Гарантированное тестирование точности стабилизации динамических стендов

Трифонова, Анна Васильевна

Гарантированное тестирование точности стабилизации динамических стендов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Трифонова, Анна Васильевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2000 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Гарантированное тестирование точности стабилизации динамических стендов»

Автореферат диссертации на тему "Гарантированное тестирование точности стабилизации динамических стендов"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи

Трифонова Анна Васильевна Р Г Б ОД

! 7 Д П? 2С!гЗ

ГАРАНТИРОВАННОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ТОЧНОСТИ СТАБИЛИЗАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СТЕНДОВ

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Диссертация выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Александров В.В.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Сейранян А. П. кандидат физико-математических наук, доцент Мамасуев А. В.

Ведущая организация: Российский государственный научно-

исследовательский испытательный Центр подготовки космонавтов имени Ю.А. Гагарина

Защита диссертации состоится 21 апреля 2000 г. в 16.00 часов на заседании Специализированного Совета Д 053.05.01 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, сектор «А», ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 21 марта 2000 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета Д 053.05.01

доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современный уровень развития техники предопределяет жесткие требования к точности движения объектов. Учитывая большие финансовые затраты на конструирование сложных управляемых систем, для предварительного анализа и синтеза управления широко применяются динамические стенды. В последнее время стенды используются как составные части сложных динамических систем. Распространены различные типы стендов в зависимости от кинематических схем связи. При этом очень важно с практической точки зрения не только выбрать подходящий алгоритм стабилизации динамического стенда, но и провести оценку точности стабилизации.

Особенность динамических стендов состоит в том, что все движения ограничены геометрически и кинематически. Несмотря на это, необходимо реализовать любое движение из заданного множества и, кроме того, провести гарантированную оценку точности реализации каждого движения, то есть необходимо оценить насколько хорошо предложенный алгоритм управления реализует желаемое движение.

Реализации программных движений мешают параметрические возмущения. В качестве параметрических возмущений могут выступать неточности в задании отдельных параметров системы или изменение этих параметров в процессе функционирования системы. Также параметрическим возмущением могут быть программные траектории (если их несколько) в случае управления относительным движением стенда. В частности, возможно тестирование влияния переносного движения на точность стабилизации относительного движения.

В работе рассматриваются динамические стенды двух наиболее распространенных типов — центрифуга консольного типа и платформа Стюарта (стенд опорного типа).

Для этих двух типов динамических стендов, применяющихся в технике, представляется возможным записать конечномерные уравнения в отклонениях от программного движения вида (1), зависящие от скалярного

параметрического возмущения р :

i х = А(р,р)х + В(р)Ащ

\p(-)eP = {p(t)e&}, {}

где x(t) — тг - мерный вектор отклонений от заданной траектории, u{t) —s - мерная вектор-функция стабилизирующих управлений, А, В — матрицы.

Одним из возможных подходов к задаче тестирования точности управления и точности стабилизации программных движений управляемой системы является получение гарантированных показателей работы алгоритма управления (стабилизации), ориентированных на возможное наихудшее поведение параметрических и постоянно действующих возмущений, мешающих стабилизации. Такой подход впервые сформулирован в [I]1, а в [2]2 рассмотрен стохастический вариант.

Методики тестирования алгоритмов управления динамических стендов в целом пока не разработаны. Зачастую при тестировании динамического стенда ограничиваются использованием экспертных оценок. В то же время задача тестирования представляется достаточно важной, так как при этом оценивается возможность решения поставленных задач на данном стенде. Задачу тестирования можно считать решенной только в случае, если будет предложена методика тестирования и проведено достаточное количество тестовых испытаний.

При тестировании возникают ситуации, когда алгоритм стабилизации неизвестен, но в то же время необходимо дать оценку его работы.

Таким образом, имеют место два случая:

1) алгоритм управления известен;

2) алгоритм управления неизвестен.

1[1] Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений. // Вестн. Моск. ун-та. Матсм., Механ. 1997. N 3. С. 51-54.

2[2] Александров В.В., Лемак С.С., Садовничий В.А. Минимаксное тестирование точности стабилизации стохастических систем. // Диффсрснц. уравнения. 1999. N 5. С. 1-5.

устойчивости с оценкой. Исследование абсолютной устойчивости возможно либо с помощью построения функций Ляпунова, либо с помощью вариационного метода анализа абсолютной устойчивости с оценкой [З]3, [4]4. Следовательно, если алгоритм стабилизации известен, оценить точность реализации программных движений можно используя методики гарантированного анализа.

Если алгоритм стабилизации неизвестен, оценить точность стабилизации также представляется возможным, применяя методику максиминного тестирования [1], [2], [5]5. Реализация этой методики состоит из последовательного выполнения трех этапов: получения нижней оценки, имитационного моделирования и сравнения полученных результатов.

Целью работы является построение методик тестирования точности стабилизации программных движений и их применение для осуществления сравнительного анализа различных алгоритмов управления динамическими стендами двух типов.

Научная новизна работы состоит в следующем. Сформулирована постановка задач гарантированного тестирования точности стабилизации программных движений и предложены методики их решения. Построены математические модели двух управляемых динамических систем — центрифуги консольного типа с упругой консолью и сегмента активной поверхности радиотелескопа. Показана применимость полученных методик для тестирования точности стабилизации программных движений рассматриваемых стендов.

Теоретическое и практическое значение. Для динамических стендов двух, широко распространенных на практике типов, — центрифуги консольного типа и платформы Стюарта — в качестве математической модели для анализа точности стабилизации программных движений можно использовать конечномерную систему линейных дифференциальных уравнений со скалярным параметрическим возмущением (1). Предложе-

З[3] Александров В.В. Абсолютная устойчивость имитационных динамических систем в первом приближении. // Докл. АН. 1988. Т. 299. Вып. 2. С. 296-301.

4[4] Александров В.В., Воронин Л.И., Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмичсских полетов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 160 с.

5[5] Александров B.D., Герра JI., Каленова И.Н., Трифонова A.B. Минимаксная стабилизация и максй-минное тестирование линейных управляемых систем. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., Механ. 1999. N 5. С. 77-84.

на методика получения гарантированной оценки сверху точности стабилизации и методика максиминного тестирования точности стабилизации программных движений. Для имитационного динамического стенда типа центрифуги с помощью предложенной методики гарантированной оценки показана степень влияния изгибных колебаний консоли на точность динамической имитации. На примере стенда типа платформы Стюарта показана применимость обеих методик гарантированного тестирования для оценки возможности использования стенда при конструировании активной поверхности зеркала радиотелескопа и проведена оценка влияния переносных движений на точность стабилизации относительного положения сегмента.

В диссертации рассмотрены актуальные задачи, получены новые результаты, представляющие теоретический и практический интерес.

Апробация диссертации. Основные результаты работы докладывались на Всероссийской конференции "Современные проблемы механики и ее приложений" (Москва, 1996), на Втором международном аэрокосмическом конгрессе (1АС'97, Москва, 1997), на Третьей международной научно-практической конференции (Москва, 1997).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, библиографии и приложения. Библиография содержит 49 наименований. Общий объем диссертации составляет 147 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 посвящена построению алгоритмов реализации методики гарантированного анализа и максиминного тестирования для динамических стендов, представленных математической моделью (1). В § 1.1 сформулирована постановка задачи гарантированного тестирования и показана возможность исследования влияния переносного движения на точность реализации относительного движения. В § 1.2 представлена схема решения задачи гарантированного анализа в случае, когда алгоритм управления известен. При этом задача тестирования сводится к исследованию устойчивости с оценкой тривиального решения уравнений в отклонениях от

программного движения при любом возмущении из заданного множества и задача тестирования является задачей исследования абсолютной устойчивости с оценкой.

В § 1.3 представлена математическая постановка задачи гарантированного тестирования в случае, когда алгоритм стабилизации неизвестен. В этом случае задачу гарантированного тестирования можно рассматривать как задачу максиминного тестирования; методика решения которой состоит из реализации трех этапов. Первый этап — решение задачи:

inf J{u(-),p(-),x(t0)) —> sup,

и(-)еи PC) ея

где J — функционал, описывающий точность стабилизации:

J = xT(tk)Sx(th) + J (xTGx + uTNu)dt =

= xT(tk)Sx(tk) + f g{x{t),u(t))dt.

Здесь it — момент времени, определяемый из условия первого попадания па заданное многообразие в пространстве отклонений, в частности, возможен вариант фиксированного времени ¿¡t, 0 < tk < оо; G, N, S — постоянные матрицы, GT = G > О, NT = N > О, ST = S > 0; x(t0) € Х0 — множество начальных отклонений, «(•) 6 U = {и(-) 6 В | |uj(i)| < //о}, р(-) = {р(-) 6 В | |p;(i)| < vq, |p,-(i)| < vj}, цо, vQ, i/i — заданные величины, описывающие ресурсы управлений и параметрических возмущений.

При этом предполагается, что система (1) полностью управляема при любом постоянном р 6 Р и стабилизируема: x(t) -> 0 при t —¥ оо и для любого р = const £ Р при соответствующем алгоритме стабилизации u(x,t) € U.

Таким образом, на первом этапе максиминного тестирования определяются оптимальные стратегия ыи(ж, i), контрстратегия р®(х, и, t) (если они существуют) и цена Jg игры, являющаяся неулучшаемой оценкой снизу качества стабилизации программных траекторий. На втором этапе реализуется тестирование в рамках динамической имитации, когда на вы-

ходные действия и(х, I) тестируемого алгоритма стабилизации имитаторы среды вырабатывают контрстратегию х°(£о), р°(х,и,1). Первый этап методики максиминного тестирования реализуется с помощью функциональной схемы, представленной на рис. 1.

Система тестирования

P(-)

Исполнительные мсхшппмы Динамический объект Измерительные устройства

Система управления

Рис. 1. Функциональная схема максиминного тестирования. На третьем этапе результат тестирования Зц сравнивается с неулуч-

шаемой оценкой J,1,'

эе

(2)

Результат тестирования (2) является оценкой качества стабилизации. Следует отметить, что для реализации методики тестирования не требуется знание или описание алгоритма стабилизации. Предполагается лишь использование выходного сигнала алгоритма и в связи с этим возможно тестирование системы стабилизации, частью которой является человек.

В § 1.4 представлены решения первого этапа задачи гарантированного тестирования при различных видах функционалов, описывающих точность стабилизации. При наличии постоянных параметрических возмущений решение регулярной задачи максиминного тестирования (у\ = 0,io — 0,ifc = оо,5 = 0,iV > 0) на первом этапе сводится к последовательному решению трех задач:

J(u(.),p,x(0)) Л min =» J{u\p,:г(0)) А

Я),

max

х(0)ех„

J(u\p,x\0))

max.

peP

Л) Решая внутреннюю задачу min J с помощью результата Калмана

получаем квадратичную форму ж(0)т£(р)а;(0), матрица С(р) — положительно определенное решение алгебраического уравнения Риккати:

С(р)А(р) + А(р)тС(р) +G- C{p)B{p)TN~lB{p)C{p) = 0.

Поскольку система управляема, такое решение единственно. Оптимальное управление имеет вид u° = —N~lBTC(p)x.

В сингулярном случае (z/q = 0, до — оо, ¿о = 0, t^ — оо, S = 0, N = 0)

решение задачи inf J в классе L2 не существует. Тем не менее пред-

и(-)еи

ставляется возможным построение неулучшаемой оценки снизу с помощью результата

Якубовича [б]6. В этом случае inf J = x"(0)FIx(0), что

u(-)£U

позволяет найти неулучшаемую оценку, которую естественно интерпретировать как наилучший результат по точности стабилизации, а также оптимальную контрстратегию ж°(0), позволяющую реализовать процедуру тестирования.

Б) Решением задачи на шах является выражение р1Ш1т.{р)г, где /imax(p) -х{о)ех0

максимальный корень характеристического уравнения det(ßE — C(p)) = 0, = но) e Rn | |z(o)| < r}.

В) Таким образом, исходная задача сводится к задаче на таxr/jmaT, коре/'

торая может быть решена одним из стандартных методов. Максимальное значение функционала достигается при наихудшем возмущении р°.

Наихудшим начальным условием ж"(0) является собственный вектор матрицы С(р), соответствующий максимальному собственному значению /¿mm (р) при наихудшем возмущении ра. Решение максиминной задачи считается наилучшим результатом: Jq = тцпшх(р()).

Таким образом, в случае линейного алгоритма стабилизации представляется возможным получить гарантированную оценку сверху точности стабилизации. В случае, когда алгоритм стабилизации неизвестен, также возможно получение оценки точности стабилизации с помощью методики максиминного тестирования.

Предложенные методики гарантированного тестирования применены к исследованию точности стабилизации динамических стендов.

б[6] Якубович В.А. Сингулярная задача оптимального управления линейной стационарной системой с квадратичным функционалом. // Сиб. матем. журн. 1985. XXVI, N 1. С. 189-200.

В Главе 2 построена конечномерная модель центрифуги с упругой консолью и проведен гарантированный анализ влияния изгибных колебаний консоли на точность реализации программных имитирующих движений.

Схема трехосной центрифуги ЦФ-18 изображена на рисунке 2. Центрифуга представляет собой кабину пилота (5), закрепленную с помощью кар-данова подвеса на консоли (2). Карданов подвес состоит из "полусферы-вилки" (3), связанной плоским шарниром (9) с консолью, и кольца (4), которое закреплено с помощью плоских шарниров (8) с "вилкой". Оси крепления перпендикулярны и пересекаются в точке О. Центры масс "вилки" и кольца находятся в геометрическом центре карданова подвеса. Предполагается, что кабина — твердое тело, ось вращения которого проходит через центр карданова подвеса. В кабине, связанной плоскими шарнирами (6) с кольцом, находится кресло пилота (7). Кресло с пшютом считаются материальной точкой I), лежащей на местной вертикали, что создает дебаланс кабины. По осям карданова подвеса помещены двигатели, создающие управляющие моменты. Консоль вращается в горизонтальной плоскости с заданной угловой скоростью ш = ш(1).

С помощью имитационного стенда — центрифуги ЦФ-18 создаются условия, соответствующие реальному движению. Под динамической имитацией полета летательного аппарата понимается имитация траектор-ной перегрузки в расчетной точке корпуса пилота и имитация углового ускорения для полукружных каналов вестибулярной системы пилота. При этом алгоритм имитации должен обеспечивать высокую точность имитации перегрузок и угловых ускорений при жестких временных ограничениях на выработку управляющего сигнала с учетом геометрических и кине-

ш(0

Рис. 2. Схема трехосной центрифуги ЦФ-18.

матических ограничений, сужающих динамические возможности стенда. Кроме реализации имитирующего движения, необходимо провести оценку точности стабилизации этого движения.

В § 2.1 описывается задача динамической имитации. В § 2.2 получены уравнения, описывающие движение центрифуги в кардановом подвесе с упругой консолью при наличии дебаланса кабины, двумя способами — с помощью теоремы об изменении кинетического момента и с помощью второго метода Лагранжа.

В § 2.3 строится конечномерная модель упругих колебаний консоли центрифуги. Исследуются изгибные колебания консоли в горизонтальной плоскости. Для этого консоль моделируется системой жестких невесомых стержней длиной ^ и материальных точек массой ггц. При выборе параметров стержневой модели предполагается, что w = const и линейные размеры вилки, кольца и кабины малы по сравнению с длиной консоли. Стержни последовательно соединены с помощью пружин, а материальные точки помещены в узлы соединения стержней.

Для выбора конечномерной модели системы рассматривались два случая прикрепления первого стержня к валу: жесткое и упругое. В обоих случаях вычислены частоты колебаний для любого числа стержней и любого распределения масс по длине консоли. Из сравнения частот колебаний сплошной консоли и моделирующей консоль системы стержней следует:

1) с увеличением угловой скорости вращения консоли частоты колебаний возрастают незначительно — при увеличении угловой скорости с О до 0,5 рад/сек, что соответствует перегрузке 3,5g, частоты колебаний увеличиваются на сотые доли Гц;

2) с увеличением числа стержней моделирующей системы первая частота увеличивается на сотые доли Гц, расхождение в высших частотах более значимое;

3) в случае одинаковых длин стержней и одинаковых масс как при упругом закреплении первого стержня, так и при его жестком закреплении, разница частот колебаний сплошной консоли и моделирующих систем не более 0,5 Гц;

4) с увеличением числа стержней моделирующей системы увеличиваются

жесткости пружин; жесткости пружин при упругом закреплении первого стержня больше таковых при жестком закреплении первого стержня;

5) консоль достаточно моделировать двумя жесткими невесомыми стержнями, соединенными пружиной, с сосредоточенными массами на концах, подобрав при этом длины стержней, массы точек и жесткость пружины.

Рассматриваемая система имеет четыре степени свободы в случае жесткого прикрепления первого стержня к валу. В качестве обобщенных координат выбраны: а — угол поворота "вилки" относительно консоли, /3 — угол поворота кольца относительно "вилки", 7 — угол поворота кабины относительно кольца, в — угол между продолжением первого стержня и вторым стержнем.

Для исследования движения центрифуги с упругой консолью достаточно моделировать последнюю двумя стержнями; в случае жесткого закрепления первого стержня выбираются следующие параметры системы: а) ¿1 = /2 = 8,975 м, тх = т2 = 22585 кг, к = 8,36 • 107 Н/м2\

6) ¿1 = 10,55 м, 12 = 7,40 м, тх = 21480 кг, т2 = 23690 кг, к = 5,68 -107 Н/м2.

Таким образом, в § 2.3 построена теоретико-механическая модель центрифуги, учитывающая упругую податливость консоли, и предложен способ выбора параметров моделирующей системы.

В § 2.4 проводится гарантированный анализ точности стабилизации имитирующих движений центрифуги для случая имитации траекторной перегрузки в геометрическом центре карданова подвеса. Программные движения выбираются из условия одинаковой ориентации имитирующего вектора перегрузки в геометрическом центре карданова подвеса п(() и вектора перегрузки в расчетной точке летательного аппарата п°(£) при равенстве их модулей. Углы поворотов карданова подвеса, при которых ориентация имитирующего вектора перегрузки в системе координат, связанной с кабиной центрифуги, совпадает с ориентацией вектора перегрузки в системе координат, связанной с движущимся объектом, являются программными. При этом множество всех программных (имитирующих) движений удается описать одним параметром — угловой скоростью вращения консоли центрифуги

При различных перегрузках п°(£) 6 N получаются различные програм-

мные движения центрифуги. Поэтому возникает задача анализа асимптотической устойчивости каждого такого движения при заданном законе стабилизации и получения оценки стабилизации.

Упругость консоли может помешать точности реализации имитирующего движения, являющегося программным. Асимптотическая устойчивость программного движения является одним из условий желаемой точности имитации. Задача асимптотической устойчивости программных движений в первом приближении сводится к задаче абсолютной устойчивости тривиального решения уравнений в отклонениях при наличии параметрического возмущения, известного с точностью до функционального множества.

Применение методики гарантированного анализа с оценкой указывает на абсолютную устойчивость нестационарных имитирующих движений в первом приближении. Полученная оценка свидетельствует о том, что при единичном начальном отклонении от программного движения отклонение на временных интервалах имитации не может увеличиться больше, чем в 33 раза. Для модели консоли в случае различных длин стержней оценка отклонений от программного движения меньше, чем в случае с равными длинами стержней.

Таким образом, изгибные колебания консоли центрифуги не нарушают асимптотической устойчивости нестационарных имитирующих движений карданова подвеса.

На практике интересно знать не только точность имитации программных движений, но и точность имитации ускорений. Полученную оценку отклонений от имитирующих движений можно использовать для получения оценки точности имитации линейных и угловых ускорений.

Например, при начальном отклонении по углу Р — 0,0056 рад или 1° и по углу 0 = 0 рад, отклонение по угловому ускорению 9 составляет не более 0,00032 рад/сек2 или 0,058° /сек2 для случая (а) и 0.0003 рад/сек2 или 0.054°/сек2 для случая (б). Если же отклонение по углам (5 и в увеличится в 32 раза в случае (а) и в 33 раза в случае (б), для отклонения по угловому ускорению 9 получаем оценку 0,01 рад/сек2 или 1,8°/сек2 в обоих случаях, что ниже порога чувствительности полукружных каналов вестибулярной системы пилота [4].

Следовательно, методика гарантированного анализа позволяет оценить точность имитации программных движений центрифуги и точность имитации траекторией перегрузки в геометрическом центре карданова подвеса.

Глава 3 диссертации посвящена применению методик гарантированного тестирования для стенда опорного типа — платформы Стюарта. Динамические стенды типа платформы Стюарта в случае неподвижного основания применяются в качестве имитационных стендов и тренажеров. В последнее время возникла необходимость использования платформы Стюарта в ситуации, когда основание также является подвижным. Например, для конструирования активной поверхности зеркала радиотелескопа применяются подвижные сегменты, каждый из которых представляет собой платформу Стюарта. Геометрические связи динамического стенда типа платформы Стюарта накладывают существенные ограничения на множество возможных движений.

В связи с этим необходимо стабилизировать относительное положение каждого сегмента радиотелескопа при всех переносных движениях из заданного множества и провести гарантированную оценку влияния переносных движений на точность стабилизации относительного положения равновесия.

Зеркало радиотелескопа представляет собой систему сегментов, прикрепленных к основанию. Основание имеет форму "полусферы" диаметром 50 м. "Полусфера" состоит из 126-ти шестиугольников, к которым прикрепляются зеркала-сегменты, и может поворачиваться по широте на угол <р и по азимуту на угол Л. Сегменты являются абсолютно твердыми и однородными плоскими шестиугольниками массой 250 кг. Такая конструкция позволяет регулировать кривизну отражающей поверхности радиотелескопа.

Каждое зеркало-сегмент соединяется с шестиугольником основания с помощью трех цилиндрических исполнительных механизмов (рис. 3). Сегмент (1) присоединяется к поддерживающему цилиндру (3) посредством шарового шарнира (4), а поддерживающий цилиндр прикрепляется к шестиугольнику (2) с помощью цилиндрического шарнира (5) так, чтобы угол между цилиндром и плоскостью шестиугольника мог изменяться.

Длины поддерживающих цилиндров изменяются в пределах 12 — 15 см. Цилиндрические шарниры накладывают на движение сегмента геометрические связи таким образом, что геометрический центр сегмента и геометрический центр основания расположены на вертикальной оси и сегмент имеет три степени свободы. В качестве обобщенных координат выбраны два угла поворотов — а, /3, и И — высота центра масс А сегмента над плоскостью его основания.

В Главе 3 проводится тестирование точности реализации желаемого относительного положения платформы Стюарта с применением обеих методик тестирования и оценивается влияние переносного движения на точность стабилизации относительного положения. В качестве параметрических возмущений, мешающих реализации программных относительных положений равновесия, выступают различные переносные движения объекта, на котором расположена платформа Стюарта.

В § 3.1 получены уравнения в отклонениях от относительного положения равновесия любого сегмента радиотелескопа.

В § 3.2 сформированы два линейных алгоритма стабилизации относительного положения сегмента при повороте радиотелескопа и проведен гарантированный анализ влияния переносных движений на стабилизацию относительного положения. Исследуется плоское движение сегмента, когда точки В\ и Во движутся одинаково. В этом случае угол а = 0 и сегмент поворачивается только на угол /3.

Рис. 3. Схема сегмента.

В зависимости от возможностей измерительных механизмов могут быть известными либо отклонения от программных длин цилиндров, либо отклонения от программных движений. Рассматриваются два варианта формирования управляющих сил Fi, F2, F3:

1) по отклонениям от программных длин цилиндров и их производных:

FX = F2 = F?p + Fr = F?p + Cl(h - f0) + c2(h - /о), F3 = F;"' + Fr = F^ + cz(h - k) + с4(/'з - /о),

где Ci — коэффициенты стабилизации;

2) по отклонениям от программных движений и их производных:

Fi = F2 = F"p + Fcxm = Fr + kiXl + k2x i + k3x2 + k<x2, F3 = F3"p + F3cm = F?p + ksXl + Mi + k7x2 + ksx2,

где k{ — коэффициенты стабилизации.

В обоих случаях коэффициенты обратной связи выбираются, используя критерий Рауса-Гурвица, такие, что действительные части корней характеристического уравнения системы в вариациях отрицательны для — const £ Ф.

Гарантированный анализ свидетельствует о том, что переносное движение сегмента не нарушает асимптотической устойчивости его относительного положения как в случае формирования алгоритма стабилизации в виде линейной обратной связи по отклонениям от программных длин цилиндров, так и в случае формирования алгоритма стабилизации в виде линейной обратной связи по отклонениям от программных значений обобщенных координат. Полученная оценка свидетельствует о том, что при единичном начальном отклонении от программного положения, отклонение на конечных интервалах не может увеличиться больше, чем в 7,7 раз. Поэтому представляется возможным использование стенда типа платформы Стюарта для формирования активной поверхности зеркала радиотелескопа.

В § 3.3 решается задача максиминного тестирование рассматриваемых алгоритмов стабилизации. Несмотря на то, что каждый из сформированных алгоритмов стабилизации обеспечивает абсолютную устойчивость тривиального решения уравнений в отклонениях, максиминное

тестирование предложенных алгоритмов стабилизации свидетельствует о возможности построения алгоритма стабилизации, обеспечивающего лучшую точность стабилизации. Так, алгоритм стабилизации, сформированный по отклонениям от программных значений обобщенных координат сегмента, достаточно хорошо стабилизирует относительное положение

всех сегментов радиотелескопа, поскольку отношение ж = —----—

сравнимо с единицей.

Решение задач гарантированного анализа и максиминного тестирования свидетельствует о возможности применения обеих методик для оценки возможности использования платформы Стюарта при конструировании активной поверхности зеркала радиотелескопа и позволяет оценить точность каждого из предлагаемых алгоритмов стабилизации.

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

1. Получена конечномерная математическая модель динамики центрифуги с управляемым кардановым подвесом при наличии дебаланса кабины и изгибных колебаний консоли.

2. Предложены две методики гарантированного тестирования точности стабилизации при известном и неизвестном алгоритмах управления.

3. В случае имитационных динамических стендов типа центрифуги получена гарантированная оценка влияния упругости консоли на точность имитации траекторной перегрузки в геометрическом центре карданова подвеса.

4. В случае динамических стендов типа платформы Стюарта реализована методика максиминного тестирования точности стабилизации относительного положения равновесия и показана возможность ее применения для осуществления сравнительного анализа алгоритмов управления.

На защиту выносятся следующие результаты. Для динамических стендов двух, широко распространенных на практике типов, — центрифуги консольного типа и платформы Стюарта — в качестве математической модели для анализа точности стабилизации программных движений можно использовать конечномерную систему линейных дифференциальных уравнений со скалярным параметрическим возмущением вида (1).

В случае известного линейного алгоритма стабилизации предложена методика получения гарантированной оценки сверху точности стабилизации.

В случае, когда алгоритм стабилизации неизвестен, предложена методика максиминного тестирования точности стабилизации.

Для имитационных динамических стендов типа центрифуги с помощью предложенной методики гарантированной оценки показана степень влияния изгибных колебаний консоли на точность имитации траекторной перегрузки в геометрическом центре карданова подвеса.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Степаненко Н.П., Трифонова A.B. Динамика центрифуги консольного типа. // Всероссийская конференция. Современные проблемы механики и ее приложений. Тсзисы докладов. 1996. С. 9.

2. Александров В.В., Степаненко Н.П., Трифонова A.B. Стабилизация нестационарных вращений центрифуги с упругой консолью. // Механика твердого тела. 1997. N 5. С. 72-82.

3. Александров В.В., Степаненко Н.П., Трифонова A.B. Стабилизация нестационарных вращений центрифуги с упругой консолью. // Третья международная научно-практическая конференция. 1997. С. 180-183.

4. N.P. Stepanenko, A.V. Trifonova. Stabilization of the non - stationary rotations of the centrifuge with elastic console. // Second International Aerospace Congress. IAC'97. P. 211.

5. Александров В.В., Герра Д., Каленова И.Н., Трифонова A.B. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., Механ. 1999. N 5. С. 77-84.

6. V. Alexandrov, Н. Salazar, L. Guerra, A. Trifonova. Stabilization of Relative Positions of Stewart Platform. Memorias del Programa «Modelación matemetica de sistemas compujos» (Mexico-Rusia). 2000.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Трифонова, Анна Васильевна

Введение.

Глава 1. Постановка задач гарантированного тестирования и методы их решения.

1.1. Постановка задач гарантированного тестирования.

1.2. Задача абсолютной устойчивости с гарантированной оценкой при известном алгоритме стабилизации.

1.3. Математическая постановка задачи максиминного тестирования при отсутствии информации об алгоритме стабилизации.

1.4. Решение задачи максиминного тестирования в случае неограниченных ресурсов стабилизации.

Глава 2. Гарантированный анализ точности стабилизации нестационарных вращений консоли центрифуги.

2.1. Описание задачи динамической имитации.

2.2. Уравнения движения кабины в кардановом подвесе, закрепленном на упругой консоли.

2.3. Выбор параметров моделирующей системы.

2.4. Анализ устойчивости нестационарных имитирующих движений центрифуги.

Глава 3. Максиминное тестирование точности стабилизации относительного положения платформы Стюарта.

3.1. Уравнения в отклонениях от относительного положения равновесия платформы Стюарта.

3.1.1. Уравнения относительного движения управляемого сегмента радиотелескопа.

3.1.2. Уравнения движения сегмента в вариациях.

3.2. Гарантированный анализ абсолютной устойчивости относительного положения платформы Стюарта.

3.2.1. Формирование линейного алгоритма стабилизации относительного положения сегмента при повороте радиотелескопа.

3.2.2. Вариационный метод анализа точности в первом приближении.

3.3. Решение задачи гарантированного тестирования при наличии параметрических возмущений.

3.3.1. Постановка задачи максиминного тестирования при постоянно действующем возмущении.

3.3.2. Первый этап решения задачи максиминного тестирования.

3.3.3. Решение первого этапа задачи максиминного тестирования в случае плоского движения сегмента.

3.3.4. Второй этап решения задачи максиминного тестирования.

3.3.5. Третий этап решения задачи максиминного тестирования.

Введение диссертация по механике, на тему "Гарантированное тестирование точности стабилизации динамических стендов"

Современный уровень развития техники предопределяет жесткие требования к точности движения объектов. Учитывая большие финансовые затраты на конструирование сложных управляемых систем, для предварительного анализа и синтеза управления широко применяются динамические стенды. Распространены различные типы динамических стендов в зависимости от кинематических схем связи. При этом очень важно с практической точки зрения не только выбрать подходящий алгоритм стабилизации динамического стенда, но и провести оценку точности его стабилизации.

Особенность динамических стендов состоит в том, что все движения ограничены геометрически и кинематически. Несмотря на это, необходимо реализовать любое движение из заданного множества и, кроме того, необходимо провести оценку точности реализации каждого движения, то есть необходимо оценить насколько хорошо предложенный алгоритм управления реализует желаемое движение.

Реализации программных движений мешают параметрические возмущения. В качестве параметрических возмущений могут выступать неточности в задании отдельных параметров системы или изменение этих параметров в процессе функционирования системы. Также параметрическим возмущением могут быть программные траектории (если их несколько) или одна из обобщенных координат нестационарной траектории. В частности, возможно тестирование влияния переносного движения на точность стабилизации относительного положения.

В работе рассматриваются динамические стенды двух наиболее распространенных типов — центрифуга консольного типа [4], [9] и платформа Стюарта [44], [45], [49]. Для первого стенда построена конечномерная модель изгибных колебаний и проведен гарантированный анализ влияния изгибных колебаний консоли центрифуги на точность стабилизации программных движений. Построена математическая модель сегмента активной поверхности зеркала радиотелескопа с использованием динамического стенда второго типа — платформы Стюарта и проведено гарантированное тестирование влияния переносного движения радиотелескопа на стабилизацию относительного положения любого сегмента зеркала.

Р(-) еР = {р(0 е я1}.

Одним из возможных подходов к задаче тестирования точности управления и точности стабилизации программных движений управляемой системы является получение гарантированных показателей работы алгоритма управления (стабилизации), ориентированных на возможное наихудшее поведение параметрических и постоянно действующих возмущений, мешающих стабилизации. Такой подход впервые сформулирован в [3], а в [8] рассмотрен стохастический вариант.

При тестировании возникают ситуации, когда алгоритм стабилизации даже неизвестен, но в то же время необходимо дать какую-либо оценку его работы. Несмотря на это, в обоих случаях представляется возможным построить методики тестирования, позволяющие оценить точность стабилизации динамических стендов.

Таким образом, имеют место два случая:

1) алгоритм управления известен;

2) алгоритм управления неизвестен.

В первом случае задача тестирования сводится к исследованию устойчивости с оценкой тривиального решения уравнений в отклонениях от программного движения при любом возмущении из заданного множества и задача тестирования является задачей исследования абсолютной устойчивости с оценкой. Исследование абсолютной устойчивости возможно либо с помощью построения функций Ляпунова, либо с помощью вариационного метода анализа абсолютной устойчивости с оценкой [2], [4].

Если алгоритм стабилизации известен, оценить точность реализации программных движений можно используя методики гарантированного анализа. Однако, даже если алгоритм стабилизации неизвестен, оценить точность стабилизации также представляется возможным, применяя методику максиминного тестирования [3], [5], [8].

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

Основные результаты, полученные в диссертационной работе:

Заключение

На защиту выносятся следующие результаты.

Для динамических стендов двух, широко распространенных на практике типов, — центрифуги консольного типа и платформы Стюарта — в качестве математической модели для анализа точности стабилизации программных движений можно использовать конечномерную систему линейных дифференциальных уравнений со скалярным параметрическим возмущением.

В случае линейного алгоритма стабилизации предложена методика получения гарантированной оценки сверху точности стабилизации.

Для стендов типа платформы Стюарта показана применимость обеих методик гарантированного тестирования для оценки возможности использования стенда при конструировании активной поверхности зеркала радиотелескопа и проводится оценка влияния переносных движений на точность стабилизации относительного положения сегмента.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Трифонова, Анна Васильевна, Москва

1. Акуленко Л.Д., Болотник H.H. Об управляемом вращении упругого стержня. // ПММ. 1982. Т. 49. Вып. 4. С. 587-595.

2. Александров В.В. Абсолютная устойчивость имитационных динамических систем в первом приближении. // Докл. АН. 1988. Т. 299. Вып. 2. С. 296-301.

3. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., Механ. 1997. N 3. С. 51-54.

4. Александров В.В., Воронин Л.И., Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 160 с.

5. Александров В.В., Герра Л., Каленова H.H., Трифонова A.B. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., Механ. 1999. N 5. С. 77-84.

6. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой колебательной системы. // Вестн. Моск. ун-та. Матем., Механ. 1998. N 6. С. 40-43.

7. Александров В.В., Злочевский С.И., Лемак С.С., Парусников H.A. Введение в динамику управляемых систем. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. с. 180

8. Александров В.В., Лемак С.С., Садовничий В.А. Минимаксное тестирование точности стабилизации стохастических систем. // Дифференц. уравнения. 1999. N 5. С. 1-5.

9. Александров В.В., Садовничий В.А, Чугунов О.Д. Математические задачи динамической имитации полета. М.: Изд-во Моск. унта, 1986. 178 с.

10. Александров В.В., Степаненко Н.П., Трифонова A.B. Стабилизация нестационарных вращений центрифуги с упругой консолью. // Механика твердого тела. 1997. N 5. С. 72-82.

11. Александров В.В., Степаненко Н.П., Трифонова A.B. Стабилизация нестационарных вращений центрифуги с упругой консолью. // Третья международная научно-практическая конференция. 1997. С. 180-183.

12. Ананьев И.В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих систем. М.Л.: Гостехиздат, 1946. 223 с.

13. Ананьев И.В., Серебрянский Н.П. Расчет колебаний балок в некоторых особых случаях нагружения. // Труды ЦАГИ. 1972. Вып. 1418. С. 48.

14. Аппель П. Теоретическая механика. М.: Физматгиз, 1960. Т. 1. Статика. Динамика точки. 515 с. Т. 2. Динамика системы. Аналитическая механика. 487 с.

15. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 223 с.

16. Березкин E.H. Курс теоретической механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. 646 с.

17. Бицено К.Б., Граммель Р. Техническая динамика. M.JL: Гостех-издат, 1950. 900 с.

18. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. 892 с.

19. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. М.: Наука, 1969. Т. 1. 467 с. Т. 2. 329 с.

20. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973. 256 с.

21. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

23. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. 368 с.

24. Зеликин М.И. Однородные пространства и уравнения Риккати в вариационном исчислении. М.: Изд-во Факториал, 1998. 350 с.

25. Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции. М.: Наука, 1987. 191 с.

26. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М: Наука, 1976. 666 с.

27. Ишлинский А.Ю., Борзов В.И., Степаненко Н.П. Лекции по теории гироскопов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 246 с.

28. Калинников В.Г. Активное демпфирование изгибных колебаний вращающейся консоли центрифуги. // Диссертация. М. 1991. 94 с.

29. Квакернаак X., Сиван Э. Линейные оптимальные системы управления. пер. Васильев В.А., Николаев Ю.А. М.: Мир, 1977. 650 с.

30. Красовский H.H. Некоторые задачи об устойчивости движения. // М.: Физматгиз, 1959. 211 с.

31. Красовский H.H. Управление динамической системой: Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука, 1985. 518 с.

32. Лукьянов А.Г., Уткин В.И. Синтез оптимальных линейных систем с вырожденным критерием. // Автоматика и телемеханика.1982. N 7. С. 42-50.

33. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

34. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гаукредидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука,1983. Изд. 4. 392 с.

35. Пфейффер П. Колебания упругих тел. М.Л.: ГТТИ, 1934. 156 с.

36. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. 551 с.

37. Степаненко Н.П., Трифонова A.B. Динамика центрифуги консольного типа. // Всероссийская конференция. Современные проблемы механики и ее приложений. Тезисы докладов. 1996. С. 9.

38. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.Л.: Гостехиздат, 1946. 654 с.

39. Четаев Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. 367 с.

40. Якубович В.А. Сингулярная задача оптимального управления линейной стационарной системой с квадратичным функционалом. // Сиб. матем. журн. 1985. XXVI, N 1. С. 189-200.

41. V. Alexandrov, Н. Salazar, L. Guerra, A. Trifonova. Stabilization of Relative Positions of Stewart Platform. Memorias del Programa «Modelacion matemetica de sistemas compujos» (Mexico-Rusia). 2000.

42. A.M. Formalsky, S.N. Osipov. On the Problem of the TimeOptimal Manipulator Arm Turning. IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL. Vol. 35. No. 6. June 1990. P. 714-719.

43. Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control. // Bol. Soc. Mat. Mexic. 1960. P. 102-119.

44. Kok-Meng Lee and Dharman K. Shah "Dymamic Analysis of a Three-Degrees-of-Freedom In-Parallel Actuated Manipulator" IEEE Journal of Robotics and Automation, Vol. 4. No. 3. June 1988. P. 361-367.

45. Kok-Meng Lee and Dharman K. Shah, "Kinematic Analysis of a Three-Degrees-of-Freedom In-Parallel Actuated Manipulator," IEEE Journal of Robotics and Automation, Vol. 4. No. 3. June 1988. P. 354-360.

46. Ronald R. Mohler. Nonlinear Systems. Vol 2. Applications to Bilinear Control. Prentice Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. 1991. 207 p.

47. K. Schittkowski. The Nonlinear Programming Method of Wilson, Han, and Powell with an Augmented Lagrangian Type Line Search Functoin // Numer. Math. 1981. No. 38. P. 115-127.

48. N.P. Stepanenko, A.V. Trifonova. Stabilization of the non- stationary rotations of the centrifuge with elastic console. // Second International Aerospace Congress. IAC'97. P. 211.

49. D. Stewart. A platform with six degrees of freedom. Proc. Inst. Mech. Eng. 1965/1966. Vol. 180. Pt. 1. No. 15. P. 371-386.