Моделирование кинематики и динамики механической системы со связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

БЕШАУ АССАИЕ ВАЛЕЛГУ

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ

Специальность 01.02.01-теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискании на ученой степени 01 п„-г

21 ОКТ 2015

кандидата физико-математических наук

Москва 2015

005563483

005563483

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и механики Российского университета дружбы народов

Научный руководителе

Мухарлямов Роберт Гарабшевич, д.ф.-м.н., профессор кафедры теоретической физики и механики РУДН

Официальные оппоненты:

Розенблат Григорий Маркович, д.ф.-м.н., профессор кафедры теоретической механики МАДИ

Востриков Анатолий Сергеевич, д.т.н., профессор кафедры автоматики, научный руководитель научно-исследовательской лаборатории "Теория автоматического управления", НГТУ

Ведущая организация Московский авиационный институт

(национальный исследовательский университет)

9£. II

Зашита диссертации состоится е-лз' < I 2015 года в 1 1 часов на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Российском университете дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3.

Автореферат разослан ) 1) I £> 2015

года.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Попова В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование механической системы предполагает исследование кинематики или динамики механической системы. Кинематика изучает движение механических систем (положение, скорости и ускорения точек) во времени без учета их масс и сил, которые действуют на них. Кинематика, однако, в течение многих лет используется для установления кинематических соотношений при проектировании связей и решения ряда сложных технических проблем. Для описания движения, кинематика изучает траектории точек и геометрических объектов, их дифференциальные свойства, таких как скорость и ускорение. Кинематика используется в астрофизике для описания движения небесных тел и систем, а также в машиностроении, робототехнике и биомеханике для описания движения систем, состоящих из связанных между собой деталей, таких как двигатель, робот, антропоморфный механизм и так далее. Изложение кинематики достаточно полно приводится в известных учебниках по курсу классической механики, например: H.H. Бухгольц1, Farid Amirouche2.

Динамика в отличие от кинематики - раздел механики, связанный с изучением сил и их влияния на движение. Задача динамики состоит в исследовании изменения физической системы с течением времени и выявления причин этих изменений. Динамика определяет отношения между движением тел и причинами, вызывающими это движение, а именно силами, действующими на тела. Современную динамику составляют классическая механика Ньютона, механика Лагранжа, механика Гамильтона и механика Гельмгольца, представляющая ее развитие (A.C. Галиуллин3, Florian Scheck3).

'Бухгольц Н.Н., Основной Курс Теоретической Механики : Кинематика,статика, динамика материальной точки, издательство «наука» Москва, 1965.

"Farid Amirouche, Fundamentals of Multibody Dynamics: Theory and Applications, Birkha' user Boston, 2006. 'Галиуллин A C., Гафаров Г.Г., Малайшка Р.П., Хван A.M. Аналитическая динамика систем Гельмгольца,

Биркгофа, Намбу. М. Редакция журнала «Успехи физических наук». 1997. 324 с.

4Florian Scheck, Mechanics: From Newton's Laws to Deterministic Chaos, 5th edition, Springer-Verlag, 2007.

Одним из основных проблем механики является построение уравнений движения системы, решения которых удовлетворяют уравнениям связей. Создание аналитической механики систем со связями начинается от известного трактата Лагранжа, опубликованного в 1788 году. Проблема описания движения системы с голономными и неголономными связями в дальнейшем была исследована такими учеными, как Вольтерра, Больцман, Амель, Новожилов, Уиттекер, Сингх. Гиббс (1879) и Аппель (1899) независимо друг от друга разработали метод построения уравнений движения механических систем, стесненных неинтегрируемыми связями, получивший название метода Гиббса-Аппеля. Метод требует удачного выбора квазикоординат и усложняется в случае систем с большим числом степеней свободы и числом неинтегрируемых уравнений связей. Гауссом был предложен (1829) общий принцип механики для получения уравнений движения несвободной системы. Дирак (1969) предложил формулировку принципа для гамильтоновых систем с сингулярным лагранжианом, когда уравнения связей не зависят явно от времени.

Удойда и Калаба5 в 2001 г. и в 2002 г. использовали псевдообратные матрицы для исследования систем с неидельными связями. Далее в 2005 г. Удойда6 получил уравнения динамики с неидельными связями без использования псевдообратных матриц.

Уравнения динамики описывают реальные движения системы. Использование известного алгоритма определения реакции связей не обеспечивает устойчивость по отношению к уравнениям связей, что важно при численном решении уравнений движения. В связи с этим, возникает проблема устойчивости и стабилизации связей.

!Udwadia F.E., Kalaba R.E. Explicit Equations of Motion for Mechanical Systems with Nonideal Constraints. //Journal of Mechanics. Vol. 68,2001. Pp. 462-467.

6Udwadia F. E., Equations of Motion for Constrained Multibody Systems and their Control // Springer Science+Business Media, Inc, journal of opt. theory and app.: 2005, Vol. 127, №. 3, C. 27-638.

Необходимым условием стабилизации связей является асимптотическая устойчивость решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей при начальных отклонениях. Трудами Н.Е. Жуковского, А. М. Ляпунова7, А. Пуанкаре созданы основные методы современной теории устойчивости. Теория устойчивости неголономных систем рассматривалась в работе Ю.И. Неймарка и Н. А. Фуфаева8 . В работе A.C. Галиуллина9 установлена возможность построения целевых показателей для изучения устойчивости движения механических систем, использования метода характеристических чисел и метода функций Ляпунова для определения критериев устойчивости.

Стабилизация уравнений связей может быть осуществлена различными способами. Мухарлямов10 Р.Г. использовал метод построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы в качестве уравнений связей, сформулировал условия устойчивости по отношению к уравнениям связей, и предложил расширение потенциальной функции, диссипативной функции и кинетической энергии за счет дополнительных переменных, оценивающих возможные отклонения от уравнений связей. Устойчивость численного решения относительно уравнений связей достигается при использовании метода Эйлера, метода Рунге-Кутта второго порядка и методов Рунге-Кутта в случае уравнений водмущений связей с постоянными коэффициентами.

7Ляпупов А.М., Общая Задача об Устойчивости Движения, государственное издательство Технико-теоретической литратуры,москва 1950.

8Неймарк, Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем - М.: Наука, 1967.

'Галиуллин, А. С. Аналитическая динамика: учебное пособие для ун-тов и втузов / А. С. Галиуллин. -

М.: Высш. шк., 1989.

10 Мухарлямов Р.Г., Уравнения движения механических систем. Издательство РУДН, 2001.

Таким образом, актуальность темы диссертации может быть основана на следующих положениях;

❖ Потребность современной науки и техники в исследованиях динамики и решении задачи управления динамикой механической системы со связями.

❖ Установление способов построения уравнений кинематики механической системы, обеспечивающих стабилизацию голономных связей.

❖ Установление способов построения уравнений динамики механической системы, обеспечивающих стабилизацию связей.

❖ Потребность в решении прикладных задач управления системами различной физической природы по аналогии с решением задач кинематики и динамики механической системы.

❖ Разработка методов и алгоритмов численного решения уравнений кинематики и динамики систем со связями.

Цель исследования диссертационной работы является: разработка методов построения кинематических соотношений для механической системы со связями, построение уравнений динамики связанной механической системы в соответствии с основными принципами классической механики, определение условий стабилизации связей при численном решении системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге-Кутта и разработка алгоритмов моделирования уравнений динамики, обеспечивающих стабилизацию связей при численном решении.

Методы исследования. В диссертации используются классические методы исследования, такие как анализ, синтез, обобщение, сравнение, методы классической механики, аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения и численные методы решения дифференциальных уравнений.

Научная новизна:

> Разработан метод построения дифференциальных уравнений, описывающих динамику механических систем.

> На основе принципа Даламбера-Лагранжа и принципа Гамильтона получены модифицированные уравнения движения механической системы со связями.

> Сформулированы условия устойчивости решений кинематических уравнений относительно уравнений связей и определены условия стабилизации связей применительно к численному решению кинематических уравнений методом Рунге-Кутта.

> Разработаны алгоритмы для моделирования кинематических и динамических уравнений механических систем со связями.

Достоверность результатов. Достоверность результатов определяется подтверждением правильности построения математических моделей и их модификаций, точностью разработанных методов решения задачи стабилизации и управления. Полученные результаты математически доказаны на основе известных положений механики и математики. Моделирование, проведенное в работе, основано на общепринятых правилах механики и математики и подтверждено численными экспериментами с использованием известного программного обеспечения системы МАТЬАВ 2012а.

Личный вклад автора. Личный вклад автора состоит в формулировке задач и целен исследования; в разработке модифицированных способов стабилизации связей; в моделировании динамики систем с неголономными связями; в разработке новых способов численного моделирования аналитических результатов.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для описания движения систем, состоящих из твердых тел и систем с элементами различной физической природы, таких как транспортные и авиационно-космические системы, робототехнические системы, скелетоны, для исследования устойчивости движения механических систем относительно уравнений связей, для разработки численных методов и алгоритмов решения уравнений. Известные динамические аналогии позволяют использовать разработанные в диссертации методы для моделирования динамики экономических объектов и производственных систем.

Приведенные в работе алгоритмы позволяют построить эффективные методы численного решения уравнений движения механической системы.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

■ на Ь Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (Москва, Российский университет дружбы народов, 13-16 мая 2014 г.);

« на Международной научно-практической конференции «Современные тенденции общественного развития: теория и практика» в. г. Нижневартовске (Филиал ГОУ ВПО ЮУрГУ в г. Нижневартовске, 22 февраля 2013 г.),

" на заседаниях научного семинара «Математическое моделирование процессов механики», руководитель профессор Мухарлямов Р.Г. (Москва, Российский университет дружбы народов, 2013-2015 г.г.).

■ на Ы Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники (Москва, Российский университет дружбы народов, 12-15 мая 2015 г.)

Публикации: по теме диссертации опубликовано 6 статей, 3 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК, 3 - обсуждались на международных конференциях и опубликованы в материалах конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, Четырех глав, заключения, списка литературы из 85 наименований. Объем диссертации составляет 103 страниц, 17 рисунков.

Во введении обосновывается актуальность выбора темы, приводится сжатый обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Формулируются цель работы, отмечается ее научная новизна и практическая значимость. Кратко излагается содержание диссертации по главам, и приводятся основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуется кинематической состояние механической системы. Составляются кинематические соотношения между обобщенными скоростями и соответствующими координатами

<7 =/(<7.0. 9=^7- qeRn, (1)

удовлетворяющими начальным условиям q(t0) = q°. Предположим, что на систему наложено m голономных связей:

4>(q,t) = 0, Ст<п). (2)

С целью стабилизации связей в процессе численного интегрирования уравнений динамики системы следует предусмотреть условия для компенсации возможных отклонений от уравнений связей:

Ф = Ф„/ + <l>t = Е. (3)

Предполагается, что правая часть соотношения (3) составляется из линейных комбинаций уравнений связей:

1 = 1.....т• (4)

Для всех решений q = q(t), t > t0, системы (1), удовлетворяющих условию (2), вектор f(q, t) должен быть выбран так, чтобы выполнялось условие

Фч/ = КФ - Фг, (5) где Ф, = (Фу),Ф, = (Фи),Фу = Щ,Фи = = 1,2......гп ; j = 1,2.....п.

Если матрица Фд имеет ранг т, то множество всех решений линейной системы (5) определяется соотношением

/ = с[ФчС] + Фч+(КФ-Фа (6)

где с - произвольная скалярная величина, [ф,С] = [Ф,^ ... ФЧтСт+1... Cn_t] является векторным произведением векторов, составляющих строки матриц Фч. С, матрица С = (С-г/), т = т + 1, ...,п — l,j = 1, ...,п, является произвольной. Компонента [ФqC]j вычисляется как определитель

[фчс]. =

¿А <^•2

Фа

«и Ч12

Ф«Ш1 Ф

Сщ+1,1 Ст+1,2

Сп-1,1 Сп-1,2

8щ Фа.

Ф„

Си-

1 ,П->

где 8|к = (01П#к-

Матрица Ф,+ определяется соотношением Ф,+ = ФЧТ(ФЧФ<)Г)~1-

При моделировании реальных систем дифференциальные уравнения (6) являются нелинейными и для решения их обычно пользуются численными методами (цифровая аппроксимация). Известны различные численные методы решения дифференциальных уравнений. Наиболее употребительными численными методами являются методы Эйлера и Рунге-Кутта.

В заключение первой главы приводится пример, иллюстрирующий математическое моделирование кинематической системы с соблюдением условий стабилизации связи при использовании численных методов Эйлера и Рунге-Кутта.

Уравнение связи Ф{х,у)-. = \($х2 + у2 - 9) = 0, (х,у), обеспечиваются,

если между координатами и скоростями системы существуует зависимость

9кх ,Г.„2 . „2

X = су +

2(81 хг+у2)

-9 сх + ■

ук

(9х2 + у — 9), - (9х2 + у2 — 9).

(7)

2(81х2+у2)

Устойчивость решения уравнения (7) зависит от величины и знака постоянной к. Случай 1. Пусть к > 0, положим, к = 2, с = 1,х° = 1,у° - 0. Из рис.1 видно, что численное решение (8) является неустойчивым как при использовании метода Эйлера, так и метода Рунге-Кутта.

1 2 Э

7 8 9 10

Рис.1 (к=2)

Случай 2. Пусть к <0, положим к = -2, с = 1; численное решение является устойчивым при решении любым из способов, описанных выше, как это видно на рис.2.

>

----х-1Лие

\ I I 5 ! ,

N ; а ! АЛ .' .К .' А I

\ ' 'IV I ' , х / ' \ I /I\ '

:\'/"Л / \ / /\М/ \ V \ Ч/ \ V \ V \ р \ ' 1 ! 1 ! * / / ■\ / \ / 11 и ; /

8

2 0

в ^ 10

_ у

■ /\ Л Л / /

к / к )л 1 \ I / \ / /\\ / /\ \ / к /■ '14/

\ / \ / \ / \ / \ / .

. У V V V у

23456769 10

Рис.2 (/с = -2)

Но устойчивость численного решения зависит не только от значения параметра к, но и от используемого метода. Например, при к = -400 решение неустойчиво, когда используется метод Эйлера, но устойчиво при применении метода Рунге-Кутта, как показано на рис.3.

Л 123455789 10 «гпа!

"40 1 2 3 4 Ь 6 7 8 9 10

Рис.3 (к = -400)

Во второй главе формулируются условия устойчивости численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений по отношению к уравнениям связей, полученных методом Рунге-Кутта. Приводятся условия устойчивости решений кинематических уравнений, полученных методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 2-го порядка, и дается обоснование условий устойчивости численных методов Рунге-Кутта 3-го и 4-го порядка.

Общий метод Рунге-Кутта определяется соотношением:

Чп+1 = Чп + тЛ(4п,«п),

где Н(хп, дп) = сгкг вместе с величинами

кг = + таг, qn + т Ьгзкв), г = 2,3,..., Я, аг = ££=1 ЬГц, т = Сп+1 — (:п,

(9)

(8)

где сг, аг, Ь„ -постоянные, подлежащие определению. Из разложения в ряд Тейлора

(Ю)

используя отрезок ряда Тейлора порядка р, определим значение Н в (9):

ьа.д) = я) = к,ч)+ (11)

где = ц), I = 1,2.....(р-1).

Величины к2, к3, к4 определяются соотношениями:

т2 т3

кг = р + та2Р" + у а22С" + -^-а23Яп + т4й£4,

кз= Г + +7(а32С" + 2 а2Ь32/5Г")+

т3

+ —(а33Я" + 6а2Ь32а3Р"Р" + За23Ь32/£С")+г4Д*4, т2

Л4 = Г + + у (а42С" + 2(а2Ь42 + а3Ь43)/^" + 2 а2Ь32(/^) V) +

+ £(а2Яп + 3(а2Ь42 + а1Ь43)/?Сп + 6(а2Ь42а4 + азЬ43а4)Р^п) + т4я£4. где /» = /(Гп> (?"), Я1 = /? + ГП . с" = /« + 2Г/Т, + С/")2/?,,

и" = /г» + зг/?сч+з(Г)2/?„ + (1пугччч,Рп = /?,+г/?,.

Подставляя А^по и расширенные формы /с2, Л3 и /с4 в (9), получаем: А(«п. Ч") = (С1 + с2 + с3 + с4)Г + т(с2а2 + с3а3 + с4а4)Г" + у (а|с2 + а|с3 +

а42с4)С" + т2(с3а2Ь32 + с4(а2Ь42+а3Ь32))/5Р" + ^(Сс2а| + с3а33 + с4а3)Я" + 2(с3а2Ь32а3 + с4а2Ь42а4 + с4а3Ь43а4)РпРп + 3(с3а1Ь32 + с4а1Ь42 + с4а§Ь43)/£Сп +

бс4а2Ьз2аг)2г,)+т4д;4. (12)

Метод Рунге-Кутта третьего порядка

В выражении (11) метод Рунге-Кутта третьего порядка получается при Я = 3. То есть, полагая с4 = 0, из (12) получаем систему четырех уравнений с шестью неизвестными:

с1 + с2 + с3 = 1, с2а2 + с3а3 = 1/2, а\с2 + а\сг = 1/3, с3а2Ь32 = 1/6. (13)

Далее из равенства Дд" = тЛ(£п, чп) заменой функции Л уравнением (13) получаем:

С другой стороны,разложение вектора фп+1 = ф(цп+1, Гп+1) в ряд дает равенство:

фП+1 = фП + фПДцП + фпт + 1 [ф^ДдПДдП + 2ф»,тДд" + ф£т2] + + + ЗтЩчсАчпАяп + Зт2ф?кА«Г + + т4<з) (15)

Теорема 1: Если выражение (15) получается с использованием разностной схемы третьего порядка точности (14), и для всех значений переменных q = цпЛ = п = 0,1,2, ...Ы, и существуют такие е > 0,т > 0,5 > 0, которые удовлетворяют неравенствам:

||Ф°|| <£, т4||я£.3|| <

| (I + тК + ±т2(К + К2) + £ {к + ЗКК + К3))" | < 5 < 1,

то можно легко показать, что ||Фп+1|| < £.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка При Д = 4 из условий (11) и (12), получаем:

с1 + с2 + с3 + с4 = 1, с2а2 + с3а3 + с4а4 = ^

а|с2 + а2с3 + а|с4 = 1/3, с2а! + с3а! + с4а^ =

с3а2Ь32 + с4а2Ь42 + с4а3Ь43 = 1/6, с3а2Ь32а3 4- с4а2Ь42а4 + с4а3Ь43а4 = 1/8, сза1Ь32 + с4а|Ь42 + с4а3Ь43 = 1/12, с4а2Ь32 = 1/24. (16)

Полагая Ддп = тЛ(£п, дп), с учетом выражения (12) для Л получаем

Дд" = тГ + + 7 (Сп + + £ (нп + РпРп + + + г5^4. (17)

Разложение фп+1 = ф(дп+1, получаем в следующем виде:

фП+1 = фП + фпдчп + фпт + 1ф(п2) + ±ф(пЗ) + ¿ф(п4) + Г5Д|5> (18)

где фС»Ч = (ДЧ")гф;ГчДд" + 2ф^гДЧ" + ф£т2,

Ф(п3) = Ф^Дч^^Дд" + Зтф^Д^Дд" + Зт2ф"ссДчп + т3ф^, Ф(п4) = Ф?ЧЧ?ДЧПДЧПДЧ"ДЧ" + 4тф^ДЧ"Дд"Дд* + 6т2ф^Д<ГДд" +

+4г3ф?шЛЧп+т4ф£„.

Подставляя (17) в (18) и переставляя члены, имеем выражение: т2 т3

Ф"+1 = Ф" + + — {ф^п + Сф] + — {ф + ЯР«) + 3 ртр» + Нф) +

+ £ (Фч + + -Р"^ + Яп} + Зф»,(рт)2 + 4(С" + + 6FnNl +

+ г5Я*5, (19)

"Ф = /2ФЧЧ, + 2/фччС + ф,к,

Мф = /Чад,, + ^ф,,^ + б/^ф^и + 4/ф,т + ф„„.

Для построения разностной схемы необходимо определить выражения производных от уравнения возмущений связей ф = К(<7, Оф:

Ф = (£ + к-2)Ф, ф = (к + зкк + к3)ф, Ф(4) = (к + 4 кк + з к2 + б кк2 + к*) ф.

Теорема 2: Если в выражении (19) используется четвертый порядок точности (18), и для всех значений переменных я = С = Г„,п = 0,1,2, ...ДО, матрица

К(«7,£0,Ф° и остаточный член т5йф разложения в ряд Тейлора удовлетворяют условиям:

||ф°||<£, т5||Д^||<(1-5)£,

||1 + тК" + -т2Ьп + -Б" + —О"II < 5 < 1, II 2 6 24^ II '

то будут выполняться ограничения

НФП+1И<£,

£ > 0,5 > 0, Ь = К + К2, Б = К + ЗКК + К3, 0 = к + АКК + ЗК2 + 6КК2 + к4.

15

В третьей главе на основе принципа Лагранжа построены расширенные уравнения динамики механической системы, включающие уравнения возмущений связей. Получены уравнения движений механической системы с идеальными связями с учетом стабилизации связей. Построены уравнения динамики механической системы с неидеальными связями. Устойчивость уравнений динамики по отношению к уравнениям связей осуществляется путем введения программных связей. Для определения решений уравнений динамики используются численные методы и алгоритмы, установленные в первых двух главах.

Когда механическая система является свободной, уравнения движения системы

могут быть представлены в форме уравнений Лагранжа:

= = .....(20)

Асц

где внешние силы, — =

Уравнения движения системы (20) приводятся к виду, разрешенному относительно ускорений:

Мц = /, (21)

Обобщенное ускорение системы является п-вектором, который выражается через обобщенные координаты и скорости

ц = = (22)

Предположим теперь, что на систему наложено т идеальных неголономных связей, заданных уравнением

Ч»(Ч,ЧД) = 0, (23)

где Ч» = СРиЧ?2.....Ч»ш).

Дифференцируя уравнения связей (23) по времени и, используя стабилизацию связей, получаем

Ч>(1(\ + Ч^ + = (24)

где g = (Ф, <7,О и g(0, ц, ч, 0 = 0.

Перепишем уравнение (24) в виде

Ад = Вц + С. (25)

Используя метод множителей Лагранжа, уравнения движения несвободной системы можно записать в виде соотношения

_¿1. - п + уш зчъ„

м ач, ~Ц<+ ^=1 -¿^Мк- (26)

Из соотношения (26) ускорение системы может быть записана в виде

аа=аи + Оц, (27)

где О = М~1АТ, ц является вектором множителей Лагранжа, аи- ускорение свободной системы, аа является фактическим ускорение системы со связями.

Заменяя вектор множителей Лагранжа в соотношении (27), используя (25), уравнения динамики системы, опредеяем:

аа = Раи +Sv + R, (28)

где

Р = / _ М-1ЛГ(ЛМ-1ЛГ)"1Л, 5 = М~1АТ(АМ~1АТ)~1В и Я = М-1АТ(АМ~1АТУ1С.

Для численного решения уравнения # = аа(д, с[, г), систему второго порядка следует представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

(Лц _

Аналогично, уравнения динамики механической системы с неидеальными связями получаются добавлением слагаемого <2С = <Зс(б?, Ч, 0 в правую часть уравнения (26), которое приводится к виду:

щ = /(«?, 4, о + + Рс = Атц.

Исключением множителя ц из правой части этого уравнения с помощью выражения (25), уравнения динамики несвободной системы можно записать в виде

М«7 = / + ЛГ(ЛМ-1ЛГ)-1(Ь - ЛОц) + [I - АТ{АМ-1АТГ1АМ~1]дс, (30) где Ь = Вд + С, Iявляетсяпхп единичной матрицей.

Уравнение динамики (30) приводится к так называемому основному уравнению:

Мц = / + Л^Я+СЬ - Аа) + М1/2(I - Д^М"1/2^, (31)

где В = АМ~1/2, а является обратной матрицей к матрице О в смысле Мур-Пенроуза. Как и раньше, (}с = является силой, соответствующей

неидеальным связям.

Обе формы уравнений являются эквивалентными, пригодными для решения практических задач. Разработаны алгоритмы для решения уравнений динамики (29), (31) с использованием численных методов: метода Эйлера и метода Рунге-Кутта четвертого порядка.

В четвертой главе уравнения динамики механической системы составляются в виде уравнений Гамильтона путем замены ^ в уравнениях Лагранжа (13) импульсами рк. Уравнения динамики в форме Гамильтона будет иметь вид

<7 = Яр; (32а)

р= дпс+ч,гм_Н[г; (32Ь)

где Я = Е/с РкЧк (<7,Р- О ~ ¿(<7. Я(Ч>Р. О, О-

Аналогично, множитель Лагранжа в (32Ь) может быть определен с помощью уравнения (25) с использованием уравнений (32). В результате уравнения (32) записываются в виде

<7 = ЯР;

р = <Тс + Ч^КЯррЧ^Г^ - Я,, (33)

где Р = -Ч»4(Ярр<гпс + Нр?<1 + Нр1 - НррН„) - - Ч^.

Стабилизация связей в системе, описываемой уравнениями динамики в форме Гамильтона будет осуществляться введением слагаемого Аа в правую часть уравнений динамики

Я=нр;

p = Qnc+ фД^ЯррФ^]-1^ + Аа) - Я„ (34)

где а = V является избыточной переменной, а = Аа, и А = A(t) является m х m матрицей.

Величину q во всех выражениях следует заменить на Яр. В этом случае система (33), (34) может быть представлена непосредственно в виде

q = A(q,p,t); р = II(qr, p,t).

Приведен иллюстративный пример, в котором динамика системы моделируется с использованием принципа Лагранжа и принципа Гамильтона. Уравнения динамики системы решаются численных методов (ode45-MATLAB) Рунге-Кутта.

Основные результаты работы

1. Сформулированы условия устойчивости решений кинематических уравнений относительно связей при использовании метода Рунге-Кутта;

2. Разработаны численные методы решения задачи стабилизации связей, накладываемых на уравнения кинематики ;

3. Построены алгоритмы решения задачи стабилизации с определением управляющих реакций связей и проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых методов;

4. Построены уравнения динамики несвободной системы с учетом стабилизации связей в форме уравнений Лагранжа.

5. Построены уравнения динамики несвободной системы с учетом стабилизации связей в форме уравнений Гамильтона;

6. Определены условия стабилизации связей, наложенных на динамическую систему, при численном решении уравнений динамики.

7. Решены здачи управления движением диска по плоскости и управления динамикой двузвенного манипулятора.

Публикации по теме диссертации

1. Mukharlyamov R.G., Beshaw A.W. Solving differential equations of motion for constrained mechanical systems // Вестник РУДН, серия математика, информатика, физика, № 3,2013, С. 81-91.

2. Beshaw A.W. Dynamic equation of constrained mechanical system // Вестник РУДН, сер. математика, информатика, физика, № 3, 2014 , С. 115-124.

3. Beshaw A.W. On Solving Differential Kinematic Equations for Mechanical Systems // Вестник РУДН, сер. математика, информатика, физика, № 2 , 2015 , С.19-27.

Тезисы конференций

1. Beshaw A.W. Numerical solution of differential equations with constraints // «Современные тенденции общественного развития: теория и практика». Международная научно-практическая конференция, посвященная 15-летию филиала ЮурГУ в г. Нижневартовске, 22 февраля 2013 г. Нижневартовск; Издательство НВГУ, 2013. С 63-71.

2. Beshaw A.W. Modified formulation for dynamic equations of constrained mechanical system // L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники: тезисы докладов. Москва, РУДН, 13-16 мая 2014 г. - Москва: РУДН. 2014. С. 243-247.

3. Бешау А.В. Стабилизации связей и численное решение уравнений кинематики механических систем // LI Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники: тезисы докладов. Москва, РУДН, 12-15 мая 2015 г. - Москва: РУДН. 2015.

АННОТАЦИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ

Диссертация посвящена исследованию кинематики и динамики механических систем со связями. Работа нацелена на решение трех основных задач: моделирование кинематики и динамики механических систем и их аналогов, определение условий стабилизации связей и разработка методов численного решения уравнений кинематики и динамики. Предложена модификация уравнений динамики в обобщенных координатах и в канонических переменных, обеспечивающая стабилизацию решений относительно уравнений связей. Определены условия, накладываемые на уравнения возмущений связей, соответствующие стабилизации связей при решении уравнений кинематики и динамики с использованием методов Рунге-Кутта. Приведены примеры, иллюстрирующие эффективность предложенных методов и алгоритмов.

Abstract

"Modelling kinematics and dynamics of constrained mechanical systems"

This dissertation is devoted to investigation of kinematics and dynamics of mechanical systems with constraints. The work focuses on three main areas: modelling of kinematics and dynamics of mechanical systems and their analogous, definition conditions of constraints stabilization and develop methods of numerical solution for kinematics and dynamics equations. A modification of the equations of dynamics in generalized coordinates and canonical variables, to ensure stabilization of equations relations. The conditions imposed on the constraints perturbation equations, corresponding to the stabilization of constraints in the solution of the equations of kinematics and dynamics using the Runge-Kutta method. Examples are given to illustrate the effectiveness of the proposed methods and algorithms.

Подписано в печать16.09.15. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,25. Заказ 1185

Типография Издательства РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З