Произведения и отображения топологических пространств и некоторые свойства типа отделимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



о Ч:-

г ^

) о МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ЯКИВЧИК АНДРЕЙ НИКОЛАЕВИЧ

УДК 515.12

ПРОИЗВЕДЕНИЯ II ОТОБРАЖЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ II НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ТИПА ОТДЕЛИМОСТИ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1995

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор А. В. Архангельский

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор В. И. Малыхин

— кандидат физико-математических наук М. В. Матвеев

Ведущая организация — Институт математики и механики

Уральского отделения РАН

Защита диссертации состоится " " ¿ШрГй,_ 1995 г.

в 16час. 05мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 по математике при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан " 3 " 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д.053.05.05 при МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одно из важнейших мест в общей топологии занимают свойства топологических пространств, которые характеризуют возможность отделения точек или подмножеств пространства друг от друга. К таковым относятся в первую очередь классические аксиомы отделимости, присутствующие (в том числе в неявном виде) в большинстве понятий и теорем общей топологии. Отделение подмножеств в топологическом пространстве может осуществляться двумя способами: внутренним, или комбинаторным — с помощью систем открытых, замкнутых и т. п. множеств, и внешним, или функциональным — посредством непрерывных отображений на пространства стандартного класса. Свойства функциональной отделимости часто применяются для построения новых классов топологических пространств. Например, естественным расширением класса пространств V является класс "суб-Т", состоящий из всех пространств, допускающих непрерывное взаимно-однозначное отображение (уплотнение) на пространство из V. Исследованию уплотнений и связанных с ними свойств и классов пространств посвящено значительное количество работ за последние десятилетия.

А. В. Архангельский предложил [1] обобщение понятия уплотнения, которое он назвал расщепляемостъю. Многие версии и частные случаи расщепляемости рассматривались различными авторами. В статье [2] А. В. Архангельским и Д. Б. Шахматовым исследован класс пространств, расщепляемых над Мш (т.е. над классом всех тихоновских пространств со счетной базой) — этот класс характеризуется указанным в названии работы свойством вещественных функций, что свидетельствует о его важности для приложений топологии в функциональном анализе.

[1] Архангельский А. В. Общая концепция расщепляемости топологических пространств над классом пространств. — V Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев, 1985. С. 8-10.

[2] Архангельский А. В., Шахматов Д. Б. О поточечной аппроксимации произвольных функций счетными семействами непрерывных функций. — Труды семинара им. И. Г. Петровского 13. М., 1988. С.206-227.

В качестве одного из подходов к исследованию расщепляемых пространств А. В. Архангельский ввел [3, 4] ряд близких к расще-пляемости над Жш (и Мт, где г ^ ш) комбинаторных свойств, получивших общее название делимости. Также А. В. Архангельскому [4] принадлежит понятие слабой нормальности, которое одновременно обобщает нормальность и расщепляемость.

При изучении новых классов топологических пространств одной из первостепенных задач является нахождение необходимых и достаточных условий принадлежности пространств данному классу. Важно также описать поведение этих классов относительно основных топологических операций и непрерывных отображений. Среди операций над топологическими пространствами особо выделяется операция произведения как одна из самых сложных и универсальных. В настоящей работе проводится исследование в рамках этих задач классов расщепляемых, слабо нормальных и делимых пространств.

Одним из главных разделов общей топологии является теория компактных пространств, а также их обобщений. Весьма актуальна задача переноса известных свойств компактов на более широкие классы пространств, например, на линделефовы пространства. Два известных вопроса о линделефовых пространствах, связанные с этой общей задачей, решаются в настоящей работе.

Цель работы. Выяснить возможность уплотнения произведения хаусдорфовых линделефовых пространств на хаусдорфово линделе-фово пространство. Решить вопрос о субметризуемости регулярного линделефова пространства со счетной псевдобазой. Найти как необходимые, так и достаточные условия для того, чтобы произведение пространств было расщепляемым, делимым, (наследственно) слабо нормальным. Охарактеризовать регулярные линейно связные расщепляемые и делимые пространства. Исследовать поведение расще-пляемости, слабой нормальности и делимости при различных классах непрерывных отображений.

[3] Arhangel'skii A. V. Some problems and lines of investigation in General Topology // Comment. Math. Univ. Carol. 1988. 29, No 4. P.611-629.

[4] Arhangel'skii A. V. Divisibility and cleavability of spaces. — Recent developments of General Topology and its Applications. International Conference in memory of Felix Hausdorff (Math. Research 67). Berlin, 1992. P. 13-26.

Методы исследования. В диссертации используются различные методы теоретико-множественной топологии и теории функций.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Главные из них заключаются в следующем.

1. Приведен пример хаусдорфова линделефова пространства, квадрат которого нельзя уплотнить ни на какое пространство с этим свойством.

2. Построено регулярное несубметризуемое линделефово пространство со счетной псевдобазой.

3. Доказано, что каждое регулярное линейно связное расщепля-мое (делимое) пространство уплотняется в (имеет счетную псевдобазу).

4. Получено обобщение теоремы Тамано: если произведение X х сХ, где сХ — какая-либо компактификация тихоновского пространства X, слабо нормально над классом всех метри-зуемых пространств, то X — паракомпакт.

5. Доказаны утверждения о наследственно слабо нормальных произведениях, аналогичные теореме Катетова.

6. Для ряда основных случаев доказано сохранение расщепля-емости, слабой нормальности и делимости при открытых совершенных отображениях. Установлено, что образ расщепляемого пространства при открытом компактном отображении является сильно делимым.

7. Построены примеры нарушения указаных свойств отделимости при совершенных, открыто-замкнутых и открытых компактных отображениях; получены частичные положительные результаты.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, работающим в различных областях общей топологии, прежде всего в теории непрерывных отображений, кардинальных инвариантов, свойств типа компактности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI Тираспольском симпозиуме по общей топологии (1991 г.), на IX международной конференции по топологии и ее приложениям (Киев, 1992 г.), на Всеукраинской конференции молодых ученых (Киев, 1994 г.), на сессии Общемосковского топологического семинара имени П. С. Александрова (1994 г.), а также на семинарах кафедры общей топологии и геометрии МГУ.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, терминологического справочника, трех глав, включающих в себя 11 параграфов, и списка литературы из 68 наименований. Общий объем диссертации — 113 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагается история рассматриваемых в диссертации проблем, даются определения основных понятий с необходимым обсуждением, формулируются главные результаты диссертации.

Топологическое пространство X называется расщепляемым (над классом пространств "Р; над пространством У), если для любого подмножества AC. X существует непрерывное отображение fA : X —► ->■ {}А ■ X РА, где fA(X) = PAeV; fA:X^ У), такое, что ГаЧа{А) = А.

Очевидно, если существует уплотнение X в Мш (на пространство класса V] в У), то X расщепляемо (над V; над У) благодаря одному этому отображению. В этом случае можно говорить об абсолютной расщепляемости.

Пространство X называется слабо нормальным (над классом пространств V\ над пространством У), если для любых двух непересекающихся замкнутых множеств А, В С X найдется непрерывное отображение /А,в : X — КГ (/л,в : X РА<В, где fA,B{X) = PA,B € V; /а,в ■ X —»■ У), для которого /а,в(А) П }А,в{В) = 0.

В силу классической леммы Урысона каждое нормальное пространство слабо нормально над Ж.

С помощью приводимого ниже определения можно соединить понятия расщепляемости и слабой нормальности в одно.

Определение. Пусть V — класс топологических пространств. Пространство X назовем Fi-отделимым над классом V, где г £ €{0,1,2}, если для любой пары подмножеств Ai,A2CX, таких, что А^ П А2 = 0 и Aj замкнуто при j > i, найдутся пространство Pai,a2 £ Т3 и непрерывное отображение /ai,a2 : X —* Pai,a2i такие, что' /а,,а2(Х) = РАиАз и fAliA2(Ai) П /a^aMz) = 0. Если V —

класс, состоящий из всех подпространств пространства У, то будем говорить, что X Г{-отделимо над пространством У. Пространство, /•¿-отделимое над Кш, будем называть просто Е^отделимым.

Нетрудно заметить, что ^-отделимость в точности совпадает с расщепляемостью, а Ро-отделимость — со слабой нормальностью. Свойство -отделимости представляет собой один из ослабленных вариантов расщепляемости (расщепляемость вдоль замкнутых множеств), который обычно называют с-расщепляемостъю. Каждое с-расщепляемое (над V, над У) пространство является наследственно слабо нормальным (над V, над У).

С помощью расщепляемости определяются новые кардинальные инварианты. Для каждой кардинальной функции / мы обозначаем через Сдт класс всех тихоновских пространств У с /(У) ^ т. Через (соответственно обозначается класс всех пространств, которые расщепляемы (соответственно с-расщепляемы) над классом V. Функция = тт{г : X 6 называется расщепленной

функцией / (см. [5]), а /#(Х) = гшп{г : X € будем называть

с-расщепленной функцией / (здесь X — тихоновское пространство).

Пусть X — множество и А С X. Семейство 5 подмножеств множества X называется делителем для множества А, если для любых двух точек х Е Ап у £ Х\А найдется элемент 5 £ такой, что х £ £ 5 $ у. Семейство 5 называется хаусдорфовым делителем для А, если для любых двух точек х£Аиу£Х\А найдется пара элементов 51, ¿2 £ «5, таких, что х £ 51, у £ 5г и 51 П = 0.

Топологическое пространство X называется т-делимым (строго г-делимым), если для любого множества А С X существует делитель для А в X, состоящий из замкнутых (замкнутых С(-) множеств, мощности |<5л| ^ т. Индексом делимости ^-пространствах называется ¿у(У) = тт{т : X г-делимо}.

Мы называем пространство X сильно т-делимым (вполне т-делимым), если для любого множества А С X существует хаусдор-фов делитель для А в X, состоящий из замкнутых (открытых) множеств, для которого |<£д| ^ т.

Семейство 0 открытых подмножеств хаусдорфова пространства X назовем хаусдорфовой псевдобазой, если для любых двух точек х, у £ X, где х фу, найдутся Са, <32 £ б, такие, что х £ убС2

[5] Архангельский А. В. Некоторые новые направления в теории непрерывных отображений. — Непрерывные функции на топологических пространствах. Рига, 1986. С. 5-35.

и С\Г\С2 = 0. Минимум мощностей хаусдорфовых псевдобаз пространства X будем называть числом Хаусдорфа пространства X и обозначать через ^(Х).

Для краткости (строго, сильно, вполне) и-делимое пространство мы просто называем (строго, сильно, вполне) делимым. Отметим, что в работе [4] вместо термина "сильно г-делимое" используется термин "хаусдорфово г-делимое".

Определенные выше свойства образуют следующий ряд в порядке убывания силы: 1) расщепляемость над Мт; 2) строгая т-делимость; 3) сильная т-делимость; 4) т-делимость. Полная т-делимость тажке заключена между расщепляемостью над М1" и делимостью, но логически не зависит ни от строгой, ни от сильной т-делимости.

Если в определении (строгой, сильной, полной) т-делимости семейство с>а не зависит от выбора множества А, то мы говорим об абсолютной (строгой, сильной, полной) т-делимости. Очевидно, абсолютная (полная) т-делимость равносильна наличию (хаусдорфо-вой) псевдобазы мощности ^ т.

В главе 1 рассматриваются образы при уплотнениях линделефо-вых пространств и их произведений.

Как известно, свойство Линделефа не является мультипликативным, в отличие от компактности. А. В. Архангельский выдвинул предположение, что этот недостаток можно исправить при помощи уплотнений, т.е. произведение регулярных (хаусдорфовых) линделе-фовых пространств можно уплотнить на регулярное (хаусдорфово) линделефово пространство.

В § 1 дается частичный отрицательный ответ на эту гипотезу.

Пример 1.2. Существует хаусдорфово линделефово пространство Р, такое, что его квадрат Р2 невозможно уплотнить ни на какое хаусдорфово пространство с числом Линделефа, меньшим с.

Совсем недавно Р. 3. Бузякова построила контрпример в классе линделефовых регулярных пространств.

Результат § 2 главы 1 отвечает на вопрос А. В. Архангельского [3] и А. П. Комбарова [6]: всякое ли линделефово регулярное пространство со счетной (хаусдорфовой) псевдобазой имеет диагональ типа

[6] Kornbarov A. P. On rectangular covers of topological spaces // Comment. Math. Univ. Carol. 1989. 30, No 1. P. 81-83.

Пример 1.4. Существует регулярное линделефово пространство У со счетной хаусдорфовой псевдобазой и с первой аксиомой счетно-сти, для которого А (У) = с.

В главе 2 исследуется поведение ^¡-отделимости и делимости при операции топологического произведения.

Как показано в работе [2], расщепляемость является не только не конечно мультипликативным, но даже не аддитивным свойством — произведение расщепляемого пространства (даже пространства со счетной базой) на дискретное пространство большой мощности не обязано быть расщепляемым. В § 1 устанавливается, что и все остальные из перечисленных выше свойств (слабая нормальность, с-расщепляемость и все виды делимости) не являются аддитивными.

Несмотря на простоту доказательства, вывод о том, что слабая нормальность может нарушиться при умножении на дискретное пространство, представляется достаточно любопытным. Кроме того, в связи с известным результатом К. Мориты о том, что произведение совершенно нормального и метризуемого пространства является совершенно нормальным, отметим

Пример 2.7. Существуют совершенно нормальные пространства X и У, такие, что X х У не слабо нормально.

Некоторые топологические свойства могут быть охарактеризованы в терминах нормальности произведений. Хорошо известны теоремы Тамано, Даукера и Мориты, характеризующие соответственно паракомпакты, нормальные счетно паракомпактные пространства и нормальные .Р-пространства [7]. Возникает вопрос: можно ли нормальность произведения в этих теоремах заменить слабой нормальностью?

Важнейшим результатом § 2 главы 2 является следующее обобщение теоремы Тамано.

Теорема 2.10. Для любого тихоновского пространства X следующие условия эквивалентны:

(а) пространство X паракомпагстно;

(б) для любой компактификации сХ пространства X произведение X х сХ слабо нормально над классом М всех метризуе-мых пространств.

[7] Morita K. Products of normal spaces with metric spaces // Math. Ann. 1964. 154, No 4. P. 365-382.

(в) существует компактификация сХ пространства X, такая, что произведение X х сХ слабо нормально над классом Л4.

П. Шептицкий показал [8], что произведение на отрезок даукеров-ского пространства, построенного М. Э. Рудин в [9], является слабо нормальным, т.е. в теореме Даукера недостаточно условия слабой нормальности произведения. Более того, до сих пор не известно примера слабо нормального пространства, произведение которого на отрезок (или какой-либо метризуемый компакт) не слабо нормально. Однако в настоящей работе показано, что слабая нормальность может нарушаться при умножении на сепарабельное метризуемое пространство.

Характеристика Мориты тоже не допускает непосредственного обобщения. Если произведение X х М слабо нормально для каждого метризуемого пространства М, то X может оказаться не нормальным и не счетно паракомпактным (напомним, что все нормальные Р-пространства счетно паракомпактны).

Пример 2.17. Произведение плоскости Тихонова Т и любого паракомпакта с первой аксиомой счетности слабо нормально.

Плоскость Тихонова Т = Т(ы1 + 1) х Т(ш + 1) \ {(о;1,ш)} не нормальна и не счетно паракомпактна, хотя и является Р-пространством.

Наконец, в § 2 показано, что для любого бесконечного кардинала т существует тихоновское пространство веса т+, которое не слабо нормально над Мг.

То, что класс наследственно нормальных пространств весьма узок, показывает классическая теорема М. Катетова: если произведение X х У наследственно нормально, то либо в X все счетные подмножества замкнуты, либо У совершенно нормально. Цель § 3 главы 2 — найти необходимые условия наследственной слабой нормальности произведений. Дословная переформулировка теоремы Катетова, как показывают простые примеры, оказывается неверной. Однако оказалось возможным получить аналогичные по форме утверждения несколько другого рода.

[8] Szeptycki P. J. Weak normality in Rudin's space. Ohio University. Athens, 1994 (preprint).

[9] Rudin M. E. A normal space X for which X x I is not normal // Fund. Math. 1971. 73, No 2. P. 179-186.

Теорема 2.22. Если произведение X х У наследственно слабо нормально над классом С,;, | г ив! есть незамкнутое множество мощности ^ т, то любой компакт К С. У имеет тесноту 1{К) т.

Теорема 2.24. Пусть произведение X х У наследственно слабо нормально над классом Ср1ит. Тогда либо все подмножества X мощности ^ т замкнуты, либо У не содержит подпространства, го-меоморфного Т(г+).

Как уже отмечалось, расщепленный вес и индекс делимости с1у при взятии произведения пространств могут возрасти. Насколько сильно — этот вопрос рассматривается в § 4 главы 2. Есть основания предполагать, что для любых тихоновских пространств X и У справедливы, неравенства уо*{Х х У) <С и сЦХ х У) ^

^ 2<М->0 <МУ). Во многих случаях т-делимое пространство является ^■--дискретным. Поэтому следующие результаты частично подтверждают вышеуказанную гипотезу.

Теорема 2.2Т. Пусть X, У — тихоновские пространства, причем пространство У коллективно хаусдорфово и Гт-дискретно. Тогда и>*(Х х У) ^ 2Ш#№ -т.

Теорема 2.29. Пусть X, У — Т\-пространства и У Рт-дискретно. Тогда сЦХ х У) ^ 2"*"• т.

Однако при переходе к бесконечному произведению кардинальные инварианты и ¿V могут увеличиться до любых пределов — показано, что индекс делимости бэровского пространства (счетной степени дискретного пространства) веса т растет неограниченно с ростом т.

В § 4 показано также, что расщепляемость над классом М. всех метризуемых пространств, как и расщепляемость над Мш, не сохраняется при умножении на отрезок 7.

В § 5 главы 2 устанавливается, что в классе линейно связных регулярных пространств расщепляемость и делимость всегда являются абсолютными.

Теорема 2.37. Пусть X — линейно связное регулярное пространство. Тогда:

1) если X делимо, то ръи(Х) = ш;

2) если X расщепляемо, то X уплотняется в Мы.

В главе 3 исследуется поведение свойств .Р,--отделимости и различных разновидностей делимости при различных классах (непрерывных) отображений.

В § 1 рассматривается класс открытых совершенных отображений. Показано, что он сохраняет многие важные случаи Е{-отделимости. Первый и простейший результат здесь таков:

Теорема 3.1. Пусть Р — произвольное обобщенное линейно упорядоченное пространство, пространство X /'¡-отделимо над Р, а / : X —» У — открытое совершенное отображение, где /(X) = У. Тогда пространство У также ^-отделимо над Р.

Наиболее важными и трудоемкими результатами параграфа являются следующие два.

Теорема 3.3. Если / : X —>■ У — открытое совершенное отображение пространства X на пространство У и X /^-отделимо над Ж7", то У также /^-отделимо над Мт.

Теорема 3.6. Пусть пространство X ^-отделимо над классом М (соответственно Л4Т) и X —»У — открытое совершенное отображение X на У. Тогда пространство У также -отделимо над М (соответственно Л4Т).

Через Мт обозначается класс всех метризуемых пространств веса ^ т.

Заметим, что в случае расщепляемости в последних трех результатах не обязательно предполагать отображение / непрерывным. Получаем, что при любых открыто-замкнутых отображениях тихоновских пространств расщепленный вес и г-вес не возрастают.

Случай открытых компактных отображений рассматривается в § 2 главы 3. Основной результат состоит в том, что образ расщепляемого пространства при открытом компактном отображении является сильно делимым (но, как показывает пример в том же параграфе, не всегда расщепляемым).

Теорема 3.14. Пусть / : X —» У — открытое компактное отображение тихоновского пространства X на пространство У. Тогда У сильно ы#(Х)-делимо.

Отсюда следует, что расщепленный вес не возрастает при открытых компактных отображениях на (слабо) нормальные пространства.

В § 3 главы 2 формулируется техническое утверждение, благодаря которому из теоремы о существовании селекции полунепрерывного снизу (сверху) многозначного отображения можно вывести теорему о сохранении ^-отделимости при непрерывных открытых (замкнутых) компактных отображениях.

Из "нульмерной теоремы Майкла" [10] таким путем получается

Теорема 3.21. Пусть f : X —* У — (непрерывное) открытое псевдокомпактное отображение, У = /(А') —паракомпакт, dim У = 0 и X расщепляемо (с-расщепляемо) над метризуемым пространством М. Тогда У также расщепляемо (с-расщепляемо) над М.

Применение того же метода в несколько усложненном виде позволяет извлечь следующий результат из " выпуклозначной теоремы Майкла" [10].

Теорема 3.22. Пусть пространство X расщепляемо (с-расщепляемо) над Ж и / : X —► У — (непрерывное) открытое монотонное псевдокомпактное отображение X на паракомпакт У. Тогда У тоже расщепляемо (с-расщепляемо) над К.

В § 4 главы 3 рассматриваются классы совершенных и открыто-замкнутых (непрерывных) отображений. Главным результатом этого параграфа является

Пример 3.23. Существуют тихоновские пространства Yq, Y\, Уг, Уз и непрерывные сюръективные отображения рог : Yo —► Yi, Pi 2 : : У1 —► У2, Р23 : У> —> У'! со следующими свойствами:

(а) рог и Р23 открыты;

(б) р02, Pi 2 И Р23 замкнуты;

(в) Pi 2 и Р23 двукратны;

(г) каждое из пространств Yq, Yi и Уз допускает уплотнение на метризуемый компакт;

(д) w#(Y2) = wf{Y-i) = Д(У2) = с, У2 не расщепляемо над М и не сильно делимо;

(е) Yo, У1, У2 и Уз — линделефовы пространства с первой аксиомой счетности;

(ж) У2 обладает счетной хаусдорфовой псевдобазой;

(з) Yj гомеоморфно дискретной сумме Уз ф Уз;

(и) существует представление У2 = Y4 U У5, где У4 и У5 — ретрак-ты Уг, гомеоморфные У3.

Таким образом, свойства расщепляемости, с-расщепляемости и сильной делимости не сохраняются ни совершенными, ни непрерывными открыто-замкнутыми отображениями.

[10] Michael Е. Continuous selections II // Ann. Math. 1956. 64, No 3. P. 562-580.

Напомним, что вес не возрастает при совершенных и непрерывных открытых отображениях, а метризуемость сохраняется совершенными и непрерывными открыто-замкнутыми образами. Пример 3.23 показывает, что ни одно из этих утверждений в "расщепленном" или "уплотненном" варианте (т.е. если заменить вес на расщепленный вес или г-вес, а метризуемость — на расщеп л яемость над классом метризуемых пространств или субметризуемость) не остается верным.

В § 4 также показано, что совершенные отображения не сохраняют слабую нормальность.

В главе 3 параллельно обсуждается инвариантность относительно вышеперечисленных классов отображений различных версий делимости. В этом направлении приводится ряд несложных положительных результатов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А. В. Архангельскому за полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Якивчик А. Н. Об уплотнениях произведения финально компактных пространств // Вестник МГУ. Сер. 1. 1989, № 4. С. 84-86.

2. Якивчик А. Н. О диагональном числе топологических пространств // Вестник МГУ. Сер. 1. 1990, № 6. С. 84-86.

3. Якивчик А. Н. О расщепляемых пространствах и их непрерывных образах // Вестник МГУ. Сер. 1. 1992, № 5. С. 17-20.

4. Якивчик А. Н. Слабо нормальные топологические пространства и произведения. — Труды Всеукраинской конференции молодых ученых (математика). Киев, 1994. С. 114-120 (деп. в ГНТБ Украины 20.07.1994, № 1302 Ук-94).

5. Якивчик А. Н. Слабо нормальные пространства и произведения // Вестник МГУ. Сер. 1. 1994, № 6. С. 82.

6. Якивчик А. Н. Дополнение к теореме Тамано // Вестник МГУ. Сер. 1. 1994, № 6. С. 83-84.

7. Yakivchik А. N. Cleavable and weakly normal spaces and their maps. — Тезисы IX международной конференции по топологии и ее приложениям. Киев, 1992. С. 130.