Методы получения количественных результатов в квантовой теории поля на основе инвариантных регуляций тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра Теоретической Физики

На правах рукописи

БАКЕЕВ ТИМУР ДАУТОВИЧ

МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ НА ОСНОВЕ ИНВАРИАНТНЫХ

РЕГУЛЯРИЗАЦИЙ.

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ член-корреспондент РАН, профессор А.А.СЛАВНОВ

Москва, 1999 год.

Содержание

Введение 3

А Компьютерное исследование нового алгоритма бозонизации 10

I Решеточные методы и фермионные алгоритмы 10

А.1 Калибровочные теории на решетке............10

А.2 Действие для КХД ..............................12

А.З Метод Монте-Карло в решеточных моделях . 16

А.4 Время автокорреляции..........................18

А.5 Матрица вероятности перехода................20

А.6 Проблемы, возникающие при включении в компьютерные вычисления динамических ферми-

онов................................................23

II Алгоритм бозонизации Славнова 32

А.7 Эффективное бозонное действие........ 32

А.8 Тестирование алгоритма в свободной одномерной модели..................... 37

А.9 Исследование алгоритма при проведении вычислений в 811(2) КХД с Вильсоновскими фер-мионами на решетке б3 х 12.......... 46

В Развитие метода высших ковариантных про-

изводных 60

В.1 Общая идея метода..............................60

В.2 Трудности, возникшие в оригинальной формулировке ..........................................66

В.З Решение проблемы перекрывающихся расхо-димостей. Построение регуляризованного

функционала......................................72

Заключение 83

Список литературы 85

Введение

Мотивация работы и ее научная актуальность.

Эффективность и целесообразность любой теории определяются не только ее способностью качественно объяснять наблюдаемые закономерности, но и возможностью получить точные количественные результаты, проверяемые экспериментально. Поэтому важной и актуальной задачей является развитие методов вычисления амплитуд конкретных процессов и спектральных величин в квантовой теории поля.

Прогресс в теории поля во второй половине 20-го века во многом связан с использованием моделей, обладающих локальной калибровочной инвариантностью. В настоящей работе развиваются два подхода к расчету различных величин в квантовой теории поля, основанные на использовании калибровочно инвариантных регуляризаций:

1) исследуется новый алгоритм проведения компьютерных непертур-бативных вычислений с включением динамических фермионов в рамках решеточной формулировки теории поля;

2) развивается построение инвариантной регуляризации, основанной на методе высших ковариантных производных, которая может использоваться для вычислений в рамках теории возмущений в моделях, где по каким-либо причинам неприменима размерная регуляризация, в частности, в некоторых расчетах для электрослабых процессов, а также при проведении непертурбативных исследований.

Рассмотрим отдельно эти направления.

1) На сегодняшний день решеточная формулировка является практически единственным регуляризационным методом, позволяющим количественно изучать непертурбативные явления. Другие регуляризации тесно связаны с разложением по теории возмущений: амплитуда процесса вычисляется вплоть до некоторого порядка разложения по константе связи; расходимости устраняются в каждом порядке разложения отдельно. Решетка же является непертурбативным обрезанием. При введении

решеточной регуляризации все длины волн, размер которых меньше шага решетки, устраняются еще до проведения вычислений. Конечно, при этом не всегда возможно получить точные аналитические результаты для физически интересных значений параметров в теории поля. Однако решеточная формулировка естественно приспособлена к осуществлению вычислений на компьютере. Было бы справедливо сказать, что за последнее десятилетие очень немного количественных результатов в Квантовой Хромодинамике (КХД) могло бы быть получено без использования численных методов.

Одну из основных проблем, затрудняющих проведение компьютерных симуляций на решетке, представляет включение в вычисления фермион-ных степеней свободы. Проблема возникает из-за того, что фермионы являются антикоммутирующими переменными, которые не могут быть помещены на компьютер непосредственно. Безусловно, для большинства интересных моделей, которые -квадратичны по фермионным полям, Грассмановы переменные могут быть аналитически проинтегрированы. Однако, результирующее выражение будет содержать детерминант огромной матрицы, порождающей нелокальное взаимодействие между бо-зонными степенями свободы. Непосредственная генерация полевых конфигураций с мерой, определяемой этим детерминантом в физически интересных случаях на сегодняшний день является непосильной задачей даже при использовании самых мощных компьютеров.

Данная проблема решается путем использования различных алгоритмов оценки вклада фермионного детерминанта, наиболее эффективными из которых на сегодня признаны Hybrid Monte Carlo алгоритм [1], алгоритм бозонизации Люшера [2],-а также их различные модификации [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Тем не менее, компьютерное время, затрачиваемое на вычисления в моделях с фермионами, до сих пор в 100-1000 раз превосходит компьютерные затраты в чисто бозонных теориях. Это препятствует получению достоверных данных для достаточно легких масс

кварков, а также проведению экстраполяции к бесконечному объему и нулевому шагу решетки в физически интересных случаях. Поэтому существует настоятельная необходимость в поиске и исследовании новых, более эффективных способов оценки фермионных детерминантов. Представляется важным и актуальным исследовать новый алгоритм, построенный A.A. Славновым [44, 45], использование которого (как продемонстрировано в этой работе) позволит во многих случаях существенно снизить затраты на вычисления в моделях с фермионами.

2) Построение инвариантной регуляризации калибровочных теорий очень важно как для проведения практических вычислений в рамках теории возмущений, так и для изучения наиболее общих свойств симметрии перенормированной квантовой теории.

До сих пор при пертурбативных вычислениях в калибровочных теориях в основном использовалась размерная регуляризация [51]. К сожалению, размерная регуляризация не применима к киральным и супер симметричным моделям, которые очень важны с точки зрения приложений. Более того, этот метод не имеет очевидного непертурбативного обобщения. В частности, возникают трудности при исследовании топологических аспектов теории, так как размерная регуляризация формулируется в терминах пертурбативных Фейнмановских диаграмм.

Как уже было сказано выше, наиболее естественным кандидатом на роль непертурбативной регуляризации в настоящее время является решеточная формулировка. Однако при использовании решеточной регуляризации также возникают некоторые трудности в топологических и киральных моделях. Кроме того, введение решетки не очень практично для пертурбативных вычислений в пределе слабой связи из-за появления многочисленных дополнительных вершин и отсутствия Лоренцевой (вращательной) инвариантности.

Альтернативной схемой регуляризации, которая может быть осуществлена как модификация классического Лагранжиана и, следовательно.

имеет непертурбативный смысл, является метод высших ковариантных производных [47, 56], дополненный видоизмененной регуляризацией Паули-Вилларса [48]. Преимущества этого метода заключаются также в возможности применения к киральным и суперсимметричным моделям, хотя из-за сравнительно сложной структуры регуляризованного Лагранжиана метод высших ковариантных производных до сих пор использовался в основном для проведения общих доказательств, а не для практических вычислений. Тем не менее, вследствие необходимости точных вычислений в электрослабых моделях, а также благодаря большому прогрессу в использовании компьютеров, данный метод может стать реальным практическим инструментом. Этими причинами были обусловлены некоторые попытки использования метода в последние годы, которые привели к полемике в литературе. В некоторых работах [50, 57, 58] утверждалась несостоятельность метода высших ковариантных производных.

Представляется важным и актуальным вновь рассмотреть метод высших ковариантных производных и попытаться построить однозначно определенное, конечное во всех порядках теории возмущений и значительно упрощенное выражение для регуляризованного функционала в теории Янга-Миллса, которое может быть использовано в практических вычислениях.

Цели работы

1)Проведение компьютерного исследования алгоритма бозонизации Слав-нова. Выяснение эффективности и целесообразности использования данного алгоритма при проведении вычислений в практически интересных моделях (в частности, в КХД).

2) Построение в рамках метода высших ковариантных производных однозначно определенного, свободного от перекрывающихся расходимос-тей и как можно более простого выражения для инвариантно регуляризованного производящего функционала в теории Янга-Миллса.

Основные научные результаты

1) Исследована эффективность алгоритма бозонизации Славнова, позволяющего проводить компьютерные вычисления на решетке в моделях с динамическими фермионами. Показано, что для исследованных моделей данный алгоритм не уступает наиболее эффективным алгоритмам, используемым в настоящее время мировым научным сообществом, а в некоторых отношениях превосходит их.

2) Качественно и количественно изучено поведение алгоритма бозонизации Славнова на примере простой одномерной модели. Продемонстрирована непротиворечивость и самосогласованность алгоритма.

3) Проведены первые реалистичные вычисления с использованием алгоритма Славнова на суперкомпьютере АРЕ С}4 в 811(2) КХД с двумя сортами тяжелых кварков. Проведено сравнение алгоритма с алгоритмом Люшера при прочих равных условиях. Выявлены новые особенности в поведении систематической погрешности алгоритма Славнова.Исследовано автокорреляционное поведение алгоритма.

4) Продемонстрировано, что несмотря на необходимость внести некоторые изменения в оригинальную конструкцию, метод высших ковари-антных производных, дополненный инвариантной регуляризацией Паули-Вилларса, является эффективным и непротиворечивым средством для построения калибровочно инвариантной регуляризации во всех порядках теории возмущений, и, с другой стороны, может служить отправным пунктом для непертурбативных исследований.

5) В рамках метода высших ковариантных производных построено однозначно определенное выражение для регуляризованного функционала, не нуждающееся в дополнительной предрегуляризации, так как расходимости в нем сокращаются для индивидуальных диаграмм. При этом окончательное выражение значительно упрощено, что позволяет с меньшими затратами проводить вычисления.

6)Решена проблема перекрывающихся расходимостей в методе высших ковариантных производных.

Структура работы

План изложения работы следующий. Диссертация состоит из двух частей.

Часть А, посвященная численному исследованию нового алгоритма бозонизации фермионных детерминантов, состоит из двух глав.

В главе I приводятся и анализируются общие методы построения калибровочной теории на решетке и проведения компьютерных вычислений в решеточных моделях. В ней обсуждаются уже разработанные подходы к проблеме включения в компьютерные вычисления динамических фермионов и демонстрируется необходимость развития новых, более эффективных методов. По ходу главы I вводится терминология и приемы, которые будут использованы в следующей главе при тестировании алгоритма Славнова. В разделе А.1 рассматриваются общие принципы построения калибровочной теории на решетке и приводится краткий исторический обзор для данной области. В разделе А.2 обсуждается выбор решеточного действия для 8и(М) КХД, которое будет использовано в дальнейшем. В разделе А.З рассматривается применение метода Монте-Карло для компьютерного вычисления корреляционных функций в решеточных моделях квантовой теории поля. В разделе А.4 вводится понятие времени автокорреляции при генерации полевых конфигураций в методе Монте-Карло и приводится метод вычисления времени автокорреляции, используемый в дальнейшем. В разделе А.5 приводится матрица вероятности перехода для локальной бозонной теории с квадратичным действием. В разделе А.6 анализируются трудности, возникающие при включении в вычисления динамических фермионов. Показывается неэффективность "точных" алгоритмов. Приводятся два ''приближенных" алгоритма, которые на сегодняшний день считаются наиболее экономичными при проведении вычислений с фермионами.

В главе II исследуется новый алгоритм для проведения компьютерных вычислений в моделях с динамическими фермионами, предложен-

ный А. Славновым. В разделе А.7 рассматривается теоретическая основа алгоритма, построенная в работе [45], и ставятся цели исследования. В разделе А.8 приводятся и анализируются результаты, полученные при компьютерном симулировании свободной одномерной модели. В разделе

A.9 приводятся результаты вычислений в 811(2) КХД с двумя сортами вырожденных тяжелых Вильсоновских кварков, полученные с использованием алгоритма Славнова. Проводится сравнение с вычислениями для алгоритма Люшера в той же модели.

В части В развивается метод высших ковариантных производных, дополненный видоизмененной инвариантной регуляризацией Паули-Виллар-са. В разделе В.1 обсуждается общая идея метода, приводятся и обобщаются рассуждения, выдвинутые в оригинальных работах. В разделе

B.2 рассматриваются трудности, возникшие в оригинальной конструкции метода высших ковариантных производных, анализируется критика в литературе, а также формулируются проблемы перекрывающихся расходимостей и однозначного определения регуляризованного функционала. В разделе В.З устраняются все трудности, ограничивавшие практическое применение метода высших ковариантных производных. Конструируется однозначно определенный, конечный во всех порядках теории возмущений и значительно упрощенный производящий функционал, который может быть использован для вычислений в моделях, для которых неприменима размерная регуляризация.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 научные работы.

Часть А

Компьютерное исследование нового алгоритма бозонизации

I Решеточные методы и фермионные алгоритмы

А.1 Калибровочные теории на решетке

Калибровочная теория на решетке была построена Вильсоном [55] в 1974 году. В этой работе впервые был продемонстрирован конфайнмент кварков для теории поля в пространстве-времени с размерностью больше двух, хотя и в нефизическом пределе. Этот результат сильно стимулировал ранний интерес к решеточной формулировке теории поля, поскольку для данной аппроксимации конфайнмент получался автоматически.

В свои первые пять лет решеточная формулировка калибровочных теорий использовалась только в аналитических построениях. В 1979 году Кройц, Якобе и Ребби [21] осуществили первое численное исследование калибровочной теории на решетке, используя метод Монте-Карло [13, 14]. В течение нескольких следующих лет теория поля на решетке трансформировалась в направление, в котором объединились численные и аналитические методы для исследования непертурбативного поведения. К поздним восьмидесятым в области доминировали высоко профессиональные вычисления в КХД на суперкомпьютерах. Параллельно развивались технологии и алгоритмы, призванные уменьшить объем вычислений. К настоящему времени в связи с быстрым развитием компьютерных

техники теория поля на решетке превратилась в бурно развивающуюся область, в которой весьма успешно "предсказывается" спектр масс наблюдаемых адх„юнов и другие величины в КХД [15, 18, 19, 20].

Решетка является обрезанием, регуляризующем ультрафиолетовые расходимости квантовой теории поля. Как и любой регулятор, она должна устраняться после ренормализации. Контакт с экспериментом осуществляется в непрерывном пределе, когда шаг решетки стремится к нулю, а размер решетки - к бесконечности. В реальных компьютерных вычислениях на конечной решетке согласованность результатов с экспериментом обеспечивается выполнением следующих условий: 1) все характерные массы должны быть меньше обратного шага решетки а-1 для обеспечения малой ошибки дискретизации; 2) размер решетки Ь должен быть достаточно велик по сравнению с длиной волны изучаемого явления. Например, в Би(М) КХД с двумя ароматами вырожденных кварков (теории, которую я использую в следующей главе для тестирования нового алгоритма бозонизации) есть две массовые шкалы: струнное натяж�