Некоторые вопросы динамики и управления квантовыми системами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Российская академия наук

Математический институт им. В.А. Стеклова

На правах рукописи

Печень Александр Николаевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КВАНТОВЫМИ СИСТЕМАМИ

01.01.03 - математическая фи зика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 г щ т

00554^»оо

Москва 2013

005543968

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук.

Официальные оппоненты: Сачков Юрий Леонидович,

доктор физико-математических наук, доцент, руководитель Исследовательского центра процессов управления ФГБУН Институт программных систем имени А.К. Айламазяна Российской академии наук.

Смоляное Олег Георгиевич,

доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Тарасов Василий Евгеньевич,

доктор физико-математических наук, доцент,

старший научный сотрудник Научно-исследовательского

института ядерной физики имени Д.В.Скобельцына

Московского государственного университета

имени М.В.Ломоносова.

Ведущая организация: Федеральное государственное автономное образовательно

учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технических! институт (государственный университет)

Защита состоится 17 апреля 2014 года в 14:00 час. на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при ФГБУН Математический институт им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д. 8, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Сте1 лова РАН.

Автореферат разослан: " " декабря 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Ю.Н. Дрожжинов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из активно развивающихся областей современной математической физики является исследование динамики и управления квантовыми системами. Важным случаем являются открытые квантовые системы, то есть системы, взаимодействующие с окружением. Такими системами являются, например, атом, молекула, наночастица, взаимодействующие с излучением или газом, химические реагенты в растворе, электрон в квантовой точке с окружением из ядерных спинов и так далее. Изучение динамики открытых квантовых систем имеет важное значение для исследования вопросов декогеренции, стремления к равновесию, проблемы квантового измерения, проблемы необратимости. Изучение вопросов управления важно для оптимального контроля химических реакций, в квантовой оптике, квантовой информации, квантовых вычислениях.

Важной задачей в динамике открытых квантовых систем является вывод из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга мастер-уравнений, описывающих усредненную по состоянию резервуара, то есть редуцированную, динамику системы. Точные мастер-уравнения, как правило, сложны для практических вычислений. Однако в некоторых физически интересных режимах точные решения таких уравнений аппроксимируются решениями значительно более простых марковских уравнений. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности. В режиме слабой связи взаимодействие между системой и резервуаром является малым. В режиме малой плотности мала плотность числа частиц резервуара, в то время как взаимодействие может быть сильным. В обоих случаях упрощенное описание возникает на больших временах i, соответствующих кинетическому этапу эволюции. Формально пределы слабой связи и малой плотности определяются как Л —>■ 0, t —» +00, X2t = const и п —> 0, t —> +00, nt = const, где Л — константа связи и п — плотность числа частиц резервуара. В приложениях режим слабой связи описывает, например, динамику атомов или молекул, взаимодействующих с излучением; режим малой плотности — широкий круг задач о столкновительной декогеренции. Изучение

3

динамики в этих режимах проводилось в многочисленных работах, начиная с работ H.H. Боголюбова, JI. ван Хова, И. Пригожина. Редуцированная динамика изучалась в работах Е.Б. Дэвиса (Е.В. Davies), Р. Думке (R. Dümcke), Д. Лебовица (J. Lebowitz). Г. Шпона (H. Sponh), К. Хорнбергера (К. Hornberger), Б. Ваккини (В. Vacchini) и других авторов. Многие результаты по теории открытых квантовых систем изложены в книгах E.B. Davies "Quantum theory of open systems'' (London: Academic Press, 1976), L. Accardi, Y. Lu, I.V. Volovich "Quantum theory and its stochastic limit" (Springer, 2002), Ю.М. Белоусова, В.И. Манько "Матрица плотности. Представления и применения в статистической механике" (М.: МФТИ, 2004), S. Attal, A. Joye. С.A. Pillet "Open quantum systems: the Markovian approach" (Springer, 2006), B.E. Тарасова "Quantum mechanics of non-Hamiltonian and dissipative systems" (Elsevier Science, 2008), Х.П. Бройера, Ф. Петруччионе "Теория открытых квантовых систем" (РХД, 2010), М.Г. Иванова "Как понимать квантовую механику" (РХД, 2012). Возникающие в пределах слабой связи и малой плотности мастер-уравнения типа Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада широко используются в диссертационной работе.

Значительно более сложной задачей является вывод приближённых уравнений, описывающих в этих режимах эволюцию полной системы. В работах Л. Аккарди, И.В. Воловича, Ю. Лу разработан метод стохастического предела, позволяющий выводить квантовые стохастические уравнения для полной системы в пределе слабой связи. Данный метод, использующий аппроксимацию описывающих резервуар операторов операторами квантового белого шума, применялся в работах Л. Аккарди, И.В. Воловича, C.B. Козырева, Ф. Багарелло (F. Bagarello), Г. Кимура (G. Kimura), К. Имафуку (К. Imafuku), К. Юаса (К. Yuasa) и других авторов к изучению динамики открытых квантовых систем в пределе слабой связи, то есть в пределе А —> 0. Задача получения уравнений, описывающих поправки по А, и разработка метода вывода уравнений в пределе малой плотности решены в работах А.Н. Печеня, Л. Аккарди, И.В. Воловича.

Одним из изучаемых в диссертации вопросов является установление связи

динамики открытых квантовых систем в пределе малой плотности с теорией свободной вероятности (англ.: free probability) и свободной статистикой. Теория свободной (квантовой) вероятности есть раздел теории квантовой вероятности, предметом изучения которой являются некоммутативные случайные величины. Случайными величинами в теории квантовой вероятности являются элементы некоторой, в общем случае, некоммутативной *-алгебры Л, а вероятностной мерой является состояние о на А. Теория свободной вероятности получила развитие в работах Д. Войкулеску в середине 1980-х годов в контексте алгебр фон Неймана свободных групп. Однако еще в 1967 году В. Марченко и Л. Пастуром была получена формула, описывающая асимптотическое поведение собственных значений случайных матриц — распределение Марченко-Пастура, имеющее тот же вид, что и распределение свободного процесса Пуассона в теории свободной вероятности1. Впоследствии теория свободной вероятности стала развиваться как самостоятельный раздел математики с приложениями в основном в теории случайных матриц. В диссертации показано, что квантовый белый шум со свободной статистикой также возникает при изучении динамики открытых квантовых систем в пределе малой плотности, что дает новый пример возникновения свободной статистики и свободной вероятности в математической физике.

Тесно связанными с вопросами динамики являются задачи управления квантовыми системами. Теория оптимального управления возникла в конце 1950-х - начале 1900-х годов, когда был разработан принцип максимума Понтрягина в работах JI.C. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко и метод динамического программирования Беллмана. Некоторые проблемы управления квантовыми системами, такие, как задача оптимальной фильтрации квантовых переменных, рассматривались в начале 1970-х годов (Б.А. Гришанин, P.JI. Стратонович). Активное внимание задачи квантового управления стали привлекать в конце 1970-х - начале 1980-х годов в работах В.П. Белавкина, А.Г. Бутковского, П. Брюмера, B.C. Летохова, X. Рабица, С.А. Райса, Ю.И. Самойленко, Д. Тэннора., М. Шапиро и других

1 Мя.рчекко В. А., Пастур Л. А. Распределение собственных значений в некоторых ансамблях случайных матриц // Математический сборник. 1967. Т. 72(114). № 4. С. 507-536.

5

авторов. В настоящее время научные коллективы, занимающиеся вопросами управления квантовыми системами, работают во многих ведущих университетах мира. Ежегодно согласно Web of Science по данному направлению публикуется около 1300 статей, в том числе в журналах Science и Nature. Нобелевская премия по физике 2012 года вручена Сержу Арошу и Дэвиду Вайнл-энду за прорывные экспериментальные методы для измерения и манипулирования индивидуальными квантовыми системами. Различные теоретические и экспериментальные результаты в области управления квантовыми системами изложены в ряде книг, включая книги А.Г. Бутковского и Ю.И. Самой-ленко "Управление квантовомеханическими процессами" (М.: Наука, 1984), S.A. Rice и М. Zhao "Optical control of molecular dynamics" (New York: Wiley, 2000), P.W. Brumer и M. Shapiro "Principles of the quantum control of molecular processes" (Wiley-Interscience, 2003), сборник статей под ред. A.JI. Фрадко-ва и O.A. Якубовского "Управление молекулярными и квантовыми системами" (Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003), книги V.S. Letokhov "Laser control of atoms and molecules" (Oxford University, 2007), D. D'Alessandro, "Introduction to quantum control and dynamics" (Chapman and Hall, 2007), D.J. Tannor "Introduction to quantum mechanics: a time dependent perspective" (Sausalito: University Science Press, 2007). Тесно связанными с задачами квантового управления являются задачи управления на группах Ли и теория геометрического управления, изложенная в книге A.A. Аграчева и Ю.Л. Сачкова "Геометрическая теория управления" (М.: Физматлит, 2005).

Большое внимание уделяется изучению когерентного управления изолированными от окружения (замкнутыми) n-уровневыми квантовыми системами. Широкий класс задач управления для таких систем ставится как задача максимизации функционалов вида = -7Г(U'£), где Uj. есть унитарный оператор, описывающий эволюцию системы от момента времени t — 0 до финального момента времени Т > 0 под действием управления f(t), и Т : U (n) -) 1 - некоторая функция на унитарной группе. Для замкнутых систем исследовались вопросы управляемости, различные алгоритмы поиска оптимальных управлений и многие другие проблемы. Важной актуально}!

темой является исследование ландшафтов управления, то есть графиков целевых функционалов, описывающих задачи управления квантовыми системами, в том числе изучение ловушек — локальных экстремумов, не являющихся глобальными. Различают динамические и кинематические ландшафты — графики функционалов и функций J-(U), соответственно. Исследование кинематических ландшафтов можно связать с работой фон Неймана 1937-го года, посвященной изучению экстремумов следовых функций на унитарных группах2, и с работой Брокетта, посвященной изучению экстремумов следовых, функций на ортогональных группах3 (однако в обоих работах в другом контексте). Исследование динамических ландшафтов задач квантового управления получило развитие в работе Рабица, Хсиеха и Розенталя4, где было высказано предположение об отсутствии ловушек в динамических ландшафтах. Несмотря на большое количество последующих работ, доказать данное предположение удалось только для замкнутых двухуровневых квантовых систем [21] и для задачи управления коэффициентом прохождения частицы через барьер [22], в то время как для широкого класса замкнутых систем с числом уровней более двух доказано существование ловушек второго порядка — критических точек, не являющихся глобальными оптимумами и имеющих знако-полуопределенный гессиан целевого функционала [17, 20].

Предположение об изолированности управляемой системы нередко является слишком сильным — во многих приложениях взаимодействием квантовых систем с окружением нельзя пренебречь. Данное обстоятельство определяет практическую важность изучения задач управления взаимодействующими с окружением (открытыми) квантовыми системами. Такие задачи возникают в различных разделах физики и химии, от задач лазерного управления химическими реакциями в растворах и управления электроном в квантовой точке в окружении ядерных спинов до индуцирования зацепленных состояний и реализации квантовых вычислений со смешанными состояниями

2von Neumann J. Some matrix-inequalities and metrization of matric-space // Труды Томского университета. 1937. T. 1. С. 286.

3Brockett R. Least squares matching problems // Lin. Alg. Appl. 1989. T. 122/123/124. C. 761-777.

4Rabitz H., Hsieh M., Rosenthal C. Quantum optimally controlled transition landscapes // Science. 2004. T. 303. С. 1Э98-2001.

и неунитарными квантовыми вентилями (D. Aharonov, A. Kitaev, N. Nisan, В.Е. Тарасов. J.I. Cirac и др.). Для открытых квантовых систем сформулирован принцип максимума Понтрягина (Н. Jirari и W. Pötz), выведены уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (J. Gough, В.П. Белавкин, О.Г. Смолянов), исследовались вопросы управляемости (С. Altafini. А.Н. Печень, Т. Shulte-Herbruggen), управление с обратной связью (Н.М. Wiseman, G.J. Milburn, Н. Mabuchi), управление с помощью измерений (А.Б. Климов, В.И. Мань-ко, L. Roa, К. Jacobs. А.Н. Печень, Н.Б. Ильин, С. Brif, Н. Rabitz). Доказано отсутствие ловушек в кинематическом ландшафте задачи управления наблюдаемой для открытых квантовых систем [7, 8], что можно рассматривать как продолжение упомянутых выше работ фон Неймана и Брокетта на исследование экстремумов следовых функций на комплексных многообразиях Шти-феля. Активно изучаются задачи, связанные с управлением квантовыми системами с помощью резервуара, что может быть необходимо, например, для квантовых вычислений со смешанными состояниями и неунитарными логическими элементами0. Решение некоторых задач управления для замкнутых и открытых квантовых систем входит в содержание диссертационной работы.

Цель работы:

(а) изучение статистики, описывающей квантовый газ, взаимодействующий с квантовой частицей в пределе малой плотности;

(б) анализ экстремумов целевых функционалов в динамическом описании для замкнутых квантовых систем;

(в) анализ экстремумов целевых функционалов в кинематическом описании для открытых квантовых систем;

(г) исследование управляемости открытых квантовых систем с использованием когерентного и некогерентного управлений:

(д) анализ управления квантовыми системами с использованием в качестве управляющего воздействия неселективных квантовых измерений.

5Aharonov D., Kitaev A., Nisan N. Quantum circuits with mixed states // Proceedings of 13th Annual ACM Symposium on Theory of Computation. 1997. C. 20-30.

Tarasov V. E. Quantum computer with mixed states and four-valued logic //J. Phys. A: Math. Gen. 2002. T. 35. C. 5207-5235.

Основные результаты:

1. Доказано возникновение свободной статистики в пределе малой плотности в модели, описывающей взаимодействие квантовой частицы с Бозе газом. Вычислены предельные разновременные корреляционные функции операторов резервуара.

2. Доказано наличие ловушек второго порядка (критических точек с отрицательно полуопределенным гессианом целевого функционала) в динамических ландшафтах широкого класса задач управления замкнутыми квантовыми системами с числом уровней п > 3.

3. Доказано, что комбинация когерентного управления и некогерентного управления с использованием состояния резервуара в качестве управляющего воздействия в модели с мастер-уравнением, соответствующим пределу слабой связи, при широких предположениях позволяет приближенно создавать любые матрицы плотности п-уровневой квантовой системы.

4. Доказано отсутствие ловушек (локальных экстремумов, не являющихся глобальными) в кинематическом и динамическом ландшафтах задачи управления коэффициентом прохождения частицы через потенциальный барьер. Доказано отсутствие ловушек в кинематическом ландшафте задачи максимизации наблюдаемой для двухуровневых открытых квантовых систем.

5. Решена задача максимизации вероятности перехода в трехуровневой системе с динамической симметрией с использованием когерентного управления совместно с неселективным квантовым измерением.

Методы исследования. В диссертации используются метод стохастического предела, операторные и алгебраические методы квантовой теории, теория обобщенных функций, методы математической физики, теория открытых квантовых систем, методы управления квантовыми системами, теория квантовой вероятности и квантовых случайных процессов, вариационные, асимптотические, геометрические методы, теория управления, выпуклый анализ, модели квантовой оптики.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые получены следующие результаты. Доказано возникновение свободной статистики в пределе

9

малой плотности для модели, описывающей квантовую систему, взаимодействующую с Бозе-газом, чем получен новый пример возникновения свободной статистики и свободной вероятности в математической физике. Доказано существование ловушек второго порядка для широкого класса задач управления квантовыми системами, что является крупным вкладом в решение фундаментальной задачи поиска всех экстремумов целевых функционалов для задач квантового управления. Доказана возможность приближенного создания произвольных матриц плотности для открытых квантовых систем, находящихся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, что показывает возможность детерминистской реализации наиболее сильной степени управляемости в пространстве состояний квантовых систем. Найдено точное значение максимальной величины переноса населенности в трехуровневой системе с динамической симметрией при использовании когерентного управления и одного неселективного квантового измерения. Доказано отсутствие ловушек в кинематическом и динамическом ландшафтах задачи управления коэффициентом прохождения частицы через потенциальный барьер. Найдены все критические точки кинематического ландшафта задачи максимизации среднего значения квантово-механической наблюдаемой для двухуровневых открытых квантовых систем. Все основные результаты получены лично автором.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для создания различных смешанных состояний квантовых систем, повышения робастности управления, оценки эффективности и выбора подходящих алгоритмов поиска оптимальных управлений. На работы автора по теме диссертации на дату 31.10.2013 имеется 259 цитирований согласно Web of Science и 294 цитирований согласно Google Academia, в том числе имеются цитирования в высокорейтинговых мировых журналах Science и Nature. Обсуждению некоторых результатов работы посвящена статья "Look out for traps" в журнале Science (т. 332, с. 514) редактора этого журнала J.S. Yeston.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, доклады-

10

вались автором на общеинститутском семинаре и семинарах отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководитель — О.Г. Смолянов). института программных систем им. А.К. Ай-ламазяна РАН, института проблем машиноведения РАН, химического факультета Принстонского университета (США), университета штата Айова (США), математического факультета университета Техаса А&М (США), математического факультета Национального университета Мехико (Мексика), факультета химической физики института Вейцмана (Израиль), химического факультета Технического университета г. Мюнхен (Германия: руководитель S. Glaser), физического факультета университета г. Ульм (Германия; руководитель Т. Calarco), а также на международных конференциях: "28-я конференция по квантовой вероятности" (Гуанахуато, Мексика, 2007), "Международная конференция по математической физике и её приложениям" (Самара, Россия, 2008), "Международная конференция по математической теории управления и механике" (Суздаль, Россия, 2009), Гордоновская конференция "Quantum control of light and matter'"' (Саут Хадли, США, 2009). Боголюбовская конференция "Проблемы теоретической и математической физики" (Дубна, Россия, 2009), "Конференция по созданию, манипулированию и характеризации квантовых состояний материи и излучения" (Барселона, Испания, 2010), "32-я конференция по квантовой вероятности" (Леви-ко, Италия, 2011), "Конференция по математической теории управления и механике" (Суздаль, Россия, 2011), "Управление и оптимизация неголоном-ных систем" (Переславль-Залесский, Россия, 2011), "Engineering and control of quantum systems" (Дрезден, Германия, 2011), "Проблема необратимости в классических и квантовых динамических системах" (Москва, Россия, 2011), Международный конгресс Оптического общества "Quantum information and measurement" (Берлин, Германия. 2012), симпозиум "Quantum dissipation and control" (Реховот, Израиль, 2012), Международный конгресс по математической физике (Ольбург, Дания, 2012), летняя школа "Взаимодействие математики и физики: новые перспективы" (Москва, Россия, 2012), Третья между-

народная конференция "Математическая физика и ее приложения" (Самара. Россия, 2012), "Laser control of chemical reactions" (Цфат, Израиль, 2012), "Optimal control of quantum systems" (Саутгемптон, Англия, 2012), "Конференция по математической теории управления и механике" (Суздаль, Россия, 2013), ""Управление и оптимизация неголономных систем" (Переславль-Залесский, Россия, 2013), Гордоновская конференция "Quantum control of light and matter" (Саут Хадли, США, 2013), "34-я конференция по квантовой вероятности" (Москва, Россия. 2013).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, пяти Глав, Заключения и Списка литературы (249 наименований). Объем диссертации составляет 194 страницы.

Благодарности. В первую очередь автор хочет выразить благодарность профессору И.В. Воловичу, оказавшему существенное влияние на выбор темы исследования, и коллегам — профессору университета г. Рима Luigi Accardi, профессору Принстонского университета Herschel Rabitz, профессору института имени Вейцмана David J. Tannor, К. Брифу, P. By (Rebing Wu), P. By (Rong Wu), Д. Домини (Jason Dominy), H.B. Ильину, C.B. Козыреву, А. Озе (Anand Oza), Д. Прохоренко, Ф. Шуангу (Feng Shuang). Исследования частично поддержаны следующими фондами: Российский фонд фундаментальных исследований, INTAS, Национальный научный совет Италии, Европейская Комиссия (грант имени Марии Кюри 7-й Рамочной Программы), Министерство образования и науки Российской Федерации (соглашение № 8215), Совет по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и по государственной поддержке ведущих научных школ (стипендия Президента Российской Федерации).

Содержание работы

Введение содержит краткий обзор литературы, формулировку целей исследования, основные результаты, описание структуры диссертационной работы.

Значительная часть работы посвящена открытым квантовым системам.

Открытой квантовой системой называется квантовая система (электрон, атом, молекула, наночастица), также называемая "система'*, "пробная частица", которая взаимодействует с резервуаром (излучение, квантовый газ, измерительный прибор). Если система имеет п уровней энергии, то есть является n-уровневой, то ее состояние в момент времени t описывается матрицей плотности pt, являющейся положительной матрицей (в общем случае с комплексными элементами) с единичным следом. Множество всех матриц плотности тг-уровневой системы обозначим как Т>п = {р£ | р > 0, Trp = 1}, где Тг обозначает след матрицы.

Чтобы описать динамику открытой системы из первых принципов, нужно задать гильбертово пространство полной системы У. = ?{$ ® Hr, где и Hr — гильбертовы пространства системы и резервуара, и гамильтониан полной системы Я = Н0 + #int, где Н0 = Щ <g> I + I <В> HR — свободный гамильтониан, и Hr — свободные гамильтонианы системы и резервуара, Hint — гамильтониан взаимодействия системы с резервуаром. Далее, если не оговорено иначе, рассматриваются n-уровневые системы. Соответствующее гильбертово пространство есть Hs = С". Гильбертовым пространством резервуара является пространство Фока Hr — rsym(?{i) над некоторым од-ночастичным пространством (далее рассматривается бозонный резервуар и, соответственно, симметричное пространство Фока). Свободный гамильтониан резервуара есть вторичное квантование гамильтониана Н\ одной частицы резервуара (например, оператора = —Д в L2(K3)), Hr = d,T{Hi). Свободная эволюция одной частицы резервуара описывается однопараметриче-ской унитарной группой St = e,iHl. Для резервуара, состоящего из частиц в Ж3, одночастичное гильбертово пространство и свободный гамильтониан есть Н\ = L2(R3) я Hr = f dku;(k)a+(k)a(k), где a+(k) и a(k) есть операторы рождения и уничтожения частицы с импульсом к 6 М3, а>(к) — энергия частицы с импульсом к.

Динамика полной системы определяется оператором эволюции, имеющим в представлении взаимодействия вид U(t) = е'гЯ°е~1Ш. Если начальное состояние полной системы имеет вид ро <S) до, где ро и да есть начальные со-

стояния системы и резервуара, то состояние интересующей нас подсистемы в момент времени t описывается редуцированной матрицей плотности pt = TrR[í/(í)(po ® ßo)U^(t)], где Тгд обозначает частичный след по подпространству Hr. Как правило, уравнения для полной и редуцированной динамики не поддаются точному решению. Однако существуют физические режимы, в которых точная динамика аппроксимируется относительно легко решаемыми уравнениями. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности. В обоих режимах динамика полной системы сходится к решению некоторого квантового стохастического дифференциального уравнения, в то время как редуцированная динамика сходится к решению марковского мастер-уравнения. Квантовые стохастические дифференциальные уравнения в пределе малой связи выведены в книге JI. Аккарди, Ю. Jly и И.В. Воловича6, а в пределе малой плотности — в работах Л. Аккарди, А.Н Печеня и И.В. Воловича7. Конкретный вид предельных уравнений зависит от типа предела и от структуры гамильтониана полной системы.

В главе 1 изучается предельная статистика резервуара, возникающая при описании из первых принципов динамики открытых квантовых систем, взаимодействующих с Бозе газом в режиме малой плотности. Изложение следует работе [1]. Взаимодействие квантовой системы с Бозе-газом описывается гамильтонианом взаимодействия вида

tfint = IQÍ ® ЩТ,) + Qi® щт})] (1)

i

Здесь Qi 6 B(7-Ls), T¡ Е Т(Нi), В{Н$) — множество ограниченных операторов в Tis, T('Hi) — множество операторов в 7í\ с конечным следом и JV(T¡) — dT(T¡) — вторичное квантование оператора Т; в симметричном пространстве Фока ГзушСН!). Например, для Т = \f){g\ имеем N(T) = A+{f)A{g), где A+(f) и А(д) обозначают бозонные операторы рождения и уничтожения, /, д € И}. Полный гамильтониан системы есть Н = Hq + H-mt.

6Accardi L., Lu Y. G., Volovich I. V. Quantum theory and its stochastic limit. — Berlin: Springer, 2002.

7Accardi L., Pechen A. N., Volovich I. V. A stochastic golden rule and quantum Langevin equation for the low-density limit jj Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability & Related Topics. 2003. T. 6. C. 431^153.

Оператор эволюции и(£) = е'гя°е '¿(Но+Нм) удовлетворяет уравнению

Здесь

шеп

и £1 есть множество частот перехода в системе, то есть спектр — ']•

Резервуар предполагается в произвольном гауссовом, не обязательно гибб-совском, квази-свободном состоянии с двухточечной корреляционной функцией дЕп(А+(/)А(д)) = е(д,п/), где е > 0 — малый параметр и п — ограниченный положительный оператор в 'Н\, такой что : [5^, п] = 0 (5^ = е,Ш1). В типичном случае, когда Т-Сх = Ь2(Ш3) и одночастичный гамильтониан Н\ есть оператор умножения на функцию ш(к) = |к|2/2т, где кит есть импульс и масса частицы резервуара, оператор п является оператором умножения на функцию п(к), к 6 К3. Физический смысл этой функции состоит в том, что величина еп(к) есть плотность числа частиц резервуара с импульсом к. Таким образом, малые е соответствуют малой плотности частиц резервуара.

Пределом малой плотности называется предел при

различных физических величин (например, оператора эволюции полной системы, редуцированной матрицы плотности, временной эволюции различных наблюдаемых, различных корреляционных функций и так далее). Удобно произвести замену Ь —> 1/е и далее рассматривать только предел е —>■ 0 с фиксированным I.

Оператор эволюции II^/е) удовлетворяет уравнению

а —> 0, í —> +оо, еЬ = const

АЩг/е)

—1

1 X ® + ® Л^-^«] иш

с!£

где

Далее основным объектом изучения является предел малой плотности для корреляционных функций операторов

В разделе 1.3 вводится диаграммная техника вычисления средних от произведений операторов Л^.о.г(и) с произвольными Г,- = |/г)(<?г|, где /¿, <7г- € Н\, г = 1,2,..., п. Положим РЕ := (27т)"1 / с^е^, А+ = "" ^ А+(РЕ^) и А{ = (отметим, что оператор А* не является эрмитово сопря-

женным к А¿). Имеем А7т,-.о.е(^') = / д.Е^А^А^. Средние от произведений этих операторов по гауссову состоянию дей можно выразить в виде некоторой суммы произведений парных корреляционных функций (А*А*) := оеп{А*А*) (здесь символ # обозначает либо + в случае оператора , либо пустое место для оператора

где — сумма по всем к = 1,..., п, 1 = ц < г2 < ■ • • < г*. < ■ ■ ■ < jn, Ч < jl Для ^ = 1, • • •, ^ и < г; для £ = /с + 1,..., п. Каждому слагаемому суммы можно поставить в соответствие диаграмму спариванием в строке 1А2А2... А^Ап пар операторов А^ и А^ (I — 1,2,... ,п). Стандартным образом определяются неприводимые диаграммы и соответствующие им усеченные корреляционные функции.

Далее исследуются нетривиальные в пределе £ —> +0 диаграммы, предельные корреляционные функции и изучается предельная статистика резервуара [1].

Теорема 1 Для любого п € N только одна неприводимая диаграмма не равна тождественно нулю при е —> +0:

I РР ГН ГН I-1 I

А*А1А2 А2Аз А3А^ ■ ■ ■ Ап_1А'^Ап (2)

Данная диаграмма является непересекающейся, что указывает на связь с теорией свободной вероятности.

В разделе 1.4 вводится понятие свободного квантового белого шума. Определяются операторнозначные обобщенные функции свободного квантового

16

белого шума удовлетворяющие соотношению Bj(t)Bg(t') = 2тгS(t' —

t)(f,9)-, строятся операторы ^^¡(i) = f dEBpEj(t)BpEg(t) типа свободных операторов числа частиц и некоторое состояние ф„ на алгебре этих операторов. По линейности определяются операторы N^ee(t) для любых Т G T{T-L\). Обозначим через И7"^^^ ...г ■ • •, tn) усечённую корреляционную функцию операторов AVi^.^ii); • • •, Arrn]Un.£(in) по состоянию gefl.

Теорема 2 Пусть Т{ £ T{T~L\) (i = 1 ,...,п). Тогда в смыа,%е обобщенных функций по ¿1,... ,t„ в S"(Rn)

........,*„) = ... N^(tn))

Теорема 2 выражает усеченные корреляционные функции операторов вида Аtt,.o.e(ti) в пределе малой плотности через корреляционные функции операторов N^^i). Явный вид усечённых корреляционных функций при г —> +0 для Nr^Ui^iU) с произвольными и>{ 6 П дается следующей теоремой.

Теорема 3 Пусть Ti £ Т{И\) и u>i Е К (i = 1 ,...,п). Положим — ion + • • • + uik для к = 1.2,... ,п. Тогда в смысле обобщенных функций по переменным t\,..., tn в S"(Rn)

.....7„ • • .,tn) = (2n)n-J6(t2 - i,)... S(tn - tn-г)

x süuо J dETr[PEnTlPE+Q2T2 ... Tn^PE+c,nTn}

Таким образом. установлена связь теории свободной вероятности с динамикой открытых квантовых систем в пределе малой плотности. Для полноты изложения приведем уравнение для оператора Ut, описывающего динамику полной системы в пределе малой плотности8.

Теорема 4 Оператор эволюции Ut в пределе малой плотности удовлетворяет квантовому стохастическому дифференциальному уравнению

dUt = dNt(S -1)Ut

где Nt — квантовый процесс Пуассона и S — S-матрица для взаимодействия пробной частицы с одной частицей газа.

8Pechen А. N. Quantum stochastic equation for a test particle interacting with a dilute Bose gas //J. Math. Phys. 2004. T. 45. C. 400-417.

В главе 2 рассматривается некогерентное управление открытыми квантовыми системами с использованием состояния резервуара (его температуры, давления и, наиболее обще, его функции распределения) в качестве управляющего воздействия, предложенное в работе [2]. Для моделирования динамики системы под влиянием управления используются мастер-уравнения, возникающие в режимах слабой связи и малой плотности:

^ = -\[н0 + у/со, Рь) + £пк,о(е)Ы (3)

где V — оператор взаимодействия системы с когерентным управлением /(£) 6 Ы = £2([0,Т]; К), Т > О — финальное время и А,к„(<) — действующий на р супероператор, который в случае марковского резервуара имеет вид Горини-Коссаковского-Сударшана-Линдблада (ГКСЛ)

= - - Рь\и)

г

Здесь Ь{ — некоторые линейные операторы в И^. зависящие от гамильтониана взаимодействия между системой и резервуаром и от состояния резервуара, определяемого функцией распределения частиц резервуара по их степеням свободы в момент времени I. Степени свободы частиц резервуара нумеруются импульсом к и дополнительными квантовыми числами а. Для резервуара, являющегося некогерентным излучением, а обозначает.поляризацию фотонов; для резервуара, являющегося квантовым газом — внутренние степени свободы атомов либо молекул газа. Функция п\^ а{1) > 0 является некогерентным управлением и принадлежит некоторому множеству допустимых управлений Т>. В дальнейшем часто будет использоваться зависимость состояния резервуара только ото; = |к|. Соответствующая функция распределения частиц резервуара по модулю импульса (для некогерентного излучения — спектральная плотность) будет обозначаться как пш(£).

Решение уравнения (3) может быть представлено семейством вполне положительных сохраняющих след отображений (Д{/, Пк,а})к>о, называемых отображениями Крауса, как рь = Рг(/,п^а) — пк,а}ро- Важные задачи

управления описываются следующими целевыми функционалами [6]:

ГЕе, (/, Пк.а) = Тг[рГ(/, Пк1а)01а18е1] ->■ пш / Шах ■^Ааг6е,(/' "к,а) = ИМ/. "к.а) ~ Авг^И ППП

<^>1.г8<Д/.пк.о) = ||Л{/,Ггк.о} - -Р1аг6е1|| тш

Здесь СЛагяеь Ааг^ и /\arget ~~ целевые наблюдаемая, состояние и вполне положительное отображение, || • || обозначает подходящую операторную норму, которая может зависеть от задачи. Первый функционал описывает задачу оптимизации среднего значения наблюдаемой Ota.тget в момент времени Г, например, задачу переноса населенности из начального состояния в заданное конечное состояние \ф{) (чему соответствуют ро = \гр\)(ф^\ и Otaтget — Второй функционал описывает задачу перевода начального состояния ро в заданную матрицу плотности р^ег- Третий — синтез заданной эволюции Важным примером третьей задачи является генерация квантовых логических элементов, например: квантовой операции Адамара С/ц, операции С-ГЮТ С^С-КОТ; вентиля Тоффоли В этих случаях Да^ = и^, Лаг^ = С^С-ХОТ; Ааг6е1 = ^ТойоП, где 11в, V.с_кот и гУТо£ГоН обозначают унитарные операторы, соответствующие этим квантовым операциям. Если управляемая система изолирована от окружения и, соответственно, некогерентное управление отсутствует, то ее эволюция описывается унитарным оператором и{ и задача синтеза заданной квантовой операции Р\а^ = И7 £ ¿>£/(п) может быть сформулирована как

^(/) = Тг(И/+^)|2 шах

Максимум данного целевого функционала (равный в выбранной нормировке единице для полностью управляемой системы) достигается при V£ = е'^ИЛ то есть когда оператор эволюции в момент времени Т совпадает с точностью до физически несущественного фазового множителя с заданным унитарным оператором У/.

9Китаев А., Щень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления. — М.: МННМО, 1999. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. — Ижевск: РХД, 2004.

В разделе 2.3 изложен метод некогерентного управления [2]. В разделе 2.4 определяются и иссле.дуются универсально оптимальные управления и универсально оптимальные отображения Крауса, то есть такие отображения Крауса Фрг, что ФРг(р) = р{ для всех р е Т>п [5, 10]. В разделах 2.5 и 2.6 метод некогерентного управления применяется для минимизации функционалов ^РигЕе, (/, пш) с помощью генетических алгоритмов при /(£) = 0, то есть при отсутствии когерентного управления. Изучаются два физически важных класса, задач — управление с помощью некогерентного излучения и управление посредством столкновений.

В разделе 2.7 в рамках изучения управляемости открытых квантовых систем изложен метод, позволяющий приближенно создавать произвольные матрицы плотности [19]. В качестве некогерентного управления рассматривается некогерентное излучение спектральной плотности Соответствующий ГКСЛ-суперопера.тор имеет вид

С-пМ = V АЦ [(ГЦ, + 1 )£<гУ(р) + п^Ьд-Хр)}

1<3

где А^ > 0 — коэффициенты Эйнштейна для спонтанного излучения, = £-1 — £у — частоты перехода в системе, Яг] = |г)(_/| — оператор перехода —>• |г) и Ьд(р) = 2ЯрЯ^ — Я^Яр — рЯ^Я- Для широкого класса квантовых систем (случай общего положения) строится схема управления с использованием когерентного и некогерентного управлений, позволяющая приближенно создавать любую невырожденную матрицу плотности в Т>„ [19]. Поскольку множество невырожденных матриц плотности плотно в £>„, такая схема позволяет приближенно создавать любые чистые и смешанные матрицы плотности. Пусть р1 = — невырожденная (так что р^ ф рпри i ф з) матрица плотности, в которую требуется перевести начальное состояние. Схема управления включает два этапа. На первом этапе применяется некогерентное воздействие с функцией распределения = р(р{—рТакое воздействие создает матрицу плотности р{ — ^РгЮ(г'1> ГДе К) есть собственные векторы Ид. На втором этапе применяется когерентное управление, реализующее унитарный оператор, переводящий базис (|г)} в базис {|фг)}. В результате

20

система переходит в состояние Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Преложение 1 Пусть ф и>ы при (у) Ф (к1), все А^ > 0, система унитарно управляема за время Ту (то есть при С = 0 любой оператор V £ Зи(п) можно создать за время Ь < Тц с помощью допустимых когерентных управлений) и на временной шкале Ту эффекты декогеренции пренебрежимы, так что можно пренебречь £. Тогда для. любой матрицы плотности р{ £ Т>п и любого е > 0 существуют время Т > 0 и такие управления пш и /, что вышеприведенная схе.на переводит начальную матрицу плотности ро в матрицу плотности рх = Рт{1,пи}Ро, для которой IIрт ~ р{\| < е.

Пример применения метода к созданию смешанной матрицы плотности атома кальция приведен в разделе 2.8. Данный результат является важным вкладом в теорию управляемости квантовых систем на множестве всех матриц плотности.

В главе 3 изучается некогерентное управление открытыми квантовыми системами с использованием квантовых измерений в качестве управляющего воздействия. Изложение следует работам [3, 4, 9]. Сначала дается общее введение в проблему. Затем приводится общая формулировка управления с помощью неселективных квантовых измерений, то есть измерений, при которых не происходит считывание результата измерения с измерительного прибора и, соответственно, результаты измерения не используются. Неселективное измерение наблюдаемой <3 (эрмитова оператора) со спектральным разложением <3 = Ч^г (ф и Pi — собственное значение и проектор) преобразует начальную матрицу плотности системы ро в р\ — Л4д(ро) = Хл Дро-Р*- Пусть в моменты времени ¿1,..,, производится измерение наблюдаемых С>\...., С}дг, а между измерениями эволюция системы унитарна. Обозначим {/,- := — соответствующий унитарный оператор эволюции и Ы^р) = £/,После-, довательное измерение наблюдаемых (2ь «Зг, QN переводит ро в рт = ■АЛд^дг, • ■Изучается задача максимизации функционалов вида

= Тг[Р]У0] (4)

по <5ь ..., QN■ Обозначим сг = (ах, ау, сг2) — вектор матриц Паули.

Теорема 5 Пусть п = 2, рт = Цо.т](Ро),- а = Тг[рг • сг]. Ло Тг[0 • сг] и Ар = ¿(а, Л). Тогда

Г Д(р 1П+1 тах ^Ъ[<2ь...,<3„] = А0+|Л||а| —

ТгО, Л =

СОБ

П + 1

Этот результат получен в работе [3], где также найдены явные выражения для оптимальных, измеряемых наблюдаемых <3ь ..., и получена оптимальная аппроксимация динамического квантового эффекта Зенона.

В разделе 3.3 исследуется возможность использования квантовых измерений для управления квантовыми системами с динамической симметрией. Системы с динамической симметрией подробно обсуждаются в литератур^0. Изложение следует работам [9, 4]. Решена задача управления трехуровневой квантовой системой с динамической симметрией посредством когерентного управления и одного неселективного измерения [9]. Свободный гамильтониан, гамильтониан взаимодействия и начальное состояние системы имеют вид

/ 1 0 0 \ / 0 1 0 \ / 1 \

Яп =

0 2 0 \ 0 0 3 у

¥ =

1 0 1 1

о

(5)

Известно, что если данная система управляется только с помощью когерентного управления /, то при отсутствии измерений тах^-^/) = 1/2. Невозможность переноса более 50% населенности с нижнего уровня на. средний является следствием динамической симметрии системы. Пусть теперь на систему воздействует, когерентное управление и в некоторый промежуточный момент времени ¿1 € (0, Т) проводится неселективное измерение населенности основного уровня, то есть неселективное измерение наблюдаемой О = Р\. В качестве управляющих параметров рассматриваются ¿1 и частоты Раби Пг и лазерного импульса / в течение интервалов [0, £1) и (¿], Т]. Важный вопрос, можно ли и если да, то насколько, увеличить перенос населенности с

10Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. — М.: Наука, 1979.

нижнего уровня на средний с использованием как дополнительного воздействия лишь одного неселективного измерения основного состояния. Численно было показано, что в такой схеме удается увеличить вероятность перехода примерно до 67% [4]. Аналитическое решение получено в [9] и дается следующей теоремой.

Теорема 6 Для системы (5)

тах *1] = 4 ■ Ю-3 (\/з93 - 48%/6 + 138 + 7%/б^) к 0.687

ПьПгА \ /

Кроме того, в разделе 3.3 явно найдены частоты Раби оптимального импульса. Данный результат показывает, что даже одно неселективное измерение может существенно влиять на степень управления квантовыми системами, увеличивая вероятность перехода с 50% до примерно 68.7%, как в этом случае.

В главе 4 изучаются экстремумы целевых функционалов для замкнутых квантовых систем. Изложение следует работам [17, 20, 21]. В лабораторных условиях поиск оптимальных управлений часто производится с использованием различных алгоритмов, среди которых важное место занимают алгоритмы локального поиска. В то время как требуется найти глобальный оптимум задачи, такие алгоритмы могут остановиться в каком-либо из локальных оп-тимумов, которому может соответствовать значение целевого функционала, далекое от глобального оптимума. Количество и свойства локальных оптиму-мов, такие как их области притяжения, определяют уровень эффективности локальных алгоритмов, что определяет практическую важность задачи исследования локальных оптимумов.

Эволюция замкнутой квантовой системы под воздействием когерентного управления задается уравнением Шредингера

Рассматриваются целевые функционалы вида= где Т : [/(п) —>

К — функция на унитарной группе, которая предполагается инвариантной

относительно преобразований [7 —> е^и, что отражает физическую эквивалентность унитарных операторов, отличающихся фазовым множителем. Задаче переноса населенности соответствует целевой функционал =

максимизации средного значения наблюдаемой О соответствует целевой функционал «5= Тг[С///00(7^О].

В разделе 4.1 даются определения динамического и кинематического ландшафтов управления, регулярных управлений, ловушек и ловушек второго порядка. Ландшафтом управления называется график целевого функционала &. Критической точкой ландшафта называется точка, в которой gradJ£^ = 0. Ловушкой для задачи максимизации (соответственно, минимизации) целевого функционала & называется критическая точка, являющаяся локальным, но не глобальным максимумом (соответственно, минимумом) &. Кинематическим ландшафтом называется график функции Регулярным управлением называется управление, в котором якобиан отображения / —> невырожден. В разделе 4.2 приводятся явные выражения для градиентов и гессианов целевых функционалов рассматриваемых в работе задач.

В разделе 4.4 рассматриваются ландшафты управления для двухуровневой квантовой системы Ландау-Зинера, для которой доказывается отсутствие ловушек [21]. Эволюция системы Ландау-Зинера описывается уравнением лгг/

Система Ландау-Зинера широко применяется в физике, химии и биохимии, в том числе для описания кубитов — элементарных логических элементов для квантовых вычислений11. В этом случае функционалы и

описывают задачи оптимального синтеза заданного состояния кубита и заданного однокубитного квантового вентиля.

Теорема 7 Пусть = где 7 : /7(2) -> К - дважды диффе-

ренцируемая функция на унитарной группе, все максимумы которой глобальные, и пусть Т > я-. Тогда для системы Ландау-Зинера все максимумы также глобальные.

"Покровский В. Л. Ландау' и современная физика // Успехи физических наук. 2009. Т. 179(11). С. 1237-1244.

Важным результатом является следующее утверждение.

Теорема 8 Экстремумами функционалов &o{f) lu-, следовательно, также «^j_>f(/)/ и J?w(f) для двухуровневой системы, Ландау-Зинера при Т > п являются только глобальные максимумы и глобальные минимумы.

Таким образом, показано, что широкий класс важных для приложений целевых функционалов для двухуровневой системы Ландау-Зинера не имеет ловушек. Данный результат является первым полным доказательством отсутствия ловушек для конечноуровневых квантовых систем.

В разделе 4.5 исследуется влияние шумов в оптимальном управлении. При наличии шума Ç(i) реальное управление f(t) флуктуирует около оптимального управления /о как f(t) = fo(t) + g{t)^(t), где g(t) = 1 для аддитивного шума и g(t.) = fo(t) для мультипликативного шума. Рассматриваются аддитивный (AWN) и мультипликативный (MWN) белый шум интенсивности а > 0 с автокорреляционной функцией E[£(i)£(i')] = crô(t — t'). Пусть Е = Jq \fo(t)\2dt — полная энергия оптимального импульса.

Теорема 9 Пусть & = либо & = Тогда при а —> 0 (далее а = i —» f или а = W):

Щ&Мо + О] = ^a(/o)-^SwN(/oT) + o(a2) E[J?q(/o(1 + £))] = jy/o) - T) + o(a2)

и справедливы оценки

0<PkwN(/o,T) < Т, 2>Зи(/о,Г) = Г о < Î>M\VN(/O> T) < Е, VYi\vN{fo,T) = Е

Данный результат показывает, что влияние аддитивного белого шума можно минимизировать, выбрав наиболее короткие оптимальные импульсы, а мультипликативного — выбирая импульсы наименьшей энергии [21].

Особую важность имеет задача изучения ландшафтов управления для многоуровневых систем. В разделе 4.6 приводится основной результат для

систем с числом уровней п > 3. Для таких систем локальные свойства целевых функционалов существенно сложнее. Вводится понятие ловушки второго порядка — критического управления /(f), не являющегося глобальным максимумом, для которого гессиан целевого функционала Я/ = /8f2 отрицательно полуопределен. Hj < 0 (для задачи максимизации &). Ловушки второго порядка не обязательно являются локальными максимумами, так как в окрестности такой ловушки целевой функционал может расти в направлениях, соответствующих нулевым собственным значениям гессиана. В то же время они являются ловушками для широко применяемых алгоритмов, использующих информацию не более чем первого и второго порядка, то есть использующих только градиент и гессиан целевого функционала. Основным результатом является следующая теорема [17].

Теорема 10 Постоянное управление f(t) = /* = const является ловушкой второго порядка для це.аевого функционала если в терминах спектрального разложения IIa = Но 4- V/» = начальная матрица плотности и целевой оперит,ор имеют вид ро = \ёк)(ёк\ иО = А*|ё{)(ё,-|, г<?е 1 < fc < n, Ai > Аг > • • • > Ап, и оператор взаимодействия удовлетворяет = 0 для всех i < к.

Данный результат доказан в [17]. Содержащимся в формулировке теоремы критериям удовлетворяют такие важные для приложений физические системы, как, например, трехуровневая Л-система. В то же время в разделе 4.7 показано, что для Л-систем найденные ловушки второго порядка не являются локальными максимумами [20].

В разделе 4.8 исследуется задача управления коэффициентом прохождения частицы энергии Е через барьер. Управлением является форма потенциала V{x), целевым функционалом — коэффициент прохождения ^[V] через барьер. Рассматриваются потенциалы V £ L1(K) с компактным носителем. Кинематический ландшафт определяется коэффициентом прохождения Т(М) как функцией оператора монодромии М € SU(l, 1). Изложение следует работе [22], в которой доказан следующий основной результат.

Теорема 11 Все экстремумы коэффициента прохождения как функции Т{М) на (1,1) — глобальные максимумы. Все экстремумы коэффициента прохождения как функционала Те\У\ ~ глобальные максимумы.

Отметим, что данный результат является первым и единственным на сегодняшний день доказательством отсутствия ловушек для бесконечноуровне-вых квантовых систем.

Таким образом, в главе 4 показано, что широкий класс систем, включающий важные для приложений системы с числом уровней более двух, имеет ловушки второго порядка, в то время как задача управления коэффициентом прохождения частицы через потенциальный барьер и задача максимизации наблюдаемой в системе Ландау-Зинера не имеют ловушек.

В главе 5 изучаются экстремумы целевых функционалов Для открытых квантовых систем с использованием кинематического описания [7, 8, 11. 13]. Действие ^{/,72к,«} на ро можно представить в виде

л

Ж/, "к.а}Р0 = /> п^о}РйК\{Ь\ /, Ггк.а} (6)

1=1

где /, Пк,а} € Спхп — операторы Крауса. Операторы Крауса удовлетворяют соотношению

л

.а

!=1

и, следовательно, каждое семейство операторов Крауса может быть отождествлено с точкой комплексного многообразия ШтифеляК^С™*). Представление отображения Рг{/, "к.а} в виде (6) неединственно. Существует класс эквивалентных представлений, который определяет некоторое отношение эквивалентности ~ на многообразии Штифеля. Таким образом, существует взаимнооднозначное отображение множества всех отображений Крауса на фактор-множество й1« := Уп{СпХ)/

Если для данной физической системы любое отображение КраусаФ может быть реализовано как Ф = Рг{/, "к,а} с помощью некоторого управления

{/, пка}> то используется кинематическое описание управляемой системы, в

27

котором целевые функционалы принимают вид функций на T4(CnA) или на Sn (для анализа ловушек несущественно, какое из пространств выбирать):

х

T0[KU...,KX] = Tr (^KiPK\0)

¿=1

А ¡=1

= I P{Ki) - Ptarget |

Здесь Р{А-.}(/э) — KipK\. Кинематическим ландшафтом задачи для ОТКРЫТОЙ КваНТОВОЙ называется График фуНКЦИИ Та (а = О, Ptarget, ^target)-Регулярным называется управление {/, в котором невырожден яко-

биан отображения % : W х Р —> S„, ставящего в соответствие управлению (/, "k,а) € U х Х> точку 5П, соответствующую вполне положительному отображению Рг{/, Пк,а}. В разделе 5.2 исследуются экстремумы целевых функций То в кинематическом описании.

Теорема 12 Для любых ро €. Т>2 и эрмитовой матрицы О G С2х2 экстремумами кинематического ландшафтаТо[К},..., К\] = на многообразии Штифеля V^C8) являются только глобальные минимумы, глобальные максимумы и седловые точки.

Также в разделе 5.2 явно описаны все множества глобальных минимумов и максимумов и седловые множества ландшафта^ для этой системы при любых ра. Теорема 12 доказана в [7], обобщение для произвольных п получено в [8] и содержится в разделе 5.3. Этот результат может рассматриваться как продолжение работ фон Неймана, Брокета, Рабица и других по исследованию экстремумов следовых функций на унитарных группах на следовые функции на многообразиях Штифеля. В разделе 5.4 выводится единое описание кинематических ландшафтов управления открытыми классическими и квантовыми системами и дается доказательство отсутствия ловушек на основе выпуклости множества всех состояний и выпуклости вверх типичных целевых функций. Важным практическим следствием этого результата является отсутствие ловушек в регулярных управлениях динамического ландшафта для

открытых квантовых систем, что получило применение при анализе управления с обратной связью [12] и при построении теорий OptiChem12 и OptiEvo13, позволяющих исследовать задачи оптимизации в химии и биологии.

Заключение содержит итоги диссертационной работы.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Pechen, A. The multi-time correlation functions, free white noise, and the generalized Poisson statistics in the low density limit // J. Math. Phys. — 2006. - T. 47. - C. 033507.

[2] Pechen, A., Rabitz, H. Teaching the environment to control quantum systems // Phys. Rev. A. - 2006. - T. 73. - C. 062102.

[3] Pechen, A., IPin, N., Shuang, F., Rabitz, H. Quantum control by von Neumann measurements // Phys. Rev. A. — 2006. - T. 74. - C. 052102.

[4] Shuang, F., Pechen, A., Ho, T.-S., Rabitz, H. Observation-assisted optimal control of quantum dynamics // J. Chem. Phys. — 2007. — T. 126. — C. 134303.

[5] Wu, R., Pechen, A., Brif, C., Rabitz, H. Controllability of open quantum systems with Kraus-map dynamics //J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — T. 40. - C. 5681-5693.

[6] Печень, A. H., Рабиц, X. Некогерентное управление открытыми квантовыми системами // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная секция. — 2008. — Т. 8. — № 1. — С. 641-658.

[7] Pechen, A., Prokhorenko, D., Wu, R., Rabitz, H. Control landscapes for two-level open quantum systems //J. Phys. A: Math. Theor. — 2008. — T. 41. - C. 045205.

12Moore K. W., Pechen A., Feng X.-X., Dominy J., Beltrani V., Rabitz H. Why is chemical synthesis and property optimization easier than expected? // Phys. Chem. Chem. Phys. 2013. T. 13. C. 10048-10070.

13Feng, X.-J. Pechen A., Jha A., Wu R., Rabitz H. Global optimality of fitness landscapes in evolution // Chemical Science. 2012. Т. 3. C. 900-906.

[8] Wu, R., Pechen, A., Rabitz, H., Hsieh, M., Tsou, B. Control landscapes for observable preparation with open quantum systems // J. Math. Phys. — 2008. - T. 49. - C. 022108.

[9] Shuang, F., Zhou, M., Pechen, A., Wu, R., Shir, О. M., Rabitz, H. Control of quantum dynamics by optimized measurements // Phys. Rev. A. — 2008. - T. 78. - C. 063422.

[10] Печень, A. H., Рабиц, X. Некогерентное управление открытыми квантовыми системами // Современная математика. Фундаментальные направления. - 2011. - Т. 42. - С. 179-185.

[11] Oza, A., Pechen, A., Dominy, J., Beltrani, V., Moore, К., Rabitz, H. Optimization search effort over the control landscapes for open quantum systems with Kraus-map evolution // J. Phys. A: Math. Theor. — 2009. — T. 42. - C. 205305.

[12] Pechen, A., Brif, C., Wu, R., Chakrabarti, R., Rabitz, H. General unifying features of controlled quantum phenomena // Phys. Rev. A. — 2010. — T. 82. - C. 030101(R).

[13] Pechen, A., Rabitz, H. Unified analysis of terminal-time control in classical and quantum systems // Europhysics Letters. — 2010. — T. 91. — C. 60005.

[14] Moore, K. W., Pechen, A., Feng, X.-X., Dominy, J., Beltrani, V., Rabitz H. Universal characteristics of chemical synthesis and property optimization // Chemical Science. - 2011. - T. 2. - C. 417-424.

[15] Moore, K. W., Pechen, A., Feng, X.-X., Dominy, J., Beltrani, V., Rabitz, H. Why is chemical synthesis and property optimization easier than expected? // Phys. Chem. Chem. Phys. - 2011. - T. 13. - C. 10048-10070.

[16] Печень. A. H. Некоторые вопросы динамики и управления открытыми квантовыми системами // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико-математические науки". — 2011. — Т. 2. - № 23.— С. 151-157.

[17] Pechen, A. N.. Tannor, D. J. Are there traps in quantum control landscapes? // Phys. Rev. Lett. - 2011. - T. 106. - C. 120402.

[18] Печень, A. H. Критические точки целевых функционалов для задач управления квантовыми системами // Вестник Тамбовского государственного университета. — 2011. — Т. 16. — Вып. 4. — С. 1146-1148.

[19] Pechen, A. Engineering arbitrary pure and mixed quantum states // Phys. Rev. A. - 2011. - T. 84. - C. 042106.

[20] Pechen, A. N., Tannor, D. J. Quantum control landscape for a Л-atom in the vicinity of second order traps // Isr. J. Chem. — 2012. — T. 52. — C. 467-472.

[21] Pechen, A. N., II'in, N. B. Trap-free manipulation in the Landau-Zener system // Phys. Rev. A. - 2012. - T. 86. - C. 052117.

[22] Pechen, A. N., Tannor, D. J. Control of quantum transmission is trap-free [Электронный ресурс] // Canadian Journal of Chemistry. — 2013. Режим доступа: http://dx.doi.org/10.1139/cjc-2013-0301

Подписэно » печать 21.11.2013 Тираж 100 *>к"3.

Отпечатано » Математическом и ист unie им. В. Л. Сте клока РАИ Москва. 119991. ул. 14 бкина. 8

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

05201450731 На правах РУкописи

Печень Александр Николаевич

Некоторые вопросы динамики и управления

квантовыми системами

01.01.03 - математическая физика

Диссертация

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2013

Содержание

Введение 4

Глава 1 Предел малой плотности и свободная статистика 30

1.1 Модель квантовой частицы в квантовом газе........................31

1.2 Корреляционные функции в пределе малой плотности..............35

1.3 Нетривиальные в пределе малой плотности диаграммы............38

1.4 Операторы квантового белого шума со свободной статистикой . . 43

1.5 Независимость и обобщенная пуассонова статистика в пределе малой плотности........................................................44

1.6 Операторное представление предельных корреляционных функций 47

Глава 2 Некогерентное управление, использующее резервуар 50

2.1 Когерентное управление................................................51

2.2 Терминальные задачи квантового управления ......................53

2.3 Некогерентное управление..............................................55

2.4 Управляемость и универсально-оптимальные управления..........60

2.5 Управление, использующее некогерентное излучение ..............62

2.6 Управление, использующее квантовый газ............................67

2.7 Схема создания произвольных квантовых состояний................71

2.8 Пример: создание смешанного состояния атома кальция............76

Глава 3 Некогерентное управление, использующее квантовые

измерения 82

3.1 Неселективные квантовые измерения в управлении................84

3.2 Оптимальное управление в двухуровневой системе..................86

3.2.1 Оптимальные измерения........................................87

3.2.2 Оптимальный перенос населённости..........................91

3.2.3 Связь с динамическим эффектом Зенона....................93

3.3 Перенос населенности в системе с динамической симметрией ... 96

3.4 Об экспериментальной реализации квантовых измерений.....102

Глава 4 Ландшафты управления для замкнутых квантовых

систем 105

4.1 Основные понятия...........................105

4.2 Градиент и гессиан целевого функционала.............111

4.3 Отсутствие ловушек для регулярных управлений .........115

4.4 Отсутствие ловушек для двухуровневой системы Ландау-Зинера . 117

4.5 Влияние шумов на свойства ландшафта...............122

4.6 Ловушки второго порядка для систем с числом уровней п > 3 . . 128

4.7 Ловушки второго порядка для трехуровневой А-системы.....131

4.8 Отсутствие ловушек для задачи управления коэффициентом прохождения частицы через барьер .................137

Глава 5 Ландшафты управления для открытых квантовых

систем 147

5.1 Кинематическое представление....................147

5.1.1 Представление отображений Крауса матрицами Крауса . . 148

5.1.2 Представление отображений Крауса унитарными отображениями в расширенном пространстве........150

5.2 Критические точки То для двухуровневой системы........152

5.3 Критические точки То для n-уровневых систем..........159

5.4 Универсальный анализ кинематических ландшафтов для классических и квантовых открытых систем............164

5.4.1 Ландшафты управления для классических систем.....166

5.4.2 Ландшафты управления для квантовых систем.......167

5.4.3 Универсальный анализ кинематических ландшафтов . . . 168

Заключение 170

Литература 172

Введение

В настоящее время как самостоятельно, так и в связи с различными приложениями большой интерес привлекают такие области математической физики, как математические вопросы динамики и управления квантовыми системами. Часто возникают задачи, связанные с изучением открытых квантовых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром (окружением). Примерами открытых квантовых систем являются атом, молекула, или нано-частица, взаимодействующие с излучением либо квантовым газом, химические реагенты в растворе, электрон в квантовой точке в окружении ядерных спинов. Изучение динамики открытых квантовых систем имеет большое значение для исследования вопросов декогеренции, в том числе столкновительной декогерен-ции частицы в квантовом газе, стремления квантовых систем к равновесию, проблемы квантового измерения, проблемы необратимости (парадокса Лош-мидта), изучения поведения атомов либо молекул в лазерном поле, вычисления транспортных коэффициентов. Изучение вопросов управления важно для оптимального контроля химических реакций, в квантовой оптике, квантовой информации, квантовых вычислениях.

Важной задачей в динамике открытых квантовых систем является вывод из точных уравнений Шредингера и Гейзенберга мастер-уравнений для редуцированной, то есть усреднённой по состоянию резервуара, динамики системы. Точные мастер-уравнения включают эффекты памяти и как правило являются сложными для практического изучения. Однако в некоторых физически важных режимах решения точных уравнений аппроксимируются решениями значительно более простых марковских мастер-уравнений. Такими режимами являются режимы слабой связи и малой плотности. В первом случае взаимодействие между системой и резервуаром является слабым, во втором — мала плотность числа частиц резервуара, в то время как взаимодействие может быть сильным. В обоих случаях упрощенное описание возникает на больших временах t, соответствующих кинетическому этапу эволюции. Формально пределы слабой связи и малой плотности определяются как А —> 0, t —> +00, A2t — const

и п —у 0, t —У + со, nt = const, где Л — константа связи и п — плотность частиц резервуара.

Изучение динамики различных систем на больших временах в режимах слабой связи и малой плотности проводилось в многочисленных работах, начиная с работ H.H. Боголюбова [12], JI. ван Хова [226], И. Пригожина [50]. Редуцированная динамика системы, взаимодействующей с равновесным резервуаром в пределе слабой связи, изучалась в работах Е. Дэвиса [97], Г. Шпона, Д. Лебови-ца [211, 212] и других авторов, где было показано, что в этих режимах точная редуцированная динамика аппроксимируется марковскими мастер-уравнениями, генераторы которых являются генераторами квантовых динамических полугрупп. Общий вид генератора квантовой динамической полугруппы получен в работах В. Горини, А. Коссаковского, Е. Сударшана [117] и Г. Линдблада [147]. Редуцированная динамика системы, взаимодействующей с разреженным квантовым газом, исследовалась в пределе малой плотности в работе [107]. Была доказана сходимость редуцированной матрицы плотности к решению марковского мастер-уравнения (квантового линейного уравнения Больцмана). Исследовались стационарные решения этого уравнения и было показано, что при некоторых предположениях на гамильтониан взаимодействия стационарное состояние системы является гиббсовским с температурой, равной температуре газа. В приложениях режим слабой связи описывает динамику атомов или молекул, взаимодействующих с излучением в задачах квантовой оптики [24, 4, 58, 53]; режим малой плотности — столкновительную декогеренцию квантовой частицы в квантовом газе [225, 123, 70]. Многие результаты по теории открытых квантовых систем изложены в книгах Е. Дэвиса [98], К. Крауса [138], A.M. Чеботарева [91] Л. Аккарди, Ю. Лу и И.В. Воловича [65], A.C. Холево [61], Ю.М. Белоусова и В.И. Манько [10], С. Атталя, А. Жу и К.А. Пиле [76], В.Е. Тарасова [221], Х.П. Бройера и Ф. Петруччионе [16].

Значительно более сложной по сравнению с выводом мастер-уравнений задачей является вывод приближённых уравнений, описывающих в режимах слабой связи и малой плотности эволюцию полной системы, включающей также и резервуар. В работах Л. Аккарди, Ю. Лу, И.В. Воловича был разработан

метод стохастического предела, позволяющий выводить квантовые стохастические дифференциальные уравнения (КСДУ) для полной системы в пределе слабой связи [65] (о теории КСДУ см. [126, 59]). В работах А.Н. Печеня и И.В. Воловича был развит метод вывода уравнений, описывающих поправки по А к стохастическому пределу, учитывающие конечную величину константы связи [163, 43]. Сходимость полной динамики в пределе малой плотности к решению КСДУ с квантовым процессом Пуассона исследовалась в работах [63, 198, 112]. Метод вывода КСДУ в пределе малой плотности с использованием техники квантового белого шума был разработан в работах А.Н. Печеня, JI. Аккарди, И.В. Воловича [66, 67, 164, 165]. Исследование связи КСДУ с краевой задачей для уравнения Шредингера содержится в работе A.M. Чеботарева [91].

В диссертации установлена связь динамики открытых квантовых систем в пределе малой плотности с теорией свободной вероятности (англ.: free probability) и свободной статистикой. Теория свободной (квантовой) вероятности является разделом общей теории квантовой вероятности, предметом изучения которой являются некоммутативные случайные величины. Теория свободной вероятности получила развитие в работах Д. Войкулеску в середине 1980-х годов в контексте изучения алгебр фон Неймана свободных групп. Однако еще в 1967 году В. Марченко и JI. Пастуром была получена формула, описывающая асимптотическое поведение собственных значений случайных матриц — распределение Марченко-Пастура, имеющее тот же вид, что распределение свободного процесса Пуассона в теории свободной вероятности [39]. Впоследствии теория свободной вероятности стала развиваться как самостоятельный раздел математики с приложениями в основном в теории случайных матриц [232, 233, 120, 158]. В диссертации показано, что квантовый белый шум со свободной статистикой естественно возникает при изучении динамики открытых квантовых систем в пределе малой плотности, что дает новый пример возникновения свободной статистики и свободной вероятности в математической физике [166].

Тесно связанными с вопросами динамики являются задачи управления квантовыми системами. Теория оптимального управления классическими система-

ми возникла в конце 1950-х - начале 1960-х годов, когда был разработан принцип максимума Понтрягина в работах JI.C. Понтрягина, В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко [49] и метод динамического программирования Беллмана [9]. Подробное изложение обоих методов содержится в [2]. Некоторые проблемы управления квантовыми системами, такие как задача оптимальной фильтрации квантовых переменных, рассматривались в начале 1970-х (Б.А. Гришанин, P.JI. Стратонович [23]). Активное внимание вопросы управления системами атомных и молекулярных размеров, подчиняющимися законам квантовой механики, начали привлекать в конце 1970-х-1980-х годах в работах А.Г. Бутковского и А.Ю. Самойленко [17, 18, 52], М. Рубина [197], В.П. Бе-лавкина [8], Д. Хуанга, Т. Тарна и Дж. Кларка [125], Д. Тэннора и С. Рай-са [216], П. Брюмера и М. Шапиро [88], А. Пирса, М. Далеха, X. Рабица [182] и других авторов. Полученные в то время результаты изложены в статье H.JI. Лепе [36], книгах Б.Н. Петрова, И.И. Гольденблата, Г.М. Уланова, C.B. Ульянова [42], А.Г. Бутковского и Ю.И. Самойленко [19]. В настоящее время группы по данному направлению работают во многих ведущих научных центрах мира. Согласно Web of Science, ежегодно публикуется около 1300 статей, в том числе в журналах Science и Nature [113, 186, 236, 183, 223, 228, 152, 80, 82]. Изучается лазерное управление химическими реакциями [216, 88, 86, 199, 96, 85], лазерное охлаждение [218, 209, 200], управление обменным и сверхобменным взаимодействием для ультрахолодных атомов [223, 106], управление диссоциацией [146] и ориентацией [213, 110, 249] молекул. Многие результаты изложены в книгах [192, 206, 56, 94, 219, 146]. Нобелевская премия по физике 2012 года присуждена Сержу Арошу и Дэвиду Вайнленду за создание экспериментальных методов, позволяющих манипулировать и производить измерения над отдельными квантовыми системами.

Большое внимание уделяется изучению когерентного управления изолированными от окружения, то есть замкнутыми, n-уровневыми системами. Широкий класс задач управления для таких систем ставится как задача максимизации функционалов вида = где Uj, есть унитарный оператор, описывающий эволюцию системы от момента временив = 0 до финального момента

времени Т > 0 под действием управления f(t) и Т : U(n) —> M. — некоторая функция на унитарной группе. Для замкнутых систем исследовались вопросы управляемости [125, 191, 224, 201, 202, 73], восходящие к работе [131], различные алгоритмы поиска оптимальных управлений [217, 132, 135, 3, 32, 108, 149] и многие другие проблемы. Изучается управление бесконечномерными системами [230]. Важной актуальной темой является исследование ландшафтов управления, то есть графиков целевых функционалов, описывающих задачи управления квантовыми системами, в том числе изучение ловушек (локальных экстремумов, не являющихся глобальными). Различают динамические и кинематические ландшафты — графики функционалов и функций F(U), соответственно. Исследование кинематических ландшафтов формально можно связать с работой фон Неймана [234], посвященной изучению экстремумов следовых функций на унитарных группах, и с работой Брокетта, посвященной изучению экстремумов следовых функций на ортогональных группах [87] (однако в обоих случаях в другом контексте). Исследование динамических ландшафтов задач квантового управления получило развитие благодаря работе X. Рабица, М. Хсиеха и К. Розенталя [187], в которой высказано предположение об отсутствии ловушек в динамическом ландшафте задачи переноса населенности. Впоследствии ландшафты управления изучались в многочисленных работах, включая [188, 189, 190, 90, 124, 99, 155, 244, 245, 156, 246] и другие. Несмотря на большие усилия научного сообщества, доказать гипотезу об отсутствии ловушек в динамическом ландшафте без привлечения дополнительных предположений удалось только для задачи управления коэффициентом прохождения частицы через барьер (задача управления системой с бесконечным числом уровней) и двухуровневой квантовой системы Ландау-Зинера [179], в то время как для широкого класса замкнутых систем с числом уровней более двух доказано существование ловушек второго порядка — критических точек в которых гессиан ¿^"(/) отрицательно полуопределен и которые не являются точками глобального максимума [178, 175].

Предположение об изолированности управляемой системы от окружения нередко является слишком сильным — во многих приложениях взаимодействием

квантовых систем с окружением нельзя пренебречь, что определяет практическую важность изучения задач управления открытыми квантовыми системами. Задачи управления открытыми квантовыми системами возникают в различных разделах физики и химии, от задач лазерного управления химическими реакциями в растворах и управления электроном в квантовой точке в окружении ядерных спинов до индуцирования зацепленных состояний и квантовых вычислений со смешанными состояниями и неунитарными квантовыми вентилями. Для открытых квантовых систем сформулирован принцип максимума Понтрягина (Н. Jirari и W. Pötz) [130], выведены уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана (J. Goiigh, В.П. Белавкин, О.Г. Смолянов) [118], исследовались вопросы управляемости (С. Altafini) [74, 75], управление с обратной связью (Н.М. Wiseman, G.J. Milburn, Н. Mabuchi) [237, 238,102, 239], управление с помощью последовательности коротких импульсов [215], с помощью квантовых измерений (А.Б. Климов, В.И. Манько, L. Roa, К. Jacobs) [229,115,151,193,194,129]. Развита теория оптимального управления для задачи уменьшения декогерен-ции в кубите [116]. При этом обычно предполагалось, что управляющее воздействие — когерентное, влияющее только на гамильтонову часть динамики.

В настоящее время экспериментально и теоретически активно исследуются задачи, связанные управлением с помощью резервуара, когда параметры резервуара (его температура, плотность, и более обще, функция распределения либо взаимодействие с системой) оптимизируются для достижения заданной цели управления. Применение управления с использованием резервуара может быть полезно для экспериментальной реализации квантовых вычислений со смешанными состояниями и неунитарными логическими элементами [71, 220]. Обнаружены неклассические свойства излучения в ансамбле трехуровневых атомов, взаимодействующих посредством некогерентного резервуара [150]. Показана возможность создания перепутанных состояний системы двух атомов, взаимодействующих с тепловым двухмодовым полем [81, 7]. Получены необходимые и достаточные условия для управляемости при непрямом некогерентном управлении двухуровневой системой путем воздействия на дополнительную систему, взаимодействующую с исходной [195]. Показана возможность создания неко-

торых смешанных состояний системы, взаимодействующей с окружением [69]. Реализован эксперимент по управлению возбуждением атомов криптона с использованием некогерентного излучения [101]. Изучено управление диссипатив-ным туннелированием в системах взаимодействующих молекул [25]. Построен метод создания двукубитного квантового вентиля контролируемой фазы путем манипулирования резервуаром [247]. Предложен способ создания различных гамильтонианов взаимодействия двухуровневой системы со спиновым резервуаром [196]. Показана возможность создания различных состояний системы охлажденных атомов с помощью индуцированной резе�