Исследование асимптотических свойств некоторых квантовомеханических моделей в ограниченных областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Трушечкин, Антон Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2009
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Трушечкин Антон Сергеевич
ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
01.01.03 — Математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
1 О ЛЕН 2009
Москва - 2009
003487654
Работа выполнена в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН.
Научный руководитель: член-корреспондент РАН, доктор физико-
математических наук ВоловичИ. В.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Доброхотов С. Ю.
Ведущая организация: Механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
Защита состоится " 17 " декабря 2009 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан ноября 2009 г.
доктор физико-математических наук,
профессор
Манько В. И.
Учёный секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук
Ю. Н. Дрожжинов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотических свойств некоторых квантовомеханических моделей в ограниченных областях. В настоящее время теория квантовомеханических систем в ограниченных областях является интенсивно развивающимся направлением. Это связано с тем, что квантовая механика в ограниченной области имеет существенные отличия от общеизвестной квантовой механики в неограниченной области, и вместе с тем аппарат квантовой механики в ограниченной области оказывается полезным в ряде случаев, например, при описании наноскопических систем, локализованных в соответствующих областях пространства.
В квантовой механике хорошо известны введённые Шрёдингером когерентные состояния (т.е. квадратично интегрируемые функции специального вида) на вещественной прямой. Поведение квантовой системы в состояниях, описываемых такими функциями, в определённом смысле близко к поведению соответствующих классических систем. Позже когерентные состояния рассматривались фон Нейманом. Само понятие «когерентные состояния» ввёл Р. Дж. Глаубер (R. J. Glauber), внёсший существенный вклад в метод когерентных состояний и получивший Нобелевскую премию в 2005 г. Метод когерентных состояний показал свою эффективность в изучении многих квантовых систем. В работах В. И. Манько, В. А. Малкина и А. М. Переломова показано, что когерентные состояния можно ввести для квантовой системы с использованием динамических симметрий и теории представлений групп. Метод когерентных состояний оказывается близким по духу методу интеграла по путям, введённому Фейнманом. Оба метода дают возможность проследить связь между классической и квантовой механикой и сделать наглядным квазиклассический предельный переход. Важный вклад в теорию квазиклассического предела внесли работы В. П. Маслова, С. Ю. Доброхотова, М.В. Карасёва, К. Хеппа (К. Нерр), а в теорию интеграла по путям — работы О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулидзе. Обобщением когерентных состояний являются сжатые состояния, которые получаются из когерентных состояний при помощи операции сжатия.
Когерентные и сжатые состояния на многообразиях и в ограниченных
областях пространства для случаев, представляющих интерес для приложений, изучены значительно меньше, в текущей литературе продолжается обсуждение их определений и свойств. В частности, можно отметить математические работы по геометрическому квантованию и деформационному квантованию на многообразиях.
Заметим, что исследование таких состояний может оказаться полезным при рассмотрении наносистем. Важные исследования в этом направлении были выполнены В. П. Масловым, С. Ю. Доброхотовым, М. В. Карасёвым и другими. Для того чтобы можно было оперировать с наносистемами, требуется возможность достаточно точной локализации квантовых частиц в приемлемом диапазоне импульсов. Без дополнительного анализа неочевидно, что существуют квантовые состояния в ограниченном объёме, для которых возможна локализация квантовых частиц с точностью, необходимой для предполагаемых операций в нанотехнологиях.
Классическая динамика бесстолкновительной сплошной среды была исследована Пуанкаре и В. В. Козловым. Ими был установлен эффект диффузии для такой системы. Эволюция функции Вигнера и диффузия в бесстолкновительной среде, состоящей из квантовых частиц в некомпактном пространстве, были исследованы В. В. Козловым и О. Г. Смоляновым. Другой по сравнению с функцией Вигнера способ сопоставления квантовому оператору плотности классической функции плотности вероятностей на фазовом пространстве предложен К. Хусими (К. Husimi). Томографический вероятностный подход к описанию квантовомеханических систем был развит в работах В. И. Манько и соавторов.
Актуальной является также задача динамики квантовых волновых пакетов в ограниченных областях. Она изучалась в работах И. Ш. Авербуха, Н.Ф. Перельмана, Д. Л. Аронштейна (D.L. Aronstein), К. Р. Штрауда (мл.) (С. R. Stroud, Jr.), Р. В. Робинетта (R. W. Robinett). Однако некоторые вопросы остаются открытыми, например, математическое обоснование достижения квантовым волновым пакетом координатного распределения, близкого к равномерному.
Также в диссертации затрагивается известная проблема необратимости. Она заключается в том, как согласовать обратимую микроскопическую
динамику с необратимой макроскопической динамикой. Эта проблема впервые была осознана Больцманом, обсуждалась затем в известных работах Пуанкаре, фон Неймана, Боголюбова, Ландау, Пригожина, В. В. Козлова и многих других авторов. Проблема необратимости является в настоящее время одной из важнейших фундаментальных проблем математической физики, требующих своего решения.
Ещё один класс примеров квантовомеханических систем в ограниченных областях образуют системы квантовой криптографии. Квантовая криптография берёт начало от работы Ч. Беннетта (С.Н. Bennett) и Дж. Брассара (G. Brassard) и предлагает использовать специфические особенности квантовых частиц для защиты информации. Важный вклад в теорию квантовых каналов связи внёс А. С. Холево. В настоящее время квантовая криптография является интенсивно развивающимся направлением, уже существуют коммерческие системы квантового распределения ключей. Однако отсутствует математически строгая достаточно общая модель квантового распределения ключей. Важной задачей является создание такой модели, математическое обоснование стойкости протоколов квантовой криптографии, а также задача выработки числовых характеристик этой стойкости, которые должны указывать производители коммерческих систем квантовой криптографии.
С точки зрения пространства-времени системы квантовой криптографии являются квантовыми системами в ограниченных областях, необходимость учёта пространственной зависимости в квантовых криптографических системах при расчёте их стойкости указана И. В. Воловичем.
Цель работы. Целью работы является исследование асимптотических свойств квантовых когерентных и сжатых состояний в ограниченной области. А именно, исследование свойств локализации этих состояний по координате и по импульсу (т.е. статических свойств) и исследование квазиклассического предела их динамики.
Другой целью работы является разработка общей математической модели квантового распределения ключей и доказательство стойкости для некоторой частной модели.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Ос-
новные из них состоят в следующем:
1) Построены квантовые когерентные состояния для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, доказана теорема об их квазиклассическом поведении на всех масштабах времени, что позволяет подробно проследить все этапы квантовой динамики. В частности, получено математическое обоснование асимптотического выравнивания плотности вероятности в конечном объёме для квантового случая, известного ранее лишь из численных расчётов;
2) Построены семейства квантовых сжатых состояний на отрезке, исследованы их асимптотические свойства локализации. Получены оценки дисперсии координаты и импульса для квантовой частицы на отрезке, применимые, в частности, для наноскопических систем;
3) Разработана общая математическая модель квантового распределения ключей, основанная на концепциях машины Тьюринга и квантового канала. Построена частная модель квантового распределения ключей, являющаяся аналогом известной классической модели, и доказана теорема о её стойкости. Рассмотрена проблема спецификации систем квантового распределения ключей: введена базовая функциональная характеристика — среднее время генерации ключей — и другие функциональные и числовые характеристики таких систем.
Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа, теории операторов, теории обобщённых функций, асимптотические методы, методы квантовой теории информации.
Теоретическая и практическая ценность. Настоящая работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в главе 1, могут использоваться для расчёта свойств локализации в наноскопических системах. Результаты, полученные в главе 2, могут быть использованы для анализа динамики квантовых волновых пакетов на окружности и в бесконечно глубокой потенциальной яме. Результаты, полученные в главе 3, могут быть использованы для анализа стойкости некоторых систем квантового распределения ключей, также в этой главе предлагается список функциональных и
числовых характеристик, которые должны указывать производители таких систем.
Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на следующих международных конференциях: "5th Mathematical Physics Meeting: Summer School and Conference on Modem Mathematical Physics", Белград (Сербия), 2008 г., «Международная конференция по математической физике и её приложениям», Самара, 2008 г., "International Bogolyubov Conference: Problems of Theoretical and Mathematical Physics" — международная конференция, носвящённая 100-летию со дня рождения H.H. Боголюбова, Москва—Дубна, 2009 г., на семинарах отдела математической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, спецсеминаре «Математические вопросы динамики классических и квантовых систем», действующего в рамках Научно-образовательного центра при МИАН, на семинаре на Механико-математическом факультете МГУ под руководством О. Г. Смолянова.
Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, опубликованы в работах [1—6].
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложений и библиографии. Объём диссертации составляет 156 страниц. Библиография включает 88 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность исследуемой проблемы, приводится краткий исторический обзор по теме диссертации, кратко излагаются основные результаты, а также описывается структура диссертационной работы.
В начале главы 1 приводится описание модели квантовой частицы на отрезке. Затем разными способами конструируются сжатые состояния на отрезке и доказываются теоремы об их асимптотических локализационных свойствах. Квантовой частицей на отрезке [—I, /] будем называть произвольную квантовую систему, которой соответствует гильбертово пространство
1,1) — пространство комплекснозначных функций, определённых на отрезке [—/,/!], с интегрируемым квадратом модуля.
Под квантовым состоянием мы понимаем произвольный единичный вектор в рассматриваемом гильбертовом пространстве. Если V — вектор, не являющийся единичным, то под выражением «состояние г;» будем понимать состояние ^тг. Также в этой работе мы будем употреблять термин «квантовый волновой пакет» как синоним квантового состояния. Как правило, в данной работе подразумевается, что волновой пакет должен быть хорошо локализован, т.е. иметь малые дисперсии координаты и импульса.
Для квантовой частицы на прямой (т.е. для квантовой системы, которой соответствует гильбертово пространство хорошо известны соотношения неопределённостей Гейзенберга АхАр > | и состояния, минимизирующие эти соотношения (т.е. для которых выполнено АхАр =
1 _(*-«/ + »ч)
Эти состояния называются сжатыми (или когерентными, если зафиксирован параметр а > 0).
Но для квантовой частицы на отрезке соотношения неопределённостей в обычном виде, вообще говоря, неверны. Например, для состояния яр = выполнено Ах = -щ (вообще, Ах в конечном объёме не мо-
жет быть бесконечным) и Ар = 0 (импульс в данном состоянии хорошо определён и равен р/,- = уНк). Отсюда имеем АхАр = 0.
Тем не менее, квантовая дополнительность между координатой и импульсом для квантовой частицы на отрезке также имеет место. Вопрос о том, как должны выглядеть соотношения неопределённостей для ограниченных областей, остаётся открытым и в настоящее время интенсивно обсуждается.
Наша задача состоит в том, чтобы построить аналог сжатых состояний (т.е. состояний, наиболее хорошо локализованных одновременно по координате и по импульсу) для отрезка. Поскольку нет общепринятого вида соотношений неопределённостей в ограниченной области, то за основу определения сжатых состояний на отрезке мы взяли условие асимптотической минимизации обычных соотношений неопределённостей на прямой.
Рассмотрим следующее семейство векторов из Ь2{—1.1):
1 +ОС
(а)
где И/. — Аае ■»«■' , а > 0 — параметр семейства (как мы увидим, он связан со среднеквадратичным отклонением координаты), Аа — нормировочная постоянная, такая, что |[г)а|| — 1, х" € (—1,1) (имеет смысл заданного значения координаты), к* — ближайшее целое к где/ е! (имеет смысл заданного значения импульса), Н > 0 — постоянная Планка.
Функции грп могут быть выражены также следующим образом:
где
-¡-00
0(1,7-)= е-ть'+мь* А,——оо
— тета-функция (Не т > 0).
Определим следующие величины:
~ +ОС
= / рн = ^ р*|4о)|2
(средние значения координаты и импульса), где рд. = у ^
/+ОС
(х - = £ (р, - р*)2\ак\2
-г
(вторые моменты координаты и импульса, являются дисперсиями Аха и Дра, если х* = х и р* = р, но в общем случае эти равенства не выполнены). Справедлива следующая
Теорема 1. Для волновых функций и,, (х), а > 0, справедливы следующие
оценки при а —> оо;
ха-х* = 10 , I% - р*\ < ift,
А*х2а = (¿)2 + «20 (а^е-2^1"^)!') , Д.р£=(уйа)2[1 + 0(е-^)].
Здесь 0 ^ (1{х) sC | — расстояние на вещественной прямой от точки х до ближайшего целого числа.
Благодаря некоторым свойствам, в частности, свойству асимптотической минимизации соотношений неопределённостей
lim АхаАра =
а—>оо Z
построенное семейство -фа, а > 0, векторов из I, I) мы называем квантовыми сжатыми состояниями на отрезке.
Также в главе 1 доказана теорема об оценках на величины ха, ра, А,.т и Д*р для общего случая, когда коэффициенты Фурье а["' функций семейства ipa, ol > 0, строятся на основе непрерывного распределения общего вида. Осуществляется предел I —> оо и квазиклассический предел.
В главе 2 изучаются некоторые вопросы динамики когерентных состояний на окружности и в ящике (бесконечно глубокой потенциальной яме с твёрдыми стенками). Приведём здесь результаты для случая ящика. Определим следующее семейство состояний в Ь2(—1, /):
гоо
п= —оо
где (<7,р) £ О = [—1.1} х R. Справедлива следующая
Теорема 2. Семейство функций wgp, (q,p) G П, образует непрерывное разложение единицы в Ьч{—1,1):
¿nJJpMdQdp = 1.
п
Равенство понимается в слабом смысле: для любых /, 0 выпол-
нено
27ГЙ //^М/Л*)6^ = (^ЧР)КР. = п п
Здесь через v 6 ь2(—1,1), обозначен одномерный опера-
тор, действующий на произвольный вектор € Ьч{—1,1) по правилу Р[?/>]<р = (,ф)<р)ф, где (•, •) — скалярное произведение в I).
Эта теорема позволяет назвать векторы когерентными состояниями в Ь2{—1,1), если следовать определению Дж. Клаудера (I. Я. Klauder) и Б.-С. Скагерштама (В.-Б. Skagerstam). Оказывается, каждый вектор из этого семейства раскладывается в равномерно сходящийся ряд по собственным функциям оператора Гамильтона для ящика, поэтому назовём их когерентными состояниями в ящике (в бесконечно глубокой потенциальной яме). Они родственны сжатым состояниям, введённым в главе 1, и также могут быть выражены через тета-функцию.
Эволюция состояния и!ЧР во времени даётся формулой = где и[' = ехр— оператор эволюции для свободной квантовой частицы в ящике. В его определении участвует оператор Гамильтона (энергии) Нь — —т > 0 (масса частицы), с областью определения В{НЬ) = {ф е АС2(-1,1)\ф(-1) = ф{1) = 0}. Здесь АС2(-1,1) - множество дифференцируемых функций, чьи производные лежат в АС(—1,1), а АС(—1, Г) — множество абсолютно непрерывных функций, чьи производные лежат в I, I).
Для квантовой динамики в ящике имеют место три масштаба времени: 1) ТС1 — — классический период движения, 2) Тсоц = — характерное время расплывания квантового волнового пакета, 3) Ти„ = — период полного возрождения квантового волнового пакета (явление, характерное для квантовых систем в ограниченных областях).
Мы будем рассматривать квазиклассический предел К —> 0, а —> 0, ^ —> 0 (параметр а участвует в определении функций шЯР). В этом пределе масштабы времени имеют разные асимптотики: Тсх — С\, Тсоц — СгЦ, Тгег = ^ (С\, С2, Сз — постоянные).
Для того чтобы сформулировать основной результат по квазиклассическому пределу динамики этих состояний, определим пространства основных и обобщённых функций на полосе STI. Введём сначала пространство быстро убывающих функций на П:
= {а : I2 R|l) ff[(-l)n(<7 + 2п1), (-1 )"р] = a{q,p)\
2)ие C°°(R2);
3) lim рти^ =0. г, s = 0,1,2,...}.
р—>±00
Здесь в первом пункте п — 0, ±1, ±2,____Пространство обобщённых функций <¥"(Q) — это пространство непрерывных линейных функционалов над У{0). Если f(q,p) = fi{q)ö(p) g где fi{q) — интегрируемая функция на отрезке [—1,1], то её действие на основную функцию а g У{£1)
i
определяется по формуле (/, er) = f f\ (q)a(q,0)dq. Условимся считать, что
-I
(5(q — qo,p — = 0{qo,Po) пРи любых (goiPo) £ ®-2 (а не только при
(?о,Ро) е О).
Определим функцию
где D 6 (0, оо). Доопределим функцию при D = 0 и D = оо: у о (q) = S(q) и <Poo{q) — jj- Таким образом, как обобщённая функция '~ро{ч) определена при произвольном D € [0, оо]. Справедлива следующая
Теорема 3. В У (О.) имеют место следующие пределы (в обоих пунктах переменные (q,p) фиксированы, а (q',p') — переменные интегрирования с пробными функциями cr{q',p') & У{р)):
I)
НРАУтл*)!2-
N'—l
1 V^ г / 4kl р, А/ м г/ , ч
- £ <PDW + д- Р)~ (1)
к=О
- ¿7 Е <PdW ~ + q + ^ + а - L(t - f Tm)]S(p' + р)} = 0.
к=О
Предел осуществляется следующим образом: Й —+ 0, а —+ О, - —+ О, t = t{h), t - =£Тгп:) —* 2mD, где М и N — взаимно простые целые числа (т.е. с — ~ — несократимая дробь), D е [О,оо]. Здесь N' = N, если N нечётно, и N' = у если N четно; а = если N = 2 mod 4, и а — О в противном случае;
2)
lim t)|2 = Ti[6{p' ~р) +6{р'+р)]- (2)
Предел осуществляется следующий образом: h —> О, а —> О, ¿ —> О, t —» оо, ñ(í — cTrev) —> 0, где с — иррациональное число.
Обе сходимости являются равномерными по (q,p) на любам подмножестве Q, не пересекающемся с некоторой окрестностью отрезка {;j = 0} с Í1 Если в первом пункте N — 1 или N = 2 (т.е. с = jr — целое или полуцелое число), то сходимость является равномерной на любом подмножестве П, не пересекающемся с некоторыми окрестностями точек (±¿,0).
Поясним смысл утверждений теоремы. представляет
собой плотность вероятности нахождения квантовой частицы в ящике в состоянии LOqp в момент времени t при условии, что в нулевой момент времени частица находилась в состоянии ¿¿.у,/.
В рассматриваемом квазиклассическом пределе h, а, £ —» Oy квантовой частицы в состоянии ujqp хорошо определены и координата (равная q), и импульс (равный р) — как у классической частицы. Поэтому можно сказать, что в квазиклассическом пределе ^Vpv)!2 ~~ эт0 плотность
вероятности нахождения квантовой частицы в ящике в фазовой точке (q, р) в момент времени t при условии, что в нулевой момент времени частица находилась в фазовой точке (q'\р').
Случай с = 0и£> = 0(^-»0) соответствует первому, классическому, масштабу времени T, i: время фиксировано или возрастает медленнее, чем снижается скорость расплывания пакета, пропорциональная Тогда формула (1) принимает вид
limh^rlK,, uv;/,,)!2 - S(q' ~Q + ~t,p' - p)] = 0.
Вычитаемое S(q' — q + ^-i, p' — p) правой части равенства есть плотность вероятности нахождения классической частицы в фазовой точке (q,p) в момент времени t при условии, что в нулевой момент времени частица находилась в фазовой точке (q',p'). Таким образом, в квазиклассическом пределе на масштабе времени Гс( имеет место классическая динамика: квантовая плотность вероятности перехода в фазовую точку [q, р) для частицы, находившейся в нулевой момент времени в фазовой точке (q'.p'), равна соответствующей классической плотности вероятности.
Случай с = О, D € (0, оо) (т.е. ^ —> 2тD) соответствует второму масштабу времени Тсоц. В этом случае наблюдается некоторое пространственное расплывание распределения вероятностей. Случай с = О, D = оо соответствует полному выравниванию пространственной плотности вероятности (и вероятностей знаков импульса): формула (1) принимает вид
lim= - Р) + 5{р' + р)}. (3)
Поэтому отнесём этот случай также ко второму масштабу времени (соответствующему разрушению локализованного волнового пакета). Получено математическое обоснование (асимптотического) выравнивания пространственной плотности вероятности для квантовой частицы в ящике, известное ранее лишь из численных экспериментов.
Случай с т^ 0 соответствует третьему масштабу времени Ттег. Если с — иррациональное число, то, как и в предыдущем случае, наблюдается полное выравнивание пространственной плотности вероятности (формула (2)). Случай рационального с соответствует возрождению волнового пакета, в общем случае — дробному (если N ф 1, т.е. с = jf — нецелое) и неточному (если D > 0). В случае D = оо мы снова получаем полное выравнивание пространственной плотности распределения (3).
Мы только что проследили всю динамику квантового волнового пакета в бесконечно глубокой потенциальной яме. Таким образом, теорема полностью описывает квазиклассический предел свободной квантовой динамики в бесконечно глубокой потенциальной яме на всех масштабах времени, которые параметризуются двумя параметрами си D.
Далее эти результаты применяются к вопросу, связанному с класси-
ческой механикой, а именно, к вопросу, какую формулировку классической механики следует предпочесть: обычную (будем называть её «точечной») или функциональной. Исходное понятие механики в функциональной формулировке, предложенной И. В. Воловичем, — не материальная точка, а функция плотности распределения в фазовом пространстве. Новая формулировка классической механики позволяет по-новому взглянуть на известную проблему необратимости.
Доказана теорема, которая говорит о том, что функциональная формулировка классической механики (т.е. динамика интегрируемой функции плотности в ящике) дольше сохраняет свою справедливость с точки зрения квантовой механики, нежели точечная формулировка (т.е. динамика материальной точки в ящике). Следовательно, с этой точки зрения функциональная формулировка является более предпочтительной. В теореме использована техника квазиклассического предельного перехода для преобразования Ху-сими в ящике, в котором участвуют построенные и изученные когерентные состояния.
Глава 3 посвящена квантовой криптографии. В ней разработана общая математическая модель квантового распределения ключей, основанная на концепциях машины Тьюринга и квантового канала. Построена частная модель квантового распределения ключей, являющаяся аналогом известной модели классической криптографии, и доказана теорема о её стойкости.
Рассматриваемая задача распределения ключей заключается в следующем. Отправитель А и получатель В (законные участники) желают, используя каналы связи, получить по ключу. Под ключом понимается реализация случайной величины со значениями в некотором конечном множестве Ж либо сама эта случайная величина. Если ключи у А и В с большой вероятностью совпадают, а информация о ключах у противника Е пренебрежимо мала, то задача распределения ключей считается решенной с некоторой степенью надёжности.
Введём обозначения: — множество распределений вероят-
ностей на произвольном конечном множестве 3£, ,7'{Ж) — тожество операторов плотности на произвольном гильбертовом пространстве Ж, ■ '//■ {Ж\ Ж) — множество (обобщённых) наблюдаемых на Ж
со значениями в конечном множестве ЭЗ, т.е. множество наборов положительных операторов {M(x)}Xe.v, такое, что ^ М(х) = 1. Обо-
xzX
значим через 38** о J/, {Ж\ si) с Ж(Ж\ 38) класс наблюдаемых вида {F(b) = £ М{а)}ьея, где {M(a)}aer/ g Л{ЖВ\^), а / - элемент
ае/-ч&)
множества 38s* функций из 38 в . Назовём элементы этого класса фак-торизованными наблюдаемыми с последующей классической обработкой. ©" : У{ЖдП) -> У[{ЖВ ® ЖЕ)т], п= 1,2,...,- это квантовый канал без памяти, соответствующий каналу ©.
Рассмотрим следующую совокупность объектов (назовём её системой квантового распределения ключей G):
Здесь Ж — конечное множество (множество ключей), Жл, Жв, Же — гильбертовы пространства, © : У{ЖА) —> У(Жв 0 Же) — квантовый канал, функции : Ж У{Ж'^1) задают каналы QW : 0>{Ж) g Л{Ж§п\Ж), Jif с .Ж{Ж£п-Ж).
Для каждого п = 1,2,... и Л/}"' g определим канал
А„ = (Д4П) ® Л4Я)) о ©" о QW
с входным алфавитом ^ и выходным
алфавитом JT2.
Обозначим через К а случайную величину, равномерно распределенную на Ж (ключ). Обозначим через К в и КЕ случайные величины, принимающие значения на Ж и связанные с К,\ каналом Л„ при некотором п, т.е. (Кв,Ке) = Ап{Ка). Схематическое изображение процесса квантового распределения ключей приведено на рис. 1.
К А-Ж А-*" Жв-"" Л В
Же—^Ке Рис. 1. Схема модели G.
Справедлива следующая теорема о стойкости системы G (через Рг(-) обозначена вероятность события).
Теорема 4. В модели G квантового распределения ключей фиксируем ЖА,
Жв, ЖЕ, 0- Для любого п= 1,2,... положим ¿¿ф = Xе* о Л<?)гп, где 8 — конечное множество.
Пусть существуют конечное множество и канал
Е : —» У(Жа), задаваемый функцией У(ЖЛ),
обладающие свойством
С(вво£,) > С\(вЕ°0' (4)
где &ц = Тг,/4- 9, 0£ = Тг,^ 6, 6'(вд о £) — пропускная способность канала Од о Е, САЭк 0 О = та* ^(Р- М о6£о Е).
Тогда для любых а,(3 £ (0,1) и любого достаточно большого п существуют канал (случайный кодер) Рд : —> и наблюдаемая
такие, что для произвольной наблюдаемой Л/р"' б случайные величины Кд, Кв и Ке, где (Кв,Ке) = Л„(А'д), обладают свойствами:
1) Рг(/0 = /Св) ^ а, /(Ад; Л'Е) < 1 - Д Здесь « определении Ап равен (¿^ = Е'1 о Рд.
Величины а и ¡3 харакетризуют степень надёжности пары ключей законных участников и при выполнении условия (4) могут быть выбраны сколь угодно близкими к единице (совершенная надёжность). Таким образом, (4) является достаточным условием для того, чтобы система квантового распределения ключей С была стойкой к атакам противника. Более того, можно показать, что возможна ситуация идеального прослушивания квантового канала противником, в которой, тем не менее, возможно создание общего секретного ключа законными участниками. Эффект достигается за счёт использования отправителем неортогональных состояний для кодирования классической информации, а получателем — т.н. зацепленных наблюдаемых. Данному эффекту нет аналогов в классической криптографии, и в этом смысле можно говорить о преимуществах квантовой криптографии перед классической.
Также в третьей главе рассмотрена проблема спецификации систем квантового распределения ключей: введена базовая функциональная характеристика — среднее время генерации ключей — и другие функциональные и числовые характеристики таких систем.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
1. Волович И. В., Трушечкин А. С. О квантовых сжатых состояниях на отрезке и соотношениях неопределённостей для наноскопических систем // Тр. МИАН. 2009. Т. 265. С. 288-319.
2. Волович И. В., Трушечкин А. С. Об одной проблеме распределения ключей в квантовой криптографии // ДАН. 2005. Т. 404, № 2. С. 169-172.
3. Трушечкин А. С. Квантовые когерентные состояния и соотношения неопределённостей для наноскопических систем // Вестник СамГУ. 2009. № 8/1(67). С. 254-273.
4. Trushechkin A. S., Volovich I. V. On standards and specifications in quantum cryptography // International Journal of Quantum Information. 2008. V. 6, N 2. P. 347-367.
5. Trushechkin A. S., Volovich I. V. Functional classical mechanics and rational numbers // P-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2009. V. 1, N 4. P. 365-371.
6. Trushechkin A. S., Volovich I. V. Classical and quantum cryptography and number theory // A1P Conference Proceedings. V. 826. 2nd International conference on p-adic mathematical physics. New York : AIP, 2006. P. 345— 354.
Подписано в печать 12 ноября 2009 г.
Формат 60x90/16
Объём 1,0 п.л.
Тираж 100 экз.
Заказ № 121109258
Оттиражировано на ризографе в ООО «УниверПринт» ИНН/КПП 7728572912X772801001
Адрес: 119333, г. Москва, Университетский проспект, д. 6, кор. 3.
Тел. 740-76-47, 989-15-83.
http://www.univerprint.ru
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Асимптотические свойства сжатых состояний в ограниченных областях
1.1 Квантовая частица на отрезке.
1.1.1 Гильбертово пространство и операторы основных физических величин.
1.1.2 Соотношения неопределённостей и квантовые сжатые состояния на прямой. О соотношении неопределённостей на отрезке
1.2 Семейства сжатых состояний на отрезке.
1.2.1 Определение квантовых сжатых состояния на отрезке. Постановка задачи.
1.2.2 Сжатые состояния в виде обрезанной функции Гаусса.
1.2.3 Сжатые состояния в виде тета-функции.
1.2.4 Случай произвольной плотности распределения.
1.2.5 Разброс по энергии для частицы в ящике.
1.2.6 Предельный случай большой длины отрезка и квазиклассический предельный случай.
ГЛАВА 2. Квазиклассический предел динамики когерентных состояний на окружности и в ящике
2.1 Семейство когерентных состояний на окружности.
2.1.1 Когерентные состояния на окружности.
2.1.2 Спектральные свойства когерентных состояний на окружности
2.1.3 Динамика когерентных состояний на окружности
2.1.4 Квазиклассический предел скалярных произведений когерентных состояний на окружности.
2.2 Семейство когерентных состояний в ящике.
2.2.1 Отображение динамики на окружности в динамику в ящике в классической механике.
2.2.2 Отображение динамики на окружности в динамику в ящике в квантовой механике
2.2.3 Когерентные состояния в ящике
2.2.4 Квазиклассический предел для скалярных произведений когерентных состояний в ящике.
2.3 Некоторые вопросы функциональной формулировки классической механики.
2.3.1 Функциональная формулировка классической механики и теория измерений.
2.3.2 Динамика функции плотности при повторяющихся измерениях
2.4 Квазиклассический предел динамики функции Хусими.
2.4.1 Случай свободной квантовой динамики на окружности
2.4.2 Случай квантовой динамики в ящике.
ГЛАВА 3. Модели распределения ключей в квантовой криптографии
3.1 Обозначения
3.2 Общая модель квантового распределения ключей
3.3 Частная модель квантового распределения ключей.
3.3.1 Описание модели.
3.3.2 Теорема о стойкости.
3.3.3 О преимуществах квантового распределения ключей над классическим
3.4 Спецификация систем квантового распределения ключей.
3.4.1 Среднее время генерации ключей.
3.4.2 Скорость обновления ключей и скорость генерации ключей
3.4.3 Верхняя граница степеней надёжности.
3.4.4 Численные характеристики систем квантового распределения ключей для инженеров и конечных пользователей.
Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотических свойств некоторых квантовомеханических моделей в ограниченных областях. В настоящее время теория квантовомеханических систем в ограниченных областях является интенсивно развивающимся направлением. Это связано с тем, что квантовая механика в ограниченной области имеет существенные отличия от общеизвестной квантовой механики в неограниченной области, и вместе с тем аппарат квантовой механики в ограниченной области оказывается полезным в ряде случаев, например, при описании наноскопических систем, локализованных в соответствующих областях пространства.
В квантовой механике хорошо известны введенные Шрёдингером [76] когерентные состояния (т.е. квадратично интегрируемые функции специального вида) на вещественной прямой. Поведение квантовой системы в состояниях, описываемых такими функциями, в определённом смысле близко к поведению соответствующих классических систем. Позже когерентные состояния рассматривались фон Нейманом [34], с их помощью он ввёл оператор одновременного приближённого измерения координаты и импульса. Такой оператор должен существовать, поскольку в классической механике одновременное измерение координаты и импульса возможно. По предположению, когда в классической'механике одновременно измеряются координата и импульс, то с точки зрения квантовой механики проводится» измерение, соответствующее оператору, введённому фон Нейманом (или другому подобному оператору). Произведение погрешностей (среднеквадратичных отклонений), с которыми измеряются координата и импульс, равно Н/2, в соответствии, с квантово-механическими соотношениями неопределённостей. То есть для взгляда на классическую механику с точки зрения квантовой использовано свойство когерентных состояний, заключающееся в минимизации соотношений неопределённостей (см. далее). Это одно из свойств когерентных состояний, благодаря которым они наилучшим образом из всевозможных квантовых состояний (всех квадратично интегрируемых функций) отражают явления в классической механике.
Само понятие «когерентные состояния» ввёл Р. Дж. Глаубер (R. J. Glauber) [53-55], внёсший существенный вклад в метод когерентных состояний и получивший Нобелевскую премию в 2005 г. Существуют разные определения когерентных состояний. Сам Глаубер определяет когерентные состояния как собственные функции оператора уничтожения (который является неэрмитовым). Определение, введённое А. М. Переломовым [24], гласит, что семейство когерентных состояний — это орбита унитарного представления группы Ли. Таким образом, чтобы определить семейство когерентных состояний, надо зафиксировать группу Ли, её унитарное представление и начальный вектор гильбертова пространства (через который проходит орбита). В частности, если в качестве группы взять группу Гейзенберга—Вейля, а в качестве начального состояния — основное состояние гармонического осциллятора, то получается семейство когерентных состояний, введённое Шрёдингером. В книге Дж. Кла-удера (J.R. Klauder) и Э. Сударшана (Е. С. G. Sudarshan) [13] когерентные состояния определяются как определённого вида суперпозиции энергетических состояний (т.е. собственных функций оператора Гамильтона). А в книге В. П. Шляйха (W. P. Schleich) [37] (см. также книгу М. О. Скалли (М. О. Scully) и М. С. Зубайри (М. S. Zubairy) [29]) когерентные состояния получаются в результате применения оператора смещения к основному состоянию гармонического осциллятора.
Одно из характерных свойств когерентных состояний — это то, что они образуют непрерывное разложение единицы. Когерентные состояния щр б Хг(^) параметризуются классическими фазовыми переменными (q,p) € О. Здесь Q — фазовое пространство (например, в случае свободной частицы на прямой и в случае одномерного гармонического осциллятора £1 — Ж2), q — обобщённая координата, р — обобщённый импульс. Вектор rjqp непрерывно зависит от индексов q и р, и выполнено операторное равенство
J J P[rjqp]dqdp - 1. ft
Здесь через Р[ф], ф £ обозначен одномерный оператор, действующий по правилу P[ip]ip = (ф, <р)ф, где (•,•) — скалярное произведение в Ь2(Ш) (если \\ф\\ = 1, то Р[ф] — проектор на вектор ф). Равенство понимается в слабом смысле: для любых векторов ^ и х из рассматриваемого гильбертова пространства выполнено ff^' Ъp)(Vqp, X)dqdp = (ф, x), ft где (*, •) — скалярное произведение. В дираковских обозначениях операторное равенство может быть записано в виде
J J \Vqp)(Vqp\dQdp = l. ft
Это свойство и называется непрерывным разложением единицы.
Это свойство легло в основу наиболее общего определения когерентных состояний, данное Дж. Клаудером и Б.-С. Скагерштамом (B.-S. Skagerstam) [63], которое мы и будем использовать в данной работе: семейством когерентных состояний называется произвольное семейство векторов, непрерывно зависящее от своих индексов и образующее непрерывное разложение единицы. Именно на основе этого определения С. де Бивр (S. de Bievre) и X. А. Гонза-лез (J. A. Gonzalez) ввели понятие когерентных состояний на окружности [46]. Свойство непрерывного разложения единицы связывает когерентные состояния с теорией воспроизводящих ядер [45].
Метод когерентных состояний показал свою эффективность в изучении многих квантовых систем [24, 63]. В работах В. И. Манько, В. А. Малки-на и A.M. Переломова показано, что когерентные состояния можно ввести для квантовой системы с использованием динамических симметрий и теории представлений групп [19,20,24]. Метод когерентных состояний оказывается близким по духу методу интеграла по путям, введённому Фейнманом (см. книгу Фейнмана и А. Хибса [33], а также О. Г. Смолянова и Е. Т. Шавгулид-зе [30]). Оба метода дают возможность проследить связь между классической и квантовой механикой и сделать наглядным квазиклассический предельный переход [20,63]. Важный вклад в теорию квазиклассического предела внесли работы В. П. Маслова [21], С. Ю. Доброхотова [3], М. В. Карасёва [12], К. Хеп-па (К. Нерр) [58]. На основе когерентных состояний Ф.А. Березин построил общую схему квантования классических систем на многообразиях [4,24].
Обобщением когерентных состояний являются сжатые состояния, которые получаются из когерентных состояний при помощи операции сжатия [29,37]. Они обладают свойством минимизации соотношений неопределённостей Гей-зенберга: h
АхАр = где Ах и Ар — среднеквадратичные отклонения по координате и по импульсу соответственно в рассматриваемом состоянии. Для произвольного состояния на прямой, как известно, выполнено л л й
АхАр ^ -.
Иногда свойство минимизации соотношений неопределённостей принимается за определение сжатого состояния [29], которое будем использовать и мы.
Когерентные и сжатые состояния на многообразиях и в ограниченных областях пространства для случаев, представляющих интерес для приложений, изучены значительно меньше, в текущей литературе продолжается обсуждение их определений и свойств [24,46,57,62-65,82]. В частности, можно отметить работы по геометрическому квантованию и деформационному квантованию на многообразиях.
Заметим, что исследование таких состояний может оказаться полезным при рассмотрении наносистем, локализованных в соответствующих областях пространства [51]. Важные исследования в этом направлении были выполнены В. П. Масловым, С.Ю. Доброхотовым, М. В. Карасёвым и другими. Для того чтобы можно было оперировать с наносистемами, требуется возможность достаточно точной локализации квантовых частиц в приемлемом диапазоне импульсов. Напомним, что возможность такой локализации в бесконечном объёме ограничивается соотношением неопределённостей Гейзенберга. Было установлено, что соотношение неопределённостей требует существенной модификации для конечного объёма (см. обсуждение в разделе 1.1.2). Без дополнительного анализа неочевидно, что существуют квантовые состояния в ограниченном объёме, для которых возможна локализация квантовых частиц с точностью, необходимой для предполагаемых операций в нанотехнологиях.
В главе 1 построены семейства квантовых сжатых состояний на отрезке (т.е. семейства функций из пространства I, /)) и исследованы их асимптотические свойства. Получены оценки дисперсии координаты и импульса для квантовой частицы на отрезке, описываемой такими состояниями, применимые, в частности, для наноскопических систем. Рассмотрены свойства локализации сжатых состояний на отрезке, построенных на основе тета-функции. В пределе большой длины отрезка построенные состояния переходят в общеизвестные сжатые состояния на прямой.
Осуществлён также квазиклассический предельный переход для сжатых состояний на отрезке, в результате которого разбросы и по импульсу, и по координате стремятся к нулю.
Рассмотрена дополнительная трудность в работе с квантовыми волновыми пакетами на отрезке (по сравнению с пакетами для свободной частицы на прямой): некоммутируемость операторов импульса и энергии. Подробнее разобраны два случая ограниченной области: квантовая частица в бесконечно глубокой потенциальной яме с твёрдыми стенками и квантовая частица на окружности.
Получены численные оценки: на отрезке длиной порядка 100 нм существуют волновые пакеты со среднеквадратичным отклонением координаты порядка 0,1 нм и среднеквадратичным отклонением импульса порядка Ю-24 кг- м/с. Основные результаты главы 1 — оценки и асимптотики для сжатых состояний на отрезке — приведены в теоремах 1.1—1.4.
Глава 2 посвящена исследованию когерентных состояний на окружности, введённых С. де Бивром и Х.А. Гонзалезом [46] и исследованных X. А. Гон-залезом и М. А. дел Олмо (М. A. del Olmo) [56]. Оказывается, семейство этих состояний получается из построенного нами семейства сжатых состояний на отрезке, если зафиксировать параметр растяжения/сжатия (он связан со среднеквадратичным отклонением по координате). Исследуется квазиклассический предел динамики когерентных состояний на окружности.
Классическая динамика бесстолкновительной сплошной среды была исследована Пуанкаре [27] и В. В. Козловым [14,15]. Ими был установлен эффект диффузии для такой системы. Эволюция функции Вигнера и диффузия в бесстолкновительной среде, состоящей из квантовых частиц в некомпактном пространстве, были исследованы В. В. Козловым и О. Г. Смоляновым [16].
Общие свойства динамики квантовых волновых пакетов в ограниченных областях известны. Если в начальный момент времени пакет хорошо локализован по координате, то с течением времени он, как и в случае динамики на прямой, начинает расплываться и достигает практически равномерного координатного распределения по всему объёму. Однако в отличие от динамики на прямой через какое-то время он снова возрождается в изначальном виде. А до этого момента наблюдаются так называемые дробные возрождения пакета.
Таким образом, в динамике волновых пакетов в конечном объёме имеется три масштаба времени: 1) классический- период движения Tci, 2) характерное время, расплывания квантового волнового пакета Тсоц, 3) период полного возрождения квантового волнового пакета Trev.
Времена и структура дробных и полных возрождений квантовых волновых пакетов хорошо описана аналитически в работах И. ИГ. Авербуха и Н. Ф. Перельмана [1,40] и других авторов. В частности, случай бесконечно глубокой потенциальной ямы подробнее рассмотрен в работе Д.Л. Аронштейна (D.L. Aronstein) и К. Р. Штрауда (мл.) (C.R. Stroud, Jr.) [39]. Однако отсутствует аналитическое обоснование достижения пакетом координатного распределения, близкого к равномерному. Численная оценка времени достижения такого состояния дана в работе Р. В. Робинетта (R. W. Robinett) [74], в его же работах [75] указывается на то, что процесс расплывания волнового пакета в конечном объёме изучен меньше, чем структура возрождений пакета.
Теорема 2.2 полностью описывает квазиклассический предел свободной квантовой динамики на окружности на всех масштабах времени. Все масштабы времени параметризуются двумя параметрами. Разные масштабы времени имеют разные асимптотики при h —> 0. Тс\ не зависит от h, то ТсМ и Trcv стремятся к бесконечности при h —> 0. Поэтому, чтобы исследовать квазиклассический предел динамики на этих масштабах, необходимо рассматривать асимптотики при одновременном: стремлении различными взаимными «скоростями» их сходимости). Стоит отметить, что обычный квазиклассический предел, рассматриваемый в литературе, имеет дело с произвольным, но фиксированным временем t при h —» 0, т.е. охватывает лишь первый, классический масштаб времени.
Для масштаба Тсоц в квазиклассическом пределе получено обоснование достижения равномерного пространственного распределения, а результаты для масштаба Trev соответствуют результатам И. Ш. Авербуха и Н. Ф. Перельма-на, связанным с дробными и полными возрождениями квантовых волновых пакетов. Получены результаты на промежуточных масштабах времени между перечисленными тремя основными, что позволяет подробно проследить все этапы квантовой динамики на окружности в квазиклассическом пределе.
В разделе 2.2.3 главы 2 осуществляется перенос результатов, полученных для окружности, на случай ящика (бесконечно глубокой потенциальной ямы). Известно, что в классической механике эти два случая эквивалентны и связаны друг с другом отображением, в основе которого лежит двулистное накрытие отрезка окружностью. Однако это отображение нельзя непосредственно распространить на квантовый случай, поскольку он предполагает, что координата и импульс одновременно хорошо определены. Мы строим квантовый аналог этого отображения, благодаря чему нам удаётся получить когерентные состояния в ящике и исследовать их асимптотические свойства, перенеся на этот случай результаты, ранее полученные для когерентных состояний на окружности. Основные результаты раздела 2.2.3 — построение семейства когерентных состояний для ящика и доказательство их свойств — приведены в теоремах 2.3 и 2.4.
Квантовая динамика в ящике также имеет три масштаба, перечисленные выше для окружности: классический период, характерное время расплывания пакета и период полного возрождения. Теорема 2.4 является аналогом теоремы 2.2 для случая квантовой частицы в ящике. Эта теорема полностью описывает квазиклассический предел квантовой динамики в ящике на всех временных масштабах, позволяет тем самым подробно проследить все этапы квантовой динамики в квазиклассическом пределе.
Раздел 2.3 главы 2 посвящён функциональной формулировке классической механики, предложенной И. В. Воловичем [8]. Исходное понятие механики в этой формулировке — не материальная точка, а функция плотности распределения в фазовом пространстве. Соответственно, фундаментальным динамическим уравнением становится не уравнение Ньютона (или эквивалентные ему уравнения Гамильтона), а уравнение Лиувилля (даже если речь идёт не об ансамбле, а об одной частице). Уравнение Ньютона (Гамильтона) тогда становится приближённым уравнением для. средних распределений координат и импульсов. В работе [8] вычислены поправки к решениям уравнения Ньютона для некоторых частных случаев.
Целью перехода к новой формулировке классической механики является согласование обратимой микроскопической динамики с необратимой макроскопической динамикой. Эта проблема, известная как проблема необратимости, впервые была осознана Больцманом, обсуждалась затем в известных работах Пуанкаре, фон Неймана, Боголюбова, Ландау, Пригожина, В. В. Козлова и многих других авторов. Проблема необратимости является в настоящее время одной из важнейших фундаментальных проблем математической физики, требующих своего решения.
Как известно, динамика материальной точки обратима и возвращаема. Динамика функции плотности, подчиняющаяся уравнению Лиувилля, обладает т.н. свойством делокализации (расплывания). Если частица движется в ограниченном объёме (например, ящике), то на больших временах достигается равномерное распределение пространственной плотности (теоремы Козлова о диффузии [14]). Это свойство соответствует необратимому поведению. Поэтому если мы описываем с помощью функции плотности не только системы, состоящие из большого числа частиц, но даже и одну частицу, то противоречия между микро- и макроскопической динамикой нет: обе динамики необратимы.
В статье [8] аргументируется, что поскольку произвольные вещественные числа, т.е. бесконечные дроби (а с ними и отдельные траектории) ненаблюда-емы, то в самом деле рассмотрение пучка траекторий или динамики функции плотности распределения более оправдано, чем рассмотрение отдельной траектории точки. Отдельная траектория является своего рода «скрытой переменной» и не имеет непосредственного физического смысла.
В подразделе 2.3.1 мы даём ещё один аргумент в пользу этой позиции: поскольку непосредственно наблюдаемые величины — это показания измерительных приборов, а любой прибор имеет погрешность, то в действительности мы никогда не знаем состояния системы как точку в фазовом пространстве, а всегда имеем-дело с состоянием как функцией распределения. Предъявляется метод построения функции плотности на основе непосредственно наблюдаемых величин — показаний прибора.
В подразделе 2.3.2 анализируется возникающая в связи с этим проблема.
Как сказано выше, со временем функция плотности расплывается, в конечном объёме асимптотически достигается равномерное пространственное распределение. Это интерпретируется как необратимость. Однако в результате повторного измерения функция плотности «схлопывается» в некоторую другую функцию, снова хорошо локализованную (степень локализации определяется степенью точности наших приборов). Поэтому если мы производим достаточно частые измерения исследуемой системы, то свойство делокализации, о котором говорилось выше, проявляться не будет. Отсюда, казалось бы, можно сделать вывод о том, что новая формулировка не решает проблемы необратимости: механика отдельных частиц в ней остаётся обратимой, если над ними производить с достаточной частотой измерения. Проблема решается следующим образом. Известно, что при измерении возрастает энтропия прибора. Происходит это в результате возрастания энтропии прибора при измерении. Тесно связанные с этим проблемы обсуждались в связи с мысленным экспериментом «демон Максвелла» JI. Сцилардом (L. Szilard) [78], JI. Бриллюэном (L.N. Brillouin) [6} и Ч. Беннеттом (С.Н. Bennett) [41]. Таким образом, при таком «отслеживании» необратимость как бы переходит с системы на прибор.
В разделе 2.4 делается попытка подойти к проблеме о предпочтении той или иной формулировки классической механики со стороны квантовой механики. А именно, ставится задача выяснить, выводы какой формулировки классической механики — обычной (назовём её точечной) или функциональной — дольше сохраняют свою справедливость с точки зрения квантовой механики. Для этого изучается квазиклассический переход для квантовой динамики в двух ограниченных областях — на окружности и в ящике. При каждом- h > О квантовому оператору плотности ставится в соответствие классическая функция плотности на фазовом пространстве, затем осуществляется предельный переход h —> 0.
То есть мы должны иметь процедуру, сопоставляющую квантовому оператору плотности классическую функцию плотности вероятности. Известны разные способы отображения квантовых операторов плотности на функции в классическом фазовом пространстве. Первый способ предложен Вигнером (см. книгу М. Хиллери (М. Hillery), Р. Ф. О'Коннела (R. F. O'Connel), М. О. Скалли и Вигнера [59]). Функция Вигнера обладает рядом достоинств, однако она обладает и существенным недостатком: в общем случае она не является функцией плотности, поскольку может принимать отрицательные значения. Недавно В. И. Манько и соавторами была предложена томографическая вероятностная формулировка квантовой механики [67,68] (см. также обзор [38] и ссылки в этой работе), тоже основанная на представлении квантового состояния в виде классической функции распределения. Этот подход оказывается удобным при рассмотрении широкого класса квантовых проблем.
Для сопоставления квантовому оператору плотности классической функции плотности вероятности мы используем преобразование, предложенное К. Хусими (К. Husimi) [60]. Преобразование осуществляется следующим образом. Пусть р — оператор плотности, а {%>}(№)еп — семейство когерентных состояний. Тогда функция плотности вероятности p(q, р) определяется по формуле
К<ЪР) = р[ЩР]р = -^(ЛчР'РПдр), где через Тг обозначена операция взятия следа оператора. В случае если оператор плотности представляет собой проектор (р = Р[ф\), формула преобразования Хусими принимает вид
Очевидно, p(q, р) > 0, и в силу свойства непрерывного разложения единицы для когерентных состояний мы имеем
J J p(q,p)dqdp = l, n т.е. "fp) является функцией плотности вероятности на фазовом пространстве (классическим состоянием).
Преобразование Хусими также может быть выражено как сглаживание функции Вигнера квантового состояния с гауссовой функцией [59]. Саму функцию плотности вероятностей р мы также будем называть функцией Хусими. Преобразование Хусими на окружности рассматривалось в работе Дж. Мак-кенны (J. МсКеппа) и X. JI. Фриша (Н. L. Frisch) [70] также в связи с проблемой необратимости (получение уравнения Фоккера-Планка из обратимых уравнений квантовой механики).
Таким образом, чтобы в соответствии с преобразованием Хусими сопоставлять квантовому состоянию классическое, мы должны иметь семейство квантовых когерентных состояний для данной динамической системы. Поэтому обсуждаемый подраздел использует разработанный нами и представленный в этой главе формализм когерентных состояний в ограниченной области.
В результате исследования мы получаем, что обе формулировки классической механики адекватно описывают систему не на сколь угодно больших временах. Они справедливы на классическом масштабе времени Tci (см. выше). Но далее точечная формулировка не описывает расплывание плотности вероятности, поэтому перестаёт быть справедливой на втором масштабе Тсоц. В функциональной формулировке, как и в квантовой механике, имеет место расплывание плотности вероятности, но в ней не имеют место возрождения волнового пакета (т.е. это чисто квантовое явление, не имеющее аналогов в классической механике). Поэтому функциональная формулировка остаётся справедливой на втором масштабе Тсоц, но перестаёт быть справедливой на третьем масштабе Trev. Таким образом, функциональная формулировка классической механики сохраняет свою справедливость на большем временном масштабе, чем точечная формулировка, и, следовательно, с этой точки зрения, является более предпочтительной. Основные результаты раздела 2.4 приведены в теоремах 2.5 и 2.6.
Глава 3 целиком посвящена квантовой криптографии. Квантовые криптографические системы также являются квантовыми системами в ограниченном пространстве.
Одним из основоположников криптографии как науки является К. Шеннон (С. Е. Shannon). В своей работе [77], рассекреченной в 1949 г., он определил основные принципы современной криптографии, в том числе понятия криптосистемы и совершенной стойкости криптосистемы. Ещё ранее в криптографии был сформулирован принцип, что стойкость криптосистемы должна быть основана не на неизвестности для противника алгоритма шифрования, а на неизвестности для него набора специальных параметров, называемых ключом. Знание алгоритма шифрования без знания ключа не позволяет прочитать зашифрованное сообщение. Ключ подается вместе с сообщением на вход алгоритма зашифровки и, вместе с криптограммой (зашифрованным сообщением), на вход алгоритма расшифровки. То есть расшифровать сообщение может только лицо, знающее ключ. Таким образом, законные участники связи перед началом сеанса должны обладать некоторым общим секретным ключом. Стоит задача распределения ключей. Есть разные способы решения этой проблемы.
Ч. Беннетт и Дж. Брассар (G. Brassard) [42] предложили использовать для её решения особенности квантовой- механики. Их работа положила начало новому разделу криптографии и квантовой теории информации — квантовой криптографии. Основная идея квантовой криптографии состоит в том, что с физической точки зрения прослушивание канала связи — это измерение. Но в квантовой механике каждое измерение возмущает систему, и, в отличие от классической механики, в квантовой механике это возмущение нельзя сделать сколь угодно малым. Следовательно, при определённой последовательности действий прослушивание может быть обнаружено. Для этого в протоколе, предложенном Ч. Беннеттом и Дж. Брассаром используются несовместимые квантовые наблюдаемые. Этот протокол позволяет двум законным участникам связи создать общий секретный ключ, используя который они могут затем обмениваться секретными сообщениями. Соответствующий раздел квантовой криптографии был назван квантовым распределением ключей. Позже были предложены квантовомеханические решения и других проблем криптографии, поэтому в настоящее время квантовое распределение ключей — лишь один из разделов квантовой криптографии. Впервые математически строго стойкость первого протокола квантового распределения ключей к атакам общего вида была доказана Д. Майерсом (D. Mayers) [69].
Позднее было предложено много других протоколов квантового распределения юпочей, наблюдается тенденция перехода от доказательств стойкости отдельных протоколов к доказательству общих теорем о стойкости классов протоколов. Однако достаточно общий математический подход к квантовому распределению ключей в настоящий момент отсутствует, что, на наш взгляд, является некоторым тормозом для развития квантовой криптографии.
С точки зрения пространства-времени квантовые криптографические системы (как и системы квантовых вычислений) являются квантовыми системами в ограниченном пространстве. Необходимость учёта пространственной зависимости в квантовых криптографических системах при расчёте их стойкости указана И.В: Воловичем [79-81].
В разделе 3.2 предлагается общая математическая модель квантового распределения ключей, основанная на концепциях машины Тьюринга и квантового канала. Важный вклад в теорию квантовых каналов внёс А. С. Холево [35].
В разделе 3.3 предлагается, напротив, простейшая модель квантового распределения ключей, являющаяся квантовым аналогом известной классической модели, и уже на её примере показывается преимущество квантовой криптографии над классической. Продемонстрировано превосходство от использования так называемых совместных измерений (не имеющих аналогов в классическом случае) над квантовыми состояниями в квантовой криптографии. Показана польза от использования* формальной концепции квантового канала в квантовом распределении ключей. Основной результат раздела 3.3 — теорема 3.2 о стойкости предложенной модели.
Наконец, раздел 3.4 посвящён проблеме спецификации практических (в том числе коммерческих) систем квантового распределения ключей: какие характеристики должны указывать производители таких систем. Эта проблема является важной и актуальной в свете появления систем квантового распределения ключей на рынке: клиент должен иметь возможность оценивать качество предлагаемой системы и сравнивать различные системы, представленные на рынке. Для этого необходимо выработать определённые стандарты на спецификацию систем квантового распределения ключей. Мы предлагаем базовую функциональную характеристику — среднее времени генерации ключей, зависящее от ряда параметров, и выводим из неё несколько других функциональных и числовых характеристик, описывающих свойства системы более лаконично.
В заключение мне бы хотелось выразить глубочайшую благодарность своему научному руководителю Игорю Васильевичу Воловичу за вдохновение, постановку задач и постоянное внимание к работе, а также руководителям и участникам спецсеминара «Математические вопросы динамики классических и квантовых систем», действующего в рамках Научно-образовательного центра при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН, за полезные обсуждения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результаты, выносимые на защиту:
1) Построены квантовые когерентные состояния для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, доказана теорема об их квазиклассическом поведении на всех масштабах времени, что позволяет подробно проследить все этапы квантовой динамики. В частности, получено математическое обоснование асимптотического выравнивания плотности вероятности в конечном объёме для квантового случая, известного ранее лишь из численных расчётов (глава 2);
2) Построены семейства квантовых сжатых состояний на отрезке, исследованы их асимптотические свойства локализации. Получены оценки дисперсии координаты и импульса для квантовой частицы на отрезке, применимые, в частности, для наноскопических систем (глава 1);
3) Разработана общая математическая модель квантового распределения ключей, основанная на концепциях машины Тьюринга и квантового канала. Построена частная модель квантового распределения ключей, являющаяся аналогом известной модели классической криптографии, и доказана теорема о её стойкости. Рассмотрена проблема спецификации систем квантового распределения ключей: введена базовая функциональная характеристика — среднее время генерации ключей — и другие функциональные и числовые характеристики таких систем (глава 3).
1. Авербух И. Ш., Перельман Н. Ф. Динамика волновых пакетов высоковозбуждённых состояний атомов и молекул // Успехи физических наук. 1991. Т. 161, №7. С. 41-81.
2. Агапьев Б. Д., Белов В.Н., Кесманлы Ф.П., Козловский В. В., Марков С. И. Экспериментальная обработка результатов измерений : Учеб. пособие. СПб: СПбГТУ, 2001.
3. Белов В. В., Доброхотов С. Ю., Синицын С. О. Асимптотические решения уравнения Шрёдингера в тонких трубках // Труды института математики и механики УрО РАН. 2003. Т. 9, № 1. С. 15-25.
4. Березин Ф.А. Квантование // Известия АН СССР. Серия математическая. 1974. Т. 38, № 5. С. 1116-1175.
5. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М. ; Ижевск : РХД, 2009. 724 с.
6. Бриллюэн JI. Наука и теория информации. М. : Физматгиз, 1960. 392 с.
7. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981. 512 с.
8. Волович И. В. Проблема необратимости и функциональная формулировка классической механики // Вестник Самарского государственного университета. 2009. № 8/1(67). С. 35-55.
9. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М. : Физматлит, 1994. 376 с.
10. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М. : Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.
11. Давыдов А. С. Квантовая механика. М. : Наука, 1973. 704 с.
12. Карасёв М.В. Интеграл по траекториям и квазиклассическая асимптотика на группе Ли // Теоретическая и математическая физика. 1973. Т. 31, № 1. С. 41-47.
13. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М. : Мир, 1970. 428 с.
14. Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. М. ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2002. 320 с. (Современная математика).
15. Козлов В. В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. М. ; Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» ; Институт компьютерных исследований, 2008. 204 с.
16. Козлов В. В., Смолянов О. Г. Функция Вигнера и диффузия в бесстолк-новительной среде, состоящей из квантовых частиц // Теория вероятностей и её применения. 2007. Т. 51, № 1. С. 109-125.
17. Ландауэр Р. Необратимость и выделение тепла в процессе вычислений // Квантовый компьютер и квантовые вычисления. Ижевск : Ижевская республиканская типография, 1999. С. 9—32.
18. Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М. : Мир, 1988. 448 с.
19. Малкин В. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М. : Наука, 1979. 320 с.
20. Манько В. И. Вступительная статья. Метод когерентных состояний для произвольных динамических систем // Когерентные состояния в квантовой теории. Сборник статей. М. : Мир, 1972. 232 с. (Новости фундаментальной физики).
21. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М. : Наука, 1988. 312 с.
22. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 528 с.
23. Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л. : Энергоатомиздат. Ленинградское отделение, 1985. 248 с.
24. Переломов А. М. Обобщённые когерентные состояния и их применения. М. : Наука, 1987. 270 с.
25. Пронкин Н. С. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям : учеб. пособие для вузов. М. : Логос ; Университетская книга, 2007. 392 с. (Новая университетская библиотека).
26. Прямые измерения с многократными наблюдениями: ГОСТ 8.207-76. М. : Издательство стандартов, 1986.
27. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов // Избранные труды в трёх томах. Т. III. Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественнонаучных работ Анри Пуанкаре. М. : Наука, 1974. С. 385— 412. (Классики науки).
28. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. В 4-х тт. Т. 2. Гармонический анализ. Самосопряжённость. М. : Мир, 1978. 393 с.
29. Скалли М. О., Зубайри М. С. Квантовая оптика. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 512 с.
30. Смолянов О. Г., Шавгулидзе Е. Т. Континуальные интегралы. М. : Изд-во МГУ, 1990. 150 с.
31. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М. : Мир, 1985. 272 с.
32. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1980. 200 с.
33. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М. : Мир, 1968. 384 с.
34. Фон Нейман И. Математические основы квантовой'механики. М. : Наука, 1964. 367 с.
35. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО, 2002. 128 с.
36. Чисар PI., Кернер Я. Теория информации: теоремы кодирования для дискретных систем без памяти. М. : Мир, 1985. 400 с.
37. Шляйх В. П. Квантовая оптика в фазовом пространстве. М. : ФИЗМАТ-ЛИТ, 2005. 760 с.
38. Aronstein D. L., Stroud C. R., Jr. Fractional wave-function revivals in the infinite square well // Phys. Rev. A. 1997. V. 55, N 6. P. 4526-4537.
39. Averbukh I. Sh., Perelman N. F. Fractional revivals: universality in the long-term evolution of quantum wave packets beyond the correspondence principle dynamics. // Physical Letters Ser. A, 1989. V. 139, N 9. P. 449-453.
40. Bennett C.H. The thermodynamics of computation — a Review //' International Journal of Theoretical Physics. 1982. V. 21, N 12. P. 905-940.
41. Ben-Or M., Horodecki M., Leung D.W., Mayers D., Oppenheim J. The universal composable security of quantum key distribution // arXiv.org e-Print archive. 2004. URL: http://arXiv.org/abs/quant-ph/0409078 (дата обращения: 1.09.2009).
42. Ben-Or M., Mayers M. General security definition and composability for quantum and classical protocols // arXiv.org e-Print archive. 2004. URL: http://arXiv.org/abs/quant-ph/0409062 (дата обращения: 1.09.2009).
43. Bergman S. The kernel function and conformal mapping. New York : American Mathematical society, 1950. 161 p.
44. De Bievre S., Gonzalez J. A., Semiclassical behaviour of coherent states on the circle. // Quantization and coherent states methods. Singapore : World Scientific, 1993. P. 152-157.
45. Bocchieri P., Loinger A. Quantum recurrence theorem // Physical Review, 1956, V. 107, N 2, P. 337-338.
46. Canetti R. Universally composable security: A new paradigm for cryptographic protocols // Foundations of Computer Science. Proceedngs. 42nd IEEE symposium on. IEEE Computer society, 2001. P. 136—145.
47. Csiszar I., Korner J. Broadcast channels with confidential messages // IEEE Transactions on Information Theory. 1978. V. 24, N 3. P. 339—348.
48. Devetak I. The private channel capacity and quantum capacity of a quantum channel // IEEE Transactions on Information Theory. 2005. V. 51, N 1. P. 44—55.
49. Glauber R. J. Photon correlations // Physical Review Letters. 1963. V. 10. P. 84-86.
50. Glauber R. J. The quantum theory of optical coherence // Physical Review. 1963. V. 130, N 6. P. 2529-2539.
51. Glauber R. J. Coherent and incoherent states of the radiation field // Physical Review. 1963. V. 131, N 6. P. 2766-2788.
52. Gonzalez J. A., del Olmo M. A. Coherent states on the circle // Journal1 of Physics A. 1998. V. 31, N 44. P. 8841-8857.
53. Gonzalez J. A., del Olmo M. A., Tosiek J. Quantum mechanics on the cylinder // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics; 2003. V. 5, N 3. P. S306-S315.
54. Нерр К. The classical limit for quantum mechanical correlation functions // Communications in Mathematical Physics. 1974. V. 35, N 4. P. 265—277.
55. Hillery M., O'Connel R.F., Scully M.O., Wigner E.P. Distributions functions in physics: fundamentals // Physics Reports. 1984. V. 106, N 3. P. 121— 167.
56. Husimi K. Some formal properties of the density matrix // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 1940. V. 22. P. 264-314.
57. Inoue K., Ohya M., Volovich I. V. Semiclassical properties and chaos degree for the quantum baker's map // Journal of Mathematical Physics. 2002. V. 43. P. 734-755.
58. Judge D. On the uncertainty relation for angle variables // Nuovo Cimento. 1964. V. 31, N2. P. 332-340.
59. Klauder J. R., Skagerstam B.-S. Coherent states: applications in physics and mathematical physics. Singapore : World Scientific, 1985. 911 p.
60. Kowalski K., Rembielinski J. Coherent states for quantum mechanics on a compact manifold // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. V. 41. 304021 (12 p.).
61. Kowalski K., Rembielinski J. On the uncertainty relations and squeezed states for the quantum mechanics on a circlc // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 1405-1414.
62. Lo H.-K. Will quantum cryptography ever become a successful technology in the marketplace? // arXiv.org e-Print Archive. 1999. URL: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9912011 (дата обращения: 1.09.2009).
63. Mancini S., Man'ko V.I., Tombesi P. Classical-like description of quantum dynamics by means of symplectic tomography // Foundations of Physics. 1997. V. 27, N 6. P. 801-824.
64. Mancini S., Man'ko V. I., Tombesi P. Symplectic tomography as classical approach to quantum systems // Physics Letters A. 1996. V. 213. P. 1—6.
65. Mayers D. Unconditional security in quantum cryptography // arXiv.org e-Print Archive. 1998. http://arXiv.org/abs/quant-ph/9802025 (дата обращения: 1.09.2009).
66. McKenna J., Frisch H.L. Quantum-mechanical, microscopic Brownian motion // Physical Review. 1966. V. 145, N 1. P. 93-110.
67. Novikov S.P. 1. Classical and modern topology. 2. Topological phenomena in real world physics // arXiv.org e-Print Archive. 2000. URL: http://arXiv.org/abs/math-ph/0004012 (дата обращения: 1.09.2009).
68. Ohya M., Petz D. Quantum entropy and its use. Berlin : Springer, 1993. 3471. P
69. Renner R., Konig R. Universally composable privacy amplification against quantum adversaries // Second Theory of Cryptography Conference, TCC 2005, LNCS, Springer. 2005. V. 3378. P. 407-425.
70. Robinett R. W. Quantum wave packet revivals // Physics Reports. 2004. V. 392, N 1-2. P. 1-119.
71. Robinett R. W. Visualizing the collapse and revival of wave packets in the infinite square well using expectation values // American Journal of Physics. 2001. V. 69, N 1. P. 56-62.
72. Schrodinger E. Der stetige Ubergang von der Mikro- zur Makromechanik // Naturwissenschaften. 1926. Bd. 14. S. 664-666.
73. Shannon С. E. Communication theory of secrecy systems // Bell System Technical Journal. 1949. V. 28. P. 656-715.
74. Szilard L. Uber die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei Eingriffcn intelligenter Wesen // Zeitschrift fur Physik. 1929. Bd. 53, N 11-12. S. 840-856.
75. Volovich I. V. Seven principles of quantum mechanics // Foundations of Probability and Physics. V. 2. Vaxjo : Vaxjo Univ. Press, 2003. P. 569—575.
76. Volovich I. V. Quantum information and space-time structure // Quantum Information V. Singapore : World Scientific, 2002. P. 19—34.
77. Volovich I. V., Volovich Ya. I. On classical and quantum cryptography. // arXiv.org e-Print archive. 2001. URL: http://arXiv.org/abs/quant-ph/0108133 (дата обращения: 1.09.2009).
78. Weil A. Sur certains groupes d'operateurs unitaires // Acta Mathematica. 1964. V. 111. P. 143-211.
79. Публикации автора по теме диссертации
80. Трушечкин А. С. Квантовые когерентные состояния и соотношения неопределённостей для наноскопических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2009. № 8/1(67). С. 254—273.
81. Волович И. В., Трушечкин А. С. О квантовых сжатых состояниях на отрезке и соотношениях неопределённостей для наноскопических систем // Труды Математического института им. В. А. Стеклова. 2009. Т. 265. С. 288— 319.
82. Волович И. В., Трушечкин А. С. Об одной проблеме распределения ключей в квантовой криптографии // Доклады Академии наук. 2005. Т. 404, № 2. С. 169-172.
83. Trushechkin A. S., Volovich I. V. Classical and quantum cryptography and number theory // AIP Conference Proceedings. V. 826. 2nd International conference on p-adic mathematical physics. New York : AIP, 2006. P. 345—354.
84. Trushechkin A. S., Volovich I. V. Functional classical mechanics and rational numbers // P-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications. 2009. V.l, N 4. P. 365-371.
85. Trushechkin A. S., Volovich I. V. On standards and specifications in quantum cryptography // International Journal of Quantum Information. 2008. V. 6, N 2. P. 347-367.
