Максиминный контроль качества стабилизации космических объектов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Постановка задач и функциональная схема максиминного контроля

1.1 Постановка задачи контроля качества качества стабилизации

1.2 Компьютерное тестирование алгоритмов стабилизации

1.3 Контроль качества полуавтоматического управления — стендовое тестирование пилотов.

1.4 Математическая постановка 1-го этапа максиминного тестирования качества стабилизации

Глава 2. Стратегия жесткого тестирования

2.1 Описание формализма (методики) жесткого тестирования

2.2 Нахождение нижней (наилучшей) оценки

2.2.1 Тестирование при отсутствии постоянно-действующих возмущений

2.2.2 Сингулярная задача тестирования.

2.2.3 Тестирование при наличии постояннодействующих возмущений.

2.3 Наилучшая оценка в случае стохастической стабилизации

2.3.1 Вычисление отличного результата в случае линейных обратных связей по управлению.

2.3.2 Вычисление отличного результата для нелинейных управлений.

Глава 3. Стратегия мягкого тестирования

3.1 Описание методики мягкого тестирования.

3.2 Существование седловой точки динамической игры.

3.2.1 Существование седловой точки в случае начальных возмущений.

3.2.2 Седловая точка в линейно-квадратиченой игре(при отсутствии параметричских возмущений)

3.2.3 Седловая точка в задаче робастной стабилизации системы второго порядка.

3.2.4 Существование седловой точки для случая финитного функционала и программных стратегий.

3.3 Решение задачи Булгакова для нахождения стратегии тестирования

3.4 Седловая точка геометрической игры.

3.4.1 Примеры существования седловой точки геометрической игры

3.4.2 Процедура поиска седловой точки динамической игры

3.5 Классификация задач тестирования.

3.5.1 Функциональный подход.

3.5.2 Стохастический подход.

Глава 4. Компьютерное тестирование точности магнитной стабилизации спутника

Введение.

4.1 Уравнения движения.

4.2 Структура алгоритмов магнитной стабилизации, возмущающих воздействий внешней и внутренней среды и описание функциональной схемы тестирования.

4.3 Пример реализации методики тестирования в задаче стабилизации тангажных колебаний спутника.

5.1 Кинематическая схема динамического стенда управляемого спуска й постановка задачи акселерационной имитации . 148

5.2 Математическое описание управляемого спуска с орбиты 154

5.2.1 Уравнения движения центра масс KJTA.154

5.2.2 Имитационная модель атмосферы.158

5.3 Алгоритмы динамической имитации перегрузок на центрифуге с использованием 3-х степеней свободы кардано-вого подвеса.164 3

5.4 Реализация алгоритма динамической имитации спуска на тренажере ТС-18.177

5.5 Стендовое тестирование кандидата в космонавты.182

Заключение .190

Глава 6. Стендовое тестирование качества визуальной стабилизации "Сейфера" 192 Введение.192

6.1 Описание структуры управления сейфером.193

6.1.1 Инструментальные погрешности.194

6.2 Уравнения движения в окрестности МКС.196

6.3 Алгоритмы формирования среды функционирования для системы управления сейфером и сенсоров пилота-оператора 200

6.3.1 Уравнения возмущенного движения модуля на фазе причаливания . 200

6.3.2 Постановка задачи тестирования точности причаливания .205

6.3.3 Постановка задачи динамической имитации для сенсоров космонавта-оператора.207

6.4 Сенсорный конфликт в условиях микрогравитации и его динамическая имитация на стенде ЦФ-18 .208

6.4.1 Глазодвигательные нарушения на орбите.208

6.4.2 Описание вестибуло-сенсорного конфликта невесомости .210

6.4.3 Моделирование сенсорного конфликта невесомости. 212

6.5 Реализация методики тестирования точности причаливания сейфера .217

Заключение .221

Заключение к диссертации.223

Литература.225

Введение

Важным этапом разработки и создания алгоритмов управления сложных динамических объектов является этап тестирования качества его работы. Особенно актуально проведение тестирования для систем с высокой ценой риска, например для систем управления космическим объектами.

Космические системы 21 века характеризуются высоким уровнем сложности решаемых задач, высокой ценой риска, повышенными требованиями к средствам коммуникаций и широким внедрением дистанционного управления как непосредственно операциями в космосе, так и телероботами. Типичным примером таких задач является стыковка орбитальных и межпланетных космических комплексов, сборка в космосе крупногабаритных конструкций. В связи со всем сказанным указанная ситуация требует развития и применения новых подходов к проблемам подготовки космонавтов к профессиональной деятельности в условиях микрогравитации, обеспечения мониторнинга состояния систем управления движением и точности координации космонавта-оператора при слежении за движущимися космическим объектами и ручном управлении их движением. Результаты многочисленных исследований [64, 131, 132, 63, 101, 120] показали, что невесомость существенно изменяет активность гравитационно зависимых систем человека и нарушает их привычное, эволюционно обусловленное взаимодействие. Есть все основания полагать, что имевшие место на орбите неудачные стыковки космических аппаратов, ошибки при сборке конструкций и другие случаи ошибок в ручном управлении были обусловлены нарушениями функции слежения в результате изменения сенсорных функций организма.

Наличие хронических вестибуло-двигательных нарушений в условиях микрогравитации заставляет более ответственно подойти к проблеме визуального управления движением космических модулей. В процессе подготовки космонавта-оператора необходимо осуществлять тренировки и регулярно проводить тестирование качества визуального управления того или иного модуля.

В работах [9],[100] показано, что на динамическом стенде типа центрифуги с кабиной в управляемом кардановом подвесе (ЦФ) при наличии полускфандра возможна имитация условий микрогравитации для барорецепторов системы кровообращения и вестибулярной системы.

Расположение космонавта-оператора в кабине ЦФ в исходном положении полулежа ногами к центру вращения консоли ЦФ и выбор специального алгоритма вращения консоли и поворотов кабины и внутреннего кольца карданова подвеса позволяет создавать механический стимул для саккулюсов и передних полукружных каналов вестибулярной системы оператора, аналогичный стимулу на орбите (в условиях невесомости). Наличие полускафандра позволяет реализовать в кабине разное внешнее давление воздуха на нижнюю и верхнюю части корпуса оператора. Таким образом, реакция наиболее ответственных механорецепто-ров человека — вестибулярной системы и барорецепторов, оказывается аналогичной реакции этих механорецепторов в орбитальном полете, что позволяет говорить о динамической имитации условий орбитального полета или более того, об имитации сенсорного конфликта невесомости, в том числе и вестибуло-сенсорного конфликта.

Как показано в работах [11, 9, 100, 101, 103], в качестве тестирующего и контролирующего стенда может быть использована центрифуга с кабиной в трехстепенном управляемом кардановом подвесе. Для того, чтобы тренажер стал тестирующей системой, необходимо ввести третий уровень управления, осуществляющий управление параметрами, описывающими начальные и постоянно действующие возмущения, оказывающие влияние на динамику управляемого космонавтом модуля.

Важным показателем работы (как для автоматических систем, так и полуавтоматических, где управление производится космонавтом оператором) является точность решения задач стабилизации. Типичным примером решения таких задач является стыковка орбитальных комплексов, сборка в космосе крупногабаритных конструкций, управление автономными космическими модулями. Как уже было сказано выше, для космических систем, в контуре управления которых присутствует оператор, точность решения задач управления осложняется наличием различных вестибуло-двигательных нарушений в условиях невесомости. Использование наземных стендов является одним из возможных путей решения этой проблемы. Наряду с динамическими стендами тестирующие компьютерные стенды значительно упрощают процесс разработки и испытания систем управления космическими объектами. Один из возможных подходов к задаче тестирования точности стабилизации является получение гарантированных показателей точности работы алгоритма, ориентированных на возможное наихудшее поведение начальных и постоянно действующих на управляемую систему возмущений, мешающих стабилизации.

Формирование мешающих управлению параметров производится в рамках предложенной в работах [13, 16, 15, 19, 11] и развитой в данной диссертации методики максиминного тестирования точности стабилизации управляемых систем.

Функциональная схема контроля качества (точности) процесса стабилизации изображена на рис. 1.

Тестирование системы стабилизации

Удовлетворительная точность

Неудовлетворительная точность

Рис. 1.

Как видно из приведенной схемы, в результате тестирования осуществляется контроль точности процесса стабилизации, позволяющий произвести настройку (оптимизацию) параметров алгоритма управления, либо (в случае неудовлетворительной точности) калибровку параметров системы и диагностику сбоев в работе системы.

Заметим, что тестируемый алгоритм управления не обязательно из7 вестей системе тестирования — важны только его входы и выходы. Это позволяет применять предложенную методику тестирования для тестирования ручного управления космическими объектами.

Методика тестирования включает три этапа. Стратегия тестирования формируется на первом этапе в результате решения игровой задачи.

Непосредственно тестирование — которое может быть реализовано либо в компьютерном варианте либо с помощью динамического стенда — реализуется на втором этапе, когда по заданным наихудшим начальным возмущениям и постоянно действующим возмущениям тестируется реальный алгоритм управления.

На третьем этапе путем обработки результатов тестирования выставляется оценка в смысле заданного функционала качества стабилизации ( по десятибальной либо стобальной шкале).

На рис.2 представлена функциональная схема компьютерного варианта системы тестирования.

Рис. 2.

Для реализации указанной схемы необходимо иметь в распоряжении модель функционирования управляемого объекта, измерительных и исполнительных устройств. Как было указано выше, сам алгоритм тестирования может быть представлен только входом и выходом.

В случае стендового тестирования, функциональная схема которого представлена на рис. 3, ситуация несколько усложняется, поскольку 8 тестирования и динамической имитации

Компьютерная модель управляемого объекта X

Визуальная Имитационный имитация динамический стенд и

Оператор

Рис. 3. кроме алгоритмов тестирования требуется разработка алгоритмов динамической имитации, создающих соответствующие условия для сенсоров системы управления ( либо для сенсоров пилота-оператора). В рассматриваемом варианте также требуется компьютерная модель объекта управления, но сенсоры и исполнительные механизмы (полунатурные испытания) могут быть размещены на самом стенде.

Таким образом на втором этапе путем компьютерного и (или) имитационного моделирования внешних и внутренних возмущений создается в некотором смысле наихудшая среда для функционирования автоматической системы управления либо оператора в случае ручного управления.

Важным свойством предложенной схемы тестирования является возможность объективного сравнения между собой нескольких, представленных для тестирования алгоритмов стабилизации.

Формирование на первом этапе наихудших возмущений для тестирования происходит в рамках решения некоторой игровой задачи. Управление в конфликтной ситуации представляется как игра двух лиц с противоположными интересами. Теория дифференциальных игр получила значительной развитие, начиная с фундаментальных работ Р.Айзекса [27], Л.С.Понтрягина [91, 92], Ю.Б. Гермейера [47], Б.Н.Пшеничного [94], и многих других ученых. Особенно большой вклад в развитие теории внесен Н.Н. Красовским и его учениками [68, 66, 67, 114].

Игровая задача тестирования имеет свои особенности, одной из которых является наличие дискриминации одного из игроков. Действительно, тестирующая система имеет возможность формировать стратегию тестирования в виде v(x, и, £), где х — фазовые координаты, и — стабилизирующее управление. Теорема Н.Н.Красовского [68] утверждает наличие седловой точки в такой динамической игре, что в некоторых случаях дает возможность построить стратегии "мягкого11 тестирования, рассмотренные в третьей главе работы.

Следующей особенностью рассмотренных в работе игровых постановок является (во многих случаях) возможность использовать линейный подход для системы уравнений в отклонениях [54, 68, 114]. Для случая фиксированного времени и выпуклого по фазовым координатам терминального функционала качества здесь также доказано существование седловой точки дифференциальной игры [67] и [114] для позиционных стратегий управления и = u(x,t) и тестирования v = v(x, t). Для таких задач в настоящее время развиты численные методы построения позиционных стратегий, основанные на сведении задачи к игре преследования-уклонения, конструировании стабильных мостов и.т.д. [62, 23, 55].

К сожалению, численное построение позиционных стратегий зачастую оказывается слишком сложным, чтобы реализовать его в реальном времени в системе тестирования, что привело к постановкам тестирования в классе программных стратегий. В этом случае динамическую игру можно свести к геометрической игре на множествах достижимости управляемой системы. Такие задачи рассматривались в работах [85], [84], [83], [50].

В данной работе получены некоторые новые результаты для геометрических игр и построен алгоритм поиска седловой точки игры.

Работа состоит из шести глав.

В первой главе дана постановка задачи контроля качества алгоритмов стабилизации, приведена функциональная схема тестирования. Описаны два подхода к задаче тестирования. Первый, предназначенный для задач управления, в которых управляющий сигнал формируется бортовыми алгоритмами и для тестирования могут быть предъявлены входы и выходы этих алгоритмов. В этом случае можно построить компьютерный вариант тестирующей системы. Для решения задачи тестирования необходимо проводить анализ уравнений в отклонениях от программного движения управляемой системы. Первая постановка задачи тестирования была дана в работе [13]. В работе [16] рассмотрен случай, когда отклонения от программной траектории описываются стохастической системой уравнений. Задачи управления стохастическими системами рассматривались многими авторами [80, 119, 51, 135, 36, 116]. В задачах максиминного тестирования стохастических систем широко используется решение задачи синтеза оптимального управления для линейных систем с квадратичным критерием качества, приведенные в [119, 116].

Во второй главе дано описание методики "жесткого,|тестирования, когда стратегия тестирования находится из решения задачи Булгакова в виде синтеза наихудшего возмущения на втором этапе тестирования. На первом этапе решается задача поиска нижней оценки тестирования. Здесь рассмотрены различные задачи вычисления нижней оценки — для начальных возмущений, сингулярной задаче тестирования, а также при наличии аддитивных постоянно действующих возмущений. В этих задачах процедура вычисления нижней оценки содержит внутреннюю экстремальную задачу поиска оптимального управления на расширенном множестве допустимых управлений и для его вычисления используется уравнение Беллмана [30, 17, 119, 60, 134] — в детерминированном либо стохастическом варианте. Внешняя задача — поиска максимума по возмущениям — как правило, находится численно, методом последовательных приближений. Рассмотрены различные модификации метода Крылова-Черноусько для решения поставленной задачи.

В третьей главе представлена задача "мягкого"тестирования. В этом случае предполагается, что существует седловая точка динамической игровой задачи. Рассмотрены различные случаи существования седловой точки динамической игры. Особый интерес с точки зрения тестирования представляют седловые точки в классе программных стратегий с финитным функционалом качества тестирования. В этом случае дина

11 мическая игра может быть сведена к геометрической игре на множествах достижимости возмущаемой и управляемой подсистем [67, 17] и решение задачи тестирования сводится к комбинации двух задач Булгакова специального вида. В главе приведен алгоритм решения задачи Булгакова и доказана его сходимость.

Рассмотрены различные случаи существования седловой точки в геометрических играх, доказаны теоремы об условиях существования и единственности седловой точки. Разработан алгоритм поиска седловой точки геометрической игры.

В четвертой главе рассмотрена задача тестирования алгоритма активной магнитной стабилизации углового положения спутника.

Активные системы применяются, если необходимо обеспечить очень высокую точность ориентации, противодействовать большим возмущающим моментам, совершать сложные развороты спутника. Особенно актуальным использование магнитных систем ориентации, ввиду их надежности, простоты и экономичности, оказалось при разработке малых ИСЗ [108, 78]. Наиболее распространенным методом обеспечения углового движения малых (особенно микроспутников) спутников является активное управление с помощью токовых катушек.

В главе приведены результаты по тестированию стабилизации тан-гажных колебаний мексиканского спутника "Satex"[140].

В пятой главе рассмотрена задача тестирования управляемого спуска космического аппарата типа "Союз".

Тренировки космонавтов по управлению спуском проводятся на динамическом стенде — центрифуге с управляемым кардановым подвесом.

Известно [101], что при спуске вестибуло-глазодвигательные нарушения осложняют процесс управления движением. В работах [9, 126, 100] показано, что на динамическом стенде типа центрифуги с кабиной в управляемом кардановом подвесе при наличии специального полуск-фандра возможна имитация условий микрогравитации для барорецеп-торов системы кровообращения и вестибулярной системы.

Кроме этого, на тренажере управляемого спуска с орбиты реализуется алгоритм имитации перегрузок, возникающих при спуске аппарата.

Задачи динамической имитации рассматривались в работах [4, 9, 104]. В работе предложен алгоритм динамической имитации, использующий на каждом шаге имитации все три поворота колец карданова подвеса центрифуги. Во многих случаях это повышает качество имитации перегрузок, а также делает возможной имитацию движения маневренных летательных аппаратов [104].

Перечисленный набор алгоритмов составляет основу информационного обеспечения второго уровня управления тренажером на базе ЦФ. Для того, чтобы тренажер стал тестирующей системой, необходимо ввести третий уровень управления. Основу третьего уровня управления тренажером составляют алгоритмы тестирования качества управления космическим объектом.

В главе рассмотрены две постановки задачи тестирования спуска космического аппарата.Рассматриваются уравнения движения центра масс пилотируемого космического аппарата на участке траектории спуска, соответствующему движению в плотных слоях атмосферы. Математическая модель движения объекта имеет шестой порядок. Управление аппаратом осуществляется путем изменения угла скоростного крена. Начальные возмущения представляют собой отклонения от номинальных скоростей входа и углов входа аппарата в атмосферу. Параметрические возмущения в системе представляют неточности в задании аэродинамического качества и баллистического коэффициента аппарата. Постоянно действующие возмущения — это возмущения плотности атмосферы и скорости ветра. О возмущениях предполагаются известными только границы их изменения. Полученные в результате решения игровой задачи тестирования наихудшие параметрические и постоянно действующие возмущения используются на втором этапе на стенде при проведении тренировок космонавтов.

В шестой главе рассмотрена задача тестирования точности управления пилотируемого космического модуля, движение которого происходит в окрестности орбитальной станции ( устройство спасения космонавта — "Сейфер").

Рассматриваемая задача характеризуется тем, что вестибулоглазодвигательные хронические нарушения, возникающие в космическом полете, осложняют процесс управления движением. В качестве наземного тренажера по отработке навыков по управлению космическими модулями типа "Сейфер" предлагается использовать динамический стенд на базе центрифуги, позволяющий имитировать сенсорный конфликт. Рассмотрен вариант использования стенда как тестирующей системы, что требует разработки третьего уровня управления стендом. Для формирования математического обеспечения третьего уровня управления стендом, решается задача тестирования точности управления "Сей-фером".

Большую роль в формировании изложенного в работе подхода сыграли обсуждение и консультации с профессором В.В.Александровым, за что автор выражает ему искреннюю благодарность. Также хотелось поблагодарить сотрудников Центра подготовки космонавтов им. А.Ю.Гагарина, представивших возможность реализовать предложенные в работе алгоритмы динамической имитации и тестирования на центрифуге ЦФ-18.

Заключение

В данной главе решена задача тестирования качества управления устройством спасения космонавтов — "Сейфером". Управление "Сейфером "происходит в условиях сенсорного конфликта невесомости. По этой причине тренажер по управлению "Сейфером"предлагается строить на

221 базе динамического стенда — центрифуги ЦФ-18, на котором возможна имитация условий сенсорного конфликта для космонавта. Приведен соответствующий алгоритм имитации невесомости для основных механоре-цепторов испытуемого,созданный совместно и использующийся в Центре подготовки космонавтов и прошедший экспертную оценку многих космонавтов и кандидатов в космонавты. Для тестирования точности управления устройством предлагается использовать разработанную в диссертации методику тестирования. Показано применение указанной методики на конечной фазе движения — фазе причаливания "Сейфера". Задача первого этапа тестирования решается путем редукции к геометрической игре. Полученные в результате решения наихудшие параметры "Сейфера "и его двигателей используются на втором этапе тестирования как входы для программы, моделирующей движение "Сейфера". Это, вкупе с имитацией невесомости, позволит организовать тренировку космонавта в условиях, наиболее трудных для выполнения операции причаливания.

Заключение к диссертации

В представляемой диссертационной работе получены результаты, составляющие основу нового направления в механике управляемых систем — технологии максиминного тестирования качества систем стабилизации.

1. Разработана методика тестирования качества визуальной стабилизации космических объектов, основанная на решении игровой задачи при наличии дискриминации одного из игроков. Первый этап разработанной технологии тестирования заключается в получении нижней (максимин-ной) оценки функционала качества управления и может быть осуществлен путем компьютерного решения соответствующей максиминной игровой задачи.

Второй этап — проведение испытаний на динамическом стенде типа центрифуги с помощью созданных алгоритмов 2-го иЗ-го уровней управления движением стенда-тренажера — используя найденную на первом этапе стратегию тестирования.

Третий этап технологии тестирования— методика сравнения полученных результатов с нижней оценкой с целью получения реальной оценки и выработки рекомендаций по дальнейшим тренировкам.

В работе предложены алгоритмы и разработано математическое обеспечение для тренажера управляемого спуска космического аппарата "Союз-ТМА". Эти алгоритмы составляют основу 2-го уровня управления стендом.

Предложена методика тестирования качества ручного управления спуском космического аппарата "Союз-ТМА", представляющая третий уровень управления стендом ЦФ-18.

Этот результат является составной частью работы, удостоенной Государственной премии Российской Федерации в области науки и техники в 2002 году.

2. Проведена классификация и разработана методика вариантов максиминного тестирования автоматических, полуавтоматических систем управления движением.

3. Решена задача первого этапа "квазижесткого"тестирования точности стабилизации стохастических систем при наличии начальных и постоянно действующих возмущений, известных с точностью до множества.

4. Предложена редукция задачи тестирования точности стабилизации к геометрической игре и разработан и обоснован численный метод поиска седловой точки игры, позволяющий осуществить "мягкое"тестирование.

5. Разработан комплекс цифрового управления в реальном времени для второго уровня системы управления стендом типа центрифуги для динамической имитации нестационарных перегрузок.

6. Разработан алгоритм "мягкого"тестирования в задаче сближения модуля с космической станцией составляющий основу третьего уровня управления динамическим стендом.

7. Разработан алгоритм "квазижесткого11 тестирования системы магнитной стабилизации малых спутников.

1. Александров В. В. О накоплении возмущений в линейных системах по двум координатам// Вестн. Моск. ун-та, Сер. Математика, механика. 1968. т.

2. Александров В. В. К задаче Булгакова о накоплении возмущений // Докл. АН СССР. Сер. Кибернетика и теория регулирования. 1969. Т. 186, №3. С. 526-528.

3. Александров В.В., Беляков В.И., Полоцкий В.Н. Анализ точности линейных управляемых систем. Вестник МГУ, сер. Мат.,мех., №6, 1977.

4. Александров В.В. Об имитации кажущегося ускорения// Докл. АН СССР. 1980. 256, №2.

5. Александров В.В. Абсолютная устойчивость имитационных динамических систем в первом приближении// Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, №2. С. 296-301.

6. Александров В.В.,Злочевский С.И., Лемак С. С., Парусников Н.А. Краткий курс механики управляемых систем. М.: Изд-во Моск. унта, 1991.

7. Александров В.В., Злочевский С.И., Лемак С.С., Парусников Н.А. Введение в динамику управляемых систем. Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1993, 189 с.

8. Сб. статей под ред. Александрова В.В. Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение. Изд-во МГУ, 1993, 144 с.

9. Александров В.В., Садовничий В.А. и др. Математические задачи динамической имитации полета. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995.

10. Александров В.В., Лемак С.С., Бугров Д.И. Имитационная модель системы стабилизации летательного аппарата //Третья международная научно-практическая конференция Пилотируемые полеты в космос. 1997. С.183.

11. Александров В.В., Лемак С. С, Вера Мендоза Д. Тестирование точности магнитной стабилизации малых спутников// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. №5. с 66-73.

12. Александров В. В. и др. Математическое моделирование функции вестибулярного канала. Вестник Моск. Ун-та. Сер мат.мех. 1999, N 5, с. 53-58.

13. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений// Вестн. Моск. ун-та, Сер. Математика, механика. 1997. т. С. 51-54.

14. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой колебательной системы // Вестн. Моск. ун-та, Сер. Математика, механика. 1998. №6. С. 40-43.

15. Александров В.В., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова А.В. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем. Вестник МГУ, сер. Мат.,мех., №5, 1999 С. 58-65.

16. Александров В.В., Лемак С.С., Садовничий В.А. Тестирование точности стабилизации стохастических управляемых систем// Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, №5. С. 673-681.

17. Александров В.В.,Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000, 304с.

18. Александров В.В.,Бугров Д.И., Лемак С.С. и др. Оптимальное управление возмущаемой системой. М.: Изд-во мех-мат. ф-та МГУ, 2000, 80с.

19. Александров В.В., Лемак С. С., Соболевская И.Н. Жесткое тестирование точности линейного алгоритма робастной стабилизации// Сборник Труды семинара "Время, хаос и математические проблемы, 2003", М., Изд-во МГУ, вып.З, 2003 г.

20. Александров В.В., Лемак С.С. Тестирование качества полуавтоматической стабилизации аэрокосмического полета как третий уровень управления динамическим имитатором // Сборник "Теоретическая механика", М., Изд-во Физматлит, 2003, с. 202-210.

21. Александров В. В, Лемак С. С. Тестирование точности коррекции траектории управляемого спуска КЛА на динамическом стенде с мног-шоуровневой системой управления// Авиакосмическое приборостроение, 2003, №6.

22. Александров В.В., Блаженнова-Микулич Л.Ю., Гутиерес-Ариас И.М., Лемак С. С. Максиминное тестирование точности стабилизации и седловые точки в геометрических играх// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004, №4.

23. Алгоритмы и программы решения линейных дифференциальных игр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984, 295с.

24. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

25. Арутюнов А.В. Условия экстремума. М.: Факториал, 1997.

26. Афанасьев Ю.В. Феррозондовые приборы. Д.: Энергоатомиздат, 1986, 188с.

27. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967, 479с.

28. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

29. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле М.: Изд-во МГУ, 1975, 308с.

30. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука, 1969.

31. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973.

32. Болтянский В.Г. Принцип максимума в теории оптимальных процессов// Докл. АН СССР, Т. 119, 1956. №6. С. 1070-1073.

33. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. 2-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1969.

34. Болтянский В.Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического программирования// Изв. АН СССР 1964. Т. 28, т. С. 481-514.

35. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин Л.С. О теории оптимальных процессов// Докл. АН СССР 1956. Т. 110, №1. С. 7-10.

36. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.

37. Булгаков Б.В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954.

38. Булгаков Б. В. О накоплении возмущений в линейных колебательных системах// ДАН СССР, 1946г., т.51. с.339-342. Вестник МГУ сер.мат.мех. 1968., №3.

39. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

40. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

41. Ф.П. Васильев. Методы решения экстремальных задач. М., Наука 1981.

42. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.

43. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.

44. Гамкрелидзе Р.В. О теории оптимальных процессов в линейных системах// Докл. АН СССР. 1957. Т. 116, №1. С. 9-11.

45. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

46. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физмат-гиз, 1961.

47. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971, 384с.

48. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1969.

49. Гноенский Л. С. О накоплении возмущений в линейных системах// ПММ. 1961. Т. 25, вып. 2. С. 15-28.

50. Григоренко Н.Л. Диференциальные игры преследования несколькими объектами. М.: Изд-во МГУ, 1983.

51. Девис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

52. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

53. Демяьянов В.Ф., Рубинов A.M. Приближенные методы ршнния экстремальных задач. Л.: Издв-во ЛГУ, 1968, 180с.

54. Жуковский В.И., Чикрий А. А. Линейно-квадратичные дифференциальные игры. Киев: Наук, думка, 1994.

55. Зарх М.А., Пацко B.C. Построение управления второго игрока в линейной дифференциальной игре на основе свойства отталкивания. // Управление с гарантированным результатом. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987, 120с.

56. Зеликин М.И., Тынянский И. Т. Детерминированные дифференциальный игры// УМН. Т. XX, вып. 4. С. 151-157.

57. Зеликин М.И., Симакова Э.Н. Обзор некоторых результатов по теории дифференциальных игр. Изд-во "Мир", 1971, 472 с.

58. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

59. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

60. Квакернак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

61. Кэмпбелл Б., Коффи Т. Цифровая система отсчета углов// Вопросы ракетной техники №11, 1971, с.63-88 Феррозондовые приборы. Л.: Энергоатомиздат, 1986, 188с.

62. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. М.: Наука, 1985, 248с.

63. Козловская И.Б., Крейдич Ю.В., Репин А.А.,Бармин В.А. Координация движений глаз и головы у человека при осуществлении реакции установки взора. Физиология человека, 7,01: 34-39, 1981.

64. Корнилова Л.Н. Вестибулярная функция и межсенсорное взаимодействие в условиях измененной гравитации. Дисс. на соискание ученой степени доктора медицинских наук, Москва 1998 г.

65. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений (прил.) // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

66. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968

67. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные ишры. М.: Наука, 1974, 456с.

68. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

69. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977, 392с.

70. Крылов И.А., Черноусъко Ф.Л. О методе последовательных приближений для задач оптимального управления// Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2, №6. С. 1132-1138.

71. Лемак С. С. Гарантированное оценивание параметров искусственного спутника Земли, //в кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение. Москва: Изд-во МГУ 1993г. С. 105-111.

72. Лемак С. С. Максиминное тестирование точности стабилизации управляемых систем// Сб. научно-методических статей "Теоретическая механика",М.: Изд-во МГУ, 2004.

73. Лемак С. С. Тестирование точности сближения космического модуля с орбитальной станцией// Фундаментальная и прикладная математика, М.:, 2004,(принято к печати).

74. Лемак С.С. Тестирование точности причаливания устройства спасения космонавта// Авиакосмическое приборостроение, 2004, №5.

75. Летпов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969.

76. Любушин А.А. Модификация и исследование сходимости метода последовательных приближений для задач оптимального управления// Ж.вычислит.мат. и мат. физ., 1979, Т.19, №6.

77. Любушин А.А. О применении модификаций метода последовательных приближений для решения задач оптимального управления// Ж.вычислит.мат. и мат. физ., 1982, Т.22, №1.

78. Остпрем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир, 1973.

79. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф., Сихарулидзе Ю.Г. Алгоритмы управления космическим аппаратоам при входе в атмосферу. М.: Наука, 1975.

80. Парусников Н.А., Морозов В.М., Борзое В.И. Задача коррекции винерциальной навигации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982.

81. Петпросян Л. А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977.

82. Петпросян Л.А.,Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск.: Наука, 1983.

83. Петпросян Л.А.,Зенкевич Н.А„ Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998, 304с.

84. Полоцкий В.Н. О накоплении возмущений в линейных системах по нескольким координатам// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1978. №2. с 107-116.

85. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

86. Понтпрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физмат-гиз, 1961.

87. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1968.

88. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

89. Понтрягин Л.С. О линейных диференциальных играх,I. ДАН СССР, 1967, Т. 174, №6

90. Понтрягин Л.С. О линейных диференциальных играх,И. ДАН СССР, 1967, Т. 175, №

91. Проблемы ориентации искусственных спутников Земли. Под ред. С.Ф. Сингера. М.: Наука, 1966 452с.

92. Пшеничный Б.Н. Структура диффернциальных игр ДАН СССР, Т. 184, №2, 1969.

93. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1979.

94. Розоноер Л.И. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем. Автоматик и телемеханика, 1959, Т.20, №10,11,12.

95. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

96. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

97. Садовничий В.А., Григорьев А.И., Александров В.В.,Воронин Л.И., Козловская И.Б., Корнилова Л.Н., Лемак С.С.и др. О роли вестибулярного аппарата в управлении движением на орбите. Отчет по гранту NASA, NCC9-39, 1999г., 69с.

98. Садовничий В.А., Воронин А.И., Лемак С.С. О возможности математического моделирования вестибуло-сенсорного конфликта в условиях микрогравитаци. Математические вопросы кибернетики, № 5, 2000.

99. Садовничий В. А, Александров В. В., Воронин Л.И., Лемак С.С. Тестирование качества визуальной стабилизации космических объектов на динамическом стенде с трехуровневой системой управления//М., Математические вопросы кибернетики, 10 , 2001, с.35-44.

100. Садовничий В.А, Александров В.В., Лемак С.С., Гаврик И.Г. Динамическая имимтация маневренных летательных аппаратов // Международная конференция "Тренажерные технологии и обуче-ние."Сборник докладов. Жуковский, 2001 С.210-215.

101. Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Б., Лемак С. С., Шкель A.M. Вестибулярная функция в. экстремальных условиях персональной навигации и ее коррекция. Вестн. Моск. ун-та, Сер. Математика, механика. 2003, №4, С. 25-35.

102. Стабилизация искусственных спутников. Сб. статей Под ред. В.А.Сарычева, М.: Мир, 1974г, 224 с.

103. Сарычев В.А. Вопросы ориентации исусственных спутников. Итогинауки и техники, сер. Исследование космического пространства, М.: ВИНИТИ 1978г, Т. 11, 224 с.

104. Сарычев В.А., Овчинников М.Ю. Магнитные системы ориентации ИСЗ. Итоги науки и техники, сер. Исследование космического пространства, М.: ВИНИТИ, 1985г, Т.23, 104 с.

105. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. М.: Наука, 1968.

106. Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Наука, 1982, 352с.

107. Современное состояние теории исследования операций.-М.: Наука, 1979

108. Стпронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах (Информационно-статистические алгоритмы). В кн. Оптимизация и исследование операций. М.: Наука, 1978.

109. Субботин А.И, Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления.М.: Наука,1981, 287с.

110. Султанов И.А. Исследование процессов управления, описываемых уравнениями с неопределенными уравнениями/ / Автоматика и телемеханика. 1980. №10. С. 12-19.

111. Тертычный-Даури В.Ю. Стохастическая механика. М.: Факториал Пресс, 2001, 464с.

112. Федоренко Р. Я. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1987.

113. Формальский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости// ПММ Т. 47, 1983, вып.4

114. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях.М.: Наука, 1978, 352с.

115. Шипов А.А., Кондрачук А.В., Сиренко С.П. Биомеханика вестибулярного аппарата. М.: Слово, 1997.

116. Шор Н.З., Стеценко С. И. Квадратичные экстремальные задачи и недифференцируемая оптимизация. Киев: Наук, думка, 1989.

117. Яглом A.M. Корреляционная теория стационарных случайных функций. JL: Гидрометеоиздат, 1981.

118. Якубович В.А. Сингулярная задача оптимального управления линейной стационарной системой с квадратичным функционалом // Сиб. матем.журн. 1985. Т. 26, №1. С. 189-200.

119. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М.: Мир, 1974.

120. Яновский Б.М. Земной магнетизм.-Л.: ЛГУ,1978, 592с.

121. Alexandrov V., Lemak S., Lokshina G., Rjabov V. The Simulator of controlled movements in the vicinity of orbital space stations.// Proc. European Control Conf. ECC-97, Brussels, July. 1-4, 1997, Vol.2, THA-J5.

122. Alexandrov V., Lemak S.,Rijabov V., Sadovnichij. Dynamic simulation of controlled movements on the orbit// Second international aerospace congress IAC'97, Moscow, Petrovka Press, 1997.

123. Boltyanski V. Martini H. Soltan V. Geometric Methods and Optimization Problems. Dordrecht ;Boston;London: Kluwer Acad. Publ., 1999.

124. D. Vera Mendoza. Problemas mathematicos de estabilization magnetica de un satellite ecuatorial.Mexico,Puebla,1998, 97p.

125. Kalman R.E. Contribution to the theory of optimal control// Bol. Soc. Mat. Mexic. 1960. P. 102-109.

126. Kornilova L., Jakovleva L., Tarasov N., Gorgiladze G. Cosmonaut's vestibular disfunction during microgravitations adaptation and readaptation// Physiologist. 1983. 20, p 535-536.

127. Reschke M., Kornilova L., Harm D., et. ah Neurosensory and sensory-motor function// Space Biology and Medicine, Joint US/Russian Publication. AIAA. 1997. 3, N 1. p 135-193.

128. J.P.Lasalle. The time optimal control problem. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations. Princeton, 1959.

129. Lee E., Marcus L. Foundations of optimal control theory//J.Wil., 1967.

130. Maybeck P.S. Stochastic Models, Estimation and Control. N.Y.: Acad. Press, 1979.

131. M.Ju. Ovchinnikov. Gravity-Gradient Attitude Control System for Small Communication Satellite// Advances in Astronautical Science., V.84,1993, 16p.

132. M.Ju. Ovchinnikov. Attitude Control System for Nanosatellites// ZAAM Z. angew. Math. Mech., Berlin, 2001, 81 Suppl. 4, S.1027-1030.

133. M.Ju. Ovchinnikov. Methods to Control the Attitude Motion of a Satellite by the Earth's Magnetic Field Usage// Proc. of the Euro-Asian Space Week on Cooperation in Space, 23-27 November, 1998, Singapure, (ESA SP-430, February 1999/ pp.475-483.)

134. V.A.Bushenkov, M.Ju. Ovchinnikov, G.V.Smirniv. Attitude Stabilization of a Satellite by Magnetic Coils// Acta Astronautica, 2002, V.50, Issue 12, p.721-728.

135. Sadovnichii V.A., Alexandrov V.V., S.S.Lemak, D.Vera Mendoza. Maximin testing of satellite stabilization// Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems. Moscow Univerity Press, 2001, p.61-70.