Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации

Соболевская, Ирина Николаевна

Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Соболевская, Ирина Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации»

Автореферат диссертации на тему "Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531.01

Соболевская Ирина Николаевна

МАКСИМЙННОЕ ТЕСТИРОВАНИЕ ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМОВ СТАБИЛИЗАЦИИ

01.02.01 -Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2003

Работа выполнена на кафедре прикладной механики и управления механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Научные руководители: локтор физико-математических наук

профессор В. В.,Александров

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник БЛ. Локшин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В М.Морозов

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник В Л.Жермояенко

Ведущая организация; МАТИ имКЭ Циолковского

Кафедра аналитической механики

Защита состоится 24 октября 2003 г. в 16.00 на заседании Специализированного совета Д.501.001.22 по механике при Московском Государственном Университете им. М.ВЛомоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, сектор «А», аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 24 сентября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.А.Прошкин

1. Общая характгрш'гтита работы

Актуальность темы. Задачи анализа и синтеза динамических систем управления являются актуальными, В научной литературе известны самые различные постановки задач управления. Задачи оптимального управления динамическими системами составляют отдельное значительное направление современной математики. В то же время при исследовании каждой динамической управляемой системы, имеющей определенную специфику, возникает необходимость разработки все новых методов анализа и синтеза.

Создание алгоритмов управления для сложных динамических объектов, в том числе в робототехнике, при разработке различных имитационных космических комплексов и так далее, сделало необходимым развивать теорию тестирования (проверки) работы предлагаемых алгоритмов. Существуют различные подходы к решению задач тестирования. Один из таких подходов состоит в том, что задача тестирования ставится, как одна из экстремальных задач - задача максиминного тестирования.

Тестированию подлежит алгоритм стабилизации программного движения объекта. При тестировании методом, предлагаемом в работе, используется класс квадратичных функционалов, и с помощью решения задачи о поиске нижней неулучшаемой опенки реализуются последующие шаги тестирования.

. рос национальная

-3 ' библиотека

з /(■ 4 у

Цели работы. Основная цель работы заключается в разработке методики первого этапа тестирования точности алгоритмов стабилизации динамической системы и реализация предложенного метола на конкретной задаче тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений.

Научная новизна. Задача максиминного тестирования состоит из трех последовательных этапов. Первый этап — построение нижней неулучшаемой оценки и поиск оптимальной контрсгратегии (наихудших возмущений), которая используется как стратегия тестирования. Второй этан - поиск реальной оценки, который осуществляется с использованием контрстратегии, полученной на предыдущем этапе. Третий этап - сравнение полученных результатов и выработка рекомендаций.

Задача первого этапа тестирования ставится как задача на максимин. Исследуется вопрос о существовании седловой точки в соответствующей динамической игре. Наличие седловой точки существенно облегчает решение задачи тестирования. В работе приведены теоретические результаты по реализации первого этапа тестирования - алгоритм и нахождение контрстратегии (стратегии тестирования).

Теоретическое и практическое значение.

1. Предложены алгоритмы решения задачи первого этапа максиминного тестирования точности стабилизации в случае неограниченных ресурсов управления для квадратичного регулярного ( /V > 0) функционала.

2. Показано, что в иррегулярном случае (N = 0) следует применять «жесткое» тестирование.

3. Получены достаточные условия существования седловой точки геометрической игры для «мягкого» тестирования алгоритмов стабилизации в случае ограниченных ресурсов управления.

4. Предлагаемая методика теория применена для решения задачи «мягкого» тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности радиотелескопа при наличии вертикальных ветровых возмущений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры прикладной механики и управления механико-математического факультета МГУ; на научной конференции с международным участием «Мобильные роботы -2001».

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре

работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Список литературы содержит 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 113 страниц.

2 Содержание диссертации

Введение содержит общую характеристику работы. Объясняется актуальность постановки задачи тестирования точности алгоритмов стабилизации динамической системы. Формулируются основные цели работы.

Первая глава содержит постановку задачи тестирования.

Рассматривается система дифференциальных уравнении в отклонениях от программного движения в первом приближении

д- = Л(/}хч-В(ф + Си)г (1.1)

Здесь г - «-мерный вектор отклонений управляемого объекта; и - я;-мерный вектор управляющих воздействий; и{ )е V , где I] -функциональное множество, описывающее имеющиеся ресурсы управления, V - 5 -мерный вектор, описывающий возмущения системы (постоянно действующие); где V - множество,

которое характеризует «ресурсы возмущений»; я(0) е X начальные возмущения.

Выбор стабилизирующего закона (алгоритма) управления не единственен. Поэтому возникает задача оценки различных алгоритмов стабилизации с точки зрения того или иного критерия качества. Кроме того необходима оценка качества работы алгоритма стабилизации при наличии возмущений

Предположим, что система подвержена воздействию возмущений (!>(/) Ф 0 ), которые влияют на качество стабилизации. Примем в качестве критерия точности стабилизации функционал

г ^

J = xт С/, )2>х(*,) + ¡(хтМх + и ' Ми)са (1.2)

'о

где 5", М и N - симметричные неотрицательно определенные матрицы; ^ - конечный момент упрааления.

Под тестированием понимается анализ (оценка) качества управления в смысле минимума функционала У(м,V,*(/0 )). При этом алгоритм реализации управления либо не известен, либо, известна лишь структура закона управления. Известным предполагается только выходной сигнал системы управления. Функциональная схема тестирования представлена на рисунке 1. Процедура тестирования состоит из трех этапов. Первый этап - подготовительный. На этом этапе находится нижняя (наилучшая) оценка JQ точности стабилизации и

контрстратегия тестирования V0 путем решения макевмивной

задачи. При этом на ¿фактике полученное управление к0 мажет и не быть реализовано. Другими словами, требуется найти

Реализация первого этапа в этой главе включает в себя последовательное выполнение следующих шагов.

1). Решается задача нахождения наименьшего значения функционала (1.2) по управлению. Закон управления в этом случае выбирается и может быть определен, например, в виде линейной обратной связи, то есть Тогда задача поиска значения

гшп сводится к нахождению оптимальной в смысле

функционала (1.2) матрицы коэффициентов. В результате решения

задачи о поиске наименьшего значения функционала (1.2) по управлению найдена функция /(И.у^)).

2). Находится максимум функции по

возмущению - переменной Значение V1', обеспечиваю шее

максимум ,/(й0;г(/)), и есть решение задачи реализации первого этапа максиминного тестирования.

Второй этап. На вход системы (1.1) подаются сигналы управления и, вырабатываемые тестируемым алгоритмом стабилизации и стратегия тестирования, найденная на первом этапе. В результате находится следующее значение функционала (1.2) -

»/( и , у) = У - реальная оценка.

Третий этап заключается в сравнении результатов J0 и J . Это сравнение можно осуществить, например, по формулам

к=

либо

А = 4x100%

Результат тестирования - коэффициент к, будем считать оценкой качества стабилизации. На основе этой оценки даются рекомендации.

Если в игре (13) существует седловая точка, то есть, выполнено условие

./0(м°(м), maxmin j{u, v)= mir fiiax J':u, v) =

, то задача реализации второго этапа тестирования сводится к нахождению величины

j(x ,и, v 1= J . Тестирование в этом случае будем называть «мягким».

Если же для игры (1.3) не существует седловой точки, то есть Jü ^ Jy, или из методических соображений необходимо решать максиминную задачу на расширенном пространстве Ug (U с U0 ), то процедура тестирования изменяется, поскольку для определения стратегии тестирования необходимо решать задачу экстремального синтеза, которая заключается в поиске максимального по возмущениям v значения функционала j(u, v),to есть

У0(«°6с,Д v0 (х,г)} = max min j{u, v)< miamax v)< maxJ(u, v)

x ' 4 " mV меС/0 x u&J v=V veP

и, следовательно, Jü < J0a. Тестирование в этом случае будем

называть «жестким».

Результаты, полученные в работе относятся к разработке алгоритмов решения максиминной задачи первого этапа тестирования.

В параграфе 13. первой главы рассмотрена простейшая задача первого этапа тестирования - задача в отсутствие аддитивных возмущений (v(t) s 0 ).

Рассмотрим систему вида (1.1) с функционалом вида (1.2) в случае, когда матрицы А и В постоянны; пара {Л,В} управляема; вектор v(i') = 0 ; а матрицы С = 0 и D se О ; ресурсы управления

неограни чены; /„ = 0. = х . В этом случае система (i Л) имеет вид

.V = .4.V - Bit (2.0)

Начальные условия лежа» в шаре ралп\(ja p. >!.> есть

х' ('o)jc(o) < р' (2.г)

При реализации первого этапа тестирования будем использовать управление, построенное в виде линейной обратной связи и = ~Кх, где К = к{к ) - постоянная матрица такая, что

К е Q, Причем

Q = {К е R"" | Яе(Д ,) < -*0, к0 > о}

где Я I - характеристические корни матрицы А - ВК , параметр kQ

- любое положительное число.

Если для функционала вида (1.2) выполнены условия

Мт = М > О, N 1 = N > 0, то существует седловая точка «х« mxm

min max J ~ max min J

и(К) л(0)Sp xt0)üp и(А')

Таким образом, в этом случае в процессе решения задачи о нахождении нижней оценки получена оптимальная контрстратегия в виде наихудших начальных условий х0°, реализующая седловую точку - она же и будет стратегией тестирования, В этом простейшем случае можно решить сначала внутреннюю задачу поиска минимума функционала J по управлению. Этот минимум

представляет собой квадратичную форму- хгда(*„ кок где L

- симметричная, положительно определенная матрица, являющаяся решением алгебраического уравнения Риккатн.

Квадратичная форма х' (0)Хх(0> принимает максимальное

значение на собственном векторе матрицы Л , соответствующем ее

максимальному собственному числу /¿1пах. При этом максимальное

значение функционала достигается в той точке, в которой этот

собственный вектор, удовлетворяющий условию |*(0)| < р.

пересекает поверхность уровня хг(0)х(0) < рг.

В этом параграфе также рассмотрено решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем иррегулярном (при N - 0) случае, когда известна структура управления и = -Кх . Проводится расширение функционального множества, описывающего ресурсы управления -

и предлагается

методика жесткого тестирования, предполагающая решение задачи Булгакова. Детально рассмотрен пример жесткого тестирования точности минимаксного алгоритма стабилизации. В данном случае нижняя оценка недостижима, и поэтому результат тестирования не является наилучшим.

В параграфе 1.4. представлено описание алгоритма нахождения нижней оценки в регулярном случае «жесткого» тестирования при наличии возмущений.

В этом случае для решения внутренней задачи на нахождение минимума функционала

J = xT(tl)Dx{ti)+ jV Mx + и Nupt по управлению,

■'о

согласно принципу динамического программирования Белл май а. можно найти с помощью решения уравнения Беллмана. для функции Беллмана

f...... ч. >i

S(i.x) = min

.г7 (ti)Dx(tl)+ }(*'Mx + uTNu)di

При этом функция S ищется в виде

£(/, x) = xTL{t]x + lT{t)x + S{t) Исходная игровая задача шах min j(u, v) сводится теперь к

нахождению максимума функционала по возмущениям, то есть: шах S(t0) = шах S{ta)

Решение этой задачи осуществляется с помощью принципа максимума.

В первой главе также приведены примеры к каждой из описанных в ней задач.

Вторая глава посвящена вопросу «мягкого» тестирования точности стабилизации.

Рассмотрим систему вила:

AX + BU+CV (2.3)

где X е R" - вектор состояния размерности и. размерность вектора управлений U — т; т<п и \и, < ßi; вектор

возмущений Vif) размерности г х 1; г < п и [v^j < р.; матрицы А(п х п\ В(п х т - постоянны: начальные

условия заданы - ЛГ(о) = Х0 .

Критерий качества управления примем в виде

J'txfM. \zs<n (2.4)

Поиск макси минной контрстратегии состоит в нахождении такой пары {w*(i)> v*(i)j, которая обеспечивает максимальное значение по возмущениям от минимума по управлению для функционала (2.4)

J0 = шах min J

Поиск минимаксной стратегии состоит в нахождении такой пары v*(0}> которая обеспечивает минимальное значение по

управлению от максимума по возмущениям для функционала (2.4)

Ja = min max J

Представим систему (2.3) в виде

(2,)

где вектор Xr е R" и вектор Хи е R", сделав следующую замену:

X - Xv ~ Хи

Начальные условия для системы (2.5)

I Лгв (0) = о ! V О)-- л;

В койых. временных ф} .чкшю-ма.-; 12.4» штмшет'.'й в знде

л (/Д) (2.6)

Функционал (2,6) представляет собой квадрат расстояния между двумя точками в пространстве к". одна из которых принадлежит области достижимости по управлению, а другая -области достижимости по возмущению.

Таким образом, представление (2.5) дает возможность интерпретировать минимаксную задачу для функционала (2.4) как задачу поиска точек из области <5Н (области достижимости по

управлению), которые максимально удалены от области

(области достижимости по возмущению), и последующего выбора отрезка наименьшей длины, соединяющего каждую из пар точек. В свою очередь, задачу поиска макс и мина можно рассматривать, как задачу поиска максимально близких точек из области достижимости по возмущению к области достижимости по управлению. И затем -выбора наибольшего отрезка, соединяющего каждую из пар точек.

В такой интерпретации

Минимаксная стратегия представляет собой следующую процедуру:

!), Поиск юч к и т[.. принадлежащей множества О', . улаленной от гочкп п'. на максимальное расстояние, л.1 я кажлоП гочки я,,. при надлежащей множеству О.., 2Выбор из всем полученных пар точек пары ;л;';, которая имеет наименьшую ллнну соединяющего их отрезка, Максиминная стратегия представляет собой

1). Поиск точки принадлежащей множеству , удаленной от точки т* на минимальное расстояние, для каждой точки т". множества С?,, -

2). Выбор из всех полученных пар точек пары {т" п"),

обеспечивающей наибольшую длину соединяющего их отрезка.

Решением минимаксной или максиминной задачи является значение расстояния между точками т[. и п[ и то" и

пи соответственно.

Если точка т[ совпадает с точкой т", а точка п'и совпадает с пяи, то есть решение минимаксной задачи совпадает с решением максиминной, то в этом случае говорят, что существует седловая точка.

В параграфе 2.1. второй главы рассмотрены несколько случаев существования седловой точки.

Случай 1. Множества достижимости и 'С,

непараллельные и непересекающиеся отрезки на плоскости. Такая

ситуация возможна, когда первая подсистема системы (2.5) не является полностью возмущаемой, а вторая подсистема системы (2,5) не является полностью управляемой.

Пусть т, - срединный перпендикуляр отрезка О у, который

пересекает отрезок либо сам , либо его продолжение в точке Р ; перпендикуляр, опущенный из наиболее удаленного конца отрезка (точки А) либо на отрезок (7Н, либо на его продолжение, пересекает его в точке Р . Под наиболее удаленным концом отрезка (?„ понимается тог, расстояние от которого до отрезка С?и больше. Пусть точка О - точка пересечения отрезков АР и т] (рисунок 2).

Кроме того, так как отрезки и не параллельны, то пусть продолжение отрезка С?„ пересекает отрезок Ои или его

продолжение в точке К, Тогда справедливо следующее утверждение 1. Для существования седдовой точки

I). Достаточно непересечения срединного перпендикуляра отрезка с отрезком Ои.

II). Прн наличии пересечения срединного перпендикуляра отрезка с отрезком . необходимо и достаточно, чтобы точка О лежала внутри треугольника АКР.

Случай 2. Пусть множество достижимости

представляет собой отрезок, а множество (?„ - произвольное

выпуклое и симметричное множество, при этом 2 < з < п.

При этом предполагается, что множества С., и Оь не имеют общих

точек.

С п раведл и во сл е дующее утвержден ве 2. Дл я существования седловой точки достаточно, чтобы плоскость, проходящая через середину отрезка 6', (он же отрезок АВ) и

ортогональная ему не имела общих точек с .

Параграф 2.2. - реферативный. Так как решение исходной максиминной задачи (2.6) предполагает построение границ областей достижимости и (?„, то в этой главе представлены несколько

алгоритмов построения областей достижимости, описанные в литературе.

В параграфе 2.3. описав принцип максимума для дифференциальной программной игры. Приведена редукция к краевой задаче. Предложен алгоритм решения поставленной краевой задачи, основанный на геометрическом свойстве принципа максимума. Геометрическое свойство доказано для случая существования седловой точки.

Третья глава. В ней рассматривается применение, предложенной в главе 2, методики на примере задачи тестирования точности стабилизации элемента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений.

Радиотелескоп представляет собой "полусферу", закреплённую на основании и состоящую из 126-ти правильных

шестиугольников, именуемых далее опорными площадками, к которым прикреплены зеркала—сегменты. Каждое зеркало-сегмент соединяется с опорной площадкой посредством трёх исполнительных механизмов гндрошглиндров, длиной / . где / = 1,2-3 - длина каждого из стержней, прикрепленных к сегменту с помощью шаровых шарниров, а к опорной площадке с помощью цилиндрических шарниров — так, чтобы угол (угол,

образованный /-ым стержнем с плоскостью опорной площадки, где / = 1,2,3) мог изменяться. Точки крепления (Вп где г = 1, % 3) исполнительных механизмов к сегменту являются вершинами правильного треугольника с заданной стороной Ъ. В плоскости основания сегмента точки крепления цилиндрических шарниров также суть вершины правильного треугольника с заданной стороной а. При этом ось каждого цилиндрического шарнира параллельна противоположной стороне этого треугольника.

Ход поршня каждого гидроцилиндра позволяет изменить длину каждого из стержней в небольших пределах. Конструкция телескола предусматривает управление сегментом и стабилизацию его положения с помощью исполнительных механизмов за счет изменения давления жидкости в поршне. Силы давления, действующие на сегмент, со стороны исполнительных механизмов -суть управляющие воздействия.

Рассматривается сегмент. который в невозмущенном состоянии занимает горизонтальное положение.

Вектор средней скорости зетра нап равней

горизонтально, то ес:ь вдоль поверхи ос то Земли и параллельно горизонтальному положению сегмента. В качестве внешних

возмущений будем рассматривать отклонения вектора И'' скорости ветра от средней скорости . С практической точки зрения наибольший интерес представляет влияние вертикальной составляющей скорости ветра. Поэтому будем считать, что

Ш ~ IV* + Дй, где вектор Дй> направлен по вертикали и ограничен по модулю, так что <. 9 < .

Среди возможных движений сегмента рассматривается «плоское» движение, которое является суперпозицией перемещения горизонтального сегмента по вертикали параллельно горизонтальной плоскости опорной площадки за счет одновременного изменения длин поршней всей трех гидроцилиндров на одинаковую величину и поворота сегмента вокруг оси В)В2 на угол а за счет изменения длины и поворота поршня только третьего исполнительного механизма без изменения длин и углов поворота поршней первых двух исполнительных механизмов.

Пусть высота центра масс Н и угол а суть обобщенные координаты. Тогда, сделав следующую замену

л, = ДА

= Да

х2 = ДА

, где ДА и Да - малые отклонения от

х^ ~ Да

положения равновесия, а Дм - отклонения вектора управляющих воздействий, уравнения движения сегмента телескопа в отклонениях от стационарного состояния с учетом ветровых нагрузок записываются в виде

х = Ах + Мы + СДи>

где

х -

KX4J

Д и =

(Ащ

Ли

О а

( О

ап у «и

ООО

О 0 агъ

(3.0)

в=

Ьи =

' 0 0 ^ ( 0Л 1 3 0

Ъп ¿12 с = ¿11 ап =—соз^0 т 1

0 0 > ^ 0

ь72; \С22, °13 "в 2

2зту0

т А -

1 ^{сг-^).

а,, =■

J}y С5Ш у а

3 0 (с-)

-и,<:со£У„ 1 ' - - ■ ■ - —--—

2 1 Ч /

с,, =

Л*

У,,

л/з г /р с = —а, / =—-— 3 соз^о

зтго =7^

т - масса сегмента; Л0 - программное значение высоты центра масс; 3уу ~ момент инерции сегмента относительно оси у , щ -программное управление; р - плотность воздуха на земле; ст и сп - аэродинамические коэффициенты; Я^^ - средняя скорость ветра; 51 - Площадь обдуваемой поверхности; /0 - программное значение длины стержня, соединяющего сегмент с опорной площадкой; у0 -программное значение угла, образованного каждым из стержней с плоскостью опорной площадки.

Тестировался алгоритм стабилизации программного движения при использовании управления в виде линейной обратной связи и — —Кх при наличии ограничений на управление

Решались следующие задачи тестирования.

1. В первой задаче оценивалась работа алгоритмов

стабилизации, только по одной координате при наличии

вертикальных ветровых возмущений на конечном интервале времени t е [0,,.., t, ].

Введен линейный функционал

В этой задаче реализация первого этапа тестирования сводится к нахождению седловой точки и цены игры

max min J, = min max J, = J«

iujfijii ¡iwjsi

(3.2)

Оптимальная контрстратегия Aw° и оптимальное управление Au® определяются соотношениями:

Aw*{t) = dsignc

Аих (?)=-р sign b'

Au%(t) = -fisignbl где c*(/)-ef ехр(Л^-t))C, b;(t)=e[exp^ b*2(f)« e[ exp(A(tl -/))Ь5, Ъх - первый столбец матрицы В, Ьг - второй столбец матрицы В,

Полученное возмущение Awü и оптимальное управление Auf обеспечивают нижнюю (наилучшую) оценку.

Реальная оценка

) получается подстановкой функции и ~ ~Кх в качестве функции управления в функционал Ji из (3.])j а ,в качестве возмущения - функции полученной из решения (3.2).

Далее сравниваются полученные значения У° и 7. 2. Оценивалась работа алгоритма стабилизации по двум

координатам: Ла = ,\\ и = — л-, также при наличии

вертикальных ветровых возмущений.

Для решения этой задачи - задачи о нахождении наилучшей оценки отклонения по двум координатам сделаем замену переменных в системе (3.0):

Х = хч-хы

Тогда систему (3.0) можно представить в виде системы из восьми уравнений:

= АХГ, + СЫ 1 - (3.3)

[Хя ~АХ„-ВАи

где матрицы А, В и С удовлетворяют (3.0), ]Ди>|<£, а |

Введен функционал вида (2.6) = ~(х32 (V,) + х,2 )). Тогда

задача поиска наилучшей оценки (первый этап) сводится к нахождению

шах шш 3 = -Цг32 (/,) + (г,)) (3.4)

59 аи1 2,

Решение этой задачи (первого этапа тестирования) реализовано последовательным выполнением следующих шагов:

1) Построение в конфигурационном пространстве переменных (л, , х3} областей достижимости по управлению и возмущению С?,, для системы (3.3) в момент Для построения областей достижимости в данной задаче использовался первый из описанных алгоритмов, предложенных в главе 2.

2) Построение осей симметрии области <5„.

3) Поиск точного решения дифференциальной игры посредством решения краевой задачи методом стрельбы с использованием пристрелки по методу Ньютона. В результате было получено две точки принадлежащие границам соответствующих областей достижимости, характеризующих значение (значение есть,

длинна отрезка, соединяющего эти две точки). Причем одна из этих точек была получена на шестом, другая на седьмом шаге численной реализации метода Ньютона.

4) Вычисление значения функционала «70°.

На втором этапе, на вход системы (3.0) подаются сигналы управления и } вырабатываемые тестируемым алгоритмом стабилизации, и АиЛ В результате получается значение J, позволяющий сравнивать его с отличной оценкой JQ,

Третий этап - результат сравнения величин J и .

Полученная опенка «мягкого» тестирования можег выступать в качестве критерия выбора ф и р м ы - и ро и з в од и тел я управляющих механизмов.

Заключение содержит выводы и оценку результатов диссертационной работы.

Автор выражает глубокую признательность научным руководителям профессору В.В. Александрову и к,ф,-м.н. Б.Я. Локшину; к.ф,-м.н. С.С. Лемаку за плодотворные идеи, полезные и ценные замечания.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Afexandrov V.V,, Salazar Н., Guerra L., Sobolevskaya I.N., Trifonova A.V. Stabilization of Relative Positions of Stewart Platforms// Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems - 2001 - pp. 71-83.

2. Александров B.B., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова А.В. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем. // «Вестник Московского университета». Математика, механика. 1999.- С. 7784.

3. Александров В,В„ Лемак С.С., Соболевская И.Н. «жесткое» тестирование линейного алгоритма робастной

стабилизации. // Сборник Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы, 2002», М. «МГУ», 2002 г. - С. 190-198.

4. Alexandrov V.V., Сшегта L,, Sobolevskaya I.N., Trifonova А.V.. Vargas Н. Optimization and computeraid testing of precision// Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems - 2001.- pp. 49-61.

Система тестирования

41«)

«о

Исполнительные Динамический Измерительные

иеххнюмы обьегт устройстве

у(М) Систем» уирмленщ

Рисунок 1.

Р1гс>*я«к 2.

РНБ Русский фонд

2006-4 37649

Подписав« в печать 17-09:2003. Формат 60x90^6.Петш офсеетвд. Тираж 59 экз.

Отпечатано в ООО «Шгоайт йолографяф., '

•ч.

С9 08ПДО

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Соболевская, Ирина Николаевна

Введение.

Глава 1.

Постановка задач максиминного тестирования и алгоритмы жесткого тестирования.

§1.1. Функциональная схема тестирования и общая постановка задач.

§ 1.2. Математическая постановка задач первого этапа тестирования.

§ 1.3. Решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем случае.

1.3.1. Регулярный случай.

1.3 .2. Иррегулярный случай.

§ 1.4. Алгоритм нахождения нижней оценки в случае жесткого тестирования при наличии аддитивных возмущений.

Глава 2.

Мягкое тестирование точности стабилизации.

§ 2. 1. Редукция к геометрической игре и существование седловой точки.

§ 2. 2. Алгоритмы построения областей достижимости.

§2.3. Принцип максимума для дифференциальной программной игры; редукция к краевой задаче и алгоритм ее решения.

Глава 3.

Тестирование качества алгоритма стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений.

§3.1. Постановка задачи тестирования качества стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений.

§ 3.2. Уравнения движения сегмента при наличии ветровых нагрузок.

§ 3.3. Уравнения движения в отклонениях от стационарного состояния.

§3.4. Постановка задачи мягкого тестирования и численное нахождение седловой точки, стратегии тестирования алгоритма стабилизации.

Введение диссертация по механике, на тему "Максиминное тестирование точности алгоритмов стабилизации"

Широко известно, что задачи анализа и синтеза всевозможных динамических систем управления являются чрезвычайно актуальными. В научной литературе известны самые различные постановки задач управления. Задачи оптимального управления динамическими системами составляют отдельную — значительную отрасль современной математики. Число монографий и различных публикаций в этой области огромно (например, [37, 18]). В то же время при исследовании каждой динамической управляемой системы, имеющей определенную специфику, возникает необходимость разработки все новых методов анализа и синтеза.

Создание всевозможных алгоритмов управления для сложных динамических объектов, в том числе в робототехнике, при разработке различных имитационных космических комплексов сделало необходимым развивать строгую теорию тестирования (проверки) работы предлагаемых алгоритмов. При этом, как правило, сам алгоритм стабилизации движения динамического объекта является «know how» разработчика и закрыт для тестировщика. Для тестировщика известным параметром является выходной сигнал управления, вырабатываемый тестируемым алгоритмом.

Трудность подходов к постановке и решению задач тестирования состоит в том, что необходимо рассматривать постановки различных экстремальных задач, в том числе, задачи дифференциальных игр [10, 26]. 4 3

Недавно возникла и успешно разрабатывается новая задача тестирования - максиминное тестирование качества алгоритмов стабилизации. «Неестественность» такой постановки обусловлена тем, что тестировщика не интересует, какой именно стабилизацией занимается разработчик. Алгоритм разработчика может стабилизировать программное движение объекта, может реализовывать оптимальную стабилизацию (в смысле минимизации некоторого функционала), может, например, обеспечивать колебательное движение системы и т.д. Принципиально то, что при тестировании методом, предлагаемом в работе, тестировщик 4 пользуется вполне конкретным функционалом и с помощью решения задачи о поиске нижней неулучшаемой оценки реализует последующие шаги тестирования. Безусловно, в такой постановке, результат тестирования алгоритма разработчика может дать результат близкий к нулю.

Эта задача заключается в необходимости выполнения трех последовательных шагов [2]. Первый шаг заключается в построении нижней неулучшаемой оценки (далее - отличной оценки), поиске оптимальной контрстратегии и стратегии тестирования (наихудших возмущений). Второй шаг - поиск реальной оценки, который к осуществляется посредством использования в качестве входного параметра системы, контрстратегии (возмущающего параметра), полученного на предыдущем шаге; и третий шаг - сравнение полученных результатов. Управление, построенное на первом шаге, на практике, возможно, не может быть реализовано. Но, поскольку, задача построения наилучшего реализуемого управления не стоит, то получившийся результат по управлению ни на втором, ни на третьем этапе не используется, и не влияет на оценку качества . работы тестируемого алгоритма стабилизации.

В работе используются понятия ««жесткого»» и ««мягкого»» тестирования, введенного в [6]. Задача первого этапа тестирования ставится, как некоторая игровая задача [2]. Исследуется вопрос о существовании седловой точки в поставленной дифференциальной игре. В работе также приведены теоретические результаты по реализации первого этапа тестирования — нахождение контрстратегии тестирования и стратегии тестирования, в некоторых частных случаях.

В главе 1 представлены:

1). Общая постановка задач «жесткого» и «мягкого» тестирования;

2). Решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем регулярном случае;

3). Решение задачи первого этапа максиминного тестирования в простейшем иррегулярном случае;

4). Алгоритм нахождения нижней оценки в случае «жесткого» тестирования;

5). Примеры к каждой из описанных в главе 1 задач.

Глава 2 посвящена вопросу «мягкого» тестирования точности стабилизации. Здесь описана редукция к геометрической игре. Рассмотрен вопрос о существовании седловой точки. Представлены алгоритмы построения областей достижимости. Приведен принцип максимума для дифференциальной программной игры. Осуществлена редукция к краевой задаче и предложен алгоритм ее решения. Приведен также модельный пример использования предложенного алгоритма.

Далее, в главе 3 рассматривается применение, предложенной в главе 2, методики на примере задачи тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности телескопа при наличии ветровых возмущений. Здесь выписаны уравнения движения сегмента телескопа с учетом ветровых нагрузок; проведен первый этап тестирования, то есть получены отличная оценка, оптимальная контрстратегия (наихудшие ветровые возмущения) и стратегия тестирования (оптимальное для таких возмущений управление). Второй этап реализовывался на основе алгоритма, предложенного в [30]. И, наконец, приведено сравнение полученных результатов. Данные, полученные в процессе решения такой задачи тестирования, оказались правдоподобными и схожими с результатами, полученными при управлении аналогичным оптическим телескопом, функционирующем на Гавайских островах.

В работе получены следующие основные результаты:

2. Показано, что в иррегулярном случае (N = 0) следует применять «жесткое» тестирование.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая механика"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

2. Показано, что в иррегулярном случае (n = 0) следует применять «жесткое» тестирование.

Предлагаемая методика теория применена для решения задачи «мягкого» тестирования точности стабилизации сегмента активной поверхности радиотелескопа при наличии вертикальных ветровых возмущений.

РИСУНКИ

Рисунок 1.1.0.

Рисунок 2.2.0.

Ь г I ^ч/ л 7

ЬУ м

Рисунок 2.2.1.

Рисунок 2.2.2.

Рисунок 2.2.3.

Рисунок 2.2.4. й fb'- A F Рисунок 2.2.6. I

Nо

Рисунок 2.2.5.

Рисунок 3.2.0.

Рисунок 3.2.1.

•0.5 r • • > * > « 1 "i* j-* -1.5 -1 -0.5 \ ■-0.5 1 1 1 1 1 11 » 1 г < 1 / 1.5

Рисунок 3.4.1. Области достижимости Gu и Gv

-20

Рисунок 3.4.2. Поведение управления их и иъ на 10 секундах

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Соболевская, Ирина Николаевна, Москва

1. Александров В.В. и др., Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. //М.: Изд—во МГУ, 1995- 160 с.

2. Александров В.В. Тестирование качества стабилизации нестационарных движений. // «Вестник Московского университета». Математика, механика. Вып. 3, 1997 77-84 с.

3. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. //М.: Изд-во МГУ, 2000 .- 304 с.

4. Александров В.В., Герра Л., Каленова И.Н., Трифонова А.В. Минимаксная стабилизация и максиминное тестирование линейных управляемых систем. // «Вестник Московского университета». Математика, механика. 1999 77-84 с.

5. Александров В.В., Злочевский С.И., Лемак С.С., Парусников Н.А. Введение в динамику управляемых систем. //М.: Изд. МГУ, 1993 — 196 с.

6. Александров В.В., Лемак С.С., Соболевская И.Н. Жесткое тестирование линейного алгоритма робастной стабилизации. // Сборник Труды семинара «Время, хаос и математические проблемы, 2002», М. «МГУ», 2002 г., с. 190-198

7. Александров В. В., Соболевская И.Н. Максиминное тестирование точности стабилизации трехколесного мобильного робота. // Сборник «Мобильные роботы и мехатронные системы». Изд-во МГУ, 2001.-5-13 с.

8. Атанс М, Фалб П. Оптимальное управление. //М.: «Машиностроение», 1968. 764 с.

9. Барбашин Б.А. Функции Ляпунова. //М.: «Наука», 1970 г. 240 с.

10. Гермеер Ю.Б., Игры с непротивоположными интересами. //М.: «Наука», 1972.-576 с.

11. Демьянов В.Ф., Малоземов В.М. Введение в минимакс. // М.: «Наука», 1972.-346 с.

12. Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение. Под ред. В.В. Александрова. //М.: Изд-во МГУ, 1993 -144 с.

13. Зеликин М.И., Тынянский Н.Т. Детерминированные дифференциальные игры. // Успехи математических наук. 1965, т. 20. 54-66 сс.

14. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. //М.: «Мир», 1971. 400 е.,

15. Карманов В.Г. Математическое программирование. //М.: «Наука», 1975 г. 272 с.

16. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. //М.: «Мир», 1977.-650 с.

17. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по малому параметру. //М.: «Наука», 1985.-248 с.

18. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. //М. «Наука», 1985.-520 с.

19. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. //М.: «Наука», ., 1974 .— 456 с.

20. Кузьмина Р.П. Метод малого параметра в регулярно возмущенной задаче Коши. //М.: Изд-во МГУ. 1991 88 с.

21. Ли Э.Б., Л. Маркус. Основы теории оптимального управления. //М.: «Наука», 1972 .-576 с.

22. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении точки и тела в сопротивляющейся среде. //М: Изд-во МГУ, 1992 .-76 с.

23. Локшин Б.Я., Привалов В.А., Самсонов В.А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде //М: Изд—во МГУ, 1986 — 86 с.

24. Маркеев А.П. Теоретическая механика. //Ижевск.: «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 592 с.

25. Партхасарати Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. //М. : «Мир», 1974. -298 с.

26. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. //М.: «Высшая школа», 1998 -304 с.

27. Полоцкий В.Н. О накоплении возмущений в линейных системах по нескольким координатам. //«Вестник Московского университета», № 2, 1978 .- с. 106-117.

28. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. //М.: «Наука», 1971. 395 с.

29. Табачников В.Г. Стационарные характеристики крыльев на малых скоростях во всех диапазонах углов атаки. //М., труды ЦАГИ, вып. 1621, 1974 .

30. Трифонова А.В. Анализ устойчивости нестационарных управляемых систем в первом приближении. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ—мат. наук, мех-мат МГУ, каф. Прикл.мех. и управления. 2001.

31. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. //М.: «Физматлит», 2002.-304 с.

32. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. //М.: «Наука», 1966 624 с.

33. Формальский A.M. Об угловых точках границ областей достижимости. //ПММ 1983, с. 121-132

34. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. //М.: «Наука», 1974 —368с.

35. Якубович В.А. Сингулярная задача оптимального управления линейной стационарной системой с квадратичным функционалом. //«Сибирский математический журнал», XXVI, 1, 1985 —с. 189-200.

36. Alexandrov V.V., Guerra L., Sobolevskaya I.N., Trifonova A.V., Vargas H. Optimization and computeraid testing of sprecision //Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems.-2001,-pp. 49-61

37. Alexandrov V.V., Salazar H., Guerra L., Sobolevskaya I.N., Trifonova A.V. Stabilization of Relative Positions of Stewart Platforms.

38. Mathematical Modeling of Complex Information Processing Systems.-2001.- pp. 71-83

39. Guerra L. M. Calculo De Parametros Optimos Para La Estabiliza De Un Segmento Del Gran Telescopio Milimetrico. Tesis que para obtener el Titulo De: Maestra En Ciencis De La Computacion, H. //Puebla de Zaragoza, 1996. p. 86.

40. Kalman R.E. Contributions to the Theory of Optimal Control. //Bulletin of the Mexican Mathematic Society, 1960. pp. 102-119.

41. Prandtl L., Betz A., Ergebnisse der aerodinamischen Versuchsastalt zu Gottingen.

42. Schittcowski K. Nonlinear Programming Codes: Informatoin, Test, Performance. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Vol. 183, 1980. Springer-Verlag, p.

43. Schittcowski K. The Nonlinear Programming Method of Wilson, Han and Powell with an Augmented Lagrangian Type Line Search Function. -Numerishe Mathematic, Vol. 38, 1980 , Springer-Verlag. pp. 83-114.

44. Stewart D. A Platform with Six Degrees of Freedom. //Proc., Inst. Mech. Eng.-Vol. 180, pt. 1. 1965-1966. - pp. 371-386.