Непертурбативные разложения в квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Вариационная теория возмущений: основные идеи и простые модели

1.1 Простая модель.

1.1.1 Вариационное разложение

1.1.2 Управление свойствами сходимости вариационных рядов.

1.1.3 Ангармоническая вариационная процедура

1.1.4 Взаимодействие вида (р2к.

1.2 Ангармонический осциллятор.

1.2.1 Энергия основного уровня

1.2.2 Пропагатор.

1.2.3 Эффективный потенциал.

1.3 Вариационная теория возмущений и итерационное решение уравнений.

Глава 2 ^-модель в вариационной теории возмущений

2.1 Построение вариационных разложений.

2.2 Гауссов эффективный потенциал

2.2.1 Гауссов эффективный потенциал, как вариационная коррекция квазиклассического приближения

2.2.2 Ангармонический вариационный функционал

2.2.3 Двухпараметрический вариационный функционал

2.3 Свойства сходимости рядов вариационной теории возмущений

2.4 Непертурбативная /^-функция в (¿»^-модели.

Глава 3 Вариационная теория возмущений в квантовой хромодинамике

3.1 Непертурбативный параметр разложения: простой пример

3.2 Непертурбативное разложение в квантовой хромодинамике.

3.2.1 Построение ВТВ разложения в глюодинамике

3.2.2 Построение а-разложения в КХД.

3.2.3 Перенормировка.

3.3 Параметры вариационного разложения.

3.4 Поправки и стабильность.

Глава 4 Феноменологические применения а-разложения

4.1 Процесс е+е~ аннигиляции в адроны в области низких энергий.

4.2 Эффективный заряд во времениподобной области

4.3 Инклюзивный распад г лептона.

4.4 Метод правил сумм КХД и а-разложение.

4.5 Заключительные замечания

Глава 5 Аналитический подход в квантовой хромодинами

5.1 Ренормализационная группа и аналитичность.

5.2 Аналитический инвариантный заряд в КХД.

5.3 Метод вычитания нефизических особенностей.

5.4 Универсальность инфракрасного предельного значения аналитического инвариантного заряда.

Глава 6 Применения аналитической теории возмущений

6.1 Некоторые феноменологические приложения и численные результаты.

6.1.1 Интегральная характеристика инвариантного заряда в инфракрасной области.

6.1.2 Приближенные формулы.

6.1.3 Параметр А и ny-зависимость в аналитическом подходе.

6.2 Инвариантный заряд во времениподобной области и гипотеза Швингера о связи ß- и спектральной функций

6.2.1 'f' и V бегущие константы связи.

6.2.2 Гипотеза Швингера.

6.2.3 Ч — s' асимметрия эффективного заряда.

6.3 е+е~ аннигиляция в адроны

6.4 Зависимость от схемы перенормировки.

6.5 Инклюзивный распад г пептона в аналитической теории возмущений.

6.6 Неупругое лептон-адронного рассеяние.

6.6.1 Основные понятия и обозначения.

6.6.2 Дисперсионное соотношение для амплитуды рассеяния вперед.

6.6.3 Аналитические свойства моментов структурных функций.

6.6.4 Связь с операторным разложением.

6.6.5 (^-эволюция моментов структурных функций в аналитическом подходе.

6.6.6 Эффекты, связанные с массой мишени.

6.6.7 Заключительные замечания.

Современная наука о микроструктуре материи - физика элементарных частиц испытывает в последнее время бурное развитие. Значительные результаты достигнуты в экспериментальных исследованиях. Так например, полученный обширный фактический материал позволяет с уверенностью говорить о кварк-глюонной структуре адро-нов, обнаружен новый класс калибровочных IV и 2 бозонов, являющихся переносчиками слабого взаимодействия. Существенно изменился и облик квантовой теории поля - основного теоретического аппарата описания мира элементарных частиц. Были созданы реалистические перенормируемые теории электрослабого и сильного взаимодействий, в основе которых лежит общий принцип калибровочной инвариантности. Значительный шаг сделан на пути создания объединенных теорий. Широкое распространение находят суперсимметричные и суперструнные модели.

Систематический метод проведения вычислений в квантовой теории поля основан на теории возмущений, которая для систем со слабой связью предоставляет эффективный способ аппроксимации различных величин, используя при этом лишь параметры лагранжиана [1]. Вместе с процедурой перенормировки ее использование в квантовой электродинамике, в теории электрослабых взаимодействий и в пертурба-тивной области квантовой хромодинамики позволяет анализировать широкий круг вопросов. Вместе с тем, благодаря специфике теории поля, рассчитывать на достаточно полное изучение структуры некой квантовополевой модели, ограничиваясь лишь рамками теории возмущений, не следует даже в теориях с малым значением константы связи. В особенности, это относится к современной теории сильных взаимодействий - квантовой хромодинамике. В этом случае непер-турбативные эффекты играют решающую роль как в плане ответа на принципиальные вопросы, например, объяснение конфайнмента кварков и глюонов, так и для более практических целей - описание феноменологии адронов и соотнесение теоретических результатов с опытными данными.

Разработке непертурбативных методов в квантовой теории поля уделяется большое внимание. Спектр таких попыток весьма широк и в литературе можно встретить самые разнообразные подходы к проблеме выхода за рамки теории возмущений. Одно из направлений основывается на суммировании рядов теории возмущений [2, 3, 4, 5]. При этом для неизвестных точно членов высших порядков применяются асимптотические оценки, полученные, например, с помощью метода функционального перевала [6, 7, 8, 9, 10]. Основная трудность такого подхода связана с асимптотическим характером ряда теории возмущений. Процедура суммирования таких рядов содержит, вообще говоря, функциональный произвол. Корректность же постановки задачи достигается за счет привлечения дополнительной информации о сумме ряда [11, 12]. Такая информация известна лишь для простейших моделей теории поля [13]. Модернизации ординарного пер-турбативного разложения, когда в качестве возмущения принимается исходный потенциал взаимодействия, уделялось большое внимание. Так например, при рассмотрении систем с сингулярными потенциалами обычная теории возмущений оказывается плохо приспособлена для получения хороших приближений. Это связано с тем обстоятельством, что асимптотика свободных волновых функций существенным образом отличается от асимптотики точных решений. Ситуация может быть улучшена, если точно учесть сингулярную часть потенциала и строить пертурбативное разложение по его регулярной части [14]. К числу подходов, позволяющих выходить за пертурбатив-ные рамки, принадлежат метод линейного ¿-разложения [15, 16, 17] и метод самоподобной интерполяции [18]. Метод построения сходящихся аппроксимаций в теории поля был разработан в [19, 20, 21]. Попытки разработки подходов, непосредственно не связанных с рядом теории возмущений, предпринимались во многих работах. Отметим здесь вариационные методы [22, 23, 24, 25] и [26, 27], разработанные в [28, 29, 30] подходы. Метод гауссова эффективного потенциала [31, 32, 33, 34, 35, 36] позволяет получить непертурбативную оценку важной энергетической характеристики теоретикополевой модели эффективного потенциала [37]. Возможность выполнения расчета эффективного потенциала вне рамок обычно используемого петлевого разложения позволяет изучать такие вопросы, как, например, наличие фазовых переходов в теории [38, 39, 40], проблему перенормировки вне рамок теории возмущений и тривиальности -модели в четырех-мерии [41, 42, 43, 44].

В первых главах диссертации представлен метод построения не-пертурбативных разложений, который позволяет представить рассматриваемую величину в виде так называемых вариационных или "плавающих" рядов. Отличительной чертой метода является тот факт, что он естественным образом сочетает процедуру оптимизации и регулярный способ вычисления поправок. Основная идея, приводящая к возникновению вариационных разложений, достаточна проста. Для того, чтобы ее пояснить, рассмотрим вначале, каким образом строится пертурбативное разложение. В обычном варианте теории возмущений используется разбиение полного действия, соответствующее некоторой физической системе, на свободную часть и часть, которая описывает взаимодействие. Последняя рассматривается как возмущение, а входящая в нее константа связи, как малый параметр разложения. Такое рассмотрение, как правило, приводит к асимптотическим рядам, которые, хотя и не относятся к числу "хороших" рядов, тем не менее, они широко используются в физике и в данном случае позволяют извлекать полезную информацию об изучаемой системе в области слабой связи. С ростом константы взаимодействия разложение в ряд теории возмущений становится все менее и менее применимым. Причина этого понятна и состоит в том, что вне рамок слабой связи рассмотрение действия взаимодействия в качестве возмущения свободной системы не является более адекватным, так как рассматриваемая физическая система далека по своим свойствам от свободной. Очевидно следует провести иное разбиение полного действия так, чтобы новое "действие взаимодействия" допускало трактовку как возмущения не только при малых значениях константы связи, а для более широкого ее диапазона.

Каким же образом можно "угадать" такой функционал, который с большим основанием, чем обычное действие взаимодействия, можно было бы использовать как возмущение? Одна из возможностей, которая реализуется в методе вариационной теории возмущений (ВТВ) состоит в "зондировании системы" с помощью функционала вариационного типа, изучая ее отклик на изменение параметров "зонда". При этом оказывается удобно использовать формализм функционального интегрирования, который в теории поля широко применяется как при рассмотрении общих вопросов [1, 45], так и для нахождения различных аппроксимаций, таких, как например, инфракрасная асимптотика функций Грина [46, 47] и эйкональное приближение [48, 49, 50, 51, 52]. Несмотря на фигурирующее в названии подхода слова "возмущение", метод ВТВ является непертурбативным, так как не опирается на использование константы связи в качестве малого параметра разложения. В его рамках для аппроксимации рассматриваемой величины удается построить отличные от обычной теории возмущений разложения, позволяющие выйти за рамки слабой связи (см. посвященные этому вопросу обзоры [53, 54], в которых в основном рассматривались квантовомеханические системы и скалярные модели теории поля). Обзору результатов применения вариационных разложений в квантовой хромодинамике посвящены работа [55], а так же лекции [56]. Возможность построения отличных от пертурбативных разложений с иными свойствами сходимости была впервые предложена в работе [57]. Случай квантовомеханического ангармонического осциллятора рассматривался в [58, 59]. Использовать метод функционального интегрирования для описания квантовых систем на основе разложений подобного типа было предложено в [60, 61, 62]. Метод вариационного зондирования системы, который основывается на формализме функционального интеграла и допускает естественное обобщение на случай квантовой теории поля, был предложен в [63]. Разработка этого подхода, выполненная в работах [64, 65, 66], а также в последующем в [69, 67, 68, 70, 71, 72] ив статьях [73, 74, 75, 76, 77], продемонстрировала эффективность метода ВТВ для изучения кван-товополевых моделей.

Одна из серьезных проблем многих вариационных методов связана с трудностью оценки точности и устойчивости результатов, получаемых с помощью вариационной процедуры. Причина состоит в том, что далеко не всегда формулировка метода содержит в себе алгоритм вычисления необходимых для этого поправок. В результате затруднен ответ на вопрос в какой мере так называемый "основной вклад", найденный вариационным путем, адекватен изучаемому объекту, в особенности, если такой объект не связан непосредственно с некой энергетической характеристикой, и какова область применимости полученных выражений. В этом отношении в методе ВТВ с самого начала определен алгоритм вычисления поправок, что позволяет исследовать влияние поправок к основному вкладу. Более того, ВТВ-ряд не является жесткой, раз и навсегда заданной конструкцией и с помощью специальных параметров можно управлять свойствами сходимости ВТВ-разложения. Для рядов такого типа, на свойства сходимости которых молено влиять с помощью варьирования специальных параметров, используется термин вариационный или "плавающий" ряд. В отличие от характерных для теории возмущений асимптотических разложений ВТВ-подход позволяет в ряде случаев построить аппроксимирующие ряды, имеющие конечную область сходимости [64, 66, 70, 73]. Как отмечалось выше, существует также такая интересная возможность, как построение рядов Лейбница, которые позволяют производить двусторонние оценки рассматриваемой величины, используя уже первые члены ряда. При этом управляющие параметры позволяют такие оценки оптимизировать [53]. В диссертации в первых двух главах мы подробно рассмотрим основные идеи ВТВ-подхода, проиллюстрируем эффективность метода, воспользовавшись простыми примерами, и изучим различные его применения в случае скалярных квантовопо-левых моделей.

В случае квантовой хромодинамики оказывается, что основываясь на идеи метода ВТВ, удается сконструировать такой параметр разложения, который оказывается меньше единицы при любых значениях исходной константы связи [78]. В диссертации мы поясним способ построения такого малого параметра разложения, используя простую модель, которая позволит наиболее доступно изложить основные идеи метода. Будет продемонстрировано, что новое разложение позволяет не только существенно "продлить жизнь" теории возмущений и продвинуться при сохранении хорошего уровня аппроксимации в сторону больших значений константы связи, но и дает возможность анализировать предел сильной связи. В случае квантовой хромодинамики этот метод позволяет с единых позиций рассматривать как традиционно пертурбативную область, так и выходить далеко за ее пределы [79, 80].

Сегодня трудно представить облик квантовой теории поля без мощного метода ренормализационной группы [81, 82, 83, 84]. При непосредственном его использовании в сочетании с пертурбативным разложением, возникает инвариантный заряд, который обладает нефизическими особенностями, типа призрачного полюса в однопетлевом приближении. Последующие поправки этой трудности не снимают, а приводят лишь к дополнительным нефизическим разрезам в комплексной (52плоскости- Еще в конце 50-х годов в работе [85] в терминах поляризационного оператора, а в контексте ренормализационной группы в статье [86], было замечено, что возможный путь разрешения проблемы призрачного полюса может быть найден на пути привлечения к ренормгрупповому ресуммированию дополнительного требования аналитичности типа Челлена-Лемана, отражающего общие принципы квантовой теории поля. Идеи работы [86] послужили основой для формулировки аналитического подхода в квантовой хромодина-мике [87, 88]. Проведенное в диссертации рассмотрение выявило новые интересные черты такого подхода, как например, высокую схемную и петлевую стабильность получаемых результатов [128, 129, 130, 131].

Важной чертой ВТВ подхода является тот факт, что в его рамках удается обеспечить правильные аналитические свойства бегущего параметра разложения, которые отражают общие принципы локальной квантовой теории поля [1, 89, 90]. Сохранение таких аналитических свойств позволяет, в частности, определить самосогласованным образом бегущий параметр во времениподобной области [91] и дать непротиворечивое описание инклюзивного распада т лептона [92] (см. также [93, 94, 95, 96]). Наличие инфракрасной фиксированной точки у ВТВ параметра разложения хорошо согласуется с низкоэнергетическими, так называемыми "смиринг" экспериментальными данными для процесса е+е~-аннигиляции в адроны [97], которые могут быть получены при применении специальной процедуры "сглаживания" ре-зонансов. Обобщение на массивный случай с использованием МОМ схемы перенормировки рассмотрено в работах [98, 99, 100]. Помимо отмеченных вопросов в диссертации будет рассмотрен ряд других других приложений метода. Мы обсудим, в частности, возможность вычисления ренормалонного вклада и его роль при описании полу-лептонного инклюзивного т распада [101] (см. также [102, 103]), а также, следуя работе [104], применение вариационного подхода для описания спектра масс тяжелых кваркониев на основе метода правил сумм квантовой хромодинамики.

Как уже отмечалось, при прямом решении ренормгрупповых уравнений с использованием пертурбативных выражения для ренормгрупповых функций, возникает проблема, связанная с появлением нефизических особенностей типа призрачного полюса у инвариантного заряда. Начиная с работы [105], эта проблема, сыгравшая известную драматическую роль в историй развития квантовой теории поля, широко обсуждалась в литературе. В случае квантовой хромодинамики с проблемой нефизических особенностей тесно связана неустойчивость асимптотического ряда теории возмущений в инфракрасной области, в которой надежность теоретических результатов существенным образом снижается, появляется сильная их зависимость от выбора ренорма-лизационных предписаний и, в конце концов, многопетлевые поправки приводят к "взрыву" ряда теории возмущений В диссертации, развивая предложенную H.H. Боголюбовым, A.A. Логуновым и Д.В. Шир-ковым в работе [86] идею об объединении метода ренормгруппы с Q2-аналитичностью, предложен аналитический подход к квантовой хро-модинамике, который позволяет существенным образом модифицировать пертурбативное разложение в инфракрасной области и избежать отмеченные выше трудности, с которыми сталкивается чисто пертур-бативный анализ.

Создание эффективного метода проведения непертурбативных вычислений в квантовой теории поля и особенно для случая реалистической теории сильных взаимодействий - квантовой хромодинамики позволило бы существенно продвинуться в понимании мира элементарных частиц. Это важно как с точки зрения развития теории, так и с точки зрения соотнесения теоретических и экспериментальных результатов, поскольку описание и интерпретация многочисленных экспериментальных данных нуждается в привлечении такого рода методов. Таким образом, разработка и применение непертурбативных методов в квантовой теории поля является актуальной научной задачей. Результаты, полученные в этом направлении, позволят расширить наши представления о природе фундаментальных взаимодействий и глубже понять структуру квантовой теории поля.

Основная цель диссертации состоит в разработке непертурбатив-ного метода - вариационной теории возмущений и его применении для анализа различных моделей квантовой физики от квантово-механи-ческого ангармонического осциллятора до квантовой хромодинамики, а также в разработке и феноменологическом применении аналитического подхода в квантовой хромодинамике.

Научная новизна. В диссертации разработан новый непертурба-тивный метод - вариационная теории возмущений и развит аналитический подход в квантовой хромодинамике.

Для случая скалярных моделей предложены и исследованы различные виды вариационных функционалов. Доказано, что в случае ангармонической вариационной процедуры существует конечная область значений параметров, в которой ряд вариационной теории возмущений является сходящимся. При выборе гармонического вариационного функционала сходимость понимается в духе принципа индуцированной сходимости, согласно которому вариационные параметры могут изменяться от порядка к порядку. Эффективность разработанного метода продемонстрирована на примере моделей в пространствах малого числа измерений. Так в одномерном случае ангармонического осциллятора показано, что уже первый порядок нового разложения хорошо воспроизводит основные характеристики осциллятора во всей области изменения константы связи, включая предельный случай, когда соответствующая обезразмеренная константа стремится к бесконечности.

Метод ВТВ применен для исследования свойств <р4-модели теории поля вне рамок теории возмущений. Показано, что непертурбатив-ный гауссов эффективный потенциал в пространстве произвольного числа измерений может быть получен при различных способах выбора пробного функционала как первое нетривиальное приближение, даваемое вариационным рядом. Для скалярной </?4-модели в четырех измерениях рассмотрена процедура перенормировки и построена не-пертурбативная ренормгрупповая /3-функция. Полученное для нее выражение при пертурбативном разложении включает в себя все степени константы связи д. Разложение непертурбативной /3-функции, найденной в ведущем порядке, в ряд по степеням д хорошо воспроизводит известный пертурбативный пятипетлевой расчет, а предсказание для шестипетлевого коэффициента находится в согласии с оценкой, найденной на основе специального метода суммирования членов ряда теории возмущений.

Предложен новый непертурбативный метод в квантовой хромоди-намике. Аппроксимации строятся на основе нового малого параметра, связанного с константой связи с помощью определенного уравнения, решения которого лежат в интервале от нуля до единицы при любых значениях исходной константы связи. Разработаны специальные правила и диаграммная техника, позволяющие строить функции Грина и находить константы перенормировки в виде рядов по введенному непертурбативному параметру разложения.

Разработана процедура перенормировки и найдены основные не-пертурбативные ренормгрупповые функции в квантовой хромодина-мике. Показано, что поведение построенной таким образом /^-функции при больших значениях константы связи соответствует инфракрасной сингулярности инвариантного заряда вида, которое ассоциируется с линейным ростом на больших расстояниях нерелятивистского кварк-антикваркового потенциала. Найденный в диссертации статический потенциал взаимодействия кварков хорошо согласуется с феноменологическим, находящим свое подтверждение в спектроскопии мезонов. Показано, что поведение бегущей константы связи, найденной в работе, хорошо согласуется как с высокоэнергетическими экспериментальными данными, так и с данными, извлекаемыми из существенно непертурбативной низкоэнергетической области. Выполненные вычисления следующих порядков разложения свидетельствуют о применимости метода в широком интервале энергий.

Используя специальный "смиринг" метод сглаживания резонансов, показано, что разработанный подход позволяет описать процесс е+е~ аннигиляции в адроны при низких энергиях. Показано, что эффективная константа связи "замораживается" в низкоэнергетической области, причем ее поведение в инфракрасной области хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными для процесса е+е~ аннигиляции и извлекаемой из физики струй интегральной характеристикой бегущей константы сильного взаимодействия.

Предложен непротиворечивый способ определения бегущей константы связи квантовой хромодинамики во времениподобной области. Дано новое самосогласованное рассмотрение проблемы инклюзивного распада г-лептона, позволяющее преодолеть трудности, присущие пертурбативному подходу. Разработан способ учета вклада ренормалонных цепочек и определения так называемой функции распределения виртуальностей, учитывающий структуры операторного разложения. Показано, что эволюция извлекаемой из г-распада эффективной константы позволяет хорошо описать высокоэнергетические данные, в частности, на масштабе ^-бозона. Впервые в рамках непертурбативного разложения и метода правил сумм квантовой хромодинамики дано описание спектра масс тяжелых кваркониев.

Разработан аналитический подход в квантовой хромодинамике, который сочетает метод ренормгруппового анализа с корректными аналитическими свойствами инвариантного заряда. Нефизические особенности типа призрачного полюса у бегущей константы связи, построенной на основе такого подхода, отсутствуют. Регулярность поведения инвариантного заряда в инфракрасной области обеспечивается за счет непертурбативных вкладов, которые становятся "невидимыми" при разложении в ряд теории возмущений.

Доказано, что в рамках аналитического подхода существует универсальное инфракрасное предельное значение константы связи, которое не зависит от оценок на масштабный параметр, а определяется лишь общими характеристиками лагранжиана. Показано, что предложенная в диссертации аналитическая теории возмущений приводит к петлевой и схемной стабильности не только в ультрафиолетовой области, а для всего энергетического интервала.

Показано, что в рамках аналитического подхода возможно непротиворечивое определение эффективного заряда во времениподобной области, а для соответствующей /3-функции оказывается справедливой гипотеза Ю. Швингера о ее связи со спектральной плотностью. Используя лишь общие свойства аналитичности, доказано утверждение о том, что инвариантный заряд не может обладать симметричным поведением в евклидовой и во времениподобной областях. Также как и для вариационной теории возмущений демонстрируется хорошее согласие аналитической теории возмущений со "смиринг" экспериментальными данными для процесса е+е~ аннигиляции в адроны при низких энергиях и инфракрасной интегральной характеристикой бегущей константы связи. Рассмотрен инклюзивный распад т-леп-тона и показано, что под дер лека корректных аналитических свойств ^-функции играет принципиальную роль для непротиворечивого описания этого процесса.

В контексте применения ренорминвариантной аналитической формулировки к характеристикам процессов неупругого лептон-нуклон-ного рассеяния, структурные функции последнего анализируются на основе общих принципов теории, сконцентрированых в интегральном представлении Иоста-Лемана-Дайсона. Используется нестандартная "скейлинговая" переменная, которая приводит к модифицированным моментам структурных функций, обладающих аналитическими свойствами типа Челлена-Лемана по переменной СУстановлена связь аналитических моментов с операторным разложением. Получено новое выражение для структурной функции, содержащее зависимость от массы мишени и обладающее корректным спектральным свойством.

Научная и практическая ценность работы. Предложенный в диссертации непертурбативный метод вариационной теории возмущений обладает высокой степенью универсальности и эффективности и может быть применен как для дальнейшего исследования рассмотренных в диссертации систем, так и для изучения других теоретико-полевых моделей.

Разработанный в диссертации аналитический подход в квантовой хромодинамике обладает важными для любой предлагаемой аппрок-симационной схемы достоинствами. Результаты, полученные в аналитической теории возмущений, оказываются устойчивыми по отношению к высшим поправкам не только в асимптотической ультрафиолетовой области, а для всего энергетического интервала. Кроме того, они обладают высокой стабильностью относительно выбора схемы перенормировки, а сам подход по сравнению с пертурбативным рассмотрением не использует каких-либо дополнительных параметров. Таким образом, разработанный в диссертации метод аналитической теории возмущений позволяет существенным образом расширить, по сравнению с обычной теорией возмущений, область применимости хромодинамических расчетов и, в силу их высокой схемной стабильности, резко снизить неопределенность теоретических предсказаний.

Эти результаты важны с точки зрения тестирования квантовой хро-модинамики, они позволяют повысить надежность и точность определения ее параметров особенно из низкоэнергетических экспериментальных данных, как например, данных по инклюзивному распаду г лептона, е+е~ аннигиляции в адроны и правилам сумм глубоконе-упругого рассеяния.

Разработанный в диссертации подход в случае квантовой хромоди-намики позволяет избежать ряда трудностей и противоречий, с которыми сталкивается обычная теория возмущений вне асимптотической ультрафиолетовой области. Таким образом, возникают благоприятные предпосылки для дальнейшего развития и применения предложенного в диссертации подхода. Представляет интерес расширение области приложений метода как для изучения не рассмотренных в диссертации систем, так и для углубления анализа случая квантовой хромодинамики, в частности, представляет интерес установление связи с операторным разложением и обобщение на случай ненулевой температуры. С практической точки зрения предложенный в диссертации подход открывает новые возможности для феноменологических приложений. Так предложенный в диссертации способ определения бегущей константы связи во времениподобной области в отличие от пертурбативного подхода согласован с аналитическими свойствами адронного коррелятора. Возникающее различие в величине эффективных констант в евклидовой и во времениподобной областях следует принимать во внимание при анализе экспериментальной ситуации. Представляется также интересным дальнейшее исследование важного для тестирования квантовой хромодинамики инклюзивного r-распада, для которого в отличие от пертурбативного подхода удалось предложить непротиворечивый метод описания. Учитывая постоянно возрастающую экспериментальную точность измерения величины Дг, следует учесть более тонкие эффекты, выяснив, в частности, роль массовых и пороговых вкладов.

Апробация диссертации. Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, отдела теоретической физики Института физики высоких энергий, Института физики АНБ, Национального института ядерной физики г. Катания, Италия), Гомельского государственного университета им. Ф. Скорины, Гомельского государственного технического университета им. П.О. Сухого, Института теоретической и экспериментальной физики, университета им. Гумбольда и свободного университета (г. Берлин), Империал Колледжа (г. Лондон), Оклахомского университета, Института физики (г. Гайдельберг) и ряда других научных центров и университетов. Результаты, составляющие различные разделы диссертации, докладывались на международных конференциях, совещаниях и семинарах "Методы симметрии в физике" (г. Дубна, 1993, 1995, 1997), "Боголюбовские чтения", Фундаментальные проблемы теоретической и математической физики (г. Дубна, 1993, 1994, 1999), "Нелинейные явления в сложных системах" (г. Полацк, 1994, г. Минск, 1999), XVI и XVIII совещаниях "Проблемы физики высоких энергий и теории поля" (г. Протвино, 1993, 1995), "Кварки-94" (г. Владимир, 1994), "Промежуточные и высокие энергии" (г. Дубна, 1995), X семинар "Физика высоких энергий и квантовая теория поля" (г. Звенигород, 1995), "е+е~ столкновения от ф к 7/Ф" (Новосибирск, 1999), международных Школах-семинарах "Проблемы физики частиц и высоких энергий" (г. Гомель, 1997, 1999), международных семинарах "Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамика" (г. Дубна, 1996, 1998, 2000), крупнейших международных конференциях по физики высоких энергий (г. Брюсель, 1995, г. Варшава, 1996, г. Ванкувер, 1998) и других научных форумах.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, содержащих 26 разделов, 14 таблиц и 39 рисунков, заключения, четырех приложений и списка цитируемой литературы из 300 наименований. Объем диссертации составляет 245 страниц.

Основные результаты, представленные в диссертации, изложены в 42 работах, в числе которых журнальные статьи [53], [54], [55], [63], [64], [65], [66], [70], [72], [73], [74], [78], [79], [80], [87], [88], [128], [129], [91], [92], [96], [97], [101], [103], [104], [131], [132], [137], [143], [294], препринт [142], сборники трудов конференций, семинаров и совещаний [56], [75], [76], [77], [93], [94], [95], [102], [130], [133], [138].

Глава 1

Вариационная теория возмущений: основные идеи и простые модели

Для построения вариационных разложений в квантовой теории поля удобно использовать формализм континуального (или функционального) интегрирования. Этот аппарат возник в результате обобщения предложенной в 1948 году Р. Фейнманом в работе [144] формулировки квантовой механики на языке интегралов по траекториям.1 Развитие функциональной формулировки квантовой теории поля началось с работ H.H. Боголюбова [147], П.Т. Мэтьюса и А. Салама [148], И.М. Гельфанда и P.A. Минлоса [149], И.М. Халатникова [150] и Е.С. Фрадкина [151]. Сегодня аппарат функционального интегрирования является одним из активно используемых методов квантовой теории поля. Он оказался эффективным не только при решении таких проблем, как квантование калибровочных теорий [152], но также и при разработке различных приближенных методов, позволяющих выполнять в том числе непертурбативный анализ моделей теории поля. Так на его основе могут быть исследованы различные асимптотические режимы в квантовополевых моделях, например, поведение функций Грина в инфракрасной области [46], развит метод эйконального приближения [48, 49, 50, 51, 52, 153] и гауссова эффективного потенциала [31, 32, 34].

В формализме континуального интеграла проведение вычислений в квантовой теории поля основывается на гауссовых функциональных подробное изложение метода интегрирования по путям можно найти в монографиях [145, 146]. квадратурах вида

I Dcp exp {-[- < ipKip > + <<pJ >]} detQ2 + m2 exp[-< JA'-V^. (1.1)

Такие гауссовы интегралы используются при построении рядов теории возмущений, в квазиклассическом анализе и при оценках функциональных интегралов с помощью метода перевала. Гауссова квадратура (1.1) может быть положена в основу метода функционального интегрирования в квантовой теории поля [45]. Метод вариационной теории возмущений также базируется на гауссовом функциональном интегрировании типа (1.1).

В этой главе будут рассмотрены основные идеи и приемы, которые позволяют сформулировать метод вариационной теории возмущений. Здесь мы покажем, каким образом строятся вариационные ряды и как можно влиять на свойства их сходимости при помощи специальных управляющих параметров. Вначале, используя простой пример - нульмерный аналог -модели - мы рассмотрим метод построения вариационных или плавающих рядов. Затем дадим описание одномерного случая, отвечающего квантовомеханическому ангармоническому осциллятору. Для иллюстрации дополнительных возможностей метода будет рассмотрен пример применения ВТВ при итерацонном способе нахождения решений уравнений.

1.1 Простая модель

Рассмотрим интеграл который является нульмерным аналогом двухкомпонентной <£>4-модели теории поля. При этом, так же как и в теории поля, будем ориенти

1.2) где

1.3) роваться на гауссовы квадратуры, то есть на интегралы вида

IdxP(x) ехр{-50[ж]} , (1.4) где Р(х) некоторый полином переменных х\ и Х2.

Первая очевидная возможность состоит в разложении подинтеграль* ного выражения в (1.2) в ряд по степеням константы связи д (здесь мы будем применять теоретико-полевую терминологию). В результате мы приходим к стандартному разложению в ряд теории возмущений:

Z[g] = Т.9пСп (1.5) с пертурбативными коэффициентами

С» = / dxSit exp(-SoM) • (1-6) ш J

Если разложение функции (1.2) в ряд (1.5) с коэффициентами (1.6) единственно, то обратная процедура нахождения суммы ряда (1.5) без привлечения дополнительной информации о функции Z[g] является неоднозначной. Например, тот же ряд будет иметь и функция Z[g] + ехр(—1 /д), которая при больших константах связи д обладает иным асимптотическим поведением по сравнению с (1.2). Причина некорректности задачи суммирования в такой постановке состоит в асимптотическом характере ряда (1.5). Таким образом, ряд теории возмущений сам по себе без привлечения дополнительной информации о его сумме не позволяет судить о функции Z[g] при достаточно больших значениях константы связи. Такого рода дополнительные условия, которые необходимы для однозначности суммирования асимптотического ряда, для реалистических моделей теории поля не известны. Этот вопрос требует специального исследования и в настоящее время имеет решение лишь для некоторых простых случаев.

1.1.1 Вариационное разложение

Метод ВТВ дает возможность, используя те же гауссовы квадратуры, строить для Z[g] иные, отличные от пертурбативного, варианты разложения. При этом возможны различные способы построения ВТВ рядов, разичие между которыми связано с разнообразием способов варьирования действия (1.3), то есть с возможностью различного выбора пробного ВТВ-функционала. В этом разделе мы рассмотрим два способа построения ВТВ-разложений. Первый, наиболее простой, основан на выборе вариационной добавки в гармоническом виде. Второй - использует ВТВ-функционал ангармонического типа.

В первом случае в качестве вариационной добавки выберем квадратичное по полям выражение и перепишем полное действие в виде

ЗД = 5'М + , (1.7) где

50лИ = 5оИ + хЗД, (1-8)

1.9) и выполним разложение по степеням нового действия взаимодействия (1.9). Очевидно, что при этом для вычисления членов полученного ряда нам понадобятся только лишь гауссовы квадратуры. В результате ВТВ-ряд будет иметь вид

1.Ю) п яп[д,Х] = та}(1+ ^)1+2п /^[^щ-х^+хд) £о]пехр(-5о[4) • (1-11)

Исходная величина Z[g], конечно, не зависит от вариационного параметра х, поэтому при рассмотрении конечного числа членов ряда можно воспользоваться свободой выбора х, исходя из соображений оптимальности разложения (различные способы оптимизации и их применение рассмотрены в работах [64, 66, 72, 154, 114, 155]). В теории поля, как правило, нам известны лишь первые члены ряда. Наиболее часто оптимальные значения вариационных параметров выбираются на основе первого нетривиального порядка ВТВ. При этом устойчивость полученных результатов будет достигнута лишь в том случае, когда последующие поправки к основному вкладу достаточно малы. Мы рассмотрим влияние поправок при гармоническом и ангармоническом способах выбора пробного функционала и проанализируем зависимость свойства сходимости возникающих рядов от выбора значений вариационных параметров.

1.1.2 Управление свойствами сходимости вариационных рядов

Фиксируем вариационный \ параметр с помощью условия

1.12) z{N)[g,x} = tzn[g,x].

1.13)

Для первого нетривиального порядка (N = 1) уравнение (1.12) дает

На Рис. 1.1 демонстрируется характерное поведение N-ых частичных сумм ряда теории возмущений и ряда ВТВ для относительно малого значения константы связи g = 0.1 и для ВТВ-параметра определенного согласно (1.14). Характерные для асимптотических рядов "биения" частичных сумм для рассматриваемой сейчас гармонической вариационной процедуры начинаются несколько позже, чем в случае теории возмущений. В этом смысле гармоническая процедура улучшает свойства сходимости ряда.

Тем не менее, если удерживать вариационный параметр фиксированным, не зависящим от рассматриваемого порядка, то возникающий ряд по-прежнему остается расходящимся. Характер этой расходимости в точности тот же, что и у соответствующего ряда теории возмущений. Дело здесь в том, что при фиксированном вариационном параметре пробный гармонический функционал, содержащий меньшую степень поля, чем в исходном действии взаимодействия, не способен должным образом скомпенсировать доминирующий для дальних членов ряда вклад больших конфигурациями полей. Однако, как было замечено эмпирически в работах [156, 157, 158] и обсуждалось затем в [154], результаты выглядят сходящимися, если вариационный параметр "подкручивать" должным образом от порядка к порядку. Строгое доказательство такой индуцированной сходимости в нульмерном и одномерном случаях дано в работах [111, 111, 159, 160].

X = (1/т-1)/д, т

1.14)

Рис. 1.1: Поведение N-ых частичных сумм Z^N\g] в случаях теории возмущений и ВТВ с гармонической вариационной процедурой с вариационным параметром, фиксированным по первому порядку.

1.1.3 Ангармоническая вариационная процедура

Для построения ангармонической вариационной процедуры перепишем полное действие в виде + (1.15) где

S%[x] = S0[x] + 8 S20[x] (1.16) и

1.17)

Ситуация здесь несколько сложнее, чем в предыдущем случае. После разложение по степеням нового действия взаимодействия (1.17) возникают негауссовы интегралы, так как в показателе экспоненты остается слагаемое 05ц[ж]. Однако проблема легко решается с помощью применения преобразования Фурье оо ^^ exp (~$S20(x))= J + i u VdS0{x)} . (1.18) OO V

В результате ВТВ-разложение может быть записано в виде [66]

1.19) где оо уг—ГУ гл?в\ ,

0 &2к(п-к)Г а коэффициенты гп[д,в} = ](1а(а2еГеМ-<х-*2е)± (1-20) Г(2/ + 1/2) Г (2 (к — ¿) + 1/2) и ' (,21)

Оптимизируя первый нетривиальный порядок, для вариационного па-рамета находим

9 = \д. (1.22)

9 = 1 9 = Ю 9 = Ю0

N ^Ьаггп/^ех апЬ / ех 7{Щ ,7 Ьаггп/ ех 7(Ю /7 апЬ /"^ех ^Ъагт/^ех ^апЬ / ех

0 0.806 0.992 0.701 0.984 0.658 0.981

1 0.945 0.992 0.891 0.984 0.864 0.981

2 1.034 1.000 1.078 0.999 1.099 0.999

3 0.905 1.000 0.650 0.999 0.480 0.999

4 1.310 1.000 2.735 1.000 3.960 1.000

5 -0.265 1.000 -9.909 1.000 -20.41 1.000

6 7.253 1.000 84.24 1.000 189.1 1.000

7 -59.68 1.000 -1223. 1.000 -3170. 1.000

8 -26.51 1.000 -212.7 1.000 -172.4 1.000

9 -34.12 1.000 -574.0 1.000 -1410. 1.000

10 -23.80 1.000 190.7 1.000 1614. 1.000

Заключение

В диссертации предложен непертурбативный подход к квантовой теории поля, названный вариационной теории возмущений (ВТВ). Исходный функционал действия переписывается с использованием некоторого функционала вариационного типа и применяется разложение по эффективному действию взаимодействия. Таким образом, в отличие от многих непертурбативных подходов, в методе ВТВ рассматриваемая величина с самого начала представляется в виде некоторого ряда, что позволяет вычислять необходимые поправки. Тем самым метод ВТВ предоставляет возможность ответа на вопрос: в какой мере основной вклад, определяемый вариационным путем на основе некоторого принципа оптимизации, адекватно отражает рассматриваемую задачу и какова область применимости полученных результатов.

Возможность проведения вычислений в рамках обсуждаемого подхода основывается на том факте, что метод ВТВ так же, как и стандартная теория возмущений, использует лишь гауссовы функциональные квадратуры. При этом, конечно, ряд ВТВ обладает иной структурой и, кроме того, модифицируются некоторые фейнмановские правила на уровне пропагаторов и вершин. Вид самих диаграмм при этом не меняется, что в техническом плане весьма существенно. В ЛГ-й порядок ВТВ-разложения вклад дадут диаграммы того же вида, что и в N-11 порядок обычной теории возмущений.

Возникающие в методе ВТВ вариационные параметры позволяют управлять свойствами сходимости ВТВ-ряда. В случае ангармонической вариационной процедуры для ^-теории поля существует конечная область значений параметров, в которой ряд ВТВ сходится при всех положительных значениях константы связи. При гармонической вариационной процедуре имеются, обсуждавшиеся выше указания, что ряд ВТВ также будет сходиться в смысле так называемой индуцированной сходимости, когда вариационные параметры "подкручиваются" от порядка к порядку. Интересной также представляется возможность построения рядов Лейбница в теории поля. В этом случае первые члены ряда позволяют получить двухсторонние оценки его суммы, а наличие вариационных параметров дает возможность эти оценки максимально сузить.

Были исследованы различные способы вывода в рамках ВТВ не-пертурбативного гауссова эффективного потенциала. Например, он возникает как первое нетривиальное приближение при вариационной коррекции однопетлевого вклада, как на основе гармонической, так и при ангармонической вариационной процедуре. Однако, свойства возникающих при этом рядов различны. Если оставлять массовый параметр, оптимизирующий эффективный потенциал, фиксированным по первому порядку, что может быть удобно в силу относительной простоты уравнения, которому он удовлетворяет, то сходимость ряда может обеспечить только ангармонический способ введения пробного функционала. Добиться сходимости для гармонической вариационной процедуры можно лишь в смысле индуцированной сходимости, подстраивая вариационный параметр от порядка к порядку. Тем не менее, гармонический способ построения ВТВ, благодаря своей простоте и возможности обобщения на другие модели теории поля, выглядит весьма привлекательным. Именно он был выбран для применения ВТВ к квантовой хромодинамике.

Непертурбативный подход к квантовой хромодинамике основан на разложении, в котором используется новый малый параметр. Этот параметр подчиняется уравнению, решения которого всегда меньше единицы при любой величине константы связи. Таким образом, оставаясь в рамках применимости такого разложения, можно по сравнению с теорией возмущений продвинуться в область существенно меньших энергий.

В диссертационной работе разработан аналитический подход к квантовой хромодинамике. Полученные аналитические ренормгрупповые решения не имеют нефизических особенностей. Тем самым, в его рамках известная трудность теории поля - проблема призрачного полюса, находит свое решение. Интересным свойством такого подхода является обнаруженная стабильность аналитического инвариантного заряда по отношению к высшим петлевым поправкам для всего интервала ф2. Ключевым моментом здесь является наличие универсального инфракрасного предельного значения <5ап(0) = 4тг//?о, инвариантного по отношению к многопетлевым поправкам. Эта константа не зависит от экспериментальной оценки масштабного параметра КХД Лдсп и определяется лишь общими симметрийными свойствами лагранжиана. Таким образом, семейство кривых, изображающих аналитический инвариантный заряд для различных значений параметра Л и соответствующих разному числу петель, представляет собой пучок с общей точкой а'ап(О) = 47г//30.

Аналитический подход существенным образом модифицирует теорию возмущений в инфракрасной области, делая ее устойчивой к высшим петлевым поправкам. Двухпетлевое приближение изменяет од-нопетлевое примерно на ~ 10% в области малых Я2, а трехпетлевое отличается от двухпетлевого уже на ~ 1 %. Такая ситуация значительно отличается от ситуации в стандартной теории возмущений, в которой устойчивость к последующим петлевым поправкам в области малых <52 отсутствует. Помимо петлевой стабильности, аналитическая теория возмущений обладает, по сравнению с обычной, весьма слабой чувствительностью к выбору схемы перенормировок. Как показано в работе [128] на примере процесса е+е~ аннигиляции в адроны и в работах [135, 136] на примере некоторых правил сумм для глубо-конеупругого рассеяния, достигнутого трехпетлевого уровня практически оказывается достаточным для схемного пересчета на всем интервале изменения импульсной переменной. Причина такой петлевой и схемной стабильности стабильности, возникающая в аналитической теории возмущений, анализировалась в работе [192].

Следует отметить, что требование аналитичности не фиксирует задачу ренормгруппового ресуммирования единственным образом. Возможны обобщения процедзфы аналитизации, например, учитывающие вероятный сингулярный характер хромодинамического инвариантного заряда в инфракрасной области [295, 296]. Расширение класса аналитических зарядов за счет введения дополнительных параметров рассматривалось в [297]. Предлагаемый здесь подход не использует каких-либо дополнительных параметров, в нем хорошо определен алгоритм вычисления многопетлевых поправок, как для инвариантного заряда, так и для наблюдаемых величин типа £>-функции Адлера (см. [132,128]) или правил сумм глубоконеупругого рассеяния (см. [135, 136, 133]). В некотором смысле он представляет собой "минимальную" аналитизацию, согласно которой спектральные функции вычисляются пертурбативно. Обнаруженные в таком подходе свойство инфракрасной стабильности по отношению к многопетлевым поправкам и высокая схемная устойчивость полученных результатов, являются привлекательными его чертами.

В рамках рассмотренного метода правильные аналитические свойства обеспечиваются за счет непертурбативных добавок, которые не видны в исходном ряде теории возмущений, а восстанавливаются автоматически требованием аналитичности. Как отмечалось в [299], присутствие таких непертурбативных членов не противоречит операторному разложению. Вклад в инвариантный заряд непертурбативных составляющих оказывается существенным уже при умеренных энергиях порядка нескольких ГэВ, например, на масштабе массы г лептона, и заметно меняет закон эволюции бегущей константы. Кроме того, поддержка корректных аналитических свойств оказывается принципиально важной для самосогласованного определения бегущей константы связи во времениподобной области. При описании конкретных процессов, например, инклюзивного распада т лептона, непротиворечивое рассмотрение возможно при сохранении отмеченных выше аналитических свойств.

В диссертации аналитический подход в квантовой хромодинамике применялся не только к таким случаям, которые так или иначе могут быть описаны в терминах некоторых двухточечных функций, например, Л-функции Адлера, для которых общие принципы теории сосредоточены в представлении типа Челлена-Лемана, но и к структурным функциям глубоконеупругого лептон-адронного рассеяния, которые являются более сложными объектами. Для таких функций общие принципы квантовой теории поля, такие как ковариантность, эрмитовость, спектральность и причинность отражены в интегральном представлении Йоста-Лемана-Дайсона (ЙЛД). Было показано каким образом на основе представления ЙЛД можно получить дисперсионное соотношение для комптоновской амплитуды рассеяния вперед. Для применения аналитического подхода к определению (^-эволюции оказались удобными моменты структурных функций, соответствующие специальной скейлинговой переменной. Именно эти моменты, а не бьеркеновские или нахтмановские, обладают простыми аналитическими свойствами. В диссертации найдена формула обращения, восстанавливающая весовую функцию в спектральном представлении для моментов, которая позволяет на основе пертурбативной информации получить выражение для моментов с правильными аналитическими свойствами. Установлена связь аналитических моментов структурных функций с операторным разложением и найдено новое выражение для структурной функции, включающее зависимость от массы мишени.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Разработан метод проведения непертурбативных вычислений в квантовой теории поля - вариационная теории возмущений. Показана эффективность этого метода на примере простых нульмерных и одномерных моделей. В случае ангармонического осциллятора найдено, что уже первый порядок нового разложения хорошо воспроизводит основные его характеристики во всей области изменения константы связи, включая предельный случай сильной связи, когда соответствующая обезразмеренная константа связи стремится к бесконечности. Доказано, что в случае ангармонической вариационной процедуры существует конечная область значений параметров, в которой ряд вариационной теории возмущений является сходящимся. При выборе гармонического вариационного функционала сходимость понимается в духе принципа индуцированной сходимости, согласно которого вариационные параметры могут изменяться от порядка к порядку.

2. На основе вариационной теории возмущений исследованы свойства </?4-модели в теории поля. Показано, что непертурбативный гауссов эффективный потенциал в пространстве произвольного числа измерений может быть найден как первое нетривиальное приближение, полученное на основе нового разложения. Для скалярной (¿>4-модели в четырех измерениях построена непертурбативная ренормгрупповая /3-функция. Разложение этой функции в ряд по степеням константы связи хорошо воспроизводит пертурбативный пятипетлевой расчет, а предсказание для шестипетлевого коэффициента находится в согласии с оценкой, найденной на основе специального метода суммирования ряда теории возмущений.

3. Предложен новый непертурбативный подход в квантовой хромо-динамике, основанный на малом параметре разложения, остающемся меньше единицы при любых значениях исходной константы связи. Разработаны специальные правила и диаграммная техника, позволяющие строить функции Грина и находить константы перенормировки в виде рядов по этому малому параметру. Развита процедура перенормировки и найдены основные непертурбативные ренормгрупповые функции в квантовой хромодинамике. Показано, что поведение непер-турбативной /3-функции при больших значениях константы Л связи имеет вид ¡3{Л) ~ —Л, что соответствует инфракрасной сингулярности инвариантного заряда вида которое в свою очередь ассоциируется с линейным ростом кварк-антикваркового потенциала на больших расстояниях. Найденный потенциал хорошо согласуется с феноменологическим, который дает адекватное описание экспериментальных данных по мезонной спектроскопии. Показано, что поведение бегущей константы связи хорошо согласуется как с высокоэнергетическими экспериментальными данными, так и с данными, извлекаемыми из существенно непертурбативной низкоэнергетической области. Выполнены вычисления следующих порядков разложения, которые свидетельствуют об устойчивости и применимости метода в широком интервале энергий.

4. На основе метода а-разложения с использованием специального способа сглаживания резонансов предложено описание процесса е+е~ аннигиляции в адроны при низких энергиях. Показано, что уже в первом порядке удается достичь хорошего согласия с экспериментальными данными. Предложен самосогласованный способ определения бегущей константы связи квантовой хромодинамики во временипо-добной области. Дано новое рассмотрение проблемы инклюзивного распада г лептона, позволяющее избежать трудностей, присущих пер-турбативному подходу. В рамках вариационного подхода предложен способ учета ренормалонного вклада и показано, что эволюция извлекаемой из т-распада эффективной константы позволяет хорошо описать высокоэнергетические данные, в частности, на масштабе массы ¿^-бозона. В рамках непертурбативного разложения и метода правил сумм квантовой хромодинамики дано описание спектра масс тяжелых кваркониев.

5. Разработан аналитический подход в квантовой хромодинамике, который сочетает метод ренормгруппового анализа с корректными аналитическими свойствами инвариантного заряда. Нефизические особенности типа призрачного полюса у бегущей константы связи, построенной на основе такого подхода, отсутствуют. Регулярность поведения инвариантного заряда в инфракрасной области обеспечивается за счет непертурбативных вкладов, которые становятся "невидимыми" при разложении в ряд теории возмущений. Доказано, что в рамках аналитического подхода существует универсальное инфракрасное предельное значение константы связи йап(0) = 47г//?о, которое не зависит от экспериментальных оценок на масштабный параметр Л, а определяется лишь общими характеристиками лагранжиана. Показано, что предложенная в диссертации аналитическая теории возмущений приводит к петлевой стабильности не только в ультрафиолетовой области, но для всего энергетического интервала.

6. Установлено, что в рамках аналитического подхода возможно непротиворечивое определение эффективного заряда во времениподоб-ной области, а для соответствующей функции оказывается справедливой гипотеза Ю. Швингера о ее связи со спектральной плотностью. Используя лишь общие свойства аналитичности, доказано утверждение о том, что инвариантный заряд не может обладать симметричным поведением в евклидовой и во времениподобной областях. Демонстрируется хорошее согласие аналитической теории возмущений со "сми-ринг" экспериментальными данными для процесса е+е~ аннигиляции в адроны при низких энергиях и извлекаемой из физики струй инфракрасной интегральной характеристикой бегущей константы связи. Рассмотрен инклюзивный распад т лептона и показано, что поддержка корректных аналитических свойств £)-функции играет принципиальную роль для самосогласованного описания этого процесса. Показано, что применение аналитической теории возмущений позволяет существенным образом уменьшить зависимость результатов от выбора схемы перенормировки на всем энергетическом интервале. Достигнутый для многих процессов трехпетлевой уровень оказывается практически достаточным для схемного пересчета. На основе представления

Йоста-Лемана-Дайсона в контексте аналитического подхода рассмотрены свойства моментов структурных функций, соответствующих специальной скейлинговой переменной и обладающие корректными аналитическими свойствами. Установлена связь аналитических моментов структурных функций с операторным разложением. Предложен новый способ учета зависимости от массы мишени, который приводит к выражению для структурной функции с корректными спектральными свойствами.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автору приятно выразить свою глубокую благодарность профессору А.Н. Сисакяну и академику Д.В. Ширкову за постоянную поддержку в процессе работы над диссертацией и то неоценимое научное и человеческое влияние, которое они оказали при общении и выполнении совместных исследований.

Автору приятно также выразить свою признательность X Ф. Джо-унсу, К.А. Милтону, А. Ритцу, О.П. Соловцовой и О.Ю. Шевченко за плодотворное научное сотрудничество.

Считаю своим приятным долгом поблагодарить Б.А. Арбузова, В.В. Белокурова, Д. Громеса, Г.В. Ефимова, A.B. Ефремова, Б.Л. Иоффе, В.Г. Кадышевского, Д.И. Казакова, А.Л. Катаева, X. Кляйнерта, М. Консоли, Н.В. Красникова, Э.А. Кураева, В.А. Мещерякова, C.B. Михайлова, О. Нахтмана, О.В. Теряева, А.Т. Филиппова, Н.М. Шумейко и Д. Эберта за интерес к работе и полезное обсуждение затронутых в диссертации вопросов.

Выражаю искреннюю благодарность дирекции Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова за создание прекрасных условий для работы. Я благодарен также многим сотрудникам Лаборатории, которые проявили интерес к изложенным в диссертации исследованиям, и способствовали своими вопросами, замечаниями на семинарах и обсуждением в личных беседах более полной разработке темы диссертации. Выражаю признательность сотрудникам других научных центров, участникам конференций и семинаров, с которыми мне посчастливилось обсудить представленные в диссертации результаты.

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: "Наука", 1986.

2. Kazakov D.I., Shirkov D.V. Asymptotic series of quantum field theory and their summation. Fortschr. Phys. 28, No. 8/9 (1980) p. 465-499.

3. Zinn-Justin J. Perturbation series at large orders in quantum mechanics and field theories: application to the problem of resumma-tion. Phys. Rep. 70, No. 1 (1981) p. 109-167.

4. Zinn-Justin J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Clarendon Press. Oxford, 1989.

5. Казаков Д.И., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитическое продолжение результатов теории возмущений модели дф4 в область д> 1. ТМФ 38, № 1 (1979) с. 15-25.

6. Липатов Л.Н. Расходимость ряда теории возмущений и квазиклассика. ЖЭТФ 72, вып. 2 (1977) с. 411-427.

7. Lam C.G. Stationary phase approximation of Feynman path integrals. Nuovo Cimento A 47, No. 3 (1966) p. 451-469.

8. Langer J.S. Theory of condensation point. Ann. Phys. 41 (1967) p. 108-157.

9. Collins J.C., Soper D. Large order expansion in perturbation theory. Ann. Phys. 112 (1978) p. 209-234.

10. Auberson G., Mennessier G., Mahoux G. On the perturbation theory of the anharmonic ocillator at large orders. Nuovo Cimento A 48, No. 1 (1978) p. 1-23.

11. Рид M., Саймон Б. Методы современной математической физики. Анализ операторов, т. 4, М.: "Мир", 1982.

12. Fisher J. The use of power expansions in quantum field theory. Int. J. Mod. Phys. A 12, No. 21 (1997) p. 3625-3663.

13. Глимм Дж., Джаффе Ф. Математические методы квантовой физики. М.: "Мир", 1984.

14. Филиппов А.Т. Сингулярные потенциалы в нерелятивистской квантовой теории. ЭЧАЯ 10, вып. 8 (1979) с. 501-538.

15. Bender С.М., Cooper F., Milton К.A. Moshe M., Pinsky S.S., Simmons L.M. Jr. ¿-expansion for local gauge theories. Phys. Rev. D 45, No. 4 (1992) p. 1248-1275.

16. Bender C.M., Duncan A., Jones H.F. Convergence of the optimized ¿-expansion for the connected vacuum amplitude: zero dimensions. Phys. Rev. D 49, No. 8 (1994) p. 4219-4225.

17. Gromes D. Optimized ¿-expansion and triviality or non-triviality of field theory. Phys. С 71 (1996) p. 347-355.

18. Yukalov V.I., Yukalova E.P., Gluzman S. Self-similar interpolation in quantum mechanics. Phys. Rev. A 58, No. 1 (1998) p. 96-115.

19. Belokurov V.V., Shavgulidze E.T., Solovev Yu.P. New perturbation theory for quantum field theory: convergent series instead of asymptotic expansions. Mod. Phys. Lett. A10 (1995) p. 3033-3041.

20. Belokurov V.V., Kamchatnii V.V., Shavgulidze E.T., Solovev Yu.P. Perturbation theory with convergent series for arbitrary values of coupling constant. Mod. Phys. Lett. A 12 (1997) p. 661-672.

21. Белокуров В.В., Соловьев Ю.П., Шавгулидзе Е.Т. Теория возмущений со сходящимися рядами для вычисления величин, заданных конечним числом расходящегося ряда традиционной теории возмущений. ТМФ 123, № 3 (2000) с. 452-461.

22. Schiff L.I. Application of the variation method to field quantization. Phys. Rev. 130, No. 1 (1963) p. 458-464.

23. Rosen G. Relativistic particle-antiparticle stationary states in a model quantum field theory: mesons from quarks. Phys. Rev. 173, No. 5 (1968) p. 1632-1684.

24. Дьяконов Д.И., Петров В.Ю. Вариационный принцип в задачах об инстантонах. ЖЭТФ 86, вып. 1 (1984) с. 25-38; Dyakonov D.I., Petrov V. Yu. Instanton-based vacuum from the Feynman variational principle. Nucl. Phys. В 245 (1984) p. 259-292.

25. Variational Calculation in Quantum Field Theory. Proceedings of the Workshop (Wangerooge, Germany, 1987), eds. Polley L. and Pottinger E.L., World Scientific, Singapore, 1988.

26. Feynman R.P., Kleinert H. Effective classical partition functions. Phys. Rev. A 34 (1986) p. 5080-5084.

27. Kleinert H. Strong coupling behavior of ф4 theories and critical exponents. Phys. Rev. D 57, No. 4 (1998) p. 2264-2278.

28. Ефимов Г.В. Проблемы квантовой теории нелокальных взаимодействий. М.: "Наука", 1985, с. 216.

29. Efimov G.V. Vacuum energy in p^-theory for g —> со. Comm. Math. Phys. 65 (1979) p. 15-44; Ефимов Г.В., Иванов М.А. Энергия вакуума в модели Юкавы Yd в пределе сильной связи. Препринт ОИЯИ, Р2-81-707, Дубна, 1981, 44 с.

30. Dineykhan М., Ganbold G., Efimov G.V., Nedelko S.N. Oscillator representation in quantum physics. Lecture Notes in Physics, m 26, Springer, p. 279, 1995.

31. Barnes Т., Ghandour G.T. Renormalization of trial wave functionals using the effective potential. Phys. Rev. D 22, No. 4 (1980) p. 924938.

32. Stevenson P.M. Gaussian effective potential: Quantum mechanics. Phys. Rev. D 30, No. 8 (1984) p. 1712-1726.

33. Stevenson P.M. Gaussian effective potential: \ф4 field theory. Phys. Rev. D 32, No. 6 (1985) p. 1389-1408.

34. Hajj G.A., Stevenson P.M. Finite-temperature effects and the Gaussian effective potential. Phys. Rev. D 37, No. 2 (1988) p. 413420.

35. Stancu I., Stevenson P.M. Second-order corrections to the Gaussian effective potential of Хф4 theory. Phys. Rev. D 42, No. 8 (1990) p. 2710-2725.

36. Coleman S., Weinberg E. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking. Phys. Rev. D 7, No. 6 (1973) p. 18881910.

37. Bardeen W.A., Moshe M. Phase structure of the O(N) vector model. Phys. Rev. D 28 (1983) p. 1372-1385.

38. Efimov G.V., Ganbold G. Gaussian equivalent representation of functional integrals in quantum physics. ЭЧАЯ 26, вып. 2 (1995) с. 459-511.

39. Ефимов Г.В., Неделько С.Н. Неэквивалентные представления и фазовая структура (ф4)^ теории поля. ЭЧАЯ 25, вып. 3 (1994) с. 779-843.

40. Consoli M. Spontaneous symmetry breaking and the Higgs mass. Phys. Lett. В 305, No. 1,2 (1993) p. 78-83.

41. Branchina V., Consoli M., Stivala N. M. Renormalization of mass-less АФ4 theories: asymptotic freedom and spontaneous symmetry breaking. Z. Phys. С 57, No. 2 (1993) p. 251-266.

42. Branchina V., Castorina P., Consoli M., Zappala D. Vacuum instability as the origin of asymptotic freedom. Phys. Lett. В 274, No. 3,4 (1992) p. 404-408.

43. Славнов А.А., Фаддеев Л.Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: "Наука", 1988.

44. Барбашов Б.М. Функциональные интегралы в квантовой электродинамике и инфракрасная асимптотика функций Грина. ЖЭТФ 48, вып. 2 (1965) с. 607-621.

45. Блохинцев Д.И., Барбашов Б.М. Применение функциональных интегралов в квантовой механике и теории поля. УФН 106, вып. 4 (1972) с. 593-616.

46. Барбашов Б.М., Кулешов С.П., Матвеев В.А., Сисакян А.Н. Приближение эйконала в квантовой теории поля. ТМФ 3 (1970) с. 342-352.

47. Барбашов Б.М., Кулешов С.П., Матвеев В.А., Первушин В.Н., Сисакян А.Н., Тавхелидзе А.Н. Приближение прямолинейных путей частиц при описании рассеяния адронов высоких энергий в квантовой теории поля. ТМФ 5 (1970) с. 330-342.

48. Кулешов С.П., Матвеев В.А., Сисакян А.Н., Смондырев М.А., Тав-хелидзе А.Н. Приближение прямолинейных путей в квантовой теории поля. ЭЧАЯ 5, вып. 1 (1974) с. 1-62.

49. Первушин В.Н. Метод функционального интегрирования и эй-кональное приближение амплитуд потенциального рассеяния. ТМФ 4, № 1 (1970) с. 22-31.

50. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Функциональное интегрирование и редже-эйкональное представление амплитуды рассеяния. ТМФ 10, № 2 (1972) с. 196-203.

51. Сисакян А.Н., Соловцов И.Л. Метод вариационной теории возмущений в квантовой теории поля. ЭЧАЯ 25, вып. 3 (1994) с. 1127-1167.

52. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Variational perturbation theory. Int. J. Mod. Phys. A 9, No. 12 (1994) p. 1929-1999.

53. Сисакян A.H., Соловцов И.Л. Вариационные разложения в квантовой кромодинамике. ЭЧАЯ 30, вып. 5 (1999) с. 1057-1119.

54. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Variational perturbation theory in QCD and its application. Proceedings of Int. School-Serminar on Actual problems of particles physics, (August 8-17, Gomel, 1997), ed. P. Kuzhir, vol. II, Dubna, 1998, p. 201-216.

55. Юкалов В.И. Теория возмущений с сильным взаимодействием. Вестник МРУ 17 (1976) с. 270-272.

56. Halliday I.J., Suranyi P. Convergent perturbation series for the an-harmonic ascillator. Phys. Lett. 85 B, No. 4 (1979) p. 421-423.

57. Halliday I.J., Suranyi P. Anharmonic ocillator: A new approach. Phys. Rev. D 21, No. 6 (1980) p. 1529-1537.

58. Shaverdyn B.S., Ushveridze A.G. Convergent perturbation theory for the scalar ф2р field theories: the Gell-Mann-Low function. Phys. Lett. 123 B, No. 5 (1983) p. 316-318.

59. Ushveridze A.G. Superconvergent perturbation theory for Euclidean scalar field theories. Phys. Lett. 142 B, No. 5,6 (1984) p. 403-406.

60. Ушверидзе А.Г., Шубитидзе Н.И. Двухпараметрическая сходящаяся теория возмущений для квантового ангармонического осциллятора. Теоретико-по левой подход. ЯФ 40, вып. 5(11) (1984) с. 1195-1208.

61. Соловцов И.Jl. Энергия основного уровня ангармонического осциллятора в пределе сильной связи. Известия Вузов, Физика, 7 (1990) с. 64-69.

62. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Nonperturbative method of calculation of functional integrals. Phys. Lett. A 157, No. 4,5 (1991) p. 261-264.

63. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Nonperturbative effective potential. Anharmonic oscillator. JINR Rapid Comm., No. 1 47]-91, Dubna, 1991, p. 10-16.

64. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Variational perturbation theory. Anharmonic oscillator. Z. Phys. С 54, No. 2 (1992) p. 263-271.

65. Korsun L.D, Sissakian A.N., Solovtsov I.L. The ground state energy of the ф2к anharmonic oscillator in the limit of strong coupling. JINR Rapid Comm., No. 3 49]-91, Dubna, 1991, p. 54-61.

66. Korsun L.D., Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Nonperturbative effective potential for ф2к oscillator. JINR Rapid Comm., No. 3 49]-91, Dubna, 1991, p. 62-66.

67. Корсун Л.Д., Сисакян А.Н., Соловцов И.Л. Вариационная теория возмущений, ^'-осциллятор. ТМФ 90, № 1 (1992) с. 37-54.

68. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Convergent series in variational perturbation theory. Phys. Lett. В 297 (1992) p. 305308.

69. Korsun L.D., Sissakian A.N., Solovtsov I.L. ^-oscillator in the strong coupling limit. Int. J. Mod. Phys. A 8 (1993) p. 5129-5140.

70. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Gaussian effective potential in variational perturbation theory. Phys. Lett. В 313 (1993) p. 367-373.

71. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Analysis of series convergence in variational perturbation theory and Gaussian effective potential. Int. J. Mod. Phys. A 9, No. 11 (1994) p. 1797-1820.

72. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. /З-function for <p4-model in variational perturbation theory. Phys. Lett. В 321 (1994) p. 381-384.

73. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Variational perturbation theory in tp4—model. Proceedings of the XVI Workshop on Problems of High

74. Energy Physics and Field Theory (September 14-17, Protvino, 1993), Protvino, 1995, p. 138-146.

75. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Variational perturbation theory in the ^4-model. The Bogoliubov International Symposium on Fundamental Problems in Theoretical and Mathematical Physics, Dubna, 1994, p. 191-200.

76. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Method of variational perturbation theory. International Workshop on Symmetry Methods in Physics (July 6-10, Dubna, 1993), vol. 2, Dubna, 1994, p. 494-500.

77. Solovtsov I.L. New expansion in QCD. Phys. Lett. В 327 (1994) p. 335-340.

78. Solovtsov I.L. Nonperturbative expansion in QCD. Phys. Lett. В 340 (1994) p. 245-249.

79. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Nonperturbative (5-function in quantum chromodynamics. Mod. Phys. Lett. A 9, No. 26 (1994) p. 2437-2443.

80. Stukelberg E.C.G., Petermen A. La normalization constants dans la theoric des quanta. Helv. Phys. Acta 26 (1953) p. 499-520.

81. Gell-Mann M., Low F.E. Quantum electrodynamics at small distances. Phys. Rev. 95, No. 5 (1954) p. 1300-1312.

82. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. О ренормализационной группе в квантовой электродинамике. ДАН СССР 103 (1955) с. 203-206.

83. Bogoliubov N.N., Shirkov D.V. Charge renormalization group in quantum field theory. Nuovo Cimento 3 (1956) p. 845-863.

84. Redmond P. Elimination of ghosts in propogators. Phys. Rev. 112, No. 4 (1958) p. 1404-1408.

85. Боголюбов H.H., Логунов А.А., Ширков Д.В. Метод дисперсионных соотношений и теория возмущений. ЖЭТФ 37, вып. 3(9) (1959) с. 805-815.

86. Shirkov D.V., Solovtsov I.L. Analytic QCD running coupling with finite IR behaviour and universal o;s(0) value. JINR Rapid Comm. No. 276]-96, 5, e-Print Archive: hep-ph/9604363.

87. Shirkov D.V., Solovtsov I.L. Analytic model for the QCD running coupling with universal as(0) value. Phys. Rev. Lett. 79 (1997) p. 1209-1212.

88. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: "Наука", 1969, 424 с.

89. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.:"Наука", 1987.

90. Jones H.F., Solovtsov I.L. QCD running coupling constant in the timelike region. Phys. Lett. В 349 (1995) p. 519-524.

91. Jones H.F., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Analytic properties of the QCD running coupling constant and r decay. Phys. Lett. В 357 (1995) p. 441-445.

92. Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Method of variational perturbation theory in QCD. Proceedings of the VII Int. Conf. on Symmetry Methods in Physics (July 10-16, Dubna, 1995), vol. 2, JINR, Dubna, 1996, p. 513-519.

93. Jones H.F., Sissakian A.N., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. r decay and e+e~ annihilation at low energies in the nonperturbative approach to QCD. Chin. J. Phys. 34, No. 3-II (1996) p. 973-978.

94. Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Re+e- at low energies in variational perturbation theory. Phys. Lett. В 344 (1995) p. 377-382.

95. Ebert D., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Non-perturbative expansion in QCD and e+e~ annihilation into hadrons at low energies. Preprint DESY 96-075, Hamburg, 1996, 20 p.

96. Ebert D., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Non-perturbative expansion with massive quarks in QCD. Preprint JINR E2-95-385, Dubna, 7 p.

97. Ebert D., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Variational nonperturba-tive expansion in QCD, momentum renormalization scheme and e+e~ annihilation at low energies. Nuovo Cimento 110 A (1997) p. 315-329.

98. Jones H.F., Ritz A., Solovtsov I.L. Nonperturbative expansion, renormalons, and т decay. Mod. Phys. Lett. A 12 (1997) p. 13611368.

99. Sissakian A.N., Solovtsov I.L. Variational approach to QCD and its applications. ЯФ 61, № 11 (1998) c. 2052-2056.

100. Jones H.F., Ritz A., Solovtsov I.L. Conformal mapping, power corrections, and the QCD bound state spectrum. Int. J. Mod. Phys. A 13 (1998) p. 3929-3952.

101. Ландау Л.Д., Абрикосов А.А., Халатников И.М. Асимптотическое выражение для гриновской функции электрона в квантовой электородинамике. ДАН СССР 95 (1954) с. 773-776; 1177-1180.

102. Hioe F.T., Montroll E.W. Quantum theory of anharmonic oscillators. I. Energy levels of oscillators with positive quartic anhar-moniticy. J. Math. Phys. 16, No. 9 (1975) p. 1945-1955.

103. Hioe F.T., Mac-Millen D.f Montroll E.W. Quantum theory of anharmonic oscillators: energy levels of a single and a pair coupled oscillators with quartoc coupling. Phys. Rep. С 43 (1978) p. 305335.

104. Chetyrkin K.G., Gorishny S.G., Larin S.A., Tkachov F.V. Five-loop renormalization group calculations in the дфщ theory. Phys. Lett. В 132, No. 4-6 (1983) p. 351-354.

105. Castoldi P., Schomblond C. Strong coupling limit of дф4 theory: general formalism and aplications. Nucl. Phys. В 139, No. 3 (1978) p. 269-290.

106. Казаков Д.И., Тарасов О.В., Ширков Д.В. Аналитическое продолжение результатов теории возмущений модели дф4 в область д> 1 . ТМФ 38, № 1 (1979) с. 15-25.

107. Buckley I.R.C., Duncan A., Jones H.F. Proof of the convergence of the linear 8 expansion: Zero dimensions. Phys. Rev. D 47, No. 61993) p. 2554-2559.

108. Duncan A., Jones H.F. Convergence proof for optimized 8 expansion: Anharmonic oscillator. Phys. Rev. D 47, No. 6 (1993) p. 25602572.

109. Poggio E.C., Quinn H.R., Weinberg S. Smearing method in the quark model. Phys. Rev 13 13, No. 7 (1976) p. 1958-1963.

110. Chyla J., Kataev A.L., Larin S.A. Renormalization scheme dependence in e+e~ annihilation and r-lepton decay at the next-to-next-to-leading order of perturbative QCD. Phys. Lett. B 261 (1991) p. 269-276.

111. Mattingly A.C., Stevenson P.M. QCD perturbation theory at low energies. Phys. Rev. Lett. 69, No. 9 (1992) p. 1320-1323.

112. Mattingly A.C., Stevenson P.M. Optimization of Re+e- and "freezing" of the QCD couplant at low energies. Phys. Rev. D 49, No. 11994) p. 437-450.

113. Pennington M.R., Ross G.G. Perturbative QCD for timelike processes: what is the best expansion parameter? Phys. Lett. 102 B, No. 2,3 (1981) p. 167-171.

114. Radyushkin A.V. Optimized Lambcla-parametrization for the QCD running coupling constant in spacelike and timelike region. Preprint JINR, E2-82-159, 1982, JINR Rapid Comm. No. 478]-96, p. 9-14.

115. Krasnikov N.V., Pivovarov A.A. The influence of the analytic continuation effects on the value of the QCD sciile parameter A extracted from chrmonium and upsilonium haclron decay. Phys. Lett. B 116, No. 2,3 (1982) p. 168-170.

116. Gorishny S.G., Kataev A.L., Larin S.A. The O(aJ) corrections to <Ttot(e+e~ —» hadrons) and T(r —y vT + liadrons) in QCD. Phys. Lett. B 259, No. 1,2 (1991) p. 144-150.

117. Bakulev A.P., Radyushkin A.V., Stefanis N.G. Form-factors and QCD in spacelike and timelike regions. Phy.s. Rev. D 62 (2000) p. 113001.

118. Pivovarov A.A. Renormalization group summation of perturbative series in timelike momentum transfer. Nuovo Cimento A 105, No. 6 (1992) p. 813-826.

119. Barnett R. M. et al. (Particle Data Group). Eur. Phys. J. С, 3 (1998) p. 1.

120. Lam C.S., Yan T.M. Decays of a heavy lepton and an intermediate weak boson in quantum chromodynamics. Phys. Rev. D 16 (1977) p. 703-706.

121. Braaten E. Perturbative QCD and the decay of the r lepton. Phys. Rev. Lett. 60, No. 16 (1988) p. 1606-1609.

122. Braaten E. Perturbative QCD corrections to the ratio R for r decay. Phys. Rev. D 39 (1989) p. 1458-1460.

123. Solovtsov I.L., Shirkov D.V. Renormalization scheme dependence in analytic approach to perturbative QCD. Phys. Lett. В 442 (1998) p. 344-348.

124. Ширков Д.В., Соловцов И.Л. Аналитический подход в квантовой хромодинамике, ТМФ 120, № 3, (1999) с. 482-510.

125. Shirkov D.V., Solovtsov I.L. е+е~ annihilation at low energies in analytic approach to QCD. Talk at the International Workshop "e+e~ collisions from ф to J/Ф", March 1-5, Novosibirsk, 1999 (to be published in the Proceedings), hep-ph/9906495.

126. Milton K.A., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P., Yasnov V.I. Renormalization scheme and higher loop stability in hadronic r decay within analytic perturbation theory. Eur. Phys. J. С14 (2000) p. 495-501.

127. Milton K.A., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Analytic perturbation theory and inclusive r decay. Phys. Lett. В 415 (1997) p. 104-110.

128. Milton K.A., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. Analytic Perturbative Approach to QCD. Proceedings the XXIX Int. Conference on High Energy Physics, Vancouver, B.C., Canada, July 23-29, 1998, Vol. II, pp. 1608-1612.

129. Milton K.A., Solovtsov I.L., Yasnov V.I. Analytic Perturbation Theory and Renormalization Scheme Dependence in r-decay. Preprint

130. University of Oklahoma, OKHEP-98-Ol, Norman, 1998, 11 p., e-Print Archive: hep-ph/9802262.

131. Milton K.A., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. The Bjorken sum rule in the analytic approach to perturbative QCD. Phys. Lett. В 439 (1998) p. 421-427.

132. Milton K.A., Solovtsov I.L., Solovtsova O.P. The Gross Llewellyn-Smith sum rule in the analytic approach to perturbative QCD. Phys. Rev D 60 (1999) 016001.

133. Milton K.A., Solovtsov I.L. Analytic perturbation theory in QCD and Schwinger's connection between the ^-function and the spectral density. Phys. Rev. D 55 (1997) p. 5295-5298.

134. Milton K.A., Solovtsova O.P. Analytic perturbation theory: A new approach to the analytic continuation of the strong coupling constant into the timelike region. Phys. Rev. D 57 (1998) p. 54025409.

135. Schwinger J. Photon propogation function: Spectral analysis of its asymptotical form. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 71, No. 8 (1974) p. 3024-3027.

136. Schwinger J. Photon propogation function: A comparison of asymptotic functions. Proc. Natl. Acad. Set. USA 71, No. 12 (1974) p. 5047-5051.

137. Jones H.F., Ritz A., Solovtsov I.L. A new approach to QCD sum rules and inclusive tau decay. Preprint Imperial/TP/95-96/62, Aug. 1996, London, 8p.

138. Milton K.A., Solovtsov I.L. Can the QCD effective charge be symmetrical in the Euclidean and the Minkowskian regions? Phys. Rev. D 59 (1999) 107701.

139. Feynman R. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics. Rev. Mod. Phys. 20, No. 2 (1948) p. 367-387.

140. Фейнман P., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.: "Мир", 1968.

141. Фейнман Р. Статистическая механика. M.: "Мир", 1975.

142. Боголюбов Н.Н. О представлении функций Грина Швингера при помощи функциональных интегралов. ДАН СССР 99, № 1 (1954) с. 225-226.

143. Matthews Р.Т., Salam A. The Green's functions of quantized fields. Nuovo Cimento 12, No. 4 (1954) p. 563-565.

144. Гельфанд И.M., Минлос Р.А. Решение уравнений квантовых полей. ДАН СССР 97, № 2 (1954) с. 209-212.

145. Халатников И.М. Представление функций Грина в квантовой электродинамики в форме континуальных интегралов. ЖЭТФ 28, № 5 (1955) с. 633-636.

146. Фрадкин Е.С. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике. Труды ФИ АН 29 (1965) с. 7-138.

147. Faddeev L.D., Popov V.N. Feynman diagrams for Yang-Mills field. Phys. Lett. 25 В (1967) p. 30-31.

148. Fried H.M. Basics of functional methods and eikonal model. Editions Frontières, Singapore, 1990.

149. Stevenson P.M. Optimization and the ultimate convergence of QCD perturbation theory. Nucl. Phys. В 231, No. 1 (1984) p. 65-90.

150. Contogouris A.P., Mebarki N. Test of optimization procedures. Phys. Rev. D 39, No. 5 (1989) p. 1464-1466.

151. Caswell W.E. Accurate energy levels for the anharmonic oscilator and a summable series for the double-well potential in perturbation theory. Ann. Phys. 123, No. 1 (1979) p. 153-184.

152. Killingbeck J. Renormalised perturbation series. J. Phys. A 14, No. 5 (1981) p. 1005-1008.

153. Austin E.J., Killingbeck J. Linear variational approximation to the gx2n anharmonic oscillator. J. Phys. Л 15, No. 2 (1982) p. 429-435.

154. Guida R., Konishi K., Suzuki H. Convergence of scaled delta expansion: anharmonic oscillator. Ann. Phys. 241 ( 1995) p. 152-184.

155. Guida R., Konishi K., Suzuki H. Improved convergence proof of the delta expansion and order dependent mapping. Ann. Phys. 249 (1996) p. 109-145.

156. Bender C.M., Wu T.T. Anharmonic oscillator. Phys. Rev. 184, No. 5 (1969) p. 1231-1261.

157. Schiff L.I. Lattice-space quantization of a nonlinear field theory. Phys. Rev. 92, No. 3 (1953) p. 766-779.

158. Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Новиков В.А., Шифман М.А. "Асимптотическая свобода" в квантовой механике. ЯФ 32, № 6(12) (1980) с. 1622-1635.

159. Agodi A., Andronico G., Сеа P., Consoli М., Cosmai L. The (ЛФ4)4 theory on the lattice: effective potential and triviality. Nucl. Phys. В (Proc. Suppl.) 63 (1998), p. 637-639.

160. Bollini C.G., Giambiagi J J. Relations between effective potentials in different dimensions. Phys. Lett. В 134, No. 6 (1984) p. 436-438; Аф4 in и dimensions. Nuovo Cimento 93 A (1986) p. 113-124.

161. Parisi G. Asymptotic estimates of Feynman diagrams. Phys. Lett. В 68, No. 4 (1977) p. 361-364.

162. Khun N.N. New functional formulae for lattice ф\. Phys. Lett. В 150, No. 1,2,3 (1985) p. 199-204.

163. Владимиров А.А., Ширков Д.В. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики. УФН 129, вып. 3 (1979) с. 407-441.

164. Seznec R., Zinn-Justin J. Summation of divergent series by order dependent mappings: Application to the anharmonic oscillator and critical exponents in field theory. J. Math. Phys. 20, No. 7 (1979) p. 1398-1408.

165. Eichten E., Gottfried K. Heavy quarks in e + e— annihilation. Phys. Lett. В 66, No. 3 (1977) p. 286-290.

166. Eichten E., Gottfried K., Kinoshita Т., Lane K.D., Yan T.M. Carmo-nium: comparison with experiment. Phys. Rev. D 21, No. 1 (1980) p. 203-233.

167. Deo B.B., Baric B.K. On the static quark-antiquark potential. Phys. Rev. D 27, No. 1 (1983) p. 249-253.

168. Gupta S.N., Radford S.F. Quark confinement in quantum chromo-dynamics. Phys. Rev. D 32, No. 3 (1985) p. 781-783.

169. Levine R., Tomazawa Y. Effective potential for heavy quarkantiquark bound system. Phys. Rev. D 19, No. 5 (1979) p. 15721581.

170. Арбузов Б.А. Квантовая хромодинамика на больших расстояниях. ЭЧАЯ 19, вып. 1 (1988) с. 5-50.

171. Richardson J.L. The heavy quark potential. Phys. Lett. 82 B, No. 2 (1979) p. 272-274.

172. Mandelstam S. Approximation scheme for quantum chromodynam-ics. Phys. Rev. D 20, No. 12 (1979) p. 3223-3238.

173. Anishetty R., Baker M., Kim S.K., Ball J.S., Zachariasen F. Infrared properties of the coupling constant in non-abelian gauge theories. Phys. Lett. 86 B, No. 1 (1979) p. 52-56.

174. Ball J.S., Zachariasen F. Infrared properties of the gauge theory coupling constant III. Phys. Lett. 95 B, No. 2 (1980) p. 273-279.

175. Baker M., Ball J.S., Zachariasen F. A non-perturbative calculation of the infrared limit of the axial gauge gluon propagator (I), (II). Nucl. Phys. В 186 (1981) p. 531-559; p. 560-572.

176. Bander M. Theories of quark confinement. Phys. Rep. 75, No. 4 (1981) p. 205-286.

177. Егорян Э.Ш., Тарасов О.В. Перенормировка квантовой хромо-динамики в двухпетлевом приближении в произвольной калибровке. ТМФ 41, № 1 (1979) с. 26-32.

178. Narison S. Techniques of dimensional regularization and the two-point functions of QCD and QED. Phys. Rep. 84, No. 4 (1982) p. 263-399.

179. Surguladze L.R., Samuel M.A. Total hadronic cross sections in e+e— annihilation at the four-loop level of perturbative QCD. Phys. Rev. Lett. 66, No. 5 (1991) p. 560-563.

180. Stevenson P.M. Optimized perturbation theory. Phys. Rev. D 23, No. 12 (1981) p. 2916-2944.

181. Grunberg G. Renormalization-scheme-invariant QCD and QED: The method of effective charge. Phys. Rev. D 29, No. 10 (1984) p. 2315-2338.

182. Швингер Ю. Частицы, источники, поля. т. 2, М.: "Мир", 1983.

183. Dokshitzer Yu.L., Webber B.R. Calculation of power corrections to hadronic event shapes. Phys. Lett. В 352 (1995) p. 451-455.

184. Dokshitzer Yu.L., Khoze V.A., Troyan S.I. Specific features of heavy quark production: Local parton-haclron duality approach to heavy particle spectra. Phys. Rev. D 53, No. 1 (1996) p. 89-119.

185. Соловцова О.П. Роль аналитичности константы связи квантовой хромодинамики при описании инклюзивного распада г леп-тона в адроны. Письма ЖЭТФ 64, вып. 10 (1996) с. 664-667.

186. Adler P.D. Some simple vacuum-polarization phenomenology: e+e~ —» hadrons; the muonic-atom a;-ray discrepancy and g^ — 2. Phys. Rev. D 10, No. 11 (1974) p. 3714-3728.

187. Shirkov D.V. Renorm-group, causality and non-power perturbative expansion in QFT. Preprint E2-98-311, JINR, Dubna, 1998, 14 p., ТМФ 119, № 1 (1999) c. 55-66, e-Print Archive: hep-th/9810246.

188. Braaten E., Narison S., Pich A. QCD analysis of the tau hadronic width. Nucl. Phys. В 373 (1992) p. 581-612.

189. Le Diberder F., Pich A. The perturbative QCD prediction to RT revisited. Phys. Lett. В 286 (1992) p. 147-152.

190. Altarelli G., Nason P., Ridolfi G. A study of ultraviolet renormalon ambiguity in the determination of qs from т decay. Z. Phys. С 68 (1995) p. 257-269.

191. Ширков Д.В. Массовые зависимости в ренормгрупповых решениях. ТМФ 49, № 3 (1981) с. 291-297; Пороговые эффекты в двухпетлевом приближении и параметризация реальной КХД. ЯФ 34, вып. 2(8) (1981) с. 541-545.

192. Shirkov D.V. Perturbative analysis of general renorm group solution in a massive case. Nucl. Phys. В 371, No. 1,2 (1992) p. 467-481.

193. Shirkov D.V. Mass and scheme effects in coupling constant evalu-tion. ТМФ 93, № 3 (1992) p. 466-472.

194. Shirkov D.V., Mikhailov S.V. Mass dependent as evolution and the light gluino existence. Z. Phys. С 63 (1994) p. 463-469.

195. Marciano W.J. Flavour thresholds in A in the minimal subtraction scheme. Phys. Rev. D 29, No. 3 (1984) p. 580-582.

196. Bigi 1.1., Shifman M.A., Uraltsev N.G., Vainshtein A.I. The pole mass of heavy quark perturbation theory and beyond. Phys. Rev. D 50, No. 3 (1994) p. 2234-2246.

197. Neubert M. Resummation of renormalon chains for cross sections and inclusive decay rates. Phys. Rev. D 51 (1995) p. 5924-5941.

198. Neubert M. QCD analysis of hadronic r decay revisited. Nucl. Phys. В 463 (1996) p. 511-546.

199. Gorishny S.G., Kataev A.L., Larin S.A. Three-loop corrections of order 0(m2) to the correlator of electromagnetic quark currents Nuovo Cimento 92 A, No. 2 (1986) p. 119-131.

200. Barnett R. M. et al. (Particle Data Group). Phys. Rev. D 50 (1994) Part I.

201. Coan T. et al. (CLEO Collaboration). Measurement of as from r decays. Phys. Lett. В 356 (1996) p. 580-588.

202. Barnett R. M. et al. (Particle Data Group). Phys. Rev. D 54 (1996), p. 1.

203. Reinders L.J., Rubinstein H.R., Yazaki S. Haclron properties from QCD sum rules. Phys. Rep. 127, No. 1 (1985) p. 1-97.

204. Novikov V.A., Okun L.B., Shifman M.A., Vainshtein A.I., Voloshin M.B., Zakharov V.I. Charmonium and gluons. Phys. Rep. 41 C, No. 1 (1978) p. 1-133.

205. Волошин М.Б., Зайцев Ю.М. Физика ипсилон резонансов: десять лет спустя. УФЕ 30 (1987) р. 553-574.

206. Voloshin М.В. Precision determination of as and тпь from QCD sum rules for bb. Int. J. Mod. Phys. A 10 (1995) p. 2865-2880.

207. Jamin M., Pich A. Bottom quark mass and as from the upsilon system. Nucl. Phys В 507 (1997) p. 334-352.

208. Kuhn J.H., Penin A.A., Pivovarov A.A. Coulomb resummation for b anti-fe system near threshold and precision determination of as and mb. Nucl. Phys. В 534 (1998) p. 356-370.

209. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien. Vol. 2, Vieweg, Braunschweig, 1939.

210. Сахаров А.Д. Взаимодействие электрона и позитрона при рождении пар. ЖЭТФ 18, вып. 7/9 (1948) с. 631-635.

211. Wang W., Liu J. Gluon propagator in a new perturbative expansion of Quantum Chromodynamics with a non-perturbative background. Wuhan Univ. J. of Natural Sciences. 3 (1997) p. 423-428.

212. Arbuzov В.A. Infrared asymptotics of gluori and quark propagators in QCD. Phys. Lett. В 125, No. 6 (1983) p. 497-500.

213. Арбузов Б.А., Боос Э.Э., Давыдычев А.И. Инфракрасные асимптотики глюонных функций Грина в ковариантной калибровке. ТМФ 74, № 2 (1988) с. 163-170.

214. Логунов А.А. Функция Грина в скалярной электродинамике в области малых импульсов. ЖЭТФ 29, № 6(12) (1955) с. 871874.

215. Соловцов И.Л. О некоторых свойствах калибровочно-инва-риантной спинорной функции Грина. Материалы VIII республиканской конференции по физике. Минск, 21-23 июня 1984 г. Из-во Университет, ч. 1, 1986, с. 12-13.

216. Соловцов И.Л., Соловцова О.П. Калибровочно-инвариантная функция Грина в модели Швингера. Известия вузов, Физика, № 12 (1984) с. 49-52.

217. Соловцов И.Л. Калибровочно-инвариантная функция Грина в модели Блоха-Нордсика. Известия вузов, Физика, № 1 (1985) с. 65-70.

218. Соловцов И.Л. Инфракрасная асимптотика калибровочно-инва-риантного спинорного пропагатора в квантовой электродинамике. Известия АНБ, сер. физ-матем. наук, J4o 5 (1985) с. 99104.

219. Skachkov N.B., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Gauge-invariant formalism and quark confinement in QCD2. Z. Phys. С 29, No. 4 (1985) p. 631-635.

220. Скачков Н.Б., Соловцов И.Л., Шевченко О.Ю. Инфракрасная асимптотика калибровочно-инвариантного пропагатора в квантовой электродинамике. ТМФ 41 (1987) с. 54-66.

221. Kapshay V.N., Skachkov N.B., Solovtsov I.L. Dynamical equations for the gauge invariance wave functions. Proceedings of the International Seminar on High Energy Physics and Quantum Field Theory, Protvino, July 1983, v. 2, p. 262-271.

222. Skachkov N.B., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Gauge-invariant field variables and the role of the Lorentz gauge condition. JINR Rapid Comm., No. 8-85, Dubna, 1985, p. 42-46.

223. Skachkov N.B., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. JINR Rapid Comm., No. 9-85, Dubna, 1985, p. 39-42.

224. Skachkov N.B., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Infrared asymp-totics and Dayson-Schwinger equations for the gauge-invariant spinor Green's function in quantum electrodynamics. JINR Rapid Comm., No. 10-85, Dubna, p. 13-18.

225. Sissakian A.N., Skachkov N.B., Solovtsov I.L., Shevchenko O.Yu. Infrared singularities of fermion propagator and their connection with the Wilson loop. JINR Rapid Comm., No. 323]-87, Dubna, 1987, p. 11-17.

226. Сисакян A.H., Скачков Н.Б., Соловцов И.Jl., Шевченко О.Ю.

227. Калибровочно-инвариантный подход и инфракрасное поведение спинорного пропагатора. ТМФ 78 (1989) с. 258-266.

228. Соловцов И.Л., Тепляков В.Г. Калибровочно-инвариантный би-локальный формализм в квантовой теории поля. Известия вузов, Физика, № 4 (1990) с. 105-111.

229. Капшай В.Н., Соловцов И.Л. Об инфракрасной регуляризации в двумерной квантовой хромодинамике. Известия вузов, Физика 35, № 5 (1990) с. 74-78.

230. Сисакян А.Н., Соловцов И.Л., Шевченко О.Ю. Контурные величины и инфракрасная асимптотика в калибровочных теориях. ЭЧАЯ 21, вып. 3 (1990) с. 664-696.

231. Nishijima К. BRS invariance, asymptotic freedom and color confinement (a review). Czech. J. Phys. 46, No. 1 (1996) p. 1-124.

232. Гинзбург И.Ф., Ширков Д.В. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асиптотики рассеяния. ЖЭТФ 49, вып. 1(7) (1965) с. 335-344.

233. Shirkov D.V. Nonlocal renormalization "stopping" the running gauge. Nucl. Phys. В 332 (1990) p. 425-432.

234. Shirkov D.V. Causality and renormalization group. Lett. Math. Phys. 1 (1976) p. 179-182.

235. Magradze B.A. The gluon propagator in analytic perturbation theory. Talk given at 10th International Seminar on High-Energy Physics (Quarks 98), (18-24 May, Suzdal, 1998); Preprint G-TMI-98-08-01, Tbilisi, 1998, 13 p., e-Print Archive: hep-ph/9808247.

236. Gardi E., Grunberg G., Karliner M. Can the QCD running coupling have a causal analyticity structure? J. High Energy 9807 (1998) 007, Preprint TAUP-2503-98, 26 p., e-Print Archive: hep-ph/9806462.

237. Magradze B.A. QCD coupling up to third order in standard and analytic perturbation theories. Preprint RMI-000-15, Oct 2000, 19pp, e-Print Archive: hep-ph/0010070; Analytic approach to perturba-tive QCD. Int. J. Mod. Phys.A 15 (2000) p. 2715-2734.

238. Kourashev D.S. Exact analytic two loop expressions for QCD observables in the timelike region. e-Print Archive: hep-ph/0010072.

239. Simonov Yu.A. Asymptotic freedom at large distances and IR renor-malon problem. Письма ЖЭТФ 57, № 9 (1993) p. 513-517.

240. Simonov Yu.A. Perturbation theory in the nonperturbative QCD vacuum. ЯФ 58, № 1 (1995) p. 113-129.

241. Duflot L. (ALEPH Collaboration). Measument of as and nonperturbative terms from tau decays. Nucl. Pliys. 39 B,C (1995) p. 322-325.

242. Schmelling M. Status of the strong coupling constant. Proceedings of the 28th Int. Conference on High Energy Physics, (25-31 July, Warsaw, 1996), eds. Z. Ajdulc and A.K. Wroblewski, World Scientific (Singapore) 1997. vol. I, p. 91-102.

243. Eidelman S., Jegerlehner F., Kataev A.L., Veretin O. Testing nonperturbative strong interaction effects via the Adler function. Phys. Lett. В454 (1999) p. 369-375.

244. Jegerlehner F. Hadronic vacuum polarization contribution to g — 2 of the lepton and a{Mz). Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) С 51 (1996) p. 131.

245. Владимиров А.А. Уравнения ренормализационной группы в различных перенормировочных схемах. ТМФ 25, № 3 (1975) с. 335343.

246. Владимиров А.А. Об однозначности ренормгрупповых вычислений в квантовой хромодинамике. ЯФ 31, вып. 4 (1980) с. 10831086.

247. Vladimirov A.A. Scheme dependence in the renormalization group. Preprint E2-89-2, JINR, Dubna, 1989, 8 p.t

248. Coquereaux R. Renormalization schemes in QED. Ann. Phys. 125, No. 2 (1980) p. 401-428.

249. Stevenson P. Sence and nonsense in the renormalization-scheme-dependence problem. Nucl. Phijs. В 203, No. 3 (1982) p. 472-492.

250. Pennington M.R. Renormalization-prescription ambiguity in per-turbative quantum chromodynamics: has Stevenson found the solution ? Phys. Rev. D 26, No. 8 (1982) p. 2048-2057.

251. Dhar A. Renormalization scheme-invariant perturbation theory. Phys. Lett. В 128, No. 6 (1983) p. 407-410.

252. Dhar A., Gupta V. New perturbative approach to renormalizable field theory. Phys. Rev. D 29, No. 12 (1984) p. 2822-2827.

253. Казаков Д.И., Ширков Д.В. Схемно-инвариантная теория возмущений в массивной КХД. ЯФ 42, вып. 3(9) (1985) с. 768-776.

254. Gupta V. Shirkov D.V., Tarasov O.V. New perturbative approach to general renormalizable field theorys. Int. J. Mod. Phys. A 6 (1991) p. 3381-3398.

255. Brodsky S.J., Lepage G.P., Mackenzie P.B. On the elimination of the scale ambiguity in perturbative quantum chromodynamics. Phys. Rev. D 28, No. 1 (1983) p. 228-235.

256. Brodsky S.J., Lu H.J. Commensurate scale relations in quantum chromodynamics. Phys. Rev. D 51, No. 7 (1995) p. 3652-3668.

257. Brodsky S.J., Gabadadze G.T., Kataev A.L., Lu H.J. The generalized Crewther relation in QCD and its experimental consequences. Phys. Lett. В 372 (1996) p. 133-140.

258. Raczka P.A., Szymacha A. Improved evaluation of the next-next— to-leading order QCD corrections to the e+e~ annihilation into hadrons. Phys. Rev. D 54, No. 5 (1996) p. 3073-3084.

259. Celmaster W., Gonsalves R J. The renormalization prescription dependence of the QCD coupling constant. Phys. Rev. D 20, No. 6 (1979) p. 1420-1434.

260. Raczka P.A. Renormalization scheme dependence and the problem of theoretital uncertainties in next-next-to-leading order QCD predictions. Z. Phys. С 65 (1995) p. 481-486.

261. Raczka P.A., Szymacha A. Improved analysis of the renormalization scheme ambiguities in the QCD corrections to the semileptonic decay of the tau lepton. Phys. С 70 (1996) p. 125-132.

262. Soper D.E., Surguladze L.R. QCD perturbative expansion for e+e~ hadrons. Phys. Rev. D 54, No. 7 (1996) p. 4566-4577.

263. Milton K.A., Solovtsov I.L. Relativistic coulomb resummation in QCD. Preprint О КHEP-00-06, May, 2000, 4p, е-Print, Archive: hep-ph/0005175.

264. Shirkov D.V. Toward the correlated analysis of perturbative QCD observables. Preprint JINR-E2-2000-46, Dubna, 2000, 14pp, e-Print Archive: hep-ph/0003242.

265. Shirkov D.V. The тт2 terms in the s channel QCD observables. Preprint JINR-E2-2000-211, Dubna, 2000, 9pp, e-Print Archive: hep-ph/0009106.

266. Jost R., Lehmann H. Integral-Darstellung kausaler Kommutatoren. Nuovo Cimento 5 (1957) p. 1598-1610.

267. Dyson F.J. Integral representations of causal commutators. Phys. Rev. 110, No. 6 (1958) p. 1460-1464.

268. Боголюбов H.H., Владимиров B.C. Тавхелидзе A.H. Об автомодельной асиптотике в квантовой теории поля. I. ТМФ 12 (1972) с. 3-17.

269. Боголюбов Н.Н., Владимиров B.C. Тавхелидзе А.Н. Об автомодельной асиптотике в квантовой теории поля. II. ТМФ 12 (1972) с. 305-329.

270. Geyer В., Robaschik D., Wieczorek Е. Theory of deep inelastic lep-ton-hadron scattering. Fortschr. Phys. 27 (1979) p. 75-168.

271. Гайер Б., Робашик Д., Вицорек Э. Теоретико-полевое описание глубоконеупругого рассеяния. ЭЧАЯ 11, вып. 1 (1980) с. 132181.

272. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенных функций, М.:"Паука", 1986.

273. Deser S., Gilbert W., Sudarshan E.C.S. Structure of the forward scattering amplitude. Phys. Rev. 117, No. 1 (1960) p. 266-279.

274. Ashok suri. Forward Compton scattering amplitude as a simultaneous analytic function of complex photon mass and energy. Phys. Rev. D 4, No. 2 (1971) p. 570-599.

275. Minquzzi A., Streater R.F. Some integral representations for vertex function. Phys. Rev. 119, No. 3. (1960) p. 1127-1128.

276. Гешкенбейн Б.В., Комеч А.И. Доказательство представления Де-зере, Гильберта и Сударшана. ЯФ 22, вып. 2 (1975) с. 416-427.

277. Гешкенбейн Б.В., Комеч А.И. О спектральных представлениях для неупругих форм-факторов нуклонов. ЯФ 26, вып. 2 (1977) с. 446-447.

278. Квинихидзе А.Н., Маградзе Б.А., Матвеев В.А., Мествиришвили М.А., Тавхелидзе А.Н. Интегральное уравнение для причинных распределений и их автомодельная асимптотика в лестничной Ф3-модели. ТМФ 45, № 3 (1980) с. 302-312.

279. Индурайн Ф. Квантовая хромодинамика, М.: "Мир", 1986.

280. Nachtmann О. Positivity constraints for anomalous dimensions. Nucl. Phys. В 63 (1973) p. 237-247.

281. Nachtmann 0. Is there evidence for large anomalous dimensions? Nucl. Phys. В 78 (1974) p. 455-467.

282. Wetzel W. Analyticity properties in q2 for moments of deep inelastic structure functions. Nucl. Phys. В 139 (1978) p. 170-188.

283. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике, M.: "Наука", 1979.

284. Georgi H., Politzer H.D. Freedom at moderate energies: Masses in color dynamics. Phys. Rev. D 14 (1976), p. 1829-1848.

285. Gross D.J., Treiman S.B., Wilczek F.A. Mass corrections in deep-inelastic scattering. Phys. Rev. D 15 (1977), p. 2486-2494.

286. De Rujula A., Georgi H., Politzer H.D. Trouble with £ scaling? Phys. Rev. D 15 (1977) p. 2495-2502; Démythification of electroproduc-tion local duality and precocious scaling. Ann. Phys. 103 (1977) p. 315-353.

287. Miramontes J.L., Guillen J.S. Understanding higher twist: operator approach to power corrections. Z. Phys. С 41 (1988) p. 247-257.

288. Roberts R.G. The Structure of the Proton. Deep Inelastic Scattering (Cambridge University Press, 1990).

289. Solovtsov I.L. Integral representation for structure functions and target mass effects. Письма в ЭЧАЯ № 4101]-2000, с. 10-18.

290. Alekseev A.I., Arbuzov B.A. Analyticity and minimality of nonper-turbative contributions in perturbative region for Mod. Phys. Lett. A 13 (1998) p. 1747-1756.

291. Алексеев А.И., Арбузов Б.А. Аналитическая бегущая константа связи КХД и принцип минимальности непертурбативных вкладов в ультрафиолетовой области. ЯФ 61 (1998) с. 314-324.

292. Webber B.R. QCD power corrections from a simple model for the running coupling, Preprint Cavendish-HEP-98/08, e-Print Archive: hep-ph/9805484.

293. Киржниц Д.А., Файнберг В.Я., Фрадкин Е.С. О структуре функции Грина фотона. ЖЭТФ 38 (1960) с. 239-242.

294. Broadhurst D.J., Generalis S.C. Pseudoscalar QCD sum rules. Open University preprint: OUT-4102-8/R, Milton Keynes, England, 1982, 34 p.