Свойства топологических пространств типа связности и метризуемости и селекции многозначных отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Пример периферически счетного локально связного континуума, не являющегося линейно связным

1.1. Описание конструкции

1.2. Доказательство

Глава 2. Топологическая структура на множестве непрерывных функций с различными областями определения.

2.1. Пространство F(U) .!.

2.2. Обобщенная метризуемость

2.3. Свойства типа метризуемости пространства F(U)

2.4. Пространство F*(U)

Глава 3. О продолжении полунепрерывных сверху и близких к ним селекции полунепрерывных снизу многозначных отображений

3.1. Обобщенный метод покрытий

3.2. Селекционные теоремы

3.3. Результаты, связанные с измеримостью многозначных отображений

Первая глава диссертации посвящена классификации локально связных континуумов по свойствам родственным связности.

Метрические сепарабел!ные локально связные континуумы в настоящий момент достаточно хорошо исследованы. Соответствующая теория изложена в монографиях Дж.Уайберна [38] и К.Куратовского [6].

Локально связные континуумы в общем случае, который и рассматривается в настоящей работе, имеют гораздо более тонкие и разнообразные свойства и являются предметом интенсивного изучения. Общий обзор теории локально связных континуумов дан в статье Дж.Нике-ла, Х.М.Тункали и Е.Д.Тимчатина [32].

Напомним, что разреженным называется такое топологическое пространство, каждое непустое подмножество которого содержит изолированную в себе точку.

Топологическое пространство называется периферически конечным (соответственно периферически счетным, периферически разреженным или периферически метризуемым), если его топология имеет базу, граница каждого элемента которой конечна (соответственно счетна, разрежена или метризуема).

Класс 1 всех локально связных континуумов подразделяется на следующие основные подклассы:

М — метризуемые локально связные континуумы;

М' — периферически метризуемые локально связные континуумы;

Mq — локально связные континуумы, обладающие базой открытых множеств, каждый элемент которой имеет метризуемую нульмерную границу;

Т — периферически конечные локально связные континуумы;

TZ — периферически счетные локально связные континуумы (рациональные континуумы);

J — периферически разреженные локально связные континуумы;

V — дендриты (локально связный континуум X называется дендритом, если для любых двух точек х, у € X, х ф у, существует точка z £ X, такая, что х и у принадлежат различным компонентам связности множества X \z);

С — непрерывные образы упорядоченных континуумов;

У — конечно-суслинские континуумы (континуум X называется конечно-су слинским, если для любого семейства В попарно дизъюнктных невырожденных подконтинуумов и любого открытого покрытия U континуума X семейство элементов В € В, не являющихся подмножествами ни одного элемента U € Ы, конечно); — наследственно локально связные континуумы (континуум является наследственно локально связным, если любой его подконтинуум локально связен);

А — линейно упорядоченные континуумы;

А' — линейно связные локально связные континуумы (континуум X линейно связен, если для любых двух точек х, у £ X, х ф у, существует упорядоченный континуум У, такой, что х\у е Y С X).

Имеют место следующие соотношения:

Л —> V ——> у —>Н—> П —У J

А'

С П Я = С П J, 11 ф J, 11<£С, К<£А'

Символ -—> на диаграмме обозначает строгое включение.

Исследования локально связных континуумов имеют давнюю историю. В 1914 г. была доказана широко известная теорема Хана-Мазурке-. вича-Серпинского, [20], устанавливающая включение АЛ С С: Хаусдор-фово пространство является непрерывным образом замкнутого отрезка [0,1] действительных чисел тогда и только тогда, когда оно есть метризуемый локально связный континуум.

В 1960 г. С.Мардешич [26] доказал, что Л' ф X. Отсюда и из того, что С С Л' он вывел неравенство С ф X. Включение С С Л' было доказано позднее в [21,36]. В 1967г. С.Мардешич [27] установил, что С С М'. Примерно в 1974 г. А.Е.Брауер [17], Дж.Л.Корнет [18] и Б.Дж.Пирсон [33] дали независимые доказательства включения V С С. Затем в 1975г. было показано, что Т С С, [34,37]. В 1977г. появилось доказательство того, что У'С С, [35], и в 1988 г. было установлено включение К С С, [30], в то время как были хорошо известны соотношения A CV С F С У С Н к МОП С МОП ([38,35] и др.). Тот факт, что Н С С вместе с характеризацией континуумов в классе С, [29], дают доказательство включения % С И, [30]. В 1991г. Дж.Никел, Х.М.Тункали и Е.Д.Тимчатйн доказали, что С П J С С П 71, [31], и 71 <£ С, [32]. В 1994г. В.В.Филиппов и автор настоящей диссертации [4] установили неравенство 71 ф J.

Наконец соотношение 11 <£ Л' является результатом диссертации. В первой главе строится пример периферически счетного локально связного континуума, не являющегося линейно связным, который решает поставленную в [32] проблему: 7Z С Л'?

Во второй главе диссертации изучается топологическое пространство функций с различными областями определения.

Такие пространства вошли в математику в связи с попытками построения аксиоматического подхода к теории обыкновенных дифференциальных уравнений (С.К.Заремба [40], 1937г.). Затем они расt сматривались как в связи с указанным приложением, так и как предмет исследований с позиций чистой общей топологии (Ч.Ключный [23],

Дж.А.Йорк [39], П.Бранди, Р.Кепителли [15,16], Л.Гола [22]).

Дж.А.Йорк описал топологическую структуру на множестве максимально продолженных в обе стороны решений обыкновенного дифференциального уравнения. ,

Элементами рассмотренного им пространства S являются непрерывные функции, определенные на открытых интервалах действительной прямой R со значениями в сепарабельном метрическом пространстве М, графики которых замкнуты в некотором фиксированном локально компактном подмножестве W произведения R х М. Эти функции также удовлетворяют ряду дополнительных условий. Топология на S определяется через сходимость. Последовательность Z{ сходится к элементу z тогда и только тогда, когда для каждого компакта К, принадлежащего области определения ir(z) функции z, К С тт(z;) начиная с некоторого г, и последовательность Z{\k равномерно сходится к

Ак

Для подмножества S*P7 = {(t,^) : t £ п(z), z £ S} топологического произведения S х W была доказана метризуемость.

Развивая идеи С.К.Зарембы, Ч.Ключного и К.Куратовского [24,25], В.В.Филиппов [11] ввел и в дальнейшем исследовал пространство CS{U) как одно из основных понятий в аксиоматической теории пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений, существенно опирающейся на общетопологические методы.

Пространство CS(U) состоит из непрерывных функций, определенных на замкнутых отрезках прямой R со значениями в Rn, графики которых находятся в фиксированном открытом подмножестве U произведения R х Rn. CS(U) по определению является подпространством пространства ехрс U и наследует многие его "хорошие" свойства.

Позднее В.В.Филипповым [13] были исследованы пространства C^{U) и C~(U) непрерывных функций, определенных на открытых справа и соответственно слева полуинтервалах, графики которых замкнуты в U.

Базу топологии пространства Cf(U) составляют множества вида

V(*o ,t,6,e) = = {zeC+(U) : ten(z), inf Tv(z) - inf 7r(zo)| < 5, ||2|7Г(2)П7Г(20)П(ОО)4] - 2о!тг(г)П7г(го)П(-оо,*]!1 < z0 e C+{U), t <E tt(z0), S,£ > 0, где || || обозначает норму равномерной сходимости. Для C~(U) база определяется аналогично.

Было доказано, что Cf(U) и C~(U) сепарабельны и метризуемы.

В настоящей работе исследуется объект, включающий в себя вы-шерассмотренные пространства как частные случаи.

Пусть U — локально компактное подмножество топологического произведения R х М, где М — сепарабельное локально компактное метрическое пространство. Рассматриваемое здесь пространство F(U) предствляет собой множество всех непрерывных функций, определенных на всевозможных связных подмножествах R, графики которых лежат в U и замкнуты в U. Так же как и в рассмотренных выше случаях топология на F(U) обобщает естественным образом топологию равномерной сходимости.

F(U) = CS(U) U C*(U) U C~(U) U Cf(U), где CS(U) — непрерывные функции, определенные на замкнутых отрезках;

Cf{U) — непрерывные функции, определенные на открытых справа полуинтервалах;

C~(JJ) — непрерывные функции, определенные на открытых слева полуинтервалах;

Cf{U) — непрерывные функции, определенные на открытых ин- • тервалах.

Топология на F(U) определяется следующим образом.

Множества C9{U), C+{V)\JC8(U)t C~{U)\JCS{U) открыты в F{U).

Пусть z : [^1,^2] —> M — элемент CS(U). Последовательность Zi : [^1,^2] М, Zi G CS(U), сходится к z тогда и только тогда, когда • множество функций {zi : г < оо} равностепенно непрерывно, t\ £ь

4 ll^llti^lnltbtal - 2l[ti,f2]nttbt2]ll -> 0 при i -> ОО. .

Пусть 2 : [ti, ^2) М — элемент C*(U). Последовательность Zi € CS(U) и C+(U), Zi : [4,4] м или Й>4) сходится к 2 тогда и только тогда, когда для любого £, £1 < £ < £2, начиная с некоторого i t\ > t, к последователность сходится к в смысле сходимости в множестве Ca(U). Аналогично определяется сходимость в CJ(U).

Если z £ Cf{U), z : (£1,^2) -> М, то последовательность Z{ Е сходится к г в том и только в том случае, когда для любых tt'\ t{ < . ' t' < t" < £2) начиная с некоторого i inf 7г(^) < t' < t" < sup7r(z2-), и последовательность |[f сходится к z\[tt>tn] в подпространстве Cg(U).

Пространство F(U) является Ti-пространством, однако хаусдор-фовым оно может и не быть.

В данной работе пространство F(U) исследуется в первую очередь на предмет метризуемости и обобщенной метризуемости. Использование обобщенной метризуемости дает новый подход к описанию таких пространств.

Топологическое пространство X называется обобщенно метризу-емым или о-метризуемым о-метрикой р, [7], если существует неотрицательная функция р : X х X —> обладающая свойствами:

1) р(х,у) = О тогда и только тогда, когда х = у;

2) множества вида {у 6 X : р(х, у) < б}, е > 0, х 6 X составляют базу открытых множеств пространства X.

Если, кроме того, для каждых x,y,z Е X р(х,у) < p(x,z) + то о-метрика р называется Д-метрикой, а пространство X А-метризуемым.

Пространство F(U) в общем случае метризуемым не является, тем не менее оно А-метризуемо. Общие утверждения о метризуемости можно получить лишь для подмножеств F(U) определенного вида. Так, пространства CS(U)\JC+(U) и CS(U)\JC~(U) метризуемы. Кроме того, каждое регулярное подмножество пространства F(U) метризуемо.

Пусть Z С CS(U). Соответствующее подмножество Fz(U) определяется как множество всех элементов F(U), графики которых имеют вид [UА]и, где Л — некоторое упорядоченное по включению подмно- • жество множества графиков элементов Z.

Одним из классов подмножеств пространства CS{U), введенных В.В.Филипповым [10,12] в аксиоматической теории пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений, является класс R%C(U), который определяется свойствами, соответствующими некоторым характерным свойствам решений обыкновенных дифференциальных уравнений:

1) вместе с каждым элементом z в Z содержатся все те элементы CS(U), графики которых являются подмножествами графика

2) (аксиома компактности) для любого компакта К С U множество' всех элементов Z, графики которых принадлежат К, компактно в топологии Св (17).

Теорема 2.3.6. Если Z Е Rlc(U), то метризуемость пространства Fz(U) равносильна его хаусдорфовости.

Рассматривается также подпространство F*(U) = {(^2) : t G 7г(^г), z € F(U)} топологического произведения U х F(U), которое обобщает соответствующее пространство 'S*W, рассмотренное Дж.А. и

Иорком.

Теорема 2.4.1. Пространство F*(U) метризуемо.

Результаты данного исследования перспективны для топологической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так как дают универсальную топологическую структуру на множестве решений.

Содержание третьей главы относится к теории селекций многозначных отображений.

Одним из основополагающих результатов этой хорошо развитой теории, обзор которой дан Д.Реповшем и П.В.Семеновым в [9], является так называемая компактнозначнал теорема Майкла [28].

Теорема. Всякое полунепрерывное снизу отображение параком-пакта X в полное метрическое пространсво Y, принимающее непустые замкнутые значения, имеет полунепрерывную сверху компакт-нозначную селекцию, которая в свою очередь имеет полунепрерывную снизу компактнозначную селекцию.

В доказательстве своей теоремы Э.Майкл использовал метод, который впоследствии был формализован и аксиоматизирован М.М.Чоба-ном [14] и получил название метода покрытий.

В настоящей работе метод покрытий подвергается обобщению, которое позволяет в свою очередь обобщить компактнозначную теорему.

Теорема 3.2.1. Пусть X — паракомпакт, Xq, — его замкнутое подмножество, Y — полное метрическое пространство, многозначное отображение (р : X —»■ ехрУ полунепрерывно снизу, ф : Xq — ехрсУ — полунепрерывная сверху селекция отображения Т°~гда существует многозначные отображения: полунепрерывное снизу А : X -> ехрсУ и полунепрерывное сверху в : X —» ехрсУ, такие, что:

1) для каждого iGl А(ж) С С ip{x);

2) для каждого х € Xq ф{х) С \(х) С в(х).

В.В.Филипповым совместно с автором диссертации [5] была недавно доказана следующая

Теорема 3.2.2. Пусть X — наследственно нормальный пара-компакт, Хо — его замкнутое подмножество, Y — полное метриче- ■ ское пространство, <р : X -> ехрс У — полунепрерывное снизу многозначное отображение. Тогда всякая полунепрерывная сверху селекция ф : Хо -4 ехрс У отображения (р\х0 продолжается на все X до полунепрерывной сверху компактнозначной селекции ф отображения ip.

Эта теорема вместе с обобщением компактнозначной теоремы Май-• кла имеют в качестве следствия сформулированное ниже утверждение.

Теорема 3.2.3. В условиях теоремы 3.2.2 можно заменить компактность значений отображения (р на их замкнутость.

Последняя теорема является основным результатом данной главы, касающимся общей теории многозначных селекций.

Следует отметить, что для непрерывных компактнозначных селекций теорема, аналогичная теореме 3.2.3, имеет место только при условии, что отображение <р обладает некоторыми дополнительными свойствами, [8].

Оставшаяся часть третьей главы диссертации связайа с измеримостью многозначных отображений и имеет непосредственное отношение к теории дифференциальных включений [12].

Рассматривается класс компактнозначных отображений ф некоторого подмножества А топологического произведения R х X, где X — метрическое пространство, в сепарабельное метрическое пространство У, определяемый следующими свойствами, характерными для правой части дифференциального включения.

1*) для каждого компакта К С А при любом значении t из проекции К на сомножитель R отображение ф\к(1,х) как функция от аргумента х полунепрерывно сверху, а при любом значении х из проекции К на сомножитель X ф\к(1, как функция от аргумента t измеримо;

2*) для каждого компакта К С А для любых открытого подмножества W пространства X и открытого подмножества V пространства Y множество

Mk(W, V) = {t: ({*} х\У)ПКф®, ф(({1} xW)DK)cV} измеримо.

Для данного класса отображений доказывается следующая селекционная теорема (при существенном использовании теоремы 3.2.3).

Теорема 3.3.б» Пусть Z с. R х X, А С Z, А замкнуто в Z, сепарабелъно и локально компактно, Y полно, многозначное отображение <р : Z ехрУ полунепрерывно снизу, многозначная селекция ф : А—> ехрсУ отображения </?Ц удовлетворяет условиям (1*) и (2*). Тогда существует продолжение селекции ф на все пространство Z до компактнозначной селекции ф отображения ip, сохраняющее свойства (Г) и (2*).

Это утверждение позволяет усовершенствовать метод верхних и нижних решений для краевых задач в теории дифференциальных включений.

Не вдаваясь в детали, поясним ситуацию.

Рассмотрим дифференциальное включение у' 6 ф{Ь,у) с правой частью, удовлетворяющей стандартным условиям (1*) и (2*), которые гарантируют, в частности, существование решения задачи Коши. Допустим, мы ищем периодическое решение данного дифференциального включения, область определения которого лежит в некотором достаточно "хорошем" замкнутом подмножестве А области определения отображения ф.

Идея метода верхних и нижних решений состоит в следующем. Вне множества А правая часть ф переопределяется таким образом, что условия (1*) и (2*) остаются в силе, и что любое периодическое решение видоизмененного дифференциального включения, если оно существует, определено в пределах множества А. Так как на множестве А ф остается неизменным, каждое периодическое решение вновь полученного дифференциального включения является решением для исходного включения, определенным в А, и наоборот. Соответствующий подбор множества А и нового включения существенно облегчает исследование периодических решений.

Классический метод верхних и нижних решений предполагает технически сложное явное преобразование правой части ф (см., например, [19]), но возможен альтернативный способ.

Построим дифференциальное включение у' е ip(t,y\ с полунепрерывнои снизу правой частью, определенной там же, где и ip, такое, что каждое его периодическое решение, если оно существует, определено только в А, и Ф\а есть селекция для <р\а- Теорема 3.3.5 гарантирует существование продолжения селекции ф\д до селекции ф отображения ц> с сохранением свойств (1*) и (2*). Все периодические решения дифференциального включения у' € ф(Ь,у), будучи решениями и для у' Е <p(t,y), определены в пределах множества А, а так как ф>\д = ф множества таких решений включений у' 6 Ф\а{^уУ) и у' G 4>{t,y) совпадают.

Таким образом, переопределение правой части дифференциального включения заменяется построением соответствующего "накрывающего" отображения, что сделать значительно проще.

Результаты диссертация опубликованы в [1], [2] и [3].

Автор выражает глубокую бдагодарность своему научному руководителю профессору В.В.Филиппову за постановку задач, полезные . обсуждения и постоянное внимание к.работе.

1. С.А.Дроздовский. Пример периферически счетного локально связ- ■ ного континуума, не являющегося линейно связным, Матем. заметки, 1999, т.65, №5, 659-666.

2. С.А.Дроздовский. Топологическая структура на множестве непрерывных функций с различными областями определения, Матем. заметки, 1999, т.66, №1, 76-88.

3. С.А.Дроздовский. Теоремы о продолжении полунепрерывных сверху и близких к ним селекций полунепрерывных снизу многозначных отображений, Вестник МГУ.

4. С.А.Дроздовский, В.В.Филиппов. Пример периферически разреженного локально связного континуума, не являющегося периферически счетным, Матем. сборник, 1994, т.185, №10, 27-38.

5. С.А.Дроздовский, В.В.Филиппов, Селекционная теорема для нового класса многозначных отображений, Матем. заметки, 1999, т.66.

6. К.Куратовский. Топология II, Москва, Мир, 1969.о

7. С.И.Недев. о-метризуемые пространства, Труды Моск. матем. общества, 1971, т.24, 201-236.

8. Г.М.Непомнящий. Непрерывные многозначные селекции полунепрерывных снизу отображений, Сибирский матем. журнал, 1985, т.26, №4, 111-119.

9. Д.Реповш, П.В.Семенов. Теория Э.Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения, Успехи матем. наук, 1994, т.49, №6, 151190.

10. В.В.Федорчук, В.В.Филиппов, Общая топология. Основные конструкции, Издательство МГУ, 1988.

11. В.В.Филиппов. Аксиоматическая теория пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных включений, ДАН СССР, 1985, т.280, №2, 304-308.

12. В.В.Филиппов. Пространства решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Издательство МГУ, 1993.

13. В.В.Филиппов. О топологических свойствах пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений, Доклады РАН, 1997, т.352, №6, 735-738.

14. М.М.Чобан. Общие теоремы о сечениях и их приложения, Сердика Бълг. матем. спис., 1978, т.4, 74-90.

15. P.Brandi, R.Ceppitelli. A new graph topology. Connections with the compact open topology, Appl. analysis, 1994, v.53, 185-196.

16. P.Brandi, R.Ceppitelli. A hypertopology intended for functional differential equations, Appl. analysis, 1997, v.67, 73-78.

17. A.E.Brouwer. A compact tree-like space is the continuous image of an ordered continuum, Rept. ZW33, Math. Centre, Amsterdam, 1974.

18. J.L.Cornette. "Image of a Hausdorff arc" is cyclically extensible and reducible, Trans. Amer. Math. Soc., 1974, v.199, 253-267.

19. M.Frigon. Theoremes d 'existence de solutions d'inclusions differentielles, Topological methods in differential equations and inclusions (ed. A.Granas, M.Frigon), Kluwer, 1994, 51-88.

20. H.Hahn. Mengentheoretische Charakterisierung der stetigen Kurve, Sitzungsberichte Akad. Wiss Wien Abt. Ha, 1914, v.123, 2433-2489.

21. J.K.Harris. Order structure for certain acyclic topological spaces, Thesis, Univercity of Oregon Eugene, OR, 1962.

22. L'.Hola. Complete metrizability of generalized compact-open topology, Topology Appl., 1999, v.91, 159-167.

23. Cz.Kluczny. Sur certaines families de courbes en relation avec la the-orie des equations differentielles ordinaires, Ann. univ. M.Curie-Sklodowska. Sec. A, Math., 1961, XV, 13-40; 1962, XVI, 5-18.

24. K.Kuratowski. Sur l'espace des fonctions partielles, Ann. Mat. Рига Appl., 1955, v.40, 61-67.

25. K.Kuratowski. Sur une methode de metrisation complete de certains espaces d'ensembles compacts, Fund. Math., 1956, v.43, 114-138.

26. S.Mardesic. On the Hahn-Mazurkiewicz theorem in nonmetric spaces, Proc. Amer. Math. Soc.1960, v.ll, 929-937.

27. S.Mardesic. Images of ordered compacta are locally peripherally met-'ric, Pacific J. Math., 1967, v.23, 557-568.

28. E.Michael. A theorem on semi-continuous set-valued functions, Duke Math. J., 1959, v.26, №4, 647-652.

29. J.Nikiel. Images of arcs — a nonseparable version of the Hahn-Mazurkiewicz theorem, Fund. Math., 1988, v.129, 91-120.• 30. J.Nikiel. The Hahn-Mazurkiewicz theorem for hereditarily locally connected continua, Topology Appl., 1989, v.32, 307-323.

30. J.Nikiel, H.M.Tuncali, E.D.Tymchatyn. On the rim-structure of continuous images of ordered compacta, Pacific J. Math., 1991, v. 149, 145-155.

31. J.Nikiel, H.M.Tuncali, E.D.Tymchatyn. A locally connected rim-countable continuum which is the continuous image of no arc, Topology Appl., 1991, v.42, 83-93.

32. B.J.Pearson. Mapping an arc onto a dendric continuum, Colloq. Math., 1974, v.30, 237-243.• 34. B.J.Pearson. Mapping arcs and dendritic spaces onto netlike continua,Colloq. Math., 1975, v.34, 39-48.

33. E.D.Tymchatyn. The Hahn-Mazurkiewicz theorem for £nitely Suslinian continua, Gen. Topology Appl, 1977, v.7, 123-127.

34. A.J.Ward. Notes on general topology II: A generalization of arc-connectedness, Proc. Cambridge Phil. Soc., 1965, v.61, 879-880.

35. L.E.Ward. The Hahn-Mazurkiewicz theorem for rim-finite continua, Gen. Topology Appl., 1976, v.6, 183-190.