Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

КРУПЕНИН Сергей Владимирович

ФРАКТАЛЬНЫЕ ИЗЛУЧАЮЩИЕ СТРУКТУРЫ И АНАЛОГОВАЯ МОДЕЛЬ ФРАКТАЛЬНОГО ИМПЕДАНСА

01.04.03 — Радиофизика 01.04.04 — Физическая электроника

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009

003471393

Работа выполнена в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

Научные руководители: академик

Гуляев Юрий Васильевич

кандидат физ.-мат. наук Колесов Владимир Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Пирогов Юрий Андреевич

кандидат физ.-мат. наук Калинин Валерий Иванович

Ведущая организация: МГТУ им. Н.Э. Баумана

Защита состоится « 18 » июня 2009 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета Д 501.001.67 при МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП—1, Москва, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр. 2, физический факультет, физическая аудитория имени Р.В. Хохлова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан « 18 » мая 2009 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.001.67, кандидат физ.-мат. наук, доцент

А.Ф. Королев

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ 1.1 Актуальность проблемы

Внедрение широкополосных технологий — одно из целевых направлений современной радиоэлектроники, объединяющее следующие задачи: создание широкополосных устройств и элементов радиотракта, переход к широкополосным радиосигналам, разработка эффективных методов обработки этих сигналов. Потребность в расширении полосы частот обусловлена современными тенденциями в развитии радиотехники: повышение уровня помехозащищенности и конфиденциальности передаваемой информации, увеличение информационной емкости радиосистем, повышение скорости передачи информации.

Фрактальная парадигма, введенная Б. Мандельбротом [Mandelbrot, 1975], существенно изменила представление о многих явлениях природы и открыла новые возможности для исследований в фундаментальных и прикладных областях науки. В частности, фрактальные средства и методы оказались чрезвычайно эффективными при разработке широкополосных радиосистем нового поколения.

Исследование излучения, распространения и рассеяния электромагнитных волн во фрактальных средах привело к появлению «фрактальной электродинамики» [Jaggard, 1990; Werner, 1993] — области, объединяющей фрактальную геометрию и теорию электромагнетизма. Фрактальный подход в радиофизике и радиотехнике впервые получил широкое развитие в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, начиная с 1987 г. В рамках этого подхода была поставлена задача развития новых информационных технологий с использованием текстурных и фрактальных мер на основе принципов нелинейной динамики. Результаты проведенных исследовательских и конструкторских работ легли в основу нового научного направления — применения теории динамических систем и фрактальной топологии в задачах проектирования радиосистем различного назначения. Впоследствии в научный обиход был введен термин «фрактальные радиосистемы» [Потапов, 2002]. Многочисленные исследования в области обработки сигналов и изображений привели к разработке методов обобщенной фрактальной фильтрации, включающей модуляцию, кодирование, обнаружение, распознавание и повышение контрастности [Гуляев и др., 2008]. В настоящее время в ИРЭ ведутся работы по проектированию элементной базы фрактальных радиосистем, включающие проектирование фрактальных антенн, аппаратную реализацию фрактальных фильтров и элементов радиотракта. Перспективой нового научного направления является создание фрактальных радиосистем в целом.

Настоящая работа вписывается в вышеописанную концепцию и посвящена отдельным вопросам разработки элементной базы фрактальных радиосистем — проектированию фрактальных антенн и моделированию фрактальных импедансов (дробных интегродифференциальных преобразователей).

Фрактальные антенны

Первое упоминание о фракталах в теории антенн было связано со случайными антенными решетками [Kim It Jaggard, 1986]. Термин «фрактальная антенна» закрепился в радиотехнике с началом практического применения антенных систем фрактальной геометрии [Опаленов и др., 1992; Cohen, 1995]. Несколько позже были проведены первые экспериментальные и теоретические исследования различных фрактальных антенн [Puente et al., 1996].

Геометрические фракталы являются недифференцируемыми (или кусочно-дифференцируемыми) объектами и характеризуются самоподобием и эффективным заполнением пространства при масштабном многообразии структуры. Фрактальные антенны совмещают в единой конструкции свойства, несовместимые для антенн евклидовой геометрии — многодиапазонность, широкополосность, миниатюрность и высокую эффективность. До появления фрактальной теории было показано, что частотная независимость антенных характеристик основана на геометрическом самоподобии, из которого следует подобие электродинамическое — независимость электрического размера излучающей части антенны от частоты [Rumsey, 1966]. Простейшей гладкой самоподобной кривой является логарифмическая спираль, а логарифмическая спиральная антенна проявляет ярко выраженные частотно-независимые свойства. Однако недифференцируемость фрактальных объектов не позволяет достичь частотной независимости антенных характеристик, поэтому основным преимуществом фрактальных конструкций представляется эффективная реализация мно-годиапазонности для электрически малых антенн. Было показано, что эффективное заполнение пространства излучающей системой является определяющим фактором предельно возможного снижения добротности электрически малых антенн [Hansen, 1981; McLean, 1996], что напрямую связано с расширением рабочей полосы частот. Кроме того, многообразие форм фрактальной геометрии открывает дополнительные возможности в антенном проектировании. Прежде всего, это касается реконфигурации пространственно-частотных характеристик антенн [Puente et al., 1996; Romeu к Soler. 2001; Song et al., 2003; Vinoy et al., 2003; Petko & Werner, 2004].

Стремительное развитие беспроводных технологий и общая тенденция миниатюризации радиоэлектронных устройств определили актуальность технического применения антенн фрактальной геометрии. Перспективы военного применения фрактальных антенн составляют такие задачи, как радиоэлектронная борьба, радиотехническая разведка, тактическая радиосвязь. Среди реализованных гражданских применений — беспроводные сети (протоколы Bluetooth, Wi—Fi, WiMAX, ZigBee), мобильная связь (стандарты CDMA, GSM, DECT), мобильное телевидение (стандарты DVB-H и ISDB-H), системы спутникового позиционирования, радиочастотная идентификация.

Для проектирования фрактальных антенн используются как регулярные структуры — кривая Минковского [Cohen, 1995; Best, 2003], салфетка Серпинского [Puente

et al., 1996; Song et al., 2003; Anguera et a!., 2004], кривая и снежинка Коха [Puente eta!., 1998; Cohen, 1999; Best, 2003; Borja & Romeu, 2003], кривая Гильберта [Anguera et al„ 2003; Zhu et a/., 2003], кривая Пеано [Zhu et a/., 2004], дерево Кейли [Потапов и др., 2006], так и случайные нерегулярные фракталы — дендриты [Puente etal., 1996; Rmili et al., 2007] и фрактальные кластеры [Болотов и др., 1999]. Нерегулярные фрактальные структуры, в отличие от регулярных фракталов, не являются в точности самоподобными. Однако среди конечных (физических) фракталов нерегулярные структуры зачастую обнаруживают более эффективное заполнение пространства относительно регулярных. Исходя из этого, нерегулярные фрактальные структуры представляются перспективными объектами для проектирования многодиапазонных и широкополосных антенн. В настоящее время в области фундаментальных исследований нерегулярным фрактальным антеннам уделяется меньше внимания, нежели регулярным. Более того, технические применения нерегулярных фрактальных структур практически отсутствуют. Эти обстоятельства дополнительно мотивируют задачу разработки и исследования новых типов нерегулярных фрактальных антенн.

Дробные интегродифференциальные операторы

Фрактальная модель объединяет обширный класс явлений природы, которые не могут быть адекватно описаны в рамках общепринятого формализма аналитических функций. Фрактальные свойства обнаруживают такие явления, как турбулентность, фазовые переходы, процессы переноса, релаксационные и поляризационные процессы. В спектральной области фрактальные явления характеризуются обратными степенными законами, т. е. являются принципиально широкополосными, что приводит к существованию корреляций в большом временном диапазоне. При этом распределения случайных величин характеризуются степенной асимптотикой [Lévy, 1937; Гнеденко и Колмогоров, 1949]

Дх)осХ-1-^ х-оо, Д> 0, (1)

что принципиально отличается от экспоненциальной асимптотики статистики Гаусса. Многочисленные исследования показали, что степенная асимптотика распределений случайных величин и обратные степенные законы в спектрах связаны с фрактальными свойствами реальных физических систем. Самоподобные процессы в таких системах описываются фрактальными функциями, которые являются всюду непрерывными, но нигде недифференцируемыми [Weierstrass, 1875]. Из свойства недифференцируемости следует первоначальное определение (через предельные суммы) дробных интегродифференциальных операторов. Формализм интегродифференци-рования нецелого порядка берет начало со времен зарождения самого дифференциального исчисления. Значимый вклад в развитие дробного исчисления внесли многие

известные ученые. Одни из основополагающих работ в этой области принадлежат Лиувиллю [1_юиуШе, 1835] и Риману [(^етапп, 1847]. Помимо дробного оператора Римана-Лиувилля, определяемого как

современный математический аппарат насчитывает множество определений инте-гродифференциальных операторов нецелого, в общем случае комплексного порядка [Oldham к Spanier, 1974; Самко и др., 1987; Miller & Ross, 1993].

Фундаментальным результатом, подтвержденным теоретическими и экспериментальными исследованиями, является тот факт, что эволюция фрактальных систем описывается интегродифференциальными уравнениями нецелого порядка. Дробное интегродифференциальное исчисление позволяет учитывать эффекты пространственной и временной нелокальности (памяти) в контексте единого математического формализма. В настоящее время дробное исчисление применяется во многих областях физики [Oldham к Spanier, 1974; Нахушев, 2003; West et al., 2003; Sabatier et al, 2007], а также в химии, биологии и медицине [Freund & Pöschel, 2000].

В связи с вышеизложенным, научную и практическую ценность приобретает задача моделирования дробных интегродифференциальных операторов. К физическому смыслу и методам моделирования дробных операторов одним из первых обратился О. Хевисайд, который с помощью созданного им операционного исчисления показал, что простейшей электрической моделью полудифференциального оператора является однородная резистивно-емкостная линия передачи [Heaviside, 1899]. Первенство в аппаратной реализации устройств дробного интегродифференцирования принадлежит Казанской научной школе. Начиная с 1962 г., Р.Ш. Нигматуллиным и его учениками разрабатываются и применяются на практике полярографические, электрохимические и электрические методы моделирования дробных операторов [Нигматуллин и др., 1962; Нигматуллин и Белавин, 1964; Гильмутдинов и др., 1987].

В основе моделирования дробных операторов лежит понятие «элемент постоянной фазы», введенное Варбургом в рамках динамической модели системы 1//-типа [Warburg, 1899]. Фаза передаточной функции такой системы постоянна в некотором диапазоне частот. Из интегрального соотношения Боде, которое связывает фазу и модуль передаточной функции минимально-фазовой системы посредством преобразования Гильберта [Bode, 1945], следует, что постоянство фазы передаточной функции эквивалентно степенной частотной зависимости ее модуля. При этом показатель степени определяется значением постоянного фазового сдвига:

X

О

Уи J

aigH(s) = Xn/2 = const —> |#(\)|oes , s = io).

По определению передаточная функция равна отношению лапласовых образов выходного и входного сигналов. Переходя от образов к оригиналам и учитывая вид обратного преобразования Лапласа дробного оператора Римана-Лиувилля, получим, что элемент постоянной фазы осуществляет дробное интегродифференциальное преобразование входного сигнала порядка А.

У(.)=5ЯХ(5) m y{t) = ^x{t). (4)

Электрические методы моделирования дробных операторов основаны на рациональном приближении дробно-степенной передаточной функции (входного импеданса) в некотором диапазоне частот. Исходя из рационального приближения, осуществляется синтез эквивалентной электрической схемы, входной импеданс которой аппроксимирует дробно-степенной импеданс Варбурга. Аналоговые электрические модели дробных операторов для различных порядков интегродифференцирования |Aj < 1, включая комплексные, были исследованы теоретически и экспериментально. Аппаратные реализации элементов постоянной фазы представлены устройствами следующих функциональных групп: пассивные аналоговые схемы на основе RLC элементов с сосредоточенными параметрами [Morrison, 1959; Carlson & Halijak, 1962; Lerner, 1963; Steiglitz, 1964; Dutta Roy, 1967; Oldham & Spanier, 1974], пассивные аналоговые схемы на основе RC элементов с распределенными параметрами [Гиль-мутдинов и Ушаков, 2003; Вяселев и Глебов, 2005], активные аналоговые схемы на основе операционных усилителей [Oustaloup et al., 2000], цифровые схемы на аппаратной платформе FPGA [Jiang et al., 2007].

Хотя аналоговые модели являются частотно-ограниченными устройствами дробного интегродифференцирования, к их несомненным преимуществам следует отнести преобразование сигнала в реальном масштабе времени и относительную простоту аппаратной реализации. В прикладных задачах, связанных с обработкой сигналов и вычислениями в режиме реального времени, сравнительно дешевые аналоговые дробные преобразователи представляют хорошую альтернативу дорогим высокоскоростным цифровым сигнальным процессорам.

Основные применения дробных интегродифференциальных преобразователей составляют следующие задачи: реализация операций дробного интегродифференцирования в задачах обработки сигналов и изображений [Гильмутдинов и Ушаков, 2003; Mathieu et al., 2003], синтез фрактальных шумов со спектральной плотностью мощности 1 // [Montroll & Shlesinger, 1982; Рехвиашвили, 2006], решение дробных интегродифференциальных уравнений в составе вычислительных электронных схем [Рехвиашвили, 2006], реализация отказоустойчивых систем управления дробного порядка [Oustaloup et al., 1987; Charef, 2006].

1.2 Цели и задачи исследования

Целями настоящей работы являются разработка и исследование элементов фрактальных радиосистем: фрактальных антенн и устройств фрактальной фильтрации — дробных интегродифференциальных преобразователей. Первая часть работы посвящена определению фрактальных антенн нового типа и изучению их пространственно-частотных характеристик. Во второй части представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора на основе /?С элементов с распределенными параметрами. Исходя из означенных целей, были поставлены следующие задачи:

> Разработка детерминированных геометрических решений для построения нерегулярных фрактальных антенн. Реализация эффективных многодиапазонных излучающих структур малых размеров за счет масштабного многообразия и эффективного заполнения пространства.

с> Исследование антенн на основе детерминированных нерегулярных фрактальных структур посредством численного моделирования.

> Исследование возможностей по управлению пространственно-частотными характеристиками антенн без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов.

о Тонкопленочная реализация аналоговой электрической схемы с распределенными резистивно-емкостными параметрами, реализующей операцию дробного интегродифференцирования. Изготовление экспериментальных образцов схемы, включающее следующие мероприятия: оптимизация технологического процесса, оптимизация топологии структуры, калибровка геометрических и электрических параметров схемы.

о Исследование частотных характеристик экспериментальных образцов.

о Численное моделирование экспериментальной схемы.

1.3 Научная новизна

> Представлены результаты численного моделирования детерминированных нерегулярных фрактальных антенн. Несколько предложенных антенных конструкций построены на основе плоских и пространственных псевдослучайных фрактальных кластеров. Для построения последних предложена модификация численных агрегационных моделей, основанная на использовании хаотического целочисленного алгоритма с запаздыванием. Большой объем псевдослучайной последовательности, порождаемой этим алгоритмом, определяет многообразие фрактальных структур, формируемых модифицированными алгоритмами агрегации.

> На основании результатов численного эксперимента показано, что детерминированные нерегулярные фрактальные антенны представляют собой эффективные многодиапазонные излучатели. Показана возможность управления частотными характеристиками и характеристиками направленности без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов.

о Представлена экспериментальная реализация аналоговой полуинтегрирующей ячейки. Электрическая схема, полуинтегрирующие свойства которой были обоснованы теоретически [Oldham & Spanier, 1974], выполнена с использованием тонкопленочных технологий в виде многослойной микроструктуры с распределенными электрическими параметрами.

1.4 Практическая ценность

> Предложенная методика проектирования нерегулярных фрактальных антенн имеет ряд отличий от реализованных ранее. Во-первых, алгоритмическое построение образующей фрактальной структуры полностью исключает соответствующий технологический этап. Фрактальная структура формируется посредством компьютерного моделирования, что существенно упрощает процесс изготовления макета антенны. Во-вторых, использование детерминированной псевдослучайной последовательности большого объема при формировании фракталов позволяет реализовать геометрическое многообразие для полностью воспроизводимых структур, что не представляется возможным в рамках случайных моделей [Puente et al., 1996; Rmili et al., 2007; Болотов и др., 1999].

> Перспективность предложенных антенных конструкций определяется следующими особенностями: многодиапазонность, широкололосность, миниатюрность и высокое усиление. К несомненным преимуществам фрактальных антенн нового типа следует отнести возможность управления их пространственно-частотными характеристиками без вариации форм-фактора, что позволяет использовать предложенные конструкции при разработке реконфигурируемых антенных систем.

> В рамках настоящей работы осуществлен начальный этап исследования фрактальных антенн нового типа. Результаты численного моделирования могут послужить основой для более детального изучения, как теоретического, так и экспериментального.

о Для электрической модели полуинтегрального оператора достигнут определенный уровень миниатюризации схемы посредством применения тонкопленочных технологий. Площадь экспериментальной схемы, состоящей из 400 RC элементов, составляет менее 1 см2. Поскольку ширина рабочей полосы частот рассмат-

риваемой модели зависит от количества ИС элементов, миниатюризация схемы открывает перспективу расширения рабочей полосы посредством увеличения числа элементов.

о Особенностью рассматриваемой электрической модели является относительная простота ее тонкопленочной реализации в виде схемы с распределенными параметрами. Воспроизводимость структуры и качество исполнения схемы обеспечиваются применением прецизионной аппаратуры и современных методов изготовления микроструктур.

о Представленная полуинтегрирующая ячейка является широкополосным элементом радиотракта: рабочий диапазон характеризуется коэффициентом перекрытия по частоте 2:1. Широкополосность аналоговой модели в сочетании с преобразованием сигнала в реальном масштабе времени позволяют ей конкурировать с цифровыми дробными преобразователями в определенном круге задач.

1.5 Защищаемые положения

1. Впервые предложены и исследованы фрактальные антенны нового типа, построенные на основе детерминированных нерегулярных структур — хаотических фрактальных кластеров. Последние сформированы с помощью двух численных агрегационных моделей в комбинации с хаотическим запаздывающим дискретным алгоритмом. Предложенная методика обеспечивает геометрическое многообразие формируемых фрактальных кластеров и их воспроизводимость по входным параметрам алгоритма агрегации.

2. Программно реализованы агрегационные модели для построения двумерных и трехмерных хаотических фрактальных кластеров двух структурных подгрупп.

3. Показано, что реконфигурация пространственно-частотных характеристик фрактальных антенн нового типа возможна без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. Сдвиг частотных диапазонов и изменение формы диаграммы направленности осуществляется посредством изменения точки возбуждения антенны.

4. Разработан и оптимизирован технологический маршрут изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки. Методика изготовления электрической схемы с распределенными параметрами основана на современных методах микроэлектроники и включает циклы высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов, а также процедуру фотолитографии. Оптимизация топологии и применение прецизионной аппаратуры позволяют достичь определенной степени миниатюризации схемы и воспроизводимости ее параметров при изготовлении.

1.6 Личный вклад

Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

1.7 Апробация

Результаты диссертационной работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ РАН, 2005 и 2006 гг.); 8-я международная конференция РБРА «Цифровая обработка сигналов и ее применение» (Москва, ИПУ РАН, 2006 г.); 2-я и 3-я международные научно-практические конференции НТР1 «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, 2006 и 2007 гг.); 1б-я, 17-я и 18-я международные Крымские конференции КрыМиКо «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (Севастополь, 2006, 2007 и 2008 гг.); 3-я международная конференция 11\Л/В11515 «Сверхширокополосные и ультракороткие импульсные сигналы» (Севастополь, 2006 г.); 6-я международная конференция 1САТТ по теории и технике антенн (Севастополь, 2007 г.); 14-я международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь» (Воронеж, 2008 г.).

1.8 Публикации

По материалам диссертации опубликовано 16 работ, из них 7 — в рецензируемых отечественных журналах, 9 — в сборниках трудов международных конференций.

1.9 Структура и объем диссертации

Диссертационная работа представлена на 143 страницах машинописного текста и состоит из введения, обзора литературы (главы 2, 3), результатов (главы 4, 5), заключения и списка цитируемой литературы. Текст диссертации проиллюстрирован 76 рисунками. Список литературы включает 171 источник.

2 СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

2.1 Моделирование нерегулярных фрактальных антенн

Нерегулярные фрактальные антенны, представленные в настоящей работе, построены на основе хаотических фрактальных кластеров. Плоские и пространственные фрактальные кластеры построены с помощью двух численных агрегационных моделей, модифицированных специальным образом. Численный расчет пространственно-

частотных характеристик антенн осуществлен в САПР Апбо^ НРББ, предназначенной для электромагнитного моделирования трехмерных СВЧ структур.

Фрактальные кластеры для антенного проектирования

Первая модель, предложенная Тюи и Жюльеном [ТЬоиу & _1иШеп, 1994], является обобщением иерархической модели кластер-кластерной агрегации. Иерархическая схема подразумевает парную ассоциацию кластеров из равного числа частиц на каждом шаге алгоритма. Особенность модели — задание фрактальной размерности кластера в качестве входного параметра алгоритма. Это достигается выполнением следующего условия на каждом шаге алгоритма:

где Г — расстояние между центрами масс агрегируемых кластеров, В — фрактальная размерность. Это соотношение является следствием общепринятого определения фрактальной размерности кластера:

Модель Тюи-Жюльена порождает ветвистые фрактальные структуры в двумерном и трехмерном случаях, при этом априорное задание фрактальной размерности позволяет регулировать степень заполнения пространства.

Вторая модель, относящаяся к классу частица-кластерных, была введена Вит-теном и Сандером для описания процесса ограниченной диффузией агрегации [Witten & Sander, 1981]. В этой модели отдельные частицы, вносимые на бесконечности (условно), случайно блуждают в пространстве до соприкосновения с неподвижным кластером и соединения с ним в точке соприкосновения. Фрактальные кластеры Виттена-Сандера имеют вид дендритов с расходящимися от центра ветвями и характеризуются значениями фрактальной размерности 1.7 и 2.5 в двумерном и трехмерном случаях, соответственно.

Оба алгоритма агрегации включают моделирование случайных событий — блуждания частиц/кластеров, ассоциации кластеров. Модификация обеих агрегационных моделей, предложенная в настоящей работе, заключается в замене случайных событий на псевдослучайные. Для формирования псевдослучайных целочисленных последовательностей выбран детерминированный целочисленный хаотический алгоритм с запаздыванием. Данный алгоритм формирует длинные непериодические сегменты псевдослучайных последовательностей с равномерным распределением вероятностей, которые по статистическим и корреляционным характеристикам близки к случайному равновероятному процессу.

(5)

ЛГ ос JV-юс.

(б)

Детерминизм порождающего алгоритма определяет особенность модифицированных агрегационных моделей — полную воспроизводимость формируемых фрактальных кластеров по входным параметрам. Это свойство играет немаловажную роль в задачах антенного проектирования, поскольку с воспроизводимостью излучающей структуры связана воспроизводимость антенных характеристик.

Хаотические псевдослучайные последовательности, обладая корреляционными свойствами не хуже, чем у истинно случайных, характеризуются значительно большим объемом реализаций относительно, например, М-последовательностей. В связи с этим модифицированные алгоритмы агрегации позволяют реализовать большее структурное многообразие результирующих агрегатов. При этом кластеры, построенные с использование различных выборок хаотической последовательности, отличаются только деталями структуры с сохранением фрактальной размерности. Таким образом, большие объемы реализаций хаотической последовательности в сочетании с ее воспроизводимостью придают дополнительную гибкость методике построения нерегулярных фрактальных структур для антенного проектирования.

Для антенн на основе хаотических фрактальных структур введены следующие обозначения. Антенны на основе детерминированных кластеров, построенных в рамках модифицированной модели Тюи-Жюльена, обозначены в соответствии с фрактальной размерностью кластера: ТЫ-1.6 и ТЫ-1.9, Антенны на основе плоских и пространственных детерминированных кластеров типа Виттена-Сандера обозначены \ZVS-2D и \ZVS-3D, соответственно.

Микрополосковые антенны ТЫ-1.6 и ТЫ—1.9

173 мм

Рис. 1. Конструкция микрополосковой антенны ТИ.)-1.6.

Модель микрополосковой антенны ТИЛ.б построена на основе фрактального кластера типа Тюи-Жюльена (см. рис. 1). Фрактальная структура выполнена в виде

металлизации на диэлектрической подложке, обратная сторона которой полностью металлизирована и заземлена. Возбуждение осуществляется посредством 50£2 коаксиального фидера с обратной стороны подложки.

Рис. 2. Микрополосковая антенна ТЫ-1.6. Зависимость входного коэффициента отражения от частоты. Излучающие части антенны (показаны темным цветом) на согласованных частотах и соответствующие этим частотам полуволновые масштабы длины (горизонтальные отрезки).

Зависимость входного коэффициента отражения антенны от частоты (см. рис. 2) свидетельствует о наличии нескольких диапазонов согласования. Распределения поверхностного тока, представленные на рисунке, свидетельствуют о том, что возбуждения проводящей структуры целиком не происходит. На резонансной частоте возбуждается фрагмент антенны, линейный размер которого, измеренный вдоль изломов фрактальной структуры, приблизительно равен половине длины волны возбуждения. Таким образом, происходит масштабирование активной части антенны в соответствии с частотой, и излучающая часть имеет постоянную электрическую длину на нескольких частотах.

Возбуждение фрагментов антенны, расположенных преимущественно вблизи точки возбуждения, обусловлено сравнительно разреженной структурой фрактального кластера. Вследствие относительной удаленности ветвей друг от друга, электромаг-

нитная волна возбуждения распространяется, следуя геометрии проводящей структуры.

Антенну ТЫ-1.6, как антенну дендритного типа [Болотов и др., 1999], можно рассматривать как набор элементарных излучателей различной длины, хаотично расположенных в пространстве. Каждый излучатель вносит вклад в результирующее поле антенны:

Е-Е*

5>,

„<Фп

(?)

При условии, что пространственные функции распределения поля элементарных излучателей независимы, усреднение и нормировка приводят к соотношению

(Е-Е*) о^М2

I

(8)

Фрактальное распределение излучателей в пространстве приводит к распределению фаз, характеризующемуся степенной асимптотикой ф~а. Предельные случаи а— и си —> 0 отвечают абсолютной когерентности (е1^) = 1 и полному ее отсутствию е'Ф) =0, соответственно. Таким образом, для фрактального распределения элементарных излучателей имеет место случай промежуточной когерентности.

Г

9.7 ГГц

(«В)«.

I у ч-.0] , 120 240 ч

12.5 ГГц

Рис. 3. Микрополосковая антенна ТЬ.1-1.6. Диаграммы направленности на двух согласованных частотах.

Свойство частичной когерентности приводит к появлению на диаграмме направленности (см. рис. 3) хорошо выраженных максимумов, угловое положение которых зависит от частоты. Отсутствие частотного подобия диаграммы направленности связано с тем, что образующий кластер является фрактальным только по построению и не обнаруживает геометрического самоподобия. Характерной особенностью излучения, формируемого антенной ТЬ_1-1.6, является его слабая направленность.

Частотные характеристики даже простейших микрополосковых антенн определяются не только их геометрическими и диэлектрическими параметрами, но и способом возбуждения. Излучающая система рассматриваемых антенн имеет сложную, нерегулярную форму. В связи с этим предполагается сильная зависимость пространственно-частотных параметров антенн от параметров возбуждения. Поведение микрополосковых антенн исследовано при изменении точки возбуждения посредством плоско-параллельного перемещения фидера вдоль проводящей структуры. С точки зрения аппаратной реализации такое изменение точки возбуждения выполнимо на единственном макете антенны.

точка возбуждения №1

(ГГц)

Рис. 4. Микрополосковая антенна ТЬ.]-1.б. Сдвиг частотных диапазонов (слева), вызванный изменением точки возбуждения (справа).

При изменение точки возбуждения антенны ThJ-1.6 наблюдается спектральный сдвиг согласованных диапазонов (см. рис. 4). Управляемый сдвиг рабочих диапазонов является одной из функциональных возможностей реконфигурируемых антенных систем. Частотная реконфигурация посредством вариаций геометрических параметров была продемонстрирована для фрактальных антенн Серпинского [Puente et al., 1996; Romeu к Soler, 2001; Song eta!., 2003] и Коха [Vinoy etal., 2003], а для регулярных древовидных антенн — с помощью встроенных фильтров и переключателей [Petko к Werner, 2004]. Для рассматриваемой антенны частотная реконфигурация представляется возможной исключительно за счет изменения точки возбуждения — без вариации геометрии антенны и внесения дополнительных структурных элементов. Частотная реконфигурация сопровождается изменениями диаграммы направленности: изменяются угловые положения локальных максимумов. При этом сохраняются слабонаправленный характер излучения и среднее значение коэффициента усиления антенны. Такое поведение является прототипом управления частотными характеристиками антенны посредством изменения точки возбуждения.

Микрополосковая антенна ThJ-1.9 показана на рис. 5. Излучающая система антенны более эффективно заполняет занимаемую ей площадь относительно антен-

Рис. 5. Микрополосковая антенна ТЬ.)-1.9. Конструкция антенны (справа) и зависимости входного коэффициента отражения и полного входного сопротивления от частоты (слева).

65 мм

56 мм

& 100 о.

8 о » -100

Рис. б. Микрополосковая антенна ТИ.!-1.9. Изменение распределения поверхностного тока в проводящей структуре (сверху) и диаграммы направленности (снизу) на частоте 6.6 ГГц при изменении точки возбуждения.

ны ТЬ_1-1.6 вследствие увеличения фрактальной размерности образующего кластера. Частотные характеристики (см. рис. 5) обнаруживают несколько диапазонов различной ширины и степени согласования. Вариации входного сопротивления характеризуются меньшей амплитудой по сравнению с антенной ТЫ-1.6.

Поведение антенны ТЬ_1-1.9 при изменении точки возбуждения несколько отлича-1 ется от вышеописанного: некоторые согласованные диапазоны сохраняют свое спектральное положение. При этом на неизменных резонансных частотах изменяется рас пределение поверхностного тока в проводящей структуре (см. рис. б). Изменение картины излучающих токов, вызванное смещением точки возбуждения, приводит : вариации диаграммы направленности: для некоторых угловых направлений коэффициент усиления изменяется более чем на 10 дБ (см. рис. б). Такое поведение можне рассматривать как управляемое изменение диаграммы направленности антенны н: выделенных частотах.

Микрополосковая антенна \Л/5-20

Микрополосковая антенна \Л/5-20 построена на основе плоского фрактального кла стера типа Виттена-Сандера. Антенна имеет несколько диапазонов согласования, ши рина которых увеличивается с частотой (см. рис. 7). Уширение отдельного частотногс диапазона обусловлено разнообразием линейных масштабов фрактальной структуры, соответствующих этой спектральной области. Поэтому более широкие диапазоны :. высокочастотной области спектра свидетельствуют о большем разнообразии коротковолновых масштабов относительно длинноволновых. Это указывает на структурнун особенность, присущую большинству древовидных фракталов: меньшему характери стическому масштабу длины соответствует большее количество элементов структуры.

Рис. 7. Микрополосковая антенна \NS-2D. Конструкция антенны (справа) и зависимость входного коэффициента отражения от частоты (слева).

На основе расчета распределений поверхностного тока в проводящей структуре антенны У\/5-20 показано, что возбуждаются локальные участки фрактальной структуры, размеры и расположение которых зависят от частоты возбуждающего сигнала. Излучение антенны является слабонаправленным. Диаграмма направленности характеризуется более мелкой угловой структурой в высокочастотных диапазонах относительно низкочастотных.

•ее-

Пространственный монополь \ZVS-ЗО

Рис. 8. Конструкция пространственного монополя \А/5-30.

Рис. 9. Пространственный монополь УУБ-ЗО. Зависимости входного коэффициента отражения и полного входного сопротивления от частоты (справа). Диаграммы направленности на трех согласованных частотах (слева).

Антенна УУБ-ЗО построена на основе пространственного фрактального кластера типа Виттена-Сандера. Фрактальная структура образована набором проводящих кубов размера 0.5 мм, распределенных с шагом 0.4 мм по трем координатам (см.

рис. 8). Проводящая структура размещена над заземленным экраном, с обратное стороны которого подведен 50Q коаксиальный фидер.

Частотные характеристики пространственного монополя обнаруживают пять широких диапазонов согласования в полосе частот 0—40 ГГц (см. рис. 9). Антенна ха рактеризуется меньшими вариациями входного сопротивления по сравнению с рассмотренными микрополосковыми антеннами. С точки зрения количества характери стических масштабов трехмерный фрактальный кластер превосходит рассмотренньк двумерные кластеры. Это объясняет более широкие диапазоны согласования про странственного монополя по сравнению с микрополосковыми антеннами. При этог. с точки зрения линейных размеров монополь является дважды более компактным.

Направленность излучения антенны WS-3D обнаруживает следующие особенно сти, характерные для нерегулярных фрактальных антенн: слабая направленность частотная зависимость углового распределения максимумов диаграммы направлен ности; усложнение формы диаграммы направленности с возрастанием частоты (см. рис. 9). Максимальный коэффициент усиления антенны возрастает с частотой и i высокочастотных диапазонах составляет приблизительно 10 дБ.

2.2 Полуинтегрирующая ячейка

Электрическая схема полуинтегрирующей ячейки представляет собой однороднук RC цепочку в топологии Кауэра (см. рис. 10). Среди канонических форм реализации элементов постоянной фазы [Morrison, 1959] эта схема представляется наиболее подходящей для реализации на основе элементов с распределенными параметрами. Это обусловлено простотой тонкопленочного исполнения цепочки последовательны: сопротивлений и шунтирующих емкостей, а также элементной однородностью схемы.

Рис. 10. Схема, реализующая операцию полуинтегрирования [Oldham & Spanier, 1974].

Было показано, что для (2и— 1)-компонентной схемы (см. рис. 10) отношение лапласовых образов напряжения e(s) и тока i(s) можно представить в виде цепной дроби

SCO.

e(t)

i(t)

-1 j=l,2,...,n-l

Ф) _. ®2n— 11 Ю2к-21 Ю2«-3

RAS) |ä |1 |S

ш2| (В, I (O01

(Oy^l/Rfj, (o2j+]^l/RJ+1Cj.

На основании этого соотношения было показано, что при условии элементной одно-юдности схемы (Rj=R, Cj = C) напряжение пропорционально полуинтегралу входного тока в ограниченном временном диапазоне [Oldham & Spanier, 1974]:

На основании этих результатов можно оценить границы рабочего диапазона схемы в частотной области:

Таким образом, полоса частот рассматриваемой модели может быть расширена посредством одновременного уменьшения константы RC и увеличения количества элементов п, что может быть достигнуто в рамках тонкопленочной реализации резистивно-емкостных элементов. Как известно, характеристики аналоговой модели, в отличие от цифровой, существенно зависят от допуска на параметры элементов. Качество рассматриваемой модели (точность выполнения операции полуинтегрирования и ширина рабочей полосы частот) определяется масштабом отклонений резистивно-емкостных параметров схемы от заявленных значений. Современные технологические методы позволяют наносить тонкие пленки проводящих и диэлектрических материалов с высокой точностью по толщине и однородности, что обеспечивает высокую точность номиналов тонкопленочных резистивно-емкостных элементов. Это обстоятельство определяет актуальность представленной аппаратной реализации.

Экспериментальная схема выполнена в виде открытой (неэкранированной) микро-полосковой линии. Каждый ИС элемент с распределенными параметрами представлен двумя последовательными отрезками микрополосковой линии, узким и широким, выполненными из одного проводящего материала. Резистивный элемент образован узким отрезком микрополоска, емкостной — широким отрезком микрополоска и земляным слоем. Размеры резистивного элемента схемы в плоскости образца составляют 100 х 10 мкм2, емкостного — 100 х 100 мкм2 (см. рис. 11). В такой геометрии значения паразитных параметров схемы (емкости резистивного элемента и сопротивления емкостного элемента) на порядок меньше значений полезных параметров.

Экспериментальная схема состоит из 400 последовательно соединенных /?С элементов. Зигзагообразная компоновка микрополосковой линии позволяет разместить ее на площади 6x8 мм2. Микрополосковая структура выполнена на кремниевой подложке, вырезанной из стандартной пластины монокристаллического кремния методом алмазного скрайбирования. Земляной слой толщиной 100 нм изготовлен из титана, диэлектрический слой толщиной 200 нм — из оксида кремния, верхний про-

(10)

Рис. 11. Фотография фрагмента экспериментального образца (размер кадра 5.4x3.1 мм) с указание! размеров резистивно-емкостных элементов в плоскости образца

водящий слой толщиной 48 нм — из хрома (см. рис. 12). Пленки титана и оксида кремния получены ВЧ магнетронным распылением в атмосферах аргона и смесг аргона с кислородом, соответственно. Напыление хрома проведено посредством тер мического испарения в вакууме. Формирование рисунка верхнего проводящего слоя выполнено стандартными методами фотолитографии.

Рис. 12. Топология экспериментального образца.

Экспериментальная схема характеризуется следующими резистивно-емкостными параметрами: Я « 60 Ом, С « 2 пФ. Значение сопротивления Я получено путем непосредственных измерений на экспериментальных образцах, оценка емкости С рассчитана на основании табличных значений электрических характеристик материалов.

Для серии экспериментальных образцов проведены измерения спектральных характеристик. Типичная амплитудно-частотная характеристика представлена на

ис. 13. Экспериментальная зависимость с точностью 10% повторяет отклик иде-льного полуинтегратора в октавном диапазоне частот 800—1600 МГц.

Рис. 13. Амплитудно-частотная характеристика экспериментальной схемы.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 (ГГц) 1.8

Рис. 14. Диаграмма Боде конечно-элементной модели экспериментальной схемы.

Численное моделирование экспериментальной схемы выполнено в САПР АпбоЙ НРББ, использующей векторный метод конечных элементов для расчета электромагнитного поля. Геометрия конечно-элементной модели в точности повторяет структуру экспериментального образца, электрические параметры материалов соответствуют табличным значениям. Диаграмма Боде рассчитана средствами САПР в пределах рабочего частотного диапазона, полученного в эксперименте (см. рис. 14). Фазовая

часть диаграммы Боде свидетельствует о том, что фаза входного импеданса незн; чительно флуктуирует (±4°) вблизи среднего значения —л/4. Такая зависимост является приближением фазо-частотной характеристики элемента постоянной ф; зы, который осуществляет дробное интегродифференциальное преобразование п< рядка —1/2, т. е. полуинтегральное преобразование:

= Атг/2 = -тг/4 Я = -1/2.

Амплитудная часть диаграммы Боде близка к линейной зависимости с наклс ном —1/2, что соответствует амплитудно-частотной характеристике идеального пс луинтегратора.

3 РЕЗУЛЬТАТЫ

Настоящая работа посвящена отдельным вопросам разработки элементной баз: фрактальных радиосистем — проектированию нерегулярных фрактальных антенн физическому моделированию полуинтегрального оператора. Основные результат работы таковы:

1. Впервые предложены и исследованы нерегулярные фрактальные антенны с д< терминированной структурой. Детерминированные фрактальные структуры дл антенного проектирования построены с помощью численных агрегационных мс делей с использованием хаотического целочисленного алгоритма. Предложен несколько геометрических решений: плоские и пространственные хаотически фрактальные кластеры двух структурных подгрупп.

2. Программно реализованы алгоритмы агрегации хаотических фрактальных кл; стеров, положенных в основу конструкций детерминированных нерегулярнь фрактальных антенн.

3. На основании численного моделирования выявлены характерные особенност нерегулярных фрактальных антенн нового типа: многодиапазонность, широкс полосность, слабонаправленное излучение, частотно-зависимая форма диаграк мы направленности, возрастание коэффициента усиления с частотой.

4. Показана возможность управления пространственно-частотными характерней ками антенн посредством изменения точки возбуждения. Возможности сдвиг частотных диапазонов и управления диаграммой направленности без изменени формы излучающей системы позволяют использовать предложенные констру! ции при разработке реконфигурируемых антенных систем.

5. Представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели по интегрального оператора. Полуинтегрирующая ячейка представляет собой п

сивную электрическую схему на основе RC элементов с распределенными параметрами, выполненную в виде микрополосковой структуры с использованием тонкопленочных технологий.

6. Для изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки применены современные методы микроэлектроники. Разработанный технологический маршрут включает циклы высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов, а также процедуру фотолитографии. Использование прецизионной аппаратуры и современных технологических методов позволяет достичь высокого качества экспериментальных образцов и воспроизводимости их параметров.

7. На основании экспериментальных данных показано, что разработанная и реализованная полуинтегрирующая ячейка является широкополосным элементом радиотракта. Данная модель может быть использована в задачах фрактальной обработки сигналов, а также в качестве элементной базы вычислительной электроники. Преимуществом аналоговой модели является выполнение полуинтегрального преобразования сигнала в реальном масштабе времени.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

[1] C.B. Крупенин. Моделирование фрактальных антенн. Радиотехника и электроника, 2006, 51(5), 561-568.

[2] В.В. Колесов, C.B. Крупенин, A.A. Потапов. Численное моделирование сверхширокополосных фрактальных антенн. Нелинейный мир, 2006, 4(4-5), 188-194.

[3] Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.Я. Кислов, В.В. Колесов, C.B. Крупенин, A.M. Попов, В.И. Рябенков. Сложные хаотические дискретные сигналы в системах телекоммуникации, радиолокации и навигации. Радиотехника и электроника, 2006, 51(9), 1116-1128.

[4] C.B. Крупенин. Моделирование фрактальных антенн. Нелинейный мир, 2006, 4(6), 297-303.

[5] В.В. Колесов, C.B. Крупенин, A.A. Потапов. Численный анализ сверхширокополосных фрактальных антенн. Труды 2-й международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», Санкт-Петербург, Россия, 7-9 февраля 2006, 5, 130-131.

[6] В.В. Колесов, C.B. Крупенин, A.A. Потапов. Разработка фрактальных антенн для сверхширокополосных систем связи. Труды 8-й международной конференции и выставки «Цифровая обработка сигналов и ее применение», DSPA'2006, Москва, Россия, 29-31 марта 2006, 2, 581-583.

[7] V.V. Kolesov, S.V. Krupenin, N.G. Petrova, A.A. Potapov. Numerical Simulation i the Irregular-Fractal Based Antennas. Proceedings of the 16th International Crimei Microwave Conference CriMiCo'2006, Sevastopol, Crimea, Ukraine, September li 15, 2006, 2, 459-460.

[8] S.V. Krupenin, V.V. Kolesov, A.A. Potapov, N.G. Petrova. The Irregulai Shaped Fractal Antennas for Ultra Wideband Radio Systems. Proceedings of tl 3rd International Conference on Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signal UWBUSIS'2006, Sevastopol, Crimea, Ukraine, September 18-22, 2006, 1, 323-321

[9] C.B. Крупенин, В.В. Колесов. Численный анализ многодиапазонных антенн н основе нерегулярных фрактальных структур. Нелинейный мир, 2007, 5(5), 262 264.

[10] V.V. Kolesov, S.V. Krupenin, A.A. Potapov. Elements of Fractal Radiosystem Proceedings of the 17th International Crimean Microwave Conference CriMiCo'200 Sevastopol, Crimea, Ukraine, September 10-14, 2007, 2, 623-625.

[11] V.V. Kolesov, S.V. Krupenin. Wideband Irregular-Shaped Fractal Antenna Proceedings of the 6th International Conference on Antenna Theory and Technique ICATT'2007, Sevastopol, Crimea, Ukraine, September 17-21, 2007, 1, 278-280.

[12] B.B. Колесов, C.B. Крупенин, А.А. Потапов. Разработка фрактальных радиоа стем. Труды 3-й международной научно-практической конференции «Иссл дование, разработка и применение высоких технологий в промышленности. Санкт-Петербург, Россия, 2-5 октября 2007, 10, 126-127.

[13] В.В. Колесов, С.В. Крупенин, А.А. Потапов. Моделирование нерегулярных фра1 тальных антенн. Труды 14-й международной научно-технической конференщ «Радиолокация, навигация, связь», Воронеж, Россия, 15-17 апреля 2008, '. 611-615.

[14] V.V. Kolesov, S.V. Krupenin. Electrical Model of Semiintegrator. Proceedings of tl 18th International Crimean Microwave Conference CriMiCo'2008, Sevastopol, Crime Ukraine, September 8-12, 2008, 2, 820-821.

[15] C.B. Крупенин, B.B. Колесов, А.А. Потапов, E.H. Матвеев. Многодиапазоннь широкополосные антенны на основе фрактальных структур различных типо Радиотехника, 2009, 3, 70-83.

[16] С.В. Крупенин, В.В. Колесов. Аналоговая реализация полуинтегрирующе! устройства. Радиотехника, 2009, 3, 114-119.

Подписано в печать 15 мая 2009 г.

Формат 60x90/16

Объём 1,0 п.л.

Тираж 100 экз.

Заказ № 150509213

Оттиражировано на ризографе в ООО «УниверПринт» ИНН/КПП 7728572912\772801001

Адрес: 117292, г. Москва, уд. Дмитрия Ульянова, д. 8, кор. 2.

Тед. 740-76-47, 125-22-73.

ЬИр://\\лу\\\иш\егрпп1.ги

1 Введение

2 Широкополосные и частотно—независимые антенны

2.1 Принципы построения.

2.1.1 Спиральные антенны.

2.1.2 Логопериодические антенны.

2.2 Фрактальные антенны.

2.2.1 Характеристические свойства.

2.2.2 Регулярные фрактальные антенны

2.2.3 Реконфигурация антенных характеристик

2.2.4 Нерегулярные фрактальные антенны.

2.2.5 Применения.

3 Дробные интегродифференциальные операторы

3.1 Основные определения.

3.2 Физическая интерпретация

3.3 Статистика Леви.

3.3.1 Обобщение центральной предельной теоремы.

3.3.2 Свойства распределения Леви.

3.3.3 Основные результаты.

3.3.4 Связь с дробным исчислением

3.4 Физические приложения.

3.4.1 Теоретические основы.

3.4.2 Обзор приложений.

3.5 Моделирование.

3.5.1 Элемент постоянной фазы.

3.5.2 Электрическая реализация.

3.5.3 Электрохимическая реализация.

4 Нерегулярные фрактальные антенны

4.1 Хаотические целочисленные алгоритмы

4.1.1 Дискретный хаотический алгоритм с запаздыванием.

4.1.2 Свойства псевдослучайной хаотической последовательности

4.2 Фрактальные кластеры для антенного проектирования.

4.2.1 Модель Тюи-Жюльена

4.2.2 Модель Виттена-Сандера.

4.2.3 Детерминированные фрактальные кластеры.

4.3 Детерминированные нерегулярные фрактальные антенны

4.3.1 Микрополосковая антенна ThJ-1.6.

4.3.2 Микрополосковая антенна'ThJ-1.9.

4.3.3 Микрополосковая антенна WS-2D

4.3.4 Пространственный монополь WS-3D.

5 Полуинтегрирующая ячейка

5.1 Исходные данные.

5.1.1 Актуальность задачи.

5.1.2 Теоретическая модель.

5.2 Экспериментальные образцы

5.2.1 Топология.

5.2.2 Методика изготовления

5.2.3 Параметры

5.3 Частотные характеристики.

5.3.1 Экспериментальные результаты.

5.3.2 Результаты моделирования

Актуальность проблемы

Внедрение широкополосных технологий — одно из целевых направлений современной радиоэлектроники, объединяющее следующие задачи: создание широкополосных устройств и элементов радиотракта, переход к широкополосным радиосигналам, а также разработка эффективных методов обработки этих сигналов. Потребность в расширении полосы частот обусловлена современными тенденциями в развитии радиотехники и электроники: повышение уровня помехозащищенности и конфиденциальности передаваемой информации, увеличение информационной емкости радиосистем, повышение скорости передачи данных.

Фрактальная парадигма, введенная Бенуа Мандельбротом в 1975 г. [46], существенно изменила представление о многих явлениях природы и открыла новые возможности для исследований в фундаментальных и прикладных областях науки. В частности, фрактальные средства и методы оказались чрезвычайно эффективными при разработке широкополосных радиосистем нового поколения.

Обозначим различия между понятиями математического и физического фрактала. Для этого необходимо ввести понятие хаусдорфовой размерности. Пусть d — топологическая размерность ограниченного множества М, пусть N(e) — минимальное число ^/-мерных кубов со стороной е, накрывающих все точки множества М. Если при достаточно малых е величина N(e) меняется по степенному закону:

N(e) - e~D, е —> О, то величина

D = - lim , v ' е—>0 lne называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (или фрактальной размерностью) множества М. В математике фракталом называют множество, характеризуемое дробной хаусдорфовой размерностью, строго большей топологической:

D>d.

Менее строго, под фракталом понимают структуру, состоящую из частей, которые в каком-то смысле подобны целому (определение Мандельброта). Хотя в последнем определении нет математической точности, оно отражает основное свойство фракталов — самоподобие, или масштабную инвариантность. Следствием самоподобия является наличие бесконечного числа характеристических масштабов. При этом фракталы являются принципиально недифференцируемыми объектами, поэтому спектр коэффициентов самоподобия для них всегда конечен, в отличии от гладких самоподобных структур (пример — логарифмическая спираль). Физические фракталы, в отличие от математических, определяются нестрогим неравенством: имеют конечное число характеристических масштабов и являются кусочно-дифференцируемыми объектами. Свойство самоподобия для физических фракталов носит условный характер, а для случайных структур, наблюдаемых в природе (кластеры, дендриты и пр.), речь идет о «статистическом самоподобии» — с учетом усреднения по всем независимым реализациям объекта.

Закономерности излучения, распространения и рассеяния электромагнитных волн во фрактальных средах, исследованные в начале 90-х гг., легли в основу «фрактальной электродинамики» [103, 160] — области, объединяющей фрактальную геометрию и теорию электромагнетизма. Фрактальный подход в радиофизике и радиотехнике впервые получил широкое развитие в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, начиная с 1987 г. В рамках этого подхода была поставлена задача развития новых информационных технологий с использованием текстурных и фрактальных мер на основе принципов нелинейной динамики. В результате проведенных исследовательских и конструкторских работ было определено новое научное направление — применение теории динамических систем и фрактальной топологии в задачах проектирования радиосистем различного назначения — и введен соответствующий термин «фрактальные радиосистемы» [48]. Многочисленные исследования в области обработки сигналов и изображений привели к разработке методов обобщенной фрактальной фильтрации, включающей модуляцию, кодирование, обнаружение, распознавание и повышение контрастности [б]. В настоящее время в ИРЭ РАН ведутся работы по проектированию элементной базы фрактальных радиосистем, включающие проектирование фрактальных антенн, аппаратную реализацию фрактальных фильтров и элементов радиотракта. Перспективой нового научного направления является создание фрактальных радиосистем в целом.

Настоящая работа вписывается в вышеописанную концепцию и затрагивает отдельные вопросы разработки элементной базы фрактальных радиосистем Первая

часть работы посвящена определению фрактальных антенн нового типа и изучению их пространственно-частотных характеристик посредством численного моделирования. Во второй части представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора (фрактального импеданса) на основе RC элементов с распределенными параметрами.

Цели и задачи исследования

Целями настоящей работы являются разработка и исследование элементов фрактальных радиосистем: фрактальных антенн и устройств фрактальной фильтрации — дробных интегродифференциальных преобразователей. Первая часть работы посвящена определению фрактальных антенн нового типа и изучению их пространственно-частотных характеристик. Во второй части представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора на основе RC элементов с распределенными* параметрами Исходя из означенных целей, были поставлены следующие задачи:

Разработка детерминированных геометрических решений для построения нерегулярных фрактальных антенн. Реализация эффективных многодиапазонных излучающих структур малых размеров за счет масштабного многообразия и эффективного заполнения пространства.

Исследование антенн на основе детерминированных нерегулярных фрактальных структур посредством численного моделирования. d> Исследование возможностей по управлению пространственно-частотными характеристиками антенн без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. о Тонкопленочная реализация аналоговой электрической схемы с распределенными резистивно-емкостными параметрами, реализующей операцию дробного интегродифференцирования. Изготовление экспериментальных образцов схемы, включающее следующие мероприятия: оптимизация технологического процесса, оптимизация топологии структуры, калибровка геометрических и электрических параметров схемы. о Исследование частотных характеристик экспериментальных образцов. о Численное моделирование экспериментальной схемы.

Научная новизна о Представлены результаты численного моделирования детерминированных нерегулярных фрактальных антенн Несколько предложенных антенных конструкций построены на основе плоских и пространственных псевдослучайных фрактальных кластеров. Для построения последних предложена модификация численных агрегационных моделей, основанная на использовании хаотического целочисленного алгоритма с запаздыванием. Большой объем псевдослучайной последовательности, порождаемой этим алгоритмом, определяет многообразие фрактальных структур, формируемых модифицированными алгоритмами агрегации. о На основании результатов численного эксперимента показано, что детерминированные нерегулярные фрактальные антенны представляют собой эффективные многодиапазонные излучатели. Показана возможность управления частотными характеристиками и характеристиками направленности без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. о Представлена экспериментальная реализация аналоговой полуинтегрирующей, ячейки. Электрическая схема, полуинтегрирующие свойства которой были обоснованы теоретически [133: §8.3], выполнена с использованием тонкопленочных технологий в виде многослойной микроструктуры с распределенными электрическими параметрами.

Практическая ценность Предложенная методика проектирования нерегулярных фрактальных антенн имеет ряд отличий от реализованных ранее Во-первых, алгоритмическое построение образующей фрактальной структуры полностью исключает соответствующий технологический этап. Фрактальная структура формируется посредством компьютерного моделирования, что существенно упрощает процесс изготовления макета антенны. Во-вторых, использование детерминированной псевдослучайной последовательности большого объема при формировании фракталов позволяет реализовать геометрическое многообразие для полностью воспроизводимых структур, что не представляется возможным в рамках случайных моделей [69, 136, 143]. о Перспективность предложенных антенных конструкций определяется следующими особенностями1 многодиапазонность, широкополосность, миниатюрность и высокое усиление. К несомненным преимуществам фрактальных антенн нового типа следует отнести возможность управления их пространственно-частотными характеристиками без вариации форм-фактора, что позволяет использовать предложенные конструкции при разработке реконфигурируемых антенных систем. о В рамках настоящей работы осуществлен начальный этап исследования фрактальных антенн нового типа. Результаты численного моделирования могут послужить основой для более детального изучения, как теоретического, так и экспериментального. о Для электрической модели полуинтегрального оператора достигнут определенный уровень миниатюризации схемы посредством применения тонкопленочных технологий. Площадь экспериментальной схемы, состоящей из 400 RC элементов, составляет менее 1 см2. Поскольку ширина рабочей полосы частот рассматриваемой модели зависит от количества RC элементов, миниатюризация схемы открывает перспективу расширения рабочей полосы посредством увеличения числа элементов. о Особенностью рассматриваемой электрической модели является относительная простота ее тонкопленочной реализации в виде схемы с распределенными параметрами. Воспроизводимость структуры и качество исполнения схемы обеспечиваются применением прецизионной аппаратуры и современных меI тодов изготовления микроструктур. о Представленная полуинтегрирующая ячейка является широкополосным элементом радиотракта: рабочий диапазон характеризуется коэффициентом перекрытия по частоте 2:1. Широкополосность аналоговой модели в сочетании с преобразованием сигнала в реальном масштабе времени позволяют ей конкурировать с цифровыми дробными преобразователями в определенном круге задач.

Защищаемые положения

1. Впервые предложены и исследованы фрактальные антенны нового типа, построенные на основе детерминированных нерегулярных структур — хаотических фрактальных кластеров. Последние сформированы с помощью двух численных агрегационных моделей в комбинации с хаотическим запаздывающим дискретным алгоритмом. Предложенная методика обеспечивает геометрическое многообразие формируемых фрактальных кластеров и их воспроизводимость по входным параметрам алгоритма агрегации.

2. Программно реализованы агрегационные модели для построения двумерных и трехмерных хаотических фрактальных кластеров двух структурных подгрупп.

3. Показано, что реконфигурация пространственно-частотных характеристик фрактальных антенн нового типа возможна без изменения геометрии антенны и введения дополнительных структурных элементов. Сдвиг частотных диапазонов и изменение формы диаграммы направленности осуществляется посредством изменения точки возбуждения антенны.

4. Разработан и оптимизирован технологический маршрут изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки. Методика изготовления электрической схемы с распределенными параметрами основана на современных методах микроэлектроники и включает циклы высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов, а также процедуру фотолитографии. Оптимизация топологии и применение прецизионной аппаратуры позволяют достичь определенной степени миниатюризации схемы и воспроизводимости ее параметров при изготовлении.

Личный вклад автора заключается в выполнении следующих задач: разработка методики построения фрактальных антенн нового типа; программная реализация агрегационных моделей для формирования нерегулярных фракталов для антенного проектирования; о исследование пространственно-частотных характеристик разработанных антенных конструкций посредством численного моделирования; о оптимизация топологии электрической схемы, реализующей операцию полуинтегрирования; о оптимизация технологического процесса высоковакуумного нанесения тонких пленок металлов и диэлектриков для изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей схемы; о калибровка геометрических и электрических параметров экспериментальной схемы; о изготовление серии экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки; о исследование частотных характеристик экспериментальных образцов; о численное моделирование экспериментальной схемы.

Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

Апробация

Результаты настоящей работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: о ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ РАН, 2005 и 2006 гг.) [50]; о 8-я международная конференция DSPA «Цифровая обработка сигналов и ее применение» [17]; о 2-я и 3-я международные научно-практические конференции HTFI «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» [15, 19], о 16-я, 17-я и 18-я международные Крымские конференции КрыМиКо «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» [108-110]; о 3-я международная конференция UWBUSIS «Сверхширокополосные и ультракороткие импульсные сигналы» [111]; о б-я международная конференция ICATT по теории и технике антенн [107]; о 14-я международная научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь» [21].

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 16 работ, из них 7 — в рецензируемых отечественных журналах [2, 9, 16, 32, 33, 50, 51], 9 — в сборниках трудов международных конференций. [15, 17, 19, 21, 107-111]

Структура диссертации

Текст диссертации состоит из введения, четырех основных глав, заключения и списка литературы. Часть работы, посвященная проектированию фрактальных антенн представлена обзором литературы (глава 2) и результатами численного моделирования (глава 4). Физическое моделирование полуинтегрального оператора описано в главе 5, а соответствующий,обзор литературы представлен в главе 3.

Заключение

6.1 Результаты

Настоящая работа посвящена отдельным вопросам разработки элементной базы фрактальных радиосистем — проектированию нерегулярных фрактальных антенн и физическому моделированию полуинтегрального оператора. Перечислим ее основные результаты.

Впервые предложены и исследованы нерегулярные фрактальные антенны с детерминированной структурой. Детерминированные фрактальные структуры для антенного^ проектирования построены с помощью численных агрега-ционных моделей с использованием хаотического целочисленного алгоритма. Предложено несколько геометрических решений: плоские и пространственные хаотические фрактальные кластеры двух структурных подгрупп.

Программно реализованы алгоритмы агрегации хаотических фрактальных кластеров, положенных в основу конструкций детерминированных нерегулярных фрактальных антенн.

На основании численного моделирования выявлены характерные особенности нерегулярных фрактальных антенн нового типа: многодиапазонность, широ-кополосность, слабонаправленное излучение, частотно-зависимая форма диаграммы направленности, возрастание коэффициента усиления с частотой.

Показана возможность управления пространственно-частотными характеристиками антенн посредством изменения точки возбуждения. Возможности сдвига частотных диапазонов и управления диаграммой направленности без изменения формы излучающей системы позволяют использовать предложенные конструкции при разработке реконфигурируемых антенных систем.

Представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора. Полуинтегрирующая ячейка представляет собой пассивную электрическую схему на основе RC элементов с распределенными параметрами, выполненную в виде микрополосковой структуры с использованием тонкопленочных технологий.

Для изготовления экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки применены современные методы микроэлектроники. Разработанный технологический маршрут включает циклы высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов, а также процедуру фотолитографии. Использование прецизионной аппаратуры и современных технологических методов позволяет достичь высокого качества экспериментальных образцов и воспроизводимости их параметров.

На основании экспериментальных данных показано, что разработанная и реализованная полуинтегрирующая ячейка является широкополосным элементом радиотракта. Данная модель может быть использована в задачах фрактальной обработки сигналов, а также в качестве элементной базы вычислительной электроники. Преимуществом аналоговой модели является выполнение полуинтегрального преобразования сигнала в реальном масштабе времени.

6.2 Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность своим научным руководителям Юрию Васильевичу Гуляеву и Владимиру Владимировичу Колесову, осуществлявшим научное и практическое руководство в процессе выполнения настоящей работы, а также всем сотрудникам ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, принимавшим участие в обсуждении и интерпретации представленных результатов — Р.В. Беляеву, А.В. Скнаре, A.M. Попову, В.И. Рябенкову, Е.А. Мясину, А.С. Фионову, В.И. Калинину, А.А. Потапову, Н.Н. Залогину, Е.П. Чигину.

Неоценимая поддержка была оказана автору Надеждой Геннадиевной Петровой, взявшей на себя большую часть организационных проблем, а также усилиями которой сроки выполнения настоящей работы были значительно сокращены.

Отдельную благодарность автор выражает сотрудникам лаборатории криоэлек-троники физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, прежде всего, Денису Преснову и Вячеславу Власенко, осуществлявшим обучение и руководство в процессе выполнения технологических работ по изготовлению экспериментальных образцов полуинтегрирующей ячейки, а также Е.Е. Лопатиной, В.А. Крупенину и А.Б. Паволоцкому. Здесь следует отметить, что платформой для представленного технологического решения послужили опытно-конструкторские работы, выполненные сотрудником ИРЭ РАН М.З. Меликовым (не описаны в диссертации).

1. Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.Я. Кислов, В.В. Колесов, С.В. Крупенин, A.M. Попов, В.И. Рябенков. Сложные хаотические дискретные сигналы в системах телекоммуникации, радиолокации и навигации. Радиотехника и электроника, 51(9), 1116-1128, 2006.

2. Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.В. Кислов, В.В. Колесов, A.M. Попов, В.И. Рябенков. Спектр периодов псевдослучайных последовательностей, формируемых алгоритмом с задержкой. Радиотехника и электроника, 49(3)', 325-332, 2004.

3. В.П. Скрипов, А.В. Виноградов, В.И. Скоков, А.В. Решетников, В.П. Коверда. Капля на горячей плите: появление 1//-шума при переходе к сфероидальной форме. ЖТФ, 73(6), 21-23, 2003.

4. А.А. Потапов, Ю.В. Гуляев, С.А. Никитов, А.А. Пахомов, В.А. Герман. Новейшие методы обработки изображений / Под ред. А. А. Потапова. М.: Физ-матлит, 2008.

5. Р.Ш. Нигматуллин, В.А. Белавин, А.И. Мирошников, Н.К. Луцкая. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования 1-Е-кривых / Материалы второго всесоюзного совещания по полярографии. Казань: КГУ, 1962.

6. В.А. Крупенин, А.Б. Паволоцкий, И.Г. Прохорова, О.В. Снегирев. Технология изготовления и характеристики диэлектрических слоев тонкопленочных RC фильтров для джозефсоновских и одноэлектронных устройств. Письма в ЖТФ, 22(2), 19-27, 1996.

7. С.В. Крупенин, В.В. Колесов, А.А. Потапов, Е.Н. Матвеев. Многодиапазонные широкополосные антенны на основе фрактальных структур различных типов. Радиотехника, 3, 70-83, 2009.

8. О.А. Юрцев, А.В. Рунов, А.Н. Казарин. Спиральные антенны. М.: Советское радио, 1974.

9. С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987.

10. Р.В. Беляев, Г.М. Воронцов, В.В. Колесов. Случайные последовательности, формируемые нелинейным алгоритмом с запаздыванием. Радиотехника и электроника, 45(12), 954-960, 2000.

11. В.В. Колесов, С.В. Крупенин, А.А. Потапов. Численное моделирование сверхширокополосных фрактальных антенн. Нелинейный мир, 4(4-5), 188-194, 2006.

12. А.А. Потапов, Е.Н. Матвеев, В.А. Потапов. Фрактальная антенна «древо Кейли»: расчеты, анализ и компьютерные эксперименты. Тезисы докладов XIV Международной студенческой школы-семинара «Новые информационные технологии», Москва, МГИЭМ, 1, 62-63, 2006.

13. А.Х. Гильмутдинов, В.А. Мокляков, П.А. Ушаков. Распределенные резистивно-емкостные элементы с фрактальной размерностью: конструкция, анализ, синтез и применение: Нелинейный мир, 5(10-11), 633-638, 2007.

14. В.В. Колесов, С.В. Крупенин, А.А. Потапов. Моделирование нерегулярных фрактальных антенн. Труды 14-й международной научно-технической конференции «Радиолокация, навигация, связь», 15-17 апреля 2008 г., Воронеж, Россия, 1, 611-615, 2008.

15. Б.В. Гнеденко, А'.Н. Колмогоров. Предельные распределения для сумм неза-. висимых случайных величин. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1949.

16. Р.Ш. Нигматуллин, А.И. Мирошников. Применение дробного интегродиф-ференцирования в осциллографической полярографии / Материалы второго всесоюзного совещания по полярографии. Казань: КГУ, 1962.

17. Р.Ш. Нигматулл ин, В.А. Белавин. Электролитический дробно-дифференцирующий и интегрирующий двухполюсник. Труды КАИ, Радиотехника и электроника, 82, 58-65, 1964.

18. Г.Т. Марков, Д.М. Сазонов. Антенны. М.: Энергия, 1975.

19. У. Титце, К. Ш енк. Полупроводниковая схемотехника / Пер. с нем. под ред. А.Г. Алексенко. М.: Мир, 1983.

20. В.П. Коверда, В.Н. Скоков. Критическое поведение и 1//-шум при пересечении двух фазовых переходов в сосредоточенных системах. ЖТФ, 70(10), 1-7, 2000.

21. А.Х. Гильмутдинов, П.А. Ушаков. Пленочные резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: конструкции, применения, перспективы. Датчики и системы, 7, 63-70, 2003.

22. В.П. Коверда, В.Н. Скоков. Масштабные преобразования 1// флуктуации при неравновесных фазовых переходах. ЖТФ, 74(9), 4-8, 2004.

23. В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев. Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности. ЖТФ, 75(9), 132-135, 2005.

24. М.Р. Вяселев, Д.В. Глебов. Оптимальный синтез многозвенных неоднородных резистивно-емкостных цепей, моделирующих обобщенный импеданс Варбур-га. Электрохимия, 41(2), 206-210, 2005.

25. А.Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.: Гостехиздат, 1956.

26. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. М.: Физматлит, I960.

27. В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / Пер. с англ. РЛ. Добрушина и А.А. Юшкевичаi М:: Мир, 1964.

28. Б.М. Смирнов. Фрактальные кластеры. УФН, 149(2), 177-219, 1986.

29. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение /Пер. с нем. Ф.М. Израиле-ва, М.И. Малкина и AM; Реймана. М.: Мир, 1988.

30. Р. Жюльен. Фрактальные агрегаты. УФН, 157(2), 339-357, 1989.

31. Е. Федер. Фракталы /Пер. с англ. Ю.А. Данилова и А. Шукурова. М.: Мир, 1991.

32. P.P. Нигматуллин. Дробный интеграл и его физическая интерпретация. Теор. и мат. физика, 90(3), 354-368, 1992.

33. С.В. Лотхов. Анализ процессов в ячейке хранения одиночных электронов, изготовленной на основе металлических туннельных контактов субмикронной площади / Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, 1997.

34. В.А. Котельников. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Радио и связь, 1998.

35. И.П. Гук. Формализм Лагранжа для частиц, движущихся в пространстве фрактальной размерности. ЖТФ, 68(4), 7-11, 1998.

36. М. Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая / Пер. с англ. под ред. А.В: Борисова. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

37. Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы / Пер. с англ. А.Р. Логунова. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

38. A.M. Нахушев. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.

39. А.А. Потапов. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки: М.: Университетская-книга, 2005.

40. А.Х. Гильмутдинов. Резистивно-емкостные элементы с распределенными-параметрами: анализ; синтез и применение. Казань: КГТУ, 2005.

41. С.В. Крупенин. Моделирование фрактальных антенн. Нелинейный мир, 4(6), 297-303, 2006.

42. С.В. Крупенин. Моделирование фрактальных антенн. Радиотехника и электроника, 51(5), 561-568', 2006.

43. С.Ш. Рехвиашвили. Моделирование фликкер-шума с помощью дробного интегро-дифференцирования. ЖТФ, 76(6), 123-126, 2006.

44. В.И. Слюсар. 60 лет теории электрическм малых антенн. Некоторые итоги. Электроника: наука; технология, бизнес, 7, 10-19, 2006.

45. В.И. Слюсар. Фрактальные антенны. Принципиально новый тип «ломанных» антенн. Электроника: наука, технология, бизнес, 5, 78-83, 2007.

46. Ю.К. Евдокимов. Распределенные измерительные среды и континуум-измерения: топология, алгоритмы и моделирование. Нелинейный мир; 5(10-11), 700-705, 2007.

47. В.И. Слюсар. Фрактальные антенны. Принципиально новый тип «ломанных» антенн. Часть 2. Электроника: наука, технология, бизнес, 6, 82-89, 2007.

48. P. Allegrini, P. Grigolini, В .J. West. Dynamical approach to Levy processes. Phys. Rev. E, 54(5), 4760-4767, 1996.

49. J. Anguera, E. Martinez, C. Puente, C. Borja, J. Soler. Broad-Band- Dual-Frequency Microstrip Patch Antenna With Modified Sierpinski Fractal Geometry. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(1), 66-73, 2004.

50. J. Anguera, E. Martinez-Ortigosa, C. Puente, C. Borja, J. Soler. Broadband Triple-Frequency Microstrip Patch Radiator Combining a Dual-Band Modified Sierpinski Fractal and a Monoband Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 54(11), 3367-3373, 2006.

51. J. Anguera, C. Puente, E. Martinez, E. Rozan. The Fractal Hilbert Monopole: a Two-Dimensional Wire. Microwave Opt. Techno!. Lett., 36(2), 102-104, 2003.

52. C.A. Balanis. Antenna Theory: Analysis and Design. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, 1997.

53. C. Puente Baliarda, C. Borja Borau, M. Navarro Rodero, J. Romeu Robert. An Iterative Model for Fractal Antennas: Application to the Sierpinski Gasket Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 48(5), 713-719, 2000.

54. C. Puente Baliarda, J. Romeu, A. Cardama. The Koch Monopole: A Small Fractal Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 48(11), 1773-1781, 2000.

55. F. Bardou, J.-P. Bouchaud, A. Aspect, C. Cohen-Tannoudji. Levy Statistics and Laser Cooling. How Rare Events Bring Atoms to Rest. New York: Cambridge University Press, 2003.

56. S.R. Best. A Discussion on the Significance of Geometry in Determining the Resonant Behavior of Fractal and Other Non-Euclidean Wire Antennas. IEEE Antennas Propagat. Mag., 45(3), 9-28, 2003.

57. S.R. Best On the Performance Properties of the Koch Fractal and Other. Bent Wire Monopoles. IEEE Trans Antennas Propagat., 51(6), 1292-1300, 2003.

58. G. Biorci, S. Ridella. Ladder RC Network with Constant RC Product. IEEE Trans. Circuit Theory, 17, 432-434, 1970.

59. V.N. Bolotov, S.V. Denisov, A.V. Kirichok, Yu.V. Tkach. Fractal Antenna of Dendrite Type. Proceedings of the 9th International Crimean Microwave

60. Conference CriMiCo'1999, September 13-16, 1999, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 1, 185-187, 1999.

61. C. Borja, J. Romeu. On the Behavior of Koch Island Fractal Boundary Microstrip Patch Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(6), 1281-1291, 2003.

62. R. Botet, R. Jullien. Diffusion-Limited Aggregation with Disaggregation. Phys. Rev. Lett, 55(19), 1943-1946, 1985.

63. R. Botet, R. Jullien* Intrinsic anisotropy of clusters in cluster-cluster aggregation. J. Phys. A: Math. Gen., 19, L907-L912, 1986.

64. G.E. Carlson, C.A. Halijak. Approximation of Fixed Impedances. IRE Trans. Circuit Theory, 9, 302-303, 1962.

65. G.E. Carlson, C.A. Halijak. Approximation of Fractional Capacitors (1 /s)xfn by a Regular Newton Process. IEEE Trans. Circuit Theory, 11, 210-213, 1964.

66. A. Charef. Analogue realisation of fractional-order integrator, differentiator and fractional P^D^ controller. IEE Proc.-Control Theory Appl., 153(6), 714-720,2006.

67. A. Charef, H.H. Sun, Y.Y. Tsao, B. Onaral. Fractal System as Represented by Singularity Function. IEEE Trans. Automat. Contr., 37(9), 1465-1470, 1992.

68. A.S. Chaves. A fractional diffusion equation to describe Levy flights. Phys. Lett. A, 239(1-2), 13-16, 1998.

69. L.J. Chu. Physical limitations on omni-directional antennas. J. Appl. Phys., 19, 1163-1175, 1948.

70. N. Cohen. Fractal Antennas: Part I. Communications Quarterly, Summer, 7-22, 1995.

71. K.S. Cole, R.H. Cole. Dispersion and absorbtion in dielectrics, alternation current characterization. J. Chem. Physics, 9, 341-351, 1941.

72. R.E. Collin, S. Rothschild. Evaluation of antenna Q. IEEE Trans. Antennas Propagat., 12, 23-21, 1964.

73. A. Compte. Stochastical foundations of fractional dynamics. Phys. Rev. E, 53(4), 4191-4193, 1996.

74. D.W. Davidson, R.H. Cole. Dielectric relaxation in glycerol, propylene glycol and n-propanol. J. Chem. Physics, 19, 1484-1490, 1951.

75. R.L. Fante. Quality factor of general ideal antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 17, 151-155, 1969.

76. J. Feder, T. Jcssang, E. Rosenqvist. Scaling Behavior and Cluster Fractal Dimension Determined by Light Scaterring from Aggregating Proteins. Phys. Rev. Lett., 53(15), 1403-1406, 1984.

77. D.S. Filipovic, J.L. Volakis. Novel Slot Spiral Antenna Designs for Dual-Band/Multiband Operation. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(3), 430-439, 2003.

78. H.C. Fogedby. Levy Flights in Random Environments. Phys. Rev. Lett., 73(19), 2517-2520, 1994.

79. J.A. Freund, Th. Poschel (eds.). Stochastic Processes in Physics, Chemistry and Biology. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2000.

80. J.P. Gianvittorio. Fractals, MEMS, and FSS Electromagnetic Devices: Miniaturization and Multiple Resonances/ Ph.D. Thesis. University of California, Los Angeles, 2003.

81. J.P. Gianvittorio, Y. Rahmat-Samii. Fractal1 Antennas: A Novel Antenna Miniaturization Technique, and Applications. IEEE Antennas Propagat. Mag., 44(1), 20-36, 2002.

82. W.G. Glockle, Th.F. Nonnenmacher. A Fractional Calculus Approach to Self-Similar Protein Dynamics. Biophys. J., 68, 46-53, 1995.

83. J.M. Gonzalez-Arbesu, J.M'. Rius, J. Romeu. Comments on: On the relationship between fractal dimension and the performance of multiresonant dipole antennas using Koch curves. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(6), 1626-1627, 2004.

84. M. Grenness, K.B. Oldham. Semiintegral Electroanalysis: Theory and.Verification. Anal. Chem., 44(7), 1121-1129, 1972.

85. E. Gschwendtner, W. Wiesbeck. Ultra-Broadband Car Antennas for Communications and Navigation Applications. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(8), 2020-2027, 2003.

86. C.A. Halijak. An RC impedance approximant to (l/s)1/2. IEEE Trans. Circuit Theory, 11, 494-495, 1964.

87. R.C. Hansen. Fundamental limitations in antennas. Proc. IEEE, 69, 170-182, 1981.

88. R.F. Harrington. Effect of antenna size on gain, bandwidth and efficiency. J. Res. Nut Bur. Stund., 64-D, 1-12, I960.98. 0. Heaviside. Electromagnetic Theory. London: The Electrician, 1899.

89. T.W. Hertel, G.S. Smith. Analysis and Design of Two-Arm Conical. Spiral Antennas. IEEE Trans. Electromag. Compat., 44(1), 25-37, 2002!

90. T.W. Hertel, G.S. Smith. The Conical Spiral Antenna Over the Ground. IEEE Trans. Antennas Propagat., 50(12), 1668-1675, 2002.

91. R. Hilfer, L. Anton. Fractional master equations and fractal time random walks. Phys. Rev. E, 51(2), R848-R851, 1995.

92. N.S. Holter, A. Lakhtakia, V.K. Varadan, V.V. Varadan, R. Messier. On a new class of fractals: The Pascal-Sierpinski gaskets. J. Phys. A: Math. Gen., 19, 1753-1759, 1986.

93. D.L. Jaggard. On Fractal Electrodynamics. In H.N. Kritikos & D.L. Jaggard (eds.), Recent Advances in Electromagnetic Theory, 1, 183-224, 1990.

94. Y. Kim, D.L. Jaggard. The Fractal Random Array. Proc. IEEE, 74(9), 1278-1280, 1986.

95. J. Klafter, A. Blumen, M.F. Shlesinger. Stochastic pathways to anomalous diffusion. Phys. Rev. A, 35(7), 3081-3085, 1987.

96. V.V. Kolesov, S.V. Krupenin. Wideband Irregular-Shaped Fractal Antennas. Proceedings of the 6th International Conference on Antenna Theory and Techniques, ICATT'2007, September 17-21, 2007, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 1, 278-280, 2007.

97. V.V. Kolesov, S.V. Krupenin. Electrical Model of Semiintegrator. Proceedings of the 18th International Crimean Microwave Conference CriMiCo'2008, September 8-12, 2008, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 2, 820-821, 2008.

98. V.V. Kolesov, S.V. Krupenin, A.A. Potapov. Elements of Fractal Radiosystems. Proceedings of the 17th International Crimean Microwave Conference CriMiCo'2007, September 10-14, 2007, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 2, 623-625,2007.

99. J. Liouville. Memoire sur le changement de la variable dans le calcul des differentielles a indices quelconques. J. Ecole Polytech., 15, 17-54, 1835.

100. S.H. Liu. Fractal model for the AC response of a rough interface. Phys. Rev. Lett, 55, 529-532, 1985.115.> L. Lopez-Tomas, J. Claret, F. Mas, F. Sagues. Aggregation under a forced convective flow. Phys. Rev. £,f 46(18), 11495—11500, 1992.

101. L. Lopez-Tomas, J. Claret, F. Sagues. Quasi-Two-Dimensional Electrodeposition under Forced Fluid Flow. Phys. Rev. Lett, 71(26), 4373-4376, 1993.

102. G.J. Maskarinec, B. Onaral. A Class of Rational Systems with Scale-Invariant Frequency Response. IEEE Trans. Circuits Syst.-I, 41(1), 75-79, 1994.

103. P.E. Mayes. Frequency-Independent Antennas and Broad-Band Derivatives Thereof. Proc. IEEE, 80(1), 103-112, 1992.

104. S.C. Dutta Roy. On the Realization of a' Constant-Argument Immitance or Fractional Operator. IEEE Trans. Circuit Theory, 14(3), 264-274, 1967.

105. J.S. McLean. A Re-Examination of the Fundamental Limits on the Radiation Q of Electrically Small Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 44(5), 672-676, 1996.

106. P. Meakin. Diffusion-controlled cluster formation in 2-6-dimentional space. Phys. Rev. A, 27(3), 1495-1507, 1983.

107. P. Meakin. Progress in DLA research. Physica D, 86, 104-112, 1995.

108. K.S. Miller, B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York: John Wiley Sons, 1993.

109. E.W. Montroll, M.F. Shlesinger. On 1// noise and other distributions with long tails. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 79, 3380-3383, 1982.

110. R. Morrison. RC Constant-Argument Driving-Point Admittances. IRE Trans. Circuit Theory, 6, 310-317, 1959.

111. H. Nakanishi, H.J. Herrmann. Diffusion and spectral dimension on Eden tree J. Phys. A: Math. Gen., 26, 4513-4519, 1993.

112. R.R. Nigmatullin. The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry. Phys Status Solidi B, 133(1), 425-430, 1986.

113. Th.F. Nonnenmacher. Fractional integral and differential equations for a class of Levy-type probability densities. J. Phys. A: Math. Gen., 23, L697S-L700S, 1990.

114. M.W. Nurnberger, J.L. Volakis. A New Planar Feed for Slot Spiral Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 44(1), 130-131, 1996.

115. K.B. Oldham. A New Aproach to the Solution of Electrochemical Problems Involving Diffusion. Anal. Chem., 41(13), 1904-1905, 1969.

116. K.B. Oldham. A Signal-Independent Electroanalytical Method. Anal. Chem., 44(1), 196-198, 1972.

117. K.B. Oldham. Semiintegral Electroanalysis: Analog Implementation. Anal. Chem., 45(1), 39-47, 1973.

118. K.B. Oldham, J. Spanier. The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order San Diego: Academic Press, 1974.

119. A. Oustaloup, F. Levron, B. Mathieu, F.M. Nanot. Frequency-Band Complex Noninteger Differentiator: Characterization and Synthesis. IEEE Trans Circuits Syst.-I, 47(1), 25-39, 2000.

120. J.S. Petko, D.H. Werner. Miniature Reconfigurable Three-Dimensional Fractal Tree Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(8), 1945-1956, 2004.

121. С. Puente, J. Claret, F. Sagues, J. Romeu, M.Q. Lopez-Salvans, R. Pous. Multiband properties of a fractal tree antenna generated by electrochemical deposition. Electron. Lett., 32(25), 2298-2299, 1996.

122. C. Puente, J. Romeu, R. Bartoleme, R. Pous. Perturbation of the Sierpinski antenna to allocate operating bands. Electron. Lett., 32(24), 2186-2188, 1996.

123. C. Puente, J. Romeu-, R. Pous, X. Garcia, F. Benitez. Fractal multiband antenna based on the Sierpinski gasket. Electron. Lett., 32(1), 1-2, 1996.

124. C. Puente, J. Romeu, R. Pous, J. Ramis, A. Hijazo. Small but long Koch fractal monopole. Electron. Lett., 34(1), 9-10, 1998.

125. C. Puente-Baliarda, R. Pous. Fractal, Design of Multiband and Low Side-Lobe Arrays. IEEE Trans. Antennas Propagat., 44(5), 730-739, 1996.

126. C. Puente-Baliarda, J. Romeu, R. Pous, A. Cardama. On theBehavior of the Sierpinski Multiband Fractal Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 46(4), 517-524, 1998.

127. B. Riemann. Versuch einerAuffassungder Integration und Differentiation. Leipzig: Teubner, 1847.

128. H. Rmili, 0. El Mrabet, J.-M. Floc'h, J.-L. Miane. Study of an Electrochemically-Deposited 3-D Random Fractal Tree-Monopole Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 55(4), 1045-1050, 2007.

129. J. Romeu, Y. Rahmat-Samii. Fractal FSS: A Novel Dual-Band Frequency Selective Surface. IEEE Trans. Antennas Propagat., 48(7), 1097-1105, 2000.

130. J. Romeu, J. Soler. Generalized Sierpinski Fractal Multiband Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 49(8), 1237-1239, 2001.

131. V.H. Rumsey. Frequency Independent Antennas. New York: Academic Press, 1966.

132. J. Sabatier, O.P. Agrawal, J.A. Tenreiro Machado (eds.). Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Dordrecht: Springer, 2007.

133. M.F. Shlesinger, B.J. West, J. Klafter. Levy Dynamics for Enhanced Diffusion: Application to Turbulence. Phys. Rev. Lett, 58(11), 1100-1103, 1987.

134. C.T.P. Song, P.S. Hall, H. Ghafouri-Shiraz. Perturbed Sierpinski Multiband Fractal Antenna With Improved Feeding Technique. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(5), 1011-1017, 2003.

135. C.T.P. Song, P.S. Hall, H. Ghafouri-Shiraz. Shorted Fractal Sierpinski Monopole Antenna. IEEE Trans. Antennas Propagat., 52(10), 2564-2570, 2004.

136. K. Steiglitz. An RC impedance approximant to s~xl2. IEEE Trans. Circuit Theory, 11, 160-161, 1964.

137. H. Sun, A. Charef, Y.Y. Tsao, B. Onaral. Analysis of Polarization, Dynamics by Singularity Decomposition Method. Ann. Biomed. Eng., 20; 321-335, 1992.

138. R. Thouy, R. Jiillien. A Cluster-Cluster Aggregation. Model with Tunable Fractal Dimension. J. Phys. A: Math. Gen., 27, 2953-2963, 1994.

139. К,J. Vinoy. Fractal Shaped Antenna Elements for Wide- and Multi-Band Wireless Applications / Ph.D. Thesis. The Pennsylvania State University, 2002.

140. K.J. Vinoy, J.K. Abraham, V.K. Varadan. On the Relationship Between Fractal Dimension and the Performance of Multi-Resonant Dipole Antennas Using Koch• Curves. IEEE Trans. Antennas Propagat, 51(9), 2296-2303, 2003.

141. R.F. Voss. Multiparticle diffusive fractal aggregation. Phys. Rev. B, 30(1), 334-337," 1984.

142. J.J.H. Wang, V.K. Tripp. Design of Multioctave Spiral-Mode Microstrip Antennas. IEEE Trans. Antennas Propagat, 39(3), 332-335, 1991.

143. Warburg. Ueber das Verhalten Sogenannter Unpolarisirbarer Electroden gegen Wechselstrom. Ann. Physik. Chemie, 67, 493-499, 1899.

144. D.H. Werner. An Overview of Fractal Electrodynamics Research. Proceedings of the 11th Annual Review of Progress in Applied Conrputational Electromagnetics (ACES), 2, 964-969, 1995.

145. D.H. Werner, S. Ganguly. An Overview of Fractal Antenna Engineering Research. IEEE Antennas Propagat Mag., 45(1), 38-57, 2003.

146. D.H. Werner, M.A. Gingrich, P.L. Werner. A Self-Similar Fractal Radiation Pattern Synthesis Technique for Reconfigurable Multiband Arrays. IEEE Trans. Antennas Propagat., 51(7), 1486-1498, 2003.

147. R. Wessel, R.C. Ball. Cluster-cluster aggregation with random bond breaking. J. Phys. A: Math. Gen., 26, L159-L163, 1993.

148. B.J. West, M. Bologna, P. Grigolini. Physics of Fractal Operators. New York: Springer, 2003.

149. B.J. West, P. Grigolini, R. Metzler, Th.F. Nonnenmacher. Fractional diffusion and Levy stable processes. Phys. Rev. E, 55(1), 99-106, 1997.

150. H.A. Wheeler. Fundamental limitations of small antennas. Proc. IRE, 35, 14791484, 1947.

151. T.A. Witten, L.M. Sander. Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon. Phys. Rev. Lett., 47(19), 1400-1403, 1981.

152. T.A. Witten, L.M. Sander. Diffusion-limited aggregation. Phys. Rev. B, 27(9), 5686-5697, 1983.

153. W. Wyss. The fractional diffusion equation. J. Math. Phys., 27(11), 2782-2785, 1986.

154. J. Zhu, A. Hoorfar, N. Engheta. Bandwidth, Cross-Polarization, and Feed-Point Characteristics of Matched Hilbert Antennas. IEEE Antennas Wireless Propagat. Lett., 2, 2-5, 2003.

155. J. Zhu, A. Hoorfar, N. Engheta. Peano Antennas. IEEE Antennas Wireless Propagat. Lett., 3, 71-74, 2004.