-

нимальной размерностью и дающего максимальный вклад в операторное разложение.

Поскольку для данных моделей Д9 = -1 + 0(0, критическая размерность оператора равна

Длг,; = Лг(—1 + О (О) + Тгдт.г (26)

Для модели №2 аномальные размерности 7^ вычислены во втором порядке ¿-разложения. В наиболее интересном с физической точки зрения случае трехмерного пространства ответ имеет вид

7я,1=д£!г£ + д£)г£2. (27)

где

= + Ю+1(1+1)/5, (28)

д(2) = _2ууХЛ^-2) _ + 3) 221(1 + 1) Л''г 125 30 + 375

_3(Я__2) ^ + 82^ ^^ _ 4) + ^ + ^ _

19(АГ — 2) / 1568Л г , 1

- Я50 + 285") I ^ + 3) - 2ф + 1)]" (29)

Из выражения (28) для — первого порядка по £ — следует, что аномальные размерности (27) удовлетворяют условию иерархии Д^, > ДЛ',;' при I > I', которое удобно записать в виде неравенства > 0.

Данный факт означает, что в присутствии крупномасштабной анизотропии ведущий вклад в асимптотику корреляционных функций в инерционном интервале Мг -» 0 дает изотропная «сфера» с I = 0, что является подтверждением гипотезы Колмогорова о локальном восстановлении изотропии и наблюдается как в настоящих экспериментах с турбулентностью в жидкости, так и в модели пассивного скалярного поля.

Из (29) следует, что член О (£2) в разложении (27) также удовлетворяет этому неравенству:

дА^/81 ~ (21 + 1)(0.0053 N + 0.0482) > 0. (30)

Это означает, что при включении в расчет второго члена разложения по £ иерархия анизотропных вкладов не только сохраняется, но и усиливается.

Проведено сравнение с точным решением в случае парной корреляционной функции (см. [8]), что подтверждает взаимную согласованность методов РГ + ОР и метода нулевых мод.

Для модели ЛХЗ аномальные размерности у^ 1 вычислены в первом порядке ^-разложения:

(з1)

где

= -{й - 1)(И -1)(й + Ы + 1) + 21(1 - 1), (32)

а неподвижная точка и* является решением некоторого кубического уравнения.

Если функция /За тождественно равна нулю, то и* = и*(Л), и в выражении (31) сохраняется зависимость от свободного параметра Л. Если же Дд содержит вклады старших порядков'по д, то в уравнение (31) необходимо подставлять весь набор неподвижных точек {¿г*, и*, Л*}.

При Л ф 0 амплитуда Л2/и*{и* + 1) в (31) является положительной для любой физической неподвижной точки. Таким образом, для наиболее важного случая скалярного оператора с I = 0 аномальная размерность 7 является отрицательной, и при фиксированном N монотонно возрастает с ростом I. При .4 = 0 операторы являются УФ-конечными и не требуют ренормировки.

Из соотношения (31) следует, что также как и в модели №2, критические размерности удовлетворяют условию иерархии Д^,! > АN,1' при I > I.

В Заключении диссертации представлены основные результаты и выводы, а также благодарности и список использованной литературы.

В приложениях к Главе 1 рассматриваются следствия галилеевой инвариантности, вывод модели магнитной гидродинамики Казаицева-Крейч-нана и согласование динамики с условием поперечности полей.

В приложениях к Главе 2 рассматривается доопределение ©-функции при совпадающих аргументах, доказана невозможность существования двух пространственных масштабов в модели №1, а также приводится вычисление канонических размерностей в модели №3.

В приложениях к Главе 3 рассматриваются выводы и основные следствия теории ренормировки — вид оператора связь констант ренормировки г, ¡3- и 7-функций, а также инвариантный заряд и ИК-притягиваю-щая неподвижная точка.

Благодарности

Автор диссертации благодарит Антонова Николая Викторовича за научное руководство, терпение и неоценимую помощь в ходе выполнения настоящей работы.

Автор выражает благодарность Аджемяну Лорану Цолаковичу, а также благодарит преподавателей и сотрудников кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского Государственного Университета и преподавателей школы №292 г. Санкт-Петербурга, в особенности Двор-сона Александра Наумовича, за воспитание любви и интереса к физике в целом и теоретической физике в частности. Кроме того, автор благодарит своих родителей и друзей за участие и моральную поддержку.

Список публикаций по теме диссертации из перечня ВАК

1. N.V. Antonov, N.M. Gulitskiy. Two-Loop Calculation of the Anomalous Exponents in the Kazantsev-Kraichnan Model of Magnetic Hydrodinamics // Lecture Notes in Сотр. Science Vol. 7125, p. 128-135, 2012.

2. N.V. Antonov, N.M. Gulitskiy. Anomalous scaling and large-scale anisotropy in magnetohydrodynamic turbulence: Two-loop renormalization-group analysis of the Kazantsev-Kraichnan kinematic model // Phys. Rev. E Vol. 85, 065301(R), 2012;

Erratum, Phys. Rev. E Vol. 87, 039902, 2013.

3. H.B. Антонов, H.M. Гулицкий. Аномальный скейлииг в статистических моделях переноса пассивного векторного поля // ТМФ Т. 176. №1, с. 22-34 2013.

4. Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий. Нарушение аномального скейлинга в модели переноса пассивного векторного поля сдвиговым течением // Вестник СПбГУ, Сер. 4 Т. 1 (59) Вып. 3, с. 299-317, 2014.

Список публикаций в других изданиях

5. Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий. Calculation of the anomalous exponents in the Kraichnan's model of magnetofluid dynamics: two-loop approximation // Тезисы международной студенческой конференции «Физика и Прогресс — 2010»

6. Н.В. Антонов, Н.М. Гулицкий. Renormalization group analysis of the inertial-rangc behaviour of a passive vector field in a random shear flow // Тезисы международной студенческой конференции «Физика и Прогресс — 2013».

Цитируемая литература

7. А.Н. Васильев. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике // СПб.: ПИЯФ, 1998.

8. N.V. Antonov, A. Lanotte and A. Mazzino. Persistence of small-scale anisotropics and anomalous scaling in a model of magnetohydrodynamics turbulence // Phys. Rev. E Vol. 61, 6586, 2000.

Подписано в печать 06.10.2014. Формат 60 х 84 '/,6. Бумага офсетная. Гарнитура Times . Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ № 6094.

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Института химии СПбГУ 198504 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 26. Тел.: (812>-428-69-19,428-40-43