Многомасштабная инвариантность турбулентности пристеночной плазмы в токамаке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Российский научный центр «Курчатовский институт»

ооздтаиь (

На правах рукописи УДК 533.951.7

БУДАЕВ Вячеслав Петрович

МНОГОМАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ В ТОКАМАКЕ

Специальность 01.04.08 - физика плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 1 ОКТ 2009

Москва — 2009

003478067

Работа выполнена в Институте ядерного синтеза Российского научного центра «Курчатовский институт».

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ерохин Н.С. доктор физико-математических наук Пастухов В.П. доктор физико-математических наук Скворцова Н.Н.

Ведущая организация:

Государственный научный центр Российской Федерации Троицкий институт инновационных и термоядерных исследований

Защита состоится «___»_2009 г. в __часов на

заседании диссертационного совета Д 520,009.02 по адресу: РНЦ «Курчатовский институт», пл. Академика Курчатова 1, г. Москва.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РНЦ «Курчатовский институт»

Автореферат разослан «_» _ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

канди дат физико-математических наук

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В диссертации представлены результаты исследования низкочастотной турбулентности плазмы в пристеночной зоне токамака. В экспериментах на восьми термоядерных установках получены данные о спектральных и статистических характеристиках турбулентных пульсаций плотности плазмы, локальных электрических полей и дрейфовых потоков плазмы, которые определяют аномально высокие потери плазмы из магнитной ловушки токамака. Рассмотрены полуэмпирические каскадные модели турбулентности, объясняющие экспериментальные наблюдения. Получены скейлинги турбулентного переноса плазмы, связанного с дальним порядком корреляций. Проведены эксперименты по управлению свойствами и структурой турбулентности пристеночной плазмы при воздействии на плазму электрических и магнитных полей. Актуальность темы. Исследования по проблеме управляемого термоядерного синтеза (УТС) являются важнейшим направлением современной науки. Изучение свойств турбулентности плазмы и связанных с ней аномальной диффузии плазмы связано с поиском путей повышения эффективности и надежности работы термоядерного реактора. Исследование турбулентности плазмы представляет интерес для выяснения физических механизмов астрофизических явлений, в том числе в магнитосфере Земли.

Наиболее продвинутой концепцией для решения проблемы УТС является токамак - система с магнитным удержанием горячей плазмы, предложенная в работах И. Е. Тамма и А.Д. Сахарова в СССР. В экспериментах на токамаках достигнут существенный прогресс, что позволило приступить к строительству демонстрационного термоядерного реактора «ИТЭР» в рамках международного сотрудничества с участием России.

Несмотря на значительный прогресс, достигнутый за более чем полувековой период исследований по проблеме УТС, все еще существуют серьезные вопросы, которые необходимо решить на пути строительства термоядерного реактора. К таким проблемам относятся повышенные потери плазмы из магнитной ловушки, способные значительно ухудшить эффективность удержания плазмы, в том числе и в токамаке-реакторе. Уже первые эксперименты в установках с магнитной термоизоляцией высокотемпературной плазмы выявили эффект аномальной диффузии плазмы поперек магнитного поля, что приводит к повышенным тепловым нагрузкам на элементы первой стенки (лимитеры и диверторные пластины), контактирующие с плазмой. Вынос плазмы в таком процессе может быть неоднороден в пространстве и во времени. Оценки показывают, что в токамаке-реакторе вследствие аномальной поперечной диффузии плазмы уровень тепловых нагрузок на элементы первой стенки может приводить к их эрозии и разрушению. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в исследованиях аномальной диффузии в токамаке, все еще не удается предложить теоретическую модель, которая бы объяснила все имеющиеся экспериментальные результаты и смогла с необходимой детальностью предсказать условия удержания плазмы в токамаке-реакторе. Эксперименты на токамаках показывают, что свойства аномальной диффузии во многом определяются статистическими характеристиками и дальним порядком корреляций в пристеночной турбулентности. Поэтому необходимо из эксперимента определить статистические характеристики турбулентности пристеночной плазмы и связанные с ними эффекты удержания плазмы в токамаке.

Предположение о том, что усиленная диффузия плазмы вызвана хаотическими колебаниями электрического поля вследствие развития плазменных неустойчивостей было впервые сделано Бомом. С тех пор были предприняты многочисленные экспериментальные и теоретические

исследования турбулентности плазмы в токамаках и других системах с магнитным удержанием с целью описать аномальную диффузию плазмы. Эта задача оказалась чрезвычайно сложной, даже используя значительные достижения в исследовании гидродинамической турбулентности обычной жидкости. Турбулентность плазмы отличается от гидродинамической турбулентности тем, что в плазме наряду с взаимодействующими вихрями (как в гидродинамической турбулентности) могут возбуждаться волны -квазиупругие колебания, вызванные движением плазмы в магнитных и электрических полях. В отличие от гидродинамических потоков, в плазме могут сосуществовать несколько механизмов развития колебаний (неустойчивостей) и их затухания (диссипации). В установках с магнитным удержанием свойства турбулентности плазмы во многом определяются анизотропией, вносимой сильным магнитным полем. Движение турбулентной плазмы в магнитном поле более сложное, чем гидродинамическая турбулентность обычной жидкости.

В теории турбулентности были развиты мощные аналитические методы, такие как квазилинейное приближение, теория слабой турбулентности плазмы или приближение прямого взаимодействия, методы ренормгрупп. Свойства турбулентности плазмы зависят от уровня нелинейного взаимодействия волн. Теоретическое рассмотрение слабой турбулентности плазмы в рамках квазилинейного приближения в кинетике было развито в работах В.А. Веденова, Е.П. Велихова, Р.З. Сагдеева, Б.Б. Кадомцева и др. К сожалению, в низкочастотной дрейфово-волновой турбулентности нелинейное взаимодействие плазменных колебаний начинает играть существенную роль уже при не очень больших амплитудах, и квазилинейный метод становится неприменим. Нелинейное взаимодействие дрейфовых волн приводит к состоянию сильной турбулентности. В особенности это наблюдается в условиях периферийной зоны плазменного разряда токамака - эту зону называют

пристеночной или краевой плазмой. В этой зоне геометрические границы плазмы формируют условия, когда движение волн ограничено, отдельные волновые пакеты успевают длительное время взаимодействовать со своими соседями. В результате процесс приобретает свойства, характерные для гидродинамической турбулентности, в особенности в погранслоях, где наблюдаются перемежаемость, дальние корреляции. Заметим, что такие же свойства проявляются также и в термоядерных установках с иной, чем в токамаке, магнитной конфигурацией - в стеллараторах и линейных установках. В них наблюдаются подобные свойства пристеночной турбулентности. В рамках аналитических моделей теоретическое описание всех характеристик пристеночной турбулентности плазмы (например, дальних корреляций) сталкивается с серьезными трудностями ввиду необходимости рассматривать задачу в большом диапазоне масштабов пространства и времени. Современные аналитические модели все еще не достигают такой же степени детальности и точности как полуэмпирические каскадные модели, основанные на статистических методах. Каскадные модели, с успехом применяемые для описания гидродинамической турбулентности, содержат параметры, которые необходимо определить из эксперимента.

Исследование турбулентности плазмы важно также с точки зрения развития общих представлений о сложных системах с большим числом степеней свободы и с такими важными свойствами как самоподобие и самоорганизация. Свойства самоподобия связаны с понятием масштабной инвариантности, которая есть проявление особых симметрий процесса или объекта. Понятие симметрии является фундаментальным в концепции физического описания природных явлений и процессов. Законы сохранения энергии, импульса и момента являются следствием трансляционных симметрий — инвариантности физических процессов относительно сдвигов во времени, в пространстве и вращения в

пространстве, соответственно. Рассмотрение более сложных трансляционных симметрии обобщенного пространства в квантовой физике позволило объяснить разнообразие элементарных частиц и законы их взаимодействий. Кроме трансляционных симметрий существует широкий класс так называемых дилатационных симметрий, описывающих масштабную инвариантность. Масштабная инвариантность есть свойство неизменности физических законов при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз, т.е. масштабном преобразовании г-»Хх, Масштабные преобразования выявляют

эффекты изменения единицы длины (или времени, или одновременно длины и времени), которая, в общем случае, может произвольно меняться. Понятие масштабной инвариантности применяется в физике для описания гравитации, критических явлений, фазовых переходов, бифуркаций состояния сложных систем и др.

Масштабная инвариантность - одно из основных свойств турбулентности. Развитая турбулентность характеризуется большим числом степеней свободы и нелинейно взаимодействующих мод, многомасштабной структурой и случайными пульсациями скоростей и полей. Поэтому для ее описания используются методы статистической физики и теории вероятностей. В 1941 г. А.Н. Колмогоров на основе рассмотрения масштабной инвариантности турбулентности и её статистических свойств создал каскадную теорию однородной изотропной турбулентности, названную К41. В колмогоровской модели К41 турбулентные вихри каждого масштаба однородно заполняют все пространство. Теория К41 феноменологическая, однако, она удовлетворительно описала многие гидродинамические эксперименты в широком диапазоне масштабов, что на сегодняшний день не достижимо в рамках существующих аналитических моделей. Эта основополагающая концепция рассмотрения масштабной инвариантности турбулентности

была положена в основу последующих теорий, описывающих турбулентность.

Структура турбулентности может быть неоднородной, и в этом случае ее свойства описываются каскадными моделями, более сложными, чем К41. Локальное нарушение однородности турбулентности, в которой активные области сосуществуют с пассивными (квазиламинарными) называется перемежаемостью. Перемежаемость наблюдается в гидродинамических турбулентных течениях нейтральных сред и турбулентной замагниченной плазме. В турбулентной пристеночной плазме токамака и других термоядерных установок перемежаемость наблюдается в виде турбулентных пульсаций большой амплитуды. Законы масштабного подобия (скейлинги) такой турбулентности с перемежаемостью описываются параметрами, зависящими от масштаба (многомасштабностъ). Из теоретического рассмотрения следует, что свойство перемежаемости турбулентности связано со скрытыми статистическими симметриями (симметриями масштабной инвариантности) динамических уравнений, описывающих движение, и необходимостью установить масштабную инвариантность в ограниченном пространстве пристеночной зоны. Случайные пульсации скорости и других параметров турбулентного потока в пристеночной плазме токамака обладают негауссовской статистикой, то есть не описываются классическим нормальным законом диффузии. Из самых общих теоретических представлений динамика такого процесса описывается степенными законами распределения, многомасштабностью, то есть спектром характерных масштабов. Дальние корреляции, формируемые свойством многомасштабной инвариантности и негауссовой статистикой, вызывают повышенный турбулентный перенос - аномальную диффузию. Аналитически или численно решить задачу о динамике турбулентной плазмы и определить скейлинги турбулентности с требуемой

детальностью на больших масштабах времени (например, времени работы токамака-реактора) в настоящее время не удается. Следовательно, необходимо из эксперимента определить статистические характеристики турбулентности, связанные с масштабной инвариантностью, и определить скейлинги - степенные законы. Это позволит далее развивать представления о физических свойствах турбулентности плазмы и даст возможность качественно и количественно, с большей детальностью, чем в настоящее время, описать процессы переноса в пристеночной плазме токамака.

Самосогласованные профили и самоорганизация плазмы в токамаке во многом определяются свойствами турбулентности плазмы, в том числе и в пристеночной области разряда. Исследования Н-режимов с улучшенным удержанием в токамаках показало, что условия Ь-Н перехода существенно связаны со свойствами турбулентности на периферии разряда. Поэтому исследование турбулентности важно для выработки предложений режимов работы токамака-реактора. Для такой задачи особую ценность представляют эксперименты, направленные на управление структурой турбулентности в токамаке с помощью воздействия электрических и магнитных полей, формируемых дополнительными электродами и винтовыми обмотками.

Задачей диссертационной работы является экспериментальное изучение и описание низкочастотной турбулентности и турбулентного переноса частиц в пристеночной плазме токамака.

В диссертационной работе рассматриваются три основных направления исследований:

1. Исследование статистических свойств турбулентности и переноса частиц плазмы поперек магнитного поля в пристеночной плазме токамака.

2. Исследование свойств масштабной инвариантности турбулентности пристеночной плазмы токамака и связанной с такими свойствами аномальной диффузии. Возможность воздействовать на масштабную инвариантность и турбулентный транспорт.

3. Анализ экспериментальных данных в рамках существующих моделей развитой турбулентности и теоретическое исследование свойств турбулентного каскада в турбулентной пристеночной плазме.

Апробация работы:

Основные результаты диссертации докладывались автором и обсуждались на Международных конференциях по физике плазмы и УТС (1998, 2006 гг.), Европейских конференциях по УТС и физике плазмы (2008, 2006, 2005, 2004, 2003, 2002, 2000, 1999, 1998, 1997, 1990, 1987 гг.), Международной конференции в Алуште в 2004 г., Совещании по радиальным электрическим полям в плазме в Праге 1998 г., на конференциях по физике плазмы и УТС РАН (Звенигород 1984,1985,1986, 1987, 1988, 1990, 2007, 2008, 2009 гг.), а также на научных семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский Институт» (Москва 2001-2009 гг.), на научных семинарах ИВТАН СССР (ОИВТРАН) (Москва 1985-1995 гг.), на семинарах ТРИНИТИ (Троицк 1993, 2004 гг.), на семинаре ЛФТИ им. М.С. Иоффе (Санкт-Петербург 1990 г.), на семинаре ИОФ РАН (Москва 1990, 2005 гг.), на научном семинаре ИКИ РАН (Москва 2006 г.), на научных семинарах токамака TEXTOR (Юлих, Германия 1991, 1993, 1994, 1996, 1997, 1998, 2000, 2005 гг.), на научном семинаре токамака JT-60U (Нака, Япония, 2007 г.), на научных семинарах токамака HYBTOK-II Нагойского университета (Нагоя, Япония, 2001-2007 гг.), на научных семинарах стелларатора LHD (Токи, Япония, 2001-2007 гг.), на научном семинаре токамака CASTOR (Прага, Чехия, 2004 г.), на научном семинаре токамака Tore-Supra (Кадараш, Франция 2000 г.), на научном семинаре токамака

START (Калэм, Великобритания, 1997 г.), на научном семинаре токамака JET (Калэм, Великобритания, 1997 г.).

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 55 работ, 27 в реферируемых журналах, из них 17 в журналах из списка ВАК, и в виде обзорных глав в 3-х книгах.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из Введения, шести глав, Заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 252 страницы, Диссертация содержит 105 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 309 наименования.

П. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения Во Введении дана общая характеристика работы, обосновывается актуальность темы. Дается описание содержания диссертации и основных результатов, выносимых на защиту.

В первой главе приведен краткий обзор опубликованных в литературе результатов исследования турбулентности и турбулентного переноса в пристеночной плазме токамаков.

В параграфе 1.1 кратко излагаются результаты экспериментального исследования низкочастотной турбулентности и турбулентного переноса в пристеночной плазме токамаков. В целом, экспериментально обоснованных количественных и универсальных скейлингов, описывающих свойства пристеночной турбулентности в широком диапазоне масштабов, не получено.

В параграфе 1.2 излагаются теоретические подходы, используемые для статистического описания турбулентности статистическими моментами (структурными функциями, 5,(т), определяемыми как статистическое среднее по ансамблю разностей 5X~X{t +г) - X(¿), S9(r)= (18Л4) ). Исследование структурных функций привело к обнаружению свойства расширенной автомодельности (в английской литературе -extended self-similarity, ESS) при экспериментальном исследовании мелкомасштабной гидродинамической турбулентности в аэродинамической трубе. При относительно низких значениях чисел Рейнольдса, когда в обычном представлении Sq{l)~ № инерционный интервал не обнаруживается, наблюдается скейлинг вида Sq{I)~ S^l)^'^ для расширенного диапазона масштабов / > 5т(, г) - колмогоровский масштаб диссипации. Предполагается, что такое самоподобие (обобщенная масштабная инвариантность) есть проявление скрытых статистических симметрий, которыми обладают уравнения движения турбулентной среды. На основе рассмотрения законов подобия для моментов, в соответствии с основополагающим подходом Колмогорова, были развиты каскадные модели турбулентности, с успехом применяемые для описания турбулентности гидродинамических течений. Эти модели содержат параметры, которые необходимо определить из эксперимента. Описаны колмогоровская модель К41, модель Ирошникова-Кречнана и наиболее общая лог-пуассоновская модель турбулентности с перемежаемостью. В лог-пуассоновских моделях рассматривается мультипликативный каскадный процесс турбулентной энергии в системе с иерархией турбулентных ячеек или флуктуаций скорости различных масштабов и амплитуды. Рассмотрение анизотропного стохастического мультипликативного каскадного процесса в лог-пуассоновских моделях позволяет описать многие свойства турбулентности с перемежаемостью, в

том числе зависимость свойства масштабной инвариантности от локального масштаба - многомасштабность. В основе таких моделей предположение о существовании степенных законов, связанных с автомодельными симметриями турбулентного процесса, то есть свойством масштабной инвариантности. В лог-пуассоновский модели Ше-Левека-Дюбрюль формула для скейлинга структурных функций:

1-fi

(1).

3 1 -р

Индекс р характеризует степень перемежаемости; Р=1 для неперемежаемой однородной развитой турбулентности, например, в колмогоровской К41 модели. Д - параметр, связанный с геометрией диссипативных структур и краевыми эффектами. Логарифм энергии диссипации Е/ подчиняется распределению Пуассона, поэтому модель называется лог-пуассоновской.

В параграфе 1.3 кратко описаны современные подходы и методы воздействия на свойства турбулентности. Кратко описан метод Гребоджи-Отта-Йорка, используемый для управления стохастической динамикой турбулентности, и метод обратной связи с временной задержкой TDAS (от англ. Time-Delay Auto Synchronization).

Во Второй главе описаны экспериментальные установки, на которых выполнялась работа, зондовые диагностики, с помощью которых получены экспериментальные данные, и методы обработки данных.

В параграфе 2.1 описаны термоядерные установки, на которых выполнялась работа, и зондовые диагностики. Исследования пристеночной плазмы проводились на установках токамаках Т-10 (Курчатовский институт, г. Москва), ТФ-2 (Научная станция ИВТАН), HYBTOK-II (Нагойский университет, г. Нагоя, Япония), TEXTOR (IPP FZJ, г. Юлих, Германия), JT-60U (JAERI, г.Нака, Япония). CASTOR (IPP,

г.Прага, Чехия), сверхпроводящем стеллараторе LHD (Large Helical Device, NIFS, г.Токи, -Япония), линейной плазменной установке NAGDIS-II (Нагойский университет, г.Нагоя, Япония). Наиболее детально турбулентность пристеночной плазмы исследовалась в экспериментах на токамаках Т-10, ТФ-2, HYBTOK-II. При исследовании статистических свойств турбулентности использовались экспериментальные зондовые данные, полученные в экспериментах на токамаках ТЕКСТОР, JT-60U, CASTOR. С целью выявления наиболее общих свойств пристеночной плазмы в магнитном поле исследовались данные, полученные в экспериментах на стеллараторе LHD и линейной плазменной установке NAGDIS-II. Пристеночная плазма в LHD и плазма в NAGDIS-II по большинству исследуемых параметров имеет такие же свойства, что и в токамаке. Для получения экспериментальных данных о турбулентности пристеночной плазмы использовались электрические зонды (называемые также ленгмюровскими зондами). Описаны конструкции ленгмюровских зондов.

В параграфе 2.2 описан сбор экспериментальных данных ленгмюровскими зондами. С помощью ленгмюровских зондов измерялись плотность плазмы, её потенциал (либо электрическое поле) и температура электронов. Измерительная аппаратура позволяла регистрировать зондовые сигналы в диапазоне от 0,1 кГц до 500 кГц. Приводятся формулы для определения параметров плазмы из экспериментальных сигналов и обоснование применимости ленгмюровских зондов для исследования масштабной инвариантности пристеночной турбулентности в токамаке.

В параграфе 2.3 описаны методы численного анализа измеренных сигналов. Применялись Фурье-анализ, вейвлет анализ, корреляционный анализ, фрактальный анализ, исследовались функция распределения плотности вероятности (ФРПВ) амплитуд флуктуаций, дивергенция

Кульбака-Лейблера (информация Кульбака- Лейблера), статистические методы.

В параграфе 2.4 описана процедура определения структурных функций из экспериментального сигнала.

В параграфе 2.5 описан метод мультифрактального анализа. Свойство мультифрактальности означает, что функция распределения приращений SiX=X(t+l)-X(t) изменяется от квази-гауссовой на больших масштабах лага / к негауссовой форме с "тяжелыми хвостами" на малых лагах I. Монофрактальный сигнал таким свойством не обладает. ФРПВ для приращений броуновского процесса для любого лага I приращения имеет вид Гауссиана.

В параграфе 2.6 описаны методы исследования статистической неоднородности на основе анализа структурной функции и спеюра сингулярностей. Описан метод Wavelet Transform Modulus Maxima (WTMM), который, используя вейвлет анализ, позволяет с высокой точностью определить скейлинг структурных функций из экспериментального сигнала.

В Третьей главе излагаются результаты исследования спектральных, корреляционных и статистических характеристик низкочастотной пристеночной турбулентности. Приводятся результаты мультифрактального анализа, на основе этих результатов определяются характеристики многомасштабной инвариантности турбулентности. Изучается обнаруженное свойство обобщенной масштабной инвариантности турбулентности.

В параграфе 3.1 представлено экспериментальное исследование спектральных и корреляционных свойств. Временное изменение параметров пристеночной плазмы токамака имеет характерную структуру с наличием непериодических всплесков (пульсаций) амплитуды (рис. 1). Такое свойство турбулентности называется перемежаемостью. Фурье-

спектры сигналов - уширенные в диапазоне дрейфовых частот от ~1 кГц до

t, МКС

Рис. 1. Сигналы флуктуирующих параметров пристеночной плазмы в Т-10. Вверху - поперечного потока частиц Г в СОЛ на радиусе /=36 см, в центре -плотности плазмы пе на радиусе г=32 см и внизу - на радиусе г=29 см

Свойства турбулентности, в том числе и статистические средние, зависят от малого радиуса, наблюдается повышение уровня флуктуаций параметров плазмы при приближении к стенке. Вейвлет анализ показал наличие когерентных структур в исследуемом сигнале, их иерархию.

Статистические свойства и степенные законы рассматриваются в параграфе 3.2. Вид функции распределения амплитуд флуктуаций плотности, электрических полей и поперечных потоков плазмы (Рис. 2) варьируется для разных областей СОЛ (от англ. SOL - scrape-off-layer) токамака, но типичные свойства, такие как асимметрия и «тяжелые хвосты», сохраняются. Однозначной и явной зависимости вида ФРПВ от температуры и плотности краевой плазмы не наблюдалось.

Рис.2. Типичный вид функции распределения плотности вероятности амплитуд флуктуаций плотности и радиального потока частиц Щ) (нормированные величиной среднеквадратичного стандартного отклонения ст). Для сравнения построены аппроксимация гауссовским законом (пунктирно-точечная линия) и распределением Лоренца (-+). Токамак Т-10, г=34 см

В параграфе 3.3 исследуется свойство мультифрактальности пристеночной турбулентности. Это свойство было впервые обнаружено в токамаке Т-10 и в дальнейшем в токамаках НУВТОК-П, ГГ-бОи, стелараторе ЬНО и линейной плазменной установке МАСБК-Н, что подтвердило общность свойства мультифрактальности пристеночной плазмы в термоядерных установках. Для пристеночной плазмы Т-10 свойство мультифрактальности иллюстрируется на Рис. 3: функция распределения приращений сигнала 6/Х=Х(/+/)-Х(/) изменяется от квазигауссовой на больших масштабах лага I к негауссовой форме с "тяжелыми хвостами" на малых лагах /. Определен временной масштаб 50-500 мкс, который характеризует свойство мультифрактальности. Спектр сингулярностей (мультифрактальный спектр) ДА) в зависимости от показателя Гёльдера А, (Рис.4а) имеет типичную выпуклую (колоколообразную) форму. Уширение спектра сингулярностей для экспериментальных сигналов лежит в диапазоне 0,4-1,3 (Рис. 46), эти значения являются типичными для стохастических процессов с сильной

перемежаемостью. Подобное значение уширения спектра сингулярностей зарегистрировано в пристеночной плазме других токамаков - HYBTOK-II, JT-60U, CASTOR, стеллараторе LHD и установке NAGDIS-II. Исследована статистика времени ожидания - периодов времени между турбулентными пульсациями большой амплитуды. Эта статистика характеризуется многомасштабностью и мультифрактальностью.

10 100 I МКС

(а) (б)

Рис. 3. Функция распределения X) для приращений сигнала 6¡Х=Х(1+1)-Х0) на масштабах /=4,8,16,32,64,128,256,512 мкс (сверху вниз, кривые сдвинуты произвольным образом) в полулогарифмическом графике для сигнала зонда в пристеночной плазме Т-10, г=32 см. По оси абсцисс - величина брС, нормированная на величину стандартного отклонения. О -асимметрия и □ - величина эксцесса, соответствующих ФРПВ в зависимости от лага / приращений 5Д!

28 30 32 34 36 38 Г, сш

(а) (б)

Рис. 4 (а) Спектр сингулярностей для флукгуаций плотности п, электрического поля Ер и ЕрХВ потока частиц Г, г=32 см в СОЛ токамака Т-10. (б) Уширение спектра Б(Ь) в СОЛ токамака Т-10.

Результаты экспериментального исследования обобщенной масштабной инвариантности представлены в разделе 3.4. Простейшее самоподобие (наблюдение степенного закона структурных функции на Рис.5) регистрируется лишь на ограниченном интервале временных масштабов около 10 мкс - времени автокорреляций. Впервые обнаружено свойство обобщенной масштабной инвариантности (многомасштабной инвариантности) пристеночной турбулентности в токамаке. Это свойство выражается в виде степенной зависимости структурных функций разных порядков вида на трех порядках

изменения масштабов вплоть до 1 миллисекунды (Рис. 6). Обобщенное самоподобие наблюдается также в пристеночной плазме стелларатора и линейной установке (Рис. 6). Свойство обобщенной масштабной инвариантности свидетельствует о дальних корреляциях в турбулентном процессе.

10'

10'

ел

10'

10

I;

ч / ' й/ /

10

10°

10

10'

А л^и^^АМ

10

10 10 10 Т, МКС

, 10 о

ю" 10°

юч

Рис. 5. Структурные функции (а) порядка 9=2,3,4,5,6,7,8, (снизу вверх) для сигнала потока частиц при г=36 см (слева) и плотности плазмы в шир-слое при г=29 см (справа) в токамаке Т-10. Струюурные функции нормированы на минимальное значение.

10° 101 102

Рис. 6. Свойство обобщенной масштабной инвариантности. Зависимость структурных функций разных порядков q=2,3,4,5,6,7,8 от структурной функции третьего порядка в установках Т-10, Л-60и, ЫАООК-И, ЬНБ.

В Четвертой главе приводятся результаты экспериментального исследования свойств турбулентного каскада, связанных со свойством

обобщенной масштабной инвариантности. Излагается теоретическое рассмотрение лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом в случае доминирующего вклада квазиодномерных (нитеобразных) диссипативных структур. Предложен скейлинг турбулентности, он использован для описания экспериментальных данных. Обосновывается неприменимость модели Ирошникова-Кречнана для описания пристеночной турбулентности в токамаке.

В параграфе 4.1 приведены скейлинга структурных функций ¿Хя). Наблюдается нелинейная функциональная зависимость скейлингов от порядка момента я. Скейлинги значительно отклоняются от скейлинга колмогоровской модели К41. Экспериментальные скейлинги структурных функций можно описать спектром (1) с подгоночными параметрами Р и А, которые характеризуют многомасштабную инвариантность пристеночной турбулентности токамака: параметр А в пределах от 0,2 до 0,7; параметр р от 0,2 до 0,8 (Рис.7). Данные отклоняются от величин Р=Д=2/3, принятых в модели изотропной трехмерной гидродинамической турбулентности с перемежаемостью.

0,

0.'

0.

0.

Рис. 7. Радиальная зависимость параметров лог-пуассоновского скейлинга РиД в токамаке Т-10.

30 32 34 36 3 г, см

Исследование бикогерентности и мультифрактальный анализ показали, что корреляции между масштабами турбулентности обеспечиваются преимущественно не трехволновым взаимодействием, а более сложными нелинейными процессами взаимодействия.

В параграфе 4.2 выведена формула модифицированного скейлинга лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом. Используя предположение о доминирующей роли одномерных филаментарных (нитевидных) диссипативных структур в турбулентном процессе, автором получен скейлинг структурных функций:

В/

1-

У

(2).

Величина выражает интенсивность каскада по отношению к его

интенсивности в колмогоровской К41 модели: для изотропного К41 каскада, £/->3 соответствует усилению каскада в сравнении с К41, ¡&<3 соответствует ослаблению каскада в сравнении с К41.

В параграфе 4.3 исследуется размерность диссипативных структур, играющих доминирующую роль в турбулентном процессе. В токамаке Т-10 в основном СОЛ скейлинг описывается моделью (2) с одномерными диссипативными структурами, лишь в далеком СОЛ скейлинг близок к скейлингу модели с двумерными диссипативными структурами (Рис.8). Скейлинг (2) описывает также экспериментальные скейлинги пристеночной турбулентности в СОЛ токамака ГГ-60и, стелларатора ЬНБ, в линейной установке КАСШБ-П.

В параграфе 4.4 на основе сравнения экспериментальных скейлингов с предсказанием модели Ирошникова -Кречнана обоснована её

неприменимость для описания пристеночной плазмы в токамаке.

низкочастотной

турбулентности

"о-1

-О,

п ОГ -20 Ю -К41

0 2 4 6 8

Рис. 8. Экспериментальный скейлинг структурной функции (отклонение от колмогоровского спектра К41 я/З). Плотность плазмы в СОЛ при г=ЪА см (треугольники) и поперечного потока частиц Г в далеком СОЛ при г= 36 см (круги). Модифицированный скейлинг (2) для одномерных Ш диссипативных структур (пунктир точками), для двумерных 2Э диссипативных структур (линия). ТокамакТ-10.

В Пятой главе исследуется структура переноса плазмы. Выводится скейлинг турбулентного переноса плазмы на основе полученных в главе 4 скейлингов обобщенной масштабной инвариантности.

Результаты экспериментального изучения структуры и статистические свойства переноса плазмы представлено в параграфе 5.1. Впервые детальное изучение турбулентных потоков плазмы в результате ЕхВ дрейфа, их спектральное исследование было проведено на малом токамаке ТВ-1 (после реконструкции это токамак ТФ-2). Полоидальное и радиальное движение плазмы в СОЛ токамака сложное и нерегулярное, с наличием турбулентно-конвективных ячеек. В дальнейшем было проведено экспериментальное изучение структуры турбулентного потока

частиц плазмы поперек магнитного поля в тени лимитера токамаков Т-10, ТФ-2 и НУВТОК-И. Сложная структура дрейфовых потоков в краевой плазме подтверждена измерениями в двумерном полоидально-радиальном сечении в токамаке ТФ-2. Уровень наблюдаемых турбулентных потоков описывается эффективным коэффициентом диффузии £М-г-10 м2с1, что соответствует бомовскому уровню. Функция распределения амплитуд флуктуаций потока имеет асимметричный вид и значительно отклоняется от гауссовского закона, она обладает такими же свойствами, что и функция распределения флуктуаций плотности плазмы. Перенос плазмы существенным образом зависит от корреляционных свойств турбулентности. С помощью вейвлет методов показано, что радиальный перенос, вызванный ЕхВ дрейфовым движением когерентных структур в турбулентном полоидальном электрическом поле Е, связан с радиальными корреляциями флуктуаций плотности. Измерена функция распределения радиальной скорости когерентных структур. В линейной установке ЫАОВ18-П отсутствуют эффекты переноса, связанные с кривизной магнитного поля. Однако здесь также наблюдались статистические свойства радиального потока, похожие на те, что наблюдаются в СОЛ токамаков.

В параграфе 5.2 приводится скейлинг турбулентного переноса плазмы. Свойства переноса плазмы следует рассматривать в зависимости от свойств многомасштабной инвариантности турбулентности. В таком подходе скейлинг переноса (диффузии) зависит от скейлинга структурной функции д). Полученные из анализа экспериментальных данных значения параметров лог-пуассоновского скейлинга (А, Р и gf) использованы для оценки турбулентного переноса плазмы. Используя данные полученные для нескольких установок, определен скейлинг (закон) смещения частиц со временем:

<5х2> ос та

(3),

с показателем а »1,2 т 1,7 >1. Такой скейлинг означает существование супердиффузии. Напомним, что для нормальной (броуновской) диффузии а =1. Скейлинг закона переноса имеет радиальную зависимость (см. Рис. 9), оставаясь в целом «супердиффузионным». Скейлинг супердиффузии наблюдался в пристеночной плазме токамака Л-бОи, стелларатора ЬНЕ), и в установке КАСОШ-П.

1.

0.

г, см

Рис. 9. Показатель скейлинга переноса плазмы в токамаке Т-10.

В шестой главе излагаются результаты экспериментального исследования воздействия на плазму токамака дополнительных электрических и магнитных полей. Исследуется изменение фрактальной структуры пристеночной турбулентности при воздействии таких полей. Изучена возможность частотно-избирательного воздействия динамического эргодического дивертора на турбулентность и перенос плазмы.

Результаты экспериментального исследования воздействия радиального электрического поля на плазму приводится в параграфе 6.1. В экспериментах на токамаках TEXTOR, ТФ-2 и CASTOR обнаружено

изменение фрактальной структуры турбулентности при подаче потенциала на массивный электрод в плазме. В токамаке ТЕКСТОР наблюдалось увеличение фрактальной размерности пристеночной турбулентности от величины D и 15 до перехода в Н-режим до величины D »30 в Н-режиме. Это изменение свидетельствует об увеличении беспорядка, что в совокупности с уменьшением амплитуды флуктуаций приводит к подавлению радиального переноса плазмы. В малом токамаке ТФ-2 увеличении радиального электрического поля в области приложение напряжения на электрод) приводило к повышению фрактальной размерности пристеночной турбулентности от 7,9 до величины более 10,5. Турбулентные радиальные потоки плазмы уменьшались. В экспериментах на токамаке CASTOR впервые было выявлено воздействие электрических полей на мультифрактальные свойства пристеночной турбулентности.

В параграфе 6.2 приведены результаты экспериментов на токамаке HYBTOK-II, где исследовалось воздействие винтовых магнитных полей в конфигурации динамического эргодического дивертора. ДЭД формирует стохастический слой во всей краевой плазме токамака. Обнаружен эффект частотно-избирательного воздействия ДЭД на структуру краевой турбулентности. В диапазоне частот ДЭД 5—25 кГц происходит значительная перестройка фрактальной структуры вблизи резонансных поверхностей и в COJI. Результаты экспериментов с ДЭД в токамаке HYBTOK-II объясняются в рамках концепции управления хаосом. Обнаруженное свойство частотно-избирательного воздействия ДЭД на турбулентность и перенос можно использовать для выработки рекомендаций по эффективному управлению удержанием плазмы в токамаке, в том числе и для токамака-реактора.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

Ш. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научная новизна. Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем.

1. Проведено экспериментальное исследование масштабной инвариантности и статистических свойств турбулентности пристеночной плазмы в токамаке Т-10 (Россия). Найдено, что функция распределения флуктуаций в СОЛ имеет негауссову форму с «тяжелыми» хвостами, турбулентный перенос характеризуется перемежаемостью и дальними корреляциями. Такие характеристики обнаружены в пристеночной плазме и других токамаков - ТФ-2, HYBTOK-II, JT-60U, CASTOR, ТЕКСТОР.

2. Впервые обнаружено свойство обобщенной масштабной инвариантности пристеночной турбулентности плазмы на широкой базе экспериментальных данных в токамаках разного масштаба - Т-10, HYBTOK-П, JT-60U. Общность свойства многомасштабной инвариантности краевой замагниченной высокотемпературной плазмы подтверждена также исследованиями на стеллараторе LHD и линейной плазменной установке NAGDIS-II.

3. Проведены измерения радиальных профилей параметров, характеризующих многомасштабную инвариантность турбулентности пристеночной плазмы в токамаке: рассчитаны мультифрактальные спектры, скейлинги моментов функции распределения турбулентных флуктуаций.

4. Установлены времена, характеризующие многомасштабную инвариантность пристеночной турбулентности. Такие времена почти на 2 порядка больше времен, на которых наблюдается

инерционный интервал при традиционном рассмотрении в рамках колмогоровской теории турбулентности.

5. Проведено сравнение свойств масштабной инвариантности в различных лимитерных и диверторном токамаках. Показано, что такие свойства не зависят от масштаба установки и подобны свойствам в термоядерных установках с другой магнитной конфигурацией - стеллараторе и линейной установке.

6. Впервые экспериментальные скейлинги структурных функций (моментов) пристеночной турбулентности объяснены в рамках лог-пуассоновских моделей, описывающих турбулентность с перемежаемостью.

7. Исследовано воздействие приложенных радиальных электрических полей на фрактальную структуру краевой турбулентности в токамаках ТФ-2, ТЕКСТОР, CASTOR. В этих условиях обнаружено изменение локальной фрактальной структуры турбулентности, увеличение беспорядка, подавление корреляций, что в совокупности с уменьшением амплитуды флуктуаций приводит к подавлению радиального переноса плазмы.

8. Впервые показано, что при работе динамического эргодического дивертора свойства краевой турбулентности зависят от частоты тока в винтовых обмотках. По результатам экспериментального исследования работы динамического эргодического дивертора в токамаке HYBTOK-П обнаружено, что существует узкий диапазон частот, при которых в резонансных областях значительно изменяется фрактальная структура турбулентности и связанные с ней корреляции.

9. Получена формула для скейлинга лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом при доминирующем влиянии одномерных филаментарных диссипативных структур в

турбулентном процессе. Такой скейлинг удовлетворительно объясняет экспериментальные результаты, полученные на токамаке Т-10.

10. На основе анализа широкой базы экспериментальных данных впервые получен эмпирический скейлинг супердиффузионного закона поперечного смещения частиц в СОЛ плазме токамака.

Научное и практическое значение работы:

Проведенное автором экспериментальное исследование турбулентности пристеночной плазмы в токамаке Т-10 и других токамаках показало, что аномально высокий поперечный перенос плазмы в СОЛ токамака имеет свойство супердиффузии, связанное с наиболее общими свойствами турбулентности с перемежаемостью, такими как многомасштабная инвариантность и дальние корреляции. Полученный на основе анализа большой базы экспериментальных данных эмпирический скейлинг, характеризующий поперечный перенос плазмы в СОЛ токамака, необходимо учитывать при расчете тепловой нагрузки на диверторные пластины в токамаке-реакторе.

Проведенное автором экспериментальное исследование многомасштабной инвариантности будет способствовать адекватному теоретическому описанию турбулентности краевой плазмы в токамаке.

Полученная автором формула модифицированного скейлинга лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом позволит провести детальные исследования свойств нелинейности турбулентного каскада в краевой плазме токамаке. Скейлинг можно использовать при анализе экспериментальных данных магнитоактивной плазмы, где предполагается доминирующее влияние одномерных филаментарных диссипативных структур, в том числе в космической плазме.

Полученный супердиффузионный закон поперечного смещения частиц в пристеночной плазме токамака может быть использован для ее адекватного теоретического описания уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова.

Компьютерные программы обработки экспериментальных сигналов вейвлет- методами могут быть использованы для исследования турбулентной плазмы в токамаках и других термоядерных установок, а также свойств космической плазмы.

Проведенные автором исследования воздействия электрических и магнитных полей на плазму, при которых изменяются свойства масштабной инвариантности (фрактальной структуры) турбулентности и перенос плазмы будут способствовать выработке новых методов управления турбулентностью плазмы.

Обнаруженное автором частотно-избирательное воздействие магнитных полей в конфигурации динамического эргодического дивертора на плазму, при котором изменяется фрактальная структура краевой турбулентности в токамаке, позволит выработать рекомендации для эффективного управления удержанием в токамаке с ДЭД, в том числе и для токамака-реактора.

Личный вклад автора

Эксперименты в термоядерных установках проводятся большими коллективами. Отдавая должное вкладу большого числа научных сотрудников и специалистов в подготовку и проведение экспериментов, необходимо отметить, что автор принимал непосредственное участие в проектировании и создании измерительных зондовых диагностик, в проведении экспериментов на термоядерных установках в качестве ведущего экспериментатора, им создан пакет компьютерных программ для

обработки экспериментальных данных. Во всех исследованиях, представленных в диссертации, ему принадлежат постановка научной задачи и метода исследований, проведение обработки экспериментальных данных, анализ экспериментальных результатов и их интерпретация.

Достоверность и обоснованность результатов исследований определяется проведением экспериментов в широком диапазоне параметров плазмы, сравнением полученных результатов на различных токамаках (Т-10, ТФ-2, JT-60U, ТЕКСТОР, CASTOR) и системах с иной, чем токамак, магнитной конфигурацией (стеллараторе LHD и линейной установке NAGDIS-II), применением стандартных диагностических методик и признанных методов обработки экспериментальных данных. Обоснованность приводимых выводов базируется на подробном анализе современных экспериментальных и теоретических исследований развитой турбулентности в плазме. Полученные автором результаты прошли апробацию на видных российских и международных форумах, опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных журналах по физике и в книгах.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования низкочастотной турбулентности пристеночной плазмы в токамаке Т-10. Показано, что турбулентные флуктуации характеризуются негауссовской функцией распределения, многомасштабностью, повышенными дальними корреляциями, это приводит к супердиффузии, т.е. аномально большому переносу плазмы поперек удерживающего магнитного поля.

2. Обнаружение свойства многомасштабной инвариантности в пристеночной плазме токамаков Т-10, HYBTOK-II, JT-60U. Определение времен и количественных параметров многомасштабной инвариантности

пристеночной плазмы. Установлено, что это свойство наблюдается также в пристеночной плазме термоядерных установок с иной, чем в токамаке, магнитной конфигурацией - стеллараторе LHD и линейной установке NAGDIS-II.

3. Вывод о том, что краевая турбулентность плазмы в токамаках описывается лог-пуассоновской моделью турбулентности, которая рассматривает случайный анизотропный турбулентный каскад и с наибольшей общностью описывает свойство перемежаемости турбулентных сред. Применимость лог-пуассоновской модели для описания пристеночной турбулентности плазмы продемонстрирована для токамаков разного масштаба, с различной магнитной топологией (лимитерных и диверторного токамаков), а также для стелларатора и линейной установки.

4. Описание свойств турбулентного каскада в пристеночной плазме токамака. Полученные экспериментальные данные о нелинейных свойствах скейлингов моментов (структурных функций) дают основание для описания пристеночной турбулентности как процесса со стохастическим анизотропным турбулентным каскадом.

5. Скейлинг супердиффузионного переноса частиц поперек магнитного поля в турбулентной пристеночной плазме токамака.

6. Обнаружение изменения фрактальной структуры турбулентности плазмы при воздействии электрических полей на плазму в экспериментах на токамаках ТФ-2, TEXTOR, CASTOR.

7.Экспериментальное обнаружение частотно-избирательного

локализованного в пространстве воздействия динамического эргодического дивертора на краевую турбулентность в токамаке HYBTOK-II.

8.Теоретическое выражение для скейлинга структурных функций, полученное впервые в рамках лог-пуассоновской модели турбулентности

в предположении квазиодномерных (нитевидных) диссипативных структур, формируемых в турбулентной плазме с сильным магнитным полем. Скейлинг апробирован и удовлетворительно объясняет

экспериментальные данные токамака Т-10.

Основные положения диссертации содержатся в следующих опубликованных работах:

1. Будаев В.П. Супердиффузия и мультифрактальная статистика турбулентности замагниченной плазмы - В кн.: Пути Ученого. Е.П.Велихов / Под ред. В.П. Смирнова Москва, РНЦ «Курчатовский институт»; 2007, с.64-76.

2. Будаев В.П. Стохастические модели структурной плазменной турбулентности - В кн.: Стохастические модели структурной плазменной турбулентности / Под ред. Королева В.Ю., Скворцовой Н.Н. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова. Фак. выч. математики и кибернетики; 2003, С. 125-147.

3. Budaev V. P. Multi-fractal statistics of edge plasma turbulence in fusion devices. - In : Stochastic models of structural plasma turbulence / edited by V. Yu. Korolev and N.N. Skvortsova.VSP International Science Publishers, 2006, C.l 15-140.

4. Будаев В.П. Обобщенная масштабная инвариантность и лог-пуассоновская статистика турбулентности краевой плазмы в токамаке Т-10 // Физика плазмы. - 2008. -Т. 34. N. 9. -С. 1-18.

5. Будаев В.П. Турбулентный транспорт и шир ЕхВ скорости в пристеночной плазме токамака ТФ-2 // Физика плазмы. -1999. -Т. 25. -С.668-674.

6. Будаев В.П. , Иванов P.C. Определение фрактальных характеристик пристеночной турбулентности в токамаке ТФ-1 // Физика плазмы. - 1991. -Т.17, N.11.-C.1332-1337.

7. Budaev V.P. Scaling properties of intermittent edge plasma turbulence // Physics Letters A.- 2009.- V.373 .- P. 856-861.

8. Budaev V.P., Takamura S., Ohno N. and Masuzaki S. Superdiffusion and multifractal statistics of edge plasma turbulence in fusion devices // Nuclear Fusion.- 2006.- V.46. - P.S181-S191.

9. Budaev V.P., Ohno N., Masuzaki S., Morisaki T., Komori A. and Takamura S. Extended self-similarity of intermittent turbulence in edge magnetized plasmas //Nuclear Fusion.- 2008.-V.48.- P. 024014.

10. Budaev V.P., Pankratov I.M., Takamura S., Ohno N.. Takagi M., Matsuno H., Okamoto M. and Saha S.K. The effect of the rotating helical fields on the plasma edge in the HYBTOK-II Tokamak // Nuclear Fusion.- 2006 .- V.46.- P. S175-S180.

11. Budaev V., Kikuchi Y., Uesugi Y. and Takamura S. Effect of rotating helical magnetic field on the turbulence fractal structure and transport in the tokamak edge plasma // Nuclear Fusion.- 2004.- V.44.- P. S108-S117.

12. Budaev V. P., Savin S., Zelenyi L., Ohno N., Takamura S. and Amata E. Intermittency and extended self-similarity in space and fusion plasma: boundary effects // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2008.- V. 50.- P. 074014.

13. Budaev V., Fuchs G., Ivanov R. and Samm U. Fractal dimensionality

for different transport modes in the turbulent boundary of TEXTOR // Plasma Physics and Controlled Fusioa- 1993.- V.3.- P.429-437.

14. Budaev V.P. Turbulence in magnetized plasmas and financial markets: comparative study of multifractal statistics // Physica A.- 2004.- V.344.- P.299-307.

15. Budaev V.P. Radial electric field dynamics in the edge with ergodization in tokamak TF-2 // Czechoslovak Journal of Physics. - 1999.- V.49.- No. 12.-P.l 13-118.

16. Budaev V.P., Takamura S., Kikuchi Y., Uesugi Y. and Ohno N. Intermittent

structures in the high field side boundary of the HYBTOK-II tokamak // Czechoslovak Journal of Physics. -2003.- V.53. -P. 863-868.

17. Ohno N., Masuzaki S., Miyoshi H., Takamura S., Budaev V. P., Morisaki Т., Ohyabu N. and Komori A. Analysis on Relation Between Magnetic Structure and Bursty Fluctuation in SOL/Divertor Plasmas of LHD // Contrib. Plasma Phys. -2006.- V.46.- No. 7-9.- P. 692 - 697.

18. Budaev V., Kikuchi Y., Toyoda M., Uesugi Y.and Takamura S. Effect of rotating helical magnetic field on the turbulence fractal structure in the tokamak edge // Plasma Fusion Res. Ser. - 2002.- V.5.- P. 418-422.

19. Budaev V., Kikuchi Y., Toyoda M., Uesugi Y. and Takamura S. Effect of rotating helical magnetic field on the turbulence fractal structure and transport in the tokamak edge // Journal of Nuclear Materials. -2003. -V. 331-316,- P. 13091313.

20. Kikuchi Y., Budaev V. P., Toyoda M., Uesugi Y., Takamura S. Control of Rotating Helical Magnetic Field Penetration into Tokamak Plasmas using Electrode Biasing in HYBTOK-II // Journal of Nuclear Materials. -2002.-V. 313-316,-P. 1272-1276.

21. Budaev V. P., Ohno N., Takamura S., Masuzaki S., Komori A., Morisaki T. Extended Self-Similarity in Edge Plasma Turbulence of Fusion Devices // Contrib. Plasma Phys. -2008.- V.48.- No. 1-3.- P.42-47,

22. Ohno N., Budaev V. P., Furuta K., Miyoshi H., Takamura S. Reconstruction of Velocity Distribution of Density Bursts by Wavelet Analysis in the Linear Divertor Simulator NAGDIS-II // Contrib. Plasma Phys. -2004.-V.44.-P. 222-227.

23. Будаев В.П., Химченко JI.H. О фрактальной структуре осажденных пленок в токамаке // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -2007. -Т.131.-№ 4. - С. 711-728.

24. Budaev V.P., Khimchenko L.N. Fractal growth of deposited films in tokamaks // Physica A. -2007. -V.382.- P. 359-377 .

25. Budaev V. P., Masuzaki S., Morisaki Т., Ohno N., Asakura N., Takamura S., Yamada H.and Komori A. Scaling Laws of Intermittent Plasma Turbulence in Edge of Fusion Devices// Plasma and Fusion Research.-2008.-V. 3,- P. S1019-6.

26. Zajac J., Budaev V.P., Dufkova E., Nanobashvili S.( Weinzettl V. Multifractal analysis of tokamak plasma turbulence in biasing experiments on Castor tokamak // Czechoslovak Journal of Physics. - 2005. -V. 55.- No. 12. - P. 1615-1621.

27. Budaev V.P., Bogomolov L.M., Borovsky B.V., Ivanov R.S. Cross-field particle transport in the edge plasma of tokamak TF-1// Journal of Nuclear Materials.- 1990.- V.176 & 177. - P.705-710.

28. Budaev V.P., Ivanov R.S. Correlative properties of edge plasma turbulence in tokamak TV-1 // Journal of Nuclear Materials.- 1989.- V. 162-164.- P. 322326.

29. Будаев В.П., Химченко JI.H. Фрактальная нано- и микроструктура осажденных пленок в термоядерных установках // Вопросы атомной науки и техники. Серия Термоядерной синтез. -2008.- Вып.З. -С.34-61.

30. Savin S., Amata Е., Zelenyi L., Budaev V., Consolini G., Treumann R., Lucek E., Safrankova J., Nemecek Z., Khotyaintsev Y., Andre M., Buechner J., Alleyne H., Song P., Blecki J., Rauch J.L., Romanov S., Klimov S., Skalsky A. High kinetic energy jets in the Earth's magnetosheath: Implications for plasma dynamics and anomalous transport // Письма в ЖЭТФ. -2008. -T.87. - Вып 11. - С. 691-697.

31. Budaev V.P., Savin S.P., Zelenyi L. M., Takamura S., Ohno N.. Shevyrev N. Intermittency in laboratory and space plasmas: comparative study of multifractal statistics // Proceedings 33rd European Physical Society Conference on Plasma Physics, Roma, Italy, June 19-23,2006. Pl-064.

32. Budaev V.P., Dufkova E., Nanobashvili S., Weinzettl V., Zajac J. Multifractal analysis of tokamak plasma turbulence in biasing experiments //

32nd EPS Conference on Plasma Phys. Tarragona, 27 June - 1 July 2005 ECA.-2005.-Vol.29C.- P-5.019.

33. Будаев В.П. Лог-Пуассоновская модель турбулентности периферийной плазмы в термоядерных установках // Тезисы докладов XXXV Международной Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС.11-15 февраля. 2008. С.12.

34. Budaev V.P., Grashin S.A., Kimev G.S., Kuteev B.V., Kuznetsov Yu.K., Guimaraes-Filho Z.O., Nascimento I.C., Caldas I. L., Galvao R.M.O., Gryaznevich M.P., Van Oost G.The Characterization of Edge Plasma Intermittency in T-10 and TCABR Tokamaks // Proc. 34th EPS Conference on Plasma Phys. Warsaw, 2 - 6 July 2007 ECA Vol.31F, P-1.088.

35. Ohno N., Masuzaki S., Budaev V. P., Miyoshi H., Takamura S., Morisaki Т., Ohyabu N. and Komori A. Bursty Fluctuation Characteristics in SOL/Divertor Plasmas of Large Helical Device // Proc. 21st IAEA Fusion Energy Conference, Chengdu, China. 2006. IAEA-CN-149/EX/P4-20.P1-9.

36. Budaev V.P., Takamura S., Ohno N. Waiting-Time Multifractal Statistics of Edge Plasma Turbulence in the T-10 Tokamak and NAGDIS-II Linear Device // Proc. 32nd EPS Conference on Plasma Phys. Tarragona, 27 June - 1 July. 2005. ECA. -V.29C,-P4-050.

37. Budaev V.P., Ohno N., Takamura S., Masuzaki S. Extended Self-Similarity in Edge Plasma Turbulence of Fusion Devices // Proc. 11th International Workshop on Plasma Edge Theory in Fusion Devices, Takayama, Japan, 2007.P37.

38. Budaev V.P. The log-Poisson model of edge plasma turbulence in fusion devices // Proc. 35th EPS Conference on Plasma Physics 10th International Workshop on Fast Ignition of Fusion Targets. Hersonissos, Greece. -2008 -P5.019.

39. Budaev V.P., Ivanov R. S. Turbulence -Induced transport in tokamak TV-1 // Proc. 18th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics . Budapest. 1985. V9FP1. P.303.

40. Ohno N.. Furuta K, Myoshi H, Takamura S., V.P. Budaev. Experimental observations and statistical analysis of density bursta in the linear divertor simulator NAGDIS-II // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys., St. Petersburg. 2003. ECA Vol. 27A, P-2.154.

41. Budaev V.P., Takamura S., Ohno N., Komori A., Masuzaki S., Kirnev G.S., Grashin S.A. Edge Plasma Turbulence in Fusion Devices:Bursty Behavior and Fractal Properties // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg. 2003. ECA Vol. 27A, P-3.174.

42.Будаев В.П., Вершков B.A., Грашин C.A., Кирнев Г.С., Солдатов С.В., Химченко JI.H., Шелухин Д.А.Супердиффузия и фрактальная структура турбулентности в токамаке. // Тезисы докладов XXVIII Международной Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС. 19-23 февраля. 2001. С. 1

43. Budaev V.P., V.A.Vershkov, Bogomolov L.M., Borovski B.V., Dreval V.V., Sychev V.N., Soldatov S.V. and Dementiev G.N. Stochastic structure of edge turbulence in tokamaks // Proc. 22nd European Physical Society Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Bornemouth. 1995. V 19c. Parti. P.I-277.

44. Budaev V.P., Ivanov R.S., Bogomolov L.M. Asymmetry of edge plasma turbulence in biasing experiments on tokamak TF-2 II Proceedings 21-st EPS Conf. Controlled Fusion and Plasma. Montpellier. 1994. V18B.Partl. P. 1-170.

45. Budaev V.P. The ExB Velocity shear and turbulent transport in the edge of tokamak TF-2 // Proc. International Congress on Plasma Physics & 25th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Praha. 1998. B009.

46. Budaev V.P. Poloidal dependence of the ExB shearing rate and turbulent transport in the edge of tokamak TF-2 II Proceedings of the Workshop on the role of electric fields in plasma confinement and exhaust. Prague. 1998, P. 121.

47. Budaev V.P., Takamura S., Kikuchi Y., Uesugi Y., Ohno N. Intermittent structures in the high field side boundary of the HYBTOK-II tokamak // Proceedings of the Workshop Electric Fields, Structures and Relaxation in Edge Plasmas The Satellite Meeting of the 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics St. Petersburg, Russia. 2003. P.863.

48. Budaev V.P., Pankratov I.M., Takamura S., Ohno N., Takagi M., Matsuno H., Okamoto M. and Saha S.K. Plasma Response on Penetration of External Rotating Helical Magnetic Field in HYBTOK-II Tokamak Edge Plasma.// Proc. 33rd EPS Conference on Plasma Phys. Rome.2006. ECA Vol.301. P-4.109.

49. Budaev V. P., Kikuchi Y., Toyoda M., Uesugi Y„ Takamura S. Effect of Rotating Helical Magnetic Field on the Turbulence Fractal Structure and Transport in the Tokamak Edge Plasma // Proc. 15th International Conference Plasma Surface Interactions in Controlled Fusion Devices. Gifu, Japan. 2002. P3-57.

50. Kikuchi Y., Budaev V. P., Uesugi Y., Toyoda M., Takamura S. Dynamic Behaviors of Tokamak Plasma Induced by Externally Rotating Helical Magnetic Field // Proceedings of 29th EPS Conference on Plasma Physics and Controlled Fusion. Montreux, Switzerland. 2002. -Vol. 26B. P. 5-071 .

51. Kikuchi Y., Budaev V. P., Toyoda M., Uesugi Y., Takamura S. Experimental Investigation of Rotating Helical Magnetic Field Penetration into Tokamak Plasmas on HYBTOK-II // Dynamic Ergodic Divertor Workshop, Juelich, Germany. Book of Abstarcts. 2002. PI6.

52. Ohno N., Budaev V. P., Tanaka T., Kikuchi Y., Uesugi Y., Takamura S. Intermittency Studies in Magnetically Confined Plasma Devices // Proc. 12th International Toki Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion. Toki, Japan 2001. PI-25 .

53. Kikuchi Y., Budaev V. P., Toyoda M., Uesugi Y., Takamura S. Change of Rotating Helical Field Penetration into Tokamak Plasmas due to Local Plasma Rotation // Proc. 12th International Toki Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion, Toki. 2001. PI-31 .

54. Kikuchi Y., Uesugi Y., Takamura S., Budaev V.P. Dynamic Responses of Tokamak Plasmas Induced by Externally Applied Rotating Helical Magnetic Field in Dynamic Ergodic Divertor // Proc. 44th APS Annual Meeting of the Division of Plasma Physics. Orlando. 2002. FP1-86.

55. Budaev V.P., Takamura S., Kikuchi Y., Uesugi Y., Ohno N. Intermittent Structures in the High Field Side Boundary of the HYBTOK-II Tokamak // Proceedings of 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys., St. Petersburg, 7-11 July 2003. -2003. ECA Vol. 27A, - P-3.173.

Подписано в печать 10.09.2009. Формат 60x90/16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,5 Тираж 70. Заказ 80

Отпечатано в РНЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Современное состояние исследования проблемы.

1.1. Экспериментальное исследование низкочастотной турбулентности и турбулентного переноса в пристеночной плазме токамаков.

1.2. Теоретическое рассмотрение сильной турбулентности плазмы.

1.3. Методы воздействия на свойства турбулентности.

Выводы к Главе 1.

ГЛАВА 2. Экспериментальные данные и методы их обработки.

2.1. Основные технические параметры экспериментальных установок.

2.2. Сбор экспериментальных данных.

2.3. Численный анализ измеренных сигналов.

2.4. Метод структурных функций.

2.5. Метод мультифрактального анализа.

2.6. Скейлинг структурной функции и спектр сингулярностей.

Выводы к Главе 2.

ГЛАВА 3. Обобщенная масштабная инвариантность турбулентности.

3.1. Спектральные и корреляционные свойства.

3.2. Статистические свойства и степенные законы.

3.3 Мультифрактальность пристеночной турбулентности.

3.4. Обобщенная масштабная инвариантность.

Выводы к Главе 3.

ГЛАВА 4. Турбулентный каскад в пристеночной плазме.

4.1. Скейлинги турбулентного каскада.

4.2.Модифицированный скейлинг лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом.

4.3. Размерность диссипативных структур.

4.4 Применимость модели Ирошникова -Кречнана.

Выводы к Главе 4.

Глава 5. Турбулентный перенос в пристеночной плазме.

5.1 Структура и статистические свойства диффузии плазмы

5.2. Скейлинг турбулентного переноса плазмы.

Выводы к Главе 5.

ГЛАВА 6. Воздействие на структуру турбулентности и турбулентный перенос в плазме.

6.1. Воздействие радиального электрического поля.

6.2. Воздействие винтовых магнитных полей в конфигурации динамического эргодического дивертора.

Выводы к Главе 6.

Общая характеристика работы.

В Диссертации представлено исследование свойств низкочастотной турбулентности плазмы в пристеночной зоне токамака. В экспериментах на восьми термоядерных установках получены данные о спектральных и статистических характеристиках турбулентных пульсаций плотности, локальных электрических полей и дрейфовых потоков плазмы, которые определяют аномально высокие потери плазмы из магнитной ловушки токамака. Описано обнаруженное свойство многомасштабной инвариантности турбулентности пристеночной плазмы. Рассмотрены полуэмпирические каскадные модели турбулентности, объясняющие экспериментальные наблюдения. Получены скейлинги турбулентного переноса плазмы. Проведены эксперименты по управлению свойствами и структурой турбулентности пристеночной плазмы при воздействии на плазму электрических и магнитных полей.

Актуальность темы.

Исследования по проблеме управляемого термоядерного синтеза (УТС) являются важнейшим направлением современной науки. Изучение свойств турбулентности плазмы и связанных с ней аномальной диффузии плазмы связано с поиском путей повышения эффективности и надежности работы термоядерного реактора. Исследование турбулентности плазмы представляет интерес для выяснения физических механизмов астрофизических явлений, в том числе в магнитосфере Земли.

Наиболее продвинутой концепцией для решения проблемы УТС является токамак — система с магнитным удержанием горячей плазмы, предложенная в работах И. Е. Тамма и А.Д. Сахарова [1] в СССР. В экспериментах на токамаках [2,3,4] достигнут существенный прогресс, что позволило приступить к строительству демонстрационного термоядерного реактора «ИТЭР» в рамках международного сотрудничества с участием России [5].

Несмотря на значительный прогресс, достигнутый за более чем полувековой период исследований по проблеме УТС, все еще существуют серьезные вопросы, которые необходимо решить на пути строительства термоядерного реактора. К таким проблемам относятся повышенные потери плазмы из магнитной ловушки, способные значительно ухудшить эффективность удержания, в том числе и в токамаке-реакторе. Уже первые эксперименты в установках с магнитной термоизоляцией высокотемпературной плазмы выявили эффект аномальной диффузии плазмы поперек магнитного поля, что приводит к повышенным тепловым нагрузкам на элементы первой стенки (лимитеры и диверторные пластины), контактирующие с плазмой. Вынос плазмы в таком процессе может быть неоднороден в пространстве и во времени. Оценки показывают, что в токамаке-реакторе вследствие аномальной поперечной диффузии плазмы уровень тепловых нагрузок на элементы первой стенки может приводить к их эрозии и разрушению. Несмотря на значительный прогресс, достигнутый в исследованиях аномальной диффузии в токамаке, все еще не удается предложить теоретическую модель, которая бы объяснила все имеющиеся экспериментальные результаты и смогла с необходимой детальностью предсказать условия удержания плазмы в токамаке-реакторе. Эксперименты на токамаках показывают, что свойства аномальной диффузии плазмы во многом определяются статистическими характеристиками и дальним порядком корреляций в пристеночной турбулентности. Поэтому необходимо из эксперимента определить статистические характеристики турбулентности пристеночной плазмы и связанные с ней эффекты удержания плазмы в токамаке.

Предположение о том, что усиленная диффузия плазмы вызвана хаотическими колебаниями электрического поля вследствие развития плазменных неустойчивостей было впервые сделано Бомом. С тех пор были предприняты многочисленные экспериментальные и теоретические исследования турбулентности плазмы в токамаках и других системах с магнитным удержанием с целью описать аномальную диффузию плазмы. Эта задача оказалась чрезвычайно сложной, даже используя значительные достижения в исследовании гидродинамической турбулентности обычной жидкости. Турбулентность плазмы отличается от гидродинамической турбулентности тем, что в плазме наряду с взаимодействующими вихрями (как в гидродинамической турбулентности) могут возбуждаться волны - квазиупругие колебания, вызванные движением в магнитных и электрических полях. В отличие от гидродинамических потоков, в плазме могут сосуществовать несколько механизмов развития колебаний (неустойчивостей) и их затухания (диссипации). В установках с магнитным удержанием свойства турбулентности плазмы во многом определяются анизотропией, вносимой сильным магнитным полем. Движение турбулентной плазмы в магнитном поле более сложное, чем гидродинамическая турбулентность обычной жидкости.

В теории турбулентности были развиты мощные аналитические методы, такие как квазилинейное приближение, теория слабой турбулентности плазмы или приближение прямого взаимодействия, методы ренормгрупп. Свойства турбулентности плазмы зависят от уровня нелинейного взаимодействия волн. Теоретическое рассмотрение слабой турбулентности плазмы в рамках квазилинейного приближения в кинетике было развито в работах В.А. Веденова, Е.П. Велихова, Р.З. Сагдеева [6], Б.Б. Кадомцева [7] и др. К сожалению, в низкочастотной дрейфово-волновой турбулентности нелинейное взаимодействие плазменных колебаний начинает играть существенную роль уже при не очень больших амплитудах, и квазилинейный метод становится неприменим. 6

Нелинейное взаимодействие дрейфовых волн приводит к состоянию сильной турбулентности. В особенности это наблюдается в условиях периферийной зоны плазменного разряда токамака - эту зону называют пристеночной или краевой плазмой. В этой зоне геометрические границы плазмы формируют условия, когда движение волн ограничено, отдельные волновые пакеты успевают длительное время взаимодействовать со своими соседями. В результате процесс приобретает свойства, характерные для гидродинамической турбулентности, в особенности в погранслоях, где наблюдаются перемежаемость, дальние корреляции. Заметим, что такие же свойства проявляются также и в термоядерных установках с иной, чем в токамаке, магнитной конфигурацией - в стеллараторах и линейных установках. В них наблюдаются подобные свойства пристеночной турбулентности. В рамках аналитических моделей теоретическое описание всех характеристик пристеночной турбулентности плазмы (например, дальних корреляций) сталкивается с серьезными трудностями ввиду необходимости рассматривать задачу в большом диапазоне масштабов пространства и времени. Современные аналитические модели все еще не достигают такой же степени детальности и точности как полуэмпирические каскадные модели, основанные на статистических методах. Каскадные модели, с успехом применяемые для описания гидродинамической турбулентности, содержат параметры, которые необходимо определить из эксперимента.

Исследование турбулентности плазмы важно также с точки зрения развития общих представлений о сложных системах с большим числом степеней свободы и с такими важными свойствами как самоподобие и самоорганизация. Свойства самоподобия связаны с понятием масштабной инвариантности, которая есть проявление особых симметрий процесса или объекта. Понятие симметрии является фундаментальным в концепции физического описания природных явлений и процессов. Законы сохранения энергии, импульса и момента являются следствием трансляционных симметрий — инвариантности физических процессов относительно сдвигов во времени, в пространстве и вращения в пространстве, соответственно. Рассмотрение более сложных трансляционных симметрий 7 обобщенного пространства в квантовой физике позволило объяснить разнообразие элементарных частиц и законы их взаимодействий. Кроме трансляционных симметрий существует широкий класс так называемых дилатационных симметрий, описывающих масштабную инвариантность. Масштабная инвариантность есть свойство неизменности физических законов при изменении всех расстояний и промежутков времени в одинаковое число раз, т.е. масштабном преобразовании г—>Хт, 1—Масштабные преобразования выявляют эффекты изменения единицы длины (или времени, или одновременно длины и времени), которая, в общем случае, может произвольно меняться. Понятие масштабной инвариантности применяется в физике для описания гравитации, критических явлений, фазовых переходов, бифуркаций состояния сложных систем и др.

Масштабная инвариантность — одно из основных свойств турбулентности. Развитая турбулентность характеризуется большим числом степеней свободы и нелинейно взаимодействующих мод, многомасштабной структурой и случайными пульсациями скоростей и полей. Поэтому для ее описания используются методы статистической физики и теории вероятностей. В 1941 г. А.Н. Колмогоров на основе рассмотрения масштабной инвариантности турбулентности и её статистических свойств создал каскадную теорию однородной изотропной турбулентности, названную К41 [8]. В колмогоровской модели К41 турбулентные вихри каждого масштаба однородно заполняют все пространство. Теория К41 феноменологическая, однако, она удовлетворительно описала многие гидродинамические эксперименты в широком диапазоне масштабов, что на сегодняшний день не достижимо в рамках существующих аналитических моделей. Эта основополагающая концепция рассмотрения масштабной инвариантности турбулентности была положена в основу последующих теорий, описывающих турбулентность.

Структура турбулентности может быть неоднородной, и в этом случае ее свойства описываются каскадными моделями, более сложными, чем К41. Локальное нарушение однородности турбулентности, в которой активные области 8 сосуществуют с пассивными (квазиламинарными) называется перемежаемостью. Перемежаемость наблюдается в гидродинамических турбулентных течениях нейтральных сред и турбулентной замагниченной плазме. В турбулентной пристеночной плазме токамака и других термоядерных установок перемежаемость наблюдается в виде турбулентных пульсаций большой амплитуды. Законы масштабного подобия (скейлинги) такой турбулентности с перемежаемостью описываются параметрами, зависящими от масштаба (многомасштабность). Из теоретического рассмотрения следует, что свойство перемежаемости турбулентности связано со скрытыми статистическими симметриями (симметриями масштабной инвариантности) динамических уравнений, описывающих движение, и необходимостью установить масштабную инвариантность в ограниченном пространстве пристеночной зоны. Случайные пульсации скорости и других параметров турбулентного потока в пристеночной плазме токамака обладают негауссовской статистикой, то есть не описываются классическим нормальным законом диффузии. Из самых общих теоретических представлений динамика такого процесса описывается степенными законами распределения, многомасштабностью, то есть спектром характерных масштабов. Дальние корреляции, формируемые свойством многомасштабной инвариантности и негауссовой статистикой, вызывают повышенный турбулентный перенос — аномальную диффузию. Аналитически или численно решить задачу о динамике турбулентной плазмы (в трехмерной геометрии) и определить скейлинги турбулентности с требуемой детальностью на больших временных масштабах (например, периоде работы токамака-реактора) в настоящее время не удается. Следовательно, необходимо из эксперимента определить статистические характеристики турбулентности, связанные с масштабной инвариантностью, и определить скейлинги - степенные законы. Это позволит далее развивать представления о физических свойствах турбулентности плазмы и даст возможность качественно и количественно, с большей детальностью, чем в настоящее время, описать процессы переноса в пристеночной плазме токамака.

Самосогласованные профили и самоорганизация плазмы в токамаке во многом определяются параметрами турбулентности плазмы, в том числе и в пристеночной области разряда. Исследования Н-режимов с улучшенным удержанием в токамаках показало, что условия Ь-Н перехода существенно связаны со свойствами турбулентности на периферии разряда. Поэтому исследование турбулентности важно для выработки предложений режимов работы токамака-реактора. Для такой задачи особую ценность представляют эксперименты, направленные на управление структурой турбулентности в токамаке с помощью воздействия электрических и магнитных полей, формируемых дополнительными электродами и винтовыми обмотками.

Задачей диссертационной работы является экспериментальное изучение и описание низкочастотной турбулентности и турбулентного переноса частиц в пристеночной плазме токамака.

В диссертационной работе рассматриваются три основных направления исследований:

1. Исследование статистических свойств турбулентности и переноса частиц плазмы поперек магнитного поля в пристеночной плазме токамака.

2. Исследование свойств масштабной инвариантности турбулентности пристеночной плазмы токамака и связанной с такими свойствами аномальной диффузии. Возможность воздействовать на масштабную инвариантность и турбулентный транспорт.

3. Анализ экспериментальных данных в рамках существующих моделей развитой турбулентности и теоретическое исследование свойств турбулентного каскада в турбулентной пристеночной плазме.

Научная новизна. Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем.

1. Проведено экспериментальное исследование масштабной инвариантности и статистических свойств турбулентности пристеночной плазмы в токамаке Т-10 (Россия). Найдено, что функция распределения флуктуаций в COJI имеет негауссову форму с «тяжелыми» хвостами, турбулентный перенос характеризуется перемежаемостью и дальними корреляциями. Такие характеристики обнаружены в пристеночной плазме и других токамаков -ТФ-2, HYBTOK-II, JT-60U, CASTOR, ТЕКСТОР.

2. Впервые обнаружено свойство обобщенной масштабной инвариантности пристеночной турбулентности плазмы на широкой базе экспериментальных данных в токамаках разного масштаба - Т-10, HYBTOK-II, JT-60U. Общность свойства многомасштабной инвариантности краевой замагниченной высокотемпературной плазмы подтверждена также исследованиями на стеллараторе LHD и линейной плазменной установке NAGDIS-II.

3. Проведены измерения радиальных профилей параметров, характеризующих многомасштабную инвариантность турбулентности пристеночной плазмы в токамаке: рассчитаны мультифрактальные спектры, скейлинги моментов функции распределения турбулентных флуктуаций.

4. Установлены времена, характеризующие многомасштабную инвариантность пристеночной турбулентности. Такие времена почти на 2 порядка больше времен, на которых наблюдается инерционный интервал при традиционном рассмотрении в рамках колмогоровской теории турбулентности.

5. Проведено сравнение свойств масштабной инвариантности в различных лимитерных и диверторном токамаках. Показано, что такие свойства не зависят от масштаба установки и подобны свойствам в термоядерных

11 установках с другой магнитной конфигурацией — стеллараторе и линейной установке.

6. Впервые экспериментальные скейлинги структурных функций (моментов) пристеночной турбулентности объяснены в рамках лог-пуассоновских моделей, описывающих турбулентность с перемежаемостью.

7. Исследовано воздействие приложенных радиальных электрических полей на фрактальную структуру краевой турбулентности в токамаках ТФ-2, ТЕКСТОР, CASTOR. В этих условиях обнаружено изменение локальной фрактальной структуры турбулентности, увеличение беспорядка, подавление корреляций, что в совокупности с уменьшением амплитуды флуктуаций приводит к подавлению радиального переноса плазмы.

8. Впервые показано, что при работе динамического эргодического дивертора свойства краевой турбулентности зависят от частоты тока в винтовых обмотках. По результатам экспериментального исследования работы динамического эргодического дивертора в токамаке HYBTOK-II обнаружено, что существует узкий диапазон частот, при которых в резонансных областях значительно изменяется фрактальная структура турбулентности, связанные с ней корреляции и транспорт плазмы.

9. Получена формула для скейлинга лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом при доминирующем влиянии одномерных филаментарных диссипативных структур в турбулентном процессе. Такой скейлинг удовлетворительно объясняет экспериментальные результаты, полученные на токамаке Т-10.

10. На основе анализа широкой базы экспериментальных данных впервые получен эмпирический скейлинг супердиффузионного закона поперечного смещения частиц в COJI плазме токамака.

Научное и практическое значение работы:

Проведенное автором экспериментальное исследование турбулентности пристеночной плазмы в токамаке Т-10 и других токамаках показало, что аномально высокий поперечный перенос плазмы в СОЛ токамака имеет свойство супердиффузии, связанное с наиболее общими свойствами турбулентности с перемежаемостью, такими как многомасштабная инвариантность и дальние корреляции. Полученный на основе анализа большой базы экспериментальных данных эмпирический скейлинг, характеризующий поперечный перенос плазмы в СОЛ токамака, необходимо учитывать при расчете тепловой нагрузки на диверторные пластины в токамаке-реакторе.

Проведенное автором экспериментальное исследование многомасштабной инвариантности будет способствовать адекватному теоретическому описанию турбулентности краевой плазмы в токамаке.

Полученная автором формула модифицированного скейлинга лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом позволит провести детальные исследования свойств нелинейности турбулентного каскада в краевой плазме токамаке. Скейлинг можно использовать при анализе экспериментальных данных магнитоактивной плазмы, где предполагается доминирующее влияние одномерных филаментарных диссипативных структур, в том числе в космической плазме.

Полученный супердиффузионный закон поперечного смещения частиц в пристеночной плазме токамака может быть использован для ее адекватного теоретического описания уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова.

Компьютерные программы обработки экспериментальных сигналов вейвлет- методами могут быть использованы для исследования турбулентной плазмы в токамаках и других термоядерных установок, а также космической плазмы.

Проведенные автором исследования воздействия электрических и магнитных полей на плазму, при которых изменяются свойства масштабной инвариантности (фрактальной структуры) турбулентности и перенос плазмы будут способствовать выработке новых методов управления турбулентностью плазмы.

Обнаруженное автором частотно-избирательное воздействие магнитных полей в конфигурации динамического эргодического дивертора на плазму, при котором изменяется фрактальная структура краевой турбулентности в токамаке, позволит выработать рекомендации для эффективного управления удержанием в токамаке с динамическим эргодическим дивертором, в том числе и для токамака-реактора.

Личный вклад автора

Эксперименты в термоядерных установках проводятся большими коллективами. Отдавая должное вкладу большого числа научных сотрудников и специалистов в подготовку и проведение экспериментов, необходимо отметить, что автор принимал непосредственное участие в проектировании и создании измерительных зондовых диагностик, в проведении экспериментов на термоядерных установках в качестве ведущего экспериментатора, им создан пакет компьютерных программ для обработки экспериментальных данных. Во всех исследованиях, представленных в диссертации, ему принадлежат постановка научной задачи и метода исследований, проведение обработки экспериментальных данных, анализ экспериментальных результатов и их интерпретация.

Достоверность и обоснованность результатов исследований определяется проведением экспериментов в широком диапазоне параметров плазмы, сравнением полученных результатов на различных токамаках (Т-10, ТФ-2, JT-60U, ТЕКСТОР, CASTOR) и системах с иной, чем токамак, магнитной конфигурацией (стеллараторе LHD и линейной установке NAGDIS-II),

14 применением стандартных диагностических методик и признанных методов обработки экспериментальных данных. Обоснованность приводимых выводов базируется на подробном анализе современных экспериментальных и теоретических исследований развитой турбулентности в плазме. Полученные автором результаты прошли апробацию на видных российских и международных форумах, опубликованы в ведущих отечественных и зарубежных журналах по физике и в книгах.

Крупное научное достижение. Разработанный автором на основе использования каскадных теорий турбулентности метод измерения скейлингов турбулентного транспорта в токамаках, а также пионерские измерения свойств многомасштабной инвариантности на токамаке Т-10 являются крупными научными достижениями в физике плазмы токамаков. К этим достижениям относится разработанный автором новый подход к пониманию природы пристеночной турбулентности плазмы в сильном магнитном поле, при котором рассматривается доминирующая роль квазиодномерных (нитеобразных) диссипативных плазменных структур в формировании статистической неоднородности турбулентности.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты исследования низкочастотной турбулентности пристеночной плазмы в токамаке Т-10. Показано, что турбулентные флуктуации характеризуются негауссовской функцией распределения, многомасштабностью, повышенными дальними корреляциями, это приводит к супердиффузии, т.е. аномально большому переносу плазмы поперек удерживающего магнитного поля.

2. Обнаружение свойства многомасштабной инвариантности в пристеночной плазме токамаков Т-10, НУВТОК-П, 1Т-6011. Определение времен и количественных параметров многомасштабной инвариантности пристеночной плазмы. Установлено, что это свойство наблюдается также в пристеночной плазме термоядерных установок с иной, чем в токамаке, магнитной конфигурацией - стеллараторе LHD и линейной установке NAGDIS-II.

3. Вывод о том, что краевая турбулентность плазмы в токамаках описывается лог-пуассоновской моделью турбулентности, которая рассматривает случайный анизотропный турбулентный каскад и с наибольшей общностью описывает свойство перемежаемости турбулентных сред. Применимость лог-пуассоновской модели для описания пристеночной турбулентности плазмы продемонстрирована для токамаков разного масштаба, с различной магнитной топологией (лимитерных и диверторного токамаков), а также для стелларатора и линейной установки.

4. Описание свойств турбулентного каскада в пристеночной плазме токамака. Полученные экспериментальные данные о нелинейных свойствах скейлингов моментов (структурных функций) дают основание для описания пристеночной турбулентности как процесса со стохастическим анизотропным турбулентным каскадом.

5. Скейлинг супердиффузионного переноса частиц поперек магнитного поля в турбулентной пристеночной плазме токамака.

6. Обнаружение изменения фрактальной структуры турбулентности плазмы при воздействии электрических полей на плазму в экспериментах на токамаках ТФ-2, TEXTOR, CASTOR.

7.Экспериментальное обнаружение частотно-избирательного локализованного в пространстве воздействия динамического эргодического дивертора на краевую турбулентность в токамаке HYBTOK-II.

8.Теоретическое выражение для скейлинга структурных функций, полученное впервые в рамках лог-пуассоновской модели турбулентности в предположении квазиодномерных (нитевидных) диссипативных структур, формируемых в турбулентной плазме с сильным магнитным полем. Скейлинг апробирован и удовлетворительно объясняет экспериментальные данные токамака Т-10.

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения.

Выводы к Главе 6.

1 .Исследовано воздействие радиальных электрических полей на пристеночную плазму в токамаках ТФ-2, TEXTOR, CASTOR. В этих экспериментах впервые обнаружено изменение фрактальной структуры турбулентности, увеличение беспорядка, подавление корреляций, что в совокупности с уменьшением амплитуды флуктуации приводит к уменьшению радиального переноса плазмы. 2.Впервые показано, что при работе динамического эргодического дивертора свойства краевой турбулентности зависят от частоты тока в винтовых обмотках ДЭД. Применение методов мультифрактального анализа с использованием вейвлет методов позволило выявить изменение фрактальных свойств -масштабной инвариантности. В экспериментальном исследовании работы динамического эргодического дивертора в токамаке HYBTOK-П впервые обнаружено, что существует узкий диапазон частот, при которых в локализованных пространственных областях значительно изменяется фрактальная структура турбулентности и связанные с ней корреляции. Показано, что результаты экспериментов с ДЭД объясняются в рамках концепции управления хаосом фазовым контролем процессов диссипации.

3. Основной вывод проведенных исследований: фрактальная структура и свойства масштабной инвариантности низкочастотной турбулентности пристеночной плазмы в токамаке могут изменяться под воздействием радиальных электрических полей и в экспериментах с динамическим эргодическим дивертором. Это имеет практическое значение для выработки рекомендаций по эффективному управлению удержанием плазмы в токамаке, в том числе и для токамака-реактора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В Диссертации получены следующие основные научные результаты:

1. Проведены экспериментальные исследования масштабной инвариантности и статистических свойств низкочастотной турбулентности пристеночной плазмы в токамаках Т-10, ТФ-2, HYBTOK-П, TEXTOR, JT-60U, CASTOR. Функция распределения флуктуаций пристеночной плазмы токамака имеет негауссову форму, турбулентный перенос характеризуется перемежаемостью и дальними корреляциями.

2. Установлено, что пристеночная турбулентность плазмы в токамаке обладает свойством многомасштабной инвариантности. Общность свойства многомасштабной (обобщенной) инвариантности краевой замагниченной высокотемпературной плазмы подтверждено также исследованиями пристеночной плазмы на стеллараторе LHD и линейной плазменной установке NAGDIS-II.

3. Получены скейлинги, характеризующие многомасштабную инвариантность низкочастотной турбулентности пристеночной плазмы в токамаке. Установлены времена, характеризующие свойство многомасштабной инвариантности.

4. Экспериментальные скейлинги пристеночной турбулентности объяснены в рамках лог-пуассоновской модели, описывающей турбулентность с перемежаемостью. Получена формула скейлинга лог-пуассоновской модели с анизотропным турбулентным каскадом при доминирующем влиянии одномерных филаментарных диссипативных структур в турбулентном процессе. Такой скейлинг удовлетворительно объясняет экспериментальные результаты.

5. Получен эмпирический скейлинг супердиффузионного закона поперечного смещения частиц со временем (Ьх2) ос т а с показателем, достигающим величины а к 1,7 в СОЛ плазме токамака.

6. Исследовано воздействие электрических полей и винтовых магнитных полей в конфигурации динамического эргодического дивертора на краевую плазму

220 токамака. Обнаружено изменение фрактальной структуры краевой турбулентности в результате такого воздействия. Такое изменение приводит к локальным изменениям корреляций и радиального переноса в краевой плазме.

7. В экспериментальном исследовании работы динамического эргодического дивертора в токамаке НУВТОК-П обнаружено, что существует узкий диапазон частот влияния ДЭД на плазму, при которых в резонансных областях значительно изменяется фрактальная структура турбулентности.

По результатам проведенного в диссертационной работе исследования можно сделать следующие выводы:

1. Аномально высокий поперечный перенос пристеночной плазмы в СОЛ токамака имеет свойство супердиффузии, связанное с наиболее общими свойствами турбулентности с перемежаемостью, такими как многомасштабная инвариантность и дальние корреляции. Полученный на основе анализа большой базы экспериментальных данных скейлинг, характеризующий поперечный перенос плазмы в СОЛ токамака, необходимо применять при расчете тепловой нагрузки на материальные элементы первой стенки в токамаке-реакторе.

2. Полученная формула модифицированного скейлинга лог-пуассоновской модели позволяет провести детальные исследования свойств турбулентности пристеночной плазмы токамаке. Этот скейлинг можно использовать для анализа и интерпретации экспериментальных данных, полученных при исследовании плазмы в лабораторных термоядерных установках и в космической плазме.

3. Результаты проведенных исследований воздействия электрических и магнитных полей на свойства масштабной инвариантности турбулентности плазмы и на перенос плазмы будут способствовать выработке новых методов управления турбулентностью плазмы. Обнаруженное частотно-избирательное воздействие дополнительных винтовых магнитных полей в конфигурации динамического эргодического дивертора на фрактальную структуру краевой турбулентности в токамаке позволит выработать рекомендации для эффективного управления удержанием в токамаке с ДЭД, в том числе для токамака-реактора.

Апробация работы:

Основное содержание диссертации опубликовано в 55 печатных работах, из них 27 в реферируемых журналах и в виде обзорных статей в 3-х книгах. Основные результаты диссертации докладывались автором и обсуждались на Международных конференциях по физике плазмы и У ТС (1998, 2006 гг.), Европейских конференциях по УТС и физике плазмы (2008, 2006, 2005, 2004, 2003, 2002, 2000, 1999, 1998, 1997, 1990, 1987 гг.), Международной конференции в Алуште в 2004 г., Совещании по радиальным электрическим полям в плазме в Праге 1998 г., на Конференциях по физике плазмы и УТС РАН (Звенигород 1984, 1985, 1986, 1987, 1988, 1990, 2007, 2008, 2009 гг.), а также на научных семинарах ИЯС РНЦ «Курчатовский Институт» (Москва 2001-2009 гг.), на научных семинарах ИВТАН СССР (ОИВТРАН) (Москва 1985-1995 гг.), на семинарах ТРИНИТИ (Троицк 1993, 2004 гг.), на семинаре ЛФТИ им. М.С. Иоффе (Санкт-Петербург 1990 г.), на семинаре ИОФ РАН (Москва 1990, 2005 гг.), на научном семинаре ИКИ РАН (Москва 2006 г.), на научных семинарах токамака TEXTOR (Юлих, Германия 1991, 1993, 1994, 1996, 1997, 1998, 2000, 2005 гг.), на научном семинаре токамака JT-60U (Нака, Япония, 2007 г.), на научных семинарах токамака HYBTOK-II Нагойского университета (Нагоя, Япония, 2001-2007 гг.), на научных семинарах стелларатора LHD (Токи, Япония, 2001-2007 гг.), на научном семинаре токамака CASTOR (Прага, Чехия, 2004 г.), на научном семинаре токамака Tore-Supra (Кадараш, Франция 2000 г.), на научном семинаре токамака START (Калэм, Великобритания, 1997 г.), на научном семинаре токамака JET (Калэм, Великобритания, 1997 г.).

Автор выражает особую признательность В.А. Вершкову, С.А. Грашину, JI.H. Химченко, Г.С. Кирневу, Ю.Д. Павлову, Д.А. Шелухину за помощь и постоянную поддержку в получении результатов на токамаке Т-10, коллегам группы Т-10 за сотрудничество и помощь в проведении экспериментов.

Автор выражает большую благодарность П.В. Саврухину, В.И. Ильгисонису, А.Н. Романникову, Ю.В. Готу за многочисленные полезные обсуждения, а также всем коллегам отдела Т ИЯС за постоянный интерес к работе и обсуждения.

Автор выражает большую благодарность A.B. Недоспасову, P.C. Иванову и коллегам группы токамака ТФ-2 Научной станции ИВТАН за многолетнее сотрудничество и поддержку работы.

Автор выражает большую благодарность С.П. Савину и J1.M. Зелёному и членам семинара по структурной плазменной турбулентности на ВМК МГУ за полезные обсуждения.

Автор выражает большую благодарность японским коллегам С. Такамуре, Н. Оно, С.Масузаки, Ё. Кикучи, Н. Асакуре, А. Комори и японским коллегам, кто поддерживал мою работу на LHD, JT-60U и других плазменных установках; чешским коллегам Я.Штёкелю и Я.Зайцу и членам группы токамака CASTOR; немецким коллегам Г.Фуксу, У.Замму за сотрудничество и помощь в проведении экспериментов на токамаке TEXTOR.

Выражаю глубокую благодарность и признательность моей супруге Юлии Антоновне за помощь и терпение, моим родным и близким, а также моему отцу Петру Зиновьевичу Будаеву, который всегда поддерживал мою работу в науке.

Диссертационная работа была частично поддержана Департаментом Атомной науки и техники Росатома.

1. И.Е. Тамм и А.Д. Сахаров. Теория магнитного термоядерного реактора //Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций, Том 1/ Сб.-М.: Академия наук СССР, 1958. С.3-9 и С.20-30.

2. Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции. -М., Физматгиз, 1963.

3. Муховатов B.C. Токамаки. В кн.: Итоги науки и техники. Физика плазмы./ Под ред. В.Д.Шафранова., т.1, часть 1. - М., ВИНИТИ, 1980, с.6.

4. Мирнов С.В. Физические процессы в плазме токамака. — М.: Энергоатомиздат, 1985.

5. ITER Expert Group on Disruption, Plasma Control, and MHD, ITER Physics Basis Editors, MGD stability, operational limits and disruptions // Nucl.Fusion. -1999. -V.39. -P.2251-2389.

6. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Нелинейные колебания разреженной плазмы//Ядерный синтез. -1961. -Т. 1. -С. 82.

7. Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы.- В сб. «Вопросы теории плазмы» (Под ред. М. А. Леонтовича). М., Атомиздат,1964 -С. 188-335.

8. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса //Доклады Академии Наук СССР. -1941.-Т. 30, -С.299-304.

9. Kadomtsev В. В. Tokamak Plasma: a Complex Physical System,- Bristol: ЮР Publishing Ltd, 1992.

10. Zweben S. J., Boedo J. A., Grulke O. et.al. Edge turbulence measurements in toroidal fusion devices // Plasma Phys. Control. Fusion. -2007. -V. 49. -P. S1-S23

11. Nedospasov A. V. Edge turbulence in tokamaks//Journal of Nuclear Materials. -1992.-V. 196-198. -P. 90-100

12. Чен Ф. Введение в физику плазмы: Пер. с англ.— М.: Мир,1987. -С.398 13.Чен Ф. Электрические зоны. -В кн. Диагностика плазмы. Пер. с англ. Под ред. Р. Хаддлстоуна и С.Леонарда. М. Мир, 1967. -С.94-164.

13. Stangeby P.C. The Plasma Boundary of Magnetic Fusion Devices.- Bristol: IOP Publishing Ltd, 2000.

14. Hutchinson I. H. Principles of Plasma Diagnostics. -Cambridge: Cambridge University Press, 2002.

15. Vershkov V.A., Grashin S.A., Chankin A.V. Experimental study of plasma fluxes in the shadow of a scoop limiter on T-10// J. Nucl. Mat. -1987. -V.145-147. -P.611-617.

16. Vershkov V.A., Grashin S.A., Dreval V.V., Piterskii V.V., Soldatov S.V., Jadovets A.N. Radial distributions and poloidal asymmetries of T-10 SOL parameters and turbulence// J. Nucl. Mat. -1997. -V. 241-243. -P.873-879.

17. Шаталин C.B., Павлов A.B., Попов А.Ю., и др. Исследование статистических свойств статистических свойств периферийных флуктуаций при L—Н-переходе на токамаке ФТ-2 //Физика плазмы. -2007.-Т.ЗЗ. -С. 195-205.

18. Будаев В.П. , Иванов Р.С., Колесников В.Н. Исследование турбулентности на периферии разряда в токамаке ТВ-1. Препринт ИВТАН СССР №7-143 .-Москва, -1984.

19. Boedo, J. A., Rudakov, D., Moyer et.al. Transport by intermittent convection in the boundaiy of the DIII-D tokamak // Physics of Plasmas.-2001. -V.8.-P. 4826-4833.

20. Gon9alves В., Hidalgo C., Silva C., Pedrosa M.A. and Erents K. Statistical description of the radial structure of turbulence in the JET plasma boundary region // J. Nucl. Mater. -2005. -V. 337. -P. 376-380.

21. Antar G. Y., Counsell G., Yu Y. Universality of intermittent convective transport in the scrape-off layer of magnetically confined devices // Phys. Plasmas. -2003. -V.10. -P. 419-426.

22. Asakura N., S. Sakurai, M. Shimadaet.al. Measurement of Natural Plasma Flow along the Field Lines in the Scrape-Off Layer on the JT-60U Divertor Tokamak// Phys. Rev. Lett. -2000. -V. 84. -P. 3093 3096 .

23. M Endler, L Giannone, К McCormick, et al. Turbulence in the SOL of ASDEX and W7-AS //Phys. Scr. -1995. -V.51.-P. 610-616

24. Antar G. Y., Counsell G. and Ahn J.-W. On the scaling of avaloids and turbulence with the average density approaching the density limit // Phys. Plasmas. -2005. -V. 12. -P. 082503.

25. Г.М. Батанов, B.E. Бенинг, В.Ю. Королев, А.Е. Петров, К.А. Сарксян, Н.Н. Скворцова и др. Турбулентный перенос в плазме как диффузионный процесс со случайным временем // Письма в ЖЭТФ . -2001. -Т.73. -С. 143 147.

26. Tanaka К, Michael С., Sanin A.L., et al. Experimental study of particle transport and density fluctuations in LHD // Nucl. Fusion. -2006. -V. 46.- P. 110-122.

27. Alonso J. A., Zweben S. J., Carvalho P. et. al. Impact of different confinement regimes on the two-dimensional structure of edge turbulence // Plasma Phys. Control. Fusion. -2006. -V. 48. -P. B465-B473.

28. Carter Т. A . Intermittent turbulence and turbulent structures in a linear magnetized plasma//Phys. Plasmas. -2006. -V. 13. -P. 010701-010708.

29. Chiu J. S. and Sen A. K. Experimental determination of attractor dimension of ExB turbulence // Phys. Plasmas. -2000. -V. 7. -P. 4492 -4498.

30. Antoni V., Cavazzana R., Desideri D. et. al. Electrostatic Turbulence and Transport in the Velocity Shear Layer of a Reversed Field Pinch Plasma// Phys. Rev. Lett. -1998. -V. 80.-P. 4185-4188

31. OhnoN. , Budaev V. P. ,Furuta K. ,Miyoshi H. , Takamura S. Reconstruction of Velocity Distribution of Density Bursts by Wavelet Analysis in the Linear Divertor Simulator NAGDIS-II // Contrib.Plas.Phys. -2004. -V. 44. -P. 222-227

32. Schmitz, L., Lehmer, R., Chevalier, G., Tynan, G. et.al. Experimental simulation of the gaseous divertor concept in PISCES-A// Journal of Nuclear Materials. -1990. -V. 176-177. -P. 522-527.

33. Meier M. A., Bengtson R. D., Hallock G. A., Wootton A. J. Adiabatic Electron Thermal Pressure Fluctuations in Tokamak Plasmas//Phys. Rev. Lett. -2001.-V. 87. -P. 085003-085007.

34. Boedo J. A., Gray D., Conn R. W . et al. On the harmonic technique to measure electron temperature with high time resolution // Rev. Sci. Instrum. -1999. -V. 70.- P. 2997-3006.

35. Biewer Т. M., Bell R. E., Feder R., Johnson D. W., and Palladino R. W. Edge rotation and temperature diagnostic on the National Spherical Torus Experiment // Rev. Sci. Instrum. -2004. -V. 75. -P. 650-654

36. Zweben S. J. and Taylor R.J. Edge plasma turbulence in Caltech tokamak // Nucl. Fusion. -1981. -V. 21. -P. 193-197.

37. Graessle D. E., Prager S. C. , Dexter, R. N.q dependence of magnetic turbulence in a tokamak // Physics of Fluids B: Plasma Physics. -1991. -V. 3.- P. 2626-2639.

38. Stockel J., Badalec J., Duran I. et. al. Magnetic and electrostatic fluctuations in the CASTOR tokamak //Plasma Phys. Control. Fusion. -1999.- V. 41. -P. A577-A585.

39. Scott B.D. Drift wave versus interchange turbulence in tokamak geometry: Linear versus nonlinear mode structure // Phys.Plasmas. -2005. -V. 12. -P. 062314.

40. Пастухов В.П. Уравнения нелинейной МГД конвекции в бесшировых магнитных системах// Физика плазмы. -2005.-Т. 31, С. 628—641.

41. Terry S., Zweben J., Hallatschek К., LaBombard В. Observations of the turbulence in the scrape-off-layer of Alcator C-Mod and comparisons with simulation // Phys. Plasmas.-2003. -V. 10. -P. 1739-1745.

42. McKee G. R., Fonck R. J., Gupta D. K. et. al. Turbulence velocimetry of density fluctuation imaging data // Rev. Sci. Instrum. -2004. -V. 75. -P. 3490-3492.

43. Zweben S. J., Maqueda R. J., Terry J. L., Munsat T. Structure and motion of edge turbulence in the National Spherical Torus Experiment and Alcator C-Mod // Phys. Plasmas.- 2006. -V. 13. -P. 056114.

44. Bleuel J., Endler M., Niedermeyer H., et al The spatial structure of edge fluctuations in the Wendelstein 7-AS stellarator // New J. Phys. -2002.- V. 4.-P. 38.1-38.38.

45. Huber A., Nedospasov A. V., Samm U., Schweer B. Space resolved fluctuations of electron density measured by means of two thermal Li-beams in TEXTOR-94// J. Nucl. Mater. -1999. -V. 266-269. -P. 546-551

46. Terry P.W., Newman D.E. and Ware A.S. Local particle flux reversal under strongly sheared flow// Phys. Plasmas. -2003.-V.10.-P. 1066 -1072.

47. McKee G.R., Petty C.C., Waltz R.E. et al. Non-dimensional scaling of turbulence characteristics and turbulent diffusivity//Nucl. Fusion.-2001.-V. 41.-P 1235-1242.

48. Bleuel J., Endler M., Niedermeyer H. et al. The spatial structure of edge fluctuations in the Wendelstein 7-AS stellarator//New J. Phys. -2002.-V.4.-P. 38-44.

49. Winslow D. L., Roger W., Bengtson D. et al Determination of field line location and safety factor in TEXT-U // Rev. Sci. Inst. -1997. -V. 68. -P. 396-401.

50. Thomsen H, Endler M., Bleuel J. et al. Parallel correlation measurements inthe scrape-off layer of the Joint European Torus // Phys. Plasmas. -2002.-V. 9.-P. 12331239.

51. Zweben S J., Manos D., Budny R.V. et al. Edge Turbulence Measurements in TFTR //J Nucl. Mater. -1987, -V.147.-P. 250-254.

52. Windisch T., Grulke O. and Klinger T. Experimental investigations of turbulent structure propagation across a ExB-velocity shear// Journal of Nuclear Materials.-2009. -V. 390-391.-P. 395-397.

53. Rhodes T.L., Ritz C.P. and Bengtson R.D. Scaling of far edge plasma turbulence and fluctuation induced particle transport in the TEXT tokamak// Nucl. Fusion. -1993.-V.33. -P. 1147-1163.

54. Surko C. M. and Slusher R. E. Waves and Turbulence in a Tokamak Fusion Plasma // Science .-1983. -V. 221.-P. 817 822

55. Liewer P. C. Measurements of microturbulence in tokamks and comparisons with theories of turbulence and anomalous transport//Nucl. Fusion. 1985.V. 25. P. 543-552.228

56. Wootton A.J., Carreras B.A, Matsumoto H., et.al., Fluctuations and Anomalous Transport in Tokamaks// Phys. Fluids B. -1990.-V.2. -P. 2879-2886.

57. Endler M. Turbulent SOL transport in stellarators and tokamaks//Journal of Nuclear Materials. -1999.-V. 266-269. -P. 84-90.

58. Horton W. Drift waves and transport //Rev. Mod. Phys. -1999. -V. 71.-P. 735 778.

59. Endler M., Niedermeyer H., Giannone L., et.al. Measurements and modelling of electrostatic fluctuations in the scrape-off layer of ASDEX // Nucl. Fusion. -1995.-V. 35. -P. 1307-39 .

60. Zweben S.J., Gould R.W. Scaling of Edge-Plasma Turbulence in the Caltech Tokamak //Nucl. Fusion.-1983.- V. 23. -P. 1625-1641.

61. LaBombard В., Boivin R. L., Greenwald M. et al. Particle transport in the scrape-off layer and its relationship to discharge density limit in Alcator C-Mod//Phys. Plasmas. -2001.-V. 8.-P. 2107-2111.

62. Rudakov D.L., Boedo J.A., Moyer R.A., et. Al. Far SOL transport and main wall plasma interaction in DIII-D// Nucl. Fusion .-2005. -V.45. -P. 1589-1599.

63. Kirnev G. S., Budaev V. P., Grashin S. A., Gerasimov E. V. and Khimchenko L. N. Intermittent transport in the plasma periphery of the T-10 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. -2004. -V. 46. -P. 621-637.

64. Endler M. The poloidal variation of the radial transport due to electrostatic fluctuations in toroidal magnetic confinement experiments // Plasma Phys. Control. Fusion. -1999. -V.41.-P. 1431-1440.

65. Ritz Ch. P., Bravenec R. V., Schoch P. M. et al. Fluctuation-Induced Energy Flux in the Tokamak Edge // Phys. Rev. Lett. -1989. -V.62, -1844 1847.

66. Boedo J. A., Rudakov D., Moyer R. et al .Transport by intermittent convection in the boundary of the DIII-D tokamak//Phys. Plasmas. -2001. -V.8. -P. 4826-4832.

67. Grulke O., Terry J. L., LaBombard В., Zweben S. J. Radially propagating fluctuation structures in the scrape-off layer of Alcator C-Mod // Phys. Plasmas. -2006. -V. 13.-P. 012306-09

68. Петров A.E., Сарксян K.A., Скворцова H.H., Харчев Н.К. Ионно-звуковая структурная турбулентность в низкотемпературной замагниченной плазме. //В сб.229

69. Стохастические модели структурной плазменной турбулентности./ В. Ю. Королев и Н. Н. Скворцова-ред. "МАКС-Пресс", М., -2003, -с. 7-61.

70. Kirnev G. S., Budaev V.P., Grashin S.A. et al. Plasma structures and transport in the. SOL of the T-10 tokamak // J. Nucl. Mater.- 2005. -V.337-339. -P. 352-359 .

71. Budaev V.P. Poloidal dependence of the ExB shearing rate and turbulent transportin the edge of tokamak TF-2 // Czechoslovak Journal of Physics, -1998.-V. 48. -P.121-125.

72. Budaev V., Fuchs G., Ivanov R. and Samm U. Fractal dimensionality for different transport modes in the turbulent boundary of TEXTOR // Plasma Physics and Controlled Fusion. -1993.-V.3.- P.429-435.

73. Heller M. V., Brasilio Z. A.; Caldas I. L., Stockel J., Petrzilka J. Scrape-off layer intermittency in the Castor tokamak // Physics of Plasmas.-1999. -V.6.-P. 846-853.

74. Antar G. Y., Counsell G., YuY., LabombardB., DevynckP. Universality of intermittent convective transport in the scrape-off layer of magnetically confined devices // Physics of Plasmas. -2003.-V.10. -P. 419-428.

75. Sudo S., Nagayama Y., Peterson B. J., Kawahata K., Akiyama Т., et.al.// Plasma Phys. Control. Fusion.-2003.-V. 45. -No. 12A. -P. A425-A443.

76. Boedo J., Gray D., Jachmich S., et.al.Enhanced particle confinement and turbulence reduction due to E x В shear in the TEXTOR tokamak //Nucl. Fusion.-2000 .-V.40. -No. 7. -P 1397-1410.

77. Fiksel G., Prager S. C., Shen W., and Stoneking M. R. Measurement of magnetic fluctuation induced energy transport //Phys. Rev. Lett. -1994.-V. 72.-P. 1028- 1031.

78. Serianni G., A Murari, G Fiksel et.al. Magnetic fluctuations and energy transport in RFX // Plasma Phys. Control. Fusion. -2001. -V.43. -P. 919-925.

79. Budaev V.P., S. Savin, L. Zelenyi, et al., Intermittency and extended self-similarity in space and fusion plasma: boundary effects// Plasma Phys. Control. Fusion.-2008.-V.23050.-Р.074014

80. Фриш У. Турбулентность: Наследие А. Н. Колмогорова.- М.: Фазис, 1998.

81. Scott B.D. Three-dimensional computation of collisional drift wave turbulence and transport in tokamak geometry // Plasma Phys. Control. Fusion.-1997. -V. 39. -No. 3. -P. 471-504.

82. Шурыгин P.B. Альфвено-дрейфовая турбулентность пристеночной плазмы токамака //Физика плазмы. -2004 . -Т.30, Р. 387-397

83. Zeiler A., Drake J.F., Rogers В. Nonlinear reduced Braginskii equations with ion thermal dynamics in toroidal plasma//Phys.Plasmas.-1997.-V.4.-P.2134-2139.

84. Horton W. Nonlinear drift waves and transport in magnetized plasmas/ZPhys. Rep. (Review Section of Physics Letters). -1990.-V.192.-P 1-177.

85. Брагинский С.И. Явления переноса в плазме// Вопросы теории плазмы / Под ред. М.А. Леонтовича. Вып. 1. М.: Госатомиздат, -1963. -С. 183.

86. Недоспасов А.В., Токарь М.З. Пристеночная плазма в токамаках. // Вопросы теории плазмы .М.Энергоатомиздат, -1990-вып.18.- С.68.

87. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Том 1: механика турбулентности.-М: Наука, 1965.

88. Недоспасов А.В. Физика пристеночной плазмы в токамаках //УФН. -1987.-Т. 152. -С.479-492

89. Nedospasov A.V. and Nenova N.V. The conversion of the thermal energy of plasma in the SOL of tokamaks, //Nucl. Fusion. -2008. -T. 48. -P.072002-04.

90. Nedospasov A.V. Thermal quench in tokamaks, //Nucl. Fusion.- 2008.-V.48.-P. 032002-08.

91. Миллионщиков M. Д. К теории однородной изотропной турбулентности// Доклады АН СССР. -1941, -Т. 32, -№ 9. -С. 611-614.

92. Kraichnan R. H. Irreversible statistical mechanics of incompressible hydromagnetic turbulence//Phys. Rev. -1958. -V.109.-P. 1407-1422.

93. Быков A.M., Топтыгин И.Н. Кинетика частиц в сильно турбулентной плазме (Методы перенормировок и самосогласованного поля) // УФН .-1993 .- Т. 163, -№ 11.-С.19-56.

94. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику От маятника до турбулентности и хаоса.- М.: Наука, 1988.

95. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.- М.: Едиториал УРСС, 2001.

96. Батанов Г.М., Бенинг В.Е., Королев В.Ю. и др. Структурная плазменная низкочастотная турбулентность в стеллараторе JI-2M// Письма в ЖЭТФ. -2003. -Т.78.- С.974-983.

97. Skvortsova N.N., Korolev V. Yu., Batanov G. M. et al. Statistical analysis and modelling of turbulent fluxes in the plasma of the L-2M stellarator and the FT-2 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion.- 2006.-V.48.- P.A393-399 .

98. Kolmogorov A. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number// J. Fluid Mech.-1962. -V.13.-No. 1. -P.82-85

99. She Z.S. and Leveque E. Universal scaling laws in fully developed turbulence // Phys. Rev. Lett. -1994. -V.72, P.336- 339 .

100. Dubrulle B. Intermittency in fully developed turbulence: Log-Poisson statistics and generalized scale covariance //Phys. Rev. Lett. -1994. -V.73, -P.959-962.

101. Schertzer D., Lovejoy S., Hubert P. Mathematical Problems in Environmental Science and Engineering.// Series in Contemporary Applied Mathematics / Eds. A. Ern and Liu Weiping. Beijing: Higher Education Press, -2002. -V.4. P. 106-143 .

102. Новиков E.A., Стюарт Р.У. Перемежаемость турбулентности и спектр флюктуаций диссипации энергии. //Изв. АН СССР, сер. Геофиз. -1964, -№ 3. -С. 408413.

103. Budaev V.P., Ohno N., Masuzaki S., Morisaki T., Komorî A. and Takamura S. Extended self-similarity of intermittent turbulence in edge magnetized plasmas// Nuclear Fusion. -2008.-V.48.-P. 024014-8.

104. Ирошников П. С. Турбулентность проводящей жидкости в сильном магнитном поле // Астрономический журнал. -1963. -Т. 40. -С.742-745,

105. Kraichnan R. H. Lagrangian-history closure approximation for turbulence. // Phys. Fluids. -1965. -V. 8.- P. 575-598.

106. Фрик П.Г. Турбулентность : подходы и модели.- Москва -Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2003.

107. Kraichnan R. Н. Convergents to turbulence functions. // J. Fluid Mech. -1970. -V. 41. -P. 189-217.

108. Kraichnan R. H. The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds numbers // J. Fluid Mech. -1959.- V.5.-P. 497-543.

109. Antar G.Y. Kolmogorov-Kraichnan Scaling in the Inverse Energy Cascade of Two-Dimensional Plasma Turbulence //Phys. Rev. Lett.- 2003.-V. 91.-P. 055002-06

110. Goldreich P. and Sridhar S. Toward a theory of interstellar turbulence. II. Strong alfvenic turbulence.// Astrophys. J. -1995 .-V.438 .-P. 763-775 .

111. Schekochihin A. A. and Cowley S. C. Magnetohydrodynamics Historical Evolution and Trends. S. Molokov, R. Moreau and H. K. Moffatt, Eds.(Berlin: Springer 2007) 85

112. Boldyrev S. Spectrum of Magnetohydrodynamic Turbulence // Phys. Rev. Lett. -2006.-V.96.-P. 115002-06 .

113. Biskamp D. and Mueller W.-C. Scaling properties of three-dimensional isotropic magnetohydrodynamic turbulence//Phys. Plasmas.- 2000.-V.7.-P.4889-4896.

114. Benzi R., Ciliberto S., Tripiccione R. et al. Extended self-similarity in turbulent flows //Phys.Rev.E. -1993.-V.48.-P. R29 R32.

115. Schertzer D., Lovejoy S., Schmitt F., Chiguirinskaya Y., Marsan D. Multifractal Cascade Dynamics and Turbulent Intermittency//Fractals. 1997.V. 5 .No.3.P. 427-471.

116. Schertzer D. and Lovejoy S. Space-time Complexity and Multifractal Predictability //Physica A .-2004. -V. 338. -P. 173-186.

117. Lovejoy S., D. Schertzer, P. Silas. Diffusion in One Dimensional Multifractal Porous Media. //Water Resources Research. -1998. -V. 34.-P. 3283 -3291

118. She Z.S., Waymire E. Quantized Energy Cascade and Log-Poisson Statistics in Fully Developed Turbulence //Phys. Rev. Lett. -1995. -V.74.- P.262-265.

119. Овсянников JI.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1962. — 240 с.

120. Olver P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations.- New York: Springer-Verlag, 1993.

121. Gusyatnikova V.N., Samokhin A.V., Titov V.S., Vinogradov A.M., Yamaguzhin V.A., Symmetries and conservation laws of Kadomtsev-Pogutse equations//Acta Appl. Math. 1989. -V.15.-P. 23-64.

122. Samokhin A.V. Nonlinear M.H.D. equations: symmetries, solutions and conservation laws// Dokl. Akad. Nauk. SSSR, -1985, -V.285. -N 5. -P.l 101-1106 (English transl.: Sov. Phys. Dokl. -1985. -V.30, -N 12.-P. 1020-1022).

123. Гриднев И.П. Групповые свойства МГД уравнений и их инвариантные решения. //Журнал прикладной механики и технической физики. -1968.-Т. 9. -N. 6. -С. 103-107,

124. Ibragimov N.H. (Editor), CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations, Boca Raton, CRC Press, 1994, -Vol. 1; 1995, -Vol. 2; 1996, -Vol. 3.

125. Nucci M.C. Group analysis for M.H.D. equations//Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena. -1984.-V.33.-N 1.-P. 21-34.

126. Biferale L. and Procaccia I. Anisotropy in turbulent flows and in turbulent transport// Phys. Rep. -2005. -V.414. -P. 43-53.

127. Cartes C., Bustamante M. D., Pouquet A. and Brachet M. E. Capturing reconnection phenomena using generalized Eulerian-Lagrangian description in Navier—Stokes and resistive MHD// Fluid Dyn. Res. -2009. -V.41 .- P. 011404

128. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса. // Успехи Механики, -2006.-№1, -СЛ.

129. Учайкин В.В. Метод дробных производных. -Ульяновск: Изд. «Артишок», 2008.

130. Le MeAhaute A. A. Fractal Geometries: Theoiy and Applications.- Boca Raton: CRC Press, 1991.

131. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach// Phys. Rep. -2000. -V.339.-P. 1.

132. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение.- М.: Физматлит, 2003.

133. Бакунин О.Г. Корреляционные и перколяционные свойства турбулентной диффузии // УФН. -2003.-Т. 173.-С. 757

134. Van Oost G., Adamek J., Antoni V. et. aL Turbulent transport reduction by ExB velocity shear during edge plasma biasing: recent experimental results // Plasma Phys. Control. Fusion. -2003.-V.45 . -P 621-643.

135. Shoji Т., Fujita Т., Mori M. et al. Investigation of stochstic magnetic field// 17th EPS Conf. on Europhysics, Conf. Abstracts. Amsterdam. 1990. V. 14B. 1452.

136. Ghendrih Ph., Capes H., DeMichelis C. et al. A review of experiments and theory on stochastic scrape-off-layers.//Plasma Phys. Control. Fusion.-1992. -V.34.-P. 2007-2014.

137. Ghendrih Ph., Becoulet M., Constanzo L. et al. Ergodic divertor experiments on the route to steady state operation of Tore Supra//Nucl.Fusion .-2001.-V. 41. -P. 1401-1412.

138. Grosman A., Monier-Garbet P., Vallet J.C. et al. Radiative layer control experiments within an ergodized edge zone in Tore supra// J. Nucl. Mater. -1995. -V220-222.-P. 188192.

139. Fuchs G., Dippel K.H., Nicolai A., Wolf G.H. TEXTOR Team.Ergodic divertor in tokamak//14th EPS Conf. on Europhysics, Conf. Abstr. Madrid. 1987. V.l 1D.P. 253.

140. McCool S. C., Wootton A. J., Aydemir A. Y. et.al. Electron Thermal Confinement Studies with Applied Resonant Fields on TEXT//Nuclear Fusion .-1989. -V.29. -P.547 -557.

141. McCool S. C., Chen J. Y., Wootton A. J. et. al. The effect of magnetic perturbations on edge transport in TEXT// J. Nucl. Materials. 1990. -V.176 &177.-P. 716-720.

142. Takamura S., Ohnishi N., Yamada H., Okuda T. Plasma in a tokamak with a helical magnetic limiter // Phys. Fluids .-1987. -V.30.-P. 144-151.

143. Kobayashi M., Tashiro К., Takamura S. Modification of hydrogen recycling due to edge ergodic magnetic layer in long tokamak discharge with high duty Pages // J. Nucl. Mater. -1999. -V.266-269.- P. 1118-1122

144. Takamura S., Ohnishi N., Iwai K., Okuda T. Direct Observation of Anomalous Electron Diffusion due to Small-Scale Magnetic Turbulence in a Tokamak // Phys. Rev. Lett. -1986. -V.56. -P. 2044 2047.

145. Shen Y., Miyake M., Takamura S., Kuroda Т., Okuda T. Ergodic magnetic limiter experiments in the HYBTOK-II tokamak // J. Nucl. Mater. -1989. -V.168 . -P.295-303.

146. Takamura S. Plasma transport in the scrape-off layer with a stochastic magnetic field //Phys. Fluids В . -1990. -V.2.-P. 1947-1948.

147. Budaev V.P. Radial electric field dynamics in the edge with ergodisation in tokamak TF-2 // Proceedings of the 2nd Europhysics Workshop on The role of electric fields in plasma confinement and exhaust, Maastricht, The Netherlands, 19-20 June 1999.

148. Abdullaev S. S., Eich T.,Finken К. H. Fractal structure of the magnetic field in the laminar zone of theDynamic Ergodic Divertor of the Torus Experiment for Technology-Oriented Research (TEXTOR-94)//Phys. Plasmas. -2001.-V.8 .-P. S2739-S2744.

149. Biscamp D. Magnetic Reconnection in Plasmas.- Cambridge University Press, 2000, -Ch. 3.

150. Abdullaev S.S. Construction of Mappings for Hamiltonian Systems and Their Applications// Lecture Notes in Physics, Berlin: Springer / Heidelberg V. 691,2006.

151. Finken K.H. Perturbation field penetration into the TEXTOR tokamak and the resulting torque //Nucl. Fusion. -1999. -V.39 . -P.707-723 .

152. Pankratov I.M., Omelchenko A.Ya., Olshansky V.V. and Finken K.H. Investigation of plasma response influence on the penetration of an external low frequency helical perturbation into a tokamak edge plasma// Nucl. Fusion.-2004.-V.44.-No.6. -P. S37-S43.

153. И.М. Панкратов, А.Я. Омельченко, B.B. Ольшанский Моделирование отклика плазмы, индуцированного внешним винтовым возмущением в токамаке HYBTOK-II//ВАНТ .-2005.-№2.-С. 20-23.

154. Pankratov I.M., Omelchenko A.Ya. and Olshansky V.V. Plasma vortexes induced by an external rotating helical magnetic perturbation in tokamaks //Phys. Lett. A .-2005. -V.343 .-P. 216-220.

155. Лоскутов А.Ю. Проблемы нелинейной динамики. II. Подавление хаоса и управление динамическими системами//Вестн. МГУ.-2001. № 2. -С. 3-21.

156. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики // УФН . -2007. -Т. 177. -С. 989.

157. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev. Lett. -1990. -V.64. -P.l 196-1199.

158. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback //Phys. Lett. A . -1992. -V. 170.-P. 421-428.

159. Schroder C. , D.Block and A. Piel et al. Mode Selective Control of Drift Wave Turbulence // Phys. Rev. Lett. -2001. -V. 86.- P. 5711-5715.

160. Uckan T. et al. Plasma edge turbulence probing and feedback control and stabilization experiments //Nucl. Fusion. -1995. -V. 35.- P. 487-494.

161. Sen A.K. Remote feedback stabilization of tokamak instabilities // Phys. Plasmas. -1994. -V.l. -P. 1479-1487 .

162. Abrakov V.V. , Petrov A. Ye., Sarksyan K. A., Skvortsova N. N., et al Remote launching of plasma modes in the drift frequency range //Plasma Phys. Control. Fusion. -1997. -V. 39. -P. 367-374.

163. Shuster H.G. and Stemmler M.B. Control of chaos by oscillating feedback // Phys. Rev. E .-1997.-V. 56 .-P.6410-6417

164. Аликаев B.B., Борщеговский А.А., Вершков В.А. и др. Исследование Н-моды на Т-10 при ЭЦРН // Физика Плазмы.- 2000. -Т 26.- С.985-998.

165. Stangeby Р.С. The Plasma Boundary of Magnetic Fusion Devices. -Bristol: Institute of Physics Publishing, 2000.

166. Чен Ф. Электрические зонды // Диагностика плазмы / Под ред. Р. Хаддстоуна и С. Леонарда; М.: Мир, -1967. -С. 94-131.

167. Будаев В.П. Исследование ЕхВ переноса плазмы на периферии разряда в токамаке ТФ-1. (01.04.08) Диссертация к.ф-м.н., АН СССР, Институт высоких температур — М., -1990, -С. 145.

168. Будаев В.П., Иванов Р.С. Определение фрактальных характеристик пристеночной турбулентности в токамаке ТФ-1// Физика плазмы .-1991.-Т.17.- С. 1332-1339.

169. Будаев В.П. Турбулентный транспорт и шир ЕхВ скорости в пристеночной плазме токамака ТФ-2//Физика плазмы . -1999.-V.25.-P.668-675.

170. Takamura S., Yamada Н. and Okuda Т. Control of Tokamak Edge Plasma by Static and Rotating Helical Magnetic Limiter, // Nuclear Fusion. -1988.-V.28.-P.183-191.

171. Takamura S., Kikuchi Y., Uesugi Y. and Kobayashi M. //Nucl. Fusion. -2003.-V.43. -P. 393.

172. Официальный сайт токамака TEXTOR, Института физики плазмы, Юлих, Германия, http://www.fz-juelich.de/ief/ief-4/textor еп/ .

173. Weynants R.R., van Oost G., Bertschinger G., et al Confinement and profile changes induced by the presence of positive or negative radial electric fields in the edge of the TEXTOR tokamak//Nucl. Fusion. -1992.-V.32.-P. 837-853.

174. Hron M. et al. Edge Turbulence at Plasma Polarization on the CASTOR Tokamak// Czech. J. Phys. -1999.-V.49.-P.181-195.

175. Zajac J., Budaev V.P., Dufkova E., Nanobashvili S., Weinzettl V. Multifractal analysis of tokamak plasma turbulence in biasing experiments on Castor tokamak//Czech. J. Phys.-2005. -V. 55. -P. 1615-1621.

176. Budaev V.P., Dufkova E., Nanobashvili S. et.al. Multifractal analysis of tokamak plasma turbulence in biasing experiments // 32nd EPS Conference on Plasma Phys. Tarragona, 27 June 1 July 2005 ECA Vol.29C, P- 5.019 (2005)

177. Официальный сайт токамака JT-60U http://www.naka.jaea.go.jp/english/progress.html

178. Asakura N., Takenaga H., Sakurai S., et.al. Driving mechanism of SOL plasma flow and effects on the divertor performance in JT-60U//Nucl. Fusion.-2004.-V.44. -P. 503-512.

179. Masuzaki S., Ohyabu N., Morisaki T., et al. The relation between edge and divertor plasmas in the Large Helical Device// Journal of Nuclear Materials.-2003. -V.313-316. -P. 852-856.

180. Masuzaki S., Morisaki T., Ohyabu N., et.al. The divertor plasma characteristics in the Large Helical Device //Nucl. Fusion.-2002.-V. 42. -No. 6. -P. 750-758

181. Ohno N., Masuzaki S., Miyoshi H., Takamura S., Budaev V. P., et.al. Analysis on Relation Between Magnetic Structure and Bursty Fluctuation in SOL/Divertor Plasmas of LHD// Contrib. Plasma Phys. -2006. -V.46. -P. 692 697.

182. Ohno N., Ezumi N., Takamura S., Krasheninnikov S. I., and Pigarov A. Yu. Experimental Evidence of Molecular Activated Recombination in Detached Recombining Plasmas//Phys. Rew. Lett. -1998.-V. 81. -P.818-821.

183. L.H. Hutchinson. A fluid theory of ion collection by probes in strong magnetic fields with plasma flow// Phys. Fluids. -1987.-V.30.- P. 3777-3785.

184. Matthews G.F. Tokamak plasma diagnostics by electrical probes/ZPlasma Phys. And. Contr.Fus. -1994. -V. 36.-P. 1595-1602.

185. Stangeby P.C. and McCracken G.M. Plasma Boundary. Phenomena in Tokamaks//Nucl. Fusion. -1990.-V.30.-P. 1225-1231.

186. VanOost G. Probe diagnostics for fusion devices. //Transactions of fusion science and technology. -2006.-V.49.-P. 357-365.

187. Endler M. The poloidal variations of radial transport //Plas.Phys. Contr.Fus. -1999. -V.41.-P. 1431-1439.

188. Hutchinson I.H. Principles of Plasma Diagnostics.- Cambridge: University Press, 2002.

189. Pitts R. A., Stangeby P. C. Experimental tests of Langmuir probe theory for strong magnetic fields //Plasma Physics and Controlled Fusion.-1990. -V. 32.-P. 1237-1248.

190. Zweben S.J., Maquedal R.J., Stotler D.P., et al. High-speed imaging of edge turbulence in NSTX//Nucl. Fusion. -2004.- V. 44. -P. 134-153.

191. Zweben S J., McChesney J., Gould R.W. Optical Imaging of Edge Turbulence in the Caltech Tokamak// Nucl. Fusion.- 1983.-V.23.-P. 825-830 .

192. Bleuel J., Endler M., Niedermeyer H. et al. The spatial structure of edge fluctuations in the Wendelstein 7-AS stellarator //New J. Physics. -2002.-V.4.- P 38.1.

193. Martines E., Hron M. and Stockei J. Coherent structures in the edge turbulence of the CASTOR tokamak//Plasma Phys. Cont. Fusion. -2002.-V44.-P. 351 .

194. Tsuchiya H., Morisaki T., Komori A. and Motojima O. Simulation of sheet-shaped lithium beam probe performance for two-dimensional edge plasma measurement // Rev. Scientific Instrumrnts. -2006. -V.77.-P.10F526 .

195. McKee G.R, Fenzi C., Fonck R.J. and Jakubowski M. Turbulence imaging and applications using beam emission spectroscopy on DIII-D//Rev. Sei. Inst. -2003.-V.74.-P. 2014.

196. Maqueda R.J., Wurden G.A. and Zweben S.J. et al. Edge turbulence measurements in NSTX by gas puff imaging //Rev. Sei. Instrum. -2001.-V.72.-P. 931.

197. Zweben S.J., Stotler D.P., Terry J.L. et al. Edge Turbulence Imaging in the Alcator C-Mod Tokamak//Phys. Plasmas. -2002.-V. 9.-P. 1981-1989 .

198. Budaev V. P. and Yakovlev M. On Fractal Properties of Equipotentials over a Real Rough Surface Faced to Plasma in Fusion Devices//Plasma and Fusion Research: Rapid Communications.- 2008.-V.3.-P. 001

199. Maqueda R.J. , Wurden G. A.,. Stotler D. P. et al. Gas puff imaging of edge turbulence//Rev. Sei. Inst. -2003.-V.74.-P. 2020-2027.

200. Sykes A., Akers R.J., Appel L.C. et al. First results from MAST //Nucl. Fusion. -2001.-V.41.-P. 1423-1433.

201. Zweben S.J. and Medley S.S. Visible Imaging of Edge Fluctuations in the TFTR Tokamak // Phys. Fluids В .-1989.-V.1.-P. 2058-2065.

202. Будаев В.П. Лог-Пуассоновская модель турбулентности периферийной плазмы в термоядерных установках//Тезисы докладов XXXV Международной Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС.11-15 февраля. 2008. С.12.

203. Thomsen Н. , Endler М., and Bleuel J. Parallel correlation measurements in the scrape-off layer of the Joint European Torus // Phys. Plasmas. -2002.-V.9.-P. 1233-1239.

204. Nedospasov A.V. Impurity driven current-convective turbulence in the SOL plasma// Contributions to Plasma Physics.l996.V. 36.P. 197- 201.

205. Huber A., Nedospasov A. V., Samm U. and SchweerB. Space resolved fluctuations of electron density measured by means of two thermal Li-beams in TEXTOR-94 //Journal of Nuclear Materials.-1999. -V. 266-269.-P. 546-551.

206. Tsuchiya H., Morisaki Т., Komori A. et.al. Development of Neutral Molecular Beam Injector for Two-Dimensional Edge Density Measurement // Plasma and Fusion Research. -2007.-V. 2. -P. S1000-S1011.

207. McCormick K., Fiedler S., Kocsis G., Schweinzer J. and Zoletnik S. Edge density measurements with a fast Li beam probe in tokamak and stellarator experiments // Fusion Engineering and Design.-1997.-V.34-35.-P.125-134.

208. Потёмкин В.Г. Система инженерных и научных расчётов MAILAB 5.x. В 2-х томах. -М.: Диалог-МИФИ, 1999.

209. Lutovac М. D. Filter Design for Signal Processing using MATLAB and Mathematica.

210. New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001.

211. Астафьева H.M. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения //УФН.- 1996. Т. 166. - № 11.-С. 1145-1170.

212. Budaev V.P., Pankratov I.M., Takamura S. et al. The effect of the rotating helical fields on the plasma edge in the HYBTOK-II Tokamak // Nucl. Fusion. -2006.-V.46.-P. S175-S180

213. Amari S. Differential-geometrical methods in statistics // Lecture Notes Stat. -1985.-V.28.-P. 1-23.

214. Tsuji Y. and Nakamura I. Probability density function in the log-law region of low Reynolds number turbulent boundary layer // Phys. Fluids. -1999.-V.11 .-P. 647-658.

215. Ottino J.M. The kinematic of mixing: stretching, chaos and transport.- Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

216. Muzy J. F., Bacry E., and Arneodo A. Multifractal formalism for fractal signals: the structure function approach versus the wavelet transform modulus maxima method.//Phys. Rev. E .-1993,- V.47.-P.875.

217. A. Arneodo, Muzy J.F., Roux S. Experimental analysis of self-similarity and random cascade processes: application to fully developed turbulence data.// J. Phys. II France. -1997.-V. 7.-P. 363-369.

218. Arneodo A., Bacry E., Muzy J.F. Random cascades on wavelet dyadic trees//J. Math. Phys. -1998.-V.39.-P. 4142-4147.

219. Mallat S., Hwang W. L. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Transactions on Information Theory.-1992.-V. 38. -P. 617—639.

220. Castaing B., Gagne Y., Hopfinger E. Velocity Probability Density-Functions of High Reynolds-Number Turbulence//Physica D. -1990.-V.46.-P. 177-200.

221. Bacry E., Muzy J. F. and Arneodo A. Singularity spectrum of fractal signals from wavelet analysis: exact results.//J. Stat. Phys. -1993.-V. 70.-P. 635-642.

222. Silchenko A. and Hu C.-K. Multifractal characterization of stochastic resonance // Phys. Rev. E. -2001.-V.63.-P. 041105-09.

223. Kirnev G.S., Budaev V.P., Grashin S.A., Khimchenko L.N. and Sarytchev D.V. Comparison of plasma turbulence in the low- and high-field Scrape-Off Layers in the T-10 tokamak// Nucl. Fusion. -2005. -V. 45.-P. 459-467.

224. Budaev V.P., Kikuchi Y., Takamura S., et al. Intermittent structures in the high field side boundary of the HYBTOK-II tokamak // Czechoslovak Journal of Physics. -2003.-V.53.-P. 863-867.

225. Krasheninnikov S. I. On scrape off layer plasma transport // Physics Letters A. -2001.-V. 283.-P. 368-370.

226. Miyoshi H., Ohno N., Takamura S., Budaev V. P. et al. Intermittent Fluctuation Property of Edge Plasmas in JT-60U and LHD// 31st EPS Conference on Plasma Phys. London, 28 June 2 July. 2004. ECA. Vol.28G. P-5.101.

227. Чукбар К. В. Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ. -1995. -Т. 108.-С. 1875-1880.

228. Зеленый JI. М., Милованов А. В . Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН . -2004. -Т. 174,- N.8. С.809-852.

229. Budaev V.P., Grashin S.A., Kirnev G.S. et al., The Characterization of Edge Plasma Intermittency in T-10 and TCABR Tokamaks // Proc. 34th EPS Conference on Plasma Phys. Warsaw, 2 6 July 2007 ECA Vol.31F, P-1.088.

230. Шустер Г. Детерминированный хаос.- М.: Мир, 1988.

231. Будаев В.П., Химченко JI.H. О фрактальной структуре осажденных пленок в токамаке // ЖЭТФ. 2007. -Т.131.-№ 4. -С. 711-728

232. Budaev V.P., Khimchenko L.N. Fractal growth of deposited films in tokamaks //Physica A . -2007.-V.382.-P.359—377.

233. Будаев В.П., Химченко JI.H. Фрактальная нано- и микроструктура осажденных пленок в термоядерных установках// Вопросы атомной науки и техники.Серия Термоядерной синтез. -2008.-Вып.З. -С.34-49.

234. Carreras В. A., Lynch V. Е. and La Bombard В. Structure and Properties of Electrostatic Fluctuations in the Far Scrape-off Layer Region of Alcator C-Mod// Phys. Plasmas. -2001.-V.8.-P.3702-3711.

235. Antar G. Y., Krasheninnikov S. I., Devynck P. et. al. Experimental Evidence of Intermittent Convection in the Edge of Magnetic Confinement Devices// Phys. Rev. Lett. .-2001.-V.87.-P. 065001-04.

236. Budaev V., Kikuchi Y., Toyoda M., Uesugi Y.and Takamura S. Effect of rotating helical magnetic field on the turbulence fractal structure in the tokamak edge //Plasma Fusion Res. Ser. -2002.-V.5.-P. 418-422.

237. Budaev V., Kikuchi Y., Toyoda M., Uesugi Y.and Takamura S. Effect of rotating helical magnetic field on the turbulence fractal structure and transport in the tokamak edge //J.Nucl. Materials. -2003.-V.331-316 .-P. 1309-1314.

238. Budaev V. P., Ohno N., Masuzaki S. et al. Extended Self-Similarity in Edge Plasma Turbulence of Fusion Devices//Contrib. Plasma Phys. -2008.-V.48.-P. 1-4.

239. Божокин C.B., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Учебное пособие.-Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, -С. 128.

240. Будаев В.П. Супердиффузия и мультифрактальная статистика турбулентности замагниченной плазмы . в кн. Пути Ученого. Е.П.Велихов./ Под ред. В.П. Смирнова Москва, РНЦ «Курчатовский институт».- 2007.- С.64-76.

241. Yordanova Е., Vaivads A. A., Andre М., Buchert S. С. and Voros Z. Magnetosheath Plasma Turbulence and Its Spatiotemporal Evolution as Observed by the Cluster Spacecraft// Phys. Rev. Lett. -2008.-V.100-.P. 205003-06.

242. Muzy J. F., Bacry E. and Arneodo A. Wavelets and multifractal formalism for singular signals: application to turbulence data//Phys. Rev. Lett. -1991.-V. 67.-P. 35153518

243. Ohno N., Masuzaki S., Budaev V. P. et al. Bursty Fluctuation Characteristics in SOL/Divertor Plasmas of Large Helical Device //Proc. 21st IAEA Fusion Energy Conference, Chengdu, China. 2006. IAEA-CN-149/EX/P4-20.P1-9.

244. Spada E., Carbone V., Cavazzana R. et al. Search of Self-Organized Criticality Processes in Magnetically Confined Plasmas: Hints from the Reversed Field Pinch Configuration//Phys. Rev. Lett. -2001.-V.86.-P. 3032-3035.

245. Sanches R. , Newman D. E., Carreras B. A. Waiting-Time Statistics of Self-Organized-Criticality Systems //Phys. Rev. Lett. -2002.-V.88.-P 068302-4

246. Sanches R., van Milligen B. Ph., Newman D. E. and. Carreras В. A. Quiet-Time Statistics of Electrostatic Turbulent Fluxes from the JET Tokamak and the W7-AS and TJ-II Stellarators // Phys. Rev. Lett. -2003.-V.90.-P. 185005-09.

247. Федер E. Фракталы.-M.: Мир, 1991.

248. Grandell J. Doubly Stochastic Poisson Processes //Lecture Notes Math. 1976.-V. 529.-P.1-12.

249. Mandelbrot B.B. A multifractal walk down Wall Street// Scientific American. -1999.-V.280.-P.70-73.

250. Carbone V., Bruno R. and Veltri P. Evidences for extended self-similarity in hydromagnetic turbulence // Geophys. Res. Lett.- 1996. -V.23.- P.121.

251. Politano H. and Pouquet A. Dynamical length scales for turbulent magnetized flows //Geophys. Res. Lett. -1998. -V.25. -P.273 -276.

252. Budaev V. P. Multi-fractal statistics of edge plasma turbulence in fusion devices //in : Stochastic models of structural plasma turbulence / edited by V. Yu. Korolev and N.N. Skvortsova.VSP International Science Publishers, 2006.

253. Будаев В.П. Обобщенная масштабная инвариантность и лог-пуассоновская статистика турбулентности краевой плазмы в токамаке Т-10//Физика плазмы. -2008.-Т. 34.-С. 1-18.

254. Budaev V.P., Takamura S., Ohno N. and Masuzaki S. Superdiffusion and multifractal statistics of edge plasma turbulence in fusion devices// Nucl. Fusion. -2006.- V.46. -No. 4. -P. S181-S191.

255. Budaev V.P., Takamura S., Ohno N. Waiting-Time Multifractal Statistics of Edge Plasma Turbulence in the T-10 Tokamak and NAGDIS-II Linear Device//Proc. 32nd EPS Conference on Plasma Phys. Tarragona, 27 June 1 July. 2005. ECA. -V.29C,-P4-050.

256. Van Milligen B. Ph., Hidalgo C., and Sanchez E. Nonlinear Phenomena and Intermittency in Plasma Turbulence // Phys. Rev. Lett. -1995.-V.74.-P. 395 398.

257. Van Milligen B.Ph., Sánchez E., Estrada T. et al. Wavelet bicoherence: a new turbulence analysis tool //Phys. Plasmas. -1995.-V.2 .-P 3017-3025.

258. Arneodo A., Bacry E., Manneville S. and Muzy J.F. Analysis of random cascades using space-scale correlation functions.//Phys.Rev.Lett. -1998.- V. 80. -P. 708-711.245

259. Politano H., Pouquet A., and Carbone V. Determination of anomalous exponents of structure functions in two-dimensional magnetohydrodynamic turbulence // Europhys. Lett. -1998.-V.43.-P. 516-521 .

260. Mueller W. and Biskamp D. Statistical anisotropy of magnetohydrodynamic turbulence//Phys. Rev. -2003. -V.E 67. -P.066302-05.

261. Budaev V.P. Scaling properties of intermittent edge plasma turbulence // Physics Letters A. -2009. -V.373.-P. 856-861.

262. Savin S., Amata E., Zelenyi L., Budaev V., et al. High kinetic energy jets in the Earth's magnetosheath: Implications for plasma dynamics and anomalous transport //Письма в ЖЭТФ.- 2008.-T.87. P.593.

263. Budaev V.P. Turbulence in magnetized plasmas and financial markets: comparative study of multifractal statistics UPhysica A.- 2004.-V.344.-P. 299-307.

264. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика.- М.: Наука, 1988.-С.736

265. Mason J., Cattaneo F. and Boldyrev S. Dynamic Alignment in Driven Magnetohydrodynamic Turbulence//Phys. Rev. Lett. -2006.-V.97. -P.255002.

266. Budaev V.P., Ohno N., Masuzaki S. et al. Scaling Laws of Intermittent Plasma Turbulence in Edge of Fusion Devices// Plasma and Fusion Research. -2008.-V. 3. — P.S1019 -S10124.

267. Будаев В.П. Исследование супердиффузии в пристеночной плазме // В сб. докл. 11-й Всерос. конф. по диагностике высокотемпературной плазмы. Троицк, Моск. обл., 13—18 июня. 2005. с. 111—112.

268. Biskamp D., Mueller W., Grappin R. Statistical anisotropy of magnetohydrodynamic turbulence //Phys. Rev E. -2003.-V.67.-P. 066302-06.

269. Frisch U., Pouquet A., Leorat J. and Mazure A. On the possibility of an inverse cascade in MHD helical turbulence //J. Fluid Mech. -1975.-V.68.-P. 769-778.

270. Budaev V.P., Ohno N., Takamura S., Masuzaki S. Extended Self-Similarity in Edge Plasma Turbulence of Fusion Devices //Proc. 11th International Workshop on Plasma Edge Theory in Fusion Devices, Takayama, Japan, 2007.P37.

271. Budaev V.P. The log-Poisson model of edge plasma turbulence in fusion devices// Proc. 35th EPS Conference on Plasma Physics and 10th International Workshop on Fast Ignition of Fusion Targets. Hersonissos, Greece. -2008 -P5.019

272. Zweben S. J., Liewer P. C., Gould R. W. Edge Plasma Transport Experiments in the Caltech Tokamak //Jour. Nuc. Mat. 1982. V.l 11-112. P. 39-43.

273. Budaev V.P., Ivanov R. S. Turbulence -induced transport in tokamak TV-1 //Proc. 18th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics . Budapest. 1985. V9FP1. P.303.

274. Budaev V.P., Bogomolov L.M., Borovsky B.V., Ivanov R.S. Cross-field particle transport in the edge plasma of tokamak TF-1 //Journal of Nuclear Materials. -1990.-V.176& 177.-P. 705-710.

275. Budaev V.P., Ivanov R.S. Correlative properties of edge plasma turbulence in tokamak TV-1 // Journal of Nuclear Materials.-1989.-V.162-164.-P.322-326.

276. Kirnev G.S., Budaev V.P., Grashin S.A., Gerasimov E.V., Khimchenko L.N. Intermittent Transport in the Plasma Periphery of the T-10 Tokamak //Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg. 2003. ECA V. 27A. P-3.121.

277. Kirnev G.S., Budaev V.P., Grashin S.A., Khimchenko L.N. and Sarytchev D.V. Comparison of plasma turbulence in the low- and high-field Scrape-Off Layers in the T-10 tokamak// Nucl. Fusion. -2005.-V.45.-P. 459-467

278. Budaev V.P. Radial electric field dynamics in the edge with ergodization in tokamak TF-2// Czechoslovak Journal of Physics.-1999.-V.49.-S3.-P.113-118

279. Ohno N., Tanaka H., Takamura S. et al. Non-Diffusive SOL Plasma Transport in Magnetically Confined Plasmas iil Relation with Magnetic Configuration and Plasma247

280. Detachment with Use of Statistical Analysis// Proc. of International Congress on Plasma Physics. Fukuoka, Japan. 2008. V. FF I2-W-4.

281. Budaev V.P., Takamura S., Ohno N. et al. Edge Plasma Turbulence in Fusion DevicesrBursty Behavior and Fractal Properties//Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg. 2003. ECA Vol. 27A, P-3.174

282. Chechkin A. V., Gorenflo R., and Sokolov I. M. Retarding subdiffusion and accelerating superdiffusion governed by distributed-order fractional diffusion equations // Physical Review .-2002.-V.66. -P. 046129-36.

283. Kirnev G.S., Budaev V.P., Grashin S.A., Gerasimov E.V., Khimchenko L.N. Intermittent Transport in the Plasma Periphery of the T-10 Tokamak//Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. St. Petersburg. 2003. ECA Vol. 27A. P-3.121.

284. Кузнецов С.П. Динамический хаос -M.: Издательство Физико-математической литературы, 2001.

285. Budaev V.P., Ivanov R.S., Bogomolov L.M. Asymmetry of edge plasma turbulence in biasing experiments on tokamak TF-2 // Proceedings 21-st EPS Conf. Controlled Fusion and Plasma . Montpellier. 1994. V18B.Partl. P. 1-170.

286. Budaev V.P. The ExB Velocity shear and turbulent transport in the edge of tokamak TF-2. //Proc. International Congress on Plasma Physics & 25th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics. Praha.1998. B009

287. Budaev V.P. Poloidal dependence of the ExB shearing rate and turbulent transportin the edge of tokamak TF-2 //Proceedings of the Workshop on the role of electric fields in plasma confinement and exhaust. Prague. 1998, P. 121

288. Budaev V.P., Pankratov I.M., Takamura S. et al. Plasma Response on Penetration of External Rotating Helical Magnetic Field in HYBTOK-II Tokamak Edge Plasma.// Proc. 33rd EPS Conference on Plasma Phys. Rome.2006. ECA Vol.301. P-4.109.

289. Takamura S., Kikuchi Y., Kojima H. et al. Dynamic Effects of Rotating Helical Magnetic Fields on Tokamak Edge// Proc. 19th IAEA Fusion Energy Conference. Lyon, France.2002. EX/P5-09.

290. Budaev V., Kikuchi Y., Uesugi Y. and Takamura S. Effect of rotating helical magnetic field on the turbulence fractal structure and transport in the tokamak edge plasma//Nuclear Fusion.-2004.-V. 44. -P. S108-S117.

291. Ohno N., Budaev V. P., Tanaka T. et al. Intermittency Studies in Magnetically Confined Plasma Devices // Proc.l2th International Toki Conference on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion. Toki, Japan 2001. PI-25 .

292. Kikuchi Y., Budaev V. P., Toyoda M., Uesugi Y., Takamura S. Control of Rotating Helical Magnetic Field Penetration into Tokamak Plasmas using Electrode Biasing in HYBTOK-II // Journal of Nuclear Material S.-2002.-V. 313-316.-P. 1272-1276 .

293. Bt, Вр, Вг- продольное (тороидальное) , азимутальное (полоидальное) ирадиальное магнитное поле. qa (a/R) (В/Во) — коэффициент запаса устойчивости. пе - плотность плазмы.

294. Те, Ti температуры электронной и ионной компонент плазмы.ре(г) давление плазмы.

295. Те времени удержания энергии в плазме.1.at — ионный ток насыщения на ленгмюровский зонд.

296. Vf — плавающий потенциал ленгмюровского зонда.

297. S(q,x) — структурная функция порядка q.q- порядок структурной функции.

298. Re число Рейнольдса Re=UL/v, где L — макромасштаб движения характеризуемого скоростью U, v - вязкость.

299. СОЛ — от англ. SOL-scrape-off layer, область пристеночной плазмы в тенилимитера или диверторной пластины.

300. ФРПВ функция распределения плотности вероятности.

301. БеГТ, О коэффициент диффузии. О, с1 - размерность пространства или объекта. Н - показатель (индекс) Хёрста. Ь - показатель (индекс) Гёльдера.

302. Ь) спектр сингулярности в зависимости от показателя Гёльдера.- скейлинг структурной функции в зависимости от порядка момента q. Г поток частиц.

303. ДЭД динамический эргодический дивертор.