Методы декомпозиции в математическом моделировании динамики имитационного стенда опорного типа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение

Глава I. Постановка задачи

Глава II. Выбор математической модели следящего электрогидравлического привода

Глава III. Построение математических моделей динамического стенда опорного типа с многомерной системой управления

3.1. Разделение движений шестимерного динамического стенда

3.2. Особые положения математической модели «медленных» движений стенда

3.3. Математическая модель «быстрых» движений стенда

Глава IV. Исследование устойчивости динамического стенда

4.1. Устойчивость стенда с идентичными каналами управления

4.2. Устойчивость стенда с неидентичными каналами управления

Диссертация посвящена исследованию динамики имитационного динамического стенда опорного типа с шестью степенями свободы, называемого платформой Стюарта [78].

Имитационные динамические стенды предназначены для моделирования движений подвижного объекта, например, летательного аппарата, автомобиля и т.п. Стенды используются как современные имитационные устройства, позволяющие проводить испытания и контроль бортовых систем летательных аппаратов, а также как тренажеры для тренировки пилотов и водителей автомобилей [4, 6, 9, 15, 50, 55]. Имитационный стенд включает в себя платформу, воспроизводящую требуемое движение относительно неподвижного основания, и систему управления платформой с исполнительными приводами. На платформе устанавливается кабина для пилота, если стенд предназначен для подготовки летного состава. В [5] поставлена задача имитации кажущегося ускорения и предложен композиционный способ ее решения на динамическом стенде. Задача имитации полета [2] в наиболее последовательной постановке заключается в построении такого движения имитационного стенда, при котором вектор кажущегося ускорения точки, совпадающей с некоторой точкой головы пилота, векторы угловой скорости и углового ускорения подвижной системы координат, связанной с платформой, отличались от аналогичных величин для реального летательного аппарата не более чем на малые величины, которые определяют пороги чувствительности восприятия пилотом движений аппарата. Часто к имитационным движениям предъявляется более слабое требование близости психофизиологических ощущений пилота на стенде к ощущениям, испытываемым в реальном полете. Задача построения имитирующих движений рассматривалась в [16, 47]. В [4] представлена общая постановка задачи для некоторых типов имитационных стендов, в том числе для стенда опорного типа.

Механическую модель имитационного стенда опорного типа можно представить в виде механизма параллельной структуры (рис.1) с телескопическими переменной длины штангами в качестве опор [21, 24,

25] .

Рис.1. Схема динамического стенда опорного типа. 1-платформа, 2-опорные штанги.

В данной работе задача выбора имитирующих движений стенда не рассматривается. Эти требуемые имитирующие движения считаются заданными программными функциями времени, которые вычисляются сторонними устройствами более высокого иерархического уровня системы управления стендом. В работе ставится задача более низкого иерархического уровня - реализация заданных программных движений с требуемой точностью. Эта задача часто называется задачей стабилизации. В работе рассматриваются две задачи: 1)выбор математической модели системы стабилизации; 2)исследование динамики системы стабилизации в силу выбранной модели.

Исследованию стендов опорного типа посвящен ряд работ. В [62] рассматривается стенд с тремя гидроцилиндрами в системе управления длиной штанг, шарнирно соединенных с платформой и неподвижным основанием. Такой стенд обеспечивает три степени свободы. Кинематика стенда с шестью гидроцилиндрами рассматривалась в [61, 71]. В [66] с помощью платформ Стюарта исследовалась задача синтеза траекторий. Платформа Стюарта используется не только для имитации движений летательного аппарата, но и как составляющая механизма руки робота [5 6, 63, 69] , а также находит применение в металлорежущих станках, транспортерах и других механизмах [56]. В [60] исследовалась кинематика шестистепенного стенда с тремя кинематическими цепями, каждая из которых имеет одну вращательную и две поступательные пары, присоединенными к платформе с помощью сферических шарниров. Вопрос устойчивости системы управления имитационным стендом рассматривался в [3] методами теории абсолютной устойчивости. В [36] рассматривалась задача об определении приводных усилий шестистепенного стенда с учетом инерционных свойств ведущих звеньев. Для платформы Стюарта в [2 9] составлены уравнения Лагранжа второго рода, однако функции связей в них не имеют конкретного вида. В работах [74, 70] решается прямая кинематическая задача о платформе Стюарта. В [57, 65] получены поверхности для множества всех достижимых положений платформы, в задаче управления движением платформы найдены кинематически допустимые конфигурации. В [75, 60] изложена расчетная модель для изучения признаков линейной подвижности и угловой маневренности захватного устройства на платформе манипулятора параллельной структуры, развит алгоритм отыскания углов поворота с учетом ограничений в рабочем пространстве.

Задача об определении особых положений параллельных манипуляторов, в которых система теряет одну или несколько степеней свободы и становится неуправляемой, решается в [67, 68, 70, 73]. В [73] показано, как положения приводов могут влиять на особые конфигурации. В [68] изложен кинематический принцип и геометрическое условие особых конфигураций, приведены численные примеры. В [7 9] найдена связь между числом обусловленности матрицы, определяющей особые положения, и параметрами приводов в опорах стенда с целью поиска оптимальной конструкции механизма.

В [46] построена математическая модель динамического стенда и проведено исследование уравнений движения платформы с применением методов фракционного анализа [44] . Данная работа методически примыкает к [4 6] .

Фракционный анализ рассматривает методы разделения движений на составляющие, которые характеризуются разными масштабами времени. Такое разделение дает возможность записать для каждой составляющей в отдельности уравнения движения и осуществить тем самым временную декомпозицию движений. Используя теорию размерностей [49, 42] и нормализуя уравнения движения конкретной механической системы, для каждой переменной определяется то характерное время, за которое переменная изменяется на величину порядка своего характерного значения. Запись по отдельности уравнений для разномасштабных по времени компонент движения существенно упрощает исследование задачи. Уравнения движения динамического стенда опорного типа относятся к типу систем с погранслоем, где быстрые движения затухают около квазистационарных медленно изменяющихся положений. Такие системы исследуются с помощью теории сингулярно возмущенных систем, развитых А.Н. Тихоновым и А.Б. Васильевой [51, 52, 20].

Приведем вкратце основные утверждения положения фракционного анализа.

Пусть уравнения произвольной динамической системы записаны в форме Коши: dX. dT F2(XX,X2,.,T) ,

Нормализованная [44] система имеет вид 7j dx j

Т, dt Z dt f\C^l' X2' ' • •' ^ 1' ' • ' •) ' У2»-"-г' • • - , Aj, A2,.), т x, X,

Здесь t = — , Xj =—-, =—-,. - безразмерные, нормализованные значения переменных, Г», ,

Х2„, . . . - характерные для рассматриваемого класса движений значения для Т, Xif Х2, .; Тх, Тг, . . . -постоянные времени, определяемые коэффициентами соответствующих уравнений; Aj, А2, . . . безразмерные постоянные, выражающиеся через характерные значения переменных и коэффициентов.

Пусть в (1) ТХ«Т2«. Теоремой Тихонова [52] рассматривается сингулярно возмущенные системы дифференциальных уравнений, которые имеют общий вид dx Х(х, у, t, /л); х(0) = хп dt ------- ju^ = Y(x,y,t,/л)\ у(0) = у0; //«1; (2 xeR", yeRm .

Такой тип уравнений получается из (1) при выделении «медленных» составляющих движения с большей характерной постоянной времени Т2 . Приняв в (1) Tt-T2, получим систему типа (2), в которой t

Т Т

- «медленное» безразмерное время t = —, а (л- — «\

Т-> Т2

- малый параметр. К функциям Х(х, у, t, /л) , Y(x, у, t, ju) предъявляется [52] требование непрерывности до вторых производных в некоторой области пространства переменных.

Вырожденная по Тихонову система приближенно описывает составляющие движения временного масштаба Тг и получается из (2) при //=0:

- = X(x,y,t,0); х(0) = х0; (3) dt

0 = Г(х, у, t, 0)

В [52], далее, рассматривается так называемая присоединенная система, или система пограничного слоя, которой приближенно описываются «быстрые» составляющие движения в масштабе времени Тх . Присоединенная система получается, если в (2) перейти к «быстрому» безразмерному времени Т п т = — = —, положив затем ]л— 0 : ц Тх j- = Y{x, у, t, О) . (4) ат

В (4) медленные переменные х, t считаются параметрами. По [2 0] верны утверждения: Цх-ЗсЦ = 0(jU) при 0<t<tor ll^-З7! = 0(А/) пРи 0 <t<t0 . (5)

Указанные оценки точности приближенных решений х, у справедливы при выполнении следующих условий [20] :

1) уравнение

Y(x, у, /, 0)=0 имеет изолированный корень y = <p(x,t) в некоторой ограниченной области;

2) начальные условия у0 лежат в области влияния точки покоя y = (p{x,t) присоединенной системы;

3) точка покоя y = cp(x,t) присоединенной системы (4) является асимптотически устойчивой по первому приближению для всех х, t - const, для которых определена точка покоя y = <p{x,t) .

Для проверки условия 3) можно воспользоваться теоремой об устойчивости по первому приближению для присоединенной системы (4) . Для этого нужно сделать замену у = <p(x,t) + Sy, где 8у - малое отклонение от точки покоя, и записать линейное по 8у уравнение dSy dz

ГдТЛ

Sy

В диссертации под устойчивостью динамического стенда будет подразумеваться асимптотическая устойчивость в оговоренном пунктом 3) теоремы Тихонова смысле. Выполнение этого условия означает стабилизацию собственных «быстрых» движений стенда около «медленных» программных.

В настоящей работе рассматривается имитационный динамический стенд опорного типа, кинематическая схема которого изображена на рис.1. Телескопические опорные штанги скреплены с опорной плоскостью и с платформой посредством сферических шарниров. Шесть степеней свободы стенда позволяют с известными ограничениями имитировать пространственное движение летательного аппарата, как по поступательным, так и по угловым перемещениям. Движение стенда осуществляется путем изменения длин опорных штанг, на каждой из которых установлен электрогидравлический следящий привод.

Первой задачей, встающей при исследовании динамического стенда, является составление уравнений его движения. В [46] уравнения пространственного движения стенда составлены без учета динамических особенностей гидропривода. Уравнения гидропривода сложны, нелинейны и, что особенно усложняет их использование, не разрешены относительно старших производных [14, 22, 30, 38, 54]. Для частных случаев уравнения гидропривода линеаризуются различными методами, как это проделано в [2 3] для малых сигналов управления, в [17] при гармоническом входном сигнале, в [33] исследуется динамическая жесткость привода с применением энергетической линеаризации. Метод малого параметра применительно к исследованию периодических движений поршня гидроцилиндра применен в [10], однако роль исходного уравнения играет уже упрощенное уравнение, решение которого сильно отличается от решения общепринятого нелинейного уравнения движения гидропривода. Поэтому одной из задач диссертационной работы явилось формирование математической модели гидропривода с приемлемой точностью описывающей его функционирование для класса задач, решаемых имитационным стендом. Метод фракционного анализа дает возможность привести уравнения гидропривода к виду, позволяющему разделить медленные (отвечающие заданным программным параметрам) движения поршня гидроцилиндра и быстрые движения гидропривода [45] . Уравнения при этом имеют традиционный для механики вид, они разрешены относительно старших производных и удобны для исследования и для выбора управления стендом.

К имитационному динамическому стенду предъявляются высокие требования к относительной точности реализации программных движений. Поэтому в системе управления стендом используется гидропривод с высоким быстродействием.

Рассматривается класс движений, при которых характерное время задаваемых (программных) движений Т3 значительно больше характерного времени Т2 собственного быстрого движения платформы. Если за характерное время Г3 программных движений стенда принять характерное время угловых движений самолета порядка одной секунды, то условие Т2«Т3 ограничивает область применения полученных в работе результатов таким типом стендов, у которых характерная постоянная времени Т2 системы стабилизации порядка десятых и сотых долей секунды.

Математическая модель имитационного стенда включает в себя шесть дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение центра масс платформы и вращение относительно центра масс, а также шесть систем уравнений гидропривода, каждая из которых состоит из двух нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка (с учетом целого ряда допущений, касающихся отдельных звеньев гидропривода). Разделение движений с помощью фракционного анализа значительно упрощает исследование данной задачи, сводя громоздкую нелинейную систему к одному матричному уравнению. Исследование устойчивости динамического стенда проведено с помощью двухэтапного метода, который состоит в том, что характеристический многочлен полученного матричного уравнения разбивается на произведение сомножителей, исследуемых по отдельности. Тем самым осуществляется декомпозиция движений стенда в пространстве фазовых переменных. По этому методу проводится анализ устойчивости многоканальных систем управления, построенных из однотипных одноканальных систем. Например, в [39] метод применяется в двухканальной системе управления угловым движением космического аппарата, в [18, 32, 40, 43] - в трех- и четырехканальных гироскопических системах, в [4 6] - для данной модели шестиканального динамического стенда. В дополнение к [46], рассмотрен случай неидентичных каналов управления.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации.

В главе I изложена постановка задачи. Введены основные обозначения, записаны уравнения движения механической части стенда, выписаны геометрические соотношения для входящих в уравнения векторов, соответствующих опорам стенда.

В главе II построена математическая модель следящего электрогидравлического привода.

Рассмотрена модель быстродействующего следящего привода с дроссельным регулированием с гидроусилителем типа «сопло - заслонка», широко применяющегося в системах управления. Для выбранной модели записаны уравнения движения. Переходом к безразмерным переменным получена сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений. Построена вырожденная по Тихонову система, определяющая условия квазистатического баланса сил, действующих на гидропривод. Медленные составляющие движения гидропривода соответствуют программным движениям верхнего крепления опорной штанги. Уравнения для быстрых составляющих движения (присоединенная система) описывают собственные движения конструктивных элементов гидропривода. Исследование присоединенной системы дает условия устойчивости программного движения в зависимости от параметров гидропривода и коэффициента управления.

В главе III записаны уравнения полной математической модели, включающие уравнения движения платформы и уравнения для сил, формируемых гидроприводами. Для полной модели проведена нормализация уравнений, учитывающая оценки характерных величин, полученные для одного канала управления. Построены математические модели для медленных и быстрых составляющих движений стенда, составлена система линейных уравнений для исследования устойчивости стенда по быстрым движениям около квазистационарных программных движений. Рассмотрены случаи, когда условие 1) теоремы Тихонова не выполняется. Этим случаям соответствуют особые положения стенда, когда система теряет одну или несколько степеней свободы, и движение становится неуправляемым. Критерий для определения особых положений записан с помощью метода винтов [21, 26, 27, 28] . Приведены результаты численного моделирования для конкретной выбранной схемы стенда.

В главе IV проведен анализ устойчивости динамического стенда с помощью двухэтапного метода. Рассмотрены случаи идентичных каналов управления и неидентичных каналов управления. Определены границы возможных значений параметров гидропривода и коэффициента управления для асимптотически устойчивой многомерной системы. Приведены результаты численного моделирования: зависимость устойчивости динамического стенда с неидентичными каналами управления от углов поворота.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертации, сформулированы в заключении.

17

Некоторые результаты диссертации опубликованы в работах [8, 11, 12, 13, 45] и докладывались на:

- Международной конференции «Имитация полета» (г. Жуковский, август 19 92 г.);

- научных семинарах кафедры прикладной механики и управления МГУ под руководством академика РАН А.Ю. Ишлинского (1989 - 1992гг., 2001 г.);

- Международной научно - технической конференции «Электроника и информатика - XXI век» (г. Москва, МИЭТ, ноябрь, 2000г.).

Заключение

В работе рассматривается имитационный динамический стенд опорного типа с шестью степенями свободы и исследуется задача реализации заданных программных движений с требуемой точностью. Для решения этой задачи используются методы фракционного анализа. Движения динамического стенда разделяются на составляющие, характеризующиеся разными масштабами времени. Уравнения движения динамического стенда относятся к типу систем с погранслоем, где быстрые движения затухают около квазистационарных медленно изменяющихся положений (программных движений).

Динамический стенд управляется с помощью шести приводов, установленных в опорах. В системах управления широко используется быстродействующий .электрогидравлический привод. Уравнения гидропривода, написанные для инженерных расчетов, неудобны для исследования, так как содержат нелинейные члены и не разрешены относительно старших производных. Поэтому для каждой конкретной задачи в литературе по гидроприводу выбирается с некоторыми допущениями та или иная математическая модель, позволяющая проводить дальнейший анализ. В настоящей работе построена математическая модель гидропривода, с приемлемой точностью описывающая его движения для рассматриваемой задачи отслеживания программных движений.

Полная математическая модель имитационного стенда включает динамические уравнения движения центра масс платформы, уравнения для кинетического момента и нелинейные дифференциальные уравнения движения гидроприводов. Исследование нелинейной системы дифференциальных уравнений 24-го порядка весьма затруднительно.

При помощи методов фракционного анализа проведено разделение движений с разными характерными значениями времени, построены приближенные математические модели - модель медленных составляющих движения, соответствующих программным движениям платформы, и модель быстрых составляющих.

Проведена проверка условий корректности этих моделей и оценка их погрешности. Проверка условия теоремы Тихонова об изолированности решения вырожденной системы приводит к задаче об особых положениях стенда, когда система теряет одну или несколько степеней свободы и становится неуправляемой. Определены особые положения для выбранной схемы имитационного стенда.

Проверка условия теоремы Тихонова об асимптотической устойчивости точек покоя присоединенной системы приводит к задаче об асимптотической устойчивости стенда около

1.Аксельрод Б.В. Описание динамики манипулятора на подвижном основании с применением кинематических винтов. // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 19 91, № 2, с. 18 - 27.

2. Алгоритм имитации полета на динамическом стенде опорного типа. (Александров В. В., Дылевский И.В. и др.). // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1983, № 2, с. 30-37.

3. Александров В.В. Абсолютная устойчивость имитационных динамических систем в первом приближении. // Докл. АН СССР, 1988, т. 299, № 2, с. 296 301.

4. Александров В.В., Садовничий В.А., Чугунов О. Д. Математические задачи динамической имитации полета. М.: Издательство МГУ, 1986. -181 с.

5. Александров В.В. Об имитации кажущегося ускорения. // Докл. АН СССР, 1981, т. 256, № 2, с. 314 317.

6. Александров В.В. О постановке задач динамической имитации полета. // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации; 1983, 1984 гг. М.: Наука, 1985, с. 75 78.

7. Александров В. В. и др. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов /В.В. Александров, Л.И. Воронин, Ю.Н. Глазков, А.Ю. Ишлинский, В.А. Садовничий; Под ред. В.А. Садовничего. М.: Изд-во МГУ, 1995. - 160 с.

8. Аминова И.В. Устойчивость многомерного динамического стенда. // Имитация полета. Тезисы докладов. М.: ЦАГИ, 1992, с. 31 32.

9. Антонов И.Л., Федорова Г. А. Алгоритмы автоматизированного определения динамических параметров авиационных тренажеров. // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации; 1983, 1984 гг. М. : Наука, 1985, с. 84 .

10. Баранов В.Н., Захаров Ю.Е. Электрогидравлические и гидравлические вибрационные механизмы. М. : Машиностроение, 1966. 243 с.

11. Бардушкина И.В. Численное моделирование задачи устойчивости динамического стенда опорного типа. // Информационные технологии и проблемы микроэлектроники. Сб. научных тр.1. М.: МИЭТ, 1999, с. 24 29.

12. Бардушкина И.В. Анализ особых положений манипуляторов параллельной структуры. // Информационные технологии и системы управления. Сб. научных тр. (под ред. Бархоткина) М.: МИЭТ, 2000, с. 26-28.

13. Бардушкина И.В. Методы фракционного анализа в задаче стабилизации динамического стенда опорного типа. // Электроника и информатика -XXI век. Третья Международная научно-техническая конференция: Тезисы докладов. М.: МИЭТ, 2000, с. 288.

14. Башта Т.М. Гидравлические следящие приводы. 1960. Москва Киев, Машгиз. - 2 82 с.

15. Боднер В.А., Закиров Р.А., Смирнова И.И. Авиационные тренажеры. М. : Машиностроение, 1978. 192 с.

16. Борзов В. И. Задача о разделении движений в динамике полета. //Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1981, № 5, с. 3-12.

17. Боровков А.В. К определению передаточной функции дроссельного поршневого исполнительного механизма. // Приборостроение. Сб. статей. Вып. 2, Казань: 1971, с. 141 -148.

18. Брагин В. В., Новожилов И. В., Пшеничкина JI.A. Об устойчивости трехосного индикаторного гиростабилизатора. // Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 6, с. 26-33.

19. Бюшгенс А.Г. Моделирование динамики самолета на пилотажных стендах. В кн.: Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов. М., Наука, Физматлит, 1998.

20. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М. : Высшая школа, 1990. 208 с.

21. Воробьев Е.И., Диментберг Ф.М. Пространственные шарнирные механизмы. М.: Наука, 1991. 264 с.

22. Гамынин Н.С. Гидравлический следящий привод. М.: Машиностроение, 1968. 563 с.

23. Гамынин Н.С., Жданов Ю.К., Климашин А.Л. Динамика быстродействующего гидравлического привода. М.: Машиностроение, 1979. 80 с.

24. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф., Модель Б.И. Принципы классификации и методы анализа пространственных механизмов с параллельной структурой. // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1990, № 1, с. 41 49.

25. Глазунов В.А., Колискор А.Ш., Крайнев А.Ф. Пространственные механизмы параллельной структуры. М.: Наука, 1991. 94 с.

26. Диментберг Ф.М. Об особенных положениях пространственных механизмов. // Машиноведение, 1977, № 5, с. 53 58.

27. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения. М.: Наука, 1978. 327 с.

28. Диментберг Ф.М. Теория пространственных шарнирных механизмов. М.: Наука, 1982. 336 с.

29. Ершов Б.А., Трифоненко Б. В. Движение тела при действии управляемых связей. // Вестник ЛГУ. Сер. 3, вып. 2, № 8, с. 52 56.

30. Карев В.И., Потапов A.M., Селиванов A.M., Гамынин Н.С. Гидравлические приводы летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1992. 368 с.

31. Кирсенко Н.А. Критерии подобия моделей динамики полета авиационных тренажеров. // Авиационные тренажеры и системы управлениявоздушным движением. Киев: КНИГА, 1989, с. 14 -18 .

32. Кобрин А.И., Новожилов И.В. Об устойчивости двухкоординатных систем автоматического сопровождения. // Анализ и синтез систем автоматического управления. М. : Наука, 1968, с. 382 384.

33. Крапивко А. В. О линеаризации уравнения нагруженного следящего привода. М. : ЦАГИ им. Жуковского. Труды. Вып. 17 62, 197 6, с. 3 8.

34. Красовский А.А. Математическое моделирование и компьютерные системы обучения и тренажа. М.: Изд-во ВВИА им. Жуковского, 1989. 25 6 с.

35. Красовский А. А. Проблемы создания научных основ построения авиационных тренажеров. Доклад на XIII Гагаринских чтениях, 1983.

36. Крейнин Г.В., Акопян A.M., Лунев В.В. К оценке влияния инерционных свойств ведущих звеньев на динамику платформенного механизма. //Машиноведение, 1989, №6, с. 51-55.

37. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М. : Наука, 1973. 736 с.

38. Мелкозеров П. С. Приводы в системах автоматического управления. М. Л.: Энергия, 1966. - 384 с.

39. Новожилов И.В. О возможности раздельного исследования «быстрых» и «медленных» составляющих движения в задаче управления ориентацией тела при помощи маховиков. //

40. Космич. исследования. 1970, т. VIII, № 5, с. 693 700.

41. Новожилов И.В. Об устойчивости трехосного силового гиростабилизатора. // Изв. АН СССР, Механика твердого тела, № 4, 1968, с. 59 64.

42. Новожилов И.В. Прецессионные уравнения гироскопических систем с «жестким» управлением по части переменных. // Изв. АН СССР, МТТ, 1971, №1, с. 144 148.

43. Новожилов И. В. Теория размерности и приближенные методы. М.: Изд-во МЭИ, 1987.

44. Новожилов И. В. Управление четырехосным кардановым подвесом. // Изв. АН СССР, МТТ, 1983, № 4, с. 66 70.

45. Новожилов И. В. Фракционный анализ. М.: Издательство МГУ, 1991. 190 с.

46. Новожилов И.В., Аминова И. В. К выбору математической модели следящего гидропривода. // Математическое моделирование динамики управляемых систем, машин и механизмов; Тр. МЭИ, 1991, Вып. 655, с. 55 58.

47. Новожилов И.В., Кузьмина Р.П., Ионкин И. А. Устойчивость многомерной системы управления динамическим стендом. // Механика управляемых систем, машин и механизмов. МЭИ, № 14 0, 1987, с. 33 38.

48. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М. : Машиностроение, 1969. 499 с.

49. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1992. -576 с.

50. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1967.

51. Сквозная динамическая имитация космических полетов. (Александров В.В., Буков В.Н., Воронин Л.И. и др.) // Гагаринские чтения по космонавтике и авиации; 1990, 1991 гг. М.: Наука, 1991, с.165 166.

52. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. -231 с.

53. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных. // Математический сб., 1952, т. 31 (72), № 3, с. 575-586.

54. Хант К. Кинематические структуры манипуляторов с параллельным приводом. // Тр. Американского об-ва инженеров механиков. Конструирование и технология машиностроения. М. : Мир, 1983, № 4, с. 201 - 210.

55. Хохлов В.А., Прокофьев В.Н. и др. Электрогидравлические следящие системы. М. : Машиностроение, 1971. 431 с.

56. Чернышев А. В. Проектирование стендов для испытания и контроля бортовых систем летательных аппаратов. М. : Машиностроение, 1983. 384 с.

57. Янг Д., Ли Т. Исследование кинематики манипуляторов платформенного типа. // Тр. Американского об-ва инженеров механиков. Конструирование и технология машиностроения. М.: Мир, 1984, № 2, с. 264 - 272.

58. Adkins F.A., Haug E.J. Operational envelope of a spatial Stewart platform. // Trans. ASME. J. Mech. Des., 1997, Vol. 119, No 2, pp. 330 -332 .

59. Aircraft Flight Simulator. // Fluid Power International, 1966, Vol. 31, No 368, pp. 326 329.

60. Bae D.-S., Hwang R.-S., Haug E.J. A Recursive Formulation for Real-Time Dynamic Simulation of Mechanical Systems // ASME Journal of Mechanical Design, 1991, Vol. 113, No 2, pp. 158 167.

61. Balavessov V., Cholakov P., Nenchev D., Sotirov Z. Mechanical design and software system of a six-degree-of-freedom parallel robot. // J. Theor. And Appl. Mech., 1993, Vol. 24, No 4, pp. 65 80.

62. Behi F. Kinematic Analysis for a Six-degree-of-freedom 3-PRPS Parallel Mechanism. // IEEE Journal Robotics and Automation. 1988, No 5, Vol. 4, pp. 561 565.

63. Fichter E.F. A Stewart Platform-based Manipulator. General Theory and Practical

64. Construction. // Intern. Journal Robotics Research, 1986, No 2, Vol. 5, pp. 157 182.

65. Fichter E.F., McDowell E.D. A Novel Design for Robot Arm. //. Proc. Int. Computer Technology (ASME), 1980, pp. 250 256.

66. Freudenstein F., Maki E.R. The Creation of Mechanisms According to Kinematic Structure and Function. // Environment and Pleanning B, Vol. 6, 1979, pp. 375 391.

67. Haug E. J., Adkins F.A. , . Luh Chi Mei. Operational envelopes for working bodies of mechanisms and manipulators. // Trans. ASME. J. Mech. Des., 1998, Vol. 120, No 1, pp. 84 -91.

68. Hoffman R., McKinnon M.C. Vibration Modes of an Aircraft Simulator Motion System. // Proc. of the Fifth World Congress for the Theory of Machines and Mechanisms, an ASME Publication, 1979, pp. 603 606.

69. Hua Weishi. Analysis of Singularities of Parallel Robot. // Dianzi keji daxue xuebao. = J. Univ. Electron. And Technol. China, 1999, Vol.28, No 2, pp. 144 147.

70. Huang Z., Zhao Y.S., Wang J., Yu J.J. Kinematic principle and geometrical condition of general-linear-complex special configuration of parallel manipulators. //Mech. And Mach. Theory, 1999, Vol. 34, No 8, pp. 1171 1186.

71. Hunt K.H. Kinematic Geometry of Mechanisms // Oxford University Press, London, 1978.

72. Husty M. Parallel Manipulators: Direct Kinematics and singularities. // Tagungsber. Math. Forschungsinst., .Oberwolfach., 1995, No 50, p. 6.

73. Kerr D.R. Analysis, Properties, and Design of a Stewart Platform Transducer. // Trans. ASME, Journal Mechanisms, Transmissions, and Automation in Design, 1989, No 1, pp. 25 28.

74. Luh Chi Mei, Adkins F.A., Haug E.J., Qiu C.C. Working capability Analysis of Stewart Platforms. // Trans. ASME, Journal Mech. Des. , 1996, Vol. 118, No 2, pp. 220 - 227.

75. Matone R., Roth B. In-parallel manipulators: A framework on how to model actuation schemes and a study of their effect on singular postures. //Trans. ASME. J. Mech. Des., 1999, Vol. 121, No 1, pp. 2-8.

76. McCallion H., Truong P.D. The Analysis of a Six-degree-of-freedom Work Station for the Theory Machines and Mechanisms, an ASME Publication, 1979, pp. 611 616.

77. Merlet J. P. Determination of a orientation workspace of parallel manipulators. // J. Intell. And Robot Syst., 1995, Vol. 13, No 2, pp. 143 - 160.

78. Nanua P., Waldron K.J., Murthy V. Direct Kinematic Solution of a Stewart platform.112

79. EE Trans. On Robotics and Automation, 1990, Vol. 6, pp. 438 444.

80. Rathbun G.P., Dunlop G.R. Commensurate Positioning for a Stepmotor Actuated Stewart Platform. // VII World Congress IFTOMM, Sevilla, 1987, pp. 1481 1484.

81. Stewart D. A Platform with Six Degrees of Freedom. // Aircraft Engineering, Vol. 38, No 4, Apr. 1966.

82. Wang Hongrui, Gao Feng, Huang Zhen. Design of 6-axis force/torque sensor based on Stewart platform related to isotropy. //Chin. J. Mech. Eng., 1998, Vol. 11, No 3, pp. 217 222.

83. Woo L.S., Freudenstein F. Dynamic Analysis of Mechanisms Using Screw Coordinates. // ASME Journal of Engineering for Industry, 1971, Vol. 93, No 1, pp. 273 276.

84. Yang Tingli. Progress of basic research for mechanism theory. // Jixie gongcheng xuebao. = Chin. J. Mech. Eng., 1995, Vol. 31, No 2, pp. 1 25.