Вопросы существования в теории пространственных отображений с ограниченным искажением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

российская академия наук

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

, На правах рукописи

I

Журавлев Игорь Владимирович

ВОПРОСИ СУЩЕСТВОВАНИЯ В ТЕОРИИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИСКАЖЕНИЕМ

01.01.01. - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета

Официальные оппоненты: д.ф,- м.н., профессор С.К.Водопьянов,

д.ф.- м.н., профессор В.А.Зорич, д.ф.- м.н., профессор А.П. Копылов.

Ведущая организация - Институт математики Украинской академии наук.

Защита состоится "_"_ 1993 г. в_

часов на заседании специализированного совета Д 002.23.02 в Институте математики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск 90, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан _1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета д.ф.- м.н.

В.А. Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория квазиконформных отображений, юновы которой были заложены в работах Г.Гре^а и М.А.Лавренть-ша в конце двадцатых годов, в настоящее время является глав-шм направлением активно развивающейся метрической теории ото-5ражений, имеющим глубокие связи с другими областями математи-юского анализа и прикладной математикой.

Пространственные квазиконформные отображения были введены LA. Лаврентьевым в 1938 году. Ряд сформулированных в его ра-5отах проблем, а также теоретические и прикладные результаты, яостигнутые с использованием квазиконформных отображений на хгоскости, привели к нарастанию интереса к пространственным квазиконформным отображениям и созданию их теории. Интенсивное развитие теории пространственных квазиконформных отображений этносится к началу шестидесятых годов. Важную роль в разработке ее проблем сыграли работы Л. Альфорса, П.П.Белинского, И.Н. Векуа, Л.И. Волковысского, Ю. Вяйсяля, Ф. Геринга, В.А.Зорича, H.H. Песина, Ю.Г.Решетняка, Г.Д.Суворова, Б.В. Шабата и других математиков. Сейчас теория квазиконформных отображений является далеко продвинутым разделом математического анализа. Заметный вклад в развитие результатов теории, ее техники и приложений внесли исследования российских и украинских математиков: А.В.Асеева, С.К.Водопьянова, В.М.Гольдштейна, а.П.Копылова, С.Л. Крушкаля, В.М.Миклккова, Й.П.Миткжа, В.Н. Монахова, В.В. Семенова, а.В.Сычева, В.М. Гутлянского, П.М.Тамразова, Ю.Ю. Трохимчука.

Важным этапом в становлении теории пространственных ква-

зиконформных отображений явилось создание теории пространс венных отображений с ограниченным искажением. Начало исслед ваниям пространственных отображений с ограниченным искажен» положили работы Ю.Г.Решетняка середины шестидесятых годо: Изучение отображений с ограниченным искажением привело к у: дублению идей,, методов и результатов теории квазиконформн отображений, оказывает влияние на развитие нелинейного анал за.

М.А. Лаврентьев впервые ввел понятие характеристики кв; зиконформности отображения, которое оказалось полезным инстр: ментом для постановок и решения многих задач теории квазико] формных отображений и ее приложений. Задание характерист] квазиконформности определяет дифференциальные уравнения, огп сывающие квазиконформные отображения. Квазиконформные отобр; кения на плоскости можно рассматривать как гомеоморфные реш( ния комплексного уравнения Бельтрами. Центральными результат; ми теории плоских квазиконформных отображений являются теоре» о существовании гомеоморфных решений уравнения бельтрами, о( ладающих заданными характеристикам. В пространственном случ; описание квазиконформных отображений на языке дифференциальна уравнений с частными производными приводит к нелинейным, пер* определенным системам уравнений. Теоремы существования отобр; ¡кений с заданными характеристиками доказаны в пространствен» случае только для некоторых, довольно узких с позиций теор! квазиконформных отображений, классов отображений. -

Основные результаты настоящей работы посвящены изучен! систем дифференциальных уравнений с частными производным! возникающих при описании отображений с ограниченным искажен! ем: системы связанной с матричнозначной характеристикой квг

зиконформности - нормированной матрицей Якоби, а также комплексной системы, являющейся многомерным аналогом уравнения Бельтрами.

Научная новизна. В работе представлены результаты нового подхода к описанию отображений с ограниченным искажением на языке переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными, основанного на использовании матрично-значной характеристики квазиконформности отображений - нормированной матрицы Якоби. Для •некоторых классов отображений с ограниченным искажением получены интегральные представления отображений по характеристике, дано описание ряда их свойств.

'Доказана теорема существования гомеоморфного решения для ' многомерного комплексного аналога уравнения Бельтрами, заданного во всем пространстве.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут найти применения как в других разделах математики ( дифференциальной геометрии, теории уравнений с частными производными, комплексном анализе ), так и в приложениях ( гидродинамике, газовой динамике ).

Методика исследований базируется на широком применении аппарата внешних дифференциальных форм с суммируемыми коэффициентами, теорем вложения С.Л.Соболева, а также результатов теории отображений с ограниченным искажением.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и четырех глав и изложена на 215 страницах машинописного текста. Библиография содержит 84 наименования научных работ.

Апробация работы. Результаты диссертации излагались на научных семинарах в ИМ СО РАН, МГУ, МИ РАН, на Всесоюзной

конференции по геометрической теории функций ( 1988 ), Всесс юзной конференции по геометрии и анализу ( 1989 ), на Всесоюз ных семинарах "Актуальные вопросы комплексного анализа" (198Е 1989 ), Республиканском совещании - семинаре по комплексно!* анализу и прикладным задачам управления ( 1989 ).

Результаты опубликованы в-11 работах, список которых при веден в конце автореферата.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор основного содержат диссертации.

Первая глава диссертации "Характеристики квазиконформнь отображений" носит вспомогательный характер. В § 1 Гл. даются сведения из математического анализа, используемые дальнейшем тексте работы: уточняются обозначения и определен! классов функций, излагаются элементы теории дифференциалы^ форм с суммируемыми коэффициентами.

Во втором параграфе Гл.1 сформулировано определение отс Сражений с ограниченным искажением, приведен ряд результате теории этих отображений, вводится нормированная матрица Якоб!

Пусть V - открытое множество в к11 и i : V —► if - отображение, принадлежащее классу W 1ioc( V ) , где р >

я fl

Для почти всех х t V определена матрица ( (х)), 1,3 >

д х

= 1,..., п, образованная значениями обобщенных производш функции f(x) , которую будем обозначать символом 1 (х). Oi ределитель det Г (х) обозначим через J( х, 1 ) и будем ш называть якобианом отображения Г(х). В дальнейшем Л п

- б -

[гространство n х n - матриц с вещественными элементами; для

матрицы A í Л п полагаем | А | = sup | А х |, х е к11.

1*1=1

Будем говорить, что функция ф : Т> —► к не меняет знака на множестве V, если либо ф(х) > 0 почти всюду на V, либо ф(х) < 0 почти всюду на V .

Сформулируем определение отображений с ограниченным искажением Пусть V - область в кп .

Определение 1.1. Отображение Г : V —► к11 называется отображением с ограниченным искажением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) отображение í(x) непрерывно в Т> ;

2) í(x) принадлежит классу Wn1loc( V ) ;

3) существует такое число Q , что для почти всех х € V выполняется неравенство

| I ' (х) í Q |J( х, 1 )|,

4) якобиан J( х, Г ) не меняет знака в области V .

Точная нижняя граница постоянных Q , для которых почти всюду в V справедливо неравенство 3), называется коэффициентом искажения и обозначается символом Q( I ) или Q( f, Т> ). Квазиконформные отображения суть гомеоморфные отображения с ограниченным искажением.

В работе приводятся' некоторые наиболее важные для дальнейшего изложения результаты теории отображений с ограниченным искажением: обобщенная теорема Лиувилля, теорема Лаврентьева о

Г)

Решетняк Ю.Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. - Новосибирск: Наука, 1982.

- Г -

гомеоморфности локально квазиконформных отображений многомер ного пространства, теорема о радиусе инъективности, свойств множества точек ветвления отображений с ограниченным искаиени ем.

Для произвольного отображения с ограниченным искажение] почти всюду в его области определения е> выполняется неравен ство |Л( х, г )| > 0. Отсюда следует, почти всюду в V опре делена матрица

1/п

. К( I, х ) = 1 (х)/|«Г(х, 1)|-р

которую будем называть нормированной матрицей Якоби.

Основное место в работе занимает задача о восстановлени отображения по нормированной матрице Якоби. Эта задача сводит ся к изучению системы дифференциальных уравнений с частным производными

1/п

Г (х) = К(х) |,1( х, 1 )| , (1

Система ( 1 ) переопределена. В работе найдены необходимы' условия существования решений системы ( 1 ) и показано, чт выполнение этих условий при некоторых ограничениях на К(х гарантирует существование решений уравнения ( 1 ) и позволяв восстановить отображение 1(х) по К(х) в явном виде.

В § 3 Гл. i обсуждается введенное м.А.Лаврентьевым поня тие характеристик квазиконформных отображений (см., например Лаврентьев м.А. Теория квазиконформных отображений плоски областей. - В кн.: Юбилейный сборник АН СССР.Т. I, м.- Я. 1947. - С. 96 - 113.) .

Характеристики квазиконформности оказались полезным инструментом для постановок и решения многих теоретических и прикладных задач, в которых используются квазиконформные отображения. Характеристиками диффеоморфного отображения t'.V —» —» Rn области Оск" называются числовые параметры ( функции ), заданные в D и определяющие в кавдой точке х € V эллипсоид или параллелепипед из о?п , которые под действием дифференциала di переходят в сфер/ или, соответственно, в куб со сторонами, сонаправленными векторам фиксированного ортонормированного базиса пространства к11. Отметим, что в теоремах существования теории квазиконформных отображений принято задавать характеристики так, чтобы они определяли соответствующее семейство эллипсоидов с точностью до растяжения. С учетом этого замечания задание характеристик первого типа ( семейства эллипсоидов ) равносильно заданию в D римановой метрики g1;jdx4x*', 1,3 = 1,..., n , det g1;j= 1. Матрица G(x) = ( связана с отображением i(x) равенством

,Т 4 , 2/п

• Г (X) 1 (х) = G(x) |J( х, I )| , ( 2 )

( T - транспонирование ). Система уравнений ( 2 ) означает,

что f(x) - конформное отображение риманова пространства

2 2

( V , g dxidx;' ) в пространство ( tRn, dx1 +...+ dx11 ) . Требования регулярности, которые выше предъявляются к отображению 1(х) , можно ослабить, после чего квазиконформное отображение, обладавдее заданными характеристиками G(x) ,

ess sup | G(x) | < ю , можно определить как сохраняющее ориен-

73 1

тацию гомеоморфное отображение класса Wn' 1ос < £> ), которое

почти всюду в Т> удовлетворяет равенству ( 2 ).

При n = 2 уравнение ( 2 ), записанное в комплексной форме, эквивалентно уравнению Бельтрами

i_(z) = n(z)I (z), ( 3 ;

z z

где

p(x) - 1 216(z)

H(z) = - - e

p(x) + 1

и p(z) - отношение большей полуоси рассматриваемого семейства эллипсов к меньшей полуоси, 9(z) - угол наклош большей полуоси к оси х. М.А. Лаврентьевым была доказан? теорема существования квазиконформных отображений, обладаициз непрерывными характеристиками p(z), 6(z). Позже Л.Альфорсом, И.Н.Векуа, Л.Берсом, Б.Боярским и другими математиками ( см., например, Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям, - М.: Мир, 1969. - 132 с. ) теоремы существования решений был! распространены на случай измеримых комплексных характеристш

|i(z), || |j.(z) П s k < 1 , уравнения Бельтрами. Такие тео-L»<D>

ремы существования, связанные с ними интегральные представления квазиконформных отображений по характеристикам являйте! центральными результатами теории квазиконформных отображений на плоскости, мощным техническим средством исследования разнообразных задач теории и ее приложений.

В пространственном случае ( п > 3 ) система ( 2 ) переопределена. Главным препятствием для широкого применения системы ( 2 ) в теории пространственных квазиконформных отобра-

Лаврентьев М.А. Sur une classe de representations continues // Мат. сб. , 1935, Т. 42, * 4, 407 - 424.

жений является сложный нелинейный характер ее условий интегрируемости. Результаты Г.Вейля, И.Схоутена, дающие описание конформно евклидовых римановых пространств, можно интерпретировать как теоремы существования для системы уравнений ( 2 ) ( см. Схоутен И.А., Стройк Д.Я. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т. II. - М.: ИЛ, 1948,'348 с. ). Эти теоремы существования предполагают, что элементы матрицы С(х)

•з -

принадлежат классу С и могут быть использованы для описания отображений класса С4 .

В работах М. А. Лаврентьева характеристики второго типа -семейства параллелепипедов ( параллелограммов при п = 2 ), которые под действием дифференциала отображения Г(х) переходят в кубы со сторонами, сопаправлетшми. векторам фиксированного ортонормированного базиса пространства к11 , рассматривались в двумерном и трехмерном ( Лаврентьев М.А. Краевые-задачи и квазиконформные отображения. - В кн.: Современные пропробле-мы теории аналитических функций. М;: Наука, 1966. ) случаях. Такие характеристики возникают в определениях классов квазиконформных отображений, удовлетворяющих нелинейным сильно эллиптическим системам уравнений. Сильно эллиптические в смысле Лаврентьева системы оказались наиболее далеко идущим обобщением системы Кош - Римана, позволяющим сохранить основные геометрические свойства аналитических функций. Используя развитые им методы, М.А. Лаврентьев доказал основную теорему существования квазиконформных отображений нелинейных классов,

получившую важные приложения в задачах механики сплошных сред. -*)-

Лаврентьев М.А. Основная теорема теории квазиконформных отображений // Известия АН СССР, серия матем. - 1948, » 12.- С. 513 - 554.

В диссертации показано, что задание характеристик второго

типа, определяющих с точностью до растяжения семейство п -

мерных параллелепипедов, равносильно заданию нормированной

1/п

матрицы Якоби К( i, х ) = 1 (x)/|J( х, f )| , которую, в связи с этим, можно рассматривать как некоторую матричную характеристику квазиконформности отображений.

В главе II "Основные свойства нормированной матрицы Яко-би" рассматриваются отображения класса С с якобианом, не обращающимся в нуль, определенные в некоторой области Т> пространства шп. Для этого класса отображений устанавливаются основные свойства нормированной матрицы Якоби - необходимые

условия существования решений уравнения ( 1 ) Г (х) = 1/п

= К(х) |J( х, f )| , решена задача о восстановлении отображения по его нормированной матрице Якоби. Показано, что найдещше необходимые условия являются также и достаточными условиями существования решений уравнения (1 ).

В § 1 Гл. II вводится класс СН( V ) гладких матрично-значных функций, которые рассматриваться в этой главе в качестве коэффициента К(х) в уравнении ( 1 ).

Пусть V - область пространства жп . Множество отображений К : V —» М п, для которых функции эе^(х), 1,3 = 1.....

п, - элементы К(х) - принадлежат классу С2( V ) и |det К(х)| = = 1 , обозначим через СН( V ). С каадой функцией К € СН( V )

свяжем следующую систему внешних дифференциальных форм: 1 -

1 n 1 1

форм К1 = Е Щ dxJ, 1 = 1.....n , и 1 - форму

3=1 3

АС К ) = д °(n)(~l >V(x)«d(K1-----Ki_1-Kl+1-----Kn). ( 4 )

1=1 n " 1

Здесь о (К) = sign detK(x), * - операция сопряжения даффе-

яциальных форм. Ясно, что нормированная матрица ЯкоОи произ-льного отображения Г : V —► к11 класса С3( V ), якобиан торого не обращается в нуль в области V, принадлежит ( V ).

В следующей теореме устанавливается наиболее важное свой-во нормированной матрицы Якоби, выражающее связь якобиана х, í ) с нормированной матрицей Якоби.

Теорема 11.1. Пусть V - область в к11 , п > 2 , и : V —» к11 - отображение класса С3 ( V ) , якобиан которого ■личен от нуля всюду в V , К(х) = К( 1, ж ). Тогда справед-ша формула

1/п

1 1п | <1( х, Г ) ( = Л( К ). ( 5 )

звенство ( 5 ) является одним из центральных результатов ра-)ты. Оно позволяет восстановить модуль якобиана по нормиро-знной матрице Якоби и выразить отображение через К( I, х ) явном виде.

Основные свойства нормированной матрицы Якоби - некоторые лгебраические и дифференциальные соотношения и их взаимосвязь установлены в § 2 Гл. II.

Теорема 11.2. Пусть Т> - область в к11 , п > 2 , и : т> —> к11 - отображение класса С3( Т> ) , якобиан которого тличен от нуля всюду в £> , К(х) = К( Т, х ). Тогда выполнится равенства

а А( к ) = о,

й К1 = К1- Л( К ), 1 = 1,..., п,

и при п > 3 соотношения

/

d К1- К3 + К1^ d К3 = О, 1,3 = 1...., п.

В § 3 Гл. II изучается задача о восстановлении отображения по его нормированной матрице Якоби. Получено описание множества отображений с нормированными матрицами ЯкЬби классг СН( D ), интегральные представления таких отображений по нормированной матрице Якоби, описание множества тех функций ие СН( D ), которые являются нормированными матрицами Якоби отображений класса С . Например, здесь доказана

Теорема II.4. Пусть V - односвязная область в пространстве к11. Для того, чтобы функция К е СН( V ) являлась характеристикой- некоторого отображения Г : V —► к11 класса С3( D ), |J(x, 1 )\ ¿ О , х z V , необходимо и достаточно выполнения одного из условий:

A) при п = 2 условия d Л( К ) = О ;

Б) при n ^ 3 условий'

d К1 = К1^ Л( К ), 1 = 1.....п ;

B) при п > 3 условий

d К1- + К1- d К^ = О, 1,J=1..... п.

При этом для любой фиксированной точки a t В, вектора А ( к"

и постоянной г > О существует единственное решение класса ,, , 1 /п

С ( D ) уравнения í /л) = K(x)|J( х, Г )¡ , удовлетворяю-

х 1/п

щее условиям нормировки |J( а, 1)| = г, Г(а) = А. Это решение выражается формулой

X у

Г1* х ) = А + г J К1(у)ехр{ J Л( К )}, 1 = 1,..., п. , а а

( Интегралы в последней формуле - криволинейные интегралы второго рода вдоль кривых, лежащих в £>, с началом в точке а е 2) и концами в х, у соответственно; подынтегральные 1 - формы замкнуты.)

В заключительном § 4 Гл. II обсуждается связь представленных в этой главе теорем существования решений для системы ( 1 ) с одним из основных результатов теории переопределенных систем уравнений с частными производными - теоремой Фрсбениуса.

В главе III ■"Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби" исследуется задача о восстановлении отображения Г(х) по его нормированной матрице Якоби К( i, х ) для случая, когда элементы матрицы К( Г, х ) принадлежат классу Ью и, дифференциальные формы (Ж1 обладают обобщенными внешними дифференциалами. Указаны условия, выраженные через нормированную матрицу Якоби, достаточные для того, чтобы отображения, получающиеся в результате применения к отображению с ограниченным искажением процедуры сглаживания, были локально гомео-морфными отображешими с ограниченным искажением.

В § 1 Гл. III описывается множество отображений с ограниченным искажением, обладающих одинаковой нормированной матрицей Якоби.

Теорема III.1. Пусть V - односвязная область пространства к11 , п г 2 , и ^(х), Г2(х) - отличные от постоянных отображения с ограниченным искажением, определенные в Т> . Для того, чтобы почти всюду в Т> выполнялось равенство К( i.,, х ) =

= K( ip, х ), необходимо и достаточно существование векто] А е кп и постоянной г > 0 таких, что Г2(х) = А + г f1 (х). П] этом вектор А и постоянная г определяются единственным oi разом.

Доказательство этой теоремы опирается на обобщенную те< "рему Лиувилля, доказанную Ю.Г.Решетняком

Теоремы существования для системы ( 1 ) в случае, ког, матрица К(х) обладает элементами класса Ью и удовлетвори соответствующим условиям интегрируемости, а также формул! позволяющие восстановить решение по К(х) , приведены в § Гл. III. Здесь также излагаются вспомогательные результат] связанные с ■задачей о восстановлении отображения по его да ференциалу.

Опишем классы матричнозначных функций, которые использ;

ются в Гл. III в качестве матричного коэффициента К(х

уравнения (1 ).

Рассмотрим область V в к11 и число ß г 1 . Множеса

отображений К : V —► М п , для которых:

1) функции —► R , 1,3 = 1,.... п - элементы ms рицы К( х ) - измеримы в Z> ;

2) ¡det К(х) | =1 почти всюду в области 7) :

3) дифференциальные формы

К1 = Е dx^, 3=1 2

принадлежат пространству Ью( V ) и обладают обобщенными да ференциалами dK1 класса V ), обозначим через CHß( V Заметим, что для каждой функции К( х ) класса СНр ( V ) о

») Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. - Новосибирск: Наука, 1982.

■ -16 :t

ре делена 1 - форма Л( К ) (см. формулу ( 4 )) и ее коэффициенты суммируемы в О со степенью р .

Пусть в области V с шп задана система ( 1 ) с коэффициентом К(х) класса СНр( V ). Решением этой системы назовем

такое отображение 1 : Т> —► геп класса ^р\ос( ) > Р - 1 .

1 1

для которого обобщенные производные д! (х)/дх'' и якобиан J( 1, х ) почти всюду в V удовлетворяют равенствам

1 /XI

ai^xJ/Sx3 = ае^(х) | J( х, f )|

В формулировках последующих утверждений оператор S - это соболевский интегральный оператор, традиционно используемый' для восстановления функций классов Wp11ос( V ) , заданных в звездной относительно шара области D , по их обобщенным производным первого порядка ( см. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - Л.: Изд.- во ЛГУ, 1950.). Здесь оператор S распространен на 1 -формы с суммируемыми коэффициентами.

Теорема II1.2. Пусть V - ограниченная область пространства к11 , и > 2 , звездная относительно шара В, В <= с V . Пусть К(х) - функция класса СНр( V ), (3 £ п , для которой выполняются следующие условия: при п = 2 форма Л( К ) замкнута; при п > 3 форма Л( К ) обладает обобщенным дифференциалом класса lQC( V ) , q > 1 , и почти всюду в V выполняются соотношения

d К1^ К3 + К1^ d К3 = 0, 1,^=1,..., п. Тогда отображение

Г(х) = S( К ехр С )(х),

где С = S Л.( К ) , является решением уравнения Г (х) =

= K(x)|J(x, f)| . При этом справедливы утверждения

1/п

1) d In |J( х, Г )| = Л( К ) ;

-1

2) если ß = п , то функции |J( х, f )|, |J( х, Г )| ,

1/п

lri|J( х, f )| принадлежат пространству LQ( D ) для всякого а , 1 s о < со , и обладают обобщенными производными класса V ) для любого v , 1 < v < п;

1/п 1

3) если р > п , то |J( х, 1 )| е Wß'( О ) и почта всюду в области V выполняются неравенства

-Ч( К ) 7( К )

е < |J( х, 1 )| < е

- I

где 7( К ) - постоянная, зависящая от ß , n , Т> и К(х);

4). почти всюду . в области V определена нормированная матрица Якоби отображения 1(х) и выполняется равенство К(х) = = К( 1, х ).

Далее в работе приводится ряд следствий теоремы II1.2. В том случае, когда мы хотим применить теорему II1.2. или ее следствия для описания свойств какого-либо конкретного отображения с нормированной матрицей Якоби класса CHß( V ), мы сталкиваемся с необходимостью проверки того, что нормированная матрица Якоби этого отображения и дифференциальные формы й К1 , К1 удовлетворяют соответствующим алгебраическим соотношениям, приведенным в формулировке теоремы II1.2. Две теоремы, доказанные в § 3 Гл. III, предназначены для того, чтобы облегчить проверку этих соотношений. Приведем формулировку одной из этих теорем.

Теорема III.3. Пусть V - область в R11 , п z 2 , и f : V —► Rn - отображение класса Wp1 lQC( V ) , р > 1, для

которого |J( 2, 1 )| >0 почти всюду в V и для некоторого

3

показателя з > 0 функция |J( х, Г )| обладает обобщенными производными. Предположим, что К(х) = К( 1, х ) принадлежит классу СН ( V ) , где ß > п . Тогда справедливы равенства

1/п

d In |J( х, i )| = Л( К ), 1 i

d К = К л А( К ), 1 = 1,..., п

и при tii 3 соотношения

13 1 3 d К л К + К л d К =0, 1,3 = 1,..., п.

^ Отметим, что в том случае, когда выполнены условия теоремы III.3., применяя теорему III. 2, можно восстановить отображение по его нормированной матрице Якоби.

В конце параграфа рассмотрен пример, который показывает, что условия предыдущих теорем главы III не исключают из рассмотрения отображений, обладающих точками ветвления. Таким примером является хорошо, известное закручивание вокруг оси.

В § 4 Гл. III нормированная матрица Якоби используется для описания некоторых качественных свойств отображений с ограниченным искажением. Здесь указаны условия, выраженные через нормированную матрицу Якоби отображения с ограниченным искажением Г(х) , достаточные для того, чтобы отображения, получающиеся в результате применения к f(x) обычной процедуры сглаживания, были локально гомеоморфными отображениями с ограниченным искажением.

Впервые в пространственной постановке задачи о приближении квазиконформных отображений гладкими квазиконформными ото-

бражениями, о сглаживании квазиконформных отображений рассматривались А.П. Копыловым ( Копылов А.П. Об аппроксимации пространственных квазиконформных отображений, близких к,конформным, гладкими квазиконформными отображениями // Сиб. мат. журн., 1972, Т. XIII, № 1, с.94 - 106.).

Рассмотрим отображение К(х), определенное в области 7) с с Rn, со значениями в множестве Л п. Предположим, что функции -эе^(х), 1,3 = 1,..., п, - элементы К(х) - принадлежат пространству Ью ( £> ). Для шара В( а, г ) с Т> определим величину

ш( К, а, г ) = Inf I А К(х) - Е ||

А € А п »ЛВ(а.г)

( Е - единичная матрица, Е е Л п ) и колебание

ose К = Inf ( sup | К(х) - К (у) | ),

В(а,г) { S > х,у € В(а,г)\ S

где точная нижняя граница берется по множеству { S подмножеств S с D нулевой меры Лебега. Для точки а полагаем

ш( К, а ) = Ilm К, а, р ), р —> о+

osc( К, а ) = lim озс К .

р —► о+ В(а,р)

Сформулируем основной результат § 4 Гл. III.

. Теорема III.5. Пусть D . - область в Rn, п > 3, Г Т> —► кп - отображение с ограниченным искажением, К(х) = К( f, х ). Пусть А - подмножество области V , dlst( Л, дТ) ) > 0 . Если для некоторого г, 0 < г < < dlst( А, дТ> ), справедливо соотношение

} всех , а е 2>,

q = sup ш( К, x, г ) <1, х А

го для произвольного числа hg и радиуса усреднения h таких, что О < h < IIq < г , средние отображения и отображение

Г(х) являются на множестве

А( г - = Ci{Z): eilst ( х, А ) < г - }

локально гомеоморфными отображениями с ограниченным искажением и выполняется неравенство

4 q 1/п

1 К(Х) - К( fh, X ) | £ -Р Q ( Г ).

Доказательство .этой теоремы использует теорему Мартио, Рикмана и Вяйсяля о существовании радиуса инъективности для отображений с ограниченным искажением и общие свойства

операции усреднения. Постоянную 1 в условиях теоремы III. 5 нельзя заменить на большую величину и знак < нельзя заменить знаком s .

Функционал ш( К( f, х ), а,-г ) оценивается через колебание, а именно, справедливо неравенство

1/п

ш( К< Г, х ), а, г ) s Q ( Г, В(а,г>> озс К( Г, х) .

0 В(а,г)

( Q(i, В(а,г)) - внешний коэффициент искажения отображения о

Г(х) на шаре В (а,г) ), из которого на основании теоремы

Martlo 0.,Rlckman S., Valsala Ju.) Topological and metric properties of quaalregular mappings // Ann. Acad. Scl. Fenn. - 1971. - A I. JS 488.- P. 1 - 31.

III.5 получаем достаточное условие ограниченности искажени сглаженных отображений в терминах оценок колебания нормиро ванной матрицы Якоби.

Одним из приложений теоремы III.5 является Следствие III .7. Пусть Х> - область в Rn , ii > 3 , i : V —► iRn - отображение с ограниченным искажением, К(х) = К( i, х ) . Если точка b области V является точкой вет вления отображения i(x), то выполняются соотношения

/ 1/п

ü>< К, Ь ) = 1, ose( К, b ) > Q ( Г, b ),

о

-1

где Q ( 1, а ) = lim | К ( х ) J

о р —+ о+ "» в(а'г)

На основании теоремы М.А. Лаврентьева о гомеоморфности локально квазиконформных отображений, заданных во всем Rn, п > 3 , получаем

Следствие III.8. Пусть i : Rn —» , п г 3 отображение с ограниченным искажением, которое в каждой точк b пространства Rn удовлетворяет условию ы ( K(i, х), Ь) < 1. Тогда отображение Г(х) квазиконформно в к11.

Как показывает пример функции ez, z € <с , утверждение следствия III.8 не выполняется при п = 2 .

Глава IV "О многомерном аналоге уравнения Бельтрами" по священа изучению комплексной переопределенной системы диффе ренциальных уравнений с частными производными

Зорич В.А. Теорема Лаврентьева о квазиконформных отображениях пространства // Мат. сб. - 1967. - Г. 74 ( 116 ) * 3. - С. 417 - 433.

= Д 33Г(2) ц£(а>, ( б )

г € <£п , к: = 1,..., п ( ЭдР(г), ЗдР(г) - комплексные частные производные ), которая является многомерным аналогом уравнения Бельтрами ( 3 ), описывающего квазиконформные отображения областей в комплексной плоскости. Локальные теоремы существования решений для таких систем впервые были получены Эресманом, Экманом и Фрйликером, Ньюлендером и Ниренбергом и нашли важные приложения в теории почти комплексных многообразий. В предположениях, что коэффициенты системы ( б ) заданы во всем пространстве сп , достаточно малы по модулю и имеют обобщенные производные, в диссертации доказана теорема, которая показывает, что уравнения ( б ) обладает гомеоморфным решением I : сп —► с11. Эта теорема позволяет описать основные свойства решений системы ( б ).

Пусть ) - отображение области V = сп, принимающее значения в пространстве комплексных п х п - матриц. Предположим, что функции к,з = 1,..., п, - элементы -

измеримы и принадлежат классу Ь ( V ). Выражение

п ч 2 1/2 00

(2 I з )| ) обозначим через ) р (2)| и пусть б ,к=1

|| ц Ц = Ц |ц| 1 < к < 1. Систему уравнений ( б, ),

да, V оо,1)

соответствующую матрице |л(г), будем называть системой Бельтрами в V . Локально суммируемое отображение Г : V —► ст класса 11ос ( Т> ) назовем решением системы ( 6 ), если комплексные частные, производные его координатных функций удовлетворяют соотношениям ( б ) почти всюду в Т>.

Система Бельтрами переопределена. Известно, что в том случае, когда функции ) достаточно гладкие, необходимым

условием локального существования п линейно независимых ре шений уравнений ( б ) является выполнение равенств

п

= 1,..., п . Если элементы матрицы р.(а) являютс

?п

функциями класса С , то, как показано Ныалендером и Нирен бергом в работе Newlander A., Mirenberg I. Complex analltic coordinates In almost complex manliolds // Arm. Math.- 1954. V. 65, № 3. - P. 391 - 404, посвященной доказательству локаль ной теоремы существования решений системы ( 6 ) и ее прило жениям к изучению интегрируемых почти, комплексных структур н гладких многообразиях, выполнение условий ( Т ) достаточн для локального существования п линейно независимых решени системы ( б ). Результаты, связанные с теоремой Ньюлендера Ниренберга, получили дальнейшее развитие в работах многих дру гих математиков. Отметим также, что подобные, но более общи системы уравнений рассматривались в монографии А.П. Копылов и других его работах при изучении классов отображений близких к голоморфным отображениям.

В § 1 Гл. IV излагаются вспомогательные результаты. Здес приведены основные свойства интегрального оператора, которы строится на основе интегральной формулы Мартинелли - Бохнвр и позволяет восстановить функцию Г : сп —► с11 по ее обоб щенному комплексному дифференциалу <9 Г( z ), рассматривают ся сингулярные интегральные операторы П ш , S ш , определен ные на пространствах о-^'1 ^ комплексных дифференциальных

-J-,-:-

Копылов А.П. Устойчивость в С -норме классов отобра жений. - Новосибирск: Наука, 1990.

форм бистепени ( 0, 1) с коэффициентами из = с11 ), р > 1 .

В § 2 Гл. IV вводится класс матричнозначных функций , которые рассматриваются в этой работе в качестве матричного коэффициента системы ( 6 ).

Пусть в с11 задана функция , принимающая значения в

пространстве комплексных п х п -матриц, для которой ее элемен- -ты , з,к = 1,..., п, обладают обобщенными производными

и удовлетворяют равенствам ( 7 ). Будем писать |л € Мр г, . если для некоторых р и г, р > г > 1 , выполняются условия:

1) (Л е Ьр ;

2) ИМ 1 п л < 1 ;

00 Р

3) |и I п «г <

4) д2 ^ е ЪрП 1 , где q = гр/(р -г), З.з.к =1... .., п.

Далее в этом параграфе доказывается теорема существования решений для неоднородной системы вида ( б ).

В § з Гл. IV получен основной результат этой главы.

Теорема IV.2. Пусть ц € и , где р > г > 2п. Пред__У'1-

положим, что функции 3^ принадлежат пространству

и обладают обобщенными производными класса Ьр П Ь^ , где q = = гр/(р -г), З.э.к = 1,..., п. Тогдв существует единственное гомеоморфное отображение Г : с11 —► с11 удовлетворяющее условиям нормировки

1 - 2п/р

Г(0) = 0 ,' Г(г) = а + 0( |г| ) , г —►

]г

чьи координатные функции г (а), к = 1.....П , являются решениями системы уравнений ( 6 ). При этом производные 931к(а), ограничены и ЗдГк(2), - е 1^. Функции

обладают вторыми обобщенными производными класса .

Из теоремы о существовании гомеоморфного решения систем!

( 6 ) получаем

Следствие ТУП. Пусть в с11 задана система уравнешй

( б ), для которой матрица ц(2) удовлетворяет всем условия» теоремы IV. 2. Пусть V - область в сп и I : V —► ст -решение системы ( б .), определенное в V, теш. Тогд! функция Р(г) допускает представление Р = £ • Г, где - гомеоморфное решение системы ( 6 ) и V ) —► <ст -

некоторая голоморфная функция.

Основываясь на этом следствии и известных теоремах теорш аналитических функций многих комплексных переменных, несложнс получить дальнейшие утверждения, характеризующие свойства решений системы Бельтрами рассматриваемого класса: теоремы единственности, принцип максимума модуля, теорему о стирании компактных особенностей и другие утверждения.

Автор благодарен коллегам по кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета за поддержку и внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Журавлев И.В. О системе Бельтрами в с11. - Тез.докл всесоюзн. семинара молод, учен. Ташкент, 1985.

2. Журавлев И.В. О гомеоморфных решениях системы Бельтрами. - Всесоюзн.конфер. по геометрии и анализу, Тез. докл. Новосибирск, 1988.

3. Журавлев И.В. О многомерном аналоге уравнения Бельт-рами // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 299, Я 4. .- С.801 - 805.

4. Журавлев И.В. Квазиконформные отображения, близкие к тождественному. - Всесоюзн. конфер. по геометрии и анализу, Тез. докл., Новосибирск, 1989.

5. Журавлев И.В. О существовании решений для-многомерного аналога уравнения Бельтрами. // Сиб. мат. курн. - 1989. -Т. 30, Я 1. - С. 103 - 113.

6. Журавлев И.В. Достаточные условия локальной квазиконформности для отображений с ограниченным искажением // Мат. сб. - 1993. - Т. 184, J» 4. - С. 51 - 60.

7. Журавлев И.В. Теорема Хартогса для системы Бельтрами. - Респуб. совещание - семинар, Тез. докл., Киев, 1989.

8. Журавлев И.В., Восстановление отображения по нормированной матрице Якоби // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 317, »3. - С. 546 - 549.

9. Журавлев И.В. О существовании гомеомсрфного решения для многомерного аналога уравнения Бельтрами //-Докл. АН СССР. - 1992. - Т. 324, № 5. - С.919 -922.

10. Журавлев И.В. О восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби // Сиб. мат. журн. - 1992. - Т. 33, № 5. - С. 53 - 61.

11. Журавлев И.В. К задаче о восстановлении отображения по нормированной матрице Якоби // Сиб. мат. журн. - 1993. - Т. 34, №2. - С. 77 - 87.