Устойчивость классов отображений, уравнения бельтрами и квазирегулярные отображения нескольких переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

<ТБ ОД

/ 1> Гг. г,

На правах рукописи УДК 517.54

ДАИРБЕКОВ Нурлан Слямханович

УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ОТОБРАЖЕНИЙ, УРАВНЕНИЯ БЕЛЬТРАМИ И КВАЗИРЕГУЛЯРНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

01.01.01 — математичесхий анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 1995

Работа выполнена в отделе анализа и геометрии Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится «

доктор физико-математических наук, профессор

B. А. Зорин

доктор физико-математических наук, профессор

C. П. Пономарёв

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Семёнов

Волгоградский государственный университет (г. Волгоград)

Ж

овета Д (¡02.2

.1995 г. в

Ж.

часов

на заседании диссертационого совета Д U02.23.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан & » сх^ьусга

.1995 г.

»

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

В. А. Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория устойчивости ттграсх зцачитель-иую роль в исследованиях по теории плоских и прострашл венных квазиконформных отображений. Первые теоремы устойчивости появились в работах М. А. Лаврентьева в связи с построением им основ теории плоских квазиконформных отображений. Дальнейшее развитие теория устойчивости получила в основном благодаря работам П. П. Белинского, Ю. Г. Решетняка и их учеников. Глубокие результаты, касающиеся оценок отклонения квазиконформного отображения от конформных отображений и их применений при изучении топологических свойств отображений, получены В. И. Семеновым.

Основное содержание теории составляют результаты, во первых, устанавливающие, что каждое (1 + е)-квазиконформное отображение в том или ином смысле близко к некоторому конформному отображению и, во вторых, оценивающие порядок отклонения квазиконформного отображения от класса конформных отображений в зависимости от близости коэффициента квазиконформности к единице. Различные способы измерения близости (в С-норме, в -нормах и др.) ведут к различным теоремам устойчивости.

Параллельная теория развивалась в теории квазиизометрических отображений, основы которой были заложены Ф. Джоном.

К указанному кругу вопросов тесно примыкают исследования Л. Г. Гурова по устойчивости класса лоренцевых отображений и класса псевдоизометрий.

Дальнейшее развитие теория устойчивости получила благодаря созданию А. П. Копыловым концепции устойчивости классов отображений в С-норме и построению им на этой основе теории устойчивости классов голоморфных отображений нескольких переменных.

Квазирегулярные отображения, или отображения с ограниченным искажением, играют с момента их введения Ю. Г. Решетняком фундаментальную роль в теории пространственных отображений и различных вопросах геометрии и геометрической теории функций. Глубокая связь квазирегулярных отображений с теорией пространств с обобщенными производными выявлена в работах В. М. Гольдштейна и С. К. Водопьянова.

Уравнения Бельтрами являются одним из основных средств изучения плоских квазирегулярных функций. Начинал с работ Л. Аль-форса, Л. Берса, Б. В. Боярского и И. Н. Векуа уравнения Бельтрами широко используются в теории эллиптических уравнений и систем

уравнений с двумя независимыми переменными. Хорошо известна их роль и в теории интегрирования почти комплексных структур на многообразиях (А. Нюлендер, Л. Ниренберг). В работах С. Дональдсона, Д. Сулливана, Т. Иванека и Г. Мартина уравнения Бельтрами получили приложения к теории пространственных квазиконформных и квазирегулярных отображений чётномерных пространств.

Цель работы состоит в построении основ теории устойчивости в С-норме классов решений систем уравнений в частных производных, изучении свойств решений уравнений типа Бельтрами, связанных с произвольным эллиптическим оператором первого порядка и построении основ теории квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

— найдены необходимые условия устойчивости в С-норме класса решений полиномиальной системы уравнений в частных производных,

— найдено необходимое и достаточное условие устойчивости в С-норме класса решений линейной системы уравнений в частных производных,

— изучен класс решений систем уравнений типа Бельтрами, построенных по произвольному эллиптическому оператору первого порядка с постоянными коэффициентами,

— доказана устойчивость класса сепаратно-конформных отображений нескольких пространственных переменных,

— введены и изучены классы квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных.

Все перечисленные результаты являются новыми.

Методика исследований базируется на концепции А. П. Ко-пылова устойчивости классов отображений в С-норме. Используются методы вещественного и комплексного анализа, включая элементы теории квазиконформных отображений и отображений с ограниченным искажением, теории голоморфных функций, сингулярных интегральных операторов и т.п.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в геометрической теории функций, теории отображений в вещественных пространствах и теории уравнений в частных производных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в Московском и Новосибирском государствеn>ii*u университетах, в Институте математики СО РАИ, Институте прикладной математики и механики All Украины, Институте математики АН Польши; ряде школ по теории операторов в функциональных пространствах: IX (Тернополь, 1984), X (Новосибирск, 1985), XII (Тамбов, 1987); Всесоюзной конференции по геометрии в целом (Новосибирск, 1987); Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988); Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989); Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-11], список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 117 наименований. Общий объем работы 190 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе диссертации напоминаются основные положения концепции А. П. Копылова устойчивости в С-норме (^-устойчивости) и найдены необходимые условия f-устойчивости класса решений полиномиальной системы уравнений в частных производных.

Первый параграф играет вспомогательную роль, в нем вводятся основные обозначения, функционалы Е(/. ©) и £(/, &) локальной и глобальной близости отображения / к данному классу отображений ® и формулируется задача устойчивости.

Пусть пит — произвольная пара натуральных чисел и пусть 0 — некоторый класс отображений областей пространства К" в Ет, причем каждая область из К" является областью определения хотя бы одного отображения из класса 0. Для произвольного дифференцируемого отображения / : U -+ ¡Rm области U С К" в пространство Rm определим понятия локальной и глобальной близости отображений / к классу 0 следующим образом. (Условие дифференцируемости наложено для простоты изложения.)

Для фиксированного р € (0,1) введем относительное расстояние

от отображения / до класса © на шаре В = В(а, г) С U

■(,*(/,*)« inf sup

' j:B(a,r)—>»m l6B{eF„r) diam/(B) j€0

Таким образом, 0) есть точная нижняя грань чисел е, для ко-

торых найдется такое отображение д : В —* Кт из класса ©, что

l/(i)"<7WI<£diam/(B)

для всех i € В(х,рг).

Чтобы не зависеть от конкретного значения р, введем функционал

i

Ы/,0) = J

который измеряет близость отображения / к классу 0 в равномерной метрике внутри шара В, отнесенную к размерам f(B).

Положим

£(/,©)= supfr (/,©).

Вси

В определении f (/, 0) точная верхняя граница берется по всем шарам В, лежащим в области U. Так определенный функционал глобальной близости ( измеряет близость / к классу 0 внутри каждого шара из области определения /. Отображение / е-глобально близко к классу 0, если ((/, 0) < £.

Назовем отображение / е-локально близким к классу 0 в точке х £ U, если его дифференциала dfx в точке х е-глобально близок к классу 0: £(dfx, ®) < е. Отображение / е-локально близко к классу ©, если оно е-локально близко к классу 0 в каждой точке х € U из области определения. Определим функционал локальной близости отображения / к классу ©, полагая

Е(/,в) = sup

zeu

Требование содержательности теории накладывает ряд ограничений на класс 0. Назовем класс © нормальным, если он удовлетворяет следующим условиям:

01. Отображения класса © локально ограничены.

02- Класс © инвариантен относительно преобразований параллельного переноса и растяжения в К" и ®т, т. е. если д : V —* — отображение из класса Л. то для произвольных чисел с\,с% £ ® и произвольных векторов а 6 К" п 6 € К*4 отображение с\д{слх + а) + 6 с соответствующей областью определения принадлежит классу ©.

83. Каждое равномерно ограниченное семейство Б = {д : I/ —> Ет} отображений из класса ©, заданных в области V С Ж", равностепенно непрерывно внутри II (т. е. на каждом компактном подмножестве {/).

04. Класс © замкнут в топологии равномерной сходимости на компактах.

Э5. Класс 0 замкнут относительно сужений, т. е. если д : II —+ Р.'" — отображение из класса <5 и V — подобласть {/, то сужение д|у отображения д на V принадлежит классу 6.

06. Класс © замкнут относительно расширений, т. е. если отображение д : II —+ Жт таково, что для каждой точки лежащей в /У найдется её достаточно малая окрестность V такая, что сужение д\у отображения д на V принадлежит классу ©, то д £ ©.

Пусть Я — ещё одни класс отображений областей пространства К" в Жш (класс 5) определяет априорные предположения, накладываемые на рассматриваемые отображения /, и, как правило, либо является классом бесконечно дифференцируемых отображений, либо классом С. Л. Соболева 1У1 = У И^1^)- Класс © называется устойчивым

относительно класса Я, если класс © нормален и существует вещественная неотрицательная функция а = (е), 0 < е < ео, со свойствами:

1) а(е) а(0) = 0 при е —> 0;

2) если для отображения / из класса 9) выполняется неравенство 5(/, в) < £, то для этого отображения справедливо также неравенство

Во втором параграфе выясняются необходимые условия ^-устойчивости класса С°°-решений системы дифференциальных уравнений в частных производных

р>п

Щ»<а(е).

(1.2.1)

.7 = 1,2... А

причем каждая из функций является многочленом относительно всех своих аргументов, начиная с (я + 1)-го, т. е. многочленом относительно символов искомых функций и их производных, а коэффициенты этих многочленов принадлежат классу С°°(КП).

Доказано следующее утверждение.

Теорема 1.2.2. Если класс <& решений системы вида (1.2.1) является устойчивым относительно класса С°°, то тогда система эквивалентна некоторой системе такого же вида, но первого порядка и с постоянными коэффициентами, причем левая часть каждого из её уравнений задается оинородным многочленом относительно символов яервых производных искомых функций и не зависит от символов самих функций.

Согласно этой теореме устойчивый класс должен задаваться системой полиномиальных уравнений в частных производных вида

3 = 1,..., к, причем каждый многочлен Р^ является однородным.

В случае линейных систем, система (1.2.2) приобретает вид

п ш о

; = (1.2.4)

¿=1 1

где 6 К — некоторые постоянные. В матричной форме система уравнений (1.2.4) выглядит следующим образом:

= = . (1-2.5)

Теорема 1.2.7. Если класс & решений системы (1.2.5) является нормальным, то эта система эллиптическая.

Так как условие нормальности включено в определение устойчивого класса, теорема 1.2.7 утверждает, что эллиптичность системы (1.2.5) является необходимым условием устойчивости класса её решений.

Вторая глава посвящена изучению свойств отображений, локально ¿-близких к классу решений эллиптической системы вида (1.2.5).

В первом параграфе для системы (1.2.5) определяется уравнение типа Бельтрами

Df(x) = Q{x)Vf(x), (2.1.3)

где D — дифференциальный оператор, определенный левым равенством формулы (1.2.5), Q : П -* ®txnm — измеримое отображение области 0 С Ж" в пространство (к х пга)-матриц, а

v,(dh 9U dh д/гЛ

Дается следующая характеристика отображений, локально близких к классу 2> решений системы (1.2.5).

Теорема 2.1.5. Если отображение f : П —+ !т области П С R", принадлежащее классу W1, удовлетворяет условию Е(/, £>) < е, то тогда f является решением некоторой системы вида (2.1.3) с ||<5||сс < 4пае. Здесь

a = aD = max{ \aD{t)v\ | \t\ = 1, |v| = 1}. (2.1.4)

Таким образом, изучение класса локально близких отображений сводится к изучению класса V(e), образованного решепиями всевозможных уравнений типа Бельтрами (2.1.3) с ||£?||оо <

Во втором параграфе рассматривается интегральное представление функций из пространства Соболева W^ через значения дифференциального оператора D и связанные с представлением интегральные операторы. Упомянутое интегральное представление строится на основе некоторого фундаментального решения Я = си-

j=l,2,...,m

стемы, формально сопряженной системе (1.2.5):

1=1

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.2.1. Пусть f : ü -* Mm — отображение класса .

ограниченной области П С К" с С1-гладкой границей ВО. Тогда для почти всех х € П

/(*) = - j HT{y-x)aD{u{y))f{y)dSu + j Нт(у- x)Df (у) dy = an n

s (Фan/)(») + {RaDf)(x), (2.2.4)

где Нт(у) обозначает транспонирование матрицы Н(у) и при построении поверхностного интеграла в (2.2.4) используется след отображения / на 80. в смысле теории пространств С. Л. Соболева.

В формуле (2.2.4) ггд(и) — значение символа оператора Б на векторе V € К™.

Ядро интегрального оператора

{М)(х) = I Нт(у - хЩу) Иу, (2.2.7)

и»

порожденного вторым слагаемым в представлении (2.2.4), допускает применение теории дифференцирования интегралов с особенностями. Полагая

УМ = РЛ (2.2.8')

для финитных функций Л, мы получаем сингулярный интегральный оператор Р. Оператор Р играет фундаментальную роль в исследовании свойств классов решений уравнений типа Еельтрами (2.1.3). Он является аналогом, в случае произвольного эллиптического оператора В, комплексного преобразования Гильберта (называемого также оператором Альфорса — Берлинга), играющего важную роль в изучении плоских квазиконформных отображений.

Оператор Р ограничен в пространствах Ьр при р > 1. Для его нормы Тр в этих пространствах выполнена

Теорема 2.2.5. Величина Тр удовлетворяет следующим соотношениям:

Тр = О(р) при р оо и Тр = О ^—при р —♦ 1; (2.2.9) ттТр = Т2 = 1. (2.2.10)

В третьем параграфе получена оценка ¿р-нормы градиента для отображений класса 2>(е).

Теорема 2.3.1. Пусть вещественные числа е > 0, р > 1 и й > 1 таковы, что еТр < 1 и еТ^ < 1. Пусть /:£/-» Кт — отображение класса И/р'1ос(6г) области V С ®п, причем / является решением некоторой системы вида (2.1.3) с ||<2||оо < е. Тогда / € И-^11ос(С/). причем для любой функции 8 € С™(и, Е) выполнено неравенство

(2.3.2,

1 - еТ^

где постоянная а определяется формулой (2.1.4):

а = ао - тах{ |<Х£>(ОД | |г1 = 1, И - 1].

Оценка, полупенная в тео^ме 2.3.1 является базисной в наших исследованиях свойств решений уравнений типа Бельтрами. Эта оценка позволяет снижать априорные дифференциальные условия на решения систем Бельтрами (2.1.3) (следствие 2.3.2), получить аналог (и обобщение) теоремы Б. В. Боярского о суммируемости частных производных плоских квазиконформных отображений (следствие 2.3.3), исследовать асимптотическое поведение порядка суммируемости ч;астных производных первого порядка отображений класса Х>(с) при е —> О (теорема 2.3.5), оценить модуль непрерывности отображений класса 23(е) (теорема 2.3.6).

Основываясь на оценке из §3, в четвёртом параграфе мы показываем, что аналог теоремы Лиувилля о постоянстве ограниченной целой функции имеет место для отображений класса Ю(е).

В пятом параграфе в частности установлены такие важные свойства классов Э(е), как замкнутость и компактность семейств отображений из класса.

Следствие 2.5.3. При е < 1 класс Ю(с) замкнут в топологии равномерной сходимости па компактах.

Следствие 2.5.4. Пусть £ < 1/Т„. Семейство отображений О = {/: 1/ —* Ж'" } из класса, Ю(е) относительно компактно в топологии равномерной сходимости на компактных подмножествах V тогда и только тогда когда оно равномерно ограничено внутри и (т. е. на каждом компакте, лежащем в и).

В шестом параграфе доказывается теорема 2.6.1 об аппроксимации решений квадратных (к = тп) систем Бельтрами (2.1.3) с измеримыми коэффициентами решениями таких систем с гладкими коэффициентами. В частности, её следствие 2.6.3 говорит, что в случае квадратных систем каждое отображение класса Ю(е) с малым £ аппроксимируется в компактно-открытой топологии гладкими отображениями того же класса.

В качестве приложения, в этом параграфе доказывается теорема о композиции решений комплексных уравнений Бельтрами (теорема 2.6.5).

В § 7 изучаются устранимые особенности для уравнений Бельтрами с правой частью

0/{х)=(Цх)Ч/{х) + Г{х). (2.7.1)

В качестве следствия получено достаточное условие устранимости особенностей для систем с непрерывными коэффициентами.

Теорема 2.7.2. Пусть Р(х,д) = ]Г) Ра{х)да — матричный эл-

N<1

липтический оператор в области П С К" с непрерывными коэффициентами Ра : П —*■ Ktxm, |q| < 1. Пусть X — относительно замкнутое подмножество (I и f : Ct\X —» Rm — решение класса W^loc(il\X) П Lrjoc(fl), 2 < г < оо, системы уравнений

P(x,d)f(x) = £ Pa(x)daf(x) = F(x) (2.7.7)

H<i

с правой частью F € ¿2,1ос(^)- Если хаусдорфова размерность Н-dim А' меньше п — г/(г — 1) при г < оо или меньше п — 1 при г = оо, то отображение f может быть продолжено до решения системы (2.7.7) на всем П.

В третьей главе диссертации на основе результатов предыдущих глав установлены различные теоремы устойчивости класса Э решений эллиптической системы (1.2.5).

В § 1 доказана устойчивость класса 2J в С-норме. В частности, получены теоремы, положительно решающие вопрос о ¿-устойчивости класса 2).

Теорема 3.1.2. Класс 2) устойчив относительно класса W1.

Теорема 3.1.3. Семейство классов { / € W1 ( Е(/, £>) < е} отображений из класса W1 е-локально {-близких к класса 2) асимптотически эквивалентно семейству классов {23(e)}.

В § 2 изучается устойчивость в W^-норме. Например, имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.2.1'. Пусть р > 1. Пусть U — область в ft", и пусть V С U — компактное подмножество U. Тогда существует функция /3(е) = PpUv{e), определенная при 0 < е < 1/Тр и такая, что:

(и) для каждого отображения / : U —»IRm из класса 23(e), 0 < е < 1/Тр, найдется отображение g : U Rm из класса 2) такое, что

II/ " illijsV = II/ - 9\\p,V + ||V(/ - <7)||P,v < № diam/(i/).

В третьем параграфе исследуется устойчивость в теоремах Коши и Морера.

В четвертом параграфе обсуждается вопрос о порядке устойчивости. Установлен линейный порядок устойчивости п случае киадрад,-ных систем и в случае систем Коши — Римана, т. с. голоморфных отображений.

Теорема 3.4.1. Предположим, что система (2.1.1) квадратная, т. е. к — т. Пусть U — область в Л", и пусть V С U — компактное подмножество U. Тогда существует постоянная С == Cu,v < 00 такая, что: для каждого отображения / : U Шт из класса 23(e), 0 < е < 1, найдется отображение g :U —► Rm из класса V такое, что

\f(t)-g(t)\<Cediamf(U) (3.4.1)

для всех t € V.

Теорема 3.4.2. Пусть U — псевдовыпуклая область в С" и V — компакт в U. Тогда существует постоянная С — Сцу такая, что для любого отображения / : U —» С"1 из класса <£(е), 0 < е < 1, найдется голоморфное отображение g : U —► Cm такое, что

\f(z)-g(z)\<Cedia.mf(U)

для всех z € V.

В теореме 3.4.2 класс £(е) есть класс решений / всевозможных комплексных уравнений Бельтрами

М*) = <2(*)Л(г),

где / : Д —► Ст — непрерывное отображение области А С С" класса Ж2]ос(А), a Q : Д —+ cnmxnm — измеримое отображение Д в пространство комплексных (nm х пт)-матриц, причем ||Q||oo S

В пункте 3.4.5 приведен пример неулучшаемости линейного по е порядка.

В пятом параграфе обсуждается вопрос об устойчивости в замкнутой области.

Здесь доказаны теоремы устойчивости в замкнутой области для квазиконформных отображений на плоскости и в пространстве.

Теорема 3.5.3. Пусть / : U —»С — К-квазиконформное отображение области U С. С. Тогда, существует конформное отображение if : U —» С такое, что

\Нг)-ф)\<а(КЩ/(и)) 13

для всех г £ и, где функция а(К) та же, что и в лемме 3.5.2, а Л(/(£/)) обозначает радиус наименьшего шара содержащего /(11) (Щ/(1/)) =

оо, если /(II) неограничено). «

Функция а(А') универсальна в том смысле, что не зависит от /, причем она допускает оценку а(К) < С(К — 1).

Теорема 3.5.4. Пусть п > 3 и 5 € (0,1]. Существуют числа £о = £о,п,{ > 0 и С — Сп<( < оо такие, что если / : V —* Ж" — непостоянное отображение с ограниченным искажением области и С Ж" класса 11(6), причем коэффициент искажения К(/) удовлетворяет неравенству К(/) < 1 + £о, то найдется мёбиусово отображение </э такое, что

\1(х)-ф)\<сп(т)[к(/)-1}

для всех х € и, где Л(/((/)) — радиус наименьшего шара, содержащего /(!/).

В пункте 3.5.3 приведен один пример отсутствия устойчивости в замкнутой области.

Глава 4 диссертации посвящена изучению сепаратно-конформных отображений и квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных.

В первом параграфе вводится модельный класс <& = &™к отображений областей пространства (!&")* = Е" х К" х ... х К" (к раз) в пространство (Ж")т с аналогичным разложением. Элементы х € (К")* и у £ (К")т представляются в виде х = (х\,х2,... хз £ 1 = 1,2,...,к\ у = (¡/1)2/2)• • • ,Ут), У} € 1 = 1,2,...,т.

Матрица Якоби отображения / = (/ь/2)--- ,1т) ■ V —> (Е")"' области II С (К.")* представляется в блочном виде

7=1,...',* 7

определение 4.1.1 (основного класса ®). Пусть II — область в (ИИ")* и д : [/ (Еп)т — отображение класса С°°{и, (Е")т). Отображение д принадлежит, классу 0 = если для всех х 6 II, г € {1,2,...,т} и € {1,2,...,линейное отображение д\-(:г) : Шп —► К" либо постоянно (= 0), либо является сохраняющим ориентацию общим ортогональным преобразованием.

При к = т = 1ип>3 класс © есть объединение класса тождественно постоянных отображений и класса сохраняющих ориентацию мёбиусовых преобразований областей пространства К". Если

же п = 2, а к > 1, тп > 1, то © есть класс голоморфных отображений областей С* в С™.

В случае и > 3. к > 1 и тп > 1 каждая компонента отображения — (51 ,д>,... , дт) из класса в принадлежит классу в, который определяются следующим образом.

определение 4.1.2. Пусть п > 3 и к > 1. Отображение /:{/-+ Ж" области и С (Яп)к принадлежит классу в = ©*, если для любого «полишара» В = В\ х Вг х ... х В* С С/, В} — шары в для каждого .7 € {1,2,... и любой точки (ц,... ... €

х ... х В]-1 х х ... х Вк отображение

г /(хи ... >Х}-}, ¿,а;у+ь • ■ • * €

либо постоянно, либо является сохраняющим ориентацию мёбиусовым преобразованием.

Отображения класса © названы сепаратно-конформными. Для них доказана, следующая теорема.

Теорема 4.1.3. Пусть / = (/и/г,--- ,/п) ■ и Шп — отображение области И С (!?.")* из класса. &. Тогда существуют такие полиномы и Р], j = 1,2,... , п, степени не выше 2к, что

причем Qj не обращаются в нуль нигде в II.

Во втором параграфе вводятся квазирегулярные отображения нескольких пространственных переменных и устанавливается их связь с отображениями, локально близкими к классу

определение 4.2.1. Пусть I] — область в (Шп)к и / : и -+ (К")го — отображение области V в пространство (Е")т. Отображение / называется квазирегулярным отображением нескольких (пространственных) переменных, если выполнены следующие условия:

2) существует постоянная К < оо такая, что

< (4.2.1)

для почти всех х € II.

Класс А"-квазирегулярных отображений, К > 1, обозначается через е(К) = е%к(К).

Следующая теорема показывает, что отображения, локально (близкие к модельному классу 0, являются квазирегулярными, причем коэффициент квазирегулярности K(f) стремится к единице, когда значения функционала локальной близости Е(/, ©) стремятся к нулю.

Теорема 4.2.4. Существует функция а(е), 0 < е < £о, такая, что

1) lima(e) = а(0) =0,

2) если отображение f : U —> (E")m области U С (Кп)*, принадлежащее классу W1, удовлетворяет условию Н(/, ©) < е < ео, то тогда f € 0(1 + а(е)).

Кроме того, имеет место

Теорема 4.2.6. Класс 0(1) совпадает с классом 0.

В третьем параграфе изучаются семейства отображений класса <£>(К). Здесь мы доказываем (теорема 4.3.1), что всякое семейство квазирегулярных отображений нескольких переменных с равномерно ограниченным коэффициентом квазирегулярности, локально ограниченное в in, будет локально ограниченным и в W^. Также мы доказываем теорему замкнутости для классов ©(А").

Теорема 4.3.3. Пусть ft:U~* (ln)m, а = 1,2,___, — последовательность отображений, принадлежащая классу <ö{K) для некоторого К > 1 и сходящаяся в Ln\ac{U, (Ж")га) к отображению f : U —+ (®n)m. Тогда f е &(Ко), где К0 = lim К(/3).

Л—00

В четвёртом параграфе устанавливается предварительная теорема устойчивости класса 0.

Теорема 4.4.1. Пусть р € (0,1). Тогда существует функция ß(K) = ßp(K), определенная при К > 1 и такая, что:

1) Vim ß(K) = ß(l) = 0,

Л —

2) для каждого отображения f : B(a, R) —» (¡R")m из класса <£>{К), К > 1, найдется отображение g : B(a,R) —> (Rn)m из класса © такое, что

J |f'(x)-g,{x)\ndx<ß(K) J |/'(х)|" dx,

B{a,pR) B(a,R)

где B(a, R) — шар в (®n)*.

Опираясь на неё и на свойства отображений класса ©, мы устанавливаем гёльдеровость отображений из класса <&{К) и признак компактности.

Теорема 4.4.3. Существует постоянная К\ = Ki(n,k,m) > 1 такая, что каждое отображение из клагга <&(К) с К < К, ¿школьно гёлъдерово. Семейство S отображений {/ : U (л*1)"} из класса <&(К) с К < К\ предкомпактно в C]oc(U, (®")m) тогда и только тогда, когда оно локально равномерно ограничено.

В пятом параграфе устанавливается устойчивость класса © в С-норме. В частности доказаны следующие утверждения.

Теорема 4.5.2. Класс © устойчив относительно класса W1.

Теорема 4.5.3. Семейство классов { / € W1 | Е(/, 0 < е} отображений из класса W1 е-локально близких к класса © асимптотически эквивалентно семейству классов {©(1 + е)}.

Пятая глава диссертации посвящена построению уравнения типа Бельтрами для квазирегулярных отображений областей пространства. (®п)* в пространство (®")т, т. е. для отображений классов для чётных n, п = 21, и значений К, близких к единице.

В первом параграфе строятся основные дифференциальные операторы, участвующие в построении уравнения Бельтрами.

В пункте 5.1.1 мы напоминаем конструкцию Дональдсона и Сулли-вана разложения пространства Л'(Н2') комплекснозначных /-форм на Е2' в прямую сумму пространств автодуальных и антиавтодуальных форм:

А'(К2/) = A+(R2') ф Л-(К2'), (5.1.3)

а также разложение оператора внешнего дифференцирования на пространстве дифференциальных (I — 1)-форм:

d = d++<T.

В пункте 5.1.2 мы рассматриваем дифференциальные формы и операторы в (L-,2')*. Мы обозначаем

(к2')* = r?' © ... е ц11,

где ffij', j = 1,2..., к, — j-я копия пространства Ж2', и полагаем

/ k \ m £'=(©A'(®f)J , 5 = 1,2. ..,2/, (5.1.10)

£+=(.©Л+(*?)У\

У:1 (» .(5.1.11)

с~ = f ® л~(е2'П .

Имеет место разложение, аналогичное (5.1.3):

С1 = £+ф£~. (5.1.12)

Для открытого множества U С (R2')*, в соответствии с (5.1.10)-(5.1.11) вводятся пространства комплекснозначных дифференциальных форм на и: fls = П+ = Sl^JU), П~ = St^JU). Мы вводим дифференциальный оператор

V : П'г,2 -> П'Г,1 ,

как композицию оператора внешнего дифференцирования и проектирования [•] : Л'((К2')*,Сга) —> С1, и вводим дифференциальные операторы

D+ : fl'rL П+

к,!,}» *,/,т

и

2>~ : П'Г,1 -> ПГ, аналогичным образом. Тогда имеет место разложение

£> = £>+ + Z>~.

В этом пункте проводится ряд построений, связанных с операторами Т>, Т>+ и В частности строится сингулярный интегральный оператор

с . 7 г+л _ ^

удовлетворяющий фундаментальному тождеству

V'lj = 5(I>+w) (5.1.16)

на гладких финитных формах ш G ft'-1. В случае i = fc = m = 1 оператор 5 эквивалентен оператору Альфорса — Берлинга.

Во втором параграфе строится уравнение Бельтрами для квазирегулярных отображений областей пространства (К2')*. Уравнением Бельтрами называется система уравнений

£>+Ф = //2ГФ (5.2.1)

относительно Ф G ft'-1. Здесь ¡i-.ll-* L(C~,C+) — измеримое отображение области U С (К2')* в пространство линейных отображений из С~ в £+, причем

= ess sup ||/j(x)|| < е < 1. хе и

S : lp({m2l)k,C+) ¿p((R2')\£-), р > 1,

Для решений системы (5.2.1) мы получаем оценку (лемма 5.2.2). аналогичную оценке теоремы 2.3.1.

В пункте 5.2.2 устанавливается связь между квазирегулярными отображениями и уравнениями Бельтрами (теорема 5.2.3). Доказывается, что прообраз некоторой (I — 1)-формы при квазирегулярном отображении с коэффициентом квазирегулярности близком к единице является решением некоторой системы Бельтрами (5.2.1).

Опираясь на построения §2, в третьем параграфе мы получаем оценку Lp-норм производных А'-квазирегулярного отображения и устанавливаем, что порядок суммируемости производных такого отображения неограниченно возрастает при К —> 1.

Пусть d(K) = dkjtm(K) есть точная верхняя грань чисел d таких, что частные производные первого порядка каждого отображения из класса <3%jk(K) локально суммируемы в степени d, т. е.

Jn/ « sup^l/ewjiloc(£0}.

/:f/c(r?')i-(>i2')m /ев(аг)

Имеет место следующая Теорема 5.3.4. ^im d(K) — оо.

В этом же пункте мы доказываем теорему об устранимых особенностях для ограниченных квазирегулярных отображений.

Теорема 5.3.5. Для любых натуральных чисел k,l,m и любого К, удовлетворяющего неравенству 1 < К < Ко, существует £ = e(k,l,m,K) > 0 такое, что каждое замкнутое множество X С , имеющее хаусдорфову размерность Н — dim X, меньшую е, устранимо для ограниченных отображений из класса ^¡¡¡{К) с К < Ко-

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Даирбеков Н. С., Копылов А. П. Об устойчивости в С-норме классов решений систем линейных уравнений с частными производными //9 Школа по теории операторов в функциональных пространствах, Тернополь, сент. 1984 г.: Тез. докл.-Тернополь, 1984. С. 137.

2. Даирбеков Н. С., Копылов А. П. ¿-устойчивость классов отображений и системы линейных уравнений с частными производными // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, №2. С. 73-90.

3. Даирбеков Н. С. К устойчивости классов конформных отображений на плоскости и в пространстве // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, №5. С. 188-191.

4. Даирбеков Н. С. Устойчивость в С-норме классов решений эллиптических систем уравнений в частных производных: Дис. ... канд. физ.-мат. наук.-Новосибирск, 1986, 103 с.

5. Даирбеков Н. С. О замкнутости и компактности классов решений систем типа Бельтрами // 12 Школа по теории операторов в функциональных пространствах, Тамбов: Тез. докл.-Тамбов, 1987. О. 60.

6. Даирбеков Н. С. О сглаживании отображений, близких к решениям эллиптических систем первого порядка // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, №3. С. 70-72.

7. Даирбеков Н. С. Свойства решений многомерных уравнений Бельтрами.-Новосибирск, 1988, 35 с. (Препр./АН СССР. Сиб. отд-ние. Институт математики; №28).

8. Даирбеков Н. С. Понятие квазирегулярных отображений нескольких п-мерных переменных // Докл. РАН. 1992. Т. 324, №3. С. 511-514.

9. Даирбеков Н. С. Об устранимых особенностях эллиптических систем первого порядка с нерегулярными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, №1. С. 65-69.

10. Даирбеков Н. С. Квазирегулярные отображения нескольких п-мерных переменных // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, №4. С. 87-102.

11. Даирбеков Н. С. Устойчивость классов квазирегулярных отображений нескольких пространственных переменных // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, №1. С. 47-59.