Применение перколяционных методов, теории фракталов и дробных производных к исследованию термодинамики и кинетики фазообразования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение 4 ^

Глава 1. Концепция фрактала, дробной производной и их применение в физике

1.1. Краткие сведения о возникновении и эволюции понятия фрактала

1.2. Основные области применения фрактала в физике

1.3. Теория перколяции и перколяционные фракталы

1.4. Суперуниверсальность в теории перколяции

1.5. Дробное исчисление: возникновение и область ее первоначальных приложений

1.6. Взаимосвязь между понятием фрактала и дробной производной

1.7. Задачи и парадоксы классической теории теплопроводности и диффузии

1.8. Выводы

Актуальность темы. Диссертация посвящена актуальной теме. Это связано с тем, что возможности классической математики, опирающейся на понятия множеств и пространств с целой размерностью, в известной мере оказались исчерпанными. Необходимость дальнейшего развития теоретических методов современной математической физики, потребовала использования таких понятий как фрактал и дробная производная (интеграл). Понятие дробной (фрактальной) размерности было впервые сформулировано в работах Хаусдорфа и Безиковича. Этому предшествовали исследования выдающихся математиков конца XIX - начала XX веков, таких как Кантор, Вейерштрасс, Пеано, Кох, Серпинский, Жюлиа. Основы топологической теории размерности были заложены А. Пуанкаре и представлены в окончательном виде замечательным советским математиком П.С. Урысоном, трагически погибшим в возрасте 26 лет в 1924 году.

Термины фрактальная размерность и фрактал появились в математическом и физическом лексиконе около 25 лет назад, начиная с фундаментальных работ Б. Мандельброта по геометрии случайных процессов. Именно Мандельброт впервые увидел чрезвычайную плодотворность для приложений размерности Хаусдофа-Безиковича и дал определение фрактала, как множества, у которого эта размерность строго больше ее топологической размерности.

В настоящее время фрактал стал уже привычном объектом из арсенала теоретических методов в физике и примыкающих к ней областях. Всплеск «фрактальных» работ затронул такие основополагающие направления как неравновесная термодинамика, космология, теория динамического хаоса и гидродинамической турбулентности, теория фазовых переходов, физика космической и лабораторной плазмы.

Важный класс фрактальных объектов образуют множества, описывающие геометрию протекания или перколяции. Под перколяцией понимается прохождение тока по случайной сетке проводников, причем слова «ток» и «проводящая сетка» понимаются весьма широко. Это явление имеет пороговый характер, т.е., ток по сетке протекает только лишь в том случае, если доля «целых связей» X выше некоторого критического хс -порога протекания. В применениях эту простую геометрическую картину понимают очень широко. Вблизи порога протекания геометрические характеристики фрактала становятся независимыми от микроскопических свойств среды. Это явление можно интерпретировать как универсальность фрактальной геометрии перколирующих множеств на пороге протекания. С другой стороны, в окрестности точки фазового перехода 2-го рода проявляются столь же универсальные свойства систем. Является весьма актуальной задача установления взаимосвязи между основными параметрами, описывающими перколирующую систему и термодинамическую систему в окрестности фазового перехода 2-го рода.

Классические уравнения математической физики содержат в себе неявную посылку о том, что свойства описываемой среды не являются фрактальными. В физике является актуальным ответ на вопрос: как изменятся классические уравнения математической физики, если среда из обычной, сплошной, превратится в разреженную, с фрактальной структурой? Имеется ряд работ, в которых дается ответ на этот вопрос, однако, он неоднозначен и методы теоретического описания динамики фрактальной среды находятся в стадии становления. В этой ситуации, любое новое исследование позволяет взглянуть на проблему под другим углом зрения и восполняет физическую картину.

Наконец, можно вспомнить парадокс, связанный с описанием теплопереноса и диффузии с помощью классического уравнения теплопроводности (диффузии). Как хорошо известно, решения уравнения теплопроводности приводят к выводу о бесконечно быстром распространении тепла. Ясно, что при описании процессов, протекающих достаточно медленно по сравнению с реальной скоростью теплопереноса, уравнение Фурье приводит к удовлетворительному согласию с опытом. Но в jl случае рассмотрения достаточно быстрых процессов следует учесть конечную скорость распространения тепла. Понятие дробной производной позволяет это сделать наиболее последовательным образом. В связи со всем сказанным, целью работы является:

1. Установление взаимосвязи между основным понятием теории фазовых переходов Ландау - параметром порядка и фрактальной размерностью геометрической структуры, образующейся в процессе фазового перехода.

2. Определение температурной зависимости фрактальной размерности перколирующей системы в окрестности температуры фазового перехода.

3. Получение фазовой диаграммы для упорядочивающихся бинарных твердых растворов на основе теории перколяции. I

4. Получение уравнения кривой ликвидуса для бинарных эвтектических систем на основе теории перколяции.

5. Факторизация классического трехмерного уравнения диффузии и получение дробных дифференциальных уравнений для описания конденсированной среды, состоящей из частиц, с внутренним магнитным моментом.

Для достижения поставленных целей предусматривалось:

• провести анализ литературных источников, посвященных экспериментальному и теоретическому изучению термодинамики и кинетики фазовых переходов 1-го и 2-го рода, а также, основам теории перколяционных фракталов и их применению в физике конденсированной среды;

• изучить основные методы анализа статических фрактальных структур и обобщить их на динамические фрактальные структуры;

• изучить методы описания теплопроводности и диффузии с учетом конечной скорости их распространения и применить для этой цели уравнения в дробных производных, имеющее два предельных случая - уравнение Фурье и волновое уравнение.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• на примере бинарных твердых растворов впервые показано, что кристалл, испытывающий фазовый переход, обладает динамической фрактальной структурой, впервые вычислена зависимость фрактальной размерности от термодинамических параметров;

• впервые определена температурная зависимость мощности бесконечного кластера, впервые установлена связь мощности бесконечного кластера с интенсивностью сверхструктурных рентгеновских отражений, возникающих ниже точки Кюри;

• на основе теории перколяции впервые получена теоретическая кривая ликвидус для бинарных эвтектических систем;

• на основе гипотезы подобия, впервые вычислена зависимость фрактальной размерности динамического фрактала от перколяционной переменной;

• впервые показано, что методы факторизации одномерного уравнения теплопроводности, применяемые для определения потоков на границах, не могут быть механически перенесены на двумерный и трехмерный случай. Установлено, что в этом случае появляются дополнительные («спиновые») степени свободы, которым дана физическая интерпретация.

Научное и практическое значение результатов.

Научное значение результатов, полученных в диссертации, состоит в том, что они способствуют более тесному слиянию методов теории фазовых переходов и теории фракталов, становлению единой теоретической дисциплины, охватывающей методы обеих теорий. Кроме того, геометрические представления, развитые в теории перколяции обладают рядом преимуществ в наглядности и вычислимости, в сравнении с традиционными методами термодинамической и статистической теории фазовых переходов. Отметим также, что для ряда наиболее характерных решеточных и континуальных задач теории перколяции на основе численных методов определены пороги перколяции и некоторые из фрактальных характеристик. Эти данные могут служить дополнительным и весьма надежным «экспериментальным» материалом при построении термодинамических и статистических моделей фазовых переходов в конкретных материалах. Удовлетворительное описание экспериментальных данных в этом случае свидетельствует и о справедливости фрактальной геометрической картины изучаемого объекта. Предлагаемый нами подход уравнивает в правах привычные термодинамические переменные и переменные, описывающие свойства фракталов.

С дугой стороны, получение новых уравнений математической физики, путем «простого извлечения корня» из классических уравнений, при его дальнейшем математическом и физическом обосновании может привести к фундаментальным новым результатам, так как это произошло при извлечении П. Дираком квадратного корня из уравнения Клейна-Гордона-Фока. Следует сразу отметить, что дробные производные и уравнения в дробных производных в огромной степени уступают в наглядности обычной производной и интегралу. Именно поэтому, установление Р. Нигматуллиным связи между фрактальной размерностью множества и порядком дробного дифференциального уравнения, описывающим стохастический процесс на этом множестве, является чрезвычайно важным результатом для физической и геометрической интерпретации дробных производных. Полученные в данной работе результаты имеют ту же цель и таково их практическое значение.

На защиту выносятся следующие основные положения:

• метод вычисления зависимости фрактальных характеристик вещества от термодинамических переменных;

• метод экспериментального определения мощности бесконечного кластера, с использованием рассеяния рентгеновских лучей на кристалле; р • метод построения кривых ликвидуса для бинарных эвтектических систем, основанный на теории перколяции;

• обобщение метода факторизации одномерного уравнения теплопроводности на высшие размерности путем увеличения числа внутренних степеней свободы;

• метод разрешения основного парадокса классической теории теплопроводности-диффузии Фурье-Фика, основанный на использовании дробного дифференциального уравнения теплопроводности.

Апробация работы.

Основные положения и выводы диссертационной работы доложены:

• на региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики.», Ставрополь, 20-23 сентября, 2002 г.

• на 5-й научно-практической конференции Карачаево-Черкесского государственного технологической академии, г. Черкесск, 15-20 апреля, 2004 г.

• на 6-й Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов, докторантов и молодых ученых «Наука XXI веку», г. Майкоп, 2005 г.

Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены автором лично. Соавторы принимали участие в постановке задач, выборе объектов исследования и обсуждении результатов. и

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и содержит 109 страниц, 11 иллюстраций, 1 таблицу, 100 ссылок на использованную литературу.

3.7 Выводы

1. Определена температурная зависимость фрактальной размерности перколяционного фрактала вблизи точки Кюри для упорядочивающегося кристалла. Результат оказался отличным от широко известного результата Милованова и Расмуссена. В нашем случае, при понижении температуры фрактальная размерность растет, достигая, при Т=0 значения размерности объемлющего евклидова пространства.

2. Показано, что флуктуации фрактальной размерности пропорциональны флуктуациям параметра порядка и на этой основе определена температурная зависимость флуктуаций фрактальной размерности.

3. Установлена зависимость фрактальной размерности от концентрации помеченных узлов или связей (перколяционной переменной) х.

4. Проведена факторизация трехмерного уравнения диффузии. Показано, что, в отличие от одномерного случая, при факторизации возникают спинорные функции и спиновые матрицы Паули. Результатом факторизации одного уравнения для скалярной функции является система двух уравнений для двух спинорных функций. Предложена физическая интерпретация полученной системы уравнений, как модели для описания сплошной среды с внутренним (магнитным) моментом.

5. Путем обобщения классического закона Фурье для потока тепла, получено уравнение в дробных производных, имеющее своими пределами обычное уравнение теплопроводности и волновое уравнение. Первый предел получается при а->0, а второй - при а-> 1 , где а -порядок дробного дифференцирования по временной переменной. Доказано, что дробно-дифферециальное уравнение имеет особое решение, имеющее пределом при а->0 функцию влияния обычного уравнения теплопроводности, а при а —» О функцию влияния волнового уравнения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Для фазовых переходов типа упорядочения показана логическая согласованность методов теории перколяции и статистической теории фазовых переходов. На основе теории перколяции определена концентрационная зависимость температуры Кюри и построена кривая точек Кюри. Эта кривая находится в качественном согласии с кривой точек Кюри, получаемой из статистической теории фазовых переходов с учетом корреляции, но в отличие от нее, точно учитывает значения порогов протекания. Показано, что кривую точек Кюри можно получить как в модели «задачи связей» теории перколяции, так и в модели «задачи узлов»

2. Определена температурная зависимость мощности бесконечного кластера и на этой основе дана перколяционная интерпретация рассеянию рентгеновского излучения на упорядочивающемся кристалле. Показано, что когерентное сверхструктурное отражение возникает только благодаря существованию бесконечного кластера, а некогерентное обусловлено упорядоченными конечными кластерами.

3. На основе теории перколяции построена теоретичческая кривая ликвидус для бинарных эвтектических систем типа кадмий-висмут.

4. Для соединения CuFel+cCrxc04, со структурой шпинели, на основе теории перколяции получено значение минимальной концентрации ян-теллеровских ионов Си2+, обеспечивающих появления кооперативного эффекта Яна-Теллера.

5. Определена температурная зависимость фрактальной размерности перколяционной сети, возникающей при упорядочении, а также, температурная зависимость флуктуаций фрактальной размерности. Найдена, также, зависимость фрактальной размерности перколяционной сети от перколяционной переменной х. На основе которой сделана оценка значения фрактальной размерности на пороге протекания (в точке Кюри).

6. Проведена факторизация трехмерного уравнения теплопроводности, в результате чего получена система двух уравнений в дробных производных для двух спинорных функций. Полученной системе уравнений дана физическая интерпретация, как возможной математической модели для описания динамики сплошной среды с внутренним (магнитным) моментом.

7. Путем обобщения классического закона Фурье для потока тепла, получено уравнение в дробных производных, имеющее своими пределами обычное уравнение теплопроводности и волновое уравнение. Первый предел получается при а 0, а второй - при а -> 1, где ос - порядок дробного дифференцирования по временной переменной. Доказано, что дробно-дифферециальное уравнение имеет особое решение, имеющее пределом при 0 функцию влияния обычного уравнения теплопроводности, а при а 0 функцию влияния волнового уравнения.

1. Alexander S., Orbach R.L, Density of states on fractals: "fractons'V/Journal de Physique Lettres (France).- 1982.-V. 43.-P. L625-.

2. Besicovitch A.S. Sets of points of nondifferentiability of absolutely continuous functions and of divergensen of Fejer sums// Math. Ann.- 1935-V. 110.-P.321

3. Broadbent S.R., Hammersley J.M. Percolation processes. 1. Crystals and mazes. //Proc.Camb. Phil. Soc.- 1957.- V.53.-P. 629.

4. Cantor G. Uber die Ausdehnung eines Satzesaus derTheorie der trigonometrischen Reihen/ZMath. Ann.- 1872-V. 5.-P. 123-132.

5. Dirac P. A.M. The Principles of Quantum Mechanics. Oxford: Clarendon Press, 1958.- 434 p.

6. Hausdorf F. Dimension und AuPeres// Math. Ann.- 1919-V. 79.-P. 157

7. Mandelbrot В. B. How long is the coast of Britain? Statistical selfsimilitarity and fractal dimension//Science.-1967.-V. 155.-P.636

8. Milovanov A.V. Topological proof for the Alexander-Orbach conjecture//Phys. Rev.E.-1997.-V.56.-P. 2437-2446.

9. Milovanov A.V.& Rasmussen J.J. Critical conducting networks in disordered solids: As universality from topological arguments//Phys. Rev.B.-2001.-V.64, 212203-P. 1-4.

10. Milovanov A.V.& Rasmussen J.J. Fracton pairing mechanism for unconventional superconductors: Self-assembling organic polymers and copper-oxide compounds//Phys. Rev.B.-2002.-V.66, 134505-P. 1-11.

11. Milovanov A.V., Zimbardo G. Percolation in sign-symmetric random fields: Topological aspects and numerical modeling//Phys. Rev.E.-2000.-V.62.-P. 250.

12. Nakayama Т., Yakubo К., Orbach R.L. Dynamical properties of fractal networks: Scaling, numerical simulations, and physical realizations.// Rev. Mod. Phys. 1994. - V. 66. - P. 381

13. Nigmatullin R.R. The Realization of the Generalized Transfer Equation in Medium with Fractal Geometry// Phys. Stat. Solidi (b). 1986. - V. 133. -P. 425.

14. Olemskoi A.I. Fractals in condensed matter physics, in Physics Reviews (Ed. by I.M. Khalatnikov). London: Gordon & Breach, 1996. -V. 18. Part l.-Pp. 1-173

15. Sher H, Zallen R. Critical density in percolation processes/ Journ. Chem. Phys.- 1970. V.53. -P. 3759

16. Stauffer D. Introduction to Percolation Theory.-London: Taylor&Francis, 1985.

17. Weierschtrass K.F. Uber cotinuirliche Funktionen eines reellen Arguments, die fur keinen Werthdes letzteren einen bestimmten Differetialquotinten besitzen(l 872)//In Mathematische Werke.-Berlin:Mayer&Muller, 1895.

18. Wilson K., Fisher M.E. Critical exponents in 3.99 dimentions.//Phys. Rev. Lett. 1972.- V. 28, No 4. -Pp. 240-243.

19. Wilson K., Kogut G., The renormalization group and the — Expansion.//Phys. Reports, C. 1974.- V. 12, No 2. -Pp. 75 -200.

20. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск. РХД, 2000. - 400 с.

21. Ахкубеков А.А. Анализ зарождения и роста жидкой фазы в контакте разнородных металлов// ИФЖ. 2000.- Т. 73, № 4. - С. 875-879.

22. Бабенко Ю.И. Тепломассообмен: Метод расчета тепловых и диффузионных потоков.- JL: Химия, 1986.- 144 с.

23. Багнич С.А. Миграция триплетных возбуждений сложных молекул в неупорядоченных средах и в системах с ограниченной геометрией.// ФТТ.- 2000. Т. 42, вып. 10.- С. 1729-1756.

24. Бакунин О.Г. Корреляционные и перколяционные свойства турбулентной диффузии.// УФН. 2003. - Т. 173, вып. 7. - С.757-768.

25. Батунин А.В. Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике адронов//УФН.-1995. -Т. 165, № 6. -С. 645-660

26. Берсукер И.Б., Полингер В.З. Вибронные взаимодействия в молекулах и кристаллах, М., Наука, 1983.

27. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1976. - 480 с.

28. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Москва-Ижевск: Ругулярная и хаотическая динамика, 2001. 128 с.

29. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П. А., Каитова П. С. О факторизации уравнения диффузии/ЛГезисы 4-й научно-практической конференции КЧГТА, Черкесск, 15-20 апреля 2004 г.

30. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А. Зависимость фрактальной размерности от перколяционной переменной.//Мат. 6-й Всероссийской научно-практической конференции «Наука 21 веку». Г. Майкоп, 2005 г. - С. 33-34.

31. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А. Об одном способе разрешения парадоксов классической теории теплопроводности//Препринт № 121 САО РАН 2005. - Н.Архыз

32. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А. Перколяционная теория рассеяния рентгеновских лучей на упорядочивающемся кристалле/ЛГезисы 6-й научно практической конференции КЧГТА, Черкесск, 17-18 апреля 2006 г. С. 108.

33. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А. Фрактальная размерность как термодинамический параметр//Изв. вузов. Северо- Кавказский регион. Естественные науки, №3, 2006г.

34. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Казалиева JI.X. Теория упорядочения твердых растворов с учетом перколяционных факторов. М.: ВИНИТИ, 2003. Деп. №, от 13.03.2003 г. 11 с.

35. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Каитова П.С. Кооперативный эффект Яна-Теллера в шпинелях как геометрический фазовый переход//Препринт № 152Т.- САО РАН-2005. Н.Архыз.-С. 13-16.

36. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Каитова П.С. Перколяционные факторы как движущая сила явлений упорядочения в твердых растворах// Препринт № 152т САО РАН -2005. Н.Архыз.- С. 17-25.

37. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Хубиев Р.Х. О температурной зависимости мощности бесконечного кластера//Препринт № 152 Т.-2005.- САО РАН 2005. - Н.Архыз.- С. 1-12.

38. Бюллетень ВАК. 2004. - № 4. - С. 15

39. Вильсон К. Ренормализационная группа и критические явления.//УФН. -1983.-Т. 141, вып. 2.-С. 193-220.

40. Гантмахер В.Ф. Электроны в разупорядоченных средах (Курс лекций). http://chemgu.icp.ac.ru/elect/gantmakher/

41. Гуденаф Дж. Магнетизм и химическая связь, М.,Металлургия, 1968.

42. Желнорович В.А. Модели материальных, сплошных сред, обладающих внутренним электромагнитным и механическим моментами. — М.: МГУ, 1980.

43. Жирифалько JL Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1975.-382 с.

44. Зеленый JI.M., Милованов А.В. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики. //УФН. 2004. - Т. 174, вып. 8. - С. 810- 852.

45. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. — М.: Наука, 1973.47