Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Милованов Александр Владимирович

ФРАКТАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ И ДРОБНАЯ КИНЕТИКА В ПРОБЛЕМАХ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Специальность — 01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2003

Работа выполнена в Институте космических исследований РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

— доктор физико-математических наук Могилевский Э. И. (ИЗМИРАН)

— доктор физико-математических наук Нейштадт А. И. (ИКИ РАН)

— доктор физико-математических наук Трахтенгерц В. Ю. (ИПФ РАН)

— Научно-исследовательский институт ядерной физики МГУ, г. Москва

Защита диссертации состоится "_" _ 2003 г. в

"_" часов "_" минут на заседании диссертационного совета

Д.002.113.03 в Институте космических исследований РАН по адресу: 117997, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, подъезд N0 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института космических исследований РАН.

Автореферат разослан

. 2003 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.113.03 кандидат физико-математических наук

^^ Буринская Т. М.

п

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Развитие современной физики (как теоретической, так и экспериментальной) во многом опирается на представление о множествах, обладающих нецелой размерностью. Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа и Безикови-ча, которым предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX века, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский. Основы топологической теории размерности были заложены замечательным советским математиком П. С. Урысоном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году. Обобщенная (дробная) размерность играет ключевую роль в абстрактной математике, например, в теории чисел.

Термин фрактальная размерность стал частью физического лексикона около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Ман-дельброта по геометрии случайных процессов. Бесспорной заслугой Мандельброта признана демонстрация необычайно широкого круга явлений, приводящих к формированию фрактальных структур, а также оригинальное определение фрактала как множества, размерность Хаусдо'рфа-Безиковича которого строго больше его топологической

размерности. Классическими примерами фракталов являются изрезан! РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ ! БИМИОТБКА | СПстерЛфГ й - ' О»

ные береговые линиии, случайные временные ряды, русла рек, траектории броуновских -частиц, и др.

В настоящее время понятие фрактала воспринимается как одна из парадигм современной физики. Всплеск работ по фракталам затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика и космология, теория динамического хаоса и гидродинамической турбулентности, исследование фазовых переходов и транспортных явлений, физика космической и лабораторной плазмы.

Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания, или перколяции. Под перкоЛяцией в дальнейшем понимается случайное распространение жидкости через среду, причем абстрактные термины "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи. Пер-коляция является критическим процессом, т.е. подразумевает существование некоторого порога, ниже которого распространение жидкости ограничено конечной областью среды. Вблизи порога протекание происходит по фрактальному множеству, геометрия которого определяется исключительно законами критичности. Условие критичности приводит к независимости геометрических характеристик фрактала от микроскопических свойств среды. Данное явление может быть интерпретировано кале универсальность фрактальной геометрии перколирующих множеств на пороге протекания. Наиболее яркая формулировка свой-

ства универсальности известна как анзац Александера-Орбаха (АО) о равенстве спектральной размерности фрактального множества на пороге протекания значению 4/3 во всех топологических (объемлющих) размерностях п не ниже 2. Доказательство анзаца АО в высоких размерностях п > 6 основано на теории среднего поля, апеллирующей к геометрии протекания на решетках Бете. (В низких размерностях 2 < п < 5 применение теории среднего поля ограничено "деструктивным" влиянием петлевых структур, дающих неперенормируемый вклад в пропагатор -на пороге протекания.)

С другой стороны, несмотря на столь бурный прогресс в исследовании фракталов, многие фундаментальные проблемы тале и не были решены. Прежде всего, отсутствует математически полное и строгое определение фрактального множества. Поиск такого определения лежит в сфере приоритетов современной теории нерегулярных систем. Подробное обсуждение проблемы можно найти в монографии Енса Фе-дера "Фракталы" (Москва, Мир, 1991).

Во-вторых, аналитическое доказательство (или опровержение) анзаца АО в низких размерностях 2 < п < 5, ставшее настоящим камнем преткновения современной фрактальной геометрии, признано фундаментальной проблемой, пути решения которой в рамках традиционных представлений о фракталах представляются исчерпанными. Кризис идей в этой области побудил Шломо Хавлина и Даниеля бен-Аврахама

назвать анзац АО нызовом всей теории протекания [подробнее об этом см. их монографию "Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems" (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000)].

В-третьих, такие принципиальные понятия как индекс связности и спектральная размерность, без которых невозможно точно сформулировать анзац АО, входят в теорию как феноменологические характеристики динамических процессов на фракталах, без четкой связи с топологией фрактала как такового. В самом деле, индекс связности обычно определяется либо через фрактальную размерность хаотических траекторий частиц, либо через скейлинг обобщенного коэффициента диффузии, что в любом случае требует искусственного перехода от геометрии к динамике. Аналогично, спектральная фрактальная размерность, как правило, вводится через плотность фрактонных состояний, описывающих поведение волновых процессов на фракталах. Намного более естественным, однако, представляется изначальное определение индекса связности и спектральной фрактальной размерности из структурных свойств фрактала, с последующим рассмотрением произвольных динамических процессов на основе единых геометрических принципов.

Наконец, отсутствует представление о том, сколько независимых параметров необходимо задать для полного описания геометрии фрактального множества. Естественными вопросами являются:

1. Можно ли установить отношение эквивалентности для фракталь-

ных структур, обладающих одинаковыми значениями индекса связности и размерности Хаусдорфа-Безиковича?

2. Существуют ли преобразования фракталов, сохраняющие индекс связности и спектральную фрактальную размерность?

3. Существует ли набор "базисных фракталов", из которых бы строилось все многообразие фрактальных множеств?

Легко видеть, что проблемы, стоящие перед современной фрактальной геометрией, так или иначе имеют топологическую природу. Топологическое описание фракталов могло бы не только поставить причудливое здание фрактальной геометрии на прочную математическую основу, но и привести к более глубокому пониманию динамических процессов, протекающих на множествах дробной размерности.

Акцентируя внимание на топологии фрактальных структур, мы в первую очередь пытаемся осознать взаимосвязь между геометрическими и динамическими характеристиками системы. Такая взаимосвязь могла бы быть выражена через инварианты фрактального множества, что накладывало бы жесткие ограничения на поведение системы при заданных топологических параметре«. Анализ топологических ограничений мог бы дать ключ к построению самосогласованной динамической картины, учитывающей обратное влияние микроскопических процессов на то, что мы наблюдаем в макроскопическом масштабе. Выход на са-. мосогласованный уровень описания динамических систем, основанный'

на систематическом исследовании их фундаментальных топологических свойств, является одной из приоритетных задач для нелинейной физики в целом.

Цель работы

Целью диссертационной работы является:

1. Построение последовательного топологического подхода к описанию фрактальных множеств, включая определение фрактала с позиций топологической теории многообразий и доказательство анзаца АО в модифицированной (исправленной) формулировке;

2. Исследование наиболее общих отношений между топологическими свойствами фрактальных многообразий и поведением микроскопических процессов в системах с обобщенной размерностью;

3. Применение полученных результатов к решению ряда принципиальных проблем, стоящих перед космической электродинамикой и теорией сильной турбулентности. К числу таких проблем отнесены:

а. Исследование кинетики неравновесных (квази)стационарных состояний, могущих существовать в сложных нелинейных динамических системах вдали от термодинамического равновесия; развитие альтернативного (термодинамического) подхода на основе представления об обобщенной энтропии; вычисление канонического распределения для термодинамических систем со слабыми мультипликативными корреляциями;

b. Построение самосогласованной кинетической модели турбулентного токового слоя, находящегося в основном неравновесном (ква-зи)стационарном состоянии; одним из аспектов модели является объяснение структурной устойчивости хвоста магнитосферы Земли в областях с пренебрежимо малой регулярной составляющей магнитного поля, направленной по нормали к нейтральной плоскости; анализ явления магнитосферной суббури как топологического фазового перехода, связанного с разрушением основного состояния токового слоя; исследование спектральных свойств турбулентности в дальнем хвосте магнитосферы, а также в областях ближнего хвоста на ранних стадиях развития суббури;

c. Аналитический вывод фрактонной волновой функции для (квази) акустических возбуждений в перколирующих средах; анализ механизмов самоорганизации межпланетного магнитного поля и построение самосогласованной фрактонной модели турбулентного солнечного ветра; исследование спектральных свойств турбулентности в потоках быстрого и медленного ветра в контексте структурной и динамической (фрактонной) моделей.

Научная новизна

1. Впервые предложено систематическое применение гомотопической и дифференциальной топологии в исследованиях, касающихся геометрии фрактальных структур; показано, что синтез фрактальной гео-

метрии и топологии приводит к ряду принципиально новых понятий, таких как дробное топологическое произведение и фрактальное многообразие. Впервые предложено общее определение фрактального множества с позиций топологической теории многообразий. В контексте топологического подхода введено понятие перколяционной постоянной С - фундаментальной геометрической константы, характеризующей универсальные свойства перколирующих фрактальных множеств на пороге протекания. Перколяционная постоянная определяется как наименьшее (из двух возможных) решение трансцендентного уравнения

хС/2

СГ(С/2 + 1) = ** (1)

а ее численное значение составляет С ~ 1.327. [Символ Г в уравнении (1) обозначает гамма-функцию Эйлера.] Впервые предложена модифицированная формулировка анзаца АО в терминах перколяционной постоянной С; сделанное утверждение доказано в виде Основной теоремы об универсальности. Следствиями основной теоремы являются теорема о фрактальной границе и теорема о множестве нулей; обе теоремы сформулированы и доказаны впервые.

2. Впервые получено общее выражение для коэффициента турбулентного переноса в стохастических гамильтоновых системах с степенями свободы в зависимости от фрактальной размерности хаотических траекторий частиц; исследовано аномальное поведение коэффициента переноса по числу Кубо; найдено точное значение индекса Кубо при

известной фрактальной размерности траекторий; дан подробный анализ важнейших частных случаев, отвечающих следующим процессам: субдиффузии в стационарном гамильтоновом поле; аномальной диффузии в широких стохастических "морях;" баллистическим переносам, обусловленным полетами Леви; супердиффузии в режиме самоорганизованной критичности.

3. Впервые дало систематическое объяснение явлению универсальной ас проводимости перколирующих фрактальных сетей вблизи порога протекания во всех объемлющих размерностях от 2 до 5; исследован скейлинг коэффициента ас проводимости по частоте, а также температурная зависимость индекса проводимости на аномальных частотах; предсказано явление "гиперуниверсальной" ас проводимости для плоских сетей, названное "законом одной трети."

4. Впервые предложено нелинейное дробное кинетическое уравнение, описывающее процессы самосогласованного ускорения частиц в турбулентных средах вблизи основного неравновесного (ква-зи)стационарного состояния системы; получено автомодельное решение дробного уравнения, отвечающее нетепловому хвосту в распределении частиц по энергиям; параметры распределения находятся в тесном согласии с данными непосредственных измерений турбулентной плазмы в хвосте магнитосферы Земли.

5. Впервые предложен термодинамический анализ неравновесных

(квази)стационарг ых состояний на основе представления об обобщенной энтропии; показано, что каноническим распределением для состояний со слабыми мультипликативными корреляциями является хорошо известное в космической электродинамике "каппа" распределение; отмечено, что нетепловой хвост каппа распределения соответствует автомодельному решению дробного кинетического уравнения.

6. Впервые построена самосогласованная кинетическая модель турбулентного токового слоя, находящегося в основном неравновесном (ква-зи)стационарном состоянии; впервые предложена топологическая модель магнитосферной суббури кале фазового перехода из основного состояния, обладающего перколяционными симметриями, на возбужденный уровень, лежащий существенно выше порога протекания в системе.

7. Впервые сформулировано и решено дробное кинетическое уравнение для фрактонов - (квази)акустических возбуждений на перколирующих фрактальных сетях; получены топологические ограничения на параметры фрактонной волновой функции как в центральной, так и в хвостовой частях распределения; впервые предложена фрактон-ная модель турбулентного межпланетного магнитного поля, описывающая самосогласованное формирование крупномасштабных фрактальных структур в поле нелинейных фрактонных возбуждений.

8. Впервые с единых позиций предложено объяснение спектральных свойств турбулентности в солнечном ветре и хвосте магнитосферы

Земли; предсказан эффект почернения шумов в хвосте магнитосферы в области высоких частот.

Научная и практическая ценность

Научная ценность работы заключается в развитии последовательного топологического подхода к исследованию множеств с нерегулярной пространственной структурой. В основе предлагаемого подхода лежит синтез "традиционной" фрактальной геометрии с топологической теорией многообразий. Систематическое применение топологических методов приводит к понятию перколяционной постояннойС и 1.327 - фундаментального параметра, определяющего минимальное дробное число степеней свободы, допускающее построение бесконечного линейно связного фрактального множества. Основная теорема об универсальности, утверждающая равенство спектральной размерности стягиваемого фрактала на пороге протекания значению перколяционной постоянной С и 1.327, ставит точку в проблеме аналитического доказательства (или опровержения) анзаца АО в объемлющих размерностях от 2 до 5; тем самым решается одна из крупнейших проблем в современной теории протекания. В контексте теории турбулентности Основная теорема об универсальности приводит к ряду общих результатов относительно геометрии неравновесных (квази)стационарных состояний, могущих существовать в сложных открытых термодинамических системах вдали от теплового равновесия. Среди важнейших приложений

топологической теории фракталов отметим:

1. самосогласованную модель турбулентного токового слоя, включая объяснение структурной устойчивости хвоста магнитосферы Земли в областях с пренебрежимо малой нормальной компонентной магнитного поля, а также модель магнитосферной суббури как топологического фазового перехода на перколирующей фрактальной сети;

2. объяснение универсальной ас проводимости перколирующих фрактальных сетей и предсказание "закона одной трети."

Результаты, связанные с ас универсальностью, могут применяться для поиска нетрадиционных сверхпроводящих материалов с высокой температурой перехода (вплоть до 150 К) (подробнее об этом см. оригинальную работу [24]). Значения коэффициентное турбулентного переноса, полученные в [18], имеют непосредственное отношение к проблеме удержания плазмы в магнитных ловушках и осуществлению программы управляемого термоядерного синтеза. Актуальность данного направления отражена в международном проекте ITER.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах в Институте космических исследований РАН; Институте земного магнетизма и радиоволн РАН; Научно-исследовательском институте ядерной физики МГУ; Факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ; Государственном астрономическом инсти-

туте имени Штенберга МГУ; Университете Калабрии (Козенца, Италия); Институте физики плазмы "Пьеро Калдирола" (Милан, Италия); Национальной лаборатории Ризё (Роскилль, Дания); Международном центре теоретической физики в Триесте (Италия); на рабочей группе по теории и наблюдениям нелинейных процессов в околоземном пространстве (Варшава, Польша, 1995); международном симпозиуме по космической плазме (Гамильтон, Бермудские острова, 1995); международной школе по космической физике (Лаквила, Италия, 1996); международных конференциях "Дни Динамики" (Лион, Франция, 1996) и "Современные проблемы астрофизики" (Москва, Россия, 1997); Российско-Итальянских симпозиумах по нелинейным процессам в космической и лабораторной плазме (Звенигород, Россия, 1998; Конобеево, Россия, 2002); Международной ассамблее геодезии и геофизики (Бирмингем, Великобритания, 1999); Европейских конференциях по теории термоядерного синтеза (Комо, Италия, 1999; Элсинёр, Дания, 2001); международной рабочей группе по стохастическим процессам переноса в сложных нелинейных динамических системах (Карри-ле-Руэ, Франция, 2000; 2002); ряде других.

Публикации

В основу диссертации положены работы [1—25], привиденные в конце автореферата. Полный список печатных работ автора по тематике диссертации (в рецензируемых изданиях) содержит 35 статей.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения; содержит 257 страниц основного текста и 16 рисунков; список литературы включает 223 названия.

2* СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении дан краткий обзор современного состояния исследований, связанных с применением фрактальной геометрии в современной теоретической физике, а также выделены наиболее острые проблемы, решению которых посвящена диссертационная работа.

В первой главе приведено последовательное изложение топологической теории фрактальных структур в свете оригинальных работ [10,15,20,24]. Материал разбит на три раздела по следующему плану:

В разделе 1.1. дано аксиоматическое определение важнейших геометрических характеристик фрактала: Хаусдорфовой размерности индекса связности в и спектральной размерности с?, = 2й//(2+0), а также введены понятия дробного евклидова пространства и фрактального многообразия.

В разделе 1.2. сформулирована и доказана Основная теорема об универсальности в следующей формулировке:

Основная теорема об универсальности: Спектральная размерность стягиваемого фрактального множества на пороге протекания равна С а 1.327 для всех 2 < п < 5.

Величина С определена тождеством (1). Основная теорема об универсальности возводит значение С в ранг фундаментальной топологической константы, характеризующей наиболее общие свойства перколирующих фрактальных множеств во всех объемлющих размерностях от 2 до 5. Следуя оригинальной работе [15], для обозначения С мы предлагаем термин "перколяционная постоянная."

Доказательство Основной теоремы об универсальности разбито на "легкую" и "трудную" части. Доказательство легкой части требует предварительного введения таких нестандартных понятий как (замкнутый) ¿„-мерный дробный шар тл {й, — 1)-мерная дробная сфера 5*''-1 (представляющая собой топологическую границу шара Дробная сфера может быть построена как образ стягиваемого перколи-

рующего фрактального множества при диффеоморфном отображении с дробным якобианом. Центральный момент заключается в построении пути 7, всюду плотно покрывающего сферу й**'-1 вместе с внутренней областью ГУ1". Легко видеть, что -у опирается на тот же самый телесный угол, что и весь шар ГУ1'] данный угол, однако, не может быть меньше ж. Последнее утверждение следует из рассмотрения всевозможных непрерывных деформаций кривой 7, концы которой закреплены на

противоположных полюсах сферы 5d,_1. Принимая во внимание, что шар D*' опирается на телесный угол

= d'T(d,/2 + iy (2)

находим fid, > 7Г. С другой стороны, условие критичности требует üd, = min на пороге протекания, откуда = ж. Из полученного соотношения очевидно тождество (1). Вложения дробных сфер в евклидово пространство Е*1 обсуждаются в трудной части теоремы, где получено общее ограничение 2 < п < 5 на топологическую размерность п. Доказательство ограничения 2 < п < 5 основано на построении гладкого двумерного многообразия, "обволакивющего"

, с последующим

применением слабой теоремы Уитни о вложениях.

Далее в разделе 1.2. показано, что эффекты нестягиваемости приводят к отклонению спектральной размерности d, от С в меньшую сторону в относительных пределах порядка одного процента. Данный вывод проверен в численных экспериментах, посвященных исследованию фрактальных свойств изолиний в сечениях случайных броуновских поверхностей (подробнее об этом см. раздел 1.З.).

Поскольку значение перколяционной постоянной С отлично от 4/3, Основная теорема ■об универсальности опровергает анзац АО в первоначальной формулировке (то есть о равенстве спектральной размерности d, значению 4/3 во всех объемлющих размерностях п начиная с 2).

Можно сказать, что анзац АО справедлив лишь в высоких размернос-

«

тях п > 6, где выполняется приближение среднего поля. Отклонение величины С от 4/3 в низких размерностях 2 < тг < 5 обеспечивает сходимость ренорм-группового разложения термодинамических величин в точке перколяционного перехода.

В разделе 1.3. доказан ряд следствий из Основной теоремы об универсальности, позволяющих не только глубже понять основные свой-^ ства фрактальных многообразий, но и получить готовые рецепты для

последующего применения в физических моделях. Среди важнейших » следствий отметим теорему о фрактальной границе и теорему о мно-

жестве нулей:

Теорема о фрактальной границе: На пороге протекания дробная сфера всюду плотна в шаре б*'.

Другими словами, фрактальное множество ¡У1, на пороге протекания обладает "чрезвычайно разветвленной границей." Данное свойство заранее не очевидно и подчеркивает специфику многообразий в*''1 и ГУ1,. Теорема о фрактальной границе приводит к ряду топологических ограничений на Хаусдорфову размерность перколирующих фрактальных структур на пороге протекания.

Теорема о множестве нулей: Пусть ~ф{т) - статистически однородное изотропное случайное скалярное поле с областью определения {г} ~ .Е", где п > 2, и пусть поля ф(г) и —ф(г) статистически эквивалентны, т.е. выполняется свойство знаковой симметрии. Пред-

полагается условие невырожденности |VV»(r)| ф 0 почти для всех г. Тогда множество нулей поля {^(г) = 0} содержит перколирующее подмножеств о.

Теорема о множестве нулей позволяет получить независимую оценку перколяционной постоянной С из фрактальной размерности изолиний случайных функций.

Переход от топологии к физике осуществляется во второй главе, содержащей анализ странных (негауссовых) процессов переноса в турбулентных средах. Действительно, в открытых нелинейных динамических системах могут существовать неравновесные стационарные состояния (ЯСС), обладающие высокой степенью "внутренней" когерентности. Поведение системы вблизи НСС обусловлено сложным взаимодействием эффектов динамической релаксации с обменными процессами, отвечающими за самоорганизацию среды. Геометрия НСС представляет собой фрактал, занимающий лишь некоторую часть (скажем, некоторое подпространство) объемлющего евклидова пространства Е". Структурная устойчивость НСС как фрактального образования поддерживается за счет многомасштабных корреляций, играющих доминирующую роль в режиме сильной нелинейности. Корреляции самосогласованным образом "подстраивают" кинетику НСС под фрактальную reo- • метрик» системы. Фрактальность, в свою очередь, обнаруживает себя в странном (негауссовом) поведении кинетических процессов, "искажен-

ных" корреляциями. Стабилизация системы вблизи НСС воспринимается сторонним наблюдателем как переход в турбулентное состояние, ограничивающее крупномасштабные эволюционные явления.

Во многих случаях термодинамически выгодными оказываются НСС, фрактальная геометрия которых соответствует перколяционным структурам на пороге протекания. Данный вывод основывается, в частности, на исследовании спектральных свойств турбулентности в хвосте магнитосферы Земли. Применение Основной теоремы об универсальности позволяет немедленно определить спектральную размерность множества, к которому стремятся траектории частиц по мере стабилизации системы:

d, С и 1.327. (4)

Как показано в разделах 2.1.—2.3., условие (4) приводит к "соотношению пропорциональности" между индексами дифференцирования по временной и фазовой переменным в дробном кинетическом уравнении для самосогласованного распределения вероятностей найти частицу в точке £ в момент времени t. Соотношение пропорциональности отражает пространственно-временные корреляции в системе вблизи НСС.

В разделе 2.4. исследован широкий класс странных процессов переноса в стохастических гамиль тоновых системах с l| степенями свободы. Получено общее выражение для коэффициента турбулентного переноса из динамических параметров, описывающих расходимость ансамбля

фрактальных траекторий частиц. Полученные результаты охватывают такие явления кале субдиффузия частиц в стационарном гамильто-новом поле; аномальная диффузия в режиме сильной стохастичности; баллистические переносы, отвечающие блужданиям Леви; супердиффузия вблизи самоорганизованной критичности. Приведено подробное сравнение с известными экспериментальными данными по явлениям переноса в турбулентной плазме, включая лабораторные и космические приложения. Исследована аномальная степенная зависимость коэффициента турбулентного переноса от числа Кубо. Найдено общее алгебраическое выражение для индекса Кубо через фрактальную размерность стохастических траекторий. Значение индекса Кубо для диффузионных траекторий составляет 2/3.

Наконец, в разделе 2.5. обсуждается явление универсальной ас проводимости перколирующих фрактальных сетей на пороге протекания. (Как и выше, свойство универсальности трактуется в контексте Основной теоремы.) Показано, что коэффициент ас проводимости зависит от приложенной частоты по степенному закону с показателем

ц = (2 - С)/2 + (п - 2)С/М/, (5)

причем значение параметра > 1 ограничено сверху размерностью канторова сыра в Еп, а размерность пространства вложения меняется в пределах от 2 до 5. Ограничение на вытекает из теоремы о фрактальной границе. Выражение (5) с большой точностью объясня-

ет поведение объемной (п = 3) ас проводимости аморфных веществ с нерегулярной молекулярной структурой. Для плоских сетей (п = 2) показатель г) не зависит от Хаусдорфовой размерности df.

г] = (2-С)/2 ~ 1/3 (п = 2). (6)

Результат (6) назвал "законом одной трети" и рассматривается как теоретическое предсказание фрактальной модели. Закон одной трети мог бы применяться к описанию ас проводимости тонких пленок из аморфных веществ, а его экспериментальная проверка могла бы пролить свет

7 на механизм прохождения переменного электрического тока через не-

упорядоченные среды.

Третья глава посвящена исследованию механизмов поддержания нетепловых распределений частиц по энергиям вблизи НСС. В самом деле, переход турбулентной системы к НСС во многих случаях связан с появлением популяции горячих частиц, распределение которых по энергиям имеет степенной вид

а £-". (7)

" Стоящая здесь энергия частиц £ предполагается большой по сравне-

нию с характерной "температурой" ансамбля Т. Заметим, что величи-

О гг

на Т может не иметь смысла температуры в традиционном понимании. Распределение (7) часто называют "нетепловым хвостом," подчеркивая существование протяженного "шлейфа" состояний с высокой энергией,

вероятности которых экспоненциально малы в статистике Максвелла-Больцмана:

Ф(5) ос ехр[—£/Т]. (8)

Нетепловые функции распределения (7) являются неотъемлемой чертой турбулентной плазмы; в качестве примеров укажем популяции, образующие плазменный слой магнитосферы Земли, а также частицы, приходящие к Земле в форме космических лучей.

Можно предположить, что наклон нетеплового хвоста /х связан с фундаментальными явлениями, лежащими в основе нелинейной динамики НСС. Действительно, процессы динамической релаксации, играющие, наравне с эффектами самоорганизации среды, первостепенную роль в формировании НСС, подразумевают обмен энергией между различными подсистемами, входящими в турбулентный ансамбль. К таким подсистемам обычно относят турбулентные поля, взаимодействующие как между собой, так и с захваченными в них частицами; при этом токи, создаваемые частицами, могут быть сами источниками турбулентного поля. Система напоминает "кипящий котел" из частиц и полей, "уравновешивающих" друг друга вблизи НСС. Адекватное описание турбулентного ансамбля требует учета многомасштабных пространственно-временных корреляций и может быть отнесено к компетенции тале называемой дробной кинетики. Изложение соответствующего подхода в контексте оригинальных работ [19,25] представлено в разделах З.1.—3.2.

Ключевым звеном является нелинейное дробное кинетическое уравнение, учитывающее процессы "воспроизводства" турбулентности частицами, испытывающими рассеяние на сгустках поля. Подчеркнем, что сгустки могут некоторым когерентным образом перемещаться в пространстве, например, участвовать в обобщенном броуновском движении (персистентном или антиперсистентном). Рассеяние частиц в этом

случае сопровождается медленным разогревом плазмы; процесс напое

минает стохастическое ускорение Ферми, однако существенным обра, зом "искажается" корреляциями в системе. Разогрев плазмы на сгуст-

ф

ках, совершающих обобщенное броуновское движение, назван в разделе 3.1. "странным ускорением Ферми." В отличие от "обычного" стохастического ускорения, странные ускорения не требуют гауссова распределения рассеивающих центров по скоростям; при этом время корреляции для странных ускорений равно бесконечности. В самосогласованном режиме ускоренные частицы тратят полученную энергию на воспроизводство турбулентного поля. Эффект соответствует нелинейному члену в кинетическом уравнении, стоящему на месте источника поля (раздел . 3.2.). Как следует из кинетического ур&внения с самосогласованным

источником, вблизи основного неравновесного (квази)стационарного со-о стояния функция распределения частиц плазмы по энергиям содержит

протяженный нетепловой хвост степенного вида, показатель которого меняется в пределах от ^¡¿п = 6 до /х111ах = 7в зависимости от типа

корреляций (персистентных или антиперсистентных) в системе. Приведенные значения отражают фундаментальные характеристики неравновесных полей и плазмы, образующих самосогласованный ансамбль в турбулентных токовых слоях (нйлример, хвосте магнитосферы).

Далее, в разделах 3.3.—3.4. исследованы общие термодинамические свойства нетепловых функций распределения на основе представления об обобщенной энтропии. Получено каноническое распределение для состояний со слабыми мультипликативными корреляциями, совпадающее с хорошо известным в космической электродинамике "каппа" распределением. [Напомним, что каппа распределение содержит нетепловой хвост вида (7); при этом значение параметра каппа на единицу меньше показателя /х.] Обсуждается соответствие каппа распределений процессам самосогласованного ускорения частиц в области турбулентности. Полученные результаты позволяют связать воедино метод нелинейного дробного кинетического уравнения (разделы 3.1.—3.2.) и нетрадиционный термодинамический подход, апеллирующий к концепции обобщенной энтропии (разделы 3.3.—3.4.). Представлено подробное сравнение выводов теории с данными наблюдений, в частности, с известными значениями параметра каппа для плазменного слоя магнитосферы Земли.

Ряд конкретных проблем, стоящих перед современной космической электродинамикой, обсуждается в четвертой главе. Речь в ней идет о спектральных свойствах НСС в различных диапазонах частот (раз-

дел 4.1.); далее рассмотрены самосогласованная модель турбулентного токового слоя (раздел 4.2.) и динамическая фрактонная модель межпланетного магнитного поля (в контексте неустойчивости магнитозву-ковых фрак тонных мод по отношению к самосжатию) (раздел 4.З.).

Задача о турбулентном токовом слое (раздел 4.2.) тесно связана с объяснением структурной устойчивости хвоста магнитосферы Земли в областях с пренебрежимо малой регулярной составляющей магнитного поля, направленной по нормали к нейтральной плоскости. В формальной записи

В„ < В0, (9)

где В„ суть регулярная нормальная компонента поля, а Д> обозначает характерное магнитное поле в лобах. Условие (9) выполняется в дальнем хвосте магнитосферы (х ~ —102Дз), а также в областях развития магнитосферной суббури (х ~ —1(Шз) на стадии, когда происходит локальное утоньшение и вытягивание магнитной конфигурации хвоста. Во избежание недоразумений подчеркнем, что речь не идет о хорошо известных ламинарных режимах, когда хвост напоминает глад-

г

кую деформацию дипольного поля Земли; в последнем случае структурная устойчивость хвоста достигается за счет нормальной компоненты Вп ~ Во, стабилизирующей регулярную токовую систему. При значительном уменьшении нормального поля ламинарная конфигурация хвоста теряет устойчивость вследствие возникновения многомас-

штабных турбулентных течений; переход к турбулентности обусловлен развитием ряда нестабильноетей, например, потоковых. Сильная многопотоковая турбулентность представляет собой иерархическую сеть из токовых струй, хаотически разбросанных по нейтральной плоскости хвоста. Изгибание и ветвление струй приводит к образованию сложных мозаик из сгустков турбулентного магнитного поля, "попавшего"

в токовые сети. Иерархии токов и полей вблизи основного неравновес- к

1

ного состояния турбулентной системы образуют электродинамически согласованные фрактальные конфигурации. При кинетическом описа- <

нии сгустки турбулентного магнитного поля можно рассматривать как рассеивающие центры, препятствующие быстрому прохождению заряженных частиц через токовый слой. Рассеяние частиц на сгустках ограничивает амплитуду электрического тока поперек хвоста; тем самым достигается турбулентное устойчивое состояние, обеспечивающее стабилизацию электродинамического ансамбля вблизи НСС. Важно подчеркнуть, что сгустки турбулентного поля образуются за счет тех самых частиц, которые испытывают рассеяние на магнитных неоднород-ностях: флуктуации тока, обусловленные процессом рассеяния, являют- Г

ся источниками турбулентного поля, рассеивающего частицы. Данный эффект возвращают нас к нелинейному кинетическому уравнению, исследованному в разделе 3.2.

Показано, что стационарная конвекция фрактальных мозаик воспри-* »

26

нимается неподвижным наблюдателем как самоаффинные вариации поля во времени; при этом спектр флуктуаций имеет степенной вид с показателем, зависящим от Хаусдорфовой размерности турбулентного поля (раздел 4.1.). По известным (из электродинамики токового слоя) значениям Хаусдорфовой размерности вблизи НСС в разделе 4.2. рас-читаны показатели спектров для флуктуаций турбулентного магнитного поля, плотности тока и поля скоростей. Особое внимание уделено поведению спектров на низких частотах, где конвективные процессы искажаются собственной динамикой фрактальных мозаик (например, участием сгустков в обобщенном броуновском движении). Считая броуновское движение сгустков медленным по сравнению с конвекцией, показано возникновение универсального спектра динамических флуктуаций, напоминающего низкочастотный розовый ("фликкер") шум в системе. Далее в разделе 4.2. построена модель магнитосферной суббури как топологического фазового перехода на фрактальной сети со скачком размерности вложения. Данная модель приводит к ряду интригующих аналогий с инфляционной стадией расширения Вселенной. Основные заключения модели (такие как эффект расщепления тока выше порога протекания) проверены в численном эксперименте, основанном на приближении турбулентного поля фрактальными броуновскими функциями. Представлено детальное сравнение выводов теории с данными непосредственных наблюдений магнитоплазменной турбулентности в

хвосте магнитосферы. Среди важнейших предсказаний модели отметим эффект почернения шумов на средних частотах перед самым началом суббури.

В разделе 4.3. рассмотрены коллективные вибрационные возбуждения, соответствующие колебательным степеням свободы на фрактальных мозаиках из сгустков турбулентного магнитного поля. Данные возбуждения отождествлены с магнитоакустическими фрактонными модами, отвечающими нелинейному дисперсионному соотношению, параметры которого зависят от индекса связности турбулентной среды. Показано, что фрактонная волновая функция является, решением дробного уравнения Шредингера с оператором Райца-Вейля вместо обычного лапласиана. При известных ограничениях на индекс связности решение дробного уравнения записано через функции Миттага-Леффлера; исследованы асимптотики фрактонных мод при малых и больших значениях пространственной переменной. Обсуждаются (на качественном уровне) неустойчивости фрактонных мод по отношению к самосжатию. Показано, что нелинейная стабилизация фрактонных возбуждений возможна при переходе к универсальным фрактальным мозаикам, Хаусдорфова размерность которых совпадает с постоянной протекания С и 1.327. По-видимому, данный эффект работает в потоках турбулентного .солнечного ветра, где отвечает за формирование фрактальной структуры межпланетного магнитного поля. Спектральные свойства поля, рассчи-

танные на основе фрактонной модели, хорошо согласуются с данными непосредственных измерений с борта космических аппаратов.

Принципиальные моменты, изложенные в работе, суммированы в Заключении.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Концепция фрактального многообразия является ключей к построению аксиоматической теории множеств, обладающих нецелой размерностью. В основе аксиоматического подхода лежат топологические методы, подчиненные общим идеям фрактальной геометрии. Связующее звено заключается в исследовании отношений эквивалентности между фрактальными структурами, например, диффеоморфных отображений с дробным порядком гладкости. К важнейшим топологическим свойствам фрактальных множеств относится сохранение индекса связности при взаимно однозначных взаимно непрерывных деформациях (гомеоморфизмах). Синтез фрактактальной геометрии и топологии открывает путь к развитию нового научного направления - фрактальной топологии, перспективы которого охватывают как абстрактную математику, так и теоретическую физику.

2. Важнейшими примерами фрактальных многообразий служат

дробное евклидово пространство Е?', диффеоморфное открытому дробному шару ГУ1', а также дробная сфера представляющая полную фрактальную границу шара. ГУ1'. Многообразия ГУ1, и * описывают топологию перколяции, или протекания, в статистически однородных изотропных системах. На пороге протекания шар ГУ1' опирается на телесный угол, равный 7Г во всех объемлющих размерностях тг от 2 до 5; спектральная размерность ¿в шара ГУ1' равна при этом постоянной протекания С « 1.327. Постоянная протекания С определяет минимальное дробное число степеней свободы, необходимых частице для достижения бесконечно удаленной точки при случайных блужданиях в пространстве ЕР (2 < п < 5). Параметр С имеет чисто топологическую природу, отражающую универсальные (не зависящие от физической природы системы) структурные свойства перколирующих фрактальных множеств. Сделанные утверждения доказаны в виде Основной теоремы об универсальности. Основная теорема играет центральную роль в исследовании фундаментальных топологических свойств фрактальных объектов, связанных с критическими явлениями в случайных средах. К другим важным топологическим теоремам необходимо отнести теорему о фрактальной границе, следствием которой является совпадение Хаусдорфовых размерностей шара ГУ1' и сферы 5<г*~1 на пороге протекания, а также теорему о множестве нулей, утверждающую существование перколирующих фрактальных множеств в плоских се-

чениях случайных функций.

3. С топологией протекания связана структура* сильной турбулентности вблизи основного неравновесного стационарного состояния (НСС). Переход к НСС является сложным компромиссом между механизмами самоорганизации, определяющими ход эволюционных процессов в системе, и эффектами динамической релаксации, отражающими роль диссипативных факторов в среде. Во многих случаях термодинамически выгодными оказываются НСС, геометрия которых отвечает условиям протекания вблизи порога. Применение Основной теоремы об универсальности позволяет немедленно получить значение спектральной фрактальной размерности для турбулентного ансамбля: ds = С « 1.327. Ограничения на Хаусдорфову размерность и индекс связности вытекают из теоремы о фрактальной границе. Данный под^ -ход является совершенно общим и не требует каких либо специальных предположений относительно физической природы НСС. В контексте НСС постоянную протекания С и 1.327 можно рассматривать как универсальный параметр, характеризующий фундаментальные свойства турбулентного состояния. Подчеркнем, что для решения казалось бы чисто физической проблемы - исследования неравновесных стационар-« ных состояний в динамических системах с сильной турбулентностью

- нам пришлось одновременно развить математический аппарат, определив такие понятия как фрактальное многообразие, дробное тополо-

гическое произведение и постоянная протекания. Теория сильной турбулентности попадает, таким образом, под юрисдикцию фрактальной топологии. Последнее обстоятельство лежит в основе геометрического описания турбулентности, предложенного в [21,12,22].

4. Фрактальность непосредственно отражаются на кинетике турбулентного ансамбля. В игру вступают "странные" динамические процессы, не имеющие .аналогов в квазилинейной теории; отметим негауссовы явления переноса, ускорения во фрактальном времени, возбуждение фрактонных мод, и др. Странным динамическим процессам отвечают обобщенные кинетические уравнения, содержащие производные дробного порядка (как по времени, так и по фазовым переменным). Как правило, порядок дифференцирования зависит от индекса связности фрактального поля; последнее обстоятельство гарантирует переход к обычным целым уравнениям в евклидовых пространствах. Анализ дробных кинетических уравнений на фрактальных многообразиях открывает путь к самосогласованному описанию сильной турбулентности. Действительно, условия согласования могут быть выражены в виде алгебраических соотношений между Хаусдорфовой фрактальной раз- ^

мерностью и индексом связности фрактальной структуры. Комбинируя условия согласования с известным значением спектральной фракталь- \

ной размерности Л, = С « 1.327 турбулентного ансамбля вблизи порога протекания, можно получить все необходимые параметры (включая

обобщенные индексы дифференцирования) в окончательном численном виде. Решение дробных кинетических уравнений с индексами дифференцирования, зависящими от фрактальных свойств среды, завершает построение самосогласованной картины турбулентного поля. Демонстрациями данного метода являются: 1) фрактонная модель турбулентности солнечного ветра; 2) самосогласованная фрактальная модель турбулентного токового слоя в хвосте магнитосферы Земли, включая мо-

дель магнитосферной суббури и модель самосогласованного ускорения Ферми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Основная те.орема об универсальности и определение перколя-ционной постоянной;

2. Другие топологические теоремы: теорема о фрактальной границей. теорема о множестве нулей;

3. Коэффициенты турбулентного переноса для стохастических га-мильтоновых систем с \\ степенями свободы;

4. Объяснение эффекта ас универсальности и предсказание "закона одной трети;"

5. Нелинейное дробное кинетическое уравнение для турбулентных магнитоплазменных систем вблизи основного неравновесного (ква-зи)стационарного состояния, включая автомодельные решения, соответствующие нетепловому хвосту в распределении частиц по энергиям;

с нащ»»кадьи*я!

5ИБЛИ0Т6КА

С.ПчтервУ»1' 09 ЖЙ "т

в. Самосогласованная фрактальная модель турбулентного токого слоя, включая исследование спектральных свойств турбулентности и построение топологической модели магнитосферной суббури;

7. Самосогласованная динамическая модель турбулентного солнечного ветра, включая дробное волновое уравнение для фрактонных возбуждений и вычисление фрактонной волновой функции.

Г

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] А. V. Milovanov and L. М. Zelenyi, Applications of fractal geometry to dynamical evolution of sunspots, Phys. Fluids. B. 5, 2609-2615 (1993).

[2] A. V. Milovanov, Fracton excitations in percolating networks: Fractional wave equation and superfluidity of He-4, Preprint IKI No 1906. Space Research Institute, Moscow, 1994.

[3] А. В. Милованов, Сферические звездные скопления с массивным ядром: Фрактальные структуры на гомологической стадии эволюции, Письма р Астрон. Журн. 20, 501-506 (1994).

[4] А. V. Milovanov and L. М. Zelenyi, Development of fractal structure in the solar wind and distribution of magnetic field in the photosphere, in Solar System Plasmas in Space and Time: Geophysical Monograph 84, edited by J. L. Burch, and J. H. Waite (American Geophysical Union, Washington, DC, 1994), pp. 43-52.

[5] A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Percolation of a plasma across magnetic field with "braided" lines: Finite Larmor radius effects, in Physics of the Magnetopause. Geophysical Monograph 90, edited by P. Song, B. U. O. Sonnerup, and M. F. Thomsen (American Geophysical Union, Washington, DC, 1995), pp. 357-362.

[6] A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Fracton excitations in the solar wind and power-law spectra of the IMF fluctuations, Phys. Space Plasmas 14,

373-386 (1995).

[7] Л. M. Зеленый и А. В. Милованов, Крупномасштабные магнитные конфигурации на фрактальных множествах: Приближение бессилового поля, Астрон. Журн. 73, 805-811 (1996).

[8] А. V. Mïlovanov, L. M. Zelenyi and G. Zimbardo, Fractal structures and power-law spectra in the distant Earth's magnetotail, J. Geophys. Res. 101, 19,903 - 19,910 (1996).

[9] А. В. Милованов, Л. А. Аванов, Г. H. Застенкер, Л. M. Зеленый, Мультифрактальные свойства турбулентности солнечного ветра: Теория и наблюдения, Космич. Исслед. 34, 451-456 (1996).

[10] А. V. Milovanov, Topological proof for the Alexander- Orbach conjecture, Phys. Rev. Б 56, 2437-2446 (1997).

[11] Л. M. Зеленый и А. В. Милованов, Динамическая модель флукту-аций межпланетного магнитного поля: Фрактонные возбуждения и степенные спектры, Геомагнетизм и Аэрономия 37, 1-13 (1997).

[12] А. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Fracton excitations as a driving mechanism for the self-organized dynamical structuring in the solar wind, Astrophys. Space Sci. 264, 317-345 (1998).

[13] L. M. Zelenyi, A. V. Milovanov and G. Zimbardo, Multiscale magnetic structure of the distant tail: Self-consistent fractal approach, in New

Perspectives on the Earth's Magnetotail: Geophysical Monograph 105, edited by A. Nishida, D. N. Baker, and S. W. H. Cowley (American Geophysical Union, Washington, DC, 1998), pp. 321-339.

[14] A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Functional background of the Tsallis entropy: "coarse-grained" systems and "kappa" distribution functions, Nonl. Proc. Geophys. 7, 211-221 (2000).

1 [15] A. V. Milovanov and G. Zimbardo, Percolation in sign-symmetric

random fields: Topological aspects and numerical modeling, Phys. Rev. E 62, 250-260 (2000).

[16] A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi and G. Zimbardo, Magnetospheric substorm onset: Topological phase transition on a critical percolating network, Proc. 5th International Conference on Substorms, St. Petersburg, Russia, 16-20 May, 2000. ESA SP 443, July 2000, pp. 183188.

[17] G. Zimbardo, A. Greco, P. Veltri, A. L. Taktakishvili, A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Ion dynamics in the pre-substorm phase: Influence

• of magnetic turbulence and of the normal component of the magnetic

field, Proc. 5th International Conference on Substorms, St. Petersburg, Russia, 16-20 May, 2000. ESA SP 443, July 2000, pp. 225-228.

[18] A. V. Milovanov, Stochastic dynamics from the fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equation: Large-scale behavior of the turbulent

transport coefficient, Phys. Rev. E 63, 047301/1 - 047301/4 (2001).

*

[19] A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, "Strange" Fermi processes and power-law nonthermal tails from a self-consistent fractional kinetic equation, Phys. Rev. E 64, 052101/1 - 052101/4 (2001).

[20] A. V. Milovanov and J. J. Rasmussen, Critical conducting netwo-, ks in disordered solids: Ac universality from topological arguments, Phys.

Rev. B 64, 212203/1 - 212203/4 (2001). ?

[21] A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi, G. Zimbardo and P. Veltri, Self-

*

organized branching of magnetotail current systems near the percolation threshold, J. Geophys. Res. 106, 6291-6307 (2001).

[22] A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi, P. Veltri, G. Zimbardo and A. L. Taktajdshvili, Geometric description of the magnetic field and plasma coupling in the near-Earth stretched tail prior to a substorm, J. Atmos. Sol. Terr. Phys. 63, 705-721 (2001).

[23] A. L. Taktakishvili, A. Greco, P. Veltri, G. Zimbardo, L. M. Zelenyi and A. V. Milovanov, Magnetic turbulence and ion dynamics in the magnetotail, Astrophys. Space Sci. 277, 71-79 (2001). ^

[24] A. V. Milovanov and J. J. Rasmussen, Fracton pairing mechanism for unconventional superconductors: Self-assembling organic polymers and copper-oxide compounds, Phys. Rev. B 66,134505/1 - 134505/11 (2002). '

[25] A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Nonequilibrium stationary states in the Earth's magnetotail: Stochastic acceleration processes and nonthermal distribution functions, Adv. Space Res. 30 (12), 2667-2674 (2002).

i

I

055(02)2 Ротапринт ИКИ РАН _Москва, 117997, Профсоюзная, 84/32

__Подписано к печати У9.05. 0Ъ.

Заказ 4359 Формат 70x108/32 Тираж 100 £ у.ч.-изд.л.

»"5225

S22S

Введение

Глава 1: Топологические методы фрактальной геометрии •

1.1. Важнейшие определения

1.2. Основная теорема об универсальности

1.3. Другие топологические теоремы

Глава 2: Турбулентность, протекание и дробная кинетика

2.1. Странные процессы переноса

2.2. Дробное кинетическое уравнение

2.3. Феномен самоорганизованной критичности

2.4. Коэффициенты переноса в гамильтоновом приближении

2.5. Проводимость фрактальных сетей

Глава 3: Степенные хвосты, странные ускорения и термодинамика корреляций

3.1. Странные ускорения в турбулентных средах

3.2. Нелинейное кинетическое уравнение

3.3. Энтропия Тсаллиса: функциональные свойства

3.4. Энтропия Тсаллиса: каноническое распределение

Глава 4: Фрактальные мозаики, цветные шумы и спектры флуктуаций

4.1. Спектральные свойства турбулентности

4.2. Фрактальная структура турбулентного токового слоя

4.3. Фрактонные возбуждения и дробное волновое уравнение

Развитие современной физики (как теоретической, так и эксперимен- • тальной) во многом опирается на представление о множествах, обладающих нецелой размерностью. Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа [1] и Бези-ковича [2], которым предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX века, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский. Основы топологической теории размерности были заложены замечательным советским математиком П. С. Урысо-ном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году. Обобщенная (дробная) размерность играет ключевую роль в абстрактной математике, в частности, в теории чисел [3-5].

Термин фрактальная размерность стал частью физического лексикона около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Ман-дельброта [6-8] по геометрии случайных процессов. Бесспорной заслугой Мандельброта стала демонстрация необычайно широкого круга явлений, приводящих к формированию фрактальных структур, а также оригинальное определение фрактала как множества, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности [8]. Классическими примерами фракталов являются изрезанные береговые линиии [6], случайные временные ряды [7], русла рек [8], траектории броуновских частиц [8], и др.

В настоящее время понятие фрактала воспринимается как парадигма современной теоретической физики. Всплеск работ по фракталам затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика [9,10] и космология [11,12], теория динамического хаоса [9,13,14] и гидродинамической турбулентности [9,15,16], исследование фазовых переходов [17,18] и транспортных явлений [19-21]. Богатый спектр приложений фрактальной геометрии в теоретической и экспериментальной физике обсуждается в сборнике [22], а также в монографиях [23-25]. Наиболее полное изложение математических основ современной фрактальной геометрии можно найти в монографии Федера [26].

Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания, или перколлции. Под перколяцией в дальнейшем понимается случайное распространение жидкости через среду, причем абстрактные термины "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи [26]. Теории перколяции посвящена обширная литература: Отметим монографии [26-29], а также обзоры [30-33]. Перколяция является критическим процессом [32], т.е. подразумевает существование некоторого порога, ниже которого распространение жидкости ограничено конечной областью среды. Вблизи порога протекание происходит по фрактальному множеству, геометрия которого определяется исключительно законами критичности. Условие критичности приводит к независимости геометрических характеристик фрактала от микроскопических свойств среды. Данное явление может быть интерпретировано как универсальность фрактальной геометрии перколирующих множеств на пороге протекания. Наиболее яркая формулировка свойства универсальности известна как анзац Александера-Орбаха (АО) о равенстве спектральной размерности фрактального множества на пороге протекания значению 4/3 во тзсех топологических размерностях не ниже 2 [33,34]. (Подробнее об этом см. Главу 1.)

С другой стороны, несмотря на столь бурный прогресс в исследовании фракталов, многие актуальные проблемы так и не были решены. Прежде всего, отсутствует математически полное и строгое определение фрактального множества [26]. Действительно, как отмечено в монографии Федера [26], определение, данное Мандельбротом [8] "при всей правильности и точности слишком ограничено. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике." Альтернативное определение фрактала как структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [35] предлагает лишь внешнее описание множества с точки зрения его масштабной инвариантности, однако не содержит никакой информации о внутренней организации системы [26].

Во вторых, аналитическое доказательство (или опровержение) анзаца АО, ставшее камнем преткновения современной фрактальной геометрии [33], признано фундаментальной проблемой, пути решения которой в рамках традиционных представлений о фракталах полностью исчерпаны. Кризис идей в этой области побудил Хавлина и бен-Аврахама назвать анзац АО вызовом всей теории перколяции [20].

Во-третьих, такие фундаментальные понятия как индекс связности и спектральная размерность, без которых невозможно точно сформулировать анзац АО [20,34], входят в теорию как феноменологические характеристики динамических процессов на фракталах, без четкой связи с топологией фрактала как такового. В самом деле, индекс связности обычно определяется либо через фрактальную размерность хаотических траекторий частиц [8,36], либо через скейлинг обобщенного коэффициента диффузии [37,38], что в любом случае требует искусственного перехода от геометрии к динамике. Аналогично, спектральная фрактальная размерность, как правило, вводится через плотность фрактон-ных состояний [34], описывающих поведение волновых процессов на фракталах. Намного более естественным, однако, представляется изначальное определение индекса связности и спектральной фрактальной размерности из структурных свойств фрактала, с последующим рассмотрением произвольных динамических процессов на основе единых геометрических цринципов. (Заметим, что связь спектральной размерности с наличием замкнутых циклов и точек ветвления на фрактальных перколяционных сетях обсуждалась на описательном уровне в работе [33]. Цели, тем не менее, ставились несколько иные - иллюстрация динамических характеристик фрактонных возбуждений.)

Наконец, до сих пор нет ясной картины, сколько независимых параметров необходимо задать для полного описания геометрии фрактального множества. Естественными вопросами являются:

1. Можно ли установить отношение эквивалентности для фрактальных структур, обладающих одинаковыми значениями индекса связности и размерности Хаусдорфа-Безиковича?

2. Существуют ли преобразования фракталов, сохраняющие индекс связности и спектральную фрактальную размерность?

3. Существует ли набор "базисных фракталов", из которых бы строилось все многообразие фрактальных множеств?

Легко видеть, что проблемы, стоящие перед современной фрактальной геометрией, так или иначе имеют топологическую природу. Топологическое описание фракталов могло бы не только поставить причудливое здание фрактальной геометрии на прочную математическую основу, но и привести к более глубокому пониманию динамических процессов, протекающих на множествах дробной размерности.

Уместно отметить, что в современной физической литературе сложилось несколько неоднозначное отношение к применению топологических методов при описании фрактальных структур. В качестве аргумента [14] обычно приводится несохранение метрических свойств фракталов при гомеоморфизмах - непрерывных взаимно однозначных ото-■ бражениях, переводящих одно множество в другое. Можно выдвинуть, однако, и контраргументы:

1. Сохранение размерности Хаусдорфа-Безиковича возможно при наложении дополнительных условий, например, условия Липшица. (Данное условие требует гладкость гомеоморфизма.) Можно доказать, что гладкие гомеоморфизмы (называемые диффеоморфизмами) сохраняют метрические свойства множеств [14].

2. Такие параметры как индекс связности и спектральная фрактальная размерность описывают тонкие геометрические свойства фракталов, которые не сводятся к простейшим метрическим характеристикам. О топологической инвариантности этих свойств известно очень мало, однако вполне обнадеживающими фактами представляются следующие: Во-первых, теоретико-множественное понятие связности является топологическим инвариантом [39]. Во-вторых, свойство быть канторовым множеством также является топологическим инвариантом [14]. В последующих Главах будет показано, что понятие канто-рова множества может быть положено в основу общего определения фрактала. Наконец, следует подчеркнуть, что колоссальный аналитический потенциал современной топологии [40-42] вплоть до настоящего времени остается невостребованным (или почти невостребованным) в большинстве публикуемых работ по фракталам.

Систематическое использование топологических методов при исследовании фрактальных структур было предложено в оригинальных работах автора [43-46]. Было показано, что синтез фрактальной геометрии и топологии приводит к ряду принципиально новых понятий, таких как дробное топологическое произведение и фрактальное многообразие. Топологические характеристики фрактальных многообразий определяются значением постоянной протекания С - фундаментальной математической константы, являющейся наименьшим (из двух возможных) решением трансцендентного алгебраического уравнения [43] с/2

-- = тг. (0.0.0)

Г(С/2 + 1) ^ ;

Понятия постоянной протекания и фрактального многообразия позволяют сформулировать важнейшие свойства фрактальных множеств на топологическом языке, а также доказать ряд теорем, открывающих путь к практическому применению топологической теории фракталов [43] в теоретической и математической физике. Топологическое описание фрактальных структур позволяет решить такие проблемы как

1. доказательство универсальности фрактальной геометрии перколирующих множеств в размерностях от 2 до 5 в смысле модифицированного анзаца АО [43];

2. вывод универсальных степенных законов для прсэцессов переноса в сильно турбулентных средах [47,48];

3. исследование наиболее общих геометрических свойств сильной турбулентности в сложных нелинейных динамических системах

45,46,49].

Применение топологических методов в теории сильной турбулентности обусловлено существованием глубокой связи между структурными свойствами системы и основными кинетическими процессами, протекающими на различных пространственных масштабах. Открытая термодинамическая система может сколь угодно долго находиться вблизи неравновесного стационарного состояния (НСС), структурная устойчивость которого достигается за счет формирования иерархических турбулентных полей. Как правило, такие поля собраны в сгустки, "раскиданные" по пространству под действием тех или иных сил. Сгустки, в свою очередь, могут быть разделены пустотами, где амплитуда поля сравнительно мала. Крупномасштабная картина представляет собой фрактал, заполняющий некоторую часть доступного евклидова пространства. Плотность числа сгустков на различных масштабах определяется размерностью Хаусдорфа-Безиковича, а взаимное расположение соседних сгустков - индексом связности, являющимся важнейшей топологической характеристикой поля. С другой стороны, индекс связности характеризует тип кинетических уравнений, описывающих динамические процессы на фракталах (например, в контексте свойства персистентности [26]). Поскольку вычисление индекса связности во многих случаях возможно на основе чисто топологических приемов (скажем, в терминах постоянной протекания С), анализ кинетических уравнений вблизи НСС фактически сводится к самосогласованному подбору фрактальной геометрии системы.

Развитием данных идей является геометрическое описание сильной турбулентности, впервые сформулированное автором в работе [50]. Геометрическое описание позволяет с единых позиций исследовать турбулентные динамические процессы, протекающие в солнечном ветре [50], дальнем хвосте магнитосферы Земли [49], а также в ближнем хвосте на начальных стадиях развития суббури [49,51]. Более того, геометрический подход приводит к ряду фундаментальных результатов [46-48] в области дробной динамики, играющей первостепенную роль в современной теории турбулентности и хаоса [52,53].

Слияние методов фрактальной геометрии и топологии [43,45,46] закладывает основы нового научного напрвления - фрактальной топологии, имеющего как фундаментальные математические [43-46], так и общефизические [47-49] аспекты. Термин фрактальная топология был впервые введен в работах [46,49,51].

Последовательное изложение топологических методов фрактальной геометрии в свете оригинальных работ [43-46] представлено в Главе 1. К важнейшим утверждениям, доказанным в Главе 1 (например, к Основной теореме об универсальности), мы будем возвращаться на протяжении всей работы. Сконцентрировав математический аппарат в Главе 1, мы создаем единую для всех последующих моделей теоретическую основу. Переход от топологии к физике осуществляется в Главе 2, содержащей нестандартное описание странных процессов переноса в турбулентных средах; главный упор сделан на метод дробного кинетического уравнения на фрактальном многообразии [47]. Каноническое распределение турбулентного ансамбля построено в Главе 3 на основе мультилинейного обобщения энтропии [54]; наравне с обобщенным термодинамическим развит нестандартный кинетический подход, лейтмотивом которого является нелинейное дробное кинетическое уравнение для турбулентных систем с самодействием [48,55]. Ряд конкретных проблем, стоящих перед современной космической электродинамикой, обсуждается в Главе 4. Речь в ней идет о спектральных свойствах НСС в различных диапазонах частот [49,51,55,56]; далее рассмотрены самосогласованная модель турбулентного токового слоя в дальнем хвосте магнитосферы Земли [49,51], явление магнитосферной суббури [49,51] и фрактонная модель турбулентности солнечного ветра [50,57,58] (в контексте неустойчивости фрактонных мод по отношению к самосжатию). Принципиальные моменты, изложенные в работе, суммированы в Заключении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Суммируя сказанное в предыдущих Главах, выделим следующие принципиальные моменты:

1. Концепция фрактального многообразия [43] является ключем к построению аксиоматической теории множеств, обладающих нецелой размерностью. В основе аксиоматического подхода лежат топологические методы, подчиненные общим идеям фрактальной геометрии. Связующее звено заключается в исследовании отношений эквивалентности между фрактальными структурами, например, диффеоморфных отображений с дробным порядком гладкости. К важнейшим топологическим свойствам фрактальных множеств относится сохранение индекса связности при взаимно однозначных взаимно непрерывных деформациях (гомеоморфйзмах) [44]. Синтез фрактактальной геометрии и топологии открывает путь к развитию нового научного направления -фрактальной топологии [46], перспективы которого охватывают как абстрактную математику, так и теоретическую физику.

2. Важнейшими примерами фрактальных многообразий [43] служат дробное евклидово пространство Е^, диффеоморфное открытому дробному шару Б6,: Е*' ~ а также дробная сфера представляющая полную фрактальную границу шара : 5£г'~1 ~ дИ^.

Многообразия и 5£*'~1 описывают топологию перколяцищ или протекай ия, в статистически однородных изотропных системах. На пороге протекания шар V1' опирается на телесный угол, равный 7Г во всех объемлющих размерностях п от 2 до 5; спектральная размерность в,3 шара равна при этом постоянной протекания С « 1.327 [43]. Постоянная протекания С определяет минимальное дробное число степеней свободы, необходимых частице для достижения бесконечно удаленной точки при случайных блужданиях в пространстве Еп (2 < п < 5). Параметр С имеет чисто топологическую природу, отражающую универсальные (не зависящие от физической природы системы) структурные свойства перколирующих фрактальных множеств. Сделанные утверждения доказаны в Главе 1 в виде Основной теоремы об универсальности. Основная теорема играет центральную роль в исследовании фундаментальных топологических свойств фрактальных объектов, связанных с критическими явлениями в случайных средах [46]. К другим важным топологическим теоремам необходимо отнести Теорему о фрактальной границе [45,46], следствием которой является совпадение Хаусдорфовых размерностей шара и сферы = на пороге протекания, а также Теорему о множестве нулей [44], утверждающую существование перколирующих фрактальных множеств в плоских сечениях случайных функций.

3. С топологией протекания связана структура сильной турбулентности вблизи основного неравновесного стационарного состояния (НСС). Переход к НСС является сложным компромиссом между механизмами самоорганизации, определяющими ход эволюционных процессов в системе, и эффектами динамической релаксации, отражающими роль диссипативных факторов в среде. Во многих случаях термодинамически выгодными оказываются НСС, геометрия которых отвечает условиям протекания вблизи порога [49]. Применение Основной теоремы об универсальности позволяет немедленно получить значение спектральной фрактальной размерности для турбулентного ансамбля: ds = С « 1.327. Ограничения на Хаусдорфову размерность и индекс связности вытекают из Теоремы о фрактальной границе. Данный подход является совершенно общим и не требует каких либо специальных предположений относительно физической природы НСС. В контексте НСС постоянную протекания С « 1.327 можно рассматривать как универсальный параметр, характеризующий фундаментальные свойства турбулентного состояния. Подчеркнем, что для решения казалось бы чисто физической проблемы - исследования неравновесных стационарных состояний в динамических системах с сильной турбулентностью - нам пришлось одновременно развить математический аппарат, определив такие понятия как фрактальное многообразие, дробное топологическое произведение и постоянная протекания. Теория сильной турбулентности попадает, таким образом, под юрисдикцию фрактальной топологии. Последнее обстоятельство лежит в основе геометрического описания турбулентности, предложенного в [49-51].

4. Фрактальность непосредственно отражаются на кинетике турбулентного ансамбля. В игру вступают "странные" динамические процессы, не имеющие аналогов в квазилинейной теории; отметим негауссовы явления переноса, ускорения во фрактальном времени, возбуждение фрактонных мод, и др. Странным динамическим процессам отвечают обобщенные кинетические уравнения, содержащие производные дробного порядка (как по времени, так и по фазовым переменным). Как правило, порядок дифференцирования зависит от индекса связности фрактального поля; последнее обстоятельство гарантирует переход к обычным целым уравнениям в евклидовых пространствах. Анализ дробных кинетических уравнений на фрактальных многообразиях открывает путь к самосогласованному описанию сильной турбулентности. Действительно, условия согласования могут быть выражены в виде алгебраических соотношений между Хаусдорфовой фрактальной размерностью и индексом связности фрактальной структуры. Комбинируя условия согласования с известным значением спектральной фрактальной размерности ¿3 = С « 1.327 турбулентного ансамбля вблизи порога протекания, можно получить все необходимые параметры (включая обобщенные индексы дифференцирования) в окончательном численном виде. Решение дробных кинетических уравнений с индексами дифференцирования, зависящими от фрактальных свойств среды, завершает построение самосогласованной картины турбулентного поля. Демонстрациями данного метода являются: 1) фрактонная модель турбулентности солнечного ветра [50,57,58]; 2) самосогласованная модель турбулентного токового слоя в хвосте магнитосферы Земли [49,56,80], включая модель магнитосферной суббури [51] и модель самосогласованного ускорения Ферми [48].

5. Среди общих (не зависящих от физической природы) свойств НСС отметим стремление к самоорганизованной критичности (СОК); как известно [112], переход системы к СОК связан с появлением характерного розового шума ~ /1 на низких частотах. Феномен СОК удается понять в контексте фундаментальных физических принципов - таких как принцип наименьшего действия [55]. С увеличением частоты шумы темнеют, что связано с возрастающим влиянием структурных свойств турбулентного ансамбля на распределение энергии по спектру. Цвет шума на средних частотах целиком определяется фрактальной геометрией НСС (своей для каждой конкретной системы). В качестве примера приведем цветные шумы в солнечном ветре и дальнем хвосте магнитосферы Земли. Турбулентная структура солнечного ветра отвечает Хаусдорфовой размерности df ~ 4/3 и "колмогоровскому" спектру ~ /~5/3 [50,58]; между тем геометрия турбулентного токового слоя в хвосте магнитосферы соответствует Хаусдорфовой размерности с?/ ~ 5/3 и "черно-коричневому" спектру ~ /~7/3 [49,56]. Различие спектров по цвету в конечном итоге обусловлено спецификой физических процессов, связанных с формированием НСС.

6. Каноническое распределение турбулентного ансамбля вблизи НСС содержит нетепловой степенной хвост ~ Е-71 в области высоких энергий £ Т. Существование хвоста вытекает как из экстенсивной термодинамики, построенной на мультилинейных обобщениях энтропии [54], так и из нелинейного дробного кинетического уравнения для турбулентных систем с самодействием [48]. Кинетический подход позволяет, кроме того, оценить численное значение показателя 7] в турбулентном квазиравновесии: 6 < 7] < 7 [48]. Теоретические результаты, полученные в работах [48-51,56-58,80,194], хорошо согласуются с данными непосредственных наблюдений магнитоплазменной турбулентности в солнечном ветре и хвосте магнитосферы Земли.

Благодарности

В заключение хочу выразить глубокую признательность профессору Льву Матвеевичу Зеленому, искреннее внимание и поддержку которого я ощущал за все годы моей работы в Институте космических исследований РАН. Уверен, что решение многих важных проблем было бы невозможно без наших многочисленных обсуждений и споров. Хочу также поблагодарить всех моих коллег по ИКИ за особую творческую атмосферу, в которой я оказался с первых дней прихода в Институт, и которой обязан своими научными достижениями. Не могу не сказать теплых слов и в адрес моих иностранных коллег - профессоров Пьерлу-иджи Велтри, Гаэтано Дзимбардо и Иенса Расмуссена, опыт совместной работы с которыми считаю неоценимым.

1. F. Hausdorff, Dimension und äußeres Maß, Math. Annalen 79, 157 (1919).

2. A. S. Besicovitch, On linear sets of points of fractional dimensions, Math. Annalen 101, 161 (1929).

3. A. S. Besicovitch, On the sum of digits of real numbers represented in the diadic system, Math. Annalen 110, 321 (1935).

4. A. S. Besicovitch, Sets of points of поп-differentiability of absolutely continuous functions and of divergence of Fejer sums, Math. Annalen 110, 321 (1935).

5. I. J. Good, The fractional dimensional theory of continuous fractions, Proc. Camb. Phil. Soc. 37, 199 (1941).

6. В. B. Mandelbrot, How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractal dimension, Science 155, 636 (1967).

7. В. B. Mandelbrot, Fractals: Form, Chance, and Dimension (W. H. Freeman, San Francisco, 1977).

8. В. B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (W. H. Freeman, New York, 1982). Имеется перевод: Б. Мандельброт, Фрактальная геометрия природы (Институт компьютерных исследований, Москва, 2001).]

9. J. L. McCauley, Introduction to multifractals in dynamical systems theory and fully developed fluid turbulence, Phys. Rep. 189, 225 (1990).

10. G. Paladin and A. Vulpiani, Anomalous scaling laws in multifractal objects, Phys. Rep. 156, 147 (1987).

11. P. J. E. Peebles, The fractal galaxy distribution, Physica D 38, 273 (1989).

12. P. H. Coleman and L. Pietronero, The fractal structure of the Universe, Phys. Rep. 213, 311 (1992).

13. Г. M. Заславский, P. 3. Сагдеев, Введение в нелинейную физику. От осциллятора до турбулентности и хаоса (Наука, Москва, 1988).

14. R. М. Crownover, Introduction to Fractals and Chaos (Jones and Bartlett Publishers, Boston, 1995). Имеется перевод: P. M. Кроно-вер, Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории (Постмаркет, Москва, 2000).]

15. К. R. Sreenivasan and С. Meneveau, The fractal facets of turbulence, Physica D 38, 322 (1986).

16. U. Frisch, Turbulence. The Legacy of A.,N. Kolmogorov (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995). Имеется перевод: У. Фриш, Турбулентность. Наследие Колмогорова (ФАЗИС, Москва, 1998).]

17. Y. Gefen, В. В. Mandelbrot and A. Aharony, Critical phenomena on fractal lattices, Phys. Rev. Lett. 45, 855 (1980).

18. M. Suzuki, Phase transitions and fractals, Prog. Theor. Phys. 69, 65 (1983).

19. S. Havlin and D. ben-Avraham, Diffusion in disordered media, Adv. Phys. 36, 695" (1987).

20. D. ben-Avraham and S. Havlin, Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems (Cambridge Univ. Press, Cambridge, England, 2000).

21. J.-P. Bouchaud and A. Georges, Anomalous diffusion in disordered media: Statistical mechanisms, models and physical applications, Phys. Rep. 195, 127 (1990).

22. A. Aharony and J. Feder, Fractals in Physics. Essays in Honour of Benoit B. Mandelbrot (North-Holland, Amsterdam, 1989).

23. H. Takayasu, Fractals in Physical Sciences (Manchester Univ. Press, Manchester, 1990).

24. A. Le Mehaute, Fractal Geometries: Theory and Applications (CRC, Boca Raton, FL, 1991).

25. M. Schroeder, Fractals, Chaos, Power Laws (Freeman, New York, 1991). Имеется перевод: M. Шредер, Фракталы, Хаос, Степенные

26. Законы (7ZhC Dynamics, Москва, 2001).

27. J. Feder, Fractals (Plenum, New York, 1988). Имеется перевод: E. Федер, Фракталы (Мир, Москва, 1991).]

28. В. I. Shklovskii and A. L. Efros, Electronic Properties of Doped Semiconductors (Springer, New York, 1984).

29. D. Stauffer, Introduction to Percolation Theory (Taylor and Fransis, London, 1985).

30. D. Stauffer and A. Aharony, Introduction to Percolation Theory (Taylor and Francis, London, 1992).

31. V. K. S. Shante and S. Kirkpatrick, An introduction to percolation theory, Adv. Phys. 20, 325 (1971).

32. D. Stauffer, Scaling theory of percolation clusters, Phys. Rep. 54, 2 (1979).

33. M. B. Isichenko, Percolation, statistical topography, and transport in random media, Rev. Mod. Phys. 64, 961 (1992).

34. T. Nakayama, K. Yakubo and R. L. Orbach, Dynamical properties of fractal networks: Scaling, numerical simulations, and physical realizations, Rev. Mod. Phys. 66, 381 (1994).

35. S. Alexander and R. L. Orbach, Density of states on fractals, J. Phys. (France) Lett. 43, L625 (1982).

36. В. В. Mandelbrot, Self-affine fractal sets, in Fractals in Physics, edited by L. Pietronero and E. Tosatti (North-Holland, Amsterdam, 1986), p. 3.

37. Y. Gefen, A. Aharony and S. Alexander, Anomalous diffusion on percolating clusters, Phys. Rev. Lett. 50, 77 (1983).

38. B. O'Shaughnessy and I. Procaccia, Analytical solutions for diffusion on fractal objects, Phys. Rev. Lett. 54, 455 (1985).

39. B. O'Shaughnessy and I. Procaccia, Diffusion on fractals, Phys. Rev. A 32, 3073 (1985).

40. J. L. Kelley, General Topology (Van Nostrand, Princeton, NJ, 1957). Имеется перевод: Дж. JI. Келли, Общая топология (Наука, Москва, 1981).]

41. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия (Наука, Москва, 1979).

42. М. W. Hirsch, Differential Topology (Springer, New York, 1976). Имеется перевод: M. Хирш, Дифференциальная топология (Мир, Москва, 1979).]

43. А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс, Курс гомотопической топологии (Наука, Москва, 1989).

44. А. V. Milovanov, Topological proof for the Alexander-Orbachconjecture, Phys. Rev. E 56, 2437 (1997).

45. A. V. Milovanov and G. Zimbardo, Percolation in sign-symmetric random fields: Topological aspects and numerical modeling, Phys. Rev. E 62, 250 (2000).

46. A. V. Milovanov and J. J. Rasmussen, Critical conducting networks in disordered solids: Ac universality from topological arguments, Phys. Rev. B 64, 212203 (2001).

47. A. V. Milovanov and J. J. Rasmussen, Fracton pairing mechanism for unconventional superconductors: S elf-assembling organic polymers and copper-oxide compounds, Phys. Rev. B 66, 134505 (2002).

48. A. V. Milovanov, Stochastic dynamics from the fractional Fokker-Planck-Kolmogorov equation: Large-scale behavior of the turbulent transport coefficient, Phys. Rev. E 63, 047301 (2001).

49. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, FYacton excitations as a drivingmechanism for the s elf-organized dynamical structuring in the solar wind, Astrophys. Space Sci. 264, 317 (1998).

50. A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi, P. Veltri, G. Zimbardo and A. L. Taktakishvili, Geometric description of the magnetic field and plasma coupling in the near-Earth stretched tail prior to a substorm, J. Atm. Sol. Terr. Phys. 63, 705 (2001).

51. R. Metzler and J. Klafter, Random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach, Phys. Rep. 339, 1 (2000).

52. G. M. Zaslavsky, Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport, Phys. Reports 371, 461 (2002).

53. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Functional background of the Tsallis entropy: "coarse-grained" systems and "kappa" distribution functions, Nonl. Proc. Geophys. 7, 211 (2000).

54. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Nonequilibrium stationary states in the Earth's magnetotail: Stochastic acceleration processes and nonthermal distribution functions, Adv. Space Res. 30 (12), 2667(2002). .

55. A. V. Milovanov, L. M. Zelenyi and G. Zimbardo, Fractal structures and power-law spectra in the distant Earth's magnetotail, J. Geophys. Res. 101, 19 903 (1996).

56. А. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Fracton excitations in the solar wind and power-law spectra of the IMF fluctuations, Phys. Space Plasmas 14, 373 (1995).

57. JI. M. Зеленый и А. В. Милованов, Динамическая модель флуктуации межпланетного магнитного поля: Фрактонные возбуждения и степенные спектры, Геомагнетизм и Аэрономия 37, 1 (1997).

58. А. Н. Колмогоров, Новый инвариант для транзитивных динамических систем, Доклады АН СССР 119, 861 (1958).

59. А. В. Милованов, JI. А. Аванов, Г. Н. Застенкер, JI. М. Зеленый, Мулътифрактальные свойства турбулентности солнечного ветра: Теория и наблюдения, Космич. Исслед. 34, 451 (1996).

60. L. F. Burlaga and L. W. Klein, Fractal structure of the interplanetary magnetic field, J. Geophys. Res. 91, 347 (1986).

61. A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999). Имеется перевод: А. Б. Каток, Б. Хасселблат, Введение в современную теорию динамических систем (Факториал, Москва, 1999);]

62. К. В. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus (Academic Press, New York, 1974).

63. С. П. Новиков и А. Т. Фоменко, Элементы дифференциальной геометрии и топологии (Наука, Москва, 1987).

64. JL М. Зеленый и А. В. Милованов, Крупномасштабные магнитные конфигурации на фрактальных множествах: Приближение бессилового поля, Астрон. Журн. 73, 805 (1996).

65. A. Coniglio, Cluster structure near the percolation threshold, J. Phys. A 15, 3829 (1982).

66. J. M. Normand, H. J. Herrmann and M. Hajjar, J. Stat. Phys. 52, 441 (1988).

67. Ю. Б. Румер и M. IH. Рыбкин, Термодинамика, статистическая физика и кинетика (Наука, Москва, 1977).

68. В. Г. Болтянский и В. А. Ефремович, Наглядная топология (Наука, Москва, 1983).

69. R. Zallen and Н. Scher, Percolation on a continuum and the localization-derealization transition in amorphous semiconductors, Phys. Rev. В 4, 4471 (1971).

70. A. H. Wallace, Differential Topology (Benjamin, New York, 1968). Имеется перевод: Дж. Милнор и А. Уоллес, Дифференциальная топология (Мир, Москва, 1972).]

71. М, V. Berry, Diffractals, J. Phys. A 12, 781 (1979).

72. Г. Николис и И. Пригожин, Самоорганизация в неравновесных системах (Наука, Москва, 1980).

73. D. Tetreault, -Turbulent relaxation of magnetic fields 1. Coarse-grained dissipation and reconnection, J. Geophys. Res. 97, 8531 (1992).

74. D. Tetreault, Turbulent relaxation of magnetic fields 2. Self-organization and intermittency, J. Geophys. Res. 97, 8541 (1992).

75. R. A. Treumann, Kinetic theoretical foundation of Lorentzian statistical mechanics, Phys. Scri. 59, 19 (1999).

76. R. A. Treumann, Generalized-Lorentzian thermodynamics, Phys. Scri. 59, 204 (1999).

77. G. M. Zaslavsky, M. Edelman, H. Weitzner, B. Carreras, G. McKee, R. Bravenec and R. Fonck, Large-scale behavior of the tokamak density fluctuations, Phys. Plasmas 7, 3691 (2000).

78. H. X. Ибрагимов, Азбука группового анализа. Серия Математика. Кибернетика, No. 8 (Знание, Москва, 1989).

79. D. Elhmaidi,"A. Provenzale and A. Babiano, Elementary topology of two-dimensional turbulence from a Lagrangian viewpoint and single-particle dispersion, J. Fluid Mech. 242, 655 (1993).

80. A. Provenzale, Transport by coherent vortices, Annu. Rev. Fluid Mech. 31, 55 (1999).

81. A. H. Nielsen, H. L. Pecseli and J. J. Rasmussen, Turbulent transport in low-/3 plasmas, Phys. Plasmas 3, 1530 (1996).

82. V. Naulin, A. H. Nielsen and J. J. Rasmussen, Dispersion of idealparticles in a two-dimensional model of electrostatic turbulence, Phys. Plasmas 6, 4575 (1999).

83. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Applications of fractal geometry to dynamical evolution of sunspots, Phys. Fluids B 5, 2609 (1993).

84. J. Klafter, A. Blumen, and M. F. Shlesinger, Stochastic pathway to anomalous diffusion, Phys. Rev. A 35, 3081 (1987).

85. G. Zimbardo, A. Greco, and P. Veltri, Superballistic transport in tearing driven magnetic turbulence, Phys. Plasmas 7, 1071 (2000).

86. G. Zimbardo, P. Veltri, and P. Pommois, Anomalous, quasilinear, and percolative regimes for magnetic-field-line transport in axially symmetric turbulence, Phys. Rev. E 61, 1940 (2000).

87. J. Klafter, M. F. Shlesinger and G. Zumofen, Beyond Brownian motion, Physics Today 49, 33 (1996).

88. M. F. Shlesinger, G. M. Zaslavsky and J. Klafter, Strange kinetics, Nature 363, 31 (1993).

89. E. W. Montroll and M. F. Shlesinger, in Studies in Statistical Mechanics, edited by J. Lebowitz and E. W. Montroll (North-Holland, Amsterdam, 1984), Vol. 11, p. 1.

90. B. D. Hughes, E. W. Montroll, and M. F. Shlesinger, J. Stat. Phys. 28, 111 (1982).

91. H. Scher, М. F. Shlesinger, and J. T. Bendler, Phys. Today 44, 26 (1991).

92. В. B. Mandelbrot and J. W. Van Ness, Fractional Brownian motion,tfractional noises and applications, SIAM Rev. 10, 422 (1968).

93. M. Giona and H. Б. Roman, Fractional diffusion equation for transport phenomena in random media, J. Phys. A 185, 87 (1992).

94. G. M. Zaslavsky, Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos, Physica D 76, 110 (1994).

95. К. В. Чукбар, Стохастический перенос и дробные производные, ЖЭТФ 108, 1875 (1995).

96. R. Hilfer, Classification theory for anequilibrium phase transition, Phys. Rev. E 48, 2466 (1993).

97. G. M. Zaslavsky, Multifractional kinetics, Physica A 288, 431 (2000).

98. H. Weitzner and G. M. Zaslavsky, Directional fractional kinetics, Chaos 11, 384 (2001).

99. R. Hilfer,„Applications, of Fractional Calculus in Physics (World Scientific, River Edge, New York, 2000).

100. I. M. Sokolov, J. Klafter and A. Blumen, Fractional kinetics, Phys. Today 55, 48 (2002).

101. К. B. Oldham and J. Spanier, The Fractional Calculus (Academic1. Press, New York, 1974).

102. А. С. Монин, Уравнение турбулентной диффузии, ДАН СССР 105, 256 (1955).

103. А. С. Монин и А. М. Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч. 2 (Наука, Москва, 1967).

104. В. Ю. Забурдаев и К. В. Чукбар, Ускоренная супердиффузия и конечная скорость полетов Леей, ЖЭТФ 121, 299 (2002).

105. S. Jespersen, R. Metzler, and Н. С. Fogedby, Levy flights in external force fields: Langevin and fractional Fokker-Planck equations and their solutions, Phys. Rev. E 59, 2736 (1999).

106. F. Chiaravalloti, A. V. Milovanov and G. Zimbardo, Self-similar transport on two dimensional percolating structures, Phys. Rev. E, to be published.

107. P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Self-organized criticality: An explanation ofl/f noise, Phys. Rev. Lett. 59, 381 (1987).

108. P. Bak, C. Tang, and K. Wiesenfeld, Self-organized criticality, Phys. Rev. A 38, 364 (1988).

109. A. Vespignani and S. Zapperi, How self-organized criticality works: A unified mean-field picture, Phys. Rev. E 57, 6345 (1988).

110. H. J. Jensen, Self-Organized Criticality • (Cambridge Univ. Press,1. Cambridge, 1998).

111. S. Ohtani, T. Higuchi, A. T. Y. Lui and K. Takahashi, J. Geophys. Res. 100, 19 135 (1995).

112. Э. И. Могилевский, Фракталы на Солнце (Физматлит, Москва, 2001).

113. А. А. Потапов, Фракталы в радиофизике и радиолокации (Логос, Москва, 2002).

114. W. G. Glockle and Т. F. Nonnenmacher, Fox function representation of non-Debye relaxation processes, J. Stat. Phys. 71, 755 (1993).

115. J. A. Krommes, Self-organized criticality, long-time correlations, and the standard transport paradigm, Phys. Plasmas 7, 1752 (2000).

116. A. V. Milovanov and L. M. Zelenyi, Fractal clusters in the solar wind, Adv. Space Res. 14, 123 (1994).

117. P. H. Diamond and S. T. Hahm, On the dynamics of turbulent transport near marginal stability, Phys. Plasmas 2, 3640 (1995).

118. D. E. Newman, B. A. Carreras, P. H. Diamond, and T. S. Hahm, The dynamics of marginality and self-organized criticality as a paradigm for turbulent transport, Phys. Plasmas 3, 1858 (1996).

119. X. Garbet and R. Waltz, Heat flux driven ion turbulence, Phys. Plasmas 5, 2§36 (1998).

120. M. P. Freeman, N. W. Watkins and D. J. Riley, Power law distributions of burst duration and interburst interval in the solar wind: Turbulence or dissipative self-organized criticality? Phys. Rev. Б 62, 8794 (2000).

121. G. Consolini, and A. T. Y. Lui, Sign-singularity analysis of a current disruption event, Geophys. Res. Lett. 26, 1673 (1999).

122. T. Chang, S elf-organized criticality, multi-fractal spectra, sporadic localized reconnections and intermittent turbulence in the magnetotail, Phys. Plasmas 6, 4137 (1999).

123. G. M. Zaslavsky, in: Topological Aspects and the Dynamics of Fluids and Plasmas, eds. H. K. Moffatt, G. M. Zaslavsky, P. Comte, and M. Tabor. (Kluwer, Boston, 1992). p.481.

124. Б. В. Чириков, Резонансные процессы в магнитных ловушках, Атомная энергия 6, 630 (1959); В. V. Chirikov, Chaos, Solitons & Fractals 1, 79 (1991).

125. Г. M. Заславский, Статистическая необратимость в нелинейных системах (Наука, Москва, 1970).

126. А. В. Грузинов, М. Б. Исиченко и Д. Калда, Двухмерная турбулентная диффузия, ЖЭТФ 97, 476 (1990).

127. G. Zimbardo and P. Veltri, Field-line transport in stochastic magnetic fields: Percolation, Levy flights, and non-Gaussian statistics, Phys. Rev. E 51, 1412 (1995).

128. G. Zimbardo, P. Veltri, G. Basile and S. Principato, Anomalous diffusion and, Levy random walk of magnetic field lines in three dimensional turbulence, Phys. Plasmas 2, 2653 (1995).

129. P. Pommois, G. Zimbardo and P. Veltri, Magnetic field line transport in three dimensional turbulence: Levy random walk and spectrum models, Phys. Plasmas 5, 1288 (1998).

130. J.- D. Reuss, M. Vlad, and J. H. Misguich, Percolation scaling for transport in turbulent plasmas, Phys. Lett. A 241, 94 (1998).

131. К. В. Чукбар, Квазидиффузия пассивного скаляра, ЖЭТФ 109, 1335 (1996).

132. Т. В. Schroder and J. С. Dyre, Scaling and universality of ac conduction in disordered solids, Phys. Rev. Lett. 84, 310 (2000).

133. J. H. Schon, A. Dodabalapur, Z. Bao, Ch. Kloc, O. Schenker and

134. В. Batlogg, Gate-induced superconductivity in a solution-processed organic polymer film, Nature 410, 189 (2001).

135. D. Jerome and K. Bechgaard, Superconducting plastic, Nature 410, 162 (2001).

136. S. Capaccioli, M. Lucchesi, P. A. Rolla and G. Ruggeri, Dielectric response analysis of a conducting polymer dominated by the hopping charge transport, J. Phys.: Condens. Matter 10, 5595 (1998).

137. J. C. Dyre and Т. B. Schroder, Universality of ac conduction in disordered solids, Rev. Mod. Phys. 72, 873 (2000).

138. S. P. Christon, D. J. Williams, D. G. Mitchell, L. A. Franck and C. Y. Huang, Spectral characteristics of plasma sheet ion and electron populations during undisturbed geomagnetic conditions, J. Geophys. Res. 94, 13,409 (1989).

139. В. С. Березинский, С. В. Буланов, В. JI. Гинзбург, В. А. Догель и В. С. Птускин, Астрофизика космических лучей (Наука, Москва, 1990).

140. Е. Fermi, On the origin of cosmic radiation, Phys. Rev. 75, 1169 (1949).

141. A. La Porta, G. A. Voth, A. M. Crawford, J. Alexander and E. Bodenschatz, Fluid particle accelerations in fully developed turbulence,1. Nature 409, 1017 (2001).

142. A. Hasegawa, K. Mima and M. Duong-van, Plasma distribution function in a superthermal radiation field, Phys. Rev. Lett. 54, 2608 (1985).

143. C. -Y. Ma and D. Summers, Formation of power-law energy spectra in space plasmas by stochastic acceleration due to whistler-mode waves, Geophys. Res. Lett. 25, 4099 (1998).

144. JI. M. Зеленый и А. В. Милованов, Приложения групп Ли к теории равновесия цилиндрически симметричных силовых трубок магнитного поля, Астрон. Журн. 69, 147 (1992).

145. D. Summers and R. М. Thorne, A new tool for analyzing microinstabilities in space plasmas modeled by a generalized Lorentzian (Kappa) distribution, J. Geophys. Res. 97, 16 827 (1992).

146. M. R. Collier, On generating kappa-like distribution functions using velocity space Levy flights, Geophys. Res. Lett. 20, 1531 (1993).

147. M. Maksimovic, V. Pierrard and J. F. Lemaire, A kinetic model of the solar wind with Kappa distribution functions in the corona, Astron. Astrophys. 324, 725 (1997).

148. Л. Д. Ландау и Б. M. Лифшиц, Статистическая физика (Наука, Москва, 1964).

149. Ya. G. Sinai, Introduction to Ergodic Theory (Princeton Univ. Press, Princeton, 1972).

150. D. Ruelle, Thermodynamic Formalism (Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1978).

151. J.-P. Eckmann and D. Ruelle, Ergodic theory of chaos and strange attractors, Rev. Mod. Phys. 57, 617 (1985).

152. P. Gaspard and J. R. Dorfman, Chaotic scattering theory, thermodynamic formalism, and transport coefficients, Phys. Rev. E 52, 3525 (1995).

153. R. Badii and A. Politi, Complexity. Hierarchical Structures and Scaling in Physics (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997).

154. A. Renyi, On a new axiomatic theory of probability, Acta Mathematica Hungarica 6, 285 (1955).

155. A. Renyi, Probability Theory (North-Holland, Amsterdam, 1970).

156. Z. Daroczy, Inf. Control 16, 36 (1970).

157. C. Tsallis, Possible generalization of BoUzmann-Gibbs statistics, J. Stat. Phys. 52, 479 (1988).

158. A. R. Plastino and A. Plastino, Tsallis' entropy, Ehrenfest theorem and information theory, Phys. Lett. A 177, 177 (1993).

159. E. P. da Silva, C. Tsallis and E. M. F. Curado, Specific heat of a freeparticle in a generalized Boltzmann-Gibbs statistics, Physica A 199, 137 (1993).

160. A. K. Rajagopal, Dynamical linear responce theory for a nonextensive system based on the Tsallis prescription, Phys. Rev. Lett. 76, 3469 (1996).

161. A. Plastino and C. Tsallis, Variational method in generalized statistical mechanics, J. Phys. A 26, L893 (1993).

162. A. M. Mariz, on the irreversible nature of the Tsallis and Renyi entropies, Phys. Lett. A 165, 409 (1992).

163. J. D. Ramshaw, H-theorems for the Tsallis and Renyi entropies, Phys. Lett. A 175, 169 (1993).

164. J. D. Ramshaw, Irreversibility and generalized entropies, Phys. Lett. A 175, 171 (1993).

165. F. Buyukkilic and D. Demirhan, A fractal approach to entropy and distribution functions, Phys. Lett. A 181, 24 (1993).

166. P. A. Alemany and D. H. Zanette, Fractal random walks from a variational formalism for Tsallis entropies, Phys. Rev. E 49, R956 (1993).

167. D. H. Zanette and P. A. Alemany, Thermodynamics of anomalous diffusion, Phys. Rev. Lett. 75, 366 (1995).

168. В. М. Boghosian, Thermodynamic description of the relaxation of two-dimensional turbulence using Tsallis statistics, Phys. Rev. Б 53, 4754 (1996).

169. V. H. Hamity and D. Б. Barraco, Generalized nonextensive thermodynamics applied to the cosmic background radiation in a Robertson-Walker Universe, Phys. Rev. Lett. 76, 4664 (1996).

170. В. Г. Левич, Курс теоретической физики. Том 1 (Физматгиз, Москва, 1962).

171. F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics (McGraw-Hill, New York, 1965).

172. J. W. Gibbs, Elementary Principles in Statistical Mechanics (Yale Univ. Press, Yale, 1902; Dover, New York, 1960).

173. R. C. Toleman, The Principles of Statistical Mechanics (Oxford Univ. Press, Oxford, 1938; Dover, New York, 1979).

174. G. Gallavotti, Statistical Mechanics: A Short Treatise (Springer, Berlin, 1999).

175. W. R. Paterson and L. A. Frank, Survey of plasma parameters in Earth's distant magnetotail with the GEOTAIL spacecraft, Geophys. Res. Lett. 21, 2971 (1994).

176. A. T. Y. Lui, Inferring global characteristics of current sheet fromlocal measurements, J. Geophys. Res. 98, 13 423 (1993).

177. A. A. Galeev and L. M. Zelenyi, SLAB model of reconnection in collisionless plasma, Sov. Phys. JETP, Engl. Transl. 25, 407 (1977).

178. B. Coppi, G. Laval and R. Pellat, Dynamics of geomagnetic tail, Phys. Rev. Lett. 16, 1207 (1966).

179. A. Nishida, T. Yamamoto, K. Tsuruda, H. Hayakawa, A. Matsuoka, S. Kokubun, M. Nakamura and K. Maezawa, Structure of the neutral sheet in the distant tail (x = —210Re) in geomagnetically quiet times, Geophys. Res. Lett. 21, 2951 (1994).

180. M. Hoshino, A. Nishida, T. Yamamoto and S. Kokubun, Turbulent magnetic field in the distant tail: Bottom-up process of plasmoid formation?, Geophys. Res. Lett. 21, 2935 (1994).

181. T. M. Bauer, W. Baumjohann, R. A. Treumann, N. Sckopke and H. Luhr, Low-frequency waves in the near-Earth plasma sheet, J. Geophys. Res. 100, 9605 (1995).

182. C. T. Russell, Noise in the geomagnetic tail, Planet. Space Sci. 20, 1541 (1972).

183. J. E. Borovsky, R. C. Elphic, H. O. Funsten and M. F. Thomsen, The Earth }s plasma sheet as a laboratory for flow turbulence in high-jd MHD, J. Plasma Phys. 57, 1 (1997).

184. J. E. Borovsky, M. F. Thomsen, R. C. Elphic, Т. E. Cayton and D. J. McComas, The transport of plasma sheet material from the distant tail to geosynchronous orbit, J. Geophys. Res. 103, 20 297 (1998).

185. JI. M. Зеленый и А. В. Милованов, Фрактальные свойства солнечных пятен, Письма в Астрон. Журн. 17, 1013 (1991).

186. Р. Жульен, Фрактальные агрегаты, Успехи физ. наук. 157, 339 (1989).

187. Б. М. Смирнов, Физика фрактальных кластеров (Наука, Москва, 1991).

188. JI. М. Зеленый и А. В. Милованов, Эволюция солнечных пятен: кластерная модель, Письма в Астрон. Журн. 18, 622 (1992).

189. JI. М. Зеленый и А. В. Милованов, Фрактальные и мультифрак-тальные структуры в солнечном ветре, Геомагнетизм и Аэрономия 33, 18 (1993).

190. Т. Tajima, S. Cable, К. Shibata and R. M. Kulsrud, On the origin of cosmological magnetic fields, Astrophys. J. 390, 309 (1992).

191. T. Tajima, S. Cable and R. M. Kulsrud, On zero-frequency magnetic fluctuations in plasmas, Phys. Fluids В 4, 2338 (1992).

192. S. Cable and T. Tajima, Low-frequency fluctuations in plasma magnetic fields, Phys. Rev. A 46, 3413 (1992).

193. А. В. Милованов, Крупномасштабная структура скоплений галактик и спонтанная полимеризация на фрактальной геометрии, Астрон. Журн. 71, 360 (1994).

194. А. А. Рузмайкин, Д. Д. Соколов и А. М. Шукуров, Магнитные поля галактик (Наука, Москва, 1988).

195. Е. Clement, R. Kopelman and L. M. Sander, The diffusion-limited reaction A + В —> 0 on a fractal substrate, J. Stat. Phys. 65, 919 (1991).

196. П. Дж. Пиблз, Структура Вселенной в больших масштабах (Наука, Москва, 1983).

197. J. К. Lawrence, Diffusion of magnetic flux elements on a fractal geometry, Solar Phys. 135, 249 (1991).

198. Э. P. Прист, Солнечная магнитогидродинамика (Наука, Москва, 1985).

199. Р. Брей и Р. Лоухед, Солнечные пятна (Мир, Москва, 1985).

200. А. V. Milovanov and L. М. Zelenyi, Fractal model for sunspot evolution, Geophys. Res. Lett. 19, 1419 (1992).

201. E. N. Parker, Dynamics of the interplanetary gas and magnetic fields, Astrophys. J. 128, 664 (1958).

202. L. F. Burlaga, W. H. M.ish and D. A. Roberts, Large-scale fluctuationsin the solar wind at 1 AU: 1978 -1982, J. Geophys. Res. 94,177 (1989).

203. D. A. Roberts and M. L. Goldstein, Spectral signatures of jumps and turbulence in interplanetary speed and magnetic field data, J. Geophys. Res. 92, 10 105 (1987).

204. L. F. Burlaga, Multifractal structure of the interplanetary magnetic field, Geophys. Res. Lett. 18, 69 (1991).

205. L. F. Burlaga, Multifractal structure of speed fluctuations in recurrent streams at 1 AU and near 6 AU, Geophys. Res. Lett. 18, 1651 (1991).

206. C.-Y. Tu, E. March and К. M. Thieme, Basic properties of solar wind MHD turbulence near 0.3 AU analyzed by means of Elsasser variables, J. Geophys. Res. 94, 11 739 (1989).

207. A. T. Y. Lui, C.-L. Chang and P. H. Yoon, Preliminary nonlocal analysis of cross-field current instability for substorm expansion onset, J. Geophys. Res. 100, 19 147 (1995).

208. S. Ohtani, K. Takahashi, T. Higuchi, A. T. Y. Lui, H. E. Spence and J. F. Fennell, A MP TE / CGE SCATHA simultaneous observations of substorm-associated magnetic fluctuations, J. Geophys. Res. 103, 4671 (1998).

209. E. M. Лифшиц и Л. П. Питаевский, Физическая кинетика (Наука, Москва, 1979).

210. E. G. Harris, On a plasma sheath separating regions of oppositely directed magnetic fields, Nuovo Cimento 23, 115 (1962). ."

211. A. T. Y. Lui and A.-H. Najmi, Time-frequency decomposition of signals in a current disruption event, Geophys. Res. Lett. 24, 3157 (1997).

212. R. L. Orbach, Fracton dynamics, Physica D 38, 266 (1989).

213. P. W. Anderson, Absence of diffusion in certain random lattices, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

214. E. Courtens, R. Vacher and E. Stoll, Fractons observed, Physica D 38, 41 (1989).

215. M. Prester, Experimental evidence of a fractal dissipative regime in high-Tc superconductors, Phys. Rev. В 60, 3100 (1999).

216. H. Buttner, Possible explanation for the superconducting 2^0 К phase in the Y-Ba-Cu-0 system, Nature 329, 700 (1987).

217. O. Entin-Wohlman, S. Alexander and R. L. Orbach, Inelastic extended electron localized vibrational state scattering rate, Phys. Rev. В 32, 8007 (1985).

218. Б. Б. Кадомцев, Коллективные явления в плазме (Наука, Москва, 1988).