Новая модель для аналитического инвариантного заряда в квантовой хромодинамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. Новый аналитический инвариантный заряд в квантовой хромодинамике

1.1 Формулировка модели.

1.2 Однопетлевой аналитический инвариантный заряд

1.3 Свойства однопетлевого аналитического инвариантного заряда.

Глава II. Высшие петлевые приближения

2.1 Аналитический инвариантный заряд на высших петлевых уровнях

2.2 Свойства аналитического инвариантного заряда в высших петлевых приближениях.

2.3 Времени-подобная область.

Глава III. Феноменологические применения модели

3.1 Кварк-антикварковый потенциал.

3.2 Глюонный конденсат

3.3 Инклюзивный распад г лептона.

3.4 е+е~ аннигиляция в адроны.

Современным теоретическим аппаратом исследования физики элементарных частиц является квантовая теория поля [1]. В основе теоретического описания процессов сильного взаимодействия лежит квантовая неабелева теория поля — квантовая хромодинамика (КХД). Последняя базируется на представлении о кварках — составных частях адронов, и глюонах — квантах калибровочного векторного поля, переносящего взаимодействие между кварками. Данные объекты обладают чрезвычайно важным для адронной физики квантовым числом, которое было введено в середине 60-х годов в работах H.H. Боголюбова, Б.В. Струминского, А.Н. Тавхелидзе [2] и М. Хана, И. Намбу [3], и впоследствии названо цветом. Всестороннее теоретическое и экспериментальное исследование показало, что сильное взаимодействие обладает двумя характерными особенностями. Во-первых, при увеличении энергии процесса имеет место "ослабление" взаимодействия между кварками внутри адронов. Другими словами, при больших характерных переданных импульсах q2 инвариантный заряд теории1 a(q2) стремится к нулю. Это явление получило название асимптотической свободы. Во-вторых, кварки и глюоны до настоящего времени не были экспериментально обнаружены в свободном состоянии. Данное явление было названо конфайнментом цвета.

Эти два явления связаны с адронной динамикой в различных областях энергий. В первом случае это так называемая ультрафиолетовая (УФ) область, характеризуемая большими значениями кинематических переменных. Эта область соответствует малым межкварковым расстояниям, а именно, 0.1 фм (1 фм = 10-15м). Явление цветового конфайнмента, напротив, связано с низкоэнергетической, или инфракрасной (ИК) областью, которая соответствует большим характерным межкварковым расстояниям: г Z 1 фм. некоторых случаях а (с/2) = g2(q2)/{ 4тг) также называется эффективной (бегущей) "константой" связи КХД.

Впервые теоретическое описание асимптотической свободы было дано в работах [4] и [5] в середине 70-х годов. Фактически, эти работы послужили началом широкого использования теории возмущений в квантовой хромодинамике. В самом деле, малость значения бегущей константы связи КХД позволяет параметризовать искомые величины в виде пертурбативного ряда по степеням инвариантного заряда, что значительно облегчает рассмотрение адронных взаимодействий в УФ области. Однако, адронная динамика при малых характерных энергиях, и, в частности, явление цветового кон-файнмента, всецело остается вне рамок теории возмущений. Как правило, анализ экспериментальных данных, связанных с ИК областью КХД, требует привлечения дополнительных методов. Так, например, здесь широко используются феноменологические потенциальные модели для описания кварк-антикваркового взаимодействия и расчета на этой основе адронных спектров [6 -9], метод правил сумм [10-13], струнные модели [14], модели мешков [15], [16], а также расчеты на решетке [17], [18].

Фундаментальную роль в формализме квантовой теории поля и в ее приложениях играет метод ренормализационной группы, предложенный в середине 50-х годов. Впервые группа нормировок была введена в рассмотрение в начале 50-х годов в работах Э. Штю-кельберга и А. Петермана [19], [20]. Следующим шагом в формировании ренормгруппового подхода стал вывод М. Гелл-Манном и Ф. Лоу функциональных уравнений для пропагаторов в квантовой электродинамике в УФ пределе [21]. В свою очередь, эти работы послужили основанием для получения групповых функциональных уравнений в общем случае и последующего создания метода ренор-мгруппы H.H. Боголюбовым и Д.В. Ширковым (см. работы [22-25], а также [1]). Исследование большинства адронных процессов в рамках квантовой хромодинамики в настоящее время основывается на использовании этого метода.

Построение точных решений ренормгрупповых (РГ) уравнений представляет собой нетривиальную математическую проблему, которая весьма далека от своего решения. Поэтому при ренормгруп-повом анализе ультрафиолетовой области квантовой хромодинамики применяется теория возмущений, которая основывается на вышеупомянутом свойстве асимптотической свободы. В этом случае априори неизвестные ренормгрупповые функции (например, такие как ß функция или аномальная размерность) аппроксимируются пертур-бативным рядом по степеням инвариантного заряда. Это позволяет получить приближенные решения РГ уравнений, обычно используемые для количественного анализа экспериментальных данных. Однако, подобные действия приводят к возникновению нефизических особенностей в таких решениях, что находится в противоречии с основными принципами локальной квантовой теории поля. Так, например, параметризация ß функции пертурбативным рядом по степеням бегущей константы связи приводит к тому, что решение соответствующего РГ уравнения для инвариантного заряда приобретает нефизические особенности. В простейшем однопетлевом случае это так называемый призрачный полюс, а учет высших петлевых поправок только приводит к возникновению в решении РГ уравнения дополнительных нефизических особенностей типа разреза по переменной q2 (см. приложение I).

Один из возможных способов преодоления данной проблемы был предложен в конце 50-х годов в работе П. Рэдмонда [26] и заключался в привлечении требования аналитичности, которое следует из первых принципов локальной квантовой теории поля (КТП). Эта идея легла в основу так называемого аналитического подхода к КТП, который впервые был сформулирован в контексте ренормгруппово-го метода на примере квантовой электродинамики (КЭД) в работе H.H. Боголюбова, A.A. Логунова и Д.В. Ширкова [27]. В самом деле, бегущая константа связи КЭД пропорциональна поперечной части полного фотонного пропагатора. Следовательно, в соответствии с общими принципами локальной КТП [1] она может быть представлена в виде спектрального интеграла Челлена-Лемана. Последнее подразумевает наличие у инвариантного заряда определенных аналитических свойств по переменной д2, а именно, аналитичности в комплексной д2-плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси.2

В квантовой хромодинамике инвариантный заряд в общем случае определяется в виде произведения пропагаторов и вершинной функции (см., например, обзор [28]). Таким образом, возникает вопрос о возможности использования для бегущей константы связи КХД спектрального представления типа Челлена-Лемана. Однако, подобная ситуация была рассмотрена в работе [29], где было показано, что и в этом случае для инвариантного заряда имеет место представление в виде спектрального интеграла. На основе данных рассуждений аналитический подход был недавно расширен на область квантовой хромодинамики [30], [31] и применен для "аналитизации" пертурба-тивных рядов для наблюдаемых КХД (см. работы [32-43]). Здесь термин "аналитизация" подразумевает восстановление корректных аналитических свойств по переменной с/2 с помощью интегрального представления Челлена-Лемана о * в котором спектральная функция д(а) определяется изначальным (пертурбативным) выражением для "аналитизируемой" величины 5(д2): 1 д(а) = — Дт[5(-<7-«е)-5(-о-+ «£)], а > 0. (2)

К преимуществам аналитического подхода можно отнести отсутствие нефизических особенностей у аналитизированных величин, а также высокую петлевую и схемную устойчивость получаемых результатов.

Описание адронной физики при малых характерных энергиях на протяжении уже многих лет остается одной из актуальных проблем

2В диссертации используется метрика (—1,1,1,1), так что положительные значения д2 соответствуют пространственно-подобной (евклидовой) области. квантовой хромодинамики. Разработка моделей, адекватно описывающих адронную динамику как в УФ, так и в ИК области, т.е., учитывающих как пертурбативное, так и существенно непертур-бативное поведение КХД, может дать ключ к пониманию многих принципиальных вопросов физики элементарных частиц. Разумеется, это важно как с точки зрения дальнейшего развития теории, так и с точки зрения сопоставления теоретических и экспериментальных результатов в силу того, что описание и интерпретация многочисленных экспериментальных данных может быть выполнена только с использованием подобных моделей. Таким образом, разработка и применение непертурбативных методов в КТП несомненно является актуальной задачей, обладающей высокой научной и практической ценностью. В частности, результаты, полученные в этом направлении, могут расширить горизонты нашего представления о природе фундаментальных взаимодействий.

Основной целью диссертации является построение новой модели для аналитического инвариантного заряда квантовой хромодинамики, детальное исследование его свойств, а также проверка самосогласованности предлагаемой модели путем ее применения к описанию ряда важных процессов квантовой хромодинамики. Рассматриваемая модель для инвариантного заряда КХД основывается на принципиально новом способе привлечения условия аналитичности к решению ренормгруппового уравнения. А именно, требование аналитичности налагается на пертурбативное разложение /3 функции. Это приводит к качественно новым свойствам бегущей константы связи, использование которой позволяет описывать широкий спектр явлений КХД, включая как традиционно рассматриваемые в рамках теории возмущений, так и существенно непертурбативные. В свою очередь, это свидетельствует о большой практической ценности данной работы. Следует также отметить, что формулировка предлагаемой модели для аналитического инвариантного заряда не требует введения в теорию каких-либо дополнительных параметров, т.е., аналогично пертурбативному подходу, основным характеризующим параметром теории остается Лкхд.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения, содержащего основные результаты работы, трех приложений и списка цитируемой литературы из 102 наименований. Объем диссертации составляет 90 страниц текста, включающего 17 рисунков.

Заключение

В диссертации построена новая модель для аналитического инвариантного заряда квантовой хромодинамики, основывающаяся на модификации пертурбативного разложения ренормгрупповых функций с учетом условия аналитичности, следующего из первых принципов локальной квантовой теории поля. Практической реализацией этого является наложение требования аналитичности на пертурба-тивное разложение ¡3 функции для инвариантного заряда с последующим решением соответствующего ренормгруппового уравнения. В свою очередь, это позволяет избежать известных трудностей, обычно возникающих при использовании теории возмущений в формализме ренормгруппы, и приводит к качественно новым свойствам инвариантного заряда КХД. Последнее дает возможность описать в рамках предложенной модели целый ряд явлений квантовой хромодинамики, включающий как процессы, обычно рассматриваемые в рамках теории возмущений, так и явления, имеющие существенно непертурбативную природу.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построена новая модель для аналитического инвариантного заряда в квантовой хромодинамике. Показано, что предложенный способ привлечения условия аналитичности к решению ренормгруппового уравнения приводит к качественно новым свойствам инвариантного заряда. А именно, аналитическая бегущая константа связи не имеет нефизических особенностей и объединяет в одном выражении, без введения в теорию дополнительных параметров, принципиальные асимптотики — ультрафиолетовую асимптотическую свободу и инфракрасное усиление. Продемонстрирована согласованность предложенной модели с определением инвариантного заряда КХД через произведение функций Грина теории.

2. Проведено детальное исследование однопетлевой новой аналитической бегущей константы связи и соответствующей (3 функции. Продемонстрирована ренорминвариантность полученного в рамках предложенной модели выражения для бегущей константы связи. Показано, что (3 функция, соответствующая НАИЗ, совпадает со своим пертурбативным аналогом в области малых значений инвариантного заряда, а также обладает поведением, отвечающим инфракрасному усилению бегущей константы связи.

3. Проведено построение и исследование аналитического инвариантного заряда с учетом высших петлевых приближений. Продемонстрировано, что высшие петлевые поправки не оказывают качественного влияния на свойства НАИЗ. В частности, исследование асимптотического поведения соответствующей (3 функции показало, что вне зависимости от петлевого приближения НАИЗ обладает универсальным поведением как в ультрафиолетовой, так и в инфракрасной области.

4. Построено продолжение аналитического инвариантного заряда во времени-подобную область. Показано, что различие между соответствующими значениями НАИЗ в пространственно-и времени-подобной областях оказывается существенным уже для промежуточных энергий, что важно для последовательного описания ряда процессов сильного взаимодействия. Полученный результат для НАИЗ во времени-подобной области находится в полном соответствии с гипотезой Швингера о связи между [3 функцией бегущей константы связи и соответствующей спектральной плотностью.

5. На основе разработанной модели для аналитического инвариантного заряда проведено описание различных явлений КХД, как имеющих существенно непертурбативную природу, так и традиционно рассматриваемых в рамках теории возмущений. Показано, что потенциал кварк-антикваркового взаимодействия, построенный с использованием НАИЗ в рамках модели одноглюонного обмена, является растущим на больших расстояниях. На малых расстояниях полученный потенциал обладает стандартным поведением, определяемым асимптотической свободой теории. Развитая модель применена к описанию глюонного конденсата, инклюзивного распада т лептона и е+е~ аннигиляции в адроны. Близость полученных в этих задачах оценок значения масштабного параметра Акхд свидетельствует о самосогласованности предложенного подхода.

БЛАГОДАРНОСТИ

Мне посчастливилось завершить свое физическое образование и начать исследовательскую работу в творческой атмосфере научной школы академика Николая Николаевича Боголюбова. Я благодарен академику Дмитрию Васильевичу Ширкову за научное воспитание и руководство моими первыми шагами в исследовательской работе.

Я благодарю моего научного руководителя доктора физико-математических наук Игоря Леонидовича Соловцова за деловые обсуждения, помощь в работе и плодотворное сотрудничество.

Я искренне признателен доктору физико-математических наук профессору Владимиру Викторовичу Белокурову за научное руководство, постоянное внимание к моей работе, поддержку и полезные советы.

Мне приятно выразить свою благодарность руководству кафедры квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ в лице академика Виктора Павловича Маслова и профессора Бориса Иосифовича Садовникова за деловую рабочую обстановку и поддержку, которые были важны во время моей работы над диссертацией.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить Б.А. Арбузова (НИИЯФ МГУ, Москва), А.И. Алексеева (ИФВЭ, Протвино),

Г. Бали (ун-т Глазго, Великобритания), Н. Брамбиллу (ун-т Милана, Италия), В.В. Киселева (ИФВЭ, Протвино), A.A. Пивоварова (ИЯИ РАН, Москва), A.B. Сидорова (ЛТФ ОИЯИ, Дубна), Л. Смекала (ун-т Эрланген, Германия), О.В. Теряева (ЛТФ ОИЯИ, Дубна), Ф. Шремппа (ун-т Гамбурга, Германия) за полезное обсуждение затронутых в диссертации вопросов.

1. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука (1984) 597 с.

2. Н.Н. Боголюбов, Б.В. Струминский, А.Н. Тавхелидзе. К вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц. // Препринт ОИЯИ Д-1968 (1965) 12 с.

3. M.Y. Han, Y. Nambu. Three-triplet model with double SU(3) symmetry. // Phys. Rev., Vol. 139, № 4B (1965) p. 1006-1010.

4. D.J. Gross, F. Wilczek. Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories. // Phys. Rev. Lett., Vol. 30, № 26 (1973) p. 1343-1346.

5. H.D. Politzer. Reliable perturbative results for strong interactions? // Phys. Rev. Lett., Vol. 30, № 26 (1973) p. 1346-1349.

6. E. Eichten, K. Gottfried, T. Kinoshita, K.D. Lane, T.M. Yan. Charmonium: the model. // Phys. Rev. D, Vol. 17, № 11 (1978) p. 3090-3117.

7. A. Martin. A fit of upsilon and charmonium spectra. // Phys. Lett., Vol. 93B, № 3 (1980) p. 338-342.

8. C. Quigg, J.L. Rosner. Quarkonium level spacings. // Phys. Lett., Vol. TIB, № 1 (1977) p. 153-157.

9. G. Fogleman, D.B. Lichtenberg, J.G. Wills. Heavy-meson spectra calculated with a one-parameter potential. // Lett. Nuovo Cimento, Vol. 26, № 12 (1979) p. 369-374.

10. M.A. Shifman, A.I. Vamshtein, V.I. Zakharov. QCD and resonance physics. Theoretical foundations. // Nucl. Phys., Vol. B147, № 5 (1979) p. 385-447.

11. M.A. Shifman, A.I. Vainshtein, V.I. Zakharov. QCD and resonance physics. Applications. // Nucl. Phys., Vol. B147, № 5 (1979) p. 448-518.

12. L.J. Reinders, H. Rubinstein, S. Yazaki. Hadron properties from QCD sum rules. // Phys. Rep., Vol. 127, № 1 (1985) p. 1-97.

13. P. Colangelo, A. Khodjamirian. QCD sum rules, a modern perspective. // E-print archive: hep-ph/0010175, 84 p.

14. Б.М. Барбашов, B.B. Нестеренко. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат (1987) 176 с.

15. P. Hasenfratz, J. Kuti. The quark bag model. // Phys. Rep., Vol. 40C, № 2 (1978) p. 75-179.

16. S.L. Adler, T. Piran. Relaxation methods for gauge field equilibrium equations. // Rev. Mod. Phys., Vol. 56, № i (1984) p. 1-40.

17. G.S. Bali, C. Schlichter, K. Schilling. Observing long color flux tubes in SU(2) lattice gauge theory. // Phys. Rev. D, Vol. 51, № 9 (1995) p. 5165-5198.

18. G.S. Bali et al. Static potentials and glueball masses from QCD simulations with Wilson sea quarks. // Phys. Rev. D, Vol. 62, № 5 (2000) p. 054503-1 054503-13.

19. E.C.G. Stuckelberg, A. Petermann. The normalization group in quantum theory. // Helv. Phys. Acta, Vol. 24 (1951) p. 317-319.

20. E.C.G. Stuckelberg, A. Petermann. La normalisation des constantes dans la theorie des quanta. // Helv. Phys. Acta, Vol. 26 (1953) p. 499-520.

21. M. Gell-Mann, F.E. Low. Quantum electrodynamics at small distances. // Phys. Rev., Vol. 95, № 5 (1954) p. 1300-1312.

22. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. О ренормализационной группе в квантовой электродинамике. // Доклады Академии наук СССР, Том 103 (1955) с. 203-206.

23. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Приложение ренормализационной группы к улучшению формул теории возмущений. // Доклады Академии наук СССР, Том 103 (1955) с. 391-394.

24. N.N. Bogoliubov, D.V. Shirkov. Charge renormalization group in quantum field theory. // Nuovo Cimento, Vol. 3, № 5 (1956) p. 845-863.

25. Д.В. Ширков. Ренормализационная группа с двумя константами связи в теории псевдоскалярных мезонов. // Доклады Академии наук СССР, Том 105 (1955) с. 972-975.

26. P.J. Redmond. Elimination of ghosts in propagators. // Phys. Rev., Vol. 112, № 4 (1958) p. 1404-1408.

27. Н.Н. Боголюбов, A.A. Логунов, Д.В. Ширков. Метод дисперсионных соотношений и теория возмущений. // ЖЭТФ, Том 37, вып. 3(9) (1959) с. 805-815.

28. S. Narison. Techniques of dimensional regularization and the two-point functions of QCD and QED. // Phys. Rep., Vol. 84, № 4 (1982) p. 263-399.

29. И.Ф. Гинзбург, Д.В. Ширков. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики рассеяния. // ЖЭТФ, Том 49, вып. 1(7) (1965) с. 335-344.

30. D.V. Shirkov, I.L. Solovtsov. Analytic QCD running coupling with finite IR behavior and universal as(0) value. // JINR Rapid Comm., № 276]-96 (1996) 5 p.

31. D.V. Shirkov, I.L. Solovtsov. Analytic model for the QCD running coupling with universal as(0) value. // Phys. Rev. Lett., Vol. 79 (1997) p. 1209-1212.

32. K.A. Milton, I.L. Solovtsov. Analytic perturbation theory in QCD and Schwinger's connection between the (3 function and the spectral density. // Phys. Rev. D, Vol. 55 (1997) p. 5295-5298.

33. K.A. Milton, I.L. Solovtsov, O.P. Solovtsova. Analytic perturbation theory and inclusive r decay. // Phys. Lett., Vol. 415B (1997) p. 104-110.

34. K.A. Milton, I.L. Solovtsov, O.P. Solovtsova. The Bjorken sum rule in the analytic approach to perturbative QCD. // Phys. Lett., Vol. 439B (1998) p. 421-427.

35. K.A. Milton, O.P. Solovtsova. Analytic perturbation theory: A new approach to the analytic continuation of the strong coupling constant as into the timelike region. // Phys. Rev. D, Vol. 57 (1998) p. 5402-5409.

36. I.L. Solovtsov, D.V. Shirkov. Renormalization scheme dependence in analytic approach to perturbative QCD. // Phys. Lett., Vol. 442B (1998) p. 344-348.

37. Д.В. Ширков, И.Л. Соловцов. Аналитический подход в квантовой хромодинамике. // ТМФ, Том 120, № 3 (1999) с. 482-510.

38. K.A. Milton, I.L. Solovtsov, O.P. Solovtsova. The Gross Llewellyn-Smith sum rule in the analytic approach to perturbative QCD. // Phys. Rev. D, Vol. 60, № 1 (1999) p. 016001-1 016001-8.

39. K.A. Milton, I.L. Solovtsov. Can the QCD effective charge be symmetrical in the Euclidean and the Minkowskian regions? // Phys. Rev. D, Vol. 59, № 10 (1999) p. 107701-1 107701-2.

40. D.V. Shirkov. Renorm-group, causality and non-power perturbative expansion in QFT. // ТМФ, Том 119, № 1 (1999) с. 55-66.

41. K.A. Milton, I.L. Solovtsov, O.P. Solovtsova, V.I. Yasnov. Renormalization scheme and higher loop stability in hadronic r decaywithin analytic perturbation theory. // Eur. Phys. J. C, Vol. 142000) p. 495-501.

42. K.A. Milton, I.L. Solovtsov, O.P. Solovtsova. Adler function for light quarks in analytic perturbation theory. // Phys. Rev. D, Vol. 64, № 1 (2001) p. 016005-1 016005-6.

43. D.V. Shirkov. Analytic perturbation theory in analyzing some QCD observables. // Eur. Phys. J. C, Vol. 22 (2001) p. 331-340.

44. A.V. Nesterenko. New analytic running coupling in spacelike and timelike regions. // Phys. Rev. D, Vol. 64, № 11 (2001) p. 116009-1- 116009-6.

45. A.V. Nesterenko. Quark-antiquark potential in the analytic approach to QCD. // Phys. Rev. D, Vol. 62, № 9 (2000) p. 094028-1- 094028-6.

46. A.V. Nesterenko. Investigation of a new analytic running coupling in QCD. // Mod. Phys. Lett. A, Vol. 15, № 40 (2000) p. 24012411.

47. A.V. Nesterenko, I.L. Solovtsov. New analytic running coupling in QCD: higher loop levels. // Mod. Phys. Lett. A, Vol. 16, № 392001) p. 2517-2528.

48. A.V. Nesterenko. Analytic approach to QCD and the quark confinement. // Book of abstracts of the XIII International Congress on Mathematical Physics (17-22 July 2000, London, United Kingdom). Imperial College London (2000) p. 97.

49. А.В. Нестеренко. Конфайнмент в АКХД. // Труды четвертой научной конференции молодых ученых и специалистов ОИЯИ (31 января 4 февраля 2000, Дубна). Дубна (2000) с. 198.

50. Ф. Индураин. Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов. М.: Мир (1986) 288 с.

51. Б.А. Арбузов. Об асимптотическом поведении фотонного про-пагатора в квантовой электродинамике. // Доклады Академии наук СССР, Том 128, № 6 (1959) с. 1149-1152.

52. A.I. Alekseev, В.A. Arbuzov. Analyticity and minimality of non-perturbative contributions in perturbative region for as. // Mod. Phys. Lett. A, Vol. 13, № 21 (1998) p. 1747-1756.

53. A.I. Alekseev. QCD running coupling: freezing versus enhancement in the infrared region. // E-print archive: hep-ph/9802372, 12 p.

54. ALPHA Collaboration, J. Heitger, H. Simma, R. Sommer, U. Wolff. The Schrodinger functional coupling in quenched QCD at low energies. // Nucl. Phys. Proc. Suppl., Vol. 106 (2002) p. 859861.

55. ALPHA Collaboration, A. Bode et al. First results on the running coupling in QCD with two massless flavours. // Phys. Lett., Vol. 515B (2001) p. 49-56.

56. UKQCD Collaboration, D.A. Smith, M.J. Teper. Topological structure of the SU(3) vacuum. // Phys. Rev. D, Vol. 58 (1998) p. 014505-1 014505-21.

57. F. Schrempp. Tracking QCD-instantons. // E-print archive: hep-ph/0109032, 14 p.

58. R. Jackiw, C. Rebbi. Conformal properties of a Yang-Mills pseudoparticle. // Phys. Rev. D, Vol. 14, № 2 (1976) p. 517-523.

59. R. Jackiw, C. Nohl, C. Rebbi. Conformal properties of pseudoparticle configurations. // Phys. Rev. D, Vol. 15, № 6 (1977) p. 16421646.

60. А.А. Славнов, Л.Д. Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука (1978) 240 с.

61. O.V. Tarasov, А.А. Vladimirov, A.Yu. Zharkov. The Gell-Mann-Low function of QCD in the three-loop approximation. // Phys. Lett., Vol. 93B, № 4 (1980) p. 429-432.

62. P.A. Raczka. Renormalization scheme dependence and the problem of theoretical uncertainties in next-next-to-leading order QCD predictions. // Z. Phys. C, Vol. 65 (1995) p. 481-486.

63. A.V. Radyushkin. Optimized A-parametrization for the QCD running coupling constant in spacelike and timelike regions. // Препринт ОИЯИ, E2-82-159 (1982) 6 с.

64. N.V. Krasnikov, A.A. Pivovarov. The influence of the analytic continuation effects on the value of the QCD scale parameter A extracted from charmonium and upsilonium hadron decay. // Phys. Lett., Vol. 116B, № 2,3 (1982) p. 168-170.

65. S.G. Gorishny, A.L. Kataev, S.A. Larin. Three-loop corrections of order 0(m2) to the correlator of electromagnetic quark currents. // Nuovo Cimento, Vol. 92A, № 2 (1986) p. 119-131.

66. Yu.L. Dokshitzer, B.R. Webber. Calculation of power corrections to hadronic event shapes. // Phys. Lett., Vol. 352B (1995) p. 451455.

67. Yu.L. Dokshitzer, V.A. Khoze, S.I. Troyan. Specific features of heavy quark production: Local parton-hadron duality approach to heavy particle spectra. // Phys. Rev. D, Vol. 53, № 1 (1996) p. 89-119.

68. J. Schwinger. Photon propagation function: Spectral analysis of its asymptotical form. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 71, № 8 (1974) p. 3024-3027.

69. J. Schwinger. Photon propagation function: A comparison of asymptotic functions. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Vol. 71, № 12 (1974) p. 5047-5051.

70. K.A. Milton. Spectral forms for the photon propagation function and the Gell-Mann-Low function. // Phys. Rev. D, Vol. 10, № 12 (1974) p. 4247-4251.

71. N. Brambilla, A. Vairo. Quark confinement and the hadron spectrum. // E-print archive: hep-ph/9904330, 70 p.

72. W. Lucha, F.F. Schoberl, D. Gromes. Bound states of quarks. // Phys. Rep., Vol. 200, № 4, (1991) p. 127-240.

73. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестетский. Квантовая Электродинамика. М.: Наука (1969) 623 с.

74. S. Titard, F.J. Yndurain. Rigorous QCD evaluation of spectrum and ground state properties of heavy qq systems, with a precision determination of mh М(щ). 11 Phys. Rev. D, Vol. 49, № 11 (1994) p. 6007-6025.

75. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука (1971) 1108 с.

76. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Ма-тъе. М.: Наука (1967) 300 с.

77. D.B. Lichtenberg, J.G. Wills. Heavy-meson spectra with a new phenomenological potential. // Nuovo Cimento, Vol. 47A, № 4 (1978) p. 483-494.

78. J.L. Richardson. The heavy quark potential and the T, J/ф systems. // Phys. Lett., Vol. 82B, № 2 (1979) p. 272-274.

79. R. Levine, Y. Tomozawa. Effective potential for heavy-quark-antiquark bound systems. // Phys. Rev. D, Vol. 19, № 5 (1979) p. 1572-1581.

80. W. Greiner, A. Schäfer. Quantum Chromodynamics. Berlin: Springer-Verlag (1994) 414 p.

81. V.l. Zakharov. Gluon Condensate and Beyond. // Int. J. Mod. Phys. A, Vol. 14 (1999) p. 4865-4880.

82. Б.А. Арбузов. Квантовая хромодинамика на больших расстояниях. // ЭЧАЯ, Том 19, вып. 1 (1988) с. 5-50.

83. A.I. Alekseev. The model for the QCD running coupling constant with dynamically generated mass and enhancement in the infrared region. // E-print archive: hep-ph/9808206, 10 p.

84. E. Braaten. Perturbative QCD and the decay of the r lepton. // Phys. Rev. Lett., Vol. 60, № 16 (1988) p. 1606-1609.

85. E. Braaten. Perturbative QCD corrections to the ratio R for r decay. // Phys. Rev. D, Vol. 39 (1989) p. 1458-1460.

86. E. Braaten, S. Narison, A. Pich. QCD analysis of the tau hadronic width. // Nucl. Phys., Vol. B373 (1992) p. 581-612.

87. F. Le Diberder, A. Pich. The perturbative QCD prediction to RT revisited. // Phys. Lett., Vol. 286B (1992) p. 147-152.

88. Particle Data Group, D.E. Groom et al. Review of particle physics. // Eur. Phys. J. C, Vol. 15, № 1-4 (2000) p. 1-878.

89. W.J. Marciano, A. Sirlin. Electroweak radiative corrections to r decay. // Phys. Rev. Lett., Vol. 61, № 16 (1988) p. 1815-1818.

90. W.J. Marciano, A. Sirlin. Radiative corrections to ¡3 decay and the possibility of a fourth generation. // Phys. Rev. Lett., Vol. 56, № 1 (1986) p. 22-25.

91. ALEPH Collaboration, R. Barate et al Measurement of the axial-vector t spectral functions and determination of as(Mfrom hadronic r decays. // Eur. Phys. J. C, Vol. 4 (1998) p. 409-431.

92. T. Applequist, H. Georgi. e+e~ annihilation in gauge theories of strong interaction. // Phys. Rev. D, Vol. 8, № 11 (1973) p. 40004002.

93. A. Zee. Electron-positron annihilation in stagnat field theories. // Phys. Rev. D, Vol. 8, № 11 (1973) p. 4038-4041.

94. CLEO Collaboration, R. Ammar et al Measurement of the total cross section for e+e~ —> hadrons at y/s = 10.52 GeV. // Phys. Rev. D, Vol. 57, № 3 (1998) p. 1350-1358.

95. B.A. Magradze. The gluon propagator in analytic perturbation theory. // E-print archive: hep-ph/9808247, 13 p.

96. E. Gadri, G. Grunberg, M. Karliner. Can the QCD running coupling have a causal analyticity structure? // JHEP, Vol. 07 (1998) p. 007.

97. R.M. Corless, G.H. Gonnet, D.E.G. Hare, D.J. Jeffrey, D.E. Knuth. On the Lambert W Function. // Adv. Comput. Math., Vol. 5 (1996) p. 329-359.

98. B.A. Magradze. QCD coupling up to third order in standard and analytic perturbation theories. // E-print archive: hep-ph/0010070, 21 p.