Функциональные расширения в задачах устойчивости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

1 ; ;

'' '1 Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 531.36; 517.958

Красил ьников Павел Сергеевич

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ В ЗАДАЧАХ УСТОЙЧИВОСТИ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Московского государственного авиационного института (технический университет)

Научный консультант: Доктор физико-математических наук,

профессор А.П. Маркеев

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук,

профессор Ю.Г. Борисович

Доктор физико -математических наук А.В.Карапетян

Доктор физико-математических наук В.В.Сазонов

Ведущее предприятие: Университет Дружбы Народов им. П. Лумумбы

Зашита диссертации состоится " {3 " _ 1996 г.

в 16°° час. на заседании диссертационного Совета пег механике Д 053.05.01 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультетат МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " ^ " ч^лХ^о / СЧ_1996 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01. в МГУ доктор физико-математических наук

Д.В.Трещев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертационная работа посвящена развитию методов построения функций Ляпунова в задачах устойчивости стационарных движений механических систем. Обобщается классическая схема конструирования у-функций из интегралов уравнений движения, приводится обзор решенных задач на основе обобщенного подхода, а также исследуются новые задачи теории критических случаев (алгебраически неразрешимые) и задачи динамики вращений вязко-упругого спутника.

Актуальность темы. Прямой метод Ляпунова является эффективным методом исследования задач устойчивости стационарных движений механических ситем. Однако его эвристичность затрудняет построение вспомогательных функций в прикладных задачах. Поэтому центральной проблемой прямого метода считается (традиционно) проблема построения функций Ляпунова с требуемыми свойствами.

Классическая схема • конструирования этих функций из интегралов уравнений движения, восходящая к работам Э. Рауса и А.М.Ляпуиова позволяет строить у-функции для многих прикладных задач (Н.Г.Четаев, В.В.Румянцев, А.П.Кузьмин, Г.К.Пожарицкий, В.В.Крементуло, В.Г.Демин, А.П.Маркеев, В.Н.Рубановский, АЛ.Куницын, А.В.Карапетян и др.). Классический метод - единственный эффективный метод получения достаточных условий устойчивости.

Обобщение классической схемы и приложение ее в задачах механики представляется актуальным.

Цель работы состоит в описании нового эвристического подхода построения у-функций, в основе которого лежит теория функциональных пространств, обобщающих пространства первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений и исследование с его помощью задач механики.

Методы исследования. В теоретической части диссертации используются геометро-топологические методы теории уравнений с частными производными, методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В прикладной части - методы теории устойчивости, методы модального и асиптотичсского анализа.

Научная новизна. В диссертации впервые излагается теория функциональных пространств, обобщающих пространства первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений: конструируются функциональные расширения всего множества решений уравнения в частных производных первого порядка, устанавливается связь этих пространств с уравнениями Пфаффа и уравнениями в частных производных высоких порядков. Исследуются характерные свойства расширений: свойство функциональной закнугости, вырожденности этих просранств на множестве всех гладких функций.

В диссертации впервые обобщаются идеи классического подхода: стандартная схема построения у-функций из элементов классических пространств переносится на обобщенные множества.

Впервые показано, что большинство решенных задач теории устойчивости, в которых у-функции строились в явном виде, удовлетворяют обобщенной схеме.

Исследуется задача о редукции фазового потока интегрируемых систем к потоку линейных уравнений. Впервые получены трансцендентные уравнения, задающие редуцирующую замену переменных, исследуются условия их разрешимости для систем с одной и полугора степенями свободы.

С помощью обобщенного подхода построены у-функции прямого метода в алгебраически неразрешимых задачах теории критических случаев (резонапсы 1:3, 1:1.) Впервые получены алгебраические критерии устойчивости на некотором подмногообразии положительной меры в пространстве параметров модельной системы.

Получены новые результаты в теории обратимых систем: наличие циклических групп симметрии (сколь угодно большого четного порядка), порождающих изолированные периодические траектории и интегральные многообразия, невозможность асимптотической устойчивости тривиального положения равновесия и т. д. С помощью нелинейной замены переменных, редуцирующей фазовый поток обратимой системы к потоку линейных уравнений, исследована устойчивость равновесия при резонансе 1:1.

Впервые исследуется резонансная задача устойчивости цилиндрической прецессии вязко-упругого спутника в центральном гравитационном поле. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости и неустойчивости вдоль резонансных кривых исследуемой системы.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием выводов с известными выводами предельных и частных случаев.

Теоретическая и практическая ценность. С помощью обобщенного подхода, развиваемого в диссертации, удастся упорядочить большинство исследованных задач устойчивости. Тем самым определяется стратегия поиска этих функций в новых задачах.

Теория обобщенных пространств представляет самостоятельный научный интерес: вносит новый вклад в проблему интегрирования классического уравнения Моижа-Ампера и его обобщенного аналога.

Исследования по алгебраически неразрешимым задачам устойчивости приводят к следующим выводам. Неразрешимость этих задач не имеет (в отличие от неразрешимости алгебраических уравнений) тотального характера: существуют алгебраические куски трансцендентной поверхности раздай. Результаты этих исследований могут быть также использованы в теории нелинейных колебаний.

Обобщенный подход позволяет достаточно просто и эффективно строить нетривиальные функции Ляпунова в алгебраически сложных задачах устойчивости.

Результаты по исследованию редуцирующих преобразований позволяют сводить изучение нелинейных систем к линейным, риуляризовать уравнения

движения и, как следствие, применять численные и аналитические методы анализа в окрестности особых точек.

Результаты по исследованию резонансных вращений спутника н центральном гравитационном поле можно использовать в прикладной небесной механике в виде рекомендаций по эффективному функционированию околопланетных станций.

Основные результаты диссертации могут быть включены в руководства по теории устойчивости, теории нелинейных колебаний и небесной механики.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Всесоюзной школе- семинаре по динамике механических систем (Томск, 1986), Всесоюзной конференции по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике (Москва, МАИ,1987), VII Чехословацкой конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Прага, 1989), Шестой Четаевской конференции по аналитической механике, устойчивости и управление движением (Казань, 1992), на Международном семинаре по устойчивости и колебаниям нелинейных систем управления (Москва, ИПУ РАН, 1992), Международной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям и их приложениям (Москва, 1994), Воронежской зимней математической школе (1995), на конференции 'Современные методы нелинейного анализа" посвященной юбилею М.А.Красносельского (Воронеж, 1995), а также на семинарах в МГУ им. М.ВЛомоносова:

- по аналитической механике и теории устойчивости (руководители -академик В.В.Румянцев, д.ф-м.н. А.В.Карапетян; 1986, 1991-1995)

- по классической динамике (руководители- проф. В.Г.Демин, доцент И.И. Косспко, 1995)

- по динамике относительного движения (руководители - проф. В.В.Белецкий, проф. Ю.Ф.Голубев, д.ф.-м.н. В.В.Сазонов; 1995)

- по качественной теории дифференциальных уравнений (руководители - проф. В.М.Миллиошциков, проф. В.А.Кондратьев; проф. Н.Х.Розов, 1987,1988)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, приложений и списка литературы. Первые три главы составляют теоретическую часть работы, в остальных главах исследуются конкретные задачи. Работа изложена на 254 страницах, содержит 22 рисунка, список литературы из 180 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации. Отмечается, что с помощью классического подхода построения функций Ляпунова из интегралов уравнений движения решено огромное число задач. Классический метод - единственный эффективный метод конструирования v-функ-ций в гамильтоновой механике. Однако для решения ряда задач эта схема плохо приспособлена. Так, функции Ляпунова в задачах теории критических

случаев систем общего положения, в задачах о неустойчивости стационарных движений не являются интегралами уравнений движения (так же как и уравнений сравнения)

Оказывается, что 'Ьграниченность" классического подхода можно пре-одалеть путем расширения всего множества первых интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений. Последнее, как известно, является пространством решений линейного уравнения в частных производных

£ Х^ (х) = 0 , (0.1)

и

где х = (х,.....хД ХДх) - правые части уравнений движения, г(х) - неизвестная функция

Для того, чтобы получить наглядное представление об обобщенных пространствах, во введении рассматривается следующий пример (Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений, М., 1953). Предположим, что задано уравнение первого порядка

г2(1 +Р2 +Я2) = К2. Р = , (0.2)

где 7.(х,у) - искомая функция, определенная локально, Я - постоянная величина. Полным интегралом этого уравнения будет 2-х параметрическое семейство функций вида

V = {к2 - (х - а)2 - (у - Ь)21"2 где а и Ь - существенные постоянные. Согласно Лагранжу, пространство Т[\у] решений 7.(х) этого уравнения представимо в виде

тм = т0мит,мит2м

Здесь ТоМ - семейство полного интеграла (2-х параметрическое множество шаров постоянного радиуса Я), ТЦм] - множество общего интеграла, состоящее из огибающих всевозможных однопараметрических подсемейств

у' = {к2 - (х - а)2 - (у- ч^а))2}1'2 функции ж (семейство каналов постоянного сечения), Тг[\у] - особый интеграл, состоящий из огабающих двух параметрического семейства (две плоскости 2 = ±11). Других решений уравнение (0.2) не имеет.

Рассмотрим функцию

V = {с2 - (х - а)2 — (у - Ь)2|У2 содержащую три существенные постоянные а, Ь ,с. Частный случай V - полный интеграл С этой функцией свяжем пространство Т[У], копирующее множество решений уравнения (0.2):

цу]=т0тит1тит2т

Здесь То[\П - трех параметрическое семейство шаров радиуса с (с может меняться), Т^У] - множество огибающих всевозможных однопараметрических подсемейств

V' = {с2 - (х - ср(с))2 - (у - Ч/(с))2}"2 функции V (семейство 'каналов переменного сечения'); Тг[ V] - множество огибающих всевозможных 2-х параметрических подсемейств

V" = {х2(а,Ь)~(х - а)2 - (у - Ь)2}"2

Очевидно, ТМсЩУ], при этом ТДи,']с V] (имеем согласованность "разбиений").

Таким образом, пространство решений уравнения (0.2) естественным образом включается в некоторое более широкое множество - совокупность всех огибающих всевозможных подсемейств функции V.

Оказывается, что обобщенные пространства являются пространствами решений уравнений в частных производных высоких порядков, наследуют некоторые характерные свойства множества решений уравнения 1-го порядка (свойство функциональной замкнутости при условии линейной зависимости V от существенных постоянных).

Изучение общих свойств пространства Т[У] составляет содержание первых двух глав диссертации.

Глава I посвящена классическому понятию полного интеграла Лагран-жа, в значительной части имеет методологический характер и этом смысле является вводной для первой части дисертации. Центральная теорема этой главы - теорема Лагранжа-Имшенецкого, описывающая строение пространства решений уравнения типа Гамильтона-Якоби: разбиение его на классы эквивалентности, являющиеся стратами на многообразии 2-струй решений.

В первом параграфе обсуждается понятие полного иHTeipa.ua, формулируется задача интегрирования уравнения первого порядка в терминах геометрической теории.

Второй параграф посвящен описанию классического метода вариации постоянных, входящих в полный инты-рал w(x,c)-к;n, с=(сь...,с„-1), как метода, редуцирующего проблему интегрирования уравнения типа Гамильтона-Якоби

Р(Х,р)=0, Х=(Х1,...,Х„), р=(р!.....рп). Р; = (1.1)

к задаче интегрирования уравнения Пфаффа

|>ссЦ(х) = 0

и

В третьем параграфе дается краткое изложение обобщенной схемы метода Лагранжа вариации постоянных.

В четвертом параграфе, на основе подхода Лагранжа, излагается доказательство классической теоремы Лагранжа-Имшенецкого (Лагранж, 1774; В.Г.Имшенецкий, 1916) согласно которой любое решение г(х) уравнения (1.1) принадлежит либо семейству полного интеграла, либо семейству общего интеграла.

Усиление этой теоремы дано и пятом параграфе. Показано, что множество решений уравнения (1.1) распадается на сумму п подпространств

ад = томит.ми-ит^м,

каждое из которых состоит из множества огибающих всевозможных ] - параметрических подсемейств функции \у+с„ (¡- индекс подпространства). Подпространства являются стратами на многообразии 2-струй ростков

решений уравнения (1.1), подсчитана их коразмерность.

В шестом параграфе диссертации, на основе теоремы Лагранжа-Имше-нецкого, описывается строение пространства первых интегралов классической задачи двух тел.

В сельмом лара!рафе исследуется условие вырождения det(z(x)-w(x,c))K=0, zx=wx(x,c), которому удовлетворяют решения z(x) уравнения (1.1) и которое является центральным в теореме Лагранжа-Имшенецкого. Показано, что условие вырождения можно привести' к виду уравнения в частных производных 2-го порядка (уравнения типа Монжа-Ампера), при этом (1.1) будет его промежуточным интегралом.

Глава П является центральной в теории расширений. Основной результат этой главы - описание функциональных пространств, обобщающих пространства решений уравнения типа Гамильтона-Якоби и установление связи этих пространств с уравнениями Пфаффа и уравнениями в частных производных, порядок которых выше единицы.

В первом параграфе приводится формальное описание множества T[V], где V(x,a) + ara, a =(cti,...,am.i) - невырожденная многопараметрическая функция, частным случаем которой является полный интеграл (w + с„) уравнения (1.1) (га>п). Согласно этому описанию, TIVJ - пространство огибающих всевозможных подсемейств функции V + ат. Эго значит, что T[V] иредставимо в виде

T[V] = T0[V1UT1[V]U-UT„_1[V], где Tj[V] - множество огибающих всевозможных у-парамстрических подсемейств функции V + Otm.

Определяется степень S расширения, как разница между числом существенных постоянных сц и количеством переменных.

Во втором параграфе этой главы показано, что любую функцию z(x), принадлежащую пространству T[V], можно получить из семействаУ+ат методом Лагранжа вариации произвольных постоянных aj.

Теорема 2.1 Пусть V(x,a) + ат - невырожденное семейство функций. Функция z(x) принадлежит пространству T[V] тогда и только тогда, когда существует решение (а(х),ат(х)) уравнения

^Vaj(x,a)daj+danl = 0, (2.1)

удовлетворяющее условиям

z(x )=Щх,а(х))+ат(х), (2.2)

, 9(a,.....aj

rank-!-— <п (2.3)

.....*,)

Основной недостаток этой теоремы - отсутствие взаимно однозначного соответствия между T[V] и множеством особых решений (а(х),ат(х)) уравнения (2.1) ( т.е. решений, удовлетворяющих условию вырождения (2.3)).

В третьем параграфе доказывается более общая теорема, свободная от указанного недостатка. Согласно результатам этого параграфа, пространство

Т[У] биективно эквивалентно пространству интегральных многообразий уравнения (2.1), имеющих максимально допустимую размерность и удовлетворяющих некоторому условию вырождения. Таким образом, устанавливается связь абстрактного понятия пространства Т[V] с традиционными понятиями теории пфаффовых уравнений. Доказанная теорема указывает на то, что основным аппаратом изучения множества Т[У] является аппарат дифференциальных форм.

Последующий анализ связан с изучением условия вырождения (2.3). В четвергом параграфе исследуются функциональные расширения степени единица (8=1).Показано,что вырождение (2.3) допускает следующую альтернативную форму записи:

¿е«1(х) - У(х,а))а = 0, и(х) = Ух(х,а) (2.4)

Доказано следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пространство Т[У] степени 5=7 совпадает со всем множеством гладких решений г(х) уравнения типа Монжа-Ампера (2.4)

В случае п=2 уравнение (2.4) имеет вид классического уравнения Монжа-Ампера параболического типа:

К - = аг + 2Ь$ + сг + <р Здесь г=гхх, 1=7.уу, коэффициенты а,Ь,с,<р - функции переменных х,у и

первых производных от г(х,у), при этом

^У(х,у,ф.у,1хЛу)) • С(с1х)2 + 2Ъ<Ыу - а(с1у)2=0, <р + ас - Ь2=0 Уравнение (1.1) - промежуточный интеграл уравнения (2.4). Таким образом, расширения степени единица (8=1) дополняют все множество решений уравнения (1.1) до пространства решений уравнения (2.4). Эти расширения можно трактовать и как процедуру интегрирования уравнения типа Монжа-Ампера.

В пятом параграфе изучаются расширенния степени 8=2. Доказывается теорема, согласно которой Т[У] - пространство решений некоторого уравнения третьего порядка. Случай Б>2 в диссертации подробно не изучен.

Шестой параграф посвящен изучению расширений отрицательных степеней. Приводятся результаты Н.М.Гюнтера, описывающие пространство Т[У] как множество решений некоторой системы уравнений первого порядка.

Один из важных выводов теории расширений - при любых степенях 5 обобщенные пространства Т/У] являются пространствами решений дифференциальных уравнений в частных производных, при этом вид этих уравнений нековариантен относительно изменения параметра

В седьмом параграфе обсуждается корректность определения функциональных расширений. Дело в следующем.Расширения имеют 'Нзрывной" характер: множество решений уравнения (1.1) является вырожденным подмножеством Т[У]. Следует опасаться ситуации, при которой Т[У] будет и метр, положительную меру в пространстве (^({С.К1). В этом случае конструкция расширений теряет смысл. Показано, что при любых степенях 5 расширение Т[У] является вырожденным подмножеством (?(!?,Л1) (корректным расширением) .Приводятся также примеры некорректного определения расширений.

Известно, что множество интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений функционально замкнуто: для любых интегралов /¡(х),...&(х) и любой гладкой функции С(у1,..,ук), выражение С(/1(х),...^(х)) есть интеграл.

В восьмом парафафе показано, что пространство ТГV] нелинейно, поэтому оно функционально незамкнуто. Однако Т[V] наследует свойство частичной функциональной замкнутости, если V - линейная функция существенных постоянных а/, для любого набора функций /¡(х),...^(х), к<п-1 из подпространства То[У] и любой функции С(уь..,ук) выражение С(/1(х),.../ц(х)) является элементом Т[\П.

В девятом параграфе содержится сводка результатов второй главы.

Глава III посвящена описанию процедуры редукции фазового потока интегрируемой нелинейной системы к потоку линейных уравнений.

Показано, что если исходная система автономных нелинейных уравнений

х = Ш х = (х1,...,х„), Г= (3.1)

допускает интегральный базис И/х), 3=1.....п-1, то приведение системы (3.1) к

виду

У = Ц(у)(Ау + В),

где А,В - постоянные матрицы, |Ду) - скалярный множитель, имеет место в том случае, когда искомая замена переменных х -> у удовлетворяет условию редукции'! отображает интефальный базис {^(х)} уравнений (3.1) в интегральный базис {С3|(у)} уравнений у = Ау + В.

Подробно исследованы случаи п = 2, 3: получены алгебраические уравнения относительно искомых преобразований, когда интегральный базис {О/у)} представим в виде суммы квадратичных и линейных форм. В качестве примеров рассмотрены задачи о редукции фазовых потоков модельных га-мильтоновых систем при резонансах 1:3, 1:1, уравнений движения твердого тела в случае Эйлера-Пуансо, уравнения Дюфинга, уравнения движения проводника с током. Отмечается, что исследуемая замена переменных регуля-ризует уравнения движения в окрестности особой точки.

Глава IV посвящена описанию нового эвристического подхода, обобщающего классический метод построения функций Ляпунова из первых интегралов.

Вводится понятие Тривиальных" деформаций линейной интегральной связки Формулируется основное утверждение эвристического подхода: V- функции прямого метода являются элементами пространства Т[У], где V - "тривиальное" расширении интегральной связки W системы сравнения.

Показано, что большинство решенных задач устойчивости удовлетворяют этому требованию.

В первом параграфе четвертой главы дается обзор работ классического случая, отвечающего неположительным степеням расширения (Б < 0).

Отмечается, что начиная с работ Э.Рауса и А.МЛяпунова поиск у-функций, удовлетворяющих первой теореме Ляпунова об устойчивости, огра-

ничивагот пространством первых интегралов (если известен полный набор интегралов, что соответствует случаю S=0), либо его усеченным подмножеством (когда число известных интегралов меньше (п-1), случай S<0). Развитие этого подхода содержится в работах Н.Г.Четаева, В.В.Румянцева, В.Н.Рубановского, СЯ.Степанова. Обычно, вспомогательные функции конструируются в виде интегральной связки Четаева.

С помощью классического подхода решено огромное число задач. В диссертации описаны некоторые из этих задач: устойчивость движений планера (Н.Г.Четаев), устойчивость равновесия популяций межвидового взаимодействия (W. Walter, 1964; P. Verhulst), устойчивость вертикального вращения сферы в газовой среде (В.В. Крементуло,19бЗ), устойчивость движения спутника с полостью, заполненной несжимаемой вязкой жидкостью (В.В.Румянцев, 1965; H.H. Колесников, 1962; В.Н. Рубановский, 1968), устойчивость стационарных движений голономных систем с диссипацией (В.В. Румянцев,1966; П. Хагедорн, 1973; П. Виплслес, 1974), устойчивость равномерных вращений гиростата и твердого тела с одной неподвижной точкой (Н.Г.Четаев, В.В. Румянцев, В.Г. Демин, JI.M. Мархашев, А. Анчев, Н.Г. Апыхтин и др.). Показано, что обзор методов построения функций Ляпунова, предложенный Е.А. Барбашиным (1970 г.), также содержит в своей основе классический подход.

Во втором параграфе анализируются возможности обобщенного подхода. Известно, что функции прямого метода, удовлетворяющие теоремам о неустойчивости, либо асимптотической устойчивости, функции Ляпунова теории критических случаев, не являются (за редким исключением) интегралами уравнений сравнения. Таким образом, классический подход ограничен, как правило, кругом задач на построение достаточных условий устойчивости.

Теория обобщенных пространств расширяет границы применимости классического подхода: обобщенные пространства T[V], имеющие положительную степень S>0 и полученные с помощью Тривиальных" деформаций линейной интегральной связки W системы сравнения, содержат не только v-функции, удовлетворяющие первой теореме Ляпунова об устойчивости, но и функции, удовлетворяющие теоремам об асимптотической устойчивости, неустойчивости, содержат многие функции теории критических случаев, теории задач автоматического регулирования и смежных дисциплин. Это утверждение имеет статистический характер и получено на основе обзора большого числа решенных задач.

Обзор начинается с классических задач динамики твердого тела с неподвижной точкой (случаи Эйлера и Лагранжа). Показано, что с помощью тривиальных деформаций линейной связки уравнений движения удается построить пространство T[V], совпадающее со всем множеством решений некоторого уравнения типа Монжа-Амнера и содержащее не только функции Ляпунова (построенные методом связок), но и функции Четаева.

Совершенно аналогично складывается ситуация в задачах устойчивости вертикального и горизонтального вращения гироскопа в кардановом подвесе (В.В. Румянцев, 1958 г.), устойчивости стационарных движений гироскопа с

учетом сил сухого трения в осях подвеса (В.В. Крементуло, 1959,1960 г.), устойчивости вертикального вращения волчка па горизонтальной плоскости при действии сухого трения скольжения (И.М. Миндлин, 1965 г.). устойчивости стационарных движений тяжелых гиростатов на плоскости и с неподвижной точкой (В.В. Румянцев, 1961 г.), устойчивости гиростатов в потенциальном поле сил (A.M. Табаровский, 1961; В.В. Крементуло, 1962 г.), устойчивости вертикального вращения волчка на абсолютно шероховатой (А.П. Дувакин, 1963) и идеально гладкой плоскости (И.М. Миндлин, 1964 г.), устойчивости перманентных вращений твердого тела в силовом поле Горячева (Н.Г. Апыхтин, 1965 г.) и т.д..

Следующий цикл задач связан с исследованием уравнений движения систем автоматического регулирования, теории критических случаев, смежных дисциплин.

Показано, что обобщенные пространства содержат v-функции в задачах устойчивости равновесных концентраций некоторых химических сред (Rosen R.,1970), в задаче устойчивости невозмущенного движения системы непрямого регулирования ( функцию Лурье, состоящую из квадратичной формы и интеграла от нелинейности), содержат v-функции типа Лурье для некоторых систем автоматического регулирования (И.Г.Малкин, 1952 г.). Анализ классической задачи об устойчивости по первому приближению показывает, что квадратичные формы, являющиеся функциями Ляпунова, принадлежат расширению множества первых интегралов гамильтоновой линейной системы сравнения. Аналогично, весьма сложные, полиномиальные функции Ляпунова в критических случаях одного нулевого корня, двойного нулевого корня с одной и двумя группами решений, в критическом случае пары чисто мнимых корней являются элементами обобщенных пространств. Многие из этих функций принадлежат подпространствам Tj[V] (j£l), состоящим из огибающих j - параметрических подсемейств V.

Отдельно рассмотрены задачи критического случая двух нар чисто мнимых корней. Подробно проанализирован резонанс 1:2. Показано, что все известные v-функции гамильтонового случая (А.П.Маркеев, 1969; Л.Г.Хазии, 1971), общих систем (АЛ.Куницын, 1971) принадлежат расширениям множества первых интегралов модельных гамильтоновых уравнений. Исключение составляет лишь функция Четаева, построенная А.П.Маркеевым. К аналогичным выводам приходим и в случае резонанса 1:3 : функции Ляпунова гамильтоновых систем, обратимого случая (В.Н.Тхай, 1980) и систем общего положения (при п>2; АЛ.Куницын, 1978) как правило принадлежат обобщенным пространствам. Исключение из этого правила - функции Четаева, построенные в работах А.П.Маркеева и В.Н.Тхай. Резонанс 1:1 подробно исследован для гамильтоновых систем А.Г. Сокольским (1974). Все известные функции этой задачи - элементы обобщенных пространств, так же как и функция Четаева, построенная для системы общего вида при условии нетривиальности элементарных делителей (Л.Г.Хазин, 1978).

Отмечается также, что существуют задачи, выпадающие из обобщенной схемы. Выше было показано, что некоторые функции Четаева в теории

критических случаев не принадлежат T[V], Функция Ляпунова, построенная В.Г.Веретенниковым в нсрезонансном случае q пар чисто мнимых корней, функция Четаева в задаче об обратимости теоремы Лагранжа, v - функции в задачах абсолютной устойчивости, когда дифференциальные уравнения содержат несколько нелинсйностей, вспомогательные функции, встречающиеся в теории цепей (R.K. Brayton, J.K, Moser; 1964) - все это примеры v - функций, представляющих собой исключение из этого подхода.

В заключении параграфа приводится описание схемы построения v-функций из элементов обобщенных пространств:

1. v=V(x,a) + am , a = (ai,...,ara.]), где et; - постоянные величины; в этом случае искомые функции - элементы подпространства To[V]

2. v= F(V(x,a(I)),...., V(x,a(" ')), где F - гладкая функция, V(x,am) -независимые функции из подпространства To[V], В частном случае, полагая

v = 2^iV(x,a<i)) + S^jV2(x.«<j>)

j j

имеем обобщенную интегральную связку (V(x,a) - интегралы уравнений высоких порядков).

3. Функции Ляпунова строятся в виде огибающих к - параметрических подсемейств V,(x,ai,...,at), ( 0< к <п- ), где я - к - мерная поверхность в пространстве постоянных aj , отнесенная к координатам ai,...,at , а V, - ограничение V на эту поверхность.

4. Функции Ляпунова строятся с помощью метода Лагранжа вариации постоянных, г.е.в виде v=V(x,(x(x)) + am(x), где (a(x),am(x)) - особые решения уравнения (2.1).

Пункты 2-4 позволяют конструировать V- функции из пространства огибающих.

Основной результат этой главы состоит в следующем. Обобщенные пространства T[V], полученные с помощью очень простых, "тривиальных" деформаций линейной интегральной свяжи системы сравнения, содержат весьма сложные v - функции многих прикладных задач. Более того, v-функции большинства известных задач устойчивости принадлежат этим пространствам.

Глава V посвящена исследованию алгебраически неразрешимых задач устойчивости системы с двумя степенями свободы в критическом случае двух пар чисто мнимых корней при резонансах 1:1, 1:3.

Специфика рассматриваемых задач - в их трансцендентности. Последнее означает, что поверхность раздела S, отделяющая область асимптотической устойчивости в пространстве параметров от области неустойчивости, не алгебраична. Впервые на возможность такой ситуации указал В.И.Арнольд (1970). Дальнейшее развитие этих результатов дано в работах Ю.С.Ильяшенко (1976). Алгебраическая неразрешимость задачи устойчивости при резонансах 1:3, 1:1 была доказана в совместной работе Э.Э.Шноль и Л.Г.Хазина (1978 г.). Все это значит, что здесь уже нельзя получить во всем пространстве параметров необходимые и достаточные условия устойчивости в виде некоторых

алгебраических неравенств, накладываемых на коэффициенты нормализованной системы. Однако можно рассматривать задачу о построении алгебраических кусков поверхности раздела, определенных на подмногообразиях положительной меры в пространстве параметров.

В первом параграфе пятой главы исследуется задача устойчивости при резонансе 1:3. Комплексная нормальная форма уравнений третьего приближения записывается в полярных координатах q , 9j. Исследуются некоторые общие свойства этих уравнений: наличие интегральных многообразий и многообразий, не содержащих отрицательных и положительных полутраекторий.

Ставится задача о построении алгебраических кусков трансцендентной поверхности раздела с помощью аппарата v - функций. Сложность исследований усугубляется наличием дополнительного отрицательного результата: поставленная задача неразрешима на множестве простейших представлений v-функций в виде форм, квадратичных по фазовым переменным z¡, (Л.ПХазин, 1978). Функции Ляпунова имеют нетривиальный вид, что приводит к необходимости применения обобщенного подхода, развиваемого в диссертации.

В соответствии с обобщенной схемой, выбираются интегрируемые уравнения сравнения гамильтонового вида, являющиеся частным случаем исследуемых уравнений. Конструируется линейная интегральная связка системы сранения и подвергается Тривиальным "деформациям (деформации 1-го и 2-го родов). Обобщенная интегральная связка имеет вид V + а«, где V = а,г,2 + 2а2г,г2 +а3гг2 + yjr¡T¡ (а4 cosö +а5 sin 6) Здесь otj - произвольные постоянные, 6 - резонансный угол. Функция (V + ote) генерирует пространство T[V], расширяющее множество первых интегралов гамильтоновой системы сравнения. Степень S расширения равна 3.

На первом этапе исследования v - функции задачи искались из под-просранства To[V]. Было показано, что постоянные otj можно подобрать таким образом, что производная функции V не зависит от резонансного угла 0:

V = В3г,3 + В2г,2г3 + В,г,г2 + В0г23. (5.1)

Коэффициенты Bj - линейные функции параметров задачи. Получены простые условия знакоопределенности выражения (5.1). Показано, что в области V>0 задача устойчивости модельных уравнений третьего приближения алгебраически разрешима: получены алгебраические критерии устойчивости в явном виде. Показано также, что эти критерии сохраняются в полной системе.

Эти результаты были дополнены достаточными условиями неустойчивости, полученными с помощью функций Четаева v( = уг2 - г,, v2 = г,2 - г2 из подространства Ti[V] (состоящего из огибающими всевозможных однопа-раметрических подсемейств функции V + ote ).

Во втором параграфе пятой главы исследуется устойчивость той же самой задачи с помощью функции Ляпунова, принадлежащей подпространству T2[V]. Построение этой функции проводилось в соответствии с третьим пунктом описанной выше схемы. Была выбрана двумерная поверхность п, принадлежащая пространству постоянных <xi,...,a<¡:

aj=YjiVi+yj2V2 ,a6 = (v,2+v2)/2 (j=l.....5)

(vj - локальные координаты поверхности поверхности к, yji - параметры). Построена огибающая

V = + 2у21г,г2 + y3kr22 +2^if(Y4l cos0 + ysk sinG)]

двухпараметрического семейства V, , представляющая собой отрицательно-определенную функцию Ляпунова. Призводная от этой функции имеет простой вид, при условии, что параметры Yj¡ являются решениями некоторой алгебраической системы, состоящей из десяти нелинейных уравнений

ESO**» =0 .....Ю).

Коэффициенты Rj™' - линейные функции параметров задачи. Показано, что эта система уравнений имеет нетривиальные решения относительно y¡j Получены условия знакоопределенности производной. В области v>0 задача устойчивости решена до конца: построены простые алгебраические критерии асимптотической устойчивости модельной системы, отличные от критериев предыдущего параграфа. Показано, что эти результаты сохраняют силу в полной системе.

В третьем параграфе рассмотрен вопрос о существовании инвариантных лучей модельной резонансной системы, получены достаточные условия ее неустойчивости.

Инвариантным лучем принято называть частное решение n(t), гг(0, 0(0 уравнений движения, удовлетворяющее условиям п= кгг , к,9 = const. Получены алгебраические критерии существования инвариантных лучей модельной системы. На основе анализа возможных ситуаций ухода фазовой точки вдоль луча получены также достаточные условия неустойчивости этой системы.

Отдельно рассмотрена задача устойчивости, когда нарушены требования теоремы первого параграфа: полином (5.1) обращается в ноль вдоль некоторого луча Г1=кгг , к>0. Производная V может менять знак, поэтому исследование устойчивости проводилось на основе теоремы Четасва. Проанализированы все 33 случая взаимного расположения двумерных поверхностей V=0 и Г1=кгг в фазовом пространстве. Показано, что в 19-ти случаях выполняются условия теоремы Четаева о неустойчивости.

В четвертом параграфе исследуется классическая задача устойчивости при резонансе 1:1. Так же как и в предыдущем случае резонанса четного порядка поставлена задача о построении алгебраических кусков трансцендентной поверхности раздела.

В качестве уравнений сравнения выбираются интегрируемые модельные уравнения гамильтонопого вида, являющиеся частным случаем исследуемой системы. Конструируется линейная интегральная связка системы сранения и подвергается Тривиальным "деформациям (деформации 1-го и 2-го родов). Обобщенная интегральная связка имеет вид V + аю, где

V = а,г,2 + 2а2г,г2 + a3r2 + 2г,-Jtj^iа4 cos6 + а5 sin 6) + +2г2Л/г^~(ав cos9 + а7 sin8) + 2r,r2(ag cos 29 + a, sin29).

Здесь оу - существенные постоянные, 9 - резонансный угол.Функция (V + аю) генерирует пространство Т[У], расширяющее множество первых интегралов гамильтоновой системы сравнения. Степень 8 расширения равна 7.

Получены необходимые и достаточные условия знакоопределенности производной V, при условии, что параметры су удовлетворяют некоторой системе линейных уравнений 8-го порядка. Получены также критерии знакоопределенности самой функции Ляпунова, принадлежащей подпространству Тот. Показано, что в области У>0 задача устойчивости имеет полное решение: получены алгебраические критерии асимптотической устойчивости, сохраняющие силу в полной системе.

В пятом параграфе исследуется более сложная задача, когда производная V знакопостоянна. С помощью леммы теории тригонометрических полиномов получены необходимые и достаточные условия знакопостоянства производной. Далее, на основе теорем прямого метода исследуется устойчивость модельных уравнений третьего приближения. Получены критерии устойчивости этих уравнений, показано, что они справедливы и для полной системы.

Шестой параграф пятой главы посвящен вопросам существования инвариантных лучей и условий ухода фазовой точки вдоль луча. Получены критерии существования этих лучей и достаточные условия неустойчивости модельных уравнений.

Основной вывод пятой главы диссертации состоит в следующем. Алгебраическая неразрешимость задач устойчивости дифференциальных уравнений не имеет (в отличие от неразрешимости алгебраических уравнений) тотального характера: существуют алгебраические куски трансцендентной поверхности раздела. Теория расширений позволяет эффективно строить ч-функции в таких задачах.

Глава VI посвящена исследованию общих свойств обратимых систем. Рассмотрены вопросы устойчивости равновесия в таких системах.

Отмечается, что исследование задач устойчивости равновесия некон-ссрвативных задач обратимого типа имеет свою специфику по сравнению с исследованиями систем общего вида. Дело в том, что в отличие от случая общего положения, равновесие обратимой системы не может быть асимптотически устойчиво, если оно принадлежит неподвижному множеству оператора симметрии. Более того, любая аналитическая функция Ляпунова, удовлетворяющая его первой теореме об устойчивости, является, в силу симметрии фазового потока, первым интегралом исследуемых уравнений. Это означает, что отсутствие информации об интегралах исключает всякую возможность применения обобщенной схемы, развиваемой в диссертации.

В первом параграфе приводятся различные определения обратимости механических систем.

Одведйпедтс Д. Уравнения движения обратимы по Уинтнеру, если они инвариантны относительно замены I -> -I.

Определение 2. Уравнения движения обратимы по Мозеру, если они инвариантны относительно суперпозиции отображений

х->МхД -Я.М2 = Е, где М - матрица с постоянными элементами.

Определение 3. Уравнения движения обратимы по Биркгофу, если они инвариантны относительно суперпозиции отображений

х -» МхД -> -1,(1йМ Обратимость по Уинтнеру - частный случай обратимости по Мозеру, обратимость по Мозеру - частный случай обратимости по Биркгофу.

Во втором параграфе шестой главы исследованы некоторые общие свойства обратимых систем.

Показано, что обратимость системы связана с наличием циклической группы симметрий. Эта группа может иметь произвольный четный порядок (обратимость по Биркгофу), либо порядок ее равен двум (обратимость по Мозеру, Уинтнеру). Группа симметрий порождает периодические траектории, симметричные относительно неподвижного множества оператора М"р , она же приводит к появлению некоторых интегральных многообразий. Показано, что невозможна асиптотическая устойчивость равновесия, принадлежащего неподвижному множеству оператора симметрии. Устойчивость равновесия всегда имеет двусторонний характер; аналитические функции Ляпунова, удовлетворяющие первой теореме об устойчивости, принадлежат множеству интегралов исследуемой системы. Рассмотрены также некоторые вопросы поведения обратимых систем, когда число групп симметрий равно двум.

В третьем параграфе исследуется устойчивость равновесия системы с двумя степенями свободы в критическом случае двух пар чисто мнимых корней при резонансе 1:1.

Описана процедура линейной нормализации уравнений движения. Подробно исследован случай простых элементарных делителей. Показано, что с помощью нелинейной замены переменных, изученной в третьей главе диссертации, фазовый ноток модельных уравнений третьего приближения можно редуцировать к потоку линейной системы. Анализ преобразованных уравнений в 'Ьрубом" случае гиперболичности особой точки линейной системы приводит к следующим выводам: и для устойчивости модельной системы необходимо и достаточно отсутствие инвариантных лучей. Появление луча приводит к неустойчивости, сохраняющейся в полной системе.

Глава VII посвящена исследованию устойчивости стационарных движений космического аппарата, моделируемого сплошным упругим телом и обладающего внутренним демпфированием.

Предполагается, что движение аппарата происходит в центральном гравитационном поле на круговой орбите. В недеформируемом состоянии тело динамически симметрично и сильно вытянуто вдоль оси симметрии; время затухания свободных колебаний тела много меньше характерного времени движения его центра масс.

В первом параграфе седьмой главы выводятся уравнения движения, полученные впервые в работах P. Santini (1976) и А.П. Маркеева (1989).

Выбираются следующие системы координат: связанная, оси которой направлены вдоль главных осей инерции недеформированного тела и орбитальная. Углы Эйлера определяют взаимную ориентацию этих осей. Считается, что тело может совершать продольные колебания вдоль оси симметрии и поперечные колебания. Задача рассматривается в рамках линейной теории упругости.

Уравнения движения получены относительно трех углов Эйлера, задающих ориентацию тела как целого, и счетного набора обобщенных нормальных координат для свободных продольных и поперечных колебаний.

Известно одно частное решение уравнений движения ('Цилиндрическая" прецессия), при котором ось симметрии недеформированного тела коллинеарна нормали к плоскости орбиты и в абсолютном пространстве заметает цилиндрическую поверхность. Отмечается, что счетная система уравнений движения допускает также интегральное многообразие П, отнесенное к переменным Ограничение уравнений движения на это многообразие

сводит задачу анализа к изучению системы с двумя степенями свободы. Применение асимптотических методов исследований с последующим выделением регулярной части асимптотического решения существенно упрощает уравнения движения этой системы. Описаны известные результаты по исследованию устойчивости цилиндрической прецессии в нсрсзонансном случае (А.П.Маркеев, Е.А.Синицын, 1993).

Второй параграф посвящен вопросу устойчивости цилиндрической прецессии при резонансе 1:3 при условии, что возмущения сохраняют движения вдоль интегрального многообразия П.

Приводятся уравнения возмущенного движения, нормализованные до членов третьего порядка малости. Коэффициенты этих уравнений получены с точностью до членов е2, где е - малая величина, характиризующее отношение среднего движения «во центра масс тепа к наименьшей из частот спектра продольных колебаний. Случай е=0 отвечает движению абсолютно твердого тела.

Отмечается специфика исследуемой модельной системы: поведение инвариантных лучей r2=kri существенно зависит от отброшенных членов, имеющих порядок е4. Это означает, что исследование устойчивости системы на основе поведения фазовой точки вдоль луча не достоверно.

Численный анализ резонансных кривых проводился на основе теорем первого и третьего параграфа пятой главы. Получены участки резонансных кривых, на которых наблюдается либо асимптотическая устойчивость, либо неустойчивость. Отмечается, что члены внутреннего резонанса не оказывают влияния на устойчивость резонансных движений.

В конце параграфа показано, что полученные результата позволяют делать вывод об устойчивости по всем переменным задачи, так как многообразие Q диффеоморфно многообразию критических переменных системы (Е.А.Синицын, 1993).

В Заключении сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту.

ГТеория обобщенных функциональных пространств.

Конструкция расширений множества решений уравнения в частных производных первого порядка лежит в основе обобщений классической схемы построения функций Ляпунова из интегралов уравнений движения.

С формальной точки зрения, теория расширений развивает классические исследования свойств полного интеграла Лагранжа. Установление связи функциональных пространств, порожденных обобщенным аналогом полного интеграла (функцией (У(х,а) в обозначениях диссертации), с уравнением Пфаффа приводит к созданию единой концепции таких пространств. Частные случаи этих пространств - множество решений системы уравнений в частных производных первого порядка, множество решений уравнения типа Гамильтона - Якоби, множество решений уравнения Монжа-Ампера параболического типа, множество решений некоторого уравнения в частных производных третьего порядка.

II. Описание редукции фазового потока интегрируемых систем.

В диссертации развивается метод построения нелинейной замены переменных, редуцирующей фазовый поток системы с одной или полутора степенями свободы к потоку линейных уравнений, что позволяет исследовать нелинейные явления динамических систем, проводить регуляризацию уравнений движения в окрестности особых точек.

Ш. Основные положения обзора задач теории устойчивости стационарных движений.

На основе обзора 88-ми известных задач устойчивости из разных областей механики и смежных дисциплин (работы по динамике твердого тела, имеющего неподвижную точку, либо соприкасающегося с плоскостью, по динамике гироскопа в кардановом подвесе, гиростатов на плоскости и с неподвижной точкой, работы по устойчивости систем автоматического регулирования, работы по теории критических случаев, рассмотренные как самим Ляпуновым, так и его последователями) сделан следующий вывод.

Обобщенные пространства Т[V] играют важную роль в задачах устойчивости. Полученные с помощью очень простых, Тривиальных" деформаций линейной интегральной связки системы сравнения, они содержат весьма сложные V - функции многих прикладных задач. Более того, у-функции большинства известных задач устойчивости принадлежат этим пространствам.

ГУ. Обобщенный подход построения у-функций из элементов пространства Т[У].

Выносятся на защиту следующие положения обобщенного подхода.

I. Искомые V- функции принадлежат обобщенным пространствам, построенным с помощью Тривиальных" деформаций интегральной свяки системы сравнения.

II. Поиск у-функций на этих пространствах ведется по следующей эвристической схеме:

1. у=У(х,а) + ат , а = (а1,...,ат-1), где оу - постоянные величины. Искомые функции - элементы подпространства То[У].

2. у= Р(У(х,а("),.....У(х,а(п1)))> где Р - гладкая функция. УСх.а00) -

независимые функции из подпространства То[У|. В частном случае, полагая

) j

имеем обобщенную интегральную связку (\'(х,а(1£)) - интегралы уравнений высоких порядков).

3. Функции Ляпунова строятся в виде огибающих к - параметрических подсемейств У„(х,а1,...,ак), ( 0<к < п - ), где п - к - мерная поверхность в пространстве постоянных щ , отнесенная к координатам а1,.,.,ак , а V, - ограничение V на эту поверхность.

4. Функции Ляпунова строятся с помощью метода Лагранжа вариации постоянных, т.е.в виде ч=\(х,Ых)) + ат(х), где (а(х),ат(х)) - особые решения уравнения (2.1).

V. Результаты исследований алгебраически неразрешимых задач устойчивости.

С помощью обобщенного подхода исследуется устойчивость резонансных задач теории критических случаев, для которых известно, что поверхность, принадлежащая пространству параметров и отделяющая область асимптотической устойчивости от неустойчивости, трансцсндентна. Построены сложные функции Ляпунова, принадлежащие обобщенным пространствам и получены алгебраические куски трансцендентной поверхности раздела. Сделан вывод о том, что алгебраическая неразрешимость задач устойчивости дифференциальных уравнений не имеет (в отличие от неразрешимости алгебраических уравнений) тотального характера. Теория расширений позволяет эффективно строить у-функции в таких задачах.

VI. Исследования по устойчивости обратимых систем.

Элементарный анализ обратимых систем показал, что эти системы

наследуют многие характерные свойства гамильтоновых уравнений: отсутствует свойство асимптотической устойчивости у положения равновесия, принадлежащего неподвижному множеству оператора симметрии; имеет место двусторонняя устойчивость таких равновесий; у-функций, удовлетворяющие первой теореме Ляпунова об устойчивости, принадлежат пространству первых интегралов исследуемой системы. Сделан вывод о том, что в задачах устойчивости обратимых систем обобщенный подход, развиваемый в диссертации, не эффективен, если не известны интегралы уравнений движения.

Описан один из альтернативных подходов, основанный на идее замены переменных, редуцирующих фазовый поток. С помощью этого метода исследуется задача устойчивости при резонансе 1:1, показано, что для устойчивости модельной системы необходимо и достаточно наличие инвариантных лучей.

VII. Исследование устойчивости цилиндрической прецессии вязко-упругого спутника.

На защиту выносятся также результаты исследования устойчивости стационарных вращений вязко-упругого тела на круговой орбите в центральном гравитационном поле. При условии, что эллипсоид инерции неде-формированного тела вытянут вдоль оси симметрии, а частоты линейных колебаний удовлетворяют резонансу 1:3, получены области асиптотической устойчивости и неустойчивости стационарных движений, при которых ось симметрии недеформированного тела перпендикулярна плоскости орбиты центра масс.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. О необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // Исследование задач устойчивости и колебаний и их приложения в динамике летательных аппаратов. М.: МАИ. 1980. С. 31-37

2. О необходимых и достаточных условиях существования инвариантных лучей одной модельной задачи теории критических случаев // Устойчивость и колебания нелинейных механических систем. М.: МАИ. С. 10-13.

3. О строении некоторых функциональных пространств и их связь с прямым методом Ляпунова II Аналитические и численные методы иследования механических систем. М.: МАИ. 1989. С. 12-17

4. Об алгебраических критериях устойчивости при резонансе 1:3 и одном методе построения функций Ляпунова // Дифф. уравнения. 1988. Т. 24. Вып. б. С. 1087

5. Generalized jerm smooth solution space of first order equation and their application to stability theory // Equadiff - 7. Abstracts I. Praha. 1989. P. 87

6. Обобщенные пространства ростков гладких решений уравнения первого порядка и их связь с прямым методом Ляпунова // Известия Вузов. Математика. 1990. Вып. 5. С. 47-53

7. Об устойчивости резонансных вращений вязко-упругого спутника II Препринт No 479. М.: ИМП АН СССР. 1990. 33 с. (совместно с А.П.Марке-вым).

8. О вариации постоянных в теории линейного уравнения в частных производных первого порядка II Деп. ВИНИТИ. N 1134-890. 1990. 14с.

9. Об алгебраических критериях асимптотической устойчивости при резонансе 1:1 //Дифф. уравнения. 1991. Т. 27. Вып. 8. С. 975

10. Обратимые системы. Резонанс 1:1 // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 570-579. (совместно с В.Н.Тхай)

И. Об алгебраических критериях асимптотической устойчивости при резонансе 1:1 // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 4. С. 5-11

12. О расширениях пространства решений уравнений Гамильтона-Якоби и их приложениях в задачах устойчивости I/ Препринт No 550. М.: ИПМ РАН. 1995. 35 с.

13. Об одной теореме Лагранжа-Имшенецкого // Препринт No 548. М.: ИПМ РАН. 1995. 14с.

14. Об асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1

15. Functional extensions of a solution germ space of first order differential equation and their applications // Nonliner Análisis, Theory, Methods & Applications. 1996. Vol. 26. No I. P.732-749