Исследование некоторых физических свойств магнитных и металлических фрактальных структур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.11 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

Богданова Софья Борисовна

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАГНИТНЫХ И МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Специальность: 01.04.11 - Физика магнитных явлений

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

3 ОКГ 2013

Москва-2013

005533935

Работа выполнена на кафедре № 311 «Математическое моделирование» Московского авиационного института (Национальный исследовательский университет)

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Гладков Сергей Октябринович.

Официальные оппоненты: доктор физико -математических наук,

профессор Грановский Александр Борисович, доктор физико -математических наук, профессор Голубков Геннадий Валентинович.

Ведущая организация: Санкт - Петербургский физико - технический

институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Защита состоится « » октября 2013 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д-501.001.70 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы Горы, д.1, стр.35, конференц-зал Центра коллективного пользования физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А.М.Горького МГУ имени М.В.Ломоносова (Ломоносовский проспект, д.27, Фундаментальная библиотека).

Автореферат разослан « » сентября 2013года.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д-501.001.70 доктор физико-математических наук, профессор

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Фрактальные объекты начали активно изучаться в конце прошлого столетия после выхода в 1977 году монографии Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» [1-8]. К настоящему времени показано, что фрактальная структура объектов оказывает существенное влияние на их свойства. В частности, высокочастотные свойства фрактальных антенн существенно превосходят аналогичные свойства традиционных структур. Образование фракталов оказывает определяющее влияние на характер поведения нанокомпозитов вблизи фазовых переходов и магнитных жидкостей. Теоретические исследования свойств фракталов проводились многими авторами, например, в [9, 10], изучались гидродинамические и электродинамические свойства фракталов, а в работах [11, 12] экспериментально установлена связь толщины магнитной пленки с фрактальным размером доменных границ. Однако несмотря на большое количество работ в этом направлении до настоящего времени отсутствует количественное и в некоторых случаях даже качественное описание зависимости физических свойств фрактальных структур от их фрактальной размерности и внешних параметров. В частности это относится к поведению магнитной восприимчивости и теплопроводности. Настоящая диссертационная работа посвящена теоретическому изучению фрактальных структур и речь в ней идет об изучении магнитной восприимчивости, проводимости и теплопроводности топологически одномерных металлических и ферромагнитных проволок, что и подтверждает актуальность проведенного исследования.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

В работе рассматриваются четыре типа топологически одномерных

фрактальных проволок. Это кривая Коха, ковер Серпинского, кривая Пеано и

губка Менгера. Цель работы заключается в изучении магнитной

з

восприимчивости этих объектов, проводимости, а также в исследовании коэффициента теплопроводности таких структур. Для достижения этой цели решались следующие задачи:

- вычислена продольная магнитная восприимчивость ферромагнитной фрактальной структуры;

- найдена проводимость металлических фрактальных структур;

- вычислен коэффициент теплопроводности металлического фрактала.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертации впервые проводится теоретическое изучение таких физических свойств топологически одномерных фрактальных структур как продольная магнитная восприимчивость магнитного фрактала, коэффициент теплопроводности и электропроводности металлического фрактала, а также дается описание распределения температуры по фрактальной кривой. Все проведенные вычисления основаны на применении обобщенного квазиклассического кинетического уравнения, модифицированного на топологически одномерные пространства не целой размерности.

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Проведенные вычисления указывают на непрерывную зависимость коэффициента теплопроводности и продольной магнитной восприимчивости магнитного фрактала от параметра фрактальности е. Поэтому, когда осуществляется предельный переход к случаю г ->0 все наши формулы естественным образом переходят в классические результаты.

Достоверность полученных результатов обеспечивается также использованием апробированных математических и физических методов, а также возможностью экспериментальной проверки полученных решений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ

Вычисление физических параметров фрактальных объектов позволяет ответить на вопрос, каким образом ведут себя подобные структуры в тех или иных условиях, и каким образом влияет на эти свойства параметр фрактальности а. Последнее чрезвычайно важно при практическом применении металлических фракталов, например, в деле производства фрактальных антенн, необходимых в системах навигации и дальней связи.

АВТОР ЗАЩИЩАЕТ

1. Результаты вычисления магнитной восприимчивости ферромагнитного фрактала, коэффициента теплопроводности и проводимости металлического фрактала;

2. Математический подход, основанный на введении операции дробного дифференцирования, основанный на разложении в интеграл Фурье, с целью описания физических свойств топологически одномерных фракталов;

3. Результаты вычисления зависимости магнитной восприимчивости от параметра фрактальности е , температуры т и магнитного поля я.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты работы доложены на третьей международной конференции, посвященной 85-летию Л.Д.Кудрявцева (Москва, 2008),

всероссийской конференции по математике и механике, посвященной 60 -летию мехмата Томского университета (Томск, 2008), пятой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2008), первой международной конференции по математической физике и ее приложениям (Самара, 2008), шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009), 10-й конференции «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2009), седьмой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2010, 38 Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics (St.Peterburg, 2010), второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2010), 22-й международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах» (Воронеж, 2010), восьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2011), третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения» (Самара, 2012), а также на «Низкотемпературном семинаре» С. - Петербургского физико -технического института им. А.Ф. Иоффе РАН.

ПУБЛИКАЦИИ Результаты работы отражены в 22 - х печатных работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 129 страниц машинописного текста и 55 рисунков. Список литературы составляет 184 наименование.

б

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации дается вывод обычного квазиклассического кинетического уравнения Больцмана (сокращенно ККУ) для бозе - частиц, и приводится его обобщение на случай пространств не целой размерности, путем введения операции дробного дифференцирования. Подход основывается на разложении результата действия оператора дробного дифференцирования на некоторую функцию f(x) в интеграл Фурье, который определен, как

= (1) Ire

С помощью этого оператора обобщенное ККУ в приближении времени релаксации может быть представлено в виде

9- + UJ + Uff = L{f)«-y-, (2)

dt хр

где тр - время релаксации, а нижние индексы у оператора А показывают, по какой именно переменной ведется дифференцирование.

В шестом параграфе этой главы дается аналитический вывод меры, обеспечивающей правильную размерность всех физических параметров, о которых будет идти речь в следующих главах, основанный на теории ренормгрупповых представлений. Его зависимость в координатном представлении оказывается следующей

(3)

где С- некоторая константа, а 1- конечная длина физического (не математического!) фрактала. В импульсном представлении

С помощью уравнения (2) и с учетом (3) проводимость и теплопроводность металлической фрактальной проволоки можно вычислить, используя выражения

(Т «-

-='¡М-Ар™ - с г У1р -

. Гг"(1 + «М«КрГ*) = тт -»Л(1 ^

■ ______1 . Т-Лг- ■*■

108лт2Й3+4Х 108 яй

(Л,)'

(5)

(6)

Вторая глава диссертации посвящена исследованию поглощения радиочастотного поля (сокращенно РЧ) фрактальным ферромагнитным диэлектриком. В первом и втором параграфах этой главы излагаются общие принципы теории неравновесных явлений, и с помощью метода матрицы плотности дается последовательный вывод общего выражения для тензора магнитной восприимчивости.

В настоящем исследовании нас будет интересовать только продольная компонента тензора магнитной восприимчивости х„> как функция температуры, магнитного поля и параметра фрактальности е.

В случае, если речь идет об «обычном» ферромагнетике, мнимая и действительная части %а могут быть вычислены по формулам

у _ 1 А у У* _ 0)7 А у (7)

Х" 1 + <о2т2 V Т1 дТ 1 + а>2т2УГдТ'

Для вычисления же и х"г2 фрактального ферродиэлектрика согласно общему определению ^ = следует воспользоваться обобщенным

/..-»о

кинетическим уравнением (2), в котором операции обычного дифференцирования по координатам и импульсам заменены на дробные производные.

В результате несложных математических выкладок получены следующие зависимости

х'„=Жо ~(Хо-Х«) ™ 2 (е) + (с)! х» ={Хо-xJY~^т[gl(e)-oJfg2(e)] (8)

3

3 и Мп ( Т

где —д J, - статическая восприимчивость при со ~0, а

восприимчивость при СО ->». Л = Р - ],Л ' У = ^ЛН + Н,,) ^ функции

У б — I ¿Ц + Е) 1

gl (е) и определяются как £,(£)= Ке(У2 (с)), ^(¿г) = 1т (Л (;:)), где

= — | г $т(МШ(р ^ а фИГурИруЮщая здесь функция угловых переменных

определяется анизотропностью спектра магнонов и дается выражением и(в,<р) = $т2*2' Осо$2'2'ср + Бт1*2' вът2*2* <р + соъ2*и 6.

В этой главе показано, что дисперсия магнонов фрактального ферромагнетика оказывается сильно анизотропной функцией угловых переменных и имеет вид

+к2;2')+иАЩ+рм0), (9)

где обменная константа а, обеспечивает правильную размерность первого

слагаемого, а ее связь с обменным интегралом есть а = ц2х -^я2, где -

м0

обменный интеграл. В заключение третьего параграфа второй главы приводятся

результаты численного моделирования магнитной восприимчивости ферромагнитного фрактала (рис. 1,2).'

х! (х)

6х 10

4x10 3

2х 10 3

Рис. 1. Зависимость действительной части магнитной восприимчивости Х1г от параметра фрактальное™ е

X

Рис.2.Зависимость мнимой части магнитной восприимчивости от параметра фрактальности Е

При численном моделировании действительной и мнимой частей продольной магнитной восприимчивости были выбраны следующие значения входящих в общую формулу параметров. 7 = 100/:, = Ю00АГ, я = 10"8сл/, кв=\,4ЛЪ~*эрг-1С\ ц, =Ю"20 эрг-Гс~', сот = 0,1. Как видно из приведенных выше рисунков, поглощение в целом усиливается с ростом показателя фрактальности е.

Качественно это вполне понятно, поскольку с ростом е увеличивается и

ю

степень заполнения пространства кривой. В самом деле, у кривой Коха (для которой е = 0.26) степень заполнения меньше, чем у кривой Пеано, и, следовательно, проволока построенная по ее типу, будет поглощать слабее, чем та же, но для кривой Пеано, степень заполнения пространства которой выше, чем у кривой Коха. Однако, для проволоки в форме кривой Пеано поглощение будет ниже, чем для нее же, но в случае, если она будет представлять собой кривую Менгера. И т.д.

В третьей заключительной главе диссертации изучается процесс теплопереноса по топологически одномерной металлической проволоке.

Для обычного (не фрактального) тела в одномерном случае уравнение теплопроводности с учетом теплообмена с окружающей средой имеет

ЪТ д^Т

стандартный вид— = х—г+а(т« ~т)> гДе тч -температура окружающей среды,

5? дх

а а- коэффициент теплообмена и с помощью подстановки Т(х,0 = '7(*,/)£Г™ оно

, дТ д2Т

преобразуется в — = % —г.

д1 дх

д2

В случае фрактала (второй параграф третьей главы) оператор —- этого

дх

уравнения заменяется на оператор дробного дифференцирования и

2

преобразуется к виду АгТ = —¡к^Т^е^сИс, где мера в к- пространстве

I'

¿¡к = —тг обеспечивает правильную размерность. Для решения «фрактального»

е '

уравнения теплопроводности ~ = х^Т во втором параграфе используется метод разложения в интеграл Фурье и получается , что

-ко -МО ,,

Т(х,()= \т(х',0)Лх' где Т(х',0)- начальное распределение

-«о -«> 2яг

температуры. В результате вычисления внутреннего интеграла, благодаря

использованию метода седловой точки, получается следующее решение, описывающее распределение температуры по фрактальному топологически одномерному образцу

1

--<£с

Х(е)

(Ю),

где

_ _£_ 2±2£ л(1 + £)

г(гт) = (1 + 2е)зш5И±£)

ле . х-х'

1 + 2г 2{\ + 2е) ' 2(1

'Г

(И)

Формулы (10) в случае е = 0 переходят в классическое выражение для

! -к» (*-*')'

теплопроводности Т(х,А =—г= \Т(х',0)-е сЫ.

Iе

Для численной оценки меры цк = —- был использован следующий прием. Если

е '

воспользоваться гельдеровским выражением Ду = //(Дх)", где мера ц обеспечивает правильную размерность координат Ду, Ах, то, выбрав, показатель степени а в виде а=\ + е, находим простую связь с нашей мерой

и = ^ Отсюда можно легко вычислить С. Результат этих вычислений

А

отражает Таблица 1:

Кривая Кох Серпинский Пеано Менгер

ог 1,26 1,89 2 2,73

е 0,26 0,89 1 1,73

ц, см' 1,33 2,66 3 6,7

С 0.79 4,36 4.67 6,8

Для различных начальных условий (Г(л:,0 ) = ,Т(ху0)^Т*е~ах7 ,Т(х,0) = Т*5'т(ах)) , рисунки 4-6 иллюстрируют поведение температуры в зависимости от координат при каждом фиксированном е .

0,95 -

0.90 -

0.85 -

0.80 •

0.75 «п

оооооооооооооо о о о о о о о о о о ) О О О ООО ООООООООООООО о о о о о

0.70 •

0.65

-10 -5 0 5 10

СППОШН&ХЛИКИЯ- ПТ«ДК&ЯКрЮ&Я точки - крив *я Кох« пунктирная линия - криви Серпимского кружочки - КрИВвЛ Г7в*ИО штрих - пунктирпишшия« кри»мМ«нг«р»

Рис.4 Поведение температуры при начальном условии Т (У, 0) = 1.

г-! с

точки» кривая Коха пунктирная линия - кривая Серпкнского кружочки- криваяПеамо штрих - пунктирная пиния-криваяМенгвра

Рис. 5 Поведение температуры при начальном значении Г(л:,0) = Т * е"™ в момент времени ( = 1 с

13

t-lc

Рис.6. Поведение температуры при начальном значении 7"(л,0) = * sin(arjr) в момент времени I = 1с

(обозначения линий те же).

ВЫВОДЫ

1. Впервые с помощью феноменологически введенной операции дробного дифференцирования дано обобщение квазиклассического кинетического уравнения на топологически одномерное фрактальное множество размерности 1 + е.

2. Впервые с помощью обобщенного квазиклассического кинетического уравнения вычислены зависимости коэффициентов проводимости а(е) и теплопроводности к(^) фрактальных металлических топологически одномерных структур.

3. Применение обобщенного квазиклассического кинетического уравнения к ферромагнитному образцу позволило впервые вычислить продольную

составляющую тензора магнитной восприимчивости фрактальной проволоки и найти ее зависимость от параметра фрактальности е, а также от температуры Т и частоты внешнего магнитного поля а (формула (8)). Для изучаемых нами четырех типов кривых (Коха, Серпинского, Пеано и Менгера) численными методами показано, что они по-разному поглощают энергию внешнего переменного поля.

4. Показано, что спектр магнонов в ферромагнитной фрактальной проволоке является не квадратичным и зависит от параметра фрактальности е.

5. Найдено решение уравнения теплопроводности в топологически одномерном фрактале в виде функции времени, координат и параметра фрактальности. Установлено, что выравнивание температуры по фрактальному образцу происходит дольше, чем по гладкому.

6. Впервые дано обоснование введения меры р(е) на фрактале, и вычислены ее значения для исследуемых нами четырех типов фрактальных кривых: кривой Коха, Серпинского, Пеано и Менгера.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федер, Е. Фракталы / Е. Федер. М.: Мир. 1991. 254с.

2. Шредер, М. Фракталы, хаос, степенные законы / М. Шредер. Ижевск: РХД. 2001.528с.

3. Мандельброт, Б. Фракталы и хаос / Б. Мандельброт. Ижевск. РХД. 2009. 391 с.

4. де Жен, П. Идеи скейлинга в физике полимеров / П. де Жен. М. : Мир. 1982г. 368 с.

5. Фракталы в физике // Труды 6 межд.симпозиума по фракталам в физике. МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля 1985г. Под ред. Л.Пьетронезе и Э.Тозатти. Пер. с англ. под ред. Я.Г. Синая и И.М. Халатникова. М.: Мир. 1988. 672 с.

6. Гладков, С.О. К теории одномерной и квазиодномерной теплопроводности / С.О. Гладков // Журнал технической физики 1997. Т. 67. В. 7. С. 8-12.

7. Maloy, K.I. Viscous fingering fractals in porous media / K.I.Maloy, J. Feder, Т. Jossang//Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2688-2691.

8. Chen, J.D. Pore - scale viscous fingering in porous media // J.D.Chen, D. Wilkinson // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 1892 - 1895.

9. Tarasov, V.E. Fractional hydrodynamic equations for fractal media / V.E. Tarasov//Annals of Physics. 2005.Vol.318. No.2. P. 286-307.

10.Tarasov, V.E. Electromagnetic fields on fractals / V.E. Tarasov // Modern Physics Letters A. 2006. Vol.21. No.20. P. 1587-1600.

П.Лисовский, В.Ф. Термодинамически устойчивые фракталоподобные доменные структуры в магнитных пленках / В.Ф.Лисовский, Л.И.Лукашенко, Е.Г.Мансветова // ПЖЭТФ. 2004. Т.79. №7. С.432 - 435.

12.Лисовский, В.Ф. Исследование ветвящихся доменных структур в эпитаксиальных пленках железо - иттриевого граната методом торцевой магнитно - силовой микроскопии / В.Ф.Лисовский, Е.Г.Мансветова, М.П.Темирязева, А.Г.Темирязев // ПЖЭТФ. 2012. Т.96. №9. С.665 - 669.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ:

Список публикаций из перечня ВАК

1. Гладков, С.О. К теории квазитрехмерной теплопроводности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Вестник Московского государственного областного университета. Физика и математика. 2009. № 1-2. С. 21-27.

2. Gladkov, S.O. The heat-transfer theory for quasi-n-dimensional system / S.O.Gladkov, S.B.Bogdanova // Physica B: Condensed Matter. 2010. Vol. 405.1973-1975 p.

3. Гладков, С.О. О вычислении продольной магнитной восприимчивости фрактальной ферродиэлектриков / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Вестник Московского государственного областного университета. Физика и математика. 2010. № 2. С. 76-80.

4. Богданова, С.Б. О продольной магнитной восприимчивости фрактальных ферродиэлектриков / С.Б.Богданова, С.О.Гладков // Известия РАН. Серия физическая. 2011. Т.75. № 10. С. 1418-1422.

5. Гладков, С.О. Кинетическое уравнение для пространств нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды МАИ. 2011. № 47.

6. Гладков, С.О. К вопросу обобщения кинетического уравнения для случая пространства нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Конденсированные среды и межфазные границы. 2011. № 4. С. 423-426.

7. Гладков, С.О. К теории продольной магнитной восприимчивости квазитрехмерных ферромагнитных диэлектриков / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Физика твердого тела. 2012. № 1. Т.54. Вып.1. С. 7073.

8. Богданова С.Б. Теоретическое описание магнитных и тепловых свойств фрактальных антенн. / Богданова С.Б., Гладков С.О. // Palmarium academic publishing. 2013.146 с.

Конференции:

9. Гладков, С.О. Особенности процесса теплопроводности в пространствах дробной размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов 3-й международной конференции, посвященной 85-летию Л.Д.Кудрявцева. Москва. МФТИ. 2008. С. 230.

Ю.Гладков, С.О. О теплопроводности структур нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов Всероссийской конференции по математике и механике 23 - 25 сентября 2008г. Томск. Томский государственный университет. 2008. С. 186.

П.Гладков, С.О. К вопросу о теплопроводности физических структур нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды пятой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. Самара.

2008. С. 65.

12.Гладков, С.О. О теплопроводности в пространстве фрактальной размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Сборник трудов первой международной конференции по математической физике и ее приложениям. Самара. 2008. С. 54-56.

13.Гладков, С.О. О теплопроводности физических пространств с почти целой трехмерной размерностью / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды шестой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 3. Самара.

2009. С. 52.

Н.Гладков, С.О. К вопросу о спектре магнонов в ферромагнитных структурах нецелой размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды 10-й конференции «Актуальные проблемы современной науки». Часть 46. Самара. 2009. С. 56 - 60.

15.Гладков, С.О. К теории продольной магнитной восприимчивости в магнетиках с фрактальной структурой / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды седьмой Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Часть 2. Самара.

2010. С. 36-38.

16.Gladkov, S.O. То theory of longitudinal magnetic susceptibility in fractal magnets / S.O. Gladkov, S.B.Bogdanova // Proceedings of 38 Summer

School-Conference Advanced Problems in Mechanics. St.Peterburg. 2010. 236-238p.

17.Гладков, C.O. Обобщенное кинетическое уравнение для описания физических свойств металлических квазитрехмерных структур / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Материалы второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара. 2010. С. 59 -61.

18.Гладков, С.О. О магнитной восприимчивости фрактальных ферромагнитных структур / С.О.Гладков, С.Б.Богданова. Материалы второй международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара. 2010. С. 97 - 100.

19.Гладков, С.О. К вопросу о вычислении продольной магнитной восприимчивости фрактальных ферродиэлектриков / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов 22 - й международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах». Воронеж. 2010. С. 178 -179.

20.Гладков, С.О. Об обобщении кинетического уравнения на структуры фрактальной размерности / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Тезисы докладов 22 - й международной конференции «Релаксационные явления в твердых телах». Воронеж. 2010. С. 219 - 220.

21.Гладков, С.О. К вопросу исследования физических свойств фрактальных структур / С.О.Гладков, С.Б.Богданова // Труды восьмой Всероссийской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 15.09-17.09.2011. С. 49 -52.

22.Богданова, С.Б. К вопросу о теплопроводности фрактальных топологически одномерных структур / С.Б.Богданова, С.О.Гладков // Материалы третьей международной конференции «Математическая физика и ее приложения». Самара. 2012. С. 69 —71.

и

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от04.092013 г. Тираж/ДО

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

04201362643 БОГДАНОВА СОФЬЯ БОРИСОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАГНИТНЫХ И МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ФРАКТАЛЬНЫХ СТРУКТУР

Специальность: 01.04.11 - физика магнитных явлений

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор ГЛАДКОВ С. О.

МОСКВА-2013

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение ................................................................................. 4

ГЛАВА 1. Обобщение квазиклассического кинетического уравнения на случай фрактального объекта.........................................................9

1.1. «Обычное» квазиклассическое кинетическое уравнение (ККУ) для функции распределения Бозе и Ферми - частиц........... 9

1.2. Некоторые частные случаи уравнения и законы сохранения..............................................................12

1.3. Процессы рассеяния и их характеристики.......................15

1.4. Фрактальные объекты и их основные геометрические свойства.................................................................. 18

1.5. Дробное дифференцирование и интегральное представление дробной производной................................................33

1.6. Метрика и мера фрактального объекта...........................34

1.7. Обобщенное кинетическое уравнение для металлического фрактала................................................................36

1.8. Проводимость фрактального образца............................. 43

ГЛАВА 2. Теория магнитной восприимчивости магнитного фрактала.... 46

2.1. Общая теория магнитной восприимчивости.................... 47

2.2. Магнитная восприимчивость обычного магнетика............50

2.3. Продольная восприимчивость магнитного фрактала......... 54

2.4. Численное моделирование продольной магнитной восприимчивости фрактального образца для различных значений е {ёг = \ + е)................................................ 61

2.5. Сравнение с «обычным» магнетиком..............................75

ГЛАВА 3. Теория теплопроводности фрактального топологически

одномерного объекта.......................................................81

3.1. Классическая теория теплопроводности и закон Фурье.......... 81

3.2. Обобщение закона Фурье на фрактальный объект..................83

3.3. Численное моделирование зависимости температуры от степени фрактальности физической структуры и сравнение с обычным

образцом.................................................................................. 91

Заключение...............................................................................111

Литература............................................................................... 113

ВВЕДЕНИЕ.

В последнее время широкое распространение получили исследования, связанные с изучением свойств фрактальных объектов, а стремительный прорыв в этой области начался, по - видимому, с обзора [1], где впервые были сформулированы основные принципы и идеи этого нового научного направления. Подавляющее большинство результатов, описанных в этом обзоре, было получено благодаря методам численного моделирования или эксперименту [2-8].

О зависимости физических свойств фракталов от их фрактальной размерности существует масса сведений [3,8,9]. Развитие науки о фракталах позволило понять множество сложных физических явлений природы, ранее не поддававшихся математическому описанию. Отметим вкратце только некоторые основные, в число которых входят следующие: явление турбулентности, рост трещин при механических нагрузках, образование кластеров, идеи масштабной теории (скейлинга), широко применяемой при изучении магнитных фазовых переходов, а также при описании кинетики роста и динамики полимолекулярных образований.

В [10] было показано, что реальные цепи в полимерах имеют .такие же свойства, что и случайные блуждания без самопересечений (представляющие собой фрактал).

В турбулентности теория фракталов связана с теорией масштабной инвариантности Колмогорова, когда скорость турбулентного потока, являющаяся функцией пространственных переменных и времени, представляет собой фрактал, подобный броуновской кривой [11,12].

Флуктуации температуры, плотности и т.п., как функции пространственных координат, также могут быть отнесены к числу фракталов [8].

В формальной теории динамических систем были обнаружены странные аттракторы, представляющие собой решения систем дифференциальных уравнений, не заполняющих никакой области, а образующих сложную «дырявую» структуру, которая представляет собой фрактал. Фрактальная

размерность такого множества согласно гипотезе Каплана - Йорке [13] определяется главной размерностью Ляпунова.

Изучение динамических явлений на фрактальных объектах экспериментальным путем показало, что физические свойства фрактала являются сложными функциями его размерности. В том смысле, что все они зависят от его геометрии. Как отмечено в [8], и электрическое сопротивление, и диссипация электромагнитной энергии обнаруживают аномальные степенные зависимости в виде функции от приложенной частоты, а соответствующие показатели степени непосредственно связаны с теми фрактальными размерностями, которые необходимо измерить.

Из экспериментов с белками выяснилось, например, что время низкотемпературной спин-решеточной релаксации некоторых гемопротеинов описывается степенной функцией от температуры.

При этом было установлено, что теоретическая зависимость, которая приводит к целочисленному показателю степени, дает худшее согласие с экспериментом, чем, если бы, показатель степени был не целым. Этот показатель получается из гипотезы о фрактальной размерности структуры и вычисляется по алгоритму теории случайных блужданий по цепи молекулы белка.

Показательным в отношении физических свойств фракталов стало развитие в навигационных и радиолокационных системах так называемых сильно «ломаных» по определенному закону построения фракталов фрактальных антенн.

Сконструированные на основе кривой Коха или кривых Пеано [14], фрактальные антенны обеспечивают максимальное удобство при их эксплуатации [15].

При использовании фрактальных антенн была обнаружена зависимость ее технических характеристик от геометрических параметров, то есть от фрактальной размерности образца. Например, в [16] отмечается, что теоретическое представление механизма взаимодействия фрактальной приемной антенны с падающими на нее электромагнитными волнами весьма

сложно из - за отсутствия аналитического описания волновых процессов в проводнике со сложной геометрией. Поэтому для подобных объектов все основные параметры фрактальных антенн целесообразно определять путем математического моделирования.

Все перечисленные выше примеры и возможность их применения в практических целях говорят об актуальности исследования в этом направлении.

В диссертации впервые проведено изучение магнитной восприимчивости магнитного фрактала, а также процесса теплопроводности подобных структур, что характеризует новизну диссертационного исследования.

Практическая значимость работы состоит в том, что, например, построенная в диссертации теория продольной магнитной восприимчивости магнитного фрактала и предсказанные отличия от «обычного» магнетика позволяют применять их в качестве мощных поглотителей энергии радиочастотного поля (сокращенно РЧ) в приемниках и передатчиках сигналов. Это же касается и теории теплопроводности магнитных фракталов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, содержит три главы, заключение и список литературы, который насчитывает 150 наименований.

Содержание диссертации.

В первой главе диссертации дается обобщение квазиклассического кинетического уравнения (сокращенно ККУ) на случай фрактального топологически одномерного объекта.

Первый параграф посвящен выводу обычного ККУ для функции распределения частиц (или квазичастиц). Во втором параграфе рассмотрены некоторые следствия этого уравнения и законы сохранения энергии и импульса участвующих во взаимодействии частиц. Третий параграф содержит анализ процессов рассеяния и их основные характеристики, главной из которых является время релаксации. Четвертый параграф

включает в себя характеристику фрактальных объектов, их основные геометрически и физические свойства. В пятом параграфе вводится операция дробного дифференцирования и обосновывается ее применение к фрактальной физической структуре. Шестой параграф посвящен такому важному понятию, как мера фрактала и метрика. В этом параграфе дается определение метрики и ее вычисление с помощью ренормгрупповых представлений. В седьмом параграфе предложено обобщение обычного ККУ на случай фрактального образца. Как пример его применения, в восьмом параграфе дается вычисление проводимости металлического фрактала.

Вторая глава диссертации включает в себя исследование продольной магнитной восприимчивости фрактального физического образца.

В первом параграфе второй главы описывается общая теория магнитной восприимчивости обычного магнетика. Во втором параграфе формулируется и излагается теория магнитной восприимчивости обычного магнитного вещества. Третий параграф посвящен построению теории продольной магнитной восприимчивости магнитного фрактала. В четвертом параграфе проведено численное моделирование магнитной восприимчивости магнитного фрактала.

Наконец, последняя третья глава включает в себя изучение теплопроводности магнитного фрактала.

В первом параграфе третьей главы излагаются основные положения классической теории теплопроводности. Во втором параграфе дается обобщение закона Фурье на фрактальный образец и строится теория теплопроводности для фрактальной структуры. В третьем параграфе дается численное моделирование температурной зависимости фрактального топологически одномерного объекта и в последнем четвертом параграфе проводится его сравнение с «обычным» образцом.

В заключение диссертации сформулированы основные моменты проведенного исследования и кратко изложены главные результаты.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 8 статей из перечня ВАК. Основные результаты работы были доложены на 17 международных конференциях.

Объем диссертации. Диссертация содержит 129 страниц машинописного текста и списка литературы, который насчитывает 184 источника.

ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЕ КВАЗИКЛАССИЧЕСКОГО КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА СЛУЧАЙ ФРАКТАЛЬНОГО ОБЪЕКТА

1.1. «Обычное» квазиклассическое кинетическое уравнение (ККУ) для функции распределения Возе и Ферми — частиц.

Для вывода кинетического уравнения на функцию распределения бозонов (частиц, подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна или Ферми - Дирака), необходимо воспользоваться общими принципами теории неравновесных процессов.

Если обозначить функцию распределения частиц через /к, где к = — -

волновой вектор, р - импульс, к - постоянная Планка, то из условия неравновесности баланса можно записать, что

где знак «тильда» над буквой означает, что это интегральный оператор.

Величина Щ2{/к+\) по своему смыслу представляет собой вероятность прихода частиц в единицу времени в некоторую выделенную область фазового пространства, а Й^СО - вероятность ухода частиц из этой области фазового пространства в единицу времени. В первом слагаемом уравнения (1.1) в аргументе стоит сумма /к+1. Эта

сумма подчеркивает, что речь идет о статистике Бозе - Эйнштейна. Для статистики Ферми - Дирака знак «плюс» следует заменить на «минус». Поэтому сейчас исключительно ради определенности будем говорить только о бозонах.

Чтобы вычислить интересующие нас интегральные вероятности Щ2(/к +1) и Ж2,(/,.) необходимо знать специфику взаимодействия частиц.

Для конкретности мы выберем трехчастичное взаимодействие в виде следующего эрмитового гамильтониана

П

(1.1)

Н= ^ ,к2,к-к2+ , (1.2а)

{*.2з}

где эрмитово - сопряженный оператор есть

э.с.= £ А* (кх,к2,к)^ка1акА(к,-к2-к^, (1.26)

{*12з}

л{^^к2,к) - амплитуда процесса рассеяния, д) - комплексно -

сопряженная амплитуда рассеяния, буквы ак (а+к) - означают операторы уничтожения (рождения) частицы с волновым вектором к , д(х) - ступенчатая функция Хэвисайда, автоматически учитывающая закон сохранения импульса (волнового вектора), участвующих во взаимодействии частиц.

Согласно «золотому правилу Ферми» [17], соответствующую вероятность рассеяния в единицу времени можно определить как

(1-3)

п {/}

где индексы /,/ означают соответственно начальное и конечное состояние системы. Дельта - функция Дирака <5(г) автоматически учитывает закон сохранения энергии участвующих во взаимодействии частиц с энергиями е,

И

Я(/ - матричный элемент оператора взаимодействия, взятый по стационарным состояниям волновых функций у/, и , то есть Я;/

Щ=\у,;ну,,аъх, (1.4)

где ц/' есть комплексно - сопряженная величина от у/, - элемент объема (здесь и далее используется сокращенная запись йъх = dxdydz). Для операторных величин, входящих в определение взаимодействия (1.2),

I I2

квадрат модуля |#(/| следует представить так

|я</|2 = Е (1-5)

{*1.*2}

Угловые скобки в (1.5) означают усреднение по основному состоянию системы.

Специфика статистики Бозе - Эйнштейна означает, что операторы рождения и уничтожения подчинены следующему коммутационному соотношению

ака1'~ак,ак =дкк" С1-6)

/V /V /V А- Л-Л-

здесь - символ Кронекера, вводимый по правилу

1 если к = к'

8 = кк'

(1.7) 0 если к Ф к'.

Если теперь в выражении (1.5) ввести определение функции распределения

(**Ч) = Л> (1-8)

то с учетом коммутационного соотношения (1.6) и определения (1.8) имеем

(ака;) = (а;ак) + \ = /к+\ (1.9)

Подставив теперь (1.8) и (1.9) в (1.5), получаем искомый матричный элемента перехода,

2 (1.20) = X ШЛМ (1+д)д(1+л)д(£-£,+*).

М.Г '

С учетом (1.3) и (1.20) вероятность прихода частиц в некоторую область , АкгАкАк7 _

фазового пространства АГ = АУ—-—^—, будет, следовательно, такой

(2 п]

2 71

п

где £к - зависимость энергии частицы (или квазичастицы) от ее волнового вектора.

Для фотонов соответствующая зависимость линейная и согласно формуле Планка, которая связывает энергию с частотой, имеем

ек=Н 6) = Иск, (1.22)

где с - скорость света в вакууме.

Заметим, что в выражении (1.21) проведена формальная замена квадрата ступенчатой функции просто на д(х).

Это можно сделать ввиду ее безразмерности, а для дельта - функции это было бы не верно.

Вполне аналогично находится и вероятность ухода частиц в единицу времени из заданной области фазового объема. В этом случае

1 '2 (

Составив теперь разность выражений (1.21) и (1.23) и, подставляя их в уравнение (1.1), находим искомое нестационарное кинетическое уравнение для функции распределения бозе - частиц:

2 {(1+л,) л л 1+л) - л, (1+л2) л} •

к м1 1 (1.24)

■¿±{кх-к2+к)8(ек-екг + £к)

1.2. Некоторые частные случаи уравнения и законы сохранения.

Прежде, чем переходить к анализу некоторых частных случаев уравнения (1.24), заметим, что его обобщение на любой иной тип взаимодействия весьма прост, поскольку формально можно будет вводить любую другую функцию распределения (не фотонную), характеризующую ту частицу, с которой происходит взаимодействие. А). Равновесная система фотонов.

Как известно [18], равновесная функция распределения фотонов имеет вид распределения Планка

. 0-25)

ек°Т-1

где частота фотона а> = ск, Т - температура, кв =1.38-10

•16

V К у

- постоянная

Больцмана.

Далее произведение ксо будем обозначать просто, как энергию ек (ак = Ью).

В стационарном случае производная по времени от функции распределения тождественно обращается в нуль {/к = о).

Поэтому, если чисто формально приравнять правую часть уравнения (1.24) к нулю, то для равновесного состояния получаем

п {м2}

где равновесная функция распределения дается формулой (1.25).

Если подставить сюда (1.25), найдем для выражения в фигурных скобках

{(1+Л)4(1+Л)-Д(1+70Л} =

ехр

квт j

ехр

квТ

с „ \

ехр

\kBT j

ехр

у

г ~ \

-1 ехр

\квТ j

( с \

-1 ехр

л

\квТ j

-1 ехр

( ^ \

-1 ехр

\квТ j

г \

-1 ехр

\квТ j

-1

~ fkfk.fk-,

е к°т -ек»т

(1.26)

Если теперь внимательно посмотреть на закон сохранения энергии, который автоматически учитывается дельта - функцией, и согласно которому ^ = ек +ек], видим, что разность экспонент в (1.26) тождественно равна нулю.

Это говорит нам о корректности уравнения (1.24). Б). Tay - приближение.

Очень часто при некоторых оценочных вычислениях довольно полезным оказывается так называемое г - приближение (см., например, монографии [19], [20]). Если правую часть уравнения (1.24) обозначить через интегральный оператор L{fk), то г - приближение определяется как

Л

> Щл]

(Л-Л) = -(Л-/). (1-27)

Тъ

4~4

где функциональная производная есть

Щ/к]

(1.28)

fk fк

Время тк называется временем релаксации системы к равновесному состоянию и его вычисление можно осуществить с помощью правила (1.28).

Единственная проблема, возникающая при этом, заключается в аналитическом нахождении амплитуды процессов рассеяния, которая в рассмотренном выше примере характеризуется абстрактной функцией

В каждом конкретном случае амплитуда находится из соответствующей постановки задачи и, более того, она существенно зависит от типов изучаемых материалов (см. монографии [19,20,21]).

Для металлов, например, это может быть взаимодействие между фононами и электронами про