Краевые задачи для эллиптических систем в Rn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е . 2

Глава I. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПРИМЕРЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА . 9

1.1. Основные определения . 9

1.2. Примеры эллиптических систем первого порядка . 13

1.3. Простейшие свойства эллиптических систем первого порядка, ассоциированных с эллиптическим полиномом . 21

1.4. Формальные свойства переопределенных систем. 25

1.5. Касательные уравнения Коши-Римана и задача о "скачке" . 32

1.6. Некоторые конкретные приложения . 39

Глава 2. СВОЙСТВА СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЕЛЬТРАМИ.48

2.1. Порождающие операторы для системы типа Бельтрами .48

2.2. Об одном сингулярном интегральном операторе .52

2.3. Системы типа Бельтрами и их свойства .59

Глава 3. МНОГОМЕРНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЙ.63

3.1. Основные свойства решений эллиптических систем уравнений .63

3.2. Сингулярный интеграл .66

3.3. Алгебраические свойства решений уравнения Фи.-о .68

3.4. Системы сингулярных интегральных уравнений. 71

Л и т е р а т у р а . 75

Работа посвящена изучению свойств решений эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого по и рядка в пространствах при пъЗ . Б монографиях И.Н.Векуа [I], В.Н.Монахова \2), а также в обзорных работах Р.Гильберта [3], А.Дуглиса [4] дано систематическое изложение теории эллиптических систем первого порядка на плоскости с точки зрения теории функций одного комплексного переменного, либо обобщения этой теории на векторнозначные функции. Используя результаты теории функций, удается выяснить структуру решений эллиптических систем первого порядка и изучить классические краевые задачи для этих систем. '

Системы первого порядка в £п при п>/3 с такой полнотой, как при = £ не изучены. Это связано с целым рядом обстоятельств. Во-первых, не было ясно, как должна выглядеть теория функций в этих пространствах. Во-вторых, запас систем первого порядка' при п^-3 невелик, и все известные примеры таких систем получили "именные" названия: система Моисила-Теодореску, система Фуетера, оператор Ботта, стационарное уравнение Дирака. В работах А.В.Би-цадзе [5], В.И.Шевченко [б] и др. изучались свойства системы Моисила-Теодореску, для которой по аналогии с уравнением Коши-Ри-мана строился интеграл типа Коши, решался с его помощью некоторый класс сингулярных интегральных уравнений. В работах Р.Фуетера [7] и его учеников строилось обобщение комплексного анализа в пространстве с точки зрения уравнения Фуетера.

В последнее время было замечено, что все известные примеры эллиптических систем первого порядка имеют общую природу,а именно, все они получаются из факторизации некоторого эллиптического оператора второго порядка, как правило,оператора Лапласа. Процедура разложения квадратичной формы на "сомножители" осуществляется с помощью алгебр Клиффорда. Тем самым с помощью алгебр Клиффорда удается строить примеры эллиптических систем первого порядка в любом пространстве . В связи с изучением уравнений, полученных таким образом, возник так называемый Клиффордов анализ, в котором полученные уравнения интерпретируются как условие моногенности функций, заданных в б." со значениями в алгебре Клиффорда. Таким образом появилась теория , с одной стороны, являющаяся аналогом теории функций комплексного переменного, а с другой - описывающая свойства получившихся операторов первого порядка. Многочисленные результаты, полученные в рамках Клиффордова анализа, собраны в монографии 18]. На этом список известных примеров определенных систем первого порядка исчерпывается.

С целью получения новых примеров эллиптических систем автором была высказана гипотеза о том, что понятие алгебры Клиффорда можно с квадратичных форм обобщить на произвольные однородные формы любого порядка однородности и любого числа переменных. Гипотезу автору доказать не удалось, хотя некоторые подтверждающие примеры были построены. И.В.Львов в работе [9] анонсировал доказательство этой гипотезы и устно сообщил схему доказательства. Поскольку в настоящее время опубликованного'доказательства нет, то автор счел нужным привести доказательство, приспособленное для построения дифференциальных операторов и выяснения их структуры. Заметим, что помимо построения новых примеров эта теорема применяется для изучения общих систем любого порядка в пространстве любой размерности. Это применение приведено в работе автора 114].

В приложениях возникают также переопределенные эллиптические системы первого порядка. Для изучения таких систем служит моделью теория функций многих комплексных переменных. Основными задачами здесь является построение интегральных представлений, условия разрешимости неоднородных систем, разрешимость простейших краевых задач.

В обзоре Д.Спенсера [16] приведены результаты, касающиеся разрешимости неоднородных уравнений. Конструкции, приведенные в обзоре, труднообозримы, поэтому к конкретным системам их приложить сложно. В данной работе приведены более удобные способы получения условий разрешимости. Интегральным представлениям для функций многих переменных посвящено огромное количество работ. Состояние дел в этой области приведено в записках семинара Ф.Норге [10], в обзоре Г.М.Хенкина, Е.М.Чирки [II], в книге Б.В.Шабата [13]. В работах Л.Альфорса [12] и Ю.Г.Решетняка [15] построены интегральные представления для систем первого порядка, возникающих в теории устойчивости квазиконформных и квазиизометрических отображений. Заметим, что структура этих систем совершенно не похожа на многомерные уравнения Коши-Римана. Тем не менее, все полученные интегральные представления можно вложить в некоторую общую схему, приведенную в работе автора [17]. Для краевых задач для переопределенных систем первого порядка практически ничего не сделано. В теории функций многих комплексных переменных рассмотрена задача о "скачке"; результаты в этом направлении приведены в обзоре Е.М.Чирки [18]. Даже для такой простой задачи возникают трудности, связанные с появлениями касательных уравнений Коши-Римана. В работе автора [17] изучается задача о "скачке" для произвольных эллиптических систем первого порядка и выводится аналог касательных уравнений Коши-Римана.

•Перейдем теперь к изложению результатов, полученных в диссертации. В главе I изучаются свойства эллиптических систем первого порядка. В п. 1.1 вводятся основные определения эллиптического оператора, эллиптического комплекса, дифференцирование разрывных обобщенных функций.

В п. 1.2 дается сводка всех известных эллиптических операторов первого порядка. Приводится доказательство теоремы И.В.Львова, из которого получаются новые примеры эллиптических систем.

В п. 1.3 указаны простейшие свойства эллиптических систем, полученных в п. 1.2. В качестве приложения этих результатов получено представление для произвольной эллиптической системы любого порядка на плоскости через функции, гипераналитические в смысле А.Дуглиса [4]. Это представление обобщает представление, полученное А.В.Бицадзе для эллиптических систем второго порядка на плоскости [5].

В п. 1.4 изучаются формальные свойства переопределенных систем. Со всяким переопределенным оператором 3) связывается векторное пространство » состоящее из матриц таких, что

МЪ) = , где - символ оператора!) ,

- некоторый полином, Е - единичная матрица. Доказывается, что это пространство нетривиально. Для всякой матрицы строится матрица = Основные свойства матриц 0.(А) собраны в теореме 1.4.1, из которой следует, что эти матрицы обладают важными свойствами. Во-первых, таким образом получаются условия разрешимости, а, во-вторых, множество таких матриц устроено почти как алгебра Ли. Кроме того, в качестве следствия получается алгоритм, позволяющий строить всевозможные интегральные представления для переопределенных систем. Результаты этого пункта могут иметь самостоятельный интерес не только как приложения к дифференциальным операторам.

В п. 1.5 рассмотрена простейшая задача для переопределенных систем - задача о "скачке". Пусть в б*1 задано гладкое многообразие без края 5 , разбивающее на две непересекающиеся компоненты П.* И" . Требуется найти решение уравнения Ри = О вП" такое, что на многообразии Ь, м*- и~=д( , гдеулс гладкая вектор-функция, заданная на 5 . С помощью результатов п. 1.1 гл. I эта задача редуцируется к неоднородному уравнению, которое нужно решать в обобщенных функциях

Ры - бЧРН^*))/^^) (1) где -)(*)) - символ оператора Р , вычисленный на векторе единичной нормали 0(*)к многообразию 5 в точке х ; дельтд-функция Дирака на многообразии 5 . В п. 1.4 были выведены условия на правую часть уравнения (I), необходимые душ разрешимости уравнения (I). Применяя их к правой части уравнения (I), получаем касательные уравнения Коши-Римана. Для некоторых систем в данном пункте приведен явный вид касательных уравнений Коши-Римана. Кроме того, результаты п. 1.4 позволяют построить представление для решения задачи о "скачке", которое и приводится в настоящем пункте,

В п. 1.6 приведены явные интегральные представления для конкретных систем первого порядка, возникающих в геометрии. Для этого в начале пункта кратко приводятся сведения из теории псевдогрупп Ли, взятые из р9]. И явно приводятся уравнения, дая которых строятся интегральные представления. Эти представления даже для

Ъи£ Ъи* хорошо изученного оператора + ^ являются новыми.

Глава 2 посвящена некоторым свойствам эллиптических систем первого порядка с переменными коэффициентами. Изучаемые в этой главе уравнения по своим свойствам похожи на классическое уравнение Бельтрами, поэтому они называются уравнениями типа Бель-трами.

В пп. 2.1, 2.3 вводится понятие системы типа Бельтрами, указываются нетривиальные примеры таких систем. Как хорошо известно, основным инструментом для изучения систем Бельтрами на плоскости являются операторы Т 5 , поэтому в п. 2.2 вводятся их многомерше аналоги и доказывается, что введенные операторы обладают теми же свойствами, что и соответствующие операторы на плоскости. В частности, в теореме 2.2.1 доказано, что норма оператора Б в Ь (£") равна единице.

В п. 2.3 с помощью теорем п. 2.2 устанавливаются свойства решений уравнения типа Бельтрами. Отметим, что результаты этой главы в случае п = Ч были доказаны Т.Иванцом [20] совершенно другим способом. Результаты данной главы могут быть применены к доказательству суммируемости производных квазиконформных отображений, как это было сделано в цитируемой работе [20].

В главе 3 изучаются многомерные сингулярные интегральные уравнения на многообразиях, вложенных б й\ Схема введения отщляр-ных интегральных операторов такая же, как и в теории функций комплексного переменного.

В п. 3.1 устанавливаются основные свойства решений систем первого порядка в ограниченной области. Показывается, что основные свойства аналитических функций имеют аналоги и в этом случае.

В п. 3.2, следуя п. 2.4 гл. 2, аксиоматически вводится понятие сингулярного интегрального оператора, как оператора, решающего некоторую задачу о "скачке".

В п. 3.3 рассматриваются тривиальные алгебраические свойства решений уравнения Р и = о

В п. 3.4 вводятся сингулярные интегральные уравнения на многообразии. Показано, что решение сингулярного интегрального уравнения связано с граничной задачей типа задачи линейного сопряжения для уравнения Ри-о. Пользуясь тем, что некоторые такие задачи удается решить, не привлекая сингулярных интегральных уравнений, удается доказать некоторые важные свойства сингулярных интегральных операторов, например, что введенный в п. 3.2 сингулярный интегральный оператор П обладает свойством П =1 (Г-тождественный оператор), а операторы проекторы.

Результаты главы 3 обобщают результаты А.В.Бицадзе [5], В.И.Шевченко [б], Н.Л.Василевского [22], полученные для систем Моисила-Теодореску и для уравнений Клиффордова анализа на системы, введенные в п. 1.2 гл.1, которые содержат эти системы в качестве частного случая.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [14], р7], [21] , а также докладывались на Донецком коллоквиуме по квазиконформным отображениям и их приложениям (Донецк, 1978 г.), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 1979, 1983 гг.), на Всесоюзной школе молодых ученых "Комплексные методы в математической физике" (Донецк, 1984 г.).

В заключение приношу глубокую благодарность моему научному руководителю Валентину Николаевичу Монахову за внимание к моей работе.

1. Бекуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. - М. :Физматшз, 1959. - 628 с.

2. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнения. Новосибирск:Наука, 1977. -424 с.

3. Gilbert R.P. Constrictive methods for elliptic equations. -Lect.Notes in Math., 1974, vol. 5, 396 p.

4. Douglis A. A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables. Comm.Pure Appl.Math., 1953, vol. 6, p. 259-289.

5. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.:Наука, 1966. - 203 с.

6. Шевченко В.И. 0 краевых задачах для голоморфного вектора в пространстве. В сб.: Математическая физика, 1970, № 8, с. 172-178.

7. Eveter R. Die Theorie der regularen Functionen einer Quater-nionevariablen. Oslo Comptes Rendus die Congress International des Mathématiciens. Oslo, 1936, p. 75-91»

8. Brachx F., Delanghe R., Sommen F. Clifford analysis. Research Notes in Mathematics, 1981, N 76, 308 p.

9. Львов В.И. 0 представлении обобщенных алгебр Клиффорда. -Тез. сообщений ХУЛ всесоюзной алгебраической конференции, ч. I, Минск, 1983, с. 118.

10. Norguet F. Introduction aux fonction de plusieurs variables complexes, representatious intégrales. Lect.Notes in Math., 1974, vol. 409, p- 1-97.

11. Хенкин Г.M., Чирка Е.М. Граничные свойства голоморфных функций нескольких комплексных переменных. Совр. проблемы математики, 1975, т. 4, с. 13-142.

12. Ahlfors L. A Singular operator in hyperbolic space. -В сб.: Комплексный анализ и его приложения. М.:Наука, 1977, с. 40-44.

13. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976, ч. 2, 400 с.

14. Кренделев С.Ф. Представление решений однородных уравнений типа Уиттекера-Пенроуза-Бершана. В сб.: Комплексные методы в математической физике. Донецк, 1984, с. 152.

15. Решетняк Ю.Г. Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. -Новосибирск:Наука, 1982. 230 с.

16. Спенсер Д. Переопределенные системы линейных дифференциальных уравнений. Сб. переводов "Математика", т. 14,вып. 2, 3, 1970.

17. Кренделев С.Ф. Интегральные представления для эллиптических систем первого порядка. В сб.: Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Красноярск, 1980, с. 43-50.

18. Чирка Е.М. Потоки и их приложение. Доб. к книге "Голоморфные цепи и их границы. - М.:Мир, 1979, с. 123-145.

19. Kumpera А., Spencer P. Lie équations. I. General Theory. -Ann. of Math.Studies. Princeton University Press, 1972, vol. I, N 73, 293 P«

20. Iwanies Z. The L integrability of the derivatives of quasiirconformai mapping and their generalizations. Universität Bonn, Preprint 276, 24 p.

21. Кренделев С.Ф. Свойства решений уравнений типа Бельтрами. -В сб.: Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984, вып.64,с. 57-64.

22. Василевский Н.Л. 0 некоторых алгебрах, порожденных пространственным аналогом сингулярного оператора с ядром Коши. -ДАН СССР, 1983, т. 273, ib 3, с. 521-524.

23. Хермандер I. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.:Мир, 1965, 380 с.

24. John P. Rotation and strain. Comm.Pure and. Appl. Math., I961, vol. 14, N 3, P- 391-413«

25. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных операторов. М.:Наука, 1973, 230 с.

26. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.-.Физматгиз, 1962 , 254 с.

27. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.:Наука, 1976, 280 с.5?