Геометрические свойства пространственных квазиизометрических и квазиконформных отображений, близких к конформным тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Обозначения и предварительные сведения

Введение.

ГЛАВА I. Классы областей.

§ I. Определения однородных областей.

§ 2. Однородные области,близкие к шару.

§ 3. Интегральные свойства областей.

ГЛАВА П. Аппроксимация и продолжение отображений.

§ 4. Свойства мебиусовых отображений.

§ 5. Аппроксимация подобиями квазиконформных отображений.

§ 6. Квазиизометрические отражения.

§ 7. Продолжение отображения из области.

ГЛАВА Ш. Образ прямой при квазиконформных отображениях пространства, близких к конформным.

§ 8. Формулировка результата и вспомогательные утверждения.

§ 9. Построение отображения из прямой на кривую.

§ 10.Продолжение отображения на

В диссертации рассматриваются следующие вопросы.

Однородные области - различные определения, их эквивалентность, близость области к шару35, интегральные свойства.

Квазиконформные отображения областей, близкие к конформным - возможность аппроксимации подобиями и продолжения на все пространство.

Геометрическое описание объектов, определенных функционально - образа прямой при квазиконформном отображении пространства, близком к конформному, и области, допускающей квазиизометрическое отражение, близкое к изометрии.

В главе I исследуются свойства однородных и некоторых других классов областей. Области с условием 3 (е£> о£>] (оп.1.1) введены Ф.Джоном [8] в задаче о равномерной аппроксимации квазиизометрии изометрией. Им доказано, что если -р: (Х -> ^ - (1 + £) - квазиизометрия и то найдется изометрия Т такая, что \Т00 - * \ ^ 3) дяя всех х & Ы. Зйесь с зависит только от с1/3) и п. Далее Ю.Г.Решетняк в [17-21] использовал эти области в задаче об аппроксимации отображения с ограниченным искажением области в Он доказал, в частности,что если И и { : + 1+£о,то найдется мебиусово отображение ^ такое, что | ^(х")-*) ^ с £ й) * Си ¿0>0 зависят только от Ж/Юти К1,[17]. Аналогичная оцешса получена им в ["19] при аппроксимации отображений в классе \Л/, (теорема 3.1), но при дополнительном условии Р

I 3 на область Ц. . В той же работе поставлен вопрос о зависимости условий У (сС 3)) и Т у . б

В диссертации дан положительный ответ на этот вопрос (теорема 3.2 и утверждение 3.6). Результат опубликован в [йз] и был использован в монографии [21] .

Первоначальное определение классов Ы однородных областей (оп.1.2) дано О.Мартио и Дж. Сарвасом с учетом теоремы 3.1 Ю.Г.Решетняка, из которой сразу следует инъективность отображения с ограниченным искажением : Ц/->|Г (следовательно, квазиконформность), если Кр достаточно т близко к I. В той же работе доказано, что если Ы - одно— л ^ связная область на плоскости К , ¡А Ф0 я М, б М,(<*,£), то 1/1 является квазикрутом, т.е. образом круга при некоп ~ % — 9, тором квазиконформном отображении | : -> £ .Обратное тоже справедливо - квазикруг является однородной односвязной областью. Отсюда, в частности, следует, что \А/*- тоже однородная область. В [1б] О.Мартио дал прямое определение классов Ы (5) однородных областей, инвариантное при меби-усовых преобразованиях (оп.1.4), и доказал эквивалентность классов Ы и ¿¿(§) (теорема 1.5). Он же доказал, что образ однородной области (в частности, шара) при квазиконформное отображении Яявляется однородной областью. Обратное не верно. Однородная область может быть квазиконформно не эквивалентной шару. В [28] П. Тюки а показал, что цилиндр, построенный на любой локально неспрямля-емой неограниченной квазиокружности, разбивает пространство на две однородные области, гомеоморфные шару, но квазиконформно не эквивалентные шару. Более того, в последнее время складывается мнение (высказанное, например, В.А.Зоричем в [э] ), что нельзя охарактеризовать образы шаров при квазиконформных отображениях пространства (или самого шара) их явными геометрическими свойствами.

Рассмотрим следующие свойства однородных областей на плоскости. Считаем, что область Ы такова, что и Ц/ связно;-. Тогда

1) Если то 1Л> - образ круга при квазиконформном отображении К^ зависит от £> ,[15].

2) Образ круга при квазиконформном отображении

Яа—> Й2, удовлетворяет условию Ы (Ь) , § зависит от К| .

3) Если Ц в (Л (о) и Ыу -ф- 0 , Ы связно; ,то Ш £ (Л (§') , § зависит от 5 . Доказательство следует из I), 2).

4) Для существования - квазиизометрического отражения { : , | (а) = (X* , ^ ¿г£ необходимо и достаточно, чтобы Ы и ^ в ЪСС . Последнее свойство вытекает из соответствующего свойства квазиокружностей [2] и свойств I), 2). уц

В пространстве £ , И ^ 3 свойство I) не имеет места ни при каком 5 (см.пример П.Тюкиа[28] ).Свойство 2) остается верным, [1б] . Свойство 3) не имеет аналогов. Рассмотрим пример: вращением кривой у = \] | х I вокруг оси О у , получаем поверхность, разбивающую к на две области, гомеоморфные шару. Легко показать, что нижняя область является однородной, а верхняя - нет (из-за наличия нулевого угла). Этот же пример показывает, что достаточность в 4) не имеет места, т.к. образ однородной области при квазиизометрии пространства должен быть однородной областью.

Может показаться, что связь между квазиокружностями : % и однородными областями в Я случайна, но это не так.Рассмотрим области классов 11(5) при & , достаточно близких к 1, и квазиконформные отображения , у которых К^ достаточно близок к I. Хотя свойство I) и в этом случае не имеет места (по той же причине), но теперь вместе со свойством 2) оказываются справедливыми 3) и 4). Кроме того, в свойствах 2), 3), 4) наблюдается устойчивость.

В диссертации доказано:

27) Образ шара при квазиконформном отображении -р : и £ < £0 удовлетворяет условию (Л (Б), = с> (£)—> 1 при ¿—>0. Здесь ¿0 >0 и функция § (¿) зависят только от И. Справедливость утверждения следует из инвариантности перекрестного отношения цри мебиу-совых преобразованиях (1.3) и теоремы 5.1, дающей устойчивость этого отношения в случае, когда одна из четырех точек - 00 . з') Если Ы е Ы, (1-й), ¿ £ ¿0 , Ы*Ф0 и связно, то и * е И( (¿)-> О при . Здесь о >0 , - универсальная функция (не зависящие даже откО. Доказательство содержится в п.1.8 и теореме 2.3 об эквивалентности различных определений однородных областей.

4У) Для существования (1+в)- квазиизометрического отражения | : Я*-» б" , $ (00) ~ М/*, при £ ^ ¿0 необходимо и достаточно, чтобы 1С £ Ы (§), € Э [/С ; ц 5 £ 50 . При этом с>(£)~>4 при ¿->о » и в обратную сторону - ¿($)->0 при § 1 . Постоянные ¿в) 50 и функщи §(£)и зависят только от п. Более четко результат сформулирован в теоремах 6.1 (достаточность) и 6.9 (необходимость).

Перечисленные свойства указывают на существование многих свойств, аналогичных у квазиконформных отображений из Я2, в и у пространственных квазиконформных отображений с коэффициентом К ^ , близким к I. Продолжает аналогию результат гл. 3, завершающий диссертацию, [27] .

Пусть & : £ -> - непрерывная кривая, й = оо . Кривая Й" удовлетворяет условию (¿) (оп. 8.1), если для каждых х, у, 2 е № из неравенств х < у < z следует

Утверждается, что дан существования - квазиконформного отображения | : , \ °о , такого, что -(-(£) = & (К) , при í ^ ¿о необходимо (теорема 8. 2) ж достаточно (теорема 8.3), чтобы кривая & обладала свойством ($) при £ ^ . Справедливы оценки в обе стороны: ¿ ^ с± 5 и £ ^ £ . Постоянные ¿0>о , Ь0 >о , С± , Ся зависят только от п.

Заметим, что на плоскости при больших £ свойство равносильно известному неравенству Альфорса ¡^2] : С | ^(х) - ^ , если ^ лежит меаду

X и 2 на Й, . Если = то £ (Б) является квазиокружностью. Следовательно, на плоскости утверждение верно для отображений с произвольным коэффициентом искажения. В пространстве это не так. При больших £ 1фивая # с условием ^ (¿) может в к быть завязана в узел, что исключает существование гомеоморфизма

4 (Й) = У (Й) .

Сказанное выше делает естественным выделение классов однородных областей и квазиконформных отображений, близких к конформным.

При изучении однородных областей автором в [25, 2б] дано более наглядное определение классов II (§), (оп. 1.6), эквивалентных И ($) (п.1.8). При 8-± гра

ЗС ница области класса Щ (1) является сферой или подмножеством (ъ-%) - мерной сферы к (лемма 2.1). Для исследования областей классов Ы (%) при о , близких к I, вводятся классы \/0(&) - \/г(ё)(оп. 2.2). Класс С¿) состоит из областей Ш е СЦь^, I/,* Ф 0 9 оо е ЭИ . Теорема 2.3 показывает эквивалентность этих классов при малых ¿ . Особенно наглядно свойство (¿) : для каждого X е Э Ыу 4 { , для любого Ъ > о найдется гиперплоскость р=р(х,ъ) такая, что х е р и Л1 sí ( ЭИ П В (х, г) , р) ^ ¿ ъ .Оно показывает, что граница области "почти плоская" и позволяет просто построить квазиизометрическое отражение относительно границы (теорема 6.1).

К основным результатам диссертации относятся также теоремы 5.1 и 7.11, показывающие, что любое квазиконформное отображение | : и области И е1А,(оС,р) (или () В Я и £ 3 при УСЛОВИЙ К^ ~ - 1+¿0 можно нормировать мебиусовым отображением ^ так, что по каждому шару можно указать подобие Т , обладающее свойством:

Т¥{(х)-х| ¿сга длявсех х б ао В(Х0,^). Здесь ¿0>0 и С - постоянные, зависящие только от (или "5 ) и п, [24] .

Аналогичные оценки были получены П.П.Белинским £3,4] для отображений полупространства и А.П.Копыловым [13, 14^ для шара и шарового кольца. А.П.Копылов в]пЗ поставил' вопрос об описании класса множеств, "устранимых" для квазиконформных отображений в пространстве, близких к конформным, или о "затирании" особенностей. Там же ставится вопрос о связи "устранимых" множеств с ^ - областями. Под "устранимостью" множества и "затиранием" понимается возможность продолжения на множество каждого квазиконформного отображения, достаточно близкого к конформному, заданного на дополнении. Им доказано, что шар 55 и дополнение к шаровому кольцу являются "устранимыми" множествами, [13, 14].

Термины "устранимость" и "затираемость" в работе автора не используются, во-первых, потому, что они неявно подразумевают, что "затираемое" множество не влияет на продолжение, т.е. отображение продолжается однозначно (чего нет в нашем случае), а во-вторых, более существенная структура не "устранимого" множества, а его дополнения, на котором отображение задано.

При продолжений отображения из полупространства А.П. Копылов использует конкретное разбиение дополнительного полупространства на кубы и, пользуясь подобиями в теореме об аппроксимации, продолжает отображение на вершины кубов разбиения. Далее кубы разбиваются на симплексы так, что их объединение дает бесконечный симплициальный комплекс.Отображение, заданное на его О - мерном остове продолжается на каждый симплекс по аффинности, склейка на границах происходит автоматически.

Автором в [24, 2б] отображения, заданные на произвольном множестве и допускающие аппроксимацию (как в теореме об аппроксимации), названы й - подобиями (оп.5.П). Доказано, что, при достаточно слабом ограничении й ( 5} (оп.7. I) на область определения, любое А - подобие продолжается до - подобия Р: Я*, с к , С зависит только от ^ и и (теорема 7.5). Отсюда следует возможность продолжения квазиконформного отображения / • (Л ЯН до квазиконформного отображения Р: при условии М- £ ( 5) и К^ = I-«-£ 6 1 + ¿д , Справедлива оценка К^ 4 с ¿ . Здесь ¿0 > в и с < оо - постоянные, зависящие только от В и и (теорема 7.10).

Теорема содержит частичные ответы на вопросы : дополнения к однородным областям являются "устранимыми", но не исчерпывают этот класс. Связь между однородными областями и

- областями видна из определения 1.2.

План продолжения следующий. Производится разбиение у типа Уитни (п.3.3) открытого множества II на неперекрывающиеся кубы, отображение продолжается на все вершины,кубов при помощи подобий, аппроксимирующих -р на подходящих шарах. В случае произвольного разбиения типа Уитни получить симплициальный комплекс, как у А.П.Копылова, не удается. Поэтому производится "стандартная" триангуляция каждого куба (п.6.3), при этом вершина симплекса в одном кубе может оказаться центром грани симплекса другого куба. Далее отображение продолжается на каждый куб при помощи леммы 6.5, обеспечивающей склейку отображений на границах кубов. Тот же путь продолжения отображения с множества вершин кубов разбиения использован в теоремах 6.1 и 8.3.

В теореме 8,3 (геометрическое описание образа прямой при квазиконформном отображении, близком к конформному) возникают специфические трудности. При построении отображения из прямой в хфивую кажущиеся естественными построения не приводят к цели, что показано в п.9.0. Далее,из-за малой размерности прямой продолжение отображения на вершины кубов разбиения имеет большой произвол, от которого приходится избавляться для согласования продолжений на каждом кубе (§ 10).

Отметим, что до сих пор ни для одной канонической области в пространстве не было известно геометрического описания областей, ей квазиконформно эквивалентных (за исключением дополнения к конечному числу точек). Здесь получено геометрическое описание областей, квазиконформно близких к Я 4 Я .

Автор благодарен Ю.Г. Решетняку за руководство работой, а также Н.Г.Колосовой за создание условий для ее написания.

1. АгарД С. (б.Agard). Angles and quasiconformal mappings in space. -Journal d'analyse mathématique, 1969, v.22, p.177.-200.

2. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. - М. :. Мир, 1969. - 136 с.

3. Белинский П.П. Устойчивость в теореме Лиувилля о пространственных конформных отображениях. - В кн.: Некоторые. проблемы математики и механики. К 70-летию академика М.А.. Лаврентьева. Л., Наука, 1971, с.88-101.

4. Геринг Ф.,Вяйсяжс Ю. (Gehring F., Vaisalä Ju.) Hausdorff dimension and quasiconformal mappings. - J.London Math. Soc., Ser.II, 1973, v.6', No 5, p.504-512.

5. Гусман M. Дифференцирование интегралов в к11 - М. : Мир,. 1978. - 200 с.

6. Джон $.(JohnF.) Rotation and strain. - Communications on Pure and Applied Mathematics, 1961, v.14, p.391-413.

7. Зорич В.А. К теории пространственных квазиконформных отображений. В кн.:.Теория отображений, ее.обобщения иприложения. Киев, Наук.думка, 1982, с.102-103.

8. Копылов А.П. 0 поведении на гиперплоскостях квазиконформных отображении пространства, близких к конформным.-Докл., АН СССР, 1973, т.209, Л 6, с.1278-1280.

9. Копылов А.П. Проблема 3 в разделе "Нерешенные проблемы". - Б кн.: Некоторые вопросы современной теории функции.. Материалы.конференции. Новосибирск, 1976, с. 183-184.

10. Копылов А.П. Задача Л. Альфорса о продолжении квазиконформных отображений и.квазиконформная эквивалентность областей шару. - Докл. АН СССР, 1976, т.230 № 5,с.1025. - 1028.

11. Копылов А.П. Об устранимости шара.для пространственных. отображений, близких к конформным. - Докл. АН СССР,1977, т.234 № 3, с.525-527.

12. Копылов.А.П. О граничных значениях отображений полупространства, близких к конформным. - б.мат.журн., 1983,т.24, Ш 5, с.76-93.

13. Мартио 0, (Martio. 0., Sarvas J.). Inactivity theorems in plane and space. - Ann.Acad.Sci.Fennicae, ser. AI, 1978/1979, v.4, p.383-401.

14. Мартио 0. (Martio 0.). Definitions for uniform domains.-Ann.Acad.Sci.Pennicae, ser.AI, 1980, v.5, fase 1, p.197-205.

15. Решетняк Ю.Г. Устойчивость в теореме Лиувилля о конформных отображениях пространств для областей.с негладкой границей. - Сиб.мат.журн.,1976, т.17, № 2, с.361-369.

16. Решетняк Ю.Г. Оценки устойчивости в теореме Лиувилля иинтегрируемость производных квазиконформных. отображений.- Сиб.мат.журн.,1976, тД7,Ж4, с. 868-896.

17. Решетняк Ю.Г. Оценки в классе Wp устойчивости в -теореме. Лиувилля о конформных отображениях для замкнутом. области.- Сиб.мат.журн.,1976, т.17,№ 6, с.1382-1394.

18. Решетняк Ю.Г. Проблема 9 в разделе "Нерешенные.проблемы".- Некоторые вопросы современной теории функций. Материа-. лы конференции. Новосибирск, 1976, с.185-187.

19. Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анали-. зе. - Новосибирск: Наука, 1982. - 232 с.

20. Сычев A.B. Модули и пространственные квазиконформные отображения.Новосибирск: Наука, Сибирское отделение,1983.- 152 с.

21. Троценко Д.А. Свойства областей с негладкой границей. - Сиб.мат.журн., 1981, т.22,№ 4, с.221-224.

22. Троценко Д.А. Отображения, квазисохраняющие конусы.- Сиб.мат.журн., 1983, т.24,й 3, с.193-203.

23. Троценко Д.А. Аппроксимация и продолжение прост-. ранственных отображений с малым коэффициентом искажения.- Симп. по геометрии в целом и основаниям теории.относи-. тельности. Тез.докл.Новосибирск, 1982, с.109-110.

24. Троценко Д.А. Продолжение из области и аппроксимация пространственных квазиконформных отображений с г малым коэффициентом искажения. - Докл. АН СССР, 1983 т.270,. №6, с.1331-1333.

25. Троценко Д.А. Образ прямой при квазиконформных отображе-. ниях пространства, близких к конформным. - Докл. АН СССР,1984, в. печати.

26. Тюкиа П. (Tukia P.) Quasi conformai group not isomorphic to Möbius's group. - Ann.Acad.Sci.Pennicae, ser.AI, 1981, v.6, p.149-160.