Квантование гамильтоновых теорий на основе оператора вероятности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ



[ЕНЛ ДРУТЗЦ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукопиои

8АДИЕВ Реяат Фаридович

УДК 530.145

квшшмие ГАШльтаюеьк теория на основе

ОПЕРАТОРА ВЕРОЯТНОСТИ (01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат

диссертации на ооискание ученой степени кандидата фиэико-ыатэматичеокнх наук

Москва - 1993

Работа выполнена в& кафедр« теоретической физики

Российского Университета дружбы народов

Научный руководитёдь кандидат фкзина-иатематнчеакюс наук, доцент D.H. Запарованный

Официальные оппоненты!

доктор физико-математических наук, профеооор В. U. Дубовик

кандидат физико-математических наук, доцент Грачев Д.Д.

Ведущая организация - Научно-исследовательский институт ядерной физики Московского Государственного Университета им. М.И. Ломоносова.

Saoptra^ диосертацни состоится » til" ШС1о? 1993 г. в 14 чао. СЮ мин, на заседании специализированного совета К 053.22.0Í в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, з, вал N1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, в.

Автореферат разослан iLiaói, 1993 г.

Ученый секретарь специализированного оовера кандидат фивико-математических наук,

доцент Ю.И. Запарованнь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА.РАБОТЫ

. . Актуальность теьм.

Несмотря на то, что общепринятая квантовая механика (ОКМ) /1,4/ в своей современной форме представляет собой достаточно полно разработанную теорию микромира, результаты которой подтверждается экспериментом, дискуссии по некоторым ее аспектам, возникшие ецэ на ааре ее существования, продолжаются до о их пор. Среди проблем общепринятой квантовой механики, вызывающих наиболее жаркие споры, на первом месте, несомненно/стоит проблема неполноты квантовой механики. Эта проблема органически включает в себя проблему квантовой функции распределения (КФР) и проблему единого, общепринятого правила построения операторов (правила соответствия).

В связи о этим, В.В.Курышкиным в 1969 году было предложено новое правило соответствия /$/, положившее начало развитию альтернативного варианта квантовой механики, названного впооледо-твни "квантовой механикой с неотрицательной KSP" /2/.

Справедливость данной теории, снимающей многие проблемы ОКИ вое еще остается под вопросом. Поэтому актуальной является аяляиа я я*ь нечего lasaa-oson механики, основанной на

операторе вероятности - квантовой механики о неотрицательной КФР. -.;'■■

Содержание диссертации составляет теоретическое исследование, призванное приблизить окончательное решение вопроса о справедливости вышеупомянутой теории.

Цедьр работы является: .

1. Детальное изучение класса Не-Неймановоких правил соответствия и их следствий.

2. Исследование свойств оператора вероятности и возможных методов его построения.

3. Изучение роли оператора вероятности в процедурах квантования, приводящих к квантовым теориям о неотрицательными КФР.

4. Дальнейшее исследование квантовой механики, базирующейся на операторе вероятности. В частности, конкретизация вспомогательных функций, используемых в этой теории для того, чтобы

1

пролита свет на их физический смысл и приблизиться к решения вопроса о справедливости данной теории.

Научная новизна и практическая значимость.

В диссертации рассмотрена теория момента в квантовой механике с неотрицательной КФР. Оказалось, что в этой теории спив содержится изначально и его появление связано с математической процедурой разделения оператора момента импульса аа две части, таким образом, что одну из них, не зависящую от пространственных переменных, можно отождествить со спином.

Конкретизирован явный вид вспомогательных функций, используемых в данной теории. В частности, получен явный вид этих функции для систем спина 1/2 и 1. Предложен алгоритм численного решения задачи водородоподобного атома. Сравнение теоретических * результатов с данными эксперимента, видимо, окончательно решит вопрос о справедливости квантовой механики с неотрицательной КФР.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, перечень которых приведен в конце автореферата.

Апробации.

Результаты диссертации докладывались на:

- Научных семинарах кафедры теоретической физики РУДН (Москва, 1987-1992ГГ.)

- Научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук РУДН (Москва, 1989-1992ГГ.)

- Научном семинаре НИК® МГУ (Москва, 1993г.)

- Конференциях молодых ученых и специалистов РУДН (Москва, 1990-1991ГГ.)

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации -108 страниц мадиногшс-ного текста. Список литературы включает в себя 112 наименований.

г

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

. Во введении обосновывается актуальность-теш, формулируется цель работы и дается схема изложения результатов диссертации.

В первой главе содержится обзор литературы, связанной о проблемой правила соответствия и квантовой функции распределения в квантовой механике.

В S1 содержится краткий обзор наиболее известных линейных правил соответствия, исследуются их преимущества и недостатки, а также.попытки устранения этих недостатков.

В 52 рассматривается правило построения операторов Неймана, используемое в общепринятой квантовой механике (ОКМ) /1,4/. Подробно исследуются основные физические следствия этого правила соответствия. ,

В S3 исследуется класо He-Неймановских правил соответствия /9/, а также их основные следствия в квантовой механике. Конкретным примерам Не-Неймановского правила построения операторов является правило соответствия Курыокина /б/.

В 54 рассматривается состояния максимальной определенности средних вначений физических величин, существующие в теории о Не-Неймановским правилом соответствия. Такие состояния в теории о Неймановским правилом построения операторов не имеет места.

В S5 исследуется соотношение неопределенностей в теории с Не-Неймановским правилом соответствия. Обобщается понятие неопределенности в квантовой механике и исследуется появление в тег ории о Не-Неймановским правйоы соответствия "субквантовой неопределенности" одной, отдельно взятой физической величины.

В Е8 обсуждается работы, в которых исследуется взаимосвязь проблемы правила соответствия с проблемой КФР в квантовой механике. В частности, тот факт, что КФР во множестве произвольных функции фазового пространства не существует если их операторы строятся по правилу Неймана, т.е. в ОКМ ввести КФР невозможно /0-8/.

В 87 перечисляются краткие выводы первой главы.

3

Во второй главе рассматривается процедура квантования на основе оператора вероятности. В частности, условия для введения в квантовую теорию оператора вероятности Р^.рД) > О, параметрически зависящего от координат, импульсов и времени и позволяющего строить все необходимые операторы квантовой механики единым образом. Кроме того, рассматриваются свойства ядра оператора вероятности относительно пространственных сдвигов, что приводит к квантовой теории, названной при опубликовании "квантовой механикой с неотрицательной КФР" /2/.

В 51 изложены условия для введения в квантовую механику оператора вероятности.

Линейности правила соответствия достаточно для введения в квантовую механику оператора квазивероятности

где 5(х) - N-мерная ¿-функция Дирака, t.H п - параметры размерности координаты q и импульса р соответственно.

Для построения оператора 0(A) любой физической величины А необходимо усреднить классическую функцию A(q,p,t) по единому базовому оператору FU.n.t):

Л" f

F(M.t).«- 0 i{q4) 8(р-П)

dof

CI)

удовлетворяющему условиям

(3)

и

F(q,P,t) « F+(q,p,t).

(4)

С учетом среднего значения оператора квазивероятности der д F(q,P,t) — <V\ F(q,p,t) |*>

<*l F(q,p,t) |F>

(5)

для средних значений наблюдаемых имеем:

(6)

4

Если для неотрицательных физических величин Л в (2) определять квантовые операторы, то они должны быть положительно-определенными. Это означает в силу произвольности физической величины А положительную определенность оператора г, который в этом случае называется операторам вероятности. Среднее значение оператора вероятности (5) при атом называется неотрицательной квантовой функцией распределения.

В 82 изучаются возможности сужения класса операторов вероятности (1). Запишем квантовую функцию распределения, определенную в (5), в следующем интегральном представлении

РСа.рД) « | *(*'Л) (?)

где Ф(д,р,4>4*Д) - интегральное ядро, обладающее свойствами положительной определенности и эрмитовостн.

Требование инвариантности ядра Ф(с],р,4,4'Д) относительно трансляций привело к следующему представлению квантовой функции распределения

■ *(<!-*.Р-ч) ехр

* (8)

где »(ч,р) - функция фазового пространства, удовлетворяющая нормировке на единицу н определенная на наборе функций Пс*.

•<д.р) - (21Л)"1/г ехр(-1<в>/Ь) Е Ыч) *Лр), (9)

к

где л(Р) - Фурье-образ функции <рк(ч).

Функция распределения (8) полностью совпадает о введенной ранее функцией распределения в квантовой механике о неотрицательной КФР /2/.

В 83 наложены основные результаты и перспективы квантовой механики о неотрицательной К№, базирующейся на правиле соответствия Куршкина

ОСА) = | АСо+е., рп) с!у1п, р » -Ш(3/ЭЧ) (ю)

5

и являщейся примером возможной реализации Не-Неймановского правила соответствия.

Одной из важнейших задач данной теории является конкретизация используемых в правиле (10) вспомогательных функций »(Ч,р) (0) (единственными ограничениями на них являются нормировка и квадратичная интегрируемость).

В $4 подводятся краткие итоги второй главы диссертации.

В третьей главе доказывается, что квантовая механика с неотрицательной КФР по своей сути является теорией марковской.

В 51 вводится характеристическая функция М для функции распределения Г(ч,рД) (8):

М(и,уД)

Р(ч.рД) ехр 1(ич+ур) dqdp, (11) '*

определяются переходные вероятности , для характеристической функции (11) и КФР (8) " V

М(и,уД) * | ии,уД;0,тД*) М(в,тД') (12)

Р(д,рД) » | М(д,рД;д',р',1') Г(д',рМ') ад-ар', (13)

Доказывается, что переходные вероятности I и N удовлетворяют условиям марковости: >.■.-.•'.

Ци,уД;и',у'Д') = |ци,уД;и>"Д) Ци>'Д";и'УД) ¿и"^ (14)

Жч.рД^'.р'Д') 8 | ЖЧ.РЛ^'р'Д) М(д*,рД*;ч',рД) ач'йр* (15) к

Ь(и,уД;и'.у'Д) « б(и-и') 5(у-у'), (16)

ЖЧ,РД;СГ.Р'Л) = 5(ч-ч') 8(Р-Р').

(17) 6

В §2 получено уравнение для квантовой функции распределения.

В §3 рассматривается теорема вириала для гармонического осциллятора. Показано, что в этом случае вспомогательные функции могут быть ввяты в виде функций состояния для гармонического осциллятора.

В 54 рассматривается теорема вириала для атома водорода. При этом вспомогательные функции удовлетворяют наложенным на

них ранее требованиям однородности и изотропности /3/ -»' —

¥(r,t) - f(|rj). (18)

Показано, что теорема вириала для атома водорода приводит к противоречию.

В §5 исследуется принцип динамического соответствия. Вновь используется требование (18) и снова получается противоречив, наталкнувшее на мысль, что корень противоречий, полученных в атом и предыдущем параграфах заключается, по-видимому, в требовании (18) на вспомогательные функции.

В §6 изложены краткие выводы третьей главы диссертации.

В четвертой главе рассматривается теория момента в квантовой механике базирующейся на операторе вероятности.

В 51, после отказа от требования (18), построен оператор момента импульса 0(L) по правилу (10):

0(L) • L + S, S - J ?(г,р) drd?, (19)

А

где L * -ih [r*V].

Выражение для S (19) несложно переписать о учетом (9) и обозначая яс « Вк в виде

? - Е | B*k(r) L Bic(r) dr. (20)

Таким образом, отказ от требования (18) привел к разделению оператора момента 0(L) на две части (19). Одна из них не ■зависит от пространственных,переменных и является средним значением оператора оператора L по вспомогательным функциям <?r=Bk

(9), что позволяет в принципе трактовать S как некоторый внут-

.

рекнкй момент. Последний естественно связать со спином.

Величина ? в атом случае должна быть связана с матрицами Паули. Был получен явный вид вспомогательных функций для систем спина 1/2

В*

соэв ехр(1«/2), 51пв ехр(-1»/2)

Кк(г).

з1п8 ехр(1»/2), -созв ехр(-1»/2) и систем спина 1

(21)

В'к-

1+з1п(20) соз(28) 1-з1п(28) -ехр(1»),---, -ехр(-1»)

2

П

соз(2в) соз(28) - ехр(1»), 51п(28), -вхр(-1*)

1-51п(28) соз(20) 1+з1п(20)

--ехр(1»), -—, -ехр(-1*)

/2

2

Кц(г),

(22)

где Кк(г) - произвольная, нормированная на единицу функция.

В 52 решены задачи на собственные функции и собственные значения операторов О2^) и 0(Ь2).

В 53 рассматривается теорема вирнала для атома водорода о учетом спина. Подученное из нее интегро-дифференциальное уравнение не содержит противоречий в отличие от доказательства этой же теоремы без учета спина (64 третьей главы). Но выбор вспомогательных функций далеко не очевиден. Простейшие оценки позволят высказать предположение, что соответствующий выбор вспомогательных функций приведет к удовлетворению полученного уравнения.

В 54 иоследуется задача атома водорода в квантовой механике о неотрицательной КФР. Задача решается методом теории возму-цений. В силу математических трудностей аналитическое решение не представляется возможным, поэтому предложено численное иоо-

6

ледование водсродоподовного атома.

В 55 изложены краткие выводы четвертой главы.

В Заключении перечисляются основные результаты, полученные в диссертации.

Основные' результаты диссертации можно сформулировать в следующих пунктах:

1. Требование инвариантности интегрального ядра Ф квантовой функции распределения Г^.рД) относительно трансляций выделяет из класса операторов вероятности тот, который приводит к "квантовой механике с неотрицательной КФР".

2. Выполнение условий марковости (14-17) для КФР и ее характеристической функции указывает на то, что квантовая механика с неотрицательной КФР является по своей сути теорией марковской. 1

3. Теорема вириала для гармонического осциллятора выполняется в квантовой механике с неотрицательной КФР. При этом вспомогательные функции, используемые в теории, могут быть взяты в виде функций состояния для гармонического осциллятора. Теорема вириала для атома водорода как и динамический принцип при выборе гспс-огатсльных функций з«ис<™иии только от модуля координаты (18) приводят к явным противоречиям.

4. Отказ от требования (18) приводит в силу определения правила соответствия (10) к разделению оператора момента 0(Г) на две части (19). Одна из них - ¡5 - не зависит от пространственных переменных и является средним значением оператора t по вспомогательным функциям (9), задающим "субквантовую ситуацию", что в принципе позволяет трактовать Б как некоторый внутренний момент, который естественно связать со спином. При решении задачи атома водорода в электромагнитном поле, в этом случае, вместо уравнения Шредингера мы получаем уравнение Паули.

5. Теорема вириала для атома водорода о учетом спина электрона приводит к интегро-дифференциальному уравнению. Определенным выбором вспомогательных функций решение последнего представляется возможным.

6. Аналитическое решение задачи атома водорода в квантовой механике с неотрицательной КФР (даже без учета спина) не представляется возможным в силу математических трудностей. Поэтому

9

предлагается численное исследование, выявившее следующие отличия от результатов аналогичной задачи общепринятой квантовой механики:

А. потенциальная энергия в нуле оказывается ограниченной;

Б. частично снимается вырождение энергетического спектра.

Очевидно, что теорема вириала для атома водорода о учетом спина и задача атома водорода тесно связаны. Совместное.решение этих двух задач и сравнение результата о данными эксперимента, видимо, окончательно решит вопрос о выборе вспомогательных функций <Рк, используемых в данной теории и, соответственно, вопрос о справедливости квантовой механики о неотрицательной КФР.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Валиев Р.®., Запарованный Ю.И., Лябио И.А. Об ооновных проблемах квантовой механики с неотрицательной КФР //Актуальные вопросы теоретической физики. - М.: УДН, 1991. С.5Э-61.

2. Валиев Р.ф., Запарованный Б.И. Квантовая механика о неотрицательной квантовой функцией распределения как теория мар-. ковского процесса / УДН. - М., 1988. - 10 о. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.88, N 3339-В88.

3. Валиев Р.ф., Запарованный Б.И. О выборе ядра оператора вероятности // Тезисы докладов XXVIII научной конференции фаг культета физико-математических и естественных наук. - М. : УДН,

• 1992.' - С. 46.

4. Валиев Р.Ф. Теорема вириала в квантовой механике о неотрицательной квантовой функцией распределения // Тезисы докладов XXIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук. - М.: УДН, 1990. - с.34.

б. Валиев Р.Ф. Спин и квантовая механика о неотрицательной квантовой функцией распределения // Материалы XIII конференции молодых ученых Университета дружбы народов. - М., 1991, 0.8-11. - Деп. в ВИНИТИ 27.02.91, N 748-В91.

в. Валиев Р.Ф., Запарованный Ю.И. О выборе вспомогательных функций в задаче атома водорода в квантовой механике о неотрицательной КФР // Тезисы докладов ШТ1 научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.- М.: УДН, 1991,-0.16.

ю

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Нейман И. Фон. Математические основы квантовой механики.

- М.: Наука, 1969. - 388 о.

2. Kuryshkln V.Y. La Mechanique Quantique aveo une Function Hon-Negative de Distribution dans L'espaoe de Phase // Ann. Jnst. H.Poincare. - 1972. - V.17. - P.S1-96.

3. Запароваиный Ю.И., Курышкин B.B., Лябио И.А. К теории момента в квантовой механике о неотрицательной КФР // Современные задачи в точных науках. -: УДН, 1975. - 0.94-98.

4. Елохинцев Д. И. Основы квантовой механики. - М.: Наука, 1983 . - 664 С.

Б. Курышюш В.В. Правило соответствия н неопределенность значений физических величин в квантовой механике // Сб. научных трудов аспирантов. Вып.VI. - М., УДН. - 1969. - 6. 197 -203. - :

6. Cohen L. Can Quantum Mechanics be Formulated as a Classical Probability Theory?7/ Phil. Sol. - 196Q. - V.33. - P. 317322.

7. Winner E.P. Quantum Mechanical Distribution Functions Revisited V/ Perswctives in Quantum Theory. - Cambridge, Massachusetts: M.I.T. Press, 1971. - P. 25-35.

8. Курьшкин В. В. О положительно определенных квантовых функциях распределения // Теоретическая физика. - Ы.: УДН, 1974.

- С. 78-85.

9. Kuryshkin V.V., Lyabls I.А., Zaparovanny Yu.I.// Ann. Fond. L de Broelie. - 1978. - V.3. - P.45.

&.Q5.9C ._ООъец Irr, л. ■ Tip. IOO_Sag. 2SI

Тжиг. Орданшодза, 3 • .