Нелагранжевы калибровочные системы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Шарапов Алексей Анатольевич

Нелагранжевы калибровочные системы: геометрия и квантование

Специальность 01.04.02 ■- теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ПИШИ 11111111«

ООЗ168593

Томск - 2007 г.

Работа выполнена на кафедре квантовой теории поля Томского государственного университета.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Ляхович Семен Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ольшанецкий Михаил Аронович

доктор физико-математических наук, профессор Дубровский Владислав Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор Шаповалов Александр Васильевич

Ведущая организация:

Физический институт Российской Академии наук им. П. Н. Лебедева

Защита состоится 29 мая 2008 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.07 в Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск пр. Ленина. 36, ауд. 119.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Ивоннн И. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Прогресс квантовой теории поля как математической основы физики фундаментальных взаимодействий был всегда неразрывно связан с разработкой общих методов квантования Так, создание в конце 40-х - начале 50-х годов прошлого века квантовой электродинамики породило концепцию фейнмановского интеграла по траекториям, а открытие неабелевых калибровочных теорий и построение на их основе теоретико-полевых моделей сильного и электрослабого взаимодействий придало мощный импульс развитию общих методов квантования систем со связями Важным шагом на этом пути явилось определение Фаддеевым и Поповым континуального интеграла для полей Янга-Миллса, вовлекающего наряду с исходными полевыми переменными дополнительные нефизические поля (духи), а также открытие Бекки, Руэ, Стора и Тютиным (ВРСТ) глобальной фермионной симметрии, смешивающей калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова Открытие БРСТ-симметрии стало прологом к разработке методов обобщенного канонического квантования Ваталина-Вилковыекого-Фрадкина и лагранжевого квантования Баталина-Вилковыского, составляющих теперь основу общей БРСТ-теории

В настоящее время БРСТ-теория является наиболее мощным и универсальным методом квантования калибровочных теорий Помимо собственно задачи квантования, данный метод оказывается эффективным в теории перенормировок, при анализе аномалий, а также как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях Заметен рост интереса к использованию БРСТ-методов и в ряде разделов математики, особенно в задачах, связанных с деформацией алгебраических структур (квантовые группы и алгебры, деформационное квантование и пр ) Практически все наиболее важные, с современной точки зрения, алгебраические структуры могут быть адекватно сформулированы или реинтерпретированы на языке производящих уравнений БРСТ-алгебры для подходящих калибровочных систем Активное проникновение методов БРСТ-теории и связанной с ней гомологической алгебры в различные разделы теоретической и математической физики привело даже к появлению термина "когомологическая физика"

Можно констатировать, что современный этап развития квантовой теории поля характеризуется все большим смещением акцента в сторону разработки непертурбативных методов анализа классической и квантовой динамики полей с нетривиальной геометрией фонового, конфигурационного или фазового пространства Неудивительно, что движение в этом направлении сопровождается интенсивным применением самых современных идей и конструкций дифференциальной геометрии, гомологической алгебры, алгебраической топологии и их синтезом с методами БРСТ-теории Среди наиболее востребованных методов, имеющих непосредственное отношение к задачам непертурбативной квантовой теории поля, следует выделить метод деформационного квантования

Концепция деформационного квантования, возникшая в 70-х годах прошлого века как математически строгая и последовательная схема квантования гамильтоновых систем с нелинейным фазовым пространством, получила бурное развитие в течение последних двадцати лет и является в настоящее время активным полем исследований как математиков, так и

физиков-теоретиков Среди последних ярких достижений в этой области можно отметить конструкцию деформационного квантования Федосова симплектических многообразий, а также общую схему деформационного квантования пуассоновых многообразий, предложенную Концевичем Помимо решения собственно проблемы квантования теорий с нелинейным фазовым пространством, многие развиваемые в этой области идеи и методы находят применение и в других (существенно отличных по характеру) задачах теоретической и математической физики, в частности, являются эффективным инструментом построения новых физических моделей Среди последних можно упомянуть виттеновскую формулировку полевой теории струн, калибровочные теории на некоммутативных пространствах, модели взаимодействия полей высших спинов В этом своем аспекте теория деформационного квантования тесно переплетается с математическими конструкциями некоммутативной геометрии Коннэ, являющейся нетривиальным и многообещающим обобщением классического дифференциального исчисления на гладких многообразиях

Следует заметить, что переход от механических к теоретико-полевым моделям, т е системам с бесконечномерным фазовым пространством, приводит к необходимости решения ряда вопросов, выходящих за рамки формальной математической процедуры деформационного квантования Наличие квантовых расходимостей, например, делает нетривиальным вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой геометрией фазового пространства Считается общепринятым, что последовательное квантование теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов рождения-уничтожения, т е виковском символе для полевых операторов К сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно Несмотря на известные достижения пертурбативной теории поля, такое разложение на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации, так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели Важными примерами такого рода теорий могут служить нелинейные сигма-модели и, в частности, струны в пространстве анти-де Ситтера Стандартное разложение по методу ковариантного фонового поля над плоским фоном приводит к спонтанному нарушению симметрий сигма-модели, что делает, например, принципиально невозможным прямое отождествление спектра элементарных возбуждений струны с известным спектром элементарных частиц в пространстве анти-де Ситтера, а также оставляет открытым вопрос о точном (непертурбативном) значении критических параметров теории Класс виковских символов является, таким образом, выделенным с точки зрения квантовой теории поля и заслуживает дальнейшего развития в сторону непертурбативного учета глобальной геометрии полей в существенно нелинейных моделях и системах со связями Решение этих задач, по-видимому, невозможно без глубокого синтеза методов деформационного квантования и БРСТ-теории

Еще одной выраженной тенденцией развития современной теоретической физики высоких энергий является все возрастающий интерес к калибровочным теориям, классические \ равнения движения которых не допускают естественной вариационной формулировки, т е не могут быть получены из принципа наименьшего действия Среди наиболее фундамен-

тальных моделей такого рода стоит отметить самодуальные поля Янга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбек-Яу, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов, а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях Отсутствие вариационной формулировки для этих моделей делает принципиально невозможным непосредственное применение стандартных рецептов квантования (операторного ВВФ или ковариантного ВВ), поэтому обычный подход к квантованию таких теорий состоит в конверсии исходной нелагранжевой динамики в лагранжеву путем введения некоторой системы вспомогательных полей Вспомогательные поля вводятся так, чтобы эффективная лагранжева теория была динамически эквивалентна исходной (нелагранжевой) теории (т е чтобы вспомогательные поля входили в теорию либо чисто алгебраически и исключались на уравнениях движения, либо оказывались чисто калибровочными модами) Хотя в некоторых простых случаях такой подход оказывается действительно эффективным, выбор вспомогательных полей, а также включение их в исходную (нелагранжеву) динамику до сих пор остается в большей степени искусством нежели конструктивной процедурой Показательным примером здесь может служить теория безмассовых полей высших спинов Так, на свободном уровне состав вспомогательных полей и соответствующие лагранжианы были найдены еще в 70-х годах Фронсдалом В то же время идентификация полного набора вспомогательных полей для нелинейных уравнений высших спинов (уравнений Васильева) до сих пор остается открытой проблемой Указанные трудности делают актуальной разработку общих методов квантования нелагранжевых калибровочных теорий, которые выводили бы известные схемы БВ- и БВФ-БРСТ-квантований за рамки вариационной динамики

Основные цели и задачи работы. Исходя из описанного выше общего контекста развития современной теоретической физики высоких энергий и имеющегося круга нерешенных проблем в данной диссертации были поставлены следующие конкретные цели я задачи сформулировать ковариантную процедуру виковского квантования гамильтоновых систем с нелинейной геометрией фазового пространства и/или связями, обобщить схему деформационного квантования Федосова на широкий класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с симплектическими алгеброидами Ли, разработать методы получения, исследования и перенормировки эффективных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) с учетом реакции излучения, построить и проквантовать релятивистские модели частиц высших спинов в пространстве-времени произвольной размерности, обобщить методы БРСТ-квантования на случай нелагранжевых и негамильтоновых калибровочных систем общего вида, а также отработать практику применения этих методов в ряде актуальных моделей теории поля, разработать теорию характеристических классов калибровочных систем как инструмента исследования глобальной геометрической структуры калибровочной динамики и квантовых аномалий

Научная новизна и практическая значимость работы Все основные результаты диссертации являются оригинальными и получены впервые В частности, автору принадлежит обобщение методов БВ- и ВВФ-БРСТ-квантований на нелагранжевы и негамильто-

новы калибровочные теории общего вида Данное обобщение существенно расширяет класс калибровочных теорий, допускающих последовательное квантовомеханическое описание В работе впервые построено БРСТ-квантование квазисимплектических многообразий, а также виковское обобщение деформационного квантования Федосова Указаны конкретные способы приложения ковариантной виковской техники к проблеме квантования нелинейных сигма-моделей, динамическим системам на римановых многообразиях и некоммутативной теории поля Предложена новая модель спиновой частицы, способная единообразно описывать частицы произвольного спина в пространстве-времени произвольной размерности Показано, что, в отличие от ранее известных моделей, данная модель спиновой частицы допускает непротиворечивое взаимодействие с гравитационными и электромагнитными полями общего вида Разработана теория характеристических классов калибровочных систем Будучи глобальными инвариантами калибровочной динамики, характеристические классы являются потенциально важными объектами при исследовании непертурбативных эффектов в существенно нелинейных теориях, а также в задачах о построении совместных взаимодействий и исследовании квантовых аномалий Впервые сформулирован общий критерий классической перенормируемости теоретико-полевой модели с сингулярными источниками, предложен ковариантный метод регуляризации расходимостей и выведены ранее неизвестные эффективные уравнения движения релятивистских частиц и бран с учетом реакции излучения Полученные асимптотические разложения для силы реакции излучения могут быть непосредственно использованы и для описания эффективной динамики макроскопических заряженных объектов, допускающих аппроксимацию сингулярными токами

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах отделения теоретической физики ФИ РАН, группы математической физики ИТЭФ, лаборатории теоретической физики ОИЯИ, отделения теоретической и математической физики Брюссельского университета, в Международном институте математической физики им Э Шредингера (Вена), а также на семинарах кафедр теоретической физики и квантовой теории поля Томского государственного университета Основные результаты были также представлены на 20 международных конференциях и семинарах, включая конференции памяти АД Сахарова (Москва, ФИ РАН, 1996, 2002 гг), Петровские чтения (Казань, 2000-2007 гг), конференции "Theories of Fundamental Interactions" (Май-нут, Ирландия, 1995 г), "Supersymmetry and Quantum Symmetries" (Дубна, ОИЯИ, 19951997 гг), "Supersymmetry and Quantum Field Theory" (Харьков, 2000 г), "Theoretical and Experimental problems of General Relatmty and Gravity" (Томск, 2002 г), "Quantum Fields and Strmgs" (Домбай, Россия, 2003 г), "Classical and Quantum Integrable Systems"(Дубна, 2004 г), "International Conference on Theoretical Physics" (Москва ФИ РАН, 2005 г) "Poisson Sigma Models, Lie Algebroids, Deformations and Higher Analogues" (Вена, 2007 г)

Публикации. Основу диссертации составляют результаты, опубликованные в 30 научных статьях, указанных в конце автореферата

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав основного содержания, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы из 321 наименования Материал изложен на 229 страницах, набранных в издательской системе bXIjjX

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении формулируются основные цели и задачи диссертации в контексте развития современной квантовой теории поля, а также дается краткий обзор ключевых результатов работы и методов их получения

ГЛАВА I. Деформационное квантование виковского типа

Концепция деформационного квантования, основы которой были заложены в работах Березина, а также французской группы математиков (Байен, Флато, Фронсдал, Лихнерович, Штернхаймер), получила бурное развитие в последние десятилетия Вопрос о существовании ассоциативного »-произведения на произвольном симплектическом многообразии был положительно решен в начале 80-х годов де Вильдом и Лекомтом и независимо Карасевым и Масловым Явная геометрическая конструкция »-произведения, а также следовой меры на »-алгебре функций была предложена Федосовым Позднее было показано, что каждое »-произведение на симплектическом многообразии эквивалентно федосовскому Работа Федосова послужила толчком для многочисленных переосмыслений, обобщений и приложений конструкции деформационного квантования в различных задачах теоретической и математической физики Наконец, в известной работе Концевича 1997 года было построено деформационное квантование для произвольных пуассоновых многообразий

Наряду с общей теорией деформационного квантования определенный интерес представляет изучение специальных типов »-произведений, удовлетворяющих дополнительным алгебраическим или геометрическим требованиям Так, например, конструкция геометрического квантования и исчисление символов операторов на кэлеровых многообразиях мотивировали изучение деформационного квантования многообразий, оснащенных парой трансверсальных поляризаций, которое может рассматриваться как естественное обобщение алгебры виков-ских и др-символов Виковские символы являются также неизменным орудием квантования и многочастичной интерпретации теоретико-полевых систем Начиная с пионерских работ Березина по квантованию в однородных комплексных областях, к настоящему времени накоплено большое количество результатов, относящихся к деформационному квантованию на поляризованных многообразиях Однако во всех известных нам конструкциях виковского »-произведения явно используются специальные координатные системы ("разделенные переменные"), что не является вполне адекватным с точки зрения физических приложений, поскольку большинство физических теорий обладает общекоординатной инвариантностью По этой причине представляется естественным связать виковскую поляризацию не с наличием адаптированной системы координат, а с некоторой дополнительной дифференциально-геометрической структурой Такая геометрическая структура была найдена в работах [9, 10] и названа виковской структурой Там же была предложена модификация метода Федосова, приводящая к явно ковариантному виковскому »-произведению, а также сформулированы необходимые и достаточные условия, обеспечивающие глобальную эквивалентность между вейлевским и виковским квантованиями (в том случае, когда последнее существует) Изложению этих результатов посвящены разделы 1-3 настоящей главы

В первом разделе вводится понятие многообразия Федосова-Вика (ФВ) По определению, ФВ-многообразием называется пара (М,Л), где М - гладкое многообразие, а Л - билинейная комплекснозначная форма на касательном расслоении, удовлетворяющая условиям

1) ш — | (Л - А') - вещественная невырожденная 2-форма,

2) dunc ker Л = \ dim М,

3) левое (правое) ядерное распределение ker Л интегрируемо

Из этих условий непосредственно следует, что (i) и> - симплектическая 2-форма на М, (и) симметричная часть д = |(Л + Л4) билинейной формы Л невырождена, (ш) композиция I = g~L о ш Т°М -> Т СМ задает интегрируемую инволютивную структуру, те J2 = id и тензор Нейенхейса N(1) равен нулю, (iv) существует единственная симметричная связность V, в отношении которой форма Л ковариантно постоянна

Во втором разделе строится ваковское обобщение деформационного квантования Федосова Результатом квантования является ассоциативное »-произведение на C°°(Af)[[ft]], а также следовая мера dft, определяющая непрерывный следовой функционал на алгебре (C°°(M)[[ft]j, *) При этом выполняется следующее "граничное условие"

f *9 = f 9 + jA>3d,fd}g + 0(h2), № = gmAnmgm>

Кроме того, для любой открытой области U С М и любой комплекснозначной функции / 6 С°°(1/), инвариантной относительно действия правого (левого) ядерного распределения формы Л, выполняется равенство /*<? = / <7 (<?*/ = <? /)

В третьем разделе исследуется взаимосвязь между вейлевским и виковским квантованиями ФВ-многообразий Центральным результатом раздела является следующая

Теорема [10J Для того, чтобы виковское деформационное квантование ФВ-многообразия (М,А) было эквивалентно вейлевскому квантованию, необходимо и достаточно, чтобы замкнутая 2-форма R[jklfdxk Л dxl определяла нулевой класс когомологий де Рама М

Здесь R[]k - тензор кривизны единственной симметричной связности V, согласованной с виковской структурой Л, а /* - тензор инволютивной структуры

В четвертом разделе формулируется обобщение виковской схемы квантования на случай гамильтоновых систем со связями второго рода В частности, формулируются явные условия, которым должны удовлетворять связи теории, чтобы исходная (почти-)виковская поляризация объемлющего фазового пространства индуцировала интегрируемую виковскую поляризацию на поверхности связей

В пятом разделе ставится задача о построении естественного виковского квантования для кокасательных расслоений к римановым многообразиям Таким образом, исходным объектом конструкции является гладкое многообразие М (рассматриваемое как конфигурационное пространство некоторой механической системы), наделенное римановой метрикой 9 = gtJ(x)dx'dxJ Соответствующее фазовое пространство Т'М обладает естественной сим-плектической структурой ш = dx' A dp, Последняя интерпретируется как кэлерова 2-форма, отвечающая некоторой кэлеровой метрике

G = Gv(x,p)dx'dx3 + G3l(x,p)dx,dp} + G'3(x,p)VP,VPj

Здесь V - симметричная связность в Т*М, согласованная с метрикой д, а структурные функции Ог], й3г и С1 ищутся в виде формальных рядов по импульсам рг с коэффициентами, являющимися тензорными полями на М, при этом требуется выполнение следующих условий

1) м = дг1(х)йхЧх3 ,

2) Фтскег(£? + ги) = сЬтМ ,

3) кег((? + гш) - интегрируемое распределение

Показано, что условие интегрируемости левого (правого) ядерного распределения виков-ской формы Л = <У + ги/ приводит к цепочке рекуррентных соотношений на коэффициенты разложения С Исходя из этих соотношений формулируется явная пертурбативная процедура восстановления С? по заданной римановой метрике д и описывается общий произвол в решении Конкретное применение этой процедуры иллюстрируется на примерах римановых многообразий постоянной кривизны и нелинейных сигма-моделей В частности, в последнем случае указывается некоторый естественный класс метрик на конфигурационном пространстве полей сигма-модели, приводящий в линейном пределе к стандартному представлению операторов рождения-уничтожения

В шестом разделе предложена модель бозонной струны с некоммутативной геометрией мирового листа В основе конструкции лежит простое наблюдение, что, как любое двумерное риманово многообразие (М,д), мировая поверхность струны (в евклидовом пространстве) обладает естественной кэлеровой (а, следовательно, виковской) структурой

Л = д + ги, и = V дсЬ~ А <1о,

где д - метрика Полякова на М Используя Л на множестве струнных полей ХА(т, а), задающих вложение мировой поверхности М в объемлющее евклидово пространство, вводится виковское ^-умножение Действие некоммутативной бозонной струны имеет вид [13]

5„[Х, д] = \ [ йц {[ХА, Хв] * [ХА, ХВ] + ^а2) = [ и ({ХА, Хв}2 + а2) + ОН (1) " }м Jм

Здесь квадратные скобки означают коммутатор по отношению к виковскому »-произведению, а/л - соответствующую следовую меру, и - параметр деформации, а а - обратное значение параметра натяжения струны В пределе V —> О действие переходит в действие обычной бозонной струны в формулировке Шилда

В секции 4 % исследуются инстантонные решения струнных уравнений движения (1) в четырехмерном евклидовом пространстве К4 = С2 Последние удовлетворяют уравнениям

{[ХА, Хв) + аАВ)± = 0, а±валв = а2, (2)

где значок ± означает проекцию на самодуальную (антисамодуальную) часть антисимметричного тензора Для уравнений (2) строится общее решение в классе полей аналитичных по V Показывается, что эти решения исчерпывают все глобальные минимумы функционала (1) и соответствуют в коммутативном пределе и —> 0 голоморфным кривым в С2

ГЛАВА II Деформационное квантование квазисимплектических многообразий

В данной главе излагаются результаты работ [15, 16, 17] по квантованию нерегулярных пуассоновых многообразий Напомним, что скобка Пуассона называется нерегулярной, если ранг отвечающего ей пуассонова бивектора не постоянен, т е может меняться от точки к точке Уже сам факт вырожденности скобки Пуассона означает, что любая гамильтонова система, построенная на основе этой скобки, не допускает вариационной формулировки

В отличие от регулярного случая (где имеется теорема Дарбу о локальной эквивалентности пуассоновых структур одинакового ранга) квантование нерегулярных скобок Пуассона оказывается нетривиальной задачей даже в локальной постановке Прямое перенесение квантования Федосова с регулярных на нерегулярные пуассоновы многообразия оказывается принципиально невозможным ввиду отсутствия аффинной связности (ковариантной производной), согласованной с нерегулярной скобкой Пуассона Тем не менее, в упомянутых выше работах было показано, что, в отличие от квантования Федосова, метод Федосова допускает нетривиальные обобщения и может быть использован для квантования довольно широкого класса нерегулярных пуассоновых структур Чтобы дать представление о рассматриваемом классе многообразий приведем следующее выражение для скобок Пуассона

О, V/, 9 € Сса(М) (3)

Матрицы X и ш, входящие в это выражение, подчиняются некоторым дифференциальным условиям, гарантирующим выполнение тождества Якоби Геометрический смысл этих условий состоит в том, что X является якорем некоторого алгеброида Ли £ —» М над пуассо-новым многообразием М, а иг1 - 2-£-формой, замкнутой относительно Ли-алгеброидного внешнего дифференциала, = 0 Заметим, что эта интерпретация не накладывает

каких-либо жестких ограничений на ранг матрицы X, так что скобка (3) может быть вполне нерегулярной (хотя и вовлекает невырожденную форму ш) Рассматриваемые многообразия занимают, таким образом, некоторое промежуточное положение между симплектическими и общими пуассоновыми многообразиями, а потому были названы квазисимплектическими

Первый раздел главы является подготовительным Здесь даются необходимые определения, фиксируются обозначения и обсуждаются основные дифференциально геометрические конструкции, связанные с симплектическими алгеброидами Ли

Второй раздел начинается с изложения основной идеи предлагаемого метода квантования, суть которой состоит в том, чтобы проквантовать квазисимплектическое многообразие М посредством его вложения в некоторое суперпуассоново многообразие с "более простой" скобкой Пуассона Сама по себе процедура построения вложения включает три шага Прежде всего, пуассоново многообразие (М, {—, —}) реализуется как поверхность связей второго рода в тотальном пространстве расслоения £' дуального расслоению алгеброида Ли £ На следующем шаге теория со связями второго рода на £" конвертируется в эквивалентную калибровочную теорию (т е теорию со связями первого рода) на тотальном пространстве прямого произведения векторных расслоений N = £* Ф £ Эквивалентность означает, что пуассонова алгебра физических наблюдаемых на N изоморфна пуассоновой алгебре функций

на (Af, {-,-}) Наконец, полученная классическая калибровочная система квантуется методом БВФ-БРСТ-квантования Ключевым моментом при этом является то, что пространство физических наблюдаемых наЛ^, будучи отождествлено с определенной БРСТ-когомологией, оказывается наделенным довольно простой пуассоновой структурой, допускающей простое квантование По построению, »-произведение на алгебре физических наблюдаемых JV" индуцирует »-произведение на исходном квазисимплектическом многообразии М

Пуассонова структура на пространстве (неабелевой) конверсии N строится в терминах некоторой симметричной Ли-алгеброидной связности V, согласованной сш и имеет вид

{х11,х"} = 0, {ft,,*"} =*£(*),

{х", у°} = 0, {ра, уь} = -Г»с(х)ус, (4)

{у", у»} = ^(х), {ра,рь} = ua6(s) + Ць{х)рс - IRobcd{x)ycyd

Здесь {ра} и {?/"} - линейные координаты на слоях £ и £*, соответственно, - структурные функции алгеброида Ли, Г^, - коэффициенты связности a Rabcd ~ ее тензор кривизны (все индексы поднимаются и опускаются с помощью ш) Легко видеть, что скобки (4) хорошо определены и удовлетворяют тождеству Якоби, последнее воспроизводит определение тензора кривизны через коэффициенты связности, тождество Бианки, а также определяющие соотношения симплектического алгеброида Ли (£, X, ш) При этом, исходное квази-симплектическое многообразие М вкладывается в Н как поверхность связей второго рода уа = 0,ра = 0 Далее показывается, что данная система связей второго рода может быть заменена на эквивалентную систему первого рода

оо

Ta=pa + Y,t<* 1 b«(x)ybl 3/'". (5)

n=l

где коэффициенты разложения по у" находятся из требования инволюции {Та, Ть} — /¡ЬТС

Третий раздел посвящен БРСТ-БВФ-квантованию гамильтоновой системы со связями первого рода (5) В соответствии с общей процедурой - для каждой связи первого рода Т„ ~ 0 вводится пара антикоммутирующих переменных (Ca,Vb), подчиненных каноническим коммутационным соотношениям Духи С" и Рь естественным образом интерпретируются как линейные координаты в слоях (нечетных) векторных расслоений П£ и П£', соответственно Таким образом, исходное фазовое пространство расширяется до тотального пространства прямой суммы супервекторных расслоений Л4 = Л/"©ПА/, при этом, как и переменные конверсии уа, духовые переменные преобразуются как сечения векторного расслоения над М Эта геометрическая интерпретация приводит к следующему (неканоническому) продолжению пуассоновой структуры с многообразия Л/ на М.

{ра, С6} = , {Ра,Ть} = Г1ь(х)Тс (6)

Тогда классический БРСТ-заряд дается выражением П = СаТа

Далее, в пуассоновой алгебре функций на М выделяется подалгебра А. порождаемая функциями от х",уа,Са и С"ра Алгебра А® [[Й]] допускает относительно простое деформационное квантование в терминах ассоциативного о-умножения и содержит помимо квантового

БРСТ-заряда П все наблюдаемые исходной теории А именно показывается, что для каждой функции а 6 С°°(М) существует единственный элемент а & А® [[Й]], не зависящий от С и удовлетворящий условиям

йоа-аой~0, а|„=о = а, = 0 (7)

Таким образом, имеет место линейный изоморфизм а а а между пространством наблюдаемых исходной теории С°°{М) ® [[/г]] и квантовыми ВРСТ-когомологиями с духовым числом 0 Искомое ассоциативное »-произведение на квазисимплектическом многообразии (М, {—,—}) определяется теперь как обратный образ о относительно изоморфизма а

■>К

а * 6 = (а о 6)|„=о = а Ь + — {а, 6} + 0(П2), Уа,ЬбС°°(М)

В четвертом разделе ставится вопрос о наиболее общей дифференциально геометрической структуре, обеспечивающей факторизацию (3) пуассонова бивектора а € Г(Л2ТМ) в терминах инволютивного распределения Р = зрап{Ха} С ТМ я невырожденной формы и = (шаЬ) € Г(Л2£) Частичный ответ на это вопрос дает уже рассмотренная конструкция симплектического алгеброида Ли Для анализа более общих возможностей предполагается, что С°°(А/)-модуль Г(^) допускает конечную локально свободную резольвенту

ОГ(*0 £ Г(£) Г(£) ч- Г(^_х) £ Г(4) <- о, (8)

где £к —> М и <4 некоторая последовательность векторных расслоений над М и их гомоморфизмов (не обязательно постоянного ранга), причем £\ = £, а = X Далее показывается, что по каждой резольвенте (8) может быть построено ^^-многообразие, отвечающее инъективному п-алгеброиду Ли, а также приводятся примеры пуаесоновых структур, фак-торизующихся в терминах 2-алгеброидов Основным результатом данного раздела является следующая терема, дающая ответ на поставленный выше вопрос в случае 2-алгеброидов Ли

Теорема Пусть задан следующий набор данных

1) короткая точная последовательность

в которой £х —» М и £2 —> М - векторные расслоения над гладким многообразием М, Р -интегрируемое подрасслоение в ТМ, ад. и X - гомоморфизмы векторных расслоений над М (не обязательно постоянного ранга),

2) невырожденная, кососимметрическая, билинейная формам на£\, индуцирующая Пуассонов бивектор на базовом многообразии по правилу

а= {и,Х АХ) е Л2ТМ, [а, а] = О

(Здесь мы отождествляем X £х Р С ТМ с сечением £{ ® ТМ )

Тогда с каждым набором таких данных можно связать расслоение антипуассоновых алгебр Т над М вместе с абелевой связностью £> дифференцирующей Т так, что уравнение нулевой кривизны Т)г = 0 генерирует все структурные соотношения, возникающие из условия интегрируемости Р и тождества Якоби для а

ГЛАВА III. Эффективные нелагранжевы модели в классической теории поля

В данной главе рассматривается специальный класс нелагранжевых моделей, описывающих эффективную динамику заряженных релятивистских объектов (бран) с учетом радиационного трения В самом общем виде проблему учета реакции излучения можно сформулировать как задачу о самосогласованном решении классических уравнений движения для двух взаимодействующих полевых систем, определенных на пространствах различной размерности В случае, когда одна из полевых систем является линейной, отвечающие ей уравнения движения могут быть явно решены методом функций Грина Формальная подстановка этого решения в оставшиеся уравнения движения приводит к эффективным динамическим уравнениям для второй подсистемы (браны) Основная трудность при этом заключается в том, что, поскольку функция Грина в локальной теории поля имеет сингулярность в пределе совпадения аргументов, соответствующие эффективные уравнения движения оказываются плохо определенными (содержат бесконечности) Для "изгнания" этих бесконечностей и получения физически осмысленных результатов приходится прибегать к той или иной схеме регуляризации и перенормировки

Целью данной главы является развитие систематической процедуры регуляризации и перенормировки в классической теории поля с сингулярными источниками, а также приложение этой процедуры для исследования реакции излучения в ряде линейных и нелинейных моделей теории поля

В первом разделе обсуждается общая постановка задачи о реакции излучения в линейных моделях теории поля, а также структура запаздывающих функций Грина и сингулярных токов, ассоциированных с бранами Устанавливается критерий лагранжевости самодействия

Во втором разделе формулируется ковариантная процедура регуляризации самодействия Как известно, запаздывающая функция Грина G(x) безмассовых релятивистских волновых уравнений имеет неинтегрируемую особенность в вершине светового конуса х2 = О Именно наличие этой сингулярности является источником всех расходимостей, возникающих при попытке самосогласованного решения уравнений для взаимодействующей системы (поле)+(брана) Суть предлагаемого метода регуляризации состоит в сглаживании этой особенности путем аппроксимации светового конуса будущего (который, в зависимости от размерности пространства, либо ограничивает, либо задает носитель запаздывающей функции Грина G(x)) семейством гладких гиперболоидов х2 — е2, х0 > 0 так, что при е > 0 функция Ge(x) является регулярной обобщенной функцией на пространстве Минковского Основным результатом данного раздела является вывод асимптотического разложения по параметру регуляризации для так называемого производящего интеграла расходимостей

I = J в(-Х°(т)) 5(Х2(т) - е2) tp{r) сГт, Х"(т) = + г) - х"{т') (9)

Здесь г' - координаты на мировой поверхности браны, <р(т) - некоторая гладкая функция, вид которой зависит от структуры взаимодействия поля и браны, а также волнового оператора поля Если мировая поверхность браны N вложена в R*-1'1 так, что индуцированная метрика hl}(r) = на N невырождена, то г = 0 является невырожденной критиче-

ской точкой функции Х2(т) Последнее обстоятельство позволяет ввести в окрестности точки г = 0 координаты Морса, использование которых значительно упрощает вывод асимптотического разложения Подробности вычислений собраны в Приложениях А и В

Третий раздел посвящен исследованию реакции излучения в ряде конкретных моделей взаимодействия бран с фоновыми полями Так в секции 3 1 рассматривается эффективная динамика (га—1)-браны N с К1*-1,1, минимально связанной с калибровочным полем п-формы Н Динамика полной системы (поле)+(брана) описывается функционалом действия

5 = 5^+ [ (1Н/\*в,Н + е [ Н (10)

где 5л- - действие свободной браны, а е - константа связи

Применение развитой техники регуляризации позволяет показать, что учет самодействия в модели (10) приводит к [(с£—п)/2] расходящимся структурам, первые две из которых имеют вид

71 = ' 12 = V2**, (И)

где V, - ковариантные производные, построенные по индуцированной метрике /гч Видно, что наиболее сингулярное слагаемое 1\ отвечает за перенормировку параметра натяжения браны (при п = 1 - массы частицы) Параметр при втором сингулярном члене /г обычно называется жесткостью, поэтому сокращение этой расходимости осуществляется за счет перенормировки жесткости Формула (11) исчерпывает все контрчлены, необходимые для перенормировки классической модели (10), в случае, когда коразмерность браны N не превышает пяти

В секции 3 2 указаны специальные типы неминимального взаимодействия бран, приводящие к локализации поля самодействия на мировой поверхности браны Этот класс моделей интересен тем, что эффективные уравнения движения браны оказываются не только локальными, но и лагранжевыми

Известно, что знак (направление) силы самодействия источника существенно зависит от тензорной природы поля, которое он порождает Для неприводимого тензорного поля спина 5 этот знак равен (—I)4 (два одноименных электрических заряда отталкиваются, а две гра-витирующие массы притягиваются) Это простое наблюдение указывает на принципиальную возможность взаимного сокращения расходимостей в моделях с достаточно разнообразным спектром полей Ввиду этого, в секции 3 2 были получены эффективные уравнения движения (п — 1)-браны, минимально взаимодействующей со следующим мультиплетом тензорных полей калибровочным полем п-формы, скалярным полем и полем линеаризованной гравитации Показано, что за счет выбора свободных параметров можно всегда сократить две ведущие расходимости, что обеспечивает конечность эффективной динамики в случае браны коразмерности не выше пяти

Четвертый раздел посвящен выводу силы реакции излучения в модели безмассовой электрически заряженной частицы в К3'1 Случай безмассовой частицы является особым, поскольку индуцированная метрика на изотропности мировой линии частицы равна тождественно н>лю, что приводит к дополнительным (как лагранжевым, так и нелагранжевым) расходимостям по сравнению с массивным случаем Применение ковариантной процедуры

регуляризации позволяет получить следующие эффективные уравнения движения [20]

6.т Vе алг ) "" ¿т ^ ' ¿г ¿г ® - ¿т» «¡г® < и'

где регуляризованная сила реакции излучения имеет вид

Г;{т,е) =

ах

тх-

-3/2 , а2 2 -1 <*3 /(4) 11 , 11 (4) \ _,

"е + То к; Vх" 10 "ЁГ* *х»)

а„ = 12"/4Г (1 + л/4)

В последнем выражении точки над х означают действие репараметризационно инвариантной производной £> = параметр регуляризации, е - поле однады на мировой линии частицы, ад- электрический заряд Видно, что в пределе снятия регуляризации е —> 0 возникают три расходимости Члены при е~3/2 и е_1/4 оказываются лагранжевыми и сокращаются добавлением соответствующих контрчленов в исходный лагранжиан частицы Что же касается нелагранжевой расходимости при е-1, то соответствующее выражение, подобно конечной части в меняет знак при обращении времени т —> —г, а значит, должно интерпретироваться как (бесконечный) вклад в реакцию излучения Отметим, что перенормированные уравнения движения безмассовой частицы вовлекают шестую производную, в отличие от известного уравнения Лоренца-Дирака, являющегося дифференциальным уравнением третьего порядка

Пятый раздел посвящен анализу реакции излучения в нелинейных моделях теории поля В качестве базового примера рассматривается модель скалярного поля с т-точечной вершиной самодействия Устанавливается общая структура ряда теории возмущений по числу источников, а также условие классической перенормируемости теории Эта же техника затем используется для анализа гравитационного самодействия бран Центральным результатом раздела является вывод следующего общего критерия классической перенормируемости в терминах размерности констант связи теории

Утверждение [22] Пусть действие теории имеет структуру

Б[ф, х] = J <Рх{фОф + \дт1фт)+а I <Гтдк1фк(х(т))Лт) + [ж], (12)

где В - некоторый волновой оператор, ¿Г(т) - гладкая функция на мировой поверхности брани, а символ дк обозначает к производных в вершине Тогда теория является классически перенормируемой, если и только если выполняется хотя бы одно из трех условий

1)Ы + ^<0, [А] > 0,

2)М + ^<0, * = 1,

3) [а] < 0, [А] < 0, кф 1

Квадратными скобками обозначена размерность констант связи в единицах длины

В частности, для гравитирующей браны данный критерий перенормируемости дает следующее ограничение на коразмерность й—п < 2 Более того, оказывается, что при выполнении последнего условия эффективная динамика браны оказывается свободной от расходимостей

ГЛАВА IV. Геометрические модели и квантование спиновых частиц

Данная глава посвящена проблеме построения и квантования моделей спиновых частиц Эта область является одним из традиционных разделов теоретической физики с уже более чем восьмидесятилетней историей С течением времени мотивации к исследованию механических моделей частиц со спиновыми степенями свободы неоднократно менялись, трансформируясь от попыток классического описания динамики спина до интерпретации спиновых частиц как специфических примеров р-бран, являющихся, как считается, неотъемлемыми ингредиентами непертурбативной теории струн Следует также отметить и то, что теория релятивистких спиновых частиц сталкивается с известной частью трудностей (касающихся прежде всего проблем квантования и включения взаимодействия), подобных тем, что встречаются в теории струн и теории калибровочных полей высших спинов По этой причине модели спиновых частиц часто используются для отработки методов квантования струнных моделей и анализа совместности взаимодействий в теории калибровочных полей, что является еще одним стимулом к изучению этого класса моделей С геометрической точки зрения модели спиновых частиц доставляют содержательные примеры динамических систем с нетривиальной топологией физического фазового пространства, что делает необходимым привлечение глобальных методов квантования (геометрического или деформационного)

Предлагаемая в данной главе модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности строится на основе метода орбит Кириллова-Костанта-Сурье В этом подходе спиновая частица, как и любая другая элементарная динамическая система, описывается в терминах физического фазового пространства, отождествляемого с коприсо-единенной орбитой соответствующей группы фундаментальных симметрий Для массивной спиновой частицы в ¿-мерном пространстве Минковского К14-1'1 - это регулярные копри-соединенные орбиты группы Пуанкаре Известно, что множество всех таких орбит {Отз} параметризуется г + 1 числовым параметром т и 8 = («1, ,вг), где параметр т ассоциируется с массой, а в - со спином частицы Число г = [(й — 1)/2] совпадает с рангом группы пространственных вращений 5<Э(с! — 1) (малой группой Вигнера массивного представления группы Пуанкаре) Условие регулярности означает, что среди всех коприсоеди-ненных орбит группы Пуанкаре орбиты От>3 имеют максимальную возможную размерность, сЬт От.ц = (4— 1)((2+2)/2 — г Будучи однородными симплектическими многообразиями, орбиты От,3 оснащаются замкнутой невырожденной 2-формой ш, инвариантной относительно действия группы Пуанкаре

Динамика модели частицы определяется заданием структуры бирасслоения

К*-1'1 <2- £

для некоторого пресимплектического многообразия £ с замкнутой 2-формой П постоянного ранга Типичный слой ^'(а) с £ над точкой а 6 Отф соответствует интегральному листу ядерного распределения кегП, проходящему через точку а Другими словами, тг1 £ —> ~ £ / кег П и Й = тт^ш Пространственно-временная эволюция частицы получается проекцией 7Гг слоев п^ 1(о) на К1'-1"1 Функционал действия для траектории частицы

7 R —> £ имеет вид

S[7] = J в,

(13)

где ■д - локально определенный пресимплектический потенциал, те Г2 = М

Метод орбит играет унифицирующую роль, демонстрируя эквивалентность всевозможных моделей спиновых частиц на уровне физического фазового пространства Оборотной стороной универсальности метода является большой произвол в выборе пресимплектическо-го многообразия £ Этот выбор не может быть сделан на основе одних только теоретико-групповых соображений и требует привлечение дополнительных физических принципов

В первом разделе показывается, что в качестве такого дополнительного принципа может выступать следующее фундаментальное требование [7]

Пространственно-временная проекция iti £ —> К"1-1'1 классов калибровочно-эквивалентных траекторий [7] = ж¡~1(а), где а 6 От<s, определяет одномерные мировые линии в Rd-1,1

Данный постулат имеет простую физическую мотивировку, связанную с возможностью включения взаимодействия частицы с внешними полями А именно в случае, когда dim 7г2 [7] > 1 частица перестает быть локализованной в определенной точке пространства, но "заметает" некоторую калибровочную орбиту ненулевой размерности При этом все точки орбиты, являясь по определению физически эквивалентными, должны отождествляться друг с другом Включение взаимодействия частицы с внешними полями разрушает в общем случае однородность пространства-времени и делает такое отождествление физически противоречивым разные точки калибровочной орбиты проходят через разные точки пространства Минковско-го, а потому испытывают различное влияние фоновых полей С технической точки зрения проблема состоит в том, что включение взаимодействия с внешними полями увеличивает ранг пресимплектической формы, что приводит к появлению нефизических степеней свободы Простейший (и, по-видимому, единственный) способ удовлетворить сформулированному выше условию одномерности траекторий в пространстве Минковского состоит в том, чтобы подобрать такое однородное пресимплектическое многообразие (£, П), для которого dim £ = dim Om,s + 1 или, что то же самое, dim ker П = 1 Последнее требование уже однозначно приводит к фактор-пространству

где Я С 50(й— 1) С 50(й— 1,1) - подгруппа Картана группы пространственных поворотов, Н ~ [50(2)]г Используя разложение Ивасавы для группы Лоренца, можно видеть, что пространство £ имеет следующую структуру прямого произведения

Здесь мы отождествляем ¿-мерное пространство Минковского с подгруппой трансляций в группе Пуанкаре, а через В обозначили множество бустов (разрешимый фактор в разложении Ивасавы) Множество В может быть естественно параметризованно точками верхней

£ — (Группа Пуанкаре) /Н,

(14)

полы (ро > 0) двуполостнош гиперболоида РлРА + т2 = 0, (¿-вектор р может пониматься как импульс релятивисткой частицы, а константа т - как ее масса Таким образом, £зрт1еаа представляет собой не что иное, как пресимплектическое многообразие массивной бесспиновой частицы со стандартной пресимплектической структурой <1рл А ёхл Множитель Оа в (14), являющийся регулярной коприсоединенной орбитой 50(с! — 1), может рассматриваться как фазовое пространство спиновых степеней свободы

Во втором разделе строится явно ковариантная реализация расширенного фазового пространства частицы £ Прежде всего, множитель £тпиа&> отвечающий пресимплектическо-му многообразию скалярной частицы, вкладывается в кокасательное расслоение Т* (В^-1,1) пространства Минковского посредством условия массовой оболочки рлРА + ш2 = 0 Фазовое пространство спиновых степеней свободы Оа отождествляется с комплексным многообразием флагов Пресимплектическая 2-форма на £ дается выражением

П = фд А &сА + й * <Я?, (15)

где Ф - явно ковариантный кэлеров потенциал на От,8! зависящий от р 6 В и в

Третий раздел посвящен геометрическому квантованию модели свободной спиновой частицы В соответствии с общей процедурой мы рассматриваем эрмитово линейное расслоение В -» От,3 со связностью V и кривизной ш Стандартные условия преквантования симплек-тической формы ш, обеспечивающие существование V, требуют, чтобы числа з, принимали (полу)целые значения Далее, на орбите От,а вводится естественная пуанкаре-инвариантная поляризация V, представляющая собой комбинацию вертикальной поляризации на кокаса-тельном расслоении к массивному гиперболоиду р2 + т2 = 0 (импульсное представление) и положительно-определенной кэлеровой поляризации на <Э„ Используя V, определяется подпространство Гр(От^) С Г(Ст>3) поляризованных сечений

ФбГя(От18) УлгФ = 0, ЫХеТ (16)

Показывается, что в случае целого спина, после выбора локальной тривиализации, каждое поляризованное сечение представляется комплекснозначной функцией

Ф = ФМтмь) ¿, = ¿5,, А(1) = А1 А>, (17)

»=1

где симметрия индексов тензорного поля ф описывается диаграммой Юнга с г-строками, а само поле удовлетворяет полному набору релятивистских волновых уравнений

{р2 + т2)ф(р)м,1№) С(1г) = 0, рАф(р) А =0, пАВ'ф{р) А в =0 (18)

Наконец в четвертом разделе строится минимальное взаимодействие спиновой частицы с внешними гравитационными и электромагнитными полями и анализируются соответствующие уравнения движения В частности, устанавливается, что при ненулевом тензоре кривизны фоновой метрики мировая линия спиновой частицы отклоняется от соответствующей геодезической на величину порядка постоянной Планка

ГЛАВА V. Гомологическая механика - гамильтонова версия

В данной главе формулируется процедура деформационного квантования для так называемых слабо гамилыпоновых систем Предлагаемая конструкция может рассматриваться как некоторое естественное, но далеко не тривиальное обобщение метода БВФ-БРСТ-квантования на случай негамильтоновых калибровочных теорий общего вида Возможность такого обобщения вытекает из следующих простых соображений

Как известно, пространство физических степеней свободы калибровочной теории возникает в результате комбинированного применения двух механизмов редукции (1) ограничение динамики на поверхность связей и (и) факторизации поверхности связей по действию калибровочных преобразований Согласованность операций ограничения и факторизации требует, чтобы генераторы калибровочной симметрии На = Лгад, сохраняли поверхность связей Та = 0 и задавали на ней интегрируемое распределение Физические наблюдаемые определяются как функции на фактор-пространстве поверхности связей по действию калибровочных генераторов Наконец, динамика системы определяется фазовым потоком $ М —> М, сохраняющим как поверхность связей, так и калибровочное распределение В общем случае, можно считагь, что связи Т и генераторы Я являются не просто наборами скалярных функций и векторных полей на М, а сечениями некоторых векторных расслоений £ 1 и £2 ® ТМ, соответственно Заметим, что данное определение классической калибровочной системы не требует существования на фазовом пространстве М пуассоновой (или даже симплектиче-ской) структуры В то же время результатом квантования калибровочной системы должно являться »-произведение, обладающее свойством ассоциативности, вообще говоря, лишь на множестве физических величин, а не на всем пространстве С°°(М)[[Й]] Можно видеть, что квазиклассическим пределом такого "слабо ассоциативного" »-произведения, должна являться скобка Пуассона на М, обладающая тождеством Якоби лишь в пространстве калибровоч-но инвариантных величин и только на поверхности связей Аналогичные свойства "слабой пуассоновости" должны иметь место и для фазового потока $

В первом разделе показано, что изложенные выше аргументы допускают следующую алгебраическую формализацию Пусть А(М) - антипуассонова алгебра поливекторных полей на фазовом пространстве системы М и 3 = (Я,Т) - антипуассонов идеал в А(М), порожденный Я и Т так, что Ал3 С 3 и [3, 3} с 3 Рассмотрим фактор-алгебру Ау(М) = А■/(М)/3, где А}(М) - стабилизатор 3 в А{М) Коммутативная подалгебра А^(М) естественным образом отождествляется с алгеброй физических наблюдаемых, а А^(М) - с алгеброй Ли векторных полей, задающих однопараметрические автоморфизмы алгебры А®(А/)) Наконец, самокоммутирующие элементы из А2{М), т е такие бивекторы 7г, что [7г,7г]./ = 0, определяют различные пуассоновы структуры на Л°(М) По определению, слабой пуассоновой структурой на М (или структурой) называется любой представитель Р € А2{М) бивектора 7г, в этом случае [Р,3] С 3, [Р, Р] € 3 Векторное поле V € А1(М) называется слабо гамилъто-ноеым по отношению к Р, если оно представляет некоторый пуассонов вектор и € А],(М) для 7г, т е [V, 7] С 3 и [V, Р] € 3 Тройка объектов (3, Р, V) с указанными выше свойствами называется слабой гамильтоновой структурой на М

Во втором разделе для подфактора Л/(М) антипуассоновой алгебры А(М) строится свободная резольвента Для этого в соответствии с общей идеологией БРСТ-теории исходное фазовое пространство М расширяется до тотального пространства 2-градуированного векторного расслоения М. = ^[—1] © £г[1] (числа в квадратных скобках указывают на духовое число координат слоя), при этом поливекторная алгебра Л(Л4) естественно изоморфна антипуассоновой алгебре функций С°°(АГ) на нечетном кокасательном расслоении N = Т*[1]М относительно канонической антискобки Производящие уравнения БРСТ-алгебры имеют вид

(5,5) = 0, (5,17) = 0, (19)

где генераторы 3 к II подчинены условиям gh(S) = 2, gh(f7) = 1, = 0, Щм = О На основе стандартной гомологической теории возмущений доказывается, что для каждого регулярного идеала J — (Я, Т) уравнения (19) имеют единственное (с точностью до антиканонического преобразования) решение, удовлетворяющее граничным условиям

5 = ГТа{х)+ *х1В!а{х)са+ £,рч(х) + , и = \Г(х)ъ +

Здесь Р - слабая пуассонова структура, а V - слабо пуассоново векторное поле на (М, .7) Генератор 5 задает классический БРСТ-дифференциал на алгебре функций С°°(М)

<Э/ = (5,/)|м, V/ е С°°(М), (20)

и, как доказывается, алгебра физических наблюдаемых Л°(М) изоморфна алгебре классических ВРСТ-когомологий с духовым числом 0

В третьем разделе строится деформационное квантование слабой гамильтоновой структуры (Р, V, 1) Конструкция основана на применении суперсимметричной версии теоремы формальности Концевича, устанавливающей квазиизоморфизм А(Л4) В(М) между алгеброй Схоутена поливекторных полей К(М) = ®„ея и алгеброй Герштенхабера полидифференциальных операторов £>(М) = ф £>п(А4) Наличие квазиизоморфизма означает, что по каждому решению (5, II) классических мастер-уравнений (19) может быть построена пара формальных полидифференциальных операторов 8,1/ € 0(Л4)[[Щ, удовлетворяющих квантовым мастер-уравнениям на скобках Герштенхабера

[5,5]е=0, [5,г/]е = 0 (21)

с граничными условиями

5 = т + (5) + О {К2), й = ПРг (и) + 0(П2) (22)

Здесь т(/,д) = / д - бинарный оператор поточечного умножения функций из С°°(М), а Р; Ап(М) Оп(Л4) - естественное вложение, отождествляющее п-вектор с кососимметри-ческим дифференциальным оператором на п функциях

Далее показывается, что неоднородный оператор 5 задает на С°°(Л^)[[Я]] структуру Л»-алгебры С этой целью генераторы 5 и й разлагаются в сумму однородных полидифференциальных операторов

оо оо

5 = ^5" = Л + <3 + П + Ф+ , и = = + Г + Н + - (23)

п=0 п=0

В общем случае разложения (23) начинаются с 0-местных операторов А, А' е C'°°(jM)[[/i]j, т е функций с духовыми числами 2 и 1, соответственно Эти функции аннигилируются классическим БРСТ-дифференциалом (20), а их классы когомологий [А] 6 H2(Q) и [А'] е Hl{Q) интерпретируются как квантовые аномалии В безаномальной ситуации, не ограничивая общности, можно считать, что А = А! — 0 (плоская Ацо-структура) Тогда решения (23) мастер-уравнений (19) имеют следующий смысл

Гомологическое векторное поле Q поднимается до формального дифференциального оператора Q с нулевым квадратом Бидифференциальный оператор П задает »-произведение

oft

/ * g = П(/, g) = / fl+y{/,S} + 0(ft2), (24)

причем первый порядок по h определяется слабой скобкой Пуассона Это »-произведение обладает свойством слабой ассоциативности

{f*9)*h-f*(9*h) = Q(4f,9,h))

(25)

+Ф(0(/), <?,Ь) + (~1У(ЛШШ,Ь) + (-1 )^<s^{f,g,Q(h))

и дифференцируется квантовым БРСТ-оператором

Q(f * 9) = Q(f) * д + (-1 Y(f)f * Q(g) (26)

Вместе соотношения (25,26) означают, что слабо ассоциативное »-произведение в С°°(Л<)[[/г]] индуцирует ассоциативное »-произведение в когомологиях оператора Q В частности, квантовые БРСТ-когомологии с нулевым духовым числом образуют замкнутую »-подалгебру, отождествляемую с алгеброй квантовых наблюдаемых теории

Аналогично, из второго уравнения в (21) следует, что оператор Г коммутирует с Q и дифференцирует »-произведение с точностью до гомотопии

Г (/*<?) - (Г/) * д — f »(fg) = Q(H(/,g)) + S(Q(/),g) + (-1 )<Щ1,Я(д)) (27)

Вследствие этого Г индуцирует дифференцирование в »-алгебре физических наблюдаемых Квантовые уравнения движения системы принимают вид

о = го,

где О - коцикл, представляющий квантовую БРСТ-наблюдаемую [О] € ?i°(Q)

В четвертом разделе на основе метода Александрова-Концевича-Шварца-Заборонского строится двумерная топологическая сигма-модель и показывается, что »-произведение физических наблюдаемых исходной теории соответствует некоторым специальным корреляторам граничных наблюдаемых топологической сигма-модели Данная конструкция обобщает на случай Роо-структур известный подход Катанео-Фельдера к построению ассоциативных *-произведений путем квантования пуассоновой сигма-модели

ГЛАВА VI Гомологическая механика - лагранжева версия

В данной главе рассматривается лагранжев аналог изложенной выше конструкции деформационного квантования невариационных динамических систем Термин "лагранжев" указывает на то, что здесь мы работаем в терминах конфигурационного пространства траекторий, а не фазового пространства состояний системы При таком способе описания физическое время (как параметр эволюции) перестает играть выделенную роль среди прочих пространственно-временных координат, что дает некоторое преимущество при работе с теориями, обладающими общекоординатной инвариантностью Таким образом, исходным объектом является пространство Yx гладких отображений х X —у Y конечномерного многообразия X в некоторое конечномерное или бесконечномерное многообразие У В контексте локальной теории поля конфигурационное пространство полей Yx обычно называется пространством историй, а истинные истории определяются как решения некоторой системы дифференциальных уравнений

Та(х>) = 0 (28)

Поскольку уравнения поля (28) не предполагаются лагранжевыми, супериндексы г и а, нумерующие поля и уравнения движения, могут быть никак не связаны друг с другом Уравнения Т = {Та(я)} трактуются как сечение некоторого векторного расслоения £ —» М над подпространством всех полей М С Yx с заданными граничными условиями При такой интерпретации множество всех истинных историй £, принадлежащих М, отождествляется с нулями сечения S = {х € М\ Т{х) = 0 } Поверхность 2 называется массовой оболочкой, а векторное расслоение £ - расслоением динамик

Во избежание патологических примеров динамических систем на уравнения (28) накладываются условия регулярности По определению, набор (£, Т) задает регулярную калибровочную систему типа (т,п), если Е ф 0 и существует такая последовательность векторных расслоений М и их морфизмов

О ATM-Af-Af,-» ->■£„-+О, (29)

что выполняются следующие условия

1) существует такая открытая окрестность U массовой оболочки Е, что при ограничении на U все морфизмы (29) имеют постоянный ранг,

2) будучи ограниченной на Е, последовательность (29) становится точной

Здесь J = VT - матрица Якоби уравнений движения, построенная по любой связности V в расслоении £ Сечения йи Z интерпретируются как генераторы калибровочной симметрии и тождеств Нетер соответственно, а остальные гомоморфизмы в (29) отвечают генераторам т-кратной (n-кратной) приводимости калибровочных симметрий (тождеств Нетер) Отметим, что для нелагранжевых калибровочных теорий известная теорема Нетер, устанавливающая равенство между числом калибровочных симметрий и тождеств, уже не верна Например, в разделе 6 настоящей главы рассматриваются примеры квантования калибровочно инвариантных теорий с линейно независимыми уравнениями движения и, наоборот, - зависимых уравнений движения без калибровочных симметрий

Пусть задана регулярная калибровочная система (<?, 71) Под лагранжевой структурой, согласованной с (£,Т), понимается всякое К-линейное дифференцирование йе Г(ЛП£) —» Г(/\"~1£) степени 1, удовлетворяющее условию ¿¿Т = 0 (При этом полагается, что Г(Л°£) = С°°(М)) Из данного определения непосредственно следует, что оператор <1е определяет мор-физм векторных расслоений V £' -» ТМ Соответствующее сечение V € Г(£ ® ТМ) называется лагранжевым якорем

Вводятся понятия регулярности и полноты лагранжевой структуры Лагранжева структура (£, Т, ¿¿) называется регулярной в точке р € М, если существует окрестность V С М точки р, при ограничении на которую морфизм

ДФУ £.!®Г->ТМ (30)

имеет постоянный ранг г Число г, когда определено, называется рангом лагранжевой структуры в точке г Лагранжева структура называется полной в точке р е М, если ограничение отображения (30) в р сюръективно Используя данные понятия, формулируется следующая юорема о локальной структуре регулярной калибровочной динамики

Теорема (о расщеплении [27]) Для каждой регулярной точки р 6 М лагранжевой структуры {£, Т, с1е) существуют такие локальные координаты (у1, , у', г1, , хк) с центром в р и такой набор локальных функций в (у), Е1(у), , Ек(у), что уравнения движения Та(у, г) = 0 эквивалентны системе

яс!г,л

'■ 0, =

ду1

при этом лагранжев якорь V = (VJ, V}) задается следующим векторным распределением

VJ — 0 = А +

Здесь число т - ранг лагранжевой структуры в точке р € М

Таким образом, имеется взаимооднозначное соответствие между лагранжевыми калибровочными системами и полными лагранжевыми структурами В общем случае, когда г < dim М, функционал S(y) называется частичным действием

В секции 1 4 обсуждается связь лагранжевой структуры с Soo-алгеброй, ассоциированной с коммутативной алгеброй функций на тотальном пространстве Z-градуированного векторного расслоения С = (Фь^-^М) ® £[-1] ® (®l=1£k[-k — 1]) В следующем разделе 2 строится явное БРСТ-описание Дх>-алгебры для калибровочных систем типа (1,1), ассоциирующихся с 4-членной последовательностью (29)

0 —» ТМ £ G 0,

где, как и выше, М - пространство историй, £ - расслоение динамик, а Т и Q - расслоения (неприводимых) калибровочных симметрий и тождеств Нетер соответственно Пространство

С расширяется до кокасательного расслоения N = Т'С, на котором вводится каноническая

скобка Пуассона {-, —} и классический БРСТ-заряд О По определению, А есть нечетный

элемент пуассоновой алгебры С°°(ЛГ), удовлетворяющий следующим требованиям

1) gh(fi) = l, П|£ = 0,

2) n = rfTa + caR'axt + + f^i, + ,

3) {n,fi} =0

Здесь хг - локальные координаты на М, с", т)а, и £А - линейные координаты на слоях ^"[1], <?[—1] и Q\—2] соответственно, а черта над переменной означает канонически сопряженный импульс Точками в (2) обозначены слагаемые, как минимум, линейные по rja и са или квадратичные по xt Существование Q доказывается стандартными методами гомологической теории возмущений Уравнение (3) известно как (классическое) мастер-уравнение Его выполнение эквивалентно выполнению цепочки обобщенных тождеств Якоби для плоской ^-структуры, ассоциированной с высшими (производными) антискобками

Sn(ai, ,а„) = { {{П,ах},а2}, ,а„}, акеС°°{С), га = 1,2,

Секция 2 4 посвящена гамильтоновой интерпретации БРСТ-комплекса (C°°(jV),n) А именно показывается, что каждая лагранжева структура определяет лагранжево подмногообразие L С Т*М в кокасательном расслоении к пространству траекторий системы (фазовом пространстве полей и источников) как поверхность (приводимых) связей первого рода

Та(х, х) = TJx) + V'(x)xt + 0(х2) 0, Ra(x,х) = Л'а(х)хг + 0(х2) и 0

Заметим, что связи 0/ = (Т„, Ла) могут рассматриваться как формальная деформация га-мильтоновых связей, задающихся ведущими членами разложений, "в направлении" лагран-жевого якоря V Это наблюдение позволяет интерпретировать лагранжеву структуру как формальную деформацию "затравочного" лагранжева подмногообразия Lq С Т*М, выделяемого уравнениями Та{х) = 0 и Ra(x)x% — 0 Соответствующее гамильтоново действие

5я[А,ж,х]= / 2 dt(x,x' — X'9i(x, х)) (31)

Jti

может интерпретироваться как действие топологической сигма-модели на (d + 1)-мерном пространстве X х К Показывается, что при нулевых граничных условиях на импульсы xt(ti) — xt(t2) = 0, классическая динамика (лагранжевой) топологической модели (31) эквивалентна исходной (не)лагранжевой динамике с уравнениями Та(х) = О

В третьем разделе проводится каноническое квантование классического БРСТ-комплекса (П, C°°(Af)) С использованием нормальных символов операторов на кокасательном расслоении ЛГ = Т*С классическому БРСТ-заряду Q сопоставляется эрмитов оператор П. удовлетворяющий квантовому мастер-уравнению Ö2 = 0 Квантовая алгебра физических наблюдаемых и пространство физических состояний определяются как соответствующие БРСТ-когомологии с духовым числом 0, так что в отсутствие аномалий вся физическая динамика описывается в терминах #°р(Й)-модуля ЯЦ.(П)

Поскольку эффективная гамильтонова теория со связями (31) является чисто топологической, пространство (П) по существу одномерно и натягивается на единственное (с точностью до БРСТ-границы) физическое состояние |Ф), удовлетворяющее уравнению

П|Ф) = 0 (32)

Взятое в координатном представлении, это состояние имеет смысл амплитуды вероятности на расширенном пространстве траекторий системы С Соответственно, уравнение (32) интерпретируется как обобщенное уравнение Швингера-Дайсона Показывается, что в случае обычной калибровочной теории с (мастер-)действием S это уравнение приводит к фейнма-новской амплитуде вероятности Ф = eis, а для теории с нулевым лагранжевым якорем - к классической амплитуде Гоци Ф = 6(Та) Квантовое среднее по траекториям для физической величины [О] € H°p({l) определеятся теперь обычной квантово-механической формулой

где (Ф1|Ф2)й' = (ФхМ^' ^Фг) - регуляризованное скалярное произведение в пространстве физических состояний, ассоциированное с калибровочным фермионом К

Рассматривая регуляризующий фактор est0-*) как оператор эволюции, отвечающий БРСТ-тривиальному гамильтониану Я = [П, К\, в секции 3 2 выводится следующее интегральное представление для квантовых средних (33)

{О) = (const) J VpVip0(tp(l)) exp ~ jT dt(<pl4>1 - {ft, K\), (34)

где (¡p1, ф[) - пары канонически сопряженных координат на N = Т* С и интегрирование ведется по всем траекториям с гранусловиями ipi(0) = ¥>/(1) = О

В четвертом разделе проводится детальное сравнение предложенного метода квантования нелагранжевых калибровочных теорий с классическим методом Ваталина-Вилковыского Пятый раздел посвящен выводу альтернативного интегрального представления для амплитуды вероятности и квантовых средних физических величин нелагранжевой теории в терминах некоторой лагранжевой модели на исходном пространстве X, но с расширенным (огментированным) спектром полей В качестве конфигурационного пространства огменти-рованной теории берется тотальное пространство векторного расслоения £* М (дуального к расслоению динамик £) В результате проведения процедуры огментации исходная (нелагранжева) динамика на М продолжается в £' так, что полная система является уже лагранжевой Функционал действия огментированной теории имеет следующую структуру

5aug(x, у) = уаТа(х) + y°yhGab(x) + 0(у3) (35)

Здесь у - поля огментации, a Gah — V£d,Tb — V£d,Ta - обобщенная матрица Ван Флека, отвечающая классическим уравнениям движения Та(х) = 0 и лагранжевому якорю V С использованием стандартной техники гомологической теории возмущений выводятся явные рекуррентные формулы для вычисления 5aug в любом порядке по у Показывается, что для локальных уравнений движения и локального лагранжевого якоря действие огментированной теории Saug {х, у) является локальным функционалом полей Процедура огментации устроена так, что континуальный интеграл, отвечающий усреднению фейнмановской амплитуды Ф = e»Sau8 по слоям векторного расслоения £*, определяет амплитуду вероятности исходной нелагранжевой теории на М А именно,

Ф(х) = J Dye*s'°*lx'y) => (О) - JDxDyO(x)e^s^x-y),

где интеграл берется по всем у, удовлетворяющим нулевым гранусловиям

Шестой раздел посвящен приложениям развитой выше техники квантования к ряду актуальных нелагранжевых моделей теории поля максвелловской электродинамике с монополями, киральным бозонам в размерностях d = 4п 4- 2, уравнениям Дональдсона-Уленбек-Яу Во всех случаях найдены явно ковариантные локальные лагранжевы структуры и определены континуальные интегралы для квантовых средних физических величин В частности, установлена взаимосвязь между огментированой теорией Дональдсона-Уленбек-Яу и калиброванными G/G ВЗВ-моделями на кэлеровых многообразиях

ГЛАВА VII. Характеристические классы калибровочных систем

Глава посвящена определению, построению и классификации характеристических классов калибровочных систем С чисто математической точки зрения каждая классическая калибровочная система определяется заданием некоторого супермногообразия М, оснащенного гомологическим векторным полем Q, те нечетным векторным полем, удовлетворяющим условию интегрируемости Q2 = 0 Наличие гомологического векторного поля наделяет пространство гладких тензорных полей на М структурой дифференциальной ассоциативной алгебры, в которой роль оператора кограницы 6 играет производная Ли вдоль гомологического векторного поля Q Пусть V - некоторая симметричная связность (ковариантная производная) на М Характеристические классы Q-многообразия определяются как классы когомологий универсальных ¿-коциклов, строящиеся в терминах гомологического векторного поля, тензора кривизны связности и их ковариантных производных до некоторого конечного порядка Термин "универсальный" подчеркивает то обстоятельство, что ¿-замкнутость универсального коцикла является следствием одного лишь условия интегрируемости и не апеллирует к конкретной структуре гомологического векторного поля

В первом разделе дается определение характеристических классов (¡^-многообразий, приводятся некоторые примеры Q-многообразий и универсальных коциклов, а также доказывается теорема о независимости харклассов от выбора симметричной связности

Во втором разделе вводится понятие внутренних характеристических классов По определению, характеристический класс называется внутренним, если он не обращается тождественно в нуль на плоском Q-многообразии Дополнение к множеству внутренних харклассов назовем пространством исчезающих харклассов В отличие от исчезающих харклассов, внутренние характеристические классы в большей степени отражают аналитическую структуру гомологического векторного поля Q нежели топологическую структуру супермногообразия М Простейшими примерами внутренних универсальных коциклов являются тензорные степени гомологического векторного поля Qm Обозначим через Я^'(М) тензорную алгебру внутренних харклассов По определению, Hq1(M) есть фактор-алгебра тензорной алгебры всех харклассов по подалгебре исчезающих харклассов Центральным результатом данного раздела является следующая классификационная теорема

Теорема Пусть М - плоское Q-многообразие Тогда алгебра Hq1(M) свободно порождается характеристическими классами А-, В- и С-серий, а также классом 5-когомологии [Q]

самого гомологического векторного поля, с помощью трех операций

1) образование линейных комбинаций с постоянными коэффициентами,

2) тензорного умножения,

3) перестановки индексов тензорных коциклов

Упомянутые в теореме три бесконечные серии характеристических классов имеют следующее простое описание

А-серия Пусть Л = ~ нечетное тензорное поле типа (1,1). задающееся первыми ковариантными производными гомологического векторного поля Универсальные коциклы А-серии суть (^-инвариантные функции вида

С°°(М) ЭЛ„ = Б^Л2"-1), Уп 6 N, (36)

где под знаком суперследа стоят матричные степени эндоморфизма Л

В-серия Универсальные коциклы В-серии являются тензорными полями типа (1,п + 1) Будем интерпретировать п-й член серии Вп как п-форму на ТМ со значением в эндоморфизмах касательного расслоения Тогда для любого набора векторных полей Хг, ,Хп полагаем

Еп6(ТМ) Э Вп(Хи ,Х„)=УХ1Л у*2Л Улг„Л (37)

Здесь, как и выше, точка означает матричное умножение эндоморфизмов

С-серия Эта серия получается из серии В взятием суперследа эндомрфизмов В^(Х\, , Хп), а именно

Сп(Хъ ,Хп) = Би(УхЛ ЧХгА У*„Л) (38)

Таким образом, универсальный коцикл Сп является ковариантным тензором ранга п

Далее ставится задача о распространении данного результата на произвольные (не обязательно плоские) (^-многообразия Совершенно элементарно это удается сделать для характеристических классов В я С серий Показывается, что (1,2)-тензор О е А(М) <8> Епс1(ТЛ/), определенный по правилу Пх — Vд:Л + Лдх, где Е<ух = [Уд, Уд-] 6 Еп<1(ТМ) - тензор кривизны симметричной связности V, является ¿-коциклом для всех V Поэтому внутренние универсальные коциклы, отвечающие В- и С-сериям и произвольной связности V, получаются из (37) и (38) путем простой замены Ух Л >-» О* В отношении характеристических классов А-серии показано, что возможность их продолжения на неплоское (^-многообразие накладывает на последнее некоторые топологические ограничения А именно для существования харкласса Ап требуется, чтобы п-й характер Понтрягина касательного расслоения ТМ равнялся нулю При сделанном предположении функция (36) может быть всегда достроена высшими поправками по тензору кривизны до некоторого ¿-коцикла

Третий раздел посвящен интерпретации некоторых из построенных харклассов как препятствий к разрешимости квантовых мастер-уравнений в лагранжевом БВ- и операторном БВФ-БРСТ-формализмах Показывается, что класс Аг (модулярный класс калибровочной теории) отвечает за однопетлевые аномалии в методе БВ-квантования, в то время как класс С2 вносит основной вклад в двухпетлевые аномалии в методе БВФ-БРСТ Приводится пример калибровочного слоения с нетривиальным модулярным классом

В Заключении кратко сформулированы основные результаты диссертационной работы

Приложение А содержит описание пертурбативной процедуры построения координат Морса в окрестности невырожденной критической точки функции

Приложение В содержит вывод асимптотического разложения по параметру регуляризации для производящего интеграла расходимостей в моделях р-бран с самодействием

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1 Построено виковское обобщение деформационного квантования Федосова для кэлеро-вых и паракэлеровых многообразий общего вида Установлены явные когомологические препятствия к существованию глобальной эквивалентности между виковским и вейлевским квантованиями В случае гамильтоновых систем со связями установлены эффективные критерии, которым должны удовлетворять связи второго рода, чтобы редуцированное фазовое пространство обладало кэлеровой поляризацией, согласованной с поляризацией объемлющего фазового пространства

В контексте этой же проблематики поставлен и решен вопрос о существовании виков-ской структуры для гамильтоновых систем на кокасательных расслоениях к римановым многообразиям Показано, что такая структура всегда может быть построена исходя из римановой метрики на конфигурационном пространстве в классе наблюдаемых анали-тичных по импульсам Указан конкретный сценарий приложения данной конструкции к проблеме непертурбативного виковского квантования нелинейных сигма-моделей

2 На основе развитой схемы виковского квантования построена модель бозонной струны с некоммутативной геометрией мирового листа, являющаяся полевым аналогом матричной 1ККТ-модели Показано, что наличие некоммутативности эквивалентно включению взаимодействия бозонной струны с бесконечным мультиплетом фоновых полей, согласованных с условиями ТУоо-симметрии Для случая некоммутативной струны в четырехмерном евклидовом пространстве найдены явные решения уравнений движения, являющиеся струнными аналогами инстантонных решений в теории Янга-Миллса

3 Разработан общий ковариантный метод регуляризации и перенормировки силы реакции излучения в линейных и нелинейных моделях теории поля с сингулярными источниками В случае линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия источников Доказана лагранжевость его сингулярной части в случае регулярного вложения мировой поверхности источника в объемлющее пространство Минковского Для нелинейных моделей разработана пертурбативная процедура вычисления членов асимптотического ряда и установлена структура ведущих расходимостей

Введено понятие классически перенормируемой теории поля с сингулярными источниками, аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля Доказана классическая перенормируемость линейных моделей и установлены общие критерии

классической перенормируемости в терминах размерностей констант связи теории Изучен ряд конкретных моделей минимального и неминимального взаимодействия р-бран с калибровочными полями (р + 1)-форм, скалярным полем и полем линеаризованной гравитации и получены явные соотношения на размерности и константы связи теории, обеспечивающие взаимное сокращение расходимостей

На основе развитой техники регуляризации и перенормировки выведены эффективные уравнения движения для массивной заряженной частицы в пространстве-времени произвольной размерности, являющиеся многомерными обобщениями уравнения Лоренца-Дирака, а также получены эффективные уравнения движения для безмассовой заряженной частицы в четырехмерном пространстве Минковского

4 В рамках общего геометрического подхода Кириллова-Костанта-Сурье предложена классическая модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности, допускающая непротиворечивое взаимодействие с произвольными внешними электромагнитными и гравитационными полями Проведено геометрическое квантование модели и показано, что в зависимости от выбора свободных параметров, соответствующая квантовая теория описывает неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре произвольного фиксированного спина

5 Сформулирована процедура БРСТ-квантования квазисимплектических многообразий, ассоциированных с алгеброидами Ли Показано, что предложенная процедура может быть также использована для квантования треугольных биалгебр Ли

Сформулирована БРСТ-подобная производящая процедура для иерархии дифференциально геометрических структур, обобщающих классическое уравнение Янга-Бакстера на случай п-кратно приводимых алгеброидов Ли, согласованных с невырожденной г-матрицей В частности, установлено взаимооднозначное соответствие между категорией симплектических 2-алгеброидов Ли и расслоениями антипуассоновых алгебр с абелевой связностью Федосова

6 Разработана БРСТ-теория негамильтоновых калибровочных систем со связями, являющаяся обобщением стандартной схемы БВФ-БРСТ-квантования Под негамильто-новыми калибровочными теориями со связями понимаются динамические системы в фазовом пространстве, физические степени свободы которых получаются ограничением на поверхность связей и последующей факторизацией по действию калибровочных преобразований, при этом не предполагается, что соответствующий фазовый поток, задающий эволюцию системы и согласованный с редукцией, может быть получен на основе принципа наименьшего действия Для тахого рода систем введено понятие слабой гамильтоновой структуры и построены производящие уравнения БРСТ-алгебры В случае, когда исходное фазовое пространство снабжено слабой пуассоновой структурой (бивекторным полем, индуцирующим скобку Пуассона в пространстве физических величин), построено деформационное квантование системы на основе теоремы формальности Концевича и дана его сигма-модельная интерпретация

7 Предложено обобщение стандартной схемы БВ-квантования на случай нелагранжевых калибровочных систем общего вида Ключевым элементом конструкции является введенное впервые понятие лагранжевой структуры, которая может рассматриваться либо как "сильно гомотопическое" обобщение стандартной БВ-алгебры, либо как нечетный аналог слабых скобок Пуассона Задание лагранжевой структуры позволяет сформулировать обобщенное уравнение Швингера-Дайсона на квантовую амплитуду вероятности теории или производящий функционал функций Грина

Показано, что квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий нелагран-жевой системы допускает два эквивалентных представления в терминах континуального интеграла ддя некоторой вспомогательной теории В основе первого подхода лежит идея конверсии исходной нелагранжевой динамики в (¿-мерном пространстве-времени в эквивалентную ей лагранжеву топологическую теорию в Л + 1 Применение затем стандартных процедур ВРСТ-квантования к топологической сигма-модели индуцирует квантование исходной (нелагранжевой) теории Второй подход, названный методом огментации, основан на специальном вложении исходной нелагранжевой динамики в некоторую более широкую лагранжеву теорию в том же пространстве-времени Доказано, что усреднение фейнмановской амплитуды вероятности огментированной теории по всем вспомогательным полям дает решение обобщенного уравнения Швингера-Дайсона для амплитуды вероятности исходной нелагранжевой теории

8 Проведено ковариантное квантование ряда актуальных нелагранжевых моделей теории поля масквелловской электродинамики с монополями, киральных бозонов в размерностях 6, = 4п + 2, уравнений Дональдсона-Уленбек-Яу Во всех случаях указаны явно ковариантные локальные лагранжевы структуры и определены континуальные интегралы для вычисления квантовых средних В частности, с использованием техники огментации установлена взаимосвязь между квантовой теорией Дональдсона-Уленбек-Яу и многомерными аналогами калиброванной (7/(2-модели Весса-Зумино-Виттена на кэлеровых многообразиях

9 Исходя из геометрической трактовки классического БРСТ-дифференциала как гомологического векторного поля на (анти)симплектическом супермногообразии, разработана теория характеристических классов калибровочных систем Характеристические классы определяются как глобальные геометрические инварианты калибровочной динамики и строятся в терминах самого гомологического векторного поля Построены три бесконечные серии характеристических классов, вовлекающие первые и вторые ковариантные производные гомологического векторного поля, и сформулирована общая классификационная теорема Установлена связь между простейшими характеристическими классами с духовыми числами 1 и 2 и квантовыми аномалиями в методах БВ- и БВФ-БРСТ-квантований

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Lyakhovich S L , Segal A Yu , Sharapov AAA Universal Model of D=4 Spinning Particle // Phys Rev D - 1996 - V 54 - P 5223-5250

Kuzenko S M , Lyakhovich S L , Segal A Yu , Sharapov A A Spinning Particle m Anti-de Sitter Space //In "Topics in Quantum Field Theory Modern Methods m Fundamental Physics" / Edt D H Tchrakian - World Scientific Publishing Co , 1995 - P183-194

Kuzenko S M , Lyakhovich S L , Segal A Yu , Sharapov A A Massive Spinning Particle on Anti-de Sitter Space//Int J Mod Phys A - 1996 - V 11 -P 3307-3329

Segal A Yu , Sharapov A A Coherent (spin-) tensor fields on D=4 anti-de Sitter space // Class Quantum Grav - 1999 - V 16 - P 1-14

Lyakhovich S L , Sharapov A A , Shekhter K M D=6 massive spinning particle // Mod Phys Lett A - 1996 - V 11 - P 3011-3020

Lyakhovich S L , Sharapov A A , Shekhter K M Spinning Particle in Six Dimensions //J Math Phys - 1997 - V 38 - P 4086-4103

Lyakhovich S L , Sharapov A A , Shekhter K M Massive spinning particle in any dimension (I) Integer spins // Nucl Phys B - 1999 - V 537 - P 640-652

Lyakhovich S L , Sharapov A A , Shekhter K M A uniform model of the massive spuming particle in any dimension // Int J Mod Phys A - 2000 - V 15 - P 4287-4299

Dolgushev V A , Lyakhovich S L , Sharapov A A Wick quantisation of a symplectic manifold // Nucl Phys (Proc Supp ) - 2001 - V 101&102 - P 144-149

Dolgushev V A , Lyakhovich S L , Sharapov A A Wick-type deformation quantization of Fedosov manifolds // Nucl Phys B - 2001 - V 606 - P 647-672

Lyakhovich S L , Sharapov A A Kahler polarization and Wick quantization of Hamiltoman systems subject to second class constraints // Mod Phys Lett A - 2002 - V 17 - P 121-129

Gorbunov IV , Lyakhovich S L , Sharapov A A Wick quantization of cotangent bundles over Riemanman manifolds // J Geom and Phys - 2005 - V 53 - P 98-121

Gorbunov IV , Sharapov A A String with noncommutative world-sheet and stringy mstantons //Phys Lett B - 2002 -V531 -P255-262

Gorbunov I V , Sharapov A A Bosonic string with noncommutative geometry of worldsheet deformation quantization approach // Gravity and Cosmology - 2003 - V 9 - N 1,2 - P 3032

Dolgushev V A , Isaev A P, Ljakhovich S L , Sharapov A A On the Fedosov Deformation Quantization Beyond the Regular Poisson Manifolds // Nucl Phys B - 2002 - V 645 -P 457-476

16 Dolgushev V A , Isaev A P, Lyakhovich S L , Sharapov A A Quantization of triangular Lie bialgebras // Chechoslovak Jornal of Physics - 2002 - V 52 - P1195-1200

17 Lyakhovich S L , Sharapov A A BRST quantization of quasisymplectic manifolds and beyond //J Math Phys - 2006 - V 47 - P 043508 (26 p )

18 Шарапов А А Лекции по деформационному квантованию // Лекционные заметки по теоретической и математической физике/ Под ред проф А В Аминовой, Т 7 - Казань Изд-во Казанск ун-та, 2006 - С 173-268

19 Kazmski Р О , Lyakhovich S L , Sharapov A A Radiation reaction and renormalization in classical electrodynamics of point particle m any dimension // Phys Rev D - 2002 - V 66 - P 025017 (9 p)

20 Kazmski P О , Sharapov A A Radiation reaction for a massless charged particle // Class Quantum Grav - 2003 - V 20 - P 2715-2725

21 Казинский П О , Шарапов А А Реакция излучения и перенормировка в теории протяженных релятивистских объектов / / Новейшие проблемы теории поля / Под ред А В Аминовой - Казань, 2004 - Т4 - С 117-140

22 Казинский П О , Шарапов А А Реакция излучения и перенормировка в классической теории поля с сингулярными источниками // ТМФ - 2005 - Т143 - N 8 - С 375-400

23 Kupnyanov V G , Lyakhovich S L , Sharapov A A Deformation quantization of linear dis-sipative systems // J Phys A Math Gen - 2005 - V 38 - P 8039-8051

24 Lyakhovich S L , Sharapov A A Characteristic classes of gauge systems // Nucl Phys В -2004 - V 703 -P 419-453

25 Ляхович С Л , Мосман Е А , Шарапов А А О характеристических классах (¡^-многообразий // Функциональный анализ и его приложения - 2008 - Т42 - N1 - С 82-85

26 Lyakhovich S L, Sharapov A A BRST theory without Hamiltoman and Lagrangian // JHEP - 2005 - V 03 - N 011 (21 p )

27 Kazmski P О , Lyakhovich S L , Sharapov A A Lagrange Structure and Quantization // JHEP - 2005 - V 07 - N 076 (39 p )

28 Lyakhovich S L , Sharapov A A Schwinger-Dyson equation for non-Lagrangian field theory // JHEP - 2006 - V 02 - N 007 (41 p )

29 Lyakhovich S L , Sharapov A A Quantizing non-Lagrangian gauge theories an augmentation method // JHEP - 2007 - V 01 - N 047 (39 p)

30 Lyakhovich S L , Sharapov A A Quantization of Donaldson-Uhlenbeck-Yau Theory // Phys Lett В - 2007 - V 656 - P 265-271

Тираж 100. Заказ 232. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

Введение

1 Деформационное квантование виковского типа

1.1 Многообразия Федосова-Вика.

1.2 Конструкция виковского *-произведения.

1.3 Эквивалентность вейлевских и виковских символов.

1.4 Гамильтоновы системы со связями второго рода.

1.5 Виковское квантование кокасательных расслоений.

1.5.1 Формальная кэлерова структура

1.5.2 Голоморфные координаты и сходимость.

1.5.3 Класс Чженя виковской структуры.

1.5.4 Пространства постоянной кривизны и нелинейные сигма-модели

1.6 Струна с некоммутативной геометрией мирового листа.

1.6.1 Виковская деформация бозонной струны.

1.6.2 Струнные инстантоны и голоморфные кривые

2 Деформационное квантование квазисимплектических многообразий

2.1 Квазисимплектические многообразия: определение и примеры.

2.2 Симплектическое вложение и конверсия.

2.2.1 Симплектическое вложение.

2.2.2 Неабелева конверсия

2.3 Квантование.

2.3.1 Классический БРСТ-заряд.

2.3.2 Квантование расширенного фазового пространства.

2.3.3 Квантовые наблюдаемые и *-произведение.

2.4 Факторизуемые скобки Пуассона общего вида.

3 Эффективные нелагранжевы модели в классической теории поля

3.1 Самодействие в линейных теориях

3.2 Регуляризация классических источников.

3.3 Конкретные модели.

3.3.1 Минимально взаимодействующие браны.

3.3.2 Браны с неминимальным взаимодействием.

3.3.3 Сокращение расходимостей.

3.3.4 Электродинамика безмассовых частиц.

3.4 Реакция излучения и перенормировка в нелинейных моделях.

4 Геометрические модели и квантование спиновых частиц

4.1 Пресимплектическое многообразие массивной релятивистской частицы со спином.

4.2 Модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности.

4.3 Квантование.

4.4 Минимальное взаимодействие.

5 Гомологическая механика - гамильтонова версия

5.1 Слабая гамильтонова структура.

5.2 БРСТ-вложение слабой гамильтоновой структуры.

5.2.1 Расширенное антисимплектическое многообразие.

5.2.2 Производящие мастер-уравнения

5.2.3 Физические наблюдаемые.

5.2.4 Слабая пуассонова структура и Р^-алгебры

5.3 Деформационное квантование.

5.4 Сигма-модельная интерпретация

6 Гомологическая механика - лагранжева версия

6.1 Лагранжева структура и ^-алгебры.

6.1.1 Классическая динамика.

6.1.2 Регулярные калибровочные системы

6.1.3 Лагранжева структура.

6.1.4 ^-алгебры.

6.2 БРСТ-комплекс

6.2.1 Пространство вложения.

6.2.2 Классический БРСТ-заряд.

6.2.3 D-когомологии и точность лагранжевой структуры.

6.2.4 Гамильтонова интерпретация.

6.2.5 Физические наблюдаемые.

6.3 Квантовые БРСТ-когомологии и средние физических величин.

6.3.1 Обобщенное уравнение Швингера-Дайсона.

6.3.2 Представление амплитуды вероятности континуальным интегралом

Данная диссертация содержит изложение результатов исследований автора, посвященных разработке ковариантных методов квантования калибровочных теорий общего вида, включая нелагранжевы и негамильтоновы системы, а также приложению этих методов к ряду актуальных задач теоретической и математической физики. Прежде чем переходить собственно к постановке рассматриваемых проблем, отметим значение и место данной тематики в общем контексте развития современной теоретической физики фундаментальных взаимодействий.

Прогресс квантовой теории поля как математической основы физики фундаментальных взаимодействий был всегда неразрывно связан с разработкой общих методов квантования. Так, создание в конце 40-х - начале 50-х годов прошлого века квантовой электродинамики породило концепцию фейнмановского интеграла по траекториям [1-4], а открытие неабелевых калибровочных теорий и построение на их основе теоретико-полевых моделей сильного и электрослабого взаимодействий придало мощный импульс развитию общих методов квантования систем со связями [5]. Важным шагом на этом пути явилось определение Фаддеевым и Поповым континуального интеграла для полей Янга-Миллса [6], вовлекающего наряду с исходными полевыми переменными дополнительные нефизические поля (духи), а также открытие Бекки, Руэ, Стора и Тютиным (БРСТ) глобальной фермионной симметрии [7-9], смешивающей калибровочные поля с духами Фаддеева-Попова. Открытие БРСТ-симметрии стало прологом к разработке методов обобщенного канонического квантования Батал и на- Вилков ы с ко го- Ф р ад к ин а [10-13] и ла-гранжевого квантования Баталина-Вилковыского [14-16], составляющих теперь основу общей БРСТ-теории [17,18].

В настоящее время БРСТ-теория является наиболее мощным и универсальным методом квантования калибровочных теорий. Помимо собственно задачи квантования данный метод оказывается эффективным в теории перенормировок, при анализе аномалий, а также как инструмент построения совместных взаимодействий в калибровочных моделях. Заметен рост интереса к использованию БРСТ-методов и в ряде разделов математики, особенно в задачах, связанных с деформацией алгебраических структур (квантовые группы и алгебры, деформационное квантование и пр.). Практически все наиболее важные с современной точки зрения алгебраические структуры могут быть адекватно сформулированы или реинтерпретированы на языке производящих уравнений БРСТ-алгебры для подходящих калибровочных систем. Активное проникновение методов БРСТ-теории и связанной с ней гомологической алгебры в различные разделы теоретической и математической физики привело даже к появлению термина "когомологическая физика" [19].

Можно констатировать, что современный этап развития квантовой теории поля характеризуется все большим смещением акцента в сторону разработки непертурбативных методов анализа классической и квантовой динамики полей с нетривиальной геометрией фонового, конфигурационного или фазового пространства. Неудивительно, что движение в этом направлении сопровождается интенсивным применением самых современных идей и конструкций дифференциальной геометрии, гомологической алгебры, алгебраической топологии и их синтезом с методами БРСТ-теории. Среди наиболее востребованных методов, имеющих непосредственное отношение к задачам непертурбативной квантовой теории поля, следует выделить метод деформационного квантования.

Концепция деформационного квантования [20-23], возникшая в 70-х годах прошлого века как математически строгая и последовательная схема квантования гамильтоно-вых систем с нелинейным фазовым пространством, получила бурное развитие в течение последних двадцати лет и является в настоящее время активным полем исследований как математиков, так и физиков-теоретиков. Среди последних ярких достижений в этой области можно отметить конструкцию деформационного квантования Федосова симплектических многообразий "[24, 25], а также общую схему деформационного квантования пуассоновых многообразий, предложенную Концевичем [26]. Помимо решения собственно проблемы квантования теорий с нелинейным фазовым пространством многие развиваемые в этой области идеи и методы находят применение и в других (существенно отличных по характеру) задачах теоретической и математической физики, в частности, являются эффективным инструментом построения новых физических моделей. Среди последних можно упомянуть виттеновскую формулировку полевой теории струн [28], калибровочные теории на некоммутативных пространствах [29,30], модели взаимодействия полей высших спинов [33,34]. В этом своем аспекте теория деформационного квантования тесно переплетается с математическими конструкциями некоммутативной геометрии Коннэ [36], являющейся нетривиальным и многообещающим обобщением классического дифференциального исчисления на гладких многообразиях.

Следует заметить, что переход от механических к теоретико-полевым моделям, т. е. системам с бесконечномерным фазовым пространством, приводит к необходимости решения ряда вопросов, выходящих за рамки формальной математической процедуры деформационного квантования. Наличие квантовых расходимостей, например, делает нетривиальным вопрос о выборе правильной схемы квантования даже для полей с простой геометрией фазового пространства. Считается общепринятым, что последовательное квантование теоретико-полевых моделей должно основываться на представлении операторов рождения-уничтожения, т. е. виковском символе для полевых операторов. К сожалению, для большинства физических моделей такое представление известно лишь на уровне свободных полей, а вклад взаимодействия учитывается пертурбативно. Несмотря на известные достижения пертурбативной теории поля, такое разложение на свободную часть и взаимодействие не всегда адекватно физической ситуации, так как может разрушать фундаментальные симметрии исходной классической модели. Важными примерами такого рода теорий могут служить нелинейные сигма-модели [37] и, в частности, струны в пространстве анти-де Ситтера. Стандартное разложение по методу ковариантно-го фонового поля над плоским фоном приводит к спонтанному нарушению симметрий сигма-модели, что делает, например, принципиально невозможным прямое отождествление спектра элементарных возбуждений струны с известным спектром элементарных частиц в пространстве анти-де-Ситтера, а также оставляет открытым вопрос о точном (непертурбативном) значении критических параметров теории. Класс виковских символов является, таким образом, выделенным с точки зрения квантовой теории поля и заслуживает дальнейшего развития в сторону непертурбативного учета глобальной геометрии полей в существенно нелинейных моделях и системах со связями. Решение этих задач, по-видимому, невозможно без глубокого синтеза методов деформационного квантования и БРСТ-теории [38,39].

Еще одной выраженной тенденцией развития современной теоретической физики высоких энергий является все возрастающий интерес к калибровочным теориям, классические уравнения движения которых не допускают естественной вариационной формулировки, т. е. не могут быть получены из принципа наименьшего действия. Среди наиболее фундаментальных моделей такого рода стоит отметить самодуальные поля Янга-Миллса, киральные бозоны, уравнения Дональдсона-Уленбек -Яу, различные многомерные конформные теории поля с расширенной суперсимметрией, уравнения Зайберга-Виттена, теории безмассовых полей высших спинов, а также уравнения, описывающие самосогласованную динамику частиц струн и бран во внешних динамических полях. Отсутствие вариационной формулировки для этих моделей делает принципиально невозможным непосредственное применение стандартных рецептов квантования (операторного БВФ или ковариантного БВ), поэтому обычный подход к квантованию таких теорий состоит в конверсии исходной нелагранжевой динамики в лагранжеву путем введения некоторой системы вспомогательных полей. Вспомогательные поля вводятся так, чтобы эффективная лагранжева теория была динамически эквивалентна исходной (нелагранжевой) теории (т. е. чтобы вспомогательные поля входили в теорию либо чисто алгебраически и исключались на уравнениях движения, либо оказывались чисто калибровочными модами). Хотя в некоторых простых случаях такой подход оказывается действительно эффективным, выбор вспомогательных полей, а также включение их в исходную (нелагранжеву) динамику до сих пор остается в большей степени искусством, нежели конструктивной процедурой.

Показательным примером здесь может служить теория безмассовых полей высших спинов. Так, на свободном уровне состав вспомогательных полей и соответствующие лагранжианы были найдены еще в 70-х годах Фронсдалом [40]. В то же время идентификация полного набора вспомогательных полей для нелинейных уравнений высших спинов (уравнений Васильева [31-35]) до сих пор остается открытой проблемой. Указанные трудности делают актуальной разработку общих методов квантования нелагранжевых калибровочных теорий, которые выводили бы известные схемы БВ- и БВФ-БРСТ-квантований за рамки вариационной динамики.

Исходя из описанного выше общего контекста развития современной теоретической физики высоких энергий и имеющегося круга нерешенных проблем в данной диссертации были поставлены следующие конкретные цели и задачи: сформулировать ковариант-ную процедуру виковского квантования гамильтоновых систем с нелинейной геометрией фазового пространства и/или связями; обобщить схему деформационного квантования Федосова на широкий класс нерегулярных скобок Пуассона, ассоциированных с сим-плектическими алгеброидами Ли; разработать методы получения, исследования и перенормировки эффективных уравнений движения протяженных релятивистских объектов (бран) с учетом реакции излучения; построить и проквантовать релятивистские модели частиц высших спинов в пространстве-времени произвольной размерности; обобщить методы БРСТ-квантования на случай нелагранжевых и негамильтоновых калибровочных систем общего вида, а также отработать практику применения этих методов в ряде актуальных моделей теории поля; разработать теорию характеристических классов калибровочных систем как инструмента исследования глобальной геометрической структуры калибровочной динамики и квантовых аномалий.

Центральными разделами диссертации являются главы 5 и б, посвященные обобщению методов деформационного квантования и БРСТ-теории на случай невариационных калибровочных систем общего вида. Мы называем это обобщение гомологической механикой, чтобы подчеркнуть особую роль гомологических методов [41] при построении соответствующего математического формализма. Как и обычная механика, основанная на принципе наименьшего действия, механика гомологическая допускает две эквивалентные формулировки - лагранжеву и гамильтонову. Данная терминология, однако, не имеет ничего общего с возможностью задания классической динамики на основе того или иного вариационного принципа, а относится лишь к способу описания пространства состояний механической системы. Гамильтонова картина соответствует прямому описанию состояний как точек фазового пространства, а динамики - как фазового потока. При этом, вообще говоря, не предполагается, что фазовое пространство несет какую-либо пуассонову структуру, согласованную с потоком. В лагранжевой картине исходным объектом является конфигурационное пространство всевозможных траекторий системы, а физические состояния отождествляются с подпространством истинных траекторий, т. е. траекторий, удовлетворяющих классическим уравнениям движения. В отсутствие калибровочных симметрии задание классических уравнений движения и начальных данных полностью фиксирует эволюцию системы; при этом совершенно неважно, могут ли эти уравнения быть получены на основе вариационного принципа или нет. Ясно, что между обоими картинами нет принципиальной разницы - каждый поток задается системой дифференциальных уравнений первого порядка по времени, а каждая система дифференциальных уравнений может быть представлена как фазовый поток путем введения вспомогательных переменных.

Хотя дифференциальные уравнения движения являются самодостаточными для формулировки классической динамики, переход к квантовомеханическому описанию требует привлечения дополнительных структур на конфигурационном/фазовом пространстве системы в зависимости от того, какой смысл вкладывается в слово "квантование". В га-мильтоновой картине естественным подходом к квантованию является уже упомянутый выше метод деформационного квантования, суть которого состоит в построении одно-параметрической (по постоянной Планка К) ассоциативной деформации коммутативной алгебры функций на фазовом пространстве системы (так называемого *-произведения). Задание на множестве физических наблюдаемых ^-произведения, а также следовой меры позволяет сформулировать последовательное квантовомеханическое описание системы. Центральным результатом теории деформационного квантования является утверждение о том, что каждая ассоциативная деформация коммутативной алгебры функций определяется в первом порядке по % некоторой скобкой Пуассона и, наоборот, - по каждой скобке Пуассона можно построить некоторое ассоциативное *-произведение в пространстве физических наблюдаемых. Если скобка Пуассона невырождена, т. е. фазовое пространство системы является симплектическим многообразием, соответствующие классические уравнения движения являются гамильтоновыми и могут быть получены на основе вариационного принципа. Замечательно, что метод деформационного квантования сохраняет свою работоспособность и в случае, когда пуассонова структура является вырожденной х. При этом даже не требуется, чтобы фазовый поток задавался некоторым гамильтонианом - достаточно, чтобы он сохранял скобки Пуассона. Таким образом, применение метода деформационного квантования позволяет, в принципе, квантовать как вариационную, так и невариационную динамику в фазовом пространстве (по крайней мере, в отсутствие связей и калибровочных симметрий, о чем будет сказано ниже).

В лагранжевой картине в качестве физических наблюдаемых выступают функционалы траекторий системы или, более точно, их ограничения на подпространства истинных траекторий. Под квантованием при этом понимается построение квантовых средних физических величин путем их усреднения по всевозможным траекториям системы с

Для нулевой скобки Пуассона, например, ^-произведение совпадает с обычным умножением функций, а квантовые уравнения движения - с классическими. некоторой весовой функцией - амплитудой вероятности. В случае обычной лагранжевой механики в качестве последней постулируется фейнмановская амплитуда вероятности, имеющая вид экспоненты от функционала действия, деленного на —ih. Исходя из формальной эквивалентности между лагранжевой и гамильтоновой картинами естественно задаться вопросом о том, что является лагранжевым аналогом вырожденной пуассоно-вой структуры в случае, когда уравнения движения системы не допускают вариационной формулировки. Условно возникающую ситуацию можно изобразить следующей диаграммой:

Лагранжева картина Гамильтонова картина S ^ (Н,ш)

I I

V,n)

Вертикальные стрелки диаграммы символизируют переход от вариационной к невариационной динамике, S - функционал действия на пространстве траекторий, а Н - функция Гамильтона на симплектическом многообразии с симплектической 2-формой со (du> = 0). Наконец, нижний правый угол диаграммы содержит структуры, необходимые для последовательного квантовомеханического описания (невариационной) динамики в фазовом пространстве, а именно - Пуассонов бивектор П и согласованное с ним векторное поле V ([П, П] = О, [П, V] = 0). Знак вопроса в левом нижнем углу соответствует гипотетической лагранжевой структуре, отвечающей за квантование в пространстве траекторий системы. По своему смыслу лагранжева структура должна: (i) содержать исходные уравнения движения, (и) определять амплитуду вероятности на пространстве траекторий, (iii) быть лагранжевым аналогом вырожденной скобки Пуассона. Естественно также предположить, что аналогом нулевой скобки Пуассона должна быть классическая амплитуда вероятности, имеющая вид ^-функции, сосредоточенной на решениях уравнений движения.

На самом деле, верхний левый угол диаграммы не является полным. Известно, что в лагранжевой механике, как и в гамильтоновой, имеет место бинарная скобочная операция - так называемая антискобка Баталина-Вилковыского. Однако, в отличие от гамильтоно-вого случая, эта скобка является нечетной и определяется не на пространстстве состояний и даже не на пространстве всех траекторий, а на нечетном кокасательном расслоении к пространству траекторий. Именно последнее обстоятельство делает ее присутствие и полезность не столь очевидными. Тем не менее, антискобка является необходимым ингредиентом БВ-квантования и, как будет показано ниже, ее роль далеко не ограничивается проблемой ковариантного квантования теорий с сингулярными лагранжианами. Добавление антискобки в левый верхний угол диаграммы восстанавливает зеркальную симметрию между гамильтоновой и лагранжевой картинами в случае вариационной динамики и подсказывает естественную кандидатуру на роль лагранжевой структуры. А именно: будет показано, что каждая лагранжева структура задается парой объектов -классическими уравнениями движения и согласованной с ними слабой антискобкой на расширенном пространстве траекторий. Термин "слабая" означает, что скобочное тождество Якоби может размыкаться вне поверхности уравнений движения или, как говорят, выполняться в слабом смысле. Если антискобка является невырожденной, то из условий ее согласования с уравнениями движения немедленно следует, что соответствующая динамика допускает вариационную формулировку. Однако, вся конструкция остается самосогласованной и без предположения о невырожденности.

Предыдущие рассуждения относились, в основном, к случаю динамических систем без связей и/или калибровочных симметрий. В противном случае условия согласованности динамики с (анти)пуассоновой структурой допускают дальнейшее нетривиальное обобщение. Суть этого обобщения состоит в том, чтобы потребовать выполнение тождества Якоби для (анти)скобки лишь в пространстве калибровочно-инвариантных величин н только на поверхности связей. (В лагранжевом случае роль связей играют классические уравнения движения.) Систематическое развитие этой концепции естественно приводит нас к понятиям Р^- и ^-алгебр [283], являющихся сильно гомотопическими аналогами, соответственно, пуассоновых и антипуассоновых алгебр. Значок оо указывает на то, что каждая такая алгебра задается бесконечным набором гг-арных скобочных операций на расширенном фазовом/конфигурационном пространстве системы, связанных обобщенными тождествами Якоби. При этом 1-скобка несет всю информацию о связях и калибровочных генераторах системы, 2-скобка определяется слабой (анти)скобкой, 3-скобка контролирует размыкание тождества Якоби для 2-скобок и т.д.

Будет показано, что вся иерархия скобочных структур, отвечающая невариационной калибровочной динамике со связями, допускает компактное БРСТ-описание в терминах производящих мастер-уравнений. Однако соответствующий БРСТ-комплекс существенно отличается от стандартных БВ- и БВФ-комплексов как спектром духовых переменных, так и структурой соответствующих БРСТ-генераторов. Производящее мастер-уравнение для Роо-структуры вовлекает, например, бозонное мастер-действие с духовым числом 2 вместо классического БРСТ-заряда с духовым числом 1. Существенное расширение спектра духовых полей по сравнению с канонической БРСТ-теорией является отражением более богатой структуры калибровочной алгебры, имеющей место в случае невариационной динамики. Так, наличие у системы калибровочных симметрий вовсе не означает зависимости между ее уравнениями движения и наоборот, а наличие инволю-тивного набора связей на фазовом пространстве системы не порождает, вообще говоря, нетривиальных калибровочных преобразований. Таким образом, стандартные соответствия между генераторами калибровочных симметрий и тождествами Нетер в лагранжевом формализме (или связями первого рода в гамильтоновом) оказываются нарушен

11 ными для невариационных динамических систем. В соответствии с общей логикой БРСТ-теории это означает, что при построении БРСТ-влол<ения невариационной динамики в расширенное конфигурационное/фазовое пространство каждому из упомянутых выше объектов должна отвечать своя пара канонически сопряженных духов.

Замечательно, что классические БРСТ-комплексы, отвечающие невариационным динамическим системам, допускают естественную деформацию, индуцирующую квантование исходной динамики. В гамильтоновом случае существование такой деформации обеспечивается теоремой формальности Концевича, а результатом квантования является слабо ассоциативное -t-произведение на расширенном фазовом пространстве системы. Здесь "слабая ассоциативность" означает ассоциативность в БРСТ-когомологиях, в частности, в подпространстве физических величин слабо гамильгоновой системы. В лагран-жевой картине результатом квантования является квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий системы. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим, что суть предлагаемого метода лагранжева квантования может быть выражена следующим тезисом.

Каждая классическая теория поля в d-мерном пространстве-времени эквивалентна некоторой лагранжевой топологической теории в (d + l)-мерном пространстве, имею-ш,ем исходное пространственно-временное многообразие в качестве своей границы; конструкция продолжения (нелагранжевой) d-мерной теории в d+1 измерение не является однозш,чпой, по контролируется выбором лагранжевой структуры.

Применение стандартной процедуры БВ-квантования к топологической теории в (d + 1)-мерном пространстве индуцирует некоторое квантование исходной нелагранжевой динамики в d измерениях.

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в 30 работах [66], [67], [80], [87], [92], [93], [107], [108], [109], [130], [160], [161], [180], [181], [184], [222], [223], [224], [225], [226], [227], [228], [229], [273], [276], [277], [281], [310], [314], [315].

В заключение хочу выразить глубокую благодарность своему учителю и коллеге Семену Леонидовичу Ляховичу, оказавшему большое влияние на формирование моих научных интересов. Его участие и поддержка на всех этапах нашего многолетнего сотрудничества были для меня исключительно важными. Мне также приятно поблагодарить своих учеников и коллег К.М. Шехтера, В.А. Долгушева, П.О. Казинского, В.Г. Куприянова и Е.А. Мосман за плодотворное сотрудничество. В разные годы большое влияние на меня оказали научные дискуссии и совместная работа с С.М. Кузенко, А.Ю. Сегалом, А.Г. Сибиряковым и И.В. Горбуновым. Я глубоко признателен заведующему кафедрой квантовой теории поля Томского государственного университета Владиславу Гаврииловичу Багрову, чью постоянную помощь и заботу я ощущаю на себе вот уже более 15 лет. Я также благодарен всем сотрудникам кафедр квантовой теории поля и теоретической физики за создание исключительно благоприятной атмосферы для проведения данных исследований.

Считаю также необходимым отметить материальную поддержку работ, вошедших в диссертацию, со стороны INTAS, РФФИ, Министерства образования РФ, а также фонда некоммерческих программ "Династия" и Международного института теоретической физики в Москве.

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построено виковское обобщение деформационного квантования Федосова для кэле-ровых и паракэлеровых многообразий общего вида. Установлены явные когомологические препятствия к существованию глобальной эквивалентности между ви-ковским и вейлевским квантованиями. В случае гамильтоновых систем со связями установлены эффективные критерии, которым должны удовлетворять связи второго рода, чтобы редуцированное фазовое пространство обладало кэлеровой поляризацией, согласованной с поляризацией объемлющего фазового пространства.

В контексте этой же проблематики поставлен и решен вопрос о существовании ви-ковской структуры для гамильтоновых систем на кокасательных расслоениях к ри-мановым многообразиям. Показано, что такая структура всегда может быть построена, исходя из римановой метрики на конфигурационном пространстве в классе наблюдаемых аналитичных по импульсам. Указан конкретный сценарий приложения этой конструкции к проблеме непертурбативного виковского квантования нелинейных сигма-моделей.

2. На основе развитой схемы виковского квантования построена модель бозонной струны с некоммутативной геометрией мирового листа, являющаяся полевым аналогом матричной ИККТ-модели. Показано, что наличие некоммутативности эквивалентно включению взаимодействия бозонной струны с бесконечным мультиплетом фоновых полей, подчиненных условиям И^-симметрии. Для случая некоммутативной струны в четырехмерном евклидовом пространстве найдены явные решения уравнений движения, являющиеся струнными аналогами инстантонных решений в теории Янга-Миллса.

•3. Разработан общий ковариантный метод регуляризации и перенормировки реакции излучения в линейных и нелинейных моделях теории поля с сингулярными источниками. В случае линейных моделей найдены явные выражения для членов асимптотического ряда, задающего силу самодействия источников. Доказана лагранже-вость его сингулярной части в случае регулярного вложения мировой поверхности источника в объемлющее пространство Минковского. Для нелинейных моделей разработана пертурбативная процедура вычисления членов асимптотического ряда и установлена структура ведущих расходимостей.

Введено понятие классически перенормируемой теории поля с сингулярными источниками, аналогичное понятию перенормируемости в квантовой теории поля. Доказана классическая перенормируемость линейных моделей и установлены общие критерии классической перенормируемости в терминах размерностей констант связи теории. Изучен ряд конкретных моделей минимального и неминимального взаимодействия р-бран с калибровочными полями (р+ 1)-форм, скалярным полем и полем линеаризованной гравитации и получены соотношения на параметры теории, обеспечивающие взаимное сокращение расходимостей.

На основе развитой техники регуляризации и перенормировки выведены эффективные уравнения движения для массивной заряженной частицы в пространстве-времени произвольной размерности, являющиеся многомерными обобщениями известного уравнения Лоренца-Дирака, а также получены эффективные уравнения движения для безмассовой заряженной частицы в четырехмерном пространстве Минковского.

4. В рамках общего геометрического подхода Кириллова-Костанта-Сурье предложена классическая модель массивной спиновой частицы в пространстве-времени произвольной размерности, допускающая непротиворечивое взаимодействие с произвольными электромагнитными и гравитационными полями. Проведено геометрическое квантование модели и показано, что в зависимости от выбора свободных параметров соответствующая квантовая теория описывает неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре произвольного фиксированного спина.

5. Сформулирована процедура БРСТ-квантования квазисимплектических многообразий, ассоциированных с алгеброидами Ли. Показано, что предложенная процедура может быть также использована для квантования треугольных биалгебр Ли.

Сформулирована ВРСТ-подобная производящая процедура для иерархии дифференциально геометрических структур, обобщающих классическое уравнение Янга-Бакстера на случай n-кратно приводимых алгеброидов Ли, согласованных с невырожденной r-матрицей. В частности, установлено взаимнооднозначное соответствие между категорией симплектических 2-алгеброидов Ли и расслоениями антипуассо-новых алгебр с абелевой связностью Федосова.

6. Разработана БРСТ-теория негамильтоновых калибровочных систем со связями, являющаяся обобщением стандартной схемы БВФ-БРСТ-квантования. Под нега-мильтоновыми калибровочными теориями со связями понимаются динамические системы в фазовом пространстве, физические степени свободы которых получаются ограничением динамики на поверхность связей с последующей факторизацией но действию калибровочных преобразований; при этом не предполагается, что фазовый поток, задающий эволюцию системы и согласованный с редукцией, может быть получен на основе принципа наименьшего действия. Для такого рода систем введено понятие слабой гамильтоновой структуры и построены производящие уравнения БРСТ-алгебры. В случае, когда исходное фазовое пространство снабжено слабой пуассоновой структурой (бивекторным полем, индуцирующим скобку Пуассона в пространстве физических величин), построено деформационное квантование системы на основе теоремы формальности Концевича и дана его сигма-модельная интерпретация.

Предложено обобщение стандартной схемы БВ-квантования на случай нелагранже-вых калибровочных систем общего вида. Ключевым элементом конструкции является введенное впервые понятие лагранжевой структуры, которая может рассматриваться либо как "сильно гомотопическое" обобщение стандартной БВ-алгебры, либо как нечетный аналог слабых скобок Пуассона. Задание лагранжевой структуры позволяет сформулировать обобщенные уравнения Швингера-Дайсона на квантовую амплитуду вероятности теории и производящий функционал функций Грина.

Показано, что квантовая амплитуда вероятности на пространстве траекторий нелагранжевой системы допускает два эквивалентных представления в терминах континуального интеграла для некоторой вспомогательной теории. В основе первого подхода лежит идея конверсии исходной нелагранжевой динамики в ^-мерном пространстве-времени в эквивалентную ей лагранжеву топологическую теорию в d + 1. Применение затем стандартных процедур БРСТ-квантования к топологической сигма-модели индуцирует квантование исходной (нелагранжевой) теории. Второй подход, названный методом огментации, основан на специальном вложении исходной нелагранжевой динамики в некоторую более широкую лагранжеву теорию в том же пространстве-времени. Показано, что усреднение фейнмановской амплитуды вероятности огментированной теории по всем вспомогательным полям дает решение обобщенного уравнения Швингера-Дайсона для амплитуды вероятности исходной нелагранжевой теории.

Проведено ковариантное квантование ряда актуальных нелагранжевых моделей теории поля: максвелловской электродинамики с монополями, киральных бозонов в размерностях d = + 2, уравнений Дональдсона-Уленбек-Яу. Во всех случаях указаны явно ковариантные локальные лагранжевы структуры и определены континуальные интегралы для вычисления квантовых средних. В частности, с использованием техники огментации установлена взаимосвязь между квантовой теорией

Дональдсона-Уленбек-Яу и многомерными аналогами калиброванной G/G-модели Весса-Зумино-Виттена на кэлеровых многообразиях.

9. Исходя из геометрической трактовки классического БРСТ-дифференциала как гомологического векторного поля на (анти)симплектическом супермногообразии, разработана теория характеристических классов калибровочных систем. Характеристические классы определяются как глобальные геометрические инварианты калибровочной динамики и строятся в терминах самого гомологического векторного поля. Построены три бесконечные серии характеристических классов, вовлекающие первые и вторые ковариантные производные гомологического векторного поля, и сформулирована общая классификационная теорема. Установлена связь между простейшими характеристическими классами с духовыми числами 1 и 2 и квантовыми аномалиями в методах БВ- и БВФ-БРСТ-квантований.

1. Feynman R.P. Space-time approach to nonrelativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. - 1948. - V.20. - N 2. - P.367-387.

2. Feynman R.P. Mathematical formulation of the quantum theory of electromagnetic interaction // Phys. Rev. 1950. - V.80. -N 3. - P.440-457.

3. Feynman R.P. An operator calculus having applications in quantum electrodynamics // Phys. Rev. 1951. - V.84. - N 2. - P.108-128.

4. Попов B.H. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: Атомиздат, 1976. - 256 с.

5. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М.: Мир, 1979. - 480 с.

6. Faddeev L., Popov V. Feynman diagrams for the Yang-Mills field // Phys. Lett. B. 1967. - V.25. - P.30-31.

7. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of the abelian Higgs-Kibble model // Commun. Math. Phys. 1975. - V.42. - P. 127-133.

8. Becchi C., Rouet A., Stora R. Renormalization of gauge theories // Ann. Phys. -1976. -V.98. P.287-321.

9. Тютин И.В. Калибровочная инвариантность в теории поля и статистической механике. Препринт ФИАН N 39, 1975.

10. Fradkin E.S., Vilkovisky G.A. Quantization of relativistic systems with constraints // Phys. Lett. B. 1975. - V.55. - P.224-226.

11. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys. Lett. B. 1977. - V.69. - P.309-312.

12. Batalin I. A., Fradkin E.S. Operator quantization of relativistic dynamical systems subject to first class constraints // Phys. Lett. B. 1983. - V.128. - N 5. - P.303-308.

13. Batalin I. A., Fradkin E.S. A generalized canonical formalism and quantization of reducible gauge theories // Phys. Lett. B. = 1983. V.122. = P.157-164.

14. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Gauge algebra and quantization j j Phys. Lett. B. 1981. -V.102. - P.27-31.

15. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys. Rev. D. 1983. - V.28. - P.2567-2582.

16. Batalin I.A., Vilkovisky G.A. Existence theorem for gauge algebra // J. Math. Phys. -1985. V.26. - P. 172-184.

17. Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. Princeton U.P., NJ, 1992. - 520 p.

18. Gitman D.M., Tyutin I.V. Quantization of Fields with Constraints. Springer-Verlag, Berlin, 1990. - 291 p.

19. Secondary Calculus and Cohomological Physics / Contemp. Math. 1998. - V.219. -219 P

20. Березин Ф.А. Квантование // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1974. - Т.38. - N 5. - С.1116-1175.

21. Berezin F.A. General concept of quantization // Commun. Math. Phys. 1975. - V.40. -P.153-174.

22. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. Deformation theory and quantization.I Deformation of symplectic structures // Ann. Phys.(N.Y.) 1978. -V.lll. - P.61-110.

23. Bayen F., Flato M., Fronsdal C., Lichnerowicz A., Sternheimer D. Deformation theory and quantization. II Physical Applications // Ann. Phys.(N.Y.) 1978. - V.110. - P.lll-151.

24. Fedosov B.V. A simple geometric construction of deformation quantization // J. DifF. Geom. 1994. - V.40. - P.213-238.

25. Fedosov B.V. Deformation quantization and Index Theory. Akademia Verlag, Berlin, 1996. - 324 p.

26. Kontsevich M. Deformation quantization of Poisson manifolds, I // Lett. Math. Phys. -2003. V.66. - P.157-216.

27. Dito G., Sternheimer D. Deformation quantization: genesis, developments and metamorphoses / Deformation quantization (G. Halbout, ed.), IRMA Lectures in Math. Theor. Phys. 1, 9-54, Walter de Gruyter, Berlin, 2002.

28. Witten E. Non-commutative geometry and string field theory // Nucl. Phys. B. 1986. -V.268. - P.253-282.

29. Connes A., Rieffel M. Yang-Mills for noncommutative two-tori / Contemp. Math. 1987.- V.62. P.237-266.

30. Seiberg N. Witten E. String Theory and Noncommutative Geometry // JHEP. 1999. -V.09. - N 032.

31. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Cubic Interaction in Extended Theories of Massless Higher-Spin Fields // Nucl. Phys. B. 1987. - V.291. - P.141-171.

32. Fradkin E.S., Vasiliev M.A. Superalgebra of Higher Spin and Auxiliary Fields // Int. J. Mod. Phys. A. 1988. - V.3. - P.2983-3010.

33. Vasiliev M.A. Consistent equations for interacting gauge fields of all spins in (3+1)-dimensions // Phys. Lett. B. 1990. - V.243. - P.378-382.

34. Vasiliev M.A. Higher spin gauge theories in various dimensions // Fortsch. Phys. 2004.- V.54. P.702-717.

35. Vasiliev M.A. Actions, charges and off-shell fields in the unfolded dynamics approach // Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 2006. - V.3. -P.37-80.

36. Connes A. Noncommutative Geometry. Academic Press, San Diego, 1994. - 661 p.

37. Кетов С.В. Нелинейные сигма-модели в квантовой теории поля и теории струн. -Новосибирск: Наука, 1992. 240 с.

38. Grigoriev М.А., Lyakhovich S.L. Fedosov Deformation Quantization as a BRST Theory // Commun. Math. Phys. 2001. - V.218. - P.437-457.

39. Баталин И.А., Григорьев M.A., Ляхович С.JI. ^-произведение для систем со связями второго рода из БРСТ-теории // ТМФ. 2001. - Т.128. - С.1109-1139.

40. Fronsdal С. Massless fields with integer spin // Phys. Rev. D. 1978. - V.18. - P.3624.

41. Маклейн С. Гомология. H.: ИО НФМИ, 2000. - 540 с.

42. De Wilde М., Lecomte P. Existence of Star-Products and of Formal Deformations of the Poisson Lie Algebra of Arbitrary Symplectic Manifolds // Lett. Math. Phys. 1983. -V.7. - P.487-496.

43. Карасев M.B., Маслов В.П. Псевдодифференциальные операторы и канонический оператор в общих симилектических многообразиях // Изв. АН СССР. 1983.-Т.47. -N 5.- С.999-1029.

44. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование.-М.: Наука, 1991.-368 с.

45. Nest R., Tsygan В. Algebraic index theorem for families // Adv. Math. 1995. - V.113.- P.151-205.

46. Bertelson M., Cahen M., Gutt S. Equivalence of star products // Class. Quant. Grav.1997. V.14. - P. A93-A107.

47. Deligne P. Deformations de l'algebre des functions d'une variete symplectique: Comparaison entre Fedosov et De Wilde, Lecomte // Selecta Mathematica, New Series.- 1995. V.l. - P.667.

48. Perspectives on Quantization. Ed. L.A. Cobin, M.A. Rieffel / Contemp. Math. 214, AMS, Providence, 1996.

49. Quantization, Poisson Brackets and Beyond. Ed. Th. Voronov / Contemp. Math. 315, AMS, Providence, 2002.

50. Bordemann M., Neumaier N., Waldmann S. Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles I: Weyl and Standard Ordering with Differential Operator Representation // Commun. Math. Phys. 1998. - V.198. - P.363-396.

51. Bordemann M., Neumaier N., Waldmann S. Homogeneous Fedosov Star Products on Cotangent Bundles II: GNS Representations, the WKB Expansion, and Applications // J. Geom. Phys. 1999. - V.29. - P.199-234.

52. Xu P. Fedosov ^-products and quantum momentum maps // Commun. Math. Phys.1998. V.197. - P.167-197.

53. Березин Ф.А. Квантование в комплексных ограниченных областях // ДАН СССР. -1973. Т. 211. - N 6,- С.1263-1266.

54. Березин Ф.А. Квантование в комплексных симметрических пространствах // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1975. - Т.39. - N 2. - С.363-402.

55. Молчанов В.Ф. Квантование на мнимой плоскости Лобачевского // Функд. анализ и его прил. 1980. - Т. 14. - N2. - С. 73-74.

56. Cahen M., Gutt S., Rawnsley J. Quantizaton of Kahler manifolds, II j j Trans. Am. Math. Soc. 1993. - V.337. - P.73-98.

57. Bordemann M., YValdmann S. A Fedosov Star Product of Wick Type for Kahler Manifolds // Lett. Math. Phys. 1997. - V.41. - P.243-253.

58. Karabegov A.V. Deformation Quantization with Separation of Variables on a Kahler Manifold // Commun. Math. Phys. 1996. - V.180. - P.745-755.

59. Karabegov A.V. Pseudo-Kahler quantization on flag manifolds // Commun. Math. Phys. 1999. - V.200. - N2. - P.355-379.

60. Karabegov A.V. On Fedosov's approach to Deformation Quantization with Separation of Variables. Proc. of conference dedicated to Mosher Flato 1999, Math. Phys. Stud. 22, Vol. II, 167-176 (Kluwer Acad. Publ., Dordecht, 2000)

61. Karabegov A.V., Schlichenmaier M. Almost Kahler deformation quantization // Lett. Math. Phys. 2001. - V.57. - P. 135-148.

62. Moreno C. *-products on some Kahler manifolds // Lett. Math. Phys. 1986. - V.ll. -P.361-369.

63. Pflaum M.J. The Normal Symbol on the Riemannian Manifolds // New York J. Math. -1986. V.4. - P.97-125.

64. Reshetikhin N., Takhtajan L. Deformation Quantization of Kahler Manifolds // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 2000. - V.201. - P.257-276.

65. Dolgushev V.A., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Wick quantisation of a symplectic manifold // Nucl. Phys. (Proc. Supp.) 2001. - V.101&102. - P.144-149.

66. Dolgushev V.A., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Wick-type deformation quantization of Fedosov manifolds // Nucl. Phys. B. 2001. - V.606. - P.647-672.

67. Gruceanu V., Fortunaty P., Gadea P.M. A survey on paracomplex geometry // Rocky Mountain Jornal of Mathematics. 1996. - V.26. - N 1. - P.83-113.

68. Newlander A., Nirenberg L. Complex analytic coordinates in almost complex manifolds

69. Ann. Math. 1957. - V.65. - N 3. - P.391-404.

70. Yano K. Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces. New York: Peigamon Press, the MacMollan Company, 1965. - 326 p.

71. Woodhouse N.M.J. Geometric Quantization. New York: Clarendon, 1992. - 320 p.

72. Bonneau P. Fedosov star-products and 1-differentiable deformations. Preprint math/9809032.

73. Chern S.S. Complex manifolds without potential theory. Berlin: Universitext, Springer, 1979.- 270 p.

74. Kodaira K., Hirzebruch F. On the complex projective spaces // J. Math, pures et App.- 1957. V.36. - P.201-216.

75. Rothstein M. The structure of supersymplectic supermanifolds / Differential Geometric Methods in Mathematical Physics (C. Bartocci, U. Bruzzo, and R. Cianci eds.), Lecture Notes in Physics V.375 (Springer-Verlag, Berlin, 1991) P.331-335.

76. Bordemann M. On the deformation quantization of super-Poisson brackets. Preprint q-alg/9605038.

77. Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator quantization of dynamical systems with irreducible first and second class constraints // Phys. Lett. B. 1986. - V.180. - P. 157-162.

78. Batalin I.A., Fradkin E.S. Operator quantization of dynamical systems subject to second-class constraints // Nucl. Phys. B. 1987. - V.279. - P.514-528.

79. Batalin I.A., Tyutin I.V. Existence Theorem For The Effective Gauge Algebra In The Generalized Canonical Formalism With Abelian Conversion Of Second Class Constraints // Int. J. Mod. Phys. A. 1991. - V.6. - P.3255-3282.

80. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Kahler polarisation and Wick quantisation of Hamiltonian systems subject to second class constraints // Mod. Phys. Lett. A. 2002.- V.17. P.121-129.

81. Vilkovisky G.A. The unique effective action in quantum field theory // Nucl. Phys. B. -1994. V.234. - P.125-137.

82. Barvinsky A.O., Vilkovisky G.A. The generalized Schwinger-DeWitt technique in gauge theories and quantum gravity // Phys. Rept. 1985. - V.119. - P.l-74.

83. Klauder J.R. Quantization is Geometry, After All // Ann. Phys. (N.Y.) 1988. - V.188.- P.120-141.

84. Klauder J.R. Metric Quantization. Proc. of conf. "Quantum Future", Eds. P. Blanchard and A. Jadczyk (Springer-Verlag, Berlin, 1999) P. 129-138.

85. Shabanov S.V., Klauder J.R. Path Integral Quantization and Riemannian-Symplectic Manifolds // Phys. Lett. B. 1998. - V.435. - P.343-349.

86. Watson G., Klauder J. Metric and Curvature in Gravitational Phase Space // Class. Quant. Grav. 2002. - V.19. - P.3617.

87. Gorbunov I.V., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Wick quantization of cotangent bundles over Riemannian manifolds // J. Geom. and Phys. 2005. - V.53. - P.98-121.

88. Banks Т., Fischler W., Shenker S., Susskind L. M Theory as a Matrix Theory: A Conjecture // Phys. Rev. D. 1997. - V.55. - P.5112-5128.

89. Taylor W. The M(atrix) model of M-theory. Preprint MIT-CTP-2894; hep-th/0002016.

90. Ishibashi N., Kawai H., Kitazawa Y. Tsuchiya A. A Large-N Reduced model as Superstring // Nucl. Phys. B. 1997. - V.498. - P.467-491.

91. Connes A., Douglas M.R., Schwarz A. Noncommutative Geometry and Matrix Theory: Compactification on Tori // JHEP. 1998. - V.9802. - N 003 (38 p.).

92. Gorbunov I.V., Sharapov A.A. String with noncommutative world-sheet and stringy instantons // Phys. Lett. B. 2002. - V.531. - P.255-262.

93. Gorbunov I.V., Sharapov A.A. Bosonic string with noncommutative geometry of worldsheet: deformation quantization approach // Gravity and Cosmology. 2003. - V.9.- N 1,2. P.30-32.

94. Кетов С.В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. = Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 368 с.

95. Pope С. P. Lectures on W-Algebras and W-Gravity. Proc. of 1991 Summer School in High Energy Physics and Cosmology, edited by E. Gava et al., World Scientific, 1992, P.827-867.

96. Bakas I. The Large-N Limit of Extended Conformal Symmetries // Phys. Lett. B. 1989.- V.228. P.57-63.

97. Грин M., Шварц Дж., Виттен Э. Теория струн: В двух томах. -М.: Мир, 1990. -1174с.

98. Морозов А.Ю. Интегрируемость и матричные модели // УФН. 1994. - Т.37. - С.1-55.

99. Gelfand I.M., Dikii L.A. Asymptotic Behaviour of the Resolvent of Sturm-Liouville Equations and the Algebra of the Korteweg-de-Vries Equations // Russ. Math. Surv.- 1975. V.30 - P.77-113.

100. Awata H., Fukuma M., Matsua Y., Odake S., Representation Theory of The Wi+O0 Algebra // Progr. Theor. Phys. Suppl. 1995. - V.118. - P.343-374.

101. Castro С. W-Geometry from Fedosov Deformation Quantization // J. Geom. Phys. -2000. V.33. - P.173-190.

102. Cornalba L., Taylor W. Holomorphic Curves from Matrices // Nucl. Phys. B. 1998. -V.536. - P.513-552.

103. Cornalba L. Matrix Representations of Holomorphic Curves on T4 // JHEP. 2000. -V.0008. - N 047 (30 p.).

104. Cornalba L., Schiappa R. Matrix Theory Star Products from the Born-Infeld Action // Adv. Theor. Math. Phys. 2000. - V.4. - P.249-269.

105. Nekrasov N., Schwarz A.S. Instantons on noncommutative IR4, and (2,0) superconformal six dimensional theory // Commun. Math. Phys. 1998. - V.198. - P.689. - P.689-703.

106. Schwarz A. Noncommutative instantons: new approach // Commun. Math. Phys. 2001. - V.221. - P.433-450.

107. Dolgushev V.A., Isaev A.P., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. On the Fedosov Deformation Quantization Beyond the Regular Poisson Manifolds // Nucl. Phys. В -2002. V.645. - P.457-476.

108. Dolgushev V.A., Isaev A.P., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Quantization of triangular Lie bialgebras // Chechoslovak Jornal of Physics. 2002. - V.52. - P.1195-1200.

109. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. BRST quantization of quasisymplectic manifolds and beyond // J. Math. Phys. 2006. - V.47. - P.043508 (26 p.).

110. Bel Baraka N., Kontsevich and Takhtajan construction of star product in the Poisson Lie group GL(2). Preprint, math-ph/0111046.

111. Olshanetsky M.A., Perelornov A.M. Classical integrable finite dimensional systems related to Lie algebras // Phys. Rep. 1981. - V.71. - N 5. - P.314-400.

112. Olshanetsky M.A., Perelornov A.M. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rep. 1983. - V.94. - N 6. - P.313-404.

113. Склянин E.K. О полной интегрируемости уравнений Ландау-Лифшица. Препринт ЛОМИ Е-3-79, Ленинград, 1979.

114. Семенов-Тян-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица? // Функц. анал. и прил. 1983. - Т. 17. - N 4. - С.17-33.

115. Babelon О., Viallet С.М. Hamiltonian Structure and Lax Equation // Phys. Lett. B. -1990. P.411-421.

116. Etingof P., Varchenko A. Solutions of the quantum dynamical Yang-Baxter equation and dynamical quantum groups // Commun. Math. Phys. 1998. - V.196. - P.591-649.

117. Avail .1., Babelon O., Talon M. Construction of the classical R-matrices for the Toda and Calogero models. Preprint hep-th/9306102.

118. Arutyunov G.E., Medvedev P.B. Geometric construction of the classical R-matrices for the elliptic and trigonometric Calogero-Moser systems. Preprint hep-th/9511070.

119. Krichever I.M. Vector Bundles and Lax Equations on Algebraic Curves // Commun. Math. Phys. 2002. - V.229. - N 2. - P.229-269.

120. Enriques В., Rubtsov V. Hitchin systems, higher Gaudin operators and r-matrices // Math. Res. Lett. 1996. - V.3. - N 3. - P.343-357.

121. Braden H.W., Dolgushev V.A., Olshanetsky M.A., Zotov A.V. Classical r-matrices and the Feigin-Odesskii algebra via Hamiltonian and Poisson reductions //J. Phys. A. 2003.- V.36. P.6979-7000.

122. Semenov-Tian-Shansky M.A., Dressing Transformation and Poisson Group Action // RIMS, Kyoto Univ. 1985. - V.21. - P. 1237-1260.

123. Bazhanov V., Lukyanov S., Zamolodchikov A. Integrable Structure of Conformal Field Theory, quantum KdV Theory and Thermodynamic Bethe Ansatz // Commun. Math. Phys. 1996. - V.177. - P.381-398.

124. Cattaneo A.S., Felder G., Tomassini L. From local to global deformation quantization of Poisson manifolds // Duke Math. J. 2002. - V.115. - N 2. - P.329-352.

125. Dolgushev V. Covariant and Equivariant Formality Theorem // Adv. Math. 2005. -V.191. - P. 147-177.

126. Cattaneo A.S., Felder G. A path integral approach to the Kontsevich quantization formula // Commun. Math. Phys. -2000. V.212. - P.591-611.

127. Ikeda N. Two-dimensional gravity and nonlinear gauge theory // Ann. Phys. 1994. -V.235. - P.435-464.

128. Schaller P., Strobl T. Poisson Structure Induced (Topological) Field Theories // Mod. Phys. Lett. A 1994. - V.9. - P.3129-3136.

129. Xu P. Triangular dynamical r-matrix and quantization // Adv. Math. 2002. - V.166.- P.l-49.

130. Шарапов А.А. Лекции по деформационному квантованию // Лекционные заметки по теоретической и математической физике / Под ред. проф. А.В. Аминовой, Т.7, -Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2006. С. 173-268.

131. Фаддеев Л.Д., Решетихин Н.Ю., Тахтаджян Л.А. Квантование групп Ли и алгебр Ли // Алгебра и анализ. 1989. -Т.1. - N 1. - С.178-206.132| Демидов Е.Е. Квантовые группы. М.: Изд-во "Факториал", 1998. - 128 с.

132. Дринфельд В.Г. О постоянных квази-классических решениях квантового уравнения Янга-Бакстера // ДАН СССР. 1983. - Т.28. - С.531-535.

133. Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., Stolin A. Chains of Frobenius subalgebras of so(M) and the corresponding twists // J. Math. Phys. 2001. - Y.42. - N 10. - P.5006-5019.

134. Kulish P.P., Lyakhovsky V.D., del Olmo M.A. Chains of twists for classical Lie algebras // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. - V.32. - P.8671-8684.

135. Giaquinto A., Zhang J. Bialgebra action, twists, and universal deformation formulas // J. Pure Appl. Algebra. 1998. - V.128. - N 2. - P.133-151.

136. Vaisman I. Fedosov Quantization on Symplectic Ringed Spaces. Preprint math.SG/0106070.

137. Alekseev A., Kosmann-Schwarzbach Y. Manin pairs and moment maps. Preprint math.DG/9909176.

138. Nest R., Tsygan B. Deformations of symplectic Lie algebroids, deformations of liolomorphic symplectic structures, and index theorems // Asian J. Math. 2001. - V.5.- P.599-635.

139. Rieffel M.A. Deformation Quantization for Action of Rd / Memoirs A.M.S. V.506. -(AMS, Providence, 1993).

140. Cannas da Silva A., Weinstein A. Geometric Models for Noncommutative Algebras / Berkeley Mathematics Lecture Notes. V.10. - (AMS, Providence, RI, 1999).

141. Sussman H. Orbits of families of vector fields and integrability of distributions // Trans. Amer. Math. Soc. V.180. - P.171-188.

142. Вайнтроб А.Ю. Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля // УМН. 1997.- Т.52. N 2. - С.161-162.

143. Severa P. Some title containing the words "homotopy" and "symplectic", e.g. this one. Preprint math.SG/0105080.

144. Voronov Th. Th. Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids // Contemp. Math. 2002. - V.315. - P.131-168.

145. Roytenberg D. On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids // Contemp. Math. 2002. - V.315. - P. 169-185.

146. Mackenzie K.C.H., Xu P. Lie bialgebroids and Poisson groupoids // Duke Math. J. -1994. V.73. - P.415-452.

147. Elashvili A.G. Frobenius Lie algebras // Funct. Anal. Applic. 1982. - V.16. - P.94-95.

148. Courant T. Dirac manifolds // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. - V.319. - P.631-661.

149. Березин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными.- М.: Изд-во МГУ. 1983. - 208 с.

150. Лейтес Д.А. Теория супермногообразий. Петрозаводск: АН СССР, Карельский филиал. - 1983. - 198 с.

151. Лоренц Г.А. Теория электронов и ее применение к явлениям света и теплового излучения. М.: Гостехтеориздат, 1956. 471 с.

152. Dirac P. A.M. Classical theory of radiating electron // Proc. Roy. Soc. London A. 1938.- V.167. P.148-169.

153. DeWitt B.S., Brehme R.W. Radiation damping in a gravitational field // Ann. Phys. -1960. V.9. - P.220-259.

154. Hobbs J.M. A vierbein formalism of radiation damping // Ann. Phys. 1968. - V.47. -P.141-165.

155. Barut A.O., Unal N. Generalization of the Lorentz-Dirac equation to include spin // Phys. Rev. A. 1989. - V. 40. - P.5404-5406.

156. Rowe P.E.G., Rowe G.T. The classical equations of motion for a spinning particle with charge and magnetic moment // Phys. Rep. 1987. - V.149. - P.287-336.

157. Poisson E. The motion of point particles in curved spacetime // Living Rev. Relativity.- 2004. V.7. Preprint gr-qc/0306052.

158. Косяков Б.П. Точные решения в классической электродинамике и теории Янга-Миллса-Вонга в пространстве-времени четного числа измерений // ТМФ. 1999. -Т. 119. - С.119-135.

159. Kazinski P.O., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Radiation reaction and renormalization in classical electrodynamics of a point particle in any dimension // Phys. Rev. D. 2002.- V.66. P.025017 (9 p.).

160. Kazinski P.O., Sharapov A.A. Radiation reaction for a massless charged particle // Class. Quantum Grav. 2003. - V.20. - P.2715-2725.

161. Rohrlich F. Classical theory of magnetic monopoles // Phys. Rev. 1966. - V.150. -P.1104-1111.

162. Chen P., Hartmann F.V., van Metter J.R., Kerman A.K. Radiative corrections in symmetrized classical electrodynamics // Phys. Rev. E. 2000. - V.62. - P.8640-8654.

163. Ori A., Rosenthal E. Universal self-force from an extended object approach // Phys. Rev. D. 2003. - V.68. - P.041701(4 p.).

164. Ori A., Rosenthal E. Calculation of the self-force using the extended object approach // J. Math. Phys. 2004. - V.45. - P.2347-2364.

165. Hartle A.I. Self-force on extended bodies in electrodynamics // Phys. Rev. D. 2006. -V.73. - P.065006 (24 p.).

166. Sanches J.M., Poisson E. Extended-body approach to the electromagnetic self-force in curved spacetime. Preprint gr-qc/0512111.

167. Казинский П.О. Эффективная динамика сингулярных источников в классической теории поля. Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. Томск, 2007г.

168. Quashnok J.M., Spergel D.N. Gravitational Selfinteractions Of Cosmic Strings // Phys. Rev. D. 1990. - V.42. - P.2505-2520.

169. Dabholkar A., Quashnock J.M. Pinning Down The Axion // Nucl. Phys. B. 1990. -V.333. - P.815-841.

170. Barut A.O., Pavsic P.A. Dirac's shell model of the electron and the general theory of moving relativistic charged membranes j j Phys. Lett. B. 1994. - V.331. - P.45-49.

171. Barut A.O., Pavsic P.A. Radiation reaction and the electromagnetic energy-momentum of moving relativistic charged membranes // Phys. Lett. B. 1994. - V.331. - P.45-48.

172. Battye R.A., Shellard E.P.S. String radiative back reaction // Phys. Rev. Lett. 1995.- V.75. P.4354-4357

173. Battye R.A., Shellard E.P.S. Radiative back reaction on global strings j j Phys. Rev. D.- 1996. V.53. - P.1811-1826.

174. Buonaimo A., Damour T. Effective action and tension renormalization for cosmic and fundamental strings // Phys. Lett. B. 1998. - V.432. - P.51-57.

175. Carter B. Electromagnetic self-interaction in strings j j Phys. Lett. B. 1997. - V.404. -P.246-252.

176. Carter В., Battye R.A., Uzan. J.-P. Gradient formula for linearly selfinteracting branes // Cominun. Math. Phys. 2003. - V.235. - P.289-311.

177. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Linearized self-forces for branes // Phys. Rev. Lett.- 2005. V.71. - P.104026 (5 p.).

178. Battye R.A., Carter В., Mennim A. Regularization of the linearized gravitational self-force for branes // Phys. Rev. Lett. 2004. - V.92. - P. 201305 (4 p.).

179. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в теории протяженных релятивистских объектов // Новейшие проблемы теории поля / Под ред. А.В. Аминовой. Казань, 2004. - Т.4. - С. 117-140.

180. Казинский П.О., Шарапов А.А. Реакция излучения и перенормировка в классической теории поля с сингулярными источниками // ТМФ. 2005. - Т.143, N 8. -С.375-400.

181. Казинский П.О. Эффективная динамика электрически заряженной струны с током // ЖЭТФ. 2005. - Т.128. - С.312-321.183. van Holten J.W. Stability and mass of point particles // Nucl. Phys. B. 1998. - V.529.- P.525-546.

182. Kupriyanov V.G., Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Deformation quantization of linear dissipative systems // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - V.38. - P.8039-8051.

183. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Quantization of theories with non-Lagrangian equations of motion // Journal of Mathematical Sciences. 2007. - V. 141. - N 4. - P. 1399-1406.

184. Gitman D.M., Kupriyanov V.G. Canonical quantization of so-called non-Lagrangian theories // Eur. Phys. J. C. 2007. - V.50. - P.691-700.

185. Де Витт B.C. Динамическая теория групп и полей. М.: Наука, 1987. 288 с.

186. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 832 с.

187. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962. 1100 с.

188. Frydryszak A. Lagrangian models of particles with spin: the first seventy years. Preprint, hep-th/9601020.

189. Frenkel J.I. Die Electrodynamik des Rotierenden Elektrons// Zs. Phys. 1926. - V.37.- P.243-262.

190. Гинзбург В.Л., Тамм И.Е. К теории спина // ЖЭТФ. 1947. - Т.17. - С.227-239.

191. Duff M.J. Supermembranes. Preprint CTP-TAMU-61/96, hep-th/9611203.

192. Townsend P.K. Four lectures on M-theory. Proc. of the ICTP summer school on Higher Energy Physics and Cosmology, Trieste, Jun 1996. Preprint hep-th/9612121.

193. Papopetru A. Spinning Test Particle in General Relativity // Proc. Roy. Soc. A. 1951.- V.209. P.248-258.

194. Barut A.O. Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles.- New York: MacMillan, 1964. 308 p.

195. Dixon W.G. On a Classical Theory of Charged Particles with Spin and the Classical Limit of the Dirac Equation // Nuov. Cim. 1965. - V.38, N 4. - P.1616-1632.

196. Kiinzle H.P. Canonical Dynamics of Spinning Particles in Gravitational and Electromagnetic Fields // J. Math. Phys.- 1972. V.13. - P.739-744.

197. Balachendran A.P., Marmo G., Stern A., Skagerstam B.-S. Spinning Particles in General Relativity // Phys. Lett. B. 1980. - V.89. - P.199-207.

198. Balachendran A.P., Marmo G., Stern A., Skagerstam B.-S. Gauge Symmetries and Fiber Bundles: Application to Particle Dynamics // Lecture Notes in Physics. 1983. - V.188.- P.l-140.

199. Cognola G., Soldati R. Vanzo L., Zerini S. On the Lagrangian Formulation of a Charged Spinning Particle in an External Electromagnetic Field // Phys. Lett. B. 1981. - V.104.- P.67-69.

200. Duval С., Horvathy P. Particles with internal structure: the geometry of classical motions and conservation laws// Ann. of Phys. (NY) 1982. - V.142. - P.10-39.

201. Barut A.O., Zangi N. Classical model of the Dirac electron // Phys. Rev. Lett. 1984.- V.52. P.2009-2015.

202. Plyushchay M.S. Relativistic Zitterbewegung: the model of spinning particle without Grassmann variables // Phys. Lett. B. 1990. - V.236. - P.291-297.

203. Plyushchay M.S. Relativistic Massive Particle with Higher Curvatures as a Model for Description of Bosons and Fermions // Phys. Lett. B. 1990. - V.235. - P.47-51.

204. Plyushchay M.S. Massive Particles with Rigidity as a Model for Description of Bosons and Fermions // Phys. Lett. B. 1990. - V.243. - P.383-388.

205. Kuznetsov Yu. A., Plyushchay M.S. The model of the relativistic particle with curvature and torsion // Nucl. Phys. B. 1993. - V.389. - P.181-208.

206. Plyushchay M.S. Relativistic Particle with Arbitrary Spin in Nongrassmannian Approach // Phys. Lett. B. 1990. - V.248. - P.299-304.

207. Ramos E., Roca J. W-symmetry and the rigid particle // Nucl. Phys. B. 1995. - V.436.- P.529-540.

208. Ramos E., Roca J. Extended gauge invariance in geometrical particle models and the geometry of W-symmetry // Nucl. Phys. B. 1995. - V.452. - P.705-806.

209. Ramos E., Roca J. On the W-geometrical origins of massless fields equations and gauge invariance // Nucl. Phys. B. 1996. - Y.447. - P.606-707.

210. Belyea C.,McKellar В., Warner R. A new non-Grassmannian pseudoclassical action for spin-1/2 particle //J. Phys. A: Math. Gen. 1990. - V.23. - P.509-524.

211. Marnelius R., Martenson U. Derivation of manifestly covariant quantum models for spinning relativistic particles // Nucl. Phys. B. 1991. - V.335. - P.395-425.

212. Marnelius R., Martenson U. New maniferstly covariant models for relativistic particles of arbitrary spin // Int. J. Mod. Phys. A. 1991. - V.6. - N 5. - P.807-844.

213. Hasiewicz Z., Siemion P., Defever F. A Bosonic Model for Particles with Arbitrary Spin // Int. J. Mod. Phys. A. 1992. - V.7. - P.3979-3996.

214. Zakrzewski S. Extended phase space for a spinning particle. Preprint hep-th/9412100.

215. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu. Geometric model of the arbitrary spin massive particle // Int. J. Mod. Phys. A. 1995. - V.10. - P.1529-1552.

216. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu. Arbitrary Superspin Massive Superparticle // Phys. Lett. B. 1995. - V.348. - P.421-427.

217. Lyakhovich S.L., Segal A.Yu., Sharapov A.A. A Universal Model of D=4 Spinning Particle // Phys. Rev. D. 1996. - V.54. - P.5223-5250.

218. Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L., Segal A.Yu., Sharapov A.A. Massive Spinning Particle on Anti-de Sitter Space // Int. J. Mod. Phys. A. 1996. - V.ll. - P.3307-3329.

219. Segal A. Yu., Sharapov A.A. Coherent (spin-)tensor fields on D=4 anti-de Sitter space // Class. Quantum Grav. 1999. - V.16. - P.l-14.

220. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M. D = 6 massive spinning particle // Mod. Phys. Lett. A. 1996. - V.ll. - 3011-3020.

221. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M., Spinning Particle in Six Dimensions // J. Math. Phys. 1997. - V.38. - P.4086-4103.

222. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M., Massive spinning particle in any dimension. (I) Integer spins // Nucl. Phys. B. 1999. - V.537. - P.640-652.

223. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A., Shekhter K.M., A uniform model of the massive spinning particle in any dimension // Int. J. Mod. Phys. A. 2000. - V.15. - P.4287-4299.

224. Шехтер K.M. Модели массивных спиновых частиц в пространстве-времени произвольной размерности. Диссертация на соискание уч. степени кандидата физ.-мат. наук. Томск, 1999 г.

225. Gorbunov I.V., Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L. On the Minimal Model of Anyon //Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - V.12. - P.4199-4215.

226. Gorbunov I.V., Kuzenko S.M., Lyakhovich S.L. N = 1, D = Z Superanyons, OSP(2|2) and the Deformed Heisenberg Algebra // Phys. Rev. D. 1997. - V.56. - P.3744-3755.

227. Gorbunov I.V., Lyakhovich S.L. Geometric Quantization of N = 2, D = 3 Superanyon // Phys. Lett. B. 1998. - V.423. - P.293-300.

228. Casalbuoni R. On the quantization of systems with anticommuting variables // Nuovo Cim. A. 1976. - V.33. - P.115-131.

229. Barducci A., Casalbuoni R., Lusana L. Supersymmetries and the pseudoclassical relativistic electron j I Nuovo Cim. A. 1976. - V.35. - P.377-404.

230. Brink L., Deser S., Zumino В., Di Vechia P., How P.S. Local supersymmetry for spinning particles // Phys. Lett. B. 1976. - Y.64. - P.432-442.

231. Brink L., Di Vechia P., Howe P.S. A Lagrangian formulation of the classical and quantum dynamics of spinning particles // Nucl. Phys. B. 1977. - V.118. - P.76-110.

232. Berezin F.A., Marinov M.S. Particle spin dynamics as the Grassmann variant of classical mechanics // Ann. Phys. 1977. - V.104. - P.336-387.

233. Gershun V.D., Tkach V.I. Classical and quantum dynamics of particles with arbitrary spin // JETP Lett. 1979. - V.29. - P.288-293.

234. Galvo C.A.P., Teltellboim C. Classical Supersymmetric Particles // J. Math. Phys. -1980. V.21. - P.1863-1935.

235. Barducci A., Giachetti R., Gomis J., Sorace E. Supergauge Invariant Lagrangians from Noether Identities // J. Phys. A. 1984. - V.17. - P.3277-3282.

236. Howe P., Pernati S., Pernici M., Townsend P. Wave equations for arbitrary spin from quantization of the extended supersymmetric spinning particle // Phys. Lett. B. 1988. - V.215. - P.555-562.

237. Howe P., Pernati S., Pernici M., Townsend P. A particle mechanics description of antisymmetric tensor fields // Class. Quant Grav. 1989. - V.6. - P.1125-1148.

238. Gates S.J. Jr., Rana L. A Theory of Spinning Particles for Large N-extended Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1995. - V.352. - P.50-58.

239. Gates S.J. Jr., Rana L. A Theory of Spinning Particles for Large N-extended Supersymmetry (II) // Phys. Lett. B. 1996. - V.369. - P.262-268.

240. Casalbuoni R. Relativity and Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1976. - V.62. - P.49-54.

241. Frydryszak A. Y-extended Free Superfields from quantization of supersymmetric particle model // Phys. Rev. D. 1984. - V.30. - P.2172-2210.

242. Frydryszak A., Lukierski J. N — 2 Massive Matter Multiplet from Quantization of Extended Classical Mechanics // Phys. Lett. B. 1982. - V.117. - P.51-62.

243. Siegel W. Hidden Local Supersymmetry in the Supersymmetric Particle Action // Phys. Lett. B. 1983. - V.128. - P.397-405.

244. Siegel W. Space-time Supersymmetric Quantum Mechanics // Class. Quant. Grav. -1985. Y.2. - P.L95-L100.

245. Siegel W. The Superparticle Revised // Phys. Lett. B. 1988. - Y.203. - P.79-91.

246. Lusanna L., Milewski B. N = 2 Super Yang-Mills and Supergravity Constraints from Coupling to a Supersymmetric Particle // Nucl. Phys. B. 1984. - V.247. - P.396-430.

247. Sokatchev E. Harmonic Superspace // Class. Quant. Grav. 1987. - V.4. - P.237-246.

248. Barut A.O., Pavsic M. Equivalence of the spinning superparticle description with Grassmann variables or with c-number spinors // Phys. Lett. B. 1989. - V.216. - P.297-312.

249. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.I. Superparticles, Tvvistors and Siegel Symmetry // Mod. Phys. Lett. A. 1989. - V.4. -P.901-908.

250. Sorokin D.P., Tkach V.I., Volkov D.V., Zheltukhin A.A. From the superparticle Siegel Symmetry to the Spinning Particle Proper Time Supersymmetry // Phys. Lett. B. 1989.- V.216. P.302-306.

251. Evans J.M. Massive Superparticles with Siegel Symmetry and Their Covariant Canonical Quantization // Nucl. Phys. B. 1990. - V.331. - P.711-752.

252. Galperin A.S., Howe P.S., Stelle K.S. The Superparticle and the Lorentz Group // Nucl. Phys. B. 1992. - V.368. - P.248-280.

253. Bandos I.A., Nurmagambetov A., Sorokin D.P., Volkov D.V. Twistor-like superparticle revisited // Class. Quantum. Grav. 1995. - V.12. - P.1881-1892.

254. Кириллов А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // УМН. 1962.- Т. 17, Т. 4.- С.57-101.

255. Kostant В. Quantization and unitary representations // Lect. Notes in Math. 1970. -V. 170. - P. 1-48.

256. Souriau J.M. Modele de Particule a Spin dans le Champ Electromagneque et Gravitationnel // Ann. Inst. Henri Poincare. 1974. - V. 20, N 4. - P.315-364.

257. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. M.: Наука, 1978. - 344 с.

258. Souriau J.M. Structure of Dynamical Systems. Birkhauser Verlag AG, 1991. - 444 p.

259. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981. - 504 с.

260. Batalin I.A., Tyutin I.V. An infinite algebra of quantum Dirac brackets // Nucl. Phys. B. 1992. - V.381. - P.619-640.

261. Batalin I., Marnelius R. Generalized Poisson Sigma Models // Phys. Lett. B. 2001. -. V.512. - P.225-229.

262. Deriglazov A.A., Galajinsky A.V., Lyakhovich S.L. Weak Dirac bracket construction and the superparticle covariant quantization problem // Nucl. Phys. B. 1996. - V.473.- P.245-266.

263. Deriglazov A.A., Galajinsky A.V., Lyakhovich S.L. Consistent Dirac bracket for dynamical systems with infinitely reducible second class constraints // Phys. Lett. B.- 1996.- V.386. -P.141-145.

264. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. BRST theory without Hamiltonian and Lagrangian // JHEP. 2005. - V.03. - N 011 (21 p.).

265. Stasheff J. Homological reduction of constrained Poisson algebras // J. Diff. Geom. -1997. V.45. - P.221-240.

266. Cattaneo A., Felder G. Relative formality theorem and quantization of coisotropic submanifolds // Adv. Math. 2007. - V.208. - P.521-548.

267. Kazinski P.O, Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Lagrange Structure and Quantization // JHEP. 2005. - V. 07. - N.076 (39 p.).

268. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Schwinger-Dyson equation for non-Lagrangian field theory // JHEP. 2006. - V.02. - N.007 (41 p.).

269. Susskind L. The World as a Hologram // J. Math. Phys. 1995. - V.36. - P.6377-6396.

270. Gubser S.S., Klebanov I.R., Polyakov A.M. Gauge Theory Correlators from Non-Critical String Theory // Phys. Lett. B. 1998. - V.428. - P.105-114.

271. Witten E. Anti De Sitter Space And Holography // Adv. Theor. Math. Phys. = 1998.- V.2. P.253-291.

272. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Quantizing non-Lagrangian gauge theories: an augmentation method // JHEP. 2007. - V.01. - N.047 (39 p.).

273. Schwinger J. On the Green's functions of quantized fields // Proc. Nat. Acad. Sci. -1951. V.37. - P.452-455.

274. Voronov Th. Higher derived brackets and homotopy algebras //J. Pure and Appl. Alg.- 2005. V.202. - N 1-3. - P.133-153.

275. Koszul J.-L. Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie // Aste'risque, hors serie, Soc. Math. France, Paris. 1985. - P.257-271.

276. Akman F. On Some Generalizations Of Batalin-Vilkovisky Algebras //J. Pure Appl. Algebra. 1997. - V.120. - N 2. - P.105-141.

277. Alfaro J., Damgaard P.H. Nonabelian Antibrackets // Phys. Lett. B. 1996. - V.369. -P.289-294.

278. Bering K., Damgaard P.H., Alfaro J. Algebra Of Higher Antibrackets // Nucl. Phys. B.- 1996. V.478. - P.459-503.

279. Batalin I.A., Bering K., Damgaard P.H. Gauge Independence Of The Lagrangian Path Integral In A Higher Order Formalism // Phys. Lett. B. 1996. - V.389. - P.673-676.

280. Batalin I.A., Bering K., Damgaard P.H. Second Class Constraints In A Higher Order Lagrangian Formalism // Phys. Lett. B. 1997. - V.408. - P.235-240.

281. Grigoriev M.A., Damgaard P.H. Superfield BRST charge and the master action // Phys. Lett. B. 2000. - V.474. - P.323-330.

282. Barnich G., Grigoriev M., Semikhatov A., Tipunin I. Parent field theory and unfolding in BRST first-quantized terms // Commun. Math. Phys. 2005. - V.260. - P.147-181.

283. Khudaverdian H.M. Laplacians in odd symplectic geometry // Contemp. Math. 2002.- V.315. P.199-212.

284. Khudaverdian H.M., Voronov Th. Th. On odd Laplace operators // Lett. Math. Phys.- 2002. V.62. - N2. - P. 127-142.

285. Witten E. Five-brane effective action in M-theory // J. Geom. Phys. 1997. - V.22. -P.103-133.

286. Belov D.M., Moore G.W. Holographic Action for the Self-Dual Field. Preprint, hep-th/0605038.

287. Marcus N., Schwarz J.H. Field Theories That Have No Manifestly Lorentz Invariant Formulation // Phys. Lett. B. 1982. - V.115. - P.lll-114.

288. Donaldson S.K. Anti-self-dual Yang-Mills connections over complex algebraic surfaces and stable vector bunldles // Proc. London Math. Soc. 1985. V.50. - P.l-26.

289. Uhlenbeck K.K., Yau S.T. On the existence of hermitian Yang-Mills connections in stable vector bundles // Commun. Pure Appl. Math. 1986. - V.39. - P.257-293.

290. Gozzi E. Hidden BRS invariance in classical mechanics // Phys. Lett. B. 1988. - V.201. - P.525-539; Gozzi E., Reuter M., Thacker W.D. Hidden BRS Invariance in Classical Mechanics. 2 // Phys. Rev. D. - 1989. - V.40. - P.3363-3377.

291. Henneaux M. Elimination Of The Auxiliary Fields In The Antifield Formalism // Phys. Lett. B. 1990. - V.238. - P.299-304.

292. Inami Т., Kanno H., Ueno T. Higher dimensional WZW Model on Kahler Manifold and Toroidal Lie Algebra // Mod. Phys. Lett. A. 1997. - V.12. - P.2757-2764.

293. Gawedzki K., Kupiainen A. G/H conformal field theory from gauged WZW model // Phys. Lett. B. 1988. - V.215. - P.119.

294. Witten E. Non-Abelian Bosonization in Two Dimensions // Commun. Math. Phys. -1984. V.92. - P.455-472.

295. Yang C.N. Condition of Self-Duality for SU(2) Gauge Fields on Euclidean Four-Dimensional Space // Phys. Rev. Lett. 1977. - V.38. - P.1377-1379.

296. Brihaye Y., Fairlie D.B., Nuyts J., Yates R.G. Properties of the sefldual equations for an SU(n) gauge theory // J. Math. Phys. -1978. V.19. - P.2528-2532.

297. Chau L.L., Ge M.L., Wu Y.-S. Kac-Moody algebra in the self-dual Yang-Mills equation // Phys. Rev. D. 1982. - V.25. - P.1086-1094.

298. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Quantization of Donaldson-Uhlenbeck-Yau Theory // Phys. Lett. B. 2007. - V.656. - P. 265-271.

299. Alexandrov M., Kontsevich M., Schwarz A., Zaboronsky 0. The Geometry of the Master Equation and Topological Quantum Field Theory // Int. J. Mod. Phys. A. 1997. - V.12.- P.1405-1430.

300. Шандер B.H. Векторные поля и дифференциальные уравнения на супермногообразиях. Диссертация на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. Воронеж, 1988г.

301. Вайитроб А.Ю., Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля // УМН. 1997.- Т.52. N 2. - С.161-163.

302. Lyakhovich S.L., Sharapov A.A. Characteristic classes of gauge systems // Nucl. Phys.

303. B. 2004. - V. 703. - P.419-453.

304. Ляхович С.Л., Мосман Е.А., Шарапов А.А. О характеристических классах Q-многообразий // Функц. анализ и его прил. 2008. - Т.42. - N 1. - С.82-85.

305. Воронов А.А., Манин Ю.И., Пенков И.Б. Элементы супергеометрии / Итоги науки и техн. Соврем, пробл. мат. Фундам. направл. М.: ВИНИТИ, 1988. Т.32. - С.3-25.

306. Фукс Д.Б. Стабильные когомологии алгебры Ли формальных векторных полей с тензорными коэффициентами // Функц. анализ и его прил. 1983. - Т.17. - N 4.1. C.62-69.

307. Fernandes R.L. Lie algebroids, holonomy and characteristic classes // Adv. Math. 2002.- V.170. N 1. - P.119-179.

308. Weinstein A. The modular automorphism group of a Poisson manifold // J. Geom. Phys.- 1997. V.23. - N 3-4. - P.379-394.

309. Evans S., Lu J.-H., Weinstein A. Transverse measure, the modular class and a cohomology pairing for Lie algebroids // Quart. J. Math. Oxford Ser. 2. 1999. - V.200.- P.417-436.

310. Фукс Д.В. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. - 272 с.