Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформы Стюарта

Зуев, Сергей Михайлович

Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформы Стюарта тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Зуев, Сергей Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформы Стюарта»

Автореферат диссертации на тему "Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформы Стюарта"

На правах рукописи

Зуев Сергей Михайлович

г;

Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформы Стюарта

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

с -он 2014

005549749

Санкт-Петербург 2014

005549749

Работа выполнена на кафедре теоретической и прикладной механики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Юшков Михаил Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Александров Владимир Васильевич (Московский государственный университет им. Ломоносова, заведующий кафедрой прикладной механики и управления

кандидат физико-математических наук доцент Диевский Виктор Алексеевич (Военный институт (инженерно-технический) Военной академии материально-технического обеспечения, доцент)

Ведущая организация: "Балтийский государственный технический

университет "ВОЕНМЕХ" им. Д.Ф. Устинова"

Защита состоится " Z6» í^-OhCA 2014 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.30 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ауд. 405.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петребургского государственного университета и в сети Интернет http://spbu.ru / disser2/disser/zuev_s_m.pdf

Автореферат разослан " го» мал 2014 года.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба направлять по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет, ученому секретарю диссертационного совета Д 212.232.30

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.30

д.ф.-ы.н., доцент

Кустова Е.В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы и ее цель

Цель диссертации состоит в исследовании класса механизмов, являющихся модификациями платформы Стюарта, на устойчивость положения равновесия. При этом решаются прямая и обратная задачи кинематики и динамики, определяются необходимые условия для устойчивости положения равновесия при действии обратной связи. Широкое применение в машиностроении подобных механизмов влечет за собой постановку перечисленных задач кинематики, динамики, устойчивости. Решения этих задач, основанные па методах аналитической механики, имеют практическую значимость, поэтому настоящая работа является актуальной.

Научная новизна

Научная новизна заключается в построении матриц обратных связей, обеспечивающих стабилизацию положений равновесия различных модификаций платформы Стюарта в трехмерном пространстве. Составлены и решены уравнения динамики для платформы Стюарта с кривошиппо-шатуниыми опорами.

Результаты, выносимые на защиту

1. Решены задачи кинематики для ряда модификаций платформы Стюарта. Создана компьютерная модель, визуально демонстрирующая решение этих задач. Создана электромеханическая модель, управляемая с использованием компьютерной модели.

2. Решены задачи динамики для ряда модификаций платформы Стюарта. Составлены уравнения Лагранжа второго рода, проведено численное решение прямой и обратной задач динамики.

3. Для рассматриваемого класса механических систем показана неустойчивость положений равновесия. Достигнута ассимптотическая устойчивость этих положений с помощью введения обратных связей.

Достоверность полученных результатов

Достоверность обеспечивается последовательным решением поставленных задач от простого к сложному путем корректного применения классических методов аналитической механики, теории дифференциальных уравнений и математического анализа. Результаты подтверждаются полученными

данными при проведение экспериментальных работ с построенными модля-ми, а также согласуются с выводами других авторов.

Теоретическое и практическое значение

Теоретическое значение работы состоит в описашпш методов решения задач кинематики, динамики, управления, устойчивости для класса механизмов с параллельной структурой. Практическое значение заключается в возможности применения полученных результатов для решения актуальных задач машиностроения, например, при конструировании механизма ориентации активного зеркала радиотелескопа или при конструировании имитационных стендов с кабиной грузового автомобиля.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались:

• на научно-технической конференции "Экстремальная робототехника" (2004 г.)

• на международной научной конференции по механике "Четвертые Поляхов-ские чтения" (2006 г.)

• на международном конгрессе, посвященном 150-летию академика А.М.Ляпунова, "Нелинейный динамический анализ" (2007г.)

• на международной конференции "Восьмые Окуневские чтения" (2013 г.)

• на международной научно-технической конференции "11.Magdeburger Maschinenbau-Tage" (2013 г.)

• на международном симпозиуме МСНТ "Фундаментальные и прикладные проблемы науки" (2013 г.)

• на секции теоретической механики имени профессора H.H. Поляхова Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН (2014 г.)

• на заседаниях кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ (2013, 2014 гг.)

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из краткой характеристики работы, введения, четырех глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Число иллюстраций равно 48. Общий объем работы составляет 115 страниц.

Краткое содержание работы

Краткая характеристика работы повторяет некоторые пункты автореферата: цель и актуальность работы, научную новизну, достоверность и практическую значимость результатов, апробацию работы.

Во введении обосновывается актуальность проводимых исследований, приводится обзор современных работ по теме диссертации, присутствует краткое содержание работы.

В первой главе рассматривается платформа, моделируемая материальной точкой на трех опорах. Исследован случай опор в виде стержней переменной длины, в дальнейшем называемых штоками (см. рис. 1а), II в виде кривошипно-шатунных механизмов (см. рис. 1Ь). Материальная точка крепится к опорам с помощью сферических шарниров. Штоки к основанию и кривошипы к шатунам также крепятся сферическими шарнирами. Оба механизма из этой главы имеют три степени свободы. В главе выводятся уравнения динамики в виде уравнений Лагранжа второго рода, показывается неустойчивость положения равновесия. Для достижения ассимптотической устойчивости по Ляпунову вводится обратная связь по обобщенным координатам и их скоростям. В последующих главах решается аналогичная задача для более сложных механических систем.

Глава вторая посвящена платформе на трех опорах и моделируется тонким диском, в который вписан правильный треугольник, показанный на рис. 2а. Штоки крепятся к платформе сферическими шарнирами, к ос-повапию - цилиндрическими шарнирами. Механическая система имеет три степени свободы.

В третьей главе исследуется платформа Стюарта на шести штоках (см. рис. За).

Четвертая глава решает задачи динамики и кинематики для платформы Стюарта с шестью кривошипно-шатунными опорами (см. рис. ЗЬ). При решении задачи динамики рассматривается класс движений платформы, при котором опоры попарно совершают одинаковые движения, что позволяет свести задачу к более простой кинематической схеме (см. рис. 2Ь)

(а) Опоры в виде стержней переменной длины. (Ь) Случай кривошипно-шатунных опор.

Рис. 1: Материальная точка на трех опорах.

Рис. 2: Кинематические схемы платформ с тремя степенями свободы.

Для решения задач кинематики для платформ во второй, третьей и четвертых главах вводится неподвижная декартова система координат О'хуг н система координат скрепленная с подвижной платформой.

Положение платформы однозначно задается вектором д = (хо,уо, г0,'ф1,'ф2тфз) с шестью координатами, описывающими положение и ориентацию платформы относительно неподвижного основания, причем х0, уо, го - декартовы координаты точки О в неподвижной системе координат, а фхт'фъу'фз ~ соответственно углы крена, тангажа и рыскания. В случае материальной точки из первой главы для задания положения достаточно координат х0,у0,г0.

Если точка определяется вектором р в подвижной системе координат, связанной с платформой, то в неподвижной системе она будет задаваться

Or, Or,

(а) Платформа на шести стержнях переменной (Ь) Платформа на шести кривошипно-шатунных длины. опорах.

Рис. 3: Кинематические схемы платформ с шестью степенями свободы.

вектором

Г = Г° + К р. (1)

Здесь г° есть радиус-вектор точки О - начала подвижной системы координат, К - матрица поворота подвижной системы координат относительно неподвижной:

С2С3 -C2S3 S2 \

К = | C1S3 + c3s2si S3C1 - S2S3S1 -c2si

S1S3 — C1S2C3 C1S2S3 + C1S3 c2ci j

(2)

Cj= COS Ipi, Si=SUl1pi, ¿ = 1,3.

С помощью (1) можно найти радиус-векторы r\ точек Bi крепления каждого стержня к верхней платформы. Тогда длины стержней вычисляются по формулам

' " (3)

Здесь г® - радиус-векторы точек Ai крепления штоков к неподвижной платформе основания, индекс г меняется от 1 до 3 для трехножной платформы и от 1 до 6 для шестиножной.

С помощью этих уравнений можно по заданным длинам штоков найти положение платформы и наоборот.

Для записи уравнений динамики выберем в качестве первых трех обобщенных координат г/1, (¡2, <7з - координаты точки О, являющейся центром платформы, в неподвижной системе координат. Пусть обобщенные координаты 94, 95, 9б будут соответствовать углам поворота осей подвижной системы координат относительно неподвижной. Для трехножной платформы достаточно выбрать в качестве независимых любые три координаты остальные будут однозначно выражаться через них. Не умаляя общности рассмотрим далее методику решения задачи исследования устойчивости положения равновесия для шестиножной платформы на стержнях переменной длины. В диссертации уравнения динамики для рассматриваемых систем составляются в виде системы уравнений Лагранжа второго рода:

С^к - обобщенные силы; Т - кинетическая энергия.

В работе приводится аналитическое решение прямой задачи динамики и численное - для обратной. Прямая задача заключается в нахождении сил в штоках, обеспечивающих заданное движение. Обратная задача заключается в нахождении движения платформы по заданным силам.

Для модификаций платформ из первой, второй и третьей глав исследуется вопрос устойчивости положения равновесия. Рассмотрим горизонтальное положение равновесия. Пусть - силы в штоках, обеспечивающие положение равновесия. Любые малые отклонения от заданного положения приводят к неограниченно возрастающим отклонениям по обобщенным координатам. Положение равновесия оказывается неустойчивым по Ляпунову. На рис. 4 показаны графики изменения координат центра платформы при малом отклонении от горизонтального положения равновесия платформы с шестью штоками. Аналогичная неустойчивость положения равновесия наблюдается у всех рассматриваемых в диссертации платформ.

На рнс. 5 показаны графики изменения углов Брайнта платформы при малом отклонении от горизонтального положения равновесия платформы.

В диссертации подробнее исследовано поведение системы в окрестности горизонтального положения равновесия

Пусть Р* - значения сил, действующих на платформу со стороны штоков, удерживающих механизм в указанном горизонтальном положении. Вводятся

(4)

9з = К 41 = 92 = 94 = 95 = 9б = О

(5)

(а) Отклонение центра по оси О'х (Ь) Отклонение центра по оси О'у

(с) Отклонение центра по оси О'г Рис. 4: Неустойчивость центра платформы.

малые приращения координат Ддь а также дополнительные малые управляющие силы Д^. В случае шестиножной платформы имет:

9з = И + Д<?з, Чк = Адк, при к = 1,2,4,5,6; Ъ = Ц + АЩ. (6)

»4«) ч

0.3 -0.4-0.5-

(а) Вращение платформы вокруг оси О'х

*6м

г5 (0

(Ь) Вращение платформы вокруг оси О'у

4 6

(с) Вращение платформы вокруг оси О'х Рис. 5: Неустойчивость платформы по углам Брайнта.

Были введены безразмерные управляющие силы

ик ■■

-, к =1,6.

(7)

Тогда из уравнений Лагранжа (4) получаем уравнения первого приближения, которые будут иметь следующий вид:

д = Нд + С« 10

Здесь H и G - постоянные матрицы размера б х 6,u = (ui,..., щ). Эти уравнения с незначительными изменениями также верны и для случая трехножной платформы.

Это означает, что для обеспечения устойчивого стационарного положения (5) платформы необходимо дополнительное управляющее воздействие. После записи системы в форме Коши получаем:

£ = Az + Bu, z= (<?ъ <72, •• .,<76,9о)-

Управление построим в виде линейных обратных связей

и = Kz. (10)

Здесь К = ||/cy||(6,i2) ~ постоянная матрица, подлежащая определению. Коэффициенты матрицы обратной связи были выбраны таким образом, чтобы система разбилась на 6 независимых подсистем, каждая из которых была исследована на устойчивость. Подставив (10) в (9), получаем замкнутую систему:

z = {A + BK)z = Cz, (И)

Ввиду свободы выбора коэффициентов матрицы К можно добиться того, что матрица С будет блочно-диагональной. Таким образом, система уравнений расщепляется на несколько подсистем относительно каждой из обобщенных координат. Для каждой из этих подсистем возможно подобрать оставшиеся независимые коэффициенты матрицы К так, чтобы характреистическис уравнения этих подсистем имели бы корни с отрицательными вещественными частями. В этом случае по теореме Ляпунова положение равновесия для исходной системы уравнений Лаграижа второго рода будет ассимптотически устойчивым. На рис. 6 показаны графики обобщенных координат платформы в случае обратных связей, обеспечивающих ассимптотнчесую устойчивость платформы.

Заключение содержит основные результаты работы.

Первое приложение описывает созданную программу для персонального компьютера, которая позволяет решить прямую и обратную задачи кинематики для платформ из глав 3 и 4. Программа является Windows приложением и использует графическую библиотеку OpenGL для визуализации решения в режиме анимации. В программе можно задать закон измешшия обобщенных или декартовых координат, в виде функций, зависящих от времени. При этом пользователь программы может самостоятельно задавать выражения для этих функций, используя элементарные функции. При написании

(9)

о.ю-0.090.080.070.06-?!(') 0.050.040.030.020.01-

*2(0

(а) Отклонение центра по оси О'х

(Ь) Отклонение центра по оси О'у

(с) Отклонение центра по оси О'2

(<1) Вращение платформы вокруг оси О'х

0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05-О.М 0.03 0.02 0.01

(е) Вращение платформы вокруг оси СУу

(£) Вращение платформы вокруг оси О'г

Рис. б: Ассимптотическая устойчивость положения равновесия платформы.

программы использовался код на языке С++, который был сгенерирован в программе символьных вычислении Maple на основе полученных формул кинематики.

Второе приложение содержит описание созданной в рамках проводимых исследований электромеханической модели платформы Стюарта на шести кривошипно-шатунных опорах. Модель получает команды управления через USB интерфейс персонального компьютера, которые создаются с помощью программы, описанной в первом приложении. При этом управляющие команды, посылаемые на сервоконтроллер, приводят платформу в положение, идентичное с визуально демонстрируемым в окне программы.

В третьем приложении приводится исторический обзор, посвященный истории создания платформы Стюарта. Гью был первым, кто изобрел и построил восьмигранную шестнножку. Однако Клаусе Каппель позже и независимо от работы Гью изобрел подобный механизм, запатентовал его, выдал лицензию первой компании по изготовлению авиаимитаторов и создал первый коммерческий шестиножный имитационный стенд. И, наконец, Стюарт, неумышленно, заново предложил миру данную конструкцию для использования в качестве, опять же, имитатора, при этом создав научную публикацию. При этом известно, что не восьмигранные шестиножные стенды существовали задолго до шестиножной платформы Гью.

Публикации

Основные результаты работы отражены в семи ниже приведенных публикациях. В публикациях 3, 4 и 6 Б.В.Трифоненко принадлежит постановка задач, при этом С.М.Зуев в работе 3 составил специальную форму уравнений платформы телескопа, в работе 4 провел исследование устойчивости горизонтального положения равновесия платформы с тремя степенями свободы, в работе б найдены обратные связи, обеспечивающие стабилизацию положения равновесия платформы Стюарта с тремя опорными штоками. Основные

результаты диссертации были опубликованы в жарнале, рекомендованном ВАК'ом:

1. Зуев С.М. Стабилизация положения равновесия платформы Стюарта с тремя степенями свободы // Вести. С.-Петерб. ун-та. 2013. Серия 1. Вып. №4. С. 84-92.

2. Зуев С.М. Стабилизация положения равновесия материальной точки на трех кривошипно-шатунных опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2014. Серия 1. Вып. №1. С. 101-109.

Другие науные работы:

3. Зуев С.М., Трифоненко Б. В. Применение специальной формы уравнений

Лагранжа к несущей платформе телескопа // Международный конгресс, посвященный 150-летню академика А.М.Ляпунова "Нелинейный динамический анализ-2007". Изд-во СПбГУ. 2007. С. 280.

4. Зуев С.М., Трифоненко Б. В. Устойчивость платформы Стюарта с тремя степенями свободы // Четвертые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 7-10 февраля 2006 г. СПб.: Изд-во "ВВМ". 2006. С.55.

5. Зуев С.М. Определение управляющих сил, перемещающих поступательно платформу Стюарта с шестью степенями свободы по заданному закону // Восьмые Окуневскне чтения. 2013. С. 162-164.

6. Зуев С.М., Трифоненко Б.В. К вопросу об устойчивости платформы Стюарта с тремя опорными штоками // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Том 3. Материалы VIII Международного симпозиума. М.: РАН. 2013. С. 93-103.

7. Zuev S.M. Kinematic and dynamic equations of Stewart Platform with crank gears // 11 Magdeburger maschinenbau-tage 2013. C6-2.pdf.

Подписано в печать 24.04.14 Формат 60x84 1/16 Печ. л. 1,0

Тираж 70_Заказ 24/04_Цифровая печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Зуев, Сергей Михайлович, Санкт-Петербург

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Зуев Сергей Михайлович

Л / о П4 /. с ОО? 1

Стабилизация положений равновесия нагруженных модификаций платформв! Стюарта

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор М. П. Юшков.

Санкт-Петербург - 2014

Оглавление

Стр.

Краткая характеристика работы 4

Введение 8

Глава 1. Материальная точка на трех опорах. Случай кривошипно-шатунных опор. 23

1.1. Кинематика и динамика материальной точки на опорах.......23

1.2. Стабилизация положения равновесия материальной точки на трех стержнях переменной длины.......................29

Глава 2. Платформа с тремя степенями свободы на трех штоках. 36

2.1. Кинематика................................36

2.2. Уравнения динамики платформы с тремя стержнями........38

2.3. Стабилизация равновесия горизонтального положения платформы 42

Глава 3. Платформа Стюарта с шестью степенями свободы на

шести стержнях переменной длины. 49

3.1. Кинематика................................49

3.2. Уравнения динамики платформы ...................49

3.3. Уравнения динамики нагруженной платформы ...........54

3.4. Численные примеры...........................57

3.5. Устойчивость положения равновесия .................65

Глава 4. Платформа Стюарта с шестью степенями свободы на

кривошипно-шатунных опорах. 73 4.1. Описание кинематики платформы....................73

4.2. Кинематика упрощенной модели.....................74

4.3. Динамика платформы. Плоскопараллельный случай.........77

Заключение 81

Приложение А. Моделирование на ЭВМ кинематики платформы. 82

Приложение В. Создание прототипа платформы и подключение его к компьютерной ЗБ модели. 88

Приложение С. Историческая справка 92

Список литературы 103

Краткая характеристика работы

Актуальность работы и ее цель Цель данной диссертации состоит в исследовании класса механизмов, являющихся модификациями платформы Стюарта, на устойчивость положения равновесия. При этом решаются прямая и обратная задачи кинематики и динамики, определяются необходимые условия для устойчивости положения равновесия при действии обратной связи. Широкое применение в машиностроении подобных механизмов влечет за собой постановку перечисленных задач кинематики, динамики, устойчивости. Решения этих задач, основанные на методах аналитической механики, имеют практическую значимость, поэтому настоящая работа является актуальной.

Научная новизна

Научная новизна заключается в построении матриц обратных связей, обеспечивающих стабилизацию положений равновесия различных модификаций платформы Стюарта.

Результаты, выносимые на защиту

3. Для рассматриваемого класса механических систем показана неустой-

чивость положений равновесия. Достигнута ассимптотическая устойчивость этих положений с помощью введения обратных связей.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается последовательным решением поставленных задач от простого к сложному путем корректного применения классических методов аналитической механики, теории дифференциальных уравнений и математического анализа. Результаты подтверждаются полученными данными при проведение экспериментальных работ с построенными моделями, а также согласуются с выводами других авторов.

Теоретическое и практическое значение

Теоретическое значение работы состоит в описаннии методов решения задач кинематики, динамики, управления, устойчивости для класса механизмов с параллельной структурой. Практическое значение заключается в возможности применения полученных результатов для решения актуальных задач машиностроения, например, при конструировании механизма ориентации активного зеркала радиотелескопа или при конструировании имитационных стендов с кабиной грузового автомобиля.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на научно-технической конференции "Экстремальная робототехника" (2004 г.), на международной научной конференции по механике "Четвертые Поляховские чтения" (2006 г.), на международном конгрессе, посвященном 150-летию академика А.М.Ляпунова, "Нелинейный динамический анализ" (2007 г.), на международной конфе-

ренции "Восьмые Окуневские чтения" (2013г.), на международной научно-технической конференции "11.Magdeburger Maschinenbau-Tage" (2013г.), на международном симпозиуме МСНТ "Фундаментальные и прикладные проблемы науки" (2013г.), на секции теоретической механики имени профессора H.H. Поляхова Санкт-Петербургского Дома Ученых РАН (2014 г.), на заседаниях кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета СПбГУ (2013, 2014 г.г.).

Публикации

Основные результаты работы отражены в семи публикациях. В публикациях 3,4 и 6 соавтору принадлежит постановка задачи и общее руководство над работой. Остальные работы выполнены автором единолично.

Основные результаты диссертации были опубликованы в журнале, рекомендованном ВАК'ом:

1. Зуев С.М. Стабилизация положения равновесия платформы Стюарта с тремя степенями свободы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2013. Серия 1. Вып. №4. С. 84-92.

Другие науные работы:

3. Зуев С.М., Трифоненко Б.В. Применение специальной формы уравнений Лагранжа к несущей платформе телескопа // Международный конгресс, посвященный 150-летию академика А.М.Ляпунова "Нелинейный динамический анализ-2007". Изд-во СПбГУ. 2007. С. 280.

4. Зуев С.М., Трифоненко Б.В. Устойчивость платформы Стюарта с тре-

мя степенями свободы // Четвертые Поляховские чтения: Тезисы докладов Международной научной конференции по механике, Санкт-Петербург, 7-10 февраля 2006 г. СПб.: Изд-во "ВВМ". 2006. С.55.

5. Зуев С.М. Определение управляющих сил, перемещающих поступательно платформу Стюарта с шестью степенями свободы по заданному закону // Восьмые Окуневские чтения. 2013. С. 162-164.

7. Zuev S.M. Kinematic and dynamic equations of Stewart Platform with crank gears //11 Magdeburger maschinenbau-tage 2013. C6-2.pdf.

Структура диссертации

Введение

Диссертация посвящена исследованию кинематики и динамики нескольких модификаций платформы Стюарта [107]. Основное внимание в работе посвящено вопросу устойчивости по Ляпунову положений равновесия платформы.

(а) Материальная точка на (Ь) Материальная точка трех стержнях переменной на трех кривошипно- (с) Платформа на трех длины. шатунных опорах. опорах.

Рис. 1: Кинематические схемы с тремя опорами.

(а) Платформа на шести стержнях переменной длины.

кривошипно-шатунных опорах.

Рис. 2: Кинематические схемы платформы с шестью степенями свободы и платформы на трех кривошипно-шатунных опорах.

С повышением требований к точности, жесткости, металлоемкости и динамическим показателям для ряда механизмов с последовательной архитек-

турой [58] все большее внимание ученых стали привлекать параллельные механизмы [23,24], среди которых по своей популярности выделяется механизм с шестью степенями свободы, чаще упоминаемый как платформа Стюарта.

Механизмы параллельной структуры, как правило, содержат выходное звено, соединенное с основанием при помощи нескольких кинематических цепей сходного строения. Каждая кинематическая цепь состоит из нескольких подвижно соединенных звеньев, приводимых в движение однотипными ротационными или телескопическими приводами. Манипуляционное устройство, содержащее в своем составе параллельный механизм, по сравнению с манипулятором, имеющим последовательное строение, обладает следующими достоинствами: высокая жесткость, высокая точность, равномерное распределите нагрузки, высокая грузоподъемность, единый тип приводных элементов, идентичные информационные элементы, универсальный вид уравнений динамики для каждого звена исполнительного механизма. Платформа Стюарта, например, используется в станкостроении для создания универсальных материалообрабатывающих центров, ЗЭ принтеров, погрузочных манипуляторов. Технологическое оборудование параллельной структуры за счет минимального количества переустановок производит многокоординатную обработку деталей с более высоким быстродействием и точностью по сравнению с обычным оборудованием последовательного строения. Таким образом, применение механизмов указанного типа приводит к существенному снижению времени обработки и, следовательно, стоимости готового изделия.

При управлении манипуляторами и динамическими стендами параллельной структуры с шестью степенями свободы формирование задающих воздействий осуществляется по шести координатам (три линейных перемещения и три вращения) одновременно. Подвижная платформа может принимать различную пространственную ориентацию и одновременно смещаться в систе-

ме координат неподвижного основания. Управление механизмом происходит при одновременном изменении длин в телескопических приводах или углов поворота в ротационных приводах.

Платформа Стюарта имеет богатую историю своего развития. Впервые механизм стал применяться при проектировании динамических имитационных испытательных стендов [32], позднее стал использоваться в создании различных манипуляционных механизмов, например, 1-координатных роботов [44].

В настоящее время наметилась тенденция к использованию параллельных механизмов в качестве задающих устройств манипуляторов различной конфигурации с шестью степенями подвижности [113].

Платформа применяется в задачах динамической имитации различных управляемых объектов [1,6-8]. Имитационные стенды, построенные на базе платформы Стюарта, имеют широкое применение для испытания новых типов летательных аппаратов и подготовки пилотов, подобые крупные динамические стенды создаются ведущими авиастроительными компаниями, причем, примерно на десять самолетов выпускается один стенд [33]. К платформе стенда крепится кабина самолета, и пилот органами управления самолетом путем изменения длин стержней приводит стенд в движение. При этом у летчика создается полная иллюзия реального перемещения в пространстве вместе с самолетом [4]. Стенды применяются для обучения пилотов, в том числе для обучения правильному поведению в экстремальных ситуациях, для отработки посадки самолета в конкретных аэропортах мира, для поддержания хорошей летной формы.

Различные модификации механизма Стюарта применяются для позиционирования активных поверхностей зеркал радиотелескопов [12,34], [61]. В чилийском 1,5-метровом телескопе "Гексапод" используется механизм Стю-

арта в качестве монтировки.

Пространственная рама Тейлора, используемая в ортопедической хирургии для коррекции деформации костей и для лечения сложных переломов, также построена на базе платформы Стюарта (см. рис. 3).

Рис. 3: Пространственная рама Тейлора для фиксации конечностей человека.

Система стыковки космических аппаратов с низким воздействием, разработанная НАСА, использует платформу Стюарта для манипуляций с космическими средствами передвижения во время стыковки.

Компания Geodetic Technology зарегистрировала товарный знак "шести-ножник" (англ. — hexapod) для платформ Стюарта, используемых в машиностроении.

В Волгоградской государственной сельскохозяйственной академии на кафедре сопротивления материалов и деталей машин разработан ряд погрузочных манипуляторов, в основе исполнительного механизма которых используется модифицированная платформа Стюарта. Манипулятор-трипод может устанавливаться на самоходные шасси (колёсные, гусеничные и шагающие).

Интересная разработка представлена американским университетом робототехники (Carnegie Mellon University Robotics Institute) [79] . Предлагаемую конструкцию, напоминающую куст, каждая ветка которого представляет собой платформу Стюарта, можно отнести к классу 1-координатных манипуляторов. В данном механизме подвижная платформа каждого звена может значительно менять свое положение, угол наклона, удлинять звено, что позволяет добиваться значительной гибкости всей конструкции при сохранении жесткости и прочности. Стоит отметить, что при этом существует ограничение на угол поворота каждого звена ±30°, в то время, как подавляющее большинство существующих кустовых роботов способны вращать свои звенья вокруг оси на один оборот и более. Отметим, что при необходимости это ограничение можно обойти путем установки в основании каждого звена дополнительного цилиндрического шарнира, ось которого совпадает с продольной осью симметрии звена. На рис. 4 представлен пример ветки манипулятора с несколькими звеньями.

Рис. 4: Ветвящаяся струтура второго уровня. Платформа Стюарта так же была предложена для создания

наноманипулятора-ассемблера [102]. Его точность позиционирования должна быть достаточной для образования между атомами различных химических связей. Этого можно добиться, используя так называемый "гибкий" инструмент, присоединяющий к себе необходимый атом одной химической связью и, присоединив его на место с более сильной связью, разорвать присоединяющую к инструменту. Для повышения жесткости и прочности была разработана система из двух треног, названная "двойной трипод", представленная на рис. 5.

Рис. 5: Проект нанонманипулятора "двойной трипод".

Данная конструкция состоит из двух треног, каждая из которых имеет один главный и два несущих стержня. Их функция - изменение положения части верхнего шарнирного соединения, в котором размещается инструмент. Вся конструкция в целом имеет большую жесткость, чем платформа Стюарта.

Интереная конструкция под названием Робокран также является разновидностью манипулятора, построенного по схеме платформы Стюарта. Он

был изобретен Джеймсом Альбусом в американском подразделении Интеллектуальных систем в Национальном институте стандартов и технологий (ШБТ). Механизм представляет собой многоцелевой манипулятор с тросовым приводом вместо штоков переменной длины (см. рис. 6).

Рис. 6: Робокран американского Национального института стандартов и технологий.

Робокран позволяет перемещать и ориентировать полезный груз произвольно в рабочей области благодаря шести степеням свободы подвижной платформы. Управлять движением можно в ручном режиме, режиме телеоператора и в автоматическом режиме - путем графического задания программы движения. Также существует смешанный способ. Первоначально робокран разрабатывался в рамках проекта БАРРА для точного позиционирования грузов для обычных кранов. Позднее механизм был усовершенствован для различных задач переноса груза на земле, воде, воздухе и в космосе. Он способен выдерживать высокие нагрузки, имеет устойчивую конфигурацию, высокую гибкость, превосходную маневренность и способен перемещаться по разнообразным поверхностям.

Платформе Стюарта посвящены многочисленные научные работы, иссле-

дующие кинематику, динамику, управление платформой. В работе [54] вводится понятие управляющих связей, обозначающих нестационарные голоном-ные связи, используемые для управления движением платформы. При этом возникает ряд задач кинематического и динамического характера: задача определения границы области достижимых положений платформы, задача оптимальной схемы крепления штоков, задача статической и динамической устойчивости и т.д. Можно выделить целую серию работ, связанную с поиском оптимальных конструкций и исследованием кинематики платформы, как частного случая параллельного механизма [57,58,64,77,78,82-84,94,95]. Решение прямой кинематической задачи часто встречается в литературе, типичный пример - работа иностранных ученых [100]. Богатый выбор конструкторских решений для создания динамических стендов расширяется благодаря развитию различных электромеханических устройств, которые могут быть использованы в качестве приводов, обеспечивающих заданные программные движения платформы; это находит отражение в научных ислледо-ваниях [86,101].

В работе [60] выведены уравнения всех поверхностей для множ�