Особенности возникновения стохастичности в нелинейных квантовых системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ГЛАВА I. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАНТОВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ

РЕЗОНАНСОВ . .Ю

§1. Введение

§2. Квантовомеханическое представление "угол-действие"

§3. Вывод укороченных уравнений.

§4. Изолированный квантовый нелинейный резонанс

§5. Взаимодействие квантовых нелинейных резонансов

§6. Структура и устойчивость спектра квазиэнергий

§2. Нелинейный резонанс в системе электронов над поверхностью гелия в прижимающем поле (классический случай) 52

§3, Квантовомеханическое описание.59

§4. Основные выводы.66

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО КВАНТОВОГО РОТАТОРА . . 68

§1. Введение.68

§2. Время применимости классического приближения.74

§3. Корреляционная функция при квантовом резонансе . 79 §4. Анализ корреляционной функции при произвольных значениях параметра 4.87

§5. Представление Вигнера для переменных угол-действие . 91

§6. Инвариантные множества фазового пространства .93

§7. Закон диффузии энергии квантового ротатора.98

§8. Влияние дискретности фазового пространства на поведение корреляционных функций . 106 стр.

§9. Основные выводы. 114

ЗАКЖЯЕНИЕ . 117

ПРИЛОЖЕНИЯ . 119

ЛИТЕРАТУРА . • . 131

- 4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Термин стохастичность, появившийся в литературе в последние десятилетия, обозначает специфический режим движения классических гамильтоновых систем и заполняет собой промежуток между понятиями детерминизма и случайности \1-8"\ . Он характеризует собой крайне неустойчивый, случайный режим движения в системах, не содержащих в себе априорно какую-либо случайность. Несмотря на то, что эволюция таких систем подчиняется однозначным уравнениям движения и формально полностью определяется начальными условиями, практическое предсказание последующих состояний стохастических систем невозможно. Ошибка в определении начальных условий будет экспоненциально быстро накапливаться, и спустя короткое время система "забывает" о своем первоначальном состоянии. Указанное свойство позволяет применять к системам со стохастичностью статистические методы, тем самым перебрасывая мостик между динамическими и статистическими законами в физике \9,Ю"\ . Следует отметить, что существование хаотического режима движения не является привилегией систем с большим числом степеней свободы. В частности, уже достаточно двух\5*\ (или даже одной, плюс внешнее периодическое воздействие). Гамильтоновы системы, обладающие свойством стохастичности, принято называть -системами. Обзор по классическим К. -системам можно найти в \.3-7\ .

В настоящее время большой интерес связан с изучением особенностей поведения квантовых динамических систем, стохастических в классическом пределе ( ). В \12\ для таких систем был введен термин - квантовые- \С.-системы, отражающий тот факт, что в классическом случае эти систёмы являются -системами (т.е. обладают набором свойств, которым обычно характеризуют стохастическое движение в классических динамических системах: локальная неустойчивость траекторий, расцепление временных корреляций, перемешивание фазового пространства и т.д.). Важность рассмотрения квантовых \С-систем диктуется многочисленными физическими приложениями теории. В частности, это могут быть задачи о резонансном взаимодействии излучения с атомами и молекулами 13-15~\, движение частиц в плазме \1б\ , дрейф скользящих электронов и т.д. Сложность рассмотрения квантовых К-систем обусловлена, с одной стороны, невозможностью использования аппарата анализа классической стохастичности (поскольку в квантовой механике отсутствует понятие траектории частицы), с другой стороны, невозможностью применения при рассмотрении задачи с волновых позиций квазиклассического приближения, поскольку в случае К -систем времена применимости квазиклассического подхода оказываются логарифмически малыми ( ^/^ч4) , а не \ , как в случае устойчивых систем \18\ ). Поэтому аналитические исследования квантовых Уч -систем наталкиваются на серьезные трудности.

С другой стороны, первые же численные эксперименты по квантовым -системам показали, что квантовая природа объекта может приводить к существенным изменениям в динамике системы, которая в классическом пределе обладает стохастичностью.

Естественно выделить два типа задач для квантовых ^-систем: а) задачи о структуре энергетического спектра и волновых функций в стационарном случае; б) нестационарные квантовые \(, г системы. Сложность задач первого типа обусловлена тем обстоятельством, что у стохастических систем часть интегралов движения оказывается разрушенными. Поэтому число интегралов становится меньше,, чем чиоло степеней свободы, что делает невозможным применение к квантовым \С-системам квазиклассических правил -квантование Энштейна-Бора-Зоммерфельда \Д9,20~\ . Обзор по задачам первого типа содержится в \21,22~\ .'Настоящая диссертация посвящена задачам второго типа. Остановимся на постановке задачи более конкретно.

Хорошо известно, что при воздействии на нелинейную классическую систему внешним периодическим возмущением, в последней может генерироваться стохастический режим движения. К настоящему времени в литературе вццелилось две наиболее популярные физические модели классической стохастичности в нестационарных системах: одномерный нелинейный осциллятор в поле монохроматической волны и маятник, возбуждаемый периодической последовательностью Ъ -образных толчков. Повышенный интерес к ним обусловлен в основном следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, к данным моделям в различных приближениях сводится большое число физических задач. Во-вторых, эти системы отражают в себе наиболее характерные свойства присущие многим хаотическим системам (в том числе и многомерным \23~\ ).

Ниже рассматриваются некоторые вопросы динамики нелинейного осциллятора в гармоническом внешнем поле и маятника под действием Ъ -образных импульсов в квантовом случае. В главе I представлены результаты по изучению изолированного нелинейного резонанса в квантовом случае и рассмотрен простейший случай взаимодействия двух нелинейных резонансов. Хорошо известно, что классическая система взаимодействующих резонансов проявляет стохастический режим движения 14,24^ . Ниже показано, что и в квантовом случае режим движения системы взаимодействующих резонансов становится качественно отличным от устойчивого случая и, в определенном смысле, является близким к случайному режиму движения системы в классическом случае. В частности, временные корреляторы недиагональных элементов матрицы плотности быстро затухают, частотный спектр динамических переменных сильно усложняется. Однако квантовомеханическая природа объекта приводит к определенным отличиям в динамике системы от классического случая, К основным особенностям следует отнести, в первую очередь, существование остаточного уровня квантовых корреляций и дискретность (несмотря на большую сложность) частотного спектра. В целом квантовомеханический анализ приводит к более устойчивому чем в классическом случае режиму движения рассматриваемой системы двух взаимодействующих резонансов.

Небольшая вторая глава диссертации посвящена анализу конкретного физического объекта - свободных электронов над поверхностью гелия в прижимающем электростатическом поле под действием перпендикулярно поляризованного к поверхности гелия СВЧ . излучения. В силу принципа запрета Паули электроны не могут проникнуть за поверхность гелия и, таким образом, движение электронов представляет собой (при классической интерпретации явления) финитные колебания вблизи поверхности. Эффективная одномерность системы (движение в плоскости поверхности гелия является свободным и может быть исключено из рассмотрения) позволяет непосредственно применить к ней результаты, полученные в предыдущей главе. С другой стороны, многочисленные эксперименты, проводимые с электронами над поверхностью гелия (см., например, \25~\ ), позволяют надеяться на отсутствие непреодолимых препятствий с технической точки зрения проведения эксперимента. В целом, главу 2 можно рассматривать как предложение по исследованию особенностей динамики квантовых К-систем в условиях реального эксперимента*

В третьей главе представлены результаты по анализу динамики квантового маятника (ротатора) под действием *Ь -образных периодических толчков. В отличие от систем, рассмотренных в главах 1,2, данная модель позволяет построить в явном виде отображения Пуанкаре на период внешнего поля (период следования толчков), что значительно упрощает как аналитический, так и численный анализ системы. Известно, что при определенных условиях на параметры в классической системе "ротатор под действием -импульсов" возникает стохастический режим движения -фазовые корреляционные функции экспоненциальным образом затухают, энергия системы линейно растет со временем. Первые же численные исследования квантового ротатора показали существенное отличие в законе набора энергии системой от классического случая \.2б\ . В главе 3 показано, что данные отличия обусловлены в конечном итоге различным поведением фазовых корреляционных функций в квантовом и классических случаях. Показано, что квантовые корреляционные функции следуют классическому закону лишь логарифмически малое время, спустя которое экспоненциальный закон спадания корреляций последовательно сменяется степенным законом спадания и постоянным уровнем остаточных корреляций. Дальнейшее исследование динамики квантового ротатора под действием

-импульсов, проведенное с привлечением формализма функции распределения Вигнера, выделяет в качестве основной причины указанного отличия в поведении квантовых и классических корреляционных функций дискретность фазового пространства по действию в квантовом случае.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения.

1. Предложено обобщение на квантовый случай замены переменных "действие-угол". Показано, что в классическом пределе представление "угол-действие" приводит к уравнению Гамильтона-Якоби в. классических переменных угол-действие.

2. Обнаружена граница захвата в квантовый нелинейный резонанс. Показано, что в случае взаимодействия квантовых нелинейных резонансов и при дополнительном условии захвата в каждый из резонансов большого числа уровней в системе реализуется специфический режим движения, близкий к стохастическому режиму соответствующей классической системы. В частности, корреляционные функции недиагональных элементов матрицы плотности быстро затухают со временем, частотный спектр динамических переменных становится близким к сплошному спектру случайного процесса.

3. Численно построен спектр квазиэнергий и обнаружена неустойчивость частотного спектра динамических переменных относительно малых изменений параметров системы.

4. Предложена и проанализирована простая физическая система - свободные электроны над поверхностью гелия в прижимающем поле, позволяющая изучать явление изолированного квантового нелинейного резонанса и взаимодействия квантовых нелинейных резонансов в условиях реального эксперимента. Определена область параметров системы, в которой возможен нелинейный квантовый резонанс с большим числом захваченных уровней.

5. В аналитической форме получен закон затухания фазовых корреляционных функций для системы возбуждаемого квантового ротатора при условии квантового резонанса. Показано, что полученный закон является промежуточной асимптотикой для нерезонансного случая.

6. Проведен анализ квантового ротатора в представлении Вигнера. Обнаружено наличие в системе инвариантных множеств фазового пространства, и выведена классическая модель квантовой стохастичности, позволяющая качественно оценить закон диффузии энергии ротатора.

Результаты, нашедшие отражение в данной диссертации, были опубликованы в виде статей и тезисов \^27-33\ , а также были доложены на XI Всесоюзной конференции по нелинейной и когерентной оптике и УШ Вавиловской конференции по нелинейной оптике.

§9. Основные выводы

Из приведенных выше результатов следует, что отличие в законе роста средней энергии квантового ротатора от классического случая связаны с различным характером поведения квантовых (1.17) и классических (1.5) корреляционных функций. Если для классической системы экспоненциальный закон затухания корреляций (1.6) справедлив на все времена, то поведение во времени квантовой корреляционной функции может быть условно разделено на две области различных временных масштабов. Пусть выполнено условие (9Л)

Правое неравенство в (9.1) означает наличие стохастичности в классическом пределе (V- ъ ). Левое неравенство в (9.1) озна- • чает, согласно результатам §2, существование области времен применимости приближения классической стохастичности в квантовой системе

В области времен (9.2) корреляционная функция (1.17) затухает экспоненциально во времени до величины ъ , V ( ^чЧчХ (9*3)

Дальнейшее затухание корреляционной функции происходит следующим образом. Если % - ^ЛЛ/Ъдс рациональное, то асимптотика на больших временах определяется формулой >

Ъ - * ^ (9.4) где С константа порядка . Если С, иррациональное, то поведение корреляционной функции на временах может быть аппроксимировано поведением корреляционной функции для рациональных ^ ^ . Устремляя последовательность рациок иррациональному ^ , мы получим последовательность формул типа (9.4) справедливых до сколь угодно больших времен 60 . Таким образом, вне зависимости от значения параметра £ , для поведения квантовых корреляционных функций характерно присутствие остаточного уровня корреляций, что говорит о существенно более устойчивом режиме движения квантовой системы по сравнению с классическим случаем (где имеет место экспоненциальное затухание корреляций).

Физическая причина большей устойчивости динамики квантового ротатора выявляется при анализе задачи в представлении Виг-нера в переменных угол-действие. Показано, что эволюция квантового ротатора может быть представлена как эволюция классического ротатора под действием некоторой квазислучайной силы и при дополнительном условии, что действие может принимать лишь дискретный набор значений. В области справедливости неравенства (9.1) действием данной квазислучайной силы можно пренебречь, так что определяющим отличием квантовой системы от классической является дискретность фазового пространства по действию и,в первом порядке,динамика квантового ротатора (1.10) может быть описана "классической моделью квантовой стохастичности"

Как показали численные расчеты, учет дискретности приводит к качественному отличию в поведении корреляционных функций и, как следствие, к изменению закона диффузии энергии ротатора.

9.6)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные результаты показывают, что понятие стохастич-ности квантовых систем следует применять с известными оговорками. До сих пор не ясно, каким образом его следует определять в терминах квантовомеханического способа описания. Тем не менее, налицо ряд принципиальных эффектов, которые обусловлены фактом стохастичности системы в классическом пределе. На настоящий момент динамику квантовых -систем можно представить себе следующим образом. Основным критическим параметром, помимо классического параметра стохастичности \\ » является некоторый параметр "^е »определяющий "степень классичности" системы. Он отделяет существенно квантовую область от области, в которой классическая динамика является хорошим приближением для не слишком больших времен (т.е. динамика наблюдаемых средних величин незначительно отличается от динамики соответствующей классической Уч-системы).

В случае модели нелинейного ротатора параметр - Л\ , где ь - величина.внешнего возмущения, и граница существенно квантовой области имеет порядок . Время применимости классического приближения при""*.^\ч задается величиной

На этих временах стохастичность для средних величин должна проявляться так же как и в классической механике. Начиная с времен ^ становятся заметными квантовые эффекты, которые проявляются, в частности, в изменении экспоненциального закона затухания фазовых корреляционных функций на степенной. Накапливаясь со временем, квантовые поправки приводят к макроскопическому изменению величин, характеризующих среднюю энергию или среднее действие системы*

В случае системы взаимодействующих резонансов параметр ^

- 118 имеет смысл числа захваченных в квантовый нелинейный резонанс уровней ^^ . Граница, отделяющая чисто квантовую область от области "квазиклассичности" в данном случае менее резко выражена и имеет порядок «v 50*100. Как показал численный расчет, при ^ ч\ >, 50 фазовые корреляционные функции на ограниченных временах быстро затухают, что имеет хорошую аналогию с хаотическим режимом движения соответствующей классической системы. Проведенный анализ позволяет выявить характер движения системы на больших временах. В отличие от предыдущей модели квантового ротатора , где вопрос об асимптотическом поведении системы остается до сих пор открытым, в данном случае режим движения является квазипериодическим. Это еще раз подчеркивает сделанное выше замечание об условности понятия стохастичности в квантовом случае.

1. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических и автоморфизмов пространств Либега. - Докл. АН СССР, 1958, т. 119, J1., с. 861-864.

2. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы. -Докл. АН СССР, 1959, т. 124, М, с. 768-771.

3. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний. УФН, 1971, J6I, с. 3-39.

4. Chirikov B.V. A Universal instability of many-dimensional oscillator systems. Phys.Rep., 1978, v.52, N5, p.263-379.i

5. Заславский Г.М. Современные проблемы физики. Статистическая необратимость в нелинейных системах. М.: Наука, 1970. -144 с.

6. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с.

7. Ford J. Stochastic .behavior in nonlinear oscillator system.-In: Lectures in statistical physics: Lecture notes in physics, v.28. Springer-Berlin and N.Y.: Springer-Verlag, 1974, p.137-169.

8. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. - 432 с.

9. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950. 205 с.

10. Пуанкаре А. Наука и метод. Одесса, 1910. - 384 с.1.* Henon М., Heiles С. The applicability of the third integral of motion: some numerical experiments. Astronom. J., 1964, v.69, N1, p.73-79.

11. Berman G.P., Zaslavsky G.M. Condition of stochasticity in quantum nonlinear systems. II.Kinetic description of quantum K-systems. Physica, 1979, v.97A, N2, p.367-383.

12. Белобров П.И., Берман ГЛ., Заславский Г.М., Сливинский А.П. О стохастическом механизме возбуждения молекул, взаимодейству ющих с собственным полем излучения. ЖЭТФ, 1979, т. 76, 16, с. I960-1968.

13. Меерсон Б.й., Оке Е.А., Сасорова П.В. Стохастическая нёустойчивость осциллятора и ионизация высоковозбужденных атомов под действием электромагнитного излучения. Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, ЖЕ, с. 79-82.

14. Oxtoby D.W., Rice S.A. Nonlinear resonance and stochasticity in intramolecular energy exchange. J.Chem. Phys., 1976,v.65, N5, p.1676-1683.

15. Кадомцев Б.Б. Современное состояние теории нелинейных и стохастических процессов в плазме. В кн.: Проблемы теории плазмы. - Киев: Наукова думка, 1972, с. 271-277.

16. Эйнштейн A. К квантовому условию Зоммерфельда и Этштейна. -Собрание научных трудов: В 4 т. М. :Наука, 1966, т.З, с.407-416.

17. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближениедля уравнений квантовой механики. М. : Наука, 1976. -296 с.

18. Zaslavsky G.M. Stochasticity in quantum systems. Phys.Rep.,1981, v. 80, N3, p.157-250. 22 • Bohigas 0., Giannoni M-J. Chaotic motion and random matrix theories. Prance, 1984,- 100p.- (Preprint/Institut de Physique Nucleaive; SPNO/TH 84-22).

19. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Статистические свойства нелинейной струны. Докл. АН СССР, 1966, т. 166, Щ, с. 57-59.

20. Израйлев Ф.М., Казати Дж., Форд Дк., Чириков Б.В. Стохастические колебания квантового маятника под действием периодического возмущения. Новосибирск, 1978. - 28 с. -(Препринт/ Инст. дцерн. физики; ИЯФ-78-46).\

21. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Взаимодействие резонансов в многоуровневых системах. В сб.: IX Всесоюзная конференция по когерентной и нелинейной оптике: Тез. докл. Ереван, 1982, часть I, с. 421-422.

22. Берман Г.П., Заславский Г.М., Коловский А.Р. Взаимодействие квантовых нелинейных резонансов. ЖЭТФ, 1981, т. 81, №2,с. 506-516.

23. Berman G.P., Kolovsky A.R., Zaslavsky 6.M. On the spectrum of the system of interacting quantum nonlinear resonances.-Phys.Lett., 1982, V.87A, N4, p.152-156.

24. Berman G.P., Kolovsky A.R. Structur and stability of the qua-.sienergy spectrum of two interacting quantum nonlinear resonances. Phys.Lett., 1983, V.95A, N1, p.15-18.

25. Berman G.P., Kolovsky A.R. Correlation function behavior in quantum systems which are classically chaotic. Physica, 1983, v8D, И1-2, p.117-141.

26. Берман Г.П., Коловский A.P. Динамика квантовых систем, стохастических в классическом пределе, в представлении Вигнера. -Красноярск, 1984. 35 с. - (Препринт/Институт физики,257Ф).

27. Берман Г.П., Коловский А.Р. Динамика нелинейных квантовых систем, стохастических в классическом пределе. В сб.:

28. X Международная конференция по нелинейным колебаниям: Тезисы докл. Варна, 1984.

29. Шуряк Э.В. Нелинейный резонанс в квантовых системах. 1ЭТФ, 1976, т. 71, 166, с. 2039-2056.

30. Berman G.P., Zaslavsky G.M. Theory of quantum nonlinear resonance. Phys.Lett., 1977, v.61 А, Ж5, p.295-296.

31. Соколов В.В. Нелинейный резонанс квантового осциллятора. . Новосибирск, 1978. - 24 с. - (Препринт/Инст. ядерной физики; ИЯФ-78-50).

32. Сазонов В.Н., Финкелыптейн В.Ю. Подбарьерный переход в энергетическом пространстве как механизм раскачки нелинейного осциллятора внешней гармонической силой. Докл. АН СССР, 1976, т. 231, с. 78-81.

33. Сазонов В.Н. Квазиклассическая теория раскачки квантового нелинейного осциллятора. ТМФ, 1978, т. 35, №3, с. 361-370.

34. Чириков Б.В. Исследование по теории нелинейного резонансаи стохастичности. Новосибирск, 1969. - 312 с. - (Препринт/ Инст. ядерной физики; 267).

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Механика. -М.: Наука, 1973. 207 с.

36. Алимов А.Л., Дамаский Е.В. Самосопряженный оператор фазы. -ТМФ, 1978, т. 38, Ш, с. 58-70.

37. Каррузерс П., Ньето М. Переменные фаза-угол в квантовой механике. В кн.: Когерентные состояния в квантвой теории: НФФ, Щ. - М.: Мир, 1972, с. 71-146.

38. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.:Наука,1977.

39. Blacker S., Perdang J. The power of chaos. Physica, 1981, v.3D, ИЗ, p.512-530.

40. Зельдович Я.Б. Рассеяние и излучение квантовой системойв сильной электромагнитной волне. УФН, 1973, т. 110, ЖЕ, с. I39-I5I.

41. Шс Donald V., Kaufman A. Spectrum and eigenfunction for a hamiltonian with stochastic trajectories. Phys.Rev.Lett., 1979, v.42, N18, p.1189-1191.

42. Casati G., Quarneri I., Valoz-Gris P. On the connection between quantization of nonintegrahle systems and statistical theory of spectra. -Lett.Nuov.Cim.,1980,v.28,N8, p.279-282.

43. Ширильман А.И. Эргодические свойства собственных функций. -УМН, 1974, т. 29, Ji6, с. I8I-I82.

44. Израйлев Ф.М. Распределение расстояний между уровнями квазиэнергий для квантовых систем, стохастических в классическом пределе. Новосибирск, 1984. - 24 с. - (Препринт/Инст. ядерной физики; 84-63).

45. Делоне Н.Б., Крайнов В.П., Шепелянский Д.Л. Высоковозбужденный атом в электромагнитном поле. УФН, 1983, т. 140.3, с. 355-393.

46. Шепелянский Д.Л. Квантовое ограничение диффузии при возбуждении ридберговского атома в переменном поле. Новосибирск, 1983. - 35 с. - (Препринт/Институт ядерной физики; ИЯФ-83-61).

47. Дар А.К., Израйлев Ф.М., Нагараджан М.А. Поведение атома водорода под действием периодического импульсного электрического поля. Новосибирск, 1983. - 55 с. - (Препринт/Инст. ядерной физики; ИЯФ-83-162).

48. Jenson R.V. Stochastic ionization of surface-state electrons.-Phys.Rev.Lett., 1982, v.49, H19, p.1365-1368.54# Jensen R.V. Stochastic ionization of surface-state electrons: Classical theory. Phys.Rev., v.30, N1 , p.386-398.

49. Blumel R., Meir R., Smilansky U., FRG, 1983, - 42p. -(Preprint/ Inst.Theor.Physics, Munchen).

50. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Теоретическая физика: Квантовая механика нерелятивистская теория. - М.: Наука, 1974. -752 с.

51. Израйлев Ф.М., Шепелянский Д.Л. Квантовый резонанс для ротатора в нелинейном периодическом поле. ТМФ, 1980, т. 43,1. HQ, с. 417-428.

52. Шепелянский Д.Л. 0 динамической стохастичности в нелинейных квантовых системах. ТМФ, 1981, т. 49, Ж, с. II7-I2I.

53. Hogg Т., Huberman В.A. Reccurrence phenomena in quantum dynamics. Phys.Rev.Lett., 1982, v.48, p.711.

54. Casati G., Guarneri I. Non-recurrent behavior in quantum dynamics, Italy, 1984. - 13p. - (Preprint/ Universita di Milano)£ submitted to Comm. Math.Phys.\

55. Шепелянский Д.Л. Квазиклассическое приближение для стохастических квантовых систем. Новосибирск, 1980. - 45 с. -(Препринт/Инст. ядерной физики;ИЯФ-80-132).

56. Berman G.P., Zaslavsky G.M. Quantum mappings and the problem of stochasticity in quantum systems. Physica, 1982, V.111A, p.17-44.

57. Berry M.V., Balazs N.L., Tabor M., Voros A. Quantum maps.-Ann. Phys., 1979, v.122, N1 , p.26-63.

58. Korsch Н.У., Berry M.V. Evolution of Wigner's space density under a nonintegrable quantum map. Physica, 1981, v.3D, N3, p.627-636.

59. Татарский В.И. Вигнеровское представление квантовой мехаIники. УФН, 1983, т. 139, М, с. 587-612.

60. Agarval G.S., Wolf Е. Culculus for functions of noncommuting operators and general phase-space methods in quantum mechanics. I. Mapping theorems. Phys.Rev., 1970, v.2D, N10, p.2161-218?.

61. Berry M.V. Semi-classical mechanics in phase space: a study of Wigner's function. Phil. Trans.Roy.Soc., 1977, V.287A, N4, p.237-271.

62. O* Mukunda N. Wigner distribution for angle coordinates in quantum mechanics. Am. J.Phys., 1979, v.47, p.182-187.

63. Де Гроот С.Р., Сатторп Л.Г. Электродинамика. М.: Наука, 1982. - 558 с.

64. Корнфельд К.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980. 384 с.

65. Израйлев'Ф.М., Чириков Б.В., Шепелянский Д.Л. Переходная стохастичность в квантовой механике. Новосибирск, 1980. -34 с. - (Препринт/Инст. ядерной физики; ШФ-80-210).

66. Chirikov В.V., Izrailev P.M., Shepelyansky D.L. Dynamical stochastisity in classical and. quantum mechanics. Soviet Scientific Reviews, 1981, v.2C, p. 209-267.

67. Shepelynsky D.L. Some statistical properties of simple classically stochastic quantum systems. Physica, 1983, 8D, ИЗ, p. 208-222.

68. Берман Г.П., Коловский A.P. Поведение на больших временах корреляционных функций в модели возбуждаемого квантового ротатора. Красноярск, 1984. - 10 с. - (Препринт/Институт физики СО АН СССР; 287Ф).