Переменные Лагранжа и Гамильтона в постгалилеевой статистической механике тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

а.8

■.»¡Л.'] ,

_1 а я

1 ъ) о

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени 1,',. Б .Келдыша

На правах рукописи

ОРЛОВ Юрий Николаевич

ПЕРЕМЕННЫЕ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА В ПОСТГАЛИЛШОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Специальность 01.01.05 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

работа выполнена в Институте прикладной математики ш. М. В. Келдыша РАН.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

профессор И.П.Павлоцкий.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Б. И.Садовников,

кандидат физико-математических наук М. Б. Гавриков.

Зедуцоя организация — ЛТФ ОИЯИ (г. Дубна Московской обл.).

За:цита состоится " " 1992 года

е " " часов на заседания специализированного совета к А o02.Au.0i при Институте прикладной .математики и.;. М.В.Келдьша РАН по адресу:

125047, Иосква-47, Миусская пл. 4.

С диссертацией ложно ознакомиться в библиотеке Института прикладной .математики им. М. В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан " " 1932г.

Учёный секретарь

специализированного

совета

с и / ^

М.П. Галаник

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Обобщение классических методов построения неравновес ной статистической механики на релятивистский случай встречается с серьёзными трудностями, связанными,' главным образом, с тем, что релятивистские функции Лагранжа или Гамильтона известны только для систем невзаимодействующих частиц. В связи с этим представляется важным рассмотреть возможность построения статистической механики в слаборелятивистском случае, когда учитываются поправки только порядка ОСс1) к классическим уравнениям движения (с-скорость света). В этом приближении, называемом далее постгалилеевым, проявляются главные специфические черты релятивизма — запаздывание взаимодействия и

вытекающая отсюда неевклидовость естественного фазового пространства. Однако, здесь ещё возможно "квазиклассическое" механическое описание движения в фазовом пространстве со временем наблюдателя, играющем роль параметра эволюции.

В последнее время интерес к постгалилеевой теории весьма возрос. По-видимому, это связано с тем, что практически все реально существующие системы, описание, которых требует учёта релятивистских поправок (электронные пучки, высокотемпературная плазма, звёздные скопления), могут быть с хорошей точностью описаны в рамках этого приближения: для них отношение тепловой энергии к энергии покоя порядка 0,04^0,4 • так что

Первые результаты по этой теме были получены давно, в одно время с созданием специальной теории относительности. За неимением возможности их практического применения и под влиянием уверенности в скором создании точной релятивистской теории к ним сложилось отношение как к более или менее трудо-

ёмким упражнениям. Интерес к слаборелятивистским системам возродился только через полстолетия в связи с исследованиями в области высокотемпературной плазмы и при обобщении метода цепочек Боголюбова на простейшие типы нелокальных взаимодействий. Начала развиваться теория "прямых взаимодействий" как альтернатива "полевому" подходу к описанию динамики релятивистских систем. [Три этом обнаружилось, что кроме чисто технических трудностей, связанных с громоздкостью выражений для запаздывания взаимодействия, в постгалилеевом приближении возникают проблемы, приводящие к качественным отличиям от классического случая. Центральной из них является принципиальная возможность вырождения якобиана преобразования Лежандра, что приводит к трудностям при выводе уравнения Лиувилля и к необходимости сопоставления результатов, полученных в лагранжевых и гамильтоновых переменных.

Исследование связи между лагранжевыми и гамильтоновыми переменными представляет интерес не только само по себе, но и потому, в частности, что свойства некоторых кинетических уравнений различны в этих формализмах. Есть и ещё один аспект, стимулирующий анализ гамильтоновых переменных в постгалилеевом приближении: это возможность перехода к квантовомеханическому описанию. Здесь также выдвигается на первый план проблема, качественно отличная от нерелятивистского случая, а именно проблема квантования. Если обычно этот вопрос носит скорее философский характер (т.к. практически не возникает проблемы в том, как в гамильтониане расставить координаты и импульсы), то в условиях нелокальности взаимодействия он переходит в практическую плоскость.

Сопоставление лагранжева и гамильтонова формализмов может

быть продолжено и на уровне эволюционных уравнений для моментов функций распределения системы в фазовом пространстве (уравнений гидродинамики). Цепочка Боголюбова, являясь инструментом для конструирования кинетических уравнений, приводит $ зависимости от способв её обрыва, к различным кинетическим уравнениям, на основе которых строятся уравнения гидродинамики. Если свойства наиболее часто используемых кинетических уравнений весьма детально изучены, то проблема классификации гидродинамических уравнений в зависимости от типа замыкания цепочка и сам их вывод в рамках функциональной гипотезы Боголюбова разработан в гораздо меньшей степени.

Целью данной работы является обоснование использования гамильтоновых переменных в качестве динамической основы для построения квантовой постгалилеевой статистической механики, вывод в рамках гипотезы Боголюбова уравнений гидродинамики для простейших релятивистских систем й анализ возникающих при этом трудностей, а также исследование зависимости эволюционных уравнений квантовых статистических операторов от правила квантования.

Научная новизна и практическая ценность. Доказана теорема о

том, что преобразование Лежандра невырождено почти всюду в фазовом пространстве системы взаимодействующих частиц с регуляри-

зованньш потенциалом, причём существует область вблизи границы фазового пространства, где оно строго невырождено. Следствием этого является существование правильной асимптотики у равновесного распределения Гиббса в гамильтоновых переменных. Проведён детальный анализ якобиана преобразования Лежандра для частиц произвольной тензорной валентности и выявлены некоторые типы потенциалов, для которых якобиан заведомо невырожден. Показано,

что независимо от выбора переменных уравнение Лиувилля известно с точностью до множеств лебеговой меры нуль — там, где вырождается преобразование Лежандра. Полученные результаты имеют не только методологическую ценность, но и обосновывают возможность построения постгалилеевой статистической механики в гамильтоновых переменных, что, в свою очередь, позволяет развить соответствующий аппарат для квантовомеханической схемы.

Предложена общая схема вывода уравнений гидродинамики в рамках функциональной гипотезы Боголюбова. Показано, что из цепочки могут быть получены как уравнения вязкой теплопрово-дящей жидкости типа Навье-Стокса, так и уравнения иного типа, с добавками, пропорциональными градиентам гидродинамических переменных, в зависимости от типа замыкания. Б качестве конкретных примеров рассматриваются две системы гидродинамических уравнений в постгалилеевом приближении — на основе уравнений Больцмана и Власова. Эти уравнения могут быть использованы при описании эволюции реальных слаборелятивистских систем.

Гвмильтонова форма постгалилеевой динамики является основой для формулирования в этом приближении квантовостатисти-ческой схемы. С целью выяснения роли правила квантования был рассмотрен широкий класс квантований (симметричных и несимметричных), в котором связь между классическим символом и матричным элементом соответствующего квантового оператора задаётся линейным интегральным преобразованием. Именно запаздывание взаимодействия позволило вскрыть некоторые новые свойства статистических операторов. В частности, оказалось, что от правила квантования зависят не только квантовые эволюционные уравнения, ( эта зависимость очевидным образом входит туда

через проквантованвый запаздывающий потенциально и само определение этих операторов содержит указанную зависимость. Последнее обстоятельство нужно иметь в виду и в нерелятивистской теории, когда все квантования, сопоставляющие импульсу оператор градиента,эквивалентны (т.е. при любом квантовании оператор Гамильтона имеет один и тот же вид), но, например, уравнение эволюции функции Вигнера и тогда зависит от правила квантования.

В данной работе уравнение эволюции функции Вигнера выведено для частиц произвольной тензорной валентности и может быть легко обобщено на случай произвольной зависимости функции Гамильтона от координат и импульсов (включая внешнее поле). Получены уравнения эволюции моментов функции Вигнера (квантовая гидродинамика). Рассмотренпереход к неквантовому пределу. Показано, что формальный предельный переход приводит к уравнению Власова для симметричных по импульсу распределений, а в квазиклассическом приближении отличные от нуля члены возникают только при неэрмитовоы квантовании. Показано также, что этот предельный переход может быть дополнен • некоторыми условиями, в частности, следующим: можно потребовать совпадения в неквантовом пределе "гидродинамики по Вигнеру" с системой "власовской гидродинамики". Данные результаты носят, в основном, теоретический характер, касающийся методологии квантовой статистической механики,и позволяют рассмотреть некоторые трудные вопросы квантовой теории под новым углом зрения.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах отдела №? ИПМ им. И.В.Келдыша АНСССР, на семинарах Института теоретической физики Университета Альберты

(Эдмонтон, Канада), на семинарах Отделения теоретической

в

теоретической физики Университета сглерно (Салерно, Италия), на советско-итальянском рабочем совещании /?с!\гапсе^ 1(1 ТНеогеЪсаб РЦНсб (Вьетри суль Маре, Салерно,

Италия, октябрь 1990г.), на ^Международном конгрессе по математической физике (Марсель, Франция, июль 1986г.), на (¿1 советско-итальянском симпозиуме по статистической механике (Коио, Италия, июнь 1987г.), на ¡у Международном симпозиуме по избранным проблемам статистической механики (Дубна, СССР, август 1987г.).

По материалам диссертации опубликовано 12 работ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, дополнения и списка цитированной литературы из наименований. Объём диссертации 12.7 стр., включая оглавление и список литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий обзор основных достижений и трудностей в исследуемой области, обсуждаются актуальность темы диссертационной работы и описывается распределение материала по главам.

Первая часть посвящена исследованию слаборелятивистского преобразования Лежандра и выводу уравнения Лиувилля для частиц произвольной тензорной валентности. Показано, что в случае произвольных парных потенциалов это преобразование вырождается на множестве нулевой лебеговой меры в фазовом пространстве системы. Приведены некоторые примеры невырожденного преобразования Лежандра, а также проведено

исследование достаточного признака невырожденности для различных типов взаимодействий. Оказалось, что и уравнение Лиувилля (как в лагранжевых, так и в гамильтоновых переменных ) описывает эволюцию функции распределения также почти всюду в фазовом пространстве (за исключением поверхностей вырождения преобразования Лежандра), в чём состоит главное отличие постгалилеевого приближения от классического случая.

Во второй части на основе полученных уравнений Лиувцлля строится цепочка Боголюбова для частичных корреляционных функций распределения в лагранжевых и гамильтоновых переменных. Исследуется возможность переноса на слаборелятивистский случай функциональной гипотезы Боголюбова и схемы вывода в рамках этой гипотезы уравнений гидродинамики. Поскольку существуют определённые трудности с выводом уравнений вязкой гидродинамики непосредственно из цепочки, подробно лсследуются классические уравнения, для которых можно найти устные решения, приводящие к уравнениям типа Навье-Стокса я теплопроврдности. Затем эта схема переносится и на слабо-эелятивистский случай, причём рассматриваются некоторые способы обрыва (замыкания) цепочки и получающиеся в результате уравнения гидродинамики. В частности, подробно описан зывод уравнений вязкой гидродинамики на основе уравнения Юльцмана с запаздыванием взаимодействия.

В третьей части, опираясь на гамильтонову форму пост-галилеевой динамики, в общих чертах описывается схема Бого-побова построения квантовой статистической механики в указанном приближении. Центральным местом является исследование правила квантования, которое сопоставляет классическому

символу квантовый оператор в гильбертовом пространстве волновых функций. Если в нерелятивистском случае эта проблема имеет скорее философский характер, то квантование, например, гамильтониана в постгалилеевом приближении встречается с чисто практическими затруднениями, связанными с наличием т.н. ""перекрестных членов" в запаздывающем потенциале. Эти члены вносят в уравнения эволюции квантовых статистических операторов зависимость от правила квантования, причём сами статистические операторы (напр., функция Вигнера) могут зависеть от ядра квантования. В нерелятивистской теории обычно проходят мимо последнего обстоятельства, поскольку для всех "разумных" квантований, сопоставляющих импульсу оператор градиента, гамильтониан имеет один и тот ке вид. Однако и в этом случае в уравнениях эволюции может появиться зависимость от правила квантования, и только квантование по Вейлю является единственным, для которого согласуются правила вычисления средних значений наблюдаемых с определениями статистических операторов. Указанное свойство иллюстрируется на примере функции Вигнера, дая которой выведено уравнение эволюции в постгалилеевом приближении и рассмотрены некоторые аспекты' перехода к неквантовому пределу.

В заключении подытоживаются результаты диссертации и оценивается их роль и место в развитии статистической механики и смежных с ней отраслей науки.

В дополнении приводятся подробные исследования якобиана преобразования Лежандра для некоторых частных случаев, выводится зависимость от этого якобиана конфигурационного интеграла системы векторных частиц, а также выписываются основные математические формулы, связанные, главным образом, с вычислением многомерных ингегралов, которые носят вспомогательны?

характер и могут быть опущены в основном тексте.

На защиту выносятся следующие основные результаты данной диссертации:

1. Доказано, что для системы взаимодействующих тел с учётом запаздывания взаимодействия якобиан преобразования Лежанд-ра невырожден почти всюду (с точностью до множеств лебеговой меры нуль) в фазовом пространстве. Это позволяет доказать существование почти всюду в фазовом пространстве переменных Гамильтона правильной асимптотики у слаборелятивистского гамильтониана, что, в сбою очередь, обосновывает возможность построения статистической механики в гамильтоновых переменных с использованием постгалилеева аналога распределения Гиббса.

2. В лагранжевых и гамильтоновых переменных получено слаборелятивистское уравнение Лиувилля, справедливое во всех точках соответствующих фазовых пространств, кроме тех, где вырождается преобразование Лежандра. В линейном приближении по константе взаимодействия получены уравнения цепочки Боголюбова для системы взаимодействующих тел произвольной тензорной валентности.

3. Функциональная гипотеза Боголюбова, предложенная им для вывода уравнений гидродинамики из цепочки корреляционных функций, перенесена и на слаборелятивистский случай. Показано, что з рамках этой гипотезы существуют решения уравнений цепочки, фиводящие к уравнениям гидродинамики типа Навье-Стокса и тепло-фоводности. Приведены некоторые частные решения в классическом ¡лучае.

■ 4. Для того, чтобы в уравнениях гидродинамики однозначно определить выражения для необратимых потоков, в цепочку надо ввести диссипацию (напр., посредством её обрыва). Рассмотрены

варианты гидродинамических уравнений, получающихся при обрыве цепочки на бинарной и тернарной корреляционных функциях. Показано, что в последнем случае не существует решений уравнений вязкой гидродинамики для систем с дальнодействием. Особое внимание уделено выводу уравнений вязкой гидродинамики на основе слаборелятивистского уравнения Больцмана методом Чепмена-Энскога. Показано, что в этом случае запаздывание взаимодействия не вносит поправок в коэффициенты переноса, но появляются дополнительные члены, линейные по градиентам гидродинамических переменных.

5. Существование гамильтоновой формы постгалилеевой динамики позволяет строить постгалилееву квантовую статистическую механику с помощью принципа соответствия, коль скоро указано квантование гамильтониана. Показано, что в этом случае схема Боголюбова переносится без существенных изменений

и на слаборелятивистский случай, в частности, из квантового уравнения Лиувилля обычным образом выводятся уравнения эволюции квантовых статистических операторов с учётом запаздывания взаимодействия.

6. Исследована зависимость основных эволюционных уравнений квантовой механики от правила квантования. Во всех практически важных нерелятивистских моделях, описывающих систему тел в линейных фазовых пространствах, этой проблемы

не возникает, тогда как в постгалилеевом приближении имеется большой произвол в расстановке некоммутирующих операторов. Предложена единообразная схема квантования, включающая в

себя наиболее часто употребляемые правила квантования (по Вейлю, Борну, Йордану), а также и некоторые

несимметричные квантования.

7. Получено уравнение эволюции одночастичной функции Вигнера для гамильтониана, произвольным образом зависящего от координат и импульсов. Показано, что определение функции Вигнера должно быть согласовано с правилом вычисления средних значений наблюдаемых, в связи с чем это определение видоизменено с учётом зависимости от правила квантования.

8. В нерелятивистском случае Боголюбовым Была установлена связь между уравнениями Вигнера и Власова. Последнее следовало из первого в неквантовом пределе. Указанная связь устанавливается

и в постгалилеевсм приближении (с некоторыми уточнениями) не только на уровне самих-уравнений, но я ка уровне "слаборелятивистских гидродинамик", порождаемых этими ураврениями. Показано, что в квазиклассическом (в квантовой теории)"приближении вклад от запаздывания взаимодействия в уравнениях эволюции обращается в нуль только для эрмитовых квантований.

Материал и результаты настоящей диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Орлов И.Н., Иавлоцкий И.П. Уравнения эволюции статистических операторов квантовых слаборелятивисгских систем. Препринт ЮТ АНСССР, №55, 1986.

. Орлов Ю.Н., павлоцкий И.П. Слаборелятивистское уравнение

Власова. Препринт НПМ АНСССР »106, 1986. . Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. ДАН СССР, 298, с.837, 1988. . Орлов Ю.Н., Павлоцкий И.П. ДАН СССР, 304,. 2, с.329, 1989. . Орлов Ю.Н. . Препринт ЕПМ АНСССР '.»179 1989. • Орлов Ю.Н. Равновесные функции распределения в постгалиле-евом приближении. Препринт ИПЙ АНСССР №42, 1990.

. СМо» Х.У. аио( РсуМ] 1.Р, Р^са (\ (41 (МЯТ) 31?.