Теоремы вложения классов измеримых функций из пространств Лоренца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени МоВ.Ломонссэва

РГ8 Ой

f,

Иоханико-чатвизукческий факультет

Нз правах рукописи

АГАНЙН АНДРЕЙ ИВАНСВИЧ

УДК 517.51

ТЕОРЕМЫ ВЛСИЕНИЯ КЛАСССЗ'ИЗМЕРИМЫХ ФУНКЦИЙ . ИЗ ПРОСТРАНСТВ ЛОРЕНЦА

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических ааук

МоскБа 1Э93 г.

Работа выполнена на кафедре теории функций а Функционального анализе ыеханико-аатематического факультета Московского государственного университета имени М.В Ломоносова

Научный руководитель-доктор физЕко-махеиатических наук,

профессор У.К.Потапов. Официальные оппоненты:доктор физико-иатематических наук,

профессор С.Ь.Успенский; кандидат физико-математических наук Н.Л.Кудрявцев.

Ведущая организация-Московский физико-технический институт.

Защита диссертации состоится " /3 " С^Хббс^ЗУъЛ 1993 г, £ 16 час. С5 иин. на заседании специализированного совета Я.С55.С5.0 при Московской государственном университете киенн й.В,Ломоносова по адресу: 119899,ГСП,Москва, Воробьевы Горы, МГУ, механико-катеыатичесяий факультет,, аудиторий 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 эта!:).

Автореферат разослан " /5~" с&с/ШилЛУг^Л 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.©3.СБ.04 при 51 ГУ, профессор

Т.П.Лукашенко

I.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Диссертация посвящена гзученив воцроса о нахождении необходимых и достаючных условий для вложения некоторых классов функций из пространств Лоренца.

Актуальность темы. Одна из основных задач теории вложений состой? в нахокдении необходимых и достаточных условий для вложения одного класса функций в другой.

Первые теоремы вложения для классов функций одного переменного получил Е.Титчыара [дЗ . Эти результаты были усилены Г.Харди и Д. Литтлвудоы [2] .

В ЗО-е годы, в связи с решением некоторых задач математической физики» возникла необходимость в изучении пространств дифференцируемых функций многих переменных. С.Л.Соболевыи £зЗ было положено начало общей теории вложений этих пространств.

Далее, С.и,Никольский м была построена теория вложений классов функций многих переменных, частные производные которых удов-

ЩЧи&ктлп^А, ¿С. СЬ пой, оп, и/ш/с Ь'Шъфгауи.

[г] ЖйлсСи вЖ.,&Шш<>а1 ¿1 (иж&гфлсе ъсоп. %г Зошиек тиы. Шл&ь*

[з] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л., Изд-во Ленинград.ун-та, 1950, с.1-255. Р*3 Никольский С.М.Неравенства лля целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных. Труды МИАН СССР, 1951, т. 38, с. 2И-278.

летворягт условиям Гельдера. Разработанные С,И,Никольский методы с.;нованы на приближении функций тригонометрическими полиномами или целыми функциями экспоненциального типа. Впоследствии эти негоды были использованы О.В.Бесовым {V] при построении аналогичной теории влохений В -классов. К С.Л.Соболеву восходи? другой ваяний метод теории вложений - ыетод интегральных представлений. Этот метод получил большое развитие в работах В.П.Ильина в О.В.Бесова

Ы •

Значительное место в дальнейшей развитии згой тематккй занимает работы Я.С.Бугрова, В.И.Буренкова, Л.Д.Кудрявцева, П.Й.Лизоркяна, С.В.Успенского, Г.Н.Яковлева и других (см, библиографию, например, в И ).

В 50-е годы в связи с реиением некоторых задач теории прнблияа-ний и теории рядов Фурье возник интерес к пространствам функций

,/СО -

Пр , гладкость которых не обязательно степенная, а определяется модулем непрерывности общего вида. В 60-е годы П.Л.Ульянов [в]

[5] Бесов О.В.Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения, Труды ПИАН СССР, т. 60, 1961, с. 42-81.

[6] Бесов О.В.,Ильин В.П.«Никольский С.Ц. Интегральные представления функций и теоремы вложения. К.,"Наука", 1975, с. 1-480. [?] Никольский С.К. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. И.,"Наука", 1977, с. 1-455.

[б] Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Нр ¡•¡зв. АН СССР, сер.матеы., 1968, т. 32, й 3, с. 649-686.

разработал теории влоаэния классов Нр в другие функциональные пространства в одномерном случае» а такяд поставил ряд задач о нахоздении необходимых и достаточных условий для вложений такого типа. Разработанные П.Л.Ульяновым методы основаны на оценках значений невозрастающих перестановок функций.

Впоследствии эта тематика и,методика получили большое развитие как у нас в страна, так. и за рубежом (сц. библиографию, например, в [9] )♦

Интенсивное развитие теории интерполяции линейных операторов вызвало з последние годы большой интерес к пространствам Лоренца. Сейчас иного внимания уделяется злояению классов функций из пространств Лоренца в различные функциональные пространства.

В связи с мзлсгвнкыы, актуальной является задача о нахождении необходимых и достаточных условий для влоаения классов функций из одного пространства Лорёнца в классы функций из другого пространства Лоренца. . ;

: ;Цель работы. Целью работы является нахождение-необходимых и достаточных условий для вложений Н -классов и ^-классов из пространств Лоренца в другие пространства Лоренца, в //-классы и'в £*-классы из других пространств Лоренца.

■ Методика исследования. В работе попользуются методы теории функций, методы и результаты функционального анализа.

Научная новизна. Все полученные в работа результаты являотся новыми. Основные из них следувгдао!

Й Коляда В.И., Потапов М.К., Стороаенко ЭЛ. О теоремах вложения. Труды 4-ой зимней школы. Саратов, 1990, ч. I, с. 12-21.

1.Получены точные неравенства Никольского для нора тригонометрических полиномов, б метриках различите пространств Лоренца з случаях, когда фундаментальные функции пространств Лоренца

15 отличаются друг''от друга на логарифмичес-

кий множитель.

2.Получены необходимые и достаточные условия для вложений ¡и)

з случаях, когда фундаментальные функции пространств'Лоренца

/I

(и, ^ Е отличаются друг от друга на логарифмичес-

кий множитель.,

3»Получены необходимые и достаточные условия для вложений

з случае, когде фундаментальные■функции.просгрансзв Лоренца

/fç'g s Ля 2 обличаются друг от друга,' грубо говора, на степенной мнозитеиь.

Теоретическая и практическая ценность» Работа носит теоретический характер. Полученные результата когут найти применение в теории вложений и теории дифференциальных уравнений.

Апробация диссертации» Результаты диссертации докладывались на научном семинаре МГУ по теорщ тригонометрических ж ортогональных рядов под руководством члена-корроспондейта РАН ПЛ,Ульянова, профессора М.Е.Потапова, доцента М,й.Дьяченко; не научном сешшара МГУ по теории приближений под руководством профессора М.К.Поталова; на научно-теоретических конференциях ысшодых ученых ыеханико-мате-ыатического факультета МГУ в 1990 и Ï99I гг.; на б-й Саратовской

зимней школе по теории функций и приближений в 1992 г.

•Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, каждая из'которых-содержит.по два параграфа, списка литературы,;'-включающего в'себя 36 наименований. В каждой главе проставлена своя нумерация математических утверждений. Общий объел диссертация - 141 страница.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

■Зо введении.дан краткий исторический обзор результатов по тематике диссертации, показана актуальность теш, приведены постановки задач и сформулированы основные результаты работы.

Введём некоторые определения и обозначения.

Функция называется ^-функцией,. если ^(б) -непре-

рывная, • неубывающая, вогнутая на, отрезке Е01&8Ю функция, причем ' - Определяются соответственно "нианий" и "верх-

ний", индексы 9?"ФУнаяиа ■' ■ следующим'образо»:

' .¿-тж'.;

" .Пусть даны положительное число Л" и У-функция ,

тогда квазинормированноз пространство Лоренца • //^ определяется как класс всех -периодических измеримых функций , для каждой.из которых'конечна квазинорма.

где -незсзрастакгдая на (О,^! функция, равноззме-

риная с функцией ¡<£(&У ,

б.

Пусть С0(£) -непрерывная, неубывающая на отрезке функция, удовлетворяющая условиям со{Р)= Оу шС^+^^сс^^^г^) при ^«^з^г^ • Такие функции называются модулями

непрерывности.

Если.заданы пологителъное число , ^-функция и

модуль непрерывности СО(6) , то через обозначается

множество всех тех функций • ®я каждой из которых

Если /¡^ , ю величина

д.

называется наилучшим приближением функции тригонометри-

ческими полиномами Тп,{£) порядка не выше, чей /2- I, ¡Т-^/М % в пространстве Ащр

Если заданы положительное число ' ^-функция ^Сф)

и последовате1Ьность положительных чисел Я Щ ■ такая,

что при Jьfao , то через обозначается

множество всех тех функций &/4» для каждой из кото-

рых

Пусть

и &М

-положительные функции от ,

. Будем писать

, если существуют положительные константы С^ и С-&. , не зависящие от ,

такие, что

Ав^вм^сл^)

о

при любом

Пусть Цр - множество тригонометрических полиномов вида

где У а -целые числа такие, что О .

Будем обозначать

Пусть .¿щ'1Н/ , , -б&С^Ж] . Обозначим

через ПцС^) и Пе^) следующие функции

су

где

__ Гесм

Чг-г——' < 9

где константа подбирается, из тех соображений, чтобы

где [^<$>< 00 ' бьиа ^-Функцией, если таковой является функция . ■ ' •

Будея обозначать' •

■ - &

Перейдем теперь к изложению результатов первой главы. Параграфы I и 2 этой главы содержат зсе вспомогательные утверждения, на базе которых доказываются основные результаты работы. Следующее

3.

утверждение является основным результатом, получзнным в первой главе.

Утверждение I. Пусть даны' ^-функции ■ ц %&) » и

числа ^ , ^ и такие, что /< а^ X ,

^о^ < 00 ^ Пусть тригонометрический полином

&

В параграфах I и 2 второй главы рассматриваются условия, соответственно достаточные или необходимые, для вложения Н-классов из пространств Лоренца в другие пространства Лоренца,.в //-классы в в ¿"-классы из других пространств Лоренца в случаях, когда фундаментальные функции пространств отличаются друг от друга на логарифмический множитель. Кроме .того, рассматриваются условия, соответственно достаточные или необходимые, для вложения Н -классов в £-классы в случае, когда фундаментальные функции пространств отличаются друг от друга, грубо говоря, на степенной множитель. Следующие два утверждения являются основными результатами, полученными во второй главе.

Утверждение 2.'Пусть даны ^-функции и %/£.) ,

55 числа , ^ к такие» что /< еСщ <£з

< 00 • п*'сть и -модули неп-

рерывности, А ~ 1 ~ последовательность положительных

а

чисел такая, что ^Ю при ^ °° . Тогда

а)

¡5)

С ШЩ/и)

я) если , то

-"-¿¿Ж-----/

Отметим, что утверждения 2а) и 26) при , 00 ,

есть результаты Л.А. Шерстневой £юЗ с уточнением Л.В. Матвиюк' [1]^ .

Утзерядение 3. Пусть даны ^-функции и , и

числа $ и ^ такие, что <4^ ^¿Рк <

(}ф ПуС1Ь -модуль непрерыв-

ности, " последовательность положительных чисел

такая, что Я^Ф 0 при Л-f . Тогда

[ю] Шерстнева Л.А. О вложении некогор'ис классов измеримых функций из пространств Лоренца. Канд.дисс., У., 1936, с.1-№. [иЗ Мат вит Л.В.Теоремы вложения классов функций с заданными мзго-рантаыи модулей непрерывности "(наилучших приближений).Канд.дисс., Одесса, 1990, с. 1-115.

10.

Отметим, что при fa^^i

■утверждение 3 есть результат Ы.А. Яайнибеко-

вой [12] .

В параграфах I и 2 третьей главы рассматриваются условия, соответственно достаточные или необходимые-, для вложения Е -классов из пространств Лоренца " в другие пространства'Лсренц'а, в £"--классы ив //--классы из других пространств Лоренца в случаях, когда фундаментальные функции пространств отличаются друг от друга на логарифмический множитель. Кроне того, . рассматриваются условия, соответственно достаточные или необходимые, для вложения £-классов в //-классы в случае, когда фундаментальные функции пространств отличаются друг от. друга, грубо говоря, на степенной ; множитель. Следующие два утверждения являются основными результатами, полученными в третьей главе.

Утверждение 4. Пусть даны ^-функции и ,

и числа ^ , ^ и ^ такие, что < „

. Пусть ¿¿У^-модуль непрерывности, ^ ~ -последовательности положительных

[12] Еайнибекова М.А. О соотношениях между модулями непрерывности и наилучшими приближениями в разных метриках и некоторые многомерные теоремы влояения. Канд.дисс.,Алма-Ата,.-1985, с. 1-90.

. Тогда

а)

б)

Ь^л^с^^/^^ --гк

в) если последовательность /I ■=■ обладает еще тем

- ^

сзойством, что: .2—, Ли,

Отметим, что утверждения 4а) и 46) при£=/, ©о, ф-0 есть результаты Л. А. ¡Перстневой [ю] .

Утверадение .5. Пусть даны . У-функцнн %(£)■ я ., н числа £ и & такие, что<< «2,

^ . пусть -модуль непре-

рывности, у] ^ ¡ГД^ая/ - последовательность положительных чисел такая, что /1л./^ при 00 , обладающая теы свойствен, что } . Тогда

/и»*,

Отметим, что при -

утверждение 5 есть.результат М.Б.Сихова£1з] для таких последовательностей /1 ^//Ьи^л-у' , как в утверждении 5.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору М.К.Потапову за постановку задач, постоянную поддертау., внимание и деятельную помощь в работе. ■

£в] Сихов М.Б. О некоторых соотношениях между 'модулями гладкости и наилучшими приближениями тригонометрическими полиномами в разных метриках. Канд. дисс.,, Алма-Ата, 1988, с. 1*125.

Публикации по теме диссертации.

1.Аганин А.И. О некоторых соотношениях меаду наилучшими приближениями и модулями непрерывности в разных метриках пространств Лоренца и теоремы влояения..Сб. "функциональный и стохастический анализ а их приложения", М», Изд-во Московск.ун-та, 1991, с. 3-5.

2.Аганин А.Й.О влояении пространств Лоренца. Сб."Избранные вопросы алгебры, геометрик и дискретной математики". М., Изд-во Московск. ун-та, 1992, с. 6-8.

3.Аганйн А»й» Соотношения'мезду модулями непрерывности в разных метриках-'пространств Лоренца и теоремы вложения. Рукопись дел. ВИНИТИ.РАН, 01.04.93, Й814-В93, с. 1-23.