Корреляционные модели аномального переноса для структурной плазменной и гидродинамической турбулентности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

На правах рукописи

БАКУНИН Олег Геннадьевич

КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ МОДЕЛИ АНОМАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ СТРУКТУРНОЙ ПЛАЗМЕННОЙ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Специальность 01.04.08 - Физика плазмы

- /> ИЮЛ 2012

Автореферат

Москва — 2012

005046274

Работа выполнена в Национальном исследовательском центре «Курчатовский институт»

Официальные оппоненты:

Брушлинский Константин Владимирович доктор физико-математических наук, профессор, Институт прикладной математики им М.В. Келдыша РАН, главный научный сотрудник

Тимофеев Александр Владимирович

доктор физико-математических наук, НИЦ «Курчатовский институт», Институт водородной энергетики и плазменных технологий, главный научный сотрудник

Попов Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор,

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова,

профессор кафедры математической физики ВМК МГУ

Ведущая организация:

Институт космических исследований Российской академии нарс г. Москва Защита состоится у2М»(ВЗ'^'ПР'^ьЛ 2012 г. в /Г_^часов на заседанш диссертационного совета Д 520.009.02 при Национальном исследовательском центр «Курчатовский институт» по адресу: 123182, г. Москва, пл. Ак. Курчатова, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЦ «Курчатовский институт».

Автореферат разослан « » 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

А.В. Демура

© Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт», 2012

I. Общая характеристика работы

Актуальность темы

Проблема термоизоляции плазмы в термоядерных исследованиях занимает центральное место. Несмотря на значительный прогресс в исследованиях по этой проблеме, достигнутый за более чем полувековой период, в этой области все еще существуют серьезные задачи, которые необходимо решить. Повышенные потери частиц и тепла в системах с магнитным удержанием способны значительно ухудшить эффективность удержания плазмы, в том числе и в проектируемом в рамках проекта ИТЭР токамаке. Развитие работ по управляемому термоядерному синтезу показало, что плазма проявляет повышенную способность к преодолению магнитной изоляции. На начальном этапе исследований считалось, что удастся построить термоядерный реактор, не особенно вникая в физическую сущность происходящих в нем явлений. Неудачи в достижении этой цели чисто техническими средствами привели к осознанию необходимости углубленного исследования физической сущности явлений, связанных с аномальным характером переноса частиц и тепла. На сегодняшний день, считается общепризнанным, что причиной аномального переноса является вызванная многочисленными неустойчивостями турбулентность плазмы. Несмотря на то, что линейная теория неустойчивостей хорошо предсказывает условия раскачки колебаний и их характерные частоты и инкременты, турбулентное состояние плазмы с широким спектром колебаний требует создания принципиально новой нелинейной теории. Сложности создания теории сильной турбулентности плазмы в токамаке связаны как с математической сложностью, так и с недостаточностью имеющихся на сегодняшний день экспериментальных данных. Кроме того, для получения коэффициентов переноса необходимо развить методы, позволяющие учесть эффекты

длинных корреляций и нелокальности, присущие сильно турбулентному состоянию высокотемпературной плазмы в токамаке.

Турбулентный перенос - это фундаментальное физическое явление, имеющее колоссальное практическое значение не только для физики высокотемпературной плазмы, но и для таких важных областей как астрофизика, физика атмосферы и океана. Многолетние интенсивные исследования в этой области все еще не привели к созданию полного физико-математического описания турбулентного переноса. С одной стороны, это открывает широкий простор для исследователей, а с другой, создает серьезные трудности при решении конкретных задач. Действительно, явления переноса в турбулентных течениях крайне редко удается описать посредством классических диффузионных моделей. Главной причиной этого является чрезвычайная сложность неупорядоченных движений, возникающих в турбулентных потоках. Неупорядоченность поля течения, когда скорости жидких частиц являются случайными (т.е. не контролируются макроскопическими свойствами потока), приводит к необходимости широкого использования корреляционных моделей и концепции скейлинга. Развитое турбулентное течение порождается иерархической совокупностью вихрей, где самые крупные из вихревых образований имеют размеры, сравнимые с размером рассматриваемой области, а мелкие вихри имеют «вязкостные» масштабы. В таких условиях выбор характерной корреляционной длины и времени корреляции, определяющих перенос турбулентным потоком частиц, не является тривиальным. Здесь необходимо принять во внимание как корреляционные характеристики поля скорости течения, так и его «топологические» особенности, которые не всегда напрямую связаны с мелкомасштабными движениями. Кроме того, при описании процессов турбулентного переноса требуется учесть такие «конкурирующие» факторы, как затравочная (молекулярная) диффузия, пере соединение линий тока, стохастическая неустойчивость и другие.

Аналогичные проблемы возникают в физике плазмы при рассмотрении движения заряженных частиц в стохастическом магнитном поле и в физике твердого тела при описании переноса в аморфных полупроводниках, и во многих других системах, где закон, описывающий диффузию, существенно отличается от классического. Несмотря на значительный прогресс в понимании аномального переноса, многие аспекты ставших уже классическими работ в этой области остаются актуальными. Так, уже на первой стадии исследования процессов турбулентной диффузии предлагалось использовать корреляционные функции, модификацию классического диффузионного уравнения, методы перенормировки и др. Представить эволюцию всех этих научных концепций в данной работе не представляется возможным. Автор сосредоточил свое внимание на идеях скейлинга, которые являются важным и достаточно универсальным инструментом, используемым как теоретиками, так и экспериментаторами. Именно подход, в основе которого лежат скейлинговые представления, позволяет достаточно быстро разобраться в постановках задач и проблемах, имеющихся в различных современных областях физики, связанных с исследованием турбулентности. Прошло более 70 лет со времени публикации основополагающих работ Колмогорова и Обухова, посвященных скейлинговому описанию развитой турбулентности. Тем не менее, фундаментальный вопрос о характере взаимодействия вихрей в турбулентном потоке остается открытым.

Важно отметить, что при описании аномального переноса в плазме подобные проблемы возникли уже в конце 40-х годов прошлого века. Так, в 1949 году Бом выдвинул гипотезу о том, что перенос зарядов плазмы может, в основном, определяться не парными столкновениями частиц, а переменными электрическими полями коллективного происхождения. Предложенная им формула для коэффициента турбулентной диффузии стала общеупотребительной как мера аномальности. Заметим, что простота

формулы Бома, а также тот факт, что в ее основу не был положен конкретный физический механизм переноса, создавали иллюзию ее универсальности. Здесь, также как и в скейлинге Колмогорова, электрическое поле «выпадало» из окончательного выражения, аналогично тому, как при рассмотрении каскада в теории гидродинамической турбулентности характерное время нелинейного взаимодействия вихрей удалось описать простой размерностной оценкой. В дальнейшем, эксперименты на токамаках и стеллараторах показали, что энергетическое время удержания плазмы оказывается слишком малым, чтобы его можно было описать неоклассическими формулами. Поэтому возникла необходимость использовать концепцию скейлинга для того, чтобы предсказывать характер удержания. Такие скейлинги были предложены Горбуновым, Мирновым и Стрелковым в 70 году и Арцимовичем в 1971 году. Сознавая трудности строгого теоретического описания турбулентного переноса в высокотемпературной плазме, Арцимович назвал свой скейлинг «псевдоклассическим». В этот же период начал разрабатывать методы описания сильно-турбулентной плазмы Кадомцев, работы которого сыграли важную роль для понимания базовых механизмов аномального переноса, связанного с низкочастотной структурной турбулентностью.

Для объяснения нелокального переноса в высокотемпературной замагниченой плазме была привлечена концепция самоорганизации, которая позволила применить скейлинговые зависимости, используемые в теории фазовых переходов. Идея о самоорганизации плазмы в токамаке нашла свое выражение в представлении о самосогласованных профилях и активно развивалась в Институте Курчатова Кадомцевым, Днестровским, Разумовой и др.

Фактически, скейлинг, по-прежнему, остается главным инструментом анализа плазменной и гидродинамической турбулентности. Естественно, при описании явлений переноса в условиях сильной

турбулентности мы сталкиваемся с теми же проблемами. Возникающие при больших числах Рейнольдса или Кубо когерентные структуры значительно осложняют описание эффективного переноса. Методы, развитые для слабой турбулентности, приводят к результатам, противоречащим как эксперименту, так и численному моделированию. В отсутствие универсального метода анализа эффектов переноса в структурной турбулентности естественно сосредоточить внимание на современных теоретических подходах, выбирая в качестве основы конкретный вид вихревых (когерентных) структур, формирующих рассматриваемый класс турбулентных течений. Это позволяет получить новые скейлинги для эффективных коэффициентов аномальной диффузии, которые могут быть использованы при анализе имеющихся экспериментальных данных и при проектировании новых установок с магнитным удержанием горячей плазмы.

Цель работы

Целью диссертационной работы является:

1. Выявить основные механизмы, ответственные за формирование перколяционных линий тока. Использовать полученные результаты для описания сильно-турбулентных режимов переноса ионов в токамаке с учетом тороидального дрейфа.

2. Разработать новый метод перенормировки малого параметра перколяционной модели, учитывающий эволюцию стохастического слоя, связанного с перколяционными эвипотенциалями турбулентного поля.

3. Получить новые скейлинги для описания турбулентной диффузии в задачах, где пересоединение линий тока в двумерных течениях вызвано обратным каскадом.

4. Определить скейлинг для описания гамильтоновой диффузии, связанной с процессами пересоединения эквипотенциалей.

5. Рассмотреть эффекты стохастической неустойчивости в двумерных гидродинамических и МГД течениях в режиме обратного каскада.

6. Рассмотреть систему случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями. Получить скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос частиц скаляра, с показателем, характеризующим корреляционные свойства ширового течения.

7. Использовать возможности теории аномального переноса и теоретико-вероятностный подход для описания функции распределения надтепловых электронов по скоростям. Проанализировать эффекты нелокалыюсти, связанные с рассмотрением функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака.

Связь с государственными научно-техническими программами

Диссертация выполнена в соответствии с планом научно-технических работ ИФТ НИЦ "Курчатовский институт" по направлению: «термоядерный синтез» в соответствии с Федеральной целевой научно-технической программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники гражданского назначения», подпрограмма "УТС и плазменные процессы" 1996-2000 годы; Федеральной целевой научно-технической программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 годы; Федеральной целевой программой «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы».

Научная новизна

Научная новизна полученных в диссертации результатов заключается в следующем.

1. Впервые получен скейлинг для описания турбулентной диффузии ионов в плазме токамака, где учтено как влияние тороидального дрейфа, так и низкочастотной дрейфовой турбулентности в перколяционном пределе.

2. Сформулирован новый подход к построению условий перенормировки малого параметра теории континуальной перколяции, основанный на рассмотрении эволюции корреляционных масштабов, характеризующих эквипотенциали двумерной турбулентности.

3. Впервые получен скейлинг для вычисления коэффициентов турбулентной диффузии в течениях, где пересоединение эквипотенциалей вызвано обратным каскадом энергии.

4. Исследовано влияние обратного каскада на инкремент стохастической неустойчивости в двумерных гидродинамических и МГД течениях в перколяционном пределе.

5. Получено новое нелокальное уравнение в дробных производных, описывающее систему случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями.

6. Найден новый скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос скаляра в системе случайных шировых потоков, с показателем, характеризующим корреляционные свойства рассматриваемого течения.

7. На основе кинетического уравнения в форме Фоккера-Планка исследованы нелокальные эффекты, связанные с переносом надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака.

8. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения баллистически движущихся частиц по скоростям.

Научная и практическая ценность

Результаты работы могут быть использованы для описания турбулентного переноса в плазме токамака. Предложенные модели переноса имеют общефизический характер. Это позволяет применять предложенные методы и результаты для анализа широкого круга проблем, связанных с процессами аномального переноса в условиях сильной турбулентности. В работе показано, что коэффициенты переноса частиц в условиях структурной турбулентности радикально отличаются от квазилинейных оценок. Эти отличия позволяют адекватно описать аномальную диффузию в сильно турбулентной плазме. Так, предложенная автором новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе хорошо согласуется с результатами независимого численного эксперимента и предсказывает значительное усиление

переноса ионов по сравнению с неоклассическим. Наряду с задачами описания переноса частиц в плазме, важную роль играют проблемы описания переноса скаляра мезомасштабными атмосферными и океаническими потоками. Предложенные в диссертации скейлинги могут быть использованы для анализа турбулентного переноса частиц скаляра в задачах физики атмосферы и океана. Вопросы, связанные с поведением надтепловых электронов актуальны для описания потоков частиц и тепла в плазме токамака, а также для геофизических и астрофизических исследований, где важную роль играют декорреляционные механизмы, связанные с присутствием стохастического магнитного поля.

Основные положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие, содержащие научную новизну, результаты:

1. Получена новая формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в низкочастотном пределе на основе теории континуальной перколяции.

2. Сформулирован и апробирован новый метод получения перколяционных параметров, основанный на балансе характерных корреляционных масштабов. Получен новый скейлинг для описания переноса частиц скаляра в двумерных турбулентных течениях с обратным каскадом.

3. Получено новое нелокальное уравнение, описывающее перенос скаляра в системе случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями. Найден скейлинг, связывающий показатель, описывающий перенос, с показателем, характеризующим корреляционные свойства поля скорости системы случайных шировых потоков.

4. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения надтепловых электронов по скоростям. Проанализированы частные случаи в задачах с известными корреляционными свойствами.

Личный вклад автора

Все результаты диссертации получены автором лично или с его определяющим участием. Из 22 работ, опубликованных автором по теме диссертации в реферируемых научных журналах, только 3 работы имеют соавторов. В этих 3-х работах автор непосредственно участвовал в постановке задачи, формулировке выводов и самостоятельно провел все вычисления. За цикл работ по теме диссертации «Корреляционные модели аномального переноса для структурной турбулентности» автору была присуждена премия имени И.В. Курчатова за лучшую работу в области научных исследований в 2011 году.

Достоверность и апробация работы

Основные результаты диссертации и диссертация в целом докладывались на Теоретическом семинаре под руководством В.Д. Шафранова в Институте Курчатова и на следующих международных конференциях:

1. The International Conference, Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence, Moscow, Russia, 23-25 November 2009

2. International IUTAM Symposium on Applied Mechanics Moscow, Russia,

3-8 August 2007

3. 8-th International Conference on Complexity, Oxford, UK, 1-9 September 2006

4.10-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent 10

Mixing, Paris, France, 17-21 July 2006

5. XV International Nonlinear Dynamics Session of Russian Academy of Science,

25-27 December 2006

6. International Conference on Boitzmann Equations and Fluidodynamic Limits, Trieste, Italy 12-17 June 2006

7. Coherent Structures in Atmosphere and Ocean, Boulder, Colorado, National Center Atmospheric research, 11-14 July 2005

8. Random media and Stochastic Differential equations, California, Los Angeles,

University of Southern California, 14-18 June 2005

9. KCASC Seminar, "Fractality ideas and long-range correlations in turbulent

transport", Kansas Center for Advanced Scientific Computing, USA, 18 March 2005

10. 9-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Natural, Clare College Cambridge, 13-17 August 2004

11. International Nonlinear Dynamics Session of Russian Academy of Science, 20-21 December 2004

12. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, Brussels, Belgium, 9-13 July 2004

13. The International Conference MSS-04, Mode Conversion, Coherent Structures

and Turbulence, Moscow, Russia, 23-25 November 2004

14. Turbulence and transport seminar. Department of Aeronautics, Imperial College, London 28 July 2004

15. 9-th International Conference on the Physics of Compressible Turbulent Mixing, Cambridge, UK, 19-23 July 2004

16. UKAEA, Culham laboratory, Theoretical seminar, 15 July 2004

17. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys., St. Petersburg, 711

July 2003 ECA Vol. 27A, P-2.116

18. TEC Theory and Chaos meeting 11 May 2004.

19. 1-st International Workshop on Stochasticity in Fusion Edge Plasmas SEP

6-8 October 2003

20. 10-th European Fusion Theory Conference 8-10 September 2003

21. TEC Theory and Chaos meeting 9 June 2003

22. Burning Plasma Conference, Italy, Turin, Villa Gualino, 23-25 April 2003

23. German-Polish Conference on Plasma Diagnostics for Fusion and Applications, Germany, Greifswald, 4-6 September 2002

24. International Symposium on Discharges and electrical insulation in vacuum, EIT De Tours, France June 30-July 5, 2002

25. Diagnostics of non-equilibrium high pressure plasmas APP Spring Meeting,

Bad Honnef, Germany 18-21 February 2001

26. International Conference on Levy processes and stable laws, University of Warwick England 2-6 April 2001

27. The Ninth European Fusion Theory Conference, Elsinore, Denmark 17-19 October 2001

28. International Conference on Dynamical Networks in Complex Systems, University of Kiel, Germany July 2000.

29.2-nd IEEE International Vacuum Electronics Conference Noordwijk, The Netherlands April, 2000

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе, из которых 22 в ведущих реферируемых иностранных и отечественных журналах из списка ВАК. Автор опубликовал две монографии по теме диссертации в издательстве Шпрингер (Springer) и обзор в Вопросах Теории Плазмы т.24

(Reviews of Plasma Physics). Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 269 страниц, включая 39 рисунков и список литературы из 172 наименований.

II. Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность задач турбулентного переноса в условиях структурной, гидродинамической и плазменной турбулентности. Там также представлено краткое содержание глав диссертации. В силу междисциплинарного характера рассматриваемых в диссертации проблем во введении представлен обзор, посвященный важным для понимания результатов диссертации аспектам корреляционного подхода к анализу аномального переноса в различных турбулентных течениях. Кратко рассмотрен метод перенормировки квазилинейных уравнений и соответствующие коэффициенты турбулентной диффузии. Анализируется перколяционный подход к описанию турбулентной диффузии на основе представления о перестройке системы конвективных ячеек в результате эволюции дрейфовой турбулентности с образованием длинных эквипотенцалей (линий тока), вносящих основной вклад в перенос частиц. Проанализированы известные результаты, полученные с помощью перколяционного метода, для стационарных случайных течений и течений, в которых перестройка топологии играет важную роль. Рассмотрены задачи описания эффектов нелокальности, возникающих при исследовании переноса надтепловых электронов в сильно неоднородной плазме токамака. Показано как эффекты нелокальности и «захвата» описываются в фазовом пространстве на основе теоретико-вероятностных соображений и метода случайных блужданий с непрерывным временем.

В главе 1 рассмотрено влияние структурной дрейфовой турбулентности на перенос ионов в токамаке в низкочастотном пределе. В разделе 1.1 представлена система уравнений, описывающих влияние турбулентности на неоклассический перенос ионов. Показано, что в

рамках двумерного представления турбулентности плазмы в токамаке неоклассические эффекты описываются дрейфовой составляющей гамильтониана

Здесь - флуктуирующая часть гамильтониана, связанная с дрейфово-конвективной неустойчивостью. Проведены оценки масштабов турбулентных пульсаций скорости частиц и рассмотрена связь между амплитудой турбулентных пульсаций скорости и порядком величины осциллирующей части гамильтониана:

характерный пространственный масштаб вихревых структур, У0 -характерная амплитуда турбулентных пульсаций скорости частиц и В0 -тороидальное магнитное поле. Анализ переноса проводится в условиях, когда характерный масштаб турбулентных пульсаций скорости больше чем величина скорости дрейфа и^,

В таких условиях естественно использовать предложенное Кадомцевым и Погуце представление о формировании, в процессе эволюции системы конвективных ячеек, длинных (перколяционных) эквипотенциалей, охватывающих значительные области пространства. Именно эти перколяционные эквипотенциали вносят основной вклад в перенос частиц и создают условия для возникновения эффектов нелокальности. В рамках используемого подхода ширина стохастического слоя Д, образованного длинными перколяционными эквипотенциалями, является малым параметром модели, что позволяет вычислить коэффициент турбулентной диффузии,

Здесь Ф - масштаб возмущения электрического потенциала, Я ос —

К

ч*

о М

используя выражение для возмущения гамильтониана в форме

Ч'.-Г.Д *У„Яе..

Здесь е. яД/Я - малый перколяционный параметр, а - характерный пространственный корреляционный масштаб, Рх - доля пространства, занятого длинными перколяционными эквипотенциалями и т -характерное корреляционное время, связанное с движением частиц вдоль эквипотенциалей. В разделе 1.2 проанализированы методы перенормировки в «градиентных» системах на основе теории перколяции. Рассмотрено условие, связывающее малый перколяционный параметр е, , с параметром, характеризующим амплитуду возмущений,

Перколяционный показатель у = 4/3. В разделе 1.3 показано как проявляются эффекты малой дрейфовой скорости при рассмотрении поля течения в перколяционном пределе. Рассмотрена иерархия характерных пространственных масштабов и связанная с ней иерархия масштабов скорости. Раздел 1.4 посвящен анализу квазилинейного приближения для описания эффектов нестационарности в двумерных турбулентных течениях в перколяционном пределе. Показано, что квазилинейная модель не дает корректного описания проблемы, поскольку не учитывает эффектов, связанных с перестройкой эквипотенциалей дрейфового гамильтониана. В разделе 1.5 рассмотрен низкочастотный предел перколяционной модели турбулентного переноса ионов в плазме токамака. Характерная частота этих возмущений дается формулой:

к1-сТ оз -

Здесь Ь„=— - характерный размер, к„=1/дІІ, к± = 1/ рп где ц - запас

V п

устойчивости, р, - ларморовский радиус ионов, Д - большой радиус токамака, 50кГц<а <150кГц. Предложено новое условие перенормировки малого параметра е. в задачах, где одновременно

присутствует как дрейф, так и низкочастотные колебания

Оно опирается на одновременное использование двух безразмерных комплексов. Так, параметр и/Уо описывает влияние дрейфовой скорости на поле турбулентности, в то время как число Кубо,

характеризует эффекты нестационарности, связанные с пересоединением эквипотенциалей. Показано существенное отличие нового выражения от классического результата Тругмана, не учитывающего влияние внешней частоты возмущений. Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении представлены в разделе 1.6. Получен новый скейлинг для коэффициента турбулентной диффузии в низкочастотном пределе:

Здесь иё - скорость тороидального дрейфа в токамаке, ю - характерная частота турбулентных пульсаций, У„ - амплитуда турбулентных пульсаций скорости и Л - характерный масштаб вихревых структур. Перколяционный показатель у = 4/3. Здесь же рассмотрена соответствующая модели иерархия временных масштабов и пределы применимости использованного подхода. Приведены оценки величин, характеризующих перенос ионов в токамаке в условиях развития низкочастотных дрейфовых

Кия

К __ сФк± Ла) В„а> '

колебаний. Представленные здесь оценки величин подтверждают применимость предложенного скейлинга для описания влияния турбулентности на неоклассический перенос

А^п д»„Д „ я „]0

и, ~ К ГЦ ~

Здесь р1 - ларморовский радиус ионов, а>ш - циклотронная частота ионов и Уп - тепловая скорость ионов. Показано, что предложенная автором новая

формула для коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке в

1

низкочастотном пределе дДа»)«: <и' очень хорошо согласуется с результатами независимого численного эксперимента. Получено выражение для гамильтоновой диффузии, связанной с процессами пересоединения эквипотенциалей

Указаны недостатки квазилинейного приближения и получены условия применимости перколяционного подхода. В разделе 1.7 проведено сравнение полученного коэффициента эффективной турбулентной диффузии ионов в токамаке с неоклассическим значением. Рассматривая сильно турбулентные режимы, предполагаем Ки и 5. Полученное нами выражение для эффективного коэффициента турбулентной диффузии ионов в токамаке

г -

предсказывает превышение неоклассического переноса в режиме плато ОРЫо в 5 раз за счет влияния низкочастотной дрейфовой турбулентности. В режиме Пфирша-Шлютера получена оценка

Эти результаты хорошо согласуются с данными экспериментов по измерениям коэффициентов переноса ионов в различных токамаках.

Глава 2 посвящена исследованию турбулентного переноса скаляра в двумерных гидродинамических и магнитогидродинамических (МГД) течениях в присутствии обратного каскада в рамках перколяционной модели. В разделе 2.1 рассмотрен новый метод получения малого перколяционного параметра е., основанный на рассмотрении эволюции корреляционных масштабов в форме баланса между корреляционным масштабом, определяемым шириной стохастического слоя А(ї) ос я(я/а)">', и длиной перемешивания, связанной с проходимым частицами скаляра расстоянием вдоль перколяционной линии тока, а(і) сс я( Ы X )""' °с(ко*)1/в',

Здесь ¡„ - корреляционное время, Д - ширина стохастического слоя, Ь -длина перколяционной линии тока, К0 - амплитуда турбулентных пульсаций скорости в двумерном случайном течении и Я - характерный масштаб вихревых структур. Показатель, описывающий периметр перколяционного кластера £>4=1 + 1/у, у = 4/3. Показано, что предложенным методом удается получить уже известные скейлинги для турбулентного переноса в двумерных течениях в перколяционном пределе. Так, линейная аппроксимация роста ширины стохастического слоя Д(/) = (Я а) / позволяет получить скейлинг, описывающий влияние характерной частоты возмущений т на коэффициент турбулентной диффузии ос Ки1П0. Диффузионная аппроксимация роста ширины стохастического слоя Д2(/)«/у позволяет получить формулу для коэффициента турбулентной диффузии в стационарном случайном течении в присутствии затравочной (молекулярной) диффузии £><# ос Реш". Здесь Ц> - коэффициент затравочной (молекулярной) диффузии и Ре = ЯК0/£)0 - число Пекле. Предложено использовать поток энергии по

спектру ек в двумерных турбулентных течениях как ключевой параметр для перколяционной модели переноса частиц. В разделе 2.2 анализируется возникновение крупномасштабных вихревых образований в условиях двумерной турбулентности и рассматриваются соответствующие прямому и обратному каскаду спектры. Указывается, что обратный каскад энергии является важнейшим механизмом, обеспечивающим формирование крупномасштабных вихревых структур. Используя представление о формировании, в процессе эволюции турбулентности длинных (перколяционных) линий тока, можно вычислить коэффициент турбулентной диффузии,

Здесь % к У„А(£.) - связанное с перколяционными линиями тока значение возмущенной функции тока двумерного случайного течения, а -характерный пространственный корреляционный масштаб, Р„ - доля пространства, занятого длинными перколяционными линиями тока и г -характерное корреляционное время, связанное с баллистическим движением частиц скаляра вдоль перколяционных линий тока. В разделе 2.3, следуя развитому Колмогоровым методу, получаем скейлинг для характерного временного масштаба перестройки линий тока г„(Д ,ек)ъ течениях с обратным каскадом, формируя комбинацию двух ключевых

величин £■„

и Д = [м],

Используя предложенный в этой главе в разделе 2.1 новый метод получения малого перколяционного параметра, получаем выражение для коэффициента турбулентной диффузии в двумерных течениях с обратным каскадом энергии в форме скейлинга:

А^ » ГЛ

[еА)1'

V,„

Здесь ек - колмогоровский поток энергии по спектру, К0 - амплитуда турбулентных пульсаций и Я - характерный масштаб вихревых структур. Этот результат существенно отличается от квазилинейного скейлинга •°<#(Ро) ос К02. Получена оценка для характерного корреляционного времени. Рассмотрены иерархия характерных временных масштабов и пределы применимости модели на основе диффузионного ухода частиц с линий тока,

А1(с.) Лге?

тк(£.) « т[,(£.) ,

А, А,

что также позволяет получить ограничение по допустимому, для данной модели, характерному масштабу турбулентных пульсаций

Получено выражение для гамильтоновой диффузии, связанной с процессами пересоединения линий тока. Получены оценки порядка величин для крупномасштабного переноса радиоактивных примесей в атмосфере. Стохастическая неустойчивость как важный декорреляционный механизм обсуждается в разделе 2.4. В разделе 2.5 рассмотрен инкремент стохастической неустойчивости в перколяционном пределе. Здесь указывается на необходимость использования характерного пространственного масштаба, соответствующего отдельной линии тока «Д. Показано, что в отличие от подхода Бэтчелора и Рочестера-Розенблюта перколяционный метод позволяет включить в рассмотрение амплитуды турбулентных пульсаций. Раздел 2.6 посвящен вычислению инкремента стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных течениях с обратным каскадом энергии. Получен новый скейлинг для инкремента стохастической неустойчивости

2/5

1/5

Этот результат существенно отличается от квазилинейного выражения для инкремента стохастической неустойчивости у3(У0)«:у£. Раздел 2.7 посвящен вычислению инкремента стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных МГД течениях с обратным каскадом вектор-потенциала. Рассмотрены каскадные процессы, соответствующие двумерным турбулентным МГД течениям. Получен новый скейлинг для инкремента стохастической неустойчивости

Здесь ел - поток вектор-потенциала по спектру.

В главе 3 анализируются случайные дрейфовые течения и перенормировка квазилинейных уравнений. В разделе 3.1 вводится показатель Херста Н, описывающий аномальные (не диффузионные) режимы переноса, где 0 < Я < 1

и рассматривается супердиффузионный перенос в системе случайных шировых потоков (течения Дрейзина-Дыхне с Я = 3/4). Здесь й2(г) -среднеквадратичное смещение частицы, с(/) = (к(о)к(<)) - лагранжева автокорреляционная функция скорости. Обобщения модели случайных потоков обсуждаются в разделе 3.2. Рассмотрен перенос частиц в модели стационарного случайного течения, являющегося суперпозицией двух взаимно перпендикулярных течений, образованных случайными плоскопараллельными шировыми потоками (течения Дрейзина-Дыхне), на основе представления о числе взаимодействий частицы скаляра с шировыми потоками. В разделе 3.3 показана эффективность применения принципа доминирования быстрой моды для описания турбулентного переноса. В 22

/ I'

Д2(()= \<1ґ\с(т)с1ткІ

о о

качестве примеров рассмотрены модели переноса скаляра в системе регулярных конвективных ячеек, перколяционная модель переноса в случайном стационарном двумерном течении и перенос в течениях, где важную роль играет пересоединение линий тока. «Изотропизация» как метод перенормировки обсуждается в разделе 3.4. Показано, что замена затравочного коэффициента диффузии эффективным коэффициентом турбулентной диффузии, предложенная Кадомцевым и Погуце для перенормировки квазилинейных уравнений, является эффективным методом для получения коэффициентов переноса в случайных стационарных течениях. Получено выражение, связывающее показатель ас, характеризующий скорость спадания лагранжевой автокорреляционной функции, с(г) = (к(о)и(г)^ ос , с аналогичным показателем аЕ, характеризующим скорость убывания эйлеровой функции скорости, с(г)=(к(г0У(г))осг"Ог, в модели стационарного двумерного случайного ширового течения. Раздел 3.5 посвящен рассмотрению перенормированного квазилинейного подхода как метода описания корреляционных эффектов. В разделе 3.6 получено новое уравнение в дробных производных для описания переноса скаляра в системе случайных дрейфовых потоков с негауссовами корреляциями

Здесь щ - осредненная плотность скаляра, Д, - коэффициент затравочной (молекулярной) диффузии, Ц,# - эффективный коэффициент диффузии, аЕ - показатель степенной корреляционной функции, у - показатель, характеризующий перенос скаляра. Дробная производная порядка у дается выражением

дЧ п дги„ и0(0,х) ЬС 5*2 '

аг/(0 1 <1 'г

дхг Т{\-у)с11 I (1-2у

I

где Г - гамма функция. Найден новый скейлинг, связывающий показатель Херста, описывающий аномальный перенос в системе случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями, с показателем аЕ, характеризующим корреляционные свойства течения

Г = у(аЕ) = 2Н = 2-Щ- , 0< ог£ <2,

Здесь Я - показатель Херста. В разделах 3.7 рассмотрен спектр, соответствующий исследуемой модели эйлеровой корреляционной функции СЕ (к). Показано, что предложенный скейлинг может быть получен независимым путем. Так, используя диффузионную аппроксимацию для движений скаляра поперек шировых течений,

к к — ~ .1 -, получаем выражение для среднеквадратичного смещения

Л л/А/

СЛк)г В Л" Е ос/ 2 .

41 к

В разделе 3.8 обсуждается перколяция в многомасштабных случайных потоках и рассматривается иерархия вложенных масштабов. Исследуются корреляционные свойства и перенос в многомасштабных потоках. Дается корреляционная интерпретация показателю, характеризующему свойства двумерного многомасштабного случайного течения. Показано, что использование многомасштабного метода также позволяет получить

предложенный в этой главе скейлинг для показателя Херста Н = 1 - ~ -В

разделе 3.9 рассмотрена стохастическая неустойчивость в многомасштабном пределе. Обсуждаются проблемы многомасштабного описания стохастической неустойчивости на основе модификации уравнения для коэффициента относительной диффузии. Получено многопараметрическое выражение для инкремента стохастической неустойчивости:

Здесь Ки1 - локальное число Кубо, Є, М - показатели, характеризующие многомасштабное случайное течение, 5к - показатель, описывающий периметр перколяционного кластера в многомасштабном пределе. Показано, что в частном случае этот скейлинг позволяет получить формулу для одномасштабного случая.

В главе 4 рассматриваются кинетические эффекты, связанные с аномальным переносом надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле в сильно ионизованной плазме токамака. Столкновительная диссипация для быстрых электронов в кулоновских столкновениях достаточно мала. Поэтому, в условиях сильной пространственной неравновесности электроны ускоряются до надтепловых скоростей. В условиях хорошего удержания надтепловых электронов, их количество становится значительным, оказывая сильное влияние на процессы переноса. Влияние стохастического магнитного поля на перенос надтепловых частиц важно как для описания аномального переноса в установках с магнитным удержанием плазмы, так и для задач астрофизики, где большую роль играют различные механизмы ускорения.

В разделе 4.1 решается кинетическое уравнение для функции распределения быстрых электронов в стохастическом магнитном поле с интегралом столкновений в форме, предложенной Гуревичем,

V 8\

ф

ф.

т дч

Пе

ту

Здесь - функция распределения электронов, От- коэффициент

аномальной диффузии, Уе- электронная частота столкновений, Те-

температура основной массы электронов, пе- плотность электронов, в -питч угол скорости электрона, V - модуль скорости электрона. Такая форма записи хорошо согласуется с представлениями о магнитной диффузии в заплетенном магнитном поле.

В присутствии флуктуации магнитного поля и градиента температуры возникает сильное обогащение функции распределения быстрыми электронами в ортогональном к продольному магнитному полю направлении, поскольку они не удерживаются основной плазмой и двигаются независимо от тепловых частиц, диффундируя поперек магнитного поля значительно быстрее, чем тепловые электроны.

Исследуется различные формы представления коэффициента магнитной диффузии Ц,, в том числе его перколяционное представление в

терминах магнитного числа Кубо = > 1. Здесь Ьа - амплитуда

стохастического магнитного поля, - продольный корреляционный масштаб и Д±- поперечный корреляционный масштаб. Рассматривается автомодельное представление для функции распределения надтепловых электронов

Т. (х)

Здесь безразмерная переменная, характеризующая энергию электронов, дается формулой

/И,у2 _ V2

где уг - тепловая скорость электронов и а - показатель автомодельности. Такое предположение позволяет свести описание среды с пространственной неоднородностью к выражению, близкому по форме к уравнению, описывающему убегающие электроны в однородной плазме. Исследуются выражения для функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле в сильно ионизованной

плазме для трех характерных диапазонов скорости частиц. Искажение хвоста функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака исследовано на основе редуцированного уравнения

/>+1

т*1 л ¿{г^Х 1

а- 2ч—

4 ' д4г 4841," 94 ) 242 Ф|_ ^ ф_ Здесь - автомодельная функция распределения электронов, 5, у -

показатели автомодельности, /? - показатель, характеризующий стохастичность магнитного поля. Оценен характерный масштаб энергий, в которых соответствующие функции распределения электронов имеют характерные изломы. Рассмотрены особенности, связанные с использованием метода автомодельных переменных. В разделе 4.2 получено и проанализировано нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле в сильно ионизованной плазме токамака

со(х) д2 3 дхг

042 а?

Чо

Заменяя в подынтегральном выражении Г0 максвелловским распределением, можно получить решение редуцированного уравнения, используя аппарат функций Грина. Формально, такое решение будет иметь интегральную форму, но вклад быстрых электронов будет занижен. Показано что в редуцированном уравнении эффекты нелокальности будут утрачены. В разделе 4.3 обсуждаются проблемы, возникающие при кинетическом описании надтепловых электронов с очень большими длинами свободного пробега. Предложено модифицировать функционал Бибермана-Холстейна, используемый в задачах переноса излучения, для получения осредненной вероятности «прострельного» прохода фотоном расстояния Л0

Я

Г(Д„)= | ехр

ч> Х(со)

Р(а)<1со.

Это функционал от известных профилей линий поглощения л(й>) = 1 / к(а>) и испускания Р(со). Предложен новый метод получения уравнения для функции распределения баллистически движущихся частиц f(V) в области размером Ra на основе рандомизации пуассоновской вероятности избежать столкновения,

Ф(0= J?<K,0 f(V)dV.

В отличие от метода Бибермана-Холстейна мы будем предполагать заданной осредненную вероятность избежать столкновения частицей Ф(/), а решение уравнения позволит получить функции распределения по скоростям, существенно отличающиеся от максвелловской. Новое функциональное уравнение для функции распределения баллистически движущихся частиц по скоростям имеет вид

я. н у

w(t)= J f(V)dv.

о Я»

d<S>

Здесь / - функция распределения частиц по скоростям V, iHO = —— -

плотность вероятности испытать столкновение в момент времени t, R0 -размер рассматриваемой области. Дана теоретико-вероятностная интерпретация полученного функционала на основе соотношения между функцией распределения частиц по скоростям /(F) и плотностью вероятности столкновений y(t), f(V)dV = if/(t)clt, а также на основе представления о характере связи между процессами в фазовом и конфигурационном пространствах. В частном случае получена функция распределения частиц по скоростям в форме распределения Леви. В Заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.

3. Основные результаты

1. Сформулировано условие перенормировки малого перколяционного параметра и получен скейлинг для описания турбулентной диффузии ионов в плазме токамака, где влияние дрейфа сопровождается эффектами нестационарности.

2. На основе учета эволюции стохастического слоя в двумерном сильнотурбулентном течении сформулирован новый подход к построению условий перенормировки малого перколяционного параметра, основанный на балансе характерных корреляционных масштабов.

3. Получен скейлинг для коэффициента турбулентной и гамильтоновой диффузии в задачах, где пересоединение линий тока вызвано обратным каскадом энергии.

4. Перколяционным методом исследовано влияние обратного каскада энергии на инкремент стохастической неустойчивости.

5. Изучено влияние обратного каскада вектор-потенциала на инкремент стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных МГД течениях.

6. Получено уравнение в дробных производных для системы случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями.

7. Найден новый скейлинг, связывающий показатель Херста, описывающий аномальный перенос в системе случайных шировых потоков с негауссовыми корреляциями, с показателем, характеризующим корреляционные свойства течения.

8. С использованием метода автомодельных переменных исследованы нелокальные эффекты, связанные с переносом надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле в плазме токамака. Получено интегро-дифференциальное уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов. Оценен диапазон энергий, в

которых соответствующие функции распределения электронов имеют характерные изломы.

9. Предложено новое функциональное уравнение для функции распределения баллистически движущихся частиц по скоростям. В частном случае получена функция распределения частиц по скоростям в форме распределения Леви.

4. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах

1. Бакунин О.Г. Адсорбция лития первой стенкой термоядерного реактора-токамака. // Вопросы атомной науки и техники. Термоядерный синтез. -1989.-Вып 2,- С. 9-12.

2. Бакунин О.Г. Крашенинников С.И. Аномальная диффузия и функция распределения электронов в токамаке. // Физика плазмы. - 1990. - Т. 16. — С. 529-532.

3. Bakunin О. G., Dvornikova N.A., Smirnov А.Р. Electron Heart Conduction (nonlocal effects). // ITER report ITER-IL-PH-13-0-S-23. - 1990.

4. Bakunin O. G., Krasheninnikov S.I. Preprint IAE5291/6. -Moscow: Kurchatov Institute of Atomic Energy, 1991.-21.

5. Bakunin O. G., Krasheninnikov S.I. Non-local electron transport in tokamak divertor. // Contrib. Plasma Phys. - 1992. - V. 32. N 3-4. - P. 255-258.

6. Бакунин О.Г., Крашенинников С.И. Теплопроводность электронов и надтепловые частицы. // Физика плазмы. — 1995. — Т. 21. № 6 — Р. 532-538.

7. Бакунин О.Г. Парадоксы диффузии и лабиринты судьбы. // Успехи физических наук. - 2003. - Т. 173. - С. 317-321.

8. Бакунин О. Г. Корреляционные и перколяционные свойства турбулентной диффузии. // Успехи Физических Наук. - 2003. - Т. 173. - С. 757-765.

9. Бакунин О.Г. Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения электронов в неоднородной плазме. // Физика плазмы. -2003. - Т. 29 № 9. - С. 847-853.

10. Бакунин О.Г. Диффузионное уравнение и турбулентный перенос. // Физика плазмы. - 2003. - V. 29. № 11. - С. 1085-10.

11. Bakunin O.G. Scaling law and fractality concepts in models of turbulent diffusion. // Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion. - 2003. - V. 45. - P. 1909.

12. Bakunin O.G. Correlation effects and turbulent diffusion scaling. // Report on Progress in Physics. - 2004. - V. 67. P. 965-1032.

13. Bakunin O. G. Long-range correlation and percolation regimes in the system with drift flows. // J. Plasma Physics. - 2004. - V. 71. - P. 435-448.

14. Bakunin O. G., Schep T.J. Multi-scale percolation and scaling laws for anisotropic turbulent diffusion. // Phys. Lett. A. 2004. - V. 322. - P. 105-110.

15. Bakunin O. G. Nonlocal velocity distribution function and one-flight approximation. // Phys. Lett. A. 2004. - V. 330. - P. 22-27.

16. Bakunin O.G., Quasi-diffusion and correlations in models of anisotropic transport // Physica A. - 2004. - V. 337. - P. 27-35.

17. Бакунин О.Г. Аномальная диффузия быстрых электронов и кинетическое уравнение с дробной производной. // Физика плазмы. 2004. -Т. 30. № 4. - С. 369-374.

18. Bakunin O.G. Percolation models of turbulent transport. // Chaos Solitons and Fractals. - 2005. - V. 23.-P. 1703-1731.

19. Bakunin O. G. Correlation and anomalous transport effects related to stochastic instability. // Plasma Physics and Control. Nucl. Fusion. - 2005. - V. 47.-P. 1857-1876.

20. Bakunin O. G. Percolation transport and structures in random drift flows. -in book: "Coherent Structures and Turbulence". - Moscow: URSS-Press, 2005. - P. 483-494.

21. Bakunin O. G. Percolation transport in random flow with weak dissipation effects. // Physica A. - 2005. - V. 345. - P. 1-8.

22. Bakunin O.G. Correlation effects and nonlocal velocity distribution functions. // Physica A. 2005. - V. 346. P. 284-294.

23. Bakunin O.G. Percolation transport in random flows with drift and time-dependence effects. // Physica A. - 2005. - V. 347. - P. 289-300.

24. Bakunin O. G. Statistics of small clusters in system with rare aggregation centers. // Physica A. - 2005. - V. 348. - P. 245- 251.

25. Bakunin O. G. Percolation regime of turbulent transport in week compressible flows. // Physica A. - 2005. - P. 351. - P. 241-250.

26. Bakunin O. G. The Corrsin conjecture and anomalous transport. // J. Plasma Physics. - 2005. -V. 72. P. 647-670.

27. Бакунин О.Г. Эффекты нестационарности и дрейфа в перколяционном пределе. В кн.: Пути ученого Е.П.Велихов. / Под ред. В.П. Смирнова. -РНЦ «Курчатовский институт», 2007. - С. 57-63.

28. Bakunin O.G. Turbulence and Diffusion. Scaling versus Equations. - Berlin: Springer-Verlag, 2008. - Monograph on complexity. - 278 p.

29. Bakunin O.G. Correlations and Anomalous transport, in: Reviews of Plasma Physics - ed. V.D. Shafranov - Berlin: Springer-Verlag - 2008.- V. 24,- P. 53203.

30. Bakunin O. G. Dissipation effects and percolation transport. In book: "Coherent Structures and Turbulence". - Moscow: URSS-Press, 2010. P. 370375

31. Bakunin O.G. Chaotic flows. Correlation effects, transport and coherent structures. - Monograph on complexity. - Berlin: Springer, 2011. - 364 p.

Подписано в печать 13.06.12. Формат 60x90/16 Печать цифровая. Усл. печ. л. 2 Тираж 20. Заказ № 52

Отпечатано в НИЦ «Курчатовский институт» 123182, Москва, пл. Академика Курчатова, д. 1

Введение

1. Важность проблемы описания турбулентного переноса в структурной гидродинамической и плазменной турбулентности

2. Цели и результаты работы по исследованию процессов аномального переноса в условиях сильной турбулентности

Цель работы

Связь с государственными научно-техническими программами

Научная новизна полученных результатов

Научная и практическая ценность полученных результатов

Основные положения, выносимые на защиту

Личный вклад автора

Достоверность и апробация работы

Публикации автора по теме диссертации

Структура и объем диссертации

Краткое содержание диссертации

Основные результаты диссертации

3. Краткий обзор используемых в диссертации подходов к описанию аномального переноса в условиях структурной турбулентности а) Турбулентная диффузия и концепция скейлинга б) Турбулентная диффузия и стохастическое магнитное поле в) Перенормировка квазилинейных уравнений переноса г) Перколяционные модели аномального переноса в двумерном течении д) Метод ренормализации в теории континуальной перколяции е) Перколяционный перенос в стационарном течении ж) Перколяционный перенос и перестройка топологии течения з) Кинетическое описание и диффузионные уравнения и) Аномальный перенос частиц и эффекты «захвата» в фазовом пространстве 82 к) Кинетическое описание надтепловых электронов в сильно неоднородной высокотемпературной плазме 86 л) Автомодельные переменные и степенные хвосты в кинетике быстрых электронов

Глава I. Турбулентный перенос ионов в плазме токамака в низкочастотном пределе

1.1 Влияние турбулентности на неоклассический перенос ионов в плазме токамака

1.2 Перенормировка малого перколяционного параметра в «градиентных» системах

1.3 Эффекты влияния малой дрейфовой скорости

1.4 Квазилинейное приближение и эффекты нестационарности при описании влияния турбулентности на дрейфовое движение ионов в токамаке

1.5 Низкочастотные режимы и корреляционные масштабы в перколяционном пределе

1.6 Результаты расчета эффективного коэффициента диффузии в низкочастотном дрейфовом приближении

1.7 Сравнение перколяционного коэффициента турбулентной диффузии с неоклассическим 122 Итоги главы I

Глава II. Перенос скаляра и инкременты стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных гидродинамических и МГД течениях в режиме обратного каскада

2.1 Эволюция корреляционных масштабов и перколяционные параметры

2.2 Двумерная гидродинамическая турбулентность и обратный каскад

2.3 Турбулентная диффузия скаляра в течениях в области обратного каскада энергии

2.4 Стохастическая неустойчивость как декорреляционный механизм и перенос скаляра в турбулентных течениях

2.5 Инкремент стохастической неустойчивости в перколяционном пределе

2.6 Стохастическая неустойчивость и обратный каскад

2.7 Инкремент стохастической неустойчивости в двумерных турбулентных МГД течениях 168 Итоги главы II

Глава III. Перенос скаляра в системе случайных дрейфовых течений и скейлинги аномальной диффузии

3.1. Супердиффузионный перенос скаляра в системе случайных шировых потоков

3.2 Обобщение модели случайных потоков и аномальный перенос скаляра

3.3 Выбор режимов турбулентного переноса на основе принципа доминирования быстрой моды

3.4 «Изотропизация» как метод перенормировки выражения для эффективной турбулентной диффузии

3.5 Квазилинейный подход к описанию корреляционных эффектов в модели случайных шировых потоков

3.6 Нелокальное уравнение в дробных производных для описания переноса скаляра в поле случайных шировых течений

3.7 Спектр корреляционной функции скорости и супердиффузионные режимы переноса скаляра в поле случайных шировых течений

3.8 Функция памяти и перенормиронные квазилинейные уравнения переноса в дробных производных

3.9 Корреляционные эффекты и перенос в многомасштабном случайном потоке в перколяционном пределе

3.10 Описание стохастической неустойчивости в многомасштабном пределе 217 Итоги главы III

Глава IV. Функции распределения надтепловых электронов в сильно неоднородной плазме токамака и нелокальные эффекты

4.1 Искажение хвоста функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле

4.2 Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения надтепловых электронов в стохастическом магнитном поле токамака

4.3 Функциональное уравнение для распределения по скоростям слабо-столкновительных частиц 240 Итоги главы IV

1. Важность проблемы описания турбулентного переноса в структурной гидродинамической и плазменной турбулентности

Проблема термоизоляции плазмы в термоядерных исследованиях занимает центральное место. Несмотря на значительный прогресс в исследованиях по этой проблеме, достигнутый за более чем полувековой период, в этой области все еще существуют серьезные задачи, которые необходимо решить [1]. Повышенные потери частиц и тепла в системах с магнитным удержанием способны значительно ухудшить эффективность удержания плазмы, в том числе и в проектируемом в рамках проекта ИТЭР токамаке [1-3]. Развитие работ по управляемому термоядерному синтезу показало, что плазма проявляет повышенную способность к преодолению магнитной изоляции. На начальном этапе исследований считалось, что удастся построить термоядерный реактор, не особенно вникая в физическую сущность происходящих в нем явлений. Неудачи в достижении этой цели чисто техническими средствами привели к осознанию необходимости углубленного исследования физической сущности явлений, связанных с аномальным характером переноса частиц и тепла. На сегодняшний день считается общепризнанным, что причиной аномального переноса является вызванная многочисленными неустойчивостями турбулентность плазмы [1, 4]. Несмотря на то, что линейная теория неустойчивостей хорошо предсказывает условия раскачки колебаний и их характерные частоты и инкременты, турбулентное состояние плазмы с широким спектром колебаний требует создания принципиально новой нелинейной теории. Сложности создания теории сильной турбулентности плазмы в токамаке связаны как с математической сложностью, так и с недостаточностью имеющихся на сегодняшний день экспериментальных данных. Кроме того, для получения коэффициентов переноса необходимо развить методы, позволяющие учесть эффекты длинных корреляций и нелокальности, присущие сильно турбулентному состоянию высокотемпературной плазмы в токамаке [5, 6].

Турбулентный перенос - это фундаментальное физическое явление, имеющее колоссальное практическое значение не только для физики высокотемпературной плазмы, но и для таких важных областей как астрофизика [7-9], физика атмосферы и океана [10-16]. Многолетние интенсивные исследования в этой области все еще не привели к созданию его строгой физико-математической картины. С одной стороны, это открывает широкий простор для исследователей, а с другой, создает серьезные трудности при решении конкретных задач. Действительно, явления переноса в турбулентных течениях крайне редко удается описать посредством классических диффузионных моделей. Главной причиной этого является чрезвычайная сложность неупорядоченных движений, возникающих в турбулентных потоках. Неупорядоченность поля течения, когда скорости жидких частиц являются случайными (т. е. не контролируются макроскопическими свойствами потока), приводит к необходимости широкого использования корреляционных моделей и концепции скейлинга [17-19]. Развитое турбулентное течение порождается иерархической совокупностью вихрей, где самые крупные из вихревых образований имеют размеры, сравнимые с размером рассматриваемой области, а мелкие вихри имеют «вязкостные» масштабы. В таких условиях выбор характерной корреляционной длины и времени корреляции, определяющих перенос турбулентным потоком частиц, не является тривиальным. Здесь необходимо принять во внимание как корреляционные характеристики поля скорости течения, так и его «топологические» особенности, которые не всегда напрямую связаны с мелкомасштабными движениями [10, 20, 21]. Кроме того, при описании процессов турбулентного переноса требуется учесть такие «конкурирующие» факторы, как затравочная (молекулярная) диффузия, пересоединение линий тока, стохастическая неустойчивость и другие [22-24].

Аналогичные проблемы возникают в физике плазмы при рассмотрении движения заряженных частиц в стохастическом магнитном поле и в физике твердого тела при описании переноса в аморфных полупроводниках, и во многих других системах, где закон, описывающий диффузию, существенно отличается от классического [25-33]. Несмотря на значительный прогресс в понимании аномального переноса, многие аспекты ставших уже классическими работ в этой области остаются актуальными. Так, уже на первой стадии исследования процессов турбулентной диффузии предлагалось использовать корреляционные функции, модификацию классического диффузионного уравнения, методы перенормировки и др. [34, 35]. Представить эволюцию всех этих научных концепций в данной работе не представляется возможным. Автор сосредоточил свое внимание на идеях скейлинга, которые являются важным и достаточно универсальным инструментом, используемым как теоретиками, так и экспериментаторами [36-40]. Именно подход, в основе которого лежат скейлинговые представления, позволяет достаточно быстро разобраться в постановках задач и проблемах, имеющихся в различных современных областях физики, связанных с исследованием турбулентности. Прошло более 70 лет со времени публикации основополагающих работ Колмогорова и Обухова, посвященных скейлинговому описанию развитой турбулентности [41, 42]. Тем не менее, фундаментальный вопрос о характере взаимодействия вихрей в турбулентном потоке остается открытым [43-45].

Важно отметить, что при описании аномального переноса в плазме подобные проблемы возникли уже в конце 40-х годов прошлого века. Так, в 1949 году Бом выдвинул гипотезу о том, что перенос зарядов плазмы может, в основном, определяться не парными столкновениями частиц, а переменными электрическими полями коллективного происхождения [46].

Предложенная им формула для коэффициента турбулентной диффузии стала общеупотребительной как мера аномальности. Заметим, что простота формулы Бома, а также тот факт, что в ее основу не был положен конкретный физический механизм переноса, создавали иллюзию ее универсальности. Здесь, также как и в скейлинге Колмогорова, электрическое поле «выпадало» из окончательного выражения, аналогично тому, как при рассмотрении каскада в теории гидродинамической турбулентности характерное время нелинейного взаимодействия вихрей удалось описать простой размерностной оценкой. В дальнейшем эксперименты на токамаках и стеллараторах показали, что энергетическое время удержания плазмы оказывается слишком малым, чтобы его можно было описать неоклассическими формулами. Поэтому возникла необходимость использовать концепцию скейлинга для того, чтобы предсказывать характер удержания. Такие скейлинги были предложены Горбуновым, Мирновым и Стрелковым в 70 году [47] и Арцимовичем в 1971 году [48]. Сознавая трудности строгого теоретического описания турбулентного переноса в высокотемпературной плазме, Арцимович назвал свой скейлинг «псевдоклассическим». В этот же период начал разрабатывать методы описания сильно-турбулентной плазмы Кадомцев, работы которого сыграли важную роль для понимания базовых механизмов аномального переноса, связанного с низкочастотной структурной турбулентностью [49, 50].

Для объяснения нелокального переноса в высокотемпературной замагниченой плазме была привлечена концепция самоорганизации, которая позволила применить скейлинговые зависимости, развитые в теории фазовых переходов [51-53]. Идея о самоорганизации плазмы в токамаке нашла свое выражение в представлении о самосогласованных профилях и активно развивалась в Институте Курчатова Кадомцевым, Днестровским, Разумовой и другими.

Фактически, скейлинг по-прежнему остается главным инструментом анализа плазменной и гидродинамической турбулентности. Естественно, при описании явлений переноса в условиях сильной турбулентности мы сталкиваемся с теми же проблемами. Возникающие при больших числах Рейнольдса или Кубо когерентные структуры значительно осложняют описание эффективного переноса. Методы, развитые для слабой турбулентности, приводят к результатам, противоречащим как эксперименту, так и численному моделированию [1, 3, 4, 9, 10, 54-58]. В отсутствие универсального метода анализа эффектов переноса в структурной турбулентности естественно сосредоточить внимание на современных теоретических подходах, выбирая в качестве основы конкретный вид вихревых (когерентных) структур, формирующих рассматриваемый класс турбулентных течений. Это позволяет получить новые скейлинги для эффективных коэффициентов аномальной диффузии, которые могут быть использованы при анализе имеющихся экспериментальных данных и при проектировании новых установок с магнитным удержанием горячей плазмы.

1. Progress in the 1.ER Physics Basis. // Nucl. Fusion. -2007. - V. 47. - P. Sl-S413.

2. Миямото К. Основы физики плазмы и управляемого синтеза. М.: Физматлит, 2007. - 424 с.

3. Wesson J.A. Tokamaks. Oxford: Oxford University Press, 2011. - 782 p.

4. Woods L.C. Theory of Tokamak Transport. Wiley-VCH, 2010. - 237 p.

5. Bakunin O.G. Correlations and Anomalous transport, in: Reviews of Plasma Physics ed. V.D. Shafranov - Berlin: Springer-Verlag- 2008,- V. 24.- P. 53203.

6. Itoh K. Transport and structural formation in plasmas. Bristol: IOP Pablishing 2006. - 306 p.

7. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. - 435. с.

8. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике. Москва Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2006. - 327 с.

9. Зеленый Л.М., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. // Успехи Физических Наук. 2004. - Т. 174. № 8. - С. 810852.

10. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика: В 2 т. М.: Наука, 1965.-Т. 1 - 897 с.

11. Panofsky Н.А., Dutton I.A. Atmospheric turbulence, models and methods for engineering applications. N.Y.: Interscience Publishers, a Division of John Willey & sons, 1970. - 492 p.

12. Pasquill F., Smith F.B. Atmospheric Diffusion. -N. Y.Ellis Horwood Limited, Halsted Press: a Division of John Willey & Sons. New York Chichester Brisbane Ontario, 1983. - 371 p.

13. Handbook of Turbulence, Walter Frost. /Eds. Trevor H., Moulden K. -N. Y. Plenum press, 1977. 428 p.

14. Herring J.R., McWilliams J.C. Lecture notes on turbulence. -Singapore: World scientific, 1987. 222 p.

15. Pope S.B. Turbulent Flows. Cambridge: Cambridge University Press, 2006. - 637p.

16. Bakunin O.G. Chaotic flows. Correlation effects, transport and coherent structures. Monograph on complexity. - Berlin: Springer, 2011. - 371 p.

17. Barenblatt G.I. Scaling phenomena. Cambridge: Cambridge University Press, 2008.-321p.

18. Будаев В.П., Савин С.П., Зеленый JI.M. Наблюдения перемежаемости и обобщенного самоподобия в турбулентных пограничных слоях. // Успехи Физических Наук. 2011. - Т. 181. № 9. - С. 905-952.

19. Bakunin O.G. Turbulence and Diffusion. Scaling versus Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2008. - Monograph on complexity. - 301 p.

20. Tsinober A., An informal Introduction to Turbulence. Kluwer Academic Publishers, 2004. - 47lp.

21. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge; Cambridge Univ. Press, 1995. - 307p.

22. Childress S., Gilbert A.D., Stretch, Twist, Fold: The Fast Dynamo. -Berlin: Springer-Verlag, 1995. 382p.

23. Moffatt H. K. Transport effects associated with turbulence with particular attention to the influence of helicity. // Report on Progress in Physics. 1983. -V.46.-P. 621-664.

24. Бакунин О. Г. Корреляционные и перколяционные свойства турбулентной диффузии. // Успехи Физических Наук. 2003. - Т. 173. - С. 757-765.

25. Bouchaud G.P., Gorges A. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms models and physical applications. // Physics Reports. -1990. -V. 195.-P. 130-294.

26. Haus J.W., Kehr K.W. Diffusion in regular and disordered lattices. // Physics Reports. 1987. - V. 150. - P. 263-406.

27. Montroll E.W., Shlesinger M.F. On the wonderful world of random walks, in Studies in Statistical mechanics 11, 1. Elsevier Science Publishers, 1984. P. 3158.

28. Montroll E.W., West B. J. On an enriches collection of stochastic processes in fluctuation phenomena. Elsevier Science Publishers, 1979. - 196 p.

29. Weiss G.H. Aspects and applications of the random walk. Elsevier Science Publishers, 1994. - 345 p.

30. Sornette D. Critical phenomena in natural sciences. Berlin: SpringerVerlag, 2006.-581 p.

31. Balescu R. Statistical dynamics. Imperial College Press, 1997. - 393 p.

32. Zaslavsky G. M. Chaos, fractional kinetics, and anomalous transport. // Physics Reports. 2002 - V. 371. - P. 461-580.

33. Bakunin O.G. Scaling law and fractality concepts in models of turbulent diffusion. // Plasma Phys. Controlled Nucl. Fusion. 2003. - V. 45. - P. 19091929.

34. Crisanti A., Falcioni M., Paladin G., Vulpiani A. Lagrangian chaos: transport and diffusion in fluids. // Rivista Del Nuovo Cimento. 1991. - V. 14. № 12. - P. 1-80.

35. Isichenko M.B. Percolation, statistical topography, and transport in random media. // Rev. Mod. Phys. 1992. - V. 64. - P. 961.

36. Warhaft Z. Passive scalar in turbulent flow. // Annu. Rev. Fluid Mech. -2000.-V. 32.-P. 203-240.

37. De Gennes P.G. Scaling concepts in polymer physics. Cornell University press, 1979. 315 p.

38. Бакунин О.Г. Диффузионное уравнение и турбулентный перенос. // Физика плазмы,-2003.-V. 29. № 11.-С. 1085-1091.

39. Tabeling P., Cardoso О. Turbulence A Tentative Dictionary. N. Y.: Plenum Press, 1994.-489 p.

40. Davidson P.A. Turbulence, an introduction for scientists and engineers. -Oxford: Oxford University Press, 2004. 497 p.

41. Колмогоров A.H. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. // Доклады Академии Наук СССР. 1941. - Т. 30. №4. - С. 299-303.

42. Обухов А. М. О распределении энергии в спектре турбулентного потока. // Доклады Академии Наук СССР. 1941. - Т. 32. № 1. - С. 22-24.

43. Moffatt Н.К., Zaslavsky G.M., Comte P., Tabor M. Topological Aspects of the Dynamics of Fluids and Plasmas. Dordrecht Boston London: Kluwer, Academic Publishers, 1992. 684 p.

44. Horton W., Ichikawa Y-H. Chaos and Structures. Word Scientific, 1994. -349 p.

45. Vortex Structure and Dynamics workshop, / Eds. Maurel A., Petitjeans P. -Berlin: Springer-Verlag. 2000. 257 p.

46. Bohm D. The characteristic of electrical discharge. In: Electrical discharges. /Eds. Guthrie A. N.Y.: Mc Grow-Hill, 1949. - P.376-379.

47. Gorbunov E.P., Mirnov S.V. Strelkov V.S. Energy confinement time of a plasma as a function of the discharge parameters in tokamak-3. // Nucl. Fusion. -1970.-V. 10. № l.-P. 43-51.

48. Арцимович Л.А. Об электронной теплопроводности в тороидальном плазменном витке. Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики-1971.-Т. 13. №2.-с. 101-105.

49. Кадомцев Б.Б. Избранные труды. В 2-х томах. Т. 1.- М.: Физматлит, 2003. - 560 с.

50. Кадомцев Б.Б. Избранные труды. В 2-х томах. Т. 2,- М.: Физматлит, 2003.-584 с.

51. Stauffer D. Percolation and scaling. // Phys. Rep. 1979. -V. 2. -P. 3-156.

52. Stanley H.E. Introduction to phase transitions and critical phenomena. -Oxford: Clarendon Press, 1971. 243 p.

53. Stauffer D. Introduction to Percolation Theory. London: Taylor and Francis, 1985,- 295p.

54. Diamond P.H., Itoh S.I., Itoh K. Modern plasma physics. Cambridge; Cambridge Univ. Press, 2010. - 417p.

55. Krommes J. Fundamental statistical description of plasma turbulence. Phys Reports. 2002. - V. 360. - P. 1-352.

56. Bakunin O.G. Correlation effects and turbulent diffusion scaling. // Report on Progress in Physics. 2004. - V. 67. P. 965-1032.

57. Falgarone E., Passot T. (Eds.), Turbulence and magnetic fields in astrophysics. Berlin: Springer-Verlag, 2003. - 351 p.

58. Balescu R. Aspects of Anomalous Transport in Plasmas. Bristol: IOP Bristol and Philadelphia, 2005. - 376 p.

59. Taylor G.I. Diffusion by continuous movements. // Proc. London Math. Soc. -Ser. 2.- 1921.-V. 20.-P. 196-211.

60. Sutton O.G. Wind structure and evaporation in a turbulent atmosphere. // Proc. Roy. Soc A. 1934. - V. A146. № 858. - P. 701-722.

61. Scott B. Dinklage A., Klinger T. Plasma physics, confinement, transport and collective effects. Berlin: Springer-Verlag, 2005. - 276 p.

62. Учайкин В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы. // Успехи Физических Наук. 2003. - Т. 173. № 8. - С. 849-876

63. Pekalski A., Sznajd-Weron К. (Eds.) Anomalous diffusion. From basics to applications. Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 268 p.

64. West В .J., Bologna M., Grigolini P. Physics of Fractal Operators. -N. Y.: Springer-Verlag, 2003. 293 p.

65. Rosenbluth M.N., Sagdeev R.Z., Taylor L.B. Destruction of magnetic surface by magnetic field irregularities. // Nuclear Fusion. 1966. - V. 6. - P. 297-301.

66. Jokipii J. R., Parker E.N. Stochastic aspects of magnetic lines of force with application to cosmic-ray propagation. // The astrophysical journal. 1969. - V. 155.-P. 777-798.

67. Основы физики плазмы: в 2 т. / Под ред. Галеева А.А., Судана А.В. -М.: Энергоатомиздат, 1984. - Т. 1. - 640 с.

68. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в физике плазмы. М.: Наука, 1976.-238 с.

69. Гетманцев Г.Г. Астрофизический журнал. 1962. - Т. 6. - С. 477.

70. Rechester А.В., Rosenbluth M.N. Electron heat transport in a tokamak with destroyed magnetic surfaces. // Physical Review Letters. 1978. - V. 40. - P. 3841.

71. Ptuskin V. S. Cosmic rays in large-scale strong turbulent magnetic field. // Astrophysics and Space Science. 1979. - V. 61. - P. 251-258.

72. Kuznetsov L., Zaslavsky G.M. Hidden renormalization group for the near-separatrix Hamiltonian dynamics. // Physics Reports. 1997. - T. 288. - p. 457485.

73. Kadomtsev B.B., Pogutse O. P. Plasma Phys. And Controlled Nuclear Fusion Research. // Proceedings of the 7-thInternational Conference. IAEA Vienna, 1978.-P. 649.

74. Dupree Т. H. Theory of phase space density granulation in plasma. // Phys. Fluids. 1972.-V. 15. - P. 334-344.

75. Dupree Т. H. A perturbation theory for strong plasma turbulence. // Phys. Fluids. 1966.-V. 9. - P. 17731782.

76. Кингсеп A.C., Чукбар K.B., Яньков B.B. Электронная магнитная гидродинамика // Вопросы теории плазмы 1987. Т. 16. - С. 209-249.

77. Corrsin S. Random Geometric Problems Suggested by Turbulence. -Mechanics Department, The Johns Hopkins University. 1971. 84 p.

78. Зельдович Я.Б. Перколяционные свойства двумерного случайного стационарного магнитного поля. // Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1983. - Т. 38. - № 2. - С. 51-54.

79. Galeev А.А., Kuznetsova М.М., Zeleny L.M. Magnetopause stability threshold for patchy reconnection. // Space Science Reviews. 1986. -V. 44. - P. 1-41.

80. Исиченко М.Б., Калда Я.Л., Татаринова Е.Б. и др. Диффузия в среде с вихревым движением. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1989.- Т. 96. № 3. - С. 913.

81. Грузинов А.В., Исиченко М.Б., Калда Я.Л. Двумерная турбулентная диффузия. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -. 1990. -Т. 97. № 2. С.476.

82. Bakunin O.G. Percolation models of turbulent transport. // Chaos Solitons and Fractals. 2005. - V. 23. - P. 1703-1731.

83. Feder J. Fractals. -N.Y.: Department of Physics University of Oslo, Norway. Plenum Press, 1988. 296 p.

84. Kadanoff L.P. Statistical physics: statistics, dynamics and renormalization. -World Scientific Publishing, 2011. 624. p.

85. Соколов И.М. Размерности и другие геометрические критические экспоненты в перколяционной теории. // Успехи Физических Наук. 1986. -Т. 150. С. 221-225.

86. Левинштейн М.Е. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1976. V. 42. - Р. 112.

87. Осипенко М.В., Погуце О.П., Чудин Н.В. Диффузия плазмы на решетке вихрей. // Физика плазмы. 1987. - Т. 13. № 8. - С. 953-960.

88. Horton W. Drift waves and transport. // Reviews of Modern Physics. 1999. -V. 71.-P. 735-759.

89. Terry P. W. Suppression of turbulence and transport by sheared flow. // Reviews of Modern Physics. 2000. - V. 72. - P. 109-165.

90. Bohr Т., Jensen M.H., Giovanni P., Vulpiani A. Dynamical systems approach to turbulence. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. - 423 p.

91. Berge P., Pomeau Y., Vidal C. L'ordre dans le chaos. Hermann, Editeurs des sciences et des arts, 1988. - 352 p.

92. Ott E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - 276 p.

93. Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. -N. Y.: Springer Verlag, 1999. 435 p.

94. Beck C., Schlogl F. Thermodynamics of chaotic systems. Cambridge: Cambridge University Press, 1993. - 241 p.

95. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. / Под ред. А.В Борисова, И.С. Мамаева, М.А Соколовского/ Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 489 с.

96. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых средах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. - 256 с.

97. Aref H., El Naschie M.S. Chaos applied to fluid mixing. Pergamon, 1994. 241 p.

98. Trugman S A Localization, percolation, and the quantum Hall effect. // Phys. Rev. В. 1983.-V. 27.-P. 7539.

99. Chorin A.J. Vorticity and turbulence. N.Y.: Springer-Verlag, 1994. -303 p.

100. Gouyet J-F. Physics and Fractal Structure. Berlin: Springer-Verlag, 1996.-297 p

101. Guyon E., Nadal J-P., Pomeau Y. (Eds) Disorder and mixing. // Kluwer Academic Publishers, 1988. 268 p.

102. Isichenko M.B., Kalda J. J. Statistical geometry of multiscale isolines. // Nonlinear Sci. 1991. - V. 1. P. 255.

103. Isichenko M.B., Kalda J.J. Fractal orbits and passive transport in scaling turbulence. // Nonlinear Sci. 1991. - V. 1. P. 375.

104. Bakunin O. G. Long-range correlation and percolation regimes in the system with drift flows. // J. Plasma Physics. 2004. - V. 71. - P. 435-448.

105. Bakunin O.G. Percolation transport in random flows with drift and time-dependence effects. // Physica A. 2005. - V. 347. - P. 289-300.

106. Yushmanov P.N. Neoclassical diffusion in a turbulent plasma. // Comment Plasma Phys. Controlled Fusion. 1992. - V. 14. - P. 313.

107. Dandy R. Physics of plasma. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.-423 p.

108. Biskamp D. Magnetohydrodynamic turbulence. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. - 356 p.

109. Bakunin O. G. Percolation transport in random flow with weak dissipation effects. // Physica A. 2005. - V. 345. - P. 1-8.

110. Bakunin O. G. Dissipation effects and percolation transport. In book: "Coherent Structures and Turbulence". Moscow: URSS-Press, 2010. P. 370-375

111. Kraichnan RH. J. Fluid Mech. 1971. - V 47 N.3. - P. 525-535.

112. Batchelor G.K. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence. // The Physics of Fluids Supplement II. 1969. - V. 12. N. 12.-P. 11-233-239.

113. Zaslavsky G. Hamiltonian chaos and fractional dynamics. Oxford: Oxford University Press, 2005. - 221 p.

114. Монин A.C. Уравнение турбулентной диффузии. // Доклады Академии Наук СССР.-1955. Т. 105. № 2. - Р. 256-259.

115. Batchelor G.K. The effect of homogeneous turbulence on material lines and surfaces. // Proc.Roy. Soc. 1952. - V. 213 - P. 349-366.

116. Голицын Г.С. Исследование конвекции с геофизическими приложениями и аналогиями. -Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980. 76 с.

117. Бакунин О.Г. Эффекты нестационарности и дрейфа в перколяционном пределе. В кн.: Пути ученого Е.П.Велихов. / Под ред. В.П. Смирнова. РНЦ «Курчатовский институт», 2007. - С. 57-63

118. Bakunin О. G. Percolation transport and structures in random drift flows. -in book: "Coherent Structures and Turbulence". Moscow: URSS-Press, 2005. -P. 483-494.

119. Nieuwstadt F.T.M., Van Dop H. (Eds) Atmospheric turbulence and air pollution modeling. D. Reidel Publishing Company, 1981. 356 p.

120. Крылов H.C. Работы по обоснованию статистической физики. M.: Академия наук, 1950. - 196с.

121. Smolyakov A.I. Diffusion in a plasma. // Nuclear Fusion. 1993. V. 33. N. 3.-P. 383-398.

122. Dorfman J.R. An Introduction to Chaos in Nonequilibrium Statistical Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999. - 238 p.

123. Bakunin O. G. Correlation and anomalous transport effects related to stochastic instability. // Plasma Physics and Control. Nucl. Fusion. 2005. - V. 47.-P. 1857-1876.

124. Дрейзин Ю.А., Дыхне A.M.Аномальная проводимость неоднородных сред в сильном магнитном поле. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -1972. Т. 63. № 1. -С. 241-260.

125. Resibois P., Leener M.D. Classical Kinetic Theory. -N.Y.: Wiley, 1977. 342 p.

126. Redner S. Physica D. 1989. V. 38. - P. 287.

127. Чукбар K.B. Квазидиффузия пассивного скаляра. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1996. - Т. 109. № 4. - С. 1335-1347.

128. Bakunin O.G., Quasi-diffusion and correlations in models of anisotropic transport // Physica A. 2004. - V. 337. - P. 27-35.

129. Bakunin O. G. The Corrsin conjecture and anomalous transport. // J. Plasma Physics. 2005. - V. 72. P. 647-670.

130. Taylor G.I. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube. // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1953. - V. A219. № 1137. - P. 186203.

131. Matheron G., De Marsily G. Is transport in porous media always diffusive? A counterexample. // Water Resources Research. 1980. - V. 16. № 5. - P. 901917.

132. Bakunin O. G., Schep T.J. Multi-scale percolation and scaling laws for anisotropic turbulent diffusion. // Phys Lett A. 2004. V. 322. - P. 105-110.

133. Kramers H. Physica. 1940. -V. 7. P. 284.

134. Einstein A. Brownian motion theory. // Ann. Physik. 1905. - V. 17. - P. 549.

135. Давыдов Б. И. О распределении скоростей электронов, движущихся в электрическом поле. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1936. - Т. 6. № 5. - Р. 463-480.

136. Зельдович Ю. Б. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. -1942.-Т. 12.-С. 525.

137. Давыдов Б. И. Уравнение Фоккера-Планка и время релаксации максвелловского распределения. // Доклады Академии Наук СССР. 1934. -Т. 2.-Р. 216.

138. Бакунин О.Г. Парадоксы диффузии и лабиринты судьбы. // Успехи физических наук.-2003.-Т. 173.-С. 317-321.

139. Бакай А.С.Умеренная турбулентность. / В кн. Новое в синегетике. -М.: Наука, 1996.- 158 с.

140. Бакунин О.Г. Крашенинников С.И. Аномальная диффузия и функция распределения электронов в токамаке. // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - С. 529-532.

141. Галицкий В. М. Якимец В.В. Релаксация частицы в максвелловском газе. В Избранные труды, исследования по теоретической физике. М.: Наука, 1983.-с. 247.

142. Александров H.JI. Старостин А.Н. Неэкспоненциальная температурная зависимость скорости пороговых неупругих процессов в плотных средах. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1998. - Т. 113С.1661-1674.

143. Кукушкин А.Б., Лисица B.C., Савельев Ю.А. Нелокальный перенос тепловых возмущений в плазме. // Письма в Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1987. - Т. 46 - С. 356-358.

144. Абрамов В.А. Коган В.И. Лисица B.C. Перенос излучения в плазме. // Вопросы Теории Плазмы, 1982. т. 12. 114-155.

145. Zaslavsky G.M., Edelman M. Chaos. 2000. - V. 10. - P. 135.

146. Luo A.C.J Afraimovich V. Hamiltonian chaos beyond the KAM theory. -Berlin: Springer, 2011. 309 p.

147. Krapivsky P.L. Redner S. Ben-Naim E. A kinetic view of statistical physics Cambridge: Cambridge University Press, 2011. 485 p.

148. Bakunin O. G. Nonlocal velocity distribution function and one-flight approximation. // Phys Lett A. 2004. V. 330. - P. 22-27.

149. Bakunin O.G. Correlation effects and nonlocal velocity distribution functions. // Physica A. 2005. V. 346. P. 284-294.

150. Гуревич A.B. Зыбин К.П., Истомин Я.Н. Динамика неравновесной замагниченой плазмы в слабо стохастических слоях. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1983. - Т. 84. № 1. - С. 86102.

151. Александров Н.Л., Волчек A.M., Дятко Н.А., Кочетов И.В., Напартович А.П. Точные решения электоронного кинетического уравнения в неоднородном электрическом поле. // Физика плазмы. 1988. Т. 14. № 3. -С. 334-339.

152. Гуревич А.В. К вопросу о количестве ускоряющихся частиц в ионизованном газе при различных механизмах ускорения. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1960. - Т. 38. № 5. - С.1597-1607.

153. Гуревич А.В. К теории убегающих электронов. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1960. - Т. 39. № 5. - С. 12961306.

154. Бакунин О.Г. Крашенинников С.И. Аномальная диффузия и функция распределения электронов в токамаке. // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. - С. 529-532.

155. Бакунин О.Г., Крашенинников С.И. Теплопроводность электронов и надтепловые частицы. // Физика плазмы. 1995. - Т. 21. № 6 - Р. 532-538.

156. Бакунин О.Г. Аномальная диффузия быстрых электронов и кинетическое уравнение с дробной производной. // Физика плазмы. 2004. -Т. 30. № 4. С. 369-374.

157. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. М.: Физматлит, 2001.

158. Balescu R., Wang Н., Misguich J. Phys. Plasmas. 1994. -V. 51. P. 3826.

159. Zimbardo G., Veltri P., Pommois P. Anomalous, quasilinear, and percolative regimes for magnetic-field-line transport in axially symmetric turbulence. // Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. P. 1940-1948

160. Бакунин О.Г. Нелокальное уравнение для симметричной части функции распределения электронов в неоднородной плазме. // Физика плазмы. 2003. - Т. 29 № 9. - С. 847-851.

161. Carreras В.A., van Milligen В., Perdosa М.А. Long-range time correlation in plasma edge turbulence. // Phys. Rew. Lett. 1998. - V. 80. - № 20. - P.4438-4441.

162. Будаев В.П. Многомасштабная инвариантность турбулентности пристеночной плазмы в токамаке. Автореферат докторской диссертации. М.: РНЦ Курчатовский институт. 2009. - 40 с.

163. Albritton J.R., Williams Е.А., Bernstain I.B., Swartz K.P. Nonlocal kinetics and transport of suprethermel electrons. // Phys. Rev. Lett. 1986. - V. 57. - P. 1887.

164. Jacobson A.R., Moses R.W. Nonlocal dc electrical conductivity of a Lorentz plasma in stochastic magnetic field. // Phys. Rev. A 1984. - V. 29. - P. 33353345.

165. Boyd D., Skiff F., Gulick S. measurements of suprathermat electron distribution function in toroidal plasma. // Rev. Sci. Instrum. 1997. - V. 68. N. 1,- Pt. 2.-P. 496-499.

166. Войцехович И.А. Параил В.В. Аномальная диффузия нижнегибридного тока в токамаке. // Физика плазмы. 1987. - Т. 13. № 10. -С. 1163-1175.

167. Кац А.В., Конторович В.М., Моисеев С.С., Новиков В.Е. Точные степенные решения кинетических уравнений для частиц. // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. 1976. - Т. 71. № 1(7). - С. 177-192.

168. Mima К., Horton W., Tajima T., Hasegawa A. Power-law energy spectrum and orbital stochasticity. Preprint № 503. - IFSR -1992. - 14 p.

169. Яньков В.В. Последствия ленгмюровского коллапса в лазерной короне. // Физика плазмы. 1982. - Т. 8. - С. 86-94.

170. Rodriguez-Rodrigo L., Castejon F. Characterization of magnetic turbulence in tokamak plasmas through hard X-Ray spectra. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 74. N. 20.-P. 3987-3990.

171. Esposito B. Runaway electron measurements in the JET tokamak. // Plasma Physics and Control. Nucl. Fusion. 1996. - V. 38. - P. 2035-2049.

172. Brown M.R. Experimental evidence of rapid evolution of large-scale structures in turbulent fluids. // J Plasma Physics. 1997. - V. 57. - P. 203-220.