Квантовая механика связанных состояний в осциллярном представлении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ríp t.. - K.i'j'

" О С M .ti

(радение et- " f[„ " г., Ne«

г.р?гсу'ди\ученстепей.! ¿^OK'.í

ш

■'.г управления B¿

и*/-* is

ССШТ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ В ОСЦИЛЛЯТОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи УДК 530.145.6+ 539.128.2 .

М. ДИНБИХАН

Дубна 1998

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 5

Глава 1 Осцилляторное представление 14

1.1 Основная идея осцилляторного представления............14

1.2 Осцилляторное представление в ........................18

1.2.1 Осциллятор в К1......................................18

1.2.2 Представление гамильтониана в нормальной

форме ................................................20

1.2.3 Условия осцилляторного представления.....21

1.2.4 Поправки к спектру и волновой функции.....24

1.2.5 Общий случай........................................26

1.3 Сферически симметричные потенциалы..................28

1.3.1 Радиальное уравнение Шредингера........28

1.3.2 Большие расстояния................................29

1.3.3 Малые расстояния ..................................31

1.3.4 Формулировка задачи................................32

1.3.5 Энергия основного состояния в нулевом

и втором приближении ..............................34

1.3.6 Радиальные возбуждения..............35

1.3.7 Оценка сверху на энергию основного состояния . 36

1.3.8 Параметр И и осцилляторный базис.......37

1.4 Аксиально симметричные потенциалы....................41

1.4.1 Формулировка задачи................................42

1.4.2 Представление гамильтониана в правильной

форме.........................45

1.5 Основные соотношения в осцилляторном представлении................................................50

1.5.1 Тождество для операторов а^ ж а^..................51

1.5.2 Определение нормировочных коэффициентов для волновых функций....................................52

1.5.3 Вычисление поправок к энергетическому спектру 53

1.5.4 Краткие выводы.......................56

Глава 2 Двухтельные квантовые системы 57

2.1 Различные режимы взаимодействия в осцилляторном представлении..............................57

2.1.1 Ангармонический потенциал........................59

2.1.2 Потенциал воронки................. 67

1 В

2.1.3 Потенциалы---(- —- • е~сг.............69

г 2 г

2.2 Квантовомеханические потенциалы........................74

2.2.1 Степенные потенциалы..............................74

2.2.2 Логарифмический потенциал........................78

2.2.3 Молекулярный потенциал..........................79

2.2.4 Нерелятивистский кварковой потенциал.....83

2.2.5 Точность ОП ........................................85

2.2.6 Краткие выводы......................................85

Глава 3 Атом водорода 87

3.1 Атом водорода без внешних полей.............87

3.1.1 Формула Бальмера.................88

3.1.2 Радиальная часть собственной функции дискретного спектра..................................91

3.1.3 Определение среднего значения величины га . . . 92

3.1.4 Вычисление матричных элементов дипольного перехода ..............................................93

3.1.5 Экранированный кулоновский потенциал.....95

3.1.6 Критическая длина экранировки....................98

3.2 Эффект Штарка..............................................99

3.2.1 Проблемы суммирования рядов теории возмущений............................................99

3.2.2 Атом водорода в слабом электрическом поле . . . 101

3.2.3 Атом водорода в сильном электрическим поле . . 105

3.2.4 Определение критического поля..........111

3.2.5 Определение ширин уровней............115

3.2.6 Представление интенсивностей в параболических координатах .....................118

3.2.7 Обсуждение......................119

3.3 Атом водорода во внешнем магнитном поле........120

3.3.1 Введение.......................120

3.3.2 Эффект Зеемана...................121

3.3.3 Квадратичный эффект Зеемана..........124

3.3.4 Атом водорода в сильном магнитном поле . . . .126 3.4 Атом водорода в поле потенциала Ван дер Ваальса . . . 131

3.4.1 Краткие выводы...................134

Глава 4 Кулоновские системы трех тел 137

4.1 Введение...........................137

4.2 Гамильтониан трех тел для состояния с полным

угловым моментом J.....................139

4.2.1 Гамильтониан в осцилляторном представлении . 147

4.3 Энергия связи трехтельной кулоновской системы . . . .153

4.3.1 Энергия связи трехтельной кулоновской системы с J=0....................153

4.3.2 Энергия связи трехтельной кулоновской системы с J=1....................155

4.3.3 Точность нулевого приближения..........158

4.4 Граница стабильности...................159

4.4.1 Граница стабильности кулоновской трехтельной системы в основном состоянии........... 161

4.4.2 Граница стабильности для J — 1.........164

4.5 Мезомолекулы легких ядер в осцилляторном представлении........................164

4.5.1 Энергия связи мезомолекулы легких ядер.....166

4.5.2 Стабильность мезомолекул легких ядер......167

4.5.3 Краткие выводы...................170

Глава 5 Квантовая точка 171

5.1 Низкоразмерные, малочастичные системы ........171

5.2 Гамильтониан квантовой точки...............172

5.3 Двухэлектронная квантовая точка.............174

5.4 Определение энергетического спектра двух-

электронной КТ.......................177

5.4.1 Вычисление Er ...................178

5.4.2 Вычисление er....................179

5.4.3 Двумерная квантовая точка..... ........180

5.4.4 Энергетические переходы в КТ ..........185

5.4.5 Трехмерная квантовая точка..... .......188

5.4.6 Краткие выводы....... ............193

Заключение 195

Литература 198

Введение

Одной из основных проблем нерелятивистской квантовой механики является задача вычисления собственных значений и собственных функций заданного гамильтониана, т.е. основной математической задачей нерелятивистской квантовой механики является решение уравнения Шредингера (УШ) для достаточно произвольных потенциалов. Однако точные решения УШ известны только для очень узкого класса потенциалов [1]-[4], таких как потенциал гармонического оцсиллятора, кулоновский потенциал и некоторые другие. Аналитические решения УШ для большинства интересных с физической точки зрения потенциалов не известны. Поэтому при исследовании реальных физических систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций заданного гамильтониана.

С развитием электронных вычислительных машин большое значение приобрели численные методы решения задач квантовой механики, и в этом направлении достигнуты большие успехи. Однако, важное место на практике по-прежнему отводится аналитическим методам, поскольку они позволяют исследовать качественные закономерности, присущие данной системе, и являются базой для создания алгоритмов численных расчетов.

Аналитические методы реализуются в виде различного рода разложений по теории возмущений, в которых проблема сводится к представлению полного гамильтониана системы в форме Н — Н^ + Н^ причем предполагается, что уравнение в нулевом приближении = Е^°)ф(°) решается точно и поправки к нулевому приближению Е^ и могут быть вычислены. Физическая и математическая идея поиска приближенного метода состоит в том, чтобы найти такое представле-

ние гамильтониана, что в аналитическом решении нулевого приближения ухвачены основные динамические свойства данной системы, а поправки, связанные с гамильтонианом взаимодействия малы.

Вкратце остановимся на основных аналитических методах, применяемых в случае связанных состояний, уделяя особое внимание их недостаткам, подразумевая достоинства хорошо известными .

1) Теория возмущений Рэлея-Шредингера. Этот подход является одним из наиболее известных и широко применяется [1]-[4]. В этом подходе разложение теории возмущений проводится по константе связи или по отклонению от точно решаемого случая. Особенность этого подхода состоит в использовании всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов, что вынуждает выбирать в качестве нулевого приближения точно решаемые задачи. Получаемые ряды в большинстве случаев расходятся и для применения методов суммирования [5, б] необходимо вычислять поправки высоких порядков, что в данном подходе является весьма трудоемким процессом.

2) Модифицированная теория возмущений [7, 8]. Наиболее популярным представителем этого подхода является логарифмическая теория возмущений (ТВ) [9], [10]. В отличие от теории Рэлея-Шредингера, она использует решение невозмущенной задачи только для рассматриваемого состояния. Кроме того, замена волновой функции ее логарифмической производной, как преобразование Беклунда в теории нелинейных волновых уравнений [11], приводит к уравнению Риккати [12, 13, 14], для решения которого можно построить рекуррентные соотношения. Однако данный формализм, допуская простые рекуррентные формулы для основного состояния, становится очень громоздким и мало пригодным для вычисления поправок высокого порядка даже в случае первых возбужденных уровней.

3) Квазиклассическое приближение (метод В КБ) [15, 16, 17]. Следует отметить, что в практике часто встречаются задачи, в которых разбиение потенциала взаимодействия на точно решаемую часть и возмущение либо нежелательно, либо вообще невозможно. Поэтому большой интерес представляют так называемые непертурбативные методы, использующие в качестве параметра разложения величины, не входящие явно в потенциал. Первым, по сути, непертурбативным методом

явилось квазиклассическое разложение по постоянной Планка, получившее название метода Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна (ВКБ-приближения) [15, 16, 17]. В общем случае применимость этого приближения оправдана только для высоко возбужденных состояний, соответствующих большим значениям радиального квантового числа пг, при которых волновые функции становятся быстро осциллирующими. Исследование в рамках этого подхода низколежащих уровней требует учета поправок высокого порядка по Н и сопряжено с большими трудностями.

4) 1 /Ы-разложения. При изучении спектроскопии связанных состояний в последнее время был предложен и интенсивно развивался метод разложения [18]—[25]. Будучи непертурбативным, так как разложение проводится по обратным степеням размерности пространства ТУ, этот метод относится также и к полуклассическим, в том смысле, что в качестве нулевого приближения при разложении энергии выбирается ее значение, соответствующее минимуму классического гамильтониана [26]. Тогда последующие члены разложения учитывают квантовые флюктуации возле этого положения равновесия [25].

С точки зрения техники вычислений, данный метод является логарифмической теорией возмущений по малому параметру с присущими ей недостатками. Кроме того, хотя полуклассическа природа такого подхода [18, 26] и его дополнительность ВКБ-приближению [18]-[26] вполне очевидны, его явная полуклассическая трактовка в виде К - разложения до сих пор не была дана, и связь с методом ВКБ не исследована.

5) Вариационный принцип и различные его модификации [1]-[4]. Вариационной подход - единственный инструмент при решении сколько-нибудь сложных многомерных задач, в частности задач атомной физики. Основным его недостатком является отсутствие оценки точности получающихся результатов. Всевозможные оценки снизу вариационных расчетов, типа оценки Темпля [27], обычно очень грубы. Уточнение их - сложная задача. Кроме того, отсутствуют достаточно строгие критерии выбора пробных функций, которые бы максимально быстро приводили к требуемым точностям. Более того, трудности могут возникать при построении пробных функций возбужденных состояний (про-

блема ортогональности).

На этом завершим краткий обзор стандартных и общеизвестных подходов к решению стационарного УШ. Естественно, существует большое количество разнообразных модификаций этих подходов, как обладающих достаточной общностью, так и приспособленных для решения конкретных задач, о которых мы не упомянули.

Таким образом, можно утверждать, что построение удобной процедуры нахождения решений квантово-механических уравнений для связанных состояний по-прежнему остается насущной задачей. Особенно актуальной является разработка непертурбативных методов, позволяющих оценивать точность вычисления и содержащих эффективный алгоритм расчета поправок как для основных, так и для возбужденных состояний. Построению такого рода метода и его применению к различным задачам и посвящена настоящая работа.

В данной диссертации основное внимание будет уделено изложению техники решения квантомехаических задач на собственные значения в методе осцилляторного представления. Метод, названный осцилля-торным представлением (ОП) [28, 29], основан на идеях и методах квантовой теории скалярного поля и состоит в следующем:

Во-первых, в уравнении Шредингера для радиальной части волновой функции производится замена переменных таким образом, чтобы получить для преобразованной волновой функции асимптотическое поведение на больших и малых расстояниях, соответствующее асимптотическому поведению осцилляторного базиса.

Во-вторых, преобразованное радиальное уравнение Шредингера отождествляется с уравнением для основного состояния в некотором вспомогательном пространстве, размерность которого определяется видом потенциала и является параметром преобразования.

В-третьих, гамильтониан системы во вспомогательном пространстве записывается в "правильной форме", т.е. таким образом, что в представлении операторов рождения а+ и уничтожения а осцилляторного базиса свободный гамильтониан имеет стандартную форму Но = и)а+а, а гамильтониан взаимодействия, записанный в нормальной форме по а и а+, не содержит линейных и квадратичных членов по этим операторам. Из этого условия определяется частота осциллятора.

Диссертация состоит из введения, пяти основных глав и заключения. В начале каждой главы кратко сформулировано существо проблемы, а в конце - приведены основные результаты.

В первой главе изложен метод ОП. Во ведении сформулирована основная идея метода. Следующие пункты в основном посвящены реализации этой идеи в квантовой механике. Изложены детали представления различных потенциалов в нормальной форме по оператором рождения а+ и уничтожения а в (¿-мерном вспомогательном пространстве. Получено основное уравнение для частоты ¿-мерного осциллятора. В ОП гамильтониан взаимодействия рассматривается как возмущение. Получены формулы для волновых функций и поправок к спектру, связанных с гамильтонианом взаимодействия. В ОП орбитальное или азимутальное квантовые число включены в размерность вспомогательного пространства, и поэтому во вспомогательном пространстве рассматривается только основное состояние. Радиальные возбуждения определяются как высшие осцилляторные состояния. На примере радиального УШ для сферически симметричного потенциала продемонстрирован переход к «¿-мерному пространству. Многие квантово-механические системы (атомы во внешнем поле, деформированные ядра и металлические кластеры, и т.д.) описываются УШ с аксиально симметричным потенциалом [1]-[4]. Техника вычисления УШ с аксиально симметричным потенциалом в ОП также приведена. В конце первой главы изложены детали вычисления энергетических спектров для основного и возбужденного состояний, а также учета поправок связанным с гамильтонианом взаимодействия.

Вторая глава посвящена построению самосогласованной эффективной непертурбативной теории ангармонического осциллятора. Если потенциал системы состоит из нескольких слагаемых и относительная интенсивность каждого определяется внешними параметрами, то асимптотическое поведение пробной волновой функции может быть представлено через параметр, который зависит от внешних параметров потенциала. Таким образом в ОП вводится новый вариационной параметр, обеспечивающий переход от одного режима взаимодействия к другому. В рамках ОП определены энергетические уровни одномерного ангармонического осциллятора для произвольных значений пара-

метра ангармоничности. Рассмотрен также трехмерный ангармонический осциллятор. Вычислены уровни энергии потенциалов: кулон плюс воронка и кулон плюс юкава. Во второй главе также рассмотрены традиционные потенциалы: степенные, логарифмический потенциал, молекулярный потенциал и потенциал кваркони.

В третьей главе исследуется атом водорода. Прежде всего рассмотрен кулоновский потенциал, получена формула Бальмера и вычислены средние значения любых степеней радиуса. Вычислен матричный элемент дипольного перехода. Рассмотрен экранированный кулоновский потенциал и определена критическая длина экранировки. Для атома водорода во внешнем электрическом поле аналитически получены уровни энергии основного и возбужденного состояний. Вычислены уровни энергии при пороговом значении внешнего электрического поля. Определены ширины уровней для основных и возбужденных состояний. ОП описывает универсальным образом ширины и спектр атома водорода во внешнем электрическом поле как в случае слабых, так и сильных внешних полей. Одной из старых проблем квантовой механики является эффект Зеемана. Энергетический спектр в основном определяется численным образом, даже для слабых полей аналитический расчёт громоздок. В настоящей работе для квадратичного эффекта Зеемана аналитически определены энергетические поправки и сдвиг для разных энергетических уровней. Вычислен спектр основного и возбужденных состояний при любом значении напряженност�