Кинетические явления в макроскопических неоднородных и анизотропных средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР ЭДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ

На правах рукописи УДК 537.3; 539.21

СНАРС1ШЙ Андрей Александрович

1НЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В МАКРОСКОПИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.04.07 - физика тйердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Номер квитанции перевода 0038 от 02.01.1990 г,

Кие!) - 1990

Работа выношена в Киевском Ордена Ленина политехническом институте им. 50 - летия Великой Октябрьской социалистической революции

Официальные оппоненты: доктор фиэико-матенатических наук

А-НЛагарьков

доктор фиэико-матеиатических наук Э.А.Паяшцкий

доктор физико-математических наук АЛЛик

Ведущая организация: Институт физики полупроводников Сибирского отделения АН СССР

. Защита диссертации состоится " " _ 1990 г.

в _ часов на заседании специализированного Ученого Совета

Д 016.04.01 при Институте физики АН УССР ло адресу: 262650. Киев, ГСП-28, п росл акт Науки, 46, Специализированнный Совет при И© АН УССР.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Института физики АН УССР.

Автореферат разослан " "__ 1090г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физ.-мат.наук

Ивук В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность пооСлдны. В последние годи наблюдается возрастающий интерес к кинетическим процессам в макроскопически неоднородных среда*. Этот интерес в первую очередь связан с широким практическим пмненвниен макроскопически неоднородных материалов в технике, в . частности, как материалов для тонко- и толстопленочных мопнЫх резисторов, проводящих конпаундов, высоковольтной изоляции, электро-вдтических конденсаторов, искусственно-анизотропных термоэлементов, теплоизоляции, сверхпроводящих устройств. Особое место при применении и изучении физических свойств неоднородных сред занимают случайно неоднородные среды - среды со случайным распределением композит, однородны«, хотя возможно и анизотропные в среднем. Основной сарактеристикой таких сред являются эффективные кинетические коэффициенты (ЭКЮ, связывающие по определению средние по объему термо-ишамические потоки и силы.

Теоретическое исследование макроскопически неоднородных сред 1редстявляет собой сложную задачу. До последнего времени опредеяе-■ие ЭКК было возможно только при определенных приближениях - малой сонцентрации одной из фаз, слабой неоднородности, простой геометри-(еской структуре. В последнее время появились новые теоретические гетоды изучения случайно-неоднородных сред [1,2] . Применение этах ютодов позволяет изучить интегральные харакгегмстики среды и опре-[елить ЭКК в наиболее интересном как теоретически, так и экспери-1ентальнои случаях сильной неоднородности - вблизи и на самом поро-■е протекания, когда ЭКК сильно зависят от концентрации, имеют 1еобычные (аномальные) зависимости от магнитного поля, появляется иомально высокая тензочувствительность и тл. Среды вблизи порога |ротекания могут быть и уже частично применяются как матедаалы для >аэличного рода чувствительных элементов.

Несмотря на интенсивные исследования, проводящиеся в области еоретмческого изучения кинетических явлений в макроскопически не->днородных и анизотропных средах и большое числе» публикаций, к мо-енту начала исследований практически отсутствовали регулярные не-оды вычисления ЭКК в ситуациях близких к реальным, с учетом жоулевого разогрева, - нелинейности, конечном размере образцов и л. Между тем результаты моделирования на ЭВМ указывают, например, то локализация джоулевого разогрева резко возрастает щм пщближе-ии к порогу протекания и существенно зависит от степени неоднород-ости среды. Таким образом, даже при незначительном суммарном выдв-

- Г -

леции тепла возможен сильный разогрев, который ножет существенно изменить и концентрационное и полевое поведение ЭКК, т.е. кинетические свойства среды в целом. Кроме того, не были достаточно разработаны способы конструирования композитных материалов с заданными свойствами.

Целью работы является развитие теории кинетических явлений в макроскопически неоднородных и анизотропных средах, определение ЭКК неоднородных сред, установление критического поведения и определения вблизи порога протекания критических индексов ЭКК, разработка методов и построение моделей, позволяющих вычислять ЭКК в экспериментально осуществляемых условиях, разработка методов конструирования структуры композитов с заданными свойствами.

1. Предложена иерархическая модель "слабого звена" сильно неоднородной среды' выше и ниже порога протекания, на основании которой:

- исследовано критическое и полевое поведение эффективных тер-мог альваномагнитных коэффициентов в дву- и трехмерном случаях, определены критические индексы, найдено их выражение через критические индексы проводимости;

- исследовано джоулево тепловыделение в композитах а критической области и найдено аналитическое выражение для локального перегрева; сформулированы условия появления нелинейности вольт-амперной характеристики выше и ниже порога протекания, связанной с тепловым перегревом слабых звеньев;

- предсказан размерный эффект - зависимость интегральных галь-ваномгнитних свойств сильно неоднородных пленок в наклонном магнитном поле вблизи порога протекания от толщины пленки; получены аналитические выражения эффективных компонент тензора проводимости нижа, выше и на самой пороге протекания;

- исследовано критическое поведение и вычислены критические индексы эффективных модуля Юнга и модуля сдвига сильно неоднородных композитов вблизи порога протекания в дву- и трехмерном случаях;

- исследовано критическое поведение шума в перколяционных системах, определены критические индексы относительной спектральном плотности 1/1 шума; получены аналитические выражения спектральной плотности выше, ниже и на пороге протекания;

- установлена возможность теплового гистерезиса и наведенной анизотропии в сверхпроводящих керамиках вблизи порога протекания;

- определена структура макроскопически неоднородной смеси идеальный проводник (сверхпроводник) - проводник с конечной проводимостью на размерах меньших корреляционной длины и методом ренорна-лизационной группы вычислен критический индекс проводимости.

2. Установлены пределы применимости традиционного описания плоско-слоистых макроскопически неоднородных сред, путем перехода от локально неоднородных к однородным и анизотропным в среднем, связанные с конечными размерами образца, нелинейностью локальных кинетических коэффициентов, мелкомасштабных искажений структуры; найдены аналитические выражения эффективных кинетических коэффициентов с учетом нелинейности, мелкомасштабных искажений, внешнего магнитного поля, наличия в среде одновременно двух обобщенных потоков и сил.

3. Развит метод, позволивший найти класс изотропных в среднем сред, установить структуру и найти асимптотически точные выражения эффективной проводимости при любых концентрациях компонент, размерности задачи, в случае как угодно большой неоднородности; показана ренормгрупповая природа таких сред.

4. Для двухпотоковых кинетических явлений с учетом перекрестных эффектов (термоэлектрических, термодиффузионных и т.п.) в двухфазных макроскопически неоднородных средах установлены новые двухсторонние ограничения эффективных кинетических коэффициентов; для поли кристаллических пленок точные аналитические выражения, годные для как угодно большой анизотропии локальных кинетических коэффициентов.

5. Доказана гипотеза Б.И.Шкловского о равенстве критических индексов изотропизации эффективной электропроводности поликристаллических пленок.

Няучняя и практическая нвннпсгр, работы определяется возможностью использования ев результатов для описания кинетических явлений в макроскопически неоднородных и анизотропные средах, в частности, вблизи порога протекания, определения интегральных характеристик таких сред. Проведенный теоретически анализ поведения слоисто-неоднородных сред в магнитном поле может служить основой экспериментального метода определения планарности плоско-слоистых сред; явления теплового гистерезиса и наведенной анизотропии ногут быть использованы для создания элементов памяти. Исследования вихревых токов в неоднородных средах, примененные к расчету распределения вихревых термоэлектрических токов в экранных трубах парогенераторов могут служить основой метода контроля их состояния.

- 3 -

Теоретические результата, полученные в работе, стимулируют постановку нових экспериментов в области Физики твердого тела - гальваномагнитных явлений, фликкер-вума и тл. В целом результаты работы могут быть использованы в области твердотельной электроники и материаловедения.

Достоверность остовных результатов и выводов защищаемой работы подтверждается строгой постановкой задачи, выбором адекватных теоретических н од ел ей и методов ее решения, ясной физической трактовкой основных положений и выводов, согласием вытекающих из теории частных результатов с полученными ранее другими авторами, с результатами численных экспериментов, согласием с результатами зксперм-м ентапьных раб от.

Оонпвныя пплгигяния и результаты- выносимые на защиту:

1. Иерархическая модель "слабого звена", позволяющая единым образом описывать кинетические процессы в случайно-неоднородных средах вблизи порога протекания для широкого класса явлений и полученные на основании этой модели результаты: 1) критические индексы термогальваномагнитных эффективных коэффициентов и упругих модулей, 2) наличие нового гальваномегнитного размерного эффекта, 3) механизм наведенной анизотропии и теплового гистерезиса в композитных сверхпроводниках и механизм нелинейности вольамперной характеристики в композитах вблизи порога протекания, 4) критические индексы относительной спектральной плотности 1/1 шума и ее значение на пороге протекания, 5) фрактальная структура сильно неоднородной среды на размерах меньших корреляционной и критический индекс проводимости, полученный методом ренормализ анионной группы.

2. Результаты вычислений эффективной электропроводности О-мер-ных т-фаэных композитов и эффективных коэффициентов поли кристаллических пленок для двухпотоковых кинетических явлений с учетон перекрестных эффектов.

3. Новы? двухсторонние ограничения эффективных кинетических коэффициентов термоэлектрических композитов произвольной структуры с произвольными- значениями локальных кинетических коэффициентов.

4. Равенство критических индексов изотропизации эффективной электропроводности поликристаллических пленок.

суждались на Конференции молодых ученых по проблеме твердого тела (Львов, 1975), VIII, XII, XIII Совещаниях по теории полупроводников (Киев, 1976; Ташкент, 1985; Ереван, 1967), I и II Всесоюзных конференциях по физике и технологии тонких пленок (Ивано-Франковск,

Материалы диссертации докладывались и - об-

1961, 1984), Семинаре • по технологическим основам методов прямого преобразования теплоты в электроэнергию (Киев, 1970), XV Военной научно-технической конференции (Киев, 1084), I и II Всесоюзных семинарах "Полупроводниковые материалы для техмозлекгрических преобразователей" (Ленинград, 1985, 1987), II—IV Всесоюзных школах по термоэлектричеству (Яремча, 1978, 19S2, 1986), Семинаре "Получение и свойства тонких пленок" (Киев, 1900), XXXII Научной конференции МИФИ (Москва, 1987), Рабочем совещании по проблемам высокотемпературной сверхпроводимости (Свердловск, 1987), III Семинаре "Электронные процессы в двумерных системах" (Новосибирск, 1989), II международном семинаре 'Электронные свойства неталл-неметалл микросистем" (ЧССР, 1989), III международном семинаре 'Элекгщчес-кий и тепловой транспорт в полупроводниковых соединениях" (ГДР, 1989), а также на семинарах Института физики АН УССР, Института Физики полупроводников АН УССР, Института высоких температур АН СССР, Института полупроводников СО АН СССР, годичных собраниях ученых КПИ по итогам работы.

Публиуянии. По теме диссертации опубликовано 32 работы, в том числе один обзор, список которых приведен а конце реферата. "

Огруктуря и пбърм пиггяртнпми. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, дополнений и списка литератугы. Работа содержит две таблицы и 41 рисунок. Библиография включает 284 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во терпений кратко обоснованы целесообразность, актуальность, практическая ценность проведенных в диссертационной работе исследований, их научная новизна и перечислены основные положения, которые выносятся на защиту.

Гляия 1. Тяорятичягаия мягоды исследования макроскппичяски на-плнпрплных и йиияптрппншг гпял. Дано краткое описание основных понятий и различных типов макроскопически неоднородных сред и теоретических методов их исследования. Дано определение накроскопичности неоднородных сред - разнер неоднородности должен быть много больше характерных длин свободного пробега носителей, что, в частности, означает возможность в каждой точке такой среды задать соответствующий описываемому явлению натериальный закон, например, закон Она, дающий локальную связь между плотностью тока Лг) и напряженность электрического поля е(г) : Л - б"(г)э. Основной характеристикой ки-

- 5 -

нетических процессов в неоднородных средах являются ЭКК, в данном примере эффективная проводимость, связывающая, по определению, средние по объему ток и поле <,!> = Указана аналогия между

процедурой получения ЭКК в макроскопически неоднородных и аниао-тропных средах и усреднением в статистической физике. Кратко описаны известные результаты вычисления ЭКК для плоскослоистых сред, точные результаты для двумерных сред, методы теории протекания.

Глава 2._ЙФФектидная прпдппимтггь нрппнлрплныт грял В ЭТОЙ

главе вначале рассмотрен эффективный тензор проводимости (з в простейших - одномерных (или близких к ним) случаях, т.е. в тех случаях, когда локальная проводимость зависит только от одной координаты. В частности, такими средами являются плоско-слоистые среды, используемые, например, при изготовлении искусственно-анизотропных термоэлементов [331 При расчете различного рода устройств предполагается, что плоско-слоистую (т.е. локально неоднородную) среду можно описывать при помощи ЭКК, т.е. считать ее анизотропной, но уже однородной в среднем. Т.к., строго говоря, это возможно только для бесконечной среды, возникает необходимость определить погрешность, связанную с пределами применимости перехода от локального описания к эффективному в случае пространственно ограниченных неоднородных образцов. Такая задача решена - погрешность, введенная как относительная разность соответствующей компоненты и" и удельного кон-дактанса образца, получена в аналитическом виде как функция значений локальной проводимости и размера слоев. Далее рассмотрено влияние мелкойасштабных искажений плоско-слоистой среды на 6 е ; методом последовательных усреднений получены аналитические выражения для и параметра анизотропии. Приведены примеры тех случаев,

когда мелкомасштабные искажения структуры могут существенно изменить 6"4 . В отличие от одномерного случая точное выражение для случайно-неоднородных сред, годное для как угодно большой, неоднородности в двумерном случае, возможно только на самом пороге протекания Ш, для трехмерного случая такого выражения неизвестно. В главе предложены дву- и трехмерные среды специальной структуры, для которых удается получить аналитическое выражение (§1 при больших локальных неоднородностях и анизотропиях. Показано, что процедура,

Л -

позволяющая получать (последовательно строить) выражения для (5 класса таких сред имеет ренормгрупповую природу, т.е. является частным случаем функциональной автомодельное-™. Одной из возможных реализаций таких сред является среда, описанная в [1], другой реализацией двумерного случая являются среды, описываемые формулой

- 6 -

Лихтенекера, часто применяемой в инженерных расчетах и в трехмерном случае бв — <55 ■ • Процедура получения 6"е распространена на многофазные среды произвольной размерности и проведено сравнение частного случая - аналитического выражения <ое трехмерной двухфазной изотропной среды с вариационными оценками 6 е и показано их хорошее согласие. В общем случае найден способ построения из т-фаэ со значениями локальной проводимости б^ , б2 • • • • изотропной в среднем среды с заданным значением На каждом п-ном этапе построения указанного класса сред строится все более и более однородная среда, удельный кондактанс которой стремится при п.-*с>о к <Зе- Одновременно, даже если изначальные фазы анизотропны, при увеличении п среда становится все более изотропной - изотропизуется. Далее, при помощи специального преобразования локальных и усредненных полей и токов доказана гипотеза Б.И.Шкловского, согласно которой [4,5] проводимость двухфазной среды с локальной анизотропией фаз и детерминированным соосным расположением главных осей локальных тензоров проводимости, при приближении к порогу протекания изотропизуется, причем критические индексы, характеризующие эту изотропизацию выше -Я и ниже - Л' порога протекания

бг1 (Р>рс) . .я еЛ(р^)

С ср

в двумерном случае равны Я2 = У^г .

Далее вводится и рассматривается модель, называемая моделью "слабого звена" (СЗ), позволяющая единым образом описать большую совокупность закономерностей кинетических явлений в перколяционных системах (выше, ниже и на самом пороге протекания). Согласно модели СЗ, являющейся развитием модели Скал-Шкловского-де-Жена выше порога протекания (р > р.) каждая область сильно неоднородной среды объемом ¿^, в простейаем варианте ( 6у -конечно, = О, Ь - б^/б! - 0), состоит из массивных "баз" соединенных тонкими мостиками длиной

и сечением (рис. 1а), на которых и происходит основное падение

©

напряжения. Характерный размер объема, содержащего в среднем одно слабое звено, в данном случае мостик, растет с приближением к порогу протекания аналогично корреляционной длине ^"/С/ . Ниже порога протекания (р < ре ) согласно модели СЗ в простейшем" варианте ' ( в1 = со , -конечно, Ь = 0) среда состоит из массивных "баз", разделенных в некоторых местах только тонкой прослойкой плохо про-

Рис. 1. Иерархическая модель "слабого звена" - 8 -

водящей Фазы площадью и толщиной , на которой происходит основное падение напряжения (рис. 16). Основным положением модели СЗ являются условия, налагаемые на геометрические характеристики слабых звеньев - мостика и прослойки

~ Г* ~ ¡ГГ* 62> ,

1/ ' ¿. . >

~ т* ~ У г/ 2 я

¿л '

где ЗИ и 20 означает мерность задачи, а - толщина мостика,

Л - ширина прослойки в 2Ь случае.

Условия (1) подобраны таким образом, что при вычислении проводимости среды модель СЗ приводит к известным выражениям теории протыкания С23 : * Л, А ), 6Г е(Р<Р,)± «&Х1*Г*(Ь. ), где А„, А,, ...В„, В,. ... -постоянные порядка единицы. Ухе такая простая геометрическая структура среды (рис. 1а,б) позволяет,единым и наглядным способом получить известные ранее результаты - описать критическое поведение гальваномагнитных явлений в пленках, термоэлектрических явлений, вычислить критические индексы ЭКК этих явлений, определить критический индекс суперлокализации (андерсоновской локализации в перколяционной структуре) [В]. Однако в ряде случаев, появляется необходимость учета более тонких деталей структуры (рис. 1 в,. г), например, существование выше порога протекания не только мостика, но и параллельно расположенной ему прослойки, т.е. учесть ту небольшую часть тока, которая протекает по плохо проводящей фазе. При этом уже 0. Для случаев. Изображенных на рис, 1 в, г и соответствующих учету- вторых слагаемых в (1), налагается дополнительно к (1) еще одно условие на более детальные элементы структуры среды

На основе простейшего варианта модели СЗ (рис. 1 б) определяется критическое поведение эффективных модулей упругости Юнга Ее и сдвига , при этом Фазе с вх соответствует "жесткая" (Е,

5. фазе б"г - "эластичная" (К2>1/<1) фазы сильно неоднородного СЕ^>> Е2 , ) композита. Показано, что критические индексы

чодуля Юнга (Е и модуля сдвига ^ ("

совпадают с критическим индексом_проводимости, что хорошо согласу-

- 9

ется с численными экспериментами [7] по вычислению Е иизвестными из литературы.

В конце главы рассмотрено критическое поведние относительной спектральной плотности 1/1 - шума в композитных материалах, в

которых, как известно [8], шум 1/1 особенно велик. Для определения .У необходимо знать не только распределение фаз с проводимостью б( и^н 5" | но и распределение по объему плотности джоулевого тепловыделения. В рамках модели СЗ (рис. 1 в,г, т.е. при 0 )

такое распределение найдено и получены следующие концентрационные зависимости У^ вблизи порога протекания

9>е(р>рс) - У, Т ' * * К Ь* ? ' , </>е(р*ъ) ~ %ХАЧП ,

где н % - относительные спектральные плотности 1/1 пума чистых Фаз с проводимостями бГ;иб^; к , к' и н , н' критические индексы 1/1 шума, которые согласно модели СЗ следующий образом связаны с критическими индексами проводимости и корреляционной длины

К = (Я- О ~ *

Аналитические выражения критических индексов кик' (4) хорошо согласуются со значениями, известными из литературы [9] и полученными в численных экспериментах. Вторые слагаемые , введенные и вычисленные впервые, позволяют непротиворечивым образом найти на пороге протекания У* (где У(р>/>с) и должны совпадать)

I - ¿»(Л-/) i-2■»

степени 6г /6^ для 20 и ЗР отрицательны, и т.о. чем больше неоднородность системы ( 6/ /62 ), тем больше амплитуда спектральной плотности 1/1 шума. Далее найдены условия, при которых выше и ниже порога протекания слагаемые с н и и ' в ¡/'^ играют главную роль и проведено сравнение с экспериментом, согласно которому ¥с(Р>Рс) ~ 2Г"Я • 1. 0,1 [10, 11]. Подста-

новка известных значений X., ъ V в (5) дает к 1,33 ;

к ~ 1,8 ; ил-6,7; и а 6,4 , что указывает на хорошее согласие ^ л* з

^ 2.)>(Л- 1).

/4/

с численный и натурным экспериментом и снимает противоречие между ними.

Глняя Я. Кинвтичягкив явления н композитных_свярхпипяплниках

ческих характеристик композиционных сверхпроводников, влияние эффекта близости на протекание тока в композиционных сверхпроводниках. Кратко рассмотрены экспериментальные данные по перколяционным явлениям как в "старых" сверхпроводящих композитах, так и в ВТСП керамиках. Далее, в ранках модели СЗ изучено распределение джоулева тепловыделения в системе идеальный проводник - проводник с конечным сопротивлением. Показано, что вблизи порога протекания джоулево тепловыделение распределено по объему весьна неравномерно (что соответствует известным из литературы численным расчетам), что может приводить к локальный перегревам - появлению при определенных условиях областей с температурой значительно выше средней по • образцу. Проведена оценка такого перегрева для различных случаев - ниже и выше порога протекания. Показано, что локальный перегрев может приводить к нелинейности вольтамперной характеристики среды в целом. Далее рассмотрено влияние локальны* перегревов среды вблизи порога протекания в том случае, когда одна из фаз (или обе, но при разных температурах) при понижении температуры могут переходить в сверхпроводящее состояние. Если первоначально образец находится в нор*-мольном состоянии и через него в определенном направлении пропускается ток, то при понижении температуры вся фаза может перейти' в сверхпроводящее состояние за исключением слабых звеньев (отвечающих за протекание тока в заданном направлении) из-за их локального перегрева. Таким образом, образец в целом перейдет в сверхпроводящее состояние при более низкой (должны охладиться слабые звенья), по сравнению с однородный образцом, температуре.

После перехода в сверхпроводящее состояние перегрев исчезает и при повышении температуры переход в нормальное (резистиБНое) состояние происходит при стандартной температуре - тем самым имеет место температурный гистерезис. Механизм температурного гистерезиса может быть привлечен для объяснения экспериментально наблюдаемого гистерезиса вольтамперной характеристики, например, в сверхпроводящей керамике Ва РЪ^-^ В^О,. Далее рассмотрена экспериментально возможная ситуация, когда слабые звенья, отвечающие за протекание в одном направлении, перегреты, а в другом - находятся в сверхпроводящем состоянии. Тогда в целом образец будет обладать анизотропией проводимости. Этот механизм наведенной анизотропии может быть привлечен

.. Дано краткое описание структуры и физи-

дл>! объяснения, например, результатов по измерению сопротивления между набором разных контактов образца из ВТСП керамики У ВагСи1Ог. В конце главы построена самоподобная модель макроскопически неоднородной среды ниже порога протекания, одна из фаз которой является идеальным проводником или сверхпроводником с малой длиной когерентности. На размерах, меньших корреляционной длины, структура перколяционной системы самоподобна, что позволяет, задавая закон подобия при переходе от одного пространственного масштаба к другому, применить к анализу такой среды метод ренормализационной группы. Если в случае р > рс [12] для такого анализа достаточно двух элементов структуры - мостика и капли, то в случае р < рс согласно построенной в работе модели (рис. 2) необходимы три типа элементов: прослоек (а) плохопроводяцвй фазы, через которые неизбежно приходится протекать току при р < рс и на которых происходит основное падение напряжения, пузырьков (б) - представляющих собой большие области плохопроводяшей фазы, через которые ток практически не протекает, и капель (в), которые обладают сложной самоподобной структурой и которые, в свою .очередь, состоят из прослоек, пузырьков и капель. На рис. 2 стрелкой показан простейший закон самоподобия, когда каждая капля состоит из трех. Проведен ренормгруп-повой анализ модели и найдены функциональные уравнения

Рис. 2

Иакон сомоподобия при изменении пространственного масштаба (1 — 3).

[н ruó J - L(f.t OQ'x(f. /fl'

где & г/, Vi <) •= + + б

L (t t e) - Cu* 44*6* '¿tfv-'J'jf i *w*f)(i* 4++

* 6 ¿ П V' V/ ' 5 * x o -XJ '/J> /. er/^ V-.- e//ii

6Г (Ь) - проводимость /см. рис. 2/ на масштабе Ъ , ffp(b) - проводимость прослойки, 1-2 (одна капля из трех). Проведена линеаризация функциональных уравнений (6) вблизи устойчиьых точек, каковыми являются у" = Í* =0 : f(zb) = f(b) G (0,0) .и найдено автомодельное решение f(b)~ Ъ-^ ,/t - ln2/lnz - Я , согласно которому при размерах, стремящихся к корреляционной длине имеет место „

- V ^

- (&-/>) ~ ^ /7/

откуда следует, что критический индекс проводимости, в рамках рассматриваемого закона самоподобия = 1п4 / ХпЗ йК 1,68. Для более сложного закона самоподобия (одна капля состоит из девяти) аналогичные выражения дают критический индекс -яг 1,39. Значение известное из литературы и полученное численными экспериментами яг 1,3.

Глава Л. Термоэлектрические свойства неоднородных грея. В ЭТОЙ главе рассмотрены термоэлектрические свойства макроскопически неоднородна* сред в отсутствии магнитного поля. При этом', хотя-в главе речь идет все время о термоэлектрических явлениях, все результаты равным образом применимы к любым двухпотоковым кинетическим явлениям с перекрестными членами, например, к термодиффузионным или диф- ' фузионно-электрическим явлениям. В начале глаьы рассмотрены эффективные свойства плоскослоистых сред при непрерывной зависимости локальных кинетических коэффициентов от координат.. Найдены аналитические выражения ЭКК - эффективных коэффициентов электропроводности

- 13 -

и теплопроводности (с учетом термоэлектрических эффектов) и термоэдс. Предложена и использована методика, позволяющая получить ЭКК в случаях анизотропных локальных коэффициентов, в том числе и того вида анизотропии, который возникает при наличии магнитного поля -гиротропин. Далее введен и рассмотрен критерий применимости эффективного описания термоэлектрических свойств плоскослоистых сред. Рассмотрен случай, когда число слоев (или периодов неоднородности) не ограничено, а погрешность при определении эффективного коэффициента термоэдс возникает в связи с пространственным ограничением в направлении, перпендикулярном градиенту неоднородности - в этом направлении среда имеет размер а . Выражение для удельной компоненты термоэдс • о/^а) получено в следующем виде:

= /8/

где ОХ - ось, перпендикулярная градиенту неоднородности, а и А Т -размер среды и разность температур вдоль этого направления, , , о■ . 6/ . 6} - размеры слоев и значения коэффициентов термоэдс и проводимости, б'* = &1/&2. , = - ск^ Л Т/а

^ + бЛ/дД о- с4я*гл)

О с — ■ -'——ii ........■ ■ ) /У/

^ = кзг/а, к = 1,3,5.....

При )/а 0 ¿¿ж*. "¿-хх. • а относительная разность

( с^кх. ~ (а)дает погрешность, возникающую при

переходе к эффективному описанию при конечных значениях а . Далее рассмотрено влияние мелкомасштабных искажений на эффективные свойства плоскослоистых сред при наличии термоэлектрических явлений. Получены аналитические выражения для ЭКК и термоэлектрической добротности, проанализированы различные частные случаи. Далее рассмотрены ЭКК поликристаллических пленок с учетом термоэлектрических явлений. Для случая хаотического расположения двух главных осей тензоров локальных кинетических коэффициентов в плоскости пленки (третья главная ось перпендикулярна к плоскости пленки) (термоэлектрический аналог поликристаллической среды Дыхне [1]) получено точное аналитическое выражение для ЭКК, годное для как угодно большой анизотропии локальных коэффициентов. При выводе этого выражения был использован тот факт, что однородные двумерные кристаллиты, из которых

- 14 -

состоит поликристалл, ножно представить как плосхаслоистую среду с толщиной слоев, стремящейся к нулю. В работе £13) этот же результат бил получен при использовании обобщения преобразований симметрии Дыхне [1]. Далее в главе рассмотрено влияние слабой макроскопической шероховатости пленок на их термоэлектрические свойства. Найдены аналитические выражения для интегральных свойств таких пленок и показано, что, хотя шероховатость поверхности искажает ЭКК, термоэлектрическая добротность при малых шероховатостях ст последних но зависит.

Аналитические выражения, явная зависимость ЭКК от локальных значений кинетических коэффициентов, существуют только в избранных, хотя и достаточно важных случаях - плоскослоистых сред, двумерных сред с геометрически эквивалентный расположение»« фаз [1], случайно неоднородных сред вблизи порога протекания [2]. В отличных от этих случаях или в тех часто встречающихся на ^практике случаях, когда информация о среде не полна, например, известны только локальные значения коэффициентов и их концентрация, возможно только о той или иной точностью оценить ЭКК. В такой ситуации может оказаться полезным установление строгих двухсторонних границ - минимальных и максимальных значений ЭКК. Установлены двухсторюннме границы ЭКК при наличии термоэлектрических явлений.

При построении границ применены два подхода. Первый, использующий возможность записи производства энтропии в разных видах. Второй, использующий возможность сведения двухфазных термоэлектрических задач к задачам электоропроводности £14, 15], тем самым позволяющий перевести для электропроводности границы, мапринер, границы Хашина-Штрикнана £16] в термоэлектрическую область. Проанализированы частные случаи.

Глава 5 Гяльяанп-_и тярмпг рльяянпиягнитныя гипйсггва няоннп-

рлпннт гпрп в этой главе рассмотрены эффективные свойства плоско-слоистых сред с мелкомасштабными искажениями в магнитнон поле, гальваномагнитные свойства перколяционных сред при учете джоулевого разогрева, изучено критическое поведение компонент тензора проводимости тонких пленок в наклонном магнитнон поле и определено крити-' ческое поведение терногальванонагнитных коэффициентов пленок и массивных образцов. Вначале определены гальваномагнитные свойства плоско-слоистых сред с мелкомасштабными искажениями. Показано, что влияние мелкомасштабных искажений на тензор эффективной проводимости тем больше, чем больше неоднородность и магнитное поле. Так, например, поправки к идеальнону - плоско-слоистому случаю в сильном

- 15 -

магнитном поле (/6 >> 1. /5 - безразмерное магнитное поле) пропорциональны £р,2 (<.£"> < * /б" > -.1), где £ - малый параметр, характеризующий отклонение от идеальной геометрии. Таким образом, даже слабые отклонения от плос|со-слоистости могут, при достаточно сильном магнитном поле, существенным образом изменить компоненты тензора проводимости, а измерения в магнитном поле могут служить основой для экспериментального определения отклонения от чланарнос-тн. Далее в главе рассмотрены двумерные двухфазные среды с геометрически эквивалентным расположением фаз [1] и показано, что для таких сред существует соотношение, связывающее выражения производства энтропии, записанные через разные независимые Переменные (термодинамические силы и потоки),- из которого следуют соотноиения для 6е (как без магнитного поля, так и в магнитном) м <Зе поликристаллических сред. Далее рассмотрены гальваномагнитные свойства среды вблизи порога протекания. На основе модели СЗ, в магнитном поле найден перегрев слабых звеньев - мостиков и прослоек. Показано, что при приближении к порогу протекания перегрев степенным образом растет. Превышение температуры слабого звена над средней зависит от режимов, так' например, если поддерживать полную диссипацию энергии в образце постоянной (режим постоянной диссипации), то превышение температуры А Т не зависит от магнитного поля Л Т ~ /С/ где ^ > О ; если же поддерживать постоянную разность потенциалов на торцах образца, то А Т будет зависеть и от магнитного поля и от угла 9 между направлениями среднего электрического и магнитного полей аТ ОХ.*6> -»Ы'-е / (/ +/')) /27 ~ С2*'"?-*?/-2), где ув - безразмерное магнитное поле, р с рс и выбрана простейшая зависимость компонент тензора локальной проводимости плохопроводя-щей фазы от магнитного поля: диагональная компонента ~ (1 недиагональные^3(1 и компонента "вдоль" магнитного поля от

последнего не зависит. Показано, что в случае зависимости компонент тензора локальной проводимости от температуры перегрев может приводить к нелинейности вольтанперной характеристики и к перенормировке критических индексов ЭКК. Далее изучены гальваномагнитные свойства неоднородных пленок вблизи порога протекания в наклонном магнитном пояе. Показано, что необходимо различать два случая:

1) двумерно-неоднородная среда - локальный тензор проводимости зал л

висит только от двух координат б = о С*, у), по третьей оси размеры среды не ограничены и 2) двумерно-неоднородная пленка - по-прежнему

л А

О" = но размеры среды по третьей оси (толщина пленки)

конечны и в определенном смысле малы. В общем случае, когда магнит- 16 -

ное поле направлено под углом к нормали к плоскости среды н тодонна пленки конечна, локальные поля и токи зависят не только от х и у, но и от г; таким образом, задача об определении^ и б является локально трехмерной, оставаясь при усредненном описании двумерной. Решение такой задачи, занимающей промежуточное положение между дьу-и трехмерными задачами в общем случае вряд ли возможно. В работ.; рассмотрено два предельных случая - первый - бесконечно толстой "пленки" и второй - тонкой пленки, когда толщина пленки много меньше минимального размера слабого звена. Результаты, полученные в рамках моцели СЗ как при р < рс , так и при р > рсв первом случае совпадает с известными из литературы (полученными строгим методом изоморфизма [11]). Компоненты эффективного тензора проводимости во втором случае (тонкой пленки), рассмотренном впервые, отличаются 01 случая "толстой" пленки и, например, для простейших зависимостей компонент локального тензора проводимости от магнитного поля ( =67(1+ув'). - <5/3/(1+ /3* )) и нихе порога протекания имеют вид

6'——-/г!'г ^ , Р<Рс (10)

Показано, что в случае сильных полей ' 1<</3 «IVI ^дахе при малом угле ¿О , задающим отклонение направления магнитного поля от нормали ( ¿0 << 1, ноуЗл) >>1 ) велико отличие двух проанализированных случаев, так например, для эффективных коэффициентов. Холла имеет место

/2 е(ю*о) 4

—--- ~ (/ЪО>)

(и)

Аналогичные расчеты и анализ полученных результатов проведен и ьыше порога протекания ( р > рс ). На основании результатов для р < и р > рс определены полевые и угловые зависимости компонент тензора эффективной проводимости на пороге протекания в области размазки,' где такхе имеет место различие двух крайних случаев - "толстой" и "тонкой" пленок. Таким образом, эффективные свойства макроскопически неоднородных пленок в наклонной магнитном поле зависят от ее толщины. Далее в главе рассмотрены термогальваномагнитные свойства макроскопически неоднородных пленок и трехмерных композитов вблизи

- 17 -

порога прогекаиия. В ранках Модели СЗ определено критическое поведение эффективных кинетических коэффициентов Нернста Не , Эттикгс-гаузена Р , Нернста-Эттингсгаузена 9 и Ледюка-Риги Л ниже порога протекания. Найдены критические индексы этих коэффициентов и их зависимости от магнитного поля. Показано, что полевые зависимости ЭКК могут отличаться от зависимости локальных коэффициентов. Например, для простейших зависимостей локальных коэффициентов от магнитного поля для р >> I «¿^-^^в*1, э^ч. ~ /3"'. Р ~ уЗ ~г ,

<Я /Ь~г . Л ~ /&-* , а оА , >г5 и /V от поля (в первом приближении по Н ) не зависят, где в - означает симметричную, а а - антисимметричную компоненту тензора, локальный коэффициент Нернста не зависит от магнитного поля, а эффективный -пропорционален ~2-

Выводы

1. Иерархическая модель "слабого звена" позволяет единым образом описать кинетические явления в макроскопически неоднородных средах в'критической области - электропроводность, гальваномагнитные и термогальваномагнитные явления, а также поведение вблизи порога протекания модулей упругости и 1/Г шума.

2. Критические индексы термогальваномагнитных коэффициентов нихе порога протекания выражаются через критические индексы проводимости; в ряде случаев зависимость от магнитного поля эффективных коэффициентов является аномальной, т.е. не совпадает с зависимостью локальных коэффициентов.

3. Критические индексы модуля Юнга и модуля сдвига нихе порога протекания в дву- и трехмерном случаях совпадают с соответствующими критическими индексами эффективной проводимости.

4. Вблизи порога протекания, дахе при малом интегральном токе, пропускаемом через образец, возмохен локальный перегрев определенных частей среды - слабых звеньев. Перегрев при приближении к порогу протекания растет степенным образом и может достичь такой величины, когда уже необходимо учитывать зависимость локальных кинетических коэффициентов от температуры, что может привести к нелинейности вольтамперной характеристики.

5. Гальваномагнитные свойства неоднородных пленок в наклонном магнитном поле существенно зависят от толщины пленки. Компоненты тензора эффективной проводимости вблизи порога протекания в двух крайних случаях - очень "толстой" и_ очень "тонкой" пленок, описыва-

втся разними критическими индексами. В достаточно Ъильнон нагнитн.ом поле даже налое отклонение направления магнитного поля от нормали к пленка приводит к разному критическому поведение тензора эффективной проводимости в указанных крайних случаях. Существенно различны в указанных случаях значения эффективного тензора проводимости в области размазки и сама область размазки.

6. В композитных сверхпроводниках, в том числе в В'ГСП керамиках, локальный перегрев слабых звеньев может приводить к тепловому гистерезису - разной критической температуре перехода образца из резистивного состояния в сверхпроводящее и обратно; этот же миха-низм - локальный перегрев, может быть ответитвенним за наведенную анизотропию электропроводности, разные критические температуры для разных направлений.

7. Для непротиворечивого описания критического поведения относительной спектральной плотности 1Л шума необходимо введение к двум известнын, еще двух новых критических индексов, так что как ниже, так и выше порога протекания критическое поведение 1/£ шума определяется парой критических индексов. Введение новых критических индексов и определение их через критические индексы проводимости и корреляционной длины позволяет найти значение относительной спектральной плотности шуна на пороге протекания,, которая, в частности, тем больше, чен больше неоднородность среди.

8. На разнерах, иеньоих корреляционной длины, структура перко-ляционной системы самоподобна и ниже порога протекания состоит из набора "прослоек", "пузырьков" и "капель" сложной структуры, в свою очередь состоящих из "прослоек", "пузырьков" и "капель". Предложенная самоподобная нодель структуры позволяет методом ренорналиэаци-онной группы вычислить критический индекс проводимости ниже порога протекания.

9. При создании в плоско-слоистой среде даже малых в среднем разностей потенциала или градиентов температуры, при резком различии локальных кинетических свойств различных фаз среды, явления переноса могут приобрести нелинейный характер.

10. Мелкомасштабные искажения плоско-слоистой структуры могут значительно изменить интегральные свойства среды. Из полученных аналитических выражений для эффективных компонент тензора проводимости, в частности, следует, что параметры, характеризующие неоднородность среды й величину магнитного поля входят в выражения эффективных коэффициентов мультипликативно, так что даже при малых

искажениях структуры в достаточно сильном магнитном поле интеграль-

- 19 -

ныв свойства среды могут существенно отличаться от свойств сред с идеальной плоско-слоистой структурой.

И. Существует метод, позволяющий указать для данного набора значений локальной проводиности фаз структуру изотропной в среднем среды, обладающую любым заданный, из принципиально возможных, значением эффективной проводимости при как угодно сильной неоднородности.

12. Возможно обобщение точного результата А.МЛыхне, полученного для эффективной проводимости поликристаллических пленок на двухпотоковый случай с учетои перекрестных эффектов.

13. В макроскопически неоднородных изотропных в среднем средах оля двухпотоковых кинетических явлений с учетом перекрестных эффектов возможно установить для любых значений локальных коэффициентов и произвольной структуры среды двухсторонние ограничения эффективных кинетических коэффициентов. Эти ограничения позволяют, в частности, определить для данной концентрации и значений локальных коэффициентов предельные возможные значения различных эффективных параметров, например, термоэлектрической добротности.

14. В поликристаллических двухфазных случайно-неоднородных пленках с фиксированным направлением главных осей тензоров локальной проводиности критические индексы, определяющие изотропиэацию тензора эффективной проводиности, строго равны.

L СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лыхне А.М. Проводимость двумерной двугфазной системы // ЖЭТФ. - 1970. - т.59. в.7, - С. 110-115.

2. Efros A.L., Shklovekll B.I. Critical behaviour of a conductivity and dielectric conetant near the metal-non-metal transition threshold // Phye. Stat. Sol. (b). - 1976. - v.76. N2, -

p. 475-485.

3. Искусственно-анизотропные термоэлементы и их предельные возможности / Бабин В.П., Гудкин Т.С., Датевский Э.И. и др. // ФТП.

- 1974. - т.е." в.4, С. 784-753.

4. Shklovekii B.I. Anleotropy of Percolation Conduction // Phye. Stat. Sol. (b). - 1976. - v.85. N2, p. K111-K114.

5. Шкловский БЛ. Анизотропия перколяционной Ьлектропровь^иь, -ти сносей двух анизотропных сред // Письна в ЖТФ. - 1881. - т.ЮЫ. в.21. С. 1312-1315.

в. Хмельницкий Д.Е. Андерсоновекая локализация в протекатель-ной структуре // Пистма в 1ЭТФ. - 1980. - т.32, в.З, С. 248-25L

7. Bergman D.J. Elastic moduli near the percolation threshold In a two-dimensional random network of rigid and nonrlgld bonds // Phye. Rev. B. - 1980. - v.33. N3. p. 2013-2010.

8. Коган Ш.М. Низкочастотный токовый пун со спектром типа 1/f в твердых телах // УФН. - 1985. т. 145. в.2, С. 285-328.

9.Rajnmal R., Tannous С., Tremblay A.-M.S. 1/f noiee in a random resistor networks: Fractals and percolating sletems // Phys. Rev. A. - 1985. V.3L N4, p. 2682-2671.

10. Chen C.C., Chou Y.C. Electrical conductivity fluctuations near the percolation threshold // Phys. Rev. Lett. - 1985. - v.64. N23, p. 2529-2532.

11. Mantese J.V., Webb U.W. 1/f Nolaa of Granular Metall-Inaulator Composites // Phys. Rev. Lett, - 1985. - v.55. N20, p. 2212-2215.

12. Виноградов А.П., Сарычев AJC. Структура каналов протекания и переход металл-диэлектрик в конпозитах // ЛОТО. - 1983. - т.05. в.З, С. 1144-1152.

13. Балагуров БЛ. О термоэлектрических свойствах тонких поли кристаллических пленок // ФТП. - 1982. - тДб. в.10, С. 1870-1В72.

14. Halpern V. The thermopower of binary mixtures // J. Phye. C. - 1983. - vJ6. N7, p. L217-L220.

15. Балагуров Б.Я. Об изоморфизме некоторых задач теории протекания // ЖЭТФ. - 1983. - т.85. в.2, С. 588-584.

16. Haehin Z., Shtrikman S. A Variational Approach to the Theory of the Effective Magnetic Permlabillty of Multiphase Materials // J. Appl. Phys. - 1962. - v.33. N1, p. 3125-31311

2. СПИСОК АВТОРСКИХ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

А1_ Снарский А.А. Вихревые термоэлектрические токи в термоэлектрически анизотропных неоднородных средах // ФТП. - 1976. - 10, - в.11, - С. 2192-2196.

А2. Снарский А.А. Эдс термоэлементов, использующих анизотропию термоэде. 4.1. Анизотропные термоэлементы прямоугольной Формы // ФТП. - 1977. - 11, - в.10, - С. 2053-2055.

- 21 - •

A3. Снарский A.n. Эдс термоэлементов, использующих анизотропию термоэдс. 4.II. Анизотропные термоэлементы кольцевой формы // ФТП.

- 1978. - 12, - в.4, - С. 815-817.

A4. Снарский A.A. Эдс термоэлементов, использующих анизотропию термоэдс. ч.Ш. Искусственно-анизотропные среды // ФТП. - 1980. -14, - в.1, - С. 170-631.

А5. Снарский A.A. Нагруженный анизотропный термоэлемент // Исследование процессов прямого преобразования тепла в электроэнергию.

- Киев: Наукова думка, 1978. - С. 95-99.

А6. Самойлович А.Г., Снарский A.A. Исследование вихревых термоэлектрических токов // ФТП.- 1979. - 13, - в.8, - С. 1539-1547.

А7. Белоцкий Е.Д., Снарский A.A., Трофимов С.С. Исследование искусственно-анизотропных сред // УФЖ.- 1982. -27, - Н 1, - С. 9195.

А8. Морозовский А.Е., Снарский A.A., Томчук П.М. Эффективные кинетические коэффициенты макроскопически неоднородных сред. - Киев: И* АН УССР, 1982. 28 с.

А9. Недоступ В.М., Снарский A.A. Пленочный термоэлемент с осями искусственной анизотропии сложной формы // Получение и свойства тонких пленок. - Киев: Наукова Думка, 1982. - С. 105-106.

А10. Снарский A.A..Трофимов С.С. Эдс термоэлементов, использующих анизотропию термоэдс. Влияние анизотропии коэффициента электропроводности на эдс прямоугольного анизотропного термоэлемента // ФТП. - 1983. - 17, в.5, С. 953-954.

All. Морозовский А.Е., Снарский A.A. Эффективная проводимость неоднородных-сред // УФЖ. - 1983. - 28, N8, С. 1203-1208.

А12. Снарский A.A. Эффективная проводимость искусственно-анизотропной среды с мелкомасштабными искажениями // УФЖ. - 1985. 30, N1, С. 95-98.

А13. Снарский A.A., Морозовский А.Е. Вариационные оценки в термоэлектрических средах // ФТП. - 1985. - 19, в.2, С. 305-307.

А14. Морозовский А.Е., Снарский A.A. Двусторонние оценки термоэлектрических коэффициентов в макроскопически-неоднородных полупроводниковых материалах // Полупроводниковые материалы для термоэлектрических преобразователей. - Ленинград, ФТЯ. 1985. - С. 99-100.

А15. Снарский A.A., Лукьянец С.П. Вычисление эффективных кинетических коэффициентов в двумерных макроскопически неоднородных анизотропных средах // Поверхность. - 1986. - N12, - С. 11-13.

А16. Иорозовский A.B., Снарский A.A. Использование ренормгруп-пового метода для расчета эффективных кинетических коэффициентов // ЖТФ. - 1986. - 66, в.12, - С. 2391-2392.

А17. Снарский A.A., Томчук П.И. Кинетические явления в макроскопически неоднородных анизотропных средах (Обзор) // УФЖ. - 1967.

- 32, N1, - С. 66-92.

А18. Снарский A.A. Об эффективной проводимости сильно неоднородных сред вблизи порога протекания // ХЭТФ. - 1986. - 91, в.4, -С. 1405-1410.

А19. Снарский A.A. О термогальваномагнитных явлениях неоднородных пленках вблизи порога протекания // ФТП. - 1987. - 21, - в.10,

- С. 1877-1881.

А20. Иорозовский А.Е., Снарский A.A. О критических индексах двумерных анизотропных систем // ЖТФ. - 1987. - 67, в. 11, - С. 2272 -2273.

А21. Черныш В.В.. Вурдейный В.М., Бондаренко Г.И., Мадьяров В.Г.. Снарский A.A. Намагничивание экранных труб парогенераторов вихревыми термоэлектрическими токами // Изв. вузов - Энергетика. -1987. - N2, - С. 90-92.

А22. Иорозовский А.Е., Снарский A.A. Термогальваномагнитные явления в макроскопически неоднородных по»упроводниковых средах вблизи порога протекания // Материалы для термоэлектрических преобразователей. - Ленинград, ФТИ, 1987. - С. 134.

А23. Иорозовский А.Е., Пан В.М., Снарский A.A. О свойствах высокотемпературной сверхпроводимости // Проблемы высокотемпературной сверхпроводимости. - Свердловск: УРО АН СССР, 1987. - С. 159-160.

А24. Снарский A.A. О критическом поведении модулей упругости макроскопически неоднородных сред вблизи порога протекания. // УФЖ.

- 1988. - 33, - N7 - С. 1063-1065.

А25. Снарский A.A. О термогальваномагнитных явлениях в макроскопически неоднородных композитах вблизи порога протекания // УФЖ;

- 1988. - 33, - N5, - С. 740-744.

А26. снарский A.A. О проводимости макроскопически неоднородных полупроводниковых пленок вблизи порога протекания в наклонном магнитном поле // ФТП. - 1888. - 22. - в.11 - С. 2073-2077.

А27. Лукьянец С.П., Снарский A.A. Модель макроскопически неоднородных смесей проводник-диэлектрик вблизи порога протекания // ЖЭТ*. - 1988.- 94, - в.7, - С. 301-306.

А28. Лукьянец С.П., Снарский A.A. 0 структуре среды вблизи порога протекания в двумерном случае // Письма ЖТ*. - 1988. - 14, -в.14. - С. 1311-1314.

А29. Морозовский А.Е., Снарский A.A. Критическое поведение 1/f ■ума в лерколяционных системах .// Письма ЖТ4>. - 1989. - 15, - в.2, - С. 51-54.

АЭО. Морозовский А.Е., Снарский A.A. Критическое поведение 1/f ■ума в перколяционных системах // ЖЭТ*. - 1989. - 95, - в.5 - С. 1844 - 1849.

А31. Морозовский А.Е., Снарский A.A. О гистерезисе в сверхпроводящих композитах // Металофизика. - 1988. - 10, - ИЗ,- С. 110-112.

A3Z. Морозовский А.Е.. Снарский A.A. О гальваномагнитных явлениях в макроскопически неоднородных средах вблизи порога протекания в наклонном магнитном поле // ФТП. - 1989. - 23, - в.7 - С. 92-97.

Личный вклад, внесенный соискателем. Работы [Al - А5, А12, А18, А19, А24 - A2S] выполнены самостоятельно;'в работах [А8, А23, А31] соискателем получено решение сформулированных теоретических задач; в работах [А7, All, А13, А16. А22, А27 - АЗО, А32] постановка,методика и решение; в работах [А9,А10,А21]- теоретическая часть, аналитическое решение и анализ; в работах [А14, А15, А20] - постановка, методика решения и анализ; работы [А6, А17] принадлежат соавторам в равной мере.