Основные задачи динамики расширенных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Ня правах рукописи

Котельников Виктор Вячеславович

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ РАСШИРЕННЫХ СИСТЕМ (01.02.01 - теоретическая механика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической механики ордена Дружбы народов Российского Университета дружбы народов.

Научный руководитель -

заслуженный деятель науки и техники РСФСР, доктор технических наук, профессор А.С.Галиуллин.

Официальные оппоненты :

Доктор физико-математических наук, профессор Крементуло В.В. Доктор физико-математических наук, профессор Павленко Ю.Г.

Ведущая организация -

Московский государственный авиационный технологический университет им. К.Э.Циолковского

Защита диссертации состоится э февраля 1994 г. в 15 час. 30 минут на заседании специализированного совета К 053.22.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117302, Москва,ул.Орджоникидзе 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: П7198, Москва,ул.Миклухо-Маклая 6.

Автореферат разослан декабря 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

ОШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ: Гамильтоновы системы охватывают большое количество явлений" физической природы в классической и квантовой теории, что позволяет использовать единые метода для решения различных задач.

Исследования в области гамильтоновых систем, которыми- интенсивно занимаются не только механики, но и математики и ф?зики-теоретики, позволили развить эффективные методы интегрирования и качественного исследования уравнений движения систем механической природы. Появился ряд публикаций, обобщающих возможности гамильтоновых.систем.

Однако эти метода. были разработаны на базе вариационных принципов, где лагранжевы1 (гамильтоновы) уравнения получены из стационарности действия в смысле Гамильтона и не позволяют выйти за рамки, ограниченные определенным набором сил и связей.

Вопросы приводимости систем обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям вида Эйлера-Лагранжа достаточно хорошо исследованы. Но движение произвольных систем не обязательно может быть описано уравнениями Эйлера-Лагракка какой-либо вариационной задача на нахождение экстремалей некоторой функции. Тем не менее возможности развитого аппарата аналитической динамики распространи?® на не гамильтоновы системы, отличающиеся большей общностью в смысле охвата большего разнообразия приложенных к системе сил и связей, наложенных ка систему.

■ йце Гельмгольц Г. предложил общий метод построения ла-грашсэвой (гамильтоновой) функции для произвольных систем, описываемых уравнениями вида (у=1,...,п),

и соответствующие условия самосопряженности - условия возможности представимости систем обыкновенных дифференциальных уравнений определенной структуры в виде уравнений Эйлера-

Лагранжа.

Естественно, эти условия не всегда выполшаш. и на всегда возможна привести уравнения к соответствующему виду. В таких случаях можно ввести дополнительные переменные, чтобы заданная система уравнений была представима в виде системы уравнений Эйлера-Лагранка.

Назовем расширенной систелой такую систему, для которой, после введения дополнительных произвольных переменных мокет быть построена лагранжева (гамильтонова) функция, определяющая заданные уравнения движения рассматриваемой системы и уравнения относительно дополнительных переменных.

Использование расширенных систем позволяет применять методы, разработанные для гамильтоновнх систем, для систем различной физической природы - систем с диссипацией,описанию химических реакций, колебательных систем, странных аттракторов и других.

Таким образом, исследование основных задач динамики расширенных систем представляется перспективным направлением в развитии- теоретической механики-;

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Цель настоящей работы заключается в исследовании возможностей применения методов гамильтоновой механики к системам, отличающимся от лагранжевых тем, что при этом силы не являютяся обязательно обобщенно-потенциальными и в связи с этим лагранжиан расширенной системы является некоторым показателем состояния системы, отличным по физическому содержанию от кинетического потенциала.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ: В исследованиях, проведенных в диссертационной работе, применяются методы аналитической механики и методы теории дифференциальных уравнений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА: В диссертационной работе впервые методом расширения построены, функции Лагранжа и Рауса для систем, обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка, функция Гамильтона для расширенных систем уравнений второго порядка. Исследованы, вопросы: перехода от лагранжевой к. гамильтоновой функции расширенной" системы-методом. Лежандра и в вырожденном случае методом Эсшндолы-Тешейры. Теоремы Пу-

ассона, метод симметрии, метод Гамильтона-Якоби распространены для систем, расширенных с помощью введения дополнительных переменных.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЛЕННОСТЬ РАБОТЫ: Результаты диссертационной работы могут быть применены при построении гамильтонианов и лагранжианов систем немеханической природы,, а также для исследования движения этих систем. Некоторые результаты могут быть применены при чтении курса теоретической механики.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ: Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на республиканской конференции " Моделирование сложных механических систем " ( Ташкент, 1991 г.), на XXVIII научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов (Москва, 1992 г.), на XXIX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов (Москва,1993 г.), на заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики Российского Университета дружбы народов под руководством профессора А.С.Галиуллина.

ПУБЛИКАЦИИ: Основные результаты диссертации опубликованы. в работах [1-7],список которых приведен в конце реферата.

СТРУКТУРА И 0БШ1 РАБОТЫ: Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, содержащего 79 наименований и изложена на 104 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы по теме диссертации, обосновывается актуальность темы, формулируется цель исследования и кратко излагается содержание, работы.

В первой глава излагается методика расширения систем дифференциальных уравнений произвольного порядка с помощью до-полнительеых переменных и основные задачи динамики расширенных систем.

В §1 определяются действие в смысле Гамильтона и принцип стационарного действия Гамильтона для расширенных систем..--В §2 рассматриваются системы, движение которых, описывается уравнениями вида .'._ .! '

. (1>=1,... ,п;г=0,...,т) (1)

Система (1) расширяется с помощью введения дополнительных переменных оп+г> и лагранжиан расширенной системы представляется '-'в -виде - •

п

(г,И.....п)- (2)

Известные лаградкавы функции для уравнений второго порядка являются часпшм.-случаем представленных функций. Показано, что в случав, когда выполняется условие

V-%---— (з)

ЗОу дЦудЪ дОу

для системы уравнений вида - - •

^(ч.чД) - (4)

в качестве дополнительных координат можно выбрать соответствующие основные координаты системы (4).

Приведена функция Рауса для расширенной системы произвольного порядка

к

аь

К-ЬСч^ • • • • .....ч2п.....Ч1'~ •••'ч2п' Ч> '¿¡-^

ГД0 К=К(С1.....сЛ+1.....ч2п.чк+1.....} ™

чк+1.....чгп )

В §3 рассмотрена возможность применения метода симметрии для исследования систем дифференциальных уравнений произ-

вольного порядка, гамильтонизируемых с помощью дополнительных переменных.

В качестве примера рассмотрено решение задачи сдвигового фазового перехода в жидкости, описываемое уравнениями Леон-товича-Рыкова.

Вторая глава посвящена гамильтоновой механике расширенных систем.

В §1 рассматриваются вопросы- перехода от лагранжевой функции расширенной системы к соответствующей гамильтоновой функции.

Для системы уравнений второго порядка с помощью преобразования Лежандра получен гамильтониан вида

п

Н^Р^^-^.Р.-Ь)^] (6)

где .••••ЧпЗ»Р[рп+1.....Р2п1

Предложен алгоритм построения гамильтониана расширенной системы для уравнений второго порядка.

Исследовано построение гамильтониана расширенной системы по вырожденному лагранжиану. Для выровденного лагранжиана систем уравнений первого порядка получен известный гамильтониан Лиувилля: ' "

п

(7)

1

Во §2 исследутотся канонические преобразования переменных в уравнениях Гамильтона-Якоби для интегрирования уравнений движения первого порядка вида

гугХ^ч.Ъ) (у=1,...,п) (8)

§3 посвящен методу Гамильтона-Яноби для расширенных систем. Исследованы уравнения: Гамильтона-Якоби для. уравнений движения первого и второго порядка и даны условия разделе-

ния переменных, накладываемые на функции, стоящие в правой части уравнений (4) и (8)

В §4 рассмотрен метод Пуассона для расширенных систем. Получены необходимые и достаточные условие того, что некоторая функция явлется первым интегралом расширенной системы. Для расширенной механической системы первого порядка этим условием служит удовлетворение равенства

Эф Зср Эф Sfv(q,t)

— + - Vq.t) - pv--- о (9)

at dqv dpv day

а в случае системы уравнений второго порядка это условие будет представлено в виде

Эф Эф <Эф (Эф d£v Эф dtv

— + — <j +-р + (-----)+

9t д% dpv dqv ddv (1Q)

Эф

— iv(q,q,t)=0

dqv ( суммирование по повторяющимся индексам )

Заметим, что эти условия могут рассматриваться как уравнения в частных производных относительно первых интегралов движения расширенной системы.

В §5 исследуется гамильтонизация систем программного движения методом расширения. Рассмотрено расширение в. лагранке-вых переменных qv, q^ (v=i,...,n) и в канонических переменных qy.P-y (v=l,...,n). В качестве примеров рассмотрены гамильтонизация уравнений программного движения тякелой точки переменной массы и гамильтонизация уравнений программного движения материальной.точки по экспоненте.

В приложении, приводится листинг програшы. вычисления уравненийКиллинга для определения генераторов преобразования при решении уравнений Леонтовича-Рытова относительно сдвигового фазового перехода в жидкости, написанной на языке аналитических вычислений reduce.

Полученные результаты иллюстрируются примерами.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

- методом расширения построены лагранжевы функции для дифференциальных уранений произвольного порядка:

- рассмотрены вопросы перехода от лагранжиана расширенной системы к гамильтониану, в том числе и в сингулярном случае;

- предложен алгоритм построения гамильтониана расширенной системы для систем уравнений второго порядка;

- построены уравнения движения расширенной системы в форме Лагранжа и в форме Гамильтона, а в случае систем с циклическими координатами - в форме Рауса;

- определены условия, при выполнении которых в качестве дополнительных координат можно выбрать соответствующие основные координаты системы;

- получены необходимые и достаточные условия того, что некоторая функция является первым интегралом расширенной системы;

- распространены метод симметрии и метод канонических преобразований переменных в уравнениях Гамильтона-Якоби для отыскания первых интегралов систем дифференциальных уравнений, гамильтонизируемых с помощью введения дополнительных переменных;

- построены уравнения Гамильтона-Якоби для уравнений движения первого и второго порядка и даны условия разделения переменных, накладываемые на функции, стоящие в правой части этих уравнений;

- проведена гамильтонизация систем программного движения методом расширения, рассмотрено расширение этих систем в лагранжевых переменных и в канонических переменных;

По теме диссертации опубликованы следующие работы: 1.Котельников В.В. Метод симметрии для расширенных систем // Тезисы докл. научн.конф. (24-26 сент.1991 г.).- Ташкент, 1991, с.42-43

2.Котельников B.B. Механические системы, гамильтонизирован-ные с помощью дополнительных переменных // Тезисы докл. XXVIII научн. конф. ф-та физ.-мат. и ест. наук РУДН (18-23 мая 1992 г.)- М., 1992, ч.2, с.58

3.Галнуллин A.C., Котельников В.В. Канонические преобразования переменных, в уравнениях Гамильтона-Якоби // Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта. Межвузовский сборник научных трудов, ч.1.~ М.: ВЗИИТ, 1992.- с.40-43. 4-Котельников В.В. О вычислении первых интегралов методом симметрии // Проблемы математического обеспечения совершенствования технических средств железнодорожного транспорта. Межвузовский сборник научных трудов, ч.1.~ М.: ВЗИИТ,1992.-с.46-49-

5.Котельников В.В. Метод Пуассона для расширенных систем // Тезисы докл. XXIX научн. конф. ф-та физ.-мат. и ест. наук РУДН (17-31 мая 1993 г.)- М., 1993, 4.2, с.79

6.Котельников В.В. Гамильтонизация материальных: систем произвольного порядка // Деп. в ВИНИТИ РАН 19.05.93, N 1333 -В93, 19 с.

7.Котельников В.В. Гамильтониан расширенной системы // Деп. В ВИНИТИ РАН 18.06.93, N 1711 - В93, 14 с.

24,12-93 г-

Тир. 100 Объем In- д, ЗакС 7S4

Тип; Еда* Орджонинвдае; 3-