Алгоритмы максиминного тестирования качества стабилизации космических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

московский государственный университет

имени М.В.ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

/

На правах рукописи

0034Т

леоедев Антон Викторович

УДК 531.3:007 531.3:62-5

Алгоритмы максиминного

тестирования качества стабилизации космических систем

01.02.01 — теоретическая механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

2 8 МАЙ 2009

003471264

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научнй доктор физико-математических наук,

руководитель: С.С. Лемак

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор ГО.Ф. Голубев

доктор физико-математических наук, профессор М.Ю. Овчинников

Ведущая организация: Федеральное государственное унитарное предприятие "Научно-производственное предприятие Всероссийский научно -исследовательский институт электромеханики с заводом имени А.Г. Иосифьяна"

Защита состоится 5 июня 2009 года в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 501.001.22 по механике при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 5 мая 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.22 доцент

В.А. Прошкин

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена вопросам разработки методики максимин-ного тестирования автоматических и полуавтоматических систем стабилизации, где определение результата тестирования точности работы алгоритма производится с использованием нижней оценки критерия качества, полученной при решении игровой задачи.

Важным этапом разработки и создания алгоритмов управления сложных динамических объектов является этап тестирования качества их работы. Особенно актуально проведением тестирования для систем с высокой ценой риска, например для систем управления космическими объектами.

Для космических систем, в контуре управления которых присутствует человек, точность решения задач управления осложняется наличием различных Бестибуло-дпигательных-нарушснийгвозникающих-вневесомости-Использова-ние наземных тестирующих стендов является одним ггз возможных путей решения этой проблемы. Одной из таких систем является устройство спасения космонавта (УСК), предназначенное для возвращения космонавта к орбитальной станции в случае потери контакта при проведении работ в открытом космосе. Был создан прототип тестирующего тренажера по управлению УСК. Одна из глав работы посвящена описанию математического и программного обеспечения этого тренажера.

Автоматические системы управления космическими объектами, в которых человек не принимает прямого участия, также обладают высокой ценой риска. Ярким примером может служить система ориентации спутника, от качества работы которой зависит не только работа полезной нагрузки, но и энергетика, и жизнь самого аппарата. Для таких систем применение тестирующих стендов, очевидно, является одним из путей отладки и повышения надежности работы бортовою алгоритма управления.

Был создан тестирующий стенд для проверки качества работы алгоритмов ориентации микроспутника Земли. Одна из глав работы посвящена математическому и программному обеспечению, лежащему в его основе.

Цель работы

Основной целью диссертационной работы является расширение области применения методики максиминного тестирования на билинейные системы и выработка тестирующих возмущений для класса задач в которых отсутствует ситуация равновесия в исходной динамической игре. Это позволяет применить методику максиминного тестирования для разработки следующих стендов: а) тестирующего тренажера по управлению устройством спасения космонавта; б) тестирующего стенда для проверки работы алгоритмов ориентации микроспут-пика Земли.

Научная новизна.

Методика максиминного тестирования расширена на билинейные системы. Получено необходимое и достаточное условие существования оптимальной стратегии тестирования в классе выпуклых функционалов. Решена задача синтеза оптимальной смешанной стратегии тестирования в случае отсутствия ситуации равновесия в исходной динамической игре. Поставлена и решена задача тестирования, критерий качества в которой содержит информацию о расходе энергии.

Теоретическая и практическая ценность.

В работе получен метод построения оптимальной стратегии тестировиия для билинейных систем, позволяющий проводить тестирование даже в случае отсутствия седловой точки в чистых стратегиях в исходной динамической игре. Разработано математическое обеспечение компьютерного стенда для тестирования качества ориентации микроспутника Земли. Создан прототип тестирующего тренажера по визуальному сближению устройства спасения космонатва (УСК) с орбитальной станцией.

Апробация работы.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. Научный семинар им. акад. А.Ю.Йшлинского по прикладной механике и управлению (2008г., Москва, мех.-мат. факультет МГУ).

2. Научный семинар "Динамика относительного движения" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. Ю.Ф. Голубева. (2009г., Москва, мех.-мат. факультет МГУ).

3. Объединенный семинар кафедры прикладной математики и сектора 4 отдела 5 ИПМ им. М.В. Келдыша. (2009г., Москва, Институт прикладной математики им. М.В.Келдыша).

4. Международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", Алушта, 20032008гг.

5. 5-й международный аэрокосмический конгресс, Москва, 2006г.

6. 2-я международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования", г.Воропеж, декабрь 2007г.

7. 39-я Всероссийская молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", г.Екатеринбург, январь 2008г.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9|.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В работе 105 страниц и 33 рисунка.

Содержание диссертации

Во введении рассмотрены вопросы, связанные с актуальностью применения методики максиминного тестирования, описана цель работы, дан краткий обзор работ, связанных созданием и развитием методики максиминного тестирования, также приведено краткое содержание диссертации.

Первая"Глава~диссертацпи"называет«г"Математические-постановки задач максиминного тестирования и методы их решения". Она носит теоретический характер и состоит из трех разделов.

В первом разделе данной главы, который носит название "Задача тестирования качества стабилизации билинейных систем", описана задача тестирования качества стабилизации билинейной системы, а также даны и обоснованы методы ее решения.

Раздел состоит из шести параграфов.

В первом параграфе под названием "Постановка задачи тестирования" рассмотрена задача тестирования алгоритмов стабилизации для динамической системы, представленной уравнениями движения следующего вида:

x = Aq{t)x + Bq{t)u + Cq{t)vr(t), x{t0) = Хр,

г = 1,2,..,Я, (1)

Р=1,2,..,Р,

<7 = 1,2,..,Q.

Здесь x{t) — n-мерпый вектор состояния; и(-) G U = {L2[ío, Íjt]||i4(í)| < umax} - s-мерная функция управляющих воздействий; ш = (r,p,q) £ - возмущение, где W- конечное множество возмущений, содержащее R- Р ■ Q элементов.

Показатель качества стабилизации задан функционалом:

J(w,u(-)) = 3?(tk)Sx(tk), (2)

где S — постоянная, симметричная, положительно полуопределенная матрица, моменты ¿o, ífc — фиксированы, w £ W, u(-) £ U — возмущение и управление в системе (1). Необходимо объективно оцепить действия некоторого алгоритма управления системой (1) с точки зрения показателя качества (2).

Оценка алгоритма управления производится на специальном тестирующем стенде, который можно представить следующей функциональной схемой (Рис. 1.):

Алгоритмы управления < * Сенсоры

Исполн. Движущийся * Среда

механизмы объект

—►[ Алгоритмы тестирования^—-

Рис. 1.

В представленной схеме блоки исполнительных механизмов, движущегося объекта, сенсоров и окружающей среды могут быть реализованы либо в качестве имитационного стенда, либо в виде компьютерной модели. Блок алгоритмов тестирования формирует тестирующие возмущения и дает оценку алгоритмам, управления в результате процесса тестирования. В качестве основы при разработке этого блока предлагается использовать методику максиминного тестирования, которая позволяет получить объективные показатели точности выполнения алгоритмом управления поставленной задачи при экстремальных условиях.

Методика тестирования опирается на два базовых предположения. В качестве первого предположения рассматривается дифференциальная антагонистическая игра Г двух независимых воздействий на систему (1) - возмущения т и управления «, а показатель качества управления (2) является функцией выигрыша возмущений (игрока 1). Таким образом, можно определить антагонистическую игру в виде:

г = оад Л

(з)

где IV — множество стратегий игрока 1 (возмущений), 17 - множество стратегий игрока 2 (управлений), а 3 - функция выигрыша игрока 1.

Вторым базовым предположением является наличие ситуации равновесия (седловой точки) в игре (3), которое дает возможность объективно оценить действия алгорима управления.

Методика тестирования состоит из трех этапов.

1-й этап - предварительный. На этом этапе осуществляется поиск нижней (наилучшей) оценки показателя качества управления и оптимальной стратегии поведения внешних возмущений с помощью численного решения макси-минной задачи

шп .7(ш,и(-)) ■

и(-)£и

■ тах.

ы&У

(4)

2-й этап — основной. На этом этапе непосредственно реализуется процесс тестирования, основанный на компьютерном моделировании процесса управления объектом (1), при воздействии на него наихудших возмущений, найденных на первом этапе. На этом этапе определяется реальная оценка качества управления ,7.

3-й этап - заключительный. На этом этапе происходит сравнение наилучшей ./о и реальной ,7 оценок работы алгоритма управления и выработка рекомендаций по дальнейшим тренировкам и диагностике, калибровке и коррекции.

Во втором параграфе первого раздела первой главы, который носит название "Решение игровой задачи первого этапа методики тестирования", приведен метод решения первого этапа методики тестирования, основанный на разложении исходной динамической системы (1) на возмущенную

xw = A4{t)xw + Cq(t)vs(t) xw(t0) = xm, (5)

и управляемую

¿u = A„{t)xu - Bq{t)u xu(ta) = 0. (6)

системы и редукции исходной динамической игры (3) к геометрической игре Ti = (Gw,Gu,p) на области достижимости Gw возмущаемой системы (5) и пересесчении G„ областей достижимости управляемой системы (6). Функция выигрыша в геометрической игре Ti эквивалентна расстоянию p{xw{tk),xu{tk)) между конечными состояними систем (5) и (6). Размерность пространства геометрической игры определяется матрицей S в выражении критерия качества

—(2):-

Изложен и доказан критерий существования точки равновесия в антагонистической игре:

Теорема 1. Для того чтобы пара стратегий (и)*, и") была точкой равновесия антагонистической игры Г = (\V,U,J), необходимо и достаточно, чтобы

существовал maxmmj(w,u) и было выполнено неравенство w€W иеи

J(w*,u') = maxmin J(w,u) > J(u>,u*),Vw € W. (7)

Этот критерий основан на знании значения максимина max min J(w,«(•)),

u/£vy u(-)eí/

которое определяется в нашем случае несравненно легче, чем мшшмакс, поскольку множество стратегий для возмущений в геометрической игре представлено конечным множеством точек. При выполнении условий этой теоремы можно говорить о наличии ситуации равновесия в чистых стратегиях в игре Г и переходить к выполнению второго этапа методики тестирования.

В третьем параграфе, который носит название "Существование точки равновесия в классе смешанных стратегий" приведен метод определения стратегии тестирования в случае отсутствия седловой точки в чистых стратегиях геометр рической игры. Этот метод основан на переходе к смешанному расширению Г геометрической игры Ti, в котором существует седловая точка, и опирается этот метод на следующую теорему

Теорема 2. Пусть Г = (Л\У, J), X С Г, У С Т{т - выпуклая игра. Тогда значение игры определяется по формуле

V = minmax J(x.ii). y£Y хСХ

Игрок 1 обладает оптимальной смешанной стратегией ро с конечным спектром, состоящим не более чем из (т + 1)-й точки множества X. В то же

1JПетросян Л.А., Зенкевич H.A., Семина Е.А. Теория игр. — Кн. Дом "Университет", 1908. 300 с.

время все чистые стратегии у о, на которых достигается min max у), яв-

уеУ хел'

ляются оптимальными для игрока 2.

Приведем определение выпуклой игры: Определение 1. Пусть X С Rm, У С Rm - компакты, множество У -выпукло, функция J : X xY —+ Rl непрерывна по совокупности аргументов и выпукла по у € К при любом фиксированном х 6 X. Тогда игра Г = (X, Y, J) называется игрой с выпуклой функцией выигрыша (выпуклой игрой).

Игра Ti, согласно определению, является выпуклой, следовательно, согласно теореме 2, оптимальная смешанная стратегия управлений представляет собой чистую стратегию, на которой достигается значение минимакса критерия качества

Ко — min max p(xw,xu), (8)

а возмущения обладают оптимальной смешанной стратегией с конечным спектром. Следовательно, для реализации данного метода необходимо получить решение задачи (8). _ Таким образом,

реализуется переход к смешанному расширению игры I j: Г = G„, К). Множеством стратегий игрока 1 (возмущений) является множество G*w всевозможных функций распределения вероятности на множестве чистых стратегий Gw, множество стратегий игрока 2 (управлений) в смешанном расширении Г совпадает со множеством чистых стратегий G„, функцией выигрыша является К(р,хи) = ^ PwJ{xw,xu) — математическое ожидание

weW

выигрыша игрока 1 в точке хи 6 Gu (здесь ßw - вероятности, соответствующие смешанной стратегии р 6 G^).

Справедлива цепочка неравенств, соответствующая определению ситуации равновесия в смешанных стратегиях:

К{хт х%) < К(/<о.xff) < K(ß0, хи),Ухи £ Gu, Vxw е Gw, (9)

где K{ß 0,xf) = К0, a K(xw, zf) = J{xu,x%).

В четвертом параграфе под названием " Алгоритмы поиска минимакса" описаны методы нахождения минимакса (8) в геометрической игре. Сначала приведены и доказаны необходимые и достаточные условия минимума функции Va{xu) = max p(xw,xu), основанные на теореме об отделимости выпуклых конусов

Теорема 3. Точка х^ является абсолютным минимумом функции <ро(х„) на множестве Gu тогда и только тогда, когда сугцествует вектор а е К* и постоянные скалярные величины Aj, Лз-.-, AR.p.Q такие, что:

2. Аг > 0, r = l,...,R-P-Q;

^Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973

3. Аг - рг(х*')) = 0;

Д-Р-О

£ М + М^о.

Г=1

Здесь рг(хи) — ^/(а;,.,я;ц), хи 6 (7и, хт £ (?„,; К* - конус, сопряженный к конусу, аппроксимирующему множество (7и в окрестности точки х^. Условие 3 данной теоремы называется условием дополняющей нежесткости, а условие 4 — условием нетривиальное™.

Необходимые и достаточные условия позволяют в некоторых случаях сразу определить решение задачи (8), а также используются далее для синтеза оптимальной смешанной стратегии возмущений.

Далее приведен итерационный алгоритм решения задачи (8) в выпуклой геометрической игре.

В пятом параграфе первого раздела первой главы, который носит название "Синтез смешанной стратегии тестирования", получен метод синтеза оптималь-— ной смешанной стратегии позмущешп'^ основанный.иа^леобходамом.идостато'ь ном условии минимакса (теореме 3). Этот метод позволяет вычислить респре-деление вероятностей оптимальной смешанной стратегии до в зависимости от найденной точки минимакса соответствующей решению задачи (8).

Таким образом, первый этап методики максиминного тестирования можно реализовать следующим образом:

Шаг А — применение теоремы 1 для выяснения наличия ситуации равновесия в чистых стратегиях в игре Г.

Если ситуация равновесия имеет место, то находятся цена игры (неулучшае-мая оценка критерия качества) и чистая стратегия тестирования путем решения максиминной задачи (4), затем осуществляется переход ко второму этапу.

Если ситуации равновесия нет — переходим к шагу Б.

Шаг Б — редукция геометрической игры Г] к смешанному расширению Г.

Шаг В — нахождение цены игры Г, что равносильно решению задачи (8) либо с помощью теоремы 3, либо с помощью итерационного метода.

Шаг Г нахождение смешанной стратегии тестирования (оптимальной смешанной стратегии игрока 1 — возмущений) /ло, такой, чтобы выполнялись условия (9).

В результате работы данного алгоритма будет получена "мягкая" ^ стратегия тестирования — оптимальная стратегия для возмущений (чистая — в случае наличия ситуации равновесия, и смешанная — в случае её отсутствия).

В шестом параграфе "Реализация второго этапа тестирования в случае смешанных стратегий тестирования" приведен метод реализации второго этапа в случае использования смешанной стратегии тестирования. Для вычисления критерия качества работы алгоритма управления на втором этапе тестирования необходимо провести серию испытаний при воздействии на управляемый объект возмущений — стратегии тестирования, выбираемой в соответствии с распределением вероятностей цп, найденным на первом этапе. Каждое испытание представляет собой процесс математического моделирования (либо имитационного

Лсмак С.С. Максиминный контроль качества стабилизации космических объектов. Дисс. на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Москва. 2004 г.

моделирования на стенде) движения управляемого объекта, на которое воздействуют выбранное возмущение и управление (игроки 1 и 2). После проведения серии испытаний можно вычислить приближенное значение математического

n

ожидания K(fi0,xu) = ^(w)>x!i)i гДе N ~ количество испытаний, х'и — ре-i=i

ализация управляющего воздействия на г-м испытании, а К(цо, х\¡,) — значение функции выигрыша игры Г на г-м испытании.

С учетом предположения о достаточно большом числе испытаний N, и учетом центральной предельной теоремы можно заключить, что с вероятностью ра выполняется оценка

K-a^<K{tiQ,xu) = K0<k + a-~=, (10)

n

где <т2 = -дЛу >х1) ~~ К) ~ несмещенная оценка дисперсии, а ра и а

í=I

а 2

связаны соотношением ра = J exp y<¿u.

Согласно определению ситуации е-равновесия пара стратегий (/io,x¡f) является точкой е-равновесия в игре Г, если выполнено неравенство

K(xw, xf) - е < К(ц0, x¡f) < К(fi0, хи) + е, Vz„ 6 G„, Vxw е Gw. (11)

Отсюда и из (10), (9) следует, что пара стратегий (/io,x!¡f) является точкой е - равновесия в игре Г. Следовательно, при е — значение К(цо,хи) удовлетворяет условию е - равновесия (11), a K(fio,x^f) — е является нижней оценкой для приближенного значения показателя качества К(/.¡о,хи).

На третьем этапе величина К{ро, хи) сравнивается с ценой игры К (у 0, х^) ~ е с учетом ситуации £-равновесия. В силу достижимости наилучшего результата Ко, оценка алгоритму управления,записанная в виде (К(ц о,хи) ~e)/K{y¡ о,х„), будет объективной, поскольку позволяет алгоритму управления достичь максимального результата.

Во втором разделе первой главы, который носит название "задача тестирования качества стабилизации линейной управляемой системы с учетом расхода топлива", описан метод реализации методики тестирования для линейных систем вида

Íx = A{t)x + B{t)u + C{t)v, x(t0) е Х0, ,

и(-) е U, {и>

v{-) е V,

где х n-мерный вектор отклонений от программной траектории; w = (x(to),v(-)) - вектор возмущений, состоящий из начальных и постоянно действующих v(-) eV = {и(-) е L2||"í(í)I ¿ vmax,i = 1 ...k,v(t) е Rh} возмущений;

Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. — Кн. Дом "Университет', 1998. 300 с.

u(.) 6 и = {«(•) 6 L210 < w;(t) < umax,i = l...m,u(i) e 7im} - m-мерный вектор управлений (каждая его компонента неотрицательна). Матрицы А, В, С и множества U, V, Хо считаются известными.

Задан функционал качества:

J(u,w) = xT(U)Sz(tk)+ ^/¿¡UiWldj , (13)

где to, tk — фиксированные моменты времени; S — известная постоянная неотрицательно определенная матрица, 7 неотрицательная константа. Рассмотренный функционал, помимо отклонения от программной траектории в фиксированный момент времени, отражает расход энергии в течение процесса управления.

Путем введения в систему (12) новой переменной

m ¡=1

удается свести данную задачу к уже рассмотренной ранее во многих работах ^ задаче тестирования для линейных систем, первый этап которых реализуются путем редукции исходной дифференциальной игры к геометрической игре.

В третьем разделе первой главы, который носит название "Задана тестирования качества стабилизации нелинейной управляемой системы с конечным множеством возмущений" рассматривается реализация методики тестирования для нелинейных управляемых систем с конечным множеством возмущений:

x-f'(x,t,u),

и(-) е U, x{ta) = х] ф 0, (14)

ie{i,..,N}, j е {1, ..,М}.

Здесь x(t) — n-мерный вектор отклонений от программного движения; /'(х, t,u) — дважды непрерывно-дифференцируемые вектор-функции своих координат; и(-) е {^[to.iJI м<)| < Umax} -- s-мерная функция управлений. W = (¿,j} конечное множество возмущений. Показатель качества управления зададан в виде (2). Моменты времени t0 и tk - фиксированы.

При каждом фиксированном возмущении w 6 W системе (14) соответствует фиксированное множество достижимости по управлениям. Метод численного решения первого этапа методики максиминного тестирования для данной задачи основан на построении точечных аппроксимаций множеств достижимости и

численного решения задачи min J(w,u(-)) —> max.

u(-)ee wew

Для определения наличия ситуации равновесия в данном случае необходимо использовать теорему 1.

11 Александров В.В., Блаженнова-Микулич JIM-, l\/muepec-Apuac И.М., Лемак С.С, Максиминное тестирование точности стабилизации и седловые точки в геометрических играх// Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 2005. №1,

Лемак e.G. Максиминный контроль качества стабилизации космических объектов. Дксс. на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Москва. 2004 г.

Вторая глава носит название "Методика тестирования качества ориентации микроспутника и её прилкнение для оценки качества работы алгоритмов ориентации аппарата "Университетский-Татъяна-2". Она посвящена применению методики максиминного тестирования к задаче успокоения начальных угловых скоростей микроспутника с помощью электромагнитных катушек. Далее в этой главе представлено программное обеспечение тестирующего стенда и рассмотрено его применение для сравнения качества работы различных алгоритмов ориентации микроспутника "Университетский-Татьяна-2".

В первом разделе второй главы, который носит название цели и состав системы ориентации дано краткое описание системы ориентации рассматриваемого аппарата, которая состоит из следующих элементов: датчика вертикали, датчиков угловой скорости (Зшт.), солнечного датчика, магнитометра, двигателей-маховиков (Зшт.), токовых катушек (Зшт.) и контроллера системы ориентации. Целью системы ориентации является гашение начальных угловых скоростей, приобретенных аппаратом в результате отделения от носителя, и установка режима ориентации 23С (ориентацию на Землю и Солнце).

Во втором разделе "Расчет множества возможных начальных угловых скоростей" произведено математическое моделирование процесса отделения спутника от носителя, расчитано множество возможных начальных угловых скоростей.

Рассматриваемая система отделения представляет собой пружинную систему, состоящую из трех пружин, срабатывающих одновременно при поступлении команды на отделение.Силовые характеристики пружин, расположение центра . масс относительно точек приложения пружин и масса микроспутника известны с погрешностью, что приводит к неточности знания начальной угловой скорости после процесса отделения микроснутника от носителя. Производится расчет множества начальных угловых скоростей ] — 1 ,..,М}, которое далее

используется при решении задачи тестирования в качестве множества начальных возмущений.

Третий раздел второй главы носит название "Максиминное тестирование качества гашения угловых скоростей микроспутника Земли на первом этапе ориентации". Здесь рассмотрено применение методики максиминного тестирования для задачи успокоения вращений на первом этапе ориентации рассматриваемого космического аппарата.

В первом параграфе "Модель спутника" третьего раздела описана математическая модель движения спутника под воздействием момента, создаваемого взаимодействием электромагнитных катушек с магнитным полем Земли. Сам спутник представляется твердым телом с известным тензором инерции I. Система уравнений движения спутника в векторной форме может быть записана в виде:

ш = 1~\Ма -[их /и])

• к о Н^ (15)

Где и угловая скорость аппарата в связанной системе координат, Л — кватернион, задающий ориентацию аппарата относительно инерциальной системы координат, гЬу

— и>1 г + и>2 з +и>з к . Момент Ма записывается в виде:

Ма = (M„ + ДД) X В body

Где Ми = (MJ\ M2U, M3U), < i= 1,2,3- управляющий магнитный момент, создаваемый электромагнитными катушками, записанный в связанной системе координат, ДВ{ — возмущающий магнитный момент, а Выу ~ вектор напряженности магнитного поля Земли в связанной системе координат.

Во втором параграфе "Модель магнитного ноля Земли" третьего раздела описана модель магнитного поля Земли. Она представлена моделью косого диполя. На вход модель магнитного поля принимает орбитальное положение аппарата в инерциальной системе координат, на выходе — вектор напряженности В, заданный в инерциальной системе.

В третьем параграфе "Орбитальное движение спутника" дано описание орбитального движения аппарата.

В четвертом параграфе"Постановка задачи тестирования" третьего раздела на основе теории, представленной в третьем разделе первой главы, поставлена и

_решеназадачатестированпя качества успокоения начальных угловых скоростей

с помощью бортовой электромагнитной системы.

В качестве множества возмущений, задано конечное множество W = {&Bi,ui(t0)j-, i = 1,.., N; j — 1,.., M}, состоящее из набора различных значений возмущающего магнитного момента и набора начальных угловых скоростей из множества возможных начальных угловых скоростей, расчитанного ранее.

Множеством управлений является функциональное множество U = {Mu{t) = (M№,M2(t),MX(t))\M№ 6 L2[t0,tk], \мт\ < А'тах),

Функционал качества задан в виде:

J(u(-),w) = ul{tk)+uj22(tk) + (16)

что соответствует виду (2).

В пятом параграфе "Решение максиминной задачи первого этапа методики тестирования" третьего раздела второй главы путем численного решения максиминной задачи, определена стратегия тестирования — наихудшие начальные. угловые скорости и возмущающий магнитный момент из заданного множества возмущений.

Для реализации второго этапа создан компьютерный стенд, позволяющий вычислять показатель качества работы алгоритма управления путем интегрирования уравнений движения системы при воздействии наихудших возмущений, найденных на первом этапе.

В четвертом разделе "Описание тестирующего стенда и реализация второго этапа" второй главы приведена структура математического и программного обеспечения тестирующего стенда для проверки качества работы алгоритмов ориентации микроспутника. В состав стенда входит программа, способная численно моделировать весь процесс ориентации микроспутника. Программа представлена модульной структурой, реализация каждого элемента в которой может быть легко заменена на другую. Каждый датчик, исполнительный механизм и алгоритм управления представлен отдельным модулем, что позволяет иметь в распоряжении несколько математических моделей каждого из элементов и легко заменять одну реализацию на другую. Так, например, двигатели-маховики представлены двумя моделями — одна из них является упрощенной

и но учитывает быстропериодических колебаний, связанных с вращением ротора в электромагнитном поле и запаздывания в управлении, а вторая модель — учитывает.

Также дело обстоит и с алгоритмами управления — имеется несколько модулей, представляющих реализацию алгоритмов, встраиваемых прямо в программу моделирования, что позволяет легко распоряжаться скоростью выполнения моделирования. Помимо этих модулей создан еще один, позволяющий осуществлять связь с реальным контроллером системы ориентации и получать сигналы управления непосредственно от него. Это позволяет создать на базе представленной программы полунатурный тестирующий степд.

При использовании этого модуля, программа моделирования в целом должна обязательно работать в реальном времени, поскольку процесс управления происходит на бортовом компьютере, не зависимом от программы моделирования. В этом случае — алгоритмы управления представлены неким 'черным ящиком', о котором известны лишь его входы и выходы.

В целом программа моделирования оптимизирована по скорости выполнения, что позволяет за короткое время произвести множество численных испытаний процесса ориентации, в случае использования программных реализаций алгоритма управления, встраиваемых в программу моделирования.

В пятом разделе "Результаты тестирования различных алгоритмов ориентации" второй главы производится сравнение четырех разных алгоритмов ориентации двумя способами по следующим показателям качества: а) Суммарный расход энергии в момент установления режима 23С (режима штатной ориентации); б)время завершения успокоения; в) время завершения поиска Земли; г) время установления режима 23С.

Первый способ предполагает многократное численное моделирование процесса ориентации микроспутника при различных начальных условиях и возмущающих параметрах. Далее следует реализация этого, метода — расчет приближенных значений математического ожидания и средне-квадратичного отклонения показателей качества, что позволяет судить о качестве работы того или иного алгоритма управления.

Такой подход не применим в случае, если алгоритмы управления представлены не в виде программных модулей, встраиваемых в программу моделирования, а в виде бортовой вычислительной машины, работающей в реальном масштабе времени. В этом случае сразу становится невозможно многократное проведение имитации процесса ориентации, поскольку длительность процесса моделирования в реальном масштабе времени исчисляется часами.

Второй способ предполагает использование стратегии тестирования, найденной в результате решения игровой задачи первого этана методики максиминного тестирования. Стратегия тестирования принимается на вход программы моделирования в качестве возмущений и производится однократное моделирование процесса ориентации при воздействии управления, поступающего от бортовой вычислительной машины. В результате расчитываются показатели качества.

Суммируя вышесказанное, создан программный тестирующий стенд, способный производить сравнение различных алгоритмов ориентации микроспутника. Тестируемые алгоритмы ориентации могут быть представлены как в виде модулей, встраиваемых в программу моделирования, так и в виде бортовой вы-

числительной машины, подключаемой к программе моделирования движения спутника. Создан прототип тестирующего стенда для сравнения, оптимизации и проверки качества работы алгоритмов управления ориентацией микроспут-пика Земли "Унивсрситетский-Татьяна-2".

Третья глава диссертации называется "Математическое обеспечение те-стг1рующсго тренажера по сближению устройства спасения космонавта с орбитальной станцией" В этой главе решена задача тестирования качества визуального сближения космического модуля с орбитальной станцией. Спасательный космический модуль (СКМ) представляет собой человека-оператора, облаченного в скафандр и устройство спасения космонавта (УСК). УСК, в свою очередь, представляет собой прямоугольную раму, по углам которой находятся по 4 газовых микродвигателя. На УСК находится система управления, которая включается при отрыве космонавта от станции, гасит угловые скорости, далее космонавт ориентируется лицом к точке предполагаемого контакта и включает маршевые двигатели для сближения со станцией. На движение модуля влияют 3 типа возмущений — начальные отклонения от номинальной траектории,

-параметрические возмущения (такие как смещение, центра масс, ошибки_в опрег_

делении тензора инерции) и постоянно действующие - ошибки в реализации тяг двигателей (могут достигать 10%).

В данной главе рассмотрены две задачи тестирования качества стабилизации маршевого движения космического модуля при сближении со станцией.

В первом разделе данной главы, который носит название "Смешанные стратегии тестирования качества стабилизации процесса сближения устройства спасения космонавта с орбитальной станцией" рассмотрена задача тестирования качества стабилизации процесса сближения СКМ с орбитальной станцией в плоской постановке с конечным множеством возмущений. Задача решена в условиях отсутствия точки равновесия в геомметрической игре.

В первом параграфе "Уравнения движения устройства спасения космонавта" первого раздела построена математическая модель СКМ и получены линеаризованные уравнения движения СКМ в отклонениях от идеального:

¿1 = х2,

¿2 = -vl(t)+vl(t) + vl(t)-vl(t),

¿3 ~

' ¿4 = -XS{u2{t) + Uz(t) - и^Ь) - ul(t)) - щ - и2 + и3 + щ, (17)

2/5 — Xg,

¿6 - ((Ь + &)(«! - u4) + ¿¡)K(i) - гф) + vr2(t) - v](t))+ k (b - i2)(u3 - ti2) + (a - ¿i)K(t) - ul(t) + vj(t) - гф)))1В.

Здесь xi,xa — отклонения от программной траектории в плоскости движения космического модуля, х$ — отклонение по углу от программного движения, u?(t) — программное управление (заданные функции времени), u;(-) G U = {«(•) 6 Loo[io,ii]|0 < Ui{t) < /, / = const} — стабилизирующие управления, v'j(t) — набор известных функций времени, j = 1,..,4, i = 1,2, Si,¿2 — смещения центра масс рамы СКМ относительно ее геометрического центра, В- момент инерции рамы. Предположим, что начальные условия x(t0) = г0 — фиксированы. Система (17) имеет вид (1), где возмущения для простоты пред-

ставлены в виде и> = г е {1,2}, а критерий качества управления в виде (2)

Во втором параграфе "Реализация первого этапа тестирования" первого раздела представлено решение первого этапа методики тестирования, согласно теории из первого раздела первой главы. Производится редукция исходной динамической игры к геометрической игре путем разложения системы (17) на управляемую (6) и возмущенную (5) подсистемы. Множество достижимости соответствующее системе (6), представляет собой отрезок прямой, а множество достижимости системы (5) - набор из двух точек.

Согласно методике тестирования, решается максиминпая задача (4) и выполняется проверка условий теоремы 1. В случае наличия точки равновесия, в качестве стратегии тестирования берется значение возмущения, соответствующее решению максиминной задачи (4), и первый этап методики тестирования считается завершенным.

При отсутствии точки равновесия, производится синтез смешанной стратегии тестирования — определяются вероятности выбора возмущений.

Во втором разделе третьей главы "Учет расхода топлива при тестировании качества стабилизации процесса сближения УСК с орбитальной станцией" рассмотрена задача в пространственной постановке с функциональным множеством постоянно действующих возмущений, функционал в этой задаче содержит информацию о расходе рабочего тела (13). Решение задачи тестирования основано на теории из второго раздела первой главы.

В первом параграфе данного раздела "Уравнения пространственного сближения УСК с орбитальной станцией" построена математическая модель пространственного движения спасательного космического модуля, выведены линеаризованные уравнения движения в отклонениях От идеального. Они имеют вид:

хх

х-2

¿3

¿4

Хг0

¿7

¿8

¿9

х\о

х\\

„

где 'Уц - переменные во времени ошибки в реализации тяг маршевых двигателей, < ь"!ах, и\ — тяги маршевых двигателей, иу — стабилизирующие управления, 0 < иц(€) < иЩах, М = (М1г М2, М3) момент, создаваемый двигателями, Сть о2, сз, 7ь 72, 7з — постоянные величины, характеризующие неточности в определении тензора инерции.

Функционал качества представлен в форме (13).

=

= Е£=1("п - "а),

= £4,

= ХП Хп=1(и?1 ~ иа) + (1'42 + «32 - Щ2 - и22),

= Хб,

= ~х9 Ег=1(И?1 - Ий) + ("и + - "21 - «31),

= ХВ,

= (м, + 72Мз - 73М2 - <Т1М{)/1и

= £10)

= (м2 + 7зМг - ЪМ3 - <тгм2)/13,

= ^12,

= (М3 4- ~у\М2 — 72М1 — стзМ3)//з,

Во втором параграфе "Первый этап методики максимшшого тестирования" второго раздела третьей главы представлена реализация первого этапа методики тестирования для описанной выше задачи.

Согласно второму разделу первой главы, путем введения в систему новой переменной

4

¿13 = Х'Х^"'1 + ■"«)>

г=1

где х " неотрицательный весовой коэффициент. Функционал качества становится эквивалентен следующему

■Чи{-),у{-)) = х2{и)2 + ®3&)2 +

что дает возможность привести рассматриваемую динамическую игру к геометрической игре в расширенном пространстве на областях достижимости _управляшой.пзозмущенной^истем.__

На Рис. 3 представлено графическое изображение геометрической игры между возмущениями и управлениями в расширенном пространстве. На рисунке отмечена пара точек, соответствующая ситуации равновесия.

Рис.3. Геометрическая игра на областях достижимости.

В третьем разделе "Второй этап тестирования процесса сближения УСК с орбитальной ста}щией. Создание тестирующего тренажера." третьей главы описана программа имитации процесса сближения спасательного космического модуля с орбитальной станцией. Эта программа используется для реализации второго этапа методики тестирования.

Созданная программа имитации способна численно интегрировать уравнения движения космического модуля при воздействии возмущений в реальном масштабе времени. В программе присутствует блок, способный вычислять стратегию тестирования — наихудшие возмущения, действующие на космический модуль.

В программе присутствует блок, способный строить реалистичную графическую картину сближения с помощью современных средств визуализации, таких как виртуальная реальность. Этот блок использует возможности современных компьютерных графических адаптеров для создания реалистичных эффектов затенения поверхностей космической станции, эффекта атмосферы, позволяет отображать высокодетализированную модель космической станции и земной поверхности, что в целом способствует погружению тестируемого оператора в 'виртуальную' космическую среду в окрестности орбитальной станции.

Наряду с этим, в программе присутствует блок соединения с пультом управления устройством спасения космонавта. В перспективе, в рамках описанного тестирующего тренажера, возможно использование центрифуги для создания вестибуло-сенсорного конфликта для имитации состояния невесомости. Это позволит значительно усилить эффект присутствия при проведении тренировок.

На основе описанной программы был создан рабочий прототип визуального тестирующего тренажера по управлению устройством спасения космонавта. В основе тренажера лежит тестирующий модуль, формирующий возмущения, действующие на движение космонавта в ходе сближения с орбитальной станцией.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методика максиминного тестирования расширена на билинейные системы.

2. Получено необходимое и достаточное условие существования оптимальной стратегии тестирования в классе выпуклых функционалов.

3. Решена задача синтеза оптимальной смешанной стратегии тестирования для конечного множества возмущений.

4. Разработано математическое и программное обеспечение компьютерного стенда для тестирования качества ориентации микроспутпика, заключающееся в применении методики максиминного тестирования и метода Монте-Карло.

5. Разработано математическое обеспечение и создан прототип тренажера по сближению Спасательного Космического Модуля с орбитальной станцией. Поставлена и решена задача тестирования с учетом расхода топлива.

Список работ по теме диссертации

1. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С-С. Смешанные стратегии тестирования в задачах проверки качества работы алгоритмов стабилизации. // Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 2009. №3. С. 50-53.

2. Садовничий В.А., Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Максимин-ное тестирование качества управления устройством спасения космонавта.

// Математические вопросы кибернетики, М.: Физматлит, 2007, выпуск 16.

3. Александров В.В., Лебедев A.B., Л е. мак С. С. Компьютерное моделирование движения спасательного космического модуля в окрестности орбитальной станции. // 2004г, г.Алушта. XIII международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", тезисы докладов, с.315.

4. Александров В.В., Лебедем A.B., Лемак С.С. Компьютерный тестирующий тренажер по управлению устройством спасения космонавта. // 2006г, г.Москва, 5-й международный аэрокосмический конгресс, тезисы докладов, с.69.

5. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Компьютерный тестирующий тренажер по управлению устройством спасения космонавта. // 2006г, г.Алушта. XV международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", тезисы докладов, с.252.

6. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Математическое обеспечение визуального тестирующего тренажера. // 2007г, г.Алушта. XVI международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", тезисы докладов, с.200.

7. Лебедев A.B. Дискретно-непрерывные игры в задачах максиминного тестирования. // Системы управления и информационные технологии, 2008, №1(31). - С. 33-36.

8. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Дискретно-непрерывные игры в задачах максиминного тестирования. // 2008г, г.Екатеринбург. 39 всероссийская молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", тезисы докладов. С.216—221.

9. Александров В.В., Лебедев A.B., Лемак С.С. Максиминное тестирование алгоритмов ориентации микроспутника. // 2008г, г.Алушта. XVII международный научно-технический семинар "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации", тезисы докладов, с.182.

С. 23-30.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: globus9393338@vandex.ru тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 04.05.2009 г.

Введение.

Глава 1. Математические постановки задач максиминного тестирования и методы их решения.

1.1 Задача тестирования качества стабилизации билинейной системы.

1.1.1 Постановка задачи тестирования

1.1.2 Решение игровой задачи первого этапа методики тестирования.

1.1.3 Существование точки равновесия в классе смешанных стратегий.

1.1.4 Алгоритмы поиска минимакса.

1.1.5 Синтез смешанной стратегии тестирования.

1.1.6 Реализация второго этапа тестирования в случае смешанных стратегий тестирования.

1.2 Задача тестирования качества стабилизации линейной управляемой системы с учетом расхода топлива.

1.3 Задача тестирования качества стабилизации нелинейной управляемой системы с конечным множеством возмущений. . . 36 1.3.1 Построение точечной аппроксимации множества достижимости нелинейной управляемой системы.

Глава 2. Методика тестирования качества ориентации микроспутника и её применение для оценки качества работы алгоритмов ориентации аппарата "Университетский-Татьяна-2".

2.1 Цели и состав системы ориентации.

2.2 Расчет множества возможных начальных угловых скоростей.

2.3 Максиминное тестирование качества гашения угловых скоростей микроспутника Земли на первом этапе ориентации.

2.3.1 Модель спутника.•

2.3.2 Модель магнитного поля земли.

2.3.3 Орбитальное движение спутника.

2.3.4 Постановка задачи тестирования.

2.4 Решение максиминной задачи первого этапа методики тестирования

2.4.1 Определение стратегии тестирования.

2.5 Описание тестирующего стенда и реализация второго этапа.

2.6 Результаты тестирования различных алгоритмов ориентации

2.6.1 Сравниваемые алгоритмы

2.6.2 Результаты сравнения на основе статистических испытаний

2.6.3 Результаты сравнения на основе стратегии тестирования

Глава 3. Математическое обеспечение тестирующего тренажера по сближению устройства спасения космонавта с орбитальной станцией.

3.1 Смешанные стратегии тестирования качества стабилизации процесса сближения устройства спасения космонавта с орбитальной станцией.

3.1.1 Уравнения движения устройства спасения космонавта.

3.1.2 Реализация первого этана тестирования в случае двух возмущений.

3.1.3 Реализация первого этапа тестирования в случае многих возмущений.

3.2 Учет расхода топлива при тестировании качества стабилизации процесса сближения УСК с орбитальной станцией.

3.2.1 Уравнения пространственного процесса сближения УСК с орбитальной станцией.

3.2.2 Первый этап методики максиминного тестирования.

3.3 Второй этап тестирования процесса сближения УСК с орбитальной станцией. Разработка тестирующего тренажера.

Важным этапом разработки и создания алгоритмов управления сложных динамических объектов является этап тестирования качества их работы. Особенно актуально проведение тестирования для систем с высокой ценой риска, например для систем управления космическими объектами.

Основным показателем качества работы (как для автоматических систем, так и полуавтоматических, где управление производится космонавтом оператором) является точность решения задач стабилизации. Типичным примером решения таких задач является стыковка орбитальных комплексов, сборка в космосе крупногабаритных конструкций, управление автономными космическими модулями.

Для космических систем, в контуре управления которых присутствует человек, точность решения задач управления осложняется наличием различных вестибуло-двигательных нарушений в условиях невесомости. Использование наземных тестирующих стендов является одним из возможных путей решення этой проблемы.

Автоматические системы управления космическими объектами, в которых человек не принимает прямого участия, также обладают высокой ценой риска. Ярким примером может служить система ориентации спутника, от качества работы которой зависит не только работа полезной нагрузки, но и энергетика, и жизнь самого аппарата. Для таких систем применение тестирующих стендов, очевидно, является одним из путей отладки и повышения надежности работы бортового алгоритма управления.

Одним из возможных подходов к задаче тестирования точности стабилизации является получение гарантированных показателей точности работы алгоритма, ориентированных на возможное наихудшее поведение начальных и постоянно действующих па заправляемую систему возмущений, мешающих стабилизации.

Формирование мешающих управлению параметров (стратегии тестирования) производится в рамках предложенной в работах [1] [2] [3] методики тестирования точности стабилизации управляемых систем.

В результате тестирования осуществляется контроль точности процесса 4 стабилизации, позволяющий произвести настройку (оптимизацию) параметров алгоритма управления, либо (в случае неудовлетворительной точности) калибровку параметров системы и диагностику сбоев в работе системы.

Заметим, что тестируемый алгоритм управления не обязательно известен системе тестирования - важны только его входы и выходы. Это позволяет применять методику максиминного тестирования для проверки качества ручного управления космическими объектами.

Методика тестирования включает три этапа. На первом этапе, в результате решения игровой задачи, формируется стратегия тестирования.

На втором этапе проводится непосредственно тестирование, которое может быть реализовано либо в компьютерном варианте, либо с помощью динамического стенда. На этом этапе по заданным наихудшим возмущениям тестируется реальный алгоритм управления.

На третьем этапе, путем обработки результатов тестирования, выставляется оценка в смысле заданного функционала качества.

На Рис. 1. представлена функциональная схема компьютерного варианта системы тестирования.

Алгоритм Тестирования х(1а) J О

Компьютерная модель

Исполнительные устройства Динамический объект Измерительные устройства и Алгоритм стабилизации /V

Рис. 1.

Для реализации данной схемы необходимо иметь в распоряжении модель функционирования управляемого объекта, измерительных и исполнительных устройств. Сам тестируемый алгоритм управления может быть представлен только входом и выходом.

Рис. 2.

В случае стендового тестирования (Рис. 2.) ситуация несколько усложняется, поскольку кроме алгоритмов тестирования требуется разработка алгоритмов динамической имитации, создающих соответствующие условия для сенсоров системы управления (либо для сенсоров нилота-оиератора). В рассматриваемом варианте варианте также требуется компьютерная модель объекта управления.

Таким образом, на втором этапе, путем компьютерного и (или) имитационного моделирования внешних и внутренних возмущений, создается в некотором смысле наихудшая среда для функционирования автоматической системы управления, либо оператора, в случае ручного управления.

Важнейшим свойством предложенной схемы тестирования является возможность объективного сравнения между собой нескольких, представленных для тестирования алгоритмов стабилизации.

Формирование на первом этапе наихудших возмущений (стратегии тестирования) происходит в рамках решения некоторой игровой задачи. Процесс управления в конфликтной ситуации представляется как антагонистическая игра двух лиц с противоположными интересами. Теория дифференциальных игр получила значительное развитие, начиная с работ Р. Айзекса [12], Л.С.Понтрягина [29] [30], Ю.Б.Гермейера [17] н многих других ученых. Особенно большой вклад в развитие теории внесен Красовским и его учениками 6

20, 21, 22].

Игровая задача тестирования имеет свои особенности, одной из которых является наличие дискриминации одного из игроков. Действительно, система тестирвоания имеет возможность формировать тестирующую стратегию возмущений в виде v(x,u,t), где х - фазовые координаты, и - стабилизирующее управление. Т.е. фактически имеет место дискриминация управления м, поскольку в данном случае возмущение формируется с учетом заведомого знания фазовых координат и управления. Теорема Н.Н.Красовского [22] утверждает наличие седловой точки в такой дифференциальной игре.

В работе [24] было рассмотрено несколько игровых постановок задачи тестирования качества стабилизации в которых использовался линейный подход для системы уравнений в отклонениях. Для случая фиксированного времени и выпуклого по фазовым координатам терминального функционала качества имеет место седловая точки дифференциальной игры для позиционных стратегий управления и = ь(х, f) и тестирующих возмущений v = v(x, t) [21].

К сожалению, численное построение позиционных стратегий тестирующих возмущений зачастую оказывается слишком сложным, чтобы реализовать его в реальном времени в системе тестирования, что привело к постановкам задачи тестирования в классе программных стратегий. В этом случае динамическую игру можно свести к геометрической игре на областях достижимости управляемой и возмущенной систем. Такие задачи рассматривались в работах [24, 2, 3, 28, 31].

В работе [24] была создана классификация стратегий тестирования — разделение на "мягкую", "квазимягкую" и "жесткую" стратегии, был построен алгоритм поиска седловой точки в геометрической игре.

В данной работе получены новые результаты в области построения "мяг-ких"стратегий тестирования в классе билинейных динамических игр с конечным множеством возмущений. В рассмотреных задачах множество допустимых возмущений является конечным, а множество допустимых управлений — бесконечномерное функциональное множество с заданными ограничениями.

Основные новые результаты данной диссертации опубликованы в 7 нескольких работах. Расширение методики максиминного тестирования на класс билинейных систем, синтез оптимальной смешанной стратегии возмущений — в работах [4, 31]. Разработка математического обеспечения компьютерного стенда для тестирования качества ориентации микроспутника Земли — в работах [25, 10, 9]. Разработка математического обеспечения тренажера по сближению устройства спасения космонавта с орбитальной станцией, постановка и решение задачи с учетом расхода топлива — в работах [4, 5, б, 26, 31].

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе дана постановка задачи тестирования точности алгоритма стабилизации билинейной управляемой системы с конечным множеством возмущений, в случае когда множество допустимых управлений (множество стратегий игрока "управление") - бесконечное функциональное множество, а множество стратегий возмущений - конечно. Приведен критерии существования седловой точки динамической игры, с помощью которого в данной постановке достаточно легко проверить возможность получения "мягкой "стратегии тестирования. Опираясь на результаты JI.A. Петросяна в области антагонистических игр с выпуклой функцией выигрыша [27] получен результат, позволяющий синтезировать смешанную "мягкую11 стратегию тестирования даже в случае отсутствия седловой точки в исходной динамической игре. Этот результат также опирается на работы В.Г. Болтянского [14], В.Ф. Демьянова и JI.B. Васильева [18] для решения минимаксной игровой задачи и синтеза оптимальной смешанной стратегии. Также в этой главе рассмотрена задача максиминного тестирования линейной управляемой системы с критерием качества, содержащим информацию о расходе энергии. Ее реализация опирается па результаты, полученные в работах [2] [3] [24]. В дальнейшем этот результат применен к задаче о сближении устройства спасения космонавта с орбитальной станцией, описанной во второй главе.

Получен результат, позволяющий проводить тестирование алгоритмов управления нелинейной управляемой системы с конечным множеством возмущений. Этот результат основан на алгоритме построения точечной аппроксимации множества достижимости нелинейной системы, который, в свою очередь, опирается на результаты полученные в [34]. 8

Во второй главе рассмотрена реализация методики тестирования качества процесса ориентации микроспутника Земли после вывода на орбиту. Схожие задачи рассматривались ранее в работах [38, 24], за основу в них была взята линейная стохастическая модель процесса стабилизации малого спутника с помощью пассивных гравитационных и активных магнитных средств при линейной модели измерений со случайными ошибками. В данной же работе рассмотрена реализация методики тестирования для проверки качества процесса гашения начальных угловых скоростей (которые могут быть достаточно велики) активной электромагнитной системой в нелинейной постановке с конечным множеством возмущений. Построена точечная аппроксимация множества возможных начальных угловых скоростей, полученных аппаратом в результате процесса отделения. Это конечное множество взято в качестве множества начальных возмущений, определено конечное множество возмущающих магнитных моментов — параметрических возмущений, действующих на спутник. Поставлена и решена задача первого этапа методики максиминного тестирования. Определена стратегия тестирования. При численном решении задачи были взяты реальные параметры аппарата "Университетский-Татьяна-2".

Во второй главе также рассматривается другой подход к проверке качества процесса ориентации мпкроспутника — метод статистических испытаний Монте-Карло. Данный метод является значительно более вычислительно ёмким и неприменимым в случае использования реальной бортовой вычислительной машины, но он позволяет получить статистические характеристики важных критериев качества для полного процесса ориентации космического аппарата.

В рамках математического обеспечения тестирующего стенда для проверки качества ориентации микроспутника Земли, с использованием методов, описанных в [13, 33], была создана высокопроизводительная программа, позволяющая численно производить статистические испытания полного процесса ориентации и реалпзовывать второй этап методики максиминного тестирования.

Для космического апарата "Университетский-Татьяиа-2" было получено сравнение нескольких алгоритмов ориентации на основе стратегии тестиро9 вания и на основе статистичеких испытаний.

В третьей главе рассмотрен процесс создания тестирующего стенда для задачи визуальной стабилизации процесса сближения устройства спасения космонавта с орбитальной станцией. Эта задача рассмотрена в двух постановках. Первая из них опирается на результаты первой главы — исходная динамическая игра приводится к билинейному дискретно-непрерывному виду с терминальным функционалом и строится "мягкая" стратегия тестирования, как в случае наличия седловой точки динамической игры, так и в случае ее отсутствия. Вторая постановка опирается на результаты полученные ранее [24] [26], но в отличие от них использует при этом терминальный функционал, обладающий информацией о расходе топлива. Также в этой главе описано математическое обеспечение, предназначенное для реализации второго этапа тестирования и созданное в ходе работы. Оно включает в себя программу визуальной имитации процесса сближения космонавта с орбитальной станцией. Программа визуальной иммитации написана с использованием методов, описанных в работе [35] и позволяет строить для тестируемого человека реалистичную виртуальную среду, иммитирующую процесс сближения со станцией.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проделанной работы были получены следующие результаты:

1. Методика максиминного тестирования [24] расширена на билинейные системы.

2. Получено необходимое и достаточное условие существования оптимальной стратегии тестирования в классе выпуклых функционалов (Теорема

•

3. Решена задача синтеза оптимальной смешанной стратегии тестирования для конечного множества возмущений (Теорема 5) с использованием полученного необходимого и достаточного условия минимакса (Теорема 4)

4. Разработано математическое и программное обеспечение компьютерного стенда для тестирования качества ориентации микроспутника Земли, заключающееся в применении методики максиминного тестирования и метода Монте-Карло.

5. Разработано математическое обеспечение и создан прототип тренажера по сближению Спасательного Космического Модуля с орбитальной станцией. Поставлена и решена задача тестирования с учетом расхода топлива.

1. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений // Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 1997. №3. С. 51—54.

2. Александров В.В., Блаженнова-Микулич Л.Ю., Гутиерес-Ариас И.М., Лемак С. С. Максиминное тестирование точности стабилизации и седло-вые точки в геометрических играх // Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 2005. №1.

3. Александров В.В., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова А.В. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем // Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 1999. №5. С. 58—65.

4. Александров В.В., Лебедев А.В., Лемак С.С. Смешанные стратегии тестирования в задачах проверки качества работы алгоритмов стабилизации // Вестник МГУ. сер. Мат. мех. 2009. №3. С. 50—53.

5. Александров В.В., Лебедев А.В., Лемак С.С. Компьютерный тестирующий тренажер по управлению устройством спасения космонавта // 5-й международный аэрокосмический конгресс, тезисы докладов, 2006г, г.Москва, с.69.

6. Александров В.В., Лебедев А.В., Лемак С.С. Дискретно-непрерывные игры в задачах макспминного тестирования //39 всероссийская молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики", тезисы докладов, 2008г, г.Екатеринбург, С.216—221.

7. Александров. В.В. Злочевский С.И. Лемак С. С. Парусников Н.А. Введение в динамику управляемых систем. М.:Изд.-во МГУ, 1993,-180 с.

8. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.; Мир, 1967,—479 с.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2004,-636 с.

10. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.,—448 с.

11. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи Математических Наук, 1975г., Т.ЗО., С. 3—65.

12. Болтянский В. Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов // Докл. АН СССР. 1956г. Т. 119. №6. С. 1070-1073.

13. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971 -384 с.

14. Демьянов В.Ф., Васильев Л.В. Недифферепцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981.-384 с.

15. Зарх М.А. Пацко В. С. Построение управления второго игрока в линейной дифференциальной игре на основе свойства отталкивания // Управление с гарантированным результатом. Свердловск. УНЦ АН СССР, 1987,— 120 с.

16. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.:Наука, 1968.

17. Красовский Н.Н. Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.:Наука, 1974,-456 с.

18. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.:Наука, 1985.

19. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. М.-Наука, 1985,-248 с.

20. Лемак С. С. Максиминный контроль качества стабилизации космических объектов // Дисс. на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва. 2004 г.

21. Лебедев А.В. Дискретно-непрерывные игры в задачах максиминного тестирования // Системы управления и информационные технологии, 2008, №1(31). С. 33-36.

22. Лебедев А.В. Математическое обеспечение тестирующего тренажера по управлению сближением космонавта с орбитальной станцией // Дипломная работа студента 5го курса. Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова. 2005г.

23. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. Кн. Дом "Университет", 1998. — 300 о.

24. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск.: Наука, 1983.—142 с.

25. Понтрягин Л. С. О дифференциальных играх, I. ДАН СССР, 1967, Т.174, №6.

26. Понтрягин Л. С. О дифференциальных играх, II. ДАН СССР, 1967, Т.175, №4.

27. Садовничий В.А., Александров В.В., Лебедев А.В., Лемак С.С. Макси-минное тестирование качества управления устройством спасения космонавта // Математические вопросы кибернетики, М.: Физматлит, 2007, выпуск 16. С. 23—30.

28. Садовничий В.А., Александров В.В., Лемак С. С., Поздняков С. С. Тестирование точности управления устройством спасения космонавта // Фундаментальная и прикладная математика. 2005г, Том 11 вып.8, С. 165—174.

29. Саттер Г., Александреску А. Стандарты программирования на С+-К : Пер. с англ. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2005. — 224с.

30. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. М.: Наука, 1988. — 320 с.

31. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. Изд. Диалог-МИФИ 2005. — 464 с

32. Graziani F. Space Systems, notes of the university lessons at School of Aerospace Engineering of University of Rome La Sapienza, Italy, A.A. 1998/1999.

33. Sadovnichiy V.A., Alexandrov V. V., Lemak S.S., Pozdnyakov S.S. Accuracy testing of control for an astronaut saver // Journal of Mathematical Sciences, Vol. 147., №2, 2007, pp.6662-6667

34. Sadovnichii V.A., Alexandrov V.V., Lemak S.S., D. Vera Mendoza Maximin testing of satellite stabilization // Mathematical modeling of Complex Information Processing Systems. Moscow University Press, 2001, pp.61—70