Геометрическое квантование в рамках алгебраической лагранжевой геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение стр.

Глава 1. Геометрическое квантование в геометрической формулировке квантовой механики

1.1. Гильбертово пространство как келерово многообразие стр.

1.2. Настоящее квантовое фазовое пространство стр.

1.3. Риманова геометрия и процесс измерения стр.

1.4. Постулаты квантовой механики стр.

1.5. Квантование Сурьо - Костанта стр.

1.6. Комплексная и вещественная поляризации стр.

Глава 2. Принцип соответствия в алгебраической лагранжевой геометрии

2.1. Условие Бора - Зоммерфельда стр.

2.2. Конструкция удвоения. Келерова структура стр.

2.3. Индуцированные функции на многообразии модулей стр.

Глава 3. Динамическое соответствие в алгебраической лагранжевой геометрии

3.1. Квазисимволы над келеровыми многообразиями стр.

3.2. Динамическое соответствие стр.

3.3. Доказательство Предложения 3.5 стр.

3.4. Критические точки F) стр.

Глава 4. АЛГ(а) - квантование

4.1. Геометрия квантования стр.

4.2. Вещественная поляризация стр.

4.3. Комплексная поляризация стр.

Глава 5. Пространства эрмитовых троек и уравнения Зайберга - Вит-тена

5.1. Эрмитовы тройки и уравнения Зайберга - Виттена стр.

5.2. Простейшие свойства канонического отображения т стр.

5.3. Структура пространства эрмитовых троек стр.

5.4. Необходимое условие на базисные классы стр.

Основная тема настоящей диссертационной работы — квантование классических механических систем в терминах алгебраической геометрии. Таким образом, в пашей работе оказываются связанными вопросы физики и математики. Напомним коротко основные проблемы и методы, которые породили наш подход к квантованию.

Квантование — это необычайно важный и популярный предмет в теоретической физике. Необходимость появления и развития этого предмета была продиктовапа создателями квантовой теории. Согласно копепгагенской программе, физические представления о квантовой теории должны иметь формулировку в терминах классических концепций. То есть в дополнение к традиционной структуре (гильбертово пространство, унитарные преобразования, самосопряженные операторы) топкая квантовая теория должна допускать переход к классическому пределу, при котором квантовые наблюдаемые связываются с классическими наблюдаемыми. Однако, как подчеркивал Дирак па заре квантовой теории, такое соответствие между квантовой теорией и классической теорией должно проистекать в большей степени не из численных совпадений при переходе к пределу h —> оо, а из аналогии между их математическими структурами: первичность классической теории не в приближении квантовой теории, а в создании рамок для ее интерпретации. Исходя из этой концепции, мы можем трактовать квантование в широком смысле как некоторое соответствие между классическими теориями и квантовыми теориями. При этом квантование классических механических систем представляется переходом в одну сторону, а процесс сведения квантовой системы к классической в смысле Дирака дает обратное отображение. Более красиво и емко это можно выразить так: многообразие модулей квантовых теорий является п - листным накрытием многообразия модулей классических теорий (предпологают что тг = 2), и квантование — это структура накрытия.

Непосредственно предмет квантования необычайно популярен. Имеется целый спектр различных подходов к задаче квантования. Однако, один из этих методов признается в теоретической физике первым и называется каноническим квантованием. В простых случаях, которые встречаются в элементарной квантовой механике, требуемое соответствие основывается на выбранных и фиксированных канонических координатах: классическое наблюдаемое, пред

Typeset by ставленное некоторой функцией f(paiQb) в канонических координатах, ассоциируется с квантовым наблюдаемым, представленным оператором Л dqa

Каноническое квантование гармонического осциллятора является в теоретическое физике некоторым эталоном: любой альтернативный подход предлагают проверить в применении к данной классической задаче, и если ответ не сходится с каноническим, то такой подход забраковывается. Однако, такая формальная подстановка, когда вместо координат ра в выражение для функции подставляют дифференциальный оператор, порождает множество проблем. Действительно, кроме простейших случаев, при этом переходе квантовое наблюдаемое зависит от порядка р и q в классическом выражении для /, и само квантование существенно зависит от первоначального выбора координат и не является инвариантным относительно общих канонических преобразований, к тому же область определения получаемого оператора остается неопределенной этим формальным выражением. Тем не менее, дополненное физической интуицией, каноническое квантование и его различные обобщения оказались необычайно плодотворными методами, развитием которых по сути и занимается в паши дни теоретическая физика.

Одним из путей развития является геометрическое квантование. Геометрическое квантование — предмет настоящей работы — как термин может восприниматься двояко. Конечно же, под геометрическим квантованием можпо подразумевать и абсолютно конкретную конструкцию (см. [12], [20], [34] и пр.), называемую еще квантованием Сурьо - Костанта, и общий подход к проблеме квантования классических механических систем, использующий геометрию. Проблема квантования в наши дни решается различными способами: алгебраические подходы включают в себя деформационное квантование, формальную геометрию, некоммутативную геометрию, квантовые группы и т.д.; аналитические методы используются в теориях интегральных операторов Фурье, теплицевых структурах и плотностных распределениях. Однако все эти методы сходятся в одном — используя их, мы совершенно забываем исходную систему, возврат к которой становится невозможным. Геометрическое квантование коренным образом отличается от упомянутых методов тем, что оригинальное симплек-тическое многообразие, отвечающее исходной классической системе, остается "в игре" — включается в определение вспомогательных геометрических объектов, используемых для построения соответствующей квантовой механики. При этом геометрическое квантование, ориентируясь на каноническое квантование, отказывается от выбора координат и строится как метод, применимый в общей ситуации, когда фазовое пространство искривлено и вообще не допускает выбора глобальных координат. Стартуя с классического фазового пространства системы, не допускающей канонического квантования, геометрическое квантование должно приводить к построению гильбертова пространства и квантовых наблюдаемых на нем, и при этом в применении к простым системам результаты геометрического квантования должны совпадать с результатами канонического квантования (см. [34]). Известные методы работают по одной и той же схеме: из всего пространства классических наблюдаемых (гладких функций) выделяется подкласс квантуемых наблюдаемых, и этот подкласс достаточно мал. Обычно (см. [19], [34]) выбирается некоторая поляризация исходного симплектического многообразия, и квантуемые функции выделены тем, что их гамильтоповы векторные поля сохраняют эту поляризацию. С другой стороны, классических результат ван Хова (см. [11]) удостоверяет в том, что невозможно реализовать идеальное квантование. Под идеальным квантованием классической механической системы, фазовое пространство которой заметает симплек-тическое многообразие (М,аз), понимается процедура в результате которой мы получаем некоторое подходящее гильбертово пространство % вместе с неприводимым представлением

Q :C°°(M,R)-> 0(70, где 0("Н) — пространство самосопряженных операторов на "Н, таким что выполнен принцип соответствия

Q(f),Q(9)} = iQ({f,9}), то есть Q является представлением алгебры Пуассона. Требование неприводимости впервые заставило исследователей перейти к подклассам квантуемых функций, поскольку при классическом квантовании Сурьо - Костанта получаемое представление является прямой суммой двух одиинаковых копий, что повлекло рассмотрение (и квантование) только "половины" классических наблюдаемых.

Известные схемы геометрического квантования объединены и тем, что в качестве гильбертова пространства T-L обычно используются пространства сечений расслоения предквантования, выделенных также дополнительными условиями (см. [8], [19], [34]). В "родоначальном" подходе Сурьо - Костанта берутся все сечения, обладающие конечной L2 - нормой (конечным интегралом от квадрата эрмитовый нормы, взвешенного на форму Лиувилля). В подходе Ронсли - Березина (см. [15]) рассматриваются только голоморфные сечения относительно вспомогательной структуры — комплексной поляризации; в подходе Теплица -Березина (см. [4]) также гильбертово пространство натягивется на голоморфные сечения; в присутствии вещественной поляризации коллекцию составляют только те сечения (взвешенные на полувеса), которые инвариантны относительно инфинитезимальных движений в направлении слоев поляризации (см. [19], [34]).

Введение дополнительной структуры — поляризации — приводит к переводу конструкций геометрического квантования в рамки наиболее технически развитой области современной математики — алгебраической геометрии. Как мы уже упоминали выше, методы Ронсли - Березина и Бордемана - Шлихенмайера опираются на выбор комплексной поляризации. Это эквивалентно тому, что исходное симнлектическое многообразие (М,ш), представляющее фазовое пространство классической системы, снабжено интегрируемой комплексной структурой. Однако условие целочисленности класса симплектической формы необходимо влечет, что возникающая при этом келерова метрика является метрикой ходжева типа, и все симплектическое кслерово многообразие (М/,ш) является алгебраическим многообразием. То, что проблема геометрического квантования оказывается решенной наилучшим на сегодняшний день образом именно в рамках алгебраической геометрии, кажется вполне естественным в свете геометрической формулировки квантовой механики. Перед тем как коротко описать этот подход, напомним слова Лагранжа:

Пока алгебра и геометрия шли раздельными путями, их развитие было медленным, а приложения ограниченными. Когда же эти науки соединились, они стали черпать друг из друга новую жизненную силу и быстрыми шагами устремились к совершенству" см. предисловие редактора серии к [11]).

Вообще идея перехода в квантовой механике от алгебры к алгебраической геометрии имеет долгую историю. Мы пользуемся работами [3], [17] как одним из наиболее полных и современных изложений этой идеи. А именно, переход к геометрии подразумевает то, что вместо гильбертова пространства волновых функций (как обычно в квантовой механике, см. [13]) рассматривается его проективизация (подробно мы обсуждаем этот переход в Главе 1 настоящей работы). Это бесконечномерное (или конечномерпое) проективное пространство, спабженное келеровой тройкой, то есть являющееся одновременно и симплек-тическим вещественным многообразием "удвоенной" размерности, и комплексным многообразием той же самой размерности. Комплексная структура согласована с симплектической, откуда возникает риманова метрика — третий элемент в келеровой тройке. Квантовые состояния системы представлены просто точками этого проективного пространства. Квантовыми наблюдаемыми являются гладкие вещественные функции специального типа — символы Березина, которые могут быть определены исключительно в термипах келеровой геометрии. А именно, гладкая вещественная функция является символом если и только если ее гамильтоново векторное поле является одновременно киллинговым для рима-повой метрики.

Коммутатору пары наблюдаемых соответствует скобка Пуассона двух символов. Собственные состояния с собственными значениями соответствуют просто критическим точкам с критическими значениями символов. Динамика системы в точности соответствует гамильтоповой динамике. Амплитуды вероятности переходов выражаются в терминах геодезических расстояний, то есть риманова метрика на пространстве квантовых состояний отвечает за вероятностные аспекты.

Пользуясь геометрической формулировкой квантовой механики ([3]), переводящей постулаты квантовой механики на язык алгебраической геометрии проективного пространство Р("Н), можно переформулировать и определение идеального квантования. Такая переформулировка намечена в [3], а конкретно сформулирована в [29]. Прежде всего, нам нужно дать следующее

Определение. Пусть К. - кслерово многообразие, снабженное, как обычно, келеровой тройкой (Q,I,G). Тогда вещественная функция / называется квазисимволом, если ее гамильтоново векторное поле сохраняет риманову метрику

LieX/ G ~ 0.

Для произвольного келерового К. все пространство квазисимволов образует алгебру Ли (см. Главу 1) и обозначается N{K). В случае проективного пространства понятие квазисимвола в точности совпадает с понятием символа Березина.

Алгебро - геометрическое квантование. Пусть (М,из) — симплектичес-кое многообразие, изображающее фазовое пространство классической механической системы. Тогда результатом алгебро - геометрического квантования является некоторое подходящее алгебраическое многообразие АЛ вместе с соответствием q:C°°(M,R)->M{M), удовлетворяющим условиям:

V q(f + 9) = q(f) + q(g); ii) q(cf) = cq(f) где с — константа;

Hi) q(c) = с где с — константа; iv) q имеет тривиальное ядро; v) принцип соответствия в виде q(fU(9)h = q({f,gM.

Таким образом, постановка задачи квантования меняется. Для исходного симплектического многообразия (M,cj) мы ищем алгебраическое многообразие (бесконечномерное или конечномерное) К, снабженное келеровой тройкой (G,I,Q) (римановой метрикой, интегрируемой комплексной структурой, согласованной симплектической формой), вместе с соответствием q (подробно переход к келеровой геометрии мы обсуждаем в Главе 1 настоящей работы). Вслед за авторами [3] мы требуем, чтобы переход к такому алгебраическому многообразию не использовал в качестве промежуточных шагов построений подходящих гильбертовых пространств.

Настоящая диссертационная работа отвечает на вопрос о существовании такого алгебро - геометрического квантования в случае компактного симплектического многообразия. Более того, это квантование оказывается естественно связано с известными методами геометрического квантования. Для того, чтобы сформулировать основной результат настоящей работы, необходимо напомнить конструкцию из нового предмета, возникшего на стыке алгебраической и симплектической геометрий.

В современной математике происходит перемещение (и последующее перемешивание) идей и методов из разных областей, достаточно далеких друг от друга. Этот процесс вполне естестествешшй для математики — очень часто новые решающие методы бывали заимствованы из других областей математики, однако и в этом в наши дни зачастую проявляется "физическое" влияпие. Например, к гипотезе о зеркальной симметрии одним из наиболее перспективных принят следующий подход: алгебраическая геометрия над многообразием X соответствует симплектической геометрии над зеркально симметричным многообразием X' (см. [21]). Ингредиенты алгебраической геометрии над А' — пучки, расслоения, дивизоры и т.п. — сравниваются с составляющими сим-плектической геометрии — лаграпжевыми подмногообразиями специального типа. Например, очень популярным является понятие специального лагранже-вого цикла (см. [22]), и имеется набор гипотез, сравнивающих пару категорий (см. [21]). Из алгебро - геометрической части обычно выделяют многообразия модулей векторных расслоений специального типа (чаще всего - исключительных расслоений). Однако модульный подход к лагранжевой геометрии до последнего времени не приносил особых "дивидендов". Но сама идея, выросшая из гипотезы о зеркальной симметрии, синтезировать некоторую новую геометрию, объединяя алгебраическую и лагранжеву геометрии, не теряла привлекательности и на интуитивном уровне была безоговорочно принята многими специалистами.

Важное качественное продвижение в этом направлении произошло в 1999 году — в работе [23] было построено многообразие модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лаграцжевых циклов фиксированного объема и топологического типа. Наиболее полпое описание этой конструкции содержится в работе [8]. Это многообразие модулей строится в рамках лагранжевой геометрии над произвольным компактным односвязиым симплектическим многообразием с целочисленной симплектической формой (то есть для классической механической системы, удовлетворяющей условию Дирака цслочислеппости заряда) — и это многообразие модулей является бесконечномерным алгебраическим многообразием. В конструкции из [8] лагранжева геометрия переплетается с алгебраической, и эта конструкция является одним из самых удачных примеров возможного синтеза. Новый предмет получил название алгебраической лагранжевой геометрии. Сама конструкция кроме всего прочего необычайно богата на дополнительные структуры (мы обсуждаем некоторые из них ниже в этой работе, однако еще больший материал остается пока что "вне игры"). Изначально возникшая как связующее звено в гипотезе о зеркальной симметрии, неожиданным образом эта конструкция оказалась необычайно полезной в другой области — в квантовании классических механических систем, более конкретно — в алгебро - геометрическом квантовании. А именно, в работах [29] и [31] было показапо, что многообразие модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лаграцжевых циклов фиксированного объема BgW'r над односвязиым симплектическим многообразием (М,и>) является тем алгебраическим многообразием, которое удовлетворяет постулатам алгебро - геометрического квантования, приведенного выше.

В настоящей диссертационной работе представлены следующие оригинальные результаты.

Пусть (М, и) — односвязное компактное симплектическое многообразие с целочисленной симплектической формой. Пусть B^w'r — построенное над пим бесконечномерное алгебраическое многообразие модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема г и топологического типа. Тогда имеется

Конструкция - определение ([29]). Произвольная гладкая функция / 6

C°°(M,R) индуцирует, гладкую функцию Ff на многообразии модулей B^w'r следующим образом: для любой точки (S,e) 6 Bsw'r, представленной бор -зоммерфельдовым циклом S вместе с полувесом в имеем

Ff(S,e) = r Jj\se2, где т — вещественный параметр. см. Главу 2 настоящей диссертации).

Таким образом, мы получили линейное отображение

ТТ : С°°(М, R) -> C°°(B^r,R) причем из конструкции - определения непосредственно следует, что по действию ТТ константы переходят в константы: = с =Ф- Fj = тгс.

Далее, для отображения Тг мы доказываем следующее

Предложение 2.4 ([29]). Отображение FT является гомоморфизмом алгебр Пуассона, то есть

Ff,Fg}n=2rF{f,gU G C°°(B*W*R) для любых f,g Е С°°(М,Е).

Это утверждение было впервые доказано в [29] путем непосредственных вычислений (см. Главу 2 настоящей диссертации).

Таким образом, обращаясь к постулатам алгебро - геометрического квантования, мы можем удовлетворить пункты ш и v, положив r = i г = 2.

Однако необходимо еще установить, что каждая индуцируемая функция F/ на B^w'r обладает очень специальным свойством — является квазисимволом. В работе [31] необходимое доказательство было приведено. А именно, имеется

Теорема 1 ([31]). Пусть — произвольное односвязное компактное сим-плектическое многообразие размерности 2п, S — некоторый гомологический класс S G Нп{М,Ъ), В— многообразие модулей полувзвешенных бор - зом-мерфельдовых лагранжевых циклов, представляющих класс S, единичного объема, снабженное келеровой структурой (Si,I,G). Для каждой вещественной функции f € С°°(М, R) имеется соответствующая Ff — гладкая функция на tjhwA

Bs ' , так что:

0) для однородных симплектических многообразий Тг является вложением;

1) для любой функции f образ Ff является квазисимволом над В^1"'1;

2) принцип соответствия в форме

FhF,}n=2TF{J,eU имеет место, то есть отображение / Fj является гомоморфизмом алгебр Ли.

Доказательство Теоремы (как и сама Теорема) содержится в Главе 3. Как мы видим, утверждение 2) этой теоремы уже было доказано в [29], однако новый метод, предложенный в [31] для доказательства утверждения 1) Теоремы позволяет получить это же утверждение как простое следствие технического Предложения 3.5 настоящей диссертации.

Новый метод, предложенный в [31] для доказательства Теоремы, мы назвали динамическим соответствием. Он заключается в следующем. Каждая гладкая функция / 6 C°°(M,R) индуцирует гамильтоново векторное поле X/, которое можно рассматривать как инфинитезимальный симплектоморфизм исходного симплектического многообразия (М,и>). Но любой симплектоморфизм действует на ассоциированный объект над (М,ш) как автоморфизм (в данном случае в качестве ассоциированного объекта выступает многообразие модулей B$w'r). Очевидным образом любой симплектоморфизм сохраняет всю келерову структуру на том числе инфинитезимальный симплектоморфизм порождает инфинитезимальный автоморфизм алгебраического многообразия BgW,r, то есть дает некоторое векторное поле ©dc(/) g Vect(B^w,r). По построению это векторное иоле является и гамильтоновым, и киллинговым (то есть сохраняющим метрику), поскольку опо сохраняет всю келерову структуру. Мы доказываем, что имеется следующее тождество.

Предложение 3.5 ([31]). Для любой гладкой функции f 6 С°°(М —> R) имеется тождество

XF, = 2 rQDC(f). для пары векторных полей на многообразии модулей полувзвешенных бор - зом-мерфелъдовых лаграпжевых циклов фиксированного объема В$т'г.

В работе [31] (см. Главу 3) это Предложение доказано прямыми вычислениями. Предложение 3.5 содержит в себе важный геометрический факт, исходя из которого мы доказываем Теорему 1. Кроме того, этот факт важен и с точки зрения алгебро - геометрического квантования, построению которого посвящена Глава 4 настоящей диссертации. Действительно, Предложение 3.5 означает, что квантовая динамика проквантованной посредством алгебро -геометрического квантования системы в точности согласована с классической динамикой исходной системы.

Итак, алгебро - геометрическое квантование возможно: в качестве алгебраического многообразия /С мы рассматриваем многообразие модулей BgW'2, а в качестве квантового соответствия

Такой метод, предложенный в [29], [31], получил название АЛГ(а) - квантования. Этот новый метод приводит к новым результатам, которые, однако, хорошо согласуются с известными в геометрическом квантовании результатами в присутствии подходящей поляризации. Глава 4 содержит в себе две редукции, впервые описанные в [31], в случаях, когда на исходном симплектическом многообразии зафиксирована комплексная или вещественная поляризация.

Вещественная поляризация. Пусть на (М,ш) имеется полный набор первых интегралов /i,.,/n где п = |</гтМ, задающий лагранжево слоение тг : М Д С Rn.

Тогда (см. [19]) схема квантования использует бор - зоммерфельдовы слои расслоения 7г в качестве базиса гильбертова пространства. Мы показываем в [31] (см. Главу 4 настоящей диссертации) как известный метод квантования может быть восстановлен в рамках АЛГ(а) - квантования. А имепно, пусть 5,- — набор бор - зоммерфельдовых слоев расслоения 7г при фиксированной вещественной поляризации. Выделенные функции — первые интегралы /i,.,/n — порождают квазисимволы F/n.,F/n — гладкие функции на многообразии модулей ghw,i рассМ0ТрИМ следующее пересечение

V = Crit{Ffl) П . П Crit(Ffn) С BhswA критических множеств для всех наших квазисимволов. Имеем следующее

Предложение 4.3 ([31]). Множество V является двойным накрытием множества {5,} бор - зоммерфельдовых лагранжевых слоев по действию естественной инволюции s,e)->(s,-e) имеющейся на многообразии модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема.

Это означает, что мы можем восстановить известное квантование из [19] в присутствии вещественной поляризации в терминах АЛГ(а) - квантования.

Кроме того, следуя [31], мы доказываем в Главе 4, что для компактных сим-плектических многообразий число регулярных бор - зоммерфельдовых слоев конечно (Теорема 2).

Комплексная поляризация. Этот случай предполагает фиксацию на (М,и>) интегрируемой комплексной структуры, что превращает М в алгебраической многообразие. Тогда имеется BPU - отображение (см. [8])

BPU : Bhw'r PH°(Mi,L), где L - голоморфное расслоение предкваптования (см. Главу 1), и мы рассматриваем это отображение как проекцию пространства квантовых состояний АЛГ(а) - кваптования на пространство квантовых состояний, получаемое известным методом Березина - Ронсли (мы подробно обсуждаем переход к про-ективизациям в рамках стандартных методов в Главе 1 настоящей диссертации). Тогда при такой проекции пространств квантовых состояний мы получаем следующий результат, связывающий квазисимвол F/ и символ Q/, получаемые каждый своим методом из допустимого классического наблюдаемого / G С°°(М, R). А именно,

Предложение 4.4 ([31]). Для квантуемой функции f гамильтоновы векторные поля квазисимволов Fj и Qj связаны соотношением dBPU(XF/)=XQf.

В рамках геометрического квантования это утверждение может быть истолковано как редукция АЛГ(а) - квантования к известному методу квантования Березина - Ронсли. Более того, мы видим, что квантовые динамики на обоих пространствах квантовых состояний согласованы если их порождают проквап-тованные гамильтонианы, соответствующие одному и тому же классическому квантуемому наблюдаемому.

Вообще, известны и другие методы квантования, которые могут быть названы геометрическими насмотря на то, что они не умещаются в стандартные рамки геометрического квантования. Один из таких методов, представленный в [18], использует пространство всех почти комплексных структур, согласованных с данной фиксированной симплектической формой. Если двигаться дальше в этом направлении, можно рассмотреть над произвольным гладким компактным четномерным многообразием X пространство всех эрмитовых троек где д — некоторая риманова метрика, J — некоторая согласованная с д почти комплексная структура, а ш — соответствующая 2 - форма. В произвольной тройке каждый элемент может быть однозначно восстановлен из оставшихся двух. Подчеркнем, что мы рассматриваем все тройки, оставляя условие интегрируемости структуры J и условие замкнутости и как уравпения на Мх-Тогда имеется каноническое отображение г :МХ -*H2(X,Z), впервые предложенное в работе [25] в связи с исследованиями инвариантов Зайберга - Виттена. Определение таково: для эрмитовой тройки (g,J,u)) риманова метрика д совместно с ориентацией, индуцируемой «7, определяет оператор Ходжа *д. Тогда имеется разложение но Ходжу для любой формы над X в прямую сумму а = с*я + dpi + d*p2, и это разложение единственно. Тогда, раскладывая третий элемент в тройке w = ojh + dpi + d*p2 G однозначно восстанавливаем гармоническую форму шц.

Определение ([25]). Класс когомологий [с€ Н2(Х,Ж), представляемый гармонической формой иц, доставляет образ T(g,J,u) £ Н2(Х,Ш.) относительно канонического отображения т.

Это отображение названо каноническим, так как оно не требует для своего определения никаких дополнительных структур. Эрмитова тройка соответствует некоторой симплектической структуре с выбранной согласованной почти комплексной структурой если и только если

U) = шц.

С другой стороны, несимплектическая эрмитова тройка со специальным нетривиальным образом по действию г доставляет естественное обобщение симилек-тической геометрии. Развитие этого направления было обусловлено исследованиями в рамках теории Зайберга - Виттена (основы этой теории представлены, например, в обзоре [32]). То есть такое обобщение симплектической геометрии естественно проецируется на квантовую теорию поля. А именно, эрмитовы тройки и решения уравнения Зайберга - Виттена связаны следующим утверждением:

Предложение 5.1 ([27]). Пусть для некоторой римановой метрики g и некоторой Spinc- структуры с G Н2(Х, Z), такой что с2 = 2х + За, уравнения Зайберга — Виттена (5.1.4) имеет неприводимое решение (ао,фо) и не имеет приводимых. Тогда в конформном классе метрики g существует метрика gj, которая вместе с некоторой почти комплексной структурой J\ и соответствующей 2- формой из j дает эрмитову тройку с нетривиальным образом

Более того, из доказательства в Главе 5 видно, какой именно образ имеет такая тройка в Н2(Х,Щ.

Исследуя свойства канонического отображения г и самого пространства эрмитовых (Параграфы 5.2 и 5.3) и развивая результат, содержащийся в Предложении 5.1, мы получаем необходимое условие на канонические базисные классы над четырхмерными многообразиями:

Теорема 3 ([27]). Пусть X — гладкое ориентированное компактное рима-ново многообразие с b£(X) > 1 и пусть Ко — базисный канонический класс (то есть класс с нетривиальным инвариантом Зайберга — Виттена). Тогда соответствующий образ N(K{) является подмножеством, всюду плотным в Н+.

Иными словами, канонические классы с нетривиальными инвариантами Зайберга — Виттена выделены тем условием, что образ соответствующей компоненты пространства эрмитовых троек максимально возможный.

Особенный интерес этот математический факт вызывает в связи с вопросами унификации различных взаимодействий в теоретической физике. Действительно, в Заключении мы обсуждаем возможность построения калибровочной теории с группой диффеоморфизмов в качестве калибровочной. Уравнение (**) из Заключения, определенное на пространстве эрмитовых троек, будучи инвариантным относительно такой калибровочной группы, имеет решения если соотвествующий канонический класс является базисным. Это значит, что решения для калибровочной теории с группой днффероморфизмов в качестве калибровочной группы можно получать из "обычной" калибровочной теории, в качестве которой рассматривается теория Зайберга - Виттена.

Наконец, в Главе б мы получаем еще одно представление алгебры Пуассона классических наблюдаемых в терминах неоднородных суперфункций на супермногообразии ПT*Bs, где Bs — многообразие модулей "чистых" бор -зоммерфельдовых лагранжевых циклов, а именно

Предложение 6.2 ([31]). Динамическое соответствие (*) сохраняет структуру алгебр Ли, то есть отобраэюает скобку Пуассона произвольных функций f,g £ С°°(М,Ш) в кратное коммутатору соответствующих векторных полей:

0s({f,gU = c{Qs(f),es(9)], где с — некоторая константа.

Двигаясь дальше в этом направлении, нетрудно видеть, что Предложение 6.2, рассматриваемое в рамках суперсимплектической геометрии, дает следующее

Следствие 6.3 ([31]). Скобка Бутен суперфункций Т/ и Тд на ПT*Bs, индуцируемых функциями f и g на М, пропорциональна суперфункции, соответствующей скобке Пуассона fug.

Таким образом, бор - зоммерфельдова лагранжева геометрия доставляет еще одно нетривиальное представление пуассоновой алгебры классических наблюдаемых над симплектическим многообразием М,ю в алгебре Ли суперфункций над нечетным суперсимплектическим многообразием, снабженной скобкой Бутен.

Результаты, легшие в основу этой работы, были опубликованы в препринтах [28], [30] и статьях [27], [30] и [31]. Эти результаты докладывались и обсуждались: на конференции по алгебраической геометрии (2000 г., CIMAT, Гаунахуато, Мексика), на конференции "Монодромия в геометрии" (2001 г., МИ РАН, Москва), на конференции, посвященной 10 - летию Независимого университета (2001 г., НМУ, Москва), на семинаре отдела алгебры МИ РАН под руководством И.Р. Шафаревича, на семинаре отдела математической физики МИ РАН под руководством А.Г. Сергеева, в лаборатории теоретической физики им. Н.Н. Боголюбова ОИЯИ (Дубна) на семинаре по геометрии университета Джона Хопкинса (Балтимор, США), на семинаре по геометрии и математической физике математического института им. Куранта (Ныо - Йорк, США), на семинаре по дифференицальной геометрии математического института Мексиканского автономного национального университета (Куернавака, Мексика), на семинаре по геометрии университета г. Поханг (Корея) под руководством Б.Кима, на обер - семинаре математического института им. Макса Планка (Бонн, ФРГ), кроме того, по результатам работы был прочитан курс лекций в корейском институте высших исследований (KIAS, Seoul, Korea).

Для удобства чтения мы приводим здесь краткое содержание работы.

Заключение

Напоследок приведем еще два замечания.

Как мы видели, конструкция многообразия модулей нолувзвешенпых бор

- зоммерфельдовых лагранжевых циклов фиксированного объема позволяет предложить новые подходы к предмету геометрического квантования классических механических систем. Однако, пока что эти новые подходы касаются только узкого класса классических систем, соответствующего симплектичес-ким многообразиям, то есть многообразиям с регулярными и невырожденными скобками Пуассона. Рассмотрения симилектических листов иуассоповых многообразий с регулярными пуассоновыми структурами позволяют расширить область применения АЛГ(а) - квантования. А именно, предположим, что исходное пуассоново многообразие У, П расслоено на симплектические подмногообразия Ми, и Е U, то есть ограничение скобки Пуассона П на каждый лист Ми невырождено. Потребуем также, чтобы над каждым листом Ми индуцируемая ограничением П симплектическая форма ши представляла целочисленный класс когомологий слоя Ми- Тогда для каждого и EU мы имеем многообразие модулей В^'1. Далее, назовем максимально изотропное относительно пуассо-новой структуры П подмногообразие X Е У бор - зоммерфельдовым, если для любого и Е U пересечение М„ ПХ является бор - зоммерфельдовым лагранже-вым циклом для симплектического листа Mu,wu. Нетрудно видеть, что, как и в симплектическом случае, касательное пространство в точке X к многообразию модулей таких бор - зоммерфельдовых циклов моделируется пространством гладких функций С°°(Х, R) по модулю констант. Расслоения со связиостями предкваптования над всеми симплектическими листами "собираются" в линейное расслоение со связностью над всем Y (условие целочисленпости форм гарантирует неизменность целочисленных параметров при вариации параметра и, что дает утвереждепие о том, что все расслоения собираются в одно). Как и в [8], [23], переходим теперь к планковским циклам, полувзвешенным плапков-ским и т.д. до конечного результата — многообразия модулей полувзвешенных бор - зоммерфельдовых максимально изотропных циклов , где

S] П [Ми] = [S] соответствующий класс гомологий. Конечно, рассмотренный случай является случаем нулевого уровня сложности в пуассоновой геометрии, однако мы надеемся, что в дальнейшем пути обобщения АЛГ(а) - квантования на более высокий уровень будут найдены. При этом естественно ожидается (и требуется), чтобы такого рода обобщения были бы динамически обоснованы. Конечно, для общего пуассонова многообразия не существует столь естественного понятия гамильтоновой динамики. Однако, если перейти к симилектическим листам, то для каждой гладкой функции на исходном пуассоновом многообразии имеется некоторое гамильтоново векторное поле на каждом листе: мы ограничиваем функцию на лист, берем се гамильтоново векторное поле (направленное вдоль листа), а затем собираем все поля до глобального векторного поля па всем пуассоновом многообразии. Полученное векторное поле очевидным образом сохраняет иуассопову структуру. Более того, это иоле задаст инфинитезимальное действие на многообразии модулей, описанном выше. Естественно, все результаты, касающиеся динамических соответствий, остаются верны и для такой конструкции.

Второе замечание касается деформаций римановой структуры на многообразии модулей полувзвешениых бор - зоммерфельдовых циклов фиксированного объема. В работе [29] мы подчеркивали, что результат о соответствии скобок Пуассона па исходном симнлектическом многообразии и многообразии модулей отражает только свойства симплектической геометрии многообразия модулей. Действительно, риманова метрика, построенная вслед за симплектической структурой на многообразии модулей в параграфе 2.2, не участвует в определении гамильтоновых векторных полей и скобок Пуассона. Если деформировать риманову метрику, то тем самым будет деформировано и пространство квазисимволов. Однако, построенная в [8], [23] метрика является наиболее естественной и подходящей - индуцированные квазисимволы сохраняют именно ее. То есть эта метрика обладает свойством максимальной симметрии и является решением некоторого уравнения па пространстве метрик. Возвращаясь к [3], заметим, что авторы этой работы не упускают из вида возможности связать предмет квантования с теорией гравитации, используя этот факт. Мы далеки сейчас от того, чтобы строить какие - либо гипотезы или предположения, касающиеся этого направления, однако, было бы замечательно в недалеком будущем познакомиться с подобной универсальной теорией, возникновение которой оказалось возможным благодаря геометрической формулировке квантовой механики.

Другой подход к проблеме гравитации непосредственно вытекает из существования канонического отображения т. А именно, в заключительном замечании, представленном ниже, мы будем пользоваться ипвариантностыо канонического отображения г относительно действия группы Dif /+ по модулю ортогональных преобразований решетки Н2(Х,Х).

Рассмотрим на пространстве всех эрмитовых троек над X возможные уравнения, которые инвариантны относительно действия Diff+X. Конечно, первым таким уравнением будет однородное уравнение r(g,J,b>) = (0].

Действительно, правая часть этого уравнения инвариантна относительно любых преобразований решетки H2(X,7i), поэтому если (<7о, «Лъ^о) является решением этого уравнения, то и для любого элемента s 6 Diff+X очевидным образом имеем t{s(go),s(JQ),s(u0)) = [0] интересно то, что это замечание касается и элементов группы всех диффеоморфизмов X, а ие только тех, которые сохраняют ориентацию).

В связи с системой Зайберга — Виттена нам необходимо рассмотреть неоднородный вариант приведенного выше уравнения. Для того, чтобы сделать это в общем случае, рассмотрим в группе Diff+X всех диффеоморфизмов X, сохраняющих ориентацию, подгруппу, состоящую из компоненты тождественного диффеоморфизма. Эта подгруппа ■

Diff+X С Diff+X может быть определена так: диффеоморфизм s Е Diff+X принадлежит подгруппе Diff+X если и только если индуцируемое им ортогональное преобразование решетки Н2(Х,Ъ) является тождественным преобразованием. То есть па "области определения" канонического отображения т подгруппа Diff+X действует нетривиально, а на "область значений" — тождественно.

Это позволяет рассмотреть неоднородное уравнение t(9,J,U) = г/, где 1j — произвольный элемент Н+. Доказанная выше Теорема 3 удостоверяет в том, что если Ко — некоторый базисный канонический класс, то неоднородное уравнение имеет решение для любой правой части. Инвариантность такого уравнения относительно действия Diff+X позволяет определить виртуальное пространство модулей решений этого неоднородного уравнения в объемлющем фактор пространстве

Кх' = /Diff+X.

То, что решение существует для любой правой части, можно определить как стабильность существования решений. Заметим, что подгруппа Diff+X сохраняет компоненты что позволяет в будущем рассмотреть именно по-компопентую факторизацию всего пространства эрмитовых троек.

Допустим теперь, что для некоторой ориентации на подлежащем многообразии X выражение 2х(Х) + 3<т(Х) строго положительно. Тогда имеем, что все канонические классы, допускаемые на X и согласованные с выбранной ориентацией, имеют положетельные квадраты. Тогда мы можем рассмотреть уравнение

T(g,J,u) = Kj. (**)

Конечно, это уравнение можно рассматривать и без условия положительности, однако если Kj < 0, уравнение (**) пе имеет решений (за исключением возможного случая К j = 0). Универсальность этого уравнения очевидна — решение такого уравнения инвариантно относительно всей группы Diff+X. Действительно, теперь и "область значений" изменяется, но изменяется согласованно с "областью определения". Кроме того, инвариантность иодрешетки, натянутой на конечное множество базисных классов дает возможность рассматривать неоднородные уравнения вида (**) с произвольным базисным классом в правой части. Конечно, все эти конструкции требуют уточнений, поэтому ограничимся здесь лишь этими замечаниями. Однако естественно назвать уравнение (**) обобщенным уравнением Келера - Эйнштейна. В случае когда J интегрируема, а и замкнута (то есть в келеровом случае) это уравнение эквивалентно известному уравнению Келера - Эйнштейна.

Вопросы о пространстве модулей решений уравнений не входят в цели настоящей работы, однако хотелось бы привести несколько простых замечаний, касающихся структуры таких пространств. Из параграфа 5.3 видно, что структура пространства эрмитовых троек достаточно неопределенна — однако Предложение 5.5 показывает, что касательное пространство может быть определено в геометрических терминах. Это особенно хорошо работает в случае, если мы вместо пространства эрмитовых троек рассмотрим его проективизацию — пространство пар (QCOnf,J), где QCOnf — некоторый конформный класс ри-мановых метрик, a J — некоторая согласованная с этим конформным классом почти комплексная структура. Переход от метрик к конформным классам осуществляется с помощью фиксации некоторой формы объема. Легко видеть, что в каждом конформном классе существует одна и только одна рн-манова метрика, индуцирующая фиксированную форму объема. Выбор некоторой формы объема необходим и для того, чтобы избегнуть некомиактностн исходного пространства эрмитовых троек. Поэтому выбор формы объема задает некоторое сечение расслоения i : Сх Мх, и композиция канонического и последнего отображений дает нам отображение

Техника, используемая для доказательства Предложения 5.5, дает возможность описать пространство Сх как пространство гладких отображений вещественного многообразия X в многообразие, описывающее всевозможные пары (Q,l), где Q — невырожденная вещественная квадрика в CP3, а / — проективная прямая без вещественных точек, лежащая па этой квадрике. Следовательно, в таких терминах возможно определить касательное пространство Сх как пространство деформаций таких отображений, более того, ТСх допускает существование специальной почти комплексной структуры.

Кроме того, упомянутая в Параграфе твисторная конструкция для конформного класса римановой метрики может быть модифицирована в рамках настоящей дискуссии. Именно, как отмечалось выше, риманова метрика д на X (а не конформный класс!) определяет на твисторном пространстве Y —> X эрмитову тройку (G,J,fl) (см. Параграф 5.3), в то время как всякая почти комплексная структура реализуется как вложение ij : X Y. Естественно было бы ожидать того, что имеется связь между решениями уравнения (**) и специальными вложениями (например, псевдоголоморфными).

В качестве простейшего примера нулевого уровня напомним, что для келеровой поверхности S (рассматриваем S как вещественное 4- мерное многообразие с эрмитовой тройкой (д, Js,us) такой что Js — интегрируема, a cos — замкнута, то есть является келеровой формой для 5) соотвествующее вложение iJs :S->Ys является псевдоголоморфным. В то же время уравнение с классом [и>] = в правой части в этом случае имеет очевидным образом решение. Однако в приведенном примере соответствие явно не полно — понятие псевдоголоморфпости использует только универсальную почти комплексную структуру на твисторном пространстве, в то время как необходимо участие всех элементов универсальной тройки. Возможный вариант ответа — универсальная тройка (G, J, Г2) на твисторном пространстве У определяет посредством канонического отображения г некоторый элемент H2(Y, R), и необходимо условие псевдоголоморфности вложения ij(X) С У дополнить подходящим условием, связывающим интегралы от квадратов форм ft2 и по гладкому циклу ij(X).

References

1] R. Abraham, J. Marsden, Foundation of mechanics, 2end ed., Benjamin, Mass, 1978.

2] В.И. Арнольд, А.Б. Гнвенталь, Симплектическая геометрия, ВИНИТИ, т. 4, Москва, 1985.

3] A. Ashtekar, Т. Schilling, Geometrical formulation of quantum mechanics, ArXiv: gr - qc / 9706069.

4] M. Bordemann, E. Meinreken, M. Schlichenmair, Toeplitz quantization of Kahler manifolds, Commun. Math. Phys, 165 (1994), 281 - 296.

5] D. Borthwick, T. Paul, A. Uribe, Legendrian distributions with applications to relative Poincare series, Invent, math. 122 (1995), 359 - 402.

6] S.K. Donaldson, P.B. Kronheimer, The geometry of 4 - manifolds, Oxford, University press, 1990.

7] I.M. Gel'fand, N.Y. Vilenkin, Generalized functions, vol. 4, applications of harmonic analysis, Academic press, NY (1964).

8] A.JI. Городенцев, A.H. Тюрин, Абелева лаграпокева алгебраическая геометрия, Изв. РАН, сер. мат. т. 65(3) 2001, 15 - 50.

9] P. Griffits, J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, NY 1978.

10] O. Hudaverdian, Semidensities on odd supersymplectic supermanifolds, arXiv DG/0012256.

11] N. Hurt, Geometric quantization in action, Reidel, 1983.

12] B. Kostant, Quantization and unitary representations, Springer, Berlin, Lect. Notes in Math., 1970, 170, 87 - 208.

13] Л. Ландау, А. Лифшиц, Квантовая механика, Физматгиз, 1963.

14] R. Penrose, The twistor programme, Reports Math. Phys. 12 (1977), 65 - 76.

15] J. Rawnsley, M. Cahen, S. Gutt, Quantization of Kaehler manifolds 1, JGP, Vol. 7 (1) 1990, 45 - 62.

16] M. Rothstein, The structure of supersymplectic supermanifolds, Lect. Notes in Phys., 375 (1991), Springer, Berlin, 331 - 343.

17] T. Schilling, The geometry of quantum mechanics, Ph.D. thesis, PennState Univ, 1996.

18] A.G. Sergeev, Twistor quantization of loop spaces and general Kaehler manifolds, Conteinp. Math., 1998, vol. 212, 221 - 228. '

19] J. Sniatycki, Quantization and quantum mechanics, Springer, Berlin 1987.

20] J.M. Souriou, Structure des systems dynamiques, Paris 1970.

21] R. Thomas, P. Seidel, Braid group actions on derived categories of coherent sheaves, mathAG/0001043.

22] A.H. Тюрин, Специальная лагранжева геометрия как малая деформация алгебраической геометрии, Изв. РАН сер. мат. т. 65, N 1 (2001), 141 -224.

23] A. Tyurin, Complexification of Bohr - Sommerfeld conditions, Preprint Inst, of math, Univ. Oslo, 15, 1999.

24] H.A. Тюрин, Необходимое и достаточное условия деформации В- монополя в ипстан-топ, Изв. РАН сер.мат., т. 60, N 1 (1996), 211 - 224.

25] Н.А. Тюрин, Абелевы мопополи и комплексная геометрия, Математические заметки, т. 65, вып. 3 (1999), 420 - 428.

26] Н.А. Тюрин, Абелевы мопополи: случай положительной размерности многообразия модулей, Известия РАН, сер. мат., т. 64, N 1 (2000), 197 - 210.

27] Н.А. Тюрин, Пространства эрмитовых троек и уравнения Зайберга - Виттена, Изв.РАН сер. мат. 65(1) 2001, 181 - 205.

28] N. Tyuriti, Hamilionian dynamics on the moduli spaces of half - weighted Bohr - Sommer-feld lagrangian cycles of fixed volume, Preprint MPI 00 - 10G (2000).

29] Н.А. Тюрнн, Принцип соответствия в абелевой лагранжевой геометрии, Изп. РАН сер. мат. 65(4) 2001, 191 - 204.

30] N. Tyuriii, ALAG - quantization, Preprint KIAS M010002 (2001), SG/0106004.

31] Н.А. Тюрин, Дгснамическое соответствие о алгебраической лагранэ/сеоой геометрии, Изп РАН сер. мат., том 66, N 3 (2002), 175 - 196.

32] Н.А. Тюрин, Иистаптопы и монополи, Успехи мат. наук, том 57, N 2 (2002), 85 - 138.

33] A. Weinstein, Lagrangian submanifolds and hamiltonian systems, Ann. of Math., 98, 1973, 377 - 410.

34] N. Woodhause, Geometric quantization, Oxford Univ. Press, Oxford, 1980.

БЛТФ ОИЯН (Дубна)

E-mail address: tyurinetyurin.mccme.ru ntyurinethsunl.jinr.ru