Высшие порядки теории возмущений в квантовой хромодинамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Государственный научный центр Российской Федерации «Институт ядерных исследований РАН»

,7

■ Г1

- На правах рукописи

ЛАРИН СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Высшие порядки теории возмущений в квантовой хромодинамике

(01.04.02 — теоретическая физика)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-1995

Работа выполнена в Отделе теоретической физики Государственного научного центра Российской Федерации "Институт ядерных исследований Российской академии наук", г. Москва

Офшшальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Э.Э. Боос (НППЯФ МГУ) доетор физико-математических наук Д.II. Казаков (ОНЯН) доктор физико-математических наук В.А. Новиков (ИТЭФ)

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А.Стеклова Российской академия наук

Зашита диссертации состоится \сЗ __1995 г.

а часов на заседании Диссертационной совета.Д.00-3.21.01 Государственного научного центра Российской Федерации Институт ядерных исследований Российской академии наук" (117312 Москва, проспект 00--летня Октября, дом Та).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного научного центра Российской Федерации "Институт ядерных исследований Российской академии наук".

Автореферат разослан " " _ 1995 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Б.А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Локальная квантовая теория поля является теоретическим базисом физики элементарных частиц. При этом основным вычислительным методом квантовой теории поля, позволяющим выполнять практические расчеты физических процессов взаимодействия частиц для их сравнения с экспериментом, остается теория возмущении с применением метода ренормалп-зацпонной группы [1]. В настоящее время значительные усилия направляются на развитие вычислительных методов в рамках теории возмущений п на расчет высших порядков теории возмущений в Стандартной модели электрослабых взаимодействий [2] и в теории сильных взаимодействии, квантовой хромодинампке (КХД), которые адекватно описывают существующие экспериментальные данные. Это связано прежде всего с тем с тем, что прецизионные экспериментальные данные, получаемые на современных ускорителях для процессов электрослабых и сильных взаимодействий элементарных частиц, предъявляют все более высокие требования к точности теоретических расчетов. Кроме этого, существует п чисто теоретический интерес к исследованию структуры рядов теории возмущений.

Если применение пертурбативного подхода в электрослабой теории выглядит естественным в силу малости констант взаимодействия, то с КХД дело обстоит тоньше. До 70-х годов применение теории возмущении для сильных взаимодействий не представлялось возможным, поскольку константа взаимодействия нуклонов п пионов не является малой. К началу 70-х годов было понято, что при достаточно высоких энергиях адроны ведут себя как совокупности относительно слабо взаимодействующих между собой кварков. В качестве примера можно привести адекватное описание поведения формфакторов адронов при больших переданных импульсах в рамках правил кваркового счета [3, 4]. Была создана лагранжева модель взаимодействия цветных кварков и глюонов [5], квантовая хромодпнамнка, основанная на цветовой симметрии кварков, введенной еще в первоначальный период развития квар-ковон модели [0, 7].

КХД превратилась пз красивой лаграшкевой модели неабсле-вых калибровочных полей [8] в признанную теорию сильных взаимодействий после вычисления первого пертурбативного кэффи-циента ренормгрупповоп /3-функцпп [9, 10, 11]. который оказался отрицательным. Это привело к открытию известного свойства асимптотической свободы, то есть логарифмического убывания

эффективной константы сильной связи п„ с ростом энергии. Поэтому стало возможным применять теорию возмущений в КХД для практических расчетов экспериментально измеряемых процессов сильных взаимодействий при высоких энергиях (больших или порядка 1 ГэВ), когда константа свя'-зп становится достаточно малой.

В принципе, любые разумные фешшановскпс диаграммы, определяющие пертурбатпвные коэффициенты в теории поля, могут быть вычислены численно с разумной точностью. Ярким примером на этом пути является вычисление четырехпетлевого приближения знаменитого аномального магнитного момента электрона [12], совпадение которого в восьми ¡значащих цифрах с экспериментальным значением дает надежный фундамент современной квантовой теории поля. Но аналитические расчеты пертурбатпв-ных коэффициентов позволяют, естественно, лучше понять свойства самой теории возмущений.

Даже в рамках теории возмущении аналитическое вычисление функций Грина с несколькими внешними параметрами встречает значительные трудности. Это делает незаменимыми различные асимптотические операторные разложения, такие как разложение произведения составных операторов на малых расстояниях [13], разложения по большой массе [14] н другие. При этом весьма важными приложениями операторных разложении являются не-пертурбативные. Это связано с тем, что структура таких разложений является подходящей для учета непертурбатпвных эффектов путем введения феноменологических операторных матричных элементов, при этом коэффициентные функции таких операторных разложений вычисляются в теории возмущений [15, 1(3].

Незаменимым в настоящее время инструментом для проведения практических многопетлевых расчетов является техника размерной регуляризации [17] ультрафиолетовых расходнмостей, когда расходимости фейнмановских интегралов регулярпзуются путем аналитического продолжения размерности пространства-времени с физического значения четыре на нецелые значения И = 4 — 2е, где 6 есть параметр размерной регуляризации. Кроме явной калибровочной инвариантности, размерная регуляризация имеет еще то практическое преимущество, что она регулярпзует одновременно п ультрафиолетовые, и инфракрасные особенности, которые (и те, и другие) проявляются как полюса по параметру регуляризации е, что открывает большие вычислительные возможности. В рамках этой регуляризации удалось в последнее время создать ряд эффективных методов расчета многопетлевых диаграмм. Особенно выделим метод интегрирования по частям в

размерной регуляризации [18], который позволяет вычислять аналитически произвольную трехпетлевую безмассовую пропагатор-ную диаграмму п дощскает эффективную реализацию на компьютерных системах аналитических вычислении.

Для проведения ультрафиолетовых перенормировок наиболее эффективной является схема минимальных вычитании в рамках размерной регуляризации [19], или ее стандартная модификация, Л/5-схема [20]. Эта схема обладает замечательным свойством полп-номнальностп ультрафиолетовых контрчленов по размерным параметрам [21], что, в частности, существенно облегчает расчет ренормгрупповых .^-функций п аномальных размерностей.

В аналитических вычислениях в квантовой теории поля часто возникают принципиальные сложности, заставляющие изобретать для новой задачи новые методы. По:.1 г ому представляется весьма нетривиальным, что несколько различных физически интересных задач могут быть сведены в схеме минимальных вычитаний к расчету сравнительно простого класса фейнмановскнх диаграмм: безмассовых диаграмм пропагаторного типа. Это следующие три класса задач.

(I) Вычисление ренормгрупповых функций в различных моделях квантовой теории поля, в частности ^-функции, определяющих область применимости теории возмущений. Сведение к диаграммам пропагаторного типа в этих расчетах делается с помощью метода инфракрасного преобразования [22].

(и) Вычисление двухточечных корреляторов, в особенности в теории сильных взаимодействий, КХД. Такие расчеты позволяют найти, например, полную ширину электрон-позитро'нной аннигиляции в адроны или ширины распадов Z0-бoзoнa и т-лептона в адроны.

(ш) Вычисление коэффициентных функций асимптотических операторных разложении, например, для процессов глубоконеупру-гого рассеяния лептонов на нуклонах. Сведение к диаграммам пропагаторного типа осуществляется в этом случае с помощью метода [23].

Отметим, что расчеты этих классов позволяют сравнивать количественно КХД с экспериментом при высоких энергиях п извлекать из экспериментальных данных значение сильной константы связи оили фундаментального масштабного параметра Адов-

Цель диссертации состояла в вычислении высоких приближении теории возмущений в квантовой хромодпнамнке к физически интересным процессам (таким как глубоконеупругое лептон-нуклонное рассеяние и распады Zu-бoзoнa и г-лептона в адроны) для надежного сравнения теории с прецизионными эксперпмен-

тальнымп данными и изучения структуры пертурбатнвных рядов КХД, а также в развитии необходимых для этого вычислительных методов.

Научная новизна. Впервые расчеты в пертурбатнвнои КХД продвинуты до третьего порядка теории возмущении включительно для процессов глубоконеупругого рассеяния лептонов на нуклонах, которые являются важным общепризнанным тестом квантовой хромодинамики. Это стало возможным благодаря разработке нового эффективного метода расчета коэффициентных функции асимптотических операторных разложений в схеме минимальных вычитании, так называемого метода проекторов, который позволяет свести расчет коэффициентных функции в случае глубоко-неупругого рассеяния к вычислению только безмассовых фейн-мановских диаграмм пропагаторного типа. В частности, рассчитаны трехпетлевые приближения (порядка а^ по сильной константе связи) к известным правилам сумм для глубоконеупругого рассеяния лептонов на нуклонах. Это правило сумм Бъеркена для поляризованного рассеяния электронов на нуклонах, рассматриваемое в настоящее время как фундаментальный тест КХД, и правило сумм Гросса - Ллевеллпн Смита для рассеяния нейтрино на нуклонах. Также вычислены трехпетлевые приближения к моментам структурных функций F2 п глубоконеупругого электрон-нуклонного рассеяния, для которых существует значительный экспериментальный материал.

Разработана эффективная техника для практических многопетлевых расчетов в размерной регуляризации в присутствии 75-матрпцы, позволившая впервые продвинуть физически интересные расчеты с аксиальным током на неведущне порядки теории возмущений по сильной константе связи. Эта техника позволяет держать все индексы -7-матриц в процессе всего вычисления в размерной регуляризации Б-мернымн (а не расщеплять пх на 4-мерные и (1)-4)-мсрные, как это было принято ранее [24]), что сделало сложные физически интересные расчеты практически выполнимыми. В частности, впервые вычислена трехпетлевая, порядка о' по константе КХД, аномальная размерность спнглетно-го аксиального тока. Это позволило получить давно ожидаемую поправку порядка а^ к спнглетному правилу сумм для структурной функции у\ поляризованного электрон-протонного рассеяния, правилу сумм Эллиса - Джаффе [23], что необходимо для надельного сравнения теории с экспериментом.

Вычислено приближение а' к ширине распада Z1}-бoзoнa в адро-ны, измеряемой в настоящее время на ускорителе в ЦЕРН с беспрецедентной точностью. При этом в данном приближении полу-

чено разложение по большой массе Шкварка до четвертого порядка включительно, что дозволило установить хорошую сходимость такого разложения. Также проведен расчет разложения по боль-шоп массе очарованного кварка в приближении п"] для ширины распада г-лепхона в адроны Г(т~ —* ит+ адроны), позволивших! установить хорошую сходимость такого разложения п для этого физически интересного процесса.

Практическая ценность. Положенные в диссертации результаты расчетов высоких порядков КХД для процессов глубоконе-уиругого рассеяния лептонов на нуклонах активно используются в настоящее время для фита экспериментальных данных, см., например, [20, 27, 28], позволяя, в частности, с большей надежностью извлекать значение фундаментального масштабного параметра КХД Л из экспериментов. Развитый метод проекторов для расчета коэффициентных функции операторных разложений является эффективным инструментом для проведения сложных многопетлевых вычислений с примененном техники операторного разложения п используется во многих физически интересных расчетах.

Разработанная техника для практических многопетлевых вычислений с ^-матрицей в размерной регуляризации, активно применяется для проведения физически интересных расчетов в высоких порядках теории возмущений. В качестве примеров ее использования молено привести такие известные вычисления, как рис-чет двухпетлевого приближения в КХД для структурной функции ^з глубоконеупругого рассеяния нейтрино на нуклонах [29] и расчет трехпетлевого приближения, порядка а^ по сильной константе связи, для /^-параметра Стандартной модели [30]. Кроме того, вычисление а^ приближения для адронной ширины распада бозона стало практически возможные с хагсдаря данной технике.

Расчет «2 приближения для ширины распада Z -бозона в адроны интересен в связи с прецизионными измерениями на инке ■2°-бозона в элетрон-позптроннон аннигиляции, проводимыми на ускорителе в ЦЕРН, где для этой величины достигнута беспрецедентная точность порядка 0.3Г/ [31] (Л/ = 20.703 ± 0.049, где

= Г/,„(//Г;/ есть отношение парциальных ширин распадов в адроны и в пару заряженных лептонов) и ожидается ее дальнейшее улучшение. Данный расчет позволил получить теоретическую точность для адронной ширины ¿'"-бозона порядка одного промиля, 0.1%, не уступающую достигнутой экспериментальной точности.

Полученное разложение по большой массе очарованного кварка в приближении а, для ширины распада г-лептона в адроны

о

Г(т~ —> 1^ои+ адроны) позволил установить прекрасную сходимость ряда такого разложения п тем самым закрепить статус пер-турбатпвных КХД расчетов для этого процесса, важного, как II адронная ширина ^°-бозона, для аккуратного извлечения значения сильной константы связи а* из эксперимента.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Отдела теоретической физики ИЯИ РАН, Лаборатории теоретической физики ОПЯИ, теоретического отдела ЦЕРН, Национального института физики высоких энергий (Амстердам), Института Лорентца лейденского университета, на Между народных семинарах "Кваркн-92"' (Звенигород, 1992), " Кварки-94" (Владимир, 1994), Общенациональном семинаре Нидерландов по теоретической физике высоких энергий (Амстердам, 1993), Международной конференции "КХД двадцать лет спустя" (Аахен, 1992), Международном совещании "'Программирование, пскуственный интеллект п экспертные системы для физики высоких энергий п ядерной физики" (Обераммергау, 1993), Международной школе "Частицы и космология" (Баксанская нейтринная обсерватория ИЯИ РАН, 1993).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав основного текста, содержащих 7 параграфов, заключения и списка цитируемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность диссертации, формулируются цели и результаты работы, кратко изложено содержание диссертации.

Глава 1 посвящена методу проекторов для расчета коэффициентных функций асимптотических операторных разложений в минимальной вычитателыюй схеме, а также вычислению высоких порядков теории возмущений квантовой хромодннамшш, а именно, трехпетлевых приближений, к процессам глубоконеупругого рассеяния пептонов на нуклонах. Такие процессы являются одним из важнейших тестов КХД и используются для аккуратного извлечения значения константы связи КХД аг из экспериментов. Как известно, успешное качественное описание в рамках КХД логарифмического нарушения скейлпнга в глубоконеуиругом рассеянии явилось исторически важнейшим аргументом в пользу принятия квантовой хромо динамики как истинной теории енльных взаимодействий.

Все расчеты и выводы данной главы и всей диссертации выполнены в размерной регуляризации в рамках стандартной модификации минимальной вычитателыюй схемы. Л/5-схемы, которые

являются в настоящее время фундаментом практических аналитических многопетлевых вычислений.

В первом параграфе описывается эффективный метод расчета коэффициентных функций асимптотических операторных разложении, метод проекторов, который впервые сделал практически осуществимыми вычисления третьих порядков теории возмущений КХД для процессов глубоконеуиругого лептон-нуклонного рассеяния. Этот метод основан на замечательном свойстве размерной регуляризации занулять безмассовые вакуумные диаграммы. Чтобы найтп коэффициентную функцию искомого оператора, необходимо сначала, как п в других методах, зажать разлагаемую в операторный ряд исходную амплп-уду (т.е. исходное Т-произведение составных операторов) в обкладки из полей, входящих в искомый оператор. Решающий шаг состоит в зануленпп всех импульсов, соответствующих эт полям, до перехода к пределу е = 0, где б есть параметр размерной регуляризации. После этого все матричные элементы операторов в операторном разложении, содержащие только петли и не содержащие древесных вкладов, обратятся в безмассовые вакуумные диаграммы (в безмассовом случае, но метод обобщается в первом параграфе п на массивный случай) и занулятся. При таком зануленпп в операторном разложении выживет только один древесный вклад матричного элемента, имеющего нулевую размерность. Можно добиться, что такой матричный элемент происходит только от искомого оператора и тем самым выделить вклад искомого оператора из всего разложения. Таким образом, вся амплитуда проецируется только на один вклад искомого оператора. После Такого зануле-нпя импульсов исходная амплитуда в случае глубоконеуиругого рассеяния содержит только один внешний импульс С}, и поэтому необходимо вычислять только пропагаторные диаграммы. За-нуленне импульсов может приводить к появлению инфракрасных расходимостей в амплитуде, которые имеют в размерной регуляризации такой же вид полюсов по е, как п ультрафиолетовые расходимости. Согласно описываемому методу эти инфракрасные полюса должны сократиться ультрафиолетовыми полюсами константы перенормировки искомого оператора. Таким образом, вычисляя только безмассовые диаграммы пропагаторного типа, мы находим одновременно и коэффициентную функцию, п константу перенормировки (а значит, аномальную размерность) искомого оператора. В этом состоит большое преимущество рассматриваемого метода.

Во втором параграфе рассматривается вычисление приближений с^ к двум известным правилам глубоконеуиругого рассеяния.

Это правило сумм Гросса - Ллевеллин Смита для структурной функции Рз рассеяния нейтрино на нуклонах н правило сумм Бъ-еркена для структурной функции (/1 поляризованного рассеяния электронов на нуклонах. Последнее правило сумм рассматривается в настоящее время как фундаментальный тест КХД, поскольку в нем нет неизвестных параметров и оно активно измеряется в настоящее время на ускорителях в СЛАК (Станфорд) п ЦЕРН (Женева). В картонной модели эти правила сумм имеют следующий вид:

£ ¿хМ'М*)-<,[»{*,(}*)) = \ы

где х есть переменная Бъеркена, п г/л есть известная аксиальная константа бета-распада нейтрона, (].\/и\г = —1.26.

В КХД правые части данных правил сумм приобретают а, поправки и, соответственно, зависимость от квадрата преданного импульса С}2. При этом в ведущем твисте правило сумм для 1} оказывается пропорциональным коэффициентной функции спнглет-ного векторного тока в операторном разложении произведения несинглетных векторного п аксиального токов. В свою очередь правило сумм для г/1 оказывается пропорциональным коэффициентной функции несинглетного аксиального тока в операторном разлольенни произведения двух несинглетных векторных токов. Поправки порядка а^ к обоим правилам сумм были найдены в работе [32].

Вычисления приближении а^ к этим коэффициентным функциям (т.е. к рассматриваемым правилам сумм) стали возмолшы-ми благодаря описанному выше методу расчета коэффициентных функций.

Для расчета а^ поправки к правилу сумм Гросса - Ллевеллин Смита нам пришлось вычислить 347+6 различных трехпетлевых диаграмм (при этом каждая диаграмма с полной однопетлевой или двухпетлевой вставкой в глюоиный пропагатор считалась как одна диаграмма) двух типов, показанных ниже на рис Л.

Рисунок 1а

Ршг.нок 16

Из них 347 диаграмм неспнглетного типа, в которых обо внешние вершины слабого кваркового тока (т.е. внешние \У-бозоннме линии) входят в незамкнутую кварковую линию, п 6 диаграмм спнглетного типа, в которых внешние \\т-бозонные линии входят во внутреннюю кварковую петлю.

Для выполнения расчета необходимо было аккуратно определить несинглетнын аксиальный кварковыи ток в размерной регуляризации. Мы использовали технику, основанную на определении 75-матрицы в размерной регуляризации в работе [17].

Для аналитического расчета диаграмм здесь и во всей диссертации использовалась специальная программа Мпнсер [33], написанная для системы аналитических вычислений Форм [34]. Эта программа реализует алгоритм метода интегрирования по частям в размерной регуляризации [1Б] и вычисляет аналитически произвольные трехпетлевые пропагаторные диаграммы.

Результат наших вычислений для правила сумм Гросса - Лле-веллпн Смита имеет вид (мы подставляем здесь число активных

кварков П[ = 3 для компактности выражения):

/о' = 0 1 - ^ - 3.58 - 19.0

Отметим, что эта формула приводится, например, в обзоре [35].

В поляризованное правило сумм Бъеркена дают вклад только диаграммы неспнглетного типа. При этом оказывается, что неспнглетные вклады в оба рассматриваемых правила сумм совпадают вследствие аксиального тождества Уорда. Мы проверили этот факт независимым расчетом трехпетлевого приближения для правила сумм Бъеркена. В случае правила сумм для /з соответствующие диаграммы умножаются на нетривиальную конечную константу ^5®, а в случае правила сумм для они делятся на эту константу, а результаты для неспнглетных вкладов в итоге совпадают, что обеспечило очень надежную проверку расчетов для обоих правил сумм. Результат для правила сумм Бъеркена для ?1/ = 3 имеет вид:

/> а'Г'\*,Я2) - 1ы [1 - ^ - 3.58 - 20.2

Такны образом, различие между двумя правилами сумм появляется впервые только в порядке а^. поскольку только в этом порядке впервые появляется спнглетньш вклад в правило сумм Гросса -Ллевеллин Смита. Численно это различие оказывается весьма малым. В результате молено сделать интересный вывод, что эти два физически разных правила сумм (одно для рассеяния нейтрино на нуклонах, а другое для поляризованного рассеяния электронов на нуклонах) совпадают с высокой точностью в области больших импульсов передачи С}1, где работает пертурбатнвная КХД.

В третьем параграфе приводятся вычисления третьих порядков теории возмущений квантовой хромодинампкн для неспнглетных моментов структурных функции неполярпзованного глубоконе-упругого электрон-нуклонного рассеяния п продольной структурной функции ^ с помощью описанного выше метода расчета коэффициентных функций п аномальных размерностей операторов в операторном разложении. Для этих структурных функций накоплен значительный экспериментальный материал, а в настоящее время ведется такой фундаментальный эксперимент как измерение глубоконеупругого электрон-протонного рассеяния при высоких энергиях на ускорителе ГЕРА. Поэтому достижение высокой теоретической точности для структурных функций представляется весьма важным.

Четные неспнглетные моменты структурных функций к = 2, Ь, выражаются через параметры операторного разложения следующим образом:

— рго1оп(ц2) — „еи1гоп(/.12))

а Ц

где А1, иископ есть усредненный по спину нуклонный матричный элемент несннглетного оператора оператора:

< р, пис!соп\Оа'<"■.....>^\пис!еоп,р >= р{,,1..У}АаЫеоп(^2)

Здесь н ниже мы используем обозначение а$ = ^ для сильной константы связи КХД, удобное в практических вычислениях. Коэффициентные функции 1у неспнглетных операторов могут быть редуцированы к коэффициентным функциям С^д, не зависящим от номера несннглетного оператора а.

Применение техники ренормалпзацпонной группы дает для коэффициентных функций следующее стандартное выражение через аномальные размерности операторов 7д- п /3-функцню:

. СЫ^аЛм2)) = х ехр К^)

Чтобы получить пскомые третьи порядки для моментов, необходимо было рассчитать двухпетлевые коэффициентные функции для структуры /2, трехпетлсвые коэффициентные функции для структуры 7*/, п трехпетлсвые аномальные размерности для обеих структурных функций.

Как уже подчеркивалось, используемый метод расчета, метод проекторов, позволяет вычислять одновременно трехпетлевые коэффициентные функции и аномальные размерности соответствующих операторов. Необходимо было вычислять диаграммы тех же типов, приведенных на рпс.1. что и в обсуждавшихся выше правилах сумм. Только в диаграммах спнглетного типа на рис. 16 одна из внешних бозонных линий должна входить не во внутреннюю петлю а в незамкнутую кварковую линию. Мы были вынуждены ограничиться вычислениями моментов с номерами N=2, 4, б, 8 только в силу беспрецедентной сложности выполняемого расчета. Компьютерное время растет оыстро с номером момента, и каждый следующий момент берет примерно в пять раз больше

времени, чем предыдущий. Вычисление восьмого неспнглетно-го момента потребовало более G00 (шестисот) часов процессорного времени на рабочей станции СГИ Чэллендж (SGI Challenge workstation).

Расчеты проводились в произвольной коварпантной калибровке. Сокращение калибровочного параметра в окончательных результатах для коэффициентных функции п аномальных размерностей операторов обеспечивает надежную проверку вычислений. В качестве примера приведем результат вычислений для четвертого момента структурной функции F? (для компактности выражения мы подставляем конкретное число активных кварков, п/ = 5, и приводим пертурбативные коэффициенты в численной форме):

М2,4(п/ = 5) = ар [1 + 8.457070895«* + 73.5Э702078а*] х Л4(/х2)

Отметим, что в третьем порядке КХД, как и в предыдущем порядке доминирующий вклад в моменты идет от коэффициентных функций, а вклад аномальных размерностей оказывается небольшим.

Результаты данных расчетов используются при анализе структуры пертурбатпвного ряда в КХД и для фпта экспериментальных данных, см., например, [28].

Вторая глава посвящена разработке эффективной техники работы с спнглетным аксиальным током во многопетлевых вычислениях в размерной регуляризации, а также ее практическому применению для расчета физически интересного процесса поляризованного глубоконеупругого электрон-протонного рассеяния.

С момента изобретения размерной регуляризации [17] и схемы минимальных вычитаний [19] огромные усилия были затрачены на решение проблемы 75-матрпцы в рамках размерной регуляризации. Это связано с тем, что размерная регуляризация является в настоящее время основным инс трументом пертурбатпвных расчетов в неабелевых моделях квантовой теории поля, а обобщение 75-матрицы на случаи пространства произвольной размерности D до сих пор не удалось сделать удовлетворительным образом. Некоторые подходы к этой нетривиальной проблеме удалось довести до их практического применения в вычислениях реальных физических величин (мы не будем упоминать здесь огромное количество различных разработок этой проблемы, которые не удалось довести до их применения в практических вычислениях). Это следующие подходы: прескрипцип, основанные на первоначальном определении т'Хоофта и Вельтмана [17, 3G, 24]; постулирование сохранения четырехмерных антикоммутационных соотноше-

ниц для 75 в £>-размерности пространства-времени [37]; размерная редукция [38]. Эффективный подход к проведению многопетлевых вычислений, включающих нееннглетные аксиальные токп (т.е. к важному физическому случаю вычислений с 75-матрпцей) в размерной регуляризации был развит в работе [32] п в описанных в первой главе расчетах, в которых глубоконеупругпе правила сумм были вычислены в КХД (со внешними аксиальными токами) до трехпетлевого уровня включительно. •

В четвертом параграфе мы представляем разработку данного подхода на случай псевдоскалярного тока п спнглетного аксиального тока. Мы строим практическую прескрппцпю для работы с 75-матрпцей во многопетлевых вычислениях в размерной регуляризации, основанную на определении 75 в работе [17]. Все вычисления проводятся в безмассовой пертурбативной КХД, при этом аксиальный ток рассматривается как внешний для КХД.

На наш взгляд, наиболее практичным определением 75 для многопетлевых вычислений в размерной регуляризации является первоначальное определение т'Хоофта и Вельтмана

_ Л

где е-тензор Левп-Чивита является неизбежно четырехмерным объектом (не удается построить обобщение этого тензора на пространство нецелой размерности, необходимое для размерной регуляризации). Он должен быть поэтому вынесен за ультрафиолетовую Я-операцпю, где любой объект может быть рассмотрен как четырехмерный. Напротив, индексы гамма-матрпд ... 1/4 должны браться .О-мерными внутри /?-операщш. как п все остальные индексы в размерной регуляризации.

Но 75-матрпцг,, определенная таким образом, обладает тем крупным недостатком, что она не антпкоммутирует более с £>-мернымц 7,, в отличие от ситуации в 4-мерном пространстве. Поэтому нарушается кнральная инвариантность, которую приходится восстанавливать введением дополнительных конечных контрчленов, чтобы иметь возможность использовать вычислительную мощь размерной регуляризации. В частности, как уже отмечалось выше, в случае нееннглетного аксиального кваркового тока необходимо ввести дополнительную конечную константу перенормировки (кроме обычной ультрафиолетовой константы перенормировки содержащей только полюса по с), чтобы восстановить ренормпнварпантность фнзифеского нееннглетного тока:

При этом можно зафиксировать конечную константу при известной ультрафиолетовой константе из условия ренорминварпантно-стн (т.е. занулення аномальной размерности) перенормпрованно-го таким способом несннглетного тока. Но практически удобнее зафиксировать (это позволяет продвинуться для нее на один иертурбативный порядок выше) из условия совпадения перенормированных аксиальной и векторной вершин:

где = ф(х)есть векторный ток, <" - генератор

группы ароматов. Это соотношение означает, что антикоммутативность 75-матрицы эффективно восстановлена, так что ренор-мннвариантность несннглетного тока тоже восстановлена.

С первого взгляда может показаться, что вычисление аксиальной вершины является весьма громоздким в рамках принятой ирескрипции для аксиального тока: вынесение е-тензора за П,-операцию вроде бы оставляет внутри Л-операцпи три лишних несвернутых индекса "з- Но всегда оказывается возмож-

ным сначала свернуть вычисляемый объект с дополнительным е-тензором, чтобы получить скалярный объект. В нашем случае мы умножим сначала аксиальную вершину на фактор 7^75 =

жет быть представлено обычным способом как детерминант четырехмерных метрических тензоров:

За рамками Лд/^-операцпп эти четырехмерные метрические тензоры могут быть рассмотрены как ¿-мерные тензоры (это добавит лишь несущественные 0(е)-члены к перенормированной аксиальной вершине). Теперь эти .О-мерные метрические тензоры д^ могут быть внесены внутрь Л-операции как .О-мерные объекты. В результате получается скалярное выражение внутри II-операцип, содержащее только .О-мерные величины.

Таким образом, удается исключить 4-мерный е-тензор из вычислений вовсе и держать все индексы 7-матрпц £)-мернымн в процессе всех вычислений в отличие от ранее использовавшегося подхода [24], где индексы расщепляются на 4-мерные и (Б — 4)-мерные. Это позволяет сделать сложные многопетлевые вычисления в размерной регуляризации практически выполнимыми.

г?;Виз < Ф 4а(0) ф >= Пмз < Ф ./ДО) Ф > 75,

Перенормпрованный синглетный аксиальный ток в рассматриваемом подходе определяется по аналогии с неспнглетным током:

Теперь нетривиальная проблема состоит в том, как фиксировать конечную константу перенормировки Zy Мы не можем более для этой цели навязать условие совпадения аксиальной II векторной вершин аналогично тому, как это делалось в случаях несинглет-ного аксиального н псевдоскалярного токов. Это потому, что спнглетныи ток генерирует диаграммы с замкнутыми фермпоннымн петлями, и мы не можем вынести коммутацией 75 пз сннглетной аксиальной вершины.

Для нахождения конечной константы молено потребовать чтобы опреаторное соотношение для аксиальной аномалии [39, 40] сохраняло одиопетлевой вид [41] во всех порядках порядках теории возмущении таюке и в размерной регуляризации:

(0,-фя = а^(СС!)п,

где = СО = е^хРв%СаХр, п С"ш = 0пЛ1 - О.Л« + о!аЬсЛ)1А1 есть тензор напрялсенности глюонного поля.

Выражение для этого соотношения в терминах голых операторов с соответствующими константами перенормировки выглядит несколько сложней:

Чтобы зафиксировать конечную спнглетную константу .£5 пз этого условия, пришлось рассмотреть матричный элемент от этого операторного аномального равенства между двумя глюопцыми состояниями (при этом в левой части возникает знаменитая одно-петлевая треугольная аномальная диаграмма плюс высшие петлп). Нахол;денпс второго пертурбативного порядка для потребовало вычисление трехпетлевых диаграмм в левой части аномального соотношения и соответствующих двухпетлевых диаграмм в правой части. В результате получаем

= 1 + «Д-4С» + а]{22С1 - ^-СаСр + ^нД

Здесь С г = 4/3 и С а — 3 суть операторы Казимира фундаментального п присоединенного представления цветовой группы

БЩЗ).

Этот результат позволил в итоге найти трехпетлсвую аномальную размерность синглетного аксиального тока

7 1 d,l>

= a](-6CFnf) + ¿¿-Щ-СрСлч + lcFn} + 18 C\nj).

Первый член в -этом выражении согласуется с предыдущим расчетом работы [42] (после умножения нашего результата на фактор (—2) вследствие разных нормировок). Данная аномальная размерность используется в следующем параграфе для физического приложения.

В пятом параграфе вычисляется приближение а2 к спнглетно-му правилу сумм Эллпса-Джаффе для поляризованного электрон-протонного рассеяния, необходимое для надежного сравнения теории с экспериментом. Экспериментальные результаты, полученные коллаборацией ЕМС на ускорителе в ЦЕРН и Е130 коллабора-цией d СЛАК для правила сумм Эллпса-Джаффе [25] для рассеяния лептона на протоне, /0' dxg\(x,Q2), привлекли огромное внимание к этому правилу сумм. Более того, недавние экспериментальные данные коллаборации SMC в ЦЕРН для поляризованного рассеяния мюонов на дейтерии и данные коллаборации Е142 в СЛАК для поляризованного рассеяния электронов на гелии 3Не позволили измерить аналогичное правило сумм для нейтрона. Это в свою очередь позволило определить разность /J dx[y[(.г,Q2)—g"(x, Q2)], что есть знаменитое поляризованное правило сумм Бъеркена.

В настоящее время поляризованное правило сумм Бъеркена вычислено в КХД с достаточно высокой точностью, как это описано во втором параграфе. Напротив, для правила сумм Эллпса-Джаффе до недавнего времени только лидирующая as поправка была рассчитана в ведущем твисте [42], и возникла насущная необходимость расчета следующей а2 поправки, хотя это и было связано со значительными техническими трудностями.

Правило сумм Эллиеа - Длеаффе выражается через параметры операторного разложения следующим образом:

Jol dxg';{"\x, Q1) = C"'(1,«.(Q2)) (±~Ы +

где С"6 и С5 - коэффициентные функции соответсвенно неспнглет-ного п спнглетного аксиальных токов в операторном разложении произведения двух электромагнитных токов. Можно сказать, что аксиальная аномалия дает вклад в данное правило сумм, поскольку в это выражение входит аномальная размерность спнглетного аксиального тока

Здесь р(п) обозначают мишень: протон (или нейтрон). Плюс (минус) перед \д,\\ соответствует протонной (нейтронной) мишени. Протонные матричные элементы аксиальных токов определяются следующим образом:

I<7лК = 2 < р, в | | р, 5 >= (Аи - А(1)8„,

где дд есть известная константа нейтронного бета-распада, | р, в > есть протонное состояние, ав, - поляризационный вектор протона.

а8в<г = 2\/3 < р, 5 I | Р, 8 >= (Ли + Ас! - 2Аз)в„,

АЦ/12)а„ =< р, в | Л | р, в >= (Ли + Ас1 + Дф,, н мы используем стандартное обозначение

=< Р, в | I Р, >, <7 = и, с1, в

для величин, описывающих вклады кларксвых спинов в еппн протона. Неспнглетный вклад в данное правило сумм совпадает с уже рассмотренным правилом сумм Бъеркена. Чтобы найти искомую поправку к еннглетному вкладу, необходимо иметь трехнетле-вую аномальную размерность спнглетного аксиального тока 7", описанную в предыдущем разделе, а также рассчитать двухпе-тлевое приближение к коэффициентной функции С®. Следует отметить, что в данном случае вклад коэффициентной функции не является доминирующим по сравнению с вкладом аномальной размерности оператора в отличие от моментов структурных функций Рг ii

В итоге мы получаем наш окончательный результат для правила сумм Эллпса-Джаффе с тремя активными ароматами, п/ = 3,

+ 1 - 0.3333 (^И

7Г

где ДЕ,,,, есть ренорминварпантный нуклонный матричный элемент синглетного аксиального тока, который включает ренорм-групповую экспоненту:

Такой инвариант является более подходящей величиной при сравнении с экспериментом, чем зависящая от точки норрмпровки величина Д!!(//).

Полученная а^ поправка к синглетной части правила сумм Эл-лиса-Джаффе оказывается небольшой в рассмотренной стандартной М5-схеме. Это указывает на то, что полученное приближение к рассматриваемому правилу сумм является надежным в рамках пертурбативной КХД и может быть использовано для фита экспериментов с высокой точностью. Данное приближение используется, в частности, при фите поляризационных экспериментов по лептон-нуклонному рассеянию, активно ведущихся сейчас на ускорителях в ЦЕРН и СЛАК.

В третьей главе рассматривается вычисление а]] приближении к ширинам распадов 2°-бозона и т-лептона в адроны: —>

адроны) и Г(г~ —> /уг + адроны). Эти приближения вычислены аналитически до четвертого порядка разложения по большой массе 1>кварка для 2°-бозона п разложения по большой массе с-кварка для т-лептона, что позволило установить хорошую сходимость этих разложений.

В шестом параграфе описывается получение а3а поправки для адронной ширины 2°-бозона. Прецизионные измерения ширины распада ¿Г°-бозона в адроны на ускорителе в ЦЕРН [31] дали беспрецедентную возможность для аккуратного извлечения значения константы связи квантовой хромодпнамикн из эксперимента. Это также очень чистый процесс с теоретической точки зрения, так как его расчет может быть сведен к вычислению только пропа-гатора ¿-бозона в рамках Стандартной модели, что может быть сделано с высокой точностью в пертурбативной теории поля. Вычисление порядка а5 эквивалентно четырехпетлевому приближению для пропагатора 2°-бозона.

Адронная ширина распада Z0 представляет собой сумму векторного п аксиального вкладов, пз которых векторный вклад известен в порядке а-3 из вычисления полного сечения электрон-

позитронной аннигиляции сг(0,(е+е~ —» у —»адроны) в работах [43]. Это вычисление было проведено в приближении эффективной КХД с пятью бсзмассовыми кварками, в лидирующем порядке разложения по большой массе Шкварка, что включало расчет только безмассовых диаграмм.

Вычисление аксиальной части адронной ширины -бозона является более сложным, чем расчет векторной части. Это связано с тем, что тяжелый кварк не отщепляется в аксиальной части, и поэтому не удается избежать вычисления массивных диаграмм, даже в ведущем порядке разложения по большой массе (как это удавалось в векторной части), а^ поправка к полной адронной ширине ¿Г°-бозона получена независимо нами и в работе [44] в ведущем приближении разложения по большой массе топ-кварка. Здесь мы обсуждаем наше вычисление н расширяем вычисление как векторного, так п аксиального вкладов в приближении о^ в ширину распада ¿?0 до порядка (т|/и^ )3 в разложении по массе тяжелого кварка.

Ширина распада £°-бозона в адроны выражается стандартным образом как мнимая часть коррелятора слабых кварковых токов

Гнал = тг1тЩт22 + г'е)

Для выполнения необходимых расчетов нам пришлось вычислить порядка 15 безмассовых и 15 массивных четырехпетлевых диаграмм для аксиальной части коррелятора (^°-бозонного пропага-тора) п порядка 40 массивных диаграмм для веторной части.

В качестве примера результатов наших вычислений приведем выражение для адронной ширины распада -и озона в численном виде для пяти активных кварковых ароматов в ведущем приближении разложения по большой массе Шкварка:

ГьаЛ^еУ) = 1.071

1 + (+ (тГ (а9502 + 0Л489

+ (—) -15.650 + 0.2504/»(^|) + 0.28531п2(Щг)\ V тг ) \ т{ т( )

Отметим, что выполненный расчет позволил установить отличную сходимость ряда по обратным степеням массы тяжелого кварка п тем самым поставить полученное а^ приближение на надежную основу.

В седьмом параграфе в приближении а® вычисляется разложение по большой массе с кварка до порядка 1/ш® включительно для

полуадронной ширины распада г-лептона, пли, более точно, для отношения

Результаты наших вычислений выглядят следующими образом (для трех активных кварковых ароматов):

г? = 1, = 5..2023,

г\ = 0.023778 - 0.00444441л ,

г| = -0.00020118 + 0.0000529101а ,

4 = 0.0000053203 - 0.00000167971и , г§ = 26.3659,

т*з = -0.057156 + 0.0798811п (Д) - 0.0126541п2 (4) ,

г| = -0.00099668 - 0.000168581ц (Д) + 0.00006870961и2 ,

г| = 0.000036522 - 0.00000894071ц (д) + 0.000001684351и2 ,

Видно быстрое убывание коэффициентов разложения по большой массе очарованного кварка с ростом порядка разложения. Поэтому можно сделать вывод о хорошей сходимости такого разложения, а следовательно об обоснованности полученного а^ приближения для ширины распада т-лептона в адроны.

Этот процесс и распад Z{, в адроны являются дополнительными к друг другу в том смысле, что в обоих процессах извлекается из кспериыента с хорошей точностью значение сильной константы связи а8, но, естественно, при разных энергиях. Используя ре-нормгруппу можно пересчитать значение аД»)2), извлеченное из распада т-лептона, в значение иД;»^) и сравнить последнее с экспериментальным значением, извлекаемым по распада 2°-бозона. Это обеспечивает сильный тест пертурбатпвной КХД.

В заключении говорится о надежности полученных результатов.

Лт = 3 1 +

НА ЗАЩИТУ ВЫДВИГАЮ IСЯ-СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Разработан эффективный метод распета коэффициентных функции асимптотических операторных разложении, "метод проекторов", позволивший, в частности, впервые продвинуть вычисления процессов глубоконеупругого лептон-нуклонного рассеяния в квантовой хромодинампке до третьего порядка теории возмущений включительно.

2. Найдены трехпетлевые приближения квантовой хромодн-нампкп, порядка (V, по сильной константе связи, к известным правилам сумм глубоконеупругого рассеяния нейтрино на нуклонах (правило сумм Гросса - Ллевеллпна Смита) и поляризованного рассеяния электронов на нуклонах (правило сумм Бъеркена, рассматриваемое в настоящее время как фундаментальный тест КХД). На основе полученных результатов найдено, что эти физически разные правила сумм обладают совпадающими с высокой точностью зависимостями от переданных импульсов в области больших импульсов передачи.

3. Вычислены трехпетлевые приближения к моментам структурных функции Г'2 и глубоконеупругого электрон-нуклонного рассеяния.

4. Разработана эффективная техника для практических многопетлевых расчетов в размерной регуляризации в присутствии 75-матрицы, позволившая впервые продвинуть физически интересные расчеты с аксиальным током на неведущие порядки теории возмущений по сильной константе связи.

5. Рассчитана трехпетлевая, порядка п^, аномальная размерность спнглетного аксиального тока. На основе этого расчета найдена давно ожидаемая поправка порядка о, к синглетному правилу сумм для структурной функции </1 поляризованного глубоконеупругого электрон-протонного рассеяния, необходимая для надежного сравнения теории с экспериментами, активно проводящимися на современных ускорителях для этого процесса.

С. Найдено приближение ок ширине распада Z0-бoзoнa в адро-ны, необходимое для надежного сравенпя теории с прецизионными измерениями на пике 2°-бозона, проводимыми на ускорителе в ЦЕРН.

7. Получено разложение по большой массе очарованного квар-

ка в приближении а'] для ширины распада т-лептона в адроны Г(т~ —► ит+ адроны), что позволило установить хорошую сходимость соответствующего ряда по обратным степеням массы с-кварка и тем самым закрепить статус пертурбативных КХД расчетов для этого процесса, важного для прецизионного извлечения значения as из экспериментов.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. S.G. Gorishiiy, S.A. Lariu, Coefficient functions of asymptotic operator expansions in the minimal subtraction scheme. Nucl. Phys. В 283 (1987) 452-476.

2. S.A. Lariu, J. A.M. Vermaseren, The ajj corrections to the Bjorken sum rule for polarized electroproduction and to the Gross - Llewellyn Smith sum rule. Phys. Lett. В 259 (1991) 345-352.

3. S.A. Larin, J.A.M. Vermaseren, Two-loop QCD corrections to the coefficient functions of the deep inelastic structure functions F2 and Fl. Preprint NIKHEF-H/91-17 (Amsterdam, 1991) 10 p.;

Z. Phys. С 57 (1993) 93-97.

4. S.A. Larin, The renormalizatioii of the axial anomaly in dimensional regularization. In Proceedings of the Seventh International Seminar 'Quarks-92' (May 11-17,1992, Zveiiigorod, Russia) eds. D.Yu. Grigoriev, V.A. Matveev, V.A. Rubakov, P.G. Tiiiyakov (World Scientific, Singapore, 1993) pip. 201-211;

Phys. Lett. В 303 (1993) 113-1 IS.

5. S.A. Larin, J.A.M. Vermaseren. The three-loop QCD /3-function and anomalous dimensions. Phys. Lett. B303 (1993) 334-336.

6. S.A. Larin, The axial anomaly in dimensional regularization. In Proceedings of the International Baksan School 'Particles and Cosmology' (April 22-27, 1993, Kabardino-Balkaria. Baksan Valley, Russia) eds. E.N. Alexeev, V.A. Matveev, Kli.S. Nirov, V.A. Rubakov (World Scientific, Singapore, 1994) p.p. 216-226.

7. S.A. Larin, T. van Ritbergen. J.A.M. Vermaseren, Calculating various quantities with Mincer: of correction to F(Z{) —> hadrons) and NNL approximation to deep inelastic structure functions. In Proceedings of the Third International Workshop 011 Software Engineering, Artificial Intelligence and Expert Systems for High Energy and Nuclear Physics (October 4-S. 1993, Oberammergau, Germany^ eds. K.-H. Becks, D. Pcrret-Gallix ( World Scientific, Singapore, 1994) p.p. 479-484.

8. S.A. Larin, Programming of the "15-matrix in dimensional regularization in multiloop calculations. In Proceedings of the Third International Workshop 011 Software Engineering, Artificial Intelligence

and Expert Systems for High Energy and Nuclear Physics (October 4-8, 1993, Oberammergau, Germany) eds. K.-H. Becks, D. Perret-Gallix (World Scientific, Singapore. 1994) p.p. 499-504.

9. S.A. Larin, T. van Ritbergen, .J.A.M. Vennaseren, Tlie liext-next-to-leading QCD approximation for non-singlet moments of deep inelastic structure functions. Nncl. Pliys. В 247 (1994) 41-52.

10. S.A. Larin, T. van Ritbcrgen, J.A.M. Vennaseren, Tlie a® correction to r(Z° hadrons). Pliys. Lett. В 320 (1994) 159-1G4.

11. S.A. Larin, The next-to-leading QCD approximation to the Ellis-JafTe sum rule. Pliys. Lett. В 334 (1994) 192-198;

Preprint CERN-TH.7208/94 (1994) S p.

12. S.A. Larin, T. van Ritbergeu. .J.A.M. Vennaseren, The large quark mass expansion of Г(Z° —> hadrons) аж!Г(т~ —► vT+hadrons) in the order a3s. Preprint NIKHEF-H/94-30 (Amsterdam, 1994) 29 p.

Литература

[1] см. H.H. Боголюбов, Д.В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, М.: Наука, 1985, п приведенные ссылки.

[2] см. Л.Б. Окунь; Лептоны и кварки, М.: Наука, 1981, и приведенные ссылки.

[3] V.A. Matveev, R.N. Muradyan. A.N. Tavkhelidze, Nuovo Cim. Lett, 7 (1973) 719.

[4] S. Brodsky, G. Farrar, Pliys. Rev. Lett. 31 (1973) 1153.

[5] H. Fritzcli, M. Gell-Maun, II. Leutwvler, Pliys. Lett. 47 13 (1973) 3G5.

[G] H.H. Боголюбов, Б.В. Струмпнскнп. А.II. Тавхелидое, Препринт ОИЯИ Д-1908 (Дубна, 19G5) 13 с.

[7] М. Han, Y. Nambu, Pliys. Rev. 139 (19G5) 1038.

[8] см. А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, М.: Наука, 1988, п приведенные ссылки.

[9] G. "t Hooft, Report at the Conference on Lagrangian field theories, Marceille, 1972.

[10] D.I. Gross, F. Wilczek, Pliys. Rev. Lett. 30 (1973) 1343.

[11] H.D. Politzer, Pliys. Rev. Lett. 30 (1973) 134G.

[12] Т. Kiiioshit.it, В. Nizic, Y. Okamoto, Pliys. Rev. D 41 (1990) 593.

[13] K. Wilson, Pliys. Rev. 179 (19G9) 1499.

[14] B. Ovrnt, H. Schnitzer, Pliys. Rev. D 21 (19S0) 33G9; S. Weinberg, Pliys. Lett, 91 В (19S0) 51.

[15] N. Christ., B. Hasslaher, A.H. Mueller, Pliys. Rev. D 6 (1972) 3543.

[16] V.A. Novikov, M.A. Shifnian, A.I. Yainstein, V.I. Zakliarov, Fortschr. Pliys. 32 (19S4) 585.

[17] G. 4 Hooft, M. Veltnian, Nucl. Plivs. В 44 (1972) 189; G.G. Bollini, J.J. Giambiagi, Nuovo Cini. В 12 (1972) 20;

в качестве обзора см. G. Lcibbrandt, Rev. Mod. Pliys. 47 (1975) 849.

[18] F.V. Tkachov, Plivs. Lett. 100 В (1981) G5;

K.G. Clictyrkiii, F.V. Tkachov, Nucl. Pliys. В 192 (1981) 159.

[19] G. 't Hooft, Nucl. Pliys. В 01 (1973) 455.

[20] W.A. Bartleeii, A.J. Buras. D.W. Duke. T. Mut.a, Pliys. Rev. D 18 (1978) 399S.

[21] J.C. Collins, Nucl. Pliys. В 80 (1974) 341.

[22] A.A. Vladiinirov, Tlicor. Mat, Fiz. 43 (1980) 210.

[23] S.G. Gorisliny, S.A. Lariu, FA'. Tkachov, Pliys. Lett. 124 В (1983) 217.

[24] P. Breiteiiloliuer, D. Maison, Comm. Math. Pliys. 52 (1977) 11.

[25] J. Ellis, R.L. Jaffe, Pliys. Rev. D 9 (1974) 1444; D 10 (1974) 16G9. [2G] J. Cliyla, A.L. Kataev, Pliys. Lett. В 297 (1992) 385.

[27] J. Ellis. M. Karliner, Pliys. Lett. В 313 (1993) 131; preprint CERN-TH.7324/94 (1994).

[28] G. Parente, A.V. Kotikov, Y.G. Krivokliizhin, Pliys. Lett. В 333 (1994) 190.

[29] E.B. Zijlstra, W.L. van Neerven, Pliys. Lett, В 297 (1992) 377.

[30] L. Avdccv, J. Fleischer, S. Mikhailov, O.V. Tarasov, Pliys. Lett. В 33G (1994) 5G0.

[31] The LEP Collaborations ALEPH. DELPHI. L3. OPAL and The LEP Elcctroweak Working Group, preprint CERX/PPE/93-157

(1993). :

[32] S.G. Gorislmy. S.A. Larin. Pliys. Lett. 172B (1986) 109.

[33] S.A. Larin. F.Y. Tkacliov. J.A.M. Yerma.seren. preprint XIKHEF-H/91-18 (Amsterdam. 1991).

[34] J.A.M. Yermaseren. Symbolic Manipulation with Form. CAN (Computer Algebra Xederland). Amsterdam. 1991.

[35] Review of particle properties. Particle Data Group. Phvs. Rev. D-50 (1994) nr. 3.

[36] D.A. Akyeampong. R. Delbourgo. Xuovo Cimento 17A (1973) 578.

[37] M. Chauowifz. M. Furman. I. Hiiichliffe. Xticl. Phvs. B 159 (1979) 225.

[38] W. Siegel. Pliys. Lett. B S4 (1979) 193.

[39] S.L. Adler. Phys.Rev. 177 (1969) 242G.

[40] J.S. Bell. R. Jackiw. Xuov. Cim. 60A (1969) 47.

[41] S.L. Adler. W. Bardeen. Pliys. Rev. 1S2 (1969) 1517.

[42] J. Kodaira. Xucl. Pliys. B 165 (19S0) 129.

[43] S.G. Gorislmv. A.L. Kataev. S.A Larin. Phvs. Lm. B212 (19SS) 238: ibid. B259 (1991) 144:

L.R. Surguladze. M.A. Samuel. Phvs. Rev. Lett. G6 (1991) 560. ibid (E), 2416.

[44] K.G. Chetyrkin. OA'. Tarasov. Pliys. Lett. B 327 (1994) 114.

Отпечатано прямым репродуцированием с оригинала, представленного автором

Ф-т 60x84/16 Уч.-изд.л. 1.5 Заказ № 19193 Тираж 100 экз. Бесплатно

Издательский отдел Института ядерных исследовании РАН 113152, Москва. Загородное шоссе, д. 10, корп.9