Методы построения на ЭВМ функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПР0БЛЕЛ1 УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

ДЬЯЧЕНКО Ирина Вячеславовна 4

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НА ЭВМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(01.01.11 — Системный анализ и автоматическое управление)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1991

Работа выполнена в ордена Ленина Институте проблем управления АН СССР.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Е. С. ПЯТНИЦКИЙ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук В. В. АЛЕКСАНДРОВ, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией Н. А. БОБЫЛЕВ

Ведущая организация: Институт кибернетики АН УССР

Защита состоится « » 1991 г. в часов

на заседании Специализированного совета Д 002.68.03 Института проблем управления (117342, Москва, Профсоюзная ул., 65).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления.

Автореферат разослан < » 1991 г.

Ученый секретарь Специализированного совета к. т. н.

С. А. ВЛАСОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность ne.su. Одним из основных требований, которым должна удовлетворять система управления, является обеспечение ее устойчивости. Условия, при которых система устойчива, по существу, определяет условия работоспособности системы. Поэтому в процесса проектирования систем автоматического управлений обязательно проводится анализ устойчивости систем.

Теоретическую основу анализа устойчивости нелинейных систем управления в настоящее Бремя составляет метод функций Ляпунова и(.I). Центральное место в рамках этого метода занимает вопрос о построении функции 1)(х). Для конкретной нелинейной динамической систем) соответствующая функция 1)(х) позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение.

Построение функций Ляпунова в заданной области фазового пространства нелинейной системы представляет собой трудную проблему. Общих конструктивных методов решения етой задачи, применимых для достаточно широких классов нелинейных динамических систем, в настоящее время не существует. Большинство методов построения функции 1)(х) основано на использовании специфики изучаемой системы, что в ряде случаев позволяет указать класс функций, которому принадлежит искомая функция 1)(х\. Классическим примером такой ситуации являются механические системы, в которых в качестве функции Ляпунова v часто можно выбрать полную энергию системы. Однако в общем случае класс -функций Ляпунова, как правило, заранее не известен.

Поэтому большой теоретический и практический интерес представляет разработка конетруктийных методов построения

функций Ляпунова, частично или полностью ориентированных на применение ЭВМ и пригодны! для широкого класса нелинейных систем управления. Такие методы вместе с реализущими из программами могут составить основу для построения подсистемы анализа устойчивости в рамках •САПР - нелинейных систем управления.

В настоящей работе предлагается и обосновывается метод численного построения функции ь(х) и его использование для решения целого ряда задач устойчивости нелинейных динамических систем.

Цель работ - разработка и обоснование численного метода построения функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных динамических систем;

- ' программная реализация разработанного метода и решение на его основе различных задач устойчивости с использованием ЭВМ.

Метдн исследования. Для разработки и обоснования предложенного в работе метода численного построения на ЭВМ функций Ляпунова в задачах анализа устойчивости нелинейных динамических систем в диссертации используются: общая теория устойчивости движения, прямой метод Ляпунова, теория линейного программирования, сеточный метод решения задач оптимизации.

Научная новизна. В диссертации предложен новый подход к решению проблемы построения функций Ляпунова в задаче анализа устойчивости нулевого решения нелинейных стационарных систем. В работе получены новые необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости^ тривиального решения нелинейных динамических систем общего вида.

Разработаны алгоритмы численного метода построения

функции Ляпунова на сетке, основанные на сведении задачи построения функции v(x) в области с выколотой окрестностью нуля к задаче линейного программирования. Приведены алгоритмы проверки выполнения свойств функции Ляпунова, построенной на сетке, во всей рассматриваемой области.

В диссертации наряду с задачей асимптотической устойчивости рассматриваются также задачи об экспоненциальной и абсолютной устойчивости; Показано, что эти задачи могут быть конструктивно решены на основе предложенного метода численного построе!1йя функций Ляпунова.

Практическая ценность. Метод функций Ляпунова широко применяется во многих задачах управления. Основную роль при построении функций V(x), как правило, играют аналитические методы. Однако эти методы не позволяют получить конструктивное решение задачи построения функций Ляпунова для нелинейных динамических систем. Поэтому в настоящее время дальнейшее развитие и усложнение задач, возникающих в теории управления, механике, вычислительной математике приводит к необходимости алгоритмизации и реализации на ЭВМ второго метода Ляпунова.

В связи с этим разработанный в диссертации метод численного построения функций v(x) для широкого класса нелинейных систем имеет теоретическую и практическую ценность.

Предлагаемый метод реализован'на ЭВМ и может составить основу для разработки методов проектирования нелинейных систем управления на ЭВМ как в диалоговом, так и в автоматическом режимах.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах ИЛУ, МГУ, нз XIV конференции молодых ученых ШТИ (Москва, 1989), на

международной семинаре "Автоматизация проектирования' систем управления" (Алма-Ата, 1989), на VIII Сибирской школе по пакетам прикладных программ (Новосибирск, 19S9).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Объел работ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБ0"Ш.

Во введении обсуждается актуальность темы, сформулирована цель и определены задачи работы, приведен обзор современных подходов к проблеме построения функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных динамических систем, кратко изложены основные положения диссертации.

Первая глава посвящена изложении сути предлагаемого метода, связанного с построением функции Ляпунова в области фазового пространства с выколотой окрестностью нуля "(изучаемая система задается уравнениями в отклонениях от исследуемого режима, и анализируется устойчивость нулевого решения этой системы). На основе такого подхода предложен конструктивный способ решения задач об асимптотической, экспоненциальной и абсолютной устойчивости.

Рассматривается класс нелинейных динамических систем, описываемых векторным дифференциальным уравнением

i = f(x) , (1)

n

где <С=(Х, ) í Rn - n-мерный вектор состояния , f(X) ■ 1=1

непрерывная Л-мерная вектор-функция, определенная в _ некоторой области G с Rr", содержащей внутри себя точку Х=0, №=0.

Сначала рассматривается случай, когда в некоторой окрестности точки т=0 система (1) может бить представлена в виде

J = Лт + g(X) , (2)

где А - гурвицевз матрица порядка п * П , а функция g(x)

удовлетворяет условию Zfii \g(x)\/\x\=0 , где'

|j|-0

|l|= wax | J. | .В втом случае для системы линейного Ktin 1

приближения х = Аг существует Функция Ляпунова из класса квадратичных форм

V2(X) -- X I X ,

где I - симметрическая, положительно определенная матрица

, Т1

Ь = I = (1. J , определяемая из матричного уравнения Ляпунова

AL i LA = - ¡7.

»

Штрих означает транспонирование , а IV = 17 > 0 - некоторая числовая матрица (положительность IV (аналогично и для L) означает, что X'WX > 0 для любого х ф 0). Функция Ляпунова \>г(Х) позволяет установить асимптотическую устойчивость нулевого решения J = 0 системы (2) в малом н одновременно указать непустую область притяжения начала координат Ф^, представляющую собой внутренность многомерного эллипсоида :

Ф0 = { х: x'Lx < С, С - const }.

Расширить полученную область притяжения можно, если в области

Г = i х: 0 < е $ |J| < Я) с G, (3)

внутренняя граница которой лежит внутри ф , а внечшяя находится нл конечном расстоянии от 'Ф^, будет построена

функция Ляпунова v(X), удовлетворяющая неравенствам:

\v(x) >о, XiT (4)

[¿(г; = ( dv(x)/dx, (At + g(x)) ) < 0 .

Справедлива следующая

Леллп I. Если на множестве Г , определенном в соответствии с (3), существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова v(x), удовлетворящая условиям (4), то любое решение системы (2), начинающееся в связной области

G = ( xiT: v(x) < у J , 7 = min v(x) > 0 , (5)

|х|=Я

в некоторый конечный момент времени попадает в область й>0 и остается в ней.

Доказательство леммы представляет собой естественное следствие рассуждений, используемых при доказательстве классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Далее рассматривается задача анализа экспоненциальной устойчивости нулевого решения 1 = 0 системы (2).

■ Определение 1. Пусть к, р и Ар - некоторые положительные константы. Нулевое решение системы (2) называется экспоненциально устойчивых (с параметрами k и (3), если

■ ■ ' -т-и

|1(10Д;ИЙ|х0|е 0 , (t>t0) (6) при любых начальных возмущениях XQ из области

,|101<У (7)

Область, определенная неравенством (7), называется

-областью экспоненциального притяжения нулевого решения системы (2). '

В случае линейной стационарной системы свойства асимптотической и експоненциальной устойчивости эквивалентны. Поэтому гурвицевость матрицы А для системы (2) обеспечивает существование в окрестности нуля некоторой области экспоненциального притяжения Фр.

Для построения более широкой области экспоненциального притяжения нулевого решения системы (2) вводится ' в рассмотрение область Г вида (3) такая, что

Фр з D= ( х: ^ е } и Фр с D2- ( х: \х\ а ). (8)

1

На основании теоремы Н.Н.Красовского , получена следующая лемна.

Лелла 2. Пусть на множестве Г , заданном в соответствии с (3) и (8), существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова V(x), удовлетворяющая оценкам, характерным для квадратичных форм

f С, |.I|2 i uflj $ G2\x\2

V(x)$-C3\Х\г (9)

_ '( Ct= const > 0 , 1=1,2,3) .

Тогда для любого решения x(x0,t) системы (2) , начинающегося в связной области

G = ( xiF: v(x) < т. 7 = min v(x) >0 } , T ix\=R

будет выполняться неравенство

|ifi0,i.)H ft|.r0|e 0 , (t > tQ)

л

Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения.-М.: Физмзтгиз,1959.

- 1jo -

с некоторыми параметрами > 0.

Предложенный подход может бить использован также для решения задачи об абсолютной устойчивости нелинейной системы

га ,

х = Ах +J bj(fj(Oj,t) , Oj= c'jX , J=1,...,m , (10) J=t

где A, и Cj , j=T^m - постоянные матрицы размерности

П'П, Jl' 1 и Un соответственно. Предполагается, что матрица А - гурвпцева, а фj(0(,t)- нелинейные функции, которые непрерывны по Оj и удовлетворяют неравенствам

0 ^ ср^о ,t) of « kj02f , 0 < kj < со , J=/,...,m

и условиям фj(0,t) = 0, J=Tïm . Совокупность всех таких

функций фfa,tJ = ( (¡)j(Oj,t) )j™f обозначается через N .

Определение 2. Система (10) называется аОаолюпаю устойчивой, в классе ff , если ее нулевое решение X = 0 асимптотически устойчиво в целом при любом выборе функции <p(a,t) i ff^ равномерно по классу нелинейностей S .

Для установления свойства абсолютной устойчивости системы (10) достаточно построить в области Г вида (3) выпуклую однородную функцию Ляпунова (например, в классе форм степени 2р, р > 1),'удовлетворяющую системе неравенств:

V(X) > О , XiF

дщх) ™ , —- (11)

( Ar + I Ъ/^ ) < 0, \i=1,2т ,

дх И

где величины h ., ¡1=1,2т, J=Tim принимают одно из двух значений : 0 или ку

Услоеия (9) и (11) представляют собой естественное обобщен!« условий (4) применительно к свойствам експоненциальнсй устойчивости системы (2) и абсолютной устойчивости системы (10) соответственно. Предложенный в диссертации метод численного построения функций Ляпунова, удовлетворяющих условиям (4), носит достаточно обший характер. Поэтому этот метод с надлежащими изменениями легко распространяется и на задачи построения функций v(X), удовлетворящих условиям (9) и (11).

Возможность еффектиЕно строить функции Ляпунова в областях Г (типа кольца) позволяет существенно расширить класс рассматриваемых систем. В частности, на основе использования подхода, аналогичного метода Н.Н.КрасоЕСКОго, сказалось возможным сформулировать и доказать необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости .нелинейных стационарных систем общего вида (1).

Пусть на последовательности замкнутых областей Г^ = iG \ Вп), где G— некоторая окрестность нуля, а {Вп) -

последовательность окрестностей нуля таких, что dian Вп =

= шах |.Г| -» 0 , построена последовательность непрерывно XiB П-m

n

дифференцируемых функций Ляпунова (V (Х-)) :

Vх'->0 хег . (12)

тг

v (XI < О п

Определи! последовательность 'шеел (А }={А : А =max(v (X))),

п п п дв п

п

где ÖB^- граница окрестности куля Вп , и соответствующие ей множества

1> = 1 .Г еГ : V (XI }. п п i n

Теорелй I. Нулевое 4 решение X = 0 системы (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда найдется такая последовательность функций Ляпунова it*n(x)i, для которых

dim D - 0'. "

" п-оо

Необходимость условий теоремы 1 непосредственно следует из соответствующих теорем обращения прямого метода Ляпунова.

Для доказательства достаточности вводятся в рассмотрение функции:

уп(х) -

v (x) , x £ Г со , г С а

П ' Ь(Г>={ 2

О , X € В -I (г-А) , г > А

п

и устанавливается, что функция 00 С

v(x) = у ф. (у (х)) , П n п

п -)

определенная в области G, при соответствущем выборе (С } является функцией Ляпунова, обеспечивающей асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1).

Теорем. 2. Нулевое решение 1=0 системы (1) асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда найдется такая последовательность функций Ляпунова (V^(X)} на последовательности множеств Для которой выполнены

следующие соотношения

min v, > мхх v, , ■ . ÖG дВ1

min v ,. > юх v ,,, п=1,2,.. dG п" dB п"

п .

min • /> mar и ,, п=1,2,... dB n+' dB , п+'

п п+1

Вторая глава посвящена разработке и обоснованию алгоритма численного построения функций Ляпунова в областях Г вида (3). В качестве параметрического класса функций, в котором строится функция Ляпунова, рассматривается класс полиномов

я

V (х)=^а <р (х), (13)

1

где через а , з=7777 в (13) обозначены коэффициенты

а р

полинома V (х), а через ф (х) , 3=7717 обозначены

р .6 Р

степенные мономы вида

(тг-1)!

(У __

п+г'Г г!(п-1)!' Заметим, что в качестве (р (х) могут быть рассмотрены мономы другого вида (например, тригонометрического).

Ограничиться таким -классом функций Ляпунова, для которого роль параметров играют коэффициенты ад , ,

позволяет следующая теорема, вытекающая из обобщения известной теоремы Вейерштрасса.

Теорем 3. Пусть в ограниченной замкнутой области Г вида (3) для "системы (1) существует непрерывно дифференцируемая функция Ляпунова И(х), удовлетворяющая неравенствам (4).

Тогда найдутся такое натуральное число р £ 2 и такой

полином V (X) вида (1-3) степени не выше р, что будут р

выполнены неравенства

v (X) } А}> О

dv (х) х i Г

vjx) ={—&— , f(x)) < -А,<0

Неравенства (14) для v (X) перепишутся в виде

vp(x)

N '

> а -ф (х) > 0 , i € Г ;

и. В 3

В=1 N

v (х) = fa < 0 , х i Г

v в-1

(15)

где фв(х) = (d<fg(x)/óx , f(xj) , . Без ограничения

общности , в силу однородности функций v (х) и Ь (х) по а ,

р р 0

можно считать, что Ja| = шах |а | < 1 .

í^sCíí s Р

Под решением системы неравенств (15) понимается соответствующая совокупность коэффициентов а , s=T¡J¡ , для

в р

которой эти неравенства выполнены при всех X £ Г.

Условия существования решения неравенств (15) эквивалентны следующему минимаксному условию

Я

7 = min шах йог |ав|</ хеГ

{N

- fwx) • fwx> 8=1 8=1

< 0. (16)

Аналитическое решение неравенства (16) затруднительно. Поэтому для проверки выполнения этого минимаксного условия используется сеточный метод, связанный с покрытием заданной области Г дискретной сеткой Г^ с некоторым шагом Ь. > 0 . Сетка выбирается таким образом, чтобы ее узлы равномерно располагались по всей области Г и кратчайшее расстояние между ними оыло еличиной постоянной, равной И.

С целью обоснования сеточного метода рассматривается последовательность равномерных, всюду плотных в Г, сеток Г^ таких, что Н = Ь. /2.

т+) га

Вводится в рассмотрение последовательность вещественных

чисел

7 = nín mi тш

П ЮН*

ff- и.,

' (17)

Ii Li

- fv<ps(Tj ; fa. 4>jx)

8=1 B=1

Обоснование использования сеточного метода для проверки выполнения минимаксного условия (16) дается следующими двумя утверждениями.

Утверждение I. Справедливо равенство

Игл 7 =7 .

И-кя m t

Утверждение 2. Для того, чтобы выполнялось условие (16)' необходимо и достаточно, чтобы нашлось число 1 такое, что одновременно выполнялись неравенства

7 '< 0 и р* < -7 / I , (18)

МП ш ш

О О О

где р* = тах min Ii-J.,1, L = йог (Ъ,,Ъ„), а через L. и L„ то х€Гх,.еГ. г ' 2 ' ¿

V hn0

обозначаются константы Липшица функций Vp(X) и ^ (Xj на

Использование утверждений 1 и 2 позволяет перейти от исходной минимаксной задачи (16) к соответствующей минимаксной задаче на дискретной области Г^ с некоторым

шагом h > 0 :

mtn mi пот Iаз|€/ xviFh

и , • г0 •

N

- fwv >: vw f <0 • <19>

3=1

где т , г' =77?^ -множество узлов сетки Г^, а - число -узлов сетки Г^ .

Показано, что задаче решения неравенства (19) можно поставить в соответствие задачу линейного программирования.

-з -> т1п , _

(Ьуи) - (Ъгг) + 2^0 , ] = 1,2Ян ,

(20)

где

и^ о , г ^ О , г £ о ,

V" ' • V Г» - '

Ь = ф П } , Я+ 1 $ 1 < 2 и , х € Г , 3=ТХ , }в 8 Л Л Л р

а новые переменные и{ и 1=1,N связаны с параметрами а{ соотношениями * ■ ■ ПРИ втом условия

|а | ^ 1 , 1=7717 эквивалентны условиям

I р

и, + Х.= 1 , 1=тх

I ( Р

0 .

Решение задачи (20) существует, поскольку допустимое множество точек fí,U,2} в задаче (20) замкнуто и ограничено.

Теорела 4. Решение неравенства (19) эквиЕэлентно решению задачи линейного программирования (20), если значение целевой функции на решении этой задачи строго отрицательно.

Для решения задачи линейного программирования (20) в работе используется алгоритм симплекс-метода. В результате

его применения находятся ковффициенты а , а=Т^ ,

6 р

определяющие' вид полиномиальной функции Ляпунова v^(x), удовлетворяющей на сетке Г^ условиям

( v (x) > о

I vp(x) < о h

Поскольку исходная задача связана с построением функции Ляпунова во всей области Г, то необходимо дополнительно проверить, удовлетворяет ли построенная на сетке функция v ix) соответствующим условиям во всей области Г.

В соответствии с утверждением 2 для выполнения требуемых свойств функции V (х) во всей области Г необходимо

и достаточно, чтобы шаг разбиения сетки Г^ , на которой она была построена, удовлетворял неравенству:

с

in h/2 < min ( (min v (x)/L) , ( min (-v (x)/L) ) , (21) jer p хеГ p

где n - размерность системы , L - константа Лишшца из (18).

Значение константы Липшица в условии (21) может оказаться достаточно большим, что осложняет работу алгоритма проверки свойств функции Ляпунова во всей области Г. Б случае, когда Функция vp(x) и ее производная в силу системы l> (X) являются полиномами, предлагается иной алгоритм проверки свойств построенной функции.

Основную идею этого метода, применимого для любого числа перемента, изложим для полиномов от двух переменных:

l. n

P(i\y) = I ак х у * . Ш

lk тк

В каждом координатном квадранте моном аk X у сохраняет свой знак. Полином Р(х,у) может Сыть представлен в Евде

P(x,yj = SJx.y) - SJx.yj,

где S (X,y) - сумма положительных мономов, a Sjx,y) - сумма модулей отрицательных мономов. При этом состав мономов в сушах S+(i,yJ и S_(x,y) для конкретного полинома Р(х,у1 в каждом рассматриваемом квадранте остается неизменным. Соотношения для сумм S+ и вычисленных в ближайшей (А) и наиболее удаленной (В) от нуля точках квадрата AGBD, целиком лежащего в каком-либо ' квадранте, позволяют определить знак полинома Р(х,у) на всем квадрате AGBD. Именно,

если S (А) > SJB) , то Р(х,у) > О , ix,у) е AGBD ,

122)

если SJA) > S+(BJ , то Р(х,у) < 0 , (Х,у) 6 AGBD .

Для анализа знака полинома Р(Х,у) на квадрате можно использовать не только соотношения (22), не и аналогичные соотношения для частных производных дР/дХ, ОР/ду полинома Р(Х,у). В силу непрерывности полинома., на квадрате, знакоопределенность частных производных гарантирует сохранение знака полинома, определенного в вершинах, во Есех точках квадрата.

С использованием этого метода, проверку знаков функции Ляпунова Up(x,yj и ее производной Ь^{'Х,у! мочшо производить на любом квадрате, вершинами которого являются узлы сетки Г^ и который целиком лежит в одном из координатных квадрантов.

Предложенный ' метод разбиения полинома на сушу положительных и отрицательных слагаемых позволяет получить более точную оценку константы Липшица для анализируемой функции на рассматриваемом квадрате при использовании оценки (21). Эффективность, предложенного алгоритма определения

знака построенной функции во всей области Г проверена при его численнной реализации на ЭВМ - на ряде конкретных примеров.

Во второй главе приведены также соответствующие задачи линейного программирования, возникающие при численном построении функций Ляпунова для решения задач експоненциальной и абсолютной устойчивости, сформулиров-жшх в первой главе.

Разработанный в работе метод построения функции Ляпунова в облпти Г позволяет определить возмонную область ограниченности реиешй системы (1), что следует из следующего утверждения:

Уя&ерждекие 3. Пусть в области Г = G \ Н , где Н -некоторая замкнутая окрестность нуля, для системы (1) построена функция Ляпунова t>{Xl, удовлетворяющая условиям (4) в Г.

Пусть найдется такое число Г>0 , что для множества = 'У • ^ г , х t М } выполняется условие :

mln vixj > таг v(x) ,

lídü Xíd'I

г

где дИ и дИ - границы множеств !¡r и !1 состветственно.

Тогда любое решение система (1), находящееся в некоторый момент времени Í^O во множестве U, никогда уже не выйдет за пределы множества ¿f^.

В третьей главе метода построения функций Ляпунова, развитые в предыдущих главах, распространяются на случай дискретных систем.

Рассматривается система общего вида, описываемая векторным разностным уравнением

х(з+1) = Р(х(з,)) , Р(0) = 0, (23)

где х(а) = (XjlsJ.x^B).....xjs))', 8=0,1,2,... -

дискретное время. Р(х) = (f1(x),f2(x),...,fn(x))' -

вектор-функция, непрерывная в окрестности точки X = Q.

Универсальным методом решения задач теории устойчивости нелинейных дискретны! систем, является дискретный аналог прямого метода Ляпунова, который сводится к построению функции Ляпунова V(X) и изучению ее свойств, а также свойств ее первой разности

Lv(x) = v(F(x)) - v(x)

в силу системы (23). Математической основой этого метода являются дискретные аналоги соответствующих теорем для непрерывного случая .

В диссертации предлагается и обосновывается численный метод построения в областях

Г ={ х : 0 < е $ \х\ £ R }

функции Ляпунова V (X) из параметрического класса (13), удовлетворяющей неравенствам:

V (X) > 0 , х i Г

р (24)

tav (х) < 0 , х i Г.

Как и в случае неравенств (15), основу предлагаемого алгоритма построения функции вида (13), удовлетворяющей условиям (24), составляет использование сеточного метода и сведение задачи построения' решения неравенств (24) к всп.лгогательной задаче линейного программирования, которая решается с помощью симплекс-метода.

Представлено теоретическое обоснование алгоритма, что включает в себя и решение проблемы эффективной проверки

свойств функции 1>р(х), построенной на сетке, во всей рассматриваемой области Г.

В четвертой гладе приводятся примеры конкретного применения результатов диссертации. Приведены полученные с использованием ЭВМ численные решения задач асимптотической и абсолютной устойчивости для различных нелинейных динамических систем второго и третьего порядков. Приведенные в этой главе результаты численных экспериментов показывают эффективность и работоспособность разработанных в диссертации Ме годов и алгоритмов численного анализа устойчивости нелинейных динамических систем.

В заключение перечислим основные результат.

1. Для непрерывных и дискретных нелинейных динамических систем разработан метод численного построения функций Ляпунова в классе полиномов в областях с£ выколотой окрестностью нуля. Основу втого метода составляет использование сеточного метода и сведение задачи построения таких функций к вспомогательной задаче линейного прогр аммиров ания.

2. Обоснована возможность поиска функции Ляпунова в параметрическом классе полиномов.

3. Обосновано использование сеточного метода в предлагаемом алгоритме.

4. Предложен эффективный способ проверки свойств функции, построенной на сетке, во всей рассматриваемой области Г.

5. На основе разработанного подхода построения функций Ляпунова предлагается конструктивные метода решения" ряда задач теории устойчивости, в частности, задач об асимптотической, экспоненциальной и абсолютной устойчивости.

6. Установлены новые критерии асимптотической

устойчивости для стационарных, нелинейных динамических систем общего вида.

7. Разработанные алгоритмы доведены до их программной реализации на ЭВМ.

8. Работоспособность разработанных алгоритмов и реализующих их программ проверена в серии численных вкспериментов на ЭВМ на ряде конкретных примеров.

Публижщш по теле диссертации.

1. Дьяченко И.В.,- Молчанов А.П. Алгоритмическое обеспечение подсистемы анализа устойчивости САПР нелинейих систем' управления.- В кн.: 3-я Всесоюзная школа "Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сложными объектами". Тез. докл. , Туапсе, 1988, с.9.

2. Дьяченко И.В. Об одном методе построения на ЭВМ Функций Ляпунова для нелинейных систем.- В кн.: Труды XIV конференции молодых ученых., М., МФТИ, 1989, с. 11-16.

3. Дьяченко И.В. Способ расширения области притяжения равновесия нелинейной системы.- В кн.: Материалы И конференции молодых ученых мех.-мат. факультета МГУ "Дифференциальные уравнения и функциональный анализ и их приложения"., И., МГУ, 1989, с.74-76.

4. Дьяченко И.В., Молчанов А.П., Пятницкий Е.С. Алгоритмы построения на ЭВМ функций Ляпунова для нелинейных динамических систем.- В кн.: VIII Сибирская школа по пакетам прикладных программ., Тез.докл. ,Новосибирск, 1989, с.107.

5. Dyachenko I.V., Molohanov А.P., Pyatnitskiy Е.Б. Lyatanov'B functions method in a subsystem of stability analysis for CAD of nonlinear control system. -Mathematics & oompyter in simulation ,v.33, July,1991.

Личный 6 кшд соискателя. Все научные результаты,

составляющие основное содержание работы, получены автором самостоятельно. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит общая разработка задачи, формализация задачи, формулировка и доказательство теорем, разработка алгоритмов и их программная реализация.

Заказ $1/6 Объем 1« Тираж Типография МИСиС, ул.Орджоникидзе, 8/9