Многодиапазонные и широкополосные свойства фрактальных антенн и частотно-избирательных структур на их основе тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рук9писи

□03487В5Э

МАТВЕЕВ Евгений Николаевич

МНОГОДИАПАЗОННЫЕ И ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СВОЙСТВА ФРАКТАЛЬНЫХ АНТЕНН И ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ СТРУКТУР НА ИХ ОСНОВЕ

Специальность 01.04.03 - «Радиофизика»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 0 ДЕК 2009

Москва, 2009

003487659

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте Радиотехники и Электроники им. В.А, Котельникова РАН, г. Москва.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Потапов Александр Алексеевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация: МГТУ им. Н.Э. Баумана

Защита состоится « 23 » декабря 2009 г. в 18 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 212.156.06 при Московском Физико-Техническом Институте (Государственном Университете) по адресу: 117393, г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, корп. В-2

Отзывы можно направлять по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, МФТИ, Диссертационный совет Д212.156.06. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ).

доктор физико-математических наук, профессор Нефедов Евгений Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Пермяков Валерий Александрович

Автореферат разослан « ¿У » ноября 2009 г. Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.156.06

г.

кандидат технических наук, доцент

[.П. Чубинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одной из основных задач современной радиоэлектроники является синтез широкополосных радиосистем и широкополосных радиосигналов с последующей их обработкой.

Расширение полосы частот обусловлено современными тенденциями в развитии радиолокации, телекоммуникаций, радиотехники с целью повышения скорости передачи информации, повышения уровня помехозащищенности и емкости радиосистем, а также защищенности передаваемой информации.

Применение новых методы в радиофизике на основе математического аппарата дробных операторов, а так же понятия фрактал, введенное Б. Мандельбротом [Mandelbrot, 1975], позволило расширить класс широкополосных радиосистем за счет скейлинговых эффектов таких фрактальных структур. Радиофизические направления, связанные с применением теории дробной размерности, эффектов скейлинга открывают новые пути совершенствования действующих радиосистем и обеспечивают переход к принципиально новым фрактальным радиосистемам.

Неотъемлемым устройством любой радиосистемы являются антенные устройства. Фрактальные антенны обладают чрезвычайно интересными свойствами в области широкополосности и многодиапазонности. Первые упоминания о фрактальной антенне и фрактальной решетке появились в работе

3

Й Ким, Д.Л. Джаггард [Jaggard] «Фрактальные случайные решетки» / ТИИЭР. 1986, Т.74, № % с.124-126.

Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблемам мониторинга сред на различных пространственно - временных масштабах. В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие ДН антенны, в основе теории синтеза фрактальных антенн заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Это дает возможность создавать новые режимы во фрактальной электродинамике (термин введен D.L. Jaggard, США, 1990). С этого времени поток публикаций по анализу и синтезу многообразных фрактальных антенн начал расти лавинообразно. К примеру, в известном журнале IEEE Trans. «Antennas and Propagation» каждый год публикуется не менее 5-8 статей по фрактальным антеннам, особенно в последнее десятилетие. В России широкое применение в радиофизике, радиотехнике и электронике фрактальный подход получил в ИРЭ им. В.А.Котельникова РАН, начиная с 1979 г. [д.ф.-м.н., профессор A.A. Потапов].

Анализ литературных источников показывает, что тема диссертации является актуальной; а исследования в данном направлении проводятся по большей части исключительно

иностранными авторами. Следует заметить, что в 1992 году A.A.

4

Потапов совместно с ЦКБ "Алмаз" проводил разработку таких необычных (для того времени) фрактальных антенных структур (конкретно был изготовлен действующий макет фрактальной щелевой решетки в диапазоне ММВ). На данный момент в лаб. №343 ИРЭ РАН ведутся интенсивные исследования по всем возможным применениям теории фракталов, дробных операторов и скейлинговых эффектов в радиофизических задачах.

Основной задачей, в частности, является анализ и синтез таких «фрактальных радиосистем» [А.А. Потапов, 2002] и фрактальных элементов, получивших название «фрактальные импедансы». В широком понятии к «фрактальным импедансам» следует относить и фрактальные антенны, которые при их микроминиатюрном исполнении могут служить весьма эффективными частотно-избирательными поверхностями и средами. В частности, применение элементарных фрактальных рассеивателей, позволяет создавать новые типы киральных сред и магнонных кристаллов.

Таким образом, работа относится к одному из перспективных направлений современной радиофизики - исследование электродинамических свойств фрактальных (с дробной размерностью Хаусдорфа) пространственно-распределенных и частотно-избирательных структур.

Анализ литературных источников также показал, что тема

данной диссертации является актуальной и перспективной для

практического применения. Исследования в данном направлении

проводятся многочисленными исследователями за рубежом, но в

5

России представлено немногочисленными работами (в основном, работами сотрудников ИРЭ им В.А. Котельникова РАН).

Фрактальные антенны

Первые упоминания о применения фрактальных множеств в создании антенных решеток появились в работе Й Ким, Д.Л. Джаггард [Jaggard] «Фрактальные случайные решетки» / ТИИЭР. 1986, Т.74, № 9, С.124-126. Использование фрактальной геометрии в конструировании антенн позволяет эффективно реализовывать широкополосные и многодиапазонные свойства за счет самоподобия и миниатюрности структуры. Многообразие видов регулярных фрактальных множеств открывает дополнительные конструктивные и электродинамические возможности в проектировании антенн: см., например, кривая Минковского [Cohen, 1995; Best, 2003], салфетка CepmiHCKoro:[Puente et al. 1996, Song et al. 2003; Anguera at al., 2004], кривая и снежинка Коха [Puente at al., 1998, Cohen. 1999; Best, 2003; Borja & Romeu, 2003], кривая Гильберта [Anguéra et al., 2003; Zhu et al., 2003], кривая IIeaHo[Zhu et al., 2004], дерево Кейли [Потапов и др. 2006].

Цель работы

Целью данной научной работы является:

• исследование применимости классических фрактальных множеств и кривых для синтеза фрактальных антенн;

• разработка геометрии выбранных фрактальных множеств для конструирования антенн и построение её компьютерной модели в Системах автоматизированного проектирования (САПР): ЕБЕМ ЗЭ, №88.

• исследование электродинамических свойств сконструированных моделей фрактальных антенн путем их численного моделирования;

• анализ выявленных особенностей и зависимостей свойств антенн от параметров фрактальности выбранных фрактальных кривых и множеств.

Исходя из поставленных целей, в процессе исследовательской работы на основе соответствующих кривых были смоделированы следующие фрактальные антенны:

• монополь «Серпинского» (Салфетка Серпинского) -классический случай;

• диполь «Серпинского» (Салфетка Серпинского);

• диполь «Дерево Кейли» (множество Кейли);

• кольцевой монополь.

Также исследованы радиофизические свойства этих фрактальных структур при взаимном повороте и различном числе базовых фрактальных элементов.

Научная новизна

Научная новизна данной работы заключается в применении новых видов фрактальных структур для создания новых типов антенн: дерево Кейли, кольцевой монополь и др.

Показана возможность практической реализации таких антенн в радиодиапазоне.

Выявленные электродинамические свойства (диаграмма направленности, КСВ, импеданс) исследованных фрактальных антенн позволили сделать выводы о широкополосности и многодиапазонности фрактальных антенн, а также зависимости числа резонансов от порядка итераций фрактальной кривой.

Практическая ценность

Впервые предложены новые фрактальные множества для моделирования и конструирования многодиапазонных и/или широкополосных антенн. Разработана и построена компьютерная модель для численного электродинамического анализа фрактальных антенн структур для диапазона частот 0,1 - 20 ГГц, что существенно упрощает процесс изготовления макета такой антенны.

Благодаря высокой плотности элементов антенн и их миниатюрности, а так же широкополосным и многодиапазонным свойствам, перспективно использование таких фрактальных антенн в средствах радиолокации и радионавигации, а также ИРГО-метках (радиочастотных идентификационных метках).

Результаты численного моделирования могут служить для более глубокого дальнейшего детального теоретического и экспериментального изучения таких структур, так как теория фрактальных антенн на данный момент в мире практически не развита.

Личный вклад

Личный вклад автора заключается:

• выборе анализируемых фрактальных множеств («дерево Кейли», кольцевой монополь);

• создании математических моделей фрактальных структур;

• разработке текста программ для параметризации фрактальной геометрии исследуемых частотно-избирательных структур;

• проведении серии численных экспериментов на основе созданных моделей в САПР А^Бой НЕББ, ЕБЕМ 30,

• а так же в обработке полученных результатов. Интерпретация полученных научных результатов

осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

Положения, выносимые на защиту 1. Методы генерации фрактальных структур и их компьютерные модели: салфетка Серпинского, дерево Кейли, кольцевые структуры.

2. Результаты численного моделирования антенн с фрактальной геометрией (дерево Кейли, салфетка Серпинского, кольцевые структуры) в диапазоне частот 0,1-20 ГГц.

3. Зависимость числа резонансов фрактальной структуры от числа итераций, элементарной фрактальной структуры.

4. Результаты исследования характеристик фрактальных частотно-избирательных структур на основе дерева Кейли.

Апробация работы

Основные результаты проведенных исследований данной диссертации были представлены расширенными тезисами на следующих международных конференциях: XII Международная конференция по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (Фирсановка, МЭИ (ТУ), 2003); XIV и XV Международная студенческая школа-семинар (Судак, МИЕМ, 2006 и 2007); XI Международный молодежный форум (Харьков, ХНУРЕ, 2007); Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP-2007 (Edinburgh, UK, The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007); XIV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, НПФ "Саквоее", 2008); 2nd Internationl Conference "CHAOS-2009" on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, National and Kapodistrian University, 2009); "Progress in Electromagnetics Research

Symp. (PIERS 2009)'' (Moscow, MIREA, 2009); International Radar Symposium 2009 (IRS-2009) (Hamburg, Germany, TUHH, 2009); а также следующих всероссийских конференциях: XLVI и XLVIII научная конференция МФТИ, (Долгопрудный, МФТИ(ГУ), 2003 и 2005); IX Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, МГУ, 2004); конкурс молодых ученых им. И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А. Котельникова, 2006);VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем "ДНДС-2009" (Чебоксары, ЧГУ, 2009).

Публикации.

Основные результаты работы отражены в 3 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, и 16 тезисах Международных и Всероссийских конференций. Общее количество работы - 19. Список работы приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 102 страницы, в том числе 50 рисунков, 14 таблиц, библиографический список цитированных источников из 61 наименований, в том числе 19 публикаций автора по теме диссертации.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы данной диссертации и определены её цели, поставлены задачи. Раскрывается научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы. Представлена структура диссертации и положения, выносимые на защиту. Приведены публикации автора. Кратко разобраны основные способы численного моделирования электромагнитных свойств трехмерных структур при помощи САПР EDEM 3D, Antsoft HFSS v.10.

Первая глава является введением в теорию фрактальных множеств. В ней представлен математический аппарат теории фракталов, введено понятие дробной размерности Хаусдорфа £>( 1), описано свойство самоподобия (скейлинг) фрактальных кривых.

D = - Log (N(s) ) / Log (s) (1)

Рассмотрены примеры фрактальных кривых на основе салфетки Серпинского и дерева Кейли, а так же алгоритмы построения кольцевых фрактальных структур. Дан обзор фрактальных антенн на основе публикаций зарубежных авторов.

Во второй главе проведено изучение монополя и диполь Серпинского Зго порядка. Фрактальная размерность салфетки Серпинского £Hog(3)/log(2)~l,58. Длина стороны треугольника, на котором построен фрактал, равна 100 мм, высота 86 мм. На основе внутреннего языка программирования трехмерных структур САПР EDEM 3D, поострена компьютерная модель монополя, с

использованием симметрии антенны, относительно плоскости (Рис. 1 - расчетная сетка).

Расчеты электродинамических свойств, проведенные для значения частот в диапазоне 0,1-6 ГГц, для дипольной антенны 3-го порядка итерации фрактала с геометрией стороны треугольника, равное 109 мм, показало так же наличие ряда резонансов.

Распределение тока по поверхности антенны показывает, что с повышением рабочей частоты начинают участь более мелкие части антенны. Дальнейшее повышение частоты приводит к тому, что часть антенны становиться как бы отключенной.

Таблица 1. Входной импеданс диполя Серпинского

Г, ГГц Яе Ъ, Ом 1т Ъ, Ом /Л/пА

0.8 1,03 0,28 -

3,1 4,58 0,11 3,88

5,6 9,64 2,71 1,81

Рис. 1. Расчетная сетка монополя Серпинского 5 го порядка

а) б)

Рис. 2. Распределение тока на поверхности диполя

Серпинского 3 итеррации фрактала: а) 0,8 ГГц, б) 5,6 ГГц

В третьей главе

Ытт тт тт ГТ1 ХТТ хт!

3-й 1/1

н

1-й /

н

2-й

//2

3-й

1/2

3-й

1/2

Т1Т р^

0-й порядок_

ЫЬп

тгИЬсп цмдыи

1/2

3-й

1/2

3-й 1/2

3-й

1/2

1/2

н

1-й I

тт

хтх

1/2

2-й 13-й

¡/2

р^ рт р^ р^

приведены результаты исследования дипольной антенны с фрактальной геометрией дерева Келйи.

Дерево Кейли

представляет собой ряд отрезков проводника

разной длины,

соединенных как показано на Рис. 3. Фрактальная

Рис. 3. Дерево Кейли, 6 порядок итерации фрактала размерность 6-й итерации фрактала равна £>=1^(2) / Log(2)=

Размер 0-го элемента / = 36.7 мм, площадь антенны 75 х 75 см . В Таблица 2 представлены значения входного импеданса на резонансных частотах дерева Кейли 6-го порядка.

Таблица 2.

Входной импеданс диполя Кейли

В четвертой главе

представлены результаты моделирование кольцевых структур (Рис. 4), запитанных с нижней части. Фрактальная £»=Ьо§(7)/Ьоё(3)=1,77.

/ГГц Яе 2, Ом 1т 2, Ом МпЛ

0.6 8,24 -3,68 -

3,23 33,07 -37,45 5,4

9,34 30,01 -7,61 2,9

19,01 9,55 -5,44 2,04

размерность структуры

Таблица 3.

Полоса пропускания кольцевой

Частота, ГГц 2 А/7/ % МпЛ

3,90 100 -

7,5 66 1,92

11,1 72 1,48

Рис. 4. Кольцевой монополь

Радиус первоначального кольца равен 11 мм, кольцо каждой следующей итерации имеет втрое меньший радиус. Моделирование и анализ показали наличие диапазонных свойств антенны (Таблица 3.). С повышением

порядка фрактальности характеристики антенна приобретает более широкий рабочий диапазон

Пятая глава содержит результаты моделирования фрактальной частотно-избирательной поверхности. Также проведено сравнение её частотных характеристик с частотными характеристиками обычной (классической) структуры.

В заключении сформированы результаты диссертационной работы. Следует заметить, что работа фрактальных антенн достигается через геометрию проводников, а не через накопление отдельных компонентов или элементов (как в классических антеннах), что в последнем случае, увеличивает сложность и потенциальные точки отказа.

Основные результаты диссертационной работы

1. Предложены новые фрактальные множества для конструирования антенн: дерево Кейли, кольцевой монополь; в диапазоне частот 0,1 - 20 ГГц.

2. Разработан текст программы для компьютерного моделирования параметрической фрактальной частотно-избирательной структуры в САПР ЕОЕМ 30, .Аг^эой НРББ у.Ю.

3. Полученные характеристики позволили сделать выводы диапазонных свойствах антенн:

- Диполь Серпинского: ( D=:Log{Ъ) / 1^(2), размеры апертуры 19 х 11 см., рабочие частоты, ширина полосы

пропускания) имеет ряд резонансов кратных итерации фрактала.

- Дипольная антенна дерева Кейли не представляет интереса

/

с точки зрения использования её в технике, поскольку имеет небольшие полосы пропускания (25/!/~\% ), и малое число резонансов в диапазоне частот 0,1-20 ГГц.

4. Кольцевые монополи по сравнению с деревом Кейли обладают более широким диапазоном излучения (рабочий диапазон от 3 - 11 ГГц) и полосой пропускания(25/'!/-70%)

5. С увеличением значения фрактальной размерности от £> = 2 до £> = 3, логарифмически возрастает число резонансов данной структуры, расширяется полоса пропускания.

Фрактальные антенны являются не только перспективными с теоретической точки зрения, но и обладают большой практической пользой, обладая свойством самоподобия резонансов. Их применение не ограничиваются приемно-передающими функциями. Фрактальные структуры могут быть использованы так же как радиолокационные экраны, искажающие радиопортреты исследуемых объектов.

Основные публикации по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК.

1. Матвеев E.H. Исследования современных программных средств для расчета электродинамических параметров фрактальных антенн и других фрактальных структур // Нелинейный мир. 2007. Т. 5, № 5. С. 288 - 289.

2. Крупенин C.B., Колесов В.В., Потапов A.A., Матвеев E.H. Многодиапазонные широкополосные антенны на основе фрактальных структур различных типов // Радиотехника. 2009. №3. С. 70-83.

3. Матвеев Е.Н, Потапов A.A. Численное моделирование антенн с фрактальной геометрией // Нелинейный мир. 2009. Т.7, № 9. С. 689 - 693.

Публикации в материалах конференций.

1. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Матвеев E.H., Потапов A.A.

Математика и физика фракталов: теоремы, модели, некоторые результаты // Труды XLVI науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, МФТИ, 28 - 29 ноября 2003 г.).- М.Долгопрудный: МФТИ (ГУ). 2003. Часть V "Квантовая и физическая электроника". С. 103 - 104.

2. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Матвеев E.H., Потапов A.A. Фракталы в новых средах передачи информации // Труды XLVI науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, МФТИ, 28 - 29 ноября 2003 г.).- М.- Долгопрудный: МФТИ (ГУ). 2003. Часть V "Квантовая и физическая электроника". С. 105-107.

3. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Потапов A.A., Матвеев E.H. Фракталы в фотонных и магнонных кристаллах // Тр. ХП-й Междунар. конф. по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (Фирсановка МО, 19-21 декабря 2003 г.).-М.: Изд. МЭИ (ТУ). 2003. С. 7 - 42.

4. Потапов A.A., Матвеев E.H. Фрактальная аномальная диффузия и операторы дробного интегродифференцирования // Тр. IX Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород МО, 24 - 29 мая 2004 г.).- М.: Изд. МГУ, 2004. С. 23 - 24.

5. Потапов A.A., Матвеев E.H. Диффузионные уравнения дробных порядков для описания волновых процессов во фрактальных средах // Тр. IX Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород МО, 24 - 29 мая 2004 г.).- М.: Изд. МГУ, 2004. С. 25 - 26.

6. Потапов A.A., Матвеев E.H., Потапов В.А. Практическое применение фрактальных антенн в современных мобильных беспроводных устройствах связи // Труды XLVIII науч. конф. МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, МФТИ, 25 - 26 ноября 2005 г.).- М.- Долгопрудный: МФТИ (ГУ). 2005. Часть V "Физическая и квантовая электроника". С. 112-113.

7. Потапов A.A., Матвеев E.H., Потапов В.А. Современные классы фрактальных антенн и устройств на их основе: анализ и синтез // Тез. докл. XIV Междунар. студенческой школы - семинара "Новые информационные технологии" (Крым, Судак, 18-25 мая 2006 г.).- М.: МИЭМ, 2006. С. 29 -30.

8. Матвеев E.H., Потапов В.А., Потапов A.A. Расчет и моделирование некоторых фрактальных антенн в программных средах // Тез. докл. XI Междунар. молодежного форума "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 10 - 12 апреля 2007 г.).- Харьков: Изд. ХНУРЭ, 2007. Часть 1. С. 23 - 24.

9. Потапов A.A., Матвеев E.H., Потапов В.А. Строгий численный анализ характеристик фрактальной антенны "Древо Кейли" на вертикальной и горизонтальной поляризациях излучения // Тез. докл. XV Междунар. студенческой школы - семинара"Новые информационные

технологии" (Крым, Судак, 20 - 27 мая 2007 г.).- М.: МИЭМ, 2007. С. 143 - 144.

10. Potapov A.A., Matveev E.N., Potapov V.A., Laktyunkin A.V. Mathematical and Physics Modelling of Fractal Antennas and fractal frequency Selective Surfaces and Volumes for the Fractal Radio Systems // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (11 - 16 November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. ThPA.031. pdf. 6 pp.

11. Потапов A.A., Матвеев E.H. Фрактальные антенны: свойства, результаты расчетов, применение // Сб. докладов XIV Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 15 - 17 апреля 2008 г.).- Воронеж: НПФ "Саквоее", 2008. Т. III. С. 1964 - 1970.

12. Potapov A.A., Matveev E.N. Fractal Antennas: Features, Calculation Results, Application // Proc. XIV Int. Scientific -Research Conf. "Radiolocation, Navigation, Communication" (Russia, Voronezh, 15-17 April 2008, Voronezh, Russian-Voronezh: NPF "Sakvoee", 2008. P. 153 -158.

13. Матвеев E.H., Потапов A.A. Численное моделирование антенн с фрактальной геометрией // Материалы VIII-й Всероссийской НТК "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем "ДНДС-2009 (4 -

6 июня 2009 г.).- Чебоксары: Изд - во Чувашского гос. ун-та им. И.Н. Ульянова, 2009. С. 112 - 114.

14. Potapov A.A., Matveev E.N. Modeling and Computation of Fractal Antennas: Circle Monopole, the Life-Flower Antenna // Book of Abstracts 2nd Int. Conf. (CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (1-5 June 2009, Chania, Crete, Greece).- Chania: National and Kapodistrian University, 2009. P. 61. (http://www.chaos2009.net/programabstracts.html).

15. Matveev E.N., Potapov A.A. Computational Modeling of New Kinds of Fractal Antennas and Fractal Frequency-Selective Structures Based on them // Proc. PIERS 2009 in Moscow "Progress in Electromagnetics Research Symp" (18-21 August, 2009, Moscow, Russia).- Cambridge, MA: Electromagnetics Academy, 2009. P. 1933 - 1936. (http://piers.mit.edu/piersproceedings/piers2k9MoscowProc.php ?searchname=potapov).

16. Matveev E.N., Potapov A.A. Fractal Antennas for the New Class of Radio Systems: Keily Tree and Circular Monopole. //Proc. "International Radar Symposium" (IRS-2009) (8-12 September, 2009, Hamburg, Germany) - Hamburg: Technical University Hamburg-Harburg, 2009. P. 465. - 468.

Матвеев Евгений Николаевич

МНОГОДИАПАЗОННЫЕ И ШИРОКОПОЛОСНЫЕ СВОЙСТВА ФРАКТАЛЬНЫХ АНТЕНН И ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ СТРУКТУР НА ИХ ОСНОВЕ

Подписано в печать 16. -Н Формат 60 х 84. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 39 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет)

141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский

пер., 9

Введение

В. 1. Актуальность темы.

В.2. Фрактальные антенны.

В.З. Цель работы.

В.4. Научная новизна.

В.5. Практическая ценность.

В.6. Личный вклад.

В.7. Положения, выносимые на защиту.

В.8. Апробация работы.

В.9. Публикации.

В. 10. Структура и объем диссертации.

В. 11. Методы приближенных расчетов электрических полей.

1. Метод моментов.

2. Метод физической оптики.

2. Однородная теория дифракции.

3. Метод конечных разностей во временной области.

В.12. Среда моделирования САПР EDEM 3D.

В. 13. Среда моделирования САПР AntSoft HFSS.

Глава 1. Фрактальные множества.

1.1. Фрактальная размерность.

1.2. Геометрические фракталы.

1.2.1. Канторово множество.

1.2.2. Салфетка Серпинского.

1.2.3. Кривая Коха.

1.2.4. Дерево Кейли.

1.2.5. Кольцевые структуры.

1.3. Алгебраические фракталы.

1.3.1. Множество Мандельброта.

Глава. 2. Антенны на основе фрактальной салфетки Серпинского.

2.1. Монопольная антенна Серпинского.

2.2. Дипольная антенна Серпинского.

2.2.1. Частотная зависимость.

2.2.2. Распределение токов.

2.2.3. Распределение поля.

2.2.4. Полоса пропускания.

Глава. 3. Антенны на основе Дерева Кейли.

3.1. Дерево Кейли в ЭДЕМ.

3.1.1. Р асчетная сетка.

3.1.2. Частотная зависимость.

3.1.3. Распределение токов.

3.1.4. Диаграмма направленности.

3.1.5. Полоса пропускания.

3.2. Дерево Кейли в AntSoft HFSS v. 10.

3.2.1. Полоса пропускания.

Глава. 4. Кольцевые структуры.

4.1. Первая итерация, А1.

4.2. Вторая итерация кольцевого монополя, А2.

Глава. 5. Фрактальные частотно-избирательные поверхности.

5.1. Необходимость фрактальных частотно-избирательных структур.

5.2. Характеристики двухслойной структуры.

В.1. Актуальность темы

Одной из основных задач современной радиоэлектроники является синтез широкополосных радиосистем и широкополосных радиосигналов с последующей их обработкой.

Расширение полосы частот обусловлено современными тенденциями в развитии радиолокации, телекоммуникаций, радиотехники [1-42] с целью повышения скорости передачи информации, повышения уровня помехозащищенности и емкости радиосистем, а также защищенности передаваемой информации.

Применение новых методов в радиофизике на основе математического аппарата дробных операторов, а так же понятия фрактал [2], введенного Б. Мандельбротом [Mandelbrot, 1975], позволило расширить класс широкополосных радиосистем за счет скейлинговых эффектов таких фрактальных структур. Радиофизические направления, связанные с применением теории дробной размерности, эффектов сксйлинга открывают новые пути совершенствования действующих радиосистем и обеспечивают переход к принципиально новым фрактальным радиосистемам.

Неотъемлемым устройством любой радиосистемы являются антенные устройства. Фрактальные антенны обладают чрезвычайно интересными свойствами в области широкополосности и многодиапазонности. Первые упоминания о фрактальной антенне и фрактальной решетке появились в работе Й Ким, Д.Л. Джаггард [Jaggard] «Фрактальные случайные решетки» / ТИИЭР. 1986, Т.74, № 9, с. 124-126.

Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблемам мониторинга сред на различных пространственно -временных масштабах. В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие ДН антенны, в основе теории синтеза фрактальных 7 антенн заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Это дает возможность создавать новые режимы во фрактальной электродинамике (термин введен D.L. Jaggard, США, 1990). С этого времени поток публикаций по анализу и синтезу многообразных фрактальных антенн начал расти лавинообразно. К примеру, в известном журнале IEEE Trans. «Antennas and Propagation» каждый год публикуется не менее 5-8 статей по фрактальным антеннам, особенно в последнее десятилетие. В России широкое применение в радиофизике, радиотехнике и электронике фрактальный подход получил в ИРЭ им. В.А.Котельникова РАН, начиная с 1979 г. [д.ф.-м.н., профессор А.А. Потапов].

Анализ литературных источников показывает, что тема диссертации является актуальной; а исследования в данном направлении проводятся по большей части исключительно иностранными авторами. Следует заметить, что в 1992 году А.А. Потапов совместно с ЦКБ "Алмаз" проводил разработку таких необычных (для того времени) фрактальных антенных структур (конкретно был изготовлен действующий макет фрактальной щелевой решетки в диапазоне ММВ). На данный момент в лаб. №343 ИРЭ РАН ведутся интенсивные исследования по всем возможным применениям теории фракталов, дробных операторов и скейлинговых эффектов в радиофизических задачах.

Основной задачей, в частности, является анализ и синтез таких «фрактальных радиосистем» [А.А. Потапов, 2002] и фрактальных элементов, получивших название «фрактальные импедансы». В широком понятии к «фрактальным импедансам» следует относить и фрактальные антенны, которые при их микроминиатюрном исполнении могут служить весьма эффективными частотно-избирательными поверхностями и средами. В частности, применение элементарных фрактальных рассеивателей, позволяет создавать новые типы киральных сред и магнонных кристаллов.

Таким образом, работа относится к одному из перспективных направлений современной радиофизики - исследование электродинамических свойств фрактальных (с дробной размерностью Хаусдорфа) пространственно-распределенных и частотно-избирательных структур.

Анализ литературных источников также показал, что тема данной диссертации является актуальной и перспективной для практического применения. Исследования в данном направлении проводятся многочисленными исследователями за рубежом, но в России представлено немногочисленными работами (в основном, работами сотрудников ИРЭ им В.А. Котельникова РАН).

В.2. Фрактальные антенны

Первые упоминания о применения фрактальных множеств в создании антенных решеток появились в работе Й Ким, Д.Л. Джаггард [Jaggard] «Фрактальные случайные решетки» / ТИИЭР. 1986, Т.74, № 9, с. 124-126. Использование фрактальной геометрии в конструировании антенн позволяет эффективно реализовывать широкополосные и многодиапазонные свойства за счет самоподобия и миниатюрности структуры. Многообразие видов регулярных фрактальных множеств открывает дополнительные конструктивные и электродинамические возможности в проектировании антенн: см., например, кривая Минковского [Cohen, 1995; Best, 2003], салфетка Серпинского:[РиеШе et al. 1996, Song et al. 2003; Anguera at al., 2004], кривая и снежинка Коха [Puente at al., 1998, Cohen. 1999; Best, 2003; Borja & Romeu, 2003], кривая Гильберта [Anguera et al., 2003; Zhu et al., 2003], кривая neaHo[Zhu et al., 2004], дерево Кейли [ А.А. Потапов и др. 2006].

Вызывает интерес предположение ученых Коена (Cohen) и Хохлфелда (Hohlfeld), выдинутое в 1999 году [1]. Они предположили, что согласно принципу Рамсея (V.H. Rumsey) все антенны, геометрическая структура которых зависит только от угла, могут быть «частотно независимыми» или постоянными по своим характеристикам независимо от частоты. Как видно из Рис. 1. это предположение так же будет верно и для логопериодической антенны. Но для фрактальных антенн этого утверждения явно не достаточно.

Под него попадают уже не только логопериодические антенны, но и спиральные, а так же волнообразные, спиральные антенн Дайсона. Класс логопериодических антенн является лишь небольшой частью большого класса самоподобных, относительно точки, геометрических структур.

Рис. 1. Множество самоподобых структур. В.З. Цель работы

Целью данной научной работы является:

• исследование применимости классических фрактальных множеств и кривых для синтеза фрактальных антенн;

• разработка геометрии выбранных фрактальных множеств для конструирования антенн и построение её компьютерной модели в Системах автоматизированного проектирования (САПР): EDEM 3D,

• исследование электродинамических свойств сконструированных моделей фрактальных антенн путем их численного моделирования;

• анализ выявленных особенностей и зависимостей свойств антенн от параметров фрактальности выбранных фрактальных кривых и множеств.

HFSS.

Исходя из поставленных целей, в процессе исследовательской работы на основе соответствующих кривых были смоделированы следующие фрактальные антенны:

• монополь «Серпинского» (Салфетка Серпинского) - классический случай;

• диполь «Серпинского» (Салфетка Серпинского);

• диполь «Дерево Кейли» (множество Кейли);

• кольцевой монополь.

Также исследованы радиофизические свойства этих фрактальных структур при взаимном повороте и различном числе базовых фрактальных элементов.

В.4. Научная новизна

Научная новизна данной работы заключается в применении новых видов фрактальных структур для создания новых типов антенн: дерево Кейли, кольцевой монополь и др.

Показана возможность практической реализации таких антенн в радиодиапазоне.

Выявленные электродинамические свойства (диаграмма направленности, КСВ, импеданс) исследованных фрактальных антенн позволили сделать выводы о широкополосности и многодиапазонности фрактальных антенн, а также зависимости числа резонансов от порядка итераций фрактальной кривой.

В.5. Практическая ценность

Впервые предложены новые фрактальные множества для моделирования и конструирования многодиапазонных и/или широкополосных антенн. Разработана и построена компьютерная модель для численного электродинамического анализа фрактальных антенн структур для диапазона частот 0,1 - 20 ГГц, что существенно упрощает процесс изготовления макета такой антенны.

Благодаря высокой плотности элементов антенн и их миниатюрности, а так же широкополосным и многодиапазонным свойствам, перспективно использование таких фрактальных антенн в средствах радиолокации и радионавигации, а также RFID-метках (радиочастотных идентификационных метках).

Результаты численного моделирования могут служить для более глубокого дальнейшего детального теоретического и экспериментального изучения таких структур, так как теория фрактальных антенн на данный момент в мире практически не развита.

В.6. Личный вклад

Личный вклад автора заключается:

• выборе анализируемых фрактальных множеств («дерево Кейли», кольцевой монополь);

• создании математических моделей фрактальных структур;

• разработке текста программ для параметризации фрактальной геометрии исследуемых частотно-избирательных структур;

• проведении серии численных экспериментов на основе созданных моделей в САПР AntSoft HFSS, EDEM 3D,

• а так же в обработке полученных результатов.

Интерпретация полученных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

В.7. Положения, выносимые на защиту

1. Методы генерации фрактальных структур и их компьютерные модели: салфетка Серпинского, дерево Кейли, кольцевые структуры.

2. Результаты численного моделирования антенн с фрактальной геометрией (дерево Кейли, салфетка Серпинского, кольцевые структуры) в диапазоне частот 0,1 -20 ГГц.

3. Зависимость числа резонансов фрактальной структуры от числа итераций, элементарной фрактальной структуры.

4. Результаты исследования характеристик фрактальных частотно-избирательных структур на основе дерева Кейли.

В.8. Апробация работы

Основные результаты проведенных исследований данной диссертации были представлены расширенными тезисами на следующих международных конференциях: XII Международная конференция по спиновой электронике и гировекторной электродинамике (Фирсановка, МЭИ (ТУ), 2003); XIV и XV Международная студенческая школа-семинар (Судак, МИЕМ, 2006 и 2007); XI Международный молодежный форум (Харьков, ХНУРЕ, 2007); Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP-2007 (Edinburgh, UK, The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007); XIV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, НПФ "Саквоее", 2008); 2nd Internationl Conference "CHAOS-2009" on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, National and Kapodistrian University, 2009); "Progress in Electromagnetics Research Symp. (PIERS 2009)" (Moscow, MIREA, 2009); International Radar Symposium 2009 (IRS-2009) (Hamburg, Germany, TUHH, 2009); а также на следующих всероссийских конференциях: XLVI и XLVIII научная конференция МФТИ, (Долгопрудный, МФТЩГУ), 2003 и 2005); IX Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, МГУ, 2004); конкурс молодых ученых им. И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А. Котельникова, 2006);VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем "ДНДС-2009" (Чебоксары, ЧГУ, 2009).

В.9. Публикации

Основные результаты работы отражены в 3 статьях, опубликованных в журналах, рекомендованных ВАК, и 16 тезисах Международных и Всероссийских конференций. Общее количество работ - 19. Список работы приведен в конце диссертации под индексами А1 - А19.

В.10. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Полный объем диссертации составляет 102 страницы, в том числе 50 рисунков, 14 таблиц, библиографический список цитированных источников из 61 наименований, в том числе 19 публикаций автора по теме диссертации.

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать в следующих выводах:

1. Предложены новые фрактальные множества для конструирования антенн: дерево Кейли, кольцевой монополь; в диапазоне частот 0,1 — 20 ГГц.

2. Разработан текст программы для компьютерного моделирования параметрической фрактальной частотно-избирательной структуры в САПР EDEM 3D, .Antsoft HFSS v. 10.

3. Полученные характеристики позволили сделать выводы о диапазонных свойствах антенн:

- Диполь Серпинского: ( Z)=Log(3) / Log(2), размеры апертуры 19x11 см., рабочие частоты, ширина полосы пропускания) имеет ряд резонансов кратных итерации фрактала.

- Дипольная антенна дерева Кейли является более узкополосной, чем антенна на основе салфетки Серпинского, поскольку имеет небольшие полосы пропускания (25/ If ~ 1% ), диапазоне частот 0,1-20 ГГц. Тем не менее, такая фрактальная антенна достаточно привлекательна для конструирования частотно-избирательных поверхностей и задач радиолокации.

4. Кольцевые монополи по сравнению с деревом Кейли обладают более широким диапазоном излучения (рабочий диапазон от 3 - 11 ГГц) и полосой пропускания(25/If ~70%)

5. С увеличением значения фрактальной размерности от D = 2 до D = 3, логарифмически возрастает число резонансов данной структуры, расширяется полоса пропускания.

Фрактальные антенны являются не только перспективными с теоретической точки зрения, но и обладают большой практической пользой, благодаря свойствам самоподобия резонансов. Их применение не ограничивается приемно-передающими функциями. Фрактальные структуры могут быть использованы так же как радиолокационные экраны, искажающие радиопортреты исследуемых объектов.

Кроме того, анализ публикаций о фрактальных антеннах позволяет сделать вывод о целесообразности исследований фрактальных структур в качестве частотно-избирательных поверхностей. В частности, имеющиеся результаты моделирования антенны дерева Кейли, не ограничивают возможность использования этой структуры в качестве частотно-избирательной поверхности.

Фрактальные частотно-избирательные поверхности и объемы (особенно в микроминиатюрном исполнении) перспективны для синтеза радиопоглощающих покрытий и материалов, а так же для создания новых искусственных композитов и метаматериалов с использованием понятия «фрактальных лабиринтов» с элементами теории перколяции. При этом одним из наиболее перспективных на сегодняшний день является эволюционное проектирование на основе генетических алгоритмов в задаче синтеза фрактальных частотно-избирательных поверхностей [22].

Заманчивым так же, представляется рассмотрение и применение таких фрактальных объектов в нанотехнологиях.

Заключение

1. Cohen.N.L. Fractals' new era in military antenna design. 1995. www.rfdesign.com

2. Фердер E. Фракталы. M.: Мир , 1991. -248 с.

3. Гуревич В., Волман Г. Теория размерности: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1948. -232 е.; 2-е изд., испр. ИЛ- М.:Едиториал УРСС, 2004. - 304 с.

4. Renyi, A. On the dimension and entropy of probability distributions. // Acta Mathematica Hungarica, 1959. 10(1 -2).

5. Hausdorff F. Dimension und Ausseres Mass // Math. Annal. 1919. B. 79. S. 157-179.

6. Bcsicovitch A.S. On the Sum of Digits of Real Numbers Represented in the Dyadic System (On Set of Fractional Dimension II) // Math. Annal .1934. B.110, № 3. S. 321 -330.

7. Mandelbrot. B. 1982. The Fractal Geometry of Nature, New York: W.H. Freeman and Company.

8. Mandelbrot B.B. Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension. Paris: Flammarion, 1975. - 187 p.

9. Madelbrot B.B. Fractals: Forme Chance and Dimension. San-Francisco: Freeman, 1977. - 365 p.

10. Мандельброт Б.Б. Фракталы и возрождение теории итераций // Рихтер П.Х. Пайтген X. О. Красота фракталов. -М.: Мир, 1993. - С. 131 - 140.

11. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации.- М.: Логос, 2002

12. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Потапов А.А., Давыдов А.Г. О проектировании фрактальных радиосистем. Численный анализ электродинамических свойств фрактальной антенны Серпинского.-Радиотехника и электроника, 2005, т. 50, № 9.

13. Потапов А.А. Новые информационные технологии на основе вероятностных текстурных и фрактальных признаков врадиолокационном обнаружении малоконтрастных целей // Радиотехника и электроника, 2003. Т. 48, № 9. С. 1101 1119.

14. Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы. Доклады АН СССР, 1984, т.276, в.1, с.96-100.

15. Davydov A.G., Zakharov E.V., Pimenov Yu.V. Numerical Analysis of Fields in the Case of Electromagnetic Excitation of Unclosed Surfaces. Journal of Communications Technology and Electronics, Vol.45, Suppl.2,2000, pp.S247-S259.

16. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnetic Scattering by Surfaces of Arbitrary Shape. IEEE Trans. AP, 1982, vol. AP-30, No 3, p.p.409-418.

17. Cohen. N.L., "Fractal Antennas Part 1", Communications Quarterly, Summer, pp. 5-23 (1995).

18. Jordi R., Yahya R.-S., "A Novel Dual-Band Frequency Selective Surface", IEEE TRANSACTIONS ON ANTENNAS AND PROPAGATION, VOL. 48, NO. 7,pp. 1097-1105 (2000).

19. Братчиков A.H. EBG-материалы (электронные кристалы) в антенной технике. -М. Радиотехника, 2009, 74 с.

20. Madelbrot В.В. Fractals // Encyclopedia of Physical Science and Technology -N.Y.: Academic Press, 1987, V.5. P. 579-593.

21. Potapov A.A., German V.A. Fractals, Fractal Target Selection and Fractal Antennas.- Proc.Ist Int. Workshop on Mathematical Modeling of Physical Processes in Inhomogeneous Media (Mexico, Guanajuato, 20-22 March, 2001).- Guanajuato: 2001, pp. 44 46.

22. Гуляев Ю.В., Никитов С.Л., Потапов A.A., Давыдов А.Г. О проектировании фрактальных радиосистем. Численный анализ электродинамических свойств фрактальной антенны Серпинского.-Радиотехника и электроника, 2005, т. 50, № 9.

23. Колесов В.В., Крупенин С.В., Потапов А.А. Численное моделирование сверхширокополосных фрактальных антенн. Нелинейный мир, 2006, т,4, №4-5.

24. Ашихмин А.В. Проектирование и оптимизация сверхширокополосных антенных устройств и систем для аппаратуры радиоконтроля. -М.:Радио и Связь, 2005.-486 с.

25. Воскресенский Д.И., Гостюхин B.JI., Максимов В.М., Пономарев Л.И., Устройства СВЧ и антенны. -М.: Радиотехника, 2006,- 375 с.

26. Нефедов Е.И., Панченко Б.А. Микрополосковые антенны. -М.: Радио и связь, 1986. 144 с.

27. Нефедов Е.И. Устройства СВЧ и антенны. М.: Академия, 2009 - 384 с.

28. Мандельброт Б.Б. Самоафинные фрактальные множества // Фракталы в физике / Пер. с англ.; Под ред. Я.Г. Синая и И.М. Халатникова, -М.:Мир, 1988. С9-47.

29. Mandelbrot В.В. Fractals in Physics: Scuig Clusters, Diffusions, Fractal Measures, and the Unicity of Fractal Dimensionality // J. Stat. Phys. 1984, V.34, № 5/6, P. 895 -930.

30. Нигматуллин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теор. и мат. физика. 1992. Т. 90, № 3. С. 354 368.

31. Ким.Й., Джаггард Д.Л. Фрагментарно-самоподобные (фрактальные) случайные решетки // ТИИЭР. 1986. Т.74, № 9. С. 124-126,

32. Werner D.H. Werner P.L. Frequency-Independent Features of Self-Similar Fractal Antennas//Radio Sci. 1996. V. 31, № 6.P. 1331 -1343.

33. Jaggard A.D. Jaggard D.L. Cantor Ring Arrays // Proc. IEEE Antennas and propagation Society Int.Symp. Atlanta: 1998. V.2. P. 862-865.

34. Puente C., Romeu J., Pous R. et al. Fractal Multiband Antenna Based on the Sierpinski Gasket// Electron Lett. 1996. V. 32. № 1. P.l-2.

35. Puente C., Claret J., Sagas F. et al. Multiband Properties of a Fractal Tree Antenna Generated by Electrochemical Deposition // Electron. Lett. 1996. V.32, № 25. P. 2298-2299.

36. Brown G.H., Woodward O.M., Experimentally Determined Radiation Characteristics of Conical and Trangular Antennas //RCA Rev. 1952. P 425452.

37. Song C.T.O., Hall P.S., Ghafouri-Shiraza H. Wake D. Sierpinski monopole Antenna with controlled Band Spacing and Input Impedance // Inst. Elect. Eng. Electron. Lett. 1999. V.35, № 13. P. 1036 1037

38. Гуляев Ю.В., Никитов C.A. Фотонные и магнитофотонные кристаллы -новая среда для передачи информации // Радиотехника. 2003. № 8. С. 2630.1. Список авторских работ

39. Основные результаты диссертации опубликованы в:

40. А1. Матвеев Е.Н. Исследования современных программных средств для расчета электродинамических параметров фрактальных антенн и других фрактальных структур // Нелинейный мир. 2007. Т. 5, № 5. С. 288 289.

41. А2. Крупенин С.В., Колесов В.В., Потапов А.А., Матвеев Е.Н. Многодиапазонные широкополосные антенны на основе фрактальных структур различных типов // Радиотехника. 2009. № 3. С. 70 83.

42. A3. Матвеев Е.Н, Потапов А.А. Численное моделирование антенн с фрактальной геометрией // Нелинейный мир. 2009. Т.7. № 9. С. 689 693.

43. Основные тезисы по теме диссертации были представлены в:

44. A14. Потапов А.А., Матвеев E.H. Фрактальные антенны: свойства, результаты расчетов, применение // Сб. докладов XIV Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 15-17 апреля 2008 г.).-Воронеж: НПФ "Саквоее", 2008. Т. III. С. 1964 1970.

45. А\1. Potapov А.А., Matveev E.N. Modeling and Computation of Fractal Antennas: Circle Monopole, the Life-Flower Antenna // Book of Abstracts 2nd Int. Conf.

46. CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (1-5 June 2009, Chania, Crete, Greece).- Chania: National and Kapodistrian University, 2009. P. 61. (http ://www. chaos2009.net/programabstracts.htmQ.