Феноменологические модели описания больших систем с фрактальными структурами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В БОЛЬШИХ СИСТЕМАХ И ДРОБНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ.

1.0. Введение.

1.1. Дробные производные Римана-Лиувилля.

1.2. Фрактальные множества и дробные производные Римана-Лиувилля.

1.3. Обобщенные дробные производные и интегралы для функциональных фрактальных размерностей.

1.4. Обобщенные дробные производные для случая малых отличий функциональных фрактальных размерностей от целочисленных (обобщенные дробные производные для d(f(t)j) -» 1).

1.5. Связь с ковариантными производными.

2.0.1 Диффузия к фрактальным поверхностям для случая разных ФР электролита и электрода.24

2.0.2. Заключение.28

2.1. Элемент постоянной фазы (ЭПФ). Эксперимент. Температурная зависимость ЭПФ.28

2.1.0. Введение.28

2.1.1. Экспериментальные данные по ЭПФ и температурной зависимости ЭПФ.29

2.2. Эффективные адмиттанс, емкость и сопротивление поверхности твердого электролита электрод/образец и их скейлинговые свойства. Фрактальные теории ЭПФ.29

2.2.0. Введение.29

2.2.1. Модель эффективных емкостей и сопротивлений.31

2.2.2. Фрактальные теории ЭПФ.35

2.2.3 Выводы.36

2.3. Фрактальная теория температурной зависимости ЭПФ.37

2.3.0.Введение.37

2.3.1 Фрактальная модель для описания электрических свойств поверхности твердого электролита.40

2.3.2. Статистический метод вычисления полного адмиттанса образца.43

2.3.3. Выбор пределов интегрирования и зависимость параметра распределения Р от характеристик образца.47

2.3.4. Модель а, = d,. Зависимость элемента постоянной фазы от температуры в модели а, = d,-.49

2.4. Температурная зависимость ЭПФ для разных фрактальных моделей поверхности контакта электролит/образец.52

2.4.0. Введение.52

2.4.1 Фрактальные теории элемента постоянной фазы работ [47-55] как частный случай результатов работы [56].52

2.4.2. Сравнение с экспериментом.55

2.5. Температурные зависимости ЭПФ для разных моделей [47-55] поверхности контакта образец/электролит.60

2.5.1. Зависимость ЭПФ от характеристического параметра /?в различных фрактальных моделях.60

2.5.1.1. Фрактальная теория ЭПФ Никоши-Пайкоши.60

2.5.1.2. Фрактальная модель ЭПФ Лиу.62

2.5.1.3. Фрактальная модель ЭПФ Jle Мео и Крепи.62

2.5.1.4. Фрактальная модель ЭПФ Халсея, Болла и Бланта.64

2.5.2. Сравнение зависимостей ЭПФ от р в разных фрактальных теориях64 25.3.Температурные зависимости ЭПФ в различных фрактальных теориях68

2.5.4. ВЫВОДЫ.68

2.6. Модели диффузии в нелинейных средах.69

2.6.0. Введение.69

2.6.1. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии.70

2.6.2. Нелинейное уравнение диффузии в фрактальной среде.71

2.6.3. Автоколебательные процессы.72

2.6.4. Заключение.74

2.7. Модели диффузии в фрактальных средах. Кинетическое уравнение Климонтовича в фрактальной среде.74

2.7.0. Введение.74

2.7.1. Начальные условия и точное решение уравнения (2.7.1).75

2.7.2. Асимптотическая оценка решения при больших временах.76

2.7.3. Выводы.77

2.8. Броуновское движение в системах с дробной размерностью.78

2.8.0. Введение.78

2.8.1 Броуновское движение в фрактальных средах и уравнение

Смолуховского.78

2.8.2. Управляющее уравнение.79

2.8.3. Уравнение Фоккера-Планка.81

2.8.4. Выводы.84

2.9. Броуновское движение в системах с памятью.85

2.9.0. Введение.85

2.9.1. Броуновское движение с учетом памяти.86

2.9.2. Управляющее уравнение.87

2.9.3. Уравнение Фоккера-Планка.88

2.9.4. Выводы.91

2.10. Заключение.91

3. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ КАК ПАРАМЕТР

ПОРЯДКА.94

3.0. Введение.94

3.1.Фрактальная размерность как параметр порядка.95

3.2. .Принцип минимума фрактальной размерности. Уравнения для фрактальной размерности.96

3.3. Выводы.101

4. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ С ФРАКТАЛЬНЫМИ СТРУКТУРАМИ.103

4.0. Введение.103

4.1. Появление фрактальной размерности в больших системах.106

4.2. Фрактальная размерность и дробные производные.109

4.3. Кинетические уравнения в системах с фрактальными структурами. 110

4.4. Кинетические уравнения плазмы с фрактальными структурами.111

4.5. Результаты и выводы.114

5. ОПИСАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ МЕТОДАМИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ.116

5.0. Введение.116

5.1. Пространство экономических функций и пространство экономических переменных.116

5.2. Формулировка реакционно-диффузионных уравнений в экономическом пространстве с топологическими размерностями.118

5.3. Формулировка уравнений реакционно-диффузионного типа в фрактальных экономических пространствах.124

5.3.0. Введение.124

5.3.1. Уравнения реакционно-диффузионного типа в дробных производных.124

5.3.2. Уравнения типа Фоккера-Планка для описания экономических систем.128

5.3.3. Некоторые заключения.129

5.4. О зависимости валютного курса от времени и величин национального дивиденда, инвестиций, разности спроса и предложений.129

5.5. Выводы.136

ВЫВОДЫ.138

ЛИТЕРАТУРА.140

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность темы исследования

В последние годы теоретическим и экспериментальным исследованиям линейных и фрактальных характеристик больших систем (физика твердого тела, физика магнитных материалов, плазма, биологические объекты, твердые электролиты, диффузия в нелинейных и фрактальных средах, экономика и т.д.) посвящено большое число работ. Это обусловлено существенным (часто определяющим) влиянием нелинейных возбуждений, типа солитонов, и фрактальной размерности системы (зависящей от внешних параметров) на поведение многих физических характеристик системы. В связи с этим исследование различных моделей описания физических свойств больших систем для выяснения вклада в их поведение, при различных условиях, нелинейных и фрактальных структур является важной и актуальной задачей современной физики твердого тела и молекулярной физики. Диссертационная работа посвящена исследованию нескольких моделей описания влияния фрактальных характеристик поверхности контакта твердый электролит/электрод на процессы диффузии, недебаевский импеданс, исследованию нелинейной диффузии в фрактальных средах, влиянию фрактальных структур на кинетику больших систем, описанию поведения экономических структур на основе методов и уравнений статистической физики открытых структур и, в связи с этим, является актуальной.

2. Цель и задачи работы.

Диссертационная работа посвящена теоретическому описанию некоторых физических явлений, происходящих на поверхности контакта твердый электролит/электрод (в частности, скейлинговых процессов, некоторых видов диффузии в фрактальной среде, описанию температурной зависимости ЭПФ в ряде фрактальных теорий), описанию влияния фрактальных структур на поведение больших систем, исследованию автоволновых решений уравнения диффузии с нелинейным коэффициентом диффузии в фрактальной среде, описанию методами статистической физики открытых систем ряда проблем математической экономики.

Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие основные задачи:

1. На основе разработанных (при участии Л.Я.Кобелева, В.Л.Кобелева и О.Л.Кобелевой) феноменологических моделей недебаевского импеданса в твердых электролитах, модельного описания поверхностного слоя контакта электролит/образец в рамках представлений фрактальной геометрии о температурной зависимости элемента постоянной фазы проверить применимость разработанных моделей для фрактальных теорий элемента постоянной фазы в теориях ЭПФ Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсея, Болла и Бланта, не содержащих температурной зависимости ЭПФ;

2. Построить модель диффузии ионов к двум поверхностям с разной ФР;

3. Исследовать существование решений автоволнового типа для диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;

4. Найти точное решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде с постоянным коэффициентом диффузии;

5. Разработать модель описания фрактальной размерности поверхности твердого тела как параметра порядка;

6. Сформулировать метод учета влияния фрактальных структур на поведение больших систем, допускающих описание их динамики с помощью кинетических уравнений;

7. Рассмотреть в качестве примера учет влияния фрактальных структур на поведение электронно-ионной плазмы в рамках уравнений Власова;

8. Рассмотреть в качестве примера учет влияния фрактальных структур в уравнениях математической экономики.

Работа выполнена по темам исследований, проводимых на кафедре физики низких температур Уральского государственного университета в Проблемной лаборатории "Физика экстремальных воздействий на вещество", совместной учебно-научной лаборатории ИВТЭХ УрО РАН и Уральского университета, в рамках федеральной целевой программы "Интеграция" и исследований, проводимых по теме "Синтез многокомпонентных кристаллов и пленок, теоретическое и экспериментальное исследование твердых тел с целью создания материалов с новыми физическими свойствами", при поддержке РФФИ (грант № 97-02-16212 "Разработка физических принципов и экспериментальных методов получения твердых электролитов для работы при криогенных температурах", грант № 00-02-16285 "Теоретические и экспериментальные исследования сложных полупроводниковых халькогенидов для синтеза и конструирования на их основе низкотемпературных твердых электролитов, сегнетоэлектриков и составов с большим магнетосопротивлением, пригодных для научных и прикладных целей"), при поддержке НОЦ "Перспективные материалы" и гранта CRDF 2000г.

3. Научная новизна

1 .Впервые проведено применение фрактальной теории температурной зависимости ЭПФ для моделей ЭПФ разработанных Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсеем, Боллом и Блантом;

2.Найдены формулы для диффузии к двум фрактальным поверхностям с различной ФР;

3.Найдено автоволновое решение для диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;

4. Впервые найдено решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде;

5. Разработана, на основе идеи работы Гинзбурга-Ландау, модель описания фрактальной размерности поверхности твердого тела как параметра порядка;

6. Впервые разработан метод учета в больших системах, описываемых кинетическими уравнениями, влияния фрактальных структур на поведение системы;

7. Получены поправки к спектру элементарных возбуждений электронно-ионной плазмы от фрактальных структур;

8. Впервые сформулирован общий метод описания кинетическими уравнениями статистической физики открытых систем экономических моделей.

4. Практическая ценность работы

1. Работа выполнена по темам исследований, проводимых на кафедре физики низких температур Уральского государственного университета в Проблемной лаборатории "Физика экстремальных воздействий на вещество", совместной учебно-научной лаборатории ИВТЭХ УрО РАН и Уральского университета, в рамках федеральной целевой программы "Интеграция" и исследований, проводимых по теме "Синтез многокомпонентных кристаллов и пленок, теоретическое и экспериментальное исследование твердых тел с целью создания материалов с новыми физическими свойствами", а также в рамках тематики грантов РФФИ: грант № 97-02-16212 "Разработка физических принципов и экспериментальных методов получения твердых электролитов для работы при криогенных температурах", грант № 00-02-16285 "Теоретические и экспериментальные исследования сложных полупроводниковых халькогенидов для синтеза и конструирования на их основе низкотемпературных твердых электролитов, сегнетоэлектриков и составов с большим магнетосопротивлением, пригодных для научных и прикладных целей"), при поддержке НОЦ "Перспективные материалы" и гранта CRDF 2000г.

2. Проведенные теоретические исследования влияния фрактальных структур на температурную зависимость недебаевского импеданса, поведения больших систем способствует более глубокому пониманию физических процессов происходящих в сложных системах.

3. Методика учета влияния фрактальных структур на поведение больших систем позволяет находить вклад от фрактальных структур в ряде важных задач физики твердого тела и физики плазмы.

4. Предложенная методика описания экономических явлений методами статистической физики открытых систем является полезной для решения конкретных экономических задач.

На защиту выносятся:

1.Анализ скейлинговых свойств электрических параметров поверхности электрод/образец;

2. Диффузия к фрактальным поверхностям для случая разных ФР электролита и электрода;

3. Применение фрактальной теории температурной зависимости ЭПФ в моделях ЭПФ Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсея, Болла и Бланта;

4. Формулирование уравнения и получение автоколебательного решения уравнения диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;

5. Формулирование и решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде;

6. Модель описания фрактальной размерности поверхности как параметра порядка;

7. Метод учета влияния фрактальных структур на динамику поведения больших систем допускающих описание с помощью кинетических уравнений.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались и представлялись на семинарах КФНТ УрГУ, института электрохимии УрО РАН, на Всероссийских и Международных конференциях: "Проблемы фундаментальной физики", th •

7-12 октября 1996 г., Саратов; 9 International Meeting on Ferroelectricity,

24-29 August, 1997, Seoul, Korea; Joint International Meeting of ECS and ISE,

31Aug.-5 Sept. 1997, Paris, France; "Физика конденсированного состояния", th

Стерлитамак, 22-25 сентября 1997 г.; 11 International Conference on Solid

State Ionics, Honolulu, USA, 16-21Nov 1997; 8 Международной конференth — ции по физике полупроводников при высоких давлениях, 8 HPSP, Салоники, 1998; "Оксиды. Физико-химические свойства и технология", Екатеринбург, 27-31 января, 1998; январь 2000; "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах", Махачкала, 7-11 сентября, 1998г; "Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах" Махачкала, 6-9 сентября 2000.и опубликованы в 23 статьях и тезисах конференций.

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 23 публикации в виде статей и тезисов докладов на конференциях .

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка цитированной литературы, изложена на 156 страницах текста, содержит 11 рисунков. Список цитированной литературы содержит 129 наименований.

ВЫВОДЫ

Систематический анализ некоторых вопросов описания влияния фрактальных структур в больших системах (твердых электролитах, твердых телах, плазме, экономических системах) на их поведение позволил сделать следующие выводы:

1. Разработанная фрактальная модель температурной зависимости ЭПФ позволила применить ее для введения температурной зависимости в фрактальные модели ЭПФ и найти температурную зависимость ЭПФ в ряде фрактальных теорий ЭПФ;

2. Уравнение Смолуховского и управляющее уравнение для стохастических систем в фрактальных пространствах приведенные в работе могут оказаться полезными для описания случайных систем с частичной памятью;

3. Найденное автоволновое решение для фрактальной среды с нелинейным коэффициентом диффузии предсказывает возможность волнового характера тока диффузии в фрактальных средах;

4. Решение уравнения Климонтовича в фрактальных средах может быть использовано для описания аномальной диффузии как в импульсном, так и в координатном пространствах;

5. Модель фрактальной размерности поверхности как параметра порядка может быть использована для описания широкого круга физических явлений в средах с фрактальными характеристиками;

6. Предложен метод описания кинетических явлений в средах с фрактальными структурами с помощью кинетических уравнений в обобщенных дробных производных. Последнее позволяет учитывать в больших системах с фрактальными структурами влияние фрактальных структур на поведение систем.

7. Предложен метод описания, с помощью уравнений кинетической теории открытых систем и введения функциональных пространств, сложных больших систем различной природы. Этот метод проиллюстрирован на примере экономических систем (с фрактальной и топологической размерностями).

2.10. Заключение

1. Mandelbrot В.В. How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilarity and fractal dimension // Science, 1967, V. 155, P.636-638.

2. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco: Freeman, 1977.

3. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. San Francisco: Freeman, 1982. 480p.

4. Feder J. Fractals. Plenum Press, New-York, 1988 (Федер E. Фракталы, M.: Мир, 1991. 254c.)

5. Stiassnie M., Agnon J., Shemer L. Fractal dimension of random water surfaces // Physica D, 1991, V. 47, №3, P. 341-352

6. Fractals in natural and applied sciences, IFIP, A-41, North-Holland, 1994 (Ed. M.M.Novak)

7. Фракталы в физике: Тр.VI Междун. симпоз. по фракталам (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июня 1985). М.: Мир,1988. 672с.

8. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика // УФН, 1985, Т. 146, С.493-506

9. Witten Т.А., Sander L.M. Diffusion limited aggregation, a kinetic critical phenomenon // Phys. Rev. Lett., 1981, vol.47, p. 1400-1407

10. Ю.Баланкин A.C. Синергетика деформируемого тела. M.: МО СССР, 1991, 404с.11 .Баланкин А.С. Фрактальная динамика деформируемого твердого тела // Изв. АН СССР. Металлы, 1992, №2, С.41-51

11. Иванова B.C., Баланкин А.С., Ермишкин В.А., Ковнеристый Ю.К., Та-майо П. Фрактальная геометрия аморфных структур и синергетика стеклования металлических сплавов // ДАН, 1993, т.330, № 1, с. 35-37

12. Иванова B.C., Баланкин А.С., Бунин И.Ж., Оксогоев А.А. Синергетика и фракталы в материаловедении, М.: Наука, 1994. 383 с.

13. М.Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. Сер. Современные проблемы физики, Вып. 83. М. :Наука, 1991

14. Смирнов Б.М. Фрактальные кластеры //УФН, 1987, Т.152, С.133-137

15. Жульен Р. Фрактальные агрегаты // УФН, 1987, Т.152, С.117-132

16. Цаллис С. Измерение фрактальной размерности по физическим измерениям.// Фракталы в физике: Tp.Vl Междун. симпоз. по фракталам (МЦТФ, Триест,Италия, 9-12 июня 1985). М. Мир,1988.

17. Баланкин А.С. Синергетика деформируемого тела. М.: МО СССР, 1991, 404 с.

18. Kleiser Т., Bocek М. The fractal nature of slip in crystals// Z.fur Metal-lkunde, 1986, V. 77, №.9, P.582-587

19. Баланкин А.С. Фрактальная динамика деформируемого твердого тела// Изв. АН СССР. Металлы, 1992, №2, С.41-51

20. Иванова B.C., Баланкин А.С., Ермишкин В.А., Ковнеристый Ю.К., Та-майо П. Фрактальная геометрия аморфных структур и синергетика стеклования металлических сплавов // ДАН, 1993, Т.330, № 1, С. 35-37

21. Liouville J. Memoire sur l'integration des equations differentielles a indices fractionnaries // Ibid. 1837. T.l5, N.55, P.58-84.

22. Marchaud A. Sur les derivees et sur les differences des fonctions de variablesreelles // J. Math, pures at appl. 1927.T.6. N.4. P.337-425

23. Самко С.Г., Килбас A.A., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Минск, Наука и техника, 1987, 688с.

24. Кобелев Л.Я. Фрактальная теория времени и пространства, Екатеринбург: Конросс, 1999, 136с.

25. Кобел ев Л.Я. Фрактальная теория времени и пространства. Деп. в ВИНИТИ 22.01.99, № 189-В99, 158с.

26. Кобелев Л.Я. Мультифрактальность времени и специальная теория относительности. Деп. в ВИНИТИ 19.08.99, №2677-В99, 21с.

27. Kobelev L.Ya. Generalized Riemann -Liouville Fractional Derivatives for Multifractal Sets ( XXX.arXiv:math.CA/0002008), preprint

28. Кобелев Л.Я. Мультифрактальное время, ковариантные производные и калибровочная инвариантность. Деп. в ВИНИТИ 07.09.99, № 2791-В99, 11с.

29. Kobelev L.Ya. Multifractality of Time and Space, Covariant Derivatives and Gauge Invariance XXX.arXiv:hep-th /0002005

30. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функций и их применение, т.1, Москва, Физматгиз, 1958, 440с.

31. Schwarts L., Theorie des distribusions. V.l, Paris: Hermann, 1950, 162p.

32. Schwarts L., Theorie des distribusions. V.2, Paris: Hermann, 1951, 169p.

33. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве. // Доклады Академии наук, 1998, Т.361, №6, С. 755-758.

34. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. О фрактальной диффузии к вращающемуся диску // Доклады Академии наук, 1998, Т.362, №2, С. 184-186.

35. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем 1, Москва: Янус, 1995.686с. (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1995)

36. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем 2, Москва: Янус, 1999. 439с.

37. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. Релаксационные и диффузионные процессы в фрактальных пространствах // Известия РАН, Физика, 1998, №12, С.2401-2408.

38. Metzler R., Barkay Е., Klafter J. Anomalous diffusion and relaxation close to thermal equilibrium: a fractal Foker-Planck equation approach // Phys. Rev. Lett., V.82(1999). №18. P.3563.

39. Hausdorf F., Math.Ann. 1919. V.79. P. 157-179

40. Renyi A., Introduction to information theory, Appendix in: Probability theory (North Holland, Amsterdam, 1988)

41. Rudolph O. Thermodynamic and multifractal formalism and the bowen-series map // Fortschritte der Physik, V.43 (1995), N.5. P.349-450

42. Нигматулин P.P. // ТМФ, Т.,№3,1992, c.354-368

43. Nyikos L., Pajkossy T. Fractal dimension and fractional power frequency dependent impedance of blocking electrodes// Electrochimica Acta, 1985, V.30, №11, P.1533-1538

44. Nyikos L., Pajkossy T. Diffusion to fracral surface// Electrochimica Acta, 1986, V.31, P.1347-1350.

45. Nyikos L., Pajkossy T. Diffusion to fracral surface II. Verification of the theory//Electrochimica Acta, 1989, V.34, P.171-179.

46. Nyikos L., Pajkossy T. Diffusion to fracral surface III. Linear sweep and cyclic voltammogramms// Electrochimica Acta, 1985, V.30, P.180-186

47. I.Liu S.H. Fractal model for the ac response of a rough interface // Phys. Rev. Letter. 1985. V.55. P.529-530.

48. Le Mehaute A., Crepy G. Introduction to transfer motion in fractal media: the geometry of kinetics // Solid State Ionics. 1983. V.9-10. P. 17-25.

49. Halsey T.C. Frequency dependence of the double-layer impedance of a rough surface // Phys. Rev. A. 1987. V.36. P.5877-5880.

50. Ball R., Blunt M. A fractal model for the impedance of a rough electrode // J. Phys. A. 1988. V.21. P. 197-199.

51. Sapoval B. Fractal electrodes and constant phase angle response: exact examples and contra examples // Solid State Ionics. 1987. V.23. №4. P.253-256.

52. Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л., Кобелева О.Л. Температурная зависимость элемента постоянной фазы импеданса твердых электролитов в фрактальной теории. // Деп. в ВИНИТИ 6.03.1996, № 719-В-96. 19с.

53. Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л., Кобелева О.Л. Температурная зависимость элемента постоянной фазы импеданса твердых электролитов в фрактальной теории. // Электрохимия. 1999. Т.35. В.З. С. 294-302.

54. Кобелев Л.Я., Кобелева О.Л., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л. О диффузии через фрактальную поверхность // Доклады Академии наук, 1997, Т.355, №3, С.326-327.

55. Chen W.H. Linear Network Design and Synthesis N.Y.: McCrow-Hill, 1964. 134p.

56. Engstrom H., Bates J.B., Wang J.C. Non-Debye capacitance in single crystal (3-alumina // Solid State Comm., 1980, V.35 № 7, P.543

57. Шкерин C.H. Постоянный фазовый угол в системе 02,Pt/0 " //Труды Всесоюз. школы по электрохимии, Свердловск, 1991, Т.1, С.108-134л

58. Шкерин С.Н. Явление "постоянный фазовый угол" в системе 02,Pt/0 7/ Электрохимия, 1994, Т.30, №9, С. 1086-1089

59. Бронин Д.И., Кузин Б.Л. Поведение элемента с постоянным фазовым углом в электродной системе 02,Pt/0 7/ Труды Всесоюз. школы по электрохимии, Свердловск, 1991, Т.1, С. 135-137

60. Баранова Е.Р. Электронная и ионная проводимость AgGeAsS3 и AgGeSbS3. Дисс. канд. физ. мат. наук// Урал. ун-т. Свердловск., 1990,239с.

61. Wang J. С. Comments on a fractal model for blocking interfaces // Electro-chimica Acta, 1989, V.34, №7, P.987-990

62. Keddam M., Takenouti H. Impedance of fractal interfaces: new data on the Von Koch model // Electrochimica Acta, 1988, V.33, №3, P.445-448

63. R.D. Armstrong and W.I.Archer The double-layer capacity of the Au/Na-(3-alumina interface variation with temperature// J.Electroanal. Chem., 1978, V. 87, P.221-224

64. R.D.Armstrong, T.Dickinson,P.M. Wills The ac impedance of single crystal sodium beta alumina// J.Eiectroanal. Chem. ,V. 76, 1967, P. 121-122

65. Shur V.Ya., Negashev S.A., Subbotin A.L., Borisova E.A., Zykov S.A., Pelegov D.V, Trolier-McKinstry S. In situ investigation of crystallisation kinetics in PZT films by light scattering //MRS Symposium Proceedings Series, 1996, V.433, P.521-526

66. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. О зависимости фрактальной размерности поверхности кристаллитов от давления. // Физика металлов. Металловедение 1988, Т.85, Вып.4 С.54-60

67. Кобелев В.Л., Кобелева О.Л., Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я. Температурная зависимость элемента постоянной фазы в теории Ле Мео и Крепи //

68. Kim К.К., Mundy J.N., Chen W.K. // J. Phys. Chem. Solids, 1979, V.40, P.743-755.

69. Кобелев Я.Л., Романов Е.П. Влияние фрактальных характеристик поверхности твердых электролитов на температурную зависимость элемента постоянной фазы // Доклады Академии наук. 2000. (приняты в печать)

70. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы, М.: Наука, 1987, 240с.

71. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // Доклады Академии наук, 1999, Т.369, №3, С.332-333.

72. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса, М.:Наука, 1990.

73. Климонтович Ю.Л., О необходимости и возможности единого описания кинетических и гидродинамических явлений //ТМФ, 1992, Т.92, С.312 )

74. Klimontovich Yu.L. The unified description of kinetic and hydrodynamic proceses // Phys. Lett., A 197,1992, P.434

75. Klimontovich Yu.L. S-theorem (Z.Phys.,B66 (1967); Климонтович Ю.Л. Уменьшение энтропии в процессе самоорганизации. S-теорема // Письма в ЖТФ, 1983, Т.7, С.1412

76. Джрбашян М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области М.:Наука, 1976, 671с.

77. Gloecke W.G., Nonnenmacher T.F., Fox function representation of non-Debye relaxation processes // J.Stat.Phys.,ll,№ 3/4, 1993, P.741;

78. Schneider W.R., Wyss W. II J. Math Phys. 30,1989, P. 134

79. Mathai A.M., Saxena R.K. The H-function with Applications in Statistics and Other Disciplines, Wiley Eastern Limited, New Delhi, 1978

80. Braaksma B.L.J. // Compos. Math 15,1964, P/239

81. Fox C. // Trans. Am. Math. Soc., 98 ,1961, P.395

82. Климонтович Ю.Л. Нелинейное броуновское движение // УФН, 164, 810 (1994);

83. Kramers Н.А., Brownian Motion in Field of Force and Diffusion Model of Chemical Reactions // Physica,7, P.284 (1940)

84. Klimontovich Yu.L. Ito, Stratonovich and Kinetic Forms of Stochastic Equations // Physica A, 163, 515 (1990)

85. Стратонович P.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика. М.: Наука, 1994. (Springer, Heidelberg, Berlin, New York. V.l. 1992, V.2. 1994).

86. Ван Кампен, Стохастические процессы в физике и химии, (Москва, Высшая школа, 1990)

87. Королев П.В., Кульков С.Н. Изменение фрактальной размерности порошков Zr02 после ударного нагружения // Перспективные материалы, 1997, №3, с.21-27

88. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д, // ЖЭТФ, 1948, Т.20, С.1064

89. Kobelev V.L., Kobelev L.Ya. On time dependence of fractal dimension of a growing ferroelectric surface.// 9th Int. Meet, on Ferroelectricity, 4-29 August, 1997, Seoul, Korea, Abstracts Book p. 10

90. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Теоретическая физика,9, М.:Наука,1978

91. Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л., Романов Е.П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка. // Деп. в ВИНИТИ 27.05.99, № 1668-В99

92. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка. // Доклады Академии наук, 2000. Т.370. №6. с.757-759.

93. Власов А.А. Вибрационные свойства электронного газа // ЖЭТФ. 1938. Т.8. С.291

94. Klimontovich Yu.L. // J. Plasma, Physics (1998), V. 59, Part 4, P.647

95. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Кинетические уравнения для больших систем с фрактальными структурами. // Доклады Академии наук, 2000.Т.372. №2. с. 177-180.

96. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория неравновесных процессов в плазме. М.: издательство МГУ, 1964. 282с.

97. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию газов. М.: Науку, 1971, 338с

98. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плаз-моподобных сред. М.: Атомиздат, 1961.

99. Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1970.

100. Климонтович Ю.Л., Силин В.П. К теории спектров возбуждений макроскопических систем // Доклады Академии наук, 1952, Т.82, С.361.

101. Климонтович Ю.Л., Силин В.П. О спектрах систем взаимодействующих частиц // ЖЭТФ, 1952, Т.23, С.151.

102. Силин В.П. Исследование спектра системы многих частиц методом квантового кинетического уравнения // Тр. ФИАН, 1955, Т.6, С.200.

103. Силин В.П. К теории спектра возбуждений системы многих частиц // ЖЭТФ, 1952, Т.23, С 641.

104. Ландау Л.Д. Колебания ферми-жидкости // ЖЭТФ, 1952, Т.32, С 59.

105. Климонтович Ю.Л. Кинетическая теория неидеальных газов и неидеальной плазмы. М.: Наука, 1975. (Oxford: Pergamon press, 1982).

106. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск. Издательский дом "Удмуртский университет". 2000. 200с.

107. Lorenz H.W. Nonlinear Dynamical Economics and Chaotic Motion (Springer-Verlag, 1993,P.286}

108. Okubo A. Diffusion and ecological problems: mathematical models. Berlin: Springer. 1980.

109. Chaos & Nonlinear Dynamics in the Financial Markets, Robert R.Tripp (editor), IRWIN professional publishing, London, 1995. 505p.

110. Быстрай Г.П. Аналитическая макроэкономика: динамика неравновесных процессов. (Екатеринбург. УрГУ, 1994. 48с.)

111. Bystrai G.P. Analytical Macroeconomics: Management on the eve of Chaos. // the Third Inter. Workshop on Artificial Intelligence in Economic and Management. Portland, Oregon, USA, Aug.25-27,1993.

112. Bystrai G.P. Dynamic Chaos in Macroeconomics: The problem of formalized description.// Conf. "Evolutionary Econ. and Chaos Theory." Amsterdam, 6-8 May. 1993. P.17-18.

113. Lubashevsky I.A., Cafiychuk V.V. //A simple Model of self-regulation in Large Natural Systems. J. Environment Sciences 1995. V.23. N.3. P.281-289.

114. Meodows D.H. at el. The Limits to Growth: A report for the club of Rome's project on the predicament of mankind. N.Y.,1992

115. Weidlich W. Physics and Social Science the Approach of Synergetics. // Phys. Rep. 1991. V.201. P. 1-163.

116. Кобелев Л.Я., Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л. О статистическом подходе к описанию экономических явлений.//Деп в ВИНИТИ 15.12.95 № 33-45-В95.

117. Kobelev L.Ya., Kobeleva O.L., Kobelev Ya.L. Is it Possible to Describe Economical Phenomena by Methods of Statistical Physics of Open Systems? // Preprint XXX.arXiv:physics/0005010

118. Kobelev L.Ya., Kobeleva O.L., Kobelev Ya.L. About the Dependence of the Currency Exchange Rate at Time and National Dividend, Investments Size, Difference Between Total Demand and Supply. // preprint XXX.arXiv:physics/0005011

119. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

120. А1. Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л., Кобелева О.Л. Температурная зависимость элемента постоянной фазы импеданса твердых электролитов в фрактальной теории. // Деп. в ВИНИТИ 6.03.1996, № 719-В-96. 19с.

121. А2. Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л., Кобелева О.Л. Температурная зависимость элемента постоянной фазы импеданса твердых электролитов в фрактальной теории. // Электрохимия. 1999. Т.35. В.З. С. 294-302.

122. A3. Кобелев Л.Я., Кобелева О.Л., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л. О диффузии через фрактальную поверхность // Доклады Академии наук, 1997, Т.355, №3, С.326-327.

123. А4. Кобелев Я.Л., Кобелева О.Л., Кобелев В.Л., Кобелев Л.Я. Температурная зависимость элемента постоянной фазы в теориях Лиу, Никоши-Пайкоши // Деп. в ВИНИТИ 11.10.96 № 2994-В96

124. А9. Кобелев Я.Л., Романов Е.П. Влияние фрактальных характеристик поверхности твердых электролитов на температурную зависимость элемента постоянной фазы // Доклады Академии наук. 2000. ( приняты в печать)

125. А10. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии // Доклады Академии наук, 1999, Т.369, №3, С.332-333.

126. All. Кобелев В. Л., Кобелев Л.Я., Кобелев Я. Л. Броуновское движение с памятью // Деп. в ВИНИТИ 15.12.95, №33-45-В-95;

127. А12. L.Ya.Kobelev, V.L.Kobelev, Ya.L.Kobelev, O.L.Kobeleva; Brownian Systems with Fractional Dimensions (Thes. of Intern. Conf. CHAOS 98, Saratov, 6-10 October, 1998);

128. A13. Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л., Кобелев В.Л., Романов Е.П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка. // Деп. в ВИНИТИ 27.05.99, № 1668-В99

129. А14. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Фрактальная размерность поверхности как параметр порядка. // Доклады Академии наук, 2000. Т.370. №6. с.757-759.

130. А15. Кобелев Я.Л., Кобелев Л.Я., Романов Е.П. Кинетические уравнения для больших систем с фрактальными структурами. // Доклады Академии наук, 2000.Т.372. №2. с.177-180.

131. А16. Кобелев Л.Я., Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л. О статистическом подходек описанию экономических явлений.//Деп в ВИНИТИ 15.12.95 № 33-45-В95.

132. Список опубликованных работ не включенных в диссертацию:

133. В1. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. Недебаевская релаксация и диффузия в фрактальном пространстве. // Доклады Академии наук, 1998, Т.361, №6, С. 755-758.

134. В2. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. О фрактальной диффузии к вращающемуся диску // Доклады Академии наук, 1998, Т.362, №2, С. 184-186.

135. ВЗ. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. Релаксационные и диффузионные процессы в фрактальных пространствах // Известия РАН, Физика, 1998, №12, С.2401-2408.

136. В4. Кобелев В.Л., Романов Е.П., Кобелев Л.Я., Кобелев Я.Л. О зависимости фрактальной размерности поверхности кристаллитов от давления. // Физика металлов. Металловедение 1988, Т.85, Вып.4 С.54-60.

137. В5. Кобелев Л.Я. Кобелева О.Л., Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л. О диффузии через фрактальную поверхность // Доклады Академии наук, 1997, Т.355, №3, С.326

138. В6. Кобелев Л.Я. Кобелева О.Л., Кобелев В.Л., Кобелев Я.Л. О диффузии через две фрактальные поверхности //Деп. в ВИНИТИ 05.02.97 № 332-В-97

139. В7. Kobeleva O.L., Kobelev Ya.L., Kobelev V.L., Zlokazov V.B Ferroelectric phase transition in CuSnSbSe3 // Tez. 9th Int. Meet, on Ferroelectricity, 24-29 August, 1997, Seoul, Korea, p.106

140. B8. Kobelev V.L., Kobeleva O.L., Kobelev Ya.L., Zlokazov V.B. Temperature dependence of AgPbSbSe3 dielectric permittivity // Tez. 9th Int. Meet, on Ferroelectricity, 24-29 August, 1997, Seoul, Korea, p.206