Построение на ЭВМ функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных стохастических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ЧБ ой 2 3 ОНТ №5

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ

На правах рукописи

БАРАБАНОВ Иван Николаевич

ПОСТРОЕНИЕ НА ЭВМ ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ДЛЯ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность о1.о 1.н - Системный анализ

и автоматическое управление

•Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте проблем управления РАН

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Е.с;. ПЯТНИЦКИЙ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор A.C. КОВАЛЕВА.

доктор физико-математических наук А.Ю. ВЕРЕТЕННИКОВ

Ведущая организция - Институт системного анализа РАН

г*

Защита состоится " ¿0 " U£d£j/\JL 1995 года в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.6S.03 "Института проблем управления (i17806. Москва, ул Профсоюзная, д.65)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления.

Автореферат разослан " / 7 " QUSaJIxä- 1995 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат технических наук

С.А. ВЛАСОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. При построении системы управления одним из наиболее важных свойств, которым должна обладать такая система, является свойство устойчивости. При этом .в различных технических задачах требования, предъявляемые к устойчивости системы, могут быть различными. В связи с этим различными оказываются и постановки задач устойчивости систем управления.

Одним из наиболее удобных методов анализа устойчивости системы является метод функций Ляпунова. Первоначально этот .метод был развит для решения задач устойчивости детерминированных систем. С развитием теории случайных процессов он был распространен на стохастические системы. Для конкретной нелинейной динамической системы (как детерминированной, так и стохастической) функция Ляпунова позволяет решить целый комплекс задач, имеющих важное прикладное значение. Одним из примеров таких задач может служить задача стабилизации системы методом стабилизирующих пар.

Центральное место в применении метода функций Ляпунова занимает построение для системы Функции \'{х), имеющей определенные свойства в .некоторой области фазового пространства. Универсальных методов построения, пригодных для широкого класса систем в настоящее время не существует. Большинство методов' построения функции у(х) основаны на использовании специфики системы. Одним из примеров такого подхода могут служить механические системы,' в которых в качестве функции Ляпунова можно выбирать полную энергию системы.

Формализация задачи построения функции Ляпунова дает возможность качественного анализа нелинейных динамических <как детерминированных, так и стохастических) систем, в том числе систем управления.■

Поэтому большой практический интерес представляет разработка конструктивных методов построения функций Ляпунова, частично или полностью ориентированных на применение ЭВМ. Методы такого типа, пригодные для широкого класса нелинейных систем управления, вместе с реализующими их программами могут составить основу подсистемы анализа САПР нелинейных систем управления.

В настоящей работе предлагается и обосновывается' метод численного построения функций Ляпунова и возможность его использования для решения ряда задач устойчивости нелинейных стохастических систем.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ - разработка и исследование алгоритма численного построения функций Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных стохастических систем, а также программная реализация разработанного алгоритма.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ основываются на использовании аппарата теории случайных процессов, теории устойчивости стохастических систем, линейного программирования, сеточного метода решения задач оптимизации.

СВЯЗЬ С ПЛАНОМ. Исследования по теме диссертационной

работы проводились в соответствии с плановой тематикой работ > •

Института проблем управления РАН в рамках темы "Разработка конструктивных Методов анализа устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений для нелинейных объектов управления"

(316-92/16, номер гос. регистрации 01.92.0017902).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации предложен новый подход к решению проблемы построения функций Ляпунова в задаче анализа устойчивости нулевого положения равновесия нелинейных стационарных стохастических систем с непрерывным временем (.в виде уравнений ИТо) и с дискретным зременем (в виде разностных уравнений со случайными параметрами). Получена новая теорема об асимптотической устойчивости для дискретных систем общего вида.

Разработан алгоритм численного построения функции Ляпунова на сетке, основанный на сведении задачи решения линей-,ных неравенств к задаче линейного программирования. Приведены алгоритмы проверки свойств во всей области Г построенной на сетке функции Ляпунова.

В диссертации рассмотрены также задачи экспоненциальной и абсолютной устойчивости стохастических систем и показано, что эти задачи могут.быть конструктивно решены на основе предложенного метода численного построения функций Ляпунова.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Необходимость учета большего количества факторов, в том числе, и случайных, а вследствие этого усложнение математических моделей технических, биологических, социально-экономических и других систем приводит к необходимости алгоритмизации исследования свойств этих систем. с этой точки зрения разработанный в диссертации ориентированный .на применение ЭВМ метод построения функций Ляпунова для стохастических систем наряду с исследованием свойств системы с построенной функцией Ляпунова представляет теоретическую и практическую ценность.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ, основные положения диссертации докладывались и обсуждались на II Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 17-19 июня 1992 года; III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Самара, 5-9 июля 1994 года, а также на научных семинарах ИПУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы 5 печатных работ.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация содержит 113 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 93 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается актуальность темы, приводится обзор работ по устойчивости стохастических систем, кратко изложены основные положения диссертации.

Первая глава посвящена исследовнию свойств стохастической системы, для которой построена функция Ляпунова в "кольцевой области" Г. Обсуждаются причины, в силу которых численное построение функции Ляпунова в окрестности нулевого положения равновесия оказывается затруднительным. Среди таких причин можно выделить две наиболее существенные: первая заключается в отсутствии критерия выбора параметрического класса, в котором надо строить функцию Ляпунова; вторая вызвана трудностями вычислительного характера и связана с численной проверкой свойств функции Ляпунова.

Рассматривается класс нелинейных стохастических динамических систем, описываемых стохастическим дифференциальным уравнением Ито

к

аг = ь(хг)(Н + Е о^ (х , х(0) * X , (1)

Г г

где а ,...,в^; - ¿-мерный винеровский процесс; дек". Коэффициенты сноса ь(х) и диффузии а (х), г=1,к предполага-

г

ются непрерывными функциями, отображающими к" в к" и удовлетворяющими следующим двум условиям:

• функции Ь(х) и о (х), г=1,к липшицевы в каждом ком-

г

пакте в к" и растут не быстрее, чем линейные функции, т.е. Ь(х) - Ь( у) | + Е - пг(у)\ < Км\х-у\ при |.г|,Ы^

г =1

и \Ь(Х)\ + Е Iв -(х)\ * К(1 + \х\ ) ;

г =1 Г

• Ь(0)-0, а (0)=0. г=1,к .

г ь

Первое условие обеспечивает существование единственного сильного решения х(г) системы (1.2.1) при любом начальном условии , а также существование момента второго порядка е\х(г;|' для всех его.

В силу второго условия существует тривиальное решение уравнения (1.2.1) х(г,о) -о.

Обозначим я*^,«; - решейие системы (1.2.1) с начальным условием х, т.е. р{х(о,а)хх) = 1. Рассмотрим множество ■

Г = {х: О < е 5 II*Ц. :£ Я } . (2)

Справедлива следующая

Теорема 1.3. Пусть в области Г вида (2) для системы (1)

существует функция Ляпунова v{x)*C*(Г), удовлетворяющая в Г неравенствам

V(x) > Д >0 , LV(x) £-&< О , х*Г . . (3)

Пусть

Ф = v(x)<m, т = min V(x) f .

" 1 IM|.» J

Пусть также начальное условие.х «ф , v(x )=у. Тогда траекто-

0 я О

рии системы (1) за конечное время входят в окрестность нуля

и с вероятность», не меньшей ¡- . е • /л

Следует обратить внимание на то, что ни в Формулировке, ни в доказательстве этой теоремы не используется гипотеза о линейном приближении. Теорема 1.3 справедлива для систем как являющихся, так и не являющихся устойчивыми по линейному приближению, а также для систем не имеющих линейного приближения . Если же система (1) устойчива по линейному приближению, то результат теоремы i.-з допускает следующее уто'чнение.

Пусть система (1) устойчива по вероятности по линейному приближению. В этом случае найдутся такие постоянные матрицы в (размера лхл) и а(размера лх1), г=1,к, что линейная система

к

dX = Вх dt -t Е о х övf , (4)

t г t

* — 1

устойчива по Ьероятости, и при этом коэффициенты системы (1) допускают оценку

к

| Ъ[х) - Вх| Е |о (х) - о лг| < у|*| (5)

■ г г

г =1

в некоторой окрестности точки л=о с достаточно малым у>о. Из устойчивости по .вероятности линейной системы с постоянными коэффициентами следует ее экспоненциальная р-устойчивость

при некотором р>о, а, следовательно, и существование функции ш(х) из класса с* г®" Функция в^х; является дважды непрерывно дифференцируемой, кроме, быть может, точки *=о, непрерывной в нуле и удовлетворяет неравенствам:

* Мр * *(х) * *,ЫР ,

LW(х) - -к^ | х\" (6.)

при некоторых положительных * , кг , ку и * . Эта функция, определяется через решение f (t,v>) системы (4) с помощью соотношения :

т

■ W(x) = J Е |Л* СпЛ <Л1

о

а при надлежащем выборе т позволяет установить факт асимптотической устойчивости исходной системы (1), поскольку она положительно определена и в некоторой окрестности нуля Фо, определяемой условиями (5), выполняется неравенство

LW(x) < о ,

т.е. выполнены условия теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Выберем в теореме i.з константы е и R таким образом.

чтобы внутренняя граница Г входила в Фо, определяемую из

анализа линейного приближения, а внешняя была на конечном

расстоянии от Ф .

о

Рассмотрим множество fca такое, что из оеа следует, что найдется г<» такое, что для всех t*т выполняется л* (t.<*)*ис.

У

В соответствии с теоремой 1.3, р{л} г 1 - —. если только

т

.г» . Так как в I/ существует функция Ляпунова »'(х), удовлетворяющая неравенствам (6). то для почти всех о« в выполняется 11 п> л* (г; . о , следовательно. 1 -»00

р( Нт А* . О ]■ £ 1 - — .

j Л!

Таким образом, располагая функцией Ляпунова в "кольцеобразной" области Г, можно оценить снизу меру траекторий, стремящихся к нулю.

Далее рассматривается система (1> с точки зрения анализа экспоненциальной устойчивости нулевого решения .

Определение 1.4. Назовем областью экспоненциального >?-притяжения нулевого положения равновесия такую ' область, которая

1) инвариантна;

2) существуют положительные числа а и а такие, что для всякого начального условия х из этой области выполняется

К |А*^Г,о;|р 5 Л Мр ехр {-аг} . (7)

Инвариантная область для стохастической системы (1) может быть получена следующим образом: пусть у соответствующей детерминированной системы

х - Ь(Х)

существует некоторая инвариантная область и пусть с(.г)=о вне этой области. Тогда эта область будет инвариантной и для системы (1).

Пусть для системы (1) известна некоторая инвариантная область s, включающая нулевое положение равновесия и пусть система (1) асимптотически устойчива по линейному приближе-

ним. Функция я'(х), которая строится из линейного приближения (4) исходной нелинейной системы (1), будет удовлетворять условиям (б) с положительными к , / = 1,4 в некоторой окрестности нуля. Возьмем оо достаточно малым, чтобы множество ие входило в эту окрестность.

Георема 1.4. Пусть у^з и пусть на множестве Г = для системы (1) существует функция У(х)*с? (Г), удовлетворяющая первым двум неравенствам (б) с некоторыми положительными к , 1 = 1,э . Тогда 5 является областью экспоненциального р-притяжения системы (1).

Предлагаемый подход может быть также использован для анализа абсолютной устойчивости системы

ёХ = Г АХ + Е ь <р Ю , С) + ВХ , (8)

где л, Ь . с постоянные матрицы размера пхп, пх1, 1хп сол Ь

ответственно. Матрица а предполагается гурвицевой, <р (а , г)

} г

- нелинейные непрерывные функции, удовлетворяющие секторным ограничениям:

0 £ <р Со , - к аг , 0 < к < оо , } = 77« . j ^ 1 ii 1

Совокупность всех таких функций {<р (а ,1)}" обозначим

j 1 з ■ •

через лф .

Теорема 1.5. Для абсолютной устойчивости с вероятностью 1 системы (8) достаточно, чтобы в области Г существовала Функция Ляпунова в классе форм степени 2р, удовлетворяющая системе неравенств:

У(х), > 0 ,

[ §Т . [л* * 2 + + [Вх'&Т У<х) < 0 <9)

М = 1,2.....2" ,

где числа л принимают значение о или £ .

Ма л

Заметим, что существование Функции Ляпунова вида формы степени 2р на некоторой ограниченной области Г = {х: е*ЦхЦ^я; ясляется необходимым и достаточным условием абсолютной устойчивости соответствующей детерминированной системы

Приведенные утверждения первой главы составляют сущность предлагаемого метода, связанного с построением функции Ляпунова в области фазового пространства"с выколотой окрестностью нуля.

Вторая глава посвящена разработке и обоснования алгоритма численного построения функций Ляпунова в областях Г вида (2). В качестве параметрического класса функций, в котором строится функция Ляпунова,выбирается класс полиномов:

N

V (х) = Е « <р (х) (10)

р ..1 ' "

где через а^ , а обозначены коэффициенты полинома

V (дг) , а через <р (х) , а = 1,и - стандартные степенные мор « р

номы вида

к. *

<р = х " X Лл ... х

• 1 3 л _, п __р

к 1=1,п ; 2 5 Е к 5 р ; ; N = Е С

1 • 1 ■ . р Р П ♦ Г - 1

1 « I г ■ 2 >

^ _ (П+Г-1)!

я*г-\ Г!(П-1)! '

Ограничиться таким классом, параметрами которого являются коэффициенты а , з - 1,ы , позволяет следующая * р

Теорема 2.1. Пусть в ограниченной замкнутой области Г вида (2) существует дважды непрерывно дифференцируемая функция У(х), удовлетворяющая неравенствам (3) для системы (1). Тогда найдется такое натуральное число ¡£2 и такой полином

V (х) степени не выше р , что будут выполнены неравенства р

V (х) * 4, >0 р '

ь (И)

ьур(х) = ((ьг*).эзг) -гг1 ) у,(х> -

при некотором положительном А| , если х*Г, т.е. полином V (х) будет являться функцией Ляпунова для системы р

(1) в области Г.

Обозначим V (л) = ¿<р (х) и запишем неравенства (3) для « ■

V (х) • р

*

р

V (х) - Г а ф (л) > О , :

(12)

N

Р ^

IV (х) - Е а Чг (х) < 0 , .

р « •

а ■ 1

Без ограничения общности, в силу однородности V (х) и

р

¿V (х) по параметрам а, можно считать, что р

||а|| = пах 1а! 5 1. '

4 l<siN

р

Система (12) представляет собой бесконечную систему линейных неравенств относительно а^ . аналитическое решение которой затруднительно. Заменим систему (12) другой системой:

к

V и ) = Е а ф (-V ) > О

в V ж я V

« • 1 _

Х^г . \jxl.N ( 13 )

N

1-Й (л. > = Е а V (лг > <Г О

р V в ■ V

с « I

Конечное множество Г = { * «Г , м=1,к } назовем сет-

« V

кой в Г, а точки - ее узлами. Таким образом система неравенств на Г заменяется конечной системой неравенств на сетке Г

■

Для того, чтобы пользоваться сеточным методом, необходимо обосновать корректность такой замены.

Введем в рассмотрение минимаксное условие:

Г \ "р ]

1-Е « Ф (х) ; Е а v (*) f < О

t i " " ««i** J

у = min шах max 1-Е а 9 Ix) ; Е а м (х) г < 0 (14)

Условия существования решения системы неравенств (12) эквивалентны условию (14) . '

Рассмотрим последовательность равномерных всюду плотных в Г влохенных сеток Г и последовательность чисел

у = min max шах " I« I¿1 х*Г

Г КР % 1

< - Е а ф U) ; Е а V (х) ^ I * • * * i

Следующие две леммы дают обоснование корректности использования сеточного метода для решения рассматриваемой задачи:

Лемма 2.1. у —► г при т—> ® .

Леша 2.3. Для того, чтобы выполнялось условие у<о необходимо и достаточно, чтобы нашелся такой номе? т . что

о

одновременно выполняются неравенства

у < О И Р <---

о о £

где р„ = max min |х-лг I , а через £ обозначен максимум "о х*Г х «Г "v

■ V ■

о

из констант Липшица функций v (х) и lv (х) на Г.

р р

Использование этих лемм позволяет перейти от задачи

(14) к задаче на сетке Г^ с шагом h:

С Н N

I Р Р

min max шах i - Е а «Р (*) ; Е а V (х)^ < 0 , (13)

!<* х*Г [ ... ' " ... ' *

которая может быть сведена к задаче линейного программирования.

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

( с , а ) + z - О , j = 1.2N } h

(16)

■1 s a s 1 .

и

5 = l.S

Z * о ,

где с = -Ф !х ) . 1 < j < у , .г «Г , s = l,N ;

j««J hjh Р

С = Ч» f* ) , .V tl 5 j s М , i «Г , S = 1,N ,

jк «j-K h h j- И h p

h h

с =

j

j 1

j *

° 1 «J

, и (■) — скалярное про-

p

изведение в пространстве к р .

Заменой а = и - г , о^ы ,с £1 задача (16) сводится к

а а « я к

стандартной задаче линейного программирования, которая может

быть решена симплекс-методом.

Решение задачи (16) существует, так как допустимое множество точек {сi,z} ограничено и замкнуто. Связь между решениями задач (15) и (16) дает

Теорема 2.2. Если оптимальное значение целевой функции задачи линейного программирования (16) строго положительно, то решения задачи (16) и минимаксного неравенства (15) эквивалентны.

В результате решения задачи линейного программирования находятся коэффициенты , s = i,Np , определяющие вид полинома (10), который удовлетворяет неравенствам (13).

Поскольку исходная задача связана с построением функции Ляпунова во всей Г, то необходима дополнительная проверка

свойств функции v {х) в Г. В соответствии с леммой 2.3, дор

статочный условием такой проверки будет выполнение неравенства

у* ^ . г . v.**> г. iiüfii \

у п—< min ■{ min —е- ; mm - -к- f .

4 г Х£Г 1 £ J J

h k

Во второй главе приводятся также соответствующие задачи линейного программирования для задач экспоненциальной и абсолютной устойчивости.

Утверждения второй главы обосновывают алгоритм построения функций Ляпунова для стохастических систем в области с выколотой окрестностью нуля.

В третьей главе методы построения Функций Ляпунова, развитые в предыдущих главах, распространяются на случай дискретных систем.

Рассматривается дискретная система со случайными параметрами :

х = f(x , Z. ) , л = 0,1,... (17)

и* 1 it л ■* I

В (17) через х (и) обозначены случайные векторы, задан- . к

пне на некотором вероятностном пространстве (q,T,p) и принимающие значения в фазовом пространстве . £ (о) (л =

п

*

1,2,...) - последовательность независимых случайных векторов, заданных на (q.^'.p), принимающих значения в пространстве к4 и имеющих одинаковое распределение. Функция fix,у):

р-хЕ" —> R" предполагается непрерывной по совокупности ■ переменных и липшицевой по х на каждом компакте из г для всякого у. Предполагается, что f(0,y) = о для всех .yeR4 . В этом случае последовательность х (и) = о будет гэшением

п

системы (17) . Через lv(x) обозначается действие на непрерывную Функцию viх) оператора математического ожидания первой раЗНОСТИ VIх) В СИЛУ СИСТеМЫ (17):

LV(x) = Е -Í V(x ) I х = х 1 - V(x) Ц п ♦ 1 n J

Для дискретных систем оказывается справедливой теорема, аналогичная теореме 1.3:

Теорема з.з. Пусть для системы (17) существует непрерывная функция v(xjec(Rm}, удовлетворяющая условиям

v{x) г д >о , LV(x) 5 -&< о , х«Г .

Пусть также начальное условие удовлетворяют соотношению

х е ф = ■! дгеГ; V(x) < т , т s min V(x) f 0 ■ I и .vil rg J

Тогда решение системы (17) за конечное число шагов попадет в

область t/e = jftK'||х|| - c } с вероятностью не меньше* )

шей, чем i--2— .

ш

Приведем здесь достаточные условия асимптотической устойчивости системы (17).

Через Г , s^i обозначим последовательность областей

л

вида

= | .• е< ||*|| S Л } , е ,r>0, е <Л , е —» 0 при s-* "> . Пусть задана последова-

• та

тельность неотрицательных непрерывных функций vs(x) на Г^ соответственно. Определим последовательность множеств

D = { хег : V (х) - А } , А = шах V (х) .

* ' ' -М** '

Теорема 3.4. Пусть для системы (17) существует последовательность vg(x) неотрицательных функций, удовлетворяющих условиям

и (х) > о ,

л

LV (х) < О *

при х«Г , s - 0,1,2.....причем di aro D -» о при s-* ® .

« •

Тогда система (17) асимптотически устойчива по вероятности.

Таким образом построение функции Ляпунова в области (2) представляет собой построение элемента последовательности Vs(x).

Как и в случае непрерывных систем, функция Ляпунова выбирается из класса полиномов (Ю). Обоснованием выбора параметрического класса полиномов для функций Ляпунова служит Теорема 3.5. Пусть выполняется условие

р {»: (»>| < к; = 1

для некоторого о <к«*> и пусть для системы (17) существует неотрицательная непрерывная функция у(х), удовлетворяющая в ограниченной замкнутой области Г условиям (з) с некоторым л>о. Тогда найдется такое натуральное число и такой полином у (х) степени не выше р, что в области Г при некотором 5>о будут выполнены неравенства

V (х) > б , р

IV (х) < -в , р

:о есть полином V (х! также будет Функцией Ляпунова для сис-р

?еыы (17) в области Г.

Как и в случае непрерывных систем, основу предлагаемого лгоритма составляет использование сеточного метода и :ведение задачи решения линейных неравенств к задаче инейксго программирования, которая решается с помощью имплекс-метода.

Таким образом, третья глава посвящена изложении метода остроения функций Ляпунова для дискретных систем (17).

В четвертой главе приводятся примеры конкретного приме-эния предлагаемого алгоритма. Приведены построенные с ис-эльзованием ЭВМ функции Ляпунова для различных нелинейных гохастических систем второго и третьего • порядка а также шкции Ляпунова для соответствующих им детерминированных 1стем. Рассмотрена также прикладная задача об управлении [ском в эколого-экономической системе, сводящаяся к анализу :тойчивости дискретной стохастической системы.

Основные результаты работы:

1. Для непрерывных и дискретных нелинейных стохастических систем разработан метод численного построения функций Ляпунова в классе полиномов в областях с выколотой окрестностью нуля. Его основу составляет использование сеточного метода и сведение задачи построения таких функций к вспомогательной задаче линейного программирования.

2. Приведено обоснование возможности поиска функций Ляпунова в параметрическом классе полиномов.

3. Обоснована корректность использования сеточного метода решения системы линейных неравенств в рассматриваемой задаче.

4. Предложен эффективный способ проверки свойств функции, построенной на сетке, во всей рассматриваемой области.

5. На основе разработанного подхода построения функций Ляпунова предлагаются конструктивные методы решения ряда задач анализа устойчивости стохастических систем, в частности задач об асимптотической, экспоненциальной, абсолютной устойчивости.

6. Установлена теорема об асимптотической устойчивости для стационарных дискретных стохастических систем в терминах последовательности функций Ляпунова, определенных на последовательности кольцевых областей.

7. Разработанные алгоритмы реализованы в виде программ на ЭВМ.

8. Работоспособность разработанных алгоритмов и реализующих их программ проверена в серии численных экспериментов на ряде конкретных примеров. Для некоторых примеров проведено сравнение свойств устойчивости стохастической и соответ-

ствующей детерминированной системы. Публикации по теме диссертации.

1. Барабанов И.Н. Построение стохастических функций Ляпунова на ЭВМ. - В кн.: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. и Международный семинар. Тез. докл. -М.: ИПУ, 1992.

2. Барабанов И.Н., Пятницкий Е.С. Численное построение функций Ляпунова для стохастических систем // Автоматика и телемеханика. 1994. лгб.

3. Барабанов И.Н. Численное построение функций Ляпунова для анализа абсолютной устойчивости стохастических систем.

В кн.: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. m Международный семинар. Тез. докл. - Самара,

1994.

4. Барабанов И.Н., Новиков Д.А. Механизмы управления риском в динамической модели эколого-экономической системы // Проблемы безопасности при чрезвычайных ситуациях. 1994. N10.

5. Барабанов И.Н. Построение функций Ляпунова для дискретных систем со случайными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1995. А'11.

Личный вклад соискателя.

В работах, выполненых в соавторстве' диссертанту при-шдлежит: в работе [21 - формализация задачи, формулировка и деказательство теорем, разработка алгоритма, расчет числен-шх примеров; в работе [4] - формализация задачи, теорети-1еское обоснование применения метода функций Ляпунова в за-(аче управления риском, пример.