Электронный транспорт через фрактальные потенциалы на канторовом множестве тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1/Гуннелирование частицы через потенциальный барьер.

1.1 Матрица переноса в задаче туннелирования частицы через потенциальный барьер.

1.2 Рекуррентные соотношения для параметров туннелирования.

1.3 Туннелирование частиц с точно заданной энергией.

1.4 Параметры туннелирования для прямоугольных потенциальных барьеров и для 5-потенциалов.

1.5 Фазовые времена туннелирования.

1.5.1 Время прохождения (тунелирования).

1.5.2 Время отражения.

1.6 Матрица переноса А^-барьерной структуры из одинаковых барьеров.

1.7 Матрица переноса самоподобного фрактального потенциала, расположенного на триадном канторовом множестве.

1.7.1 Иерархическая структура самоподобного фрактального потенциала и ее свойства.

1.7.2 Функциональное уравнение для матрицы переноса самоподобного фрактального потенциала.

1.7.3 Решение функционального уравнения для параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала.

1.8 Электронный транспорт через самоподобный фрактальный потенциал, расположенный на обобщенном канторовом множестве.

1.8.1 Самоподобный фрактальный потенциал на обобщенном канторовом множестве.

1.8.2 Функциональные уравнения для параметров туннелирования.

1.8.3 Результаты и выводы.

ГЛАВА 2. Физические свойства потенциалов на канторовом множестве.

2.1 Самоподобный фрактальный потенциал на классе функций, допускающих преобразование Фурье.

2.2. Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы.

2.2.1 Иерархическая структура канторовой лестницы. Рекуррентное соотношение для матрицы переноса.

2.2.2 Условие симметрии и функциональное уравнение для матрицы переноса.

2.2.3 Матрица переноса потенциала в форме канторовой лестницы при стремлении фрактальной размерности к единице.

2.2.4 Решение функционального уравнения для матрицы переноса при малых отклонениях фрактальной размерности от единицы.

2.2.5 Некоторые результаты и выводы.

ГЛАВА 3. Фазовые времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал.

3.1 Функциональные уравнения для фазового времени туннелирования.

3.2 Результаты и выводы.

В последнее время активно развивается новая дисциплина - теория сложности (см. например, [1 - 6]), которая изучает как динамические процессы, в которых большое количество независимых агентов действуют согласованно (самоорганизация сложных систем), так и объекты или явления, которые, различаясь в деталях, подобны в принципе. Можно сказать, что раздел теории сложности, изучающий в некотором смысле самоподобные объекты и явления, представляет собой теорию фракталов [3].

Действительно, развитие теории фракталов можно связать с пионерскими работами Бенуа Мандельброта [7 - 9], в которых он предположил, что спекулятивные рынки можно описать при помощи сложных математических объектов, которые позже получили название фрактальных объектов. Еще в начале шестидесятых годов Мандельброт написал серию работ, в которых показывал, что временные ряды, имеющие место на рынке капитала, подчинены распределению Парето, которое, как известно, обладает скейлинговым свойством. Скейлинг в данном случае понимается в том смысле, что сумма конечного или бесконечного числа случайных величин, распределенных по одному из устойчивых распределений Парето (см [10 - 13]), также представляет собой случайную величину с той же самой функцией распределения, что имеют слагаемые суммы. Другими словами, для случайных величин, подчиненных одному из (устойчивых) распределений Парето, не выполняется центральная предельная теорема. Как правило, для таких распределений нельзя определить один или оба из первых двух моментов. Более подробную информацию о развитии фрактальной теории рынка можно найти, например, в [14].

Несмотря на то, что развитие фрактальной геометрии можно соотнести с шестидесятыми годами двадцатого века, до сих пор не существует окончательного и точного определения фрактала. Мандельброт (см. [15]) первоначально определил фрактал, как некоторое множество, топологическая размерность которого меньше чем размерность Хаусдорфа-Безиковича. Впоследствии он отказался от такого определения (в 1991 году М.Шишикура доказал любопытный факт: Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта в точности равна двум! [16]) и предложил следующее, которое до сих пор остается рабочим - «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в некотором смысле подобны целому» [17]. Другими словами, фрактал - это в некотором смысле самоподобный объект. Геометрические и алгебраические фракталы, т.е. фракталы, которые являются пределом бесконечной итерационной процедуры или которые являются «фазовым портретом» нелинейной динамической системы, обладают пространственным самоподобием и, следовательно, представляют собой иерархические объекты. Фрактальные временные ряды обладают статистическими характеристиками, самоподобными по шкале времени. Фрактальные временные ряды являются частным случаем стохастических фракталов, которые имеют больше общего с реальными объектами, чем детерминированные (алгебраические и геометрические) фракталы. Однако последние являются уникальным средством для изучения масштабной инвариантности, поскольку их самоподобие имеет наглядную интерпретацию.

Несмотря на то, что размерность Хаусдорфа-Безиковича, или, как ее еще называют, фрактальная размерность, не может служить однозначным определением фрактального объекта, поскольку не содержит исчерпывающей информации о внутренней структуре фрактала, тем не менее, она остается фундаментальной характеристикой фрактала. Фрактальная размерность указывает на то, как фрактальный объект или временной ряд заполняет пространство, в которое он вложен (пространство, в котором локализован фрактальный объект, называют пространством вложения; соответственно размерность пространства вложения называют размерностью вложения). Заметим, что топологическая размерность пространства вложения не может быть меньше фрактальной размерности объекта, поскольку пространство вложения содержит в себе фрактальный объект.

Фракталы характеризуются сильной корреляцией своих частей между собой [18]. В случае стохастических фракталов каждая точка реализации такого фрактала находится в корреляции с предыдущими исходами. В случае детерминированных фракталов можно говорить о корреляции составных частей, подразумевая при этом вполне определенную связь уровней иерархии фрактала [19].

Следует заметить, что фрактальные объекты описываются нерегулярными функциями. Уже в девятнадцатом веке математики сталкивались с математическими моделями, для изучения которых методы математического анализа оказались недостаточными (изучением нерегулярных, но самоподобных структур занимались также такие ученые,

• как Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Примерами таких объектов могут служить канторово множество (см. Приложение I) (или как ее еще называют, «канторова пыль»), канторова лестница (см. Приложение 11), функция Вейштрасса, кривые Кох и Пеано. Все эти объекты являются примерами детерминированных фракталов, ключевыми свойствами которых являются самоподобие и иерархичность.

Как уже отмечалось, фрактальная размерность является фундаментальной характеристикой фрактальных объектов, представляя собой количественную оценку самоподобия. Под фрактальной размерностью обычно понимают размерность Хаусдорфа-Безиковича (пример расчета фрактальной размерности для канторова множества дан в Приложении 1), однако прямое вычисление упомянутой размерности не всегда конструктивно, поскольку ее расчет даже для относительно простых фрактальных объектов требует значительных усилий. Поэтому вычисление фрактальной размерности упрощают, заменяя расчет размерности подсчетом объема, площади или длины покрытия фрактального объекта, покрывая фрактал одинаковыми элементарными множествами. Затем строится мера фрактального множества, покрытого конечным числом элементарных множеств, и приближенно рассчитывается фрактальная размерность. Предполагается, что размерность Хаусдорфа-Безиковича, если она существует, единственна, поэтому является пределом приближенно рассчитанной фрактальной размерности при увеличении числа покрытий элементарными множествами и соответствующего уменьшения их размера. Подробнее о расчете фрактальной размерности см., например, [17, 20].

Необходимо отметить, что фрактальные структуры достаточно распространены в природе. Используя аппарат теории фракталов можно с высокой точностью описывать многие физические явления и образования реального мира. Фрактальностью обладают распределения звезд [21], облаков [22, 23], поверхности реальных объектов [24, 25]. Фрактальные свойства характерны для материалов, имеющих пористую структуру [26, 27], белковых образований [28]. При определенных условиях стохастические ветвящиеся фрактальные структуры наблюдаются при росте колоний бактерий [29 - 31]. Примерами случайных фракталов также являются дыхательная (легкие) и кровеносная система человека и животных [32].

Замечено, что поведение экологических систем также хорошо описывается в терминах фракталов. Так, например, в работе [33] рассматривается динамика пространственно — неоднородных планктонных сообществ, а работа [34] посвящена обсуждению ключевых вопросов самоорганизации неравновесных экосистем.

Фрактальная геометрия используется для описания динамических систем хаоса [35 - 39] и турбулентного течения жидкости [40 - 43]. Существует мнение о том, что фракталы естественным образом возникают при описании нелинейных (хаотичных) систем (см., например, [3, 14, 44]), поскольку графическое изображение решений нелинейных уравнений создает фрактальные объекты. Однако, на данный момент, не существует точной математической связи между хаотическими и фрактальными объектами (системами) [3].

Фрактальными свойствами обладает электрический разряд и пробой диэлектрика [45]. Инвариантность относительно масштабных преобразований присуща фазовым переходам [46]. Фракталы играют существенную роль в теории пластичности [47] и разрушения материалов [48, 49], прохождении вещества через случайно неоднородные среды (см., например, [50]).

Безусловно, большое фундаментальное значение имеет теоретическое и экспериментальное изучение прохождения вещества через среды с фрактальными свойствами [51 - 55]. Изучение дифракции излучения различной природы на дифракционных решетках, имеющих фрактальную геометрию, можно проследить на примере работ [56 - 59]. Интересны методы, которые были развиты для исследования малоуглового рассеяния и отражения волн фрактальными объектами [60 - 64] или нахождения спектра уравнения Шредингера в присутствии магнитного поля, образованного самоподобной фрактальной структурой [65]. Для всех перечисленных задач характерно, что сложная пространственная геометрия среды отражается на ее физических свойствах. Например, фрактальность проявляется в нетривиальной степенной зависимости интенсивности излучения от переданного импульса (здесь переданный импульс - это разница волновых векторов излучения до и после взаимодействия с фрактальным объектом).

Некоторые дополнительные особенности излучения возникают, если фрактальный объект является фрактальным кластером, т.е. совокупностью простых объектов, связанных между собой некоторым способом, помещенным в однородную среду. Так, например, возможно изменение спектральных линий за счет поступательного и (или) вращательного движения кластеров [66 - 73].

Двумерные [74, 75] или трехмерные задачи [76 - 80] позволяют исследовать, например, эффект переизлучения и переотражения излучения в задаче о рассеивании волн различной природы при прохождении через фрактальные структуры. При этом наблюдается рост интенсивности нелинейных эффектов по мере того, как частицы, образующие исследуемую среду, группируются во фрактальные образования [81, 82].

Также продолжаются попытки изучения стохастических процессов с нетривиальной фрактальной функцией плотности распределения вероятности. Так, например, в работе [83] представлена модель случайного процесса, в которой разделены вклады от фрактального характера функции плотности распределения вероятности (локально-временной характеристики) и от «долгой» памяти, которая характеризуется (анти-)персистентностью показателем Херста [84, 85]), в реализацию траектории стохастического процесса.

Не обошло стороной применение теории фракталов и физику элементарных частиц. Так, в работе [86, 87] строится фрактально— деформированная алгебра операторов рождения и уничтожения (алгебра Гейзинберга) фрактонов - частиц или квазичастиц подчиненных фрактальной функции плотности распределения вероятности.

Конечно, применение теории фракталов не ограничивается только вышеперечисленными приложениями. Спектр, рассматриваемых в рамках фрактального подхода, задач настолько широк (см. [88]), что подробное изложение всех приложений теории фракталов в рамках одной работы является проблематичным (не стоит также забывать, что фракталы нашли широкое применение в компьютерной графике [89], а также, что компании Microsoft удалось создать эффективные алгоритмы сжатия графической информации, основанные на фрактальных отображениях). Тем не менее, несмотря на явные успехи приложений теории фракталов к описанию физических явлений, ее развитие сталкивается с принципиальными трудностями, которые возникают уже в одномерных задачах. Основная сложность, состоит в отсутствии адекватного математического аппарата для решений дифференциальных и интегральных уравнений с фрактальными коэффициентами или границами. Поэтому широкое распространение получил метод изучения физических свойств предфракталов, т.е. таких объектов, когда фрактал на некотором уровне иерархии аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией [51 - 55, 90 - 92]. Действительно, поскольку реальные объекты, в отличие от фрактальных, имеют наименьший структурный элемент, и этим в корне отличаются от «идеальных» фрактальных структур, данный подход на первый взгляд полностью оправдан. Однако при этом теряется такое важное свойство фракталов, как масштабная инвариантность, которая проявляется в эксперименте. С другой стороны, фрактал можно понимать как предел некоторой последовательности пред фракталов, а свойства предельного предфрактала естественно представляют интерес. Поскольку изучение фракталов предоставляет уникальную возможность выяснить связь между масштабной инвариантностью геометрических и физических свойств системы, поиск адекватных подходов, позволяющих исчерпывающим образом проанализировать физические свойства идеальных фракталов, является до сих пор актуальной задачей

Последнее время получил распространение метод (см., например, [93]) согласно которому для описания физических процессов во фрактальных средах традиционные уравнения должны быть изменены заменой обычного дифференциала дробным дифференциалом, кратным фрактальной размерности. Основанием для этого послужило то обстоятельство, что известные дифференциальные и интегральные уравнения, используемые в математической физике (уравнение теплопроводности, гидродинамики и акустики, переноса, Шредингера, Липпмана-Швингера (см., например, [94]) и т.д.), получены основываясь на предположении о регулярности пространства (или среды), в котором находится физическая система. Следовательно, при такой постановке задачи, всегда можно выделить наименьший структурный элемент, который является физически однородным, а, поскольку фрактальные объекты описываются нерегулярными функциями, «обычные» уравнения в точках фрактального множества становятся непригодными. Однако такой подход обладает тем недостатком, что фрактальная размерность не определяет однозначно геометрию фракталов, ведь фракталы одного и того же типа, например обобщенные канторовы множества, отличающиеся числом лакун (неканторовых отрезков, см. Приложение I), также могут иметь одну и ту же фрактальную размерность.

В работе [95] можно найти математическое определение оператора Лапласа на детерминированных фракталах, точнее на фрактальных множествах (см. также [96, 97]), дифференциальный оператор на фрактальном множестве рассматривается как предел некоторого конечно-разностного оператора, заданного на последовательности простых множеств, отображающих структуру исследуемого фрактала. При таком определении дифференциальный оператор на фрактале должен зависеть как от фрактальной размерности, так и от его структуры.

Существуют обобщения некоторых дифференциальных уравнений для стохастических динамических систем, характеризующихся фрактальной функцией плотности распределения вероятности. Например, в работе [98] (см. также [99, 100]) в рамках фейнмановского подхода получено «фрактальное» уравнение Шредингера, а в работе [101] получено «фрактальное» уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова, в предположении, что случайные траектории, по которым движутся частицы, описывается устойчивым распределением Леви. Таким образом, в данном случае определение дифференциального оператора существенно зависит от вида функции плотности распределения, характеризующей стохастический фрактальный процесс. Заметим, однако, что, например, вопрос о существовании и единственности решения «фрактального» уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова, строго говоря, остается открытым [101].

Альтернативный подход, позволяющий точно учитывать геометрию фрактала, но при этом не требующий пересмотра основных уравнений движения, т.е. переопределения дифференциальных операторов, был предложен в работе [102]. В этой работе была рассмотрена одномерная стационарная задача рассеяния нерелятивистской частицы на так называемом самоподобном фрактальном потенциале (СФП) [52, 90] (см. также параграф 2.1 настоящей работы), который отличен от нуля только в точках триадного канторова множества (КМ) [103, 104]. Впоследствии аналогичная задача была решена и в случае обобщенного канторова множества [105] (см. также [106]).

Согласно [102] движение квантовой частицы вне точек КМ должно описываться общепринятым уравнением Шредингера (ОУШ), поскольку в этой области потенциал ведет себя вполне регулярно, и, следовательно, анализ бесконечно малых должен оставаться здесь в силе. Действительно, для любой точки в этой области всегда можно найти такую бесконечно малую окрестность, в которой нет точек КМ. Что же касается последних, то в любой 8-окрестности точек КМ всегда существуют точки, не принадлежащие самому КМ, и, следовательно, потенциал меняется здесь нерегулярно. Однако множество таких точек имеет меру нуль, и, следовательно, единственная проблема, которая возникает при описании туннелирования частицы через СФП, - это проблема переноса решения через канторовы сегменты, где расположены точки КМ.

В работе [102] используется формализм матрицы переноса [107], который обеспечивает выполнение основных свойств одномерного уравнения Шредингера - сохранение плотности потока вероятности (очевидно, «число частиц» должно сохраняться и на фрактальном множестве) и непрерывность волновой функции. Тем самым действие ОУШ распространяется в этом подходе на всю исследуемую область задания потенциала, а точный учет геометрии идеального фрактала обеспечивается формализмом матрицы переноса. Для этого проводится анализ симметрии волновой функции и элементов матрицы переноса на основе интегрального уравнения Липпмана - Швингера [90] с учетом симметрии потенциала. Решение задачи об электронном транспорте при этом сводится к решению функционального уравнения для матрицы переноса (МП), которое было получено с учетом самоподобия фрактального потенциала (подробнее о функциональных уравнениях см. [108]). Заметим, что фрактальная размерность канторова множества естественным образом появляется в ходе решения функционального уравнения (см. [102]). Следует отметить, что хотя анализ на основе уравнения Липпмана - Швингера [90] справедлив только для гладких потенциалов или для нерегулярных потенциалов в пределе большого импульса налетающей частицы, для метода [102] важно только как отражается симметрия самоподобия потенциала на волновой функции и элементах матрицы переноса. При этом не делается никаких предположений о характере поведения потенциала.

В настоящей работе представлено дальнейшее развитие метода [102] для изучения туннельного перехода нерелятивистской частицы через фрактальные потенциалы, сосредоточенные на канторовом множестве. В соответствии с вышесказанным, целью данной работы является:

• поиск явного вида самоподобного фрактального потенциала, сосредоточенного на (обобщенном) канторовом множестве;

• численный расчет параметров туннелирования самоподобного фрактального потенциала, сосредоточенного на обобщенном канторовом множестве;

• расчет фазовых времен туннельного перехода нерелятивистской частицы через самоподобный фрактальный потенциал, сосредоточенный на триадном канторовом множестве;

• решение задачи туннелирования нерелятивистской частицы через фрактальный потенциал в форме канторовой лестницы.

Постановка задачи осуществлялась к. ф. - м. н. Чуприковым Н. Л. На защиту выносятся следующие защищаемые положения:

1. Найден вид самоподобного фрактального потенциала, заданного на классе функций, допускающих преобразование Фурье;

2. С учетом симметрии самоподобия фрактального потенциала в форме канторовой лестницы сформулировано функциональное уравнение на матрицу переноса;

3. В пределе, когда фрактальная размерность канторова множества стремится к топологической размерности пространства вложения (.у —> 1 — 0, где б -фрактальная размерность), найдена матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы. При малых отклонениях фрактальной размерности от единицы, матрица переноса найдена в виде разложения по малым степеням параметра у = 1 - 2/а, где а - масштабный параметр канторова множества (а > 2);

4. Получены выражения для фазовых времен туннелирования электрона в задаче рассеяния на самоподобном фрактальном потенциале.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается тем, что основные положения и выводы диссертации основаны на фундаментальных положениях теоретической и математической физики, корректностью проведенных расчетов, а также тем, что в ряде частных случаев, всякий раз оговоренных диссертантом, наблюдается качественное совпадение с результатами других авторов.

Научная иовизна и практическая значимость работы. В работе получены следующие результаты:

• на классе функций, допускающих преобразование Фурье, найдено одно из решений функционального уравнения, определяющего самоподобный фрактальный потенциал, заданный на канторовом множестве;

• Получено функциональное уравнение для матрицы переноса, описывающей туннелирование электрона через фрактальный потенциал в форме канторовой лестницы;

• Получены аналитические выражения для параметров туннелирования электрона через потенциал в форме канторовой лестницы, фрактальная размерность которого близка к единице.

• Произведен анализ фазовых времен туннельного перехода электрона через самоподобный фрактальных потенциал.

Апробация работы и публикации.

Материалы, вошедшие в диссертацию, доложены и обсуждены на следующих научных конференциях:

1. Жабин Д.Н„ Чуприков Н.Л., Туннелирование электрона через одномерный самоподобный фрактальный потенциал. // «Мезомеханика'98». Тезисы конф. г. Томск. 4-6 декабря 1998г., С. 15.

2. Жабин Д.Н., Чуприков Н.Л. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру. // «Четвертая международная конференция по математическому моделированию» МГТУ «Станкин» г. Москва. 27.061.07 2000. С 44;

3. Чуприков H.JL, Жабин Д.Н., Коэффициент прохождения и фазовые времена туннелирования через фрактальный потенциал на канторовом множестве. // Материалы III Всероссийского семинара "Моделирование неравновесных систем - 2000", Красноярск, 20-22 октября 2000 г., С 276-277;

4. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н., Матрица переноса фрактального потенциала типа канторова лестница. // Труды международной конференции "Математические модели и методы их исследования", Красноярск, 16-21 августа 2001 г., С. 254-258; а также представлены в следующих реферируемых научных изданиях:

1. Chuprikov N.L., Zhabin D.N., Electron tunneling through a self-similar fractal potential in the generalized Cantor set. // J. of Physics A: Math and Gen., 2000, Vol. 33, №23, P. 4309-4316

2. Чуприков H.JT., Жабин Д.Н. "Фазовые" времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал. // Изв. вузов. - Физика, 2000, Т. 43, № 12, С. 57-61

3. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру. // Изв. вузов, - Физика, 2000, Т. 43, № 12, С. 51-56

4. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. Матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы. // Изв. вузов. - Физика, 2003, Т. 46, №9.

Основное содержание работы

Работа состоит из введения, трех глав и заключения общим объемом 108 страниц, двух приложений и списка цитируемой литературы из 137 наименований. Основное содержание диссертации опубликовано в пяти печатных работах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе рассмотрен ряд вопросов, связанных с исследованием нерелятивистского электронного транспорта через фрактальные потенциалы, сосредоточенные на канторовом множестве. Получены следующие основные результаты:

1. На классе функций, допускающих преобразование Фурье, найден точный вид самоподобного фрактального потенциала, заданного на триадном канторовом множестве.

2. В рамках развитого ранее формализма для описания электронного транспорта через самоподобный фрактальный потенциал, показано, что симметрия самоподобия фрактального потенциала в форме канторовой лестницы позволяет свести решение уравнения Шредингера к решению функционального уравнения на матрицу переноса;

3. Показано, что в пределе, когда фрактальная размерность канторова множества стремится к топологической размерности пространства вложения (¿'->1-0, где б - фрактальная размерность), матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы совпадает с матрицей переноса потенциала в форме ступеньки той же высоты;

4. При малых отклонениях фрактальной размерности от единицы, для параметров туннелирования электрона через потенциал в форме канторовой лестницы справедливо разложение в ряд по малому параметру у = 1 — 2/а, где а - масштабный параметр канторова множества. Найдены выражения для параметров туннелирования в лидирующем порядке разложения. Исследованы зависимости параметров туннелирования от энергии электрона;

Получены выражения для фазовых времен туннелирования в задаче рассеяния электрона на самоподобном фрактальном потенциале, заданном на традном канторовом множестве. Исследована зависимость фазовых времен туннелирования от энергии падающего электрона для различных значений масштабного параметра канторова множества а .

1. Prigogine 1., Stengers I. Order out of chaos. - New York: Bantam, 1984. -349 P.

2. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1994. -266 С.

3. Петере Э. Хаос и порядок на рынке капитала. М.: Мир, 2000. - 330 С.

4. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. - 342 С.

5. Casti J. Complexification: Explaining a paradoxical world through the science of surprise. New York: Harper Collins, 1994. - 286 P.

6. Lewin R. Complexity. Phoenix: Orion, 1993

7. Mandelbrot B.B. The Pareto-Levy Law and the Distribution of Income. // International Economic Rev. 1960.-№ l.-P. 70-106

8. Mandelbrot B.B. Stable Paretian Random Functions and Multiplicative Variation of Income. // Econometric Rev. 1963. - № l.-P. 517-543

9. Mandelbrot B.B. The Stable Paretian Income Distribution When the Apparent Exponent Is Near Two. // International Economic Rev. 1963. -№4.-P. 111-115

10. Pareto V. Cours d'Economie Politique. Lausanne, Switzerland, 1897

11. Levy P. Theorie de l'addition des variables aleatoires. Paris: Cauthier-Vi liars, 1937

12. Arnold B.C. Pareto Distributions. Fairland, MD: International Cooperative, 1983

13. З.Золотарев B.M. Одномерные устойчивые распределения. M.: Наука, 1983.-304 С.

14. Peters Е. Fractal Market Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1994.-315 P.

15. Mandelbrot В.В. The Fractal Geometry of Nature. San Francisco, Freeman, 1982

16. Shishikura M. The Boundary of the Mandelbrot Set has Hausdorff Dimension Two. // Astérisque. 1994, -Vol. 7. -№ 222. - P. 389-405.

17. Федер E. Фракталы. M.: Мир, 1991. - 254 С.

18. Barnesly M. Fractals Everywhere. San Diego: Academic Press, 1988

19. Mandelbrot B.B., Gefen Y., Aharony A., Peyriere J. Fractals, their transfer matrices and their eigen-dimensional sequence. // J. Phys. A.: Math and Gen. 1985. - Vol. 18. - P. 335-354

20. Шаповалов A.B. Основные понятия теории фрактальных структур. -Методическая разработка ТГУ, 1993. 33 С.

21. Лукин Ф. Кластеризация во Вселенной. // В сб. «Фракталы в физике», М.: Мир. 1988. С. 446-453

22. Lovejoy S. Area-perimeter relation for rain and cloud areas. // Science. -1982.-Vol. 216.-P. 185-187

23. Lovejoy S., Schertzer D. Generalized Scale Invariance in the Atmosphere and Fractal Models of Rain Water.// Resour. Res. 1985. - Vol. 21. - N 8. -P. 1233-1250

24. Mandelbrot B.B., Passoja D.E., Paullay A.J. Fractal character of fracture surfaces of metals.// Nature. 1984. - Vol. 308. -N 5961. - P. 721-722

25. Avnir D., Farin D., Pfeifer P. Molecular fractal surfaces. // Nature. 1984, -Vol. 308.-P. 261-263

26. Katz J., Thompson A.H. Fractal sandstone pores: Implication for conductivity and pore formation. // Phys. Rev. Lett. 1985. - Vol.54. - N 12.-P. 1325-1328

27. Davirs H.T. On the Fractal Character of the Porosity of Natural Sandstone. // Europhys. Lett. 1989. - Vol.8. - N 7. - P. 629-632

28. Chen S.H., Teixeira J. Structure and Fractal Dimension of Protein-Detergent Complexes.// Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol.57. - N 20. - P.2583-2586

29. Matsushtita M., Fujikawa H. Diffusion limited growth in bacterial colony formation. // Physica A. 1990. - Vol. 168. - P. 498-506

30. Matsushtita M., Wakita J., Itoh H. et al. Interface growth and pattern formation in bacterial colonies. // Physica A. 1998. - Vol.249. - P. 517-524

31. Истомин А.Д., Носков М.Д. Стохастическое моделирование роста колоний бактерий // Математические модели и методы их исследования, труды международной конференции 16-21 августа 2001. -Красноярск, 2001, С. 282-285

32. Голдбергер Э.Л., Рични Д.Р., Уест Б.Д. Хаос и фракталы в физике человека. // В мире науки. 1990. -№ 4. -С. 24-32

33. Изаков М.Н. Самоорганизация и информация на планетах и в экосистемах.//УФН. 1997.-Т. 167.-№10.-С. 1087-1094

34. Badii R.,. Politi A. A Hausdorff dimension and uniformity of strange attractors. //Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 52. -N 19. - P. 1601-1664

35. Bai-Lin H. Chaos. Singapore: World Scientific, 1984

36. Гласс Л., Мэки M. От часов к хаосу. Ритмы жизни. М.: Мир, 1991. -248 С.

37. Евдокимов Н.В., Комолов В.П., Комолов П.В. Интерференция динамического хаоса динамических систем: эксперимент ивозможности радиофизических приложений. // УФН. 2001. - Т. 171. -№7.-С. 775-795

38. Иваницкий Г.Р., Медвинский А.Б., Деев А.А., Цыганов М.А. От «демона Максвелла» к самоорганизации процессов массопереноса в живых системах.//УФН. 1998.-Т. 168. - №11. - С. 1221-1233

39. Mandelbrot В.В. Intermittent turbulence in selfsimilar cascades: Divergance of high moments and dimension of carrier.// J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 62.-P. 331-358

40. Benzir R., Paladin G., Parisi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic system. // J. Phys. A. 1984. - Vol. 17.-N 18.-P. 3521-3531

41. Фриш У. Турбулентность. Наследие Колмогорова А.Н. М.: Фазис, 1998.-346 С.

42. Книга о Колмогорове. Сборник статей. / Составитель Н.Х. Родов, под редакцией В.Н. Тихомирова. -М.: Фазис, 1999. -256 С.44.0rlin J. Grabbe. International Financial Market. Prentice Hall, 1995

43. Niemeyer L., Pietronero L., Wiesmann P. Fractal Dimension of Dielectric Breakdown.//Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 52.-N 12.-P. 1033-1036

44. Cambier J. L., Navenberg M. Distribution of fractal clusters and scaling in the Ising model. // Phys. Rev. B. 1986. - Vol. 34. - N 11. - P. 8071-8079

45. Уэбман И. Упругое поведение фрактальных структур. // В сб. «Фракталы в физике». М.: Мир, 1988, С. 488-496

46. Лунг Ч. Фракталы и разрушение металлов с трещинами. // В сб. «Фракталы в физике». М.: Мир. 1988. С. 260-265

47. Луис Э., Гинеа Ф., Флорес Ф. Фрактальная природа трещин. // В сб. «Фракталы в физике». М.: Мир. 1988. С. 244-248

48. Rino С. L., Owen J. The time structure of transionospheric radio wave scintillation. // Radio. Sci. 1980. - Vol. 15. - N 3. - P. 479-489

49. Konotop V.V., Yordanov O.I., Yurkevich I.V. Wave transmission through a one dimensional Cantor-like Fractal Medium.// Europhys. Lett. 1990. -Vol. 12. -N 6. - P. 481-485

50. Кистенев Ю.В., Шаповалов А.В. Абсорбционные свойства резонансных фрактальных сред. // Оптика и спектроскопия. 1995. - Т. 78. -№2. - С. 260-264

51. Кистенев Ю.В., Шаповалов А.В. Динамическая неустойчивость оптических характеристик резонансных фрактальных структур. // Журнал физической химии. 1995. - Т. 69. - №8. - С. 1363-1367

52. Кистенев Ю.В., Шаповалов А.В. Абсорбционные свойства резонансных мультифрактальных структур. // Оптика и спектроскопия. 1996. - Т. 80. - №4. - С. 695-698

53. Kistenev Yu.V. and Shapovalov A.V. Absorption of the optical pulses under propagation through one-dimensional resonant fractal clusters. // Fractals. -1994. Vol. 2. - № 4. - P. 553-556

54. Allain C., Cloitre M. Optical diffraction on fractals.// Phys. Rev. B. 1986, Vol. 33,-N5.-P. 3566-3569

55. Allain C., Cloitre M. Spatial spectrum of a general family of selfsimilar arrays.// Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 37. - N 12. - P. 5751-5757

56. Hamburger-Lidar D.A. Elastic scattering by deterministic and random fractals: Self-affinity of the diffraction spectrum // Phys. Rev. E. 1996. -Vol. 54.-P. 354- 370

57. Jarrendahl K., Dulea M., Birch J., Sundgren J.-E. X-rays diffraction from amorphous Ge/Si Cantor superlattices. // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 51. -№12.-P. 7621-7631

58. Weitz D. A., Oliveria M. Fractal structures formed by kinetic aggregation of aqueous gold colloids. // Phys. Rev. Lett. 1984. - Vol. 52. -P. 1433-1436

59. Bale H. D., Schmidt P. Small angle X-ray-scattering investigation of submicroscopic porosity with fractal properties. // Phys. Rev. Lett. 1984. -Vol. 53.-N6.-P. 596 -599

60. Berry M. V. Diffractals. // J. Phys. A. 1979. - Vol.12. - N 6. - P. 781-791

61. Berry M. V., В lack well Т. M. Diffractals echoes. // J. Phys. A. 1981. -Vol. 14. -N 11.-P. 3101-3110

62. Джейкмен Э. Рассеяние на фракталах.// в Сб. «Фракталы в физике», М.: Мир. 1988. С. 82-90

63. Rammal R. and Toulouse G. Spectrum of the Schrodinger equation on the self-similar structure. // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 49. - №16. - P. 11941197

64. Martin J.E., Schaefer D.W., Hurd A. J. Fractal geometry of vapor-phase aggregates.// Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 33. - N 5. - P. 3540-3543

65. Martin J. E., Schaefer D. W., Hurd A. J. Surface and mass fracals in Vapor-^ phase aggregates.//Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 35.-N 5. - P. 2361-2364

66. Шефер Д., Кефер К. Структура случайных силикатов: полимеры, коллоиды и пористо твердые тела. // В сб. "Фракталы в физике". М.: Мир. 1988. С. 62-71

67. Bolle G., Cametti С., Codastefano P., Tartaglia P. Kinetic of self-induced aggregation in polysterene lattices studied by quasielastic light scattering. //• Phys. Rev A. 1987. -Vol. 35. -N 2 -P. 837-841

68. Cametti C., Codastefano P., Tartaglia P. Light scattering measurements of slow aggregation in colloids: deviations from asymptotic time scaling. // Phys. Rev. A. 1987. - Vol. 36. -N 10. - P. 4916-4921

69. Wiltzius P. Hydrodynamics behavior of Fractal aggregates. // Phys. Rev. Lett. 1987,-Vol. 58,-N7.-P. 710-713

70. Lindsay H.M., Klein R., Weitz D.A., Lin M.Y., Meakin P. Effect of rotational diffusion on quasielastic light scattering from fractal colloid aggregates. //Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 38. -N 5. - P. 2614-2626

71. Lindsay H.M., Klein R., Weitz D.A., Lin M.Y., Meakin P. Structure and anisotropy of colloid aggregates.// Phys. Rev. A. 1989. - Vol. 39. - N 6. -P. 3112-3119

72. Дайхман Л.И., Урбах М.И. Оптические свойства фрактальных структур.// Поверхность. 1989. -N 12. - С. 67-73

73. Niklasson G.A., Granovist C.G. Infrared Optical Properties of Gas-Evaporated Gold Blank: Evidence for Anomalous Conduction on Fractal Structure // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 56. - N 3. - P. 256-258

74. Hui P.M., Stroud D. Complex dielectric response of metal particle clusters. // Phys. Rev. B. 1986. - Vol. 33. -N 4. - P.2163-2169

75. Berry M.V., Percival J.C. Optic of fractal clusters such as smoke.// Opt. Acta. 1986. -Vol. 33.-N5.-P. 577-591

76. Chen Z., Sheng P., Weitz D.A., Lindsay H.M., Lin M.V., Meakin P. Optical properties of aggregate clusters. // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 37. - N 10A. -P. 5232-5235

77. Шалаев B.M., Штокман М.И. Оптические свойства фрактальных кластеров (восприимчивость, гигантское рассеяние на примерах). // ЖЭТФ. 1987. - Т. 92. - № 2. - С. 509-521

78. Shalaev A.M., Stockman M.I. Fractals: optical susceptibility and giant

79. Раутиан С.Г., Сафонов В.П., Чубаков П.А., Шалаев В.М., Штокман М.И. Гигантское усиление нелинейного рассеяния света при агрегации частиц серебра в кластеры.// Письма в ЖЭТФ. 1988. - Т. 47. - № 4. -С. 200-203

80. Gneiting Т. and Schlather М. Stochastic models which separate fractal dimension and Hurst effect. // arXiv: physics/0109031, 8 P.

81. Hurst H.E. Long-term storage of reservoirs. // Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951.-N 116.-P. 770-808

82. Gammel B.M. Hurst's rescaled range statistical analysis for pseudoscalar number generators used in physical simulations. // Phys. Rev. E. 1998. -Vol. 58. -№2.-P. 2586-2597

83. Da Cruz W. Fractal distribution function and fractal deformed Heisenberg algebras. // arXiv: hep-th/0008171, 7 P.

84. Da Cruz W. Fractal statistic, fractal index and fractons. // arXiv: hep-th/0008222, 7 P.

85. Сборник статей «Фракталы в физике» // М.: Мир. 1988, 672 С.

86. Итолин Д.В. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия. 1995.-№ 15.-с. 11-15

87. Guerin С.-A. and Holschneider М. Scattering on fractal measures. // J. Phys. A: Math and Gen. 1996. - Vol. 29. - P. 7651-7667

88. Болецкая Т.К. Квантовая частица в одномерных фрактальных полях. // Изв. Вузов: Физика. 2002. - №1. - С. 20-23

89. Schwalm W.A. and Schwalm М.К. Closed formulae for Green function on fractal lattices.//Physica A. 1992.-Vol. 185.-P. 195-201

90. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. 1992. - №90. - С. 354-368

91. Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Изд-во HTJ1, Томск, 2001. Т. 2 - 646 С.

92. Kigami J. and Lapidus M.L. Weyl's problem for the spectral distribution of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals // Commun. Math. Phys. 1993. -Vol. 158.-№93.-P. 125-136

93. Lapidus M.L. Analysis on fractals, Laplacians on self-similar sets, noncommutative geometry and spectral dimensions. // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1994. - Vol. 4. - P. 137-195

94. Kigami J. and Lapidus M.L. Self-similarity of volume measures for Laplacians on p.c.f. self-similar fractals // Commun. Math. Phys. 2001. -Vol. 217.-P. 165-180

95. Laskin N. Fractional Schrodinger equation. // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66.-P. 056108(1)-056108(7)

96. Laskin N. Fractional Quantum Mechanics. // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62. -P. 3135-3145

97. Casto C., Mahecha J., Rodrigez B. Nonlinear QM as fractal Brownian motional with complex diffusion constant. // arXiv: quant-ph/0202026, 16 P.

98. Schertzer D., Larcheveque M., Duan J., Yanovsky V.V., Lovejoy S. Fractional Fokker Plank equation for nonlinear stochastic differential equations by non-Gaussian Levy stable noises. // Jornal of Mathematical physics. -2001.-Vol. 42. - №1. - P. 200-212

99. Chuprikov N.L. The transfer matrix of the self-similar fractal potential on the Cantor set. // J. Phys. A: Math. And Gen., 2000, Vol. 33, P.4293-4308

100. Колмогоров A.H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 623 С.

101. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. -М.: Наука, 1977. -288 С.

102. Chuprikov N.L., Zhabin D.N. Electron tunneling through a self-similar fractal potential on the generalized Cantor set. // J. Phys. A: Math. And Gen. 2000. - Vol. 33. - P. 4309 -4316

103. Чуприков H.Jl., Жабин Д.Н. Электронный транспорт через одномерную фрактальную структуру // Изв. Вузов: Физика. 2000. -T.43.-N 12.-С. 51-56

104. Чуприков Н.Л. Матрица переноса одномерного уравнения Шрёдингера. // ФТП. 1992. - Т. 26. - №. 12. - С. 2040-2047

105. Kuczma М. Functional Equations in a single variable. Warszawa, 1968.-487 P.

106. Чуприков Н.Л. Матрица переноса и туннелирование электрона в одномерных квантовых структурах. Методическая разработка, ФФ ТГУ, 1997.-22 С

107. Чуприков Н.Л. Временные характеристики одночастичного рассеяния в одномерных средах. // ФТП. 1993. - Т. 27. - № 5. - С. 799807

108. Чуприков Н.Л. Туннелирование в одномерной системе N потенциальных барьеров.// ФТП. 1996. - Т. 30. - № 3. - С. 348-356

109. Туннельные явления в твердых телах, /под. редакцией Э. Бурштейна, С. Лундквиста. М., 1973. - 421 С.

110. Ко D.Y.K., Inkson J.С. Matrix method for tunneling in heterostructures: Resonant tunneling in multilayer systems. // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 38. - P. 9945-9951

111. Yamamoto H., Kanie Y., Taniguchi К. Transmission coefficient and resonance condition in rectangula TV-fold barrier structure. // Phys. St. Sol. В. 1989.-Vol. 154.-P. 195-199

112. Azbel M.Ya. Eigenstates and properties of random systems in one dimension at zero temperature. // Phys. Rev. B. 1983. - Vol. 28. - P. 41064125

113. Landauer R., Martin Th. Barrier interaction time in tunneling. // Rev. of Mod. Phys. 1994.-Vol. 66.-P. 217-221

114. Hauge E.H. and Stovneng J.A. Tunneling times: a critical review.// Rev. of Mod. Rhys. 1989. - Vol. 61. - P. 917-925

115. Чуприков H.JI. Времена рассеяния частицы на одномерных потенциальных барьерах. // ФТП. 1997. - Т. 31. - № 4. - С. 427-431

116. Данченко В.А., Кистенев Ю.В., Носков М.Д., Шаповалов А.В. Взаимодействие электромагнитных волн с фрактальными структурами // Изв. Вузов: Физика. 1993. - Т. 36. - С. 76-80

117. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Москва, «Мир», 1965. -гл. V, § 3

118. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. Матрица переноса фрактального потенциала в форме канторовой лестницы. // Изв. Вузов: Физика. -2003.-Т. 46. -№9.

119. Чуприков Н.Л., Жабин Д.Н. Матрица переноса фрактального потенциала типа канторова Лестница. // Математические модели и методы их исследования: труды международной конф. 16-21 августа 2001. Красноярск, 2001. С. 254-258;

120. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1969. - 544 С.

121. Жабин Д.Н., Чуприков H.JI. Туннелирование электрона через одномерный самоподобный фрактальный потенциал. // Мезомеханика'98: Тезисы конф. 4-6 декабря 1998. Томск, 1998. С. 15

122. Жабин Д.Н., Чуприков H.JI. Фазовые времена и параметры туннелирования электрона через самоподобный фрактальный потенциал. // IV международная конференция по математическому моделированию МГТУ «Станкин: Тез. докл. 27.06-1.07 2000. Москва, 2000. С. 44;

123. Чуприков H.J1., Жабин Д.Н. Фазовые времена прохождения электрона через самоподобный фрактальный потенциал. // Изв. Вузов: Физика. 2000. - Т.43. - N 12. - С. 57-61

124. Азбель М.Я. Время, туннелирование и турбулентность.// УФН. -1998.-Т. 168.-№6. -С. 614-623

125. Azbel M.Ya. Resonances and oscillations in tunneling in a time-dependent potential. // Phys. Rev. B. 1991. - Vol.43. - P. 6847- 6850

126. Enders A., Nimtz G.J. Evanescent-mode propagation and quantum tunneling. // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 48. - P. 632-634

127. Chuprikov N.L. Asymptotes and characteristic times for transmission and reflection. // arXiv: quant-ph/0301113 v2, 13 P.

128. Aharonov Y. and Bohm D. Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy // Phys. Rev. 1961. - Vol. 122. -P. 1649-1658

129. Jaworski W., Wardlaw D.M. Time delay in tunneling: Transmission and reflection time delays. // Phys. Rev. A. 1988. - Vol.37. - P. 2843-2854

130. Kobe D.H., Aguillera-Navarro V.C. Derivation of the energy-time uncertainty relation. // Phys. Rev. A. 1994. - Vol. 50. - P. 933-938

131. Ken Ichi Aoki, Horikoshi A., Nakamura E. Time of arrival through interaction environment: Tunneling process. // Phys. Rev. A. - 2000. - Vol. 63.-P. 02210l(l)-022101(9)

132. Steinberg A.M., Kwiat G. and Chiao R.Y. Measurement of the singlephoton tunneling time. //Phys. Rev. Lett. 1993. - Vol. 71. - P. 708-711

133. Garcia-Calderon G., Villavicencio J. Early times in tunneling. // arXiv: quant-ph/0008014, 4 P.