Кинетические явления в неоднородных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

1 Введение

11 Фракталы : метрическая и топологическая размерности

12 Проблемы описания диффузии и проводимости на фракталах и в неупорядоченных системах.И

13 Причины немаксвелловской релаксации заряда в неоднородных средах.

14 Гетерофазные двумерные среды.

2 "Аномальные" случайные блуждания: точно решаемые модели и обобщенные диффузионные уравнения

2.1 Ренорм-групповое описание диффузии на фракталах.

2.2 Гребешковая модель перколяционных кластеров.

2.3 Многомерное обобщение гребешковой модели.

2.4 Диффузия по гребешковой структуре с ребрами конечной длины.

2.5 Диффузия по случайным гребешковым структурам.

2.6 Случайные блуждания в среде с непрерывным распределением времен захвата на ловушки -continious time random walks

2.7 Диффузия Леви по самоподобным кластерам.

3 Проводимость и дрейф в средах с "аномальной" диффузией

3.1 Соотношение Эйнштейна для обычной диффузии.

3.2 Дрейф в модели гребешковой структуры.

3.3 Нелинейная подвижность при диффузии Леви.

3.4 Скэйлинговое описание нелинейной подвижности.

3.5 Численное моделирование дрейфа при диффузии по самоподобным кластерам.

3.6 Захват на перколяционных путях в ловушки, индуцированные электрическим полем.

4 Релаксационные процессы немаксвелловского вида в неоднородных средах

4.1 Релаксация заряда на фракталах.

4.2 Растекание заряда на гребешковой структуре.

4.3 Диффузия и релаксация взаимодействуюших электронов

4.4 Распределение электрического потенциала и растекание заряда в бикристалле.

4.5 Релаксация заряда в слоистых и случайно неоднородных двухфазных средах.

4.6 Осцилляционный характер релаксации заряда в условиях квантового эффекта Холла.

5 Дуальная симметрия и эффективные характеристики двухфазных сред

5.1 Линейные преобразования поворота и эффективная проводимость двумерных двухфазных сред.

5.2 Соотношения дуальности для эффективных характеристик двухфазных сред в магнитном поле.

5.3 Линейный изоморфизм (взаимно-однозначное соответствие) между задачей проводимости без магнитного поля и задачей о гальваномагнитных свойствах.

5.4 Линейные преобразования поворота как дробно-линейные конформные преобразования.

5.5 Соотношения дуальности для критических индексов задачи нелинейного протекания.

5.6 Численное моделирование задачи нелинейного протекания

6 Макроскопическое описание квантового эффекта Холла в гетерофазных средах

6.1 Устойчивость плато холловской проводимости в неоднородном случае.

6.2 Эффективная холловская проводимость многофазных сред

6.3 Модель "шахматной" доски и проводимость многофазных без-диссипативных холлловских сред.

6.4 Локальное распределение токов в двоякопериодических структурах в условиях КЭХ.

6.5 Двоякопериодические среды с диэлектрическими и сверхпроводящими включениями.

Актуальность проблемы

В настоящее время наблюдается значительный интерес к исследованию неоднородных и неупорядоченных систем. К ним относятся аморфные и композитные материалы, сильно легированные и компенсированные полупроводники, гетерофазные среды со случайным и периодическим расположением фаз. Необходимость исследований обусловлена следующими обстоятельствами. Во-первых, развитие физики неупорядоченных материалов во многом определяет современный уровень развития физики конденсированного состояния вещества. Это связано как с использованием самых современных подходов и методов при их исследовании, так и необычностью физических процессов в этих средах. Во-вторых, широким применением таких материалов в микроэлектронике и других областях техники. В качестве примера укажем использование аморфного кремния в солнечных батареях , а также проблему повышения быстродействия интегральных схем за счет использования материалов с малой диэлектрической проницаемостью к, что достигается путем применения пористых диэлектриков - проблема A4ow — к" диэлектриков.

Однако в отличие от высокого уровня качественного понимания и количественного описания явлений, происходящих в кристаллических твердых телах, физические представления о неупорядоченных материалах не столь развиты. Многие понятия и методы традиционной физики кристаллических твердых тел нельзя непосредственно применять для описания неупорядоченных сред, поскольку последние не обладают трансляционной инвариантностью.

Качественное понимание процессов переноса в сильно неоднородных средах : от движения электрона в случайном потенциале до исследования макроскопических характеристик - диффузии, проводимости, просачивания и фильтрации воды связаны с теорией протекания (percolation). Эта теория впервые была предложена при описании фильтрации воды в пористых средах [1]. Основой теории протекания являются представления о связности системы, такие как "порог протекания"- критическая доля проводящего объема, при которой впервые возникает связность в системе, и "бесконечный кластер" как совокупность токонесущих путей, проходящих через всю систему. Поэтому теория протекания адекватно описывает критическое поведение и корреляции на больших масштабах вблизи порога протекания в системах с геометрическим фазовым переходом по связности. Иначе говоря, большой класс явлений, для которых связность играет решающую роль, можно изучать методами теории протекания. К ним относятся проблема "андерооновской" локализации носителей в разупорядоченных средах [2], [3], прыжковая проводимость в аморфных твердых телах [4], распространение эпидемий, динамика популяций и др. Однако посредством теории протекания можно описывать также задачи и с некритическим поведением, такие как диффузия пассивной примеси в случайном поле скоростей несжимаемой жидкости [5]. Отметим также, что задачи теории протекания легко моделируются на ЭВМ. в последние годы для описания неупорядоченных и сильно неоднородных сред перколяционного типа широко используются понятия фрактальной геометрии. Фрактальная структура ока-• залась присуида многим физическим явлениям. В свою очередь, фрактальные размерности отражают симметрию фрактальных структур относительно масштабных преобразований и в силу своей универсальности могут служить характеристиками изучаемых систем. Согласно сложившейся точке зрения фракталы разделяют на два класса : регулярные и случайные, статистические [6]. Примерами регулярных фракталов могут служить разнообразные паркеты Серпинского. Перколяционные кластеры на пороге протекания относятся к статистическим фракталам.

выводы

1. Получены выражения для эффективных характеристик системы, состоящей из смеси металлической и холловской фаз в широком интервале концентраций, пока имеется протекание по холловской фазе. Они постоянны и равны значениям холловской фазы.

2. Выведены соотношения дуальности для холловских про-водимостей в многофазном случае.

3. Получены точные выражения для эффективных характеристик многофазной холловской среды во всем интервале концентраций. Они постоянны и меняются скачком на пороге протекания.

4. Решена задача о квантовом эффекте Холла в двухфазной двоякопериодической среде: найдены локальные распределения токов и полей и получены выражения для эффективных характеристик, в том числе и для случая квадратных диэлектрических и сверхпроводящих включений.

Заключение в настоящей диссертации проведено исследование кинетических процессов ,именно: случайного блуждания, релаксации заряда и протекания тока в неоднородных средах и на фракталах, в том числе, и в магнитное поле. Проведенные иследования показали, что характер процессов переноса в сильно неоднородных средах и на фракталах существенно отличается от процессов переноса в однородных средах. Выявлены новые закономерности для анизотропного случайного блуждания и релаксации избыточной плотности заряда. Исследовано протекание тока в среде, состоящей из фаз с различными нелинейными вольт-амперными характеритиками. Рассмотрены особенности протекания тока в двумерной двухфазной среде, помещенной в магнитное поле, в том числе, и в режиме квантового эффекта Холла.

Сформулируем основные полученные результаты :

1. Выведены обобщенные диффузионные уравнения в форме интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка для описания аномальной диффузии. Получены решения этих уравнений. Они носят существенно негауссов вид. Исследована статистика аномальных случайных блужданий.

2. Исследована связь между диффузией и проводимостью при аномальном характере диффузии в гребешковой модели и в модели диффузии посредством прыжков Леви, а также путем численного моделирования случайного блуждания в поле по самоподобным (Леви) кластерам и на перколяционных путях. Показано, что в условиях равновесия вследствие "аномального" сублинейного характера диффузии отклик системы носит нелинейный неомический вид в сколь угодно слабых электрических полях.

3. Найдены обобщенные релаксационные немаксвеллов-ские законы в двухфазных неоднородных материалах и на регулярных фракталах. Установлено, что немаксвелловская релаксация в неоднородных средах обусловлена или тем, что растекание заряда возможно только вдоль некоторых проводящих линий, или частотной дисперсией эффективной проводимости многофазных сред.

4. Дана трактовка локальных преобразований поворота как дробно-кон формных преобразований. Найдены неподвиж ные точки и инварианты дробно-конформных преобразований, установлено соответствие неподвижных точек и инвариантов преобразований точным решениям задач проводимости и соотношениям дуальности для эффективных характеристик неоднородных сред.

5. Исследована задача нелинейного протекания, выведено соотношение дуальности для индексов выше и ниже порога протекания задачи нелинейного протекания. Найден критический индекс, описывающий эффективный нелинейный отклик системы при равных концентрациях фаз. Проведено численное моделирование задачи нелинейного протекания и получено хорошее соответствие с теоретическими представлениями.

6. Решена задача о квантовом эффекте Холла в неоднородных гетерофазных средах и определены эффективные характеристики системы в широком интервале концентраций. Для периодических структур типа "шахматной доски"с включениями квадратной формы найдены локальные распределения токов и полей.

В целом, совокупность разработанных автором теоретических положений и полученных результатов можно квалифицировать как крупное достижение в решении проблемы кинетических явлений в неоднородных и неупорядоченных средах.

Автор выражает искреннюю признательность С.А.Рыбак

I.за интересное обсуждение результатов, за. интерес к работе и поддержку.

Автор выражает искреннюю благодарность Баскину Э.М. и Батыеву Э.Г. за плодотворное сотрудничество, многочисленные обсуждения и поддержку, Говорову А.О. за постоянный интерес к работе и неизменную поддержку, Витлиной Р.З. , Гилин-скому И.А., Сурдутовичу Г.И. и Саввиных CK. за постоянное заинтересованное обсуждение научных проблем и доброжелательную помощь, во многом способствовавшие моему становлению как научного сотрудника, всему коллективу лаборатории теоретической физики ИФП СО Р.АН, руководимой Чапликом A.B., за творческую атмосферу.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить коллектив, руководство Отдела физических проблем при Президиуме Бурятского научного центра СО РАН за многочисленные обсуждения, всесторонную помощь и поддержку при проведении научных исследований.

Автор выражает благодарность руководству БГУ и ректору Калмыкову СВ. за неизменную помощь и поддержку как при выполнении научных исследований, та.к и на стадии подготовки диссертационной работы.

Лвтор считает необходимым подчеркнуть, что при получении результатов, вошедших в 5 и 6 главы диссертации, существенно использовался метод, предложенный в работах академика А.М.Дыхне.

Глава 7

1. S.Broadbeiit, H.Hammersley . Percolation processes. 1. Crystals and mazes// Proc.Cambr.Phil.Soc.-1957.-V.53.-P.629-650

2. P.W.Anderson. Absence of diffusion in certain disordered lattices// Phys. Rev.-1958.-V.109.-P.1492-15113. .J.M.Ziman. Models of Disorder.- New York: Cambridge University, 1979.- 300 p.

3. Б.И.Шкловский, A.Л,Эфрос- Э.яектронные свойства легированных полупроводников М.: Наука, 1979.- 300 с.

4. M.B.Isichenko. Percolation, statistical topography and transport in random media// Review of Modern Physics.-1992.-V.64.-P.9611043

5. B.Mandelbrot. Fractals: Form, Chance and Dimension.- San Francisco:Freeman, 1977 250 p.

6. И.М.Соколов. Размерности и другие геометрические критические показатели в теории протекания//У ФН. -1 986.-Т .1 50. -С.221-245

7. Я.Б.Зе.'1ьдовнч,Д.Д.Соколов //УФН.-1985.-Т. 143.С.493-502

8. D.Stauffer. Scaling theory of percolation clusters//Phys Reports.-1977.-V.54.-Rl-79

9. Г.И.Баренблатт, Подобие, автомодельность, промежуточ-нал асимптотика .Л.:Гидрометеоиздат.-1982.-"220 с.

10. A.Aharony. D.Stauffer. Introduction to percolation theory.-Lonclon:Taylor and Francis,1985.-300 p.

11. H.Stanley. Application of fractal cocepts to polymer statistics. .//J.Pliys. A.-1977.-V. 10.-P.L211-215

12. Y.Gefen, A.Aharony , B.Mandelbrot, and S.Kirkpatrick. Solvable fractal family and its possible relation to the backbone at percolation// Phys.Rev.Lett.-1981.-V. 47.-P. 1771-1774

13. G. Given, B.Mandelbrot //,J.Phys.A.-ig84.-V. 17.-P. 1937-1943

14. D.Ben-Avraham,S.Havhn //Physica A.-1982.-V. 15.-P.691-699

15. R.Pancley, D.Stauffer . Confirmation of dynamical scahng at the percolation threshold// Phys.Rev.Lett.-1983.-V.51 .-P.527-529

16. J.Zabolitzky. Monte-Karlo evidence against Alexander-Orbach conjecture for percolation conductivity//Phys.Rev.B.-1984.-V.30.-P.4077-40791.. D.Hong, S.Havlin. Breakdown of A-0 conjecture for percolation//Phys.Rev.B.-1984.-V.30.-P.4083-4085

17. S.VVhite, M.Barma. //.J.Phys.A.-1984.-V.17.-R2995-3001

18. G.Weiss, S.Havhn. Diffusion on comblike structures//Physica A.-1986.-V. 134.-R474-479

19. H.Havlin, J.Keifer, G.Weiss . Anomalous diffusion on a random combhkestructure//Phys.Rev.A.-1987.-V.36.-P. 1403-1408

20. R. Rammal , J.Angles d'Auriac, A.Benoit. Universality of thespectral dimension of percolation clucters// Phys.Rev.B.-V.30.-R40S7-4089

21. А.И.Олемской, А.Я.Флатт. Использование концепции фрактала в физике конденсированного среды//УФН.-1 993.-Т. 163.-С. 1-50

22. R.Orbach // J.Stat.Phys.-1984.-V.36R-P.735-741

23. R.Rammal, G.Toulouse // J.de Phys.Lett.-1983.-V.44.-L13-L17

24. S.Kirkpatrick. Percolation and Conductivity//Rev.Mod.Phy s. -1973.-V.45.P.574-588

25. A.Sarychev, A.Vinogradoff //J.Phys.C.-1979.-V. 12.-R681-688

26. D.Stauffer. About problem of "anomalous" difusión.// Proc. of Geissen conf.-1999.-R 10-20 p

27. М.И.Дьяконов,A.C.Фурман. Релаксация заряда в анизотропной среде и в средах с пониженной размерностью //ЖЭТФ. -1987.-Т.92.-С.1012-1017

28. А.О.Говоров,А.В.Чаплш<. Растекание неравновесных носителей заряда в двумерных электронных системах//Поверхность.-1987.-В. 12.-С. 5-10

29. R.Landauer . Electrical conductivity of inhopmogeneous media//,]. Appl. Phys.-1952.- V.23.-R779-785

30. B.I.Shklovskii , A.L.Efros //Phys. Stat.Sol.-1976.-V.76.-P.475-481

31. J.B.Keller. A theorem on the conductivity of a composite ma-terial//J.Math. Phys.-1964.-V.5.-P.548-553

32. А.М.Дыхне. Проводимость двумерной двухфазной среды //ЖЭТФ. -1970.-Т.59.-С. 110-11 5

33. А.М.Дыхне. Аномальное сопротив-яение плазмы в сильном магнитном по.яе //ЖЭТФ.-1 970.-Т.59.-С.641-647

34. Б.Я.Балагуров. О проводимости двумерных систем с макроскопическими неоднородностями//ЖЭТФ.-1980.-Т.79.-С. 1561-1572

35. Б.Я.Балагуров . Соотношения взаимности в двумерной теории протекания//ЖЭТФ. -1981.-Т.81.-С.665-671

36. Б.Я.Балагуров . Гальваномагнитные свойства двумерных двухкомпонентных систем //ЖЭТФ.-Т.82.-С. 1 333- 1 346

37. Ю.П.Емец. О проводимости среды с неоднородными включениялп'1 в магнитном поле//ЖТФ.-1 974.-Т.44.-С.916-921

38. Ю,П.Емец. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой.- Киев: Наукова думка, 1986.- 191 с.

39. Ю.П.Емец. Преобразования симметрии двумерной двух-компонентной электропроводяш;ей системы// ЖЭТФ.-1 989.-Т.96.-С.701-710

40. A.M.DykhneJ.M.Riizin. Theory of fractional quantum Hall effect : The two phase moclel//Phys.Rev.B.-1994.-V.50.-P.2369 -2379

41. А.М.Сатанин, С.В.Хорьков , А.Ю.Угсльников , Нелинейное протекание вблизи перехода мета-Д-л-диэ-дектрик в регулярных текстурах//Письмав ЖЭТФ.-1997.-Т. 65.-С. 521-524

42. А.М.Сатанин.; В.В.Скузоваткин , С.В.Хорьков . НарушеIние линейного режима протекания тока в периодическихструктура.х//ЖЭТФ.-1997.-Т. 1Г2.-С.643-660

43. А.М.Дыхне , В.В.Зосимов , С.А.Рыбак //ДАН РАН.-1995.-Т.345.-С.467-471

44. А.Колек, А.А.Снарский, А.Е.Морозовскхот . Структура перколяционного кластера и избыточный шум 1/f в системах с экспоненциа,!1ьно широким спектром сопротивлений// ЖЭТФ.-Т.95.-С.894- 903

45. R.Rammal, C.Tannous. P.Breton, A.Tremblay . Flicker 1/f noise in percolation networks: A new hierarchy of exponents//Phys.Rev.Lett.-1985.-V.54.-P. 1718-1721

46. A.A.Snarskii,A.E.Morozovsky,A.Kolek, A.Kusy . //Phys.Rev. E.-1996.-V.53.-R5596

47. E.Montrol, H.Scher . Random walks on lattices.IV.Continious time walks and influence of absorbing boundaries// J.Stat.Phys.-1973.-V.9.-R101-r21

48. M.Shlesinger. Diffusion in the medium with traps//.].Stat.Phys.-1974.-V. 10.-P.421-429

49. B.Hughes , M.Shlesinger , E.Elliot . Random walks with self-similar clusters// Pi-oc.Natl.Acad.Sci.-1981 .-V.78.-N.6.-P.32873291

50. G.Zumofen , J.Klafter //Physica D.-1993.-V.69.-P.436-441

51. В.Е.Архинчеев, Э.М.Баскин . Аномальная диффузия и дрейф в гребешковой модели перколяционных кластеров//ЖЭТФ. -1990.-Т.100.-С.293-298

52. V.E.Arkhincheev. Anomalous diffusion in inhomogeneous medium: some exact results//.Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control.-1993.-V.49.-N.2.-P.ll-29

53. М.М.Джрбашян M.M. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной плоскости.-М.:Наука. 1966 Г.-400 С.

54. С.Г.Самко, А.А.Килбас, О.И.Маричев . Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.-Минск: Наука и техника,1987.-300 С.57. "Applications of fractional calculus in physics"/ ed. by R.Hilfer.- Singapore: World Scientific,2000.-330 P.

55. В.Е.Архинчеев . Случайное блуждание по иерархическим гребешковым структурам// ЖЭТФ.-1 999.-Т. 11 5.-С. 1285-1296

56. В.Е.Архинчеев . Случайное блуждание на фракталах и метод обобщенных производных дробного порядка. Материалы Байкальской школы по фундаментальной физике,Иркутск,1999. С. 110-120

57. V.E.Arkhincheev . Fractal diifusion equations : microscopic models and its generalizations// preprint ICTP, IC/180.-Trieste,2000. -R1-28

58. И.А.Любашевскш1, А.А.Землянинов . Континуальное описание аномальной диффузии по гребешковой структуре//ЖЭТФ. -1998.-Т.114.-В.4.-С.1284-1312

59. V.Gafiychuk , I.A.Lubashevskii . Mathematical description of heat transfer in hving tissue. L'vov:VNTL Publishers, 1999.-243 P.

60. S.Havlin , J.Keifer ,G.Weiss //Phys.Rev. A.-1987.-V.36.-P.1403-1408 '

61. K.Murthy , K.Kehr. Mean-first passage time of random walk on a random lattice//Pliys. Rev. A.-1989.-V.40.-P.2082-2087

62. А.Эйнштейн. Собрание сочинений М.: Наука, 1972.- 200с.

63. V.E.Arkhincheev . Anomalous diffusion and charge relaxation on the comb structure: exact solutions//Physica A.-2000.-V.280.-P. 304-314

64. В.Е.Архинчеев . 0 связи диффузии и проводимости при случайном блуждании по самоподобным кластерам//Письма в ЖЭТФ.-1998.-Т.67.-В.2.-С.5 18-521

65. В.Е.Ар.хинчеев. О дрейфе при случахшом блуждании по самоподобным кластерам// ЖЭТФ.-1999.-Т. 115.-С. 1016-1023

66. V.E.Arkhincheev . Nonlinear relation between diffusion and conductivity for Levy flights//AIP Proc. of Conf.-2000.-V.553.-R231-235

67. V.E.Arkhincheev, E.M.Raskin , E.G.Batiyev . Diffusion and conductivity in percolation systems near percolation threshold// .Journal of non-crystalline sonds.-1987.-V.90.-P.21-24

68. В.Л.Покровский, A.3.Наташинский , Флуктуационная теория фазовых переходов.-М.:Наука.-1982.-280 С.

69. Е. Стэнли . Введение в теорию критических явлений.-М.:Мир.1980.-250 с.

70. Ш.Ма .Современная теория критических явлений.- М.: Мир. 1980.-250 с.

71. V.E.Arkhincheev, A.V.Nomoev . About nonlinear drift velocity at random walk by Levy flight: analytical solution and numerical simulation//Physica A.-1999.-V.269.-P.293-298

72. А.О.Говоров, А.В.Чаплик. //ЖЭТФ. -1 989.-Т. 95.-С .1 9761981

73. В.Е.Архинчеев. Релаксация заряда на фрактальных струк-турах//Письма в ЖЭТФ.-1990.-Т.52.-В.5-С. 1007-1009

74. В.Е.Архинчеев . Релаксация заряда в неоднородной среде//ЖЭТФ.-1990.Т.97.-В.5.-С. 1379-13 84

75. В.Е.Архинчеев . Релаксация заряда в слоистых и случайно неоднородных двухс|)азных средах//ЖЭТФ.-1 99 1 .-Т.99.-В.З.-С.803-808

76. А.М.Дыхне //Труды Международной конференции по теории плазмы.-Киев, 1984.-С. 1323-1327

77. V.E.Arkhincheev . .anomalous diffusion and charge relaxation on the comb structure: exact solutions//Physica A. 2000.-V.280.-P.304-314

78. А.М.Дыхне . Вычисление кинетических коэффициентов среды со случайными неодноро дностями//ЖЭ Т Ф. -1 967. -Т.52.-С.264-267

79. V.E.Arkhincheev,E.G.Batiyev . То the theory of the Quantum Hall Effect in inhomogeneous medium// Solid State Communications.-1989.-V.r2.-P.1059-1060

80. V.E.Arkhincheev . Exact relations and galvanomagnetic properties of the inhomogeneous two-dimensional medium//Physica Status Solidi {B).-1990.-V.16l.-P.815-S21

81. Ю.А.Дрейзин,А.М.Дыхне . Аномальная проводимость неоднородных сред в сильном магнитном поле//ЖЭТФ.-1 972.-Т.63.-С.242- 255

82. В.Е.Архинчеев . О неподвижных точках, инвариантах преобразований Дыхне. .//Письма в ЖЭТФ.-1 998.-Т.67.-В.2.-С.951- 958

83. А.М.Маркушевич . Краткий курс теории аналитических функций.-М.:.Наука, 1978.- 415 С.

84. М.А.Лаврентьев,Б.В.Шабат , Методы теории функций ком-нтексного переменного.-М.: ГИФМ.Л, 1958.-678 С.

85. F.Moon . Chaotic Vibrations.- New York : Willey, 1987.89] Г.М.Заславский , Р.З.Сагдеев. Введение в нелинейнуюфизику.-М. :.Наука, 1988.- 366 С.

86. В.Е.Архинчеев . Эффективная проводимость трехмерной двухфазной среды//Письма в ЖЭТФ.-1 989.-Т.50.В. 1 .-С.293-295

87. D.Stroud . P.Hui . Nonlinear susceptibilities of granular mat-ter//Phys. Rev.-1988.-V.37.-P.8719-8724

88. D.J.Bergman . Nonlinear behavior and 1/f noise near a conductivity threshold: effects of local microgeometry//Phys. Rev. B.-1989.-V.3.-P.4598-4609

89. А.А.Снарский. Генерация третьей гармоники в сильно неоднородных композитах вблизи порога протекания//Письма в ЖТФ.-1995.-Т.21.-С.З-8

90. Y.Gefen, W.Shin , R.Laibowitz R., J.Viggano . Nonlinear be-iiavior near the percolation metal-insulation transition//Phys. Rev. Lett.-1986.-V.-57.-P.3097-. 30100

91. R.Chakrabarty . K.Bardan , A.Basu . Nonlinear I-V characteristics near the percolation threshold//Phys.Rev.-l991.-V.44. -P.6773-6779

92. M.Dubson , Y.C.Hui , M.B.Weisman , .J.Garland . Mea.-surement of fourth moment of the current distribution in two-dimensional random resisitor networks//Phys. Rev.-1989.-V.39.-P.6807-6815

93. В.Е.Архинчеев.Б.А.Гармаев . Соотношения дуальности для критических индексов нелинейное! задачи протекания: теория и численный моде,шрование//ЖЭТФ.-200 1.-Т .11 9.-В .11. С.5 14-018

94. В.Л.Бердичевский . Вариационные принципы механики сплошных сред.-М.: Наука, 1985.- 350 С.

95. В.Е.Архинчеев . О распределении тока в холловской среде с металлическими включениями//ЖТФ.-2000.-Т. 70. -В.4.-С.130-131

96. В.Е.Архинчеев . Эффективная проводимость трехфазных бе;злиссипативных сред//ЖЭТФ. -1 999.-Т .11 6.-В .6.-С .11 661167

97. V.E.Arkhincheev . Percolation in inhomogeneous medium under quantum Hall effect conditions// Physica A.-2000.-V.285.-P.373-3S2

98. В.Е.Архынчеев . Квантовый эффект Холла в неоднородных средах: эс1х1)ективные характеристики и локальное распределение ТОКОВ//ЖЭТФ. 2000. - Т. 118.-В.2.-С.465-474

99. В.Е.Архинчеев В.Е. Проводимость макроскопически неоднородных сред : точно решаемые модели и их дальнейшие обобщения// Материалы Байкальской школы по фундаментальной физике.-Иркутск,2000, С.105-115

100. V.E. Arkhincheev . Conductivity of triangular two-phase two-dimensional medium, preprint ICTP,IC/1 78.- Trieste ,2000

101. P.L.Butzer . U. Westphal . An introduction to fractional calculus, // Applications of fractional calculus in physics, ed. by R.Hilfer.-Singapore: World Scientific, 2000.-P.l-85

102. Р.Р.Нигматуллин. Физический смысл производной дробного порядка//ТМФ.-1992.-Т.90.-С.3 54-366