О вложении разных метрик для обобщенных пространств Бесова и Кальдерона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Российский университет дружбы народов

На правах рукописи

Франсиско Эдуардо Энрикес Белалькасар

О ВЛОЖЕНИИ РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА И КАЛЬДЕРОНА

(01.01.01 — математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гольдман М.Л.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бережной Е.И.

Ведущая организация: Московский государственный институт

радиотехники, электроники и автоматики (МИРЭА — технический университет).

Защита диссертации состоится " 18 " марта 2004 г. в 15 ч. 30 мин на заседании диссертационного совета К 212.203.04 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495".

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. б.

Автореферат разослан " 17 " февраля 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Скориков А.В.

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Диссертационная работа посвящена теоремам вложения для анизотропных конструктивных пространств Кальдерона А(Е,Р), а также описанию пространств Липшица 'Л,, (0 <- а ^ 1) в терминах дробных производных гармонических продолжений. Теория вложения для пространств функций играет важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории дифференциальных уравнений, а также в теории рядов Фурье и в теории приближения. Её возникновение связано с работами С.Л. Соболева в 30-е годы 20 века. Им были введены и изучены; пространства получена для них система теорем вложения и приложения в уравнениях математической физики. Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах Л.Н. Слободецкого, И; Стейна, П.И. Лизоркина и далее; Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тэйблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева-Лиувилля, а затем и более общей шкалы пространств Лизоркина-Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием С.М Никольским теории вложений пространств: гёльдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О.В. Бесов ввел и изучил более общие пространства совпадающие при в = оо с простран-

ством Никольского #р(М"). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, СВ. Успенского и др., что дало» толчок в теории обобщенных решений для краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.

Дальнейшее расширение понятия

бивлкотека I

ем пространств «обобщенной гладкости», в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам — функциям (вектор-функциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости Hp внесли исследования Н.К. Бари, А: Зигмунда, С.Б. Стеч-кина, П.Л. Ульянова, М.К. Потапова, ЭА Стороженко, П. Освальда, Ю.В. Нетрусова и др.

Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О.В. Бесова, А.В. Бухвалова, М.З. Берколайко, М.Л. Гольдмана, Г.А Калябина, Ю.В. Нетрусова и др.

Потребности теории нелинейных краевых задач привели в работах: Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингера и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных, на-основе.. более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик, изучались в книге О.В. Бесова, В.П.Ильина, СМ. Никольского 1),в работах М.З. Берколайко, Ю.А. Брудного, А.В. Бухвалова, К.К. Головкина, М.Л. Гольдмана, B.C. Климова и др. Параллельно шло бурное развитие общей теории идеальных (банаховых функциональных) и симметричных (перестановочно-инвариантных) пространств, связанные с именами таких известных специалистов, как С.Г. Крейн, А.П. Кальдерон, Е.М. Семенов, П.П. Забрей-ко, Я. Петре, Е.И, Бережной, В.И. Овчинников и др. Синтез этих подходов привел к возникновению концепции пространств Кальдерона, введенных им в 1964 г. Развитию теории были посвящены исследования К.К. Головкина, Ю.А Брудного и В.К. Шалашова.

Ряд важных современных результатов теории вложений для про-

1)Бесов О.Б., Ильич В.П., Никольский СМ. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М: Наука, 1975. 480 С.

странств Кальдероиа получен в работах М.Л. Гольдмана2) 3), М.Л. Гольд-мана и Р. Кермана4).

Таким образом, целесообразно рассмотреть с единой точки зрения те или иные обобщения пространств гладких функций. В определенной степени этому вопросу отвечает конструкция анизотропных пространств Кальдерона, рассмотренных в диссертационной работе.

Самостоятельный интерес представляет характеризация пространств Липшица с помощью дробных производных интеграла Пуассона.

Цель работы

1). Получение необходимых и достаточных условий для вложения анизотропного пространства Кальдерона в перестановочно -инвариантное пространство (п.и.п.), без априорных предположений относительно последнего.

2). Описание оптимального (то есть, самого узкого) п.и.п. для анизотропных пространств Кальдерона и Бесова.

3). Описание пространств Липшица на языке дробных производных гармонических продолжений.

Основные результаты работы

1). Введены конструктивные анизотропные пространства Кальдерона A(E,F), F = {Fj,... ,F„} как продпространства в.п.и.п. Е = состоящие из функций для которых их част-

ные наилучшие приближения по норме Е с помощью целых функций экспоненциального типа степени переменной при-

2)Goldman M.L. On imbedding constructive and structural Lipschitz spaces in symmetric spaces.// Trudy Mat. Inst. Steklov. 1986. - V. 173. - P. 93-117.

3лГолъдман M.JI. О вложении разных метрик для пространств типа Кальдерона. // Тр. МИАН, 1988. - Т. 181. - С. 70-94.

*)Галъдман М.Л-, Керман Р.А. Об оптимальном вложении пространств Кальдерона и обобщенных пространств Бесова. // Тр. МИАН, 2003. - Т. 243. - С. 161-193.

надлежат (как функции от I) идеальным пространствам (Я+), (] = 1,..., п). Изучены общие свойства этих пространств.

2). Для пространства Кальдерона А(Е, Ё) установлены точные условия вложения в п.и.п. X =

3). Получено описание эквивалентного конуса для конуса убывающих перестановок функций из пространства Кальдерона А(Е,Р).

4). Построено оптимальное (самое узкое) п.и.п. Хо, в которое вложено пространство Кальдерона А(Е,Р)т, получены приложения этого результата для анизотропных обобщенных пространств Бесова.

5). Получена характеризация пространств Липшица Л0 на языке дробных производных от гармонических продолжений функций из пространств Лв.

Научная новизна работы

Все результаты диссертации являются новыми. В ней впервые установлены анизотропные аналоги результатов по теории вложений изотропных пространств Кальдерона, недавно полученных в работах М.Л. Гольдмана и Р. Кермана. Кроме того, для оптимальных п.и.п. получены эквивалентные нормы, не имеющие аналогов в теории изотропных пространств Кальдерона. Характеризация пространств Липшица на языке дробных производных от интеграла Пуассона развивает предшествующие подходы М.Тэйблсона, связанные с использованием целочисленных производных.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в исследованиях по теории функциональных пространств и теории приближений; которые проводятся в МГУ, Математи-

ческом институте РАН им. В.А. Стеклова, НГУ, ЯрГу, С.-П.Гу, МИРЭА и др. центрах.

Методы исследования

Использование убывающих перестановок для характеризации интегральных свойств функций, методы теории двойственности для описания оптимальных п.и.п., точные оценки норм операторов и функционалов на конусах монотонных функций. Применяются свойства подпространств для п.и.п., состоящих из целых функций экспоненциального типа, и методы теории приближений с помощью целых функций, а также методы гармонического анализа, связанные с интегралом Пуассона. Используется аппарат дробных интегралов и производных Лиувилля.

Апробация работы

Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа: на семинаре под руководством д.ф.-м.н. проф. А.В. Арутюнова; HJ на семинаре под руководством д.ф.-м.н. проф. М.Ф. Сухинина и д.ф.-м.н. проф. А.В. Фаминского, на научном семинаре д.ф.-м.н. проф. Е.И. Бережного в Ярославском государственном университете.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 3 печатные работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, вступительного параграфа 0, трех глав и списка литературы из 32 наименований. Диссертация изложена на ... страницах машинописного текста.

Краткое содержание диссертации

Введение посвящено обоснованию актуальности темы диссертационной работы, формулировке ее цели, а также описанию структуры диссертации.

Во вступительном параграфе описаны основные используемые нами обозначения. Первая глава посвящена построению оптимального конуса .Ко для анизотропного конструктивного пространства типа Кальде-рона. Она состоит из трех разделов.

В 1.1 кратко изложены некоторые факты, относящиеся к общей теории перестановочно-инвариантных и идеальных пространств.

В 1.2 получена вспомогательная оценка сверху для убывающих перестановок функций изп.и.п. Е = Е(Шп), через их среднее наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа £ (ц.ф.э.т. £). При этом мы опирались на идеи теории приближения функций из Е функциями из ЭЛ^^К") — замкнутого подпространства пространства Е, состоящего из ц.ф.э.т. = (щ,... Щ > 0.

С помощью, среднего наилучшего приближения £/(/)£ для систем функций,{е^(/)Е}"=1 получена следующая оценка (теорема 1.2.1). Для любой для любого

Г(«)< с(%(+0)||/||й+ / ,

/¿в(т) = —/_.., где (р„ — фундаментальная функция п.и.п. Е. Здесь, ФеУ >

постоянная не зависит от

Основной результат 1.3 заключается в построении оптимального (квази)нормированного конуса Ко (см. (4)) убывающих неотрицательных функций. Этот конус даёт точные по порядку поточечные оценки для убывающих перестановок функций / 6 А[Е,Р). Именно,справедлива теорема 1.3.1:

1). Для любой функции / € А(Е, Ё) найдётся функция Л € Кц такая,

что:

А%.<СЬ||/Иа(*л; Со е ) Со не зависит от /; .

Г(*)<С1{11Б(+о)||/||в+Л(«)), *>0; С,еК+)

2). Пусть ещё для фиксированного Т > 0 оператор О : ПЛ.Р — • Р(Т,оо) ограничен (см. (5) ниже). Тогда, для любой функции Л Е .Ко найдётся функция / € А(Е,Ё) такая, что:

\\f\\HE,F)<C2\\h\\Ka,

h(t)^c3(nE(A(T))mKo+m),

te

(Л(-) — некоторая замена переменных), Сг, Сз 6 К+ и не зависят Как отметили выше, конус fío является ключевым для вложения-

A(E,F)cX. (1Г

Именно

а) Вложение (1) имеет место при выполнении условий:

ЕПЬоо?-+Х, (2):

К0^Х(0,а0). (3)

здесь

(4)

нормированный конус неотрицательных убывающих функций,

(1Е{т) — ^ (т-^у ~~ фундаментальная функция п.и.п. Е,

А() — некоторая замена переменных, ао = ^(Г)"1, Т > 0.

б) Условие (2) необходимо для вложения (1). При ограниченности оператора

в : ПГ^-ОДоо); С[5](<) :=

необходимо и условие (3) (теорема 1.3.2).

^е{А(т))

(5)

Во второй главе диссертации, состоящей из трех разделов, строится оптимальное п.и.п. Хц для вложения (1), с помощью ассоциированного к конусу К п.и.п.

В 2.1 рассматривается специальное семейство Мо = {М,рм} множеств М, для которых выполняется почти вся аксиоматика банахова функционального пространства (кратко, б.ф.п.). Легко проверяется, что конусы Ир и Ко лежат в этом семействе. Далее, вводятся ассоциированные пространства М' для множеств М, и доказывается, что эти пространства являются перестановочно-инвариантными. Таким образом, П^ и Ар окажутся п.и.п. Далее, хорошо известно, что (К'0)' тоже является п.и.п. и нетрудно показать, что КЦ(0,ао) есть самое узкое и.и.п., содержащее Ко (лемма 2.1.2).

В разделе 2.2 строится самое узкое п.и.п. для вложения (1). Оно порождается нормой

Следует заметить, что хотя теорема 2.2.1 дает нужное описание оптимального пространства X, тем не менее формула (6) оказывается затруднительной для применения. Ввиду этого обстоятельства, представляется желательным иметь другое, более удобное выражение для вычисления нормы в X. Этому посвящена теорема 2.2.2.

Раздел 2.3 посвящен конкретизации вышеизложенных результатов, в случае обобщенных анизотропных пространств Бесова где, 1 Л

д < оо; а = (с*!,... ,агп), оу > 0 — набор непрерывных возрастающих функций а^(0) = 0,- с^(+оо)= +оо, ¡3 -— такая неотрицательная мера,

<"(*) := 1!х(о,о!^= 1 + (^/з) Л < со, *е®+; (7)

где w — так называемая функция гладкости прстранства

Предметом исследования в третьей главе являются пространства Липшица.Л^(Ш)£гоящие при. 0. С а.^ 1_ из :таких функций / € ¿оо(К"), для которых конечна норма:

Глава состоит из четырех разделов. В разделе 3.1 кратко изложены основные свойства интеграла Пуассона, приведена теорема (М. Тэйблсо-на) о характеризации пространств Лц с помощью гармонических продолжений.

Раздел 3.2 содержит краткие сведения из теории дробного интегро-дифференцирования в смысле Лиувилля. Отметим, что для достаточно гладких функций •/, заданных на К,' дробная производная порядка ¡3 6 (0,1) определяется равенством • .

В этом разделе также рассмотрено дробное интегродифференциро-вание сверток. Надо отменить, что исходное определение Лиувиллевских

производных не полностью приспособлено к нашим целям, так как, например, для постоянной функции такой производной не существует. Эта трудность преодолена в этом разделе, где вводятся «модифицированные» дробные производные и показывается, что для достаточно гладких функций эти два определения эквивалентны.

В 3.3 собраны оценки для дробных производных от ядра Пуассона. При этом получены поточечные оценки: Пусть 0 < ¡3 < 1. Тогда

Эти оценки являются «дрг,5нт,тч» аналогом соответствующих оце-

дРу{х) ду

о т ядра Пуассона.

нок для «целой» произво,

Основным результатом третьей главы (обоснован в 3.4) является след (и(х,у) = (Р„ * /)(х) — интегрл Пуассона):

Пусть / € Хоо(Кп), 0 '< а < /3 <1: Для того, чтобы функция / принадлежала пространству Ла(Еп), необходимо и достаточно, чтобы

И^-.^Ц^^Лг/-^, у>0]

где А € не зависит от х, у.

(8)

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Буренков В.И., Энрикес Ф.Э. Характеризация пространств с нецелым порядком дифференцирования на языке гармонических продолжений.// Вестник РУДН. Серия Математика, - 2002. - № 9(1). - С. 64-82.

[2] Голъдман М.Л., Энрикес Ф.Э. Об одной оценке перестановок в симметричном пространстве. // Вестник РУДН. Серия Математика, -2003. - №10(1). (в печати).

[3] ч Голъдман М.Л., Энрикес Ф. Э.' Оптимальный конус для перестановок функций из анизотропного пространства Кальдерона. - М., 2003. - 15 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.12.2003, № 2221-В2003.

Франсиско Эдуардо Энрикес Белалькасар (Колумбия) О вложении разных метрик для обобщенных пространств Бесова и Кальдерона

В работе

1) установлены необходимые и достаточные условия вложения в п.и.п. для анизотропных пространств типа Кальдерона;

2) найден эквивалентный (квази)нормированный конус для конуса перестановок функций из анизотропного конструктивного пространства типа Кальдерона;

3) получено описание оптимального п.и.п., содержащего анизотропное пространство типа Кальдерона; в качестве применения получено решение данной задачи для анизотропного обобщенного пространства Бесова;

4) получена характеризация пространств Липшица на языке дробных; производных гармонических продолжений.

Подписано в печать/$.0<?^^Формат6Ох8.4/16. Тираж М>0экз. Усл. печ. л. . Заказ 43^

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3

»-2720

Введение.

0.1. Описание обозначений.

Глава 1. Оценка перестановок и оптимальный конус для перестановок функций из анизотропного пространства типа Кальдерона.

1.1. Основные определения.

1.1.1. Банахово функциональное пространство (б.ф.п.)

1.1.2. Ассоциированное пространство.

1.1.3. Перестановочно-инвариантное пространство

1.1.4. Анизотропное пространство типа Кальдерона.

1.2. Оценка перестановок функций из п.и.п. Е.

1.2.1. Оценка анизотропных наилучших приближений через частные.

1.2.2. Одна вспомогательная оценка.

1.2.3. Оценка перестановок через среднее наилучшее приближение

1.3. Оптимальный конус для перестановок функций из анизотропного пространства типа Кальдерона.

1.3.1. Оптимальный конус для перестановок.

1.3.2. Критерий вложения пространств А(Е,Р) в перестановочно-инвариантное пространство.

1.3.3. Вложение и поглощение.

Глава 2. Оптимальное п.и.п. для анизотропного пространства типа Кальдерона.

2.1. Ассоциированное п.и.п. для конуса монотонных функций

2.1.1. Ассоциированное пространство для множеств из Мо

2.1.2. Пространства 0,'р и К'0.

2.1.3. Оптимальность пространства (М')' для множеств

М € Мо.

2.2. Оптимальное п.и.п. для анизотропного пространства типа Кальдерона.

2.2.1. Описание пространства Хо(Еп).

2.2.2. Эквивалентное описание пространства -Хо(Еп)

Теоремы вложения для пространств дифференцируемых функций многих переменных играют важную роль в математическом анализе и его приложениях в теории рядов Фурье, дифференциальных уравнений в частных производных, а также в теории приближения. Например, корректная постановка краевых задач математической физики зачастую связана с получением точных описаний пространства следов (функций данного класса) на многообразиях меньшей размерности. Правильная постановка задач теории приближений в различных метриках требует наличия точной информации о вложении пространств дифференцируемых функций в те или иные банаховые функциональные пространства.

Теория вложения сложилась как новое математическое направление в 30-е годы в результате работ академика С.Л. Соболева [23]. В частности, С.Л. Соболевым получены первые теоремы вложения для классов \¥р(0) функций, имеющие на достаточно общей области п-мерного пространства Мп (обобщённые) производные до 1-го порядка включительно, интегрируемые в р-ой степени (1 ^ р ^ оо).

Расширение соболевской классификации на дробные порядки дифференцирования было предпринято в работах Л.Н. Слободецкого, И. Стейна, П.И. Лизоркина и далее Я. Петре, Г. Трибеля и его учеников, М. Тэйблсона и др. Оно привело к появлению пространств Соболева-Лиувилля, а затем и более общей шкалы пространств Лизоркина-Трибеля. Другое направление исследований связано с созданием С.М Никольским теории вложений пространств гёльдеровского типа, образующих шкалу с непрерывно меняющимися анизотропными характеристиками гладкости. О.В. Бесов ввел и изучил более общие пространства совпадающие при в = со с пространством Никольского ЯДЕ"). Эти пространства сыграли важную роль для окончательного решения задачи о следах функций из пространств Соболева, изученной в работах Н. Ароншайна, В.М. Бабича, О.В. Бесова, Э. Гальярдо, П.И. Лизоркина, И. Стейна, С.В. Успенского и др., что дало толчок в теории обобщенных решений для краевых задач для операторов в частных производных. Шкала пространств Бесова естественным образом возникает также в теории приближений, в рядах Фурье, в теории интерполяции линейных операторов.

Дальнейшее расширение понятия гладкости связано с рассмотрением пространств «обобщенной гладкости», в которых осуществлен переход от числовых (векторных) параметров гладкости к обобщенным параметрам — функциям (вектор-функциям) или последовательностям, причем при минимальных априорных предположениях. Такие пространства естественным образом возникают в теории рядов Фурье и теории приближений. Важный вклад в развитие теории пространств обобщенной гладкости Нр внесли исследования Н.К. Бари, А. Зигмунда, С.Б. Стечкина, П.Л. Ульянова, М.К. Потапова, Э.А. Стороженко, П. Освальда, Ю.В. Нетрусова и др.

Развитие теории обобщенных пространств Бесова связано с работами О.В. Бесова, A.B. Бухвалова, М.З. Берколайко, M.JL Гольдмана, Г.А. Ка-лябина, Ю.В. Нетрусова и др.

Потребности теории нелинейных краевых задач привели в работах Ж. Госсе, Т. Дональдсона, Н. Трудингера и др. к рассмотрению пространств дифференцируемых функций, построенных на основе более общей, чем Lp, метрики пространств Орлича. Дальнейшие обобщения, связанные с введением более общих метрик, изучались в книге О.В. Бесова,

B.П. Ильина, С.М. Никольского [3], в работах М.З. Берколайко, Ю.А. Бруд-ного, A.B. Бухвалова, К.К. Головкина, M.JL Гольдмана, B.C. Климова и др. Параллельно шло бурное развитие общей теории идеальных (банаховых функциональных) и симметричных (перестановочно-инвариантных) пространств, связанные с именами таких известных специалистов, как

C.Г. Крейн, А.П. Кальдерон, Е.М. Семенов, П.П. Забрейко, Я. Петре, Е.И. Бережной, В.И. Овчинников и др. Синтез этих подходов привел к возникновению концепции пространств Кальдерона, введенных им в 1964 г. Развитию теории были посвящены исследования К.К. Головкина, Ю.А. Брудного и В.К. Шалашова.

Ряд важных современных результатов теории вложений для пространств Кальдерона получен в работах M.JL Гольдмана [8,31], М.Л. Гольдмана и P.A. Кермана [10]. В работе [10] получены, в частности, необходимые и достаточные условия для вложения

А{Е,Р)^Х, где X — перестановочно-инвариантное пространство (кратко: п.и.п.), и построено оптимальное (самое узкое) п.и.п. для него; то есть, найден п.и.п Хо такое,что вложение А(Е, Г) М- X верно при X = Хо, и если это включение верно для некоторого X, то Хо X. Такая постановка вопроса об оптимальности пространства принадлежит Ю.В. Нетрусову [19,20].

Диссертационная работа посвящена теоремам вложения для анизотропных конструктивных пространств типа Кальдерона А(Е,Р) в п.и.п. Х(ЕП), без априорных предположений относительно последнего, а также описанию оптимального (то есть, в вышеуказанном смысле самого узкого) п.и.п. для такого вложения. В работе также рассматривается вопрос об описании пространств Липшица Аа, 0 < а < 1, с помощью дробных производных от гармонических продолжений.

Отметим, что пространства А(Е, Ё) обобщают классические анизотропные пространства Бесова. Обобщение проводится по двум направлениям: интегральные свойства функций из А(Е, Ё) выражаются в терминах Е — п.и.п. общего вида, а дифференциальные свойства функций — в терминах принадлежности анизотропных наилучших приближений идеальным пространствам Р = {^1,., общего вида.

Работа состоит из вступительного § 0.1 и трёх глав.

В параграфе 0.1 описаны основные используемые нами обозначения. Первая глава посвящена оптимальному конусу Ко для анизотропного конструктивного пространства типа Кальдерона.

В 1.1 даны основные определения, кратко изложены некоторые факты, относящиеся к общей теории перестановочно - инвариантных и идеальных пространств с соответствующими ссылками на литературу.

В 1.2 получена вспомогательная оценка сверху для убывающих перестановок функций из п.и.п. Е, через их среднее наилучшее приближение целыми функциями экспоненциального типа £ (ц.ф.э.т. При этом мы опирались на идеи теории приближения функций из Е функциями из — замкнутого подпространства пространства Е, состоящее из ц.ф.э.т. и, и = (щ,. ,1>п); V] > 0. Именно, представляя функцию / € Е как сумму определённых ц.ф.э.т. и и некоторого остатка, и, пользуясь неравенством разных метрик (см. [1]), мы оцениваем убывающую перестановку /*(£) через анизотропные наилучшие приближения е1/(/)Е функции / (функциями из ШТ^я (!£")). Последние оцениваются с помощью сумм Валле-Пуссена (см. [21]), через «частные» наилучшие приближения е$(ЛЕ — «приближение по .7-ой переменной». Полученная таким образом оценка отражает анизотропию пространства типа Кальдерона А (Е, Ё). Далее, подобно тому, как это было сделано в работе [15], определяем соответствующее «среднее» наилучшее приближение )Е для систем функций (/)Е}]=ь в терминах которого получена следующая оценка (теорема 1.2.1.):

Для любой / € для любого ^ > О, г1 о

Здесь, постоянная С € М+ не зависит от /, ¿; функция рЕ(т) = —7~п есть инволюция фундаментальной функции п.и.п.

Основной результат 1.3 заключается в построении оптимального (квази)нормированного конуса Ко убывающих неотрицательных функций. Этот конус даёт точные по порядку поточечные оценки для убывающих перестановок /*(£) функций / 6 А(Е, Р) (теорема 1.З.1.). Для этого вводится обобщённый оператор Харди: действующий на функции д € где Пр — (квази)нормированный конус ограниченных неотрицательных убывающих функций из Е (Е — идеальное пространство, с помощью которого определён набор Р). В терминах оператора Н строится конус Ко, причём для к £ Ко но определению полагается := ||<?||пг» Р 6 IV из представления = #[<?](£).

Пользуясь результатами 1.1 и конусом Ко, мы получаем оценку сверху для убывающих перестановок функций из А(Е, Р) через функции из конуса Ко- Что касается оценки снизу, то для этого нужно потребовать ограниченность некоторого оператора типа Харди, (7 : П П Е Е(Т, оо), Т > О (см. формулу (1.1.11)). Здесь ^(Т, оо) есть сужение идеального

Е. о пространства F на (Т, оо). При этом, для данной функции h € Ко в явном виде строится соответствующая ей функция / € Л (Е, F), с помощью «модельных» ц.ф.э.т. и. Оптимальность конуса Ко выявляется следующим результатом (теорема 1.З.1.):

1). Для любой функции / € A(E,F) найдётся функция h £ Ко такая, что:

СоШл(Е,Р); Со € R+, С0 не зависит от /;

0; Ci € М+ ,

С\ не зависит от /, t;

2). Пусть ещё оператор G : П П F -> F(T, оо) ограничен. Тогда, для любой функции h € Ко найдётся функция / € А(Е, F) такая, что: и/| ^iwi* > ад < С3^Е(Л(Т))\\Щк+т) , * € (о, "У ;

Л(-) — некоторая замена переменных), Сг, Сз € М+ и не зависят от /, t.

Конус JFsTo является ключевым для вложения

A{E,F)<->X. (*)

Например, в случае X = вложение (*) эквивалентно вложению Ко Loo- Точнее, нами установлен следующий критерий для вложения (*) (теорема 2.2.1.):

Пусть X = Х(МП) — п.и.п.; обозначим через Х(К+) = X соответствующее пространство на R+, то есть, Тогда:

1). Вложение (*) имеет место при выполнении следующих условий:

2). Условие (1) необходимо для вложения (*). В предположении, что оператор (2 ограничен, для (*) необходимо и условие (¡1).

Отметим, что мы здесь опирались на результаты из работы [1]. В этой работе установлена, в частности, необходимость условия (1) для вложения

В этом пункте также рассматривается семейство М = {М, рм} множеств М на которых определены некоторые положительно-однородные функционалы рм (в каждом множестве — свой). В совокупность М вводится понятие «поглощения» двух множеств, которое является отношением эквивалентности. Оказывается, что два множества, эквивалентные в смысле понятия поглощения весьма подобны (в определенном смысле), и включение одного из них в некоторое банаховое функциональное пространство эквивалентно включению другого (в то же пространство). В частности, устанавливается, что конус Ко эквивалентен множеству перестановок функций из = Л.

Во второй главе диссертации строится оптимальное п.и.п. Хо для вложения (*), с помощью ассоциированного к конусу Ко п.и.п.

В 2.1 рассматривается специальное семейство Жо = {М,рм} множеств М, для которых выполняется почти вся аксиоматика банахова функ

Е{Шп) П £(1Г) Х(Жп), ю

И) ая„,я(кп) х(жп). ционального пространства (кратко, б.ф.п.) из [28]. Мы придерживаемся этой аксиоматики. Легко проверяется, что конусы и Ко лежат в этом семействе. Далее, вводятся ассоциированные пространства М' для множеств М, и доказывается, что эти пространства являются перестановочно-инвариантными. Таким образом, 0,'р и окажутся п.и.п. Отметим, что при проверке выполнения аксиом п.и.п. мы воспользовались пространствами Лоренца, свойства которых подробно изучены, например, в [18]. Это связано с тем, что для убывающих перестановок (они фигурируют в выражениях для норм ассоциированных пространств) не имеет места неравенство «типа треугольника», а лишь справедливо соотношение: + $)•(* 1 + *г) < /4*1) + ; *ь*а > О, функции /, д — измеримые (см., например, [6]). Отметим еще, что структура множества

Г(<М> 0 : /€А(Е,Р)} довольно сложная, в то время как для конуса Ко мы имеем эффективное описание в терминах оператора типа Харди, а значит, в нашем распоряжении имеется «адекватное» п.и.п. К'0.

Основным результатом 2.2 является теорема 2.2.1., которая дает полное описание оптимального п.и.п. Хо для вложения (*). Здесь отличаются два случая:

1). ¡л'Е € О!р. Ответ имеет простой вид:

Х0(Шп) = Е{Шп)Г\Ьоо{Шп); инвариантность этого пространства относительно перестановок очевидна, а фундаментальная функция такова:

Ч>Хо® = 1 + 1|Х(Л(Г)-чо1Ь(1М ^(лсп-1,со)М' * > 0•

2). ц' £ В этом случае целесообразно ввести в рассмотрение ассоциированное пространство к п.и.п. К'ц. Хорошо известно, что (К'0У тоже является п.и.п. (см. [28]) и нетрудно показать, что КЦ(0, Л(Т)-1) КЦ(0, ао) есть самое узкое п.и.п., содержащее конус К0 (см. 2.1.2.).

Отметим, что поведение убывающих перестановок функций из А(Е, Р) определяется с помощью конуса Ко для значений t близких к нулю. Этим объясняется то, что КЦ(0, ао) есть сужение оптимального п.и.п. Хо(Е+) на (0, ао). Что касается поведения /*(£) в точках, отделенных от нуля, то оно фактически отражает принадлежность функции / к Е(а.о1, оо), и здесь мы снова опираемся на результаты из [1] (см. предл. 3). Поэтому, в случае // £ 0!г, ответ значительно сложнее и для описания Хо введем весовой вариант второй перестановки функции /:

4(0 = М*-1) / .ГМ^МА-, о где вес связан с пространством Е («обычное» определение второй перестановки соответствует случаю Е = Ь\\ тогда ц>Е{Ь) = £ = и е(£) = /**(£)). Окончательный ответ в этом случае — такой:

Пусть у! и С : С1П Р -ь ^(Т, оо) — ограниченный оператор.

Тогда пространство -Xo(Rn) с нормой о

Xo:=suр||Гф^т : феЬ1Г(Ш"), |K||fi^ l} + ИГХ^Ие , где ip(t) — Jq® ф*(т) dr, (3(t) = minjj, ^^ | является п.и.п. оптимальным для вложения (*) (см. теорему 2.2.1.). Его фундаментальная функция:

VfeW = реЫФегЫ*)"1) + IIX(a0ii)IU(a0>oo)W , где 7(t) = min{a0, t}, а0 = A{T)~l, t

Vef^) = sup{/^Edr V e Q'ef = {^6 AC(R+) : 0 ^ <p(t) J. 0 : 1} •

Следует заметить, что хотя теорема 2.2.1. дает нужное описание оптимального пространства Хо, тем не менее формула (**) оказывается затруднительной для применения. Это объясняется тем, что в правой части формулы (**) участвует не сама функция ф, а некоторый ее интегральный агрегат. Ввиду этого обстоятельства, представляется желательным иметь другое, более удобное выражение для вычисления нормы в Хо, чему и по священа теорема 2.2.2.

В пункте 2.3 рассматривается важнейший пример применения ныне полученных результатов. Именно, общая теория анизотропных пространств Кальдерона применяется в случае обобщенного анизотропного пространства Бесова.

Нужно здесь отметить, что при надлежащем определении нормы в идеальном пространстве анизотропный случай можно свести к изотропному. Это обстоятельство дает возможность использовать результаты из работы [10], где обстоятельно разобран изотропный вариант. Таким образом, основываясь на вышеуказанной работе, можно описать пространства 0!Е и Хо — оптимальное п.и.п., в случае пространств Бесова

Предметом исследования в третьей главе являются пространства Аа (Мп) функций, непрерывных по Липшицу, состоящие при 0 < а < 1 (мы ограничимся этим случаем) из таких функций / 6 Ь^Ш1), для которых для некоторого А > 0, не зависящего от € К", выполняется неравенство: изучены (см., например, [25]). М. Тэйблсоном доказано, что для того, чтобы / € Ла при 0 < а < 1, необходимо и достаточно, чтобы

Норма в Ла задается формулой: х + г)-/(х)\ щ* где

Ц(х,у) = (Ру * /)(х) := I Ру(х - у)/(у) <*у

Жп интеграл Пуассона от функции /, (ядро Пуассона).

Мы переносим этот результат на случай дробных производных (от интеграла Пуассона) порядка (3, где 0 < /3 < 1.

В 3.1 кратко изложены основные свойства интеграла Пуассона, приведена теорема (М. Тэйблсона) о характеризации пространств Аа с помощью гармонических продолжений.

Существуют различные подходы для определения дробных производных. Эти определения, вообще говоря, не эквивалентны. В интересующем нас случае, удобными оказались так называемые дробные производные Ли-увилля, так как для них имеет место обычная (то есть как для производных целого порядка) формула дифференцирования свертки (см. лемму 3.2.7.). Кроме того, Лиувиллевские производные обладают «хорошими» свойствами (в том числе и полугрупповым), упомянутые в 3.1.3-3.1.4.

Детальное изучение этих и других вопросов, приведено в [22], где также можно найти обстоятельный исторический очерк и подробную литературу по этой тематике.

Дробное интегродифференцирование интегралов, зависящих от параметра, в том числе и сверток, рассмотрено в 3.2. Надо отметить, что исходное определение Лиувиллевских производных не полностью приспособлено к нашим целям, так как, например, для постоянной функции такой производной не существует. Это обстоятельство не позволяет перенести теорему М. Тэйблсона на случай дробных производных без дополнительных предположений относительно функций из Аа. Эта трудность преодолена в 3.2.1, где вводятся «модифицированные» дробные производные и показывается, что для достаточно гладких функций эти два определения эквивалентны. Совпадение этих производных будет иметь место, например, для интегралов Пуассона. Таким образом, условие модифицированной производной, наложенное нами, не вызывает дополнительных затруднений для получения нужной характеризации пространств Аа.

Применительно к ядру Ру{х), результаты из 3.2 позволяют получить в 3.3 поточечные оценки для дробной производной D^Py(x) (0 < ¡3 < 1), являющиеся «дробным аналогом» соответствующих оценок, приведенных дР (х) в [25, § 4] для частной производной —^—Подобная же ситуация имеет оу место и по отношению к оценкам Iq-норм для D^Py(x).

Далее, при 0 < /3 < 1 и при любом у > О, справедливы следующие формулы: у) = (Е$Ру(х)) * /(*), / € МИЛ ; J D$Py(x)dx = 0.

Rn

Эти равенства приведены в 3.4.

Основным результатом этой главы, обоснованным в вышеуказанном разделе, является теорема 3.4.1.:

Пусть / € ¿оо (Мп), 0 < а < ¡3 ^ 1. Для того, чтобы функция / принадлежала пространству Ла(Еп), необходимо и достаточно, чтобы

11^^)11^») < > 0; (В.1) где А € М+ не зависит от ж, у.

Если А* — наименьшее значение постоянной А, для которой выполняется (В.1), то ||/|и+А* является нормой, эквивалентной норме ||/||Л .

0.1. Описание обозначений

1). Повсеместно символ := будет означать, что величина стоящая слева от него, определяется выражением, стоящим справа. Нумерация формул в тексте сплошная и состоит из трех чисел (слева-направо: первая цифра соответствует номеру главы, вторая указывает на раздел внутри главы, а третье число — собственный номер формулы внутри раздела. Например, (2.1.6) будет номером шестой формулы из первого раздела второй главы. Номера теорем, лемм, и т.д. совпадают с номерами раздела, где они помещены. Ссылка на формулу, теорему, и т.д. дается соответствующим им номером.

Через т, к, г будем обозначать индексы, как правило, пробегающие множество N0 := {0,1,2,.}. Индекс j всюду будет пробегать множество {1,2,., п}, где п — натуральное (заданное) число, обозначающее исключительно размерность евклидова действительного

1 /О пространства Еп точек х = (х\,. ,хп)ш, |ж| = х?) . Далее, з (0, оо) — действительная полупрямая.

Мы тоже будем пользоваться стандартным обозначением: Для измеримого1) непустого множества С Кп:

• С (О) — банахово пространство равномерно непрерывных ограниченных на функций.

• Ьр(0), 1 ^ р ^ оо — множество классов измеримых эквива

Всюду в тексте: термин «измеримость» будет означать «измеримость в смысле Лебега», интегралы будут пониматься в смысле Лебега; тез П — мера Лебега множества П. лентных (то есть, равных почти всюду в функций /(ж), для которых конечна норма:

Ь } (0.1.1) вируга! |/(ж)|; р = оо2^ х€П

Сопряженный показатель к р обозначим через р', то есхь 1+1 = р р

1, при этом 1' = оо, оо' = 1.

Там, где это не приведет к путанице, вместо ^ будем писать просто ||-||р. Всюду ||/|[у обозначает норму элемента / в пространстве X.

• 1 ^ р ^ оо — множество функций /, определенных на Г2 и таких, что для любого компакта К С / € ЬР(К).

• ЛС(0,) — множество абсолютно-непрерывных на Г2 функций

• Через аг > 0, 1 ^ р, в ^ оо обозначим классическое изотропное пространство Никольского-Бесова; ££»(0) =

• Аф — пространство Лоренца, состоящее из таких функций /, для которых конечна норма:

00 и/||л,:= / тт), о где ф — вогнутая, возрастающая на [0, оо) функция, ф(0) = О, ф{£) ф 0, а /* — убывающая перестановка функции / (то

2)В случае, когда тез П > 0; при тезП = 0 положим ||/||г /Г1,= 0. есть неотрицательная убывающая непрерывная справа на (0, оо)

• Ла(Еп), 0 < а < 1 — банахово пространство функций, непрерывных по Липшицу с нормой:

Следуя [21], знак <С мы будем употреблять в случаях, когда некоторое неравенство выполняется с универсальной константой, которая зависит разве лишь от несущественных для нас параметров и точное значение которой нас не интересует. Две величины назовем эквивалентными х, если каждая из них другой (с разными константами).

Далее, <р (<£> 4-) обозначает возрастание (убывание) функции <р; Хц — характеристическая функция множества О.

2). Преобразование Фурье (обобщенное) функции / обозначим 5Г/; его обратное — З"-1/

Ядро Пуассона Р.оппелеляется (Ъотжулой: функция, равноизмеримая с /) у > О, х € Кп.

Для / € ЬР(Ш1), 1 ^ р ^ оо ее гармоническое продолжение часто называют интегралом Пуассона функции /. Лиувиллевские дробные интегралы и производные порядка ¡3 € (0,1) будем обозначать, соответственно: D13. Подробнее, для заданной на R функции /, 0 < (3 < 1, назовем дробным интегралом порядка /3 следующий интеграл (если он конечен): оо := щ J(t- xf-lf{t) dt, -оо < г < +оо; х а интеграл (если он конечен) оо

D^f) (х) := f{t- х)~р№ dt, -оо<х<+оо, х назовем дробной производной порядка ¡3 от функции /.

Ради удобства, мы будем пользоваться единообразным обозначением для дробных интегралов и производных:

DPf = i~Pf= ~lf, ( (/£) -1 обращение операции ; ¡0f = D-Pf = ? ^ (£>/?) -1 обращение операции ;

D°f = I°f = /.

Для целых (3, под «дробной» производной порядка /3 будем понимать «почти» обычное дифференцирование:

3). Напомним, что функция дДх), х € Мп называется целой функцией экспоненциального типа и = (г^,., */„), щ > 0 3\ если для нее выполняются следующие условия:

1) — целая функция по всем переменным, то есть она разлагается в абсолютно сходящийся на всем Сп степенной ряд:

0) = ^ аки-,кЛ1 • • • 4П' к^О

2) Для любого е > 0, существует Д. > 0 такое, что для всех 2 = (21,., 2П) выполняется неравенство: quiz)| ^ Асехр + . з

Для 1 ^ р ^ оо, подпространство в Ьр(Жп) целых функций экспоненциального типа V (кратко ц.ф.э.т. и) часто обозначают через Функции из этого подпространства часто называют функциями с ограниченным спектром, поскольку они допускают эквивалентное описание в образах Фурье, а именно (теорема Пэли-Винера):

9Я„)Р(МП) = е Ьр(Жп) : йирр (¡[и С 0>} , где

У '= {(6» • • •, Сп) € : <ц}— п-мерный брус.

Всюду будем обозначать (1/1,., ип) с ^ > 0 просто через и.

1. Берколайко М.З., Овчинников В.И. Неравенство для целых функций экспоненциального типа в симметричных пространствах. // Тр. МИАН, 1983. - Т. 161. - С. 3-17.

2. Бесов О.В. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения // Тр. МИАН, 1961. Т. 60. - С. 42-81.

3. Бесов О.Б., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М: Наука, 1975. 480 С.

4. Брудный Ю.А., Шалашов В.К. Липшицевы пространства функций // Метрические вопросы теории функций и отображений. Киев, 1973. -С. 3-60.

5. Вуренков В.И. Функциональные пространства. Пространства Ьр. М.: Изд-во УДН, 1987. 77 С.

6. Вуренков В.И. Функциональные пространства. Основные интегральные неравенства, связанные с пространствами Ьр. М.: Изд-во УДН, 1989. 94 С.

7. Голъдман M.JI. О вложении разных метрик для пространств типа Кальдерона. // Тр. МИАН, 1988. Т. 181. - С. 70-94.

8. Голъдман M.JI. Об одном вложении обобщённых пространств Бесова и Лоренца. // Функ. пр-ва и их прим. к диф. уравнениям. РУДН, 1992.- С. 46-67.

9. Голъдман M.JI. Точные оценки норм операторов типа Харди на конусах квазимонотонных функций // Тр. МИАН, 2001. Т. 232. - С. 115-143.

10. Голъдман M.JI., Керман P.A. Об оптимальном вложении пространств Кальдерона и обобщённых пространств Бесова. // Тр. МИАН, 2003.- Т. 243. С. 161-193.

11. Голъдман М.Л.,-Энрикес-Ф.Э.Оптимальный конус для перестановок функций из анизотропного пространства Кальдерона. М., 2003. -15 С.- Рус. Деп. в ВИНИТИ, 22.12.2003, № 2221-В2003.

12. Голъдман М.Л., Энрикес Ф.Э. Об одной оценке перестановок в симметричном пространстве. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003.- № 10(1). (в печати).

13. Дьяченко М.И., Ульянов П.А. Мера и интеграл. М.: Факториал, 2002. 159 С.

14. Калябин Г.А. Теоремы вложения для обобщённых пространств Бесова и Лиувилля. // Докл. АН СССР, 1977. Т. 232, - № 6. - С. 1245-1248.

15. Коляда В.И. О вложении в классы ip(L). // Изв. Акад. Наук СССР. Сер. Мат., 1975.- Т. 39. № 2. - С. 418-437.

16. Коляда В.И. О вложении в классы. // Изв. Акад. Наук СССР, 1975. Серия мат. МИАН, 2003. Т. 39, - № 2. - С. 418-435.

17. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функций и пространства Орлича. М.: Совр. проблемы математики, гос. изд. Физ.- мат. литературы, 1958. 271 С.

18. Крейн С.Г., Петунин Ю.П., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука. 1978. 400 С.

19. Нетрусов Ю.В. Теоремы вложения пространств Бесова в идеальные пространства // Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, -Т. 159. - С. 69-82.

20. Нетрусов Ю.В. Теоремы вложения пространств Лизоркина-Трибеля // Записки научных семинаров ЛОМИ. Л.: Наука, - Т. 159. - С. 103-112.

21. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 С.

22. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 С.

23. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. // ЛГУ, 1950. Новосибирск: 1962.

24. Справочная математическая библиотека. Функциональный анализ. -М.: Наука, 1972. 544 С.

25. Стейн Илайес М. (Stein Elias М.) Сингулярные интегралы и диффе-рециальные свойства функции. М.: Мир, 1973. 340 С.

26. Стейн И.М., Бейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 С.

27. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж.Е., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 С.

28. Bennet С., Sharpley R. Interpolation of Operators. // Pure and Applied Math., 1988. V. 129.

29. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method. // Studia Math., 1964. V. 24. - P. 113-190.

30. Gogatishvili A., Pick L. Discretization and anti-discretization of rearrangement invariant norms. // Preprint № MATH-KMA-2001/70. Charles Univ. Prague, 2002. P. 1-37.

31. Goldman M.L. On imbedding constructive and structural Lipschitz spaces in symmetric spaces. // Trudy Mat. Inst. Steklov. 1986. V. 173. -P. 93117.

32. Goldman M.L. On integral inequalities on the set of functions with some properties of monotonicity // Teubner-Texte zur Mathematik. 1993.- B. 133. Function spaces, differential operators, functional analysis. Stuttgart, Leipzig, P. 274-279.