Действия подторов и инвариантные схемы Гильберта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512 745

Чувашова Ольга Валерьевна Действия подторов и

инвариантные схемы гильберта

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ1630ЭЭ

Москва - 2007

003163039

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

кандидат физико-математических наук, доцент

И В Аржанцев

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Д И Панюшев кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник А Г Кузнецов Омский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 9 ноября 2007 г в 16 ч 40 м на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 в Московском государственном университете им М В Ломоносова по адресу 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 1408

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 9 октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В H Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы

В современной трактовке теория инвариантов изучает действия линейных алгебраических групп на алгебраических многообразия Пусть V — векторное пространство над полем к, G — связная редуктивная алгебраическая группа Рассмотрим линейное действие G V Изучаемые в современной теории инвариантов свойства замыканий орбит X — Gv С V можно условно разделить на четыре группы

(1) "комбинаторные" (число орбит в Gv, граф примыканий орбит, ),

(2) алгебро-геометрические (гладкость, нормальность, коэн - маколеевость, типы особенностей, ),

(3) топологические (стягиваемость, односвязность, вычисление гомологий и когомологий, высших гомотопических групп, ),

(4) свойства вложения Gv С V (размерность линейной оболочки, гиперплоские сечения, описание идеала, задающего многообразие, )

Свойство отделимости (в смысле работы X Крафта и Н Р Воллаха [KW]1) относится к наиболее естественным свойствам четвертого типа Его выполнение означает , что для любой однородной гиперплоскости Н пересечение Н П X линейно порождает Н Впервые вопрос о свойстве отделимости появился у Й -К Янтцена в связи с работой А Премета [Р]2 Вопрос Пусть к — алгебраически замкнутое поле, G — простая алгебраическая группа и ß — ее касательная алгебра Верно ли, что минимальная нильпотентная орбита в g относительно присоединенного представления обладает свойством отделимости7

Ответ на этот вопрос получен X Крафтом и Н Р Воллахом [KW] Он положителен для всех простых групп за исключением Sp2n В этой работе также введены понятия "сильного"и "слабого"свойств отделимости и найдены простые критерии выполнения свойств отделимости для орбиты старшего вектора неприводимого представления связной полупростой группы Доказано, что для такого представления типичная орбита обладает свойством отделимости, и если орбита старшего вектора обладает свойством отделимости, то любая орбита представления обладает свойством отделимости

l[KW] Н Kraft and N R Wallach On the separation property of orbits m representation spaces //, Journal of Algebra, vol 258, 2002, p 228-254

2[P] A Premet Support varieties of non-restricted modules over Lie algebras of reductive groups //J London Math Soc , vol 55, №2, 1997, p 236-250

Следующим этапом изучения действий редуктивный групп на аффинных многообразиях является переход от изучения индивидуальных свойств замыканий орбит к изучению семейств таких замыканий и описанию схем, параметризующих такие семейства Фундаментальным результатом теории проективных многообразий является существование схемы Гильберта, т е проективной схемы, параметризующей замкнутые подсхемы в проективном пространстве с фиксированным многочленом Гильберта Обобщению классической конструкции схемы Гильберта на другие естественные семейства подсхем посвящено множество работ В контексте действия алгебраического тора Т на аффинном многообразии X естественным аналогом классической схемы Гильберта является мультиградуированная схема Гильберта, которая параметризует замкнутые Т-инвариантные подсхемы в X, алгебра регулярных функций на которых имеет заданную функцию Гильберта относительно градуировки весами Т Существование такой схемы доказано в работе И Пеевы и М Стилмана [PS]3 для случая, когда X — конечномерный Т-модуль, на котором нет непостоянных Т-инвариантов, а в качестве функции Гильберта рассматривается функция Гильберта замыкания типичной Т-орбиты (такая схема называется торической схемой Гильберта) В работе М Хаймана и Б Штурмфелса [HS]4 введено понятие мультиградуированной схемы Гильберта для случая произвольной функции Гильберта и доказано ее существование Наконец, в работе В Алексеева и М Бриона [AB]5 это понятие обобщено на случай действия связной редуктивной группы G на аффинном многообразии X и доказано существование инвариантной схемы Гильберта, которая параметризует замкнутые G-инвариантные подсхемы в X с фиксированной структурой G-модуля на алгебре регулярных функций

Задача описания инвариантной схемы Гильберта является важным этапом классификации аффинных многообразий, снабженных действием редуктивной группы Однако в общей постановке задачи вряд ли можно рассчитывать на ее эффективное решение Поэтому нужно выделить некоторые естественные классы действий Задача описания торической схемы Гильберта для действия тора Т на аффинном многообразии X особенно интересна, так как торическая схема Гильберта параметризует замыкания типичных Т-орбит и их плоские пределы, и, следовательно, может рас-

3[PS] Peeva I and Stillman M Tone Hilbert schemes // Duke Math J , vol 111, 2002, p 419-449

4[HS] Haiman M and Sturmfels В Multigraded Hilbert schemes // J Algebraic Geom , vol 13, 2004, p 725-769

5 [AB] Alexeev V and Bnon M Moduli of affine schemes with reductive group action //J Algebraic Geom , vol 14, 2005, p 83-117

сматриваться как один из возможных факторов действия Т на X Помимо схемы Гильберта существуют и другие естественные формализации понятия фактора многообразия по действию тора, одной из которых является фактор Чжоу Торический фактор Чжоу проективного Т-многообразия ¥ параметризует Т-инвариантные циклы в ¥ той же размерности и степени, что и замыкание типичной Т-орбиты Он изоморфен неприводимой компоненте обратного предела GIT-факторов действия Т на Y Торический фактор Чжоу рассматривался в работе М Капранова, Б Штурмфелса и А Зелевинского [KSZj6 В частности, в случае, когда ¥ — торическое многообразие для большего тора Т, получено описание его веера Напомним, что веер проективного многообразия является нормальным веером к некоторому выпуклому многограннику Р в пространстве, порожденном решеткой характеров тора Т Пусть Q — проекция этого многогранника на подпространство X(T)q, порожденное решеткой характеров подтора Т Тогда веер фактора Чжоу — это нормальный веер к многограннику слоев (the fiber-polytope) F(P, Q) JI Й Биллеры и Б Штурмфелса, см [BS]7, который является усреднением слоев проекции Р на Q В случае аффинного Т-многообразия X понятие фактора Чжоу не имеет смысла, однако можно по-прежнему рассматривать главную неприводимую компоненту обратного предела GIT-факторов В случае, когда X является торическим многообразием для большего тора Т, для описания веера главной компоненты обратного предела GIT-факторов в работе А Крау и Д Маклаган [СМ]8 было введено понятие веера слоев для проекции произвольных полиэдров

Цель работы

Целью работы является изучение индивидуальных свойств замыканий орбит для действия тора на аффинном многообразии, а также свойств семейств таких замыканий Перед автором стояли следующие задачи

• исследовать свойства отделимости для замыканий орбит алгебраического тора Т в конечномерном Т-модуле и его проективизадии,

• изучить строение торической схемы Гильберта для действия тора Т на аффинном многообразии X и, в частности, для случая, когда X

6[KSZ] Kapranov М, Sturmfels В , and Zelevmsky A Quotients of tone varieties // Math Ann , vol 290, 1991, p 644-655

7[BS] Billera L J and Sturmfels В Fiber polytopes // Ann of Math , vol 135, №2, 1992, p 527-549

8[CM] Craw A and Maclagan D Fiber fans and tone quotients // Discrete Comput Geom , vol 37, №2, 2007, p 251-266

является торическим многообразием относительно действия большего тора Т, содержащего Т в качестве подтора,

• исследовать строение инвариантной схемы Гильберта для диагональных представлений классических линейных групп

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем

• получен критерий выполнения свойств отделимости для замыканий орбит алгебраического тора Т в конечномерном Т-модуле и его проек-тивизации в терминах комбинаторных свойств взаимного расположения весов представления,

• описан веер главной компоненты торической схемы Гильберта для действия тора Т на аффинном многообразии торическом относительно большего тора, что привело к определению целочисленного аналога многогранника слоев Биллеры-Штурмфелса

• доказано, что инвариантная схема Гильберта для действия классической линейной группы на нескольких копиях ее тавтологического представления однозначно восстанавливается по инвариантной схеме Гильберта для случая, когда число копий равно размерности тавтологического представления, приведена явная конструкция такого восстановления

Основные методы исследования

В работе используются методы теории торических многообразий, теории алгебраических групп преобразований и теории инвариантов, алгебраической геометрии, теории представлений редуктивных алгебраических групп, а также комбинаторные метода выпуклой геометрии

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретических характер Полученные результаты могут быть полезны специалистам в теории алгебраических групп преобразований и алгебраической геометрии

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались' на следующих научно-исследовательских семинарах

1 "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством Э Б Винбер-га и А Л Онищика в Московском государственном университете им М В Ломоносова (2005),

2 "Алгебраическая геометрия" под руководством В В Батырева и Ю Хаусена в Математическом институте им Э Карлса (Тюбинген, Германия, 2006),

3 "Геометрия алгебраических многообразий "под руководством Д Б Каледина и А Г Кузнецова в Московском математическом институте им В А Стеклова РАН (2006),

4 "Алгебра и геометрия" под руководством М Бриона в институте им Ж Фурье (Гренобль, Франция, 2007)

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-3]

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 3 глав Общий объем диссертации составляет 91 страницу Список литературы содержит 29 наименований

Краткое содержание работы Введение

Здесь изложена краткая история вопроса, показана актуальность темы и сформулированы основные результаты Также описана структура и краткое содержание диссертации

Первая глава

Цель первой главы диссертации — исследовать свойства отделимости для замыканий орбит тора в векторных и проективных пространствах над ал-

гебраически замкнутым полем Это простейшее обобщение теоремы [KW, Теор 1] на случай приводимых представлений редуктивных групп

В первом разделе приводятся определения свойств отделимости и простейшие примеры

Определение Подмножество X векторного пространства V обладает свойством отделимости (the separation property, кратко — (SP)), если для любой пары линейно независимых линейных функций а, /3 € V* найдется точка х & X такая, что а(х) = 0 и f3(x) ф О

Другими словами, свойство отделимости для X С V означает, что для любой пары Н ^ Н' однородных гиперплоскостей в V выполняется Н П X % Н' Или, эквивалентно, для любой однородной гиперплоскости Н пересечение Н П X линейно порождает Н

Определение. Подмножество X векторного пространства V обладает слабым свойством отделимости (the weak separation property, кратко — (WSP)), если для любой пары однородных гиперплоскостей Н yi Н' имеем Н П X ф Н' П X (пересечения в теоретико-множественном смысле)

Очевидно, что из выполнения свойства отделимости следует выполнение слабого свойства отделимости Свойства отделимости для подмножеств в проективном пространстве определяются аналогично

Во втором разделе мы рассматриваем свойства отделимости для гиперповерхностей и показываем, что подмножество в векторном пространстве обладает (SP) (соотв (WSP)) тогда и только тогда, когда все его содержащие гиперповерхности обладают (SP) (соотв (WSP))

В третьем разделе вводятся понятия характеристического многообразия и слабого характеристического многообразия произвольного подмножества J С К (либо X С P(V))

Ch(X) = {((а), </?)) € P(V*) х P(V*) а(х) = О =Ф-

/?(®) = 0 VrreX},

Chw(X) = {((а), ф)) Е P(V*) х P(V*) " а(х) = 0

0(х) = 0 VzgX}

Заметим, что X обладает свойством отделимости (соотв слабым свойством отделимости) тогда и только тогда, когда Ch(X) (соотв Chw(X)) совпадает с диагональю D = ((а), (а)) После этого доказывается

Теорема 1 Пусть аффинное подмногообразие X С V неприводимо, не содержится в однородной гиперплоскости, пересекается с любой однородной гиперплоскостью и dim X > 1 Тогда Ch(X) и Chw(X) замкнуты в Р(У*) х P(V)

Для проективного случая имеет место аналогичная теорема

Теорема 2. Пусть алгебраическое подмногообразие Y С P(V) неприводимо, не содержится в гиперплоскости, и dim Y > 0 Тогда Ch(Y) и Chw(Y) замкнуты

В четвертом разделе мы рассматриваем случай, когда V — конечномерный Т-модуль, а X — Т-инвариантное подмножество Используя тот факт, что алгебраический тор, действующий на проективном многообразии, имеет неподвижную точку, мы доказываем

Предложение 1. Если X не обладает свойством отделимости и Ch(X) замкнуто, то существует пара ((a),(ß)) G Ch(X) такая, что а и ß собственны для Т и линейно независимы

Это предложение позволяет упростить доказательство критерия отделимости для 6Х2-орбит бинарных форм, полученного в диссертации К Баур

[В]9

Теорема [3.4, В]. Пусть / € k[x, у)п. Тогда орбита О/ = 5Х2 / обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда форма f имеет линейный делитель кратности один

Это более простое доказательство мы приводим в пятом разделе Наконец, в шестом разделе мы исследуем свойства отделимости для замыканий орбит представления тора Пусть Т — алгебраический тор, Х(Т) — решетка характеров Т Рассмотрим линейное действие Т V, где

t (агь J ^п ) = (Х1(фь ,xn(t)xn)

Пусть S — моноид в Х(Т), порожденный характерами хъ ,Хп, и К = сопе(Е) с X(T)Q

Теорема 3. Замыкание орбиты тора X = Т (1, , 1) С V обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

9[В] Baur К Two Contnbutions to the Representation Theory of Algebraic Graupa Doctoral Thesis, Basel, 2002

(1) конус К острый,

(2) 0>+Х1 является ребром К для любого г,

(3) Ф+Х» ф «З+Х, при гф з

Для проективного действия тора верно следующее

Теорема 4. Замыкание орбиты тора X = Т (1 . 1) С облада-

ет свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

(1) для любого г точка является вершиной выпуклой оболочки сопу{хь ,Хп}> (Ю X. Фх3 пригф з

Для слабого свойства отделимости мы получили следующие теоремы

Теорема 5. Замыкание орбиты тора X — Т (1, ., 1) С V обладает слабым свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия

(1) конус К острый,

(2) во внутренности любой грани конуса К лежит не более одного характера XI (в частности, (ф+Хг ф <^+Хз пРи 1 Ф 3)

Теорема 6. Замыкание орбиты тора X = Т ■ (1 . 1) С Р(У) обладает слабым свойством отделимости тогда и только тогда, когда во внутренности любой грани выпуклой оболочки сопу{хь ., Хп} лежит не более одного X] (в частности, х« ф X.? пРи 1 Ф з)

Вторая глава

Во второй главе мы переходим от исследования индивидуальных свойств замыканий орбит к изучению семейств замыканий типичных орбит и их плоских пределов, а именно, к рассмотрению торических схем Гильберта, параметризующих такие семейства

Первый раздел второй главы вводный Мы напоминает основные определения из выпуклой геометрии, теории торических многообразий, а также приводим определение мультиградуированной схемы Гильберта и основные результаты о ее существовании Мультиградуированная схема Гильберта определяется посредством описания ее функтора точек Пусть X — аффинное многообразие, снабженное действием алгебраического тора Т Следующее определение было введено в работе М Хаймана и Б Штурм-фелса [НЭ]

Определение. Фиксируем функцию /г Х(Т) —> Функтором Гильберта называется контравариантный функтор из категории схем в категорию множеств, который каждой схеме 5 сопоставляет множество замкнутых Т-инвариантных подсхем X С Б х X таких, что р*(Ох)х ~~ локально свободный пучок ^-модулей ранга Л(х) для любого х € А'(Т) (здесь р - X —► 5 — проекция)

В [Теор 1 1, Нв] было доказано, что существует квазипроективная схема Нх,т> которая представляет функтор Гильберта в случае, когда X является конечномерным Т-модулем В [Лемма 1 6, АВ] это утверждение было обобщено на случай произвольного аффинного Т-многообразия X В работе [НБ] было также доказано, что в случае, когда = к, схема Гильберта Яхт проективна Мы доказываем более сильное утверждение если /г(0) = 1, то существует проективный морфизм из схемы Гильберта #хт в категорный фактор Х//Т

Начиная со второго раздела мы рассматриваем случай торической схемы Гильберта Пусть X — аффинное Т-многообразие, причем Т действует на X эффективно Положим

Е-={Х€*(Т) • ВДх ф 0}

Точки х € X такие, что замыкание орбиты Тх имеет следующую функцию Гильберта

Ых) = { 1 еслй х е Е'

УЛХ) \ О иначе,

образуют открытое подмножество Xе в X Мы будем обозначать Н\,т муль-тиградуированную схему Гильберта она называется торической схемой Гильберта [РБ] Таким образом, каждая точка х 6 X8 задает к-рациональную точку Тх £ Ях,г Мы доказываем, что это соответствие продолжается до открытого вложения геометрического фактора Х"/Т в Н\,т Замыкание образа этого вложения называется главной компонентой Но схемы Гильберта Н\,т Это неприводимая компонента схемы Нх,т, которая параметризует замыкания типичных Т-орбит и их плоские пределы В третьем разделе мы рассматриваем случай, когда X — это аффинное торическое многообразие для тора Т Пусть задан подтор Т С Т, действие которого на X задано ограничением действия Т Вложение Т с Т определяет сюръективное линейное отображение решеток характеров

7г Х(Т)-*Х(Т),

которое характеру тора Т сопоставляет его ограничение на подтор Т Положим

п = {х е *(т) к[х}х ¿ о},

тогда 7г(0) = S Будем обозначать А(Т) решетку однопараметрических подгрупп тора Т Фактортор Т/Т естественным образом действует на то-рической схеме Гильберта Н%,т, причем главная компонента Щ является торическим (не обязательно нормальным) многообразием относительно этого действия Главный результат второй главы — это явное описание веера этого торического многообразия

Теорема 7. Веер Сн0 С A(T)q торического Т/Т-многообразия Но — это пересечение нормальных вееров Сх полиэдров

Рх = conv(7T_1(x) ГШ) С A\T)q,

где X S S

Если X является конечномерным Т-модулем таким, что fc[X]r = к, то веер Но совпадает с нормальным веером к структурному многограннику (the state polytope) в смысле Б Штурмфелса (см [Теор 2 5, St]10)

Пример. Пусть X = А", Т = действует на А" диагонально, Т = GTO, и пусть веса Л'(Т)-градуировки алгебры к[х\, , хп] положительны

(1) Рассмотрим случай п = 3 Комбинируя результаты Арнольда, Кор-киной, Поста и Роелофса (см [Ar]11 и [KPR]12) и явное описание пределов однопараметрических подгрупп из доказательства теоремы 7, получаем, что в этом случае торическая схема Гильберта неприводима

(2) Пусть п = 4, и пусть Т действует на А4 с весами Хг — 1> Xi = 3, Хз = 4, Xi — 7 Тогда торическая схема Гильберта приводима Более того, в Нхп,т имеется бесконечно много G™-орбит [Теор 10 4, St]

В случае, когда многообразие X нормально, мы приводим точное описание характеров xëS, имеющих совпадающие веера Сх Существует лишь конечное число таких классов эквивалентности характеров, и веер Сщ является нормальным веером к сумме Минковского полиэдров Рх их представителей

I0[St| Sturmfels В Gröbner bases and convex polytopes Unir Lecture Ser 8, American Mathematical Society, Providence, E1, 1996

11 Arnold V I A-graded algebras and continued fractions // Communications m Pure and Applied math , vol 42, 1989, p 993-1000

12Korkina E , Post G and Roelofs M Classification of generalized A-graded algebras with 3 generators // Bulletin des Sciences Mathématiques, vol 119, 1995, 267-287

Пример. Пусть X = А", Т = G^ действует на А" диагонально, и пусть Т = Gm действует на А" с характерами Хъ , Xn G Z Тогда О С Zn — это множество векторов с неположительными координатами, и Е С Z-это полугруппа, порожденная характерами —х, Пусть п+ и п_ — количества положительных и отрицательных х, соответственно Пусть х+ (соотв Х-) — это наименьшее общее (положительное) кратное всех положительных (соотв отрицательных) Хг Тогда Рщ эквивалентен сумме Минковско-го полиэдров Рх, где — п+х+ < X < П-Х-

Показательным является сравнение веера схемы Гильберта с веером обратного предела GIT-факторов Х/хТ [АН]13 Для характера х S Е рассмотрим алгебру

00

ВДМ =0 к[Х]гх

г=0

Определение. Многообразие

Х/хТ = Proj fc[X]W называется GIT-фактпором отвечающим характеру х 6 Е

В частности, Х/0Г = Х//Т = Spec (k[X]T) Также отметим, что Х/хТ = Х™//Т, где Х£* — это множество точек х & X, для которых существует п £ N и / £ /с[Х]гх такая, что f(x) ф 0 Хорошо известно, что существует лишь конечное число характеров х G Е, для которых множествах" попарно различны Таким образом морфизмы факторизации qx Xsx —► Х/хТ образуют конечную обратную систему с конечным элементом qo X —> X//T (морфизмы между X" задаются включениями внутри X) Мы имеем мор-физм обратных пределов

q Xas = р| X*s -> lmi X/xT = X/CT

Главной компонентой (X/cT)о обратного предела Х/сТ называется замыкание образа q{XS3) В случае, когда X является торическим многообразием для большего тора ТГ, главная компонента (Х/сТ)о является торическим многообразием для фактортора с веером Cq С A(T)q совпадающим с пересечением (для х € Е) нормальных вееров С^ полиэдров

Р? =тгд1(х)Псопе(П)

13[АН] Altman К and Hausen J Polyhedral divisors and algebraic torus actions // Mathematische Annalen, vol 334, 2006, p 557-607

(см [СМ]), где щ — линейное отображение векторных пространств, индуцированное 7Г

щ ■ ДГ(Т)д -> Х(Т)ъ

В частности, веер Сн0 главной компоненты схемы Гильберта является разбиением веера С^

Пример. Пусть X = А3, Т = действует диагонально, и пусть Т = Gm действует со следующими весами 4(х1,х2,хз) — (£х1,гх2,г2хз)

Х(Т)

ь-з» 7Г

Х(Т)

тг(1Ч) тг(1/з) 7г(1Аг)

Схема Гильберта Да3,г — это замкнутая подсхема в Р1 х Р3, заданная уравнениями г^з — = 0 и — г2ъи3 = 0 (где 21, и гиь "ш2,ги3, -ш4 — однородные координаты в Р1 и Р3 соответственно) Веер Сщ состоит из следующих конусов

+ е2) + Q+e2,

0+(е1 + е2) + 0+(-е2),

<1г+(е2 - ег) + <3+е2,

(¡2+(е2-е1)+0+(-е2),

где е: = + 1/3, е2 = -1/3 — базис в Л (Т/Т) Обратный предел ИТ-факторов — это А3/сТ — Рго^ к[х 1,х2,х3] (где к[х 1,х2,хз] градуирована весами Т), и его веер состоит из следующих конусов

(Ые1 + е2)+<12+(-е2),

42+(е2 - ех) + 0+(-еа),

Q+(e^ + е2) + И2+(е2 - ех)

е\ +е2

Сна е2 -в!

ег +е2

,~е2

В третьем разделе описывается канонический морфизм Фх,т #х,г Х/сТ Этот морфизм был построен в [HS] для случая, когда X является Т-модулем Пользуясь результатами [ВН]14, мы обобщаем эту конструкцию на случай произвольного аффинного Т-многообразия X Мы определяем аналог универсального семейства Wx,t над главной компонентой (Х/сТ)о схемы Х/сТ и показываем, что ограничение морфизма Фх,г на главную компоненту Щ (это бирациональный проективный морфизм Но —> (Х/сТ)о) поднимается до бирационального проективного морфизма универсальных семейств

В четвертом разделе доказывается, что семейство над нормализацией главной компоненты (X/qT)о, построенное в работе К Альтмана и Ю Хаусена [АН], является нормализацией семейства Wx,r над (Х/сТ)о

Третья глава

В третьей главе мы рассматриваем инвариантные схемы Гильберта, это обобщение понятия мультиградуированной схемы Гильберта на случай действий редуктивных групп Пусть G — связная редуктивная группа, и X — аффинная G-схема Обозначим Х+ полугруппу доминантных весов G

Определение. [AB] Пусть дана аффинная G-схема X и функция h

—► Z+ Тогда функтором Гильберта G называется контравари-антный функтор из категории схем в категорию множеств, который каждой схеме S сопоставляет множество замкнутых G-инвариантных подсхем X С S хХ таких, что проекция р . X —> S является (плоским) семейством с функцией Гильберта h

Существование инвариантной схемы Гильберта доказано В Алексеевым и М Брионом [AB]

Теорема 8. Для любой аффинной G-схемы X и функции h Х+ —> Z+ функтор Н^ q представим квазипроективной схемой G

Мы рассматриваем инвариантные схемы Гильберта в контексте предмета классической теории инвариантов, а именно, для диагонального действия (связной редуктивной) линейной группы G С GL(V) на прямой сумме т копий пространства V Хорошо известно, что задача нахождения инвариантов для такого действия сводится к задаче нахождения инвариантов системы из п векторов, где п — dimV (редукция первой основной

14[ВН] Berchtold F and Hausen J GIT-equivalence beyond the ample cone // Michigan Math J , vol 54, 2006, p 483-515

теоремы классической теории инвариантов) Пусть группа G полупроста и неприводима Тогда для действия G на тп копиях пространства V типичная орбита замкнута и изоморфна G при т > п Мы показываем, что в случае, когда G является одной из классических простых групп (то есть SL(V), SO(V), Sp(V)), задача построения инвариантной схемы Гильберта, параметризующей типичные орбиты, также сводится к задаче нахождения инвариантной схемы Гильберта в случае п векторов

Теорема 9. Пусть G С GL{V) — связная классическая линейная группа (то есть G = SL(V),SO(V) или Sp(V)) Рассматривается представление

G-mV = W ® V,

где G действует на W тривиально Пусть т = dim W > п Фиксируем подпространство L с W размерности п Тогда имеем

Hw®v,g = GL(W) xPi HL@VtG,

где Pl С GL{W) — это параболическая подгруппа, стабилизирующая L

PL ={ge GL(W) . gL = L}

Также приводятся примеры явной геометрической реализации инвариантных схем Гильберта

Пример. Пусть G ~ SL(V) W&V Рассмотрим морфизм факторизации 7г W®V-+(W®V)//SL(V)

Заметим, что (W<S>V)//SL(V) изоморфен аффинному конусу над грассма-нианом Aff(Grn(W))

Рассмотрим случай тп = п; тогда Aff(Grn(W)) = AnW — А1 Заметим, что размерность любого слоя морфизма 7Г равна тг2 — 1. Следовательно, морфизм 7г плоский В этом случае Hw®v,sl(V) = A"W

При m > п схема Гильберта Hw<s,v,sl{V) — это раздутие в нуле Blo(Aff(Grn(W))) аффинного конуса над грассманианом Действительно, имеется естественный СЬ(И/)-эквивариантный морфизм ф Bl0(Aff(Grn(W))) Grn(W) = GL(W)/Pl, причем ф~\Ь) = AnL = Hl®v,sl(v) Следовательно,

В1 о(Aff(Grn(W))) = GL(W) xPl AnL = Hw®v,sl(V).

Благодарности

Автор благодарна своему научному руководителю кандидату физ -мат наук доценту И В Аржанцеву за постановку задачи первой главы и внимательное руководство в процессе написания диссертации, профессору М Бриону за постановку задач второй и третьей глав, ряд ценных идей и полезные обсуждения, а также доктору физ -мат наук профессору Э Б Винбергу за внимание к работе

Работы автора по теме диссертации

[1] Чувашова О В Свойства отделимости для замыканий торических орбит // Мат Сборник, том 197, №3, 2006, стр 117-134

[2] Чувашова О В Инвариантные схемы Гильберта и диагональные действия редуктивных групп // депонировано в ВИНИТИ РАН, №895 -В2007 от 25 09 07, 24 стр

[3] Чувашова О В Веер главной компоненты торической схемы Гильберта // Успехи Мат Наук, 2007 том 62 , вып 5, стр 167-168

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 03 10,01 Формат 60x90 1/16 Уел печ л Тираж 190 экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Условные обозначения.

Введение.

Глава 1. Свойства отделимости для замыканий торических орбит.

1.1. Определения и простейшие примеры.

1.2. Гиперповерхности.

1.3. Характеристические многообразия.

1.4. Случай Т-инвариантного подмногообразия.

Диссертация посвящена исследованию действий редуктивных алгебраических групп (в частности, алгебраических торов) на аффинных многообразиях.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над нолем к, G — связная редуктивная алгебраическая группа. Рассмотрим линейное действие G : V. Изучаемые в современной теории инвариантов свойства замыканий орбит X = Gv С V можно условно разделить на четыре группы:

1) "комбинаторные" (число орбит в Gv, граф примыканий орбит, .);

2) алгебро-геометрические (гладкость, нормальность, коэн - маколеевость, типы особенностей, .);

3) топологические (стягиваемость, односвязность, вычисление гомологий и когомологий, высших гомотопических групп, .);

4) свойства вложения Gv С V (размерность линейной оболочки, гинерплос-кие сечения, описание идеала, задающего многообразие, .).

Первая глава диссертации посвящена изучению свойства отделимости, которое, на наш взгляд, относится к наиболее естественным свойствам четвертого типа.

Определение. Подмножество X векторного пространства V обладает свойством отделимости, если для любой пары линейно независимых линейных функций а, (3 £ V* найдется точка х £ X такая, что а{х) = 0 и /3(х) ф 0.

Другими словами, выполнение свойства отделимости означает, что для любой однородной гиперплоскости Я пересечение Н Г\Х линейно порождает Н. Свойство отделимости для подмножества в проективном пространстве определяется аналогично. Впервые вопрос о выполнении свойства отделимости появился у Й.-К. Янтцена в связи с работой А. Премета [24]:

Вопрос. Пусть к — алгебраически замкнутое поле, G — простая алгебраическая группа и 0 — ее касательная алгебра. Верно ли, что минимальная нильиотентная орбита в g относительно присоединенного представления обладает свойством отделимости?

Ответ на этот вопрос получен в работе [18]. Он положителен для всех простых групп за исключением Sp2n■ В работе [18] также введены понятия "сильного"и "слабого"свойств отделимости (см. определения 1.1.3 и 1.1.6) и доказаны следующие теоремы:

Теорема [18, Теор. 1]. Пусть G — связная полупростая группа, и V(x) — модуль Вейля группы G, отвечающий старшему весу х с отметками щ. Обозначим через Omin С V(x) орбиту старшего вектора. Тогда :

1) От{п удовлетворяет сильному свойству отделимости тогда и только тогда, когда х ~ фундаментальный вес;

2) Omin удовлетворяет свойству отделимости тогда и только тогда, когда щ < 1 для любого г;

3) Omin удовлетворяет слабому свойству отделимости тогда и только тогда, когда щ < 2 для любого г.

Теорема [18, Теор. 2]. Пусть G : V — неприводимое представление связной полупростой группы G. Тогда если Omin обладает свойством отделимости, то любая G-орбита О обладает свойством отделимости.

Теорема [18, Теор. 3]. Предположим, что char А; = 0, и G : V — неприводимое представление полупростой группы G. Тогда типичная орбита группы G в V обладает свойством отделимости.

Цель первой главы диссертации — исследовать свойства отделимости для замыканий орбит тора в векторных и проективных пространствах над алгебраически замкнутым полем. Это простейшее обобщение теоремы [18, Теор. 1] на случай приводимых представлений редуктивных групп.

Пусть Т — алгебраический тор, X — решетка характеров Т, V — векторное пространство над алгебраически замкнутым полем к. Рассмотрим линейное действие Т : V, где t ■ {хи .,хп) = (xi(t)xi,Xn(t)xn).

Пусть S — моноид в X, порожденный характерами Хъ — чХп, и К = cone(S) С Xq.

Теорема 1.6.2. Замыкание орбиты тора X = Т • (1,.,1) с V обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) конус К острый;

2) Q+Xi является ребром К для любого г;

3)Q+Xi^®+Xj npui^j.

Для проективного действия тора верно следующее:

Теорема 1.7.1. Замыкание орбиты тора X = Т ■ (1 :. : 1) С P(V) обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) для любого г точка Xi является вершиной выпуклой оболочки conv{xi,.,Xn}/ ft) Xi Ф Xj при г ф j.

Идея доказательства указанных теорем состоит в том, что если свойство отделимости нарушается на некоторой паре гиперплоскостей, то эти гиперплоскости можно считать Т-инвариантными. Для обоснования этого соображения мы определяем характеристическое многообразие произвольного подмножества X С V (либо X С P(V)):

Ch(X) = {{(а), (/3)) g P(V*) х P(V*) : q(x) = О /3(х) = 0 Vx 6 X}.

После этого мы доказываем:

Теорема 1.3.5. Пусть аффинное подмногообразие X С V неприводимо, не содержится в однородной гиперплоскости, пересекается с любой однородной гиперплоскостью и dimX > 1. Тогда Ch(X) замкнуто в P(V*) xP(V*).

Наконец, мы используем тот факт, что алгебраический тор, действующий на проективном многообразии, имеет неподвижную точку. Более точно:

Предложение 1.4.1. Если X не обладает свойством отделимости и Ch(X) замкнуто, то существует пара ((а),{(3)) € Ch(X) такая, что а и /3 собственны для Т и линейно независимы.

Предложение 1.4.1 позволяет упростить доказательство критерия выполнения свойства отделимости для ЗХг-орбит бинарных форм, полученного в диссертации К. Баур.

Теорема [9, Теор. 3.4]. Пусть / € k[x,y]n. Тогда орбита Of = SL2 • / обладает свойством отделимости тогда и только тогда, когда форма f имеет линейный делитель кратности один.

Для слабого свойства отделимости мы получаем следующие теоремы.

Теорема 1.6.10. Замыкание орбиты тора X = Т • (1,., 1) С V обладает слабым свойством отделимости тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) конус К острый;

2) во внутренности любой грани конуса К лежит не более одного характера Xi (в частности, Q+Xi Ф Q+Xj пРи i Ф j)

Теорема 1.7.3. Замыкание орбиты тора X = Т • (1 : . : 1) С P(V) обладает слабым свойством отделимости тогда и только тогда, когда во внутренности любой грани выпуклой оболочки conv{xi,., хп} лежит не более одного (в частности, Xi Ф Xj пРи i Ф j)

Наконец, мы рассматриваем сильное свойство отделимости.

Теорема 1.6.14. Предположим, что замыкание орбиты тора X — Г • (1,., 1) С V является конусом. Тогда X обладает сильным свойством отделимости тогда и только тогда, когда X = V (то есть веса хи • • •, Хп линейно независимы).

Теорема 1.7.4. Замыкание орбиты тора X = Т • (1 :. : 1) С P(V) обладает сильным свойством отделимости тогда и только тогда, когда X = P(V) (то есть точки хъ • ■ •) Хп аффинно независимы).

Во второй главе мы переходим от исследования индивидуальных свойств замыканий орбит к изучению семейств таких замыканий и описанию схем, параметризующих такие семейства. Фундаментальным результатом теории проективных многообразий является существование схемы Гильберта, т.е. проективной схемы, параметризующей замкнутые подсхемы в проективном пространстве с фиксированным многочленом Гильберта. В контексте действия алгебраического тора на аффинном многообразии аналогом классической схемы Гильберта является мультиградуированная схема Гильберта, которая параметризует (в техническом смысле, уточненном ниже) однородные идеалы алгебры полиномов (или, более общо, произвольной конечнопо-рожденной алгебры), имеющие заданную функцию Гильберта относительно градуировки абелевой группой. В работе [17] было доказано, что мультиградуированная схема Гильберта существует как квазипроективная схема.

Пусть X — аффинное многообразием, на котором действует алгебраический тор Т. Это определяет градуировку алгебры регулярных функций к[Х] решеткой характеров тора Т. Обозначим #х,г торическую схему Гильберта, то есть мультиградуированную схему Гильберта, параметризующую Т-инвариантные идеалы в к[Щ, имеющие ту же функцию Гильберта, что и торическое Т-многообразие X = Т:г, где х € X — это точка общего положения [23]. Мы доказываем, что существует каноническая неприводимая компонента Но схемы #х,т> параметризующая замыкания типичных Т-орбит в X и их плоские пределы (предложение 2.2.1).

В случае, когда X является торическим (не обязательно нормальным) многообразием относительно большего тора Т, содержащего Т (и Т действует на X ограничением действия Т), фактортор Т/Т естественным образом действует на торической схеме Гильберта #х,т- Более того, главная компонента Hq содержит открытую орбиту Т/Т. Главный результат второй главы — это явное описание веера этого торического многообразия (теорема 2.3.2). Мы также сравниваем веер Щ с веером главной компоненты обратного предела GIT-факторов.

Помимо схемы Гильберта существуют и другие естественные формализации понятия фактора многообразия по действию тора, одной из которых является фактор Чжоу. Торический фактор Чжоу проективного Т-многообразия Y параметризует Т-инвариантные циклы в Y той же размерности и степени, что и замыкание типичной Т-орбиты. Он изоморфен неприводимой компоненте обратного предела GIT-факторов действия Т на Y. Торический фактор Чжоу рассматривался в [19]. В частности, в случае, когда Y — торическое многообразие для большего тора Т, получено описание его веера. Напомним, что веер проективного торического многообразия является нормальным веером к некоторому выпуклому многограннику Р в пространстве, порожденном решеткой характеров тора Т. Пусть Q — проекция этого многогранника на подпространство X{T)q, порожденное решеткой характеров подтора Т. Тогда веер фактора Чжоу — это нормальный веер к многограннику слоев (the fiber polytope) F(P, Q) [И], который является усреднением слоев проекции Р на Q. В случае аффинного Т-многообразия X понятие фактора Чжоу не имеет смысла, однако можно по-прежнему рассматривать главную неприводимую компоненту обратного предела GIT-факторов. В случае, когда X является торическим многообразием для большего тора Т, для описаиия веера главной компоненты обратного предела GIT-факторов в работе [13] введено понятие веера слоев для проекции произвольных полиэдров.

Мы показываем, что в нашей аффинной ситуации веер, отвечающий то-рическому многообразию Но — это нормальный веер к усреднению "целочисленных" слоев соотвествующей проекции конусов. Под целочисленным слоем мы подразумеваем выпуклую оболочку точек слоя, имеющих целые координаты. Этот объект является в некотором роде дискретным аналогом веера слоев. Если X является конечномерным Т-модулем, и градуировка алгебры к[Х] весами тора Т положительна (то есть к[Х]т = к), то веер Но совпадает с нормальным веером к структурному многограннику (the state polytope) [25, Теор. 2.5].

В третьем разделе второй главы мы возвращаемся к случаю произвольного аффинного многообразия X, снабженного действием тора Т. Мы напоминаем конструкцию обратного предела Х/сТ GIT-факторов Х/хТ [7] и описываем канонический морфизм Фх,т : Нх,т -> Х/сТ. Этот морфизм был построен в [17, Раздел 5] для случая когда X является Т-модулем. Пользуясь результатами [10], мы обобщаем эту конструкцию на случай произвольного аффинного Т-многообразия X. Мы определяем аналог универсального семейства Wx,t над главной компонентой (Х/сТ)о схемы Х/сТ и показываем, что ограничение морфизма Фх,г на главную компоненту Но (это бирацио-нальный проективный морфизм Но —» (Х/<?Т)о) поднимается до бираци-онального проективного морфизма универсальных семейств. Мы доказываем, что семейство над нормализацией главной компоненты (Х/сТ%, построенное в работе К. Альтмана и Ю. Хаусена [7], является нормализацией семейства И^хд1 над (Х/сТ)о.

В третьей главе мы переходим к изучению инвариантных схем Гильберта. Инвариантная схема Гильберта — это обобщение понятия мультиградуированной схемы Гильберта на случай действий произвольных редуктивных групп. Пусть G — связная редуктивная группа, и X — аффинная G-схема. Инвариантная схема Гильберта параметризует замкнутые (^-инвариантные подсхемы IbIc фиксированной структурой G-модуля на алгебре регулярных функций к[Х). Существование инвариантной схемы Гильберта для произвольных связных редуктивных групп было доказано в [6].

Мы рассматриваем инвариантные схемы Гильберта в контексте предмета классической теории инвариантов, а именно, для диагонального действия (связной редуктивной) линейной группы G С GL(V) на прямой сумме т копий пространства V. Хорошо известно, что задача нахождения инвариантов для такого действия сводится к задаче нахождения инвариантов системы из п векторов, где п = dim V (редукция первой основной теоремы классической теории инвариантов). Пусть группа G полупроста и ненриводима. Тогда для действия G на т копиях пространства V типичная орбита замкнута и изоморфна G при т > п. Мы показываем, что в случае, когда G является одной из классических простых групп (то есть SL(V), SO(V), Sp(V)), задача построения инвариантной схемы Гильберта, параметризующей типичные орбиты, также сводится к задаче нахождения инвариантной схемы Гильберта в случае п векторов (теорема 3.2.3). Мы также приводим примеры явной геометрической реализации инвариантных схем Гильберта.

Автор благодарна своему научному руководителю кандидату физ.-мат. наук доценту И. В. Аржанцеву за постановку задачи первой главы и внимательное руководство в процессе написания диссертации, профессору М. Бри-ону за постановку задач второй и третьей глав, ряд ценных идей и полезные обсуждения, а также доктору физ.-мат. наук профессору Э. Б. Винбергу за внимание к работе.

1. Винберг Э. Б. и Попов В. J1. Теория инвариантов. Москва: ВИНИТИ, Фундаментальные направления, том 55, 1989, с. 137-315.

2. Попов В. JI. Критерий стабильности действия полуиростой группы на факториальном многообразии// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1970, том 34, №3, с. 523-531.

3. Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы. Москва: Наука, 1980.

4. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. Москва: Мир, 1981.

5. Шафаревич И. Р. Основы алгебраической геометрии. Москва: Наука, 1972.

6. Alexeev V. and Brion М. Moduli of affine schemes with reductive group action //J. Algebraic Geom., vol. 14, 2005,. p. 83-117.

7. Altman K. and Hausen J. Polyhedral divisors and algebraic torus actions // Mathematische Annalen, vol. 334, 2006, p. 557-607.

8. Arnold V. I. A-graded algebras and continued fractions // Communications in Pure and Applied Math., vol. 42, 1989, p. 993-1000.

9. Baur K. Two Contributions to the Representation Theory of Algebraic Groups. Doctoral Thesis, Basel, 2002.

10. Berchtold F. and Hausen J. GIT-equivalence beyond the ample cone // Michigan Math. J., vol. 54, 2006, p. 483-515.

11. Billera L. J. and Sturmfels B. Fiber polytopes // Ann. of Math., vol. 135, №2, 1992, p. 527-549.

12. Bourbaki N. Commutative algebra, Chapters 1-7 // Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 1989.

13. Craw A. and Maclagan D. Fiber fans and toric quotients // Discrete Comput. Geom., vol.37, №2, 2007, p. 251-266.

14. Eisenbud D. and Harris J. The geometry of schemes. Grad. Texts in Math. 197, Springer-Verlage, New York, 2000.

15. Fulton W. Introduction to toric varieties. Ann. of Math. Stud. 131,Princeton Univ. Press, N. J., 1993./

16. Grothendieck A. Elements de geometrie algebrique. IV. Etude locale desschemas et des morphismes de schemas IV. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. No. 32, 1967.

17. Haiman M. and Sturmfels B. Multigraded Hilbert schemes // J. Algebraic Geom., vol. 13, 2004, p. 725-769.

18. Kraft H. and Wallach N.R. On the separation property of orbits in representation spaces // Journal of Algebra, vol. 258, 2002, p. 228-254.

19. Kapranov M., Sturmfels В., and Zelevinsky A. Quotients of toric varieties // Math. Ann., vol. 290, 1991, p. 644-655.

20. Korkina E., Post G. and Roelofs M. Classification of generalized A-graded algebras with 3 generators // Bulletin des Sciences Mathemathiques, vol. 119, 1995, 267-287.

21. Matsumura H. Commutative ring theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1986.

22. Mumford D. and Fogarty J. Geometric Invariant Theory // Springer-Verlag, Berlin, 1982.

23. Peeva I. and Stillman M. Toric Hilbert schemes // Duke Math. J., vol. Ill, 2002, p. 419-449.

24. Premet A. Support varieties of non-restricted modules over Lie algebras of reductive groups // J. London Math. Soc., vol. 55, №2, 1997, p. 236-250.

25. Sturmfels B. Grobner bases and convex polytopes. Univ. Lecture Ser. 8, American Mathematical Society, Providence, R.I., 1996.

26. Swiecicka J. Quotients of toric varieties by actions of subtori // Colloq. Math., vol. 82, №1, 1999, p. 105-116.Публикации по теме диссертации:

27. Чувашова О. В. Свойства отделимости для замыканий торических орбит // Мат. Сборник, том 197, №3, 2006, стр. 117-134.

28. Чувашова О. В. Инвариантные схемы Гильберта и диагональные действия редуктивных групп // депонировано в ВИНИТИ РАН, №895 -В2007 от 25.09.07, 24 стр.

29. Чувашова О. В. Веер главной компоненты торической схемы Гильберта // Успехи Мат. Наук, 2007, том 62 , вып. 5, стр. 167-168.