Некоторые нелинейные задачи частичной устойчивости и управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

4844188

Мартышенко Юлия Геннадьевна

НЕКОТОРЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ ЧАСТИЧНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И УПРАВЛЕНИЯ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 2011

2 1 ДПР ?011

4844188

Работа выполнена на кафедре математики Нижнетагильского технологического института (филиала) федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина»

Научный руководитель Официальные оппоненты

!

\ Ведущая организация

доктор физико-математических наук, профессор Воротников Владимир Ильич

доктор физико-математических наук, профессор Сесекин Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук Серков Дмитрий Александрович

Учреждение Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН

Защита состоится «27» апреля 2011 г. в часов на заседании специализированного совета Д 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики Уральского отделения РАН (620990, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан «25» марта 2011 г.

Подписано в печать 16.03.2011. Формат 60><90 1/16 Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Ризография Усл. печ. л. 1,25. Уч.-изд. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ№ 1734 Отпечатано в РИО НТИ (ф) УрФУ 622031, г. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

.н.

Ю. Лукоянов

Общая характеристика работы

1. Актуальность темы. Начиная с середины XX столетия бурное развитие получили задачи об устойчивости и стабилизации динамических систем по отношению к некоторой заданной части переменных (а не по всем переменным), определяющих состояние исследуемой системы.

Благодаря большой математической общности постановки, указанные задачи являются междисциплинарными и естественным образом возникают при моделировании многих явлений и управляемых процессов в самых разных разделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и других. Они часто называются также задачами частичной устойчивости (стабилизации).

Основополагающие результаты в данной области принадлежат В.В. Румянцеву, в работах которого заложены основы теории устойчивости по отношению к части переменных для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью, а также показана принципиальная применимость полученных результатов к задачам устойчивости более общих моделей систем, содержащих звенья с распределенными параметрами.

В последующих работах многих ученых теория и методы исследования задач устойчивости и стабилизации по отношению к части переменных получили определенное развитие; также решен ряд важных прикладных проблем.

Проведенные исследования выявили принципиальные трудности, возникающие при изучении задач устойчивости (стабилизации) по отношению к части переменных, для преодоления которых' потребовались существенно новые идеи, выдвинутые в ряде работ. Были вскрыты и специфические особенности этих задач, проливающие свет на опасности, которые кроются на пути практического использования некоторых заманчивых теоретических результатов. Оказалось также, что задачи устойчивости (стабилизации) по отношению к части и по отношению ко всем переменным тесно связаны между собой и дополняют друг друга при решении практических вопроЬов.

С другой стороны, свойство частичной устойчивости в ряде случаев является не только достаточным для нормального функционирования систем, но и необходимым для обеспечения желательных режимов их работы.

Именно задачи частичной устойчивости (стабилизации), в отличие от задач устойчивости (стабилизации) по всем переменным, становятся строгой математической базой для многих важных современных исследований. Это обстоятельство определяет актуальность выбранной темы исследования.

2. Цель работы. Начиная с основополагающих работ В.В. Румянцева основным методом исследования задач устойчивости и стабилизации по части переменных является метод функций Ляпунова, оказавшийся весьма эффективным при анализе как теоретических, так и прикладных проблем.

Однако хотя во многих прикладных задачах метод функций Ляпунова и позволяет получить строгие и легко интерпретируемые условия частичной устойчивости, тем не менее, в целом вопросы конструктивного построения функций Ляпунова до сих пор остаются малоизученными.

Кроме того, в ряде рассматривающихся в настоящее время постановках

'■■ \\

задач частичной устойчивости требования к соответствующим функциям Ляпунова неизбежно являются чрезмерно жесткими.

В такой ситуации значительный интерес представляет дальнейшее развитие метода в плане ослабления требований к функциям Ляпунова, а также развитие других подходов к задачам частичной устойчивости и стабилизации. С другой стороны, необходима дальнейшая модификация задач частичной устойчивости, позволяющая найти приемлемый компромисс между содержательным смыслом понятия частичной устойчивости и требованиями к функциям Ляпунова.

: Кроме того, небезынтересно использовать накопленный в рамках решения задач частичной стабилизации научный потенциал и для решения задач управления на конечном промежутке времени. .......

С этой целью в данной работе предлагается: ■ : , 1) расширить возможности метода функций Ляпунова в задачах частичной устойчивости (стабилизации) путем развития концепции детектируемости динамических систем, предполагающей анализ структурных форм систем, для которых устойчивость по одной части переменных будет фактически означать устойчивость по отношению к другой (большей) части переменных;

2) рассмотреть более общие задачи частичной устойчивости, в рамках которых возможно найти приемлемый компромисс между содержательным смыслом понятия частичной устойчивости и требованиями к функциям Ляпунова, а также унифицировать (в известной мере) исследования задач устойчивости нестационарных и стационарных систем;

3) использовать развитые при решении задач частичной стабилизации подходы для исследования нелинейных задач управления вращательным движением асимметричного твердого тела при игровой модели помех.

3. Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, а также методы математической теории управления.

4. Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие новые результаты.

1) Условия на структуру нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, при которых устойчивость их нулевого положения равновесия или устойчивость «частичного» (нулевого) положения равновесия по отношению К одной части переменных будет фактически означать устойчивость указанных положений равновесия по отношению к другой, ббльшей части переменных;

2) Для нелинейньгх нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в контексте метода функций Ляпунова условия устойчивости по отношению к части переменных:

- нулевого положения равновесия для случая, когда начальные возмущения, являясь малыми по исследуемой на устойчивость части переменных, могут быть в то же время большими по одной части и произвольными по другой (оставшейся) части неконтролируемых переменных;

- «частичных» (нулевых по некоторой части фазовых переменных) положений равновесия в предположении, что начальные возмущения перемен-

ных, не определяющих «частичное» положение равновесия, могут быть большими по одной части и произвольными по оставшейся их части.

Приложение полученных результатов к соответствующим задачам устойчивости нелинейных голономных механических систем (дополнения к теореме Лагранжа - Дирихле).

3) Унификация (в известной мере) исследований задач частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем на основе восходящего к В.И. Зубову сведения исходной нестационарной системы к стационарной и рассмотрения для полученной стационарной системы указанных выше задач устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия.

4) Метод решения нелинейной задачи одноосной переориентации асимметричного твердого тела (посредством как двигателей, так и маховиков) при игровой модели помех.

В случае управления посредством маховиков данная задача является задачей управления по части переменных, определяющих состояние изучаемой конфликтно-управляемой системы (по переменным, определяющим состояние твердого тела). В случае управления посредством двигателей данная задача является задачей управления по всем переменным, на первом этапе решения которой решается соответствующая задача управления по части переменных.

5. Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической теории устойчивости и теории управления, а также в решении прикладных задач устойчивости и управления.

6. Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Уральском семинаре по механике и процессам управления (2006, 2008) и Российской школе по проблемам науки и.технологий (2007-2010, г. Миасс);

- научной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ (2008,2009);

- VII Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (2010, г. Самара);

- Всероссийской научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (2010, г. Пермь);

- научном семинаре кафедры теоретической механики УрГУ (2010);

- научном семинаре Института математики и механики УрО РАН (2010);

- научном семинаре кафедры прикладной математики УрФУ (2011).

Часть работы входила в состав проекта РФФИ (код проекта 07-01-00483).

7. Личный вклад автора. Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В совместных публикациях научному руководителю В.И. Воротникову принадлежит постановка задач и обсуждение полученных результатов.

8. Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК.

9. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы (включающего 132 наименования).

Общий объем диссертации составляет 109 страниц.

Содержание работы

В первой главе диссертации рассматриваются нелинейные нестационарные динамические системы общего вида, для которых получены новые условия частичной нуль-детектируемости. А именно, получены условия, при которых равномерная устойчивость (равномерная асимптотическая устойчивость) по отношению к одной части переменных нулевого положения равновесия нелинейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений означает равномерную устойчивость (равномерную асимптотическую устойчивость) этого положения равновесия по другой - большей части переменных.

Также получены условия, при которых равномерная устойчивость (равномерная асимптотическая устойчивость) по отношению к отношению к одной части переменных «частичного» (нулевого) положения равновесия нелинейной нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений означает равномерную устойчивость (равномерную асимптотическую устойчивость) этого положения равновесия.

Дано приложение полученных результатов к задачам стабилизации по отношению к части переменных нелинейных управляемых систем.

В первом параграфе получены условия детектируемости по части переменных нулевого положения равновесия нелинейных нестационарных динамических систем. Рассматривается нелинейная, нестационарная конечномерная система обыкновенных дифференциальных уравнений (в векторной форме)

х=Х(Г,х), Х(/,0)^0. (1)

Переменные, входящие в фазовый вектор х, разбиваются на три части, так что х = (у Л У2Т, гт)т. Тогда систему (1) составят три группы уравнений

У1 = ^(/,у„у2,г), у2=У2(/,у„у2,г), г = г(/,у„у2,г). (2)

Полагается у = (у/, у2т)т и вводятся обычные для теории частичной устойчивости (у-усгойчивости) предположения о непрерывности X в области

/>0, ||у||<А, ||г|| <со (3)

1М1 = (Ну1!2+1М|2)"2 = {хх+Хг+...+х?)т . . а также о единственности и г-продолжимости решений системы (1).

Обозначается х(/) = х(/; /0, *о) решение системы (1), определенное начальным условием х0 = х(?0; /0, х0).

Определения. Положение равновесия х = (у!т,у2т,2т)т= 0 системы дифференциальных уравнений (2):

1.1) равномерно ух-устойчиво (соответственно равномерно у-успгойчиво), если для любых £ > 0, /о > 0 найдется <5(е) > 0 такое, что из ||хо|| < 8 следует неравенство ||у[(г, /о, хо)|| < е (соответственно неравенство ||у(/; (0, х0)|| < £) при всех / > /0;

1.2) равномерно асимптотически у ¡-устойчиво (соответственно равномерно асимптотически у-устойчиво), если оно равномерно угустойчиво (соответственно равномерно у-устойчиво) и найдется Д > О такое, что для каждого решения х(Г, /о, х0) системы (1.2), для которого ЦхоЦ < Д, соотношение ИтЦу^г, Со,

х0)|| —> 0 (соответственно Нш]|у(г, /о, Хо)|| —> 0), / —> оо выполняется равномерно по /о, х0 из области /о> 0, ||х0|| < Д.

3 а д а ч а 1.1. Требуется в виде ограничений на структурную форму системы (2) найти условия, при которых равномерная угустойчивость (соответственно равномерная асимптотическая у 1 -устойчивость) положения равновесия х = (у/, у/, гт)т = 0 системы дифференциальных уравнений (2) фактически означает равномерную у-устойчивость (соответственно равномерную асимптотическую у-устойчивость) этого положения равновесия.

Для решения задачи из вектор-функций У2, Z, определяющих правые части второй и третьей групп уравнений системы (2), выделяются слагаемые, зависящие только от Г, у2> г. В результате У2, Ъ можно представить в виде

^2(/, У1, Уг, г) = У2°(/, Уг, г) + У1, у2, х),

2.(1, уи у2, г) = у2> г) + К*(/, у„ у2, г),

Щ/, 0, 0, 0) = Ц(/, 0, у2, г) = 0, К*(/, 0,0, 0) з И*(/, 0, у2, =

Теорема 1.1. Пусть выполняются условия:

a) вектор-функции У2°(/, у2, г), у2, г) и их частные производные по у2, г ограничены в области X > 0, ||у2|| < Л, ||г|| < со;

b) в области (3) найдется некоторая непрерывная вектор-функция У2*(у|, Уг), У2*(0, у2) = 0 такая, что

р"(',УьУ2,г)||<|[У2'(у1,у2)[[, И" = (НТ,Ип)Т; (4)

c) имеет место тождество У2°(/, 0, г) = 0 и «частичное» положение равновесия у2 - 0 «приведенной» подсистемы дифференциальных уравнений

у2 = ¥2°(/,у2,2), ¿ = 7°(/, у2, 2) (5)

равномерно асимптотически устойчиво по отношению ко всем переменным.

Тогда, если положение равновесия х = (у/, у2т, гт)т = 0 системы дифференциальных уравнений (2) равномерно у ¡-устойчиво (соответственно равномерно асимптотически у\-устойчиво), то оно равномерно у-устойчиво (соответственно равномерно асимптотически у-устойчиво); у = (у)Т, у2т) Г.

Теорема 1.2. Условия а) и Ь) теоремы 1.1 можно заменить условием: в области (3) найдется некоторая непрерывная скалярная функция _Г2*(уь у2), >'2*(0, у2) = 0 такая, что

\(дУ(<,\у)/д\\)К"(1, у, ,уу)| <|У2*(у, ,у2)[. (6)

Здесь (-'(/, - функция Ляпунова, решающая задачу о равномерной асимптотической устойчивости «частичного» положения равновесия у2 = 0 «приведенной» подсистемы дифференциальных уравнений (5).

При выполнении условий теоремы 1.2 правая часть системы дифференциальных уравнений (2) удовлетворяет лишь общим требованиям. Не требуется ограниченности вектор-функций У2°(/, у2, г), у2, г) и их частных производных по у2, г в области / > 0, ||у2|| < И, ||г|| <

Условие Ь) теоремы 1.1 легко проверяется, если из тех или иных сообра-

жений известна заранее равномерная (по /0, х0) г-ограниченность решений сир-темы дифференциальных уравнений (2), начинающихся в достаточно малой окрестности положения равновесия х = 0. Условие (Ь), в частности, выполнено, если вектор-функция Я не зависит от I, г или является ограниченной по I, г.

Дано приложение полученных результатов к задачам стабилизации нелинейных управляемых систем. В частности, рассмотрена задача стабилизации по отношению к части переменных заданной одноосной ориентации твердого тела.

Во втором параграфе получены условия детекгируемости (по отношению к свойству устойчивости) «частичных» положений равновесия. Предполагается, что система (2) допускает <<частичное» положение равновесия у = (уЛ у2т)т = 0, являющееся инвариантным множеством этой системы.

Определения. «Частичное» положение равновесия у = (у]Т, угТ)Т = 0 системы дифференциальных уравнений (2):

1.3) равномерно у\-устойчиво (соответственно равномерно устойчиво), если для любых е> 0,10 > 0 найдется ¿(е) > 0 такое, что из ||у0|| < 8, ||г0|| < со следует неравенство Цу^/; /0, х0)|| < £ (соответственно ||у(/; 10, х0)|| < Ё) при всех / > /0;

1.4) равномерно асимптотически у [-устойчиво (соответственно равномерно асимптотически устойчиво), если оно равномерно у,-устойчиво (соответственно равномерно устойчиво) и найдется Д > 0 такое, что для каждого решения х(г, Го, хо) системы (2), для которого ||у0|| < А, ||го|| < °о, соотношение Пш||у1(/; Г0, х0)| -> 0 (соответственно Нт||у(/; Г0, х0)|| 0), / -> со выполняется равномерно по 10, х0 из области /0 ^ 0, ||у0|| < Д, ||го|| < оо.

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия а) - с) теоремы 1.1.

Тогда, если «частичное» положение равновесия у = (у/, угт)т = 0 системы дифференциальных уравнений (2) равномерно угустойчиво (равномерно асимптотически угустойчиво), то оно равномерно устойчиво (равномерно асимптотически устойчиво).

Условия а) и Ь) теоремы 1.1, фигурирующие в условии теоремы 1.3, можно заменить условием: в области (3) найдется непрерывная скалярная функция >2*(Уь Уг), К2*(0, у2) ^ 0, такая, что имеет место соотношение (6). В данном случае правая часть системы (2) удовлетворяет лишь общим требованиям.

В третьем параграфе получены условия детектируемое™ (по отношению. к свойствам квазиустойчивости и устойчивости по части переменных) «частичных» положений равновесия.

Определения. «Частичное» положение равновесия у = (у1т,у2т)т = 0 системы дифференциальных уравнении (2):

1.5) равномерно у\-квазиустойчиво (соответственно равномерно квазиу-стойчиво), если для любых чисел £> 0, 1о>0 и любого заданного числа Ь>0 найдется ё(е, Ь) > 0 такое, что из ||уо|| < 5, ||го|| < Ь следует неравенство Цу^/; 'о, •х0)|| < £■ (соответственно неравенство ||у(?; /0, х0)|| < £) при всех I > 10;

\.в)равномерно асимптотически у\-квазиустойчиво (соответственноравномерно квазиасимптотически устойчиво), если оно равномерно у^квазиус-тойчиво (соответственно равномерно квазиустойчиво) и найдется А(Ь) > 0 такое, что .для каждого решения х(/; /0, "о) системы (2), для которого ||у0|| < Д(£),

ИзеоИ < Ь, соотношение Пт||у1(/; /0, хо)|| -> 0 (соответственно Пт]|у(/; /0, х0)|| -> 0), I -> со) выполняется равномерно по /о, Хо из области /0 ^ 0, ||у0|| < Л(£), ¡/ю!1 5

Теорема 1.4. Пусть выполняются условия а) — с) теоремы 1.1.

Тогда, если «частичное» положение равновесия у = (у/, УгТ)Т = 0 системы дифференциальных уравнений (2) равномерно у ¡-квазиустой чиво (равномерно асимптотически у ¡-квазиустойчиво), то оно равномерно квазиустойчиво (равномерно асимптотически квазиустойчиво).

Во второй главе диссертации для нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью рассматривается задача устойчивости по отношению к части переменных нулевого положения равновесия. Делаются более общие, в сравнении с известными, допущения относительно начальных значений неконтролируемых при исследовании устойчивости переменных. Также рассматривается задача устойчивости по отношению к части переменных «частичного» положения равновесия, где аналогичные допущения касаются начальных значений переменных, не определяющих данное положение равновесия. Получены условия устойчивости и асимптотической устойчивости указанного типа в контексте метода функций Ляпунова. Дается приложение полученных результатов к задаче устойчивости по части переменных положений равновесия нелинейных голономных механических систем. Обсуждается вопрос унификации (в известной мере) исследований задач частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем.

В первом параграфе излагается постановка рассматриваемой в диссертации задачи устойчивости по части переменных. Рассматривается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (1). Переменные, входящие в фазовый вектор х, разбиваются на две группы: 1) у-переменные, по которым исследуется устойчивость положения равновесия х = 0; 2) оставшиеся (неконтролируемые) г-переменные. В свою очередь' переменные, входящие в субвектор г, разбиваются на две подгруппы, так что х =: (ут, гт)т; г = (г^, г2т)т.

Вводятся обычные для теории частичной устойчивости (у-устойчивости) предположения о непрерывности вектор-функции X в области (3), а также о единственности и г-продолжимости решений системы (1).

В классическом определении устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия системы обыкновенных дифференциальных уравнений предполагается, что область начальных возмущений является достаточно малой окрестностью нулевого положения равновесия. Наряду с этой постановкой задачи изучаются также случаи, когда начальные возмущения являются произвольными или большими (принадлежащими произвольному компактному множеству) по неконтролируемой при исследовании устойчивости части переменных. Такие задачи тесно связаны с задачами устойчивости «частичных» (нулевых по некоторой части фазовых переменных) положений равновесия системы дифференциальных уравнений или, в более общем виде, с задачами устойчивости некомпактных (замкнутых, но неограниченных) множеств. Здесь естественны допущения о том, что начальные возмущения переменных, не определяющих «частичное» положение равновесия, являются или большими, или произволь-

ными по' величине. Однако при анализе сложных нелинейных систем небезынтересны более общие случаи, когда понятие устойчивости по части переменных нулевого положения равновесия предполагает, что начальные возмущения, являясь малыми по исследуемой на устойчивость части переменных, могут быть в то же время большими по одной части и произвольными по другой (оставшейся) части неконтролируемых переменных.

Для точной формулировки задачи в диссертации используются обозначения: Dg - область начальных значений х0 такая, что ||у0|| < ö, ||гш|| < L, ||z2o|| < <»; область Дд получается заменой S на Д; Ку, Кг\ - произвольные компакты соответственно в у и грпространствах.

Определения. Нулевое положение равновесия х = 0 системы дифференциальных уравнений (1) при большом 2Ю в целом по z2o является:

1) у -устойчивым, если для любых е > О, t0 > 0 и любого заданного числа L > О найдется 6(е, t0, L)> О такое, что из х0е Dg следует [[у(7; /0, х0)|| < е при всех t > Г0;

2) у -устойчивым равномерно по t0, если 3 = ¿¡(с, L);

У) асйлттотически у-устойчивым, если оно у-устойчиво в смысле определения 1) и найдется А(t0, L) > 0 такое, что произвольное решение x(t; /о, х0) системы (1) с х0 е Da удовлетворяет предельному соотношению

lim ||у(/;/о, х0)|| = 0, <х>; ' (7)

4) равномерно асимптотически у-устойчивым, если оно у-устойчиво равномерно по /0 в смысле определения 2) и найдется Д(L) > 0 такое, что соотношение (7) выполняется равномерно по tQ, Хо из области !а > 0, Хо е DA;

5) равномерно глобально асимптотически у-устойчивым, если оно у-устойчиво равномерно по t0 в смысле определения 2), а произвольное решение x(f; t0, хо) системы (1) определено при всех t > 0, равномерно по tu, х0 из области 'о >; 0, у0 е Ку, zw е Кг 1, ||z20|| < оо является у-ограниченным и удовлетворяет предельному соотношению (7).

В ранее рассматривавшихся постановках задач у-устойчивости положения равновесия х = 0 системы (1) изучались три случая: 1) ||х0|| < S (у-устойчивость в смысле А.М. Ляпунова-В.В. Румянцева); 2) ||у0|| < <5, ||zo|| S L (у-устойчивость при большом Zo); 3) |[у0|| < <5, ||z0|| < оо (у-устойчивость в целом по z0). Предложенные определения более общие и включают не рассмотренный ранее случай х0 е Dg В рассматривавшихся ранее постановках задач глобальной равномерной асимптотической у-устойчивости положения равновесия х = 0 системы (1) изучались случаи, когда у-притяжение решений равномерно из области !а > 0, х0 е Кх или области /0 > 0, у0 е Ку, ||zo|| < со. Область 10 > 0, у0 е Ку, z10 е Kzl, ||z20|| < со равномерного у-притяжения решений рассматривалась В.В. Румянцевым и A.C. Озиранером, однако разбиение вектора zo на субвекторы z10 и z2o не предполагалось изначально заданным, а определялось свойствами подходящей функции Ляпунова в процессе решения задачи.

Для получения условий устойчивости указанного типа рассматриваются вспомогательные функции: 1) скалярная V(t, х), V(t, 0) г 0 - непрерывно дифференцируемая в области (3), и ее производная V в силу системы (1); 2) скалярная

V'(t, у, z,),V'(t, 0, 0) s 0 и векторная W(/, x), \\(t, 0) = 0 - непрерывная в области (3); 3) a(r), b(r), c(r) - непрерывные, монотонно возрастающие при г е [0, А] или соответственно при г е [0, со) в задаче глобальной асимптотической у-устойчивости, такие, что а(0) = 6(0) = е(0) = 0 (функции типа Хана при г е [0, Л] или при г е [0, со)).

Теорема 2.1. Пусть для системы (1) в области (3) найдется V-функ-ция такая, что

V(t, х) > а(||у||), К(/,х)<0. (8)

Тогда при большом zia в целом по г2оположениеравновесия х = 0:

1)У-устойчиво, если, кроме того

V(t, х) <V'(t, у, z>), V\t, 0, z,) н 0; (9)

2) У -устойчиво равномерно по t0, если

V(t, х) < v\y, zt), V'(Ö, z,) = 0. (10)

Теорема 2.2. Пусть для системы ( У) в области (3) найдется V-функ-ция, а также векторная W(t, х)~функция такие, что

а(||у||) < V(t, х) < 6(||ц||), V(t, х) < - с(||и||), (11)

u = [yT,W(/,x)T]T.

Тогда при большом z10 в целом по z2o положение равновесия х = 0:

1) асимптотически у-устойчиво, если выполнены условия (9);

2) равномерно асимптотически у-устойчиво, если выполнены условия (10);

3) равномерно глобально асимптотически у-устойчиво, если условия (10), (II) выполнены в области 1>0,\\х\\ < со и, кроме того

а(г)-> то, )—> со. (12)

Теоремы 2.1 и 2.2 обобщают теоремы A.M. Ляпунова-В.В. Румянцева. Пусть в области (3) вспомогательная F-функция в силу системы (1) удовлетворяет дифференциальному неравенству

V< co(t, V(t, х)) (13)

где &/(/, v) - непрерывная при t > 0, v > 0 функция такая, что для уравнения

v=w(t, v), co(t, 0) = 0 (14)

выполнены условия существования и единственности решений для каждой точки ('о, v0) из области определения.

Теорема 2.3. Пусть для системы (1) существует V-функция,удовлетворяющая в области (3)условию V(t, х) > а(||у||) и дифференциальному неравенству (13). Тогда при большом zJU в целом по z2o положение равновесия х = 0:

1) у -устойчиво (эквиасгшптотически у-устойчиво), если выполнены условия (9) и решение v = 0 дифференциального уравнения (14) устойчиво (асимптотически устойчиво) по Ляпунову;

2) равномерно у-устойчиво (равномерно асимптотически у-устойчиво), если выполнены условия (10) и решение v = 0 дифференциального уравнения (14) равномерно устойчиво (равномерно асимптотически устойчиво) по Ляпунову.

Теорема 2.3 дополняет известные результаты К. Кордуняну.

В качестве приложения полученных результатов сделано дополнение к классической теореме Лагранжа-Дирихле об устойчивости положений равновесия голономных механических систем, динамика которых описывается уравнениями Лагранжа 2-го рода

¿1

(дТл

дт дп — ....

-— = -—, (i = l, и) (15)

щ Щ

где Т- кинетическая, П - потенциальная энергия, q, - обобщенные координаты. Обозначая q = (<71, ..., q„) вектор обобщенных координат, предполагается, что связи, наложенные на систему, не зависят явно от /, а система (15) допускает нулевое положение равновесия q = q = 0.

Компоненты вектора q разбиваются на две группы, так что q = (qyT, qzT)T. Рассматривается задача устойчивости нулевого положения равновесия системы (15) по отношению к (qy, q) (по части обобщенных координат и по всем обобщенным скоростям). При этом обобщенные координаты, входящие в субвектор qz, также разбиваются на две подгруппы: q2 = (q2lT, qz2T)T.

Нулевое положение равновесия системы (15) равномерно (qy, q )-устойчиво при большом qzl0 в целом по qz20, если для любых е> 0, t0 > О и любого заданного числа L > О найдется <5(е, L) > 0 такое, что для произвольного решения системы (15) с ||q,ol! < <5, || qо|| < <5, ||qzio|| ^ L, ||ql20|| < 'Jj при всех t > t0 выполнены неравенства ||qy(/; /0, Чо, <jo)|| < e, llqO; 'o, q0, qo)ll <

Делаются предположения о том, что в области ||qy|| < h, ||q || < h, ||qz|| < oo имеют место условия: 1) Г определенно положительна относительно всех обобщенных скоростей; 2) П определенно положительна по части обобщенных координат (по qy); 3) справедливы неравенства tf(q)<tf*(qy,qzl), П\0,qzl) = 0, T(q, q)<r*(qy,qzl, q).

В данном случае для системы (15) имеет место интеграл энергии Н= Т + П = const. Рассматривая этот интеграл в качестве F-функции Ляпунова, на основании теоремы 2.1 делается заключение, что при выполнении условий 1) —3) нулевое положение равновесия системы (15) равномерно (qy, с|)-устойчиво при большом qzio в целом по qz20.

Приведены конкретные механические примеры, раскрывающие смысл введенных понятий устойчивости по части переменных.

Во вторам параграфе рассматриваются соответствующие задачи устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия. Предполагается, что система (1) допускает «частичное» положение равновесия у = 0. Переменные, входящие в у, разбиваются на две подгруппы переменных: у = (у/, у2т) .

Определения. «Частичное» положение равновесия у = 0 системы дифференциальных уравнений (1) при большом Zio в г/елом по z20 является:

1) угустойчивым, если для любых е > 0, t0 > 0 и любого заданного числа L > О найдется 5{е, /о, L) > 0 такое, что из Хо е Ds следует |у,0; /0, Хо)|| < е при всех t > t0;

2) у ¡-устойчивым равномерно по /о, если д = д(е, /,);

3) асимптотически у ^устойчивым, если оно у (-устойчиво в смысле определения 1) и найдется Д(/0, /,) > 0 такое, что произвольное решение х(/; /0, х0) системы (1) с х0 е Од удовлетворяет предельному соотношению

Пт||у,(/;/о,хо)||=0, /->оо; (16)

4) равномерно асимптотически у ¡-устойчивым, если оно у1-устойчиво равномерно по /0 в смысле определения 2) и найдется Д(£) > 0 такое, что соотношение (1) выполняется равномерно по /0, х0 из области /0 > 0, х0 е Д\.

Теорема 2.4. Пусть для системы (1) в области (3) найдется У-функ-1/ия, а также векторная 1)(/, \)-фуакция, И(1, 0) = 0 такие, что в области

/>0. у, ¡¡^(Л *),!</;, (17)

выполнены условия

: К(/,х)>а((|у,||+||и(/,х)||), К(/,х)<0. (18)

Тогда при большом 2ю в целом по г2о «частичное» положение равновесия у = 0: 1) у ¡-устойчиво, если выполнены условия (9); 2) у\-устойчиво равномерно по 1р, если выполнены условия (10).

Заменой условия V (I, х) < 0 неравенствами

Щ X) < 6(||и||), К(/, х) < -с(||и||), и = [ут, \У(/, х)т]т

получены также соответствующие условия асимптотической (в том числе равномерной) угустойчивости при большом 2]о в целом по 7.20 «частичного» положения равновесия у = 0 системы (1).

Целесообразность изучения угустойчивости в области (17), а не в области

'>о, ||у,||*й, ||у2||+1М1<°о, (19)

объясняется тем, что угустойчивое «частичное» положение равновесия у = 0 системы (1) всегда фактически устойчиво не только по у|, но также и по отношению к некоторым функциям щ = гф, у). Однако заранее не всегда ясно, какие именно это и,-функции. Кроме того, некоторые функции и' = м, (/, х) фазовых переменных (и времени) системы (1) также могут оказаться достаточно малыми вдоль решений х(1; /0, Хо) системы (Г) с х0 е В данной ситуации подобные и, и ^/-функции естественно трактовать как компоненты дополнительной векторной I/(/, х)-функции Ляпунова для наиболее рациональной замены области (19) областью (17). Естественно, что сделанное допущение ||у])|+||и(?, х)Ц < Ъ должно подтверждаться в процессе решения, что гарантируется условиями теоремы 2.4. При этом не требуется (как в теоремах с несколькими функциями Ляпунова) анализировать собственно производную и-функции вдоль траекторий системы (1), что является дополнительным аргументом в пользу указанного подхода. Такой подход позволяет не только облегчить построение функций Ляпунова, но и использовать для доказательства угустойчивости функции, которые могут не быть знакоопределенными ни по у] (в смысле В.В. Румянцева), ни по Ляпунову. Кроме того, производная V-функции в теореме 2.4, вообще говоря, будет знакопеременной в области (19). В рамках указанного подхода существенно нелинейные К-функции могут стро-

иться в виде квадратичных форм У(/, х) ~ V'(/, уь и{/, х)) переменных у1, и, знакоопределенность (по отношению ко всем переменным) которых проверяется с помощью обобщенного критерия Сильвестра.

В третьем параграфе показано, что предложенная постановка задачи устойчивости по части переменных «частичного» положения равновесия системы (1) позволяет унифицировать (в известной мере) исследования задач частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем. Вводя обозначения = I, г-о нестационарную систему (1) представим в виде стационарной системы

* (г)= Х(х( г), и>]( г)), и',(г)= 1, (20)

где х, означают производные от функций х, н1, по г.

Система (20) допускает «частичное» положение равновесия х = 0.

В результате задача у-устойчивости положения равновесия х = 0 нестационарной системы (1) сводится к задаче у-устойчивости «частичного» положения равновесия х = 0 стационарной системы (20), а задача устойчивости «частичного» положения равновесия у = 0 нестационарной системы (1) сводится к задаче устойчивости этого же «частичного» положения равновесия стационарной системы (20). Особенность такого сведения в том, что в случае равномерной (или неравномерной) по /0 частичной устойчивости исходной системы (1) постановки обеих задач частичной устойчивости для системы (20) должны отвечать требованию «в целом по м>10» (или «при большом и>ю»). Поскольку при этом постановки обеих задач частичной устойчивости для системы (20) допускают как требование «в целом по го», так и требование «при большом /о», то в результате приходим к необходимости анализа задач частичной устойчивости, рассмотренных в данной главе.

Кроме того, задача у-устойчивости «частичного» положения равновесия у = 0 нестационарной системы (1) также сводится к задаче у,-устойчивости этого же «частичного» положение равновесия стационарной системы (20) в постановке, рассмотренной в параграфе 2.

В третьей главе решается нелинейная игровая задача одноосной переориентации асимметричного твердого тела при неконтролируемых помехах. Управление осуществляется либо при помощи управляющих моментов внешних сил относительно главных центральных осей инерции тела, которые создаются при помощи трех пар двигателей, либо при помощи управляющих моментов внутренних сил, приложенных к трем симметричным маховикам, оси вращения которых закреплены вдоль главных центральных осей инерции тела.

Предложен конструктивный метод построения указанных управляющих моментов, которые являются нелинейными функциями фазовых переменных рассматриваемой конфликтно-управляемой системы, включающей динамические уравнения Эйлера, кинематические уравнения Пуассона и уравнения, описывающие вращательное движение маховиков (в случае управления посредством маховиков). Указаны оценки допустимых уровней помех в зависимости от заданных ограничений на управляющие моменты. Приводятся результаты компьютерного моделирования.

В первом параграфе изучается задача одноосной переориентации асимметричного твердого тела при помощи трех пар двигателей. Рассматриваются динамические уравнения Эйлера АЛ = {A2-A])x2x2+ul+v,,

A2x2 = (A3-At)x1x3+u2+v2, (21)

A3x3=(.4i-A2)xlx2+u3+v3,

описывающие вращательное (угловое) движение твердого тела относительно центра масс. В системе (21): Л, - главные центральные моменты инерции тела;

- проекции вектора мгновенной угловой скорости тела на его главные центральные оси s> эллипсоида инерции; и, - управляющие моменты, создаваемые специальными двигателями. Моменты v, характеризуют внешние силы и неконтролируемые возмущения. (Здесь и далее i меняется от 1 до 3.) Вводятся обозначения: х, u, v - векторы, состоящие соответственно из х„ и„ v,.

Наряду с (21) рассматриваются определяющие ориентацию твердого тела кинематические уравнения Пуассона

У\ = Г-Л -ГЛ' У г = Узх1 ~Г&, (22)

Уъ ~ У\хг ~ У2х 1, у\ + у\ + у\ = 1,

в которых Yi - проекции на главные центральные оси инерции тела единичного вектора s, направленного вдоль неподвижной в инерциальном пространстве вертикальной оси. Вводится обозначение: у- вектор, состоящий из //.

Управляющие моменты и, е К ищутся по обратной связи в классе разрывных по фазовым переменным х, у функций. Реализации и,[/] считаются измеримыми функциями, удовлетворяющими заданным ограничениям

|и,| < а, = const > 0. (23)

Помехи V, е К\ могут реализовываться в виде любых измеримых функций v, = v,(i) в рамках ограничений

\vt\ <Д =const>0. (24)

Для любой допустимой реализации помех v,[t] решения системы дифференциальных уравнений (21), (22) при и,(х, у) е К на рассматриваемом промежутке времени ta<t<T понимаются в смысле А.Ф. Филиппова: как абсолютно непрерывные функции х[<], у[/], удовлетворяющие при почти всех значениях t е [to, 7] соответствующей системе дифференциальных включений.

Задача 3.1 (одноосной переориентации). Найти управляющие моменты и, е К, при любых допустимых v, е переводящие связанный с твердым телом вектор г за конечное время г = Т - t0 из произвольного начального положения г(/0) = г0 в заданное г(7) = Г]. Оба состояния являются состояниями покоя x(t0) = х(7) = 0. Момент времени Т> 10 не фиксируется.

Задача 3.2. Найти управляющие моменты Ui е К, решающие задачу 3.1 в случае х(/0) ф 0.

Не нарушая общности считаем г(7) = (0,1, 0).

Для решения поставленных задач используются управляющие моменты

/

щ = - п(х\2 + хг) - «з* + /,z/2*J + а'х2х3,

"2 = (^1 - (25)

«3 = Лз(1//2)[-№*з + rite2 + -*з2) + "Г + /з"2*] - А'х\хг,

А* = А\~А2+Аз,

в которых и,* - некоторые вспомогательные управления.

Управляющие моменты (25) позволяют выделить линейную конфликтно-управляемую систему дифференциальных уравнений

fj^Uj+v) (/=1,3), (26)

x2~u2+v\. (27)

Для вспомогательных помех vД в силу (24), имеют место оценки

К'|<Д', (28)

Д' = ШАг?ЧМЛ2)2}Х'\ & = №г, ßi = [(ßilAif+ißJAtff2-

Для системы (26), (27) решается задача управления посредством и* о быстрейшем приведении в положение

Г г ГГ 0 0'=1'3), х2=0, (29)

при ограничениях

|и/|<оД |v/| < ß- = р,а', 0 <Pi< 1. (30)

Указанная линейная игровая задача для системы (26), (27) сводится к задаче оптимального быстродействия для системы [H.H. Красовский, 1970]

гу=(1-/})«; (/=1,3), (31)

ij=(l-ftK- (32)

Решение задачи оптимального быстродействия для линейных систем типа (31), (32) имеет вид [JI.C. Понтрягин и др., 1961]

a'jSgn4/f(rj,fj), ц/Р}* 0

|a*sgn/; =-a*sgn^, ^j' = 0

u2(x2) = HSgnXi> (34)

0, х2~0

где у/?{ур у}) = -у] -[1а)(\~р])\лу1- функции переключений.

Время г в задаче быстродействия для систем (31), (32) есть минимальное гарантированное время в линейной игровой задаче управления и гарантированное время переориентации в исходной задаче.

Решение линейной игровой задачи означает решение исходной нелинейной задачи по части переменных: по переменным уи уз, х2. Однако решая уравнения Пуассона как алгебраические относительно х\, х3, получаем равенства

* = (1/йХ-у3+ Пх2), х3 = (1/у2)(Г,+ Гзх2). (35)

Поэтому фактически решение линейной игровой задачи означает решение исходной нелинейной задачи управления по отношению ко всем переменным. Получены оценки допустимых уровней помех в задаче 3.1. Вводятся обозначения Г1 = |/2о|<У[<4,(1 + Туо2)"2] (/ = 1.3). Теорема 3.1. Если область помех V, определяется неравенствами [(Д/Л1)2 + 2(А/Л2)2]1/2<Гь (36)

[2(рг1А2)г + (#Л43)2]иг < Г3, рг < аг,

то задача 3.1 может быть решена посредством управляющих моментов (25), (33), (34) удовлетворяющих заданным ограничениям (23).

Полученные оценки являются завышенными в сщху использования ряда неравенств для их обоснования, а также в силу предположения о «наихудшем» поведении системы в рамках заданных ограничений. Однако компьютерное моделирование показывает работоспособность конструкции управляющих моментов (25) и в случаях, когда уровни Д помех V/ выходят за указанные ограничения.

Итерационный алгоритм решения задачи 3.1 включает этапы. 1) Выбор конструкции (25) управляющих моментов и, с и* вида(33), (34). В случае г(Г)* (О, 1, 0) достаточно перейти к управляющим моментам, получающимся из (25) перестановкой индексов. 2) Оценка уровней /?* вспомогательных помех V/* по формулам (28). 3) «Назначение» уровней а,' вспомогательных управлений и'. При этом числа а', Д' предопределяют соответствующее значение г = Т— /о гарантированного времени переориентации твердого тела. 4) Проверка выполнимости заданных ограничений (23) для управляющих моментов «,. Эту проверку можно осуществить на множестве возможных состояний вспомогательной линейной системы (26), (27), (33), (34). Если оценки (23) не выполняются, или наоборот, есть «резерв» в их выполнении, необходимо продолжить поиск подходящих чисел а'. В противном случае переориентация осуществляется за время т.

Во втором параграфе рассмотрена модификация предложенного подхода решения задачи 3.1 в направлении получения более простых управляющих моментов. В частности, в них можно избавиться от составляющих, компенсирующих гироскопические моменты тела. Управляющие моменты упрощаются за счет усложнения структуры вспомогательных помех в образующихся линейных системах. В данном случае оценки вспомогательных помех требуют расчета на множестве состояний линейных вспомогательных конфликтно-управляемых систем. Для проведения оценок используется принцип «назначения и последующего подтверждения» уровней этих помех.

А именно, используются управляющие моменты

«1 =А\(\1у2){-щ+ 7,и2*)> и2 = А2и2, и3 = А^У^Хщ' + Гъи2). (37)

Теорема 3.2. Если область помех шмеет вид (36), то задача 3.1 может быть решена посредством управляющих моментов (37), (33), (34), удовлетворяющих заданным ограничениям (23).

В данном случае решение задачи 3.1 предполагает этапы. 1) Выбор конструкции (37) управляющих моментов и, с и' типа (33), (34). На этом этапе не

только а", но и уровни V,', не определены. 2) Предварительный выбор величины г и «назначение» Д\ Это предопределяет значения а,', р,. 3) Проверка фактического выполнения неравенств |у/| < Д* на множестве О состояний линейной системы (26), (27), (33), (34) (принцип «назначения и последующего подтверждения» дня оценки V/*). 4) Проверка выполнимости заданных ограничений - (23) на управляющие моменты и, на множестве Л.

В третьем параграфе решается задача одноосной переориентации асимметричного твердого тела при помощи трех симметричных маховиков, оси вращения которых закреплены вдоль главных центральных осей вращения тела.

Вращательное движение этой системы (трехроторного гиростата) вокруг центра масс описывается дифференциальными уравнениями (Ax-Jx)xx=(A2-A3)x2x3-J3ф3x2+J2ф2x3-ux+v^, (А2 - = (Л, - А{- + ^ф3хх -и2+г2, (38)

(А3 - ^)х3 = (Ах - А2)хххг + ^ф1хг - J-lфгxx - и3 + у3,

. Л (Й+*») = «/.

в которых: А, - главные центральные моменты инерции гиростата; х, - проекции вектора угловой скорости основного тела на главные центральные оси к, эллипсоида инерции гиростата;

<Р' ~ осевые моменты инерции и углы поворота маховиков, оси вращения которых неподвижно' закреплены вдоль осей к,. Управляющие моменты а, (в данном случае моменты внутренних сил) приложены к маховикам и создаются специальными двигателями. Моменты V; характери-

„ _ „ зуют внешние силы и внешние неконтролируе-

Рис. Трехроторныи гиростат „

мые возмущения, действующие на основное тело.

ЗадачаЗ.З (одноосной переориентации). Требуется найти управляющие моменты щ 6 К, при любых допустимых V/ е Кх переводящие связанный с гиростатом вектор г за конечное время из произвольного начального положения г(<0) = Го в заданное г(7) = г,. Оба состояния являются состояниями покоя х(/0) = х(7) = 0. Кроме того, ф(/0) = 0. Момент времени Т > /0 не фиксируется. Не нарушая общности считаем г(Г) = (0,1,0).

Для решения поставленной задачи используются управляющие моменты их =(АХ-У1)(1/у2)[-ухх1х3 + у3(хх +х2) + и3-у,и'2]-(А'-Ух)х2х3 + +^ф2х3 - ^ф3х2,

и2 =(Л3- А,)ххх3 -(А2-^)и'2-^фххз + ^ф3хх, (39)

Щ=(А3-03){\! у2)[у3ххх3 -ух(х\ +х1)-и\-у3и2] + (А'' - ^)ххх2 + +Jlф^x2-J2ф2xx, А'=АХ-А2+Аз,

в которых и* - некоторые вспомогательные управления.

Управляющие моменты (39) позволяют выделить линейную конфликтно-

управляемую систему дифференциальных уравнений (26), (27), в которой вспомогательные помехи V* и оценки их уровней /?,'имеют вид

V,' = №/(Л3 - 2), ■

у2* = У2/(/12 - У2), Уз* = КУ21(Л2 - ЛЬ^ЛЛ, - -Л).

Р: = №(А,-^))2+ША1-^))2]1'\ (40)

А* = Ш\Аг - ^))2+(РАА\ - УО)2]"2-

Для линейной системы (26), (27) решается вспомогательная задача управления посредством и* вида (33), (34) о быстрейшем приведении в положение (29) при ограничениях (30).

В силу соотношений (35), фактически решение вспомогательной линейной игровой задачи означает решение исходной нелинейной задачи управления по требуемой части переменных: по отношению к переменным х„ у,.

Вводятся обозначения

/} = ы«, / 1+V)"2] и = и),

Гг = Ыа2! [(/12^2)(^о2+8(|г10| + |г30|)2),/2].

Теорема 3.3. Если область помех определяется неравенствами

[(2р:+&+&)1{АЫд2+2/}г11(А2-Ш!2 <Ги

[(2А2+Д,2+/%2)/(ЛЗ-^)2+2А2/(Л2-/2)2]1/2<ГЗ,

[{2рг2+Рх2+Ръ2У(А2^г)2]т<Гг, то задача 3.3 может быть решена посредством управляющих моментов (39), (33), (34), удовлетворяющих заданным ограничениям (23).

Итерационный алгоритм решения задачи 3.3 включает этапы. 1) Выбор конструкции (39) управляющих моментов и, с и* вида (33), (34). 2) Оценка уровней Р' вспомогательных помех v* по формулам (40). 3) «Назначение» уровней а' вспомогательных управлений и'. 4) Проверка выполнимости заданных ограничений (23) для управляющих моментов щ. Эту проверку можно осуществить на множестве возможных состояний вспомогательной линейной системы (26), (27), (33), (34), а также линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений для определения ф) (такая система получается после подстановки первых трех уравнений системы (38), в которых и, заменяются соотношениями (39), в оставшиеся три уравнения системы (38)).

Учитывая структуру управляющих моментов (39), заключаем, что для их оценки достаточно иметь оценки выражений А^с, + У, ф,. Такие оценки можно получить, используя функцию т.

М2(1) = (Ах1 +^ф1)2+(А2 х2 + У2ф2)2+(А3х3 + У3ф})2.

При вычислении ее производной в силу системы (38), используя неравенство Коши-Буняковского и неравенства(24), получаем М <(р2 +Р? + Д2)1/2,.и искомые оценки имеют вид Йл + J^ ф, I < ¡{02 + Д2)1'2.

Публикации по теме диссертации Публикации в журналах, входящих в перечень ВАК

1. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной детектируемо-сти нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2009. №1. С.25-38.

2. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. №5. С.23-31.

> З. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К нелинейной игровой задаче одноосной пере'ориентации асимметричного твердого тела // Системы управления и информационные технологии. 2010. №2(40). С.4-8.

Другие публикации

4. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче устойчивости инвариантных некомпактных множеств нелинейных динамических систем // Наука и технологии. Труды XXVII Российской школы. М.: РАН, 2007. С.291-295.

5. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К трем классам задач частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Механика и процессы управления. Труды XXXVIII Уральского семинара. Т.2. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. С.57-66.

6. Мартышенко Ю.Г., Воротников В.И. К задаче устойчивости некомпактных инвариантных множеств нелинейных динамических систем П Научные труды XIV отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. С.40-44.

7. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче стабилизации заданной ориентации асимметричного твердого тела посредством двух управляющих моментов // Механика и процессы управления. Труды XXXIX Уральского семинара. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. С.276-280.

8. Мартышенко Ю.Г. К задаче устойчивости по части переменных нелинейных динамических систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2010. С.177-179.

9. Мартышенко Ю.Г. К нелинейной игровой задаче переориентации твердого тела. Наука и технологии. Том 2. - Краткие сообщения XXX Российской школы, посвященной 65-летию Победы. - Екатеринбург: УрО РАН, 2010. С. 63-65.

10. Мартышенко ЮТ. К задаче устойчивости по части переменных нелинейных динамических систем // Актуальные проблемы механики, математики, информатики. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Пермь: ПГУ, 2010. С.136.

11. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К нелинейной игровой задаче одноосной переориентации асимметричного твердого тела // Актуальные проблемы механики, математики, информатики. Тезисы докладов Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Пермь: ПГУ, 2010. С.66.

Введение.

Глава 1. Условия частичной детектируемости нелинейных динамических систем.

1.1. Условия детектируемости по части переменных.

1.2. Условия детектируемости (по отношению к свойству устойчивости) «частичных» положений равновесия.

1.3. Условия детектируемости (по отношению к свойствам квазиустойчивости и устойчивости по части переменных) «частичных» положений равновесия.

Глава 2. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем.

2.1. Условия устойчивости по части переменных при не малых возмущениях неконтролируемых переменных.

2.2. Условия устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия.

2.3. К унификации исследований частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем.

Глава 3. К нелинейной игровой задаче одноосной переориентации асимметричного твердого тела.

3.1. Одноосная переориентация при помощи трех пар двигателей.

3.2. Модификация метода решения задачи переориентации.

3.3. Одноосная переориентация при помощи трех маховиков.

1. Актуальность темы. Начиная с середины XX столетия бурное развитие получили задачи об устойчивости и стабилизации динамических систем по отношению к некоторой заданной части переменных (а не по всем переменным), определяющих состояние исследуемой системы.

Благодаря большой математической общности постановки, указанные задачи являются междисциплинарными и естественным образом возникают при моделировании многих явлений и управляемых процессов в самых разных разделах науки: механике, физике, экономике, биологии, и других. Они часто называются также задачами частичной устойчивости (стабилизации).

Основополагающие результаты в данной области принадлежат В.В. Румянцеву [1-5], в работах которого заложены основы теории устойчивости по части переменных для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью, а также показана принципиальная применимость полученных результатов к задачам устойчивости более общих моделей систем, содержащих звенья с распределенными параметрами.

В последующих работах многих ученых теория и методы исследования устойчивости и стабилизации по части переменных получили определенное развитие; также решен ряд важных прикладных задач.

Достаточно полное представление о состоянии проблемы дают монографии [6-10], а также обзорные работы [11-17].

Проведенные исследования выявили принципиальные трудности, возникающие при изучении задач устойчивости (стабилизации) по отношению к части переменных, для преодоления которых потребовались существенно новые идеи, выдвинутые в ряде работ.

В частности, рамки использования метода функций Ляпунова в задачах устойчивости по части переменных для систем обыкновенных и функционально-дифференциальных уравнений удалось существенно расширить:

- введением разного типа «предельных» систем дифференциальных уравнений и «предельных» функций Ляпунова [18-24];

- построением разного рода вспомогательных систем дифференциальных уравнений [25,8-10];

- конкретизацией понятия К-функции, знакоопределенпой по отношению к части переменных [26,9,10], и сужением допустимой области изменения «неконтролируемых» (при исследовании устойчивости) переменных [27,28];

- использованием метода функций Ляпунова в сочетании с асимптотическим методом усреднения [29-31].

Получил развитие применительно к задачам устойчивости по части переменных и первый метод Ляпунова. В данном направлении исследований получены условия устойчивости по части переменных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [27,32,33,34], по линейному приближению [32,35,36], а также в ряде критических случаев [36-39,34,28].

Расширился круг рассматриваемых моделей. Помимо систем обыкновенных дифференциальных уравнений задачи частичной устойчивости стали рассматриваться для дискретных [40^44], функционально-дифференциальных [45— 57], стохастических [58,9,59-61], импульсных систем дифференциальных уравнений [62-65], а также для абстрактных общих динамических систем в метрическом пространстве и нелинейных непрерывных полугрупп [66-70].

Были вскрыты и специфические особенности задач частичной устойчивости [8-10], проливающие свет на опасности, которые кроются на пути практического использования некоторых заманчивых теоретических результатов.

Оказалось также, что задачи устойчивости (стабилизации) по отношению к части и по отношению ко всем переменным тесно связаны между собой и дополняют друг друга при решении практических вопросов [6, 8-10].

С другой стороны, свойство частичной устойчивости в ряде случаев явля4 ется не только достаточным для нормального функционирования систем, но и необходимым для обеспечения желательных режимов их работы.

Именно задачи частичной устойчивости (стабилизации), в отличие от задач устойчивости (стабилизации) по всем переменным, становятся строгой математической базой для многих важных современных исследований. Это обстоятельство определяет актуальность выбранной темы исследования.

2. Цель работы. Начиная с основополагающих работ В.В. Румянцева основным методом исследования задач устойчивости и стабилизации по части переменных является метод функций Ляпунова, оказавшийся весьма эффективным при анализе как теоретических, так и прикладных проблем.

Однако хотя во многих прикладных задачах метод функций Ляпунова и позволяет получить строгие и легко интерпретируемые условия частичной устойчивости, тем не менее, в целом вопросы конструктивного построения функций Ляпунова до сих пор остаются малоизученными.

Кроме того, в ряде рассматривающихся в настоящее время постановках задач частичной устойчивости требования к соответствующим функциям Ляпунова неизбежно являются чрезмерно жесткими.

В такой ситуации значительный интерес представляет дальнейшее развитие метода в плане ослабления требований к функциям Ляпунова, а также развитие других подходов к задачам частичной устойчивости и стабилизации. С другой стороны, необходима дальнейшая модификация задач частичной устойчивости, позволяющая найти приемлемый компромисс между содержательным смыслом понятия частичной устойчивости и требованиями к функциям Ляпунова.

Кроме того, небезынтересно использовать накопленный в рамках решения задач частичной стабилизации научный потенциал и для решения задач управления на конечном промежутке времени.

С этой целью в данной работе предлагается:

1) расширить возможности метода функций Ляпунова в задачах частичной устойчивости (стабилизации) путем развития концепции детектируемости динамических систем, предполагающей анализ структурных форм систем, для 5 которых устойчивость по одной части переменных будет фактически означать устойчивость по отношению к другой (большей) части переменных;

2) рассмотреть более общие задачи частичной устойчивости, в рамках которых возможно найти приемлемый компромисс между содержательным смыслом понятия частичной устойчивости и требованиями к функциям Ляпунова, а также унифицировать (в известной мере) исследования задач устойчивости нестационарных и стационарных систем;

3) использовать развитые при решении задач частичной стабилизации подходы для исследования нелинейных задач управления вращательным движением асимметричного твердого тела при игровой модели помех.

3. Методы исследования. В работе используются методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости, а также методы математической теории управления.

4. Положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие новые результаты.

1) Условия на структуру нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, при которых устойчивость их нулевого положения равновесия или устойчивость «частичного» (нулевого) положения равновесия по отношению к одной части переменных будет фактически означать устойчивость указанных положений равновесия по отношению к другой, большей части переменных.

2) Для нелинейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в контексте метода функций Ляпунова условия устойчивости по отношению к части переменных:

- нулевого положения равновесия для случая, когда начальные возмущения, являясь малыми по исследуемой на устойчивость части переменных, могут быть в то же время большими по одной части и произвольными по другой (оставшейся) части неконтролируемых переменных; частичных» (нулевых по некоторой части фазовых переменных) положений равновесия в предположении, что начальные возмущения переменных, не определяющих «частичное» положение равновесия, могут быть большими по одной части и произвольными по оставшейся их части.

Приложение полученных результатов к соответствующим задачам устойчивости нелинейных голономных механических систем (дополнения к теореме Лагранжа - Дирихле).

3) Унификация (в известной мере) исследований задач частичной устойчивости стационарных и нестационарных систем на основе восходящего к В.И. Зубову сведения исходной нестационарной системы к стационарной и рассмотрения для полученной стационарной системы указанных выше задач устойчивости по части переменных «частичных» положений равновесия.

4) Метод решения нелинейной задачи одноосной переориентации асимметричного твердого тела (посредством как двигателей, так и маховиков) при игровой модели помех.

В случае управления посредством маховиков данная задача является задачей управления по части переменных, определяющих состояние изучаемой конфликтно-управляемой системы (по переменным, определяющим состояние твердого тела). В случае управления посредством двигателей данная задача является задачей управления по всем переменным, на первом этапе решения которой решается соответствующая задача управления по части переменных.

5. Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в математической теории устойчивости и теории управления, а также в решении прикладных задач устойчивости и управления.

6. Апробация работы. Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Уральском семинаре по механике и процессам управления (2006, 2008) и Российской школе по проблемам науки и технологий (2007-2010, г. Миасс);

- научной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ (2008, 2009);

- VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (2010, г. Самара);

- Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики» (2010, г. Пермь);

- научном семинаре кафедры теоретической механики УрГУ (2010);

- научном семинаре Института математики и механики УрО РАН (2010);

- научном семинаре кафедры прикладной математики УрФУ (2011).

Работа над диссертацией входила в состав проекта РФФИ (код проекта

07-01-00483).

7. Личный вклад автора. Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В совместных публикациях научному руководителю В.И. Воротникову принадлежит постановка задач и обсуждение полученных результатов.

8. Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ [71-81], из них 3 статьи [71-73] в журналах, входящих в перечень ВАК.

9. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы (включающего 132 наименования).

Заключение

Рассмотрена задача одноосной переориентации асимметричного твердого тела посредством одного пространственного разворота при неконтролируемых помехах. Управление осуществляется либо при помощи управляющих моментов внешних сил относительно главных центральных осей инерции твердого тела, которые создаются при помощи трех пар специальных двигателей, либо при помощи управляющих моментов внутренних сил, приложенных к трем симметричным маховикам (роторам), оси вращения которых закреплены вдоль главных центральных осей инерции твердого тела.

Предложен конструктивный метод построения управляющих моментов, которые являются нелинейными функциями фазовых переменных рассматриваемой конфликтно-управляемой системы, включающей динамические уравнения Эйлера, кинематические уравнения Пуассона и уравнения, описывающие вращательное движение хмаховиков (в случае управления посредством маховиков). Указаны оценки допустимых уровней помех в зависимости от заданных ограничений на управляющие моменты.

Полученные оценки являются достаточными условиями, при которых обеспечивается решение рассмотренных игровых задач управления посредством предложенных конструкций управляющих моментов. Эти оценки являются завышенными в силу использования ряда неравенств при их обосновании, а также в силу предположения о «наихудших» реализациях помех во вспомогательной линейной игрой задаче управления. Однако компьютерное моделирование показывает работоспособность предложенного подхода и в случаях, когда уровни помех выходят за указанные пределы.

Отметим, что во многих приложениях желательно осуществить требуемое перемещение системы как можно быстрее (минимизировать гарантированное время переориентации). Однако точное решение задачи оптимального быстродействия для нелинейных систем представляет большие трудности. Предложенный в главе подход не приводит к оптимальным законам управления, но включают процедуру оптимизации времени процесса на этапе решения игровой задачи для вспомогательной линейной конфликтно-управляемой системы.

Предложенный метод примыкает к методам декомпозиции нелинейных управляемых систем [128-131]. Суть этих методов заключается в том, что исходная нелинейная механическая система дифференциальных уравнений в форме Лагранжа с п обобщенными координатами путем преобразования обобщенных координат сводится к совокупности п независимых линейных подсистем дифференциальных уравнений. При этом межсистемные связи рассматриваются как ограниченные воздействия, формируемые игроком-противником. В результате решение исходной нелинейной задачи управления можно получить на основе решения вспомогательных игровых задач управления для указанных линейных конфликтно-управляемых систем дифференциальных уравнений.

Хотя по общей направленности предлагаемый в данной главе подход к решению задач одноосной переориентации твердого тела и примыкает к указанным методам [128-131], однако имеет существенные различия.

- В отличие от методов [128-131] разделение исходной нелинейной конфликтно-управляемой системы на совокупность независимых линейных конфликтно-управляемых подсистем простейшего вида происходит за счет специально подобранной структурной формы управляющих моментов. Отметим, что при отсутствии помех такой выбор управляющих моментов позволяет получить, как показано в работе [8] путем сравнения с известными результатами, субоптимальные по быстродействию законы управления переориентацией твердого тела.

Кроме того, в отличие от [128—131], получающиеся линейные конфликтно-управляемые подсистемы вида (3.7), (3.8) не являются однотипными.

- Указанное отличие в выборе структурной формы управляющих моментов приводит и к отличию функций, представляющих их реализации. Если в методах [128-131] управления релейны и принимают предельно допустимые значения, то управляющие моменты (3.6), (3.32) или (3.40) достигают своих предельных значений, вообще говоря, только в отдельные моменты времени, и проверка заданных ограничений (3.3) осуществляется в итерационном режиме на множестве возможных состояний вспомогательной линейной конфликтно-управляемой системы дифференциальных уравнений (3.7), (3.8), (3.14), (3.15).

Подчеркнем, что указанные отличия обусловлены особенностями структуры рассматриваемых в главе нелинейных конфликтно-управляемых систем дифференциальных уравнений (3.1), (3.2) и (3.38), (3.2), для которых их сведение к совокупности независимых линейных подсистем только путем преобразований переменных (без введения специально подобранной обратной связи) затруднено. Такие задачи управления в работах [128-131] не рассматривались.

Отметим также, что полученные в главе результаты являются развитием результатов работ [132,10], где управление осуществляется посредством моментов внешних сил, реализуемых посредством двигателей. Кроме того, в [132,10] рассматривается конфликтно-управляемая система, включающая динамические уравнения Эйлера и кинематические уравнения в переменных Родрига-Гами-льтона. Как показывают результаты данной главы, решение задачи переориентации твердого тела посредством маховиков является существенно более сложной в силу необходимости учета оценок для угловых скоростей маховиков.

Предложенные конструкции управляющих моментов (3.6), (3.32) и (3.40) могут быть эффективно использованы в случаях, когда начальные возмущения угловой скорости тела (начальные значения переменных х,) являются достаточно малыми, в то время как начальное угловое отклонение связанной с телом фиксированной оси от заданного направления в пространстве может быть достаточно большим. (Для расширения области допустимых начальных угловых отклонений можно последовательно использовать две конструкции управляющих моментов типа конструкции (3.6), (3.32) и (3.40), переходящих одна в другую соответствующей перестановкой индексов).

Заметим, что требуемой величины начальной угловой скорости тела всегда можно добиться за счет ее предварительного снижения. Такая задача решается на базе только динамических уравнений и здесь не рассматривается.

1. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. МГУ. Сер. Мат., Механ., Физ., Астр., Хим. 1957. №4. С.9-16.

2. Румянцев В.В. Об устойчивости вращательных движений твердого тела с жидким наполнением // Прикладная математика и механика. 1959. Т.23. Вып. 6. С.1057-1065.

3. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 439с.

4. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикладная математика и механика. 1970. Т.34. Вып.З. С.440-456.

5. Румянцев В.В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отношению к части переменных // Прикладная математика и механика. 1971. Т.35. Вып. 1. С. 147-152.

6. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987. 256с.

7. Савченко А .Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных систем. Киев: Наукова Думка, 1989. 208с.

8. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288с.

9. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. Boston: Birkhauser, 1998. 448p.

10. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный Мир, 2001. 320с.

11. Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения относительно части переменных // Прикладная матема98тика и механика. 1972. Т.36. Вып.2. С.364-384.

12. Румянцев В.В. Некоторые задачи об устойчивости движения по отношению к части переменных // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С.429-436.

13. Muller P.S. Zum problem der partiellen asymptotischen stabilitat // Fest, zum 70 Gelebr. von Herrn Prof. Dr. K. Magnus, TU München. 15.11.1982. P.237-268.

14. Румянцев B.B. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №5. С.739-776.

15. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и дис-сипативных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т.6. М.: ВИНИТИ, 1983. С.3-127.

16. Воротников В.И. Задачи и методы исследования устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных: направления исследований, результаты, особенности // Автоматика и телемеханика. 1993. №3. С.3-62.

17. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы развития // Автоматика и телемеханика. 2005. №4. С.3-59.

18. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // Прикладная математика и механика. 1979. Т.43. Вып.5. С.796-805.

19. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы относительно части переменных // Прикладная математика и механика. 1984. Т.48. Вып.5. С.707-713

20. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на основе предельных уравнений // Прикладная математика и механика. 1987. Т.51. Вып.2. С.253-259.

21. Андреев A.C. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости // Прикладная математика и механика. 1991. Т.55. Вып.4. С.539-547.

22. Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. I. (Autonomoussystems) // Acta Sei. Math. 1983. Vol.45. №1-4. P.219-231.

23. Hatvani L. On partial asymptotic stability and instability. II. (The method of limiting equations) // Acta Sei. Math. 1983. Vol.46. №1-4. P. 143-156.

24. Hatvani L. On partial asymptotic stability by the method of limiting equation // Ann. Mat. Pura Appl. (IV). 1985. Vol. 139. P.65-82.

25. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324с

26. Воротников В.И. К теории устойчивости по отношению к части переменных // Прикладная математика и механика. 1995. Т.59. Вып.4. С.553-561.

27. Peiffer К. La Methode de Liapunoff Appliquée á I Edúte de la Stabilité Partielle. Université Catholique de Louvain. Faculté des sciences. 1968. 126p.

28. Воротников В.И. К задачам устойчивости по отношению к части переменных // Прикладная математика и механика. 1999. Т.63. Вып.5. С.736-745.

29. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. Исследование резонансных многочастотных систем. М.: Наука, 1986. 192с.

30. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. М.: Высшая школа, 1988. 183с.

31. Анашкип О.В., Хапаев М.М. О частичной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31. №3. С.371-381.

32. Луцеико A.B., Стадникова Л.В. О частичной устойчивости по первому приближению // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9. №8. С. 1530-1533.

33. Воротников В.И., Прокопьев В.П. Об устойчивости движения относительно части переменных для линейных систем // Прикладная математика и механика. 1978. Т.42. Вып.2. C.268-27I.

34. Воротников В.И. Об устойчивости движения относительно части переменных // Прикладная математика и механика. 1988. Т.52. Вып.З. С.372-385.

35. Озиранер A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных // Прикладная математика и механика. 1973. Т.37. Вып.4. С.659-665.

36. Прокопьев В.П. Об устойчивости движения относительно части переменных в критическом случае одного нулевого корня // Прикладная математика и механика. 1975. Т.39. Вып.З. С.422^126.

37. Озираиер A.C. Об устойчивости движения в критических случаях // Прикладная математика и механика. 1975. Т.39. Вып.З. С.415-421.

38. Лизунова М.Г. Об устойчивости относительно части переменных в критическом случае пары чисто мнимых корней // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск: Изд-во УрГУ, 1991. С.59-65.

39. Щенников В.Н. О частичной устойчивости в критическом случае 2к чисто мнимых корней // Дифференциальные и интегральные уравнения: Методы топологической динамики. Горький: Изд-во ГГУ, 1985. С.46-50.

40. Силаков В.П., Юдаев Г.С. Об устойчивости разностных систем относительно части переменных // Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. №5. С.909-913.

41. Носов В.Р., Фурасов В.Д. Об устойчивости дискретных процессов по заданным переменным и сходимости некоторых алгоритмов оптимизации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. №2. С.316-328.

42. Александров А.Ю., Жабко А.П. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб: Изд-во СПбГУ, 2007. 136с.

43. Haddad W.M., Chellaboina V. Nonlinear Dynamical Systems and Control: A Lyapunov-Based Approach. Princeton: Univ. Press, 2008. 976p.

44. Costa E.F., Astolfi A. Partial stability for a class of nonlinear systems // SIAM J. Control and Optim. 2009.Vol.47. №6. P.3203-3219.

45. Corduneanu C. On partial stability for delay systems // Ann. Polon. Math. 1974. Vol.29. P.357-362.

46. Юдаев Г.С. К вопросу об устойчивости относительно части переменных // Дифференциальные уравнения. 1975. Т. 11. №6. С. 1023-1029.

47. Калистратова М.А. Об устойчивости по части переменных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1986. №5. С.32-37.101

48. Андреев А.С., Павликов С.В. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-дифференциального уравнения // Прикладная математика и механика. 1999. Т.63. Вып.1. С.3—12.

49. Игнатьев А.О. Устойчивость относительно части переменных в функционально-дифференциальных системах с запаздыванием // Механика твердого тела. №30. Киев: Наукова Думка, 2000. С. 158-164 .

50. Ignatyev А.О. On the partial equiasymptotic stability in functional-differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2002. Vol.268. №2. P.615-628.

51. Павликов С.В. Предельные уравнения и функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости по части переменных // Ученые записки УлГУ. 2003. Вып. 1(13). С.63-74.

52. Чудинов К.М. Об устойчивости по части переменных линейных автономных систем с последействием // Изв. Вузов. Математика. 2004. Т.48. №6. С.72-78.

53. Андреев А.С. Устойчивость неавтономных функционально-дифферен-циальпых уравнений. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2005. 328с.

54. Чудинов К.М. Об устойчивости по подпространству решений линейных систем с переменным запаздыванием // Изв. Вузов. Математика. 2006. Т.50. №4. С.51-56.

55. Чудинов К.М. О двойственности частичной и условной устойчивости линейных функционально-дифференциальных уравнений // Изв. Вузов. Математика. 2006. Т.50. №5. С.73-82.

56. Павликов С.В. Об устойчивости движения эредитарных систем с бесконечным запаздыванием // Доклады РАН. 2007. Т.416. №2. С. 166-168.

57. Андреев А.С. Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 2009. №9. С.4-55.

58. Шаров В.Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части переменных // Автоматика и телемеханика. 1978. №11. С.63-71.

59. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости по части переменных линейных стохастических систем с последействием // Изв. Вузов. Математика. 2000. Т.44. №6. С.75—79.

60. Кадиев Р.И. Устойчивость по части переменных решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению //Изв. Вузов. Математика. 2001.Т.45. №5. С.30-35.

61. Ignatyev О. Partial asymptotic stability in probability of stochastic differential equations // Statistics & Probability Letters. 2009. Vol.79. №5. P.597-601.

62. Simenov P.S., Bainov D.D. Stability with respect to a part of variables in systems with impulse effect // J. Math. Anal. Appl. 1986. Vol.117. №1. P.247-263; 1987. Vol.124. №2. P.547-560.

63. Yang T. Impulsive Control Theory. Berlin: Springer-Verlag, 2001. 348 p.

64. Игнатьев А.О. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных решений систем с импульсным воздействием // Сибирский математический журнал. 2008. Т.49. №1. С. 125-133.

65. Ignatyev А.О. On the stability of invariant sets of systems with impulse effect // Nonlinear Analysis: TMA. 2008. Vol.69. №1. P.53-72.

66. Michel A.N., Molchanov A.P., Sun Y. Partial stability and boundedness of general dynamical systems on metric spaces // Nonlinear Analysis: TMA. 2003. Vol.52. №4. P. 1295-1316.

67. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М.: Физ-матлит, 2003. 224с.

68. Zuyev A.L. Partial asymptotic stability and stabilization of nonlinear abstract differential equations // Proc. of the 2003 IEEE Conf. on Decision and Control. Maui, Hawaii, December 2003. P. 1321-1326.

69. Зуев A.JI. Частичная асимптотическая устойчивость абстрактных динамических процессов // Украинский математический журнал. 2006. Т.58. №5. С.629-637.

70. Мартынюк А.А., Денисенко B.C. Об устойчивости и ограниченности движений относительно части переменных в метрическом пространстве // Докл.103

71. АН Украины. 2008. №5. С.69-75.

72. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче частичной детектируемое™ нелинейных динамических систем // Автоматика и телемеханика. 2009. №1. С.25-38.

73. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К теории частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. №5. С.23-31.

74. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К нелинейной игровой задаче одноосной переориентации асимметричного твердого тела // Системы управления и информационные технологии. 2010. №2(40). С.4-8.

75. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче устойчивости инвариантных некомпактных множеств нелинейных динамических систем // Наука и технологии. Труды XXVII Российской школы. М.: РАН, 2007. С.291-295.

76. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К трем классам задач частичной устойчивости нелинейных динамических систем // Механика и процессы управления. Труды XXXVIII Уральского семинара. Т.2. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. С.57-66.

77. Мартышенко Ю.Г., Воротников В.И. К задаче устойчивости некомпактных инвариантных множеств нелинейных динамических систем // Научные труды XIV отчетной конференции молодых ученых УГТУ-УПИ. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. С.40-44.

78. Воротников В.И., Мартышенко Ю.Г. К задаче стабилизации заданной ориентации асимметричного твердого тела посредством двух управляющих моментов // Механика и процессы управления. Труды XXXIX Уральского семинара. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. С.276-280.

79. Мартышенко Ю.Г. К задаче устойчивости по части переменных нелинейных динамических систем // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3. Самара: СамГТУ, 2010. С. 177-179.

80. Мартышенко Ю.Г. К нелинейной игровой задаче переориентации104твердого тела. Наука и технологии. Том 2. Краткие сообщения XXX Российской школы, посвященной 65-летию Победы. Екатеринбург: УрО РАН, 2010. С. 63-65.

81. Sontag E.D., Wang Y. Output-to-state stability and detectability of nonlinear systems // Syst. &. Control Lett. 1997. V.29. №5. P.279-290.

82. Sontag E.D. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. 2 ed. New York: Springer-Verlag, 1998. 53 lp.

83. Sontag E.D. Input to state stability: Basic concepts and results // Nonlinear and Optimal Control Theory. Berlin: Springer-Verlag, 2006. P. 163-220.

84. Shiriaev A.S., Fradkov A.L. Stabilization of invariant sets for nonlinear non-affine systems // Automatica. 2000. V.36. №11. P.1709-1715.

85. Shiriaev A.S. The notion of F-detectability and stabilization of invariant sets of nonlinear systems // Systems &. Control Letters. 2000. V.39. №5. P.327-338.

86. Ingalls B.P., Sontag E.D., Wang Y. Measurement to error stability: a notion of partial detectability for nonlinear systems // Proc. of the 2002 IEEE Conf. on Decision and Control. Las Vegas. Nevada. December 2002. P. 3946-3951.

87. Барбашин E.A., Табуева B.A. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969. 300с.

88. Halanay A. Differential Equations: Stability, Oscillations, Time Lags. N.Y.: Acad. Press, 1966. 528 p.

89. Озиранер А.С. Об одной теореме Малкина-Массера // Прикладная математика и механика. 1979. Т.43. Вып.б. С.975-979.

90. Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. М.: Наука, 1974. 598с.

91. Воротников В.И. Об устойчивости и устойчивости по части переменных частичных положений равновесия нелинейных динамических систем // Доклады РАН. 2003. Т.389. №3. С.332-337.

92. Lin Y., Sontag E.D., Wang Y. A smooth converse Lyapunov theorem for robust stability // SIAM J. Control and Optim. 1996. V.34. №1. P. 124-160.

93. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. СПб: Наука, 2005. 314с.

94. Peiffer К., Rouche N. Liapounov's second method applied to partial stability // J. Mecanique. 1969. V.8. №2. P.323-334.

95. Мирошник И.В., Никифоров B.O., Фрадков A.JT. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб: Наука, 2000. 549с.

96. Chellaboina V., Haddad W.M. A unification between partial stability and stability theory for time-varying systems // IEEE Control Systems Magazine. 2002. V.22. №6. P.66-75. (Erratum: IEEE Control Systems Magazine. 2003. V.23. №1. P.103.)

97. Воротников В.И. Два класса задач частичной устойчивости: к унификации понятий и единым условиям разрешимости // Доклады РАН. 2002. Т.384. №1. С.47-51.

98. Tell A.R., Zacearían L. On «uniformity» in definitions of global asymptotic stability for time-varying nonlinear systems // Automatica. 2006. V.42. №12. P.2219-2222.

99. Lagrange J.L. Mecanique Analytique. Paris: Veuve Desaint, 1788. 512p. (Русский перевод: Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика. В 2-х т. М.: Гостех-издат, 1950. Т.1. 596 е.; Т.2. 440 с.)

100. Lejeune-Dirichlet G. Bedingungen der Stabilitat der Gleichgewichts lagen106

101. J. Reine und Angew. Math. 1846. Bd.2. P.85-88.

102. Rouche N., Habets P., Laloy M. Stability Theory by Liapounov's Direct Method. New York: Springer-Verlag, 1977. 396р. (Русский перевод: Руш H., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 300с.)

103. Corduneanu С. Sur la stabilite partielle // Rev. Roum. Math. Pure et. Appl. 1964. V.9. №3. P.229-236.

104. Massera J.L. On Liapunouff's condition of stability // Ann. Math. 1949. V.50. №3. P.705-725.

105. Барбашин E.A. Метод сечений в теории динамических систем // Математический сборник. 1951. Т.29(71). №2. С.233-280.

106. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. 240с.

107. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. 4-е изд. М.: Наука, 1974. 504с.

108. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г, Фурасов В.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971. 352с.

109. Самойленко A.M. Элементы математической теории многочастотных колебаний. Инвариантные торы. М.: Наука, 1987. 304с.

110. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272с.

111. Teel A., Praly L. A smooth Lyapounov function from a class-KL estimate involving semidefinite functions // ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations. 2000. V.5. P.313-367.

112. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника Земли относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416с.

113. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495с.

114. Щкляр В.Н., Малышенко A.M. К задаче оптимального пространственного разворота космического аппарата относительно центра масс // Космические исследования. 1975. Т. 13. Вып.4. С.473-480.

115. Акуленко Л.Д. Асимптотические методы оптимального управления.1071. M.: Наука, 1987. 365c.

116. Румянцев B.B. Об устойчивости движения гиростата // Прикладная математика и механика. 1961. Т.25. Вып.1. С.9—16.

117. Leimanis Е. The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point. Berlin: Springer-Verlag, 1965. 337p.

118. Румянцев B.B. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1967. 141с.

119. Степанов С.Я. О множестве стационарных движений спутника-гиростата в центральном ньютоновском поле сил и их устойчивости // Прикладная математика и механика. 1969. Т.ЗЗ. Вып.4. С.737—744.

120. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами // Вестн. МГУ. Сер. Мат. Механ. 1970. №2. С.83-96.

121. Крементуло В.В. Стабилизация стационарных движений твердого тела при помощи вращающихся масс. М.: Наука, 1977. 263с.

122. Горшков A.B. Об оптимальной стабилизации вращательного движения гиростата // Прикладная математика и механика. 1979. Т.43. Вып.5. С.779-786.

123. Junldns J.L., Turner J.D. Optimal Spacecraft Rotational Maneuvers. Amsterdam: Elsevier, 1986. 515p.

124. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 223с.

125. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420с.

126. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392с.

127. Емельянов C.B., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Физматлит, 1997. 352с.

128. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // Прикладная математика и механика. 1990. Т.54. Вып.6. С.883-893.

129. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. №6. С.64-82.

130. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1993. №1. С.209-214.

131. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328с.

132. Воротников В.И. Об управлении угловым движением твердого тела. Игровой подход // Прикладная математика и механика. 1994. Т.58. Вып.З. С.82— 103.